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上海市考研数学复习资料线性代数重点概念解析答题一：上海市考研数学复习资料线性代数重点概念解析线性代数是数学的一个重要分支，也是考研数学中的一门必考科目。
在备考过程中，我们需要重点掌握线性代数的核心概念和基本理论，以便在考试中能够灵活运用。
本文将对上海市考研数学复习资料中的线性代数重点概念进行解析，帮助考生更好地理解和掌握相关知识。
1. 矩阵及运算矩阵是线性代数中最基本的概念之一。
矩阵是一个由$m$行$n$列元素组成的矩形阵列，记作$A_{m\times n}$。
矩阵的加法、数乘、乘法是常见的运算操作。
其中，矩阵的乘法是一种特殊的运算，需要注意矩阵的乘法不满足交换律。
2. 线性方程组与矩阵的应用线性方程组是线性代数的核心内容之一。
一个线性方程组包含若干个线性方程，未知数之间的系数构成系数矩阵，方程右端构成常数向量。
线性方程组的解可以通过矩阵的运算求解。
对于方程组$Ax=b$，若存在满足条件的向量$x$，使得等式成立，则称$x$是方程组的解。
3. 矩阵的特征值与特征向量矩阵的特征值与特征向量是线性代数中的重要概念。
对于一个$n$阶方阵$A$，若存在一个数$\lambda$和一个非零向量$x$，使得$Ax=\lambda x$，则称$\lambda$为矩阵$A$的特征值，$x$为对应于特征值$\lambda$的特征向量。
矩阵的特征值与特征向量在数学和物理等领域具有广泛应用。
4. 矩阵的行列式矩阵的行列式是线性代数中的一个重要概念。
对于一个$n$阶方阵$A$，其行列式记作$|A|$。
行列式可以用于判断方阵的可逆性，计算方阵的逆矩阵以及求解线性方程组。
行列式的计算涉及到代数余子式和伴随矩阵等概念。
5. 矩阵的秩与线性相关性矩阵的秩是矩阵的重要性质之一。
对于一个矩阵$A$，其秩记作$r(A)$。
矩阵的秩可以通过高斯消元法等方法求解。
矩阵的秩与线性相关性密切相关，当矩阵的秩小于行数或列数时，说明矩阵中存在线性相关的向量。
上海市考研数学复习资料线性代数重点知识点梳理线性代数作为数学的一个重要分支，在考研数学中也占据着重要的地位。
在备考过程中，对线性代数的重点知识点进行梳理和复习是非常必要的。
本文将从线性代数的基础概念、矩阵与行列式、向量空间、线性变换以及特征值和特征向量等方面，对上海市考研数学复习资料中的线性代数重点知识点进行详细的介绍和总结。
一、基础概念1. 数域与向量空间：数域的定义和性质、向量空间的定义、线性组合与线性相关、线性无关与生成子空间等。
2. 矩阵与行列式：矩阵的定义和性质、矩阵的运算、矩阵的转置、矩阵的秩、行列式的定义和性质、行列式的计算等。
3. 线性方程组：线性方程组的解集、线性方程组的性质、线性方程组的判定定理等。
二、矩阵与行列式1. 矩阵的运算：矩阵的加法、矩阵的数乘、矩阵的乘法、矩阵的幂等性等。
2. 矩阵的转置：矩阵的转置定义、矩阵转置的性质、矩阵转置的运算法则等。
3. 矩阵的秩：矩阵的秩的定义、矩阵秩的性质、矩阵秩的计算方法、矩阵的秩与线性方程组解的关系等。
4. 行列式的定义和性质：行列式的定义、行列式的性质、行列式的运算等。
5. 行列式的计算：拉普拉斯展开定理、行列式按行（列）展开计算等。
三、向量空间1. 向量空间的定义和性质：向量空间的定义、向量的加法和数乘、向量空间的性质等。
2. 线性组合与线性相关：线性组合的定义、线性相关与线性无关的概念、线性相关矩阵的秩等。
3. 子空间：子空间的定义、子空间的性质、子空间的直和分解等。
4. 基与维数：基的定义、基的性质、维数的概念、维数的计算等。
四、线性变换1. 线性变换的定义和性质：线性变换的定义、线性变换的性质、线性变换的运算性质等。
2. 线性变换的矩阵表示：线性变换的矩阵表示的定义、矩阵表示的性质、矩阵表示的计算等。
3. 线性变换与矩阵的相似性：线性变换与矩阵的相似性的定义、相似矩阵的性质等。
五、特征值和特征向量1. 特征值和特征向量的定义和性质：特征值和特征向量的定义、特征值和特征向量的性质、特征值的计算等。
B 模拟卷四
（一）（本题15分）计算下列行列式的值
（1）2605232
11213141
2-=D （2）n
D ...222...
............2...3222...2222...221=（二）（本题12分）设矩阵A 和B 满足关系式B A AB 2+=，其中
⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=321011324A ，求矩阵B 。
（三）（本题13分）当λ取何值时，非齐次线性方程组
⎪⎩
⎪⎨⎧--=-+--=--+=-+-1)5(4224)5(2122)2(321321321λλλλx x x x x x x x x 有解？并在有无穷多组解时，求出全部解。
（四）（本题14分）求下列向量组的秩和一个最大线性无关组，并将其余向量
表示成这个最大无关组的线性组合。
()T 1,2,2,1,11=α，()T 1,5,1,2,02-=α，
()T 3,1,3,0,23-=α，()
T 1,4,0,1,14-=α（五）（本题12分）设向量组4321,,,αααα的秩为3，向量组5321,,,αααα的秩
为4，证明：向量组45321,,,ααααα-的秩为4。
（六）（本题8分）证明()T 0,1,11-=α，()T 3,1,22=α，()T
2,1,33=α构成3R 的一组基。
（七）（本题18分）求方阵A 的特征值与特征向量，其中⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡=122212221A （八）（本题8分）已知n 阶矩阵A 和B 满足关系式AB B A =+，证明：E A -为
可逆矩阵，其中E 为n 阶单位矩阵。
上海理工大学2023《线性代数》考研参考书目和考研大纲1500字《线性代数》是考研数学专业基础课之一，对于计算机科学、数学、统计学等相关专业的研究生来说是重要的必修课程之一。
在准备考研的过程中，选择合适的参考书目是非常重要的。
接下来为您推荐一些适合2023年上海理工大学《线性代数》考研的参考书目，并对考研大纲进行解读。
1.《线性代数及其应用》（第四版）作者：David C. Lay、袁亚湘该教材是经典的线性代数教材，深入浅出地讲解了线性代数的基本概念、性质和应用。
书中的例题和习题非常丰富，帮助读者巩固知识点并掌握解题技巧。
2.《线性代数》（第七版）作者：Howard Anton、Chris Rorres这本书是另一本很受欢迎的线性代数教材，与其他书相比，它对定理的证明更为详细，有助于理解和掌握重要概念和定理。
3.《线性代数与解析几何》（第五版）作者：李建民、杜江晖该教材是国内著名的线性代数教材，内容全面、系统，并增加了较多的实例和练习题，对考研备考很有帮助。
4.《线性代数》（第二版）作者：谢和平这本书是红宝书系列中的一本，作者以清晰的语言、详细的推导讲解了线性代数的基本理论和方法，是考研复习的好选择。
考研大纲主要分为以下几个部分：1. 向量空间和线性变换：讲解向量空间的定义、基础性质和运算规则，线性变换的定义、矩阵表示和性质。
2. 矩阵与行列式：介绍矩阵的基本概念、运算规则和性质，行列式的定义、性质、求解方法和应用。
3. 线性方程组：探讨线性方程组的基本概念、解的存在唯一性和求解方法，以及齐次线性方程组和非齐次线性方程组的性质和解的结构。
4. 特征值与特征向量：介绍特征值和特征向量的定义、性质和求解方法，以及对称矩阵的对角化。
5. 线性算子：讲解线性算子的概念、线性算子的矩阵表示和性质，同时介绍内积空间和正交性。
根据考研大纲，我们可以看出，《线性代数》的考察点主要包括：向量空间、线性变换、矩阵、行列式、线性方程组、特征值和特征向量、线性算子等。
上海理工大学研究生试题/学年第 1 学期课程名称：高等代数教师签章：年月日教研室主任审查意见：签章：年月日1.编号栏由研究生部填写。
上海理工大学研究生课程试题*/ 学年第 1学期 考试课程 高等代数 学 号 姓 名 得 分一、 已知实二次型323121232221321444444),,(x tx x x x x x x x x x x f +-----=（1）假设),,(321x x x f 是负定二次型，求t 的值；（2）当1-=t 时，试用非退化线性变换化此二次型为标准形并写出所用的线性变换的矩阵. （16分）二、设A 是一个8阶方阵，它的8个不变因子为1，1，1，1，1，1+λ，1+λ，32)3)(2()1(+-+λλλ，求A 的所有的初等因子及A 的若当标准形. （12分）三、设123,,ααα是3维欧氏空间V 的一组基，这组基的度量矩阵为112121216-⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪-⎝⎭（1）令12γαα=+，证明γ是一个单位向量； （2）若123k βααα=++与γ正交，求k .（15分）四、已知⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈⎪⎪⎭⎫⎝⎛=R b a b a W ,|001,⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=R c a c a W 11112,|00是22⨯R 的两个子空间， 求2121,W W W W +⋂的一个基和维数. （15分）五、V 为定义在实数域上的函数构成的线性空间，令12{()(),()()},{()(),()()}W f x f x V f x f x W f x f x V f x f x =∈=-=∈=--证明：W 1、W 2皆为V 的子空间，且21W W V ⊕=.（15分）六、设V 是数域P 上的一个三维空间，,,123ξξξ是它的一组基，f 是V 的一个线性函数，已知()1,(2)11321f f ξξξξ+=-=-，()312f ξξ+=-,求()112233f x x x ξξξ++.（12分）*注：考题全部写在框内，不要超出边界。
上海理工大学2023《计算方法》考研复试大纲和参考书目1500字上海理工大学2023年《计算方法》考研复试大纲和参考书目如下：一、考试内容大纲：1. 数值计算的误差和稳定性分析a. 数值计算中的误差来源b. 表示误差和舍入误差c. 稳定性分析2. 解线性方程组a. 直接法：高斯消元法、LU分解法、LDLT分解法b. 迭代法：雅可比迭代法、高斯-赛德尔迭代法、超松弛迭代法3. 函数插值与逼近a. 插值问题b. 插值多项式：拉格朗日插值多项式、牛顿插值多项式、埃尔米特插值多项式c. 最小二乘逼近4. 数值积分与数值微分a. 数值积分的性质和误差估计b. 数值积分方法：梯形法则、辛普森法则、龙贝格积分法c. 数值微分方法：差商、中心差商、高阶差商5. 常微分方程的数值解法a. 初值问题：欧拉法、改进的欧拉法、龙格-库塔法b. 边值问题：有限差分法、有限元法二、参考书目：1. 《数值计算方法》（第3版），田文瑞，高等教育出版社本书是计算方法的经典教材，全面介绍了数值计算方法的基本原理和应用。
2. 《数值线性代数》（第2版），刘洪海，高等教育出版社本书详细介绍了解线性方程组的各种方法，包括直接法和迭代法，并对其误差和稳定性进行了分析。
3. 《数值分析》（第9版），沈荣毅，高等教育出版社本书是数值分析领域的经典教材，涵盖了数值计算的基本概念、数值线性代数、插值与逼近、数值积分与数值微分等内容。
4. 《常微分方程数值解法》（第3版），冯家荣，高等教育出版社本书介绍了常微分方程数值解法的基本原理和应用，包括初值问题和边值问题的数值解法。
5. 《计算方法与程序设计》（第2版），罗斌，上海交通大学出版社本书是计算方法与程序设计的综合教材，结合了理论知识和编程实践，帮助学生更好地理解和应用计算方法。
以上是上海理工大学2023年《计算方法》考研复试大纲和参考书目的详细内容，希望对您的复习有所帮助。
上海市考研数学线性代数重点知识总结线性代数是数学中的一门重要学科，在上海市考研数学中也占据了重要的地位。
本文旨在总结上海市考研数学线性代数的重点知识，帮助考生更好地备考。
一、矩阵及其运算1. 矩阵的定义：矩阵是一个按照行和列排列的数表。
2. 矩阵的运算：包括矩阵的加法、数乘、乘法等。
3. 矩阵的乘法规则：满足结合律，但不满足交换律。
二、矩阵的行列式1. 行列式的定义：是一个标量，是一个与矩阵相关的函数。
2. 行列式的性质：包括行列式的展开、行列式的性质等。
三、线性方程组1. 线性方程组的定义：由多个线性方程组成，未知数是线性方程组的解。
2. 线性方程组的解的存在性和唯一性：需要满足一定的条件。
3. 线性方程组的求解方法：包括矩阵消元法、克拉默法则等。
四、向量空间1. 向量空间的定义：是一个集合，其中包含满足一定性质的向量。
2. 向量空间的性质：包括加法性质、数乘性质等。
五、线性变换1. 线性变换的定义：是指在向量空间之间的一种变换关系。
2. 线性变换的矩阵表示：线性变换可以通过矩阵来表示。
六、特征值与特征向量1. 特征值与特征向量的定义：特征向量是指在线性变换下方向不变的向量，特征值是指特征向量对应的标量。
2. 特征值与特征向量的性质：包括特征值与特征向量的计算方法等。
七、内积空间1. 内积的定义：是指向量之间的一种二元运算。
2. 内积空间的性质：包括内积的线性性质、共轭对称性等。
八、正交与子空间1. 正交的定义：是指两个向量的内积为零。
2. 正交子空间的性质：两个正交子空间的交集为零向量。
九、矩阵的相似与对角化1. 相似矩阵的定义：是指两个矩阵之间可以通过某种变换得到。
2. 矩阵的对角化：存在一个可逆矩阵P，使得P逆乘以A乘以P等于对角矩阵。
以上是上海市考研数学线性代数的重点知识总结，学生们在备考过程中可重点关注这些知识点，并进行深入学习和理解。
通过不断巩固和练习，相信大家一定能够在考试中取得好成绩。
上海市考研数学复习资料线性代数重点知识点总结线性代数作为数学的一个重要分支，不仅在理论研究中具有重要地位，而且在实际应用中也具有广泛的应用价值。
在上海市考研数学复习中，线性代数是必不可少的一部分。
因此，本文将对线性代数的重点知识点进行总结，帮助考生全面复习，提高备考效率。
1. 线性方程组线性方程组是线性代数研究的一个重要内容，它是由一系列线性方程组成的方程集合。
考生需要掌握线性方程组的求解方法，包括高斯消元法、矩阵求逆法以及克拉默法则等。
此外，还需注意线性方程组的解的性质，如唯一解、无解和无穷多解等情况的判定。
2. 矩阵与行列式矩阵与行列式是线性代数的基础概念。
考生需要了解矩阵的定义、性质和运算，包括矩阵的加法、数乘、乘法等操作。
同时，还需掌握矩阵的转置、逆矩阵、特征值和特征向量等重要概念。
对于行列式，考生需要理解行列式的定义、性质以及求解行列式的方法，如按行（列）展开法和行列式的性质法等。
3. 线性空间与线性变换线性空间是线性代数的重要概念，它是指由向量组成的集合，满足一定的条件。
考生需要了解线性空间的定义及其基本性质，包括线性空间的子空间、线性相关性和线性无关性等概念。
此外，对于线性变换，考生需要理解线性变换的定义、性质以及线性变换的表示、矩阵等重要知识点。
4. 特征值与特征向量特征值与特征向量是矩阵理论中的重要内容。
考生需要了解特征值与特征向量的定义及其基本性质，熟悉求解特征值与特征向量的方法，包括特征方程、代数重数和几何重数等知识点。
此外，还需掌握特征值与特征向量的应用，如对角化和相似对角化等相关内容。
5. 线性代数的应用线性代数在各个学科领域都有着广泛的应用。
在数学中，线性代数能够解决向量空间、矩阵、线性方程组等问题；在物理学中，线性代数能够解释物理现象与模型之间的关系；在计算机科学中，线性代数是计算机图形学、机器学习、人工智能等领域的重要工具。
考生需要了解线性代数在不同学科中的应用，并能够灵活运用线性代数知识解决实际问题。
上海市考研数学复习资料线性代数重点知识总结线性代数是数学中的一个重要分支，也是考研数学中的一门重要课程。
在准备考研数学复习资料时，线性代数的重点知识必不可少。
本文将对上海市考研数学复习资料中线性代数的重点知识进行总结，以帮助考生更好地复习和备考。
一、行列式与矩阵在线性代数中，行列式与矩阵是最基本也是最重要的概念之一。
行列式是一个方阵所固有的一个数值，它具有一些重要的性质和计算规则。
而矩阵则是由一定数量的数所组成的矩形数表。
行列式的定义和计算方法是考研数学中的重点内容。
在复习资料中，需要掌握行列式的定义、计算规则和性质，包括行列式的展开与性质、行列式的计算方法以及克拉默法则等。
同时，理解矩阵的概念和性质也是非常重要的，包括矩阵的代数运算、矩阵的逆与转置等。
二、向量空间与线性变换向量空间和线性变换是线性代数中的另外两个重要内容。
向量空间是由一组向量所组成的集合，在线性代数中具有广泛的应用。
线性变换则是指一个向量空间到另一个向量空间的映射，它在数学和物理学等领域中具有重要的应用。
在复习资料中，需要对向量空间和线性变换有深入的理解，并熟悉相关的概念和性质。
重点内容包括向量空间的定义和性质、向量空间的子空间与线性相关性、线性变换的定义和性质、线性变换的矩阵表示等。
三、特征值与特征向量特征值与特征向量是线性代数中的另外一个重点内容。
在复习资料中，需要掌握特征值与特征向量的定义以及相关的性质和计算方法。
特征值与特征向量在矩阵的谱分解、对角化等问题中具有重要的应用，因此对其理解和掌握是非常重要的。
重点内容包括特征值与特征向量的定义、特征值与特征向量的性质、特征值与特征向量的计算方法以及实对称矩阵的对角化等。
四、内积空间与正交性内积空间与正交性是线性代数中的另外一个重要内容。
内积空间是指一个向量空间中定义了一个内积运算的空间，它在数学和物理学等领域中具有广泛的应用。
正交性则是指向量之间的垂直关系，在许多问题中具有重要的作用。
㊀㊀㊀㊀㊀㊀线性代数课程思政元素的融入线性代数 课程思政 元素的融入Һ何常香㊀（上海理工大学理学院，上海㊀２０００９３）㊀㊀ʌ摘要ɔ线性代数 课程思政 建设对于实现强化价值引领㊁知识传授㊁能力培养 三位一体 的教育教学目标格外重要．本文以课程发展㊁定理和算法的形成㊁言传身教的核心，以及应用为着力点，研究如何有效地将 课程思政 元素融入线性代数教学．ʌ关键词ɔ 课程思政 ；线性代数；教学方法ʌ基金项目ɔ上海理工大学 教学成果奖 培育项目，上海市课程思政领航高校建设项目．为了贯彻习近平在全国高校思政会议上关于 各类课程与思想政治理论课同向同行，形成协同效应 的讲话精神，各高校纷纷开展 课程思政 的探讨．线性代数是高等学校的重要公共基础课程，是本科理㊁工㊁经㊁管等非数学类各学科本科生的必修课程．该课程的内容㊁思想及方法，对学生后继课程的学习有直接的影响．正因如此，线性代数的 课程思政 建设对于实现强化价值引领㊁知识传授㊁能力培养 三位一体 的教育教学目标格外重要，具有推广价值．一㊁以课程发展历史增强学生的民族凝聚力学过线性代数的人都知道，线性代数的发展史上并没有中国人的名字，难道说古老的中华民族在近代数学发展中落伍了？其实不然，以矩阵的起源为例，早在‘九章算术“中，我们的祖先就采用分离系数的方法表示线性方程组．‘九章算术“方程章中共计１８道题目，其中关于二元一次方程组的有８道题目，三元的有６道题目，四元㊁五元的各２道题目，其求解的基本方法和加减消元法基本一致，是世界上最早的完整的简单线性方程组的解法．而在西方，直到１７世纪才由莱布尼兹提出完整的线性方程的解法．这既说明了人类的认知途径是从简单到复杂，从形象到抽象，形象和抽象相结合的认知规律，又验证了 实践 理论 实践 的马克思主义认识论，更说明了中国数学对于世界的影响．二㊁以定理和算法的形成树立学生的辩证唯物观数学是一门客观㊁严谨的自然科学，体现了唯物论和辩证法的哲学思想．线性代数中的很多定理和算法都是从具体的客观现象中抽象出来的．比如，线性方程组的解法㊁向量组线性相关和线性无关的判定定理等都是由实际问题归纳总结出来的，最终回归到实践中，经过了 由特殊到一般，再由一般到特殊 的认识过程及 从具体到一般，再从一般到具体 的思维方法．三㊁言传不如身教，教师是 课程思政 的核心课程思政 建设的关键在于教师．教师是课堂教学实施的主体，也是第一责任人．多年来形成的教学观念和教学习惯，难免会让部分教师对数学课程开展中融入课程思想政治的认识深度不够，认为与己无关．因此，认识到 课程思政 的重要性和必要性，改变教师多年形成的教学观念和教学习惯，提高育人意识，才能切实做到 爱学生㊁有学问㊁会传授㊁做榜样 ．四㊁以实际应用为着力点线性代数有何用？这是线性代数 课程思政 的着力点．理论来源于实践，理论的价值最终也在实践中体现．线性代数在编码解码等领域有重要的应用，可以毫不夸张地说，一半以上的实际应用问题，最终都可以转化成一个超大规模的线性方程组问题．下面就以几个实际的例子说明线性代数的应用．１．向量在数据表示中的应用（１）ｏｎｅ⁃ｈｏｔ编码．在机器学习中，对一个对象的表示有两种常见的方式．最简单且不需要学习的方式就是ｏｎｅ⁃ｈｏｔ编码，它可以将研究的对象表示为向量，这个向量只有某一个分量为１，其余全为０．可以想象有多少种类型，这个向量的维数就是多少．如果用这种方式将中文汉字向量化，假设所有的中文汉字有Ｎ个，要想通过这种方式去表示这些汉字，那么每个字都需要用一个Ｎ维的向量，总共需要ＮˑＮ大小的矩阵．在自然语言处理中，词袋模型就是以此为基础构建的．例１㊀㊀用ｏｎｅ⁃ｈｏｔ编码表示 我爱苹果，我爱香蕉 ，一个词语对应着一个数字，那么上面的４个词语，可以用下列方式编码：我 的编码为［１，０，０，０］， 爱 的编码为［０，１，０，０］， 苹果 的编码为［０，０，１，０］， 香蕉 的编码为［０，０，０，１］．（２）分布式表示．分布式表示是一种高维空间中的向量表示方法．首先，通过某种方式得到一个低维稠密的向量表示研究对象，最典型的例子就是颜色．我们知道任何一种颜色都可以通过红㊁绿㊁蓝３种颜色混合得到，在计算机中通常使用ＲＧＢ方式将颜色表示为一个三元组．比如用ＲＧＢ表示粉色㊁浅粉色㊁深粉色分别为（２５５，１８２，１９３），（２５５，１９２，２０３），（２５５，２０，１４７）．这种表示方法可以反映颜色的相近程度．而如果要用ｏｎｅ⁃ｈｏｔ编码表示这些颜色，对于２５６级的㊀㊀㊀㊀㊀ＲＧＢ来说，总共有约２５６３种色彩，就需要２５６３维向量，数据是非常高维且稀疏的．例２㊀例１中的四个词可以用以下四个三维向量表示：我［１，１，１］，爱［１，－１，１］，苹果［－１，１，０．５］，香蕉［－１，１，０．４］．不但维数降低了，还可以直观地看出苹果和香蕉在语义上较为接近，因为它们都是水果．２．线性运算在卷积神经网络的应用卷积神经网络（ＣｏｎｖｏｌｕｔｉｏｎａｌＮｅｕｒａｌＮｅｔｗｏｒｋｓ，ＣＮＮ）是一类包含卷积计算且具有深度结构的前馈神经网络，是深度学习的代表算法之一，在深度学习中占有非常重要的地位．一般情况下，ＣＮＮ由３个部分构成：卷积层㊁池化层和全连接层．卷积层负责提取图像中的局部特征，而卷积其实质是一种特殊的线性运算．例３㊀假设卷积核为一个３阶方阵Ｂ＝０１０２０１１１２æèççöø÷÷，图片Ａ＝２３５１０００１２２３３２１１４１３００３２６２２æèçççççöø÷÷÷÷÷经卷积后可得到图片Ｃ＝１４１４１０１９１２１０３１１６１９æèççöø÷÷．其运算为对Ａ的３阶子阵的元素按系数分别为０，１，０，２，０，１，１，１，２进行线性运算．ｃ１１＝０ˑ２＋１ˑ３＋０ˑ５＋２ˑ０＋０ˑ０＋１ˑ１＋１ˑ３＋１ˑ３＋２ˑ２＝１４；ｃ１２＝０ˑ３＋１ˑ５＋０ˑ１＋２ˑ０＋０ˑ１＋１ˑ２＋１ˑ３＋１ˑ２＋２ˑ１＝１４；ｃ１３＝０ˑ５＋１ˑ１＋０ˑ０＋２ˑ１＋０ˑ２＋１ˑ２＋１ˑ２＋１ˑ１＋２ˑ１＝１０；ｃ２１＝０ˑ０＋１ˑ０＋０ˑ１＋２ˑ３＋０ˑ３＋１ˑ２＋１ˑ４＋１ˑ１＋２ˑ３＝１９；ｃ２２＝０ˑ０＋１ˑ１＋０ˑ２＋２ˑ３＋０ˑ２＋１ˑ１＋１ˑ１＋１ˑ３＋２ˑ０＝１２；ｃ２３＝０ˑ１＋１ˑ２＋０ˑ２＋２ˑ２＋０ˑ１＋１ˑ１＋１ˑ３＋１ˑ０＋２ˑ０＝１０；ｃ３１＝０ˑ３＋１ˑ３＋０ˑ２＋２ˑ４＋０ˑ１＋１ˑ３＋１ˑ３＋１ˑ２＋２ˑ６＝３１；ｃ３２＝０ˑ３＋１ˑ２＋０ˑ１＋２ˑ１＋０ˑ３＋１ˑ０＋１ˑ２＋１ˑ６＋２ˑ２＝１６；ｃ３３＝０ˑ２＋１ˑ１＋０ˑ１＋２ˑ３＋０ˑ０＋１ˑ０＋１ˑ６＋１ˑ２＋２ˑ２＝１９．３．特征值和特征向量在主成分分析法的应用在用统计分析方法研究多变量问题时，变量个数太多会增加问题的复杂性，还会增加运算成本．理想的做法是在减少变量个数的同时，尽量保留完整的信息．实际上，有些变量之间往往具有一定的相关性，当两个变量之间有一定相关性时，它们携带的信息往往有一定程度的重复．主成分分析（ＰｒｉｎｃｉｐａｌＣｏｍｐｏｎｅｎｔＡｎａｌｙｓｉｓ，ＰＣＡ）是一种统计方法，是设法将原来变量重新组合成一组新的相互无关的综合变量，同时根据实际需要从中选出较少的总和变量尽可能多地反映原来变量信息．其数学定义为：一个正交化线性变换，把数据变换到一个新的坐标系统中，使得这一数据的任何投影的第一大方差在第一个坐标（第一主成分）上，第二大方差在第二个坐标（第二主成分）上，依次类推．假设有ｍ个样本数据，每个数据是ｎ维的，按列组成矩阵Ｘｎｍ，则ＰＣＡ步骤如下：（１）均值化矩阵Ｘｎｍ，得到Ｘ＝Ｘｎｍ－Ｘ－ｎｍ（其中Ｘ－ｎｍ的第ｉ行元素均为Ｘｎｍ的第ｉ行元素的均值）．（２）求出协方差矩阵Ｃ＝１ｍ－１ＸＸＴ．（３）求出协方差矩阵Ｃ的特征值和特征向量．（４）选取ｋ个最大的特征值对应的特征向量．（５）降维矩阵Ｙｋｍ＝ＷｋｎＸ．例４㊀假设Ｘ２ˑ５＝２２３５３－１１１２２æèçöø÷．（１）均值化：Ｘ＝Ｘ２ˑ５－Ｘ－２ˑ５＝－１－１０２０－２００１１æèçöø÷．（２）协方差矩阵：Ｃ＝１５－１ＸＸＴ＝３２１１３２æèçççöø÷÷÷．（３）特征值：λ１＝５２，λ２＝１２，取特征向量ω１＝１１æèçöø÷，ω２＝１－１æèçöø÷，将特征向量单位化，ωᶄ１＝１２１２æèççççöø÷÷÷÷，ωᶄ２＝１２－１２æèççççöø÷÷÷÷．（４）按照特征值大小排序，这里选取λ１，此时矩阵Ｗ１ˑ２＝１２１２æèçöø÷．（５）降维矩阵Ｙ１ˑ５＝Ｗ１ˑ２Ｘ＝１２１２æèçöø÷－１－１０２０－２００１１æèçöø÷＝－３２－１２０３２１２æèçöø÷．ʌ参考文献ɔ［１］刘锡平，宇振盛，何常香，魏连鑫．线性代数［Ｍ］．北京：高等教育出版社，２０１８．［２］曹伟丽，蔡康盛．线性代数［Ｍ］．长沙：湖南科学技术出版社，２０１３．［３］刘锡平，曹伟丽，宇振盛．线性代数［Ｍ］．北京：科学出版社，２０１３．［４］ＪｏｌｌｉｆｆｅＩＴ．ＰｒｉｎｃｉｐａｌＣｏｍｐｏｎｅｎｔＡｎａｌｙｓｉｓ［Ｍ］．Ｂｅｒｌｉｎ：Ｓｐｒｉｎｇｅｒ⁃Ｖｅｒｌａｇ，２００２．。
上海市考研数学复习资料线性代数重点知识点解析线性代数是数学的一个重要分支，涉及到向量、矩阵、线性方程组等内容。
对于准备参加上海市考研的同学来说，线性代数无疑是必须要掌握的一门重要学科。
在这篇文章中，我将为大家解析上海市考研数学复习资料中线性代数的重点知识点，帮助大家更好地备考。
1. 向量空间向量空间是线性代数的基础，理解向量空间的性质和基本概念对于解题至关重要。
在复习过程中，特别要注意掌握以下知识点：1.1 向量的线性相关性和线性无关性：理解向量组的线性相关性和线性无关性的定义，掌握判断线性相关性和线性无关性的方法。
1.2 子空间：了解子空间的定义和性质，熟悉子空间的判定方法。
1.3 基底和维度：掌握基底的概念，理解维度的定义和相关推论，熟悉求解向量空间的维度的方法。
2. 矩阵与线性方程组矩阵与线性方程组是线性代数中的核心内容，是解决实际问题的重要工具。
在复习矩阵与线性方程组时，需要重点关注以下知识点：2.1 矩阵的定义和运算：熟悉矩阵的基本定义和运算法则，特别是矩阵的加法、减法、乘法等运算。
2.2 矩阵的秩：了解矩阵的秩的定义和计算方法，熟悉求解秩的相关技巧。
2.3 矩阵的逆和行列式：理解可逆矩阵和非零行列式的概念，熟悉求解矩阵的逆和行列式的相关方法。
2.4 线性方程组的解：掌握利用矩阵表示线性方程组的方法，了解线性方程组解的性质和求解方法。
3. 特征值与特征向量特征值与特征向量是线性代数中的重要概念，应用广泛于各个领域。
在复习特征值与特征向量时，应重点关注以下知识点：3.1 特征值与特征向量的定义：理解特征值与特征向量的几何和代数定义，熟悉特征值方程的性质。
3.2 特征值与特征向量的计算：掌握求解特征值和特征向量的相关计算方法，包括求解特征多项式、特征方程等。
3.3 矩阵的对角化：了解矩阵的对角化概念及其判定条件，熟悉矩阵对角化的方法和步骤。
4. 内积空间内积空间是线性代数中的一个重要分支，主要研究向量的内积和长度。
上海市考研数学复习线性代数基础知识总结线性代数是考研数学中的重要内容之一，它为我们理解和解决数学问题提供了基础工具和方法。
在考研数学复习过程中，对线性代数的基础知识的掌握至关重要。
本文将对上海市考研数学复习中的线性代数基础知识进行总结。
一、矩阵与向量空间1. 矩阵的定义矩阵是一个由数字按照长方阵列排列而成的矩形阵列。
矩阵的行数与列数分别被称为矩阵的行数与列数。
2. 矩阵的运算矩阵的加法、减法和数乘是矩阵运算的基本运算，它们满足一定的运算规则。
3. 向量空间的定义向量空间是指一组满足一定运算规则的向量的集合。
向量空间具有封闭性、相加性和数乘性等性质。
二、矩阵的行列式1. 行列式的定义行列式是一个表示某个方阵所围成的平行四边形面积的数值。
2. 行列式的性质行列式具有一系列的性质，包括对换性、缩放性、线性性等等。
三、矩阵的特征值与特征向量1. 特征值与特征向量的定义对于一个方阵，若存在一个非零向量，使得该向量与方阵的乘积等于该向量的一个常数倍，则该常数称为方阵的特征值，对应的非零向量称为特征向量。
2. 特征值与特征向量的性质特征值与特征向量有一系列重要的性质，如特征值的和与积、特征向量的线性相关性等。
四、矩阵的对角化与相似矩阵1. 对角化的概念对角化是指将一个方阵通过特征值和特征向量的变换，变为一个对角矩阵的过程。
2. 相似矩阵的定义和性质如果存在一个可逆矩阵P，使得方阵A与P的逆矩阵、P的乘积等于P的逆矩阵与A的乘积、A的乘积等于P的乘积与A的乘积，那么称矩阵A与P相似。
五、线性方程组与矩阵的秩1. 线性方程组的解线性方程组是指一组线性方程的集合，我们通过求解线性方程组可以得到方程组的解。
2. 矩阵的秩矩阵的秩是指矩阵中的线性无关的行或列的最大个数。
以上是对上海市考研数学复习中线性代数基础知识的一个简单总结。
希望对广大考研数学复习的同学有所帮助。
通过对这些基础知识的学习，我们可以更好地理解数学问题并解决实际应用中的具体问题。
B 模拟卷四
（一）（本题15分）计算下列行列式的值
（1）2605232
11213141
2-=D （2）n
D ...222...
............2...3222...2222...221=（二）（本题12分）设矩阵A 和B 满足关系式B A AB 2+=，其中
⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=321011324A ，求矩阵B 。
（三）（本题13分）当λ取何值时，非齐次线性方程组
⎪⎩
⎪⎨⎧--=-+--=--+=-+-1)5(4224)5(2122)2(321321321λλλλx x x x x x x x x 有解？并在有无穷多组解时，求出全部解。
（四）（本题14分）求下列向量组的秩和一个最大线性无关组，并将其余向量
表示成这个最大无关组的线性组合。
()T 1,2,2,1,11=α，()T 1,5,1,2,02-=α，
()T 3,1,3,0,23-=α，()
T 1,4,0,1,14-=α（五）（本题12分）设向量组4321,,,αααα的秩为3，向量组5321,,,αααα的秩
为4，证明：向量组45321,,,ααααα-的秩为4。
（六）（本题8分）证明()T 0,1,11-=α，()T 3,1,22=α，()T
2,1,33=α构成3R 的一组基。
（七）（本题18分）求方阵A 的特征值与特征向量，其中⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡=122212221A （八）（本题8分）已知n 阶矩阵A 和B 满足关系式AB B A =+，证明：E A -为
可逆矩阵，其中E 为n 阶单位矩阵。
