北京市师大附中2014_2015学年高一数学上学期期中试卷(无答案)

北京师大附中2014-2015学年下学期高一年级期中考试数学试卷本试卷分第Ⅰ卷（模块卷，100分）和第Ⅱ卷（综合卷，50分）两部分，共150分，考试时间120分钟。

第Ⅰ卷（模块卷）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知等差数列{}n a 中，11a =-，22a =，则45a a +=( ) A ．3 B ．8 C ．14 D ．19 2．以下命题正确的是( )A ．0a b >>，0c d ac bd <<⇒>B ．11a b a b>⇒< C ．a b >，c d a c b d <⇒->- D ．22a b ac bc >⇒>3．下列函数中，最小值为2的是( )A．y = B ．21x y x +=C．)(0y x x x =<< D．2y =4．设数列{}n a 的前n 项和为S n ，若{}n a 的通项公式为112n a n =-，则当S n 取最大值时n 等于( )A ．4B ．5C ．6D ．75．点P(x ，y)在不等式组2,,2y x y x x ≤⎧⎪≥-⎨⎪≤⎩表示的平面区域内，则z x y =+的最大值为( )A ．0B ．1C ．5D ．66．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若a 、b 、c 成等比数列，且c=2a ，则cosB=( )A ．14 B ．34 C．4 D．37．设x 、y 满足001x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩，则12y x --的取值范围是( )A ．[0,1]B ．[-1,0]C ．(—∞,+∞)D ．[-2，2] 8．对于一个有限数列a 1，a 2，…，a n ，其蔡查罗和定义为121()n S S S n++，其中12(1)k k S a a a k n =+++≤≤，若一个99项的数列a 1，a 2，…，a 99的蔡查罗和为1000，那么100项数列1，a 1，a 2，…，a 99的蔡查罗和为( )A ．991B ．992C ．993D ．999二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．等比数列{}n a （n N *∈）中，若2116a =，512a =，则a 12=__________． 10．不等式212x <+的解集是_________． 11．在△ABC 中，若b=l，c =23c π∠=，则a=_________.12．已知数列{}n a 的前n 项和3(1),2n n S a n N *=-∈，则{}n a 的通项公式为________________．13．已知0a <，关于x 的不等式()22140ax a x -++>的解集是________．14．如图甲是第七届国际数学教育大会(简称ICME-7)的会徽图案，会徽的主体图案是由如图乙的一连串直角三角形演化而成的，其中11223781OA A A A A A A =====，如果把图乙中的直角三角形继续作下去，由OA 1，OA 2，…，OA n ，…的长度构成数列{}n a ，则此数列的通项公式为a n =_________________．三、解答题：本大题共3小题，共30分，写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．如图所示，要挖一个面积为800平方米的矩形鱼池，并在鱼池的四周留出左右宽2米，上下宽1米的小路，则占地总面积的最小值是多少平方米?16．已知等差数列{}n a 满足a 2=2，a 5=8． (1)求{}n a 的通项公式；(2)各项均为正数的等比数列{}n b 中，b 1=l ，b 2+b 3=a 4，求{}n b 的前n 项和T n ． 17．在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，且cos cos 2B bC a c=-+. （1）求角B 的大小；（2）若b =，4a c +=，求△ABC 的面积.第II 卷（综合卷）四、填空题：本大题共3小题，每小题4分，共12分．18．已知点P （1），点Q 在y 轴上，直线PQ 的倾斜角为120°，则Q 点的坐标为_____________．19．已知长方形ABCD 的三个顶点的坐标分别为A(0，1)，B(1，0)，C(3，2)，则第四个顶点D 的坐标为____________．20．已知约束条件1400x x y kx y ≥⎧⎪+-≤⎨⎪-≤⎩表示面积为1的直角三角形区域，则实数k 的值为______________．五、解答题：本大题共3小题，共38分．写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 21．已知两直线1l ：40ax by -+=，2l ：()10a x y b -++=，求分别满足下列条件的a ，b 的值．(1)直线1l 过点(-3，-1)，并且直线1l 与2l 垂直；(2)直线1l 与直线2l 平行，并且坐标原点到1l ，2l 的距离相等．22．设数列{}n a 满足2112333 (3),3n n na a a a n N -*++++=∈. （1）求数列{}n a 的通项； （2）设n nnb a =，求数列{}n b 的前n 项和S n ．23．设集合W 由满足下列两个条件的数列{}n a 构成： ①212n n n a a a +++<；②存在实数M ，使n a M ≤（n 为正整数）. (1)在只有5项的有限数列{}n a 、{}n b 中，a 1=1，a 2=2，a 3=3，a 4=4，a 5=5；b 1=1，b 2=4，b 3=5，b 4=4，b 5=1，试判断数列{}n a 、{}n b 是否为集合W 中的元素；(2)设{}n c 是各项为正数的等比数列，S n 是其前n 项和，314c =，374S =，试证明{}n S W ∈，并写出M 的取值范围.【参考答案】一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共30分． 9．64； 10．(-∞,-2)∪(0,+∞); 11．1； 12．3n； 13．2(,2)a； 14三、解答题：本大题共3小题，共30分． 15．解：设鱼池的长EH x =，则800EF x=，占地总面积是 8001600(4)(2)8082()8082968x x x x ++=++≥+⋅=⋅. 当且仅当1600x x=，即40x =时，最小占地总面积为968平方米. 16．解：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，则由已知得11248a d a d +=⎧⎨+=⎩.∴10a =，2d =.∴1(1)22n a a n d n =+-=-.（2）设等比数列{}n b 的公比为q ，则由已知得24q q a +=， ∵46a =，∴2q =或3q =-.∵等比数列{}n b 的各项均为正数，∴2q =.∴{}n b 的前n 项和1(1)211n n n b q T q-==--.17．解：（1）由余弦定理知：222cos 2a c b B ac+-=，222cos 2a b c C ab +-=.将上式代入cos cos 2B b C a c =-+得：222222222a c b ab bac a b c a c+-⋅=-+-+， 整理得：222a cb ac +-=-.∴2221cos 222a cb ac B ac ac +--===-. ∵0B π<<，∴23B π=. 注：也可以用正弦定理解决。

师大附中高一第一学期期中考试试卷一、选择题（每小题5分，共60分）1.设全集{}1,3,5,7,9U =，集合{}1,5,9A a =-，{}5,7u C A =，则a 的值是（ ） A.2 B.8 C.-2或8 D.2或8 2.下列各组函数中，表示同一函数的是（ ）A. 0()1,()f x g x x == B. 24()2,()2x f x x g x x -=+=-C. (0)(),()(0)x x f x x g x x x ≥⎧==⎨-<⎩D. 2(),()f x x g x ==3.已知幂函数的图像经过点2)，则(4)f 的值是（ ）A.2B.8C.16D.64 4.设0.5212,log 3,log a b c ππ===，则,,a b c 的大小关系是（ ）A. a b c >>B. b a c >>C. c a b >>D. b c a >> 5.82log 9log 3=（ ） A.23 B. 32C.1D.2 6.下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（ ） A. 1y x =+ B. 3y x =- C. 1y x=D. y x x = 7.化简2115113366221()(3)()3a b a b a b -÷-的结果是（ ）A. 6aB. a -C. 9aD. 29a8.设函数1221,0,(),0.x x f x x x -⎧-≤⎪=⎨⎪>⎩，若0()1f x >，则0x 的取值范围是（ ）A. (1,1)-B. (1,)-+∞C. (,2)(0,)-∞-+∞ D. (,1)(1,)-∞-+∞9.根据表格中的数据，可以断定方程20x e x --=的一个根所在的区间是( )A. (1,0)-B. (0,1)C. (1,2)D. (2,3) 10.已知(3),(1)()log ,(1)a a x a x f x x x --<⎧=⎨≥⎩是(,)-∞+∞上的增函数，那么a 的取值范围是（ ）A. (1,)+∞B. (,3)-∞C. 3,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭D. (1,3) 11.函数(),()f x g x 分别为R 上的奇函数、偶函数，且满足()()x f x g x e -=，则有（ ）A. (2)(3)(0)f f g <<B. (0)(3)(2)g f f <<C. (2)(0)(3)f g f <<D. (0)(2)(3)g f f <<12. ()f x 是偶函数，它在[)0,+∞上是减函数，且(lg )(1)f x f >，则x 的取值范围是( ) A. 1(,1)10 B. 1(0,)(1,)10+∞ C. 1(,10)10 D. (0,1)(10,)+∞ 二、填空题（每小题5分，共20分）13.定义集合的A 、B 的一种运算：{}12,12,A B x x x x x A x B *==+∈∈其中，若{}{}1,2,3,1,2A B ==，则A B *中的所有元素数字之和为________14.函数212log (412)y x x =--的单调增区间为________15.函数()321f x ax a =-+在[]1,1-上存在一个零点，则a 的取值范围是_________16.设,,a b c 均为正数，且11222112log ,()log ,()log 22a b ca b c ===，则,,a b c 的大小关系是_________三、解答题（每小题14分，共70分）17.已知集合{}{}{}213,,,2,A x x B y y x x A C y y x a x A =-≤≤==∈==+∈，若满足C B ⊆，求实数a 的取值范围. 18.已知函数2()1ax b f x x +=+是定义在(1,1)-上的奇函数，且12()25f = （1）确定函数()f x 的解析式；（2）用定义证明()f x 在(1,1)-上是增函数 19.已知函数212()log ()f x x mx m =--（1）若1m =，求函数()f x 的定义域；（2）若函数()f x 的值域为R ，求实数m 的取值范围；（3）若函数()f x 在(,1-∞上是增函数，求实数m 的取值范围。

2014-2015学年高一上学期期中考试数学试题时间：120分钟 总分: 160分 命题人：戴楠一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。

不需要写出解答过程，请把答案直接填空在答题．．纸．相应位置上．．．．．。

1.=41__ ______ 2.()()=32398log log ________3.幂函数f(x)=αx 图像过⎪⎭⎫⎝⎛212，,则f(2)=________4.若用列举法表示集合{}01-x x 2==A ，则A=________ 5.设(][)4,2,3,1=-=B A ，则()B A C R ⋂=________6.已知函数f(x)为定义在R 上的奇函数，且f(x)在()∞+，0上有一个零点，那么)x (f 的零点个数是________7.函数f(x)=2x 2+的值域是_________8.函数y=()2x 1x 0++的定义域是_________9.已知函数()⎩⎨⎧<≥=1x x 1x x -2x f 2，，，那么f(f(3))=________10.若函数f(x)=2m mx -x 2++是偶函数，则m=________11.若函数2-mx x )x (f 2+=在(]2-，∞是单调减函数，在[)∞+，2是单调增函数，则实数m =_______12.满足82x ≥的实数x 的取值范围是________13.若f(x)是R 上周期为5的奇函数，且满足f(1)=1,f(2)=2,则f(4)-f(3)=_________14.如果指数函数()x2-a )x (f =是R 上的减函数，那么a 的取值范围是________一、填空题：本题共14小题,每小题5分,共70分.请把答案写在下面对应的横线上.二、本大题共6小题，共90分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.(本小题满分14分) 画出下列函数的图像(1)f(x)=x+1 (2)f(x)=()11-x 2+,[)3,1x ∈16.（本小题满分14分）求证：函数1-x1-)x (f =在区间()0-，∞上是单调增函数。

北京师大附中2014-2015学年上学期高一年级期中考试数学试卷说明：本试卷分第Ⅰ卷（模块卷，100分）和第Ⅱ卷（综合卷，50分）两部分，共150分，考试时间120分钟。

第Ⅰ卷（模块卷）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 已知集合{}4,3,2,1,0=M ，{}2,0,2-=N ，则（ ）A. M N ⊆B. M N M =C. {}2=N MD. {}2,0=N M 2. 下列函数中与x x f =)(表示同一函数的是（ ）A. 2)()(x x f = B. 2)(x x f = C. 33)(x x f = D. xx x f 2)(=3. 下列函数在),0(+∞上是增函数的是（ ）A. )2ln(-=x yB. x y -=C. 12+=x yD. 32-=x y4. 设xa x f a =>)(,1，则函数)(x f 的图象大致是（ ）5. 设21lg,7.0,6.02121===c b a ，则c b a ,,之间的关系是（ ） A. b a c << B. a a b << C. a b c << D. c b a <<6. 设全集R U =，{}12)2(<=-x x x A ，{})1ln(x y x B -==，则下图中阴影部分表示的集合为（ ）A. {}1≥x xB. {}21<≤x xC. {}10≤<x xD. {}1≤x x7. 函数xx x f 2ln )(-=的零点所在的大致区间是（ ） A. ()2,1 B. ()+∞,e C. ()3,2 D. ()4,31,21和⎪⎭⎫ ⎝⎛8. 已知函数m x x f -=2)(定义在区间],3[2m m m ---上的奇函数，则下面结果成立的是（ ）A. )0()(f m f <B. )0()(f m f =C. )0()(f m f >D. )0()(f m f 与大小不确定二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

2014-2015学年第一学期高一年级期中考试数学试卷一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分,在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求)1．全集{}1,2,3,4,0U =----，{}{}1,2,0,3,4,0A B =--=--，则()U C A B ⋂=（ ） A. {}0 B. {}3,4-- C. {}1,2-- D. ∅ 2. 下列四组函数，表示同一函数的是（ ） A. ()f x =()g x x = B. ()f x x =,()2x g x x= C. ()f x =()g x = D. ()1f x x =+, ()1,11,1x x g x x x +≥-⎧=⎨--<-⎩3．设1232,2,()log (1),2,x e x f x x x -⎧ <⎪=⎨-≥⎪⎩，则[(2)]f f 的值为（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 4. 已知点(tan ,sin )P αα在第三象限，则角α在（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限5. 函数()y f x =的定义域为[1,5]，则函数y f x =-()21的定义域是（ ） A ．[1,5] B ．[2,10] C ．[1,9] D ．[1,3]6. 若0.52a =，log 3b π=，1ln3c =，则（ ） A ．b c a >> B ．b a c >> C ．a b c >> D ．c a b >>7. 已知tan 2θ=，则22sin sin cos 2cos θθθθ+-=（ ）A. 43-B.54 C. 34- D. 458．在下列区间中，函数()43xf x e x =+-的零点所在的区间为（ ）A. 1,04⎛⎫- ⎪⎝⎭B. 10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭C. 11, 42⎛⎫ ⎪⎝⎭D. 13,24⎛⎫ ⎪⎝⎭9. 设2()2f x ax bx =++是定义在[]1,2a +上的偶函数，则)(x f 的值域是（ ）A ．[10,2]-B ．[12,0]-C ．[12,2]-D ．与,a b 有关，不能确定10. 已知函(2)1,1,()log ,1a a x x f x x x ⎧--≤⎪=⎨⎪>⎩若()f x 在(,)-∞+∞上单调递增，则实数a 的取值范围为（ ）A ．(1,2) B ． (2,3) C ．(2,3]D ． (2,)+∞ 11. 函数sin 2x y x =，(,0)(0,)22x ππ∈-⋃的图象可能是下列图象中的（ ）12. 设()f x 为R R ++→的函数，对任意正实数x ，()()x f x f 55=，当[1,5]x ∈时()32--=x x f ，则使得()()665f x f =的最小实数x 为（ ）A ．45 B. 65 C. 85 D. 165二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请将答案填在答题卡相应位置）13. 已知角α终边上一点(4,3)P -，则cos()sin()2119cos()sin()22παπαππαα+---+的值为_________. 14. 设(2)+f x 是奇函数，且(0,2)x ∈时，()2f x x =，则(3.5)f =_________.15. 已知函数()()23log 5f x x ax a =+++，()f x 在区间(),1-∞上是递减函数，则实数a 的取值范围为_________.16. 设定义域为R 的函数121(1)()(1)x x f x ax --⎧+≠⎪=⎨⎪=⎩，若关于x 的方程22()(23)()30f x a f x a -++=有五个不同的实数解，则a 的取值范围是_________.三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. (本题满分10分)已知函数()f x =的定义域为集合A ，函数()()0121≤≤-⎪⎭⎫⎝⎛=x x g x的值域为集合B ,U R =.(1) 求 ()U C A B ⋂；(2)若{}|21C x a x a =≤≤-且B C ⊆,求实数a 的取值范围,18. (本题满分12分)已知函数()m x x f ++⎪⎭⎫ ⎝⎛+=2162sin π的图像过点⎪⎭⎫⎝⎛0,125π (1)求实数m 的值及()x f 的周期及单调递增区间； (2)若⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πx ，求()x f 的值域.19. (本题满分12分) 某企业常年生产一种出口产品，根据预测可知，进入2l 世纪以来，该产品的产量平稳增长．记2008年为第1年，且前4年中，第x 年与年产量()f x (万件)之若()f x 近似符合以下三种函数模型之一：12(),()2,()log x f x ax b f x a f x x a =+=+=+．（1）找出你认为最适合的函数模型，并说明理由，然后选取08年和10年的数据求出相应的解析式；（2）因遭受某国对该产品进行反倾销的影响，2014年的年产量比预计减少30％，试根据所建立的函数模型，确定2014年的年产量．20．(本题满分12分)已知函数()lg(33)xf x =-， (1)求函数)(x f 的定义域和值域；(2)设函数()()()lg 33x h x f x =-+，若不等式()h x t >无解，求实数t 的取值范围．21. (本题满分12分)定义在R 上的函数()f x 是最小正周期为2的奇函数, 且当(0,1)x ∈时,2()41xxf x =+ . (1)求()f x 在(1,1)-上的解析式；(2)用单调性定义证明()f x 在(1,0)-上时减函数； (3)当λ取何值时, 不等式()f x λ>在R 上有解.22．（本题满分12分）设函数*()(,,),()log (0,1)k k a f x x bx c k N b c R g x x a a =++∈∈=>≠.(1)若1b c +=，且1(1)()4k f g =，求a 的值； (2)若2k =，记函数()k f x 在[1,1]-上的最大值为M ，最小值为m ，求4M m -≤时的b的取值范围；(3)判断是否存在大于１的实数a ，使得对任意1[,2]x a a ∈，都有22[,]x a a ∈满足等式：12()()g x g x p +=，且满足该等式的常数p 的取值唯一？若存在，求出所有符合条件的a 的值；若不存在，请说明理由.高一期中考试数学试卷答案1-12 BDCDD CDCAC DB 13. 34-14.1- 15. [3,2]-- 16. （1，32）∪（32，2） 17.答案：（1）{}1……………………………………………………..5分 （2）⎥⎦⎤ ⎝⎛∞-23,……………………………………………………..10分18.解：（1）由题意可知，02161252sin =++⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯m ππ，所以21-=m ……….2分所以()⎪⎭⎫⎝⎛+=62sin πx x f ，T=π……………………3分递增区间为：πππππk x k 226222+≤+≤+- )(Z k ∈……………………………5分解得：ππππk x k +≤≤+-63所以()x f 的单调递增区间为⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-ππππk k 6,3)(Z k ∈……………………………7分（2）因为20π≤≤x 所以π≤≤x 20所以67626πππ≤+≤x ………………………………….9分 所以162sin 21≤⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤-πx 所以()x f 的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1,21……………….12分 19.解：（1）符合条件的是()f x ax b =+， -----------------------------1分 若模型为()2xf x a =+，则由1(1)24f a =+=，得2a =，即()22xf x =+，此时(2)6f =,(3)10f =,(4)18f =，与已知相差太大，不符合. -----------3分 若模型为12()log f x x a =+，则()f x 是减函数，与已知不符合. -----------4分由已知得437a b a b +=⎧⎨+=⎩，解得3252a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以35()22f x x =+，x ∈N .-------------------8分（2）2014年预计年产量为35(7)71322f =⨯+=,，---------------9分 2014年实际年产量为13(130%)9.1⨯-=，-----------------11分.答：最适合的模型解析式为35()22f x x =+，x ∈N .2014年的实际产量为9.1万件。

北京师大附中2015届上学期高三年级期中考试数学试卷（AP 班） 试卷说明：本试卷满分100分，考试时间为90分钟。

一、选择题（每小题5分，共30分）1. 一个圆柱的母线长为5，底面半径为2，则圆柱的轴截面的面积是（ ）A. 10B. 20C. 30D. 402. 下列几何体中，正视图、侧视图、俯视图相同的几何体是（ ）A. 球，圆柱B. 圆柱，圆锥C. 正方体，长方体D. 球，正方体3. 棱长都是1的三棱锥的表面积为（ ） A. 3 B. 32 C. 33 D. 344. 已知直线l ⊥平面α，直线⊂m 平面β，下列四个命题中正确的是（ ）（1）α∥m l ⊥⇒β（2）α∥l ⇒β∥m （3）l ∥βα⊥⇒m （4）l ⊥α⇒m ∥βA. （1）与（2）B. （3）与（4）C. （2）与（4）D. （1）与（3）5. 若一个正三棱柱的三视图如下图所示，则这个正三棱柱的高和底面边长分别为（ ）A. 32,2B. 2,22C. 4，2D. 2，46. 已知长方体一个顶点上三条棱的长分别是3、4、5，且它的顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是（ ） A. π220 B. π225 C. π50 D. π200二、填空题（每空5分，共20分）7. 圆台的两底面半径分别为2cm 和5cm ，母线长是103cm ，则它的轴截面面积为_____________。

8. 正四棱柱的高为3cm ，对角线长为17cm ，则正四棱柱的侧面积为___________。

9. 圆锥的底面半径是3，高是4，则圆锥的侧面积是___________。

10. 如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1的侧棱长和底面边长均为2，且侧棱AA 1⊥底面ABC ，其正（主）视图是边长为2的正方形，则此三棱柱侧（左）视图的面积为___________。

三、解答题（本题共50分）11. 已知：长方体ABCD－A1B1C1D1求证：B1D1∥平面ABCD。

APNMO北京市西城区2014—2015学年度第一学期数学期中试题（附答案）第Ⅰ卷（选择题 共30分）一、选择题(本题共30分，每小题3分) 1．下列因式分解结果正确的是（ ）。

A ．3221055(2)a a a a a +=+B ．249(43)(43)x x x -=+- C ．2221(1)a a a --=- D ．256(6)(1)x x x x --=-+2．如图，OP 平分∠MON，PA⊥ON 于点A ，点Q 是射线OM 上的一个动点，若PA=2，则PQ 的最小值为（ ）。

A. 1 B.2 C.3 D. 43．下列分式中，无论x 取何值，分式总有意义的是( )。

A ．211x +B ．21x x +C ．311x - D ．5x x -4.若分式2aa b+中的a 、b 的值同时扩大到原来的10倍，则分式的值（ ）。

A ．是原来的20倍 B ．是原来的10倍C ．是原来的110D ．不变 5．在数学活动课上，小明提出这样一个问题：如右图, ∠B =∠C = 90︒,E 是BC 的中点, DE 平分∠ADC, ∠CED = 35︒, 则∠EAB 的度数是 ( )。

A ．65︒B ．55︒C ．45︒D ．35︒6．某园林公司增加了人力进行园林绿化，现在平均每天比原计划多植树50棵，现在植树600棵所需的时间与原计划植树450棵所需的时间相同，如果设原计划平均每天植树x 棵，那么下面所列方程中，正确的是（ ）。

A ．x x 45050600=- B ．x x 45050600=+ C ．50450600+=x x D ．50450600-=x x 7．若分式112--x x 的值为0，则x 的值为（ ）。

A ．1B ．－1C ．0D ． 1±8．如果一个等腰三角形的两边长分别是4cm 和8cm ，那么此三角形的周长是（ ）。

A. 12cm B.16cm C. 20cm D. 16cm 或20cm 9.如图，在△ABC 中，BD 、CE 分别是AC 、AB 边上的中线，分别延长BD 、CE 到F 、G ，使DF ＝BD ，EG ＝CE ，则下列结论：①GA ＝AF ，②GA ∥BC ，③AF ∥BC ，④G 、A 、F 在一条直线上， ⑤A 是线段GF 的中点，其中正确的有（ ）。

北师大万宁附中2014-2015学年度上学期期中考试高一数学试卷（本卷满分150分，考试时间120分钟）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知全集}9,7,5,3,1{=U }7,5,1{=A ，则=A C U ( )A ．}3,1{B ．}9,7,3{C ．}9,3{D ．}9,5,3{2.已知幂函数的图像过点()4,2，则其解析式是（ ） A ．2+=x y B ．2x y = C ．x y =D ．3x y =3.下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)单调递增的函数是( )A ．y ＝x 3B ．y ＝|x |＋1C ．y ＝－x 2＋1 D ．y ＝－4x ＋1 4、函数3-=x a y ，(0>a 且1≠a ) 图象必过的定点是（ ）A ．）（0,31B ．（1，0）C ．（0, 1）D ．（3,1）5.当1a > 时，函数log a y x = 和(1)y a x =- 的图象只可能是（ ）6.下列大小关系正确的是（ ）A 、30.440.43log 0.3<<B 、30.440.4log 0.33<<C 、30.44log 0.30.43<<D 、0.434log 0.330.4<<7、函数()f x =的图像关于（ ）对称A 、 x 轴B 、 y 轴C 、原点D 、直线y x = 8．下列说法中，正确的是( ) A.对任意R x ∈，都有32x x > ;B.xy -=是R 上的增函数；C.若R x ∈且0x ≠，则222log 2log x x =；D.在同一坐标系中，2x y =与2log y x =的图象关于直线y x =对称.9. 已知3a =5b=A ，且a 1+b1=2则A 的值是（ ） A 15 B ±15 C 15 D 22510、若函数()f x 是定义在R 上的偶函数，在(,0]-∞上是减函数，且(2)0f =，则使得()0f x <的x 的取值范围是（ ）A 、(,2)-∞B 、(2,)+∞C 、(,2)(2,)-∞-+∞ D 、(2,2)-11.设函数f(x)x ∈（R ）为奇函数，()1f 12=，()()()f x+2f x f 2=+，则()f 5=( ) A 、0 B 、1 C 、52D 、5 12．定义运算⎩⎨⎧<≥=⊗ba a ba b b a f ,,)(，则函数)( x x e e f -⊗的值域是（ ）（A ）]1,0( （B ）),1[+∞ （C ）]1,(-∞ （D ）),0(+∞二、填空题：本大题4小题，每小题5分，共20分. 把正确答案填在题中横线上。

第1页 共10页 ◎ 第2页 共10页绝密★启用前2014-2015学年度期中卷高一数学考试范围：必修一；考试时间：120分钟；命题人： 注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明一、选择题（题型注释）1．已知集合{}1,2,3M =，{}2,3,4N =，则 （ ） A ．M N ⊆ B ．N M ⊆ C ．{}1,4MN = D ．{}2,3M N =【答案】D【解析】解：因为根据已知 的集合，可以判定集合间的关系，以及集合的运算，那么显然选项D 成立。

2．设集合}1,0,1{-=M ，},{2a a N =，则使M∩N＝N 成立的a 的值是（ ） A ．1 B ．0 C ．－1 D ．1或－1 【答案】C 【解析】试题分析：由于集合中的元素互不相同，所以20,1a a a a ≠⇒≠≠.又因为M∩N＝N ，所以1a =-. 考点：集合的特征及集合的基本运算. 3．设，则（ ）A ．﹣2＜x ＜﹣1B ．﹣3＜x ＜﹣2C ．﹣1＜x ＜0D ．0＜x ＜1 【答案】A【解析】因为y=3x在R 上单调递增，又，故﹣2＜x ＜﹣1故选A4．若0.90.48 1.54,8,0.5a b c -===则（ ）A .c b a >> B. a c b >> C.b a c >> D.b c a >> 【答案】D【解析】0.9 1.80.48 1.44 1.5 1.542,82.(0.5)2.-===函数2x y =是增函数，1.8 1.5 1.44,>>所以.a c b >>故选D5．函数()f x =的定义域是 A. {x ︱34x >} B. {01x x <≤} C. {1x x ≥} D. {x ︱314x <≤} 【答案】D 【解析】略6．设函数))((R x x f ∈为奇函数，),2()()2(,21)1(f x f xf f +=+=则=)5(f （）A．0B ．1C ．25D ．5【答案】C【解析】令x=-1可得(1)(1)(2)(1)(2),(2)2(1)1,f f f f f f f =-+=-+∴==13(3)(1)(2)122f f f ∴=+=+=,35(5)(3)(2)122f f f =+=+=.7．某同学家门前有一笔直公路直通长城，星期天，他骑自行车匀速前往旅游，他先前进了a km ，觉得有点累，就休息了一段时间，想想路途遥远，有些泄气，就沿原路返回骑了b km(b <a ), 当他记起诗句“不到长城非好汉”，便调转车头继续前进. 则该同学离起点的距离s 与时间t 的函数关系的图象大致为 ( )【答案】C【解析】分析：本题根据运动变化的规律即可选出答案．依据该同学出门后一系列的动作，匀速前往对应的图象是上升的直线，匀速返回对应的图象是下降的直线，等等，从而选出答案． 解答：解：根据他先前进了akm ，得图象是一段上升的直线，DCBA第3页 共10页 ◎ 第4页 共10页由觉得有点累，就休息了一段时间，得图象是一段平行于t 轴的直线，由想想路途遥远，有些泄气，就沿原路返回骑了bkm （b ＜a ），得图象是一段下降的直线， 由记起诗句“不到长城非好汉”，便调转车头继续前进，得图象是一段上升的直线， 综合，得图象是C ， 故选C ．点评：本小题主要考查函数的图象、运动变化的规律等基础知识，考查数形结合思想．属于基础题． 8．函数的单调增区间为（ ）A ．B ．（3，+∞）C ．D ．（﹣∞，2）【答案】D【解析】由题意知，x 2﹣5x+6＞0∴函数定义域为（﹣∞，2）∪（3，+∞），排除A 、C ， 根据复合函数的单调性知的单调增区间为（﹣∞，2），故选D9．若函数()1(0,1)1x mf x a a a =+>≠-是奇函数，则m 为 A.1- B.2 C.1 D.2-【答案】B 【解析】 试题分析：111111x a(),()()xxxm m mf x f x aaa --=+=+-=-+--- 由于函数是奇函数，()(),f x fx ∴-=-即x a (1)1(1)2111x x x x m m m a a a a -+=-+∴=--- 所以2m =，故选：B.考点：函数的奇偶性10． 下列每组中两个函数是同一函数的组数共有（ ） （1）2()1f x x =+和2()1f v v =+(2) y =和y =(3) y=x 和321x xy x +=+ (4) y=和y(A) 1组 (B) 2组 (C) 3组 (D) 4组 【答案】C【解析】根据同意哈函数的定义可知选项A 中定义域和对应关系相同，成立，选项B 中，定义域相同，对应关系相同，选项C 中，相同，选项D 中，定义域不同，故是同一函数的 组数有3组，故选C 11．已知1a >，函数x y a =与log ()a y x =-的图像可能是（ ）【答案】B【解析】试题分析：因为根据1a >,可知指数函数递增函数，排除C ，D 选项，同时在选项A,B 中，由于对数函数log ()a y x =-的图像与log a y x =的图像关于y 轴堆成，那么可知.排除A.正确的选项为B.考点：本题主要是考查同底的指数函数与对数函数图像之间的关系的运用。

2014-2015学年上学期高一期中测试数学试题（含答案） 第I 卷（选择题共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的）1．下列函数中，既是偶函数又在+∞（0，）单调递增的函数是（ ）A ．3y x =B ． 1y x =+C ．21y x =-+D ． 2x y -=2．在同一坐标系中，表示函数log a y x =与y x a =+的图象正确的是（ ）A B C D3．若1log 12a<，则a 的取值范围是( ) A ．1(0,)(1,)2+∞ B ．1(,1)2 C ．(1,)+∞ D ．1(,1)(1,)2+∞4．已知函数f(x)为定义在R 上的奇函数，当x≥0时， ()22xf x x m =++ (m 为常数)，则(1)f -的值为( )A ．－3B ．－1C ．1D ．35．设全集U =R ，{}|0P x f x x ==∈R （），，{}|0Q x g x x ==∈R （），，{}|0S x x x ϕ==∈R （），，则方程22f x x x ϕ=（）+g （）（）的解集为（ ）A ． P Q SB ．P QC ．P Q S （）D ． P Q S u （C ）5．设9.0log 5.0=a ，9.0log 1.1=b ，9.01.1=c ，则c b a , ,的大小关系为（ ）A ．c b a <<B ．c a b <<C ．a c b <<D ．b c a <<6．设}3 2, ,21 ,31 ,1{-∈α，若函数αx y =是定义域为R 的奇函数，则α的值为（ ）A ．3 ,31B ．3 ,31 ,1- C ．3 ,1- D ．31,1- 7．已知函数)(x f 是奇函数，当0>x 时，)1 ,0( )(≠>=a a a x f x，且3)4(log 5.0-=f ，则a的值为（ ）A ．3B ．3C ．9D ．238．已知函数⎪⎩⎪⎨⎧>-≤=-)1( )23(log )1( 2)(2x x x x f x ，若4)(=a f ，则实数=a （ ） A ．2-或6 B ．2-或310 C ．2-或2 D ．2或3109．方程21231=⎪⎭⎫ ⎝⎛--x x 的解所在的区间为（ ）A ．) 1 ,0 (B ．) 2 ,1 (C ．) 3 ,2 (D ．) 4 ,3 (10．已知函数bx ax y +=2和xb a y =|)| || ,0(b a ab ≠≠在同一直角坐标系中的图象不可能 是（ ）11．已知函数)3(log 221a ax x y +-=在区间) ,2[∞+上是减函数，则a 的取值范围是（ ）A ．)4 ,(-∞B ．]4 ,4[-C ．]4 ,4(-D ．]4 ,(-∞12．若在直角坐标平面内B A ,两点满足条件：①点B A ,都在函数)(x f y =的图象上；②点B A ,关于原点对称，则称B A ,为函数)(x f y =的一个“黄金点对”．那么函数=)(x f ⎪⎩⎪⎨⎧>≤-+)0( 1)0( 222x x x x x 的“黄金点对”的个数是（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个 第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本题共4小题，共20分.13．已知集合}06|{2=--=x x x M ，}01|{=+=ax x N ，且M N ⊆，则由a 的取值组成的集合是 ．14．若x x f =)(log 5，则=-)9log 2(log 255f ．15．已知定义在R 上的偶函数)(x f 满足0)1(=-f ，并且)(x f 在)0 ,(-∞上为增函数．若0)( <a f a ，则实数a 的取值范围是 ．16．已知函数()x f 的定义域是}0|{≠∈=x R x D ，对任意D x x ∈21 ,都有：=⋅)(21x x f)()(21x f x f +，且当1>x 时，()0>x f ．给出结论：①()x f 是偶函数；②()x f 在()∞+ ,0上是减函数．则正确结论的序号是 ．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤。

2014-2015学年上学期期中考试高一数学试题（2014年10月）第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.给出下列表述：①联合国常任理事国；③方程210x x+-=的实数根；④全国著名的高等院校。

以上能够构成集合的是（）A．①③ B.①② C.①③④ D.①②③④2.给出下列四个对应，其中能构成映射的是（）3. 用列举法表示集合{}|,5x x N x∈≤为（）A. {}0,1,2,3,4B.{}0,1,2,3,4,5C.{}1,2,3,4D.{}1,2,3,4,54.已知集合{}|13A x x=-≤<，{}|25B x x=<≤,则A B（)A．()2,3B．[]1,5-C．()1,5-D．(]1,5-5.在下列四组函数中，()f x与()g x表示同一函数的是( )A.()1,()xf xg xx==B.()()f xg x==C.2(),()f x xg x==D.(),()f x xg x==6.函数()f x=( )A. ()(]-,-1-1,1∞B.()()-,-1-1,1∞C.()-,1∞D.(],1-∞7. 若{}21,,0,,ba a a ba⎧⎫=+⎨⎬⎩⎭，则ba+的值为( )A.0B.1C.-1D. 1或-18.已知221,(2)()3,(2)x x f x x x x -≥⎧=⎨-+<⎩，则(1)(4)f f -+的值是 ( ) A. 7- B. 3 C. 8- D. 49.已知函数(1)32f x x +=+，则()f x 的解析式是 ( ) A. 32x + B. 31x + C. 31x - D. 34x +10.下列说法中：①16的4次方根是2；2±；③当n 为大于1的奇数时，a R ∈都有意义；④当n 为大于10a ≥时才有意义。

其中正确的是 ( ) A.①③④ B.②③④ C.②③ D.③④11.设()f x 为定义在R 上的偶函数，且()f x 在[)0,+∞上为增函数，则(2),(),(3)f f f π--的大小顺序是 ( ) A. ()(2)(3)f f f π-<-< B. ()(2)(3)f f f π->-> C. ()(3)(2)f f f π-<<- D. ()(3)(2)f f f π->>-12.定义,(),()b a b a b a a b ≥⎧⊗=⎨<⎩，则函数()(2)f x x x =⊗-的值域是 （ ） A.(),1-∞ B. (],1-∞ C. R D. ()1,+∞第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

XXX2014-2015学年高一上学期期中考试数学试题 Word版含解析没有明显有问题的段落需要删除，只需修改格式错误和语言表达不清的地方。

XXX2014-2015学年第一学期期中考试高一数学试题第Ⅰ卷选择题（共30分）一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。

）1、已知集合$S=\{x|x+1\geq2\}$，$T=\{-2,-1,0,1,2\}$，则$S\cap T=$（）A。

$\{2\}$。

B。

$\{1,2\}$。

C。

$\{0,1,2\}$。

D。

$\{-1,0,1,2\}$解题思路】：题目给出了集合$S$和$T$，需要先求出它们的具体表达内容，再求它们的交集。

$S$是一次函数不等式的解，$S=\{x|x\geq1\}$；$S\cap T=\{1,2\}$，故选B。

2、用阴影部分表示集合$C\cup A\cup B$，正确的是（）解题思路】：题目给出了四个图形，需要判断哪个图形表示$C\cup A\cup B$。

利用XXX求解，A中阴影部分表示$C\cup(A\cup B)$，B中阴影部分表示$(C\cup A)\cap B$，C中阴影部分表示$A\cap B$，D中阴影部分表示$C\cup A\cup B$，故选D。

3、函数$y=\log_{\frac{1}{2}}(x-1)$的定义域是（）A。

$(1,+\infty)$。

B。

$[1,+\infty)$。

C。

$(0,+\infty)$。

D。

$[0,+\infty)$解题思路】：题目给出了函数$y=\log_{\frac{1}{2}}(x-1)$，需要求出它的定义域。

由$\log_{\frac{1}{2}}(x-1)>0$得$x-1>0$，即$x>1$，故选A。

4、下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（）A。

$y=-|x|$。

B。

$y=x$。

C。

$y=|x|$。

北京师大附中2015届高三上学期期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1．（5分）已知集合M={x|x≤a}，N={x|﹣2＜x＜0}，若M∩N=∅，则a的取值范围为（）A．a＞0 B．a≥0 C．a≤﹣2 D．a＜﹣22．（5分）下列函数中，在定义域内是减函数的是（）A．f（x）=﹣B．f（x）=C．f（x）=2﹣x D．f（x）=tanx3．（5分）设点P是函数f（x）=sinωx的图象C的一个对称中心，若点P到图象C的对称轴上的距离的最小值，则f（x）的最小正周期是（）A．2πB．πC．D．4．（5分）已知向量=（3，1），=（﹣2，），则下列向量可以与垂直的是（）A．（﹣1，2）B．（2，﹣1）C．（4，2）D．（﹣4，2）5．（5分）“a＞1”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．（5分）已知数列{a n}的通项公式，则数列的前n项和S n的最小值是（）A．S3B．S4C．S5D．S67．（5分）数列{a n}中，a1=，a n+1=（其中n∈N*），则使得a1+a2+a3+…+a n≥72成立的n的最小值为（）A．236 B．238 C．240 D．2428．（5分）已知集合A={a1，a2，…a n}（n＞2），令T A={x|x=a i+a j，1≤i＜j≤n}，card（T A）表示集合T A中元素的个数．关于card（T A）有下列四个命题：①card（T A）的最大值为n2；②card（T A）的最大值为n（n﹣1）；③card（T A）的最小值为2n；④card（T A）的最小值为2n﹣3．其中，正确的是（）A．①③B．①④C．②③D．②④二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．（5分）在△ABC中，若tanA=﹣2，则cos（B+C）=．10．（5分）设a=e0.5，b=logπ2，c=cos2，则a，b，c从大到小的顺序为．11．（5分）已知函数f（x）=x﹣2sinx，则函数f（x）在（0，f（0））处的切线方程为；在（0，π）上的单调递增区间为．12．（5分）若函数f（x）=为奇函数，则满足f（t﹣1）＜f（2t）的实数t的取值范围是．13．（5分）如图，线段AB长度为2，点A，B分别在x非负半轴和y非负半轴上滑动，以线段AB为一边，在第一象限内作矩形ABCD，BC=1，O为坐标原点，则的取值范围是．14．（5分）对于函数y=f（x），若在其定义域内存在x0，使得x0f（x0）=1成立，则称函数f （x）具有性质P．（1）下列函数中具有性质P的有．①f（x）=﹣2x+2；②f（x）=sinx（x∈[0，2π]）；③f（x）=x+，（x∈（0，+∞））；④f（x）=ln（x+1）．（2）若函数f（x）=alnx具有性质P，则实数a的取值范围是．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15．（13分）设c＞0．命题P：y=log c x是减函数．命题Q：|x﹣1|﹣x+2c＞0对任意x∈R恒成立．若P或Q为真，P且Q为假，试求c的取值范围．16．（13分）如图，已知点A（10，0），直线x=t（0＜t＜10）与函数y=e2x+1的图象交于点P，与x轴交于点H，记△APH的面积为f（t）．（Ⅰ）求函数f（t）的解析式；（Ⅱ）求函数f（t）的最大值．17．（13分）在△ABC中，已知C=，cos2B=+sin2A．（Ⅰ）求tanB；（Ⅱ）若BC=2，求△ABC的面积．18．（13分）已知函数f（x）=ln（x+1）﹣ax（a∈R）．（Ⅰ）若a=1，求证：当x＞0时，f（x）＜0；（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅲ）求证：（1+）（1+）…（1+）＜e．19．（14分）已知抛物线C的顶点为原点，其焦点F（0，c）（c＞0）到直线l：x﹣y﹣2=0的距离为．（Ⅰ）求抛物线C的方程；（Ⅱ）设点P（x0，y0）为直线l上一动点，过点P作抛物线C的两条切线PA，PB，其中A，B为切点，求直线AB的方程，并证明直线AB过定点Q；（Ⅲ）过（Ⅱ）中的点Q的直线m交抛物线C于A，B两点，过点A，B分别作抛物线C的切线l1，l2，求l1，l2交点M满足的轨迹方程．20．（14分）已知数列{a n}的首项a1=a，其中a∈N*，令集合．（I）若a4是数列{a n}中首次为1的项，请写出所有这样数列的前三项；（II）求证：{1，2，3}⊆A；（III）当a≤2014时，求集合A中元素个数Card（A）的最大值．北京师大附中2015届高三上学期期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1．（5分）已知集合M={x|x≤a}，N={x|﹣2＜x＜0}，若M∩N=∅，则a的取值范围为（）A．a＞0 B．a≥0 C．a≤﹣2 D．a＜﹣2考点：交集及其运算．专题：集合．分析：直接由交集运算得答案．解答：解：∵M={x|x≤a}，N={x|﹣2＜x＜0}，由M∩N=∅，得a≤﹣2．故选：C．点评：本题考查了交集及其运算，是基础题．2．（5分）下列函数中，在定义域内是减函数的是（）A．f（x）=﹣B．f（x）=C．f（x）=2﹣x D．f（x）=tanx考点：函数单调性的判断与证明．专题：函数的性质及应用．分析：分别对A，B，C，D各个选项进行分析，从而得到答案．解答：解：对于A：f（x）=﹣在（﹣∞，0）递增，在（0，+∞）递增，对于B：f（x）=在[0，+∞）递增，对于C：f（x）=2﹣x在（﹣∞，﹣∞）递减，对于D：f（x）=tanx在（kπ﹣，kπ+）递增，故选：C．点评：本题考查了函数的单调性问题，是一道基础题．3．（5分）设点P是函数f（x）=sinωx的图象C的一个对称中心，若点P到图象C的对称轴上的距离的最小值，则f（x）的最小正周期是（）A．2πB．πC．D．考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：分析法．分析：先根据对称点到对称轴上的距离的最小值，确定最小正周期的值，再由T=求w的值．解答：解：设点P是函数f（x）=sinωx的图象C的一个对称中心，若点P到图象C的对称轴上的距离的最小值为，则最小正周期为π，故选B．点评：本题主要考查正弦函数的性质﹣﹣对称性、周期性．4．（5分）已知向量=（3，1），=（﹣2，），则下列向量可以与垂直的是（）A．（﹣1，2）B．（2，﹣1）C．（4，2）D．（﹣4，2）考点：数量积判断两个平面向量的垂直关系．专题：平面向量及应用．分析：由=（3，1）+（﹣4，1）=（﹣1，2），得向量（4，2）可以与垂直．解答：解：∵向量=（3，1），=（﹣2，），∴=（3，1）+（﹣4，1）=（﹣1，2），∵（﹣1，2）•（﹣1，2）=1+4=5，（﹣1，2）•（2，﹣1）=﹣2﹣2=﹣4，（﹣1，2）•（4，2）=﹣4+4=0，（﹣1，2）•（﹣4，2）=4+4=8，∴向量（4，2）可以与垂直．故选：C．点评：本题考查与已知向量垂直的向量的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意向量垂直的性质的合理运用．5．（5分）“a＞1”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件考点：充要条件．分析：可以把不等式“”变形解出a的取值范围来，然后再作判断，具体地来说，两边同乘以分母a要分类讨论，分a＞0，a＜0两类来讨论，除了用符号法则，这是解答分式不等式的另一种重要方法．解答：解：由得：当a＞0时，有1＜a，即a＞1；当a＜0时，不等式恒成立．所以⇔a＞1或a＜0从而a＞1是的充分不必要条件．故应选：A点评：本题考查不等式的性质及其应用，解分式不等式的问题，不等式的等价变形！本题需要注意的是在利用不等式的乘法单调性时易出错，比如本题中若原不等式两边同乘以a，等到a＞1就是对不等式两边同乘以一个正数还是负数不等式是否改变方向认识不足导致的错误．6．（5分）已知数列{a n}的通项公式，则数列的前n项和S n的最小值是（）A．S3B．S4C．S5D．S6考点：数列的求和．专题：等差数列与等比数列．分析：解a n≥0，即可得出此数列{a n}从第几项开始大于0，进而得到数列的前几项和S n的最小值．解答：解：令，解得=，取n=5．也就是说：数列{a n}的前4项皆小于0，从第5项开始大于0．因此数列的前n项和S n的最小值是S4．故选B．点评：本题考查了数列的通项公式与其前n项和的最值关系，属于基础题．7．（5分）数列{a n}中，a1=，a n+1=（其中n∈N*），则使得a1+a2+a3+…+a n≥72成立的n的最小值为（）A．236 B．238 C．240 D．242考点：数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：由数列递推式得到数列为周期是4的周期数列，求出前4项的和，得到前236项和小于72，加上第237和第238项和后满足条件．解答：解：由a1=，a n+1=，得，，，，…由上可知，数列{a n}是以4为周期的周期数列，又．∵，∴数列{a n}的前236项和小于72，加上为大于72，∴使得a1+a2+a3+…+a n≥72成立的n的最小值为238．故选：B．点评：本题考查数列的递推公式的应用，解题时要认真审题，先由递推公式求出前5项，注意观察寻找规律，正确解题的关键是发现数列是以4为周期的数列，是中档题．8．（5分）已知集合A={a1，a2，…a n}（n＞2），令T A={x|x=a i+a j，1≤i＜j≤n}，card（T A）表示集合T A中元素的个数．关于card（T A）有下列四个命题：①card（T A）的最大值为n2；②card（T A）的最大值为n（n﹣1）；③card（T A）的最小值为2n；④card（T A）的最小值为2n﹣3．其中，正确的是（）A．①③B．①④C．②③D．②④考点：集合中元素个数的最值．专题：集合．分析：当集合A中任意两个元素的和不等时，card（T A）有最大值，当a i+1﹣a i=c（1≤i≤n ﹣1，c为非零常数）时，card（T A）有最小值，由此求出card（T A）的最大值和最小值判断四个命题得答案．解答：解：∵A={a1，a2，…a n}，且T A={x|x=a i+a j，1≤i＜j≤n}，∴当集合A中任意两个元素的和不等时，card（T A）有最大值为；当a i+1﹣a i=c（1≤i≤n﹣1，c为非零常数）时，card（T A）有最小值，说明数列a1，a2，…，a n，构成等差数列，取特殊的等差数列进行计算，取A={1，2，3，…，n}，则T A={3，4，5，…，2n﹣1}，由于（2n﹣1）﹣3+1=2n﹣3，∴T A中共2n﹣3个元素，利用类比推理可得，若a i+1﹣a i=c（1≤i≤n﹣1，c为非零常数），则card（T A）=2n﹣3．∴正确的命题是②④．故选：D．点评：本题考查了命题的真假判断与应用，考查了集合中元素个数的最值求法，关键是对题意的理解，是中档题．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．（5分）在△ABC中，若tanA=﹣2，则cos（B+C）=．考点：两角和与差的余弦函数．专题：计算题；三角函数的求值．分析：运用同角的基本关系式和诱导公式，即可得到所求值．解答：解：在△ABC中，tanA=﹣2，则=﹣2，sin2A+cos2A=1，解得，cosA=﹣则cos（B+C）=cos（π﹣A）=﹣cosA=．故答案为：．点评：本题考查同角的基本关系式及运用，考查诱导公式的运用，属于基础题．10．（5分）设a=e0.5，b=logπ2，c=cos2，则a，b，c从大到小的顺序为a＞b＞c．考点：对数值大小的比较．专题：函数的性质及应用．分析：利用对数函数的单调性、余弦函数的单调性即可得出．解答：解：∵a=e0.5＞1，0＜b=logπ2＜1，c=cos2＜0，∴a＞b＞c．故答案为：a＞b＞c．点评：本题考查了对数函数的单调性、余弦函数的单调性，属于基础题．11．（5分）已知函数f（x）=x﹣2sinx，则函数f（x）在（0，f（0））处的切线方程为y=﹣x；在（0，π）上的单调递增区间为．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的综合应用．分析：求出原函数的导函数，得到f′（0），再求得f（0），则答案可求；由导函数大于0求得x的范围得答案．解答：解：由f（x）=x﹣2sinx，得f′（x）=1﹣2cosx，f′（0）=1﹣2cos0=﹣1，又f（0）=0﹣2sin0=0，∴函数f（x）在（0，f（0））处的切线方程为y=﹣x；由1﹣2cosx＞0，得cosx，∵x∈（0，π），则．∴在（0，π）上的单调递增区间为．故答案为：y=﹣x；．点评：本题考查了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，过曲线上某点处的切线的斜率，就是函数在该点处的导数值，是中档题．12．（5分）若函数f（x）=为奇函数，则满足f（t﹣1）＜f（2t）的实数t的取值范围是t＞﹣1．考点：函数奇偶性的性质；函数单调性的性质．专题：函数的性质及应用；不等式的解法及应用．分析：由函数f（x）是奇函数，可得f（1）+f（﹣1）=0，解得a=1，画图可知f（x）单调递增，所以f（t﹣1）＜f（2t）⇔t﹣1＜2t⇔t＞﹣1．解答：解：由函数f（x）是奇函数，可得f（1）+f（﹣1）=0，即2a﹣（a+1）=0，解得a=1，故f（x）=，其图象如下图所示：由图可知f（x）单调递增，∴f（t﹣1）＜f（2t）可化为：t﹣1＜2t解得：t＞﹣1．故答案为：t＞﹣1．点评：本题考查的知识点是函数奇偶性，函数的单调性，解不等式，其中根据函数的奇偶性，求出a值，进而求出函数的解析式，是解答的关键．13．（5分）如图，线段AB长度为2，点A，B分别在x非负半轴和y非负半轴上滑动，以线段AB为一边，在第一象限内作矩形ABCD，BC=1，O为坐标原点，则的取值范围是[1，3]．考点：向量在几何中的应用．专题：计算题；平面向量及应用．分析：令∠OAD=θ，由边长为1，2的长方形ABCD的顶点A、D分别在x轴、y轴正半轴上，可得出B，C的坐标，由此可以表示出两个向量，算出它们的内积即可．解答：解：如图令∠OAB=θ，θ∈，由于AB=2故0A=2cosθ，OB=2sinθ，如图∠DAX=﹣θ，BC=1，故x D=2cosθ+cos（﹣θ）=2cosθ+sinθ，y D=sin（﹣θ）=cosθ故=（2cosθ+sinθ，cosθ）同理可求得C（sinθ，cosθ+2sinθ），即=（sinθ，cosθ+2sinθ），∴=（2cosθ+sinθ，cosθ）•（sinθ，cosθ+2sinθ）=1+2sin2θ，∵θ∈，∴2θ∈[0，π]∵sin2θ∈[0，1]，∴的最大值是3，最小值是1，故答案是：[1，3]．点评：本题考查向量在几何中的应用，设角引入坐标是解题的关键，由于向量的运算与坐标关系密切，所以在研究此类题时应该想到设角来表示点的坐标．14．（5分）对于函数y=f（x），若在其定义域内存在x0，使得x0f（x0）=1成立，则称函数f （x）具有性质P．（1）下列函数中具有性质P的有①②④．①f（x）=﹣2x+2；②f（x）=sinx（x∈[0，2π]）；③f（x）=x+，（x∈（0，+∞））；④f（x）=ln（x+1）．（2）若函数f（x）=alnx具有性质P，则实数a的取值范围是a＞0或a≤﹣e．考点：进行简单的合情推理．专题：函数的性质及应用；推理和证明．分析：（1）在x≠0时f（x）=有解即函数具有性质P，逐一判断三个函数是否满足此条件，可得答案；（2）f（x）=alnx具有性质P，显然a≠0，方程xlnx=有根，因为g（x）=xlnx的值域为[﹣，+∞），所以≥﹣，进而得到答案．解答：解：（1）在x≠0时，f（x）=有解，即函数具有性质P，①令﹣2x+2=，即﹣2x2+2x﹣1=0，∵△=8﹣8=0，故方程有一个非0实根，故f（x）=﹣2x+2具有性质P；②f（x）=sinx（x∈[0，2π]）的图象与y=有交点，故sinx=有解，故f（x）=sinx（x∈[0，2π]）具有性质P；③令x+=，此方程无解，故f（x）=x+，（x∈（0，+∞））不具有性质P；④f（x）=ln（x+1）的图象与y=有交点，故ln（x+1）=有解，故f（x）=ln（x+1）具有性质P；综上所述，具有性质P的函数有：①②④，（2）f（x）=alnx具有性质P，显然a≠0，方程xlnx=有根，∵g（x）=xlnx的值域为[﹣，+∞），∴≥﹣，解之可得：a＞0或a≤﹣e．故答案为：①②④；（2）a＞0或a≤﹣e点评：本题考查的知识点是方程的根，新定义，函数的值域，是方程和函数的综合应用，难度比较大．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15．（13分）设c＞0．命题P：y=log c x是减函数．命题Q：|x﹣1|﹣x+2c＞0对任意x∈R恒成立．若P或Q为真，P且Q为假，试求c的取值范围．考点：复合命题的真假．专题：简易逻辑．分析：根据对数函数的单调性，以及通过去绝对值即可求出命题P，Q下c的取值范围．而根据P或Q为真，P且Q为假得P真Q假，或P假Q真，所以求出每种情况下c的取值范围再求并集即可．解答：解：由命题P知0＜c＜1；由命题Q知，对任意x∈R，恒成立；∵；x＜1时，x﹣；∴的最大值为；∴；若P或Q为真，P且Q为假，则P，Q一真一假；P真Q假时，0＜c＜1且0＜c≤，∴；P假Q真时，c≥1且c，∴c≥1；∴c的取值范围为．点评：考查对数函数的单调性，处理含绝对值函数的方法：去绝对值，以及P或Q，P且Q 真假和P，Q真假的关系．16．（13分）如图，已知点A（10，0），直线x=t（0＜t＜10）与函数y=e2x+1的图象交于点P，与x轴交于点H，记△APH的面积为f（t）．（Ⅰ）求函数f（t）的解析式；（Ⅱ）求函数f（t）的最大值．考点：利用导数研究函数的单调性．专题：导数的综合应用．分析：（I）由题意设点P坐标，来表示AH，PH的大小，计算出△APH的面积f（t）=•AH•PH；（II）求f（t）的导函数f，（t），令f'（t）=0，求得f'（t）＞0、＜0的t的取值范围，从而求得f（t）的最大值．解答：解：（I）由题意点P（x，y），则x=t，y=e2t+1，其中0＜t＜10，∴AH=10﹣t，PH=e2t+1，所以△APH的面积为f（t）=•AH•PH=（10﹣t）e2t+1，其中0＜t＜10．（II）∵f（t）=（10﹣t）e2t+1，其中0＜t＜10．∴f′（t）=﹣e2t+1+×（10﹣t）×2e2t+1=e2t+1（19﹣2t），由f'（t）=0，得t=9.5，函数f（t）与f′（t）在定义域上的情况下表：t （0，9.5）9.5 （9.5，10）f′（t）+ 0 ﹣f（t）↗极大值↘所以当t=9.5时，函数f（t）取得最大值t=．点评：本题考查了函数的综合应用，其中有利用导数来求函数在某一区间上的最值问题，属于中档题．17．（13分）在△ABC中，已知C=，cos2B=+sin2A．（Ⅰ）求tanB；（Ⅱ）若BC=2，求△ABC的面积．考点：正弦定理．专题：三角函数的求值；解三角形．分析：（Ⅰ）由题意和内角和定理求出A=，代入cos2B=+sin2A，利用二倍角的余弦公式化简，求出tanB；（Ⅱ）由同角三角函数的基本关系求出sinB、cosB，再由两角差的正弦公式求出sinA，由正弦定理求出BC，代入面积公式求出△ABC的面积．解答：解：（Ⅰ）由C=得，A=π﹣B﹣C=，所以cos2B=+sin2A=+sin2（）=+[1﹣cos（）]，则=1﹣sinBcosB，即2sin2B=sinBcosB，因为，所以sinB＞0，所以tanB=；（Ⅱ）由，tanB=得，，解得sinB=，cosB=，所以sinA=sin（）=sin cosB﹣cos sinB=（﹣）=，由正弦定理得，，所以AC===2．所以△ABC的面积S=AC•BCsinC=2．点评：本题考查正弦定理、三角形的面积公式，以及三角恒等变换的公式，熟练掌握定理和公式是解题的关键．18．（13分）已知函数f（x）=ln（x+1）﹣ax（a∈R）．（Ⅰ）若a=1，求证：当x＞0时，f（x）＜0；（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅲ）求证：（1+）（1+）…（1+）＜e．考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．专题：导数的综合应用．分析：（Ⅰ）利用导数判定函数的单调性，可得f（x）在（0，+∞）上单调递减，故f（x）＜f（0）=0；（Ⅱ）f′（x）=﹣a=，分a≥0和a＜0，讨论可得函数的单调区间；（Ⅲ）要证：（1+）（1+）…（1+）＜e，两边取以e为底的对数，即只需证明ln（1+）+ln（1+）+…+ln（1+）＜1，由（Ⅰ）可知，ln（x+1）＜x（x＞0），分别取x=，，…，，即可得出结论成立．解答：（Ⅰ）证明：∵a=1，∴f（x）=ln（x+1）﹣x，∴f′（x）=﹣1=，∴当x＞0时，f′（x）＜0，f（x）在（0，+∞）上单调递减，∴f（x）＜f（0）=0．（Ⅱ）解：∵f（x）=ln（x+1）﹣ax，∴f（x）的定义域为（﹣1，+∞），∴f′（x）=﹣a=，∴①当a≤0时，f′（x）≥0，f（x）在（﹣1，+∞）单调递增；②当a＞0时，x∈（﹣1，﹣1+）上，f′（x）＞0，x∈（﹣1+，+∞），f′（x）＜0，∴f（x）在（﹣1，﹣1+）单调递增，在（﹣1+，+∞）单调递减，（Ⅲ）证明：要证：（1+）（1+）…（1+）＜e，两边取以e为底的对数，即只需证明ln（1+）+ln（1+）+…+ln（1+）＜1，由（Ⅰ）可知，ln（x+1）＜x（x＞0），分别取x=，，…，，得到ln（1+），ln（1+）＜，…，ln（1+）＜，将上述n个不等式相加，得ln（1+）+ln（1+）+…+ln（1+）＜+…+=1﹣＜1．从而结论成立．点评：本题主要考查利用导数研究函数的单调性求函数的单调区间及函数最值等知识，考查学生等价转化思想及分类讨论思想的运用能力，综合性、逻辑性强，属于难题19．（14分）已知抛物线C的顶点为原点，其焦点F（0，c）（c＞0）到直线l：x﹣y﹣2=0的距离为．（Ⅰ）求抛物线C的方程；（Ⅱ）设点P（x0，y0）为直线l上一动点，过点P作抛物线C的两条切线PA，PB，其中A，B为切点，求直线AB的方程，并证明直线AB过定点Q；（Ⅲ）过（Ⅱ）中的点Q的直线m交抛物线C于A，B两点，过点A，B分别作抛物线C的切线l1，l2，求l1，l2交点M满足的轨迹方程．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（Ⅰ）由已知得=，由此能求出抛物线C的方程．（Ⅱ）设P（x0，x0﹣2），设切点为（x，），曲线C：y=，，从而x2﹣2x0x+4x0﹣8=0，由此能求出直线AB为x0x﹣2y﹣2y0=0，并能证明直线AB过定点Q（2，2）．（Ⅲ）设A（x1，），B（），从而求出交点M（，）设过Q点的直线为y=k（x﹣2）+2联立，得x2﹣4kx+8k﹣8=0，由此能求出点M满足的轨迹方程为x﹣y﹣2=0．解答：解：（Ⅰ）∵抛物线C的焦点F（0，c）（c＞0）到直线l：x﹣y﹣2=0的距离为，∴=，解得c=1或c=﹣5，（舍），∴抛物线C的方程为x2=4y．（Ⅱ）设P（x0，x0﹣2），设切点为（x，），曲线C：y=，，则切线的斜率为=y′=，化简，得x2﹣2x0x+4x0﹣8=0，设A（x1，），B（），则x1，x2是以上方程的两根，∴x1+x2=2x0，x1x2=4x0﹣8，k AB===，直线AB为：，化简，得：x0x﹣2y﹣2y0=0，定点Q（2，2）．（Ⅲ）设A（x1，），B（），过A的切线y=（x﹣x1）+，过B的切线y=（x﹣x2）+，交点M（，）设过Q点的直线为y=k（x﹣2）+2联立，得x2﹣4kx+8k﹣8=0，∴x1+x2=4k，x1x2=8k﹣2，∴M（2k，2k﹣2），∴y=x﹣2．∴点M满足的轨迹方程为x﹣y﹣2=0．点评：本题考查抛物线C的方程的求法，考查直线AB的方程的求法，考查直线AB过定点Q的证明，考查两切线交点M满足的轨迹方程的求法，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．20．（14分）已知数列{a n}的首项a1=a，其中a∈N*，令集合．（I）若a4是数列{a n}中首次为1的项，请写出所有这样数列的前三项；（II）求证：{1，2，3}⊆A；（III）当a≤2014时，求集合A中元素个数Card（A）的最大值．考点：数列递推式；集合的包含关系判断及应用；集合中元素个数的最值．专题：新定义；点列、递归数列与数学归纳法．分析：（I）由a4=1，，求出a3；再求a2，a1；（II）讨论a k被3除余1，余2，余0的情况，确定a k与a k+3的大小，从而推导1、2、3是数列{a n}中的项；（III）由已知递推关系得{a n}满足：当a m∈{1，2，3}时，总有a n=a n+3成立，当a1≤2014时，数列{a n}中大于3的各项，按逆序排列各项，构成的数列记为{b n}，由（I）得b1的取值，由（II）知数列{b n}的项满足：b n+3＞b n，且当b n是3的倍数时，满足b n+3﹣b n最小的数列{b n}，得出{b3k﹣1}的通项公式，由36＜2014＜37，得出当a≤2014时，k的最大值，从而得出A中元素个数的最大值．解答：解：（I）∵a4是数列{a n}中首次为1的项，又，∴a3=3a4=3；∴a2=3a3或a3﹣1，即a2=9或2；同理a1=3a2或a2﹣1，当a2=9时，即a1=27或8，当a2=2时，a1=6或1（不合题意，舍去）；所以，满足条件的数列的前三项为：27，9，3；或8，9，3；或6，2，3．（II）若a k被3除余1，则由已知可得a k+1=a k+1，a k+2=a k+2，a k+3=（a k+2）；若a k被3除余2，则由已知可得a k+1=a k+1，a k+2=（a k+1），a k+3≤（a k+1）+1；若a k被3除余0，则由已知可得a k+1=a k，a k+3≤a k+2；所以a k+3≤a k+2；所以a k﹣a k+3≥a k﹣（a k+2）=（a k﹣3）；所以，对于数列{a n}中的任意一项a k，“若a k＞3，则a k＞a k+3”．因为a k∈N*，所以a k﹣a k+3≥1．所以数列{a n}中必存在某一项a m≤3（否则会与上述结论矛盾！）若a m=3，则a m+1=1，a m+2=2；若a m=2，则a m+1=3，a m+2=1，若a m=1，则a m+1=2，a m+2=3，由递推关系得{1，2，3}⊆A．（III）集合A中元素个数Card（A）的最大值为21．由已知递推关系可推得数列{a n}满足：当a m∈{1，2，3}时，总有a n=a n+3成立，其中n=m，m+1，m+2，…．下面考虑当a1=a≤2014时，数列{a n}中大于3的各项：按逆序排列各项，构成的数列记为{b n}，由（I）可得b1=6或9，由（II）的证明过程可知数列{b n}的项满足：b n+3＞b n，且当b n是3的倍数时，若使b n+3﹣b n 最小，需使b n+2=b n+1﹣1=b n﹣2，所以，满足b n+3﹣b n最小的数列{b n}中，b3=4或7，且b3k=3b3k+3﹣2，所以b3k﹣1=3（b3（k+1）﹣1），所以数列{b3k﹣1}是首项为4﹣1或7﹣1的公比为3的等比数列，所以b3k﹣1=（4﹣1）×3k﹣1或b3k﹣1=（7﹣1）×3k﹣1，即b3k=3k+1或b3k=2×3k+1，因为36＜2014＜37，所以，当a≤2014时，k的最大值是6，所以a1=b18，所以集合A中元素个数Card（A）的最大值为21．点评：本题考查了递推数列与不等式、集合等知识的综合应用，也考查了较强的逻辑思维能力，是难题．。

北京市师大附中-上学期高一年级期中考试数学试卷（满分150分，考试时间1）第Ⅰ卷（模块卷）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 设全集{}8,7,6,5,4,3,2,1=U ，集合{}5,3,1=S ，{}6,3=T ，则)(T S C U 等于（ ） A. ∅ B. {}8,7,4,2 C. {}6,5,3,1 D. {}8,6,4,2 2. 给定映射f ：)2,2(),(y x y x y x -+→，在映射f 下（3，1）的原象为（ ）A. （1，3）B. （1，1）C. （3，1）D. （21,21） 3. 下列函数中是偶函数且在（0，1）上单调递减的是（ ）A. 31x y -= B. 4x y = C. 21x y = D. 2-=x y4. 已知3.0log 2=a ，3.02=b ，2.03.0=c ，则c b a ,,三者的大小关系是（ ）A. c b a >>B. c a b >>C. a c b >>D. a b c >>5. 设函数3x y =与2)21(-=x y 的图象的交点为),(00y x ，则0x 所在的区间是（ ）A. （0，1）B. （1，2）C. （2，3）D. （3，4）6. 若函数)(x f y =是函数xa y =（0>a ，且1≠a ）的反函数，其图象经过点),(a a ，则=)(x f （ ）A. x 2logB. x 21log C.x 21 D. 2x 7. 函数210552)(xx x x f --+-=（ ）A. 是奇函数但不是偶函数B. 是偶函数但不是奇函数C. 既是奇函数又是偶函数D. 既不是奇函数又不是偶函数8. 已知实数0,0≥≥b a 且1=+b a ，则22)1()1(+++b a 的取值范围为（ ）A. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡5,29B. ⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,29C. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡29,0 D. []5,0二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。