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一、单项选择题（共 86 题， 86 分）1、A、 0B、 1C、 2D、 3E、 42、A、 1B、 0C、 2D、 3E、 43、A、 0B、 2C、 3D、 1E、 44、A、 0B、 1C、 2D、 eE、 35、A、 0B、 1C、 2D、 3E、 4 6、A、 1B、 0C、 2D、 3E、 4 7、A、 ln3B、 ln2C、 0D、 1E、 2 8、A、 1B、 0C、 2D、 3E、 4 9、A、 1-exB、 eC、 ex+eD、 0E、 110、A、连续但偏导不存在B、偏导存在但不连续C、连续且偏导存在D、既不连续偏导也不存在11、A、 0B、 1C、 2D、 3E、 412、A、 1B、 0C、 2D、 3E、 413、A、 1B、 2C、 3D、 4E、 014、A、 0B、 1C、 2D、 3E、 e15、A、 0B、 2C、 3D、 4E、 116、A、 eB、 1C、 2D、 4E、 317、A、 ln3B、 ln2C、 1D、 2E、 318、A、 1B、 0C、 2D、 3E、 419、A、 1-exB、 ex+eC、 eD、 0E、 120、A、连续但偏导不存在B、偏导存在但不连续C、既不连续偏导也不存在D、连续且偏导存在21、以下对于多元函数连续、偏导及可微说法正确的选项是（）A、若可微，则偏导存在B、若连续，则偏导存在C、若偏导存在，则连续D、若偏导存在，则可微22、A、B、C、D、23、A、 dx+2dy+dzB、 dx+dy+dzC、 2dx+dy+dzD、 2dx+2dy+dz24、A、 1B、 -1C、 0D、 225、A、B、C、D、26、设 u=cos(xy), 则 du=( ).A、 -cos(xy)(ydx+xdy)B、 -sin(xy)(ydx+xdy)C、 cos(xy)(ydx+xdy)D、 sin(xy)(ydx+xdy)27、A、 2B、 4C、 -2D、 128、A、 2B、 0C、 1D、 329、A、 3B、 2C、 1D、 030、A、B、C、 yD、31、A、B、C、D、32、A、 2x+2y-z=0B、 2x+2y-z-1=0C、 2x+2y-z-2=0D、 2x+y-z-2=033、A、必需条件但非充足条件B、充足条件但非必需条件C、既非必需条件也非充足条件D、充要条件34、A、 4B、 8C、 6D、 1035、A、 x+y-8z=116B、 x-y-8z=120C、 x-y+8z=110D、 x+y+8z=14036、A、 2B、 1C、 3D、 437、A、 4,0B、 1,2C、 0,4D、 2,138、A、 -2B、 2C、 -4D、 439、A、 (1,1)B、 (1,2)C、 (1,-1)D、 (2,1)40、A、 1B、 2C、 0D、 341、A、 3B、 6C、 9D、 042、A、 1+sin1B、 1-cos1C、 1-sin1D、 043、A、 4B、 5C、 -4D、 -544、A、 2B、 3C、 1D、 445、A、 3SB、 2SC、 SD、 4S46、A、 2B、 3C、 1D、 047、A、 2B、 1C、 0D、 448、A、 1B、 0C、 2D、 -149、A、大于0B、等于0C、没法确立50、A、B、C、 0D、 151、A、 1B、 2C、 3D、 052、A、 aB、 abcC、 bD、 053、A、 22 πB、 21 πC、 20 πD、 25 π54、A、 2 πB、 4 πC、 0D、 8 π55、B、π/2C、 0D、 256、A、 13/9B、 14/9C、 1D、 057、A、 0B、C、 2D、 158、A、 2 πB、 4 πC、πD、 3 π59、A、 2B、 1C、 0D、 360、A、B、C、D、61、A、 4B、 16C、 8D、 1062、A、 3B、 1C、 0D、 463、A、I=JB、I<JC、I>JD、没法判断I,J大小64、A、4πB、0C、2D、2π65、B、4πC、2D、2π66、A、-2B、4C、-4D、267、A、πB、2πC、π/2D、4π68、A、10B、8C、-8D、-1069、A、1B、2C、470、A、dxB、dx+dyC、-dyD、dy71、A、（0,0）不是函数的极小值点B、（0,0）是函数的极大值点C、(0,0)是函数的极小值点D、（0,0）不是函数的极值点72、A、{4,4,8}B、{2,4,4}C、{4,4,12}D、{2,2,4}73、A、B、C、D、74、A、B、2C、/2D、175、A、B、C、D、76、A、连续B、极限不存在C、极限存在但不连续D、没有定义77、A、 0B、1C、 2D、 378、A、1B、2C、-2D、079、A、1B、-1C、2D、 380、A、48πB、16πC、24πD、π81、A、B、C、D、82、A、0B、1C、2D、383、A、B、C、D、84、A、e+1B、e-1C、-e-1D、e85、设 C 为一条平面闭曲线，方向为逆时针，则下边可表示所围地区 D 面积的是( )A、B、C、D、86、A、B、C、D、二、判断题（共 18 题， 18 分）1、√2、×3、√4、5、能否正确？√6、质心与形心两个观点没有任何差别.7、8、9、偏导存在且连续能够推出函数可微√10、计算空间体的体积只有二重积分和三重积分两种方法，其余种类的积分不可以办理体积的问题 .×11、二元函数在某点极值存在，且该点处偏导存在，则偏导数必定为零.12、二元函数在开地区内部假如只有一个极值点，则该极值点为最值点.13、二元函数在某点极限存在当且仅当沿任何方向随意路径趋近于该点处极限均存在且相等.14、偏导存在能推出连续，连续不可以推出偏导存在×15、二重积分的几何意义是曲顶柱体体积的代数和. √16、质心与形心两个观点是有所不一样的. √17、方导游数是一个数，梯度是一个向量√18、×19、函数 f(x,y,z)在有界闭区Ω 上连续时，f(x,y,z)在Ω 三重积分必存在。
高等数学A （II ）复习第八章 空间解析几何与向量代数1．已知(2,3, 1), (1,1, 3)a b =-=-，求（1）b a b a 2 ,2)(⨯⋅- （2） (+2)(2)a b a b ⋅-（3）(+2)(2)a b a b ⨯-2．已知3) ˆ,(,4 ,3π===b a b a ，求以(32)(2)a b a b -+和为边的平行四边形面积3．求过点)1, 1 ,1(-，且与直线10210x y z x y z -+-=⎧⎨+++=⎩平行的直线方程.4．求过点)3, 1 ,2(，且（1）通过直线12131:-=-=+z y x l 的平面方程； （2）与l 垂直相交的直线方程.5．求过直线⎩⎨⎧=+--=+-0620223z y x y x ，且与点)1,2 ,1(的距离为1的平面方程.6．指出下列方程所表示的图形：（1）2210x y --= （2）222+20x y z -=（3）221z x y =-- （4）222++210x y z z -+=第九章 多元函数微分法及其应用7．计算（若不存在，给出理由）：(1) (,)(0,0)lim x y →(2) x y x y x 1)0,0(),()cos 1(lim -→(3) (,)(0,0)sin()lim x y x y x y →+-(4)sin()2(,)(0, )(1)lim xy x x y a xy →-8．z =，求,z z x y ∂∂∂∂9．yz x u =，求u 的偏导数10．已知)ln(y x y x z =，求)1,1(dz11．(,)y z xf y x =，f 具有二阶连续偏导数，求yx z ∂∂∂212．()(1)ln ,y z xf x y x f x=+-其中具有二阶导数， 求证：222222(1)z z x y x y x y ∂∂-=+∂∂13．已知函数(,)z z x y =由)](,[z xy f z ϕ=确定，f 具有连续偏导，ϕ可导， 求z z x y∂∂∂∂，14．求由方程320z xz y -+=确定曲面),(y x z z =在点)1, 1 ,1(处的切平面方程和法线方程.15．求曲线2sin 4,cos 1,sin t z t y t t x =-=-=在点)22 ,1 ,12(-π处切线与z 轴正向的夹角16．求曲面2222+3z 21x y +=上平行于平面460x y z ++=的切平面方程.17．证明：曲面1xyz =上任意点处切平面与三坐标面所围成的四面体的 体积为常数.18．在椭圆4422=+y x 上求一点，使其到直线0632=-+y x 的距离最近.19．过点)31, 1 ,2(的平面中，哪个平面与三个坐标面所围立体体积最小.20．求内接于半径为a 的球且有最大体积的长方体.第十章 重积分21．交换积分次序:⎰⎰+-2 2 2 1 ),(y y dx y x f dy .22．分别在直角坐标和极坐标系下将⎰⎰Ddxdy y x f ),(化为二次积分，其中D 由x y =与2x y =所围成（f 在D 上连续）23. 求⎰⎰+Ddxdy y x 22 其中0,41:22≥≤+≤x y x D .24．求⎰⎰-+22 0 222 0 1y y dx y x dy .25．求⎰⎰1 1 0 y xy dx e dy .26．求D σ，其中D 为22x y x +≤.27．求2()Dx y d σ+⎰⎰，其中D 由224,x y x y ==及1=y 围成.28．求由曲面z =与222z x y =--所围成的立体体积29．求⎰⎰⎰Ω+=dv y x I )(22，其中Ω由z y x 222=+及平面2=z 围成.30．求(1)I z x y dv Ω=++⎰⎰⎰，其中Ω由z =上半球面22z x y =+所围成.31．求⎰⎰⎰Ω++=dv z y x z I 222，其中Ω由1222≤++z y x 与)(322y x z +≥确定.31．计(1)I z x y dv Ω=++⎰⎰⎰，其中Ω由z =上半球面22z x y =+所围成.32．求由2222222222),0(, ,y x z R r r z y x R z y x +=<<=++=++所围立体的体积.第十一章 曲线与曲面积分33．ds y x L⎰+ 22，其中L 为半圆周：0 ,222≥=+x y x34．dy x y dx xy L)( -+⎰，其中L 为x y =2上从（0，0）到（1，1）的一段.35. 3223 ()()Lx xy dx x y y dy +++⎰,其中L 为2y x =上从（0，0）到（1，1）的一段.36．2 (sin +)(cos )x x y Le y x y dx e y e dy -++⎰，其中L 为圆周22x x y -=上从点)0 ,2(到)0 ,0(的一段.37．ydS ∑⎰⎰，其中∑为上半球面：222y x R z --=.38．2(+)ydzdx z x dxdy ∑+⎰⎰，其中∑为柱面122=+y x 被0=z 与1x z +=所截得部分的外侧.39．⎰⎰∑++zdxdy dydz z x )2(，其中∑：)10(22≤≤+=z y x z 取上侧.第十二章级数40．判别敛散性，若是一般项级数收敛，则说明是条件收敛还是绝对收敛（1）∑∞=123 cosnnnnπ（2）nnnn)12(1∑∞=-（3）∑∞=-132)1(n nn n（4）∑∞=+-1)1ln()1(nnn41．求收敛域（1）∑∞=⋅13nnnnx（2）∑∞=-1)12(nnnx42．求和函数（1）∑∞=+1)1 (nnnnx（2）∑∞=-1)1(nnxn43．将函数展开成幂级数（1）将)1ln()1(x x ++展开成x 的幂级数（2）将652--x x x 展开成5-x 的幂级数.。
《高等数学2》课程习题集【说明】：本课程《高等数学2》（编号为01011）共有计算题1,计算题2等多种试题类型，其中，本习题集中有[]等试题类型未进入。
一、计算题11. 计算 行列式6142302151032121----=D 的值。
2. 计算行列式5241421318320521------=D 的值。
3.用范德蒙行列式计算4阶行列式12534327641549916573411114--=D 的值。
4. 已知2333231232221131211=a a a a a a a a a ， 计算：333231232221131211101010a a a a a a a a a 的值。
5.计算行列式 0111101111011110=D 的值。
6. 计算行列式199819981997199619951994199319921991 的值．7. 计算行列式50007061102948023---=D 的值． 8. 计算行列式3214214314324321=D 的值。
9. 已知10333222111=c b a c b a c b a ，求222111333c b a c b a c b a 的值． 10. 计算行列式x a a a xa a ax D n=的值。
11.设矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=2100430000350023A ，求1-A 。
12.求⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=311121111A 的逆．13.设n 阶方阵A 可逆，试证明A 的伴随矩阵A *可逆，并求1*)(-A 。
14. 求矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=1100210000120025A 的逆。
15. 求⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----=461351341A 的逆矩阵。
16. 求矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=2300120000230014A 的逆。
17. 求⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=232311111A 的逆矩阵。
18.求矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=101012211A 的逆．19. 求矩阵112235324-⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭A 的逆。
高数补考考试题目及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 函数f(x)=x^2+3x+2的零点个数为：A. 0B. 1C. 2D. 3答案：C2. 极限lim(x→0) (sin(x)/x)的值为：A. 0B. 1C. -1D. 2答案：B3. 以下哪个函数是奇函数？A. f(x) = x^2B. f(x) = x^3C. f(x) = x^2 + 1D. f(x) = x + 1答案：B4. 曲线y=x^3-3x+2在点(1,0)处的切线斜率为：A. 0B. 1C. -2D. 2答案：D5. 以下哪个级数是收敛的？A. 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ...B. 1 + 2 + 3 + 4 + ...C. 1 - 1/2 + 1/4 - 1/8 + ...D. 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ... 答案：C6. 以下哪个选项是二阶导数？A. f''(x) = 2xB. f'(x) = 2xC. f(x) = x^2D. f'(x) = x^2答案：A7. 以下哪个积分是发散的？A. ∫(0 to 1) 1/x dxB. ∫(0 to 1) x dxC. ∫(0 to 1) x^2 dxD. ∫(0 to 1) e^x dx答案：A8. 以下哪个矩阵是可逆的？A. [1 2; 3 4]B. [1 0; 0 0]C. [1 1; 1 1]D. [1 0; 0 1]答案：D9. 以下哪个函数是周期函数？A. f(x) = e^xB. f(x) = sin(x)C. f(x) = x^2D. f(x) = ln(x)答案：B10. 以下哪个方程的解是x=2？A. x^2 - 4x + 4 = 0B. x^2 - 3x + 2 = 0C. x^2 - 2x + 1 = 0D. x^2 - 5x + 6 = 0答案：B二、填空题（每题4分，共20分）1. 函数f(x)=x^3的导数为________。
释 疑 解 难（第七章）（第七章）一、求垂直于平面0=z 且通过点)1,1,1(0-M 到直线îíì==+-001:x z y L 垂线的平垂线的平 面方程。
面方程。
解：解：直线L 的方向向量}1,1,0{--=l，过点0M 与直线L 的平面N 的方程的方程 0)1()1(=--+-z y ，即0=+z y解方程组ïîïíì=+==+-0001z y x z y ，得直线L 与平面N 的交点)21,21,0(1-M 由题意，设所求平面方程为0=++D By Ax ，将0M 、1M 坐标代入，得坐标代入，得ïîïíì=+-=+-02D B D B A ，解得D A =，D B 2=，所求的平面方程为：012=++y x 。
二、证明两直线二、证明两直线231212-=-+=-z y x 与112111-=+=--z y x共面，并求该平面方程。
共面，并求该平面方程。
解：解：记)3,2,2(1-M ，}2,1,1{1-=l ，)1,1,1(2-M ，}1,2,1{2-=l则}2,1,1{21--=M M∵0211121211)(2121=----=×´M M l l ∴两直线共面。
∴两直线共面。
取}1,3,5{21--=´=l l n则所求平面方程为则所求平面方程为0)3()2(3)2(5=-++---z y x ，即0135=--+z y x 。
三、求平面02122=++-z y x 与05247=-+z x 所成二面角的平分面方程。
所成二面角的平分面方程。
解：解：过两平面交线的平面束方程过两平面交线的平面束方程0)5247(2122=-++++-z x z y x l ，即，即0)521()242(2)71(=-+++-+l l l z y x其法向量}242,2,71{l l +-+=n，已知两平面法向量分别是，已知两平面法向量分别是}2,2,1{1-=n 与}24,0,7{2=n由题意知||||||||2211n n n n n n n n ×±=×，解得253±=l 所以所求平面方程为所以所求平面方程为025*******=++-z y x 和027011252=+--z y x 。
笫二章 一元函数微分学一. 求导数、微分与二阶导数1. 基本求导表重点记住 11()'0,()',()',(ln )',x x C x xe e x xααα-====21(sin )'cos ,(cos )'sin ,(arcsin )'(arctan )'1x x x x x x x ==-==+ 11-3. 设函数21()f x x =, 则'y = A. 31x - B. 32x- C. 31x D. 1x [ ] 【11-3、B 】10-2. 设函数()f x e =, 则'(1)f =A. 2e +B. 1e +C.12 D. 12- [ ] 【10-2、C 】 09-2. 设2sin ln 2y x x =++, 则'y =A. 2sin x x +B. 2cos x x +C. 12cos 2x x ++D. 2x 【09-2、B 】 08-22. 设函数3sin 3y x x =++, 求'y . 【08-22. 32'()'(sin )'3'3cos y x x x x =++=+】08-3. 设函数ln y x =, 则'y = A.1x B. 1x- C. ln x D. xe [ ] 【08-3. A 】 07-3. 设函数y x =, 则'y =A. 1B. xC. 22x D. 2x [ ] 【07-3. 1】06-3. 巳知()3xf x x e =+,则'(0)f =A.1B. 2C. 3D. 4 [ ] 【06-3. D 】 05-2. 设33y x-=+,则'y 等于A.43x -- B. 23x -- C. 43x - D. 433x --+ [ ]【05-2. A 】04-9. 设函数21y x π=-,则'y = ____________ . 【04-9. 32x 】 03-9. 设函数2arcsin e x y +=,则'y = ____________ . 【03-9.211x-】00-8.设函数xx y 22sin 2++=,则dx dy=______________ . 【00-8. 2ln 22x x +】2.乘除求导法则：2''()''',()'u u v uv uv u v uv vv-=+= 11-22. 设函数1sin x y x+=, 求'y . 【11-22.2(1)'sin (1)(sin )''(sin )x x x x y x +-+=2sin (1)cos sin x x xx-+=】 09-3. 设函数()ln xf x e x =, 则'(1)f =A. 0B. 1C. eD. 2e 【09-3、C 】 08-13. 设函数cos y x x = 则'_______y =. 【08-13. cos sin x x x -】07-13. 设函数ln x y x = 则'_______y = 【07-13. 2ln 1ln x x-】 04-19. 设函数ln y x x =,求'y . 【04-19. 1'ln ln 1y x x x x=+⋅=+】03-10. 设函数x exy =,则)0('f = ____________ . 【03-10. 1】02-10. 设函数xy cos 11+=,则'y =_____________. 【02-10. 2)cos 1(sin x x +】 02-3. 设函数)(),(x v x u 可导,若)()(x v x u y ⋅=,则'y 等于 A. )(')()()('x v x u x v x u + B. )(')()()('x v x u x v x u -C. )()()(')('x v x u x v x u +D. )(')('x v x u [ ] 【02-3. A 】 01-22. 设函数1cos 2-=x xy ,求'y . 【01-22. 2222222)1(cos 2sin )1()1(cos 2)1(sin )'1cos ('----=---⋅-=-=x xx x x x x x x x x x y 】 00-18. 设函数x xxx f ln sin 1)(--=, 求)('πf .【00-18. x x x x x x x x x x x f 1)sin 1(cos sin 11)sin 1()cos (sin 1)(22'--+-=-----=ππππππππ111)sin 1()cos (sin 1)(2'--=-----=f 】3. 复合函数求导法则（简单型）(由外到里逐层处理) 10-3. 设函数()cos 2f x x =, 则'()f x =A. 2sin 2xB. 2sin 2x -C. sin 2xD. sin 2x - [ ]【10-3、B 】06-2. 设函数25xy e=+, 则'y =A. 2xe B. 22xe C. 225xe+ D. 25x e + [ ] 【06-2. B 】05-3. 设()cos 2f x x =, 则'(0)f 等于A. 2-B. 1-C. 0D. 2 [ ] 【05-3. 0】 04-18. 设函数()1sin 2f x x =+,求'(0)f .【04-18. '()0cos 2(2)'2cos 2,f x x x x =+⋅= '(0)2f =】02-10. 设函数xy cos 11+=,则'y =_____________.【02-10. 11,1cos ,,1cos y x u y x u=+==+令则''2211sin '()(1cos )(sin )(1cos )u x x y x x u u x =⋅+=--=+】00-10.设函数x y arcsinln =,则'y =________________________.【00-10.xx x arcsin )1(21-】00-2. 下列函数中,在点0=x 处导数等于零的是A. )1(x x y -=B. xex y 2sin 2-+=C. x x y arctan cos -=D. )1ln(x y += [ ] 【00-2. B 】 样题-12. 设函数cos()xy e -=,则'(0)y = ____________ .【样题-12. 00'sin (1)sin ,'(0)sin sin1xx x x y ee e e y e e ------=-⋅⋅-===】样题-23. 设函数(sin 2)f x y e=，其中()f u 可导，求'y .【样题-23. (sin 2)(sin 2)''(sin 2)cos 222cos 2'(sin 2)f x f x y ef x x x e f x =⋅⋅⋅=⋅⋅】(与复合函数记号有关的题型)要点：巳知x x f sin )(=，怎样求出()f x ？（见01-9）t =，解出2x t =，原式为2()sin f t t =，把t 更名为x ，得2()sin f x x =，04-20. 设函数3(cos )1cos f x x =+,求'()f x .【04-20. 33cos ,1cos 1,x t x t =+=+设则332()1,()1,'()3f t t f x x f x x =+=+=所以故则】02-23. 设函数x x g e x f xsin )(,)(==,且)]('[x g f y =,求dxdy. 【02-23. 因为x x g cos )('=,所以xex f y cos )(cos ==,则x e dxdyx sin cos -=】02-11. 设函数x x f ln )2(=,则)('x f =___________. 【02-11. x1】01-9. 设函数x x f sin )(=,则)('x f = ________________ . 【01-9. )cos(22x x 】样题-13. 设函数211()1f x xx=++,则)('x f = ____________ . 【样题-13. 22311112,,()1,()1,'()1t x f t t f x x f x x t t x x-===++=++=+令得于是】4. 复合函数与四则运算混合型(由外到里逐层处理) 07-22.设函数ln(y x =+, 求'y 【07-22. 'y x =+=】03-18. 设函数x x y +=,求'y .【03-18. xx x x xx xxx x x y ++=++=++=242122112)'('】02-17. 设函数21xx y +=,求'y . 【02-17. 2322222)1(111221'x xx x x y +=++-+=】5. 二阶导数(连续求二次导数)11-14. 设函数sin y x =，则 '''______y =. 【11-14. cos x -】10-15. 设函数ln(1)y x =+ 则''_______y =. 【10-15.21(1)x -+ 】09-15. 函数sin y x x = 则''_______y =. 【09-15.2cos sin x x x - 】08-14. 设函数5y x = 则''_______y =. 【08-14. 320x 】07-14. 设函数x y e -= 则'''_______y =. 【07-14. x e -】06-15. 设函数sin 2y x = 则'''_______y =. 【06-15. 4sin 2x -】 05-14. 设函数2xy e = 则''(0)_______y =. 【05-14. 4】 04-21. 设函数11y x=+,求''y . 【04-21. 2332'(1)(1),''(1)(2)(1)(1)y x y x x --=-+=--+=+】03-11. 设函数x e x y 22+=,则y 的50阶导数)50(y=___________. 【03-11. xe 2502】02-12. 设函数xxe y =,则)0(''y =___________. 【02-12. 2】 01-8. 设函数x x x f ln )(3=,则)1("f =_____________________ . 【01-8. 5】00-20. 若 x x y arctan )1(2+=, 求"y .98-10. 设 a a x n a x a y++=-)2( (其中 )1,0≠>a a , 则 )(n y = ______________ .【98-10. ()(2)[]"()''n n x a a yy a x a -==++=22)1(ln --+a x x a a a a 】【00-20. 1arctan 2)1(1)1(arctan 222'+=+++=x x x x x x y ，2"12arctan 2x x x y ++=】样题-15. 设函数y 的2n -阶导数(2)n x yxe -=, 则()(0)_______n y =【样题-15. ()(2)()[]''()''()'n n x x x yx y xe e xe -===+()2,x x x x x e e xe e xe =++=+()(0)2n y =】6. 变限积分求导（参见第三章相应条款）7. 微分计算(先求导,然后乘上dx ：'dy y dx =)11-5. 设函数cos 1y x =+, 则dy = [ ] A. (sin 1)x dx + B. (cos 1)x dx +C. sin xdx -D. sin xdx【11-5、C 】10-22. 设函数3cos x y x=, 求dy .【10-22. 332()'cos (cos )''(cos )x x x x y x -=2323cos sin (cos )x x x xx += 则2323cos sin '(cos )x x x xdy y dx dx x +===】09-22. 设函数sin xy e=, 求dy .【09-22. sin '(sin )'xy ex =sin cos x e x =则sin cos x dy e xdx =】08-5. 设函数2xy e =+, 则dy = [ ]A. (2)xe dx + B. (2)x e x dx + C. (1)x e dx + D. xe dx 【08-5. D 】07-5. 设函数2sin(1)y x =-, 则dy = [ ]A. 2cos(1)x dx - B. 2cos(1)x dx -- C. 22cos(1)x x dx - D. 22cos(1)x x dx --【07-5. C 】 06-22. 设函数4sin y x x =, 求dy =【06-22. 34'4sin cos y x x x x =+, 34(4sin cos )dy x x x x dx =+】 05-22. 设函数3cos y x x =, 求dy .【05-22. 3323'()'cos (cos )'3cos sin y x x x x x x x x =+=-,23(3cos sin )dy x x x x dx =-.】03-19. 设函数2arctan x y =,求dy .【03-19. dx x x dy x x x x y 442412,12)'(11'+=+=+=】01-7. 设函数21x y +=,则dy =____________ . 【01-7. dx xx 21+】00-9.设函数)(cos 2x y -=,则dy = ____________________ .【00-9. 2sin cos x xdx -， 也可写成sin 2xdx -. 注意cos()cos x x -=】8.** 幂指函数求导（对数求导法或e-ln 法） **01-23. 设函数xxx y +=sin ,求'y .【01-23. sin y x =+'(sin )'(cos ((*)y x x =+=+L笫2项那个导数属幂指函数求导问题，采用对数求导法，先记2y =,两边取对数2ln ln y x ==，然后对x 求导，得2211'y x x y x ==+22'y y x x =+=+即(x =+，代回（*）式，得'cos y x x =++. 】二. 隐函数求导数与微分 (做法分两步：（1）原式两边对x 求导，注意把y 视为x 的抽象函数；（2）解出y')注：一元隐函数求导数与微分的题目在2000-2011年中皆没有出现，这里只找了94-99年的3个题目作参考. 学员务必把精力集中到第四章二元隐函数求偏导数和全微分上，因为连续多年都有一个这样的大题目。
第二阶段练习题考试科目:《高等数学》专升本（总分100分）__________学习中心（教学点） 批次： 层次：专业： 学号： 身份证号： 姓名： 得分：一． 选择题(每题4分)1. 下列函数中在给定区间满足拉格朗日中值定理条件的是 ( ). (a),[2,1]y x =- (b)sin ,[2,6]y x = (c)23,[2,1]y x =-(d)1,[2,6]3y x =- 2. 曲线 321y x x =-+ 的拐点是(a) (0,1) (b) (1,0) (c) (0,0) (d) (1,1)3. 下列函数中, ( ) 是212xe 的原函数. (a) 2xe (b) 2212x e (c) 2234x e (d) 214x e4. 设()f x '为连续函数, 函数()xcf u du '⎰ 为 ( ).(a) ()f x '的一个原函数 (b) ()f x 的一个原函数 (c) ()f x '的全体原函数 (d) ()f x 的全体原函数5. 已知函数()F x 是()f x 的一个原函数, 则98(4)f x dx -⎰等于( ).(a) (4)(3)F F - (b) (5)(4)F F - (c) (2)(1)F F - (d) (3)(2)F F - 二.填空题(每题4分)6. 函数 333y x x =--的单调增加区间为________7. 函数 333y x x =-- 的上凹区间为________ 8. 2x xe dx -⎰=_______. 9.2()xf x dx '⎰=_________. 10.3320183sin x xdx -⎰=__________. 11.22cos x dx ππ-⎰=_______.12. 极限34ln(1)lim2xx t dt x→+⎰=________.三. 解答题(满分52分)13. 求函数 3232332x y x x =-++ 的极小值。
2020年成人高考专升本高等数学二复习试卷构成分析一、题型分布：试卷分选择、填空、解答三部分，分别占40分、40分、70分二、内容分布极限与连续（20分）、一元函数微分（45分）、一元函数积分（50分）、多元函数微分（20分）、概率论（10分）选择题10道：1－极限、2－3导数（或微分）、4－7 积分、8－9偏导、10概率填空10道：极限2题，连续（或分段函数）1题，拐点或驻点或极值点或极值1题，二阶导数或隐函数1道，积分3道（不定积分、定积分、广义积分），导数应用（切线方程或单调区间）1－2道，全微分1道解答题：求极限、导数、不定积分、定积分、概率各1题，导数应用单调区间（极值、凹凸）1题，用积分求围成面积与旋转体积1道，二元函数无条件极值（条件极值）1道难点：隐函数求导、全微分、多元函数极值第一部分 极限与连续题型一：求极限方法一：直接代入法（代入后分母不为0都可以用） 练习：1. 2limπ→x xx sin 12-＝_______ 2.lim x→1sin xx =______方法二：约去为零公因子法(00)练习1. 12lim 221--+→x x x x ＝______方法三：分子分母同时除以最高次项（∞∞） 练习1. ∞→x lim 1132-+x x ＝_______ 2. 112lim 55-+-∞→x x x x ＝______方法四：等价代换法（x →0时，sinx~x tanx~x arcsinx~x arctanx~x ln(1+x)~x 1−cos x ~12x 2）（等价代换只能用于乘除，不能用于加减）练习1. 1lim →x 1)1sin(2--x x ＝ 练习2. 0lim →x x x x sin cos 1-＝___ ____ 3. 1)1arcsin(lim 31--→x x x ＝______方法五：洛必达法则（分子分母求导） （∞∞）型 或（00）型 或 其他变形形式练习1. ∞→x lim 353-+x x ＝_______ 2. 112lim 22-+-∞→n n n n ＝______练习：3. 1lim →x 1ln --+x e e x x ＝_______ 4. 12lim 221--+→x x x x ＝______两个重要极限（背2个重要极限）练习1. x x x 42sin lim0→＝____ __ 2.1lim →x 22)22sin(--x x ＝__ ____练习3.0lim →x x x 4sin 2sin ＝__ _ 4. xxx 2tan lim 0→＝____ __(练习1-4也可以用等价无穷小法)练习5.∞→x lim x x 2)11(+＝__ ____ 6.∞→x lim x x )211(+＝__ ____练习7.∞→x lim x x )231(+＝__ ____ 8. ∞→x lim x x3)211(-＝__ ____练习9.0lim →x xx 1)21(+ ＝__ ____ 10. 0lim →x xx 21)1(-＝__ ____无穷小量乘以有界函数 ＝ 无穷小量 练习1. 0lim →x xsinx1=________ 2. ∞→x lim x 1sinx=________(什么是无穷小量？高阶无穷小，低阶无穷小，等阶无穷小，等价无穷小？)题型二：连续性问题（可导/有极限）练习1. 函数⎩⎨⎧<+≥+=1,1,1ln )(2x x ax x x x f 在x=1处连续，则a=______练习2. 函数⎪⎩⎪⎨⎧<+≥+=0,0,)1()(1x x a x x x f x 在x=0处有极限，则a=______练习3. 函数⎩⎨⎧<+≥+=2,2,1)(2x x b x ax x f 在x=2处可导，则a=______， b=______第二部分 一元函数微分学题型三：求导（背导数公式、导数的四则运算，复合函数求导公式）(y’=f’(x)=dxdy这三种是一个意思, 如果求微分dy ，就是dy= y’dx) 题型三中，一定要注意运算率 (uv)’=______ (kv)’=______ )'(vu=_____ f(g)’=_____复合函数求导：一定要背好导数公式，在考试中占40分左右练习1. f(x)=sinx+2cosx , 则f’(2π)=__ ____ 练习2. y=x x cos 12+ , 则dxdy=___ ___练习3. y=x 4cosx +x1+ e x, 则y’=__ ____复合函数求导：练习4. y=cos 4x, 则y’=___ 5. y=x x +2, 则y’=__ ____练习6. y=xlnx , 则dy=___ ___练习7. y=sin （x 3+1）, 则dy=___ ___ 8. y=)ln(x x +, 则dy=___ ___题型四：高阶导数与隐函数的求导练习1. y=x 3+lnx, 则y”=______ 2. y=cos2x, 则y (4)=______ 练习3. y=ln （2x+1）, 则y”=______ 4. y=xe 2x , 则y”(1)=______练习5. 2x 3+xy++y+y 2=0, 则dx dy =______ 6. e x +y=sinxy, 则dxdy =______题型五. 在某点处的切线或法线（斜率或方程）练习1.曲线y=2x 3在点（1，2）处的切线的斜率为_______, 切线方程为___________ 练习2. 曲线y=sin(x+1)在x=-1处的切线方程为___________练习3. 若y=ax 2+2x 在x=1处的切线与y=4x+3平行，则a=________题型六：求驻点、极值点（极值）、拐点、单调区间、凹凸区间 1.求驻点、拐点、极值点练习1. 曲线 y=x 3－3x 的驻点为___________ 极值点为__________ 拐点为_______2.求单调区间与极值（大题） 练习2.求1431)(3+-=x x x f 的单调区间、极值、凹凸区间和拐点（答案见11年高考）练习3. 若f(x)=ax 3+bx 2+x 在x=1处取得极大值5，求a,b练习4. 函数321()2333f x x x x =-+-讨论（1）函数的单调性并求其单调区间.（2）求函数的凹凸区间和拐点。
