【K12教育学习资料】优化方案2016高中数学 第二章 平面向量 3.1数乘向量 训练案知能提升 新

(完整版)教案平面向量的数乘运算一、引言平面向量是代数中一个重要的概念，而平面向量的数乘运算是对向量进行伸缩的操作，其在数学和物理中具有广泛的应用。

本教案将详细介绍平面向量的数乘运算及其性质。

二、定义1.1 平面向量平面向量是指具有大小和方向的量，在平面上由箭头表示，箭头的长度表示向量的大小，箭头的指向表示向量的方向。

常用大写字母表示平面向量，如向量A。

1.2 数乘运算数乘运算是指将一个向量与一个实数相乘，得到一个新的向量。

若向量A与实数k进行数乘运算，记作kA，其中k为实数。

数乘运算可改变向量的大小和方向，具体规律将在后文中介绍。

三、性质与规律2.1 数乘运算的基本性质（1）零向量的数乘：0A = 0，其中0为零向量。

零向量的数乘结果仍为零向量。

（2）单位向量的数乘：1A = A，其中1为单位向量。

单位向量的数乘结果与原向量相等。

2.2 数乘运算的规律（1）交换律：kA = Ak，其中k为实数。

数乘运算满足交换律，即数与向量的顺序可以交换。

（2）结合律：(kl)A = k(lA)，其中k、l为实数。

数乘运算满足结合律，即数与向量的括号位置可以移动。

（3）分配律：(k + l)A = kA + lA，其中k、l为实数。

数乘运算满足分配律，即数与向量相加后再进行数乘，等价于先进行数乘再相加。

四、数乘运算的几何解释3.1 放缩效应数乘运算改变向量的大小，当k > 1时，数乘结果的向量放大；当0 < k < 1时，数乘结果的向量缩小；当k < 0时，数乘结果的向量方向发生反转。

3.2 平行效应数乘运算可以改变向量的方向，当k > 0时，数乘结果的向量与原向量方向相同；当k < 0时，数乘结果的向量与原向量方向相反；当k = 0时，数乘结果的向量为零向量。

五、数乘运算的应用4.1 向量的单位化将一个非零向量除以它的模长，得到的结果是一个方向与原向量相同的单位向量。

4.2 平面向量加法与数乘运算的关系在平面向量加法中，若向量A与向量B的和为向量C，即C = A + B，那么向量C也可以表示为C = kA + lB的形式，其中k、l为实数。

【优化方案】2016高中数学 第二章 平面向量 3.1数乘向量 训练案知能提升 新人教A 版必修4[A.基础达标]1．已知向量a ，b 满足：|a |＝3，|b |＝5，且a ＝λb ，则实数λ＝( ) A.35 B ．53 C ．±35 D ．±53解析：选C.因为|a |＝3，|b |＝5，a ＝λb ，所以|a |＝|λ||b |，即3＝5|λ|，所以|λ|＝35，λ＝±35. 2.如图所示，已知AB →＝2BC →，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，则下列等式中成立的是( )A ．c ＝32b －12aB ．c ＝2b －aC ．c ＝2a －bD ．c ＝32a －12b解析：选A.OC →＝OA →＋AC →＝OA →＋3BC →＝OA →＋3(OC →－OB →)，所以OC →＝32OB →－12OA →，即c ＝32b －12a .3．设e 1，e 2是两个不共线的向量，若向量m ＝－e 1＋k e 2(k ∈R )与向量n ＝e 2－2e 1共线，则( )A ．k ＝0B ．k ＝1C ．k ＝2D ．k ＝12解析：选D.将k 的值逐一代入检验，当k ＝0，1和2时m 与n 均不共线，当k ＝12时，m＝－e 1＋12e 2，n ＝－2e 1＋e 2，此时n ＝2m ，故m ，n 共线．4．设M 是平行四边形ABCD 的对角线的交点，O 为任意一点，则OA →＋OB →＋OC →＋OD →＝( ) A.OM → B ．2OM →C ．3OM →D ．4OM →解析：选D.OA →＋OB →＋OC →＋OD →＝OM →＋MA →＋OM →＋MB →＋OM →＋MC →＋OM →＋MD →，而MA →＋MC →＝0，MB →＋MD →＝0，故OA →＋OB →＋OC →＋OD →＝4OM →.5．在△ABC 中，点P 是AB 上一点，且CP →＝23CA →＋13CB →，又AP →＝tAB →，则实数t 的值为( )A .13B ．23C .12D ．53解析：选A .由题意可得AP →＝CP →－CA →＝23CA →＋13CB →－CA →＝13(CB →－CA →)＝13AB →，又AP →＝tAB →，所以t ＝13.6．已知x ，y 是实数，向量a ，b 不共线，若(x ＋y －1)a ＋(x －y )b ＝0，则x ＝________，y ＝________．解析：由(x ＋y －1)a ＋(x －y )b ＝0， 且向量a ，b 不共线，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1＝0，x －y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12，y ＝12. 答案：12 127．在△ABC 所在平面上有一点，满足PA →＋PB →＋PC →＝AB →，则△PAB 与△ABC 的面积之比是________．解析：PA →＋PB →＋PC →＝AB →＝PB →－PA →， 即PC →＝－2PA →，所以AP AC ＝13，所以S △PAB S △ABC ＝13.答案：1∶38．在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，AB →＋AD →＝λAO →，则λ＝________．解析：由向量加法的平行四边形法则，得AB →＋AD →＝AC →.又O 是AC 的中点，所以AC ＝2AO ，所以AC →＝2AO →，所以AB →＋AD →＝2AO →. 又AB →＋AD →＝λAO →，所以λ＝2. 答案：29．如图，在△ABC 中，D ，E 分别为AC ，AB 边上的点，CD DA ＝AE EB ＝12，记BC →＝a ，CA →＝b ，求证：DE →＝13(b －a )．证明：因为AE →＝13AB →＝13(CB →－CA →)＝13(－a －b )，AD →＝23AC →＝－23b ， 所以DE →＝AE →－AD →＝－13a －13b ＋23b＝13(b －a )． 10．已知非零向量e 1，e 2，a ，b 满足a ＝2e 1－e 2，b ＝k e 1＋e 2. (1)若e 1与e 2不共线，a 与b 共线，求实数k 的值；(2)是否存在实数k ，使得a 与b 不共线，e 1与e 2共线？若存在，求出k 的值，否则说明理由．解：(1)由a ＝λb ，得2e 1－e 2＝λk e 1＋λe 2， 而e 1与e 2不共线，所以⎩⎪⎨⎪⎧λk ＝2，λ＝－1⇒k ＝－2.(2)不存在．若e 1与e 2共线，则e 2＝λe 1， 有⎩⎪⎨⎪⎧a ＝（2－λ）e 1，b ＝（k ＋λ）e 1， 因为e 1，e 2，a ，b 为非零向量， 所以λ≠2且λ≠－k ，所以12－λa ＝1k ＋λb ，即a ＝2－λk ＋λb ，这时a 与b 共线，所以不存在实数k 满足题意．[B.能力提升]1．O 是平面上一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足OP →＝OA →＋λ(AB →＋AC →)，λ∈[0，＋∞)，则P 的轨迹一定通过△ABC 的( )A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心解析：选C.因为OP →＝OA →＋λ(AB →＋AC →)，λ∈[0，＋∞)，所以AP →＝λ(AB →＋AC →)，λ∈[0，＋∞)，即AP →与AB →＋AC →共线，而AB →＋AC →是以AB →，AC →为邻边的平行四边形的对角线表示的向量，而对角线与BC 的交点是中点，所以P 的轨迹一定通过△ABC 的重心．2．对于△ABC 内部一点O ，存在实数λ，使得OA →＋OB →＝λ(OA →＋OC →)成立，则△OBC 与△ABC 的面积之比是( )A ．1∶2B ．1∶1C ．1∶3D ．2∶3 解析：选A.如图，设D ，E 分别是AB ，AC 的中点，以OA ，OB 为邻边作▱OAGB ，以OA ，OC 为邻边作▱OAFC ，则OA →＋OB →＝OG →＝2OD →，OA →＋OC →＝OF →＝2OE →，因为OA →＋OB →＝λ(OA →＋OC →)，所以OD →＝λOE →，所以点D ，O ，E 三点共线， 所以点O 在直线DE 上，又因为D ，E 分别为AB ，AC 的中点， 所以△OBC 与△ABC 的面积之比为1∶2.3．已知P 1P →＝23PP 2→，若PP 1→＝λP 1P 2→，则λ＝________．解析：如图，因为P 1P →＝23PP 2→，所以点P 在线段P 1P 2上，且|P 1P →||PP 2→|＝23.所以PP 1→与P 1P 2→反向，且|PP 1→||P 1P 2→|＝25，所以PP 1→＝－25P 1P 2→，故λ＝－25.答案：－254．在平行四边形ABCD 中，AB →＝e 1，AC →＝e 2，NC →＝14AC →，BM →＝12MC →，则MN →＝________(用e 1，e 2表示)．解析：因为NC →＝14AC →＝14e 2，所以CN →＝－14e 2，因为BM →＝12MC →，BM →＋MC →＝BC →＝AC →－AB →＝e 2－e 1，所以MC →＝23(e 2－e 1)，所以MN →＝MC →＋CN →＝23(e 2－e 1)－14e 2＝－23e 1＋512e 2.答案：－23e 1＋512e 25．已知O ，A ，M ，B 为平面上四点，且OM →＝λOB →＋(1－λ)OA →(λ∈R ，λ≠1，λ≠0)． (1)求证：A ，B ，M 三点共线；(2)若点B 在线段AM 上，求实数λ的范围．解：(1)证明：因为OM →＝λOB →＋(1－λ)OA →，所以OM →＝λOB →＋OA →－λOA →， OM →－OA →＝λOB →－λOA →， 即AM →＝λAB →，又λ∈R ，λ≠1，λ≠0且AM →，AB →有公共点A ，所以A ，B ，M 三点共线．(2)由(1)知AM →＝λAB →，若点B 在线段AM 上， 则AM →，AB →同向且|AM →|＞|AB →|(如图所示)．所以λ＞1.6．(选做题)在△ABC 中，点D 和E 分别在BC ，AC 上，且BD →＝13BC →，CE →＝13CA →，AD 与BE交于R ，证明：RD →＝17AD →.证明：由A ，D ，R 三点共线，可得CR →＝λCD →＋(1－λ)CA →＝23λCB →＋(1－λ)CA →.由B ，E ，R 三点共线，可得CR →＝μCB →＋(1－μ)CE →＝μCB →＋13(1－μ)CA →.所以⎩⎪⎨⎪⎧23λ＝μ，1－λ＝13（1－μ），所以⎩⎪⎨⎪⎧λ＝67，μ＝47，所以CR →＝47CB →＋17CA →.所以AD →＝CD →－CA →＝23CB →－CA →，RD →＝CD →－CR →＝23CB →－⎝ ⎛⎭⎪⎫47CB →＋17CA →＝221CB →－17CA → ＝17⎝ ⎛⎭⎪⎫23CB →－CA →＝17AD →.。

平面向量的数乘运算教学目标：1. 理解平面向量的数乘运算概念。

2. 掌握平面向量的数乘运算规则。

3. 能够运用数乘运算解决实际问题。

教学内容：一、平面向量的数乘运算概念1. 引入实数与向量的乘积，即数乘运算。

2. 讲解数乘运算的定义及性质。

二、平面向量的数乘运算规则1. 讲解数乘运算的分配律。

2. 讲解数乘运算的结合律。

3. 讲解数乘运算的单位向量。

三、数乘运算在坐标系中的应用1. 讲解二维坐标系中向量的数乘运算。

2. 讲解三维坐标系中向量的数乘运算。

四、数乘运算与向量长度的关系1. 讲解数乘运算与向量长度的关系。

2. 讲解数乘运算在求向量长度中的应用。

五、数乘运算在向量运算中的应用1. 讲解数乘运算在向量加法中的应用。

2. 讲解数乘运算在向量减法中的应用。

教学方法：1. 采用讲授法，讲解数乘运算的概念、规则及应用。

2. 利用多媒体演示，直观展示数乘运算在坐标系中的应用。

3. 引导学生通过练习，巩固数乘运算的知识。

教学评估：1. 课堂练习：布置有关数乘运算的题目，检查学生掌握情况。

2. 课后作业：布置有关数乘运算的综合题目，要求学生在规定时间内完成。

3. 单元测试：进行有关数乘运算的测试，了解学生对知识的掌握程度。

教学资源：1. 教学PPT：展示数乘运算的概念、规则及应用。

2. 练习题库：提供丰富的数乘运算题目，供学生练习。

3. 坐标系软件：辅助展示数乘运算在坐标系中的应用。

教学建议：1. 在讲解数乘运算概念时，注意与实数的乘法进行对比，帮助学生理解。

2. 在讲解数乘运算规则时，举例说明，让学生更好地掌握。

3. 在数乘运算的应用部分，注重引导学生思考，提高解决问题的能力。

4. 针对不同程度的学生，合理安排课堂练习和课后作业，提高教学效果。

5. 及时进行教学评估，针对学生的薄弱环节进行有针对性的讲解和辅导。

平面向量的数乘运算教学内容：六、数乘运算与向量坐标的关系2. 举例说明数乘运算在坐标系中的应用。

2.1.4 向量数乘示范教案整体设计教学分析向量的数乘运算，其实是加法运算的推广与简化，与加法、减法统称为向量的三大线性运算．教学时从加法入手，引入数乘运算，充分展现了数学知识之间的内在联系．实数与向量的乘积，仍然是一个向量，既有大小，也有方向．特别是方向与已知向量是共线向量，进而引出共线向量定理．共线向量定理是本章节中重要的内容，应用相当广泛，且容易出错．尤其是定理的前提条件：向量a是非零向量．共线向量定理的应用主要用于证明点共线或平行等几何性质，且与后续的知识有着密切的联系．三维目标1．通过经历探究数乘运算法则及几何意义的过程；掌握实数与向量积的定义；理解实数与向量积的几何意义；掌握实数与向量的积的运算律．2．通过探究，体会类比迁移的思想方法，渗透研究新问题的思想和方法，培养创新能力和积极进取精神；通过解决具体问题，体会数学在生活中的重要作用．重点难点教学重点：1.理解数乘向量所表达的几何意义；2．理解并掌握向量的线性运算．教学难点：数乘向量分配律所表达的几何意义．课时安排1课时教学过程导入新课思路1.(类比引入)我们知道，平面几何中的全等与平行的问题，与向量加法及其运算律有着密切的联系，在几何中，一个重要问题是研讨图象的“放大”“缩小”和相似性质．我们是否也能用向量的某种运算去研究呢？由此展开新课．思路2.一物体做匀速直线运动，一秒钟的位移对应的向量为a，那么在同一方向上3秒钟的位移对应的向量怎样表示？是3a吗？怎样用图形表示？由此展开新课．推进新课新知探究提出问题已知非零向量a，试一试你能作出a＋a＋a 和－a ＋－a ＋－a 吗？2你能对你的探究结果作出解释，并说明它们的几何意义吗？3引入向量数乘运算后，你能发现数乘向量与原向量之间的位置关系吗？4数乘向量满足哪些运算律？活动：教师引导学生回顾相关知识并猜想结果，对于运算律的验证，点拨学生通过作图来进行．通过学生的动手作图，让学生明确向量数乘运算的运算律及其几何意义．教师要引导学生特别注意0·a＝0，而不是0·a＝0.这个零向量是一个特殊的向量，它似乎很不起眼，但又处处存在，稍不注意就会出错，所以要引导学生正确理解和处理零向量与非零向量之间的关系．实数与向量可以求积，但是不能进行加、减运算，比如λ＋a，λ－a都无法进行．向量数乘运算的运算律与实数乘法的运算律很相似，只是数乘运算的分配律有两种不同的形式：(λ＋μ)a＝λa＋μa和λ(a＋b)＝λa＋λb，数乘运算的关键是等式两边向量的模相等，方向相同．判断两个向量是否平行(共线)，实际上就是看能否找出一个实数，使得这个实数乘以其中一个向量等于另一个向量．一定要切实理解两向量共线的条件，它是证明几何中的三点共线和两直线平行等问题的有效手段．对问题(1)，学生通过作图1可发现，OC →＝OA →＋AB →＋BC →＝a ＋a ＋a .类似数的乘法，可把a ＋a ＋a 记作3a ，即OC →＝3a .显然3a 的方向与a 的方向相同，3a 的长度是a 的长度的3倍，即|3a|＝3|a |.同样，由图1可知，图1PN →＝PQ →＋QM →＋MN →＝(－a )＋(－a )＋(－a )，即(－a )＋(－a )＋(－a )＝3(－a )．显然3(－a )的方向与a 的方向相反，3(－a )的长度是a 的长度的3倍，这样，3(－a )＝－3a .已知AB →(图2)，把线段AB 三等分，分点为P ，Q ，则图2AP →＝13AB →，AQ ＝23AB →，BP →＝－23AB →. 由上述分析，我们引出数乘向量的一般定义：定义 实数λ和向量a 的乘积是一个向量，记作λa ，且λa 的长度|λa |＝|λ||a |.λa (a ≠0)的方向⎩⎪⎨⎪⎧ 当λ>0时，与a 同方向；当λ<0时，与a 反方向.当λ＝0或a ＝0时，0a ＝0或λ0＝0(图3)．图3λa 中的实数λ，叫做向量a 的系数．数乘向量的几何意义就是把向量a 沿着a 的方向或a 的反方向放大或缩小．根据实数与向量的积的定义，我们可以验证数乘向量运算满足下面的运算律．设λ、μ为实数，那么①λ(μa )＝(λμ)a ；②(λ＋μ)a ＝λa ＋μa ；③λ(a ＋b )＝λa ＋λb (分配律)．特别地，我们有(－λ)a ＝－(λa )＝λ(－a )，λ(a －b )＝λa －λb .对问题(3)，向量共线的等价条件是：如果a (a ≠0)与b 共线，那么有且只有一个实数λ，使b ＝λa .推证过程教师可引导学生自己完成，推证过程如下：对于向量a (a ≠0)、b ，如果有一个实数λ，使b ＝λa ，那么由向量数乘的定义，知a 与b 共线．反过来，已知向量a 与b 共线，a ≠0，且向量b 的长度是向量a 的长度的μ倍，即|b |＝μ|a |，那么当a 与b 同方向时，有b ＝μa ；当a 与b 反方向时，有b ＝－μa .关于向量共线的条件，教师要点拨学生做进一步深层探究，让学生思考，若去掉a ≠0这一条件，上述条件成立吗？其目的是通过0与任意向量的平行来加深对向量共线的等价条件的认识．在判断两个非零向量是否共线时，只需看这两个向量的方向是否相同或相反即可，与这两个向量的长度无关．在没有指明非零向量的情况下，共线向量可能有以下几种情况：(1)有一个为零向量；(2)两个都为零向量；(3)同向且模相等；(4)同向且模不等；(5)反向且模相等；(6)反向且模不等．讨论结果：(1)数与向量的积仍是一个向量，向量的方向由实数的正负及原向量的方向确定，大小由|λ|·|a |确定．(2)它的几何意义是把向量a 沿a 的方向或a 的反方向放大或缩小．(3)略．(4)略．应用示例例1设a ，b 为向量，计算下列各式：(1)－13×3a ； (2)2(a －b )－(a ＋12b )； (3)(2m －n)a －m b －(m －n)(a －b )(m ，n 为实数)．活动：本例是数乘运算的简单应用，可让学生自己完成，要求学生熟练运用向量数乘运算的运算律．教学中，点拨学生不能将本题看作字母的代数运算，可以让他们在代数运算的同时说出其几何意义，使学生明确向量数乘运算的特点．同时向学生点出，向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算．对于任意向量a 、b ，以及任意实数λ、μ1、μ2，恒有λ(μ1a ±μ2b )＝λμ1a ±λμ2b .解：(1)原式＝(－13×3)a ＝－a . (2)原式＝2a －2b －a －12b ＝(2a －a )－(2b ＋12b )＝a －52b . (3)原式＝2m a －n a －m b －m(a －b )＋n(a －b )＝2m a －n a －m b －m a ＋m b ＋n a －n b ＝m a －n b .点评：运用向量运算的运算律，解决向量的数乘．其运算过程可以仿照多项式运算中的2如图4所示，已知OA′→＝3OA →，A′B′→＝3AB →，说明向量OB →与OB′→的关系．图4解：因为OB′→＝OA′→＋A′B′→＝3OA →＋3AB →＝3(OA →＋AB →)＝3OB →，所以OB′→与OB →共线且同方向，长度是OB →的3倍．3如图5，的两条对角线相交于点M ，且AB →＝a ，AD →＝b ，你能用a 、b 表示MA →、MB →、MC →和MD →吗？图5活动：本例的解答要用到平行四边形的性质．另外，用向量表示几何元素(点、线段等)是用向量方法证明几何问题的重要步骤，教学中可以给学生明确指出这一点．解：在中，∵AC →＝AB →＋AD →＝a ＋b ，DB →＝AB →－AD →＝a －b ，又∵平行四边形的两条对角线互相平分，∴MA →＝－12AC →＝－12(a ＋b )＝－12a －12b ， MB →＝12DB →＝12(a －b )＝12a －12b ，MC →＝12AC →＝12a ＋12b ，MD →＝－MB →＝－12DB →＝－12a ＋12b . 点评：结合向量加法和减法的平行四边形法则和三角形法则，将两个向量的和或差表示出来，这是解决这类几何题的关键．4凸四边形ABCD 的边AD 、BC 的中点分别为E 、F ，求证：EF →＝12(AB →＋DC →)． 活动：教师引导学生探究，能否构造三角形，使EF 作为三角形中位线，借助于三角形中位线定理解决，或创造相同起点，以建立向量间关系．鼓励学生多角度观察思考问题．解：方法一：过点C 在平面内作CG →＝AB →，则四边形ABGC 是平行四边形，故F 为AG 中点．(如图6)图6∴EF 是△ADG 的中位线． ∴EF 12DG. ∴EF →＝12DG →.而DG →＝DC →＋CG →＝DC →＋AB →，∴EF →＝12(AB →＋DC →)． 方法二：如图7，连接EB 、EC ，则有EB →＝EA →＋AB →，EC →＝ED →＋DC →，图7又∵E 是AD 的中点，∴有EA →＋ED →＝0，即有EB →＋EC →＝AB →＋DC →.以EB →与EC →为邻边作EBGC ，则由F 是BC 之中点，可得F 也是EG 之中点．∴EF →＝12EG →＝12(EB →＋EC →)＝12(AB →＋DC →)． 点评：向量的运算主要从以下几个方面加强练习：(1)加强数形结合思想的训练，画出草图帮助解决问题；(2)加强三角形法则和平行四边形法则的运用练习，做到准确熟练运用.课堂小结1．让学生回顾本节学习的数学知识：向量的数乘运算法则，向量的数乘运算律，体会本节学习中用到的思想方法：特殊到一般，归纳、猜想、类比，分类讨论，等价转化．2．向量及其运算与数及其运算可以类比，这种类比是我们提高思想性的有效手段，在今后的学习中应予以充分的重视，类比是我们学习中伟大的引路人．作业课本本节练习A 2,3.设计感想1．本教案的设计流程符合新课程理念，充分抓住本节教学中的学生探究、猜想、推证等活动，引导学生画出草图帮助理解题意和解决问题．先由学生探究向量数乘的结果还是向量(特别地，0·a＝0)，它的几何意义是把向量a沿a的方向或a的反方向放大或缩小，当λ>0时，λa与a方向相同，当λ<0时，λa与a方向相反．2．向量具有的几何形式和代数形式的双重身份在本节中得以充分体现，因而成为中学数学知识网络的一个交汇点，由此可看出在中学数学教材中的地位的重要，也成为近几年各地高考命题的重点和热点，教师要引导学生对平面向量中有关知识要点进行归纳整理．备课资料一、向量的数乘运算律的证明设a、b为任意向量，λ、μ为任意实数，则有(1)λ(μa)＝(λμ)a；①(2)(λ＋μ)a＝λa＋μa；②(3)λ(a＋b)＝λa＋λb.③证明：(1)如果λ＝0或μ＝0或a＝0，则①式显然成立．如果λ≠0，μ≠0，且a≠0，则根据向量数乘的定义，有|λ(μa)|＝|λ||μa|＝|λ||μ||a|，|(λμ)a|＝|λμ||a|＝|λ||μ||a|.所以|λ(μa)|＝|(λμ)a|.如果λ、μ同号，则①式两边向量的方向都与a同向；如果λ、μ异号，则①式两边向量的方向都与a反向．因此，向量λ(μa)与(λμ)a有相等的模和相同的方向，所以这两个向量相等．(2)如果λ＝0或μ＝0或a＝0，则②显然成立．如果λ≠0，μ≠0且a≠0，可分如下两种情况：当λ、μ同号时，则λa和μa同向，所以|(λ＋μ)a|＝|λ＋μ||a|＝(|λ|＋|μ|)|a|，|λa＋μa|＝|λa|＋|μa|＝|λ||a|＋|μ||a|＝(|λ|＋|μ|)|a|，即有|(λ＋μ)a|＝|λa＋μa|.由λ、μ同号，知②式两边向量的方向或都与a同向，或都与a反向，即②式两边向量的方向相同．综上所述，②式成立．如果λ、μ异号，当λ>μ时，②式两边向量的方向都与λa的方向相同；当λ<μ时，②式两边向量的方向都与μa的方向相同．还可证|(λ＋μ)a|＝|λa＋μa|.因此②式也成立．(3)当a＝0，b＝0中至少有一个成立，或λ＝0，λ＝1时，③式显然成立.当a ≠0，b ≠0且λ≠0，λ≠1时，可分如下两种情况：当λ>0且λ≠1时如图8，在平面内任取一点O 作OA →＝a ，AB →＝b ，OA 1→＝λa ，A 1B 1→＝λb ，则OB →＝a ＋b ，OB 1→＝λa ＋λb .图8由作法知AB →∥A 1B 1→，有∠OAB＝∠OA 1B 1，|A 1B 1→|＝λ|AB →|.所以|OA 1→||OA →|＝|A 1B 1→||AB →|＝λ.所以△AOB∽△A 1OB 1. 所以|OB 1→||OB →|＝λ，∠AOB＝∠A 1OB 1. 因此O 、B 、B 1在同一条直线上，|OB 1→|＝|λOB →|，OB 1→与λOB →的方向也相同．所以λ(a＋b )＝λa ＋λb .当λ<0时，由图9可类似证明λ(a ＋b )＝λa ＋λb .图9所以③式也成立．二、备用习题1.13[12(2a ＋8b )－(4a －2b )]等于( ) A ．2a －b B ．2b －aC ．b －aD ．a －b2．若向量方程2x －3(x －2a )＝0，则向量x 等于( )A.65a B ．－6a C ．6a D ．－65a 3．在△ABC 中，AE →＝15AB →，EF∥BC，EF 交AC 于F ，设AB →＝a ，AC →＝b ，则BF →用a 、b 表示的形式是BF →＝________.4．在△ABC 中，M 、N 、P 分别是AB 、BC 、CA 边上的靠近A 、B 、C 的三等分点，O 是△ABC平面上的任意一点，若OA →＋OB →＋OC →＝13e 1－12e 2，则OM →＋ON →＋OP →＝________. 5．已知△ABC 的重心为G ，O 为坐标原点，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，求证：OG →＝13(a ＋b ＋c )． 参考答案：1．B 2.C 3.－a ＋15b 4.13e 1－12e 2 5．证明：连接AG 并延长，设AG 交BC 于M.∵AB →＝b －a ，AC →＝c －a ，BC →＝c －b ，∴AM →＝AB →＋12BC →＝(b －a )＋12(c －b )＝12(c ＋b －2a )． ∴AG →＝23AM →＝13(c ＋b －2a )．∴OG →＝OA →＋AG →＝a ＋13(c ＋b －2a )＝13(a ＋b ＋c )．。

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2.2。

2-2.2。

3 向量数乘运算及其几何意义［课时作业］[A组基础巩固］1．若O，E，F是不共线的任意三点,则以下各式中成立的是( )A。

EF→＝错误!＋错误! B.错误!＝错误!－错误!C.错误!＝－错误!＋错误!D。

错误!＝－错误!－错误!解析：∵O,E，F是不共线的任意三点，∴错误!＋错误!＝错误!，由此可以推出错误!＝错误!－错误!。

答案:B2．如图，在平行四边形ABCD中，下列结论中错误的是( )A.错误!＝错误!B。

AD→＋错误!＝错误!C。

AB，→－错误!＝错误!D.错误!＋错误!＝0解析：错误!－错误!＝错误!，故C项错．答案：C3．已知向量a，b，且错误!＝a＋2b，错误!＝－5a＋6b,错误!＝7a－2b，则一定共线的三点是( ）A．A、B、D B．A、B、CC．B、C、D D．A、C、D解析:错误!＝错误!＋错误!＝2a＋4b＝2(a＋2b）＝2错误!，∴错误!与错误!共线，∴A、B、D三点共线．答案：A4．点P满足向量OP→＝2OA→－错误!，则点P与AB的位置关系是( )A．点P在线段AB上B．点P在线段AB延长线上C．点P在线段AB反向延长线上D．点P在直线AB外解析：∵错误!＝2错误!－错误!,∴错误!－错误!＝错误!－错误!，∴错误!＝错误!，∴点P在线段AB反向延长线上,故应选C.答案：C5．已知点C在线段AB上，且错误!＝错误!错误!,则错误!等于( )A。

平面向量的加减与数乘平面向量是数学中重要的概念之一，它在几何学、物理学等领域中有着广泛的应用。

本文将讨论平面向量的加减与数乘运算，以及它们的性质和应用。

一、平面向量的表示平面向量可以用有序的数对表示，如向量AB可以表示为(AB)，其中A和B是向量的起点和终点。

另外，向量也可用坐标表示，如向量AB的坐标表示为(AB) = (x2 - x1, y2 - y1)，其中(x1, y1)和(x2, y2)分别是A和B的坐标。

二、平面向量的加法设有两个平面向量AB和CD，它们的起点分别为A和C，终点分别为B和D。

向量AB和CD的和为向量AD，即(AB) + (CD) = (AD)。

将向量AB平移到向量CD的起点，然后从起点画一条向量，这条向量就是向量AD。

三、平面向量的减法与向量的加法不同，向量的减法是通过减去一个向量得到另一个向量。

设有两个平面向量AB和CD，它们的起点分别为A和C，终点分别为B和D。

向量AB和CD的差为向量AC，即(AB) - (CD) = (AC)。

将向量CD平移到向量AB的起点，然后从起点画一条向量，这条向量就是向量AC。

四、平面向量的数乘平面向量的数乘是将向量的长度与一个实数相乘，从而改变向量的长度和方向。

设有一个平面向量AB和实数k，向量AB的数乘为k(AB)，即k乘以向量的长度。

当k>0时，数乘向量的方向与原向量相同；当k<0时，数乘向量的方向与原向量相反。

五、平面向量运算的性质1. 加法的交换律：对于任意的平面向量AB和CD，有(AB) + (CD) = (CD) + (AB)。

2. 减法的性质：对于任意的平面向量AB和CD，有(AB) - (CD) = (AB) + (-CD)，其中-CD是向量CD的相反向量。

3. 结合律：对于任意的平面向量AB、CD和EF，有(AB) + ((CD) + (EF)) = ((AB) + (CD)) + (EF)。

4. 数乘和加法的分配律：对于任意的实数k和平面向量AB、CD，有k((AB) + (CD)) = k(AB) + k(CD)。

学习资料课时素养评价十七数乘向量(20分钟35分）1。

若3x-2（x—a）=0，则向量x等于( )A.2a B。

-2a C。

a D。

—a【解析】选B.由题意知，3x—2x+2a=0，故x=-2a.2。

已知向量a，b,设=a+2b，=—5a+6b,=7a-2b,那么下列各组中三点一定共线的是( ）A.A,B，CB.A,C,DC.A,B，DD.B,C，D【解析】选C.由向量的加法法则知=+=—5a+6b+7a—2b=2（a+2b)=2,又两线段均过点B，故A,B,D三点一定共线。

3.在△ABC中,如果AD,BE分别为BC,AC上的中线,且=a,=b，那么为（)A.a+b B。

a-bC。

a-b D。

-a+b【解析】选A.由题意,得=+=b+=b+（+）=b+a+，即=b+a+.解得=a+b.4.(2a-3b)-3（a+b）=。

【解析】—3=a-b-3a—3b=—a—4b.答案：—a—4b5.给出下列命题:①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量.②两个向量不能比较大小,但它们的模能比较大小.③λa=0（λ为实数）,则λ必为零。

④λ，μ为实数，若λa=μb，则a与b共线。

其中正确的命题序号为。

【解析】因为两个向量终点相同，起点若不在一条直线上,则也不共线,命题错误；由于两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小,因此命题是正确的;若λa=0(λ为实数),则a也可以为零向量，因此命题也是错误的；若λ，μ为0，尽管有λa=μb,则a与b也不一定共线，即命题也是错误的，应选答案②.答案：②6.已知O,A,M，B为平面上四点,且=λ+（1-λ)(λ∈R，λ≠1,λ≠0）。

(1)求证：A，B,M三点共线。

（2)若点B在线段AM上，求实数λ的范围。

【解析】（1）因为=λ+（1—λ),所以=λ+—λ,-=λ-λ,即=λ，又λ∈R,λ≠1,λ≠0且，有公共点A,所以A，B，M三点共线。

(2）由（1)知=λ,若点B在线段AM上,则，同向且｜|>｜|（如图所示).所以λ>1。