高中数学直线的交点坐标与距离公式测试

2020-2021年高二数学选择性必修一尖子生同步培优题典2.3直线的交点坐标与距离公式（解析版）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项：本卷共16小题，6道单选题，3道多选题，3道填空题，4道解答题。

一、单项选择题（本题共6小题，每小题满分5分）1．若||y a x =与 (0)y x a a =+>的图形有两个交点，则a 的取值范围是（ ） A ．1a > B ．01a <<C ．∅D ．01a <<或1a >【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，可知||y a x =表示关于y 轴对称的两条射线，(0)y x a a =+>表示斜率为1，在y 轴上的截距为(0)a a >的直线，画出图形，分析判断即可求出a 的取值范围. 【详解】解：||y a x =表示关于y 轴对称的两条射线，(0)y x a a =+>表示斜率为1，在y 轴上的截距为(0)a a >的直线，根据题意，画出大致图形，如下图，若||y a x =与y x a =+的图形有两个交点，且0a >，则根据图形可知1a >． 故选：A ．【点睛】本题考查由两直线的交点个数从而求参数范围，考查直线的斜率和截距，以及直线的方程和图象，考查数形结合思想.2．在平面直角坐标系中，记d 为点()cos ,sin P αα到直线20mx y +-=的距离，当α，m 变化时，d 的最大值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C 【解析】 【分析】由点到直线的距离表示出d ，利用辅助角公式和绝对值的三角不等式化简得2211d m ≤++，即可求出d 的最大值. 【详解】由题意，点P 到直线20mx y +-=的距离为d ，则()2222221sin 2cos sin 2111111m m m d m m m m αϕαα++-+-+==≤=++++，其中，tan m ϕ=，所以当且仅当()sin 1αϕ+=-，0m =时，d 取得最大值， 即max 3d =. 故选：C 【点睛】本题主要考查点到直线的距离公式、三角函数性质、辅助角公式和绝对值的三角不等式的应用，考查学生的转化和计算能力，属于中档题.3．已知()111P a b ，与()122P a b ，是直线1y kx =+(k 为常数)上两个不同的点，则关于x 和y 的方程组112211a x b y a x b y +=⎧⎨+=⎩的解的情况是（ ）A ．无论12k P P 、、如何,总是无解B ．无论12k P P 、、如何,总有唯一解C ．存在12k P P 、、，使之恰有两解D ．存在12k P P 、、，使之有无穷多解 【答案】B 【解析】 【分析】判断直线的斜率存在，通过点在直线上，推出1122,,,a b a b 的关系，再求解方程组的解，即可求解，得到答案． 【详解】由题意，点()111P a b ，与()122P a b ，是直线1y kx =+(k 为常数)上两个不同的点， 直线1y kx =+的斜率存在，所以2121b b k a a -=-，即12a a ≠，且11221,1b ka b ka =+=+，所以211212122121a b a b ka a ka a a a a a -=-+-=-，由方程组11221(1)1(2)a x b y a x b y +=⎧⎨+=⎩，21(1)(2)b b ⨯-⨯可得：122121()a b a b x b b -=-，即1221()a a x b b -=-，所以方程组有唯一的解． 故选B ． 【点睛】本题主要考查了直线方程的应用，直线的斜率的求法，以及一次函数根与系数的关系和方程组的综合应用，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题．4．如图，已知A(4,0)、B(0,4)，从点P(2，0)射出的光线经直线AB 反射后再射到直线OB 上，最后经直线OB 反射后又回到P 点，则光线所经过的路程是 ( )A ．25B ．33C ．6D ．10【答案】D 【解析】 【分析】设点P 关于y 轴的对称点P'，点P 关于直线:40AB x y +-=的对称点"P ，由对称点可求P'和"P 的坐标，在利用入射光线上的点关于反射轴的对称点在反射光线所在的直线上，光线所经过的路程为'"P P . 【详解】点P 关于y 轴的对称点P'坐标是()2,0-，设点P 关于直线:40AB x y +-=的对称点()",P a b ，由()0112204022b a a b -⎧⨯-=-⎪⎪-⎨++⎪+-=⎪⎩，解得42a b =⎧⎨=⎩， 故光线所经过的路程()22'"242210P P =--+=，故选D .【点睛】解析几何中对称问题，主要有以下三种题型：（1）点关于直线对称，(),P x y 关于直线l 的对称点()',P m n ，利用1l y n k x m -⨯=--，且 点,22x m y n ++⎛⎫⎪⎝⎭在对称轴l 上，列方程组求解即可；（2）直线关于直线对称，利用已知直线与对称轴的交点以及直线上特殊点的对称点（利用（1）求解），两点式求对称直线方程；（3）曲线关于直线对称，结合方法（1）利用逆代法求解.5．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为221x y +≤，若将军从点(2,0)A 处出发，河岸线所在直线方程为3x y +=，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为（ ） A ．101- B ．221- C ．22 D ．10【答案】A 【解析】 【分析】先求出点A 关于直线3x y +=的对称点A '，点A '到圆心的距离减去半径即为最短. 【详解】解：设点A 关于直线3x y +=的对称点(,)A a b '，AA '的中点为2(,)22a b +，AA bk a 2'=- 故•(1)122322ba ab ⎧-=-⎪⎪-⎨+⎪+=⎪⎩解得31a b =⎧⎨=⎩，要使从点A 到军营总路程最短， 即为点A '到军营最短的距离，“将军饮马”的最短总路程为22311101+-=-，故选A. 【点睛】本题考查了数学文化问题、点关于直线的对称问题、点与圆的位置关系等等，解决问题的关键是将实际问题转化为数学问题，建立出数学模型，从而解决问题. 6．已知,αβ∈R ，两条不同直线1sin sin sin cos x yαβαβ+=++与1cos sin cos cos x yαβαβ+=++的交点在直线y x =-上，则sin cos sin cos ααββ+++的值为（ ） A ．2 B ．1 C ．0 D ．-1【答案】C 【解析】 【分析】联立方程求交点，根据交点在在直线y x =-上，得到三角关系式，化简得到答案. 【详解】1sin sin sin cos 1cos sin cos cos 1111()()0sin sin cos sin sin cos cos cos x y x y x y αβαβαβαβαβαβαβαβ⎧+=⎪++⎪⎨⎪+=⎪++⎩⇒-+-=++++交点在直线y x =-上sin sin cos s 111in sin cos cos co 1s αβαβαβαβ-=-++⇒++sin sin cos c 111os cos sin sin co 1s αβαβαβαβ+=+++⇒++sin cos sin cos sin cos sin cos (sin sin )(cos cos )(cos sin )(sin cos )ααββααββαβαβαβαβ++++++=++⇒++观察分母(sin sin )(cos cos )αβαβ++和(cos sin )(sin cos )αβαβ++不是恒相等故sin cos sin cos 0ααββ+++=故答案选C 【点睛】本题考查了直线方程，三角函数运算，意在考查学生的计算能力.7．设两条直线的方程分别为0x y a ++=,0x y b ++=,已知,a b 是方程20x x c ++=的两个实根,且108c ≤≤,则这两条直线之间的距离的最大值和最小值分别为( ) A ．3233, B ．3133, C ．2122, D ．2223, 【答案】C 【解析】 【分析】由韦达定理求出1,a b ab c +=-=，然后求出2||()4a b a b ab -=+-的范围，即可求得两平行线间的距离范围. 【详解】由已知得两条直线的距离是||2a b d -=， 因为,a b 是方程20x x c ++=的两个根，所以1,a b ab c +=-=， 则2||()4=14a b a b ab c -=+--， 因为108c ≤≤，所以1||2222a b -，即1222d . 故选：C 【点睛】本题考查平行线间的距离公式，韦达定理和不等式，属于基础题.8．在平面直角坐标系中，定义(){}1212max d A B x x y y =--，，为两点A ()11x y ，、B ()22x y ，的“切比雪夫距离”，又设点P 及l 上任意一点Q ,称()d P Q ，的最小值为点P 到直线l 的“切比雪夫距离”，记作()d P l ，,给出下列三个命题：①对任意三点A 、B 、C ，都有()()()d C A d C B d A B +≥，，，；②已知点P (2,1)和直线:220l x y --=,则()83d P l =，；③定点()()1200F cF c -，、，，动点P ()x y ，满足()()()122220d P F d P F a c a -=，，＞＞，则点P的轨迹与直线y k =(k 为常数)有且仅有2个公共点. 其中真命题的个数是（ ） A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】C【解析】 【分析】①讨论三点共线和不共线，结合图象与新定义即可判断； ②设点Q 直线:220l x y --=一点，且,12x Q x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，可得(),max 2,22x d P Q x ⎧⎫=--⎨⎬⎩⎭，讨论即可得出(),d P l 即可判断；③讨论点P 在坐标轴和各个象限的情况，求得轨迹方程，即可判断． 【详解】解：①对任意三点A 、B 、C ，若它们共线，设1(A x ，1)y 、2(B x ，2)y 、3(C x ，3)y ，如图，结合三角形的相似可得(,)d C A ,(,)d C B ,(,)d A B 分别为AN ,CM ,AK 或CN ,BM ,BK ， 则(,)(,)(,)d C A d C B d A B +=；若B ,C 或A ,C 对调，可得(,)(,)(,)d C A d C B d A B +>； 若它们不共线，且三角形中C 为锐角或钝角，如图，由矩形CMNK 或矩形BMNK ，(,)(,)(,)d C A d C B d A B +≥；则对任意的三点A ，B ，C ，都有(,)(,)(,)d C A d C B d A B +≥； 故①正确；②设点Q 直线:220l x y --=一点，且,12x Q x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，可得(),max 2,22x d P Q x ⎧⎫=--⎨⎬⎩⎭， 由222x x -≤-，解得803x ≤≤，即有(),22x d P Q =-， 当83x =时，取得最小值23； 由222x x ->-，解得0x <或83x >，即有(),2d P Q x =-， (,)d P Q 的范围是()222,,,33⎛⎫⎛⎫+∞+∞=+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，无最值， 综上可得，P ，Q 两点的“切比雪夫距离”的最小值为23， 故②错误；③定点1(,0)F c -、2(,0)F c ，动点(,)P x y 满足()()()122220d P F d PF a c a -=，，＞＞， 可得P 不y 轴上，P 在线段12F F 间成立， 可得()2x c c x a +--=，解得x a =，由对称性可得x a =-也成立，即有两点P 满足条件；若P 在第一象限内，满足()()122d P F d P F a -=，，即为2x c y a +-=，为射线， 由对称性可得在第二象限、第三象限和第四象限也有一条射线， 则点P 的轨迹与直线y k =(k 为常数）有且仅有2个公共点， 故③正确；∴真命题的个数是2，故选：C ． 【点睛】本题考查新定义的理解和运用，考查数形结合思想方法，以及运算能力和推理能力，属于难题．二、多选题（3道小题，每小题满分5分，答漏得3分，答错得0分）9．平面上三条直线210x y -+=，10x -=，0x ky +=.若这三条直线将平面分为六部分，则实数k 的值可以是（ ） A ．0 B ．2C ．1-D ．2-【答案】ACD 【解析】 【分析】先根据题意分类讨论，再分别求出实数k 的值即可解题. 【详解】解：因为平面上三条直线210x y -+=，10x -=，0x ky +=将平面分为六部分，（1）直线210x y -+=和直线10x -=的交点是(1,1)，直线0x ky +=过另两条直线的交点，所以1k =-；（2）直线0x ky +=与直线10x -=平行或与直线210x y -+=平行，此时0k =或2-. 所以实数k 的取值集合是{0,1,2}--. 故选：ACD 【点睛】本题考查直线与直线的位置关系求参数，是基础题.10．某同学在研究函数()1f x x =-的性质时，联想到两点间的距离公式，从而将函数变形为()f x =）A ．函数()f x 在区间(),0-∞上单调递减，()1,+∞上单调递增B ．函数()f x ，没有最大值C ．存在实数t ，使得函数()f x 的图象关于直线x t =对称D ．方程()2f x =的实根个数为2 【答案】ABD 【解析】 【分析】设点(1,0)A ，(0,1)B ，函数()f x 表示x 轴上的点(,0)P x 到A 、B 两点的距离之和，让点P 在x 轴上移动，可观察出()f x 的变化情况，从而判断出各选项的正确性. 【详解】设点(1,0)A ，(0,1)B ，函数()()()()()2222001100f x x x =-+-+-+-表示x 轴上的点(,0)P x 到A 、B两点的距离之和，由图可知，当点P 由x 的负半轴方向向原点O 移动时，PA PB +的和逐渐变小，即函数()f x 区间(),0-∞上单调递减，当点P 由点A 向x 的正半轴方向移动时，PA PB +的和逐渐变大，即函数()f x 在区间()1,+∞上单调递增，故A 正确；当点P 移动到点A 时，PA PB +2，没有最大值，即函数()f x 的最小值2，没有最大值，故B 正确；()()211f t x t x t x +=+++-，而()()211f t x t x t x -=-+--，显然()()f t x f t x +≠-，故不存在存在实数t ，使得函数()f x 的图象关于直线x t =对称，故C 错误； 方程()2f x =2112x x +-=，解之得：1x =-或0x =，故D 正确.故选：ABD. 【点睛】本题主要考查函数的性质，解题关键是将函数转化为x 轴上的点(,0)P x 到A 、B 两点的距离之和，这样通过点的移动可以直观地得到函数的性质，考查逻辑思维能力和计算能力，考数形结合思想和转化思想，属于中档题.11．如图，矩形ABCD 中，8AB =，6BC =，E ，F ，G ，H 分别是矩形四条边的中点，R ，S ，T 是线段OF 的四等分点，R '，S '，T '是线段CF 的四等分点，分别以HF ，EG 为x ，y 轴建立直角坐标系，设E R 与GR '､ER 与GT '分别交于1L ，2L ，ES 与GS '､ES 与GT '交于1M ，2M ，ET 与GT '交于点N ，则下列关于点1L ，2L ，1M ，2M ，N 与两个椭圆:1Γ:221169x y +=，2Γ:2231329x y +=的位置关系叙述正确的是( )A ．三点1L ，1M ，N 在1Γ，点2M 在2Γ上B ．1L ，1M 不在1Γ上，2L ，N 在1Γ上C ．点2M 在2Γ上，点1L ，2L ，1M 均不在2Γ上D ．1L ，1M 在1Γ上，2L ，2M 均不在2Γ上 【答案】AC 【解析】 【分析】求出1L 的坐标，证明1L 在1Γ上；求出2M 的坐标，证明点2M 在2Γ上.即得解. 【详解】由题得E （0，-3），R （1,0），所以直线ER 的方程为1,333yx y x +=∴=--. 由题得G （0,3），9(4,)4R '，所以9334416GR k '-==-， 所以直线GR '的方程为3316y x =-+， 联立13396135,(,)16515133y x L y x ⎧=-+⎪∴⎨⎪=-⎩,1L 的坐标满足椭圆1Γ:221169x y +=，所以1L 在1Γ上.由题得ES 的方程为1,32623x y x y +=∴-+=--. 由题得3(0,3),(4,)4G T ',所以3394,416GT k '-==- 所以直线GT '的方程为9316y x =-+， 联立直线ES 和GT '方程得23215(,)1111M ,23215(,)1111M 满足2Γ:2231329x y +=，所以点2M 在2Γ上.所以选项BD 错误.由于本题属于多项选择题，所以至少两个答案正确. 故选：AC 【点睛】本题主要考查直线的交点的求法，考查点和椭圆的位置关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.三、填空题（3道小题，每小题满分5分）12．在直线x －y ＋4＝0上取一点P ，使它到点M(－2，－4)，N(4,6)的距离相等，则点P 的坐标为________. 【答案】35,22⎛⎫- ⎪⎝⎭ 【解析】 【分析】根据点在直线上，可设P 的坐标为(),4x x +，利用两点间的距离公式列方程，求出x 、y 的值即可． 【详解】设直线40x y -+=上一点(),4P x x +，则P 到点()24M --，，()46N ，的距离相等， ∴()()()()2222244446x x x x ++++=-++-解得32x =-，∴35422y =-+=， ∴点P 的坐标为35,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，故答案为35,22⎛⎫- ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查了直线方程以及两点间的距离应用问题，设出点P 坐标得到方程组是解题的关键，是基础题．13．在平面直角坐标系xOy 中，已知直线:0++=l x y a 与点(2,0)A ，若直线l 上存在点M 满足2=MA MO ，（O 为坐标原点），则实数a 的取值范围是________【答案】24224233⎡-+⎢⎣⎦【解析】 【分析】先设(,)--M x x a ，根据(2,0)A ，2=MA MO ，得到226(64)340x a x a +++-=，再由题意，得到()22(64)24340∆=+--≥a a ，求解，即可得出结果. 【详解】由题意设(,)--M x x a ， 因为点(2,0)A ，2=MA MO ，所以2222(2)()2()-+--=+--x x a x x a ， 整理得：226(64)340x a x a +++-=①因为直线l 上存在点M 满足2=MA MO ，所以方程①有解，因此()22(64)24340∆=+--≥a a ，242242-+≤≤a 故答案为242242,33⎡-+⎢⎣⎦【点睛】本题主要考查两点间距离公式的应用，熟记公式即可，属于常考题型.14．已知实数1x 、2x 、1y 、2y 满足：22111x y +=，22221x y +=，121212x x y y +=，则11221122x y x y +-+-______．23【解析】 【分析】设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），OA =（x 1，y 1），OB =（x 2，y 2），由圆的方程和向量数量积的定义、坐标表示，可得三角形OAB 为等边三角形，AB=11112x y +-2212x y +-的几何意义为点A ，B两点到直线x +y ﹣1=0的距离d 1与d 2之和，由两平行线的距离可得所求最大值． 【详解】设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），OA =（x 1，y 1），OB =（x 2，y 2），由x 12+y 12=1，x 22+y 22=1，x 1x 2+y 1y 2=12， 可得A ，B 两点在圆x 2+y 2=1上， 且OA •OB =1×1×cos ∠AOB=12， 即有∠AOB=60°， 即三角形OAB 为等边三角形， AB=1，1112x y +-+2212x y +-的几何意义为点A ，B 两点到直线x +y ﹣1=0的距离d 1与d 2之和，显然A ，B 在第三象限，AB 所在直线与直线x +y=1平行， 可设AB ：x +y+t=0，（t ＞0）， 由圆心O 到直线AB 的距离d=2t ，可得2212t -=1，解得t=62， 即有两平行线的距离为6122+=232+， 即1112x y +-+2212x y +-的最大值为2+3，故答案为2+3． 【点睛】本题考查向量数量积的坐标表示和定义，以及圆的方程和运用，考查点与圆的位置关系，运用点到直线的距离公式是解题的关键，属于难题． 四、解答题（4道小题，每小题满分10分）15．（1）已知点P 是平面上一动点，点()1,1A ，()2,2B -是平面上两个定点，求22PA PB +的最小值，并求此时P 的坐标； （2）求函数()224131237f x x x x x =-+-+【答案】（1）最小值为5，此时31,22P ⎛⎫- ⎪⎝⎭；（2）2 【解析】【分析】(1)设()(),,P x y x R y R ∈∈，利用两点距离公式，构建关于x 、y 的22PA PB +函数，由函数式的几何意义即可得最小值及对应坐标；(2)将函数()f x 转化为动点到两定点的距离问题，结合坐标系即可求得最小值 【详解】（1）设()(),,P x y x R y R ∈∈，则PA =PB=()()()()222222221122262210PA PB x y x y x x y y ∴+=-+-+-++=-+++223122522x y ⎛⎫⎛⎫=-+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即P 到31(,)22-距离最小时，22PA PB +最小∴当32x =，12y时，22PA PB +的值最小． 故22PA PB +的最小值为5，此时31,22P ⎛⎫- ⎪⎝⎭．（2）()f x ==设()2,3A ，()6,1B ，(),0P x ，如图，则上述问题转化为求PA PB +的最小值． 点A 关于x 轴的对称点为()2,3A '-，即可转化为P 在x 轴移动过程|'|||PA PB +最短问题PA PB PA PB A B ''+=+≥=PA PB ∴+≥ f x的最小值为【点睛】本题考查了两点距离公式，根据函数解析式的几何意义，结合坐标系求最值，需注意代数式的几何含义以及两点间线段最短等知识的应用16．在平面直角坐标系xOy 中，已知点P ,B ,C 坐标分别为()0,1，()2,0，()0,2，E 为线段BC上一点，直线EP 与x 轴负半轴交于点A ，直线BP 与AC 交于点D ．（1）当E 点坐标为13,22⎛⎫⎪⎝⎭时，求直线OD 的方程； （2）求BOE ∆与ABE ∆面积之和S 的最小值. 【答案】（1）3y x =-；（232. 【解析】 【分析】（1）求出PE 的直线方程后可得A 的坐标，再求出PB 的直线方程和AC 的直线方程后可得D 的坐标，从而得到直线OD 的直线方程.（2）直线BC 的方程为20x y +-=，设(),2E a a -，求出PE 的直线方程后可得A 的坐标，从而可用a 表示S ，换元后利用基本不等式可求S 的最小值.（1）当13,22E ⎛⎫⎪⎝⎭时，直线PE 的方程为1y x =+， 所以()1,0A -，直线AC 的方程为22y x =+①，又直线BP 的方程为112y x =-+②， ①②联立方程组得26,55D ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以直线OD 的方程为3y x =-. (2)直线BC 的方程为20x y +-=，设(),2E a a -， 直线PE 的方程为11a y x a -=+，所以,01a A a ⎛⎫⎪-⎝⎭. 因为A 在x 轴负半轴上，所以01a <<，()122221ABE OEB a S S S a a a ∆∆⎛⎫=+=-⨯-+- ⎪-⎝⎭=()()432121a a a--- ，01a <<.令1t a =-，则01t <<，113422S t t ⎛⎫=++≥ ⎪⎝⎭（当且仅当t =），而当3t =时，()10,13a =-∈，故S 2. 【点睛】直线方程有五种形式，常用的形式有点斜式、斜截式、截距式、一般式，垂直于x 的轴的直线没有点斜式、斜截式和截距式，垂直于y 轴的直线没有截距式，注意根据题设所给的条件选择合适的方程的形式.直线方程中的最值问题，注意可选择合适的变量（如斜率、倾斜角、动点的横坐标或纵坐标等）构建目标函数，再利用基本不等式或函数的单调性等求目标函数的最值. 17．在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C 的方程是1x ya b+=（a ，0b >）． （1）当1a =，2b =时，求曲线C 围成的区域的面积；（2）若直线l ：1x y +=与曲线C 交于x 轴上方的两点M ，N ，且OM ON ⊥，求点211,b a ⎛⎫⎪⎝⎭到直线l 距离的最小值．【答案】(1)4；(2) 8． 【解析】（1）当1a =，2b =时，曲线C 的方程是12yx +=，对绝对值内的数进行讨论，得到四条直线围成一个菱形，并求出面积为4；（2）对,x y 进行讨论，化简曲线方程，并与直线方程联立，求出点,M N 的坐标，由OM ON ⊥得到,a b 的关系221122a b b=-+，再利用点到直线的距离公式求出2113d ⎛⎫-+ ⎪=，从而求得min d=8.【详解】（1）当1a =，2b =时，曲线C 的方程是12yx +=， 当0x =时，2y =±，当0y =时，1x =±，当0,0x y >>时，方程等价于112x y+=， 当0,0x y <>时，方程等价于112x y+=-， 当0,0x y <<时，方程等价于112x y +=--， 当0,0x y ><时，方程等价于112x y+=-， 曲线C 围成的区域为菱形，其面积为12442⨯⨯=；（2）当0x >，0y >时，有1x ya b+=， 联立直线1x y +=可得,a ab ab b M a b a b --⎛⎫ ⎪--⎝⎭， 当0x <，0y >时，有1x ya b+=-， 联立直线1x y +=可得,a ab b ab N a b a b -+⎛⎫⎪++⎝⎭，由OM ON ⊥可得1OM ON k k =-，即有1ab b b aba ab a ab -+⋅=---， 化为221122a b b=-+，点211,b a ⎛⎫ ⎪⎝⎭到直线l 距离2211111122b a b b d +--+== 2113242b ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭=， 由题意可得0a ab -<，0a b -<，0ab b -<，即a ab b <<， 可得01a <<，1b >， 可得当112b =，即2b =时，点211,b a ⎛⎫ ⎪⎝⎭到直线l 距离取得最小值328．【点睛】解析几何的思想方法是坐标法，通过代数运算解决几何问题，本题对运算能力的要求是比较高的. 18．一束光从从光源(1,2)C 射出，经x 轴反射后（反射点为M ），射到线段,[3,5]y x b x =-+∈上N 处.（1）若(3,0)M ，7b =，求光从C 出发，到达点N 时所走过的路程； （2）若8b =，求反射光的斜率的取值范围；（3）若6b ≥，求光从C 出发，到达点N 时所走过的最短路程.【答案】（1）42 （2）57[,]42（3）21,672625,7b b S b b b +⎧≤≤⎪=⎨⎪-+>⎩【解析】 【分析】（1）求出()1,2C 关于x 轴的对称点C '，进而可以求出反射光线所在直线C M l '，从而可以求出()5,2N ，求出C N '即可；（2）将8b =代入线段[],3,5y x b x =-+∈中，结合()1,2C 关于x 轴的对称点C '，可求出反射光斜率的取值范围；（3）分析可知反射光与直线y x b =-+垂直时，光所走过的路程最短，可求出反射光线所在直线的方程，进而求出反射直线与y x b =-+的交点，然后分别讨论交点在线段上与不在线段上，可求出对应的最短路程． 【详解】（1）()1,2C 关于x 轴的对称点()1,2C '-，:3C M l y x '=-[]353,57y x x y x =-⎧⇒=∈⎨=-+⎩，则此时()5,2N所以光所走过的路程即C N '=（2）对于线段[]8,3,5y x x =-+∈，令其端点()()3,5,5,3A B 则75,24C A C B k k ''==， 所以反射光斜率的取值范围是57,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦（3）若反射光与直线y x b =-+垂直，光所走过的路程最短，则由332y x b b x y x =-+⎧+⇒=⎨=-⎩ ①当[]33,52b x +=∈，即67b ≤≤时，光所走过的最短路程为点C '到直线y x b =-+的距离，所以路程S ==； ②当()35,2b x +=∈+∞，即7b >时，光所走过的最短路程为线段C B '，其中()5,5B b - 所以C B S ==='综上：77b S b ⎧≤≤⎪=>【点睛】本题考查了直线的方程，考查了点关于直线的对称问题，考查了斜率问题，距离问题，属于中档题．。

⾼中数学必修⼆同步练习题库：直线的交点坐标与距离公式（选择题：容易）直线的交点坐标与距离公式（选择题：容易）1、已知直线，若，则的值为（）A． B． C． D．或2、直线与直线平⾏，则它们的距离为A． B． C． D．3、平⾏线和的距离是( )A． B．C． D．4、直线与直线的距离为，则的值为A． B． C．10 D．5、平⾏线和的距离是（）A． B．2 C． D．6、点P(m-n,-m)到直线的距离等于( )A． B． C． D．7、点到的距离相等，则的值为（）.A． B． 1 C． D．28、点P(2,3)到直线：的距离为最⼤时，与的值依次为（）A．3,-3 B．5,1 C．5,2 D．7,19、直线上的点与原点的距离的最⼩值是A． B． C． D．10、点(0，1)到直线2x—y+2=0的距离为（）A． B． C． D．11、已知点A(2,1),B（5，-1），则=( )A．3 B． C． D．12、两条平⾏直线与之间的距离为（）A． B． C．7 D．13、点P（-5,7）到直线的距离是A．2 B． C． D．14、.已知点A（-3，-4），B（6,3）到直线的距离相等，则a的值（）A． B． C．或 D．或115、平⾯内到点A的距离是1且到点B的距离是2的点个数为（）D．117、平⾏线与之间的距离等于（）．A． B． C． D．18、点关于原点的对称点为，则为（）．A． B． C． D．19、点到直线的距离为（）．A． B． C． D．20、设点，，直线过点且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（）．A．或 B． C． D．或21、光线从点A（﹣3，5）射到x轴上，经反射以后经过点B（2，10），则光线从A到B的距离为（）A． B． C． D．22、双曲线的离⼼率为，焦点到渐近线的距离为，则的焦距等于（）A． B． C． D．23、两条平⾏直线和之间的距离是（）A． B． C． D．24、两条平⾏直线和的距离是（）A． B．2 C． D．25、直线与直线平⾏，则它们的距离为A． B． C． D．26、已知直线与平⾏，则的值是（）.A．或 B．或 C．或 D．或27、双曲线的离⼼率为，焦点到渐近线的距离为，则的焦距等于（）A． B． C． D．28、设分别为直线和圆上的点，则的最⼩值为（）A． B．C． D．29、已知直线与直线垂直，则的值为（）A． B．0 C． D．30、直线与两直线分别交于，两点，线段的中点是则点的坐标为（）A． B． C． D．31、若动点A，B分别在直线l1：x＋y－7＝0和l2：x＋y－5＝0上移动，则AB的中点M到原点的距离的最⼩值为() A．3 B．2 C．3 D．432、以Ａ（１，３），Ｂ（－５，１）为端点的线段的垂直平分线⽅程是（）33、直线和的位置关系是（）A．平⾏ B．垂直 C．相交但不垂直 D．不能确定34、已知直线与直线，若，则的值为（）A．1 B．2 C．6 D．1或235、已知过A(－1，a)，B(a,8)两点的直线与直线2x－y＋1＝0平⾏，则a的值为()．A．－10 B．17 C．5 D．236、过点P(－1,3)，且垂直于直线x－2y＋3＝0的直线⽅程为( )A．2x＋y－1＝0 B．2x＋y－5＝0C．x＋2y－5＝0 D．x－2y＋7＝037、“”是“直线与直线互相垂直”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件38、垂直于直线且与圆相切于第⼀象限的直线⽅程是（）A． B．C． D．39、若点P（2，－1）为圆的弦AB的中点，则直线AB的⽅程为（）A． B．C． D．40、已知两直线与平⾏，则的值为（）A．1 B．－1 C．1或－1 D．241、将直线绕原点逆时针旋转，再向右平移1个单位，所得到的直线为（）A． B． C． D．42、定义：曲线上的点到直线的距离的最⼩值称为曲线到直线的距离，已知曲线到直线的距离为，则实数的值为（）A．或 B．或 C． D．43、已知两直线与平⾏,则的值为( )A． B．C．或 D．44、已知直线l1: y=x·sinα和直线l2: y="2x+c," 则直线l1与l2 （）A．通过平移可以重合 B．不可能垂直C．可能与x轴围成等腰直⾓三⾓形 D．通过绕l1上某点旋转可以重合45、两直线与平⾏，则它们之间的距离为（）A． B． C． D．46、与直线l : y＝2x＋3平⾏，且与圆x2＋y2－2x－4y＋4＝0相切的直线⽅程是( )．A．x－y±＝0 B．2x－y＋＝0 C．2x－y－＝0 D．2x－y±＝047、已知两条直线y＝x－2和y＝(＋2)x＋1互相垂直，则等于 ()A．2 B．1 C．0 D．－148、若直线和互相垂直，则（）A． B． C． D．49、空间中，垂直于同⼀条直线的两条直线的位置关系是（）50、“a=-1”是“直线与直线互相垂直”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件51、图中的直线l1、l2、l3的斜率分别为k1、k2、k3，则（）A．k1＜k2＜k3 B．k3＜k1＜k2 C．k3＜k2＜k1 D．k1＜k3＜k252、直线:, :, 若∥,则（）A． B． C． D．53、设点，，直线过点且与线段相交，则的斜率的取值范围是（）A．或 B． C． D．或54、“”是“直线与直线平⾏”的（）A 充要条件B 充分不必要条件C 必要不充分条件D 既不充分也不必要条件55、如果直线x＋2y－1＝0和y＝kx互相平⾏，则实数k的值为( )．A．2 B． C．－2 D．－56、三⾓形的三个顶点、、，则的中线的长为（）．A．49 B．9 C．7 D．357、直线，直线，若，则实数的值是（）A．1或-2 B．1 C．-2 D．58、直线与直线的垂直,则A．1 B． C．4 D．59、过点且与直线垂直的直线⽅程为A． B． C． D．60、已知直线和夹⾓的平分线为，若的⽅程是，则的⽅程是（）。

第三章 3．3 直线的交点坐标与距离公式3．3．1 两条直线的交点坐标3．3．2 两点间的距离课时分层训练‖层级一‖……………………|学业水平达标|1．直线x ＋2y －2＝0与直线2x ＋y －3＝0的交点坐标是( ) A ．(4,1) B ．(1,4) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫43，13 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，43 解析：选C 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －2＝0，2x ＋y －3＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝43，y ＝13.即直线x ＋2y －2＝0与直线2x ＋y －3＝0的交点坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫43，13.2．过点A (4，a )和点B (5，b )的直线与y ＝x ＋m 平行，则|AB |的值为( ) A ．6 B. 2 C ．2D ．不能确定解析：选B 由k AB ＝1，得b －a1＝1， ∴b －a ＝1. ∴|AB |＝(5－4)2＋(b －a )2＝1＋1＝ 2.3．方程(a －1)x －y ＋2a ＋1＝0(a ∈R )所表示的直线( ) A ．恒过定点(－2,3) B ．恒过定点(2,3) C ．恒过点(－2,3)和点(2,3)D ．都是平行直线解析：选A (a －1)x －y ＋2a ＋1＝0可化为－x －y ＋1＋a (x ＋2)＝0， 由⎩⎪⎨⎪⎧ －x －y ＋1＝0，x ＋2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝3.4．点P (a ，b )关于直线l ：x ＋y ＋1＝0的对称的点仍在l 上，则a ＋b 等于( ) A ．1 B ．－1 C ．2D ．0解析：选B ∵点P (a ，b )关于l ：x ＋y ＋1＝0对称的点仍在l 上，∴点P (a ，b )在直线l 上，∴a ＋b ＋1＝0，即a ＋b ＝－1.5．到A (1,3)，B (－5,1)两点的距离相等的动点P 的轨迹方程是( ) A ．3x －y －8＝0 B ．3x ＋y ＋4＝0 C ．3x －y ＋6＝0D ．3x ＋y ＋2＝0解析：选B 解法一：设P (x ，y )， 则(x －1)2＋(y －3)2＝(x ＋5)2＋(y －1)2，即3x ＋y ＋4＝0.解法二：到A 、B 两点距离相等的点P 的轨迹就是线段AB 的垂直平分线，AB 中点为M (－2,2)，k AB ＝13，∴k l ＝－3，l ：y －2＝－3(x ＋2)，即3x ＋y ＋4＝0.6．点P (2,5)关于直线x ＋y ＝1的对称点的坐标是 ． 解析：设对称点坐标是(a ，b )，则⎩⎪⎨⎪⎧b －5a －2·(－1)＝－1，a ＋22＋b ＋52＝1.解得a ＝－4，b＝－1，即所求对称点坐标是(－4，－1)．答案：(－4，－1)7．经过两直线2x －3y －3＝0和x ＋y ＋2＝0的交点且与直线3x ＋y －1＝0垂直的直线l 的方程为 ．解析：由方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y －3＝0，x ＋y ＋2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－35，y ＝－75.又所求直线与直线3x ＋y －1＝0垂直，故k ＝13， ∴直线方程为y ＋75＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋35，即5x －15y －18＝0. 答案：5x －15y －18＝08．在直线x －y ＋4＝0上求一点P ，使它到点M (－2，－4)，N (4,6)的距离相等，则点P 的坐标为 ．解析：设P 点的坐标是(a ，a ＋4)， 由题意可知|PM |＝|PN |， 即(a ＋2)2＋(a ＋4＋4)2＝(a －4)2＋(a ＋4－6)2，解得a ＝－32，故P 点的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，52.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，529．光线从A (－4，－2)点射出，到直线y ＝x 上的B 点后被直线y ＝x 反射到y 轴上C 点，又被y 轴反射，这时反射光线恰好过点D (－1,6)，求BC 所在的直线方程．解：作出草图，如图所示，设A 关于直线y ＝x 的对称点为A ′，D 关于y 轴的对称点为D ′，则易得A ′(－2，－4)，D ′(1,6)．由入射角等于反射角可得A ′D ′所在直线经过点B 与C .故BC 所在的直线方程为y －66＋4＝x －11＋2，即10x －3y ＋8＝0.10．已知两条直线l 1：mx ＋8y ＋n ＝0和l 2：2x ＋my －1＝0，试分别确定m ，n 的值，满足下列条件：(1)l 1与l 2相交于一点P (m,1)； (2)l 1∥l 2且l 1过点(3，－1)； (3)l 1⊥l 2且l 1在y 轴上的截距为－1.解：(1)把P (m,1)的坐标分别代入l 1，l 2的方程得m 2＋8＋n ＝0,2m ＋m －1＝0，解得m ＝13，n ＝－739.(2)显然m ≠0.∵l 1∥l 2且l 1过点(3，－1)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧－m 8＝－2m ，3m －8＋n ＝0，解得⎩⎨⎧ m ＝4，n ＝－4或⎩⎨⎧m ＝－4，n ＝20.(3)由l 1⊥l 2且l 1在y 轴上的截距为－1.当m ＝0时，l 1的方程为8y ＋n ＝0，l 2的方程为2x －1＝0.∴－8＋n ＝0，解得n ＝8.∴m ＝0，n ＝8.而m ≠0时，直线l 1与l 2不垂直． 综上可知，m ＝0，n ＝8.‖层级二‖………………|应试能力达标|1．直线l ：x ＋2y －1＝0关于点(1，－1)对称的直线l ′的方程为( ) A ．2x －y －5＝0 B ．x ＋2y －3＝0 C ．x ＋2y ＋3＝0D ．2x －y －1＝0解析：选C 由题意得l ′∥l ，故设l ′：x ＋2y ＋c ＝0，在l 上取点A (1,0)，则点A (1,0)关于点(1，－1)的对称点是A ′(1，－2)，所以1＋2×(－2)＋c ＝0，即c ＝3，故直线l ′的方程为x ＋2y ＋3＝0，故选C.2．已知平面上两点A (x ，2－x )，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，0，则|AB |的最小值为( )A ．3 B.13 C ．2D.12解析：选D ∵|AB |＝⎝⎛⎭⎪⎫x －222＋(2－x )2＝2⎝⎛⎭⎪⎫x －3242＋14≥12，当且仅当x ＝324时等号成立，∴|AB |min ＝12.3．无论k 为何值，直线(k ＋2)x ＋(1－k )y －4k －5＝0都过一个定点，则该定点为( )A ．(1,3)B ．(－1,3)C ．(3,1)D ．(3，－1)解析：选D 直线方程可化为(2x ＋y －5)＋k (x －y －4)＝0，此直线过直线2x ＋y －5＝0和直线x －y －4＝0的交点．由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y －5＝0，x －y －4＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－1.因此所求定点为(3，－1)．故选D.4．已知点A (3，－1)，B (5，－2)，点P 在直线x ＋y ＝0上，若使|P A |＋|PB |取最小值，则P 点坐标是( )A ．(1，－1)B ．(－1,1) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫135，－135 D ．(－2,2)解析：选C 点A (3，－1)关于直线x ＋y ＝0的对称点为A ′(1，－3)，直线A ′B 的方程为y ＝14x －134，与x ＋y ＝0联立方程组解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝135，y ＝－135，所以点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫135，－135. 5．若两直线(m ＋2)x －y －m ＝0，x ＋y ＝0与x 轴围成三角形，则实数m 的取值范围是 ．解析：当直线(m ＋2)x －y －m ＝0，x ＋y ＝0及x 轴两两不平行，且不共点时，必围成三角形．当m ＝－2时，(m ＋2)x －y －m ＝0与x 轴平行；当m ＝－3时，(m ＋2)x －y －m ＝0与x ＋y ＝0平行；当m ＝0时，三条直线都过原点，所以m 的取值范围为{m |m ≠－3，且m ≠－2，且m ≠0}．答案：{m |m ≠－3，且m ≠－2，且m ≠0}6．已知A (2,1)，B (1,2)，若直线y ＝ax 与线段AB 相交，则实数a 的取值范围是 ．解析：如图，直线y ＝ax 的斜率为a 且经过原点O ，∵直线y ＝ax 与线段AB 相交，∴实数a 的最小值为OA 的斜率，最大值为OB 的斜率，OA 的斜率为12，OB 的斜率为2，故实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，27．若直线l ：y ＝kx －3与直线2x ＋3y －6＝0的交点位于第一象限，则实数k 的取值范围是 ．解析：解法一：由题意知直线l 过定点P (0，－3)， 直线2x ＋3y －6＝0与x ，y 轴的交点分别为A (3,0)，B (0,2)，如图所示，要使两直线的交点在第一象限， 则直线l 在直线AP 与BP 之间， 而k AP ＝－3－00－3＝33，∴k >33. 解法二：解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －3，2x ＋3y －6＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝33＋63k ＋2，y ＝6k －233k ＋2.由题意知x ＝33＋63k ＋2>0且y ＝6k －233k ＋2>0.由33＋63k ＋2>0可得3k ＋2>0，∴6k －23>0，解得k >33. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫33，＋∞8．已知△ABC 的一个顶点A (2，－4)，且∠B ，∠C 的角平分线所在直线的方程依次是x ＋y －2＝0，x －3y －6＝0，求△ABC 的三边所在直线的方程．解：如图，BE ，CF 分别为∠ABC ，∠ACB 的角平分线，由角平分线的性质，知点A 关于直线BE ，CF 的对称点A ′，A ″均在直线BC 上．∵直线BE 的方程为x ＋y －2＝0， ∴A ′(6,0)．∵直线CF 的方程为x －3y －6＝0，∴A ″⎝ ⎛⎭⎪⎫25，45.∴直线A ′A ″的方程是y ＝0－456－25(x －6)，即x ＋7y －6＝0，这也是BC 所在直线的方程． 由⎩⎨⎧ x ＋7y －6＝0，x ＋y －2＝0，得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，23，由⎩⎨⎧x ＋7y －6＝0，x －3y －6＝0，得C (6,0)， ∴AB 所在直线的方程是7x ＋y －10＝0，AC 所在直线方程是x －y －6＝0.。

直线的交点坐标与距离公式（简答题：容易）1、（12分）已知直线在下列条件下求的值.; ;2、求经过直线的交点且平行于直线的直线方程3、（本题满分10分）求过直线2x+3y+5=O和直线2x+5y+7=0的交点，且与直线x+3y=0平行的直线的方程，并求这两条平行线间的距离。

4、求经过两条直线x+2y﹣1=0和2x﹣y﹣7=0的交点，且垂直于直线x+3y﹣5=0的直线方程．5、(1)当为何值时，直线与直线平行？(2)当为何值时，直线与直线垂直？6、求满足下列条件的直线方程：（1）经过两条直线和的交点，且平行于直线；（2）经过两条直线和的交点，且垂直于直线.7、(1) 已知直线(a＋2)x+(1－a)y－3="0" 和直线(a－1)x ＋(2a＋3)y＋2="0" 互相垂直.求a值(2) 求经过点并且在两个坐标轴上的截距的绝对值相等的直线方程8、过点作直线，使它被两相交直线和所截得的线段恰好被点平分，求直线的方程．9、已知函数．（1）求曲线在点处的切线方程；（2）直线为曲线的切线，且经过原点，求直线的方程及切点坐标．10、(本题满分13分)已知直线：，：，求：（1）直线与的交点的坐标；（2）过点且与垂直的直线方程．11、已知直线和直线，求分别满足下列条件的的值(1) 直线过点，并且直线和垂直（2）直线和平行，且直线在轴上的截距为-312、 (本小题满分12分)已知的三个顶点.（Ⅰ）求边所在直线方程；（Ⅱ）边上中线的方程为，且,求的值.13、（本题满分14分）在平面直角坐标系中，已知点A（－2，1），直线。

（1）若直线过点A，且与直线垂直，求直线的方程；（2）若直线与直线平行，且在轴、轴上的截距之和为3，求直线的方程。

14、（本题满分16分）已知直线：（1）求证：不论实数取何值，直线总经过一定点.（2）为使直线不经过第二象限，求实数的取值范围.（3）若直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小，求的方程.15、（本小题满分12分）如图直线l与x轴、y轴的正半轴分别交于A（8，0）、B（0，6）两点，P为直线l上异于A、B两点之间的一动点. 且PQ∥OA交OB于点Q．（1）若和四边形的面积满足时，请你确定P点在AB上的位置，并求出线段PQ的长；（2）在x轴上是否存在点M，使△MPQ为等腰直角三角形，若存在，求出点与的坐标；若不存在，说明理由.16、（本小题满分12分）已知直线l1经过A（1，1）和B（3，2），直线l2方程为2x－4y－3=0.（1）求直线l1的方程；（2）判断直线l1与l2的位置关系，并说明理由。

2.3 直线的交点及距离公式【题组一 直线的交点】1.（2020·无锡市第一中学高一期中）若三条直线2380x y ++=,10x y --=和102x ky k +++=相交于一点,则k =（ ） A ．2- B ．12-C ．2D ．12【正确答案】B【详细解析】联立238010x y x y ++=⎧⎨--=⎩,解得12x y =-⎧⎨=-⎩,即直线2380x y ++=与直线10x y --=交于点()1,2--A ,将点A 的坐标代入直线102x ky k +++=的方程中,得102k --=,解得12k =-.故选:B.2．（2020·江苏海陵.泰州中学高一期中）过两直线1l :310x y -+=,2l :260x y ++=的交点且与310x y +-=平行的直线方程为（ ）A ．310x y -+=B ．370x y ++=C ．3110x y --=D ．3130x y ++=【正确答案】D【详细解析】两直线1l :310x y -+=,2l :260x y ++=的交点为310260x y x y -+=⎧⎨++=⎩ 解得41x y =-⎧⎨=-⎩,即()4,1--; 设与310x y +-=平行的直线方程为30x y m ++=则3(4)(1)0m ⨯-+-+=解得13m = 所求的直线方程为3130x y ++=.故选:D3．（2020·河北运河.沧州市一中高一月考）过直线30x y +-=和20x y -=的交点,且与直线250x y +-=垂直的直线方程是（ ）A ．4230x y +-=B ．4230x y -+=C ．230x y +-=D ．230x y -+=【正确答案】D【详细解析】由题意得:3020x y x y +-=⎧⎨-=⎩,解得12x y =⎧⎨=⎩,直线250x y +-=的斜率是2-,故其垂线的斜率是:12,∴所求方程是:()1212y x -=-,即230x y -+=,故选:D 4．（2019·浙江温州.高二期中）若P ,Q 分别为直线3x ＋4y －12＝0与6x ＋8y ＋5＝0上任意一点,则|PQ |的最小值为( ) A ．95B ．185C ．2910D ．295【正确答案】C 【详细解析】因为3412=685≠-,所以两直线平行,将直线3x ＋4y －12＝0化为6x ＋8y －24＝0, 由题意可知|PQ |的最小值为这两条平行直线间的距离,2910,所以|PQ |的最小值为2910.故选:C.5．（2018·四川仁寿一中高二期中（理））在直线2350x y -+=上求点P ,使点P 到()2,3A则P 点坐标是（ ） A ．()5,5 B ．()1,1-C ．()5,5或()1,1-D ．()5,5或()1,1-【正确答案】C【详细解析】设(),P x y ,所以PA ==即22460x y x y +--=,又因为点P 在直线2350x y -+=上,所以2350x y -+=,两式联立解得55x y =⎧⎨=⎩ 或11x y =-⎧⎨=⎩,所以P 点坐标是()5,5或()1,1-.故选:C 【题组二 三种距离问题】1．（2020·科尔沁左翼后旗甘旗卡第二高级中学高一期末）点(1,2)到直线3410x y +-=的距离为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4【正确答案】B【详细解析】1025d === ,正确答案为B 2．（2019·浙江台州.高二期中）两平行直线340x y +-=与2650x y +-=的距离是______.【详细解析】方程2650x y +-=化为5302x y +-=,所以所求距离为d ==．故正确答案为．3．（2020·梅河口市第五中学高一月考）已知直线3230x y +-=和610x my ++=互相平行,则它们之间的距离是（ ） ABCD【正确答案】D【详细解析】∵直线3230x y +-=和610x my ++=互相平行,则4m =, 将直线3230x y +-=的方程化为6460x y +-=,则两条平行直线之间的距离d ,d＝26.故选:D ． 4．（2020·上海高二课时练习）过点(4,)A a 和()5B b ,的直线与直线50x y -+=平行,则||AB 的值为_______．【详细解析】直线50x y -+=的斜率为1,过点(4,)A a 和()5B b ,的直线与直线50x y -+=平行 所以145AB a bk -==-,即1a b -=-所以||AB ===5．（2019·天水市第一中学高二月考（理））设()()2,3,1,2A B -,若直线10ax y +-=与线段AB 相交,则a 的取值范围是（ ） A ．[]1,1- B ．()1,1-C ．(][),11,-∞-+∞D ．()(),11,-∞-⋃+∞【正确答案】C【详细解析】由题意,直线10ax y +-=,即1y ax =-+,所以直线经过定点()0,1P ,又由斜率公式,可得31120PA k -==---,21110PB k -==-．∵直线10ax y +-=与线段AB 相交,∴1a -≥或1a -≤-,则a 的取值范围是(][),11,-∞-⋃+∞．故选:C ． 【题组三 对称问题】1．（2020·沙坪坝。

高中数学-直线的交点坐标与距离公式练习一、选择题1、经过直线3x ＋2y ＋6＝0和2x ＋5y －7＝0的交点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为( )A.x ＋y ＋1＝0B.3x ＋4y ＝0C. x ＋y ＋1＝0或3x ＋4y ＝0D. x －y ＋2＝0【解析】本题考查截距式求直线方程，注意直线是否过原点的讨论.先设出过两直线方程交 点的直线方程，求出在x 轴与y 轴上的截距，因为直线l 在两坐标轴上的截距相等考虑可能 过原点和不过原点两种情况，分别根据条件求出直线方程即可.【答案】设直线方程为3x ＋2y ＋6＋λ(2x ＋5y －7)＝0，即(3＋2λ)x ＋(2＋5λ)y ＋6－7λ＝0.令x ＝0，得y ＝7λ－62＋5λ； 令y ＝0，得x ＝7λ－63＋2λ. 由7λ－62＋5λ＝7λ－63＋2λ，得λ＝13或λ＝67. 直线方程为x ＋y ＋1＝0或3x ＋4y ＝0.故选C.2、点P (m －n ，－m )到直线 x m ＋y n ＝1的距离为( )A.m 2±n 2B.m 2－n 2C.－m 2＋n 2D.m 2＋n 2【解析】本题考查点到直线的距离公式0022Ax By C d A B ++=+，将直线化为一般式，根据公式 代入即可求出答案.【答案】将直线化为一般式，得nx ＋my －mn ＝0，由点到直线的距离公式得 .()()2222n m n m m nmd n m n m -+--==++,故选D.3、P 点在直线3x ＋y －5＝0上，且P 到直线x －y －1＝0的距离为 2，则P 点坐标为( )A ．(1,2)B ．(2,1)C ．(1,2)或(2，－1)D ．(2,1)或(－1,2)【解析】本题考查点到直线的距离公式，,53)P a a -设点坐标为（，代入距离公式即可求出答案.【答案】,53)P a a -设点坐标为（,(53)122a a ---=由题意知：d=, 12a a ==解之得或,(1,2)2,1P ∴点坐标为或（）,故选C. 4、已知直线3x ＋2y －3＝0和6x ＋my ＋1＝0互相平行，则它们之间的距离是( )．A ．4 B.21313 C.51326 D.71326【解析】本题考查两平行直线的距离公式，1222C C d A B -=+ ，先求出直线方程，然后根据 两平行线间的距离公式求解.【答案】∵3x ＋2y －3＝0和6x ＋my ＋1＝0互相平行，∴3∶2＝6∶m ，∴m ＝4.直线6410x y ++=可以化为13202x y ++=，由两条平行直线间的距离公式可得： ()2217371322261332d --===+,故选D. 5、已知两点A (3,2)和B (－1,4)到直线mx ＋y ＋3＝0的距离相等，则m 的值等于 ( )A ．0或－12 B.12或－6 C ．－12或12 D ．0或12【解析】本题考查点到直线的距离公式，根据公式代入求解即可.【答案】依题意得|3m ＋2＋3|m 2＋1＝|－m ＋4＋3|m 2＋1，∴|3m ＋5|＝|m －7|， ∴3m ＋5＝m －7或3m ＋5＝7－m .∴m ＝－6或m ＝12,故选B. 6、若三直线l 1：2x ＋3y ＋8＝0，l 2：x －y －1＝0，l 3：x ＋ky ＋k ＋12＝0能围成三角形，则k 不等于( )．A ．32B ．－2C ．32和－1D ．32、－1和－12【解析】本题考查求直线的交点，直线平行的关系.如果三条直线不能构成三角形，则必存在平行线，或三条直线过同一点，由此求出不能构成三角形的条件.【答案】由⎩⎪⎨⎪⎧ x －y －1＝02x ＋3y ＋8＝0得交点P (－1，－2)，若P 在直线102x ky k +++=上，则 12k =-．此时三条直线交于一点；32k =时，直线l 1与l 3平行；1k =-时，直线l 2与3l 平行，综上知，要使三条直线能围成三角形，应有13,22k ≠- 32和－1,故选D. 二、解答题7、求直线1:23l y x =+关于直线:1l y x =+对称的直线2l 的方程.【解析】本题考查直线关于直线对称的直线，利用点关于直线对称求出所求直线上的一点，然后再求出直线的交点，利用两点式求直线方程.【答案】 方法一: 由⎩⎨⎧+=+=132x y x y 知直线l 1与l 的交点坐标为（-2，-1），∴设直线l 2的方程为y+1=k(x+2),即kx-y+2k-1=0.在直线l 上任取一点（1，2），由题设知点（1，2）到直线l 1、l 2的距离相等，由点到直线的距离公式得221122k k k +-+-=22)1(2322-++-，解得k=21(k=2舍去)， ∴直线l 2的方程为x-2y=0.方法二: 设所求直线上一点P （x,y ）,则在直线l 1上必存在一点P 1（x 0,y 0）与点P 关于直线l 对称.由题设：直线PP 1与直线l 垂直，且线段PP 1的中点P 2⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++2,200y y x x 在直线l 上.∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=+-=•--122110000x x y y x x y y ，变形得⎩⎨⎧+=-=1100x y y x , 代入直线l 1:y=2x+3，得x+1=2×(y-1)+3,整理得x-2y=0.所以所求直线方程为x-2y=0.。

3.3 直线的交点坐标与距离公式一、选择题1、点(a , b )到直线0x y b a+=的距离是〔A〔B 〔C 〔D 2、M (sinα, cosα), N (cosα, sinα)，直线l : x cosα+y sinα+p =0 (p <–1)，假设M , N 到l 的距离分别为m , n ，那么〔A 〕m ≥n 〔B 〕m ≤n 〔C 〕m ≠n 〔D 〕以上都不对3、A , B , C 为三角形的三个内角，它们的对边长分别为a , b , c ，直线x sin A +y sin B +sin C =0到原点的距离大于1，那么此三角形为〔A 〕锐角三角形 〔B 〕直角三角形 〔C 〕钝角三角形 〔D 〕不能确定4、过两直线x –3y +1=0和3x +y –3=0的交点，并与原点的距离等于1的直线共有 〔A 〕0条 〔B 〕1条 〔C 〕2条 〔D 〕3条5、与直线2x +3y –6=0关于点(1, –1)对称的直线是〔A 〕3x –2y +2=0 〔B 〕2x +3y +7=0 〔C 〕3x –2y –12=0 〔D 〕2x +3y +8=06、假设直线y =ax +2与直线y =3x –b 关于直线y =x 对称，那么〔A 〕a =31, b =6 〔B 〕a =31, b =–2 〔C 〕a =3, b =–2 〔D 〕a =3, b =6 7、不论m 取何值，直线(2m –1)x –(m +3)y –(m –11)=0恒过的定点的坐标是〔A 〕(3, 2) 〔B 〕(2, –3) 〔C 〕(2, 3) 〔D 〕(–2, 3)8、函数f (x )=x +1，那么与曲线y =f (x +1)关于直线l : x +1=0成轴对称图形的曲线方程是 〔A 〕y =–x 〔B 〕y =–x –4 〔C 〕y =–x +2 〔D 〕y =x9、方程2x 2+9xy +10y 2–7x –15y +k =0表示两条直线，那么过这两直线的交点且与x –y +2=0垂直的直线方程是〔A 〕x +y –1=0 〔B 〕x +y –2=0 〔C 〕x +y +1=0 〔D 〕x +y +2=0二、填空题10、假设点P 在直线x +3y =0上，且它到原点的距离与到直线x +3y –2=0的距离相等，那么点P 的坐标是.11、假设两平行直线3x –2y –1=0和6x +ay +c =0之间的距离是13，那么2c a+的值为. 12、直线y =2x +1关于直线y +2=0对称的直线方程是.13、直线l 过点A (0, 1)，且点B (2, –1)到l 的距离是点C (1, 2)到l 的距离的2倍，那么直线l 的方程是.14、11．给出以下五个命题：① 过点(–1, 2)的直线方程一定可以表示为y–2=k(x+1)；② 过点(–1, 2)且在x轴、y轴截距相等的的直线方程是x+y–1=0；③ 过点M(–1, 2)且与直线l: Ax+By+C=0(AB≠0)垂直的直线方程是B(x+1)+A(y–2)=0；④ 设点M(–1, 2)不在直线l: Ax+By+C=0(AB≠0)上，那么过点M且与l平行的直线方程是A(x+1)+B(y–2)=0；⑤点P(–1, 2)到直线ax+y+a2+a=0的距离不小于2，以上命题中，正确的序号是。

直线的交点坐标与距离公式（选择题：较易）1、已知圆与直线的极坐标方程分别为，则圆心到直线的距离是（）A． B． C． D．2、与直线关于定点对称的直线方程是（）A． B． C． D．3、点到直线的距离为A． B． C． D．4、若直线与直线平行，则它们之间的距离为A． B． C． D．5、若点和点到直线的距离依次为1和2，则这样的直线有（）A．1条 B．2条 C．3条 D．4条6、点在直线上，为原点，则的最小值为（）A． B． C． D．7、已知点直线与线段相交,则a的取值范围是（）A． B． C． D．或8、已知点到直线的距离为1，则等于（）A． B． C． D．9、若直线与的交点在第一象限内，则的取值范围是（）A． B． C． D．10、已知点P在y＝x2上，且点P到直线y＝x的距离为，这样的点P的个数是()A．1 B．2 C．3 D．411、[2014·厦门模拟]已知直线3x＋4y－3＝0与直线6x＋my＋14＝0平行，则它们之间的距离是() A．1 B．2 C． D．412、分别过点A(1,3)和点B(2,4)的直线l1和l2互相平行且有最大距离,则l1的方程是()A．x-y-4=0 B．x+y-4=0C．x=1 D．y=313、已知直线l1:y=2x+1,l2:y=2x+5,则直线l1与l2的位置关系是()A．重合 B．垂直C．相交但不垂直 D．平行14、直线，和交于一点，则的值是( )A． B． C．2 D．-215、已知点在直线上运动，则的最小值为（）A． B． C． D．16、与直线平行，且到的距离为的直线方程为A． B． C． D．17、等腰Rt△ABC的直角顶点为C(3,3)，若点A的坐标为(0,4)，则点B的坐标可能是() A．(2,0)或(4,6) B．(2,0)或(6,4)C．(4,6) D．(0,2)18、点到直线的距离为（）．A． B． C． D．19、已知直线方程为，则这条直线恒过定点（）A． B． C． D．20、则|PQ|的最小值为（）A． B． C． D．21、点到直线的距离是（）．A． B． C． D．22、已知点，则点关于轴对称的点的坐标为（）．A． B． C． D．23、若两直线与平行，则它们之间的距离为（）A． B． C． D．24、点P是直线上一点，O为坐标原点，则的最小值为（）A．13 B． C．8 D．25、已知双曲线的一条渐近线与圆相交于A，B两点，且|AB|=4，则此双曲线的离心率为（）A．5 B． C． D．26、一条光线从点M（5，3）射出，与轴的正方向成角，遇轴后反射，若，则反射光线所在的直线方程为（）A． B．C． D．27、若点是直线上的点，则的最小值是A．0 B． C． D．28、已知两条直线：，：平行，则（）A．-1 B．2 C．0或-2 D．-1或229、若两平行直线与之间的距离为1，则等于（）A．0 B．1 C．2 D．330、与直线关于定点对称的直线方程是（）A． B． C． D．31、到直线的距离为2的点的轨迹方程是（）A．B．C．D．32、已知直线与相交，则他们的交点是（）A． B． C． D．33、已知椭圆：，直线：，椭圆上任意一点，则点到直线的距离的最大值（）A． B． C． D．34、已知直线与平行，则的值是（）A．0或1 B．1或 C．0或 D．35、若,则直线必不经过A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限36、若圆上至少有三个不同的点到直线的距离为,则直线的倾斜角的取值范围是（）A． B．C． D．37、设直线与圆相交于两点，为坐标原点，若为等边三角形，则实数的值为（）A． B． C． D．38、设直线与圆相交于两点，为坐标原点，若为等边三角形，则实数的值为（）A． B． C． D．39、直线与圆交于两点，则的面积为（）A． B． C． D．40、若直线与直线垂直，则的值为（）A．3 B．-3 C． D．41、若点(1，a)到直线x－y＋1＝0的距离是，则实数a为( )A．－1 B．5 C．－1或5 D．－3或342、已知点P(a,b)是第二象限的点，那么它到直线的距离是 ( )A． B． C． D．43、过点A(1,2)且与点P(3,2)距离最大的直线方程是( )A．x＋2y＋1＝0 B．2x－y－1＝0C．y＝1 D．x＝144、到直线3x－4y－11＝0的距离为2的直线方程为( )A．3x－4y－1＝0B．3x－4y－1＝0或3x－4y－21＝0C．3x－4y＋1＝0D．3x－4y－21＝045、点A(2,5)到直线l：x－2y＋3＝0的距离为 ( )A． B． C． D．46、直线3x＋5y＋1＝0与直线4x＋3y＋5＝0的交点是 ( )A．(－2，1) B．(－3，2)C．(2，－1) D．(3，－2)47、经过两直线和的交点，且和原点相距为1的直线的条数为（）A．0 B．1C．2 D．348、在复平面内，复数对应的点到直线的距离是（）A． B． C． D．49、曲线上的点到直线的最短距离是（）A． B． C． D．50、（2015秋•陕西校级期末）已知两点分别为A（4，3）和B（7，﹣1），则这两点之间的距离为（）A．1 B．2 C．3 D．551、若直线和是异面直线，在平面内，在平面内，是平面与平面的交线，则下列命题正确的是（）A．至少与，中的一条相交 B．与，都相交C．至多与，中的一条相交 D．与，都不相交52、已知过点A（a，4）和B（-2，a）的直线与直线2x+y-l=0垂直，则a的值为A．0 B．-8 C．2． D．1053、若直线与互相垂直，则a等于（）A．3 B．1 C．0或 D．1或－354、若直线与直线互相垂直，那么的值等于（）A．1 B． C． D．55、已知直线，，若到的夹角为60°，则的值是（）A．或0 B．或0 C． D．56、直线和直线的位置关系是（）A．平行 B．垂直 C．相交但不垂直 D．重合57、点（4，0）关于直线5x＋4y＋21＝0的对称点是（）．A．（－6，8） B．（－8，－6） C．（6，8） D．（－6，－8）58、直线和垂直，则实数（）A．3 B． C．1 D．59、已知直线，互相平行，则的值是（）A． B． C．或 D．60、“k＝5”是“两直线kx＋5y－2＝0和(4－k)x＋y－7＝0互相垂直”的()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件61、平面直角坐标系中，直线y＝2x＋1关于点(1,1)对称的直线方程是()A．y＝2x－1 B．y＝－2x＋1C．y＝－2x＋3 D．y＝2x－362、若直线与直线的交点位于第一象限，则直线的倾斜角的取值范围是（）A． B．C． D．63、设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则的取值范围是（）A． B． C． D．64、若直线与，若的交点在轴上，则的值为（）A．4 B．－4 C．4或－4 D．与的取值有关65、直线和直线平行，则（）A． B． C．7或1 D．66、已知点A(-3,-4),B(6,3)到直线l:ax+y+1=0的距离相等,则实数a的值等于()A． B．-C．-或- D．或67、已知b>0,直线x-b2y-1=0与直线(b2+1)x+ay+2=0互相垂直,则ab的最小值等于()A．1 B．2 C．2 D．268、已知P(2,-1),过P点且与原点距离最大的直线的方程是()A．x-2y-5=0 B．2x-y-5=0C．x+2y-5=0 D．2x+y+5=069、已知直线l1：k1x＋y＋1＝0与直线l2：k2x＋y－1＝0，那么“k1＝k2”是“l1∥l2”的( )A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件70、若直线l1:y=kx+k+2与l2:y=-2x+4的交点在第一象限,则实数k的取值范围是()A．k>- B．k<2 C．-<k<2 D．k<-或k>2参考答案1、D2、B3、C4、A5、C6、A7、C8、B9、B10、B11、B12、B13、D14、B15、A16、B17、A18、B19、B20、D21、B22、B23、C24、B25、C26、D27、D28、D29、C30、B31、D32、B33、C34、C35、B36、D37、C38、C39、B40、B41、C42、C43、D44、B45、C46、A47、C48、A49、B50、D51、A52、C53、D54、D55、A56、A57、D58、B59、B60、A61、D62、B63、B64、B65、B66、C67、B68、B69、C70、C【解析】1、由ρ=6cosθ⇒ρ2=6ρcosθ⇒x2+y2−6x=0⇒(x−3)2+y2=9，ρsin(θ+π4)=⇒ρcosθ+ρsinθ=2⇒x+y−2=0，∴圆心C到直线距离为：.本题选择D选项.2、直线关于点对称，可以设对称的直线上关于点对称的点，则对称点的坐标满足对称直线：2x-y+3=0的方程，然后代入已知直线的方程：2x-y+3=0即得对称的直线方程．解：设对称的直线方程上的一点的坐标为（x，y）．则其关于点M（-1，2）对称的点的坐标为（-2-x，4-y），∵（-2-x，4-y）在直线2x-y+3=0上，∴2（-2-x）-（4-y）+3=0，即：2x-y+5=0．故选B．3、试题分析：由点到直线的距离公式可知考点：点到直线的距离4、试题分析：显然m=6,由两平行线间的距离公式计算得所求为，选A．考点：平行直线的性质及线线距离公式．5、试题分析：与AB垂直且使点和点到直线的距离依次为1和2，有一条；过线段三等分点（靠近A点），且使点和点到直线的距离依次为1和2，有两条；共三条.考点：直线位置关系6、试题分析：直线上的点到原点的距离的最小值，即原点到直线的距离，根据点到直线的距离公式得：，故答案为A.考点：1.定点到直线上的点的距离的最小值；2.点到直线的距离公式.7、试题分析：恒过点T（0，2）,作出示意图知直线与线段相交必须直线的斜率，又，所以考点：直线斜率的应用8、试题分析：由点到直线的距离公式得：，∵a＞0，∴．故选C. 考点：点到直线的距离公式．9、试题分析：联立直线方程，解得，∵直线的交点在第一象限，∴，解不等式组可得-1＜k＜1考点：直线交点10、∵点P在y＝x2上，∴设P(t，t2)，则＝，|t2－t|＝1，解之得t1＝，t2＝，∴P点有两个，故选B．11、试题分析：将直线方程化为：与平行，所以，所以所求两条平行直线间的距离为：，故答案为B．考点：1．两条直线平行；2．两条平行直线间的距离．12、当l1与l2之间距离最大时,l1⊥AB,故l1的斜率为-1,又过点A(1,3),由点斜式得l1的方程为y-3=-(x-1),即x+y-4=0.13、∵直线l1:y=2x+1,l2:y=2x+5,斜率k1=k2=2,∴l1∥l2.14、试题分析：三条直线交于一点，实质就是其中一条直线经过另两条直线的交点.观察可知先求后两条直线的交点比较简便.由和得交点，再代入得的值为考点：直线的交点.15、试题分析：解法一：由于点在直线上，，令，故当时，取最小值；解法二：将，即当取最小值时，也取到最小值，的几何意义指的是点到点之间的距离，而点在直线，点到点的最短距离就是点到直线的距离，即点到直线的距离，故的最小值为.考点：二次函数、点到直线的距离16、试题分析：与直线平行的直线设为与的距离为考点：两直线间的距离点评：两平行直线间的距离17、设，则，得，所以，又，得，解得，或，所以点的坐标为或，故选A。

主动成长历基达标1.两条直线 2x+3y-k=0 和 x-ky+12=0 的交点在 y 轴上，那么 k 的值是 () A.-24 B.6C. ±6D.不一样于 A 、B 、C 的答案分析： 两直线的交点在 y 轴上，可设交点的坐标为 (0，y 0)，3 y 0 k0,(1)则有ky 0 120.( 2)由①可得 y 0= k，将其代入②得k 2 +12=0.33∴ k 2=36，即 k= ±6.答案： C2.x 轴上任一点到定点 (0， 2)、 (1， 1)距离之和的最小值是 ( )A.2B. 2 3C. 10D.5 1分析： 点 (0 ， 2)对于 x 轴对称点坐标为 (0 ， -2) ，由两点间的距离公式可得最小值为(1 0) 2(1 2) 210 .答案： C3.点 P(m-n,-m) 到直线x y1的距离等于 ( )m nA. m 2n 2B. m 2 n 2C. n 2m 2D. m 2n 2分析： 将xy1化为一般式 nx+my-mn=0.mn由公式 d| n( m n) m( m) mn |m 2n 2 .m 2 n 2答案： A4.点 P(x,y) 在直线 x+y-4=0 上，则 x 2+y 2 的最小值是 ( )A.8B. 2 2C.2D.1622的实质意义可知，它代表直线x+y-4=0 上的点到原点的距离的平方，它的最分析： 由 x +y小值即为原点到该直线的距离的平方 .∴ (x 2+y 2)min = ( 4) 2 =82答案： A5.光芒从点A(-3 ，5)射到 x 轴上，经反射此后经过点B(2 ，10)，则光芒从A 到B 的距离为()A.5 2B.2 5C.5 10D.10 5分析：依据光学原理， 光芒从A 到B 的距离，等于点A 对于x 轴的对称点 A ′到点B 的距离，易求 A′(-3,-5).∴|A ′B|= ( 32) 2( 5 10)2 5 10.答案： C6.在直角坐标平面内，与 A 、B 两点距离等于 1 的直线起码有 3 条，则 |AB| 的取值范围是 ()A.［ 2，+∞ )B.(2,+∞)C.(-∞ ,2)D.(- ∞ ,2］分析： A 、 B 两点在直线同侧或直线过AB 的中点，当直线垂直于AB 时， |AB|=2,∴|AB| ≥2.答案： A7.直线 l1、l 2分别过点 P(-1 ，3)、Q(2 ，-1) ，它们分别绕 P、Q 旋转，但一直保持平行，则l 1、l 2之间的距离 d 的取值范围为 ()A.(0 ， +∞ )B.(0， 5］C.(0 ，5)D.(0 ，17 )分析： |PQ|=(21) 2( 13) 25利用数形联合易知 B 正确.答案： B8.点 A(4 ，5)对于直线 l 的对称点为 B(-2 ， 7)，则直线 l 的方程为 __________.分析：由题意可得，直线l 是线段 AB 的垂直均分线所在的直线 .∴直线 l 经过线段的中点 (1， 6)，其斜率为k113, kAB7524∴直线 l 的方程为 y-6=3(x-1). 即 3x-y+3=0.答案： 3x-y+3=09.两直线 ax+y-4=0 与 x-y-2=0 订交于第一象限，则 a 的取值范围是 ________.ax y40,x660, a1a分析：由1x y204.若交点在第一象限，则42ay2aa1a1a10-1＜ a＜ 2.42a0答案： -1＜ a＜ 210.直线 l 在两坐标轴上的截距相等，且P(4， 3)到直线 l 的距离为 3 2 ，求直线l的方程.分析： (1)当所求直线经过坐标原点时，设其方程 y=kx ，由点到直线的距离公式可得| 4k 3 | 3 2,1k 2解得 k=-6 ±314. 2故所求直线的方程为y=(-6 ±314 )x.2(2) 当直线不经过坐标原点时，设所求方程为x y 1 ,即 x+y-a=0.aa由题意可得| 43 a | 32 .解得 a=1 或 a=13.2故所求直线的方程为 x+y-1=0, 或 x+y-13=0.综上可知，所求直线的方程为3 14或 x+y-13=0.y=(-6 ±)x 或 x+y-1=0211.求过直线 l 1:x-2y+3=0 与 l 2:2x+3y-8=0 的交点，且与直线 l:3x+4y-2=0 平行的直线 .分析： 由x 2y 3 0 x 1 32x 3 y8,∴,又 k=.0 y243 故所求直线方程为 :y-2=(x-1), 即 3x+4y-11=0.412.已知直线 l 1:x+y-1=0 ，现将直线 l 1 向上平移到直线形的面积是 4，求 l 2 的方程 .分析： 由 l 1∥ l 2 设出 l 2 的方程，而后由梯形的面积求解∵ l 1∥ l 2，∴设 l 2 的方程为 x+y-m=0. 设 l 1 与 x 轴， y 轴分别交于点 A 、 D. l 2 与 x 轴， y 轴分别交于 B 、 C.易得： A(1 ， 0)D(0 ， 1) B(m,0)C(0,m).l 2 的地点， 若 l 2,l 1 和两坐标轴围成的梯.又 l 2 在 l 1 的上方，∴ m>0.S梯形=S Rt △ OBC -S Rt △ OAD ,∴ 4= 1 m ·m- 1·1·1,2 2∴m 2 =9,m=3, 故 l 2 的方程是 x+y-3=0.13.求证无论 m 取什么实数，直线 (2m-1)x ＋ (m ＋ 3)y-(m-11)=0 都经过一个定点，并求出这个 定点 .分析： 题目中的 m 是随意的，所以可给 m 取两个值，得两条直线的方程，解由它们构成的方程组可得定点坐标，也可将原方程的左侧分别成两部分，利用直线系方程求解.解法一：令 m=0，得 x-3y-11=0 ；令 m=1，得 x+4y+10=0.x 4 y 10 0,解3y11 得两条直线的交点为(2，-3)，将点(2，-3)代入直线方程得x 0,(2m-1) ×2+(m+3) ×(-3)-(m-11)=4m-2-3m-9-m-11=0.这说明无论 m 取什么实数， 直线 (2m-1)x+(m+3)y-(m-11)=0 都经过一个定点， 这个定点为 (2，-3).解法二：将已知方程整理为 (2x+y-1)m+(-x+3y+11)=0 ，2x y 1 0, (2， -3).由 m 取值的随意性，有3y得两条直线的交点为 x 11 0,这说明无论 m 取什么实数， 直线 (2m-1)x+(m+3)y-(m-11)=0 都经过一个定点，这个定点为 (2，-3).14.求直线 l 1:2x+y-4=0 对于 l:3x+4y-1=0 对称的直线 l 2 的方程 .分析： 由平面几何知识可知，若 l 1、 l 2 对于直线 l 对称，它们一定知足以下条件：点A 在直线 l 1 上，那么点 A 对于 l 的对称点必在 l 2 上，反之亦建立 .解法一设点 A(x,y) 是直线 l 2 上随意一点，它对于 l 的对称点为 A ′(x 0,y 0)，则y y 0 4 x x 033x x 04y y 0 1 022x 0 7 x 24 y625解得24 x 7y8y 025∵A ′点 (x 0,y 0)在直线 l 1:2x+y-4=0 上，∴ 27x 24y 524x 7 y 84 0 ,2525化简得 2x+11y+16=0.解法二 特别点法2x y 4 0由4y 1可解得 l 1 与 l 的交点 M(3 ， -2).3x 0在 l 1 上取一特别点 (2， 0)，它对于直线 l 的对称点 (x 0,y 0)应在所求直线l 2 上 .2 x 0y 0 1 04 3242x 0由y 0 4解得58x 023y 05由两点式得对称直线的方程为y 2x 3.842 355即为2x+11y+16=0.15.已知点 P(2， -1) ，求：(1) 过点 P 且与原点的距离为 2 的直线方程；(2) 过点 P 且与原点的距离最大的直线方程，并求出最大值.(3) 能否存在过点 P 且与原点的距离为 6 的直线？若存在，求出该直线的方程；若不存在，请说明原因 .分析： (1)当斜率不存在时，方程x=2 合适题意 .当直线的斜率存在时，设为k，则直线方程应为y+1=k(x-2) ，即 kx-y-2k-1=0.依据题意| 2k1 |2 ，解得k=3. k 214∴直线方程为3x-4y-10=0.∴合适题意的直线方程为x-2=0 或 3x-4y-10=0(2) 过点 P 且与原点的距离最大的直线方程应为过点P 且与 OP 垂直的直线 .易求其方程为2x-y-5=0 ，且最大距离 d= 5 .(3) 不存在 .因为原点到过点 (2， -1) 的直线的最大距离为5，而 6> 5，故不存在这样的直线 .16.某商品的市场需求量y1(万件 )、市场供给量y2 (万件 )与市场价钱 x(元 /件 )分别近似地知足以下关系： y1=-x+70,y 2=2x-20. 当 y1=y 2时的市场价钱称为市场均衡价钱，此时的需求量称为均衡需求量 .(1)求均衡价钱和均衡需求量；(2)若要使均衡需求量增添 4 万件，政府对每件商品应赐予多少元补助？分析：(1) 如右图市场均衡价钱和均衡需求量实质上就是直线y=-x+70 与 y=2x-20 交点的横坐y x70,标和纵坐标，即为方程组的解 .y 20x20x 30,得故均衡价钱为30 元/件，均衡需求量为40万件 .y 40,(2) 设政府赐予t 元 /件补助，此时的市场的均衡价钱，即花费者支付价钱，为x 元/件，而提x 7044,供者收到价钱为(x+t) 元/件，依题意得方程组解得x=26,t=6.2(x t )2044.所以，政府对每件商品应赐予 6 元的补助走近高考17.在座标平面内，与点A(1 ， 2)的距离为A.1 条B.2 条.1，且与点B(3 ， 1)的距离为C.3 条2 的直线共有D.4 条()分析：以有两条 .答案： BA ，B 为圆心，分别以 1 和2 为半径，作圆再作两圆的公切线，即为所求，公切线18.(经典回放)已知点(a,2)(a>0) 到直线l:x-y+3=0的距离为1，则 a 等于 ()A.2B. 22C. 21D.21分析：| a2 3 | 1 ,解得a= 2 1 ,a= 2 1 (舍去)，应选 C.2答案： C19.(经典回放 )若直线 l:y=kx- 3与直线 2x+3y-6=0 的交点位于第一象限，则直线l 的倾斜角的取值范围是 ()A. ［ 30°,60 °)B.(30,90° °)C.(60 ,90° °)D. ［ 30°,90 °］分析：求出交点坐标，再由交点在第一象限，求得倾斜角的范围.y kx3,x3( 23) ,23k2x3y60y6k 2 3 .23k∵交点在第一象限，x0,3( 23)0,23k即∴y0,6k 2 30.23k∴k∈3,+ ∞ )∴.倾斜角的范围为 (30 °， 90°) (3答案： B20.如图，平面中两条直线l1和 l2订交于点 O，对于平面上随意一点M ，若 p,q 分别是 M 到直线 l1和 l2的距离，则称有序非负实数对(p,q)是点 M 的“距离坐标”，已知常数 p≥0,q ≥0，给出以下三个命题：①若 p=q=0，则“距离坐标”为 (0， 0)的点有且仅有 1 个 .②若 pq=0, 且 p+q≠0,则“距离坐标”为 (p,q)的点有且仅有 2个 .③若 pq≠0，则“距离坐标”为 (p,q)的点有且仅有 4 个 .上述命题中，正确命题的个数是 ()A.0B.1C.2D.3分析：①若 p=q=0，则只有原点知足，正确；②若 pq=0, 且 p+q≠0,则这样的点有无量多个，它们是直线l1与 l 2上的点，除掉原点 .③若 pq≠0,则知足题意的点有且仅有 4 个，这 4 个点分别在 4 个角的内部，且两两对于 O 点对称，正确 .答案： C。

【若缺失公式、图片现象属于系统读取不成功，文档内容齐全完整，请放心下载。

】§3.3 直线的交点坐标与距离公式 3.3.1 两条直线的交点坐标【课时目标】 1．掌握求两条直线交点的方法．2．掌握通过求方程组解的个数，判定两直线位置关系的方法．3．通过本节的学习初步体会用代数方法研究几何问题的解析思想．1．两条直线的交点已知两直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0；l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0．若两直线方程组成的方程组⎩⎪⎨⎪⎧ A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0有唯一解⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0y ＝y 0，则两直线______，交点坐标为________．2．方程组的解的组数与两直线的位置关系方程组 的解 交点 两直线位置关系方程系数特征无解 两直线____交点 平行A 1B 2＝A 2B 1B 1C 2≠B 2C 1有唯一解 两条直线有______个交点 相交 A 1B 2≠A 2B 1有无数个解 两条直线有 ________个交点 重合A 1B 2＝A 2B 1B 2C 1＝B 1C 2一、选择题1．直线l 1：(2－1)x ＋y ＝2与直线l 2：x ＋(2＋1)y ＝3的位置关系是( ) A ．平行 B ．相交 C ．垂直 D ．重合2．经过直线2x －y ＋4＝0与x －y ＋5＝0的交点，且垂直于直线x －2y ＝0的直线的方程是( )A ．2x ＋y －8＝0B ．2x －y －8＝0C ．2x ＋y ＋8＝0D ．2x －y ＋8＝03．直线ax ＋2y ＋8＝0,4x ＋3y ＝10和2x －y ＝10相交于一点，则a 的值为( ) A ．1 B ．－1 C ．2 D ．－2 4．两条直线l 1：2x ＋3y －m ＝0与l 2：x －my ＋12＝0的交点在y 轴上，那么m 的值为( ) A ．－24 B ．6 C ．±6 D ．以上答案均不对5．已知直线l 1：x ＋m 2y ＋6＝0，l 2：(m －2)x ＋3my ＋2m ＝0，l 1∥l 2，则m 的值是( ) A ．m ＝3 B ．m ＝0C ．m ＝0或m ＝3D ．m ＝0或m ＝－16．直线l 与两直线y ＝1和x －y －7＝0分别交于A ，B 两点，若线段AB 的中点为M (1，－1)，则直线l 的斜率为( )A ．32B ．23C ．－32D ．－23二、填空题7．若集合{(x ，y )|x ＋y －2＝0且x －2y ＋4＝0}{(x ，y )|y ＝3x ＋b }，则b ＝________． 8．已知直线l 过直线l 1：3x －5y －10＝0和l 2：x ＋y ＋1＝0的交点，且平行于l 3：x ＋2y－5＝0，则直线l的方程是______________．9．当a取不同实数时，直线(2＋a)x＋(a－1)y＋3a＝0恒过一个定点，这个定点的坐标为________．三、解答题10．求经过两直线2x＋y－8＝0与x－2y＋1＝0的交点，且在y轴上的截距为x轴上截距的两倍的直线l的方程．11．已知△ABC的三边BC，CA，AB的中点分别是D(－2，－3)，E(3,1)，F(－1,2)．先画出这个三角形，再求出三个顶点的坐标．能力提升12．在△ABC中，BC边上的高所在直线的方程为x－2y＋1＝0，∠A的角平分线所在直线的方程为y＝0，若点B的坐标为(1,2)，求点A和点C的坐标．13．一束平行光线从原点O(0,0)出发，经过直线l：8x＋6y＝25反射后通过点P(－4,3)，求反射光线与直线l的交点坐标．1．过定点(x 0，y 0)的直线系方程y －y 0＝k (x －x 0)是过定点(x 0，y 0)的直线系方程，但不含直线x ＝x 0；A (x －x 0)＋B (y －y 0)＝0是过定点(x 0，y 0)的一切直线方程．2．与直线Ax ＋By ＋C ＝0平行的直线系方程为Ax ＋By ＋D ＝0(D ≠C )．与y ＝kx ＋b 平行的直线系方程为y ＝kx ＋m (m ≠b )．3．过两条直线交点的直线系方程：过两条直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0交点的直线系方程是A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0(λ∈R )，但此方程中不含l 2；一般形式是m (A 1x ＋B 1y ＋C 1)＋n (A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0(m 2＋n 2≠0)，是过l 1与l 2交点的所有直线方程．§3．3 直线的交点坐标与距离公式 3．3．1 两条直线的交点坐标答案知识梳理1．相交 (x 0，y 0) 2．无 1 无数 作业设计1．A [化成斜截式方程，斜率相等，截距不等．]2．A [首先解得交点坐标为(1,6)，再根据垂直关系得斜率为－2，可得方程y －6＝－2(x －1)，即2x ＋y －8＝0．]3．B [首先联立⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋3y ＝102x －y ＝10，解得交点坐标为(4，－2)，代入方程ax ＋2y ＋8＝0得a ＝－1．]4．C [2x ＋3y －m ＝0在y 轴上的截距为m 3，直线x －my ＋12＝0在y 轴上的截距为12m，由12m ＝m3得m ＝±6．] 5．D [l 1∥l 2，则1·3m ＝(m －2)·m 2， 解得m ＝0或m ＝－1或m ＝3． 又当m ＝3时，l 1与l 2重合， 故m ＝0或m ＝－1．]6．D [设直线l 与直线y ＝1的交点为A (x 1,1)，直线l 与直线x －y －7＝0的交点为B (x 2，y 2)，因为M (1，－1)为AB 的中点，所以－1＝1＋y 22即y 2＝－3，代入直线x －y －7＝0得x 2＝4，因为点B ，M 都在直线l 上，所以k l ＝－3＋14－1＝－23．故选D ．]7．2解析 首先解得方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －2＝0x －2y ＋4＝0的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0y ＝2，代入直线y ＝3x ＋b 得b ＝2．8．8x ＋16y ＋21＝0 9．(－1，－2)解析 直线方程可写成a (x ＋y ＋3)＋2x －y ＝0，则该直线系必过直线x ＋y ＋3＝0与直线2x －y ＝0的交点，即(－1，－2)．10．解 (1)2x ＋y －8＝0在x 轴、y 轴上的截距分别是4和8，符合题意． (2)当l 的方程不是2x ＋y －8＝0时， 设l ：(x －2y ＋1)＋λ(2x ＋y －8)＝0， 即(1＋2λ)x ＋(λ－2)y ＋(1－8λ)＝0． 据题意，1＋2λ≠0，λ－2≠0．令x ＝0，得y ＝－1－8λλ－2；令y ＝0，得x ＝－1－8λ1＋2λ．∴－1－8λλ－2＝2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1－8λ1＋2λ解之得λ＝18，此时y ＝23x ．∴所求直线方程为2x ＋y －8＝0或y ＝23x ．11．解如图，过D ，E ，F 分别作EF ，FD ，DE 的平行线，作出这些平行线的交点，就是△ABC 的三个顶点A ，B ，C ．由已知得，直线DE 的斜率 k DE ＝1＋33＋2＝45，所以k AB ＝45．因为直线AB 过点F ，所以直线AB 的方程为y －2＝45(x ＋1)，即4x －5y ＋14＝0．①由于直线AC 经过点E (3,1)，且平行于DF ， 同理可得直线AC 的方程 5x －y －14＝0．②联立①，②，解得点A 的坐标是(4,6)．同样，可以求得点B ，C 的坐标分别是(－6，－2)，(2，－4)． 因此，△ABC 的三个顶点是A (4,6)，B (－6，－2)，C (2，－4)． 12．解如图所示，由已知，A 应是BC 边上的高线所在直线与∠A 的角平分线所在直线的交点．由⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y ＋1＝0y ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝0x ＝－1，故A (－1,0)．又∠A 的角平分线为x 轴，故k AC ＝－k AB ＝－1，(也可得B 关于y ＝0的对称点(1，－2)． ∴AC 方程为y ＝－(x ＋1)， 又k BC ＝－2， ∴BC 的方程为 y －2＝－2(x －1)，由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝－(x ＋1)y －2＝－2(x －1)，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5y ＝－6，故C 点坐标为(5，－6)．13．解 设原点关于l 的对称点A 的坐标为(a ，b )，由直线OA 与l 垂直和线段AO 的中点在l 上得⎩⎨⎧b a ·⎝⎛⎭⎫－43＝－18×a 2＋6×b2＝25，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4b ＝3，∴A 的坐标为(4,3)．∵反射光线的反向延长线过A (4,3)，又由反射光线过P (－4,3)，两点纵坐标相等，故反射光线所在直线方程为y ＝3． 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝38x ＋6y ＝25，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝78y ＝3，∴反射光线与直线l 的交点坐标为⎝⎛⎭⎫78，3．。

高中数学-直线的交点坐标与距离公式一、知识导学：1、理解求两条直线交点的方法思想，能正确地通过解方程组确定交点坐标并通过求交点坐标判断两条直线的位置关系；2、通过沟通方程组的解的情况与相应两条直线的交点个数（位置关系） 情况，进一步渗透数形结合、坐标法思想。

3、掌握直角坐标系中两点间、点到直线和两条平行线的距离公式的推导 及应用，会用坐标法证明简单的几何问题。

二、基础知识：1、点的坐标与直线方程的关系：已知两条直线1111:0l A x B y C ++=，2222:0l A x B y C ++=相交。

几何元素及关系代数表示 点A A （a ，b ）直线l l ：0=++C By Ax 点A 在直线l 上0Aa Bb C ++=直线1l 、2l 的交点是A 点A 的坐标是方程组1112220A x B y C A x B y C ++=⎧⎨++=⎩的解2、判断两条直线1l 、2l 的位置关系：通过解方程组确定交点坐标。

已知两条直线1l ：0111=++C y B x A ，2l ：0222=++C y B x A ， 将方程联立，得⎩⎨⎧=++=++0222111C y B x A C y B x A ，对于这个方程组解的情况有三种：（1）若方程组有唯一解⎩⎨⎧==00y y x x ，则1l 、2l 有___________的公共点，此解就是交点坐标),(00y x P ，即1l 与2l 相交。

1l 与2l 相交111221220A B A B A B A B ⇔≠⇔-≠ （2）若方程组无解，则1l 、2l _________公共点，即_________，1l 与2l 平行1221111122122200A B A B A B C B C B C A B C -=⎧⇔=≠⇔⎨-≠⎩ （3）若方程组有_________解，则1l 、2l 有_______公共点，即重合。

1l 与2l 重合1221111122122200A B A B A B C B C B C A B C -=⎧⇔==⇔⎨-=⎩ 例1、判断下列各对直线的位置关系。

直线的交点坐标与距离公式一、选择题1．已知△ABC 的三个顶点坐标分别为A (2,6)，B (－4,3)，C (2，－3)，则点A 到BC 边的距离为( )A ．92B ．922C ．255D ．4 3[答案] B[解析] BC 边所在直线的方程为y －3－3－3＝x ＋42＋4，即x ＋y ＋1＝0；则d ＝|2×1＋6×1＋1|2＝922.2．两直线3x ＋y －3＝0与6x ＋my ＋1＝0平行，则它们之间的距离为( ) A ．4 B ．21313 C ．52613 D ．72010 [答案] D[解析] 3x ＋y －3＝0变形为6x ＋2y －6＝0，可知m ＝2，则d ＝|1－－6|62＋22＝71020. 3．若点A (－3，－4)，B (6,3)到直线l ：ax ＋y ＋1＝0的距离相等，则实数a 的值为( ) A ．79 B ．－13C ．－79或－13D ．79或13[答案] C[解析] 由题意及点到直线的距离公式得|－3a －4＋1|a 2＋1＝|6a ＋3＋1|a 2＋1，解得a ＝－13或－79. 4．若点P 在直线3x ＋y －5＝0上，且点P 到直线x －y －1＝0的距离为2，则点P 的坐标为( )A ．(1,2)B ．(2,1)C ．(1,2)或(2，－1)D ．(2,1)或(－1,2)[答案] C[解析] 设点P 的坐标为(x 0，y 0)，则有⎩⎪⎨⎪⎧3x 0＋y 0－5＝0|x 0－y 0－1|2＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝1y 0＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2y 0＝－1.5．与直线2x ＋y ＋1＝0的距离为55的直线方程为( ) A ．2x ＋y ＝0B ．2x ＋y －2＝0C ．2x ＋y ＝0或2x ＋y －2＝0D ．2x ＋y ＝0或2x ＋y ＋2＝0[答案] D[解析] 根据题意可设所求直线方程为2x ＋y ＋C ＝0(C ≠1)，因为两直线间的距离等于55，所以|C －1|22＋12＝55，解得C ＝0或C ＝2，所以所求直线方程为2x ＋y ＝0或2x ＋y ＋2＝0.故选D ．6．(2013·广东改编)直线l 垂直于直线y ＝x ＋1，原点O 到l 的距离为1，且l 与y 轴正半轴有交点，则直线l 的方程是( )A ．x ＋y －2＝0B ．x ＋y ＋1＝0C ．x ＋y －1＝0D ．x ＋y ＋2＝0[答案] A[分析] 所求直线l 与直线y ＝x ＋1垂直，可以直接设直线l 的方程为y ＝－x ＋b ，与y 轴正半轴有交点，确定截距范围，再利用原点到直线的距离等于1求参数，得直线方程．[解析] 因为直线l 与直线y ＝x ＋1垂直，所以直接设直线l 的方程为y ＝－x ＋b ，又l 与y 轴正半轴有交点，知b >0，即x ＋y －b ＝0(b >0)的距离|0＋0－b |12＋12＝1，求得b ＝2(b ＝－2舍去)，所以所求直线l 的方程为x ＋y －2＝0.二、填空题7．两条直线l 1：3x ＋4y ＋1＝0和l 2：5x ＋12y －1＝0相交，则其顶点的角平分线所在直线的方程为_________.[答案] 7x －4y ＋9＝0,8x ＋14y ＋1＝0[解析] 设P (x ，y )是所求直线上的任意一点，则点P 到l 1，l 2的距离相等，即|3x ＋4y ＋1|32＋42＝|5x ＋12y －1|52＋122，整理，得所求直线的方程为7x －4y ＋9＝0,8x ＋14y ＋1＝0. 8．过点A (－3,1)的所有直线中，与原点距离最远的直线方程是_________.[答案] 3x －y ＋10＝0[解析] 当原点与点A 的连线与过点A 的直线垂直时，距离最大．∵k OA ＝－13，∴所求直线的方程为y －1＝3(x ＋3)，即3x －y ＋10＝0.三、解答题9．已知正方形的中心为直线2x －y ＋2＝0和x ＋y ＋1＝0的交点，其一边所在直线的方程为x ＋3y －5＝0，求其它三边的方程．[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋2＝0，x ＋y ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝0，即该正方形的中心为(－1,0)．所求正方形相邻两边方程3x －y ＋p ＝0和x ＋3y ＋q ＝0. ∵中心(－1,0)到四边距离相等， ∴|－3＋p |10＝610，|－1＋q |10＝610， 解得p 1＝－3，p 2＝9和q 1＝－5，q 2＝7，∴所求方程为3x －y －3＝0,3x －y ＋9＝0，x ＋3y ＋7＝0.10．求经过点P (1,2)的直线，且使A (2,3)，B (0，－5)到它的距离相等的直线方程． [分析] 解答本题可先设出过点P 的点斜式方程，注意斜率不存在的情况，要分情况讨论，然后再利用已知条件求出斜率，进而写出直线方程．另外，本题也可利用平面几何知识，先判断直线l 与直线AB 的位置关系，再求l 方程．事实上，l ∥AB 或l 过AB 中点时，都满足题目的要求．[解析] 方法1：当直线斜率不存在时，即x ＝1，显然符合题意，当直线斜率存在时，设所求直线的斜率为k ，即直线方程为y －2＝k (x －1)，由条件得|2k －3－k ＋2|k 2＋1＝|5－k ＋2|k 2＋1，解得k ＝4， 故所求直线方程为x ＝1或4x －y －2＝0.方法2：由平面几何知识知l ∥AB 或l 过AB 中点． ∵k AB ＝4，若l ∥AB ，则l 的方程为4x －y －2＝0. 若l 过AB 中点(1，－1)，则直线方程为x ＝1， ∴所求直线方程为x ＝1或4x －y －2＝0.规律总结：针对这个类型的题目常用的方法是待定系数法，即先根据题意设出所求方程，然后求出方程中有关的参量．有时也可利用平面几何知识先判断直线l 的特征，然后由已知直接求出直线l 的方程．能力提升一、选择题1．P ，Q 分别为3x ＋4y －12＝0与6x ＋8y ＋6＝0上任一点，则|PQ |的最小值为( ) A ．95 B ．185C ．3D ．6[答案] C[解析] |PQ |的最小值是这两条平行线间的距离．在直线3x ＋4y －12＝0上取点(4,0)，然后利用点到直线的距离公式得|PQ |的最小值为3.2．过两直线x －3y ＋1＝0和3x ＋y －3＝0的交点，并与原点的距离等于1的直线共有( )A ．0条B ．1条C ．2条D ．3条 [答案] B[解析] 联立方程组⎩⎨⎧x －3y ＋1＝0，3x ＋y －3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12，y ＝32，即交点坐标为(12，32)，它到原点的距离恰好等于1，故满足条件的直线共有1条． 3．到两条直线l 1：3x －4y ＋5＝0与l 2：5x －12y ＋13＝0的距离相等的点P (x ，y )必定满足方程( )A ．x －4y ＋4＝0B ．7x ＋4y ＝0C ．x －4y ＋4＝0或4x －8y ＋9＝0D ．7x ＋4y ＝0或32x －56y ＋65＝0 [答案] D[解析] 结合图形可知，这样的直线应该有两条，恰好是两条相交直线所成角的平分线．由公式可得|3x －4y ＋5|32＋－42＝|5x －12y ＋13|52＋－122，即3x －4y ＋55＝±5x －12y ＋1313，化简得7x ＋4y ＝0或32x －56y ＋65＝0.4．点P (x ，y )在直线x ＋y －4＝0上，则x 2＋y 2的最小值是( ) A ．8 B ．2 2 C ． 2 D ．16[答案] A[解析] x 2＋y 2表示直线上的点P (x ，y )到原点距离的平方，∵原点到直线x ＋y －4＝0的距离为|－4|2＝22，∴x 2＋y 2最小值为8.故选A ． 二、填空题5．已知点A (1,1)，B (2,2)，点P 在直线y ＝12x 上，则当|PA |2＋|PB |2取得最小值时点P 的坐标为_________.[答案] (95，910)[解析] 设P (2t ，t )，则|PA |2＋|PB |2＝(2t －1)2＋(t －1)2＋(2t －2)2＋(t －2)2＝10t2－18t ＋10＝10(t 2－95t ＋1)＝10(t －910)2＋1910，当t ＝910时，|PA |2＋|PB 2|取得最小值，即P (95，910)． 6．已知平面上一点M (5,0)，若直线上存在点P 使|PM |＝4，则称该直线为“切割型直线”，下列直线是“切割型直线”的是_________.[答案] ②③[解析] 根据题意，看所给直线上的点到定点M 的距离能否取4.可通过求各直线上的点到M 的最小距离，即点M 到直线的距离来分析．①d ＝5＋12＝32＞4，故直线上不存在点到M 距离等于4，不是“切割型直线”；②d ＝2＜4，所以在直线上可以找到两个不同的点，使之到点M 的距离等于4，是“切割型直线”；③d ＝2032＋42＝4，直线上存在一点，使之到点M 距离等于4，是“切割型直线”；④d ＝115＝1155＞4，故直线上不存在到M 距离等于4的点，不是“切割型直线”，故填②③.三、解答题7．过点(2,3)的直线l 被两平行直线l 1：2x －5y ＋9＝0与l 2：2x －5y －7＝0所截线段AB 的中点恰在直线x －4y －1＝0上，求直线l 的方程．[解析] 设线段AB 的中点P 的坐标为(a ，b )，由点P 到直线l 1，l 2的距离相等，得|2a －5b ＋9|22＋－52＝|2a －5b －7|22＋－52，整理得2a －5b ＋1＝0.又点P 在直线x －4y －1＝0上，所以a －4b －1＝0.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2a －5b ＋1＝0a －4b －1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3b ＝－1，即点P 的坐标为(－3，－1)．又直线l 过点(2,3)，所以直线l 的方程为y －－13－－1＝x －－32－－3，即4x －5y ＋7＝0.8．在△ABC 中，A (3,2)，B (－1,5)，点C 在直线3x －y ＋3＝0上，若△ABC 的面积为10，求点C 的坐标．[解析] 由题知|AB |＝3＋12＋2－52＝5，∵S △ABC ＝12|AB |·h ＝10，∴h ＝4.设点C 的坐标为(x 0，y 0)，而AB 的方程为y －2＝－34(x －3)，即3x ＋4y －17＝0.∴⎩⎪⎨⎪⎧3x 0－y 0＋3＝0，|3x 0＋4y 0－17|5＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－1，y 0＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝53，y 0＝8.∴点C 的坐标为(－1,0)或(53，8)．。

2.3 直线的交点坐标与距离公式(精讲)考点一 交点【例1】(1)(2021·哈尔滨)直线x －2y ＋3＝0与2x －y ＋3＝0的交点坐标为( )A ．(－1，1)B ．(1，－1)C ．(1，1)D ．(－1，－1)(2)．(2021·贵州黔东南苗族侗族自治州·凯里一中高二期末(理))斜率为2，且过直线4y x =-和直线2y x =+交点的直线方程为( )A ． 21y x =+B ．21y x =-C ．22y x =-D ． 22y x =+(3)．(2021·黑龙江哈九中高二期末(文))直线210kx y k -++=与240x y +-=的交点在第四象限，则k 的取值范围为( )A ．()6,2--B ．1,06⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．11,26--⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．11,62⎛⎫-- ⎪⎝⎭(4)．(2021·全国高二课时练习)(多选)当0＜k ＜12时，直线l 1：kx －y －k ＋1＝0与直线l 2：ky －x －2k ＝0的交点可能是( )A ．(2，3)B ．(1，2)C ．11(,)22-D ．12(,)33- 【一隅三反】 1．(2021·河北唐山市·高二期末)过点(,4)A a 和点(,2)B b 的直线与直线0x y m ++=垂直，则||AB =( )A ．B ．4C ．D ．22．(2021·全国高二课时练习)(多选)已知三条直线x －2y ＝1，2x ＋ky ＝3，3kx ＋4y ＝5相交于一点，则k 的值为( )A ．－163B ．－1C ．1D ．1633．(2021·全国高二专题练习)若直线l 1：y ＝kx ＋1与l 2：x －y －1＝0的交点在第一象限内，则k 的取值范围是( )A ．(1，＋∞)B ．(－1，1)C ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)D ．(－∞，－1)考点二 三种距离【例2-1】(1)(2021·安徽池州市·高二期末(理))若直线1:30l x y -=与24:0l x y +-=交于点A ，且()2,0B ，则AB =___________．(2)(2021·浙江高二期末)点(2,0)到直线20x y ++=的距离为(3)．(2021·全国高二课时练习)两条平行线l 1：3x ＋4y －7＝0和l 2：3x ＋4y －12＝0的距离为【例2-2】(1)(2021·浙江)已知直线(2)(12)430m x m y m ++-+-=恒经过定点P ，则点P 到直线:3440l x y +-=的距离是( )A ．6B ．3C ．4D ．7(2)．(2021·江西)若直线x ＋3y －9＝0与直线x ＋3y －c ＝0，则c 的值为( )A ．－1B ．19C ．－1或19D ．1或－19 【一隅三反】1．(2021·江苏)点(2，1)到直线l ：x －2y ＋2＝0的距离为( )A ．25BC D ．032．(2021·全国高二专题练习)点P 在直线x ＋y －4＝0上，O 是坐标原点，则|OP |的最小值为( )A B ．C D ．23．(2021·广西)(多选)若点A (a ，1)到直线3x －4y ＝1的距离为1，则a 的值为( )A ．0B ．103 C ．5 D ．－1034．(2021·全国高二课时练习)在直线2350x y -+=上求点P ，使点P 到()2,3A P 点坐标是( )A ．()5,5B ．()1,1-C ．()5,5或()1,1-D ．()5,5或()1,1-5．(2021·湖南)过点(4,)A a 和()5B b ,的直线与直线50x y -+=平行，则||AB 的值为_______．6．(2021·全国高二课时练习)已知,x y 满足30x y ++=，求()()2212x y ++-的最小值__.7．(2021·全国高二课时练习)两直线3x ＋y －3＝0和6x ＋my －1＝0平行，则它们之间的距离为________.8．(2021·全国高二专题练习)已知(3,2)A --，(1,4)B -到直线:10l x ay ++=的距离相等，则实数a 为________.考点三 对称问题【例3-1】(点关于点对称)(1)(2021·全国高二单元测试)若点()1,1A a a -+，(),B a a 关于直线l 对称，那么直线l 的方程为________.(2)(2021·全国高二课时练习)一条光线从点()1,1A -出发射向x 轴，经过x 轴上的点P 反射后经过点()2,5B ，则点P 的坐标为______.【例3-2】(点关于线对称)(1)(2021·全国高二课时练习)点(1,1)-关于直线10x y --=的对称点是______.(2)．(2021·浙江高二期末)已知直线():10l mx y m m R ++-=∈过定点P ，则点P 的坐标是___________，点P 关于直线20x y +-=的对称点Q 的坐标是__________.【例3-3】(线关于点对称)(1)(2020·四川省泸县第二中学高二月考(文))直线l 与1l 关于点(11)，－成中心对称，若l 的方程是2360x y +-＝，则1l 的方程是__________(2)．(2020·全国高二课时练习)已知直线1:220l x y ++=与2:40l x by c ++=关于点(1,0)P 对称，则b c +=______.【例3-4】(2021·全国高二专题练习)直线2410x y --=关于0x y +=对称的直线方程为( )A ．4210x y --=B ．4210x y -+=C ．4210x y ++=D ．4210x y +-= 【一隅三反】1．(2021·全国高二课时练习 点P(2,5)关于直线x ＋y ＝1的对称点的坐标是____________．2．(2020·黑龙江哈尔滨市第六中学校高二月考(文))直线230x y -+=关于点(1,1)对称的直线方程为____________.3．(2021·全国高二单元测试)已知点()3,8A -和()2,2B ，在x 轴上求一点M ，使得AM BM +最小，则点M 的坐标为( )A ．()1,0-B ．220,5⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．22,05⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．()1,04．(2021·全国高二专题练习)已知直线10kx y k -++=过定点A ，则点A 关于30x y +-=对称点的坐标为( )A ．(2,4)B ．(4,2)C ．(2,2)D ．(4,4)5．(2021·浙江)直线21y x =+关于原点对称的直线方程是( )A ．21y x =-B ．21y x =--C ．21y x =-+D ．2y x =6．(2021·广东湛江)已知直线l ：2x －3y ＋1＝0，点A (－1，－2)．求：(1)点A 关于直线l 的对称点A ′的坐标；(2)直线m ：3x －2y －6＝0关于直线l 的对称直线m ′的方程；(3)直线l 关于点A 对称的直线l ′的方程．离在几何中的运用【例4-1】(2021·全国高二专题练习)已知△ABC的三个顶点坐标分别是A(1，－1)，B(－1，3)，C(3，0)．(1)判断△ABC的形状；(2)求△ABC的面积．【例4-2】．(2021·沈阳市·辽宁实验中学高二期末)已知直线l过点P(2，3)且与定直线l0：y=2x在第一象限内交于点A，与x轴正半轴交于点B，记AOB的面积为S(O为坐标原点)，点B(a，0).(1)求实数a的取值范围；(2)求当S取得最小值时，直线l的方程.【一隅三反】1．(2021·全国高二课时练习)(多选)已知直线1:10l ax y -+=，2:10l x ay ++=，a R ∈，以下结论正确的是( )A ．不论a 为何值时，1l 与2l 都互相垂直；B ．当a 变化时，1l 与2l 分别经过定点()0,1A 和()1,0B -C ．不论a 为何值时，1l 与2l 都关于直线0x y +=对称D ．如果1l 与2l 交于点M ，则MO2．(2021·全国高二课时练习)已知AO 是ABC 边BC 的中线，用坐标法证明()22222AB AC AO OC+=+．3．(2021·浙江高二期末)已知直线l 经过直线250x y +-=与20x y -=的交点M ．(Ⅰ)若l 经过点(5,0)A ，求l 的方程；(Ⅱ)若直线l 分别与x 轴、y 轴的正半轴交于A 、B 两点，O 为原点，是否存在使ABO 面积最小的直线l ？若存在，求出直线l 方程；若不存在，请说明理由．。

第二章直线和圆的方程课时2.3.1直线的交点坐标与距离公式（01）两条直线的交点坐标、两点间的距离公式1.能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标。

2.会根据方程组解的组数判定两条直线的位置关系。

3.探索并掌握平面上两点间的距离公式。

基础过关练题组一两条直线的交点坐标1.直线3x+4y-2=0与直线2x+y+2=0的交点坐标是 ( )A.(2,2)B.(2,-2)C.(-2,2)D.(-2,-2)2.直线3x+my-1=0与4x+3y-n=0的交点为(2,-1),则m+n的值为 ( )A.12B.10C.-8D.-63.两直线2x+3y-k=0和x-ky+12=0的交点在y轴上,那么k的值为.4.三条直线mx+2y+7=0,y=14-4x和2x-3y=14相交于一点,则m的值为.5.若直线l:y=kx-与直线2x+3y-6=0的交点位于第一象限,则k的取值范围是.6.已知直线l1:x-y+4=0与l2:2x+y-1=0相交于点P,求满足下列条件的直线方程:(1)过点P且过原点；(2)过点P且平行于直线l3:x-2y-1=0.题组二两点间的距离7.直线y=x上的两点P,Q的横坐标分别是1,5,则|PQ|等于 ( )A.4B.4C.2D.28.点P(-2,5)为平面直角坐标系内一点,线段PM的中点是(1,0),那么点M到原点O的距离为 ( )A.41B.C.D.399.到A(1,3),B(-5,1)的距离相等的动点P满足的方程是 ( )A.3x-y-8=0B.3x+y+4=0C.3x-y+6=0D.3x+y+2=010.在直线x-y+4=0上有一点P,它到点M(-2,-4),N(4,6)的距离相等,则点P的坐标为.11.已知点A(-2,-1),B(-4,-3),C(0,-5),求证:△ABC是等腰三角形.题组三两直线交点、两点间距离公式的综合应用12.若点A在x轴上,点B在y轴上,线段AB的中点M的坐标为(3,4),则AB的长度为 ( )A.10B.5C.8D.613.已知点A(-1,2),B(2,),线段AB的垂直平分线与x轴相交于点P,则|PA|的值为 ( )A.1B.C.2D.214.直线x-2y+1=0关于直线x=1对称的直线方程是 ( )A.x+2y-1=0B.2x+y-1=0C.2x+y-3=0D.x+2y-3=015.直线l1:3x-y+12=0和l2:3x+2y-6=0及y轴所围成的三角形的面积为.16.如图,△ABC中,BC边上的高所在直线的方程为x-2y+1=0,∠BAC的平分线所在直线的方程为y=0,若点B的坐标为(1,2),求点A和点C的坐标.能力提升练题组一两条直线的交点坐标1.()过直线x+y-3=0和2x-y=0的交点,且与2x+y-5=0垂直的直线方程是 ( )A.4x+2y-3=0B.4x-2y+3=0C.x+2y-3=0D.x-2y+3=02.()已知直线l1:(2+m)x+(1-2m)y+4-3m=0.(1)求证:无论m为何实数,直线l1恒过一定点M；(2)若直线l2过点M,且与x轴负半轴、y轴负半轴围成的三角形面积最小,求直线l2的方程.题组二两点间的距离3.()已知直线l:kx-y+2-k=0过定点M,点P(x,y)在直线2x+y-1=0上,则|MP|的最小值是 ( )A. B. C. D.34.()点P1(a,b)关于直线x+y=0的对称点是P2,P2关于原点O的对称点是P3,则|P1P3|= .5.()(1)已知点P是平面上一动点,点A(1,1),B(2,-2)是平面上两个定点,求|PA|2+|PB|2的最小值,并求此时P的坐标；(2)求函数f(x)=+的最小值.题组三交点、两点间距离公式的综合应用6.()若直线l1:y=k(x-4)与直线l2关于点(2,1)对称,则直线l2恒过定点 ( )A.(4,-2)B.(0,4)C.(-2,4)D.(0,2)7.()入射光线在直线l1:2x-y-3=0上,先经过x轴反射到直线l2上,再经过y轴反射到直线l3上,则直线l3的方程为 ( )A.x-2y+3=0B.2x-y+3=0C.2x+y-3=0D.2x-y+6=08.()已知直线y=2x是△ABC中∠ACB的平分线所在的直线,若点A,B的坐标分别是(-4,2),(3,1),则点C的坐标为 ( )A.(-2,4)B.(-2,-4)C.(2,4)D.(2,-4)9.()已知A(2,4),B(1,0),动点P在直线x=-1上,当|PA|+|PB|取最小值时,点P的坐标为 ( )A. B.C.(-1,2)D.(-1,1)10.()对于平面直角坐标系内任意两点A(x1,y1),B(x2,y2),定义它们之间的一种“新距离”:||AB||=|x2-x1|+|y2-y1|.给出下列三个命题:①若点C在线段AB上,则||AC||+||CB||=||AB||；②在△ABC中,若∠C=90°,则||AC||2+||CB||2=||AB||2；③在△ABC上,||AC||+||CB||>||AB||.其中的真命题为 ( )A.①③B.①②C.①D.③11.()已知点M(3,5),在直线l:x-2y+2=0和y轴上各找一点P和Q,使△MPQ的周长最小.答案全解全析基础过关练1.C 由解得故所求交点坐标是(-2,2).2.B 将(2,-1)代入3x+my-1=0可得m=5,将(2,-1)代入4x+3y-n=0可得n=5,所以m+n=10.3.答案±6解析在2x+3y-k=0中,令x=0,得y=,将代入x-ky+12=0,解得k=±6.4.答案-解析解方程组得所以这两条直线的交点坐标为(4,-2).由题意知点(4,-2)在直线mx+2y+7=0上,将(4,-2)代入,得4m+2×(-2)+7=0,解得m=-.5.答案解析解法一:由题意知直线l过定点P(0,-),直线2x+3y-6=0与x轴,y轴的交点分别为A(3,0),B(0,2),如图所示,要使两直线的交点在第一象限,则直线l的斜率k>k AP,而k AP==,∴k>.解法二:解方程组得由题意知x=>0且y=>0.∴3k+2>0,且6k-2>0,解得k>.6.解析(1)⇒⇒P(-1,3),所以过点P与原点的直线方程为y=-3x.(2)根据题意设所求直线方程为x-2y+c=0(c≠-1),由(1)知点P(-1,3),又点P在该直线上,所以c=7, 则所求的直线方程为x-2y+7=0.7.B 由题意得P(1,1),Q(5,5),∴|PQ|==4.8.B设M(x,y),由中点坐标公式得=1,=0,解得x=4,y=-5.所以点M(4,-5).则|OM|==.9.B 设P(x,y),则=,即3x+y+4=0.10.答案解析设点P的坐标是(a,a+4),由题意可知|PM|=|PN|,即=,解得a=-.故P点的坐标是.11.证明∵|AB|==2,|AC|==2,|BC|==2,∴|AC|=|BC|.又∵A,B,C三点不共线,∴△ABC是等腰三角形.12.A 由题意可得点A的坐标为(6,0),点B的坐标为(0,8),所以由两点间的距离公式得|AB|=10.13.D 线段AB的中点坐标为,线段AB所在直线的斜率k AB==.∴线段AB的垂直平分线方程为y-=-.令y=0,得-=-.解得x=1,因此,P(1,0).∴|PA|==2,故选D.14.D 设所求直线上任一点(x,y),它关于x=1的对称点为(x0,y0),则∵(x0,y0)在直线x-2y+1=0上,∴2-x-2y+1=0,化简得x+2y-3=0,故选D.15.答案9解析易知直线l1、l2与y轴的交点坐标分别为(0,12),(0,3).由解得故所求三角形的面积S=×(12-3)×|-2|=9.16.解析由方程组得顶点A(-1,0),则边AB所在直线的斜率k AB==1.∵∠BAC的平分线所在直线的方程为y=0,∴直线AC的斜率为-1,AC所在直线的方程为y=-(x+1).∵BC边上的高所在直线的方程为x-2y+1=0,∴k BC=-2.又点B的坐标为(1,2),∴BC所在直线的方程为y=-2(x-1)+2.由得C(5,-6).综上,A(-1,0),C(5,-6).能力提升练1.D 解法一:由得因此两直线的交点为(1,2).又直线2x+y-5=0的斜率为-2,∴要求直线的斜率为,∴直线方程为y-2=(x-1),即x-2y+3=0,故选D.解法二:设要求的直线方程为(x+y-3)+λ(2x-y)=0,即(1+2λ)x+(1-λ)y-3=0.又该直线与直线2x+y-5=0垂直,∴2(1+2λ)+1×(1-λ)=0,解得λ=-1.因此所求直线方程为-x+2y-3=0,即x-2y+3=0.故选D.2.解析(1)证明:l1:(2+m)x+(1-2m)y+4-3m=0⇒m(x-2y-3)+(2x+y+4)=0.⇒则M(-1,-2),∴无论m为何实数,直线l1恒过一定点M(-1,-2).(2)由题意知直线l2的斜率k<0,设直线l2:y+2=k(x+1),令x=0,得y=k-2.令y=0,得x=-1.∴三角形面积S=|k-2|·==,∵k<0,∴->0,-k>0,∴--k≥2=4,当且仅当-=-k,即k=-2时取等号,∴y+2=-2(x+1),即2x+y+4=0.3.B 由题易得直线l:kx-y+2-k=0,即k(x-1)-y+2=0,过定点M(1,2).∵点P(x,y)在直线2x+y-1=0上,∴y=1-2x,∴|MP|===,故当x=-时,|MP|取得最小值,故选B.4.答案|a-b|解析由题意得P2(-b,-a),P3(b,a),∴|P1P3|==|a-b|.5.解析(1)设P(x,y)(x∈R,y∈R),则|PA|=,|PB|=,∴|PA|2+|PB|2=(x-1)2+(y-1)2+(x-2)2+(y+2)2=2x2-6x+2y2+2y+10=2+2+5.∴当x=,y=-时,|PA|2+|PB|2的值最小.故|PA|2+|PB|2的最小值为5,此时P.(2)f(x)=+=+.设A(2,3),B(6,1),P(x,0),如图,则上述问题转化为求|PA|+|PB|的最小值.点A关于x轴的对称点为A'(2,-3),∵|PA|+|PB|=|PA'|+|PB|≥|A'B|=4,∴|PA|+|PB|≥4.∴f(x)的最小值为4.6.D 由l1:y=k(x-4),得直线l1过定点A(4,0).又l1与l2关于点(2,1)对称,因此,点A(4,0)关于点(2,1)对称的点B(x,y)一定在直线l2上.由得∴直线l2恒过定点(0,2),故选D.7.B 设直线l1:2x-y-3=0与x轴、y轴交点分别为A,B(0,-3).如图所示,则点A关于y轴的对称点A1,点B关于x轴的对称点B1(0,3)在反射光线l3上,其方程为+=1,即2x-y+3=0,故选B.8.C 设点A关于直线y=2x对称的点为A'(x1,y1),则解得∴A'(4,-2).由题意知,A'在直线BC上,∴k BC==-3.从而直线BC的方程为y=-3x+10.由得∴点C的坐标为(2,4),故选C.9.A 点B关于直线x=-1对称的点为B1(-3,0).由图形知,当A、P、B1三点共线时,|PA|+|PB1|=(|PA|+|PB|)min.此时,直线AB1的方程为y=(x+3),令x=-1,得y=.故选A.10.C 对于①,若点C在线段AB上,设点C的坐标为(x0,y0),则x0在x1、x2之间,y0在y1、y2之间, 则||AC||+||CB||=|x0-x1|+|y0-y1|+|x2-x0|+|y2-y0|=|x2-x1|+|y2-y1|=||AB||成立,故①正确；对于②,在△ABC中,若∠C=90°,则|AC|2+|CB|2=|AB|2是几何距离而非题目定义的“新距离”,所以②不正确；对于③,在△ABC中,||AC||+||CB||=|x0-x1|+|y0-y1|+|x2-x0|+|y2-y0|≥|(x0-x1)+(x2-x0)|+|(y0-y1)+(y2-y0)|=|x2-x1|+|y2-y1|=||AB||.当x0-x1与x2-x0同号,且y0-y1与y2-y0同号时,等号成立,故③不一定成立.因此只有命题①成立,所以C选项是正确的.11.解析如图所示,由点M(3,5)及直线l,可求得点M关于l的对称点M1(5,1),同理易求得点M关于y轴的对称点M2(-3,5).根据M1及M2两点可得到直线M1M2的方程为x+2y-7=0.令x=0,得到直线M1M2与y轴的交点Q. 解方程组得交点P.故点P、Q即为所求.。

第二章2.3.1两条直线的交点坐标和2.3.2两点间的距离公式A 级——基础过关练1．已知直线l 1：Ax ＋3y ＋C ＝0与l 2：2x －3y ＋4＝0，若l 1，l 2的交点在y 轴上，则C 的值为( )A ．4B ．－4C ．4或－4D ．与A 的取值有关【答案】B 【解析】因为两条直线的交点在y 轴上，且直线2x －3y ＋4＝0与y 轴的交点是⎝⎛⎭⎫0，43，所以点⎝⎛⎭⎫0，43在直线Ax ＋3y ＋C ＝0上，则A ×0＋3×43＋C ＝0，解得C ＝－4. 2．以A (5,5)，B (1,4)，C (4,1)为顶点的三角形是( ) A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．等边三角形D ．等腰直角三角形【答案】B 【解析】因为|AB |＝17，|AC |＝17，|BC |＝32，所以三角形为等腰三角形．3．已知△ABC 的顶点A (2,3)，B (－1,0)，C (2,0)，则△ABC 的周长是( ) A ．23 B ．3＋23 C ．6＋32D ．6＋10【答案】C 【解析】|AB |＝2＋12＋32＝32，|BC |＝2＋12＋0＝3，|AC |＝2－22＋32＝3，则△ABC的周长为6＋3 2.4．过两条直线3x ＋y －1＝0与x ＋2y －7＝0的交点，并且与第一条直线垂直的直线方程是( )A ．x －3y ＋7＝0B ．x －3y ＋13＝0C ．2x －y ＋7＝0D ．3x －y －5＝0【答案】B 【解析】由⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y －1＝0，x ＋2y －7＝0，得交点(－1,4)．因为所求直线与3x ＋y －1＝0垂直，所以所求直线斜率k ＝13，所以y －4＝13(x ＋1)，即x －3y ＋13＝0.5．过点A (4，a )和B (5，b )的直线和直线y ＝x ＋m 平行，则|AB |＝________. 【答案】2 【解析】k AB ＝b －a5－4＝b －a ＝1，所以|AB |＝5－42＋b －a 2＝ 2.6．设点A 在x 轴上，点B 在y 轴上，AB 的中点是P (2，－1)，则|AB |＝________. 【答案】25 【解析】设A (x,0)，B (0，y )，因为AB 的中点是P (2，－1)，所以x2＝2，y2＝－1.所以x ＝4，y ＝－2，即A (4,0)，B (0，－2)．所以|AB |＝42＋22＝2 5. 7．若关于x ，y 的二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧mx ＋4y ＝m ＋2，x ＋my ＝m 有无穷多组解，则m 的取值为________．【答案】2 【解析】关于x ，y 的二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧mx ＋4y ＝m ＋2，x ＋my ＝m 有无穷多组解，所以直线mx ＋4y ＝m ＋2与直线x ＋my ＝m 重合，所以m 1＝4m ＝m ＋2m ，解得m ＝2，即m 的取值为2.8．已知直线l 上两点A ，B 的坐标分别为(3,5)，(a,2)，且直线l 与直线3x ＋4y －5＝0垂直，则|AB |的值为__________．【答案】154 【解析】k AB ＝5－23－a ，又直线3x ＋4y －5＝0的斜率为－34，则5－23－a ×⎝⎛⎭⎫－34＝－1，解得a ＝34.所以|AB |＝⎝⎛⎭⎫3－342＋5－22＝154. 9．在△ABC 中，BC 边上的高所在直线的方程为x －2y ＋1＝0，∠A 的平分线所在直线的方程为y ＝0，若B 点的坐标为(1,2)．(1)求直线AC 的方程； (2)求A ，C 两点间的距离．解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1＝0，y ＝0，得A (－1,0)．又k AB ＝2－01－－1＝1，x 轴为∠A 的平分线，所以k AC ＝－1.所以直线AC 的方程为y ＝－(x ＋1)，即x ＋y ＋1＝0. (2)因为BC 边上的高所在直线的方程为x －2y ＋1＝0， 所以k BC ＝－2.所以直线BC 的方程为y －2＝－2(x －1)，即2x ＋y －4＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －4＝0，x ＋y ＋1＝0，解得C (5，－6)． 所以|AC |＝[5－－1]2＋－6－02＝6 2.10．平行四边形ABCD 的一组邻边所在直线的方程分别为x －2y －1＝0与2x ＋3y －9＝0，对角线的交点坐标为(2,3)．(1)求已知两条直线的交点坐标；(2)求此平行四边形另两边所在直线的方程．解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y －1＝0，2x ＋3y －9＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝1，故两条直线的交点坐标是(3,1)．(2)由(1)得已知两条直线的交点坐标为(3,1)，对角线的交点坐标为(2,3)，因此与点(3,1)相对的一个顶点为(1,5)．由平行四边形的性质得另两边与已知两边分别平行， 所以另两边所在直线方程分别是 y －5＝－23(x －1)与y －5＝12(x －1)，即2x ＋3y －17＝0与x －2y ＋9＝0.B 级——能力提升练11．已知直线2x ＋my －1＝0与直线3x －2y ＋n ＝0垂直，垂足为(2，p )，则p －m －n 的值为( )A ．－6B ．6C ．4D ．10【答案】C 【解析】因为直线2x ＋my －1＝0与直线3x －2y ＋n ＝0垂直，所以2×3＋(－2)m ＝0，解得m ＝3.由垂足在两条直线上可得⎩⎪⎨⎪⎧4＋3p －1＝0，6－2p ＋n ＝0，解得p ＝－1，n ＝－8，所以p －m －n ＝4.12．(多选)两条直线(m ＋2)x －y ＋m ＝0，x ＋y ＝0与x 轴相交且能构成三角形，则m 不能取到的值有( )A ．－3B ．－2C ．－1D ．0【答案】ABD 【解析】由题知，三条直线相交于同一个点时，此时m ＝0，此时不能构成三角形；直线(m ＋2)x －y ＋m ＝0，整理得m (x ＋1)＋(2x －y )＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＝0，2x －y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－2，即直线(m ＋2)x －y ＋m ＝0经过定点(－1，－2)，当直线(m ＋2)x －y ＋m ＝0的斜率k ＝m ＋2＝0，即m ＝－2时，此时直线y ＝－2，x ＋y ＝0与x 轴不能构成三角形；当直线(m ＋2)x －y ＋m ＝0与直线x ＋y ＝0平行时，即m ＝－3时，三条直线不能构成三角形．综上，两直线(m ＋2)x －y ＋m ＝0，x ＋y ＝0与x 轴相交不能构成三角形的m 的取值为0，－2或－3.13．已知直线l 1：a 1x ＋b 1y ＝1和直线l 2：a 2x ＋b 2y ＝1相交于点P (2,3)，则经过点P 1(a 1，b 1)和P 2(a 2，b 2)的直线方程是____________．【答案】2x ＋3y ＝1 【解析】由题意得P (2,3)在直线l 1和l 2上，所以有⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋3b 1＝1，2a 2＋3b 2＝1，则点P 1(a 1，b 1)和P 2(a 2，b 2)的坐标是方程2x ＋3y ＝1的解，所以经过点P 1(a 1，b 1)和P 2(a 2，b 2)的直线方程是2x ＋3y ＝1.14．已知直线l ：y ＝－2x ＋6和点A (1，－1)，过点A 作直线l 1与直线l 相交于点B ，且|AB |＝5，则直线l 1的方程为____________．【答案】x ＝1或3x ＋4y ＋1＝0 【解析】由于B 在l 上，可设B 点坐标为(x 0，－2x 0＋6)．由|AB |2＝(x 0－1)2＋(－2x 0＋7)2＝25，化简得x 20－6x 0＋5＝0，解得x 0＝1或5.当x 0＝1时，AB 的方程为x ＝1；当x 0＝5时，AB 的方程为3x ＋4y ＋1＝0.综上，直线l 1的方程为x ＝1或3x ＋4y ＋1＝0.15．已知正三角形ABC 的边长为a ，在平面上求一点P ，使|P A |2＋|PB |2＋|PC |2最小，并求此最小值．解：以BC 所在直线为x 轴，以线段BC 的中点为原点，建立平面直角坐标系，如图所示．因为正三角形ABC 边长为a ，所以B ⎝⎛⎭⎫－a 2，0，C ⎝⎛⎭⎫a 2，0，A ⎝⎛⎭⎫0，32a . 设P (x ，y )，则|P A |2＋|PB |2＋|PC |2 ＝x 2＋⎝⎛⎭⎫y －32a 2＋⎝⎛⎭⎫x ＋a 22＋y 2＋⎝⎛⎭⎫x －a 22＋y 2＝3x 2＋3y 2－3ay ＋5a 24＝3x 2＋3⎝⎛⎭⎫y －36a 2＋a 2≥a 2， 当且仅当x ＝0，y ＝36a 时，等号成立， 故所求最小值为a 2，此时点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫0，36a ，是正三角形ABC 的中心． 16．在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线．求证：|AB |2＋|AC |2＝2(|AD |2＋|DC |2)．证明：以边BC 所在直线为x 轴，以D 为原点，建立平面直角坐标系，如图所示． 设A (b ，c )，C (a,0)，则B (－a,0)．因为|AB |2＝(a ＋b )2＋c 2，|AC |2＝(a －b )2＋c 2，|AD |2＝b 2＋c 2，|DC |2＝a 2， 所以|AB |2＋|AC |2＝2(a 2＋b 2＋c 2)， |AD |2＋|DC |2＝a 2＋b 2＋c 2， 所以|AB |2＋|AC |2＝2(|AD |2＋|DC |2)．C 级——探究创新练17．已知直线l 1：2x －y －1＝0与l 2：x ＋3y －11＝0，则直线l 1与l 2的交点坐标为__________；过直线l 1与l 2的交点且与直线x －y －1＝0平行的直线方程为____________．【答案】(2,3) x －y ＋1＝0 【解析】由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y －1＝0，x ＋3y －11＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝3，所以交点坐标为(2,3)．∵所求直线与直线x －y －1＝0平行，则所求直线的斜率为1，由点斜式方程可得y －3＝1×(x －2)，整理得x －y ＋1＝0，∴直线方程为x －y ＋1＝0.18．试在直线x －y ＋4＝0上求一点P ，使它到点M (－2，－4)，N (4,6)的距离相等． 解：由直线x －y ＋4＝0，得y ＝x ＋4，点P 在该直线上， 所以可设P 点的坐标为(a ，a ＋4)． 由已知|PM |＝|PN |， 所以[a －－2]2＋[a ＋4－－4]2＝a －42＋a ＋4－62，即a ＋22＋a ＋82＝a －42＋a －22.所以(a ＋2)2＋(a ＋8)2＝(a －4)2＋(a －2)2， 解得a ＝－32.从而a ＋4＝－32＋4＝52.所以P ⎝⎛⎭⎫－32，52.。

两条直线的交点坐标 两点间的距离公式一、选择题1．到点A (1,3)，B (－5,1)的距离相等的动点P 满足的方程是( ) A ．3x －y －8＝0 B ．3x ＋y ＋4＝0 C ．3x －y ＋6＝0 D ．3x ＋y ＋2＝0B [设P (x ，y )，由条件知(x －1)2＋(y －3)2＝(x ＋5)2＋(y －1)2整理得3x ＋y ＋4＝0.] 2．已知点A 与点B (1,2)关于直线x ＋y ＋3＝0对称，则点A 的坐标为( ) A ．(3,4) B ．(4,5)C ．(－4，－3)D ．(－5，－4) D [设A (x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋12＋y ＋22＋3＝0，y －2x －1·(－1)＝－1，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－5，y ＝－4，选D.] 3．直线l 经过原点，且经过另两条直线2x ＋3y ＋8＝0，x －y －1＝0的交点，则直线l 的方程为( )A ．2x ＋y ＝0B ．2x －y ＝0C ．x ＋2y ＝0D ．x －2y ＝0B [设所求直线方程为2x ＋3y ＋8＋λ(x －y －1)＝0，即(2＋λ)x ＋(3－λ)y ＋8－λ＝0，因为l 过原点，所以λ＝8.则所求直线方程为2x －y ＝0.]4．已知点M (0，－1)，点N 在直线x －y ＋1＝0上，若直线MN 垂直于直线x ＋2y －3＝0，则N 点的坐标是( )A ．(2,3)B ．(－2，－1)C ．(－4，－3)D ．(0,1)A [由题意知，直线MN 过点M (0，－1)且与直线x ＋2y －3＝0垂直，其方程为2x －y－1＝0. 直线MN 与直线x －y ＋1＝0的交点为N ，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －1＝0，x －y ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝3，即N 点坐标为(2,3)．] 5．直线ax ＋4y －2＝0与直线2x －5y ＋b ＝0垂直，垂足为(1，c )，则a ＋b ＋c ＝( )A ．－2B ．－4C ．－6D ．－8 B [∵直线ax ＋4y －2＝0与直线2x －5y ＋b ＝0垂直，∴－a 4×25＝－1，∴a ＝10，∴直线ax ＋4y －2＝0方程即为5x ＋2y －1＝0.将点(1，c )的坐标代入上式可得5＋2c －1＝0，解得c ＝－2.将点(1，－2)的坐标代入方程2x －5y ＋b ＝0得2－5×(－2)＋b ＝0，解得b ＝－12.∴a ＋b ＋c ＝10－12－2＝－4.] 二、填空题6．过点A (4，a )和B (5，b )的直线和直线y ＝x ＋m 平行，则|AB |＝________. 2 [因为k AB ＝b －a5－4＝b －a ＝1，所以|AB |＝(5－4)2＋(b －a )2＝ 2.]7．点P 在直线2x －y ＝0上，若M (4，－2)且|PM |＝5，则点P 的坐标为________． (1,2)或(－1，－2) [设P (x,2x )，由两点间距离公式得(x －4)2＋(2x ＋2)2＝5解得x ＝1或－1，故P (1,2)或(－1，－2)．]8．经过点P (1,0)和两直线l 1：x ＋2y －2＝0，l 2：3x －2y ＋2＝0交点的直线的一般式方程为________．x ＋y －1＝0 [由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －2＝03x －2y ＋2＝0的交点(0,1)，所以所求方程为x 1＋y1＝1，即x ＋y －1＝0.]三、解答题9．求过直线2x －y ＋2＝0和x ＋y ＋1＝0的交点，且斜率为3的直线方程．[解] 法一：解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y ＋2＝0，x ＋y ＋1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝0，所以两条直线的交点坐标为(－1,0)．又所求直线的斜率为3，故所求直线的方程为y －0＝3[x －(－1)]，即3x －y ＋3＝0. 法二：设所求直线为l ，因为l 过已知两条直线的交点，所以直线l 的方程可设为2x －y ＋2＋λ(x ＋y ＋1)＝0(其中λ为常数)，即(λ＋2)x ＋(λ－1)y ＋λ＋2＝0①，又直线l 的斜率为3，所以－λ＋2λ－1＝3，解得λ＝14，将λ＝14代入①，整理得3x －y ＋3＝0.10．分别求经过两条直线2x ＋y －3＝0和x －y ＝0的交点，且符合下列条件的直线方程． (1)平行于直线l 1：4x －2y －7＝0； (2)垂直于直线l 2：3x －2y ＋4＝0.[解] 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －3＝0，x －y ＝0，得交点P (1,1)，(1)若直线与l 1平行，∵k 1＝2，∴斜率k ＝2，∴所求直线方程为y －1＝2(x －1)，即2x －y －1＝0.(2)若直线与l 2垂直，∵k 2＝32，∴斜率k ＝－1k 2＝－23，∴所求直线的方程为y －1＝－23(x －1)，即2x ＋3y －5＝0.11．(多选题)已知三条直线2x －3y ＋1＝0,4x ＋3y ＋5＝0，mx －y －1＝0不能构成三角形，则实数m 的可能取值为( )A ．－43B ．43C ．23D ．－23ACD [因为三条直线2x －3y ＋1＝0,4x ＋3y ＋5＝0，mx －y －1＝0不能构成三角形，所以直线mx －y －1＝0与2x －3y ＋1＝0,4x ＋3y ＋5＝0平行，或者直线mx －y －1＝0过2x －3y ＋1＝0与4x ＋3y ＋5＝0的交点，直线mx －y －1＝0与2x －3y ＋1＝0,4x ＋3y ＋5＝0分别平行时，m ＝23，或－43，直线mx －y －1＝0过2x －3y ＋1＝0与4x ＋3y ＋5＝0的交点时，m ＝－23，所以实数m 的取值集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫－43，－23，23，故选ACD.] 12．已知点A (3,0)，B (0,3)，M (1,0)，O 为坐标原点，P ，Q 分别在线段AB ，BO 上运动，则△MPQ 的周长的最小值为( )A ．4B ．5C ．25D ．34C [过A (3,0)，B (0,3)两点的直线方程为x ＋y －3＝0，设M (1,0)关于直线x ＋y －3＝0对称的点N (x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧yx －1＝1x ＋12＋12y －3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝2，即N (3,2)， 同理可求M (1,0)关于O 对称的点E (－1,0)，当N ，P ，Q ，E 共线时，△MPQ 的周长MQ ＋PQ ＋PM ＝NP ＋EQ ＋PQ ，取得最小值为NE ＝(3＋1)2＋4＝2 5.]13．(一题两空)已知函数y ＝2x 的图象与y 轴交于点A ，函数y ＝lg x 的图象与x 轴交于点B ，则|AB |＝________，若点P 在直线AB 上移动，点Q (0，－2)，则|PQ |的最小值为________．2 322[易知A (0,1)，B (1,0)，∴|AB |＝(1－0)2＋(0－1)2＝2，所以直线AB ：y ＝1－x .又Q (0，－2)，设P (x 0，y 0)，则y 0＝1－x 0，所以|PQ |＝(x 0－0)2＋(y 0＋2)2＝x 20＋(3－x 0)2＝2⎝⎛⎭⎫x 0－322＋92≥92＝322(当且仅当x 0＝32时等号成立)，所以|PQ |的最小值为322.] 14．无论m 取何值，直线(m －1)x ＋(2m －1)y ＝m －5都过一定点________． (9，－4) [当m ＝1时，直线方程为y ＝－4；当m ＝12时，直线方程为x ＝9.这两条直线的交点为(9，－4)．又当x ＝9，y ＝－4时，9(m －1)－4(2m －1)＝m －5，即点(9，－4)在直线(m －1)x ＋(2m －1)y ＝m －5上，故无论m 取何值，直线(m －1)x ＋(2m －1)y ＝m －5都过定点(9，－4)．]15．过点M (0,1)作直线，使它被两直线l 1：x －3y ＋10＝0，l 2：2x ＋y －8＝0所截得的线段恰好被M 所平分，求此直线方程．[解] 法一：过点M 且与x 轴垂直的直线显然不合题意，故可设所求直线方程为y ＝kx ＋1.设所求直线与已知直线l 1，l 2分别交于A ，B 两点．由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ＋1，x －3y ＋10＝0，得A 的横坐标x A ＝73k －1.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，2x ＋y －8＝0，得B 的横坐标x B ＝7k ＋2.∵点M 平分线段AB ，∴73k －1＋7k ＋2＝0，解得k ＝－14.故所求的直线方程为x ＋4y －4＝0.法二：设所求直线与l 1，l 2分别交于A ，B 两点，且设A (3m －10，m )，B (a,8－2a )． ∵M 为线段AB 的中点，∴⎩⎪⎨⎪⎧3m －10＋a2＝0，m ＋8－2a 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，m ＝2，∴A (－4,2)，B (4,0)，∴直线AB 即所求直线的方程为x ＋4y －4＝0.1．两条直线l 1：2x －y －1＝0与l 2：x ＋3y －11＝0的交点坐标为( B ) A ．(3,2) B ．(2,3) C ．(－2，－3) D ．(－3，－2)[解析] 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y －1＝0，x ＋3y －11＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝3.故选B ．2．已知点A (2k ，－1)、B (k,1)，且|AB |＝13，则实数k 等于( A )A ．±3B ．3C ．－3D ．0 [解析] 由题意得(2k －k )2＋(－1－1)2＝13，解得k ＝±3．3．已知线段AB 的两个端点分别在x 轴和y 轴上，且线段AB 的中点为C (1,1)，则|AB |等于( D )A ．2B ．2C ．4D ．22[解析] 设A (a,0)，B (0，b )，则⎩⎪⎨⎪⎧1＝a ＋02，1＝0＋b 2，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝2，所以A (2,0)，B (0,2)，所以|AB |＝22＋(－2)2＝22．4．已知点A (3,6)，在x 轴上的点P 与点A 的距离等于10，则点P 的坐标为__(－5,0)或(11,0)__．[解析] 设点P 的坐标为(x,0)，由|P A |＝10得 (x －3)2＋(0－6)2＝10， 解得x ＝11或x ＝－5．∴点P 的坐标为(－5,0)或(11,0)．5．求经过两条直线2x －3y －3＝0和x ＋y ＋2＝0的交点且与直线3x ＋y －1＝0平行的直线l 的方程．[解析] 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y －3＝0，x ＋y ＋2＝0，解得⎩⎨⎧x ＝－35，y ＝－75.∵所求直线l 和直线3x ＋y －1＝0平行，∴直线l 的斜率k ＝－3，根据点斜式可得y －(－75)＝－3[x －(－35)]．即所求直线方程为15x ＋5y ＋16＝0．A 组·素养自测一、选择题1．直线l 1：3x ＋4y －2＝0与l 2：2x ＋y ＋2＝0相交，则交点是( B ) A ．(2，－2) B ．(－2,2) C ．(－2,1) D ．(－1,2)[解析] 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋4y －2＝02x ＋y ＋2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2y ＝2，即l 1与l 2的交点坐标为(－2,2)．2．已知A (2,1)、B (－1，b )，|AB |＝5，则b 等于( C ) A ．－3 B ．5 C ．－3或5 D ．－1或－3 [解析] 由两点间的距离公式知 |AB |＝(－1－2)2＋(b －1)2＝b 2－2b ＋10，由5＝b 2－2b ＋10，解得b ＝－3或b ＝5．3．(2020·宜春高一检测)直线l 经过原点，且经过另两条直线2x ＋3y ＋8＝0和x －y －1＝0的交点，则直线l 的方程为( B )A ．2x ＋y ＝0B ．2x －y ＝0C ．x ＋2y ＝0D ．x －2y ＝0[解析] 解法1：由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ＋8＝0x －y －1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1y ＝－2，∴k l ＝2．∴l 的方程为y ＋2＝2(x ＋1)，即2x －y ＝0． 解法2：设l ：2x ＋3y ＋8＋λ(x －y －1)＝0． ∵l 过原点，∴8－λ＝0，∴λ＝8，∴l 方程为2x －y ＝0．4．已知点A (1,2)、B (3,4)、C (5,0)则△ABC 的形状为( C ) A ．等边三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形 D ．等腰直角三角形 [解析] ∵|AB |＝(4－2)2＋(3－1)2＝22，|AC |＝(0－2)2＋(5－1)2＝25， |BC |＝(5－3)2＋(0－4)2＝25，∴|AC |＝|BC |．又∵A 、B 、C 三点不共线，∴△ABC 为等腰三角形．5．一条平行于x 轴的线段长是5个单位，它的一个端点是A (2,1)，则它的另一个端点B 的坐标为( A )A ．(－3,1)或(7,1)B ．(2，－2)或(2,7)C ．(－3,1)或(5,1)D ．(2，－3)或(2,5)[解析] ∵AB ∥x 轴，∴设B (a,1)，又|AB |＝5， ∴a ＝－3或7． 二、填空题6．若三条直线2x ＋3y ＋8＝0，x －y ＝1，和x ＋ky ＝0相交于一点，则k 的值等于__－12__．[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝12x ＋3y ＋8＝0，得交点(－1，－2)，代入x ＋ky ＝0得k ＝－12．7．已知A (1，－1)、B (a,3)、C (4,5)，且|AB |＝|BC |，则a ＝__12__．[解析](a －1)2＋(3＋1)2＝(4－a )2＋(5－3)2，解得a ＝12．8．直线(a ＋2)x ＋(1－a )y －3＝0与直线(a ＋2)x ＋(2a ＋3)y ＋2＝0不相交，则实数a ＝__－2或－23__．[解析] 由题意，得(a ＋2)(2a ＋3)－(1－a )(a ＋2)＝0，解得a ＝－2或－23．经检验a ＝－2或－23均满足题意．三、解答题9．已知直线x ＋y －3m ＝0和2x －y ＋2m －1＝0的交点M 在第四象限，求实数m 的取值范围．[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3m ＝02x －y ＋2m －1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝m ＋13y ＝8m －13．∴交点M 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫m ＋13，8m －13． ∵交点M 在第四象限，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＋13＞08m －13＜0，解得－1＜m ＜18．∴m 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－1，18． 10．解释代数式(x ＋1)2＋1＋(x －3)2＋4的几何意义，并求它的最小值． [解析] ∵(x ＋1)2＋1＋(x －3)2＋4＝[x －(－1)]2＋[0－(－1)]2＋(x －3)2＋(0－2)2，∴代数式的几何意义为x 轴上的点P (x,0)到点A (－1，－1)和点B (3,2)的距离之和，易知代数式的最小值为A ，B 两点间的距离，即d (A ，B )＝(3＋1)2＋(2＋1)2＝5，故代数式的最小值为5．B 组·素养提升一、选择题1．(多选题)若两直线l 1：x ＋my ＋12＝0与l 2：2x ＋3y ＋m ＝0的交点在y 轴上，则m 的值为( AC )A ．6B ．－24C ．－6D ．24[解析] 分别令x ＝0，求得两直线与y 轴的交点分别为：－12m 和－m3，由题意得－12m ＝－m3，解得m ＝±6．2．(多选题)已知两点P (m,1)和Q (1,2m )之间的距离大于10，则实数m 可以取的值是( BC )A ．2B ．3C ．－1D ．－12[解析] 根据两点间的距离公式 |PQ |＝(m －1)2＋(1－2m )2＝5m 2－6m ＋2＞10，∴5m 2－6m －8＞0，∴m ＜－45或m ＞2．由选项可知，BC 正确．3．已知直线上两点A (a ，b )，B (c ，d )，且a 2＋b 2－c 2＋d 2＝0，则( D ) A ．原点一定是线段AB 的中点 B ．A ，B 两点一定都与原点重合C ．原点一定在线段AB 上，但不是线段AB 的中点D ．原点一定在线段AB 的垂直平分线上[解析] 由a 2＋b 2－c 2＋d 2＝0得a 2＋b 2＝c 2＋d 2，即A ，B 两点到坐标原点的距离相等，故选D ．4．已知直线mx ＋4y －2＝0与2x －5y ＋n ＝0互相垂直，垂足为(1，p )，则m －n ＋p 为( B )A ．24B ．20C ．0D ．－4[解析] ∵两直线互相垂直，∴k 1·k 2＝－1，∴－m 4·25＝－1，∴m ＝10．又∵垂足为(1，p )，∴代入直线10x ＋4y －2＝0得p ＝－2， 将(1，－2)代入直线2x －5y ＋n ＝0得n ＝－12，∴m －n ＋p ＝20． 二、填空题5．已知直线5x ＋4y ＝2a ＋1与直线2x ＋3y ＝a 的交点位于第四象限，则a 的取值范围是__－32＜a ＜2__．[解析] 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋4y ＝2a ＋12x ＋3y ＝a，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2a ＋37y ＝a －27．交点在第四象限，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋37＞0a －27＜0，解得－32＜a ＜2．6．(2021·吉林检测)已知点A (1,1)，B (4,3)，点P 在x 轴上，则|P A |＋|PB |的最小值为__5__． [解析] 如图所示，作点A 关于x 轴的对称点A ′(1，－1)，则|P A ′|＝|P A |．∴|P A |＋|PB |＝|P A ′|＋|PB |≥|A ′B |．∵|A ′B |＝(1－4)2＋(－1－3)2＝5，∴|P A |＋|PB |≥5．故|P A |＋|PB |的最小值为5．7．(2021·河北省保定市质检)函数y ＝x 2－2x ＋3＋x 2＋4x ＋8的值域为__[)15＋42，＋∞__．[解析] 将原函数解析式配方整理得 y ＝(x －1)2＋2＋(x ＋2)2＋4，(x －1)2＋2＝(x －1)2＋(0－2)2表示点P (x,0)到点A (1，2)的距离， (x ＋2)2＋4＝(x ＋2)2＋[0－(－2)]2表示点P (x,0)到点B (－2，－2)的距离．故y表示x轴上的点P(x,0)到两定点A(1，2)，B(－2，－2)的距离之和．由平面几何知识可知，当点P为直线AB与x轴的交点时，y min＝d(A，B)＝(1＋2)2＋(2＋2)2＝15＋42．而当点P沿x轴的正方向或负方向离直线AB与x轴的交点越来越远时，y越来越大，且趋于无穷大．所以函数的值域为[)15＋42，＋∞．三、解答题8．已知△ABC的三个顶点坐标是A(1，－1)、B(－1,3)、C(3,0)．(1)判断△ABC的形状；(2)求△ABC的面积．[解析](1)如图，△ABC为直角三角形，下面进行验证解法一：∵|AB|＝(－1－1)2＋[3－(－1)]2＝20＝25，|AC|＝(3－1)2＋[0－(－1)]2＝5，|BC|＝[3－(－1)]2＋(0－3)2＝25＝5，∴|AB|2＋|AC|2＝|BC|2，即△ABC是以A为直角顶点的直角三角形．解法二：∵k AB＝3－(－1)－1－1＝－2，k AC＝0－(－1)3－1＝12，∴k AB·k AC＝－1，∴AB⊥AC，∴△ABC是以A为直角顶点的直角三角形．(2)∵∠A＝90°，∴S△ABC＝12|AB|·|AC|＝5．9．如下图所示，一个矩形花园里需要铺设两条笔直的小路，已知矩形花园的长AD＝5 m，宽AB＝3 m，其中一条小路定为AC，另一条小路过点D，问是否在BC上存在一点M，使得两条小路AC与DM相互垂直？若存在，则求出小路DM的长．[解析]以B为坐标原点，BC、BA所在直线为x、y轴建立如图所示的平面直角坐标系．因为AD＝5 m，AB＝3 m，所以C(5,0)、D(5,3)、A(0,3)．设点M的坐标为(x,0)，因为AC⊥DM，所以k AC·k DM＝－1，即3－00－5·3－05－x＝－1．所以x＝3.2，即|BM|＝3.2，即点M的坐标为(3.2,0)时，两条小路AC与DM相互垂直．故在BC上存在一点M(3.2,0)满足题意．由两点间距离公式得|DM|＝(5－3.2)2＋(3－0)2＝3345．所以小路DM的长为3345m．。