11-12高数-B2-补考答案(中德学院)

高数期末试题B 参考答案及评分标准一、判断题二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）（6） 2 （7）x z y 522=+（8） －1 （9）9122≤+<y x （10）2ln 162（11） 6 （12）yPx Q ∂∂=∂∂ （13） 右手 （14）⎰20)2sin(21πdt t （15） 偶（16）求曲面42222=++z y x 在点(1,1,1)处的切平面方程，并求过原点与该切平面垂直的直线方程。

()())2(112)3(042111)2()2,2,4(|),,(11142),,()1,1,1(222分直的直线方程为：通过原点与该切平面垂分点处的切平面方程为，，曲面在分点处的法向量，，则曲面在解：记 zy x z y x F F F z y x z y x F z y x ===-++∴==-++=（17）设函数),(y x z z =由方程23222320x z y z x y +-+=所确定，求全微分dz 。

)1(43344322)3(4334)3(43222),,(222222223222222223322232分分分则解：记 dy zy z x y yz dx z y z x x xz dz zy z x y yz F F y z zy z x xxz F F x z y x z y z x z y x F z y z x ++-+--=∴++-=-=∂∂+--=-=∂∂+-+=（18）计算Ω⎰⎰⎰，其中Ω是由0,1z z ==和222x y x +=围成的区域。

)1(9163238cos 38cos 34)1(21)2(21)1(21)2()1)1(D (203223cos 202222221222212222分分分分分：其中解： =⋅=====+=+=≤+-+=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰--Ωπππθππθθθθρρθθρρd d d d d d dxdy y x zdz dxdy y x y x dz y x z dxdy dv y x z DDDD（19）计算,)536()24(L⎰+++-+dy y x dx y x 其中L 为三角形(3,0)，(3,2),(0,0)的正向边界。

华南农业大学期末考试试卷（A 卷）2009学年第2学期 考试科目： 高等数学B Ⅱ 考试类型：（闭卷）考试 考试时间：120分钟学号 姓名 年级专业一、 填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）1. 试定义函数在点的值的 ，使得函数在该点连续。

2．函数在点处可微分的必要条件是函数在该点处连续或可偏导；充分条件是函数的偏导数在该点处连续。

3．设函数在闭区域上连续，且，则。

4. 判断敛散性：已知且，则是收敛的。

5. 已知某二阶常系数非齐次线性微分方程的通解为，则该微分方程为。

二、选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 1. 直线与平面的交点是（B ）。

（A ）（9，2，-3）。

（B ）（2，9，11）。

（C ）（2，11，13）。

（D ）（11，9，2）。

2. 若级数在处收敛，则此级数在处（A ）。

（A ）绝对收敛。

（B ）条件收敛。

（C ）发散。

（D ）收敛性不能确定。

3．二元函数 在点处 （C ）（A ）连续，偏导数存在。

（B ）连续，偏导数不存在。

（C ）不连续，偏导数存在。

（D ）不连续，偏导数不存在。

4. 设是连续的奇函数，是连续的偶函数， ，则以下结论正确的是（ A ）。

（A ） 。

（B ） 。

（C ） 。

（A ） 。

5. 微分方程的一个特解应具有形式（A,B,C 是待定常数）（ B ）。

（A ）。

（B ）。

（C ）。

（D ）。

三、计算题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） （1）设，其中和具有连续导数，求。

【解】（2）求由方程所确定的函数的全微分。

【解】方程两边求微分得 整理得（3）交换积分次序。

【解】（4）求差分方程在给定初始条件下的特解。

【解】特征方程为，所以对应的齐次方程的通解为。

又不是特征根，故可令特解为，代入原方程，得比较系数可得，，故非齐次方程的一个特解为，于是非齐次方程的通解为，由所给初始条件，可得，所以方程满足给定初始条件下的特解为。

高等数学B2分题型练习(参考答案) 一、单顶选择题1、 ()C2、()D3、()C4、()C5、()C6、()D7、 ()B8、()B9、()B10、()C 11、()D 12、()A 13、()A 14、()D 15、()D 16、()A 17、()B 18、()B19、()B 20、()C 21、()C 22、()C 23、()D 24、()C 25、()D 26、()A 27、()B28、()A 29、()A 30、()D 31、()D 32、()B 33、()A 34、()B 35、()C 36、()A二、填空题1、02、03、 04、05、12 6、12 7、0 8、2dx dy + 9、12dx dy + 10、0 11、0 12、222()xdx ydy x y ++ 13、1arccos 00(,)y dy f x y dx ⎰⎰14、12arcsin (,)ydy f x y dx π⎰⎰15、110(,)dx f x y dy ⎰ 16、210(,)xxdx f x y dy ⎰⎰17、1618、S 19、0a > 20、12p <≤ 21、( 22、2 23、[1,1)- 24、(2,4)- 25、0(1),(1,1)n nn x x ∞=-∈-∑ 26、0!n n x n ∞=∑ 27、210(1),(,)(21)!n n n x x n +∞=-∈-∞∞+∑ 28、110- 29、xe - 30、2x y e = 31、2± 32、312x x y C e C e -=+ 33、312y x C x C =++34、Cy x= 35、5212415y x C x C =++三、计算定积分1、求定积分cos 2sin x e xdx π⎰解：cos cos cos 222sin cos |1xx x exdx ed x ee πππ=-=-=-⎰⎰2、求定积分cos x xdx π⎰解：cos (sin )x xdx xd x ππ=⎰⎰00sin |sin x x xdxππ=-⎰0cos |2x π==- 3、求定积分220124xdx x ++⎰ 4、求定积分 21ln x xdx ⎰解：2222220001212444x x dx dx dx x x x +=++++⎰⎰⎰ 解：22211ln ln ()2x x xdx xd =⎰⎰ 222001arctan |ln(4)|22x x =++ 22211ln |22x x x dx =-⎰ ln 28π=+ 22132ln 2|2ln 244x =-=-5、求定积分2222dxx x -++⎰ 解：00022222(1)arctan(1)|()221(1)442dx d x x x x x πππ---+==+=--=++++⎰⎰ 6、求定积分解：令sin x t =，则cos dx tdt =，且当x =时，4t π=；1x =时，2π=t 。

《高等数学(Ⅱ)》B 类练习题答案一、单项选择题1—5：CCCCC 6—10：BBCCA 11—15：AAABD二、填空题1、xy e yz x z z -=∂∂ ，xy e xz y z z -=∂∂ ；2、yzxy z y z z x z x z 2+=∂∂+=∂∂， ； 3、）（）（，）（）（xyz xysin 1xyz xzsin 1y z xyz xysin 1xyz yzsin 1x z -+=∂∂-+=∂∂ ； 4、dz x ylnx dy x zlnx dx yz.x du yz yz 1yz ⋅⋅+⋅⋅+=- ； 5、dy -dx dz -= ； 6、dy 12dx 41-2dz +-=），（ 7、()⎰⎰313ydx y x f dy ， ； 8、⎰⎰y-2y10dx y x f dy），（ ；9、⎰⎰2x x1dy y x f dx ），（ ； 10、）（）（2yx 121e 1y +=+- ； 11、1x y 22+= ； 12、1y x 5y 325=-；三、判断题1--5：对 对 对 错 错 6—10：对 对 错 对 对 11—15：对 错 对 对 对四、计算题1、求下列函数的偏导数（1）、22232232()2 (2) (3)()2(2)(6)xy xy xy xy xy xy ze y x y e x xe yx y x ze x x y e y ye x xy y ∂=⋅⋅++⋅∂=++∂=⋅⋅++⋅∂=++分分（2）、(3)(6)x y x y x y x y x y x y z e e x e z e e y e ++++++∂=∂=∂=∂=分分（3）、222222222222222222212ln(12[ln()](3)2ln(2ln( (6)z x xx y x y y x y x x y y x y z x x y x y y y y x y x x x y x y y ∂=⋅+⋅∂+=++∂=-⋅+⋅∂+=-++)+)+分)+)分（4）22222212ln ()2ln(3)12ln(6)x y y z x x y x x y x yx x xy z y x y x y '=⋅+⋅-+=-'=⋅+⋅+（）分+（）分（5）22221[sin()]2 (3)1[sin()]22 (6)x y z x y z x y y'=-+='=-+⋅=分分（6）22221cos()22(3)1cos()2(6)xyz x y xz x y'=+⋅='=+=分分（7）2222221ln1(ln) (3)12ln1(2ln) (6) x y x yxx yx y x yyx yz e xy exe xyxz e xy eye xyy++++++'=⋅+⋅=+'=⋅⋅+⋅=+分分（8）22222222222222222ln()2[ln()] (3)2ln()2[ln()] (6) xy xyxxyxy xyyxyxz e y x y ex yxe y x yx yyz e x x y ex yye x x yx y'=⋅⋅++⋅+=+++'=⋅⋅++⋅+=+++分分（9）sin 2cos 22 22cos 2)(3)sin 2cos 22 22cos 2) (6x y z xy xy yxy y xy z xy xy xxy x xy '=+⋅=+'=+⋅⋅=+分)分（10）2222222222222222sin()cos()2 [sin()2cos()] (3)sin()cos()2 [sin()2cos()](xy xy x xy xy xy y xy z e y x y e x y x e y x y x x y z e x x y e x y y e x x y y x y '=⋅⋅++⋅+⋅=+++'=⋅⋅++⋅+⋅=+++分6)分2、求下列函数的全微分 （1）222222222222222 (2(3)2 (2(5)(2x y x y x y x y x y xy xy z e x e y x ez ey e x ye dz e +++++++∂=⋅∂=∂=⋅∂=∴=分分22(2(6)x y dx e dy ++分（2）2222222222242233()2 (2)(3)2()2 2()(5)xy xy xy xy x xy xy ze y x y e x xe x y y x z e xy x y e y ye x y xy y dz e ∂=⋅⋅++⋅∂=++∂=⋅⋅++⋅∂=++∴=分分2222433(2)2()(6)y xy x y y x dx e x y xy y dy +++++分（3）2221ln (1ln )(3)11 ln ()1 (ln 1)(5)1(1ln )(ln 1)z y x y x x y x xy xx y z x y y x y x yxx y y x xdz dx dy x y x y ∂=-⋅⋅∂=-∂=⋅⋅-∂=-∴=-+-+分+分(6)分（4）22211ln ()1 (ln 1)(3)1 ln (1ln )(5)1(ln 1)(1ln)z y x x y x y xyyx z x y xy y x y yx yy x y x ydz dx dy yx y x ∂=⋅⋅-∂=-∂=-⋅⋅∂=-∴=-+-+分+分(6)分（5）sin (3)sin 2(5)2)x y z z ydz dx ydy '=-='=-==+分分(6)分（6）2(3)(5)) (6) xyz xzdz xdx dy'=='===+分分分（7）1ln1) (3)1ln()1) (5)1)xyxzy xxy xxzy yxy yx xdz dxy x'=+⋅=+'=+⋅-=-=++分分1)(6)dyy y-分（8）221ln1(ln(3)()ln(5)1(x xy yxxyx xy yyxyx xy yz e eyeyxz e eyxeydz e dx ey'=⋅⋅='=⋅-⋅==+分分2ln(6xdyy-分（9）22221sin + cos ()(3)1(sin cos )1()sin + cos1(cos sin )(5)x xyy x x yx xyy y x yy y yz e e y x x x y y ye y x x xx y y z e e y x x x y x ye x x y xd '=⋅⋅⋅⋅-=-'=⋅-⋅⋅⋅=⋅-分分2211(sin cos )(cos sin )(6)x xyy y y y y x yz e dx e dy y x x x x x y x=-+⋅-分（10）3、计算下列二重积分 （1）解：D 的图形(略)，{}x y x x y x D ≤≤≤≤=2,10),(……2分⎰⎰⎰⎰--=--=xx D dy y x dx dxdy y x I 2)2(21)2(2110……2分⎰++-=1432)412147(x x x x 12011=……2分 （2）解： D 的图形为: (略){}x y x x y x D ≤≤≤≤=2,10),(……2分⎰⎰⎰⎰==xx Dxydy dx xydxdy I 21……2分⎰-=153)(21dx x x ……1分241=……1分 （3） 解：D 的图形为: (略){}1,11),(≤≤≤≤-=y x x y x D ……2分⎰⎰-=Dd y x y I σ)(22⎰⎰-=-12211)(xdy y x y dx ……2分⎰---=1122)1(41dx x 154-=……2分（4）解：D 的图形为: (略)⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤≤≤=y x y y y x D 1,21),(……2分 ⎰⎰Dd y x σ22⎰⎰=21122yydx y x dy ……2分 ⎰-=215)313(dy y y ……1分6427=……1分（5）解：⎰⎰⎰⎰-++==210222x y x D y x dy edxdxdy eI ……2分⎰-=22)(dx e e x ……2分2=……2分（6）解：⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤≤≤=20,10),(πy x y x D ……2分 ⎰⎰⎰⎰=2212sin sin πσydy x dx yd xD……2分⎰=12dx x 31=……2分 （7） 解：⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≤≤≤≤=x y x y x D 20,20),(ππ……2分⎰⎰⎰⎰-+=+xDdy y x dx d y x 22)sin()sin(ππσ……2分⎰=2cos πxdx ……1分1=……1分（8） 解：⎰⎰⎰⎰=11dx ye dy d ye xyDxyσ……2分 ⎰-=1)1(dy e y ……2分2-=e ……2分（9） 解：⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≤≤≤≤=x y x y x D 20,20),(ππ……2分⎰⎰⎰⎰-+=+xDdy y x x dx d y x x 22)sin()sin(ππσ……1分⎰⎰=+-=-2220cos )cos(πππxdx x dx y x x x……1分12-=π……2分（10） 解：{}x y x x y x D ≤≤≤≤=2,10),(……2分⎰⎰⎰⎰+=+xx Ddy y x xy dx y x xy 2)()(10……2分⎰⎰+--=+=146710322)652131()3121(2dx x x x dx xy y x x x ……1分 563=……1分4、求下列微分方程的通解（1）解：方程变形为23)(3)(1xy x y dxdy +=令x y u =，则ux y =，dxdux u dx dy +=，代入方程中得2331u u dx du x u +=+……2分 分离变量得x dxdu u u =-32213……1分两边积分得13ln ln )12ln(21C x u +=--……2分 微分方程的解为：Cx x y =-332……1分（2）解：方程变形为1)(2-=xy x y dx dy令x y u =，则ux y =，dxdux u dx dy +=，代入方程中得12-=+u u dx du x u ……2分分离变量得xdxdu u =-)11(……1分 两边积分得1ln ln C x u u +=-……2分 微分方程的解为：C xyy +=ln ……1分（3）解：方程变形为)ln 1(xy x y dx dy += 令x y u =，则ux y =，dx dux u dx dy +=，代入方程中得)ln 1(u u dxdu x u +=+……2分分离变量得xdxu u du =ln ……1分 两边积分得1ln )ln(ln C x u +=……2分 微分方程的解为：Cx e xy=……1分（4）解：方程变形为3)(1xx ydx dy +=令x y u =，则ux y =，dx dux u dx dy +=，代入方程中得31u u dx du x u +=+……2分分离变量得xdxu du u =+-43)1(……1分 两边积分得143ln ln 31C x u u+=-……2分 微分方程的解为：333yx Ce y =……1分（5）解：原方程变为：1sin 1222+-=++x x y x x dx dy ()122+=x x x p ，()1sin 2+-=x xx q()()⎰⎰+=+=1ln 1222x dx x xdx x p()()()x dx x dx e x x dx e x q x dxx p cos sin 1sin 1ln 22=-=+-=⎰⎰⎰⎰+所以 ()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎰⎰=⎰-c dx e x q e y dxx p dx x p =()()()c x x c x ex ++=++-cos 11cos 21ln 2 （c 为任意常数） （6）解：原方程变为：x x y x y 122+=-' ()x x p 2-= , ()xx x q 12+=()⎰⎰-=-=2ln 2x dx xdx x p ()()⎰⎰⎰-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎰-23ln 2211112x x dx x dx e x x dx ex q x dxx p所以()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎰⎰=⎰-c dx e x q e y dx x p dx x p =2121232ln 2-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-cx x c x x ex （c 为任意常数）（7）解：()xx p 1-= , ()x x q ln =()⎰⎰-=-=x dx x dx x p ln 1()()()()2ln ln ln 2ln x dx x x dx e x dx e x q x dx x p ===⎰⎰⎰⎰- 所以()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎰⎰=⎰-c dx e x q e y dx x p dx x p =()()⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+c x x c x e x2ln 2ln 22ln （c 为任意常数） （8）解：原方程变为：x e x y xy 32=-' ()xx p 2-= , ()x e x x q 3=()⎰⎰-=-=2ln 2x dx x dx x p()()⎰⎰⎰-===⎰-x x x x x dxx p e xe dx xe dx e e x dx e x q 2ln 3所以 ()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎰⎰=⎰-c dx e x q e y dxx p dx x p =()()c e xe x c e xe e x x x x x +-=+-2ln 2（c 为任意常数）（9）解：两边积分，得⎰+-=='12ln 2ln 2c x x x xdx y两边再积分，得()dx c x x x y ⎰+-=12ln 2212223ln c x c x x x ++-= （1c ，2c 为任意常数）（10）解：两边积分，得()11cos sin sin 1cos c x x x x c x x xd dx x x y +++=++=+='⎰⎰两边再积分，得()21212sin 2cos cos sin c x c x x x x dx c x x x x y ++++-=+++=⎰（1c ，2c 为任意常数）五、应用题1、 求下列函数的极值 （1）解： 解：⎩⎨⎧=-+==++=012012y x f y x f yx解得驻点(-1,1). ……………4分 又,2,1,2======yy xy xx f C f B f A ……………7分0032>>=-A B AC 且，故0)1,1(=-f 是极小值. ……………10分（2） 解：⎪⎩⎪⎨⎧=-==+-=01230622''y f x f y x 解得驻点(3,2)，(3, -2). ……………4分又 y f f f yy xy xx 6,0,2''''''==-= ……………6分关于驻点(3,2)有，,12,0,2==-=C B A,0242<-=-B AC 故函数在点(3,2)没有极值。

高数b2期末考试试题及答案一、选择题（每题5分，共30分）1. 设函数f(x)=x^3-3x+1，求f'(x)的值。

A. 3x^2 - 3B. x^2 - 3xC. 3x^2 - 3xD. x^3 - 3x^2答案：A2. 计算定积分∫(0,1) x^2 dx。

A. 1/3B. 1/2C. 2/3D. 1/4答案：B3. 求极限lim(x→0) (sin x) / x。

A. 1B. 0C. 2D. ∞答案：A4. 判断下列级数是否收敛。

∑(1/n^2)，n从1到∞。

A. 收敛B. 发散答案：A5. 判断函数f(x)=e^x在实数域R上的连续性。

A. 连续B. 不连续答案：A6. 求二阶偏导数f''(x,y)，其中f(x,y)=x^2y+y^2。

A. 2xyB. 2xC. 2yD. 2答案：B二、填空题（每题5分，共20分）1. 设函数f(x)=ln(x+1)，求f'(x)=______。

答案：1/(x+1)2. 计算定积分∫(0,2π) sin(x) dx=______。

答案：03. 求极限lim(x→∞) (1+1/x)^x=______。

答案：e4. 判断级数∑(1/n)，n从1到∞是否收敛，答案是______。

答案：发散三、解答题（每题10分，共50分）1. 求函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6的极值点。

答案：首先求导数f'(x)=3x^2-12x+11，令f'(x)=0，解得x=1,x=11/3。

经检验，x=1为极大值点，x=11/3为极小值点。

2. 计算定积分∫(0,1) e^x dx。

答案：∫(0,1) e^x dx = [e^x](0,1) = e^1 - e^0 = e - 1。

3. 求极限lim(x→0) (e^x - 1) / x。

答案：根据洛必达法则，lim(x→0) (e^x - 1) / x = lim(x→0) e^x = 1。

数学分析第二学期补考考试题及答案一、单项选择题（从给出的四个答案中，选出一个最恰当的答案填入括号内，每小题2分，共20分）1、 函数)(x f 在 [a,b ] 上可积的充要条件是（ ）A ∀ε>0,∃ σ>0和δ>0使得对任一分法∆，当λ（∆）<δ时，对应于ωi ≥ε的那些区间∆x i 长度之和∑∆x i < σB ∀ε>0,σ>0, δ>0使得对某一分法∆，当λ（∆）<δ时，对应于ωi ≥ε的那些区间∆x i 长度之和∑∆x i < σC ∀ε>0,∃δ>0使得对任一分法∆，当λ（∆）<δ时，对应于ωi ≥ε的那些区间∆x i 长度之和∑∆x i < εD ∀ε>0, σ>0，∃ δ>0使得对任一分法∆，当λ（∆）<δ时，对应于ωi ≥ε的那些区间∆x i 长度之和∑∆x i < σ2、函数)(x f 连续，则在[a,b ]上⎰xdt t f dxd 21)(=（ ） A )2(x f B )2(2x f C )(2x f D )()2(2x f x f - 3、=⎰-1121dx x （ ）A -2B 2C 0D 发散 4、0lim ≠∞→n n a ，则∑∞=1n na( )A 必收敛B 必发散C 必条件收敛D 敛散性不定 5、若级数∑∞=1n nb是∑∞=1n na更序级数，则（ ）A∑∞=1n na和∑∞=1n nb同敛散 B∑∞=1n nb可以发散到+∞C 若∑∞=1n na绝对收敛，∑∞=1n nb也收敛 D 若∑∞=1n na条件收敛，∑∞=1n nb也条件收敛6、)(1x an n∑∞=在[a ，b ]一致收敛，且a n (x )可导（n =1,2…），那么( ) A f （x ）在[a ，b ]可导，且∑∞==1'')()(n nx ax fB f （x ）在[a ，b ]可导，但)('x f 不一定等于∑∞=1')(n nx aC∑∞=1')(n nx a点点收敛，但不一定一致收敛D∑∞=1')(n nx a不一定点点收敛7、函数项级数)(1x an n∑∞=在D 上一致收敛的充要条件是（ ）A ∀ε>0,∃ N （ε）>0，使∀m >n> N 有ε<++)()(1x a x a m nB ∀ε>0, N>0，使∀m >n> N 有ε<++)()(1x a x a m nC ∃ε>0, ∀ N （ε）>0，使∀m >n> N 有ε<++)()(1x a x a m nD ∀ε>0,∃ N （ε）>0，使∃m >n> N 有ε<++)()(1x a x a m n 8、∑∞=-1)1(1n n x n的收敛域为（ ） A (-1,1) B (0,2] C [0,2） D [-1,1）9、重极限存在是累次极限存在的（ ）A 充分条件B 必要条件C 充分必要条件D 无关条件 10、=∂∂),(00|),(y x xy x f （ ） A x y x f y y x x f x ∆-∆+∆+→∆),(),(lim00000B x y x f y x x f x ∆-∆+→∆),(),(lim 00000C x y x x f y y x x f x ∆∆+-∆+∆+→∆),(),(lim00000D xy x x f x ∆∆+→∆),(lim 000二、计算题：（每小题6分，共30分）1、dx x x x ⎰-++11211cos sin2、计算由曲线2,0,1==+=xy y x y 和2e x =围成的面积 3、求2x e-的幂级数展开4、 已知),(),,(v u f xy y x f z +=可微，求yx z∂∂∂25、 求yx yx y x f +-=),(在（0，0）的累次极限三、判断题（每小题10分，共20分）1、 讨论∑∞=3cos ln n n π的敛散性 2、 判断∑∞=+121n nnxx 的绝对和条件收敛性 四、证明题（每小题10分，共30分）1、设f (x )是[-a ，a ]上的奇函数，证明0)(=⎰-aadx x f2、证明级数∑∞==04)!4(n nn x y 满足方程y y =)4(3、 证明S 为闭集的充分必要条件是S c是开集。

本资料仅供参考复习练手之用，无论是重修只求及格，还是为了拿优保研，复习课本上的基础知识点和例题、课后习题才是重中之重，作为一个重修过高数的学长，望大家不要舍本求末，记住这样一句话，只有当你付出了，你才可能有收获。

同济大学《高等数学》《微积分》（下）2010—2011学年第二学期重考试卷专业 学号 姓名 得分（ 注意： 解答题要求写出解题过程 ）一．填空选择题 （每小题3分，共24分）1.y y x xOy 绕平面上曲线1222=-轴旋转所得旋转曲面的方程为 122222=-+y z x ；该曲面称为 单叶双曲面____2.与向量 ()()213112-=-=,,,b a以及 都垂直的单位向量为 _()11131--±,, 3.函数 ()()dy dx dz y x z 943211121122-=+=,,点的微分在. 4.函数 ()()()x f x s x x x x x f 是若周期，且以πππ201022⎩⎨⎧≤<-+-≤<= 付里叶级数的和函数，则 ()()12212++=πππs ， ().212=πs5.Γ是空间分段光滑的有向闭曲线，Γ∑是以为边界的分片光滑有向闭曲面，且Γ∑的侧与的方向是正向联系的，则利用斯托可斯公式，曲线积分()()().dxdy z dzdx z xdydz dz xz dy y xz dx y x 223322++--=+-+-⎰⎰⎰∑Γ6.函数 ()y x f ,具有两阶连续偏导数，()00y x ,是函数的驻点，若记(),,00y x xx f A ''=()()()0020000y x f B AC f C f B y y yyy x xy,,,,,,则-=∆''=''=是极小值的充分条件 [A].,.;,.;,.;,.00000000<<∆><∆<>∆>>∆A D A C A B A A()][,,,,,,,.C k kI I z y x R z y x R z y x dv z I dv z y x I ==≥≥≥≤++Ω≤++Ω=++=⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ则若是闭区域是闭区域其中积分2122221222222222100071..;.;.;.3224168====k D k C k B k A 8.若幂级数()∑∞==+112n nn Ax x a ][项中正确的是点条件收敛，则下列选在.....是收敛点；是收敛点；是收敛点是收敛点；6D 3C 24-===-=x x x B x A二 （每小题6分，共36分）1.求经过三点(1,0,-2),(2,1,1)以及（1，3，1）的平面方程，并计算点（1，1，1） 到该平面的距离.解：平面的法向量//(1,1,3)×(1,-2,0)=3(2,1,-1)平面的方程 ()()0420212=--+=+-+-z y x z y x 或 点（1，1，1）到平面的距离 .3362==d 2.求函数 yx zey z y x ∂∂∂=-2222的二阶偏导数. 解：().2232322y x e y xy yx z --=∂∂∂ 3.求曲面()11102323,,上点=-+x z y x 处的切平面与法线方程. ().,,,3121110632321-=-=-=-++=z y x z y x n 法线方程切平面方程法向量解：()()()()()...,.πθπππ7213721313442042422222=+==+=+=-++-=Ω∑Ω=+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰Ω∑dz z rdr d I zdz z dv z I dxdy xy z yzdzdx dydz y x I z y x z r或解：计算积分的外侧边界曲面，是所围成闭区域为平面与抛物面5.判别常数项级数()∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-121n nn n ln 的收敛性，并说明是条件收敛还是绝对收敛..ln ,~,ln 级数条件收敛发散，所以级数收敛，且单调减少，解：∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⇒→⎪⎭⎫⎝⎛+=122021n n n n n n n u u n u 6.在点（2,1,1）处，求函数22z xe y u +=的梯度以及沿方向（-3,2,1）的方向导数.解：()()()().,,,,;,,,,144141234242112+=-⋅=∂∂=e e e lue e gradu 方向导数三．（8分）求函数y x y x x u 493223+-+-=的极值.解：()(),,;232104209632---=+==--=，以及驻点，y u x x u y x ()()()()()().,,,,,,;;,,不是极大值点极大值；，2302412101202411220662-321212->=∆=--<-=<-=∆-=-=∆====-==----u A x B AC u C u B x u A yy xy xx四.（10分）计算曲线积分(),⎰+++⎪⎭⎫⎝⎛++L dy y x y dx xy y x 3242121其中曲线L 是沿着上半椭圆曲线1422=+y x 从点A(1,0)到点B(-1,0)的有向曲线段.()().,,:⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰--''+-=--=---=+++⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=≤≤-='DD L L L dx x dxdy dx x dxdy xy xy dy y x y dx xy y x I x y L 11211233324232212121110π添直线段解：五.（12分）求幂级数()∑∞=+-+01112n n n x n 的收敛域以及和函数. ()()()()()()()()()()⎪⎩⎪⎨⎧=<≤----=--=-=--=-=-+=--+==⎰⎰∑∑⎰∑∞=∞=+++∞=+1223211232323212121211211122321211100111101x x x x x s x dx x dx x dx x x n x s x x n x s R x x n n n x n n n n n n ln ln ,;),[,收敛域解： 六.(10分)设()x f 具有一阶连续导数，且()0>x f ,函数2010-2011学年第二学期《高等数学》《微积分》重考试卷 ()()()()()()()()()()()()()()()()()()().lim lim lim ,sin .lim 34232222224232232002222200022202022202200022222222222222='+'+=+====+++=++++→→→→≤+≤++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰t f t t tf t f t t t f d f t f t t t f t F d f t drr r f d f t drr r f d f d t drr r f d d t F t F d y xf tdvz y xf t F t t t t tt t tt tt t y x t z y x ρρρρρρρρρππρρρθϕϕθσπππ解：求，。

高等数学b第二版教材答案第一章：函数与极限1. 基本函数与初等变换1.1 常函数1.2 恒等变换1.3 幂函数1.4 指数函数1.5 对数函数1.6 三角函数1.7 反三角函数1.8 两类特殊函数的图象2. 函数的极限与连续性2.1 函数极限的概念- 函数极限的定义- 函数极限的基本性质2.2 极限的四则运算与比较- 极限的四则运算- 极限比较的性质2.3 连续函数及其性质- 连续函数的定义- 连续函数的性质2.4 无穷小量与无穷大量- 无穷小量的概念与性质 - 无穷大量的概念与性质3. 函数的导数与微分3.1 导数的概念与性质- 导数定义- 导数的计算及性质3.2 基本初等函数的导数3.3 函数的微分3.4 隐函数与参数方程的导数 3.5 高阶导数及其应用第二章：一元函数的微分学1. 中值定理与导数的应用1.1 高阶导数与泰勒公式- 高阶导数的定义- 麦克劳林公式与泰勒公式 1.2 洛必达法则与函数的比较 1.3 弧长、曲率与曲率半径1.4 凸函数与极值问题- 函数的凸性与凹性- 可导函数的极值条件2. 积分学2.1 积分的概念与性质- 积分的定义- 积分运算的基本性质2.2 不定积分与定积分- 不定积分的概念与性质 - 定积分的概念与性质2.3 积分中值定理与换元法2.4 积分运算的方法与应用- 牛顿-莱布尼茨公式- 特殊函数的积分- 积分的应用3. 定积分的应用3.1 曲线的长度与曲面的面积- 弧长的计算- 旋转曲面的面积3.2 定积分在物理学中的应用- 面积、质量与质心的计算 - 动能、功率与功的计算3.3 定积分在经济学中的应用- 需求曲线与供给曲线的面积 - 价值、利润与消费者剩余第三章：多元函数微分学1. 二元函数的极限与连续性1.1 二元函数的极限1.2 二元函数的连续性2. 偏导数与全微分2.1 偏导数的计算与应用- 偏导数的定义- 偏导数的计算方法2.2 二阶偏导数及其应用- 二阶偏导数的定义- 混合偏导数及其应用2.3 多元函数的全微分与高阶微分3. 多元复合函数的导数3.1 链式法则3.2 隐函数的求导3.3 参数方程的求导第四章：无穷级数1. 无穷级数的概念与性质1.1 级数部分和的定义与性质1.2 收敛级数与发散级数的定义1.3 级数的比较判别法与比值判别法1.4 权数级数1.5 幂级数- 幂级数的概念与性质- 幂级数的收敛半径与收敛域1.6 函数展开为幂级数2. 函数项级数的收敛性2.1 函数项级数的一致收敛性- 函数项级数的一致收敛性概念 - 一致收敛的Cauchy准则- 一致收敛级数的性质2.2 列举常用函数项级数- 正弦级数与余弦级数- 对数级数与指数级数- 傅里叶级数3. 广义积分3.1 第一类广义积分- 无穷限积分的概念与性质- 无界函数积分的收敛性3.2 第二类广义积分- 函数在无穷点的瑕积分- 瑕积分的收敛性第五章：向量代数与空间解析几何1. 点、向量及其线性运算1.1 点、向量的表示及其线性运算- 向量的表示- 向量的线性运算1.2 平面与直线的方程- 抽象平面与点法式方程- 直线的参数式方程与对称式方程2. 空间解析几何2.1 点、向量的坐标表示2.2 空间曲线的方程- 曲线的参数方程- 曲线的一般方程2.3 曲面的方程- 平面的一般方程- 二次曲面的方程3. 空间直线与平面的位置关系3.1 直线的位置关系3.2 平面与平面的位置关系3.3 直线与平面的位置关系第六章：函数序列与函数级数1. 函数列1.1 函数列的定义与性质1.2 函数列的极限与连续性1.3 函数列的一致收敛性1.4 一致收敛级数的可积性2. 函数级数2.1 函数级数的定义与性质2.2 函数级数的一致收敛性2.3 函数项级数的逐项积分与逐项微分2.4 一致收敛级数的可微性与可积性3. 幂级数展开的收敛域3.1 幂级数展开3.2 幂级数展开函数的性质3.3 幂级数展开的收敛域通过上述格式，可以将高等数学B第二版教材中各个章节的内容准确地进行归纳和总结，使读者能够更清晰地了解和学习相关知识。

高等数学B2分题型练习(参考答案)一、单顶选择题1、 2、 3、 4、 5、 6、 7、 8、9、10、 11、 12、 13、 14、15、 16、 17、18、 19、 20、21、 22、23、24、 25、26、 27、 28、 29、30、 31、32、 33、 34、 35、36、 二、填空题1、 2、 3、 4、 5、 6、 7、 8、 9、 10、 11、 12、 13、 14、 15、 16、17、 18、 19、 20、 21、 22、 23、 24、 25、 26、 27、28、 29、 30、 31、 32、 33、 34、 35、 三、计算定积分1、求定积分 解:2、求定积分解:3、求定积分4、求定积分 解: 解:5、求定积分解:0022222(1)arctan(1)|()221(1)442dx d x x x x x πππ---+==+=--=++++⎰⎰ 6、求定积分解:令,则,且当时,;时,。

于就是7求定积分解:令8、求定积分解:9、求定积分解:111211002220001111ln(1)|arctan |ln 2111224x x dx dx dx x x x x x π+=+=++=++++⎰⎰⎰ 10、求定积分解:由定积分得几何意义可知,积分值为区域 落在第一象限得部分得面积,即, 解法二,令,则,且当时,,当时,,则2222000014cos 2(1cos 2)2(sin 2)|2tdt t dt t t ππππ==+=-=⎰⎰⎰11、求定积分解: 令 ,则,且当时,;时,。

于就是2333221444sec cos 1|tan sec sin sin 3tdt t dt t t tt ππππππ===-=⎰⎰⎰12、求定积分 解:令111111000222|222|2ttt t t te dt tde te e dt e e ===-=-=⎰⎰⎰⎰四、计算偏导数、全微分 1、设其中,求。

高数B(2)考试相关问题及复习总结一、 考试相关问题1、 考试范围：第五章第六节------第八章第四节（其中第七章第九节和第八章第五节均不在考试范围内） 2、 各章分值所占大致比例：第五章：10% 第六章：15% 第七章：50% 第八章：25% 3、 考试基本题型：填空，选择，计算二、 复习重点总结（红色部分为重点的重点）第五章 定积分的应用1. 平面图形的面积例1 求由抛物线21y x =-和直线0y =所围成的平面图形的面积。

(答案：43）例2 求由曲线y =直线1y =及0x =所围成的平面图形的面积。

(答案：16)例3 求由1y x =，y x =，x e =所围平面图形的面积。

(答案：21(3)2e -)2. 旋转体的体积基本公式： []2()bx a V f x dx π=⎰ []2()dy c V y dy πϕ=⎰例4 由曲线2,y x =直线2x =及x 轴所围成的平面图形绕x 轴旋转一周而成的旋转体的体积32.5x V π=由曲线2,y x =直线4y =及y 轴所围成的平面图形绕y 轴旋转一周而成的旋转体的体积 8 .y V π=3. 边际及变化率问题基本公式： 成本 0()()(0)xC x C x dx C '=+⎰收入 0()()(0)x R x R x d xR '=+⎰（一般(0)0R =）利润 0()()(0)xL x L x d x C '=-⎰()()()L x R x C x =- 在时间[,]a b 内的总产量 ()()ba Q t Q t dt '=⎰例5 见课本P174 习题5-7 第3题 例6 见课本P172 例3第六章 微分方程与差分方程1. 变量可分离方程例1 见课本P181 例2 例2 见课本P185习题6-2 1（1） 2. 齐次方程例3 见课本P186习题6-2 4（2） 3. 一阶非齐次线性方程 ：()()y p x y q x '+=通解公式 ()()()p x dx p x dx y e q x e dx C -⎡⎤⎰⎰=+⎢⎥⎣⎦⎰ 例4 求微分方程2xdy ydx xdx +=的通解。

2013-2014-2学期高等数学B2期末B 卷答案一、填空题（共 5小题，每题 3分，共计 15分）1、(){}22222,,0x y z x y x y ≤++≠且2、222dz e dx e dy =+3、225y z x += 4、 5、(0,2)二、选择题（共 5小题，每题 3分，共计15分）1、C2、D3、B4、A5、D三、求过点A (2,1,3)且与通过直线11221x y z +-==-的平面方程.（本题8分） 解：由已知得点B (1,1,0)-也在所求平面上.(3,0,3)AB =-- ，……………..………2分取 303221i j k n AB s =⨯=--- (6,9,6)3(2,3,2)=--=--………………..…………………4分所求的平面方程为2(2)3(1)2(3)0x y z -----=即 23250x y z --+=……………….………..….……2分四、计算下列偏导数（共 2小题，每题6分，共计12分）1、设(,)z f x y x y =+，f 具有一阶连续偏导数，求,z z x y∂∂∂∂. 解：将中间变量按顺序编为1,2号，可得12121z f f y f yf x∂''''=⋅+⋅=+∂………………..………..………3分 12121z f f x f xf y∂''''=⋅+⋅=+∂………………..………..………3分 2、设x z z e y +=+，求,z z x y∂∂∂∂. 解法一：令(,,)x z F x y z z e y +=--，则,1,1x z x z x y z F e F F e ++=-=-=-，……2分 利用隐函数求导公式，有11x z x zx z x zz e e x e e ++++∂-=-=∂--，…………..………..………2分1111x z x z z y e e++∂-=-=∂--…………..………..………2分 解法二：方程两边分别关于,x y 求偏导数.解法三：方程两边求全微分.五、计算下列积分：（共3小题，每题6分，共计18分）1、求二重积分22xy D e d σ+⎰⎰，其中D 是由圆周222x y +=所围成的闭区域.解：222200xy r D e d d rdr πσθ+=⋅⎰⎰⎰ ……..……………………………………3分20122r e π⎡=⋅⎣⎦ ……..………………………………..………2分 ()21e π=- …..………..…………………………………..1分2、求二重积分Dxydxdy ⎰⎰，其中D 是由21,2,0,x x y y x ====所围成的平面区域.解：2210x D xydxdy dx xydy =⎰⎰⎰⎰ …………..………..………………………..……3分222251101122x xy dx x dx ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦⎰⎰ …………..………..……………..…2分 261121124x ⎡⎤==⎣⎦ …………..……………………..………1分 3、求二重积分sin D x dxdy x⎰⎰，其中D 是由0,,y x y x π===所围成的平面区域. 解：00sin sin x Dx x dxdy dx dy x x π=⎰⎰⎰⎰ …………..………..…………………..…3分 00sin sin x xdx dx xππ=⋅=⎰⎰ …………..………..……………..…2分 []0c o s2x π=-= …………..………..……………..…1分 六、求微分方程221y y y x '''+-=+的通解.（本题10分）解：对应的齐次方程为20y y y '''+-=，它的特征方程 220r r +-=有两个实根 122,1r r =-= …………..………..……………..…3分 于是与所给方程对应的齐次方程的通解为212x x Y C e C e -=+. …………..……….…..…2分由于0λ=不是特征方程的单根，所以设方程的特解*y ax b =+，…….…..…2分 把它代入所给方程，得2221a ax b x --=+，即得，1,1a b =-=-， 因此所给方程的一个特解为*1y x =--. …….………………………..…2分 从而所求的通解为2121x x y C e C e x -=+-- …….…..…1分七、求由22224,0,100x y z x y z +==+-+=所围成的立体的体积.（本题8分） 解：所求立体在xoy 面上投影区域为{}22(,)4D x y x y =+≤， 所求立体的体积是以曲面2210z x y =++为顶，区域D 为底的曲顶柱体的体积，即 22(10)DV x y d σ=++⎰⎰ …….……………………….…3分22200(10)d r rdr πθ=+⎰⎰ …….……………………...…2分 22401254r r π⎡⎤=⋅+⎢⎥⎣⎦ …………………………….…..…2分 48π= ……………………………………..…1分 八、求函数z xy =在条件1x y +=下的极值. （本题6分） 解法一：由1x y +=得1y x =-，代入z xy =，有(1)z x x =- 12z x '=-=0，得12x =， …….………………………………………….…3分 从而12y =，20z ''=-<， 所以，z xy =在条件1x y +=下于点11(,)22处取得极大值14. …….………….…3分解法二：设(,,)(1)F x y xy x y λλ=++-，解方程组0010x y F y F x F x y λλλ=+=⎧⎪=+=⎨⎪=+-=⎩， …….………………………..…3分 得12x y ==， 所以，z xy =在条件1x y +=下于点11(,)22处取得极大值14. …………….…..…3分 九、将函数21()32f x x x =++展开成x 的幂级数，并指出收敛区间.（本题8分） 解：21111()32(2)(1)12f x x x x x x x ===-++++++ …….…..………2分 因为 011()11n n x x x ∞===-++∑，(1,1)x ∈- …….……………………….…2分 011111()2222212n n x x x x ∞===⋅=-+++∑，(2,2)x ∈- …….………...…3分 所以21011()(1)1322n n n n f x x x x ∞+=⎛⎫==-+ ⎪++⎝⎭∑，(1,1)x ∈- …….……………….…1分。

b2理论考试题库及答案解析一、单选题1. B2理论中，以下哪项是正确的？A. 理论是绝对的B. 理论是相对的C. 理论是不变的D. 理论是一成不变的答案：B解析：B2理论认为理论是相对的，因为理论是在特定条件下形成的，随着条件的变化，理论也需要相应的调整和更新。

2. B2理论强调的是以下哪项？A. 理论的绝对性B. 理论的相对性C. 理论的不变性D. 理论的一成不变性答案：B解析：B2理论强调理论的相对性，即理论是在特定条件下形成的，随着条件的变化，理论也需要相应的调整和更新。

3. B2理论认为理论的适用性是以下哪项？A. 绝对的B. 相对的C. 不变的D. 一成不变的答案：B解析：B2理论认为理论的适用性是相对的，因为理论是在特定条件下形成的，随着条件的变化，理论的适用性也会发生变化。

4. B2理论中，理论的发展和变化是以下哪项？A. 绝对的B. 相对的C. 不变的D. 一成不变的答案：B解析：B2理论认为理论的发展和变化是相对的，因为理论是在特定条件下形成的，随着条件的变化，理论也需要相应的调整和更新。

5. B2理论认为理论的验证是以下哪项？A. 绝对的B. 相对的C. 不变的D. 一成不变的答案：B解析：B2理论认为理论的验证是相对的，因为理论的验证需要在特定的条件下进行，随着条件的变化，理论的验证结果也会发生变化。

二、多选题6. B2理论中，以下哪些因素会影响理论的形成和发展？A. 社会环境B. 经济条件C. 技术进步D. 文化背景答案：A、B、C、D解析：B2理论认为理论的形成和发展受到多种因素的影响，包括社会环境、经济条件、技术进步和文化背景等。

7. B2理论中，以下哪些因素会影响理论的适用性？A. 社会环境的变化B. 经济条件的变化C. 技术进步D. 文化背景的变化答案：A、B、C、D解析：B2理论认为理论的适用性受到多种因素的影响，包括社会环境的变化、经济条件的变化、技术进步和文化背景的变化等。

2011/20122 高等数学B2(A 卷)数理学院 中德学院（答案写在答题纸上，写在试题纸上无效）一、填空题（每小题3分，共15分）1．设23z x y =，则zx∂=∂ 。

2．微分方程20y y y '''--=的通解为 。

3．设D 为22{(,)|1}x y x y +≤，则Dxydxdy =⎰⎰ 。

4．设L 是圆周222x y R +=，则曲线积分22()Lx y ds +=⎰ 。

5．函数()xf x xe =展开为x 的幂级数是 。

二、选择题（每小题3分，共15分）1．已知三点(1,0,0),(3,1,1),(2,0,1)A B C ，则向量BC 与CA的夹角为（ ）。

（A ）2π； （B ）3π； （C ）4π； （D ）6π2. 函数(,)f x y 在点00(,)x y 处可微是函数在该点偏导数存在的（ ）。

()A 充分条件； ()B 必要条件； ()C 充要条件； ()D 既非充分又非必要条件3．二重积分10(,)ydy f x y dx ⎰交换积分次序可化为（ ）。

()A 10(,)x dx f x y dy ⎰ ()B 21(,)x xdx f x y dy ⎰⎰()C 1(,)xdx f x y dy ⎰ ()D 210(,)xxdx f x y dy ⎰⎰4．以2π为周期的函数在[,)ππ-上的表达式为0, 0()2, 0x f x x x ππ-≤<⎧=⎨-≤<⎩，其傅里叶级数的和函数为()s x ，则(3)s π=（ ）。

()A 2π-； ()B 22π-； ()C 2； ()D 1 5．若级数1nn a∞=∑收敛，则级数20()nn n aa ∞+=+∑（ ）。

()A 绝对收敛； ()B 发散； ()C 收敛； ()D 敛散性不能确定课程考试试题 学期 学年 拟题学院（系）: 适 用 专 业:三、计算题（每小题7分，共21分）1.设ln(),x z xy y e ==，求dz dx。

高数B2试题参考答案一、填空题：1、 2 ； 2 、2cos 202(cos ,sin )d f r r rdr πθπθθθ-⎰⎰； 3、；4、 5 ；5、12(cos 2sin 2)xc x c x e + 二、选择题：1)、B 2)、A 3)、C 4)、D 5)、B三、计算题：1．解：1) 1yz u y x x z -∂=∂ 2)'''123'3x z F F F F z x F F ++∂=-=-∂2. 解：令cos ,sin ,02,2x r y r r θθθπππ==≤≤≤≤220sin D d r rdr πππθ=⋅⎰⎰⎰⎰ 222[cos |cos ]r r rdr πππππ=-+⎰ 22[30]6πππ=-+=-3. 解：令2222,.y x P Q x y x y-==++则当220x y +≠时，有 22222.()Q y x P x x y x∂-∂==∂+∂ 记L 所围成的闭区域为D 。

当（0，0）∉D 时，由格林公式得220,L xdy ydx x y -=+⎰当（0，0）D ∈时，选取适当小的0r >，作位于D 内的圆周222:l x y r +=，记L 和l 所围成的区域为1D ，则 22220,L l xdy ydx xdy ydx x y x y ---=++⎰⎰其中l 的方向为逆时针方向。

于是 2222L l xdy ydx xdy ydx x y x y --==++⎰⎰2222220cos sin 2.r r d rπθθθπ+=⎰ 4、 解：将∑补充成闭曲面，令2221:0,z x y R ∑=+≤上侧。

由高斯公式11333333333x dydz y dzdx z dxdy x dydz y dzdx z dxdy x dydz y dzdxz dxdy ∑∑+∑∑++=++-++⎰⎰⎰2223()0:0x y z dxdydz z z Ω=-++-Ω==⎰⎰⎰围成22220003sin R d d r r dr ππθϕϕ=-⋅⎰⎰⎰ 42006sin Rd r dr ππϕϕ=-⎰⎰ 556655R R ππ=-⨯=- 5、解：113n na =+ 111313lim lim (13)lim 311313n n n n n n n n na R a +→∞→∞→∞++==+==++ 当3x =±时，级数11(3)13n n n ∞=±+∑的一般项为1(3)13n n ±+当n →∞时不为零，故发散。