第四章 中值定理与导数的应用本章的内容是微分学的应用，我们将利用导数逐步深入地去揭示函数的一些基本属性．为了便于研究，需要先阐明微分学的几个中值定理，它是用导数来研究函数本身性质的重要工具，也是解决实际问题的理论基础．§4.1 微分中值定理定义4.1.1 设)(x f 在0x 的某一邻域)(0x U 内有定义，若对一切)(0x U x ∈有 ), )((x)( )()(00x f f x f x f ≤≥则称)(x f 在0x 取得极小(大)值，称0x 是)(x f 的极小(大)值点，极小值和极大值统称为极值，极小值点和极大值点统称为极值点．定理4.1.1（费马定理） 若)(x f 在0x 可导，且在0x 取得极值，则0)(0='x f ． 证 设)(x f 在0x 取得极大值，则存在0x 的某邻域)(0x U ，使对一切)(0x U x ∈有)((x)0x f f ≤．因此当0x x <时0)()(00≥--x x x f x f ；而当0x x >时0)()(00≤--x x x f x f ；由于)(x f 在0x 可导，故按极限的不等式性质可得 0)()(lim )()(00000≥--='='-→-x x x f x f x f x f x x及0)()(lim )()(00000≤--='='+→+x x x f x f x f x f x x ，所以0)(0='x f ．若)(x f 在0x 取得极小值，则类似可证0)(0='x f ．费马定理的几何意义如图4-1所示：若曲线)(x f y =在0x 取得极大值或极小值，且曲线在0x 有切线，则此切线必平行于x 轴．习惯上我们称使得0)(='x f 的x 为)(x f 的驻点．定理4.1.1表明：可导函数)(x f 在0x 取得极值的必要条件是0x 为)(x f 的驻点．定理 4.1.2 （罗尔中值定理） 若)(x f 在],[b a 上连续，在),(b a 内可导且)()(b f a f =，则在),(b a 内至少存在一点ξ，使得0)(='ξf ．证 因为)(x f 在],[b a 上连续，故在],[b a 上必取得最大值M 与最小值m ．若M m =，则)(x f 在],[b a 上恒为常数，从而0)(='x f ．这时在),(b a 内任取一点作为ξ，都有0)(='ξf ；若M m <，则由)()(b f a f =可知，点m 和M 两者之中至少有一个是)(x f 在),(b a 内部一点ξ取得的．由于)(x f 在),(b a 内可导，故由费马定理推知0)(='ξf ．图 4—2罗尔中值定理的几何意义如图4-2所示：在两端高度相同的一段连续曲线上，若除端点外它在每一点都有不垂直于x 轴的切线，则在其中必至少有一条切线平行于x 轴．例1 不用求出函数)4)(3)(2)(1()(----=x x x x x f 的导数，说明0)(='x f 有几个实根，并指出它们所在的位置．解 由于)(x f 是),(+∞-∞内的可导函数，且0)4()3()2()1(====f f f f ，故)(x f 在区间]4,3[],3,2[],2,1[上分别满足罗尔中值定理的条件，从而推出至少存在)4,3( ),3,2( ),2,1(321∈∈∈ξξξ，使得)3 , 2 , 1(0)(=='i f i ξ．又因为0)(='x f 是三次代数方程，它最多只有3个实根，因此0)(='x f 有且仅有3个实根，它们分别位于区间)4,3(),3,2(),2,1(内．例2设01 (21)0=++++n a a a n ，证明多项式n n x a x a a x f +++=...)(10在)1,0(内至少有一个零点．证 令,1...2)(1210+++++=n n x n a x a x a x F 则)()(x f x F ='，0)0(=F ，且由假设知0)1(=F ，可见)(x F 在区间]1,0[上满足罗尔中值定理的条件，从而推出至少存在一点)1,0(∈ξ，使得0)()(=='ξξf F ． 即说明)1,0(∈ξ是)(x f 的一个零点．定理4.1.3（拉格朗日中值定理） 若)(x f 在],[b a 上连续，在),(b a 内可导，则在),(b a 内至少存在一点ξ，使得ab a f b f f --=')()()(ξ． (1.1)从这个定理的条件与结论可见，若)(x f 在],[b a 上满足拉格朗日中值定理的条件，则当)()(b f a f =时，即得出罗尔中值定理的结论，因此说罗尔中值定理是拉格朗日中值定理的一个特殊情形．正是基于这个原因，我们想到要利用罗尔中值定理来证明定理4.1.3.证 作辅助函数x ab a f b f x f x F ---=)()()()(，图 4-3容易验证)(x F 在],[b a 上满足罗尔中值定理的条件，从而推出在),(b a 内至少存在一点ξ，使得0)(='ξF ，所以(4.1)式成立．拉格朗日中值定理的几何意义如图4-3所示：若曲线)(x f y =在),(b a 内每一点都有不垂直于x 轴的切线，则在曲线上至少存在一点))(,(ξξf C ，使得曲线在C 的切线平行于过曲线两端点A ，B 的弦．这里辅助函数)(x F 表示曲线)(x f y =的纵坐标与直线x ab a f b f y --=)()(的纵坐标之差，而这直线通过原点且于曲线过A ，B 两端点的弦平行，因此)(x F 满足罗尔中值定理的条件．公式(1.1)也称为拉格朗日公式．在使用上常把它写成如下形式))(()()(a b f a f b f -'=-ξ． (1.2) 它对于a b <也成立．并且在定理 4.1.3的条件下,(1.2)中的b a ,可以用任意),(,21b a x x ∈来代替，即有))(()()(2121x x f x f x f -'=-ξ， (1.3) 其中ξ介于1x 与2x 之间．在公式(1.3)中若取x x x x x =∆+=21 ,，则得 x f x f x x f ∆'=-∆+)()()(ξ， 或1)(0 )()()(<<∆∆+'=-∆+θθx x x f x f x x f ，它表示x x x f ∆∆+')(θ在x ∆为有限时就是增量y ∆的准确表达式．因此拉格朗日公式也称有限增量公式．例3 证明：若)(x f 在区间I 内可导，且0)(='x f ，则)(x f 在I 内是一个常数．证 在区间I 内任取一点0x ，对任意0,x x I x ≠∈，在以0x 与x 为端点的区间上应用拉格朗日中值定理，得到))(()()(00x x f x f x f -'=-ξ．其中ξ介于0x 与x 之间．由假设知0)(='ξf ，故得0)()(0=-x f x f ，即)()(0x f x f =这就说明)(x f 在区间I 内恒为常数)(0x f ．例4 证明：若)(x f 在],[b a 上连续，在),(b a 内可导，且0)(>'x f ，则)(x f 在],[b a 上严格单增．证 任取],[,21b a x x ∈，且21x x <，对)(x f 在区间],[21x x 上应用拉格朗日中值定理，得到211212 , ))(()()(x x x x f x f x f <<-'=-ξξ．由假设知0)(>'ξf ，且012>-x x ，故从上式推出0)()(12>-x f x f ，即)()(12x f x f >．所以)(x f 在],[b a 上严格单增．类似可证：若0)(<'x f ，则)(x f 在],[b a 上严格单减．例5（导数极限定理） 设)(x f 在0x 连续，在)(0x U o内可导，且)(lim 0x f x x →存在，则)(x f 在0x 可导，且)(lim )(00x f x f x x '='→．证 任取)(0x U x o∈，对)(x f 在以0x 与x 为端点的区间上应用拉格朗日中值定理，得到)()()(00ξf x x x f x f '=--，其中ξ在0x 与x 之间，上式中令0x x →，则0x →ξ．由于)(lim 0x f x x '→存在，取极限便得)(l i m )(l i m )()(l i m 00000x f f x x x f x f x x x x x '='=--→→→ξξ．所以)(x f 在0x 可导，且)(lim )(00x f x f x x '='→．例6 证明不等式x x xx<+<+)1ln(1 对一切0>x 成立．证 令)1ln()(x x f +=，对任意0>x ，)(x f 在],0[x 上满足拉格朗日中值定理的条件，从而推出至少存在一点),0(x ∈ξ，使得x f f x f )()0()(ξ'=-． 由于0)0(=f ，ξξ+='11)(f ，上式即 ξ+=+1)1l n (xx ． 又由x <<ξ0，可得x xx x <+<+ξ11． 因此当0>x 时就有x x xx<+<+)1l n (1． 对于由参数方程)( )( )( βα≤≤⎩⎨⎧==t t y y t x x所表示的曲线，它的两端点连线的斜率为)()()()(αβαβx x y y --．若拉格朗日中值定理也适合这种情形，则应有)()()()()()(αβαβξξξx x y y x y dx dy t --=''==． 与这个几何阐述密切相联的是柯西中值定理，它是拉格朗日定理的推广．定理 4.1.4（柯西中值定理） 若)(x f 与)(x g 在],[b a 上连续，在),(b a 内可导且0)(≠'x g ，则在),(b a 内至少存在一点ξ，使得)()()()()()(ξξg f a g b g a f b f ''=--． (1.4) 证，首先由罗尔定理可知0)()(≠-a g b g ，因为如果不然，则存在),(b a ∈η， 使0)(='ηg ，这与假设条件相矛盾．作辅助函数)()()()()()()(x g a g b g a f b f x f x F ---=．容易验证)(x F 在],[b a 上满足罗尔定理的条件，从而推出至少存在一点),(b a ∈ξ，使得0)(='ξF ，即0)()()()()()(='---'ξξg a g b g a f b f f ．由于0)(≠'ξg ，所以(1.4)式成立． 例7设)(x f 与)(x g 都是可导函数．当a x >时，)( )( x g x f '<'．试证当a x >时，不等式)()( )()( a g x g a f x f -<-成立．证 因为当a x >时，0 )( )(≥'>'x f x g ．即0)(>'x g 时，所以)(x g 在),(+∞a 内严格单增(参见例4)．故当a x >时有)()(a g x g >，即0)()(>-a g x g ．对)(x f 和)(x g 在],[x a 上应用柯西中值定理，得到x a g f a g x g a f x f <<''=--ξξξ ,)()()()()()(．由此推出1)( )( )()( )()()()( )()()()( <''=''=--=--ξξξξg f g f a g x g a f x f a g x g a f x f ．因此当a x >时有)()( )()( a g x g a f x f -<-．§4.2 洛必达法则柯西中值定理为我们提供了一种求函数极限的方法．设0)()(00==x g x f ，)(x f 与)(x g 在0x 的某邻域内满足柯西中值定理的条件，从而有)()()()(ξξg f x g x f ''=， 其中ξ介于0x 与x 之间．当0x x →时，0x →ξ，因此若极限A g f x =''→)()(l i m 0ξξξ，则必有A x g x f x x =→)()(l i m 0，这里)()(x g x f 是0x x →时两个无穷小量之比，通常称之为00型未定式．一般说来，这种未定式的确定往往是比较困难的，但如果)()(limx g x f x x ''→存在而且容易求出，困难便迎刃而解．对于∞∞型未定式，即两个无穷大量之比，也可以采用类似的方法确定． 我们把这种确定未定式的方法称为洛必达法则．定理4.2.1 ( 洛必达法则I ) 若 (1) 0)(lim 0=→x f x x ，0)(lim 0=→x g x x ；(2) )(x f 与)(x g 在0x 的某去心邻域内可导，且0)(≠'x g ； (3) )()(limx g x f x x ''→存在，（或为∞），则)()(lim)()(lim00x g x f x g x f x x x x ''=→→． 证 令⎩⎨⎧=≠=⎩⎨⎧=≠=, ,0 ),()( , ,0 ),()(0000x xx x x g x G x x x x x f x F 由假设(1)，(2)可知)(x F 与)(x G 在0x 的某邻域)(0x U 内连续，在)(0x U ο内可导，且0)()(≠'='x g x G ．任取)(0x U x ο∈，则)(x F 与)(x G 在以0x 与x 为端点的区间上满足柯西中值定理的条件，从而有)()()()()()()()(00ξξξξg f G F x G x G x F x F ''=''=--． 其中ξ在0x 与x 之间．由于0)()(00==x G x F ，且当0x x ≠时 ),()(x f x F =)()(x g x G =，可得)()()()(ξξg f x g x f ''=． 上式中令0x x →，则0x →ξ，根据假设(3) 就有)()(lim )()(lim )()(lim000x g x f g f x g x f x x x x x ''=''=→→→ξξξ． 对于∞∞型未定式，也有类似于定理4.2.1的法则，其证明省略． 定理4.2.2 ( 洛必达法则Ⅱ) 若 (1) ∞=→)(lim 0x f x x ，∞=→)(lim 0x g x x ；(2) )(x f 与)(x g 在0x 的某去心邻域内可导，且0)(≠'x g ； (3) )()(limx g x f x x ''→存在，（或为∞），则 )()(lim )()(lim00x g x f x g x f x x x x ''=→→． 在定理4.2.1和4.2.2中，若把0x x →换成+→0x x ，-→0x x ，∞→x ，+∞→x 或-∞→x 时，只需对两定理中的假设(2)作相应的修改，结论仍然成立．例1求下列极限：(1) ;sin lim30x x x x -→ (2) ;2cos lim 2x xx -→ππ(3) ;1arctan 2lim xx x -+∞→π(4) xx x x xx ln 1lim1+--→． 解 由洛比达法则可得(1) 616sin lim 3cos 1lim sin lim02030==-=-→→→x x x x x x x x x x ．(2) 11sin lim 2cos lim 22=--=-→→xx x x x πππ．(3) 11lim 111lim 1arctan 2lim 2222=+=-+-=-+∞→+∞→+∞→x x xx x x x x x π．(4) 211)1(ln lim11)1(ln 1lim ln 1lim22111=-⋅-+-=+-+-=+--→→→x x x x x xx x x x x x x x x xx x x ．例2 求下列极限：(1) x x mx )(ln lim +∞→ (m 为正整数)；(2) x mx ex +∞→lim (m 为正整数)；(3) xxx 3tan ln 5tan ln lim 0+→；(4) xe xx e x x x π-++∞→arctan 2lim ．解 (1) 由于0lim11limln lim1111===+∞→-+∞→+∞→mx mx mx xm x mx xx ，所以0)ln (lim )(ln lim1==+∞→+∞→m mx m x x xxx ． (2) 由于011limlim11==+∞→+∞→x mx x mx e mex ，所以0)(lim lim 1==+∞→+∞→m xm x x m x exe x ． (3) 13tan 15tan 1lim 5tan 33tan 5lim 3tan 3sec 35tan 5sec 5lim 3tan ln 5tan ln lim22002200=++⋅==++++→→→→xx x x xx x xx x x x x x ． (4) 由于ππ-+++=-++∞→+∞→x x x x x x e x xx e x e xx e 212arctan 2limarctan 2lim1112a r c t a n21lim 2=-+++=---+∞→xxx x ee x x x e π， 且1)2(2a r c t a n 2lim arctan 2lim =--=-+=-+-∞→-∞→ππππxe x x e x e x x e xx x x xx ， 所以1arctan 2lim =-+∞→xe x x e x x x π． 对于其它类型的未定式，如∞∞∞-∞∞⋅1 ,0, , ,00 0等类 型，我们可以通过恒等变形或简单变换将它们转化为00或∞∞型，再应用洛比达法则． 例3 求下列极限：(1) ;ln lim 0x x x +→ (2) );tan (sec lim 2x x x -→π(3) ;)1(lim 1xx x ++∞→ (4) ;lim 0x x x +→ (5) 21)(cos lim x x x →．解 (1) 0)(lim 11lim 1ln lim ln lim 02000=-=-==++++→→→→x x x x x x x x x x x ． (2) 0sin cos lim cos sin 1lim)tan (sec lim 222=--=-=-→→→x xx x x x x x x πππ．(3) 由于0111lim )1ln(lim )1ln(lim 1=+=+=++∞→+∞→+∞→x x x x x x xx ， 所以1lim )1(lim 0)1ln(11===+++∞→+∞→e ex xx x xx ．(4) 由(1)得0ln lim ln lim 0==++→→x x x x x x ， 所以1lim lim 0ln 0===++→→e e x xx x x x ． (5) 由于212t a n lim )ln(cos lim)ln(cos lim 0201-=-==→→→x x xx x x x x x ， 所以21)ln(cos 01212lim )(cos lim -→→==e e x x x x x x ．我们已经看到，洛比达法则是确定未定式的一种重要且简便的方法．使用洛比达法则时我们应注意检验定理中的条件，然后一般要整理化简；如仍属未定式，可以继续使用．使用中应注意结合运用其他求极限的方法，如等价无穷小替换，作恒等变形或适当的变量代换等，以简化运算过程．此外，还应注意到洛比达法则的条件是充分的，并非必要．如果所求极限不满足其条件时，则应考虑改用其它求极限的方法．例4 极限xx xx x sin sin lim-+∞→存在吗?能否用洛比达法则求其极限?解 1s i n 11s i n 11lim sin sin lim =-+=-+∞→∞→x xxx x x x x x x ，即极限存在．但不能用洛比达法则求出其极限．因为x x x x x sin sin lim-+∞→尽管是∞∞型，可是若对分子分母分别求导后得x xcos 1cos 1-+，由于xxx cos 1cos 1lim-+∞→不存在，故不能使用洛比达法则．§4.3 泰勒公式对于一些复杂函数，为了便于研究，我们往往希望用一些简单函数来近似表示，而多项式是各类函数中最简单的一种．因此用多项式近似表达函数是近似计算和理论分析中的一个重要内容．先讨论函数)(x f 本身就是一个多项式的情形．设n n x x a x x a x x a a x f )()()()(0202010-++-+-+= ．逐次求导得10021)()(2)(--++-+='n n x x na x x a a x f ， 20031)()1()(!3!2)(---++-+=''n n x x a n n x x a a x f ， ……n n a n x f !)(=．由此推出n n a n x f a x a x f a x f !)( ,,2!)(f ,)( ,)(0)(201000==''='= ，或!)( ,,2!)( ),( ),(0)(020100n x f a x f a x f a x f a n n =''='== ．于是有n n x x n x f x x x f x x x f x f x f )(!)()(!2)())(()()(00)(200000-++-''+-'+= ．对于任意一个函数)(x f 来说，如果它存在直到n 阶的导数，则按照它的导数总可以写出相应于上式右边的形式，它与函数)(x f 之间有什么关系呢？定理4.3.1 (泰勒定理) 若)(x f 在含有0x 的某开区间),(b a 内具有直到1+n 阶的导数，则对任意),(b a x ∈，至少存在一点ξ介于0x 与x 之间，使得)(!2)())(()()(200000+-''+-'+=x x x f x x x f x f x f 10)1(00)()()!1()()(!)(++-++-+n n nn x x n f x x n x f ξ． (3.1)证 取定),(b a x ∈，作辅助函数])(!)(...)(!2)())(()([)()()(2n n t x n t f t x t f t x t f t f x f t F -++-''+-'+-=及1)()(+-=n t x t G ．由假设知)(t F 在),(b a 内可导，且n n t x n t f t F )(!)()()1(--='+．又n t x n t G ))(1()(-+-='，当x t ≠时0)(≠'t G ．于是对任意),(b a x ∈，若0x x =，则取0x =ξ，（3.1）式成立．若0x x ≠，则对函数)(t F 及)(t G 在以0x 与x 为端点的区间上应用柯西中值定理可得)!1()()()()()()()()1(00+=''=--+n f x G F x G x G x F x F n ξξ， (3.2) 其中ξ介于0x 与x 之间．由于0)()(==x G x F ，])(!)()(!2)())(()([)()(002000000n n x x n x f x x x f x x x f x f x f x F -++-''+-'+-= ，100)()(+-=n x x x G ，把它们代入(3.2)整理后即得(3.1)式．(3.1)式称为)(x f 的泰勒公式，其中10)1()()!1()()(++-+=n n n x x n f x R ξ称为拉格朗日型余项．当0=n 时泰勒公式就成为拉格朗日公式．因此也可以说泰勒定理是含有高阶导数的中值定理．我们还可以应用洛比达法则来证明比定理 4.3.1对)(x f 的要求稍弱一些的泰勒公式．定理4.3.2 若)(x f 在0x 的某邻域)(0x U 内具有1-n 阶导数，且)(0)(x f n 存在，则)(!2)())(()()(200000+-''+-'+=x x x f x x x f x f x f ))((o )(!)(000)(n n n x x x x n x f -+-+， (3.3)其中)(0x U x ∈．证 令],)(!)())(()([)()(00)(000n n x x n x f x x x f x f x f x F -++-'+-=n x x x G )()(0-=．当 )(0x U x ∈时应用洛比达法则1-n 次，并注意到)(0)(x f n 存在，可得)()(lim )()(lim )1()1(00x G x F x G x F n n x x x x --→→= )(!))(()()(lim 000)(0)1()1(0x x n x x x f x f x f n n n x x ----=--→0)]()()([lim !10)(00)1()1(0=---=--→x f x x x f x f n n n n x x ．所以当)(0x U x ∈时)( ))((o )(0x x x G x F →=， 从而公式(3.3)成立．公式(3.3)中泰勒公式余项))(()(0n n x x o x R -=称为皮亚诺型余项． 泰勒公式(3.1)或(3.3)在00=x 时称为麦克劳林公式，即)(!)0(!2)0()0()0()()(2x R x n f x f x f f x f n nn +++''+'+= (3.4)其中)10( )!1()()(1)1(<<+=++θθn n n x n x f x R 或)(o )(n n x x R =．例1 求指数函数x e 的麦克劳林公式．解 设)(x f x e =，则x n e x f =)()(，),2 ,1 ,0(1)0()( ==n f n ． 代入公式(3.4)即得x e 的麦克劳林公式)(!!212x R n x x x e n nx+++++= ， 其中)10( )!1()(1<<+=+θθn xn x n e x R 或)(o )(n n x x R =．例2 求x sin 和x cos 的麦克劳林公式． 解 设x x f sin )(=，则 )2s i n ()()(πn x x f n +=， ),2,1,0(,12 )1( ,2,02sin)0()( =⎩⎨⎧+=-===k k n k n n f kn π． 所以x sin 的麦克劳林公式是)(o )!12()1(!3sin 12123++++-++-=k k kx k x x x x ．类似可求出)(o )!2()1(!21cos 222k k k x k x x x +-++-= ． 例3 求)1ln(x +的麦克劳林公式． 解 设)1ln()(x x f +=，则0)0(=f ，11)()1()!1()1()(+-+--=n n n x n x f ， ),2,1( )!1()1()0(1)( =--=-n n f n n ．所以)1ln(x +的麦克劳林公式是)(o )1(2)1l n (12n nn x nx x x x +-++-=+- ． 例4 写出μ)1(x +的麦克劳林公式． 解 设μ)1()(x x f +=，则1)0(=f ，n n x n x f -++--=μμμμ)1)(1()1()()( ， ),2,1( ),1()1()0()( =+--=n n f n μμμ．所以μ)1(x +的麦克劳林公式是)(o !)1()1(!2)1( 1)1(2n n x x n n x x x ++--++-+++=+μμμμμμμ ．上面几个初等函数的麦克劳林公式，在作近似计算或求极限时常常会用到它们． 例5 求下列极限：(1) ;sin cos 1lim 320x x x x -→ (2) ;)1ln()6(sin 6lim 696330x x x x x x +-+→ (3) ]1)2[(lim 6123x e xx x x x +-+-+∞→．解 (1) )](o [)](o !2)(1[1lim sin cos 1lim 34220320x x x x x x x x x x ++--=-→→ 21)o()o(2lim 44440=++=→x x x x x ．(2) 原式)](o [6])o(!5!3[6lim 669391515930x x x x x x x x x x +-+++-=→ 201)o()o(201lim 151515150=++=→x x x x x ．(3) 令u x=1，则 原式])11()2111[(lim 216230ue u u u u u +-+-=+→])1()211[(1lim 216230u e u u u u u +-+-=+→⎭⎬⎫⎩⎨⎧++-+++++-=+→)](o 211[)](o 621)[211(1lim66332230u u u u u u u u u x 61u )o (u 61l i m 3330=+=+→u x ． 例6 设)(0x f ''存在，证明 )()(2)()(lim020000x f hx f h x f h x f h ''=--++→． 证 )(o !2)()()()(220000h h x f h x f x f h x f +''+'+=+, )(o !2)()()()(220000h h x f h x f x f h x f +''+'-=-． 所以20000)(2)()(l i m h x f h x f h x f h --++→)()(o )(l i m 022200x f hh h h x f h ''=++''=→§4.4 函数的单调性与极值1. 函数单调性判别法单调函数是一个重要的函数类．本节将讨论单调函数与其导函数之间的关系， 从而提供一种判别函数单调性的方法．§4.1的例4已给出函数)(x f 在],[b a 上严格单调的充分条件，其实我们有更一般的结论．定理4.4.1 设)(x f 在],[b a 上连续，在),(b a 内可导，则)(x f 在],[b a 上严格单增（严格单减）的充要条件是在),(b a 内0)(≥'x f （或0)(≤'x f ），且在),(b a 内任何子区间上0)(≡'x f ．证 必要性 设)(x f 在],[b a 上严格单增，对任意),(b a x ∈，当x ∆充分小时，仍有),(b a x x ∈∆+，由于)(x f 在],[b a 上严格单增，所以总有0)()(>∆-∆+xx f x x f ．令0→∆x ，由极限的不等式性质得),( ,0)(b a x x f ∈≥'．这里等号不能在),(b a 内任何子区间上成立．因此如果不然，则由§4.1的例3推知)(x f 在这子区间上等于某一常数，这与)(x f 在],[b a 上严格单增的假设相矛盾．充分性 设在),(b a 内0)(≥'x f 且在),(b a 内任何子区间上0)(≡'x f ．任取],[,21b a x x ∈，且21x x <，对)(x f 在],[b a 上应用拉格朗日中值定理可得211212 , ))(()()(x x x x f x f x f <<-'=-ξξ． 由于0 , 0)(12>-≥'x x f ξ，故推出)()(12x f x f ≥，但这里等号也不能成立，因为如果出现)()(12x f x f =，则按上面所得结论，对任意),(21x x x ∈应有)()()(21x f x f x f ≤≤，因此)(x f 在],[21x x 上是一常数，从而在),(21x x 内0)(≡'x f ，与假设相矛盾．所以)(x f 在],[b a 上严格单增．类似可证)(x f 在],[b a 上严格单减的情形．不难看出定理中的闭区间可以换成其他各种区间，相应的结论亦成立． 例1 判定函数)2x (0 cos )(π≤≤+=x x x f 的单调性． 解 )(x f 在]2,0[π上连续，在)2,0(π内可导：,0s i n1)(≥-='x x f 且等号仅当2π=x 时成立．所以由定理4.4.1推知 cos )(x x x f +=在]2,0[π上严格单增．我们还可以利用函数的单调性证明不等式．例2 证明：当1>x 时，xx 132->． 证 令xx x f 132)(+-=，则)(x f 在) ,1[∞+上连续，在) ,1(∞+内可导，且 011)(2>-='x x x f ，故)(x f 在) ,1[∞+上严格单增，从而对任意1>x ，都有0)1(132)(=>+-=f x x x f ．即当1>x 时，xx 132->． 作为练习我们容易证明下述定理．定理4.4.2 设)(x f 在],[b a 上连续，在),(b a 内可导，则)(x f 在],[b a 上单增(单减)的充要条件是0)(≥'x f (或0)(≤'x f )． 2. 函数的极值由费马定理我们知道，可导函数的极值点一定是它的驻点．但是反过来却不一定． 例如0=x 是函数3x y =的驻点，可它并不是极值点，因为3x y =是一个严格单增函数． 所以0)(0='x f 只是可导函数)(x f 在0x 取得极值的必要条件，并非充分条件．另外，对于导数不存在的点，函数也可能取得极值．例如 x y =，它在0=x 处导数不存在，但在该点却取得极小值0．综上所论，我们只须从函数的驻点或导数不存在的点中去寻求函数的极值点，进而求出函数的极值．定理 4.4.3（极值的第一充分条件） 设)(x f 在0x 连续，且在0x 的去心δ邻域),(0δοx U 内可导．(1) 若当),(00x x x δ-∈时0)(>'x f ，当),(00δ+∈x x x 时0)(<'x f ，则)(x f 在0x 取得极大值；(2) 若当),(00x x x δ-∈时0)(<'x f ，当),(00δ+∈x x x 时0)(>'x f ，则)(x f 在0x 取得极小值；(3) 若对一切),(0δοx U x ∈都有0)(>'x f (或0)(<'x f )，则)(x f 在0x 不取极值． 证 (1)按假设及函数单调性判别法可知，)(x f 在],[00x x δ-上严格单增，在],[00δ+x x 上严格单减，故对任意),(0δοx U x ∈，总有)()(0x f x f <． 所以)(x f 在0x 取得极大值．(2)、(3)两种情况可以类似证明．例3 求32 )52(x x y -=的极值点与极值．解 32353252 )52(x x x x y -=-=在),(+∞-∞内连续，当0≠x 时，有331321310310310xx x x y -=-='． 令0='y 得驻点1=x ．当0=x 时，函数的导数不存在．列表讨论如下(表中↗表示单增，↘表示单减)：故得函数)(x f 的极大值点0=x ，极大值0)0(=f ；极小值点1=x ，极小值3)1(-=f ．顺便指出，我们也可以利用函数的驻点及导数不存在的点来确定函数的单调区间．例如上例中函数32 )52(x x y -=的单增区间为]0,(-∞及),1[+∞；单减区间为]1,0[．当函数)(x f 二阶可导时，我们也往往利用二阶导数的符号来判断)(x f 的驻点是否为极值点．定理 4.4.4(极值的第二充分条件) 设)(x f 在0x 二阶可导，且0)(,0)(00≠''='x f x f ．(1) 若0)(0<''x f ，则)(x f 在0x 取得极大值； (2) 若0)(0>''x f ，则)(x f 在0x 取得极小值． 证 (1) 由于,0)()(lim)(0000<-'-'=''→x x x f x f x f x x及,0)(0='x f 故有 0)(l i m 00<-'→x x x f x x ．根据极限的局部保号性可知，存在0>δ，使得当),(0δοx U x ∈时有0)(0<-'x x x f ， 于是当),(00x x x δ-∈时0)(>'x f ，而当),(00δ+∈x x x 时0)(<'x f ，所以由极值的第一充分条件推知)(x f 在0x 取得极大值．(2) 的情形可以类似证明．例 4 试问a 为何值时，函数x x a x f 3sin 31sin )(+=在3π=x 处取得极值？它是极大值还是极小值？求此极值．解 x xa x f 3c o s c o s )(+='． 由假设知0)3(='πf ，从而有012=-a，即2=a ．又当2=a 时，x x x f 3sin 3sin 2)(--=''，且03)3(<-=''πf ，所以x x x f 3sin 31sin 2)(+=在3π=x 处取得极大值，且极大值3)3(=πf ．3. 函数的最大值与最小值及其应用问题根据闭区间上连续函数的性质，若函数)(x f 在],[b a 上连续，则)(x f 在],[b a 上必取得最大值和最小值．本段将讨论这样求出函数的最大值和最小值．对于可导函数来说，若)(x f 在区间I 内的一点0x 取得最大(小)值，则在0x 不仅有,0)(0='x f 即0x 是)(x f 的驻点，而且0x 为)(x f 的极值点．一般而言，最大(小)值还可能在区间端点或不可导点上取得．因此，若)(x f 在I 上至多有有限个驻点及不可导点，为了避免对极值的考察，可直接比较这三种点的函数值即可求得最大值和最小值．例5 求函数593)(23+--=x x x x f 在]4,2[-上的最大值与最小值．解 )(x f 在]4,2[-上连续，故必存在最大值与最小值．令 0)3)(1(3963)(2=-+=--='x x x x x f ， 得驻点1-=x 和3=x ，因为,15)4( ,3)2( ,22)3( ,10)1(==--==-f f f f 所以)(x f 在1-=x 取得最大值10，在3=x 取得极小值22- ．在求最大(小)值的问题中，值得指出的是下述特殊情形：设)(x f 在某区间I 上连续，在I 内可导，且有唯一的驻点0x ．如果0x 还是)(x f 的极值点，则由函数单调性判别法推知，当)(0x f 是极大值时，)(0x f 就是)(x f 在I 上的最大值；当)(0x f 是极小值时，)(0x f 就是)(x f 在I 上的最小值．例6 求数列{}n n 的最大项． 解 设),0( )(1>=x x x f x则 210ln 1)(xxx x f x-⋅='． 令,0)(='x f 得e x =．当),0(e x ∈时,0)(>'x f 当),(+∞∈e x 时,0)(<'x f 所以)(x f 在e x =时取得极大值．由于e x =是唯一的驻点，故ee ef 1)(=为)(x f 在),0(+∞内的最大值．直接比较2与33有332<，从而推知33是数列{}n n 的最大项．如果遇到实际生活中的最大值或最小值问题，则首先应建立起目标函数(即欲求其最值的那个函数)，并确定其定义区间，将它转化为函数的最值问题．特别地，如果所考虑的实际问题存在最大值(或最小值)，并且所建立的目标函数)(x f 有唯一的驻点0x ，则)(0x f 必为所求的最大值(或最小值)．例7 从半径为R 的圆铁片上截下中心角为ϕ的扇形卷成一圆锥形漏斗，问ϕ取多大时做成的漏斗的容积最大？解 设所做漏斗的顶半径为r ，高为h ，则 22 ,2h R r R r -==ϕπ． 漏斗的容积V 为R h h R h h r V <<-==0 ),(3131222ππ．由于h 由中心角ϕ唯一确定，故将问题转化为先求函数)(h V V =在),0(R 上最大值．令03122=-='h R V ππ，得唯一驻点3Rh =．从而ππϕ6322322=-==R h h R R． 因此根据问题的实际意义可知πϕ632=时能使漏斗的容积最大．§4.5 函数图形的讨论在讨论函数图形之前先研究曲线的几种特性． １. 曲线的凸性§4.4对函数的单调性、极值、最大值与最小值进行了讨论，使我们知道了函数变化的大致情况．但这还不够，因为同属单增的两个可导函数的图形，虽然从左到右曲线都在上升，但它们的弯曲方向却可以不同．如图4—4中的曲线为向下凸，而图4—5 图 4—4 图 4—5定义4.5.1 设)(x f y =在),(b a 内可导，若曲线)(x f y =位于其每点处切线的上方，则称它为在),(b a 内下凸(或上凹)；若曲线)(x f y =位于其每点处切线的下方，则称它在),(b a 内上凸(或下凹)．相应地，也称函数)(x f y =分别为),(b a 内的下凸函数和上凸函数(通常把下凸函数称为凸函数)．从图4—4和图4—5明显看出，下凸曲线的斜率)(tan x f '=α(其中α为切线的倾角)随着x 的增大而增大，即)(x f '为单增函数；上凸曲线斜率)(x f '随着x 的增大而减小，也就是说，)(x f '为单减函数．但)(x f '的单调性可由二阶导数)(x f ''来判定，因此有下述定理．定理4.5.1 若)(x f 在),(b a 内二阶可导，则曲线)(x f y =在),(b a 内下凸(上凸)的充要条件是0)(≥''x f (0)(≤''x f ) ，),(b a x ∈．定理4.5.1中所指的曲线)(x f y =在),(b a 内下凸(或上凹)，包括出现这样的情形， 即曲线可能在),(b a 内某个小区间上为直线段，如果把这种情形排除在外，即规定除切点外，曲线上纵坐标的值总大（或小）于切线上相应纵坐标的值，这时我们就说曲线是严格下凸(或严格上凸)．对于这种严格凸性来说，定理4.5.1的充要条件中，除指出0)(≥''x f (0≤)，),(b a x ∈之外，还必须增加要求：在),(b a 内的任何子区间上0)(≡''x f ．例1 讨论高斯曲线2x e y -=的凸性． 解 22x xe y --='，2)12(22x e x y --=''．所以 当0122>-x ，即当21>x 或21-<x 时0>''y ；当0122<-x ，即当2121<<-x 时0<''y ．因此在区间)21,(--∞与),21(+∞内曲线下凸；在区间)21,21(-内曲线上凸．2. 拐点定义4.5.2 曲线上的下凸与上凸部分的分界点称为该曲线的拐点． 根据例1的讨论即知，点)1,21(e -与)1,21(e都是高斯曲线2x e y -=的拐点．我们从定义4.5.1及其说明部分已经看出利用二阶导数研究曲线的凸性与利用一 阶导数研究函数的单调性，两者有相对应的结果．其实曲线的拐点同样有类似于函数极值点的性质，也是利用更高一阶导数而得出的．定理 4.5.2（拐点的必要条件） 若)(x f 在0x 某邻域),(0δx U 内二阶可导，且) )( (0,0x f x 为曲线)(x f y =的拐点，则0)(0=''x f ．证 不妨设曲线)(x f y =在),(00x x δ-下凸，而在),(00δ+x x 上凸，由定理4.5.1可知，在),(00x x δ-内0)(≥''x f ，而在),(00δ+x x 内0)(≤''x f ．于是对任意),(0δοx U x ∈，总有0)()(0≤'-'x f x f ，因此0)()(lim )(0000≥-'-'=''-→-x x x f x f x f x x ，0)()(lim )(0000≤-'-'=''+→+x x x f x f x f x x由于)(x f 在0x 二阶可导，所以0)(0=''x f ．但条件0)(0=''x f 并非是充分的，例如4x y =，有0122≥=''x y ，且等号仅当0=x 成立，因此曲线4x y =在),(+∞-∞内下凸．即是说，虽然00=''=x y ，但)0,0(不是该曲线的拐点．下面是判别拐点的两个充分条件．定理 4.5.3 设)(x f 在0x 某邻域内二阶可导，0)(0=''x f ．若)(x f ''在0x 的左、右两侧分别有确定的符号，并且符号相反，则))(,(00x f x 是曲线的拐点，若符号相同，则))(,(00x f x 不是拐点．定理4.5.4 设)(x f 在0x 三阶可导，且0)(0=''x f ，0)(0≠'''x f ，则))(,(00x f x 是曲线)(x f y =的拐点．定理4.5.3的证明由定理4.5.1及拐点的定义立刻得出．定理4.5.4的证明与定理4.4.4相类似，我们把它作为练习．此外对于)(x f 的二阶不可导点0x ，))(,(00x f x 也有可能是曲线)(x f y =的拐点． 例2 求曲线31x y =的拐点．解 31x y =在),(+∞-∞内连续．当0≠x 时，353292 ,31---=''='x y x y ；当0=x 时，0=y ，y y ''',不存在．由于在)0,(-∞内0>''y ，在),0(+∞内0<''y ，因此曲线31x y =在)0,(-∞内下凸，在),0(+∞内上凸．按拐点的定义可知点)0,0(是曲线的拐点．综上所述，寻求曲线)(x f y =的拐点，只需先找到使得0)(0=''x f 的点及二阶不可导点，然后再按定理4.5.3或4.5.4去判定．3. 渐近线当函数)(x f y =的定义域或值域含有无穷区间时，要在有限的平面上作出它的图形就必须指出x 趋于无穷时或y 趋于无穷时曲线的趋势，因此有必要讨论)(x f y =的渐近线．定义4.5.3 设)(x f y =的定义域含有无穷区间),(+∞a ，若0])([l i m=--+∞→b kx x f x ， (5.1) 则称b kx y +=是)(x f y =在+∞→x 时的斜渐近线，当0=k 时，b y =为)(x f 的水平渐近线．若))(lim ( )(lim 0∞=∞=-+→→x f x f x x x x 或， 则称0x x =为)(x f y =的垂直渐近线．类似地可以定义-∞→x 时的斜渐近线． 注意到(5.1)式与b kx x f x =-+∞→])([lim (5.2)显然是等价的，而(5.2)又等价于0)(l i m, )()(=+=-+∞→x x b kx x f x αα． 由此推出xx b k x x f )()(α++=． 上式中令+∞→x ，取极限便得k xx f x =+∞→)(lim． (5.3) 因此，渐近线的斜率k 和截距b 可以分别由(5.3)和(5.2)依次求得．例3 求下列曲线的渐近线(1) 12+-=x x y ； (2) xx y )1ln(+=． 解 (1) 12+-=x x y 的定义域为),(+∞-∞，且11l i m 2=+-+∞→x x x x ，11lim 2-=+--∞→xx x x ，21)1(lim 2-=-+-+∞→x x x x , 21)1(lim 2=++--∞→x x x x ． 所以12+-=x x y 在+∞→x 时有斜渐近线21-=x y ，在-∞→x 时有斜渐近线21+-=x y ．(2) xx y )1ln(+=的定义域是),0()0,1(+∞- ．由于0)1l n (lim =++∞→x x x ，+∞=++-→xx x )1ln(lim 1，所以xx y )1ln(+=有水平渐近线0=y 和垂直渐近线1-=x ． 4. 函数作图函数作图的一般步骤是：(1) 确定函数的定义域，考察函数的奇偶性与周期性；(2) 确定函数的单调区间、极值点、上(下)凸区间以及拐点(列表讨论)； (3) 考察渐近线；(4) 确定函数的某些特殊点，如与两坐标轴的交点等； (5) 根据上述讨论结果画出函数的图形．例4 作函数23)1(22--=x x y 的图形．解 函数的定义域为),1()1,(+∞-∞ ．432)1()2(3 ,)1(2)1()2(--=''-+-='x x y x x x y ． 令0='y ，得1 ,2-==x x ；令0=''y ，得2=x ．列表讨论如下： 8-)3,2(由于21)1(22lim lim 23=--=∞→∞→x x x x y x x ， 1]21)1(22[lim 23=---∞→x x x x ， 故121+=x y 是曲线的斜渐近线．又因为 -∞=--→231)1(22lim x x x ，所以1=x 是曲线的垂直渐近线。
