最新-九年级数学上册 292反证法同步作业 华东师大版 精品

检测内容：25.1—25.2得分________ 卷后分________ 评价________一、选择题(每小题4分，共32分)1．(洛阳期末)下列事件中，是随机事件的是(B )A ．任意画一个三角形，其内角和为180°B ．经过有交通信号的路口，遇到红灯C ．太阳从东方升起D ．任意一个五边形的外角和等于540°2．下列说法正确的是(D )A ．袋中有形状、大小、质地完全一样的5个红球和1个白球，从中随机抽出一个球，一定是红球B ．天气预报“明天降水概率10%”，是指明天有10%的时间会下雨C ．某地发行一种福利彩票，中奖率是千分之一，那么，买这种彩票1000张，一定会中奖D ．连续掷一枚均匀硬币，若5次都是正面朝上，则第六次仍然可能正面朝上3．小军旅行箱的密码是一个六位数，由于他忘记了密码的末位数字，则小军能一次打开该旅行箱的概率是(A )A ．110B ．19C ．16D ．154．一儿童行走在如右图所示的地板上，当他随意停下时，最终停在地板上阴影部分的概率是(A )A ．13B ．12C ．34D ．23第4题图 第5题图5．如图，电路图上有四个开关A ，B ，C ，D 和一个小灯泡，闭合开关D 或同时闭合开关A ，B ，C 都可使小灯泡发光，则任意闭合其中两个开关，小灯泡发光的概率是(A )A ．12B ．13C ．14D ．166．小明为研究反比例函数y ＝2x的图象，在－1、－2、1中任意取一个数为横坐标，在－1、2中任意取一个数为纵坐标组成点P 的坐标，点P 在反比例函数y ＝2x的图象上的概率是(B )A ．16B ．13C ．12D ．237．(2019·镇平县三模)甲，乙两个不透明的袋子里，分别装有质地、大小完全一样的4个、3个小球，甲袋中的4个小球上分别标有数字－1、－2、1、2，乙袋中的3个小球上分别标有数字－1、0、1，若随机从甲袋和乙袋中各摸出一个小球，两球所标数字之和是正数的概率是(D )A ．712B ．13C ．12D ．5128．(2019·安阳二模)一个不透明的袋子中装有4个标号为1，2，3，4的小球，它们除标号外其余均相同，先从袋子里随机摸出1个小球，记下标号后放回，再从袋子里随机摸出1个小球记下标号：把第一次摸出的小球标号作为十位数字，第二次摸出的小球标号作为个位数字，则所组成的数是3的倍数的概率是(D )A ．14B ．13C ．512D ．516二、填空题(每小题5分，共20分)9．如图，有五张背面完全相同的纸质卡片，其正面分别标有数6，7 ，11 ，－2，5 .将它们背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张卡片，则其正面的数比3小的概率是__35__．10．在一个不透明的袋子里装有若干个白球和5个红球，这些球除颜色不同外其余均相同，每次从袋子中摸出一个球记录下颜色后再放回，经过很多次重复试验，发现红球摸到的频率稳定在0.25，则袋中白球有__15__个．11．一个口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4，随机地摸出一个小球，然后放回，再随机地摸出一个小球，则两次摸出的小球标号的和等于4的概率是__316__．12．甲、乙、丙三位同学打乒乓球，想通过“手心手背”游戏来决定其中哪两个人先打，规则如下：三个人同时各用一只手随机出示手心或手背，若只有两个人手势相同(都是手心或都是手背)，则这两人先打，若三人手势相同，则重新决定．那么通过一次“手心手背”游戏能决定甲打乒乓球的概率是__12__． 三、解答题(共48分)13．(10分)甲口袋中装有3个相同的小球，它们分别写有数值－1，1，5；乙口袋中装有3个相同的小球，它们分别写有数值－4，2，3.现从甲口袋中随机取一球，记它上面的数值为x ，再从乙口袋中随机取一球，记它上面的数值为y .设点A 的坐标为(x ，y )，请用树形图或列表法，求点A 落在第一象限的概率．解：画树状图得：∴共有9种等可能的结果，点A 落在第一象限的有4种情况，∴点A 落在第一象限的概率为4914．(12分)四张扑克牌的牌面如图①，将扑克牌洗匀后，如图②背面朝上放置在桌面上，小明和小亮设计了A，B两种游戏方案：方案A：随机抽一张扑克牌，牌面数字为5时小明获胜；否则小亮获胜．方案B：随机同时抽取两张扑克牌，两张牌面数字之和为偶数时，小明获胜；否则小亮获胜．请你帮小亮选择其中一种方案，使他获胜的可能性较大，并说明理由．解：小亮选择B方案，则他获胜的可能性较大．方案A：∵四张扑克牌的牌面是5的有2种情况，不是5的也有2种情况，∴P(小亮获胜)＝24＝12；方案B：画树状图得：∵共有12种等可能的结果，两张牌面数字之和为偶数的有4种情况，不是偶数的有8种情况，∴P(小亮获胜)＝812＝23；∴小亮选择B方案，则他获胜的可能性较大15．(12分)第七届世界军人运动会于2019年10月18日至27日在武汉召开，有20名志愿者参加某分会场的工作，其中男生8人，女生12人．(1)若从这20人中随机选取一人作为联络员，求选到女生的概率；(2)若该分会场的某项工作只在甲、乙两人中选一人，他们准备以游戏的方式决定由谁参加，游戏规则如下：将四张牌面数字分别为2，3，4，5的扑克牌洗匀后，数字朝下放于桌面，从中任取2张，若牌面数字之和为偶数，则甲参加，否则乙参加．试问这个游戏公平吗？请用树状图或列表法说明理由．解：(1)∵现有20名志愿者准备参加某分会场的工作，其中男生8人，女生12人，∴从这20人中随机选取一人作为联络员，选到女生的概率为：1220＝35(2)如图所示：牌面数字之和为：5，6，7，5，7，8，6，7，9，7，8，9，∴偶数有4个，得到偶数的概率为412＝13，∴得到奇数的概率为23，∴甲参加的概率＜乙参加的概率，∴这个游戏不公平16．(14分)如图，管中放置着三根同样的绳子AA1，BB1，CC1.(1)小明从这三根绳子中随机选一根，恰好选中绳子AA1的概率是多少？(2)小明先从左端A，B，C三个绳头中随机选两个打一个结，再从右端A1，B1，C1三个绳头中随机选两个打一个结，求这三根绳子能连接成一根长绳的概率．解：(1)小明可选择的情况有三种，每种情况发生的可能性相等，恰好选中绳子AA1的情况为一种，所以小明恰好选中绳子AA1的概率P＝13(2)依题意，分别在两端随机任选两个绳头打结，总共有9种情况，画树状图如下，每种发生的可能性相等．其中左、右打结是相同字母(不考虑下标)的情况，不可能连接成为一根长绳，所以能连接成为一根长绳的情况有6种：左端将A，B打结，右端将A1，C1或B1，C1打结；左端将B，C打结，右端将A1，B1或A1，C1打结；左端将A，C打结，右端将A1，B1或B1，C1打结．故P(这三根绳子能连接成为一根长绳)＝69＝23。

23.6 图形与坐标一、选择题1．如图是某市几个旅游景点的大致位置示意图，如果用（0，0）表示新宁莨山的位置，用（1，5）表示隆回花瑶的位置，那么城市南山的位置可以表示为（）A．（2，1） B．（0，1） C．（-2，-1）D．（-2，1）（第1题图）（第2题图）2．如图是利用平面直角坐标系画出的故宫博物院的主要建筑分布图，若这个坐标系分别以正东、正北方向为x轴、y轴的正方向，表示太和门的点的坐标为（0，-1），表示九龙壁的点的坐标为（4，1），则表示下列宫殿的点的坐标正确的是（）A．景仁宫（4，2）B．养心殿（-2，3） C．保和殿（1，0）D．武英殿（-3.5，-4）3．如图是株洲市的行政区域平面地图，下列关于方位的说法错误的是（）A．炎陵位于株洲市区南偏东约35°的方向上B．醴陵位于攸县的北偏东约16°的方向上C．株洲县位于茶陵的南偏东约40°的方向上D．株洲市区位于攸县的北偏西约21°的方向上（第3题图）（第4题图）4．如图，动点P从（0，3）出发，沿如图的方向运动，每当碰到矩形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点P第2 013次碰到矩形的边时，点P的坐标为（）A．（1，4） B．（5，0） C．（6，4） D．（8，3）5．如图，在5×4的方格纸中，每个小正方形边长为1，点O，A，B 在方格纸的交点（格点）上，在第四象限内的格点上找点C，使△ABC 的面积为3，则这样的点C共有（）（第5题图）A．2个 B．3个 C．4个D．5个6．如图为小杰使用手机内的通讯软件跟小智对话的纪录．（第6题图）根据图中两人的对话纪录，若下列有一种走法能从邮局出发走到小杰家，则此走法为（）A．先向北直走700公尺，再向西直走100公尺 B．先向北直走100公尺，再向东直走700公尺C．先向北直走300公尺，再向西直走400公尺 D．先向北直走400公尺，再向东直走300公尺7．在平面直角坐标系中，孔明做走棋的游戏，其走法是：棋子从原点出发，第1步向右走1个单位长度，第2步向右走2个单位长度，第3步向上走1个单位长度，第4步向右走1个单位长度，…．依此类推，第n步的走法是：当n能被3整除时，则向上走1个单位长度；当n被3除，余数为1时，则向右走1个单位长度；当n被3除，余数为2时，则向右走2个单位长度．当走完第100步时，棋子所处位置的坐标是（）A．（66，34） B．（67，33） C．（100，33） D．（99，34）二、填空题8．在平面直角坐标系中，点A1（1，0），A2（2，3），A3（3，2），A4（4，5）…用你发现的规律，确定点A2 013的坐标为．9．如图，将平面直角坐标系中“鱼”的每个“顶点”的纵坐标保持不变，横坐标分别变为原来的，那么点A的对应点A′的坐标是．（第9题图）10．在平面直角坐标系中，点（-3，2）关于y轴的对称点的坐标是．11．在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A，B，C的坐标分别为（-1，1）、（-1，-1）、（1，-1），则顶点D的坐标为．12．如图，在直角坐标系中，若点A（-3，0），B（0，4），对△OAB 连续作旋转变换，依次得到△1，△2，△3，△4，…，则△2 013的直角顶点的坐标为．（第12题图）（第13题图）13．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点M0的坐标为（1，0），将线段OM0绕原点O逆时针方向旋转45°，再将其延长到M1，使得M1M0⊥OM0，得到线段OM1；又将线段OM1绕原点O逆时针方向旋转45°，再将其延长到M2，使得M2M1⊥OM1，得到线段OM2；如此下去，得到线段OM3，OM4，OM5，…．根据以上规律，请直接写出OM2 014的长度为．答案一、1．C 分析：建立平面直角坐标系如答图，城市南山的位置为（-2，-1）．故选C．（第1题答图）2．B 分析：根据表示太和门的点的坐标为（0，-1），表示九龙壁的点的坐标为（4，1），可得原点是中和殿，所以景仁宫（2，4），养心殿（-2，3），保和殿（0，1），武英殿（-3.5，-3）．故选B．3．C 分析：A．炎陵位于株洲市区南偏东约35°的方向上正确，故此选项正确；B．醴陵位于攸县的北偏东约16°的方向上正确，故此选项正确；C．应为株洲县位于茶陵的北偏西约40°的方向上，故此选项错误；D．株洲市区位于攸县的北偏西约21°的方向上正确，故此选项正确．故选C．4．D 分析：如答图，经过6次反弹动点回到出发点（0，3）．∵2 013÷6=335……3，∴当点P第2 013次碰到矩形的边时为第336个循环组的第3次反弹，∴点P的坐标为（8，3）．故选D．（第4题答图）（第5题答图）5．B 分析：由答图可知，AB∥x轴，且AB=3．设点C到AB的距离为h，则△ABC的面积=×3h=3，解得h=2．∵点C在第四象限，∴点C的位置如答图，共有3个．故选B．6．A 分析：依题意知，OA=OC=400=AE，AB=CD=300，DE=400-300=100，所以邮局出发走到小杰家的路径为先向北直走AB+AE=700，再向西直走DE=100公尺．故选A．7．C 分析：由题意，得,每3步为一个循环组依次循环，且一个循环组内向右走3个单位长度，向上走1个单位长度．∵100÷3=33……1，∴走完第100步，为第34个循环组的第1步，所处位置的横坐标为33×3+1=100，纵坐标为33×1=33，∴棋子所处位置的坐标是（100，33）．故选C．二、8．（2 013，2 012）分析：设A n（x，y）．∵当n=1时，A1（1，0），即x=n=1，y=1-1=0，当n=2时，A2（2，3），即x=n=2，y=2+1=3；当n=3时，A3（3，2），即x=n=3，y=3-1=2；当n=4时，A4（4，5），即x=n=4，y=4+1=5；…．∴当点的位置在奇数位置横坐标与下标相等，纵坐标减1，当点的位置在偶数位置横坐标与下标相等，纵坐标加1，∴A2013（x，y）的坐标是（n，n-1），∴点A2 013的坐标为（2 013，2 012）．9．（2，3）分析：点A变化前的坐标为（6，3），将横坐标保持不变，纵坐标分别变为原来的，则点A的对应点的坐标是（2，3）．10. （3，2）11．（2，3）分析：∵正方形两个顶点的坐标为A（-1，1），B（-1，-1），∴AB=1-（-1）=2．12．（8 052，0）分析：∵A（-3，0），B（0，4），∴AB=5．由题图可知，每3个三角形为一个循环组依次循环，一个循环组前进的长度为4+5+3=12．∵2013÷3=671，∴△2 013的直角顶点是第671个循环组的最后一个三角形的直角顶点．∵671×12=8 052，∴△2 013的直角顶点的坐标为（8 052，0）．13．21 007分析：∵点M0的坐标为（1，0），∴OM0=1．∵将线段OM0绕原点O逆时针方向旋转45°，M1M0⊥OM0，∴△OM0M1是等腰直角三角形，∴OM 1=OM0=．同理可知，OM2=OM1=（）2，OM3=OM2=（）3，…，OMOM2 013=（）2 014=21 007．2 014=。

华师大新版九年级上学期《22.2 一元二次方程的解法》2019年同步练习卷一．选择题（共27小题）1．用配方法解一元二次方程x2﹣8x+2＝0，此方程可化为的正确形式是（）A．（x﹣4）2＝14B．（x﹣4）2＝18C．（x+4）2＝14D．（x+4）2＝18 2．用配方法解下列方程时，配方有错误的是（）A．x2+8x+9＝0化为（x+4）2＝25B．x2﹣2x﹣99＝0化为（x﹣1）2＝100C．2t2﹣7t﹣4＝0化为D．3x2﹣4x﹣2＝0化为3．一元二次方程﹣x2+8x+1＝0配方后可变形为（）A．（x+4）2＝17B．（x+4）2＝15C．（x﹣4）2＝17D．（x﹣4）2＝15 4．用配方法解一元二次方程2x2﹣6x+1＝0时，此方程配方后可化为（）A．（x﹣）2＝B．2（x﹣）2＝C．（x﹣）2＝D．2（x﹣）2＝5．一元二次方程y2﹣y﹣＝0配方后可化为（）A．（y+）2＝1B．（y﹣）2＝1C．（y+）2＝D．（y﹣）2＝6．在《九章算术》“勾股”章里有求方程x2+34x﹣71000＝0的正根才能解答的题目，以上方程用配方法变形正确的是（）A．（x+17）2＝70711B．（x+17）2＝71289C．（x﹣17）2＝70711D．（x﹣17）2＝712897．解一元二次方程4x2﹣8x﹣1＝0，配方后正确的是（）A．（2x﹣2）2＝0B．4（x﹣1）2＝5C．（2x﹣2）2＝﹣3D．4（x﹣1）2＝2 8．用配方法解方程2x2+3x﹣1＝0，则方程可变形为（）A．（3x+1）2＝1B．C．D．9．利用配方法解方程2x2﹣x﹣2＝0时，应先将其变形为（）A．B．C．D．10．x＝是下列哪个一元二次方程的根（）A．3x2+5x+1＝0B．3x2﹣5x+1＝0C．3x2﹣5x﹣1＝0D．3x2+5x﹣1＝0 11．一元二次方程x2+x﹣1＝0的根是（）A．x＝1﹣B．x＝C．x＝﹣1+D．x＝12．用公式解方程﹣3x2+5x﹣1＝0，正确的是（）A．x＝B．x＝C．x＝D．x＝13．利用求根公式求的根时，a，b，c的值分别是（）A．5，，6B．5，6，C．5，﹣6，D．5，﹣6，﹣14．用公式法求一元二次方程的根时，首先要确定a、b、c的值．对于方程﹣4x2+3＝5x，下列叙述正确的是（）A．a＝﹣4，b＝5，c＝3B．a＝﹣4，b＝﹣5，c＝3C．a＝4，b＝5，c＝3D．a＝4，b＝﹣5，c＝﹣315．一元二次方程x（x﹣5）＝0的解是（）A．0B．5C．0和5D．0和﹣516．三角形的两边长分别为3和6，第三边的长是方程x2﹣10x+21＝0的一个根，则该三角形第三边的长是（）A．6B．3或7C．3D．717．一个等腰三角形的底边长是5，腰长是一元二次方程x2﹣6x+8＝0的一个根，则此三角形的周长是（）A．12B．13C．14D．12或1418．若等腰三角形的两边分别是一元二次方程x2﹣7x+12＝0的两根，则等腰三角形的周长为（）A．10B．11C．10或11D．以上都不对19．一元二次方程x2﹣2x+m＝0没有实数根，则m应满足的条件是（）A．m＜1B．m＞1C．m＝1D．m≤120．关于x的方程（m﹣2）x2﹣4x+1＝0有实数根，则m的取值范围是（）A．m≤6B．m＜6C．m≤6且m≠2D．m＜6且m≠2 21．若关于x的一元二次方程（k+2）x2﹣3x+1＝0有实数根，则k的取值范围是（）A．k＜且k≠﹣2B．k C．k≤且k≠﹣2D．k22．关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣2x+3＝0有两个不相等的实根，则k的取值范围是（）A．k＜B．k＜且k≠1C．0≤k≤D．k≠123．已知关于x的一元二次方程2x2﹣kx+3＝0有两个相等的实根，则k的值为（）A．B．C．2或3D．24．关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（）A．m＜3B．m＞3C．m≤3D．m≥325．若α，β是一元二次方程3x2+2x﹣9＝0的两根，则+的值是（）A．B．﹣C．﹣D．26．若α、β为方程2x2﹣5x﹣1＝0的两个实数根，则2α2+3αβ+5β的值为（）A．﹣13B．12C．14D．1527．已知一元二次方程x2﹣2x﹣1＝0的两根分别为x1，x2，则+的值为（）A．2B．﹣1C．D．﹣2二．填空题（共11小题）28．方程（x﹣5）2＝4的解为．29．一元二次方程（2x+1）2﹣81＝0的根是．30．一元二次方程x2+2x﹣6＝0的根是．31．已知x1，x2是方程2x2﹣3x﹣1＝0的两根，则x12+x22＝．32．已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+m﹣1＝0的实数根x1，x2，满足3x1x2﹣x1﹣x2＞2，则m的取值范围是．33．已知x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣1＝0的两实数根，则的值是．34．已知α，β是方程x2﹣3x﹣4＝0的两个实数根，则α2+αβ﹣3α的值为．35．已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣5x+a＝0的两个实数根，且x12﹣x22＝10，则a＝．36．设α、β是方程（x+1）（x﹣4）＝﹣5的两实数根，则＝．37．设一元二次方程x2﹣3x﹣1＝0的两根分别是x1，x2，则x1+x2（x22﹣3x2）＝．38．已知关于x的一元二次方程x2+（m+3）x+m+1＝0的两个实数根为x1，x2，若x12+x22＝4，则m的值为．三．解答题（共12小题）39．解方程：（3x+1）2＝6440．解方程：2x2+4x﹣1＝0（用配方法）．41．用公式法解方程：3x2﹣6x+1＝2．42．用公式法解方程：2x（x﹣3）＝x2﹣1．43．（1）计算：﹣32﹣（π﹣3.14）0+（tan30°）﹣1﹣2+（2）解方程：2x2﹣4x﹣1＝044．用配方法解方程3x2﹣5x﹣2＝0．45．（1）计算：（﹣2018）0+|3﹣tan60°|﹣（﹣）﹣2+（2）解方程：x2+4x﹣2＝046．（1）解方程x2+4x﹣2＝0（2）计算tan30°tan60°﹣sin260°+cos245°47．（1）计算：（﹣）（+）﹣2（2）解方程x2﹣4x+5＝048．（1）计算：（5﹣）÷×（2）解方程：x2+3＝2x．49．已知：关于x的一元二次方程x2﹣（2m+2）x+m2﹣3＝0（1）若此方程有实根，求m的取值范围；（2）在（1）的条件下，且m取最小的整数，求此时方程的两个根．50．已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+1）x+3m﹣6＝0．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程有一个根是负数，求m的取值范围．华师大新版九年级上学期《22.2 一元二次方程的解法》2019年同步练习卷参考答案与试题解析一．选择题（共27小题）1．用配方法解一元二次方程x2﹣8x+2＝0，此方程可化为的正确形式是（）A．（x﹣4）2＝14B．（x﹣4）2＝18C．（x+4）2＝14D．（x+4）2＝18【分析】移项，配方，即可得出选项．【解答】解：x2﹣8x+2＝0，x2﹣8x＝﹣2，x2﹣8x+16＝﹣2+16，（x﹣4）2＝14，故选：A．【点评】本题考查了解一元二次方程，能够正确配方是解此题的关键．2．用配方法解下列方程时，配方有错误的是（）A．x2+8x+9＝0化为（x+4）2＝25B．x2﹣2x﹣99＝0化为（x﹣1）2＝100C．2t2﹣7t﹣4＝0化为D．3x2﹣4x﹣2＝0化为【分析】利用配方法对各选项进行判断．【解答】解：A、x2+8x+9＝0化为（x+4）2＝7，所以A选项的配方错误；B、x2﹣2x﹣99＝0化为（x﹣1）2＝100，所以B选项的配方正确；C、2t2﹣7t﹣4＝0先化为t2﹣t＝2，再化为，所以C选项的配方正确；D、3x2﹣4x﹣2＝0先化为x2﹣x＝，再化为（x﹣）2＝，所以D选项的配方正确．故选：A．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣配方法：将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．3．一元二次方程﹣x2+8x+1＝0配方后可变形为（）A．（x+4）2＝17B．（x+4）2＝15C．（x﹣4）2＝17D．（x﹣4）2＝15【分析】移项，系数化成1，再配方，即可得出选项．【解答】解：﹣x2+8x+1＝0，﹣x2+8x＝﹣1，x2﹣8x＝1，x2﹣8x+16＝1+16，（x﹣4）2＝17，故选：C．【点评】本题考查了解一元二次方程，能正确配方是解此题的关键．4．用配方法解一元二次方程2x2﹣6x+1＝0时，此方程配方后可化为（）A．（x﹣）2＝B．2（x﹣）2＝C．（x﹣）2＝D．2（x﹣）2＝【分析】先移项，再将二次项系数化为1后，继而两边配上一次项系数一半的平方，写成完全平方式即可得．【解答】解：∵2x2﹣6x+1＝0，∴2x2﹣6x＝﹣1，则x2﹣3x＝﹣，∴x2﹣3x+＝﹣+，即（x﹣）2＝，故选：A．【点评】本题主要考查解一元二次方程﹣配方法，解题的关键是掌握用配方法解一元二次方程的步骤：①把原方程化为ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式；②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解．5．一元二次方程y2﹣y﹣＝0配方后可化为（）A．（y+）2＝1B．（y﹣）2＝1C．（y+）2＝D．（y﹣）2＝【分析】根据配方法即可求出答案．【解答】解：y2﹣y﹣＝0y2﹣y＝y2﹣y+＝1（y﹣）2＝1故选：B．【点评】本题考查一元二次方程的配方法，解题的关键是熟练运用配方法，本题属于基础题型．6．在《九章算术》“勾股”章里有求方程x2+34x﹣71000＝0的正根才能解答的题目，以上方程用配方法变形正确的是（）A．（x+17）2＝70711B．（x+17）2＝71289C．（x﹣17）2＝70711D．（x﹣17）2＝71289【分析】移项后两边配上一次项系数一半的平方即可得．【解答】解：x2+34x﹣71000＝0x2+34x＝71000x2+34x+172＝71000+172（x+17）2＝71289故选：B．【点评】题考查了解一元二次方程﹣配方法，利用此方法解方程时，首先将方程常数项移动方程右边，二次项系数化为1，然后方程左右两边都加上一次项系数一半的平方，方程左边化为完全平方式，右边合并为一个非负常数，开方转化为两个一元一次方程来求解．7．解一元二次方程4x2﹣8x﹣1＝0，配方后正确的是（）A．（2x﹣2）2＝0B．4（x﹣1）2＝5C．（2x﹣2）2＝﹣3D．4（x﹣1）2＝2【分析】先把二次项系数化为1，再把常数项移到方程的右边，进行把方程两边加上一次项系数一半的平方，然后把方程左边利用完全平方公式写成平方的形式即可．【解答】解：4x2﹣8x﹣1＝0，4x2﹣8x＝1，4（x2﹣2x+1）＝5，4（x﹣1）2＝5．故选：B．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣配方法：将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．8．用配方法解方程2x2+3x﹣1＝0，则方程可变形为（）A．（3x+1）2＝1B．C．D．【分析】先把常数项移到方程右侧，两边除以2，然后方程两边加上，再把方程左边写成完全平方的形式即可．【解答】解：x2+x＝，x2+x+＝+，（x+）2＝．故选：B．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣配方法：将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．9．利用配方法解方程2x2﹣x﹣2＝0时，应先将其变形为（）A．B．C．D．【分析】将方程常数项移到右边，方程左右两边同时除以2，然后方程左右两边都加上一次项系数一半的平方，左边化为完全平方式，右边合并，变形后即可得到正确答案．【解答】解：2x2﹣x﹣2＝0，移项得：2x2﹣x＝2，左右两边同时除以2得：x2﹣x＝1，配方得：x2﹣x+＝1+，即（x﹣）2＝，故选：B．【点评】考查了配方法解一元二次方程．配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．10．x＝是下列哪个一元二次方程的根（）A．3x2+5x+1＝0B．3x2﹣5x+1＝0C．3x2﹣5x﹣1＝0D．3x2+5x﹣1＝0【分析】用公式法解一元二次方程的一般步骤为：①把方程化成一般形式，进而确定a，b，c的值；②求出b2﹣4ac的值（若b2﹣4ac＜0，方程无实数根）；③在b2﹣4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入公式进行计算求出方程的根．【解答】解：A.3x2+5x+1＝0中，x＝，不合题意；B.3x2﹣5x+1＝0中，x＝，不合题意；C.3x2﹣5x﹣1＝0中，x＝，不合题意；D.3x2+5x﹣1＝0中，x＝，符合题意；故选：D．【点评】本题主要考查了一元二次方程的根，用求根公式解一元二次方程的方法是公式法．11．一元二次方程x2+x﹣1＝0的根是（）A．x＝1﹣B．x＝C．x＝﹣1+D．x＝【分析】先计算判别式的值，然后根据判别式的意义可判断方程根的情况．【解答】解：∵△＝12﹣4×（﹣1）＝5＞0，∴方程有两个不相等的两个实数根，即x＝．故选：D．【点评】本题考查了公式法解一元二次方程，用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：①a≠0；②b2﹣4ac≥0．12．用公式解方程﹣3x2+5x﹣1＝0，正确的是（）A．x＝B．x＝C．x＝D．x＝【分析】求出b2﹣4ac的值，再代入公式求出即可．【解答】解：﹣3x2+5x﹣1＝0，b2﹣4ac＝52﹣4×（﹣3）×（﹣1）＝13，x＝＝，故选：C．【点评】本题考查了解一元二次方程的应用，能正确利用公式解一元二次方程是解此题的关键．13．利用求根公式求的根时，a，b，c的值分别是（）A．5，，6B．5，6，C．5，﹣6，D．5，﹣6，﹣【分析】根据一元二次方程的定义来解答：二次项系数是a、一次项系数是b、常数项是c．【解答】解：由原方程，得5x2﹣6x，根据一元二次方程的定义，知二次项系数a＝5，一次项系数b＝﹣6，常数项c＝；故选：C．【点评】本题是一道易错题，学生在作答时往往把一次项系数﹣6误认为6，所以，在解答时要注意这一点．14．用公式法求一元二次方程的根时，首先要确定a、b、c的值．对于方程﹣4x2+3＝5x，下列叙述正确的是（）A．a＝﹣4，b＝5，c＝3B．a＝﹣4，b＝﹣5，c＝3C．a＝4，b＝5，c＝3D．a＝4，b＝﹣5，c＝﹣3【分析】用公式法求一元二次方程时，首先要把方程化为一般形式．【解答】解：∵﹣4x2+3＝5x∴﹣4x2﹣5x+3＝0，或4x2+5x﹣3＝0∴a＝﹣4，b＝﹣5，c＝3或a＝4，b＝5，c＝﹣3．故选：B．【点评】此题考查了公式法解一元二次方程的应用条件，首先要把方程化为一般形式．15．一元二次方程x（x﹣5）＝0的解是（）A．0B．5C．0和5D．0和﹣5【分析】利用因式分解法求解可得．【解答】解：∵x（x﹣5）＝0，∴x＝0或x﹣5＝0，解得：x1＝0，x2＝5，故选：C．【点评】本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关键．16．三角形的两边长分别为3和6，第三边的长是方程x2﹣10x+21＝0的一个根，则该三角形第三边的长是（）A．6B．3或7C．3D．7【分析】把方程的左边利用十字相乘法分解因式，根据两数之积为0，两因式至少有一个为0，转化为两个一元一次方程，分别求出两方程的解即可得到原方程的解，进而得到三角形的第三边长．【解答】解：方程x2﹣10x+21＝0可化为：（x﹣3）（x﹣7）＝0，解得：x1＝3，x2＝7，∴三角形的第三边长为3或6，当第三边长为3时，由3+3＝6，得到三边不能构成三角形，舍去；所以第三边长为7，故选：D．【点评】此题考查了运用因式分解法解一元二次方程，以及三角形的三边关系，运用因式分解的方法解一元二次方程的前提必须是方程坐标利用因式分解的方法把和的形式化为积的形式，右边为0，此方法的理论依据为ab＝0，得到a＝0或b＝0，三角形的三边关系为：三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，利用此性质把求出的方程的解x＝3舍去．17．一个等腰三角形的底边长是5，腰长是一元二次方程x2﹣6x+8＝0的一个根，则此三角形的周长是（）A．12B．13C．14D．12或14【分析】先求出方程的解，再得出三角形的三边长，最后求出即可．【解答】解：解方程x2﹣6x+8＝0得：x＝4或2，当三角形的三边为5，2，2时，2+2+＜5，不符合三角形三边关系定理，此时不能组成三角形；当三角形的三边为5，4，4时，符合三角形三边关系定理，此时三角形的周长为5+4+4＝13，故选：B．【点评】本题考查了解一元二次方程和等腰三角形的性质，三角形的三边关系定理等知识点，能求出符合的所有情况是解此题的关键．18．若等腰三角形的两边分别是一元二次方程x2﹣7x+12＝0的两根，则等腰三角形的周长为（）A．10B．11C．10或11D．以上都不对【分析】先利用因式分解的方法解方程得到x1＝3，x2＝4，根据题意讨论：当腰为3，底边为4时；当腰为4，底边为3时，然后分别计算出等腰三角形的周长．【解答】解：∵x2﹣7x+12＝0，∴（x﹣3）（x﹣4）＝0，∴x﹣3＝0或x﹣4＝0，∴x1＝3，x2＝4，当腰为3，底边为4时，等腰三角形的周长为3+3+4＝10；当腰为4，底边为3时，等腰三角形的周长为3+4+4＝11．故选：C．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．也考查了三角形三边的关系．19．一元二次方程x2﹣2x+m＝0没有实数根，则m应满足的条件是（）A．m＜1B．m＞1C．m＝1D．m≤1【分析】根据方程的系数结合根的判别式△＜0，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围．【解答】解：∵一元二次方程x2﹣2x+m＝0没有实数根，∴△＝（﹣2）2﹣4×1×m＜0，∴m＞1．故选：B．【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当△＜0时，方程无实数根”是解题的关键．20．关于x的方程（m﹣2）x2﹣4x+1＝0有实数根，则m的取值范围是（）A．m≤6B．m＜6C．m≤6且m≠2D．m＜6且m≠2【分析】当m﹣2＝0，关于x的方程（m﹣2）x2﹣4x+1＝0有一个实数根，当m﹣2≠0时，列不等式即可得到结论．【解答】解：当m﹣2＝0，即m＝2时，关于x的方程（m﹣2）x2﹣4x+1＝0有一个实数根，当m﹣2≠0时，∵关于x的方程（m﹣2）x2﹣4x+1＝0有实数根，∴△＝（﹣4）2﹣4（m﹣2）•1≥0，解得：m≤6，∴m的取值范围是m≤6且m≠2，故选：A．【点评】本题考查了根的判别式和一元二次方程的定义，能根据根的判别式和已知得出不等式是解此题的关键．21．若关于x的一元二次方程（k+2）x2﹣3x+1＝0有实数根，则k的取值范围是（）A．k＜且k≠﹣2B．k C．k≤且k≠﹣2D．k【分析】根据一元二次方程的定义和根的判别式得出k+2≠0且△＝（﹣3）2﹣4（k+2）•1≥0，求出即可．【解答】解：∵关于x的一元二次方程（k+2）x2﹣3x+1＝0有实数根，∴k+2≠0且△＝（﹣3）2﹣4（k+2）•1≥0，解得：k且k≠﹣2，故选：C．【点评】本题考查了一元二次方程的定义和根的判别式，能得出关于k的不等式是解此题的关键．22．关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣2x+3＝0有两个不相等的实根，则k的取值范围是（）A．k＜B．k＜且k≠1C．0≤k≤D．k≠1【分析】根据一元二次方程的定义和△的意义得到k﹣1≠0且△＞0，即（﹣2）2﹣4（k﹣1）×3＞0，然后解不等式即可得到k的取值范围．【解答】解：∵关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣2x+3＝0有两个不相等的实数根，∴k﹣1≠0，即k≠1，△＝（﹣2）2﹣4（k﹣1）×3＝﹣12k+16，∵方程有两个不相等的实数解，∴△＞0，∴﹣12k+16＞0，∴k＜，∴k的取值范围是k＜且k≠1．故选：B．【点评】此题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c为常数）的根的判别式△＝b2﹣4ac．当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△＝0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义23．已知关于x的一元二次方程2x2﹣kx+3＝0有两个相等的实根，则k的值为（）A．B．C．2或3D．【分析】把a＝2，b＝﹣k，c＝3代入△＝b2﹣4ac进行计算，然后根据方程有两个相等的实数根，可得△＝0，再计算出关于k的方程即可．【解答】解：∵a＝2，b＝﹣k，c＝3，∴△＝b2﹣4ac＝k2﹣4×2×3＝k2﹣24，∵方程有两个相等的实数根，∴△＝0，∴k2﹣24＝0，解得k＝±2，故选：A．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c为常数）的根的判别式△＝b2﹣4ac．当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△＝0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程没有实数根．24．关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（）A．m＜3B．m＞3C．m≤3D．m≥3【分析】根据关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有两个不相等的实数根可得△＝（﹣2）2﹣4m＞0，求出m的取值范围即可．【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有两个不相等的实数根，∴△＝（﹣2）2﹣4m＞0，∴m＜3，故选：A．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c为常数）的根的判别式△＝b2﹣4ac．当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△＝0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程没有实数根．25．若α，β是一元二次方程3x2+2x﹣9＝0的两根，则+的值是（）A．B．﹣C．﹣D．【分析】根据根与系数的关系可得出α+β＝﹣、αβ＝﹣3，将其代入+＝中即可求出结论．【解答】解：∵α、β是一元二次方程3x2+2x﹣9＝0的两根，∴α+β＝﹣，αβ＝﹣3，∴+＝＝＝＝﹣．故选：C．【点评】本题考查了根与系数的关系，牢记两根之和等于﹣、两根之积等于是解题的关键．26．若α、β为方程2x2﹣5x﹣1＝0的两个实数根，则2α2+3αβ+5β的值为（）A．﹣13B．12C．14D．15【分析】根据一元二次方程解的定义得到2α2﹣5α﹣1＝0，即2α2＝5α+1，则2α2+3αβ+5β可表示为5（α+β）+3αβ+1，再根据根与系数的关系得到α+β＝，αβ＝﹣，然后利用整体代入的方法计算．【解答】解：∵α为2x2﹣5x﹣1＝0的实数根，∴2α2﹣5α﹣1＝0，即2α2＝5α+1，∴2α2+3αβ+5β＝5α+1+3αβ+5β＝5（α+β）+3αβ+1，∵α、β为方程2x2﹣5x﹣1＝0的两个实数根，∴α+β＝，αβ＝﹣，∴2α2+3αβ+5β＝5×+3×（﹣）+1＝12．故选：B．【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1x2＝．也考查了一元二次方程解的定义．27．已知一元二次方程x2﹣2x﹣1＝0的两根分别为x1，x2，则+的值为（）A．2B．﹣1C．D．﹣2【分析】根据根与系数的关系得到x1+x2＝2，x1x2＝﹣1，利用通分得到+＝，然后利用整体代入的方法计算【解答】解：根据题意得x1+x2＝2，x1x2＝﹣1，所以+＝＝＝﹣2．故选：D．【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1x2＝．二．填空题（共11小题）28．方程（x﹣5）2＝4的解为x1＝7，x2＝3．【分析】方程两边开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．【解答】解：（x﹣5）2＝4，开方得：x﹣5＝±2，解得：x1＝7，x2＝3，故答案为x1＝7，x2＝3．【点评】本题考查了解一元二次方程，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键．29．一元二次方程（2x+1）2﹣81＝0的根是x1＝4；x2＝﹣5．【分析】先变形为（2x+1）2＝81，再两边开方得到2x+1＝±9，然后解两个一次方程即可．【解答】解：（2x+1）2＝81，2x+1＝±9，所以x1＝4，x2＝﹣5．故答案为x1＝4，x2＝﹣5．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法：形如x2＝p或（nx+m）2＝p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．30．一元二次方程x2+2x﹣6＝0的根是x1＝，x2＝﹣3．【分析】找出a，b，c的值，代入求根公式即可求出解．【解答】解：这里a＝1，b＝2，c＝﹣6，∵△＝8+24＝32，∴x＝，即x1＝，x2＝﹣3．故答案为：x1＝，x2＝﹣3．【点评】此题考查了解一元二次方程﹣公式法，熟练掌握求根公式是解本题的关键．31．已知x1，x2是方程2x2﹣3x﹣1＝0的两根，则x12+x22＝．【分析】找出一元二次方程的系数a，b及c的值，利用根与系数的关系求出两根之和与两根之积，然后利用完全平方公式变形后，将求出的两根之和与两根之积代入，即可求出所求式子的值．【解答】解：∵x1、x2是方程2x2﹣3x﹣1＝0的两根，∴x1+x2＝．x1x2＝﹣，∴x12+x22＝，故答案为：【点评】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，对所求的代数式进行正确的变形是解决本题的关键．32．已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+m﹣1＝0的实数根x1，x2，满足3x1x2﹣x1﹣x2＞2，则m的取值范围是3＜m≤5．【分析】根据根的判别式△＞0、根与系数的关系列出关于m的不等式组，通过解该不等式组，求得m的取值范围．【解答】解：依题意得：，解得3＜m≤5．故答案是：3＜m≤5．【点评】本题考查了一元二次方程的根的判别式的应用，解此题的关键是得出关于m的不等式，注意：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a、b、c为常数，a≠0）①当b2﹣4ac＞0时，一元二次方程有两个不相等的实数根，②当b2﹣4ac＝0时，一元二次方程有两个相等的实数根，③当b2﹣4ac＜0时，一元二次方程没有实数根．33．已知x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣1＝0的两实数根，则的值是6．【分析】根据根与系数的关系及一元二次方程的解可得出x1+x2＝2、x1x2＝﹣1、＝2x1+1、＝2x2+1，将其代入＝中即可得出结论．【解答】解：∵x1、x2是一元二次方程x2﹣2x﹣1＝0的两实数根，∴x1+x2＝2，x1x2＝﹣1，＝2x1+1，＝2x2+1，∴＝+＝＝＝＝6．故答案为：6．【点评】本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，将代数式变形为是解题的关键．34．已知α，β是方程x2﹣3x﹣4＝0的两个实数根，则α2+αβ﹣3α的值为0．【分析】根据根与系数的关系得到得α+β＝3，再把原式变形得到a（α+β）﹣3α，然后利用整体代入的方法计算即可．【解答】解：根据题意得α+β＝3，αβ＝﹣4，所以原式＝a（α+β）﹣3α＝3α﹣3α＝0．故答案为0．【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1x2＝．35．已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣5x+a＝0的两个实数根，且x12﹣x22＝10，则a＝．【分析】由两根关系，得根x1+x2＝5，x1•x2＝a，解方程得到x1+x2＝5，即x1﹣x2＝2，即可得到结论．【解答】解：由两根关系，得根x1+x2＝5，x1•x2＝a，由x12﹣x22＝10得（x1+x2）（x1﹣x2）＝10，若x1+x2＝5，即x1﹣x2＝2，∴（x1﹣x2）2＝（x1+x2）2﹣4x1•x2＝25﹣4a＝4，∴a＝，故答案为：．【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1x2＝．36．设α、β是方程（x+1）（x﹣4）＝﹣5的两实数根，则＝47．【分析】根据α、β是方程（x+1）（x﹣4）＝﹣5的两实数根，得到α+β＝3，αβ＝1，根据完全平方公式得到α4+β4＝47，于是得到结论．【解答】解：方程（x+1）（x﹣4）＝﹣5可化为x2﹣3x+1＝0，∵α、β是方程（x+1）（x﹣4）＝﹣5的两实数根，∴α+β＝3，αβ＝1，∴α2+β2＝（α+β）2﹣2αβ＝7，α4+β4＝（α2+β2）2﹣2α2•β2＝47，∴＝＝47，故答案为：47．【点评】本题考查了根与系数的关系，难度较大，关键是根据已知条件对进行变形．37．设一元二次方程x2﹣3x﹣1＝0的两根分别是x1，x2，则x1+x2（x22﹣3x2）＝3．【分析】由题意可知x22﹣3x2＝1，代入原式得到x1+x2，根据根与系数关系即可解决问题．【解答】解：∵一元二次方程x2﹣3x﹣1＝0的两根分别是x1，x2，∴x12﹣3x1﹣1＝0，x22﹣3x2﹣1＝0，x1+x2＝3，∴x22﹣3x2＝1，∴x1+x2（x22﹣3x2）＝x1+x2＝3，故答案为3．【点评】本题考查根与系数关系、一元二次方程根的定义，解题的关键是灵活运用根与系数的关系定理，属于中考常考题型．38．已知关于x的一元二次方程x2+（m+3）x+m+1＝0的两个实数根为x1，x2，若x12+x22＝4，则m的值为﹣1或﹣3．【分析】利用根与系数的关系可以得到代数式，再把所求代数式利用完全平方公式变形，结合前面的等式即可求解．【解答】解：∵这个方程的两个实数根为x1、x2，∴x1+x2＝﹣（m+3），x1•x2＝m+1，而x12+x22＝4，∴（x1+x2）2﹣2x1•x2＝4，∴（m+3）2﹣2m﹣2＝4，∴m2+6m+9﹣2m﹣6＝0，m2+4m+3＝0，∴m＝﹣1或﹣3，故答案为：﹣1或﹣3【点评】本题主要考查一元二次方程根的判别式和根与系数的关系的应用，关键是利用根与系数的关系和完全平方公式将代数式变形分析．三．解答题（共12小题）39．解方程：（3x+1）2＝64【分析】利用直接开平方法解方程得出答案．【解答】解：（3x+1）2＝64，则：（3x+1）2＝256，故3x+1＝±16，解得：x1＝﹣，x2＝5．【点评】此题主要考查了直接开平方法解方程，正确开平方是解题关键．40．解方程：2x2+4x﹣1＝0（用配方法）．【分析】先把方程的二次项系数化为1，再利用完全平方公式变形为（x+1）2＝，然后利用直接开平方法求解．【解答】解：x2+2x﹣＝0，x2+2x+1＝+1，（x+1）2＝x+1＝±，所以x1＝，x2＝．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣配方法：将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．41．用公式法解方程：3x2﹣6x+1＝2．【分析】先把方程化为一般式，再计算判别式的值，然后利用求根公式解方程．【解答】解：3x2﹣6x﹣1＝0，△＝（﹣6）2﹣4×3×（﹣1）＝48，x＝＝＝，所以x1＝，x2＝．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣公式法：用求根公式解一元二次方程的方法是公式法．42．用公式法解方程：2x（x﹣3）＝x2﹣1．【分析】先把方程化为一般式，然后利用求根公式解方程．【解答】解：方程整理为x2﹣6x+1＝0，△＝（﹣6）2﹣4×1＝32，x＝＝3±2，所以x1＝3+2，x2＝3﹣2．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣公式法：用求根公式解一元二次方程的方法是公式法．43．（1）计算：﹣32﹣（π﹣3.14）0+（tan30°）﹣1﹣2+（2）解方程：2x2﹣4x﹣1＝0【分析】（1）根据特殊角的三角函数值、零指数幂、二次根式、负指数幂的性质化简，二次根式的混合运算，然后根据实数运算法则进行计算即可得出结果．（2）根据配方法求解即可．【解答】解：（1）原式＝﹣9﹣1+（）﹣1﹣++1＝﹣9+；（2）2x2﹣4x﹣1＝0，x2﹣2x＝，x2﹣2x+1＝+1，即（x﹣1）2＝，∴x﹣1＝±∴x1＝1+，x2＝1﹣．【点评】本题考查的是解一元二次方程，实数的运算，熟知二次根式的运算、数的开方及乘方法则、负整数指数幂的运算法则特殊角的三角函数值是解答此题的关键．44．用配方法解方程3x2﹣5x﹣2＝0．【分析】移项，系数化成1，配方，开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．【解答】解：3x2﹣5x﹣2＝0，3x2﹣5x＝2，x2﹣x＝，x2﹣x+（）2＝+（）2，（x﹣）2＝，x﹣＝±，x1＝﹣，x2＝2．【点评】本题考查了解一元二次方程，能正确配方是解此题的关键，注意：解一元二次方程的方法有：直接开平方法，因式分解法，公式法，配方法等．45．（1）计算：（﹣2018）0+|3﹣tan60°|﹣（﹣）﹣2+（2）解方程：x2+4x﹣2＝0【分析】（1）先计算乘方、取绝对值符号、计算负整数指数幂、化简二次根式，再计算加减可得；（2）把常数项2移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数4的一半的平方，写成完全平方式，再开方可得．【解答】解：（1）原式＝1+3﹣﹣4+3＝2；（2）∵x2+4x﹣2＝0，∴x2+4x＝2，则x2+4x+4＝2+4，即（x+2）2＝6，∴x+2＝±，∴x＝﹣2±，即x1＝﹣2+、x2＝﹣2﹣．【点评】本题考查了配方法解方程和实数的混合运算．配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．46．（1）解方程x2+4x﹣2＝0（2）计算tan30°tan60°﹣sin260°+cos245°【分析】（1）根据一元二次方程的解法即可求出答案．（2）根据特殊角锐角三角函数的值即可求出答案．【解答】解：（1）x2+4x+4＝6（x+2）2＝6x＝﹣2±（2）原式＝×﹣+＝1＝【点评】本题考查学生的运算能力，解题的关键是熟练运用运算法则，本题属于基础题型．47．（1）计算：（﹣）（+）﹣2（2）解方程x2﹣4x+5＝0【分析】（1）先算乘方和开方，再算乘法，最后算加减即可；（2）先求出b2﹣4ac的值，再判断即可．【解答】解：（1）原式＝5﹣3﹣4+1＝﹣1；（2）x2﹣4x+5＝0，b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×1×5＝﹣1＜0，所以此方程无解．【点评】本题考查了解一元二次方程、零指数幂、平方差公式、二次根式的混合运算，能求出每一部分的值是解（1）的关键，能熟记公式是解（2）的关键．48．（1）计算：（5﹣）÷×（2）解方程：x2+3＝2x．【分析】（1）先把二次根式化为最简二次根式．再把括号内合并后进行二次根式的乘除运算；（2）先把方程化为一般式，然后利用配方法解方程．【解答】解：（1）运算＝（10﹣3）÷×＝7÷×＝7＝14；（2）x2﹣2x+（）2＝0，（x﹣）2＝0，x﹣＝0，所以x1＝x2＝．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣配方法：将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．也考查了二次根式的混合运算．49．已知：关于x的一元二次方程x2﹣（2m+2）x+m2﹣3＝0（1）若此方程有实根，求m的取值范围；（2）在（1）的条件下，且m取最小的整数，求此时方程的两个根．【分析】（1）根据方程有实根，则根的判别式△＝b2﹣4ac≥0，建立关于m的不等式，求出m的取值范围；（2）得到m的最小整数，可得方程为x2+2x+1＝0，再解一元二次方程即可．【解答】解：（1）∵一元二次方程x2﹣4（2m+2）x+m2﹣3＝0有实根，∴△＝（2m+2）2﹣4（m2﹣3）＝8m+16≥0，∴m≥﹣2；（2）m满足条件的最小值为m＝﹣2，此时方程为x2+2x+1＝0，解得x1＝x2＝﹣1．【点评】考查了根的判别式，总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0时方程有两个不相等的实数根；（2）△＝0时方程有两个相等的实数根；（3）△＜0时方程没有实数根．50．已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+1）x+3m﹣6＝0．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程有一个根是负数，求m的取值范围．【分析】（1）计算方程根的判别式，判断其符号即可；（2）求方程两根，结合条件则可求得m的取值范围．【解答】（1）证明：∵关于x的一元二次方程x2﹣（m+1）x+3m﹣6＝0，∴△＝[﹣（m+1）]2﹣4（3m﹣6）＝m2﹣10m+25＝（m﹣5）2≥0，∴方程总有两个实数根；（2）解：由求根公式可求得x＝3或x＝m﹣2，若方程有一个根为负数，则m﹣2＜0，解得m＜2．综上可知，若方程有一个根是负数，m的取值范围为m＜2．【点评】本题主要考查根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的个数与根的判别式的关系是。

检测内容：21.1－21.3得分________ 卷后分________ 评价________一、选择题(每小题3分，共30分)1．下列式子：①13 ；②－3 ；③－x 2＋1 ；④38 ；⑤（－13）2 ；⑥1－x (x ＞1)；⑦x 2＋2x ＋3 .其中二次根式有(C )A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个2．(2019·云南改)若代数式x －2x －1有意义，则实数x 的取值范围是(B ) A ．x ≥1 B ．x ≥2 C ．x >1 D ．x >23．若（3－b ）2 ＝3－b ，则(D )A ．b ＞3B ．b ＜3C ．b ≥3D ．b ≤34．下列各式中，属于最简二次根式的是(A )A ．x 2＋1B ．x 2y 2C ．12D ．0.5 5．(南阳月考)下列二次根式中，与24 是同类二次根式的是(D )A ．18B ．30C ．48D ．546．(孟津期中)下面计算正确的是(B )A ．3＋3 ＝33B ．27 ÷3 ＝3C ．2 ＋3 ＝5D ．（－2）2 ＝－27．若△ABC 的两边的长分别为23 ，53 ，则第三边的长度不可能为(A )A ．33B ．43C ．53D ．638．若化简（2－x ）2 ＋（x －3）2 的结果是一个常数，则x 的取值范围是(D )A ．x ＞2B ．2＜x ＜3C ．x ＜2或x ＞3D ．2≤x ≤39．A (－2 ，22 )，B (2 ，－23 )，C (－22 ，3 )，D (6 ，－2)四个点中，不在反比例函数y ＝－26x的图象上的点是(A ) A ．A 点 B ．B 点 C ．C 点 D ．D 点10．已知a －b ＝2＋3 ，b －c ＝2－3 ，则a 2＋b 2＋c 2－ab －bc －ac 的值为(D )A ．103B ．123C ．10D ．15二、填空题(每小题4分，共24分) 11．计算：(1)20 ×15 ＝__2__； (2)123＝__2__； (3)8 ＋18 ＝__94 2 __．12．比较大小：23 __＜__13 . 13．已知一个三角形的底边长为25 cm ，底边上的高为2345 cm ，则它的面积为__10_cm 2__．14．规定运算：(a *b )＝|a －b |，其中a ，b 为实数，则(7 *3)＋7 ＝__3__．15．若最简二次根式7a ＋b 与b ＋36a －b 是同类二次根式，则a ＝__2__，b ＝__－1__．16．实数a ，b 在数轴上的对应点的位置如图所示，则（a ＋b ）2 ＋a 的化简结果为__－b __．三、解答题(共46分)17．(10分)计算：(1)(248 －327 )÷6 ；解：－22(2)32 －(2＋2 )2；解：－6(3)12 ×(75 ＋313 －48 ).解：1218．(8分)先化简，再求值：已知a ＝3－22 ，b ＝3＋22 ，求：(1)ab 的值；(2)ba －ab 的值．解：(1)当a ＝3－22 ，b ＝3＋22 时，ab ＝3－22 ×3＋22 ＝3－24 ＝14(2)当a ＝3－22 ，b ＝3＋22 时，原式＝b 2－a 2ab ＝（b ＋a ）（b －a ）ab＝（3＋22＋3－22）（3＋22－3－22）14＝232×22214 ＝3×214＝4619．(8分)站在水平高度为h 米的地方看到可见的水平距离为d 米，它们近似地符合公式d ＝8h 5.某一登山者从海拔n 米处登上海拔2n 米高的山顶，那么他看到的水平线的距离是原来的多少倍？解： 2 倍20．(10分)已知a ，b ，c 满足(a －8 )2＋b －5 ＋|c －32 |＝0.(1)求a ，b ，c 的值；(2)以a ，b ，c 为边能否构成三角形？若能构成，求出该三角形的周长；若不能，请说明理由．解：(1)a ＝2 2 ，b ＝5，c ＝3 2(2)∵a ＋c ＝2 2 ＋3 2 ＝5 2 ，5 2 ＞5，∴a ＋c ＞b ，∴以a ，b ，c 为边能构成三角形，其周长为a ＋b ＋c ＝2 2 ＋5＋3 2 ＝5＋5 221．(10分)阅读下面的材料，解答后面给出的问题： 两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式，例如 a 与 a ，2 ＋1与2 －1.这样，化简一个分母含有二次根式的式子时，采用分子、分母同乘以分母的有理化因式的方法就可以了，例如23 ＝2×33×3＝63 ，23－3 ＝2（3＋3）（3－3）（3＋3）＝2（3＋3）9－3 ＝2（3＋3）6 ＝3＋33 . (1)请你写出3＋11 的有理化因式：；(2)请仿照上面给出的方法化简1－b1－b(b≠1)；(3)已知a＝13－2，b＝13＋2，求a2＋b2＋2的值.解：(1)3－11 (2)1＋ b (3)4。

23.2 一元二次方程的解法同步练习【知能点分类训练】知能点1 配完全平方式1．完全平方式是_______项式，其中有______是完全平方项，________•项是这两个数〔式〕乘积的2倍．2．x 2+mx+9是完全平方式，那么m=_______．3．4x 2+12x+a 是完全平方式，那么a=________．4．把方程x 2－8x －84=0化成〔x+m 〕2=n 的形式为〔 〕．A ．〔x －4〕2=100B ．〔x －16〕2=100C ．〔x －4〕2=84D ．〔x －16〕2=84知能点2 用配方法解方程5．方程3x 2+2x －6=0的左边配成一个完全平方式后，所得的方程是〔 〕． 2222237237.().()61861823521.().()6618618A x B x C x D x +=-+=+=+= 6．如果二次三项次x 2－16x+m 2是一个完全平方式，那么m 的值是〔 〕．A ．±8B ．4C ．－22D ．±227．用配方法解方程：〔1〕2x 2－x=0； 〔2〕x 2+3x －2=0．8．判断题．〔1〕x 2+23x －19=〔x+23〕2+59 〔 〕 〔2〕x 2－4x=〔x －2〕2+4 〔 〕〔3〕12y 2+y+12=〔y+1〕2 〔 〕 〔4〕mx 2－x+1n =m 〔x 2－21114)()24n m x m x m n m mn -+=-- 〔 〕 9．一长方形的面积是8，周长是12，求这个长方形的长与宽．【综合应用提高】10．〔x 2+y 2〕〔x 2+y 2+2〕－8=0，那么x 2+y 2的值是〔 〕．A ．－4B ．2C ．－1或4D ．2或－411．用配方法解方程．〔1〕3x2－2x－4=0；〔2〕〔3x－2〕2－2〔3x－2〕=15．12．用配方法说明－3x2+12x－16的值恒小于0．13．阅读题．解方程x2－4│x│－12=0．解：〔1〕当x≥0时，原方程为x2－4x－12=0，配方得〔x－2〕2=16，两边平方得x－2=±4，∴x1=6，x2=－2〔不符合题意，舍去〕．〔2〕当x<0时，原方程为x2+4x－12=0，配方得〔x+2〕2=16，两边开平方得x+2=±4，∴x1=－6，x2=2〔不符合题意，舍去〕，∴原方程的解为x1=6，x2=－6．参照上述例题解方程x2－2│x－1│－4=0．14．用配方法解关于x的方程x2+mx+n=0．【开放探索创新】15．设代数式2x2+4x－3=M，用配方法说明：无论x取何值时，M总不小于一定值，并求出该定值．【中考真题实战】16．〔江西〕完成以下配方过程：x 2+2px+1=[x 2+2px+〔 〕]+〔 〕=[x+〔 〕] 2+〔 〕．17．〔嘉峪关〕用换元法解方程〔1x x +〕2－51x x ++4=0时，假设设1x x +=y ，那么原方程可化为___________________．18．〔河北〕假设将二次函数y=x 2－2x+3配方为y=〔x －y 〕2+k 的形式，那么y=________．19．〔四川〕解方程x 2+3x=10．20．〔大连〕方程11x -=1的解是k ，求关于x 的方程x 2+kx=0的解．答案:1．一般为三 两项 一2．±6 点拨：m=±2×1×3=±6．3．94．A 点拨：所配上的项是一次项系数一半的平方．5．B6．A 点拨：二次三项式是完全平方式，那么常数项是一次项系数一半的平方．7．〔1〕2x 2－x=0，x 2－12x=0，x 2－12x+116=+116， 〔x －14〕2=116， x －14=±14，x=14±14， ∴x 1=12，x 2=0． 〔2〕x 2+3x －2=0，x 2+3x=2． x 2+3x+〔32〕2=2+〔32〕2， 〔x+32〕2=174， ∴x+32=±172，x=－32±172． ∴x 1=2317317,22x -+--=． 8．〔1〕× 〔2〕× 〔3〕× 〔4〕∨9．设长方形的长为x ，那么宽为〔6－x 〕．根据题意得x 〔6－x 〕=8．解得x 1=2，x 2=4，那么6－x=4或2．故长方形的长为4，宽为2．10．B 点拨：可把x 2+y 2看做一个整体，设为M ，那么方程变为M 〔M+2〕－8=0，那么M 2+2M －8=0，∴M=2或M=－4，∵M=x 2+y 2>0，∴M ≠－4．11．〔1〕3x 2－2x=4，x 2－23x=43， x 2－23x+〔26〕2=43+〔26〕2， 〔x －13〕2=139， ∴x －13=±133， x=13±133， ∴x 1=2113113,33x +-=． 〔2〕设3x －2=y ，那么原方程可化为y 2－2y=15，y 2－2y+12=15+12，〔y －1〕2=16，y －1=±4，∴y=1±4，即y 1=5，y 2=－3，∴3x －2=5或3x －2=－3，∴x 1=73，x 2=－13． 12．－3x 2+12x －16=－3〔x 2－4x 〕－16，=－3〔x 2－4x+4－4〕－16，=－3〔x －2〕2+12－16，=－3〔x －2〕2－4，∵〔x －2〕2≥0，∴－3〔x －2〕2－4<0，∴－3x 2+12x －16的值恒小于0．13．当x －1≥0时，即x ≥1时，原方程可化为x 2－2〔x －1〕－4=0，x 2－2x －2=0，x 2－2x+1=+2+1，∴x 2－2x+1=3，〔x －1〕2=3，∵x －1=±3，∴x 1=1+3，x 2=1－3．∵x 2=1－3<0〔不符合题意，舍去〕，∴x=1+3．当x －1<0时，原方程可化为x 2－2〔1－x 〕－4=0，x 2－2+2x －4=0，x 2+2x=+6，x 2+2x+1=6+1，〔x+1〕2=7，∴x+1=±7，∴x 1=－1+7，x 2=－1－7．∵x=－1+7>1〔不符合题意，舍去〕，∴x=－1－7．∴原方程的解为x 1=1+3，x 2=－1－7．14．x 2+mx+n=0，x 2+mx=－n ，x 2+mx+〔2m 〕2=－n+〔2m 〕2， 〔x+2m 〕2=－n+24m ， 〔x+2m 〕2=244m n ， 当m 2－4n ≥0时，x+2m =±242m n -， ∴x 1=22244,22m m n m m n x -+----=． 当m 2－4n<0时，原方程无解．15．M=2x 2+4x －3=2〔x 2+2x 〕－3=2〔x 2+2x+1－1〕－3=2〔x+1〕2－5∵〔x+1〕2≥0，∴2〔x+1〕2－5≥－5，即M ≥－5，∴无论x 取何值时，M ≥－5，该定值为－5．16．p 2 1－p 2 p 1－p 217．y 2－5y+4=018．〔x －1〕2+2 19．x 2+3x+〔32〕2=10+94， 〔x+32〕2=494， x+32=±72， x=－32±72， ∴x 1=2，x 2=－5，20．11x -=1， 方程两边同时乘以〔x －1〕，得1=x －1，解得x=2．经检验x=2是原方程的解，所以原方程的解为x=2，即k=2，把k=2代入x 2+kx=0，得x 2+2x=0，解得x 1=0，x 2=－2．。

反证法班级_______ 姓名________ 检测时间 45分钟总分 100分分数_____新课标基础训练（每小题5分，共1．用反证法证明命题“一个三角形的三个外角中，至多有一个锐角”的第一步是________．毛2．下列命题中，假命题是（）A．平行四边形的对角线互相平分; B．矩形的对角线相等C．等腰梯形的对角线相等; D．菱形的对角线相等且互相平分3．•命题“线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”的逆命题是_______，这个命题是________命题．（填“真”或“假”）4．求证：在一个三角形中，如果两个角不等，那么它们所对的边也不等．新课标能力训练（满分32分）5．（学科内综合）（6分）如图，已知在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AB<CD，AB=10，BC=3．（1）如果M为AB上一点（如图①，且满足∠DMC=∠A，求AM的长．（2）如果点M在AB边上移动（点M与A、B不重合），且满足∠DMN=∠A，MN交BC延长线于N（如图②），设AM=x，CN=y，求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围．（•写x的取值范围时，不写推理过程）6．（学科间综合）（10分）如图所示，菱形ABCD的边长为24cm，∠A=60°，质点P从点A出发沿线路AB-BD作匀速运动，质点Q从点D同时出发沿线路DC-CB-BA作匀速运动．（1）求BD的长；（2）质点P、Q运动的速度分别是4cm/s、5cm/s．经过12s后，P、Q分别到达M、•N两点，若按角的大小进行分类，请你确定△AMN是哪一类三角形，并说明理由．（3）设题（2）中的质点P，Q分别从M，N同时沿原路返回，质点P的速度不变，质点Q的速度改变为acm/s．经过3s后，P、Q分别到达E、F两点，若△BEF与题（2）中的△AMN•相似，试求a的值．7．（应用题）（6分）如图(无图)所示是一种“羊头”形图案，其作法是：从正方形①开始，以它的一边为斜边，向外作等腰直角三角形，然后再以其直角边为边，分别向外作正方形②和②′，…，依此类推，若正方形①的边长为64cm，则正方形⑦的边长为_______cm．8．（创新情景题）（10分）一个直立的火柴盒在桌面上倒下，•启迪人们发现了勾股定理的一种新的证明方法．如图所示，火柴盒的一个侧面ABCD倒下到AB′C′D′的位置，连结CC′，设AB=a，AC=c，请利用四边形BCC′D′的面积证明勾股定理：a2+b2=c2．cD 'B 'BA ba C 'DC新课标拓展训练（满分32分） 9．（创新实践题）（10分）如图所示，B 、C 、E 三点在一条直线上，△ABC•和△DCE 均为等边三角形，连结AE 、DB ．（1）求证：AE=DB ；（2）如果把△DCE 绕点C 顺时针再旋转一个角度，（1）中的结论还成立吗？10．（自主探究题）（12分）已知：如图所示，在△ABC 中，D 是AB 边上的一点，且BD=BC ，BE ⊥CD 于E ，交AC 于点F ，请再添加一个条件，使四边形DMCF 是菱形，•并加以证明．11．（开放题）（10分）如图所示，在△ABC 中，AB=AC ，D 是BC 的中点，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别为E ，F ．（1）求证：DE=DF ；（2）只添加一个条件，使四边形EDFA 是正方形．•请你至少写出两种不同的添加方法．（不另外添加辅助线，无需证明）BA F E DC理念中考题（满分16分） 12．（16分）如图所示，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，F 、H 分别是AB 、CD 的中点，•FH 分别交BD 、AC 于G 、M ，BD=6，ED=2，BC=10． （1）求GM 的长；（2）若梯形ABCD 是等腰梯形，求证：△BFG ≌△CHM ．BAHG MFEDC答案:1．假设三角形的三个外角中，有两个锐角．2．D3．到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，真．4．证明：假设在一个三角形中，这两个角所对的边相等，那么根据等边对等角，它们所对的两个角也相等，这与已知条件相矛盾，说明假设不成立，•所以在一个三角形中，如果两个角不等，那么它们所对的边也不等．5．解：（1）在等腰梯形ABCD中，∵AB∥CD，∴∠A=∠B．又∵∠A=∠DMC，∠1+∠A+∠2=∠2+∠DMC+∠3=180°，∴∠1=∠3．∴△ADM≌△BMC．设AM=x，则3 310xx =-，∴x2-10x+9=0，∴x=1或x=9，经检验都是原分式方程的根．∴AM长为1或9．（2）同理可证△ADM∽△BMN，可得3 310xy x=+-，∴y=-13x2+103x-3（1<x<9）．6．（1）菱形ABCD中，AB=AD，∠A=60°，∴△ABD是等边三角形．∴BD=24cm．（2）△AMN是直角三角形，确定理由如下： 12s后，点P走过的路程为4×12=48（cm），∵AB+BD=48（cm），∴点M与点D重合．点Q走过的路程为5×12=60（cm）．∵DC+CB+12AB=60（cm），∴点N是AB的中点．连结MN，∵AM=MB，AN=BN，∴MN⊥AB．∴△AMN是直角三角形．（3）点P从M点返回3秒走过的路程为4×3=12（cm）．∵12BD=12cm，∴点E是BD的中点．点Q从N点返回3s走过的路程为3acm．∵△BEF与题（2）中的Rt△AMN相似，又∵∠EBF=∠A=60°，①若∠BFE=∠ANM=60°．a：当点F在BN上时，BF=BN-FN=12-3a．（证法1）：∵△BEF∽△AMN，∴BF BE AN AM=．∴12312 1224a-=．解得a=2．（证法2）：在Rt△BEF中，∠BEF=30°，∴BF=12BE．∴12-3a=12×12．解得a=2．b：当点F在BC上时，BF=3a-BN=3a-12．（证法1）：∵△BEF∽△AMN，∴BF BE AN AM=．∴31212 1224a-=．解得a=6．（证法2）在Rt△BEF中，∠BEF=30°，∴BF=12BE．∴3a-12=12×12．解得a=6．②若∠BEF=∠ANM=90°，即点F与点C重合，此时3a=BN+BC=36．∴a=12．综上所述，a=2或6或12．7．88．∵四边形BCC′D′为直角梯形，∴S梯形BCC‘D’=12（BC+C′D′）·BD′=2()2a b+．∵Rt△ABC≌Rt△AB′C′，∴∠BAC=∠B′AC′．∴∠CAC′=∠CAB′+∠B′AC′=∠CAB′+∠BAC=90°．∴S梯形BCC‘D’=S△ABC+S△CAC‘+S△D’AC‘=12ab+12c2+12ab=222c ab+．∴2()2a b+=222c ab+．∴a2+b2=c2．9．（1）证△BCD≌△ACE即可；（2）如果把△DCE绕点C顺时针再旋转一个角度，（1）•中的结论仍成立．10．添加条件DM∥AC（或ME=EF，DM=DF，DM=CF等均可）．证明：如图所示，在△ABC中，BD=BC，BE⊥CD，则DE=CE．∵DM∥AC，∴∠1=∠2，∠3=∠4，∴△DME≌△CFE，∴DM=CF．∴四边形DMCF是平行四边形．又∵BF⊥CD，∴DMCF是菱形．11．（1）∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠DEB=∠DFC=90°．∵AB=AC，∴∠B=∠C．又∵DB=DC，∴△DEB≌△DFC．∴DE=DF．（2）∠A=90°，四边形AFDE是平行四边形等．（方法很多，如∠B=45°或AB•或DE⊥DF或F为F为AC中点或DF∥AB等）．12．解：（1）∵F、H为AB、CD的中点，∴AD∥FH∥BC．∴△AED∽△CEB．∴AD EDCB EB=，∴2104AD=．∴AD=5．又∵△AED∽△MEC，∴ED AD EG MG=．∴251MG=，∴MG=52（或2.5）．（2）∵等腰梯形ABCD中F、H分别是AB、CD的中点，∴BF=CH，∠BAD=∠CDA，FH∥AD．∴∠BFG=∠CHM．∴FG=HM=12 AD．∴△BFG≌△CHM．。

检测内容：22.1－22.2得分________ 卷后分________ 评价________一、选择题(每小题3分，共30分)1．下列方程中，是关于x 的一元二次方程的是(A )A ．(x ＋8)2＝x ＋8B ．x 2＋18x＝6 C ．ax 2＋bx ＋c ＝0 D ．x 2＋x ＋1＝x 22．(孟津期中)用配方法解方程x 2－2x －1＝0时，配方后所得的方程为(D )A ．(x ＋1)2＝0B ．(x －1)2＝0C ．(x ＋1)2＝2D ．(x －1)2＝23．下面是四位同学在解方程x (x ＋3)＝x 时的答案，结果正确的是(D )A ．x ＝－2B ．x ＝0C ．x ＝0或x ＝2D ．x ＝0或x ＝－24．(2019·河南)一元二次方程(x ＋1)(x －1)＝2x ＋3的根的情况是(A )A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．只有一个实数根D ．没有实数根5．若关于x 的一元二次方程的两个根为x 1＝1，x 2＝2，则这个方程可能是(B )A ．x 2＋3x －2＝0B ．x 2－3x ＋2＝0C ．x 2－2x ＋3＝0D ．x 2＋3x ＋2＝06．若关于x 的一元二次方程mx 2－2x ＋1＝0无实数根，则一次函数y ＝(m －1)x －m 的图象不经过(B )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限7．关于x 的方程x 2＋(k 2－4)x ＋k －1＝0的两根互为相反数，则k 的值为(C )A ．±2B ．2C ．－2D ．不能确定8．若关于x 的一元二次方程(m －2)x 2＋3x ＋m 2－3m ＋2＝0有一个根为0，则m 的值为(C )A ．0B ．1或2C ．1D ．29．若关于x 的一元二次方程(k －1)x 2－(2k ＋1)x ＋k ＝0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是(B )A ．k ＞－18B ．k ＞－18且k ≠1C ．k ＜－18D ．k ≥－18且k ≠0 10．若关于x 的一元二次方程x 2－mx ＋5(m －5)＝0的两个正实数根分别为x 1，x 2，且2x 1＋x 2＝7，则m 的值是(B )A ．2B ．6C ．2或6D ．7二、填空题(每小题4分，共16分)11．若关于x 的方程ax 2＋3x ＝2x 2＋4是一元二次方程，则a 应满足的条件是__a ≠2__．12．若代数式4x 2＋5x ＋6与－3x 2－2的值互为相反数，则x 的值为__－1或－4__．13．(烟台中考)已知关于x 的一元二次方程x 2－4x ＋m －1＝0的实数根x 1、x 2满足3x 1x 2－x 1－x 2>2，则m 的取值范围是__3<m ≤5__.14．关于x 的方程mx 2＋x －m ＋1＝0有以下三个结论：①当m ＝0时，方程只有一个实数解；②当m ≠0时，方程有两个不等的实数解；③无论m 取何值，方程都有一个负数解．其中正确的是__①③__(填序号).三、解答题(共54分)15．(12分)解下列方程：(1)(x －2)2＝4; (2)x 2－2x ＝0；解：(1)x 1＝4，x 2＝0 解：(2)x 1＝0，x 2＝2(3)(x ＋2)2－9x 2＝0; (4)x 2－10x ＋21＝0.解：(3)x 1＝－12 ，x 2＝1 解：(4)x 1＝7，x 2＝316．(12分)(绥化中考)已知关于x 的一元二次方程x 2－5x ＋2m ＝0有实数根．(1)求m 的取值范围；(2)当m ＝52时，方程的两根分别是矩形的长和宽，求该矩形外接圆的直径． 解：(1)∵方程有实数根，∴Δ＝(－5)2－4×1×2m ≥0，m ≤258， ∴当m ≤258 时，原方程有实数根(2)当m ＝52时，原方程可化为x 2－5x ＋5＝0， 设方程的两个根分别为x 1、x 2，则x 1＋x 2＝5，x 1·x 2＝5，∵该矩形外接圆的直径是矩形的对角线AC ，如图所示，∴AC ＝x 12＋x 22 ＝（x 1＋x 2）2－2x 1x 2 ＝52－2×5 ＝15 ，∴该矩形外接圆的直径是1517．(14分)已知关于x 的一元二次方程(x －3)(x －2)＝p (p ＋1).(1)试证明：无论p 取何值此方程总有两个实数根；(2)若原方程的两根x 1，x 2，满足x 12＋x 22－x 1x 2＝3p 2＋1，求p 的值．解：(1)证明：原方程可变形为x 2－5x ＋6－p 2－p ＝0.∵Δ＝(－5)2－4(6－p 2－p )＝25－24＋4p 2＋4p ＝4p 2＋4p ＋1＝(2p ＋1)2≥0，∴无论p 取何值此方程总有两个实数根(2)∵原方程的两根为x 1、x 2，∴x 1＋x 2＝5，x 1x 2＝6－p 2－p .又∵x 12＋x 22－x 1x 2＝3p 2＋1，∴(x 1＋x 2)2－3x 1x 2＝3p 2＋1，∴52－3(6－p 2－p )＝3p 2＋1，∴25－18＋3p 2＋3p ＝3p 2＋1，∴3p ＝－6，∴p ＝－218．(16分)(南召期中)阅读材料：材料1 若一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两根为x 1、x 2，则x 1＋x 2＝－b a，x 1x 2＝c a. 材料2 已知实数m 、n 满足m 2－m －1＝0、n 2－n －1＝0，且m ≠n ，求n m ＋m n的值． 解：由题知m 、n 是方程x 2－x －1＝0的两个不相等的实数根，根据材料1得m ＋n ＝1，mn ＝－1，∴n m ＋m n ＝m 2＋n 2mn ＝（m ＋n ）2－2mn mn ＝1＋2－1＝－3. 根据上述材料解决下面问题：(1)一元二次方程x 2－4x －3＝0的两根为x 1、x 2，则x 1＋x 2＝__4__，x 1x 2＝__－3__；(2)已知实数m 、n 满足2m 2－2m －1＝0，2n 2－2n －1＝0，且m ≠n ，求m 2n ＋mn 2的值；(3)已知实数p 、q 满足p 2＝3p ＋2，2q 2＝3q ＋1，且p ≠2q ，求p 2＋4q 2的值．解：(2)∵m 、n 满足2m 2－2m －1＝0，2n 2－2n －1＝0，∴m 、n 可看作方程2x 2－2x －1＝0的两实数解，∴m ＋n ＝1，mn ＝－12， ∴m 2n ＋mn 2＝mn (m ＋n )＝－12 ×1＝－12(3)设t ＝2q ，代入2q 2＝3q ＋1化简为t 2＝3t ＋2，则p 与t (即2q )为方程x 2－3x －2＝0的两实数解，∴p ＋2q ＝3，p ·2q ＝－2，∴p 2＋4q 2＝(p ＋2q )2－2p ·2q ＝32－2×(－2)＝13。

反证法◆随堂检测1、写出以下结论的反面：1〕a∥b______________〔2〕a≥0_______________2、用反证法证明“一个三角形中不可以有两个直角〞时，第一步应假定__________．3、用反证法证明“垂直于同一条直线的两条直线平行〞时，第一步应__________．4、用反证法证明命题：“假如AB∥CD，AB∥EF，那么CD∥EF．〞证明的第一个步骤应是()A ．假定C．假定CD∥EFAB∥EFBD．假定．假定CD不平行于AB不平行于EFEF◆典例剖析用反证法证明：四边形的四个内角不可以都是锐角 .剖析：依据题意写出适合的求证，假定“四边形有四个内角都是锐角〞，推出矛盾，进而证明原结论正确.：四边形 ABCD，求证：∠A、∠B、∠C、∠D不可以都是锐角.证明：反证法假定：四边形有四个内角都是锐角∵∠A、∠B、∠C、∠D是锐角∴∠A+∠B+∠C+∠D3600这与“四边形的内角和是360°〞矛盾∴假定不存在∴原命题建立◆课下作业●拓展提升1、试写出以下命题的反面：1〕a大于2_____________〔2〕a⊥b_______________2、用反证法证明“假定a2b2，那么ab〞的第一步是______________.3、填空：在△ABC中，假定∠C是直角，那么∠B必定是锐角.证明：假定结论不建立的，那么∠B是__________或_________.①当∠B是_______时，那么__________,这与____________________矛盾；②当∠B是_______时，那么__________,这与____________________矛盾.综上所述，假定不建立.∴∠B必定是锐角.4、反证法证明命题：假定⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离为d>r，那么点P在⊙O的外面．首先应假定()A．d<r B．d≤r C．点P在⊙O内D．点P在⊙O上或点P在⊙O内5、用反证法证明：三角形的三个内角中，总有一个角不大于60°．6、用反证法证明：等腰三角形的底角都是锐角．参照答案：◆随堂检测1、〔1〕直线a、b订交〔2〕a小于02、一个直角三角形必定有两个直角3、垂直于同一条直线的两条直线订交4、B◆课下作业●拓展提升1、〔1〕a小于等于 22〕a不垂直于b2、假定a=b3、直角钝角①直角∠A+∠B+∠C＞1800三角形内角和180°②钝角∠A+∠B+∠C＞1800三角形内角和180°4、D5、证明：假定三角形的三个内角都大于60,∵三角形的三个内角都大于60，∴三个内角的和大于1800，这与三角形内角和180°矛盾，因此原命题正确。

华东师大版九年级数学上册同步练习：24.2 直角三角形的性质A．0.7米B．1.5米C．2.2米D．2.4米图24－2－3知识点3直角三角形斜边上的中线的性质5．如图24－2－4，在Rt△ABC中，E是斜边AB的中点．若AB＝10，则CE＝________．图24－2－46．如图24－2－5，在△ABC中，CD⊥AB 于点D，E是AC的中点．若AD＝6，DE＝5，则CD的长等于__________．图24－2－57．如图24－2－6，在△ABC中，∠C＝2∠B，D是BC上的一点，且AD⊥AB，E是BD的中点，连结AE.求证：∠AEC＝∠C.图24－2－6知识点4直角三角形中30 °角的性质8．［2019·百色］如图24－2－7，△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝12，则BC＝() A．6 B．6 2 C．6 3 D．12图24－2－79．如图24－2－8，在等腰三角形ABC中，∠BAC＝120°，AC的垂直平分线交BC于点D，交AC于点E，若线段DE＝1 cm，则BD的长为________ cm.图24－2－810．如图24－2－9，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，则图中互余的角有()A．2对B．3对C．4对D．5对图24－2－911．［教材习题24.2第2题变式］如图24－2－10，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，D是BC的中点，DE⊥AB于点E.若AE＝2，则BE＝()A．3 B．4 C．6 D．8图24－2－1012．如图24－2－11，在Rt△ABC中，∠ACB ＝90°，AB的垂直平分线DE交AC于点E，交BC的延长线于点F.若∠F＝30°，DE＝1，求BE的长．图24－2－1113．如图24－2－12，在△ABC中，AD⊥BC于点D，∠B＝45°，∠C＝30°，AD＝1.(1)求CD的长；(2)求△ABC的面积．图24－2－1214．如图24－2－13，在△ABC中，∠ACB ＝90°，M，N分别是AB，AC的中点，延长BC至点D，使CD＝13BD，连结DN，MN.(1)求证：MN＝CD；(2)若AB＝6，求DN的长．图24－2－1315．如图24－2－14，已知在△ABC中，∠ACB＝90°，CD为高，且CD，CE三等分∠ACB.(1)求∠B的度数；(2)求证：CE是AB边上的中线，且CE＝12AB.图24－2－1416．如图24－2－15所示，一根长2a的木棍(AB)斜靠在与地面(OM)垂直的墙(ON)上，设木棍的中点为P.若木棍A端沿墙下滑，且B端沿地面向右滑行．(1)请判断在木棍滑动的过程中，点P到点O 的距离是否发生变化，并简述理由．(2)在木棍滑动的过程中，当滑动到什么位置时，△AOB的面积最大？简述理由，并求出面积的最大值．图24－2－151．D2．C 3.C4．C5．56．87．证明：∵AD⊥AB，∴△ABD为直角三角形．∵E是BD的中点，∴AE＝12BD，BE＝12BD，∴AE＝BE，∴∠B＝∠BAE.∵∠AEC＝∠B＋∠BAE，∴∠AEC＝∠B＋∠B＝2∠B.又∵∠C＝2∠B，∴∠AEC＝∠C.8．A9.410．C11．C12．∵AB的垂直平分线DE交AC于点E，交BC的延长线于点F，∴∠BDF＝90°，AE＝BE，∴∠ABE＝∠A.∵∠F＝30°，∴∠DBF＝60°.∵∠ACB＝90°，∴∠A＝30°，∴∠ABE＝30°，∴BE＝2DE＝2.13．解：(1)∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC ＝90°.∵∠C＝30°，AD＝1，∴AC＝2AD＝2，∴CD＝AC2－AD2＝22－12＝ 3.(2)∵∠B＝45°，∴∠BAD＝45°，∴BD＝AD＝1，∴BC＝BD＋CD＝1＋3，∴△ABC的面积＝12AD·BC＝1＋32.14．解：(1)证明：∵M，N分别是AB，AC的中点，∴MN＝12BC，MN∥BC.∵CD＝13BD，∴CD＝12BC，∴MN＝CD.(2)连结CM，∵MN∥CD，MN＝CD，∴四边形MCDN是平行四边形，∴DN＝CM.∵∠ACB＝90°，M是AB的中点，∴CM＝12AB，∴DN＝12AB＝3.15(1)∵在△ABC中，∠ACB＝90°，CD，CE三等分∠ACB，∴∠ACD＝∠DCE＝∠BCE＝30°，∴∠BCD＝60°.又∵CD为高，∴∠B＝90°－60°＝30°.(2)证明：由(1)知，∠B＝∠BCE＝30°，则CE＝BE.∵∠ACB＝90°，∠B＝30°，∴∠A＝60°.又由(1)知，∠ACD＝∠DCE＝30°，∴∠ACE＝60°＝∠A，∴△ACE是等边三角形，∴AE＝CE＝BE＝12AB，∴E是AB的中点，∴CE是AB边上的中线，且CE＝12AB.16．(1)不变．理由：由题意得OP＝12AB.∵斜边AB的长不变，∴点P到点O的距离OP不变．(2)当△AOB斜边上的中线OP是斜边上的高h时，△AOB的面积最大．理由：如图，过点O作OD⊥AB于点D，则OD＝h.若h与OP不相等，则总有h＜OP，故根据三角形面积公式，知当h与OP相等时，△AOB的面积最大，此时，S△AOB ＝12AB·h＝12·2a·a＝a2.∴△AOB的最大面积为a2.第 11 页。

24.3.2 用计算器求锐角三角函数值一. 选择题1. 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=26°，BC=5 ．若用科学计算器求边AC的长，则下列按键顺序正确的是（）A. B.C. D.2. 利用计算器求tan45°时，依次按键则计算器上显示的结果是（）A. 0.5B. 0.707C. 0.866D. 13. 用科学记算器计算锐角α的三角函数值时，不能直接计算出来的三角函数值是（）A. cotαB. tanαC. CosαD. sinα4. Rt△ABC中，∠C=90°，a：b=3：4，运用计算器计算，∠A的度数（精确到1°）（）A. 30°B. 37°C. 38°D. 39°5. 如果tanα=0.213，那么锐角α的度数大约为（）A. 8°B. 10°C. 12°D. 15°6. 四位学生用计算器求sin62°20′的值正确的是（）A. 0.8857B. 0.8856C. 0.8852D. 0.88517. 用计算器求sin20°+tan54°33′的结果等于（结果精确到0.01）（）A. 2.25B. 1.55C. 1.73D. 1.758. 一个直角三角形有两条边长为3，4，则较小的锐角约为（）A. 37°B. 41°C. 37°或41°D. 以上答案均不对9. 用计算器求tan26°，cos27°，sin28°的值，它们的大小关系是（）A. tan26°＜cos27°＜sin28°B. tan26°＜sin28°＜cos27°C. sin28°＜tan26°＜cos27°D. cos27°＜sin28°＜tan16°10. 按科学记算器MODE MODE 1，使显示器显示D后，求sin90°的值，以下按键顺序正确的是（）A. sin ， 9=B. 9，sin=C. sin ， 9，0=D. 9，0=11. 用计算器验证，下列等式中正确的是（）A. sin18°24′+sin35°26′=sin54°B. sin65°54′-sin35°54′=sin30°C. 2sin15°30′=sin31°D.sin70°18′-sin12°18′=sin47°42′12. 用计算器求cos15°，正确的按键顺序是（）A. cos15=B. cos15C. Shift15D. 15cos13. 已知tanα=0.3249，则α约为（）A. 17°B. 18°C. 19°D. 20°14. 按键，使科学记算器显示回后，求sin90°的值，以下按键顺序正确的是（）A. B.C. D.15. 已知sinα= ，求α，若用计算器计算且结果为“30”，最后按键（）A. AC10NB. SHIETC. MODED. SHIFT二. 填空题16. 用计算器求tan35°的值，按键顺序是________ ．17. 已知tanβ=22.3，则β=________（精确到1″）18. 如果cosA=0.8888，则∠A≈ ________（精确到1″）19. cos35°≈________（结果保留四个有效数字）．20. 小虎同学在计算a+2cos60°时，因为粗心把“+”看成“-”，结果得2006，那么计算a+2cos60°的正确结果应为________ ．三. 解答题21. 已知下列锐角三角函数值，用计算器求锐角A，B的度数．(1)sinA=0.7，sinB=0.01；(2)cosA=0.15，cosB=0.8；(3)tanA=2.4，tanB=0.5 ．22. 已知下列锐角三角函数值，用计算器求其相应的锐角：(1)sinA=0.7325，sinB=0.0547；(2)cosA=0.6054，cosB=0.1659；(3)tanA=4.8425，tanB=0.8816 ．23. 已知∠A为锐角，求满足下列条件的∠A的度数（精确到1″）．(1)sinA=0.9816；(2)cosA=0.8607；(3)tanA=0.1890；(4) tanA=56.78 ．24. 等腰三角形中，两腰和底的长分别是10和13，求三角形的三个内角的度数（精确到1′）．答案一、1. D 分析：由tan∠B= ，得AC=BC•tanB=5×tan26．故选D.2. D 分析：依次按键则计算器上显示的tan45°的值，即1．故选D.3. A 分析：用科学记算器计算锐角α的三角函数值时，只能计算正弦、余弦、正切的值，要计算余切的值，需先计算正切值，在借助倒数进行计算得出答案，故答案为A.4. B 分析：∵a：b=3：4，∴设a=3x ， b=4x ，由勾股定理知，c=5x．∴sinA=a：c=3：5=0.6，运用计算器得，∠A=37°．故选B.5. C 分析：∵tanα=0.213，∴∠α≈12° ．故选C.6. A 分析：sin62°20′≈0.8857，故选A.7. D 分析：sin20°+tan54°33′=sin20°+tan54.55°=0.3420+1.4045=1.7465≈1.75 ．故选D.8. C 分析：①若3. 4是直角边，∵两直角边为3，4，∴斜边长= ，∴较小的锐角所对的直角边为3，则其正弦值为；②若斜边长为4，则较小边= ≈2.65，∴较小边所对锐角正弦值约= =0.6625，利用计算器求得角约为37°或41° ．故选C.9. C 分析：∵tan26°≈0.488，cos27°≈0.891，sin28°≈0.469 ．故sin28°＜tan26°＜cos27° ．故选C. 10. C 分析：显示器显示D后，即弧度制；求sin90°的值，需按顺序按下：sin ， 9，0= ．故选C.11. D 分析：利用计算器分别计算出各个三角函数的数值，进行分别检验．正确的是sin70°18′-sin12°18′=sin47°42′ ．故选D.12. A 分析：先按键“cos”，再输入角的度数15，按键“=”即可得到结果. 故选A13. B 分析：tanα=0.3249，α约为18° ．故选B14. A 分析：第一步按sin ，第二步90，最后按=，故选A.15. D 分析：“SHIET”表示使用该键上方的对应的功能．故选D.二、16.先按tan ，再按35，最后按=17. 87°25′56″18. 27°16′38″19. 0.819220. 2008 分析：∵a-2cos60°=2006，∴a=2007 ．∴a+2cos60°=2007+1=2008 ．三、21. 解：（1）sinA=0.7，得A=44.4°；sinB=0.01得B=0.57°；（2）cosA=0.15，得A=81.3°；cosB=0.8，得B=36.8°；（3）由tanA=2.4，得A=67.4°；由tanB=0.5，得B=26.5° ．23. 解：（1）∵sinA=0.7325，∴∠A≈47.1°，∵sinB=0.0547，∴∠B≈3.1°；（2）∵cosA=0.6054，∴∠A≈52.7°，∵cosB=0.1659，∴∠B≈80.5°；（3）∵tanA=4.8425，∴∠A≈78.3°，∵tanB=0.8816，∴∠B≈41.4° ．24.解：（1）∵sinA=0.9816，∴∠A≈78.991°≈78°59′28″；（2）∵cosA=0.8607，∴∠A≈30.605°=30°36′18″；（3）∵tanA=0.1890，∴∠A≈10.703°≈10°42′11″；（4）∵tanA=56.78，∴∠A≈88.991°≈88°59′28″ ．25.解：如图所示，AB=AC=10，BC=13，AD是底边上的高，∵AD是底边上的高，∴AD⊥BC，又∵AB=AC，∴BD=CD=6.5，∠BAD=∠CAD= ∠BAC ，在Rt△ABD中，sin∠BAD= =0.65，∴∠BAD≈40°32′，∴∠BAC≈2∠BAD≈81°4′，∠B=∠C≈49°28′ ．故△ABC的三个内角分别为：81°4′，49°28′，49°28′ ．。

反证法（30分钟 50分）一、选择题(每小题4分,共12分)“直线a,b,c在同一平面内,且a⊥c,b⊥c,则a∥b”时,应假设( )“三角形中必有一个内角小于或等于60°”时,首先应假设这个三角形中( )°°°°3.如图,等腰梯形ABCD中,AB∥CD,点E,F,G,H分别为各边中点,对角线AC=5,则四边形EFGH的周长为( )A.2.5B.5二、填空题(每小题4分,共12分)“如果a∥b,b∥c,那么a∥c”时,应假设________.5.(2013·呼和浩特中考)如图,在四边形ABCD中,对角线AC⊥BD,垂足为O,点E,F,G,H分别为边AD,AB,BC,CD 的中点.若AC=8,BD=6,则四边形EFGH的面积为________.6.如图,在四边形ABCD中,AC=BD=6,E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA的中点,则EG2+FH2=________.三、解答题(共26分)7.(8分)如图所示,在△ABC中,AB>AC,AD是内角平分线,AM是BC边上的中线,求证:点M不在线段CD上.8.(8分)用反证法证明:两条直线被第三条直线所截,如果同旁内角不互补,那么这两条直线不平行.已知:如图,直线l1,l2被l3所截,∠1+∠2≠180°.求证:l1与l2不平行.【拓展延伸】9.(10分)如图,在△ABC中,中线BD,CE相交于点O,F,G分别是OB,OC的中点.(1)求证:四边形DEFG是平行四边形.(2)当AB=AC时,判断四边形DEFG的形状.(3)连结OA,当OA=BC时,判断四边形DEFG的形状,并证明你的结论.答案解析1.【解析】∥b和a与b不平行两种,因此用反证法证明“a∥b”时,应先假设a与b不平行.2.【解析】“三角形中必有一个内角小于或等于60°”时,应先假设三角形中每一个内角都大于60°.3.【解析】选C.连结BD,∵E,F,G,H是等腰梯形ABCD各边中点,∴EF=GH=AC,EH=GF=BD,∵四边形ABCD为等腰梯形,∴BD=AC,∴四边形EFGH的周长=4EF=2AC=10.4.【解析】用反证法证明命题“如果a∥b,b∥c,那么a∥c”时,应假设a不平行于c.答案:a不平行于c5.【解析】∵点E,F分别为四边形ABCD的边AD,AB的中点,∴EF∥BD,且EF=BD=3.同理求得EH∥AC∥GF,且EH=GF=AC=4,∴四边形EFGH为平行四边形.又∵AC⊥BD,∴EF⊥FG,∴四边形EFGH是矩形,∴四边形EFGH的面积=EF·EH=3×4=12,即四边形EFGH的面积是12.答案:126.【解析】如图,连结EF,FG,GH,EH,设EG与HF交于点O,∵E,H分别是AB,DA的中点,∴EH是△ABD的中位线,∴EH=BD=3,同理可得EF,FG,GH分别是△ABC,△BCD,△ACD的中位线,∴EF=GH=AC=3,FG=BD=3,∴EH=EF=GH=FG=3,∴四边形EFGH为菱形,∴EG⊥HF,∴EG=2OE,FH=2OH,在Rt△OEH中,根据勾股定理得:OE2+OH2=EH2=9,等式两边同时乘以4得:4OE2+4OH2=9×4=36,∴(2OE)2+(2OH)2=36,即EG2+FH2=36.答案:367.【证明】假设点M不在线段CD上不成立,则点M在线段CD上.延长AM到N,使AM=MN,连结BN,在△AMC和△NMB中,BM=CM,∠AMC=∠BMN,AM=MN,∴△AMC≌△NMB(S.A.S.),∴∠MAC=∠MNB,AC=BN,根据M在线段CD上,则∠BAM>∠MAC,∴∠MNB<∠BAM,∴BN>AB,即AC>AB,与AB>AC相矛盾.因而M在线段CD上是错误的,所以点M不在线段CD上.8.【证明】假设l1∥l2,则∠1+∠2=180°(两直线平行,同旁内角互补),这与∠1+∠2≠180°l1与l2不平行. 【归纳整合】反证法是一种间接证明的方法,通常在直接证明比较困难时采用这种证法.应注意的是:推论应从假设出发,即把这个假设当作已知条件对待.常见的反设表述如:至少有一个与一个也没有;至多有一个与至少有两个;唯一与没有或至少有两个;易混淆的是“都不是”的否定是“不都是”.9.【解析】(1)∵D,E分别为AC,AB的中点,∴ED∥BC,ED=BC.同理FG∥BC,FG=BC,∴ED∥FG,ED=FG,∴四边形DEFG是平行四边形.(2)如图1,当AB=AC时,平行四边形DEFG变成矩形.理由如下:连结AO并延长交BC于点M.∵三角形的三条中线相交于同一点,△ABC的中线BD,CE交于点O,∴M为BC的中点,当AB=AC时,AM⊥BC,∵E,F,G分别是AB,OB,OC的中点,∴EF∥AO,FG∥BC,∴EF⊥FG,∴平行四边形DEFG是矩形.(3)如图2,当OA=BC时,四边形DEFG是菱形.∵D,G分别是AC,OC的中点,∴DG=AO.∵OA=BC,∴DG=FG.又∵四边形DEFG是平行四边形,∴四边形DEFG是菱形.。

24.4 解直角三角形一、选择题1. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，若AB=c，∠a=α，则CD的长为（）（第1题图）A. c • sin2αB. c • cos2αC. c• sin α• tan αD. c • sin α• cos α2. 数学活动课上，小敏和小颖分别画了△ABC和△DEF，尺寸如图．如果两个三角形的面积分别记作S△ABC，S△DEF，那么它们的大小关系是（）（第2题图）A. S△ABC >S△DEFB. S△ABC <S△DEFC. S△ABC = S△DEFD. 不能确定，则AC的长3. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，若AB=5，sin A=35是（）（第3题图）A. 3B. 4C. 5D. 64. 数学课外兴趣小组的同学们要测量被池塘相隔的两棵树A，B的距离，他们设计了如图的测量方案：从树A沿着垂直于AB的方向走到E，再从E沿着垂直于AE的方向走到F，C为AE上一点，其中3位同学分别测得三组数据：①AC，∠ACB；②EF，DE，AD；③CD，∠ACB，∠ADB. 其中能根据所测数据求得A，B两树距离的有（）（第4题图）A. 0组B. 1组C. 2组D. 3组5. 在课题学习后，同学们为教室窗户设计一个遮阳蓬，小明同学绘制的设计图如图，其中，AB表示窗户，且AB=2.82米，△BCD表示直角遮阳蓬，已知当地一年中在午时的太阳光与水平线CD的最小夹角α为18°，最大夹角β为66°，根据以上数据，计算出遮阳蓬中CD的长是（结果精确到0.1）（参考数据：sin 18°≈0.31，tan 18°≈0.32，sin 66°≈0.91，tan 66°≈2.2）（）（第5题图）A. 1.2米B. 1.5米C. 1.9米D. 2.5米米，坡顶6. 如图，斜面AC的坡度（CD与AD的比）为1：2，AC有旗杆BC，旗杆顶端B点与A点有一条彩带相连．若AB=10米，则旗杆BC的高度为（）（第6题图）A. 5米B. 6米C. 8米）米D.（7. 如图，某水渠的横断面是等腰梯形，已知其斜坡AD和BC的坡度为1：0.6，现测得放水前的水面宽EF为1.2米，当水闸放水后，水渠内水面宽GH为2.1米．则放水后水面上升的高度是（）（第7题图）A. 0.55B. 0.8C. 0.6D. 0.758. 湖南路大桥于今年5月1日竣工，为徒骇河景区增添了一道亮丽的风景线．某校数学兴趣小组用测量仪器测量该大桥的桥塔高度，在距桥塔AB底部50米的C处，测得桥塔顶部A的仰角为41.5°（如图）．已知测量仪器CD的高度为1米，则桥塔AB的高度约为（）（参考数据：sin41.5°≈0.663，cos 41.5°≈0.749，tan41.5°≈0.885）（第8题图）A. 34米B. 38米C. 45米D. 50米9. 在一次夏令营活动中，小霞同学从营地A点出发，要到距离A点10千米的C地去，先沿北偏东70°方向走菁优网了8千米到达B地，然后再从B地走了6千米到达目的地C，此时小霞在B地的（）A. 北偏东20°方向上 B. 北偏西20°方向上C. 北偏西30°方向上D. 北偏西40°方向上二、填空题10.如图，港口A在观测站O的正东方向，OA=4 km，某船从港口A 出发，沿北偏东15°方向航行一段距离后到达B处，此时从观测站O 处测得该船位于北偏东60°的方向，则该船航行的距离（即AB的长）为km．（第10题图）三、解答题11.如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点O作OE⊥AC 交AD于E，若AB=6，AD=8，求sin∠OEA的值．（第11题图）12.如图是一座人行天桥的示意图，天桥的高度是10米，CB⊥DB，坡面AC的倾斜角为45°．为了方便行人推车过天桥，市政部门决定3．若新坡角下需留3米宽降低坡度，使新坡面DC的坡度为i的人行道，问离原坡角（A点处）10米的建筑物是否需要拆除？（参.414.732）（第12题图）答案一、1. D 分析：在Rt△ABC中，∵∠ACB=90°，AB=c，∠A=α，sin α=，∴BC=c • sin α．∵∠A+∠B=90°，∠DCB+∠B=90°，∴∠DCB=∠A=α．在Rt△DCB中，∵∠CDB=90°，cos∠DCB=，∴CD=BC • cos α=c• sin α• cos α．故选D．2. C 分析：如答图，分别过点A，D作AG⊥BC，DH⊥EF，垂足分别为G，H．在Rt△ABG中，AG=AB • sin B=5×sin 50°=5sin 50°．在Rt△DHE中，∠DEH=180°- 130°=50°，∴DH=DE • sin∠DEH=5sin 50°，∴AG=DH．∵BC=4，EF=4，∴S△ABC=S△DEF．故选C.（第2题答图）3. B 分析：∵∠C=90°，sin A=，AB=5，∴BC=AB •sin A=5×=3. 由勾股定理，得AC==4．故选B．4. D 分析：第①组中，因为知道∠ACB和AC的长，所以可利用∠ACB的正切来求AB的长．第②组中可利用∠ACB和∠ADB的正切求出AB．第③组中设AC=x，AD=CD+x，AB=，AB=. 因为已知CD，∠ACB，∠ADB，可求出x，然后得出AB. 故选D.5. B 分析：设CD为x. 在Rt△BCD中，∠BDC=α=18°.∵tan∠BDC=，∴BC=CD•tan∠BDC=0.32x. 在Rt△ACD中，∠ADC=β=66°.∵tan∠ADC=ACCD，∴AC=CD•tan∠ADC=2.2x. ∵AB=AC -BC，∴2.82=2.2x-0.32x，解得x=1.5. 故CD长约为1.5米．故选B.6. A 分析：设CD=x，则AD=2x.由勾股定理，得AC=.∵米，∴x=3，解得x=3. ∴CD=3米，∴AD=2×3=6（米）. 在Rt△ABD中，BD==8（米），∴BC=8-3=5（米）．故选A.7. D 分析：如答图，过点E作EM⊥GH于点M. ∵水渠的横断面是等腰梯形，∴GM=12×（GH-EF ）=12×（2.1-1.2）=0.45.∵斜坡AD 的坡度为1：0.6，∴EM ：GM=1：0.6，∴EM ：0.45=1：0.6，∴EM=0.75. 故选D.（第7题答图）8. C 分析：过点D 作DE ⊥AB 于点E ，则DE=BC=50米. 在Rt △ADE 中，AE= DE•tan41，5°≈50×0.88=44（米）. ∵CD=1米，∴BE=1米，∴AB=AE+BE=44+1=45（米），∴桥塔AB 的高度为45米．9. B 分析：如答图．∵AC=10千米，AB=8千米，BC=6千米，∴AC2=AB2+BC2，∴△ABC 为直角三角形，即∠ABC=90°，又∵B 点在A 的北偏东70°方向，∴∠1= 90°-70°=20°，∴∠2=∠1=20°，即C 点在B 的北偏西20°的方向上．故选B.（第9题答图）二、 分析：如答图，过点A 作AD ⊥OB 于点D. 在Rt △AOD中，∵∠ADO= 90°，∠AOD=30°，OA=4 km ，∴AD=OA=2（km ）．在Rt △ABD 中，∵∠ADB=90°，∠B=∠CAB-∠AOB=75°-30°=45°，∴BD=AD=2 km ，∴AB=AD=2（km ）．即该船航行的距离（即AB 的长）为．（第10题答图）三、11. 解：连接EC ，如答图．∵四边形ABCD 为矩形，∴OA =OC ，∠ABC =90°．由勾股定理，得AC=10，即OA =5．∵OE ⊥AC ，∴AE =CE ．在Rt △EDC 中，设EC =AE =x ，则有ED =AD -AE =8-x ，DC =AB =6． 根据勾股定理，得x 2=（8-x ）2+62．解得x =254． ∴AE =254． 在Rt △AOE 中，sin ∠OEA =45OA AE =．（第11题答图）12. 解：需要拆除．理由如下：∵CB ⊥AB ，∠CAB =45°，∴△ABC 为等腰直角三角形，∴AB =BC =10米．在Rt △BCD 中，新坡面DC 的坡度为i3，即∠CDB =30°， ∴DC =2BC =20米，BD∴AD =BD -AB10≈7.32（米）．∵3+7.32=10.32>10，∴需要拆除．。

2024-2025学年华东师大版九年级上册数学期中练习试卷1.下列方程中，一定是关于x的一元二次方程的是（）A．ax2＋bx＋c＝0B．2（x﹣9）2-（x＋1）2＝1C．x2＋＋5＝0D．x2＋5x﹣6＝x22.下列二次根式中，不能和其他二次根式进行合并的是（）A．B．C．D．3.如果，那么下列各式中不成立的是（）A．B．C．D．4.下列计算正确的是（）A．B．C．D．5.下列图形不是相似图形的是（）A．同一张底片冲洗出来的两张大小不同的照片B．用放大镜将一个细小物体图案放大过程中原有放大过程中原有图案和放大图案C．某人的侧身照片和正面照片D．大小不同的两张中国地图6.如图，在中，，，，则等于（）A．B．C．D．7.二次函数(为常数)的图象不经过第三象限，当≤3时，的最大值为，则的值是()A．B．C．D．8.如图，、分别在△ABC的边和上，下列不能说明和相似的是（）A．B．C．D．9.如果最简二次根式与是同类二次根式，那么a的值是（）A．5B．3C．−5D．−310.已知关于x的一元二次方程的两个实数根分别是，，则的值（）A．2B．C．D．11.计算的结果是_____．12.已知，则代数式的值等于___．13.＝_____；＝____．14.化简：________．15.为响应全民阅读活动，某校面向社会开放图书馆．自开放以来，进馆人次逐月增加，第一个月进馆200人次，前三个月累计进馆872人次．若进馆人次的月增长率相同，为求进馆人次的月增长率，设进馆人次的月增长率为，依题意可列方程为______．16.关于x的方程（a﹣1）+x﹣3＝0是一元二次方程，则a＝_____．17.计算：(1)；(2)．18.计算：（1）（2）19.关于的一元二次方程．(1)求证：方程总有两个实数根；(2)若方程有一个根为1，求的值．20.计算题：(1)；(2)．21.我县古田镇某纪念品商店在销售中发现：“成功从这里开始”的纪念品平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存，该商店在今年国庆黄金周期间，采取了适当的降价措施，改变营销策略后发现：如果每件降价4元，那么平均每天就可多售出8件．商店要想平均每天在销售这种纪念品上盈利1200元，那么每件纪念品应降价多少元？22.已知一元二次方程．(1)求证：方程有两个不相等的实数根．(2)若的两边、的长是原方程的两个实数根，第三边的长为5，当是等腰三角形时，求该三角形的周长．23.在中，，，．动点P、Q分别从点A、B同时开始移动，点P的速度为秒，点Q的速度为秒，点Q移动到点C后停止，点P也随之停止运动．(1)多长时间后，能使的面积为?(2)多长时间后，点P，Q之间的距离是?24.先观察下列的等式，再回答问题：；；；(1)请你直接写出结果：，；(2)根据你的观察猜想：（n为正整数）．。