(四川专版)2019高考数学二轮复习 专题十六 椭圆、双曲线、抛物线练习 理
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数学高考试卷椭圆双曲线抛物线和圆锥曲线的综合应用,带参考答案本文收集整理了高中数学高考试卷椭圆、双曲线、抛物线和圆锥曲线的综合应用知识知识,并配上详细参考答案,内容全共五十六页。
同学们认真完成这些练习,并对过答案,对学习高中椭圆、双曲线、抛物线和圆锥曲线的综合应用知识知识,一定有很大的帮助,希望大家喜欢这份文档。
一、椭圆知识1.(2018全国Ⅱ,12)已知F 1,F 2是椭圆C : x 2a +y 2b =1 (a >b >0)的左,右焦点,A是C 的左顶点,点P 在过A 且斜率为√36的直线上,△PF 1F 2为等腰三角形,∠F 1F 2P =120°,则C 的离心率为( )A .23 B .12 C .13 D .141.答案:D 因为△PF 1F 2为等腰三角形,∠F 1F 2P =120°,所以PF 2=F 1F 2=2c,由AP 斜率为√36得,tan∠PAF 2=√36,∴sin∠PAF 2=√13cos∠PAF 2=√12√13,由正弦定理得PF 2AF 2=sin∠PAF 2sin∠APF 2,所以2c a+c =1√13sin(π3−∠PAF 2)1√13√32⋅√12√13−12⋅1√1325∴a =4c,e =14,选D.2.(2017•新课标Ⅲ,10)已知椭圆C : =1(a >b >0)的左、右顶点分别为A 1 , A 2 , 且以线段A 1A 2为直径的圆与直线bx ﹣ay+2ab=0相切,则C 的离心率为( )A. B. C. D.2. 答案:A 以线段A 1A 2为直径的圆与直线bx ﹣ay+2ab=0相切, ∴原点到直线的距离=a ,化为:a 2=3b 2 . ∴椭圆C 的离心率e= = = .故选A .3.(2017•浙江,)椭圆+=1的离心率是( )A. B. C. D.3. 答案:B 椭圆+=1,可得a=3,b=2,则c==,所以椭圆的离心率为: =.故选B .4.(2016·浙江,7)已知椭圆C 1:x 2m 2+y 2=1(m >1)与双曲线C 2:x 2n2-y 2=1(n >0)的焦点重合,e 1,e 2分别为C 1,C 2的离心率,则( )A.m >n 且e 1e 2>1B.m >n 且e 1e 2<1C.m <n 且e 1e 2>1D.m <n 且e 1e 2<14.答案: A [由题意可得:m 2-1=n 2+1,即m 2=n 2+2, 又∵m >0,n >0,故m >n . 又∵e 21·e 22=m 2-1m 2·n 2+1n 2=n 2+1n 2+2·n 2+1n 2=n 4+2n 2+1n 4+2n 2=1+1n 4+2n 2>1,∴e 1·e 2>1.] 5.(2016·全国Ⅲ,11)已知O 为坐标原点,F 是椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左焦点,A ,B分别为C 的左,右顶点.P 为C 上一点,且PF ⊥x 轴.过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ,与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点,则C 的离心率为( ) A.13 B.12 C.23 D.345.A [设M (-c ,m ),则E ⎝⎛⎭⎫0,am a -c ,OE 的中点为D ,则D ⎝⎛⎭⎫0,am2(a -c ),又B ,D ,M 三点共线,所以m 2(a -c )=m a +c,a =3c ,e =13.]6.(2014·大纲全国,6)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点为F 1、F 2,离心率为33,过F 2的直线l 交C 于A 、B 两点.若△AF 1B 的周长为43,则C 的方程为( ) A.x 23+y 22=1 B.x 23+y 2=1 C.x 212+y 28=1 D.x 212+y 24=1 6.A [由椭圆的性质知|AF 1|+|AF 2|=2a ,|BF 1|+|BF 2|=2a , ∴△AF 1B 的周长=|AF 1|+|AF 2|+|BF 1|+|BF 2|=43,∴a = 3.又e =33,∴c =1.∴b 2=a 2-c 2=2,∴椭圆的方程为x 23+y 22=1,故选A.]7.(2018浙江,17)已知点P (0,1),椭圆x24+y 2=m (m >1)上两点A ,B 满足AP⃑⃑⃑⃑⃑ =2PB ⃑⃑⃑⃑⃑ ,则当m =___________时,点B 横坐标的绝对值最大.7.5 设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),由AP ⃑⃑⃑⃑⃑ =2PB ⃑⃑⃑⃑⃑ 得−x 1=2x 2,1−y 1=2(y 2−1),∴−y 1=2y 2−3, 因为A ,B 在椭圆上,所以x 124+y 12=m,x 224+y 22=m, ∴4x 224+(2y 2−3)2=m,∴x 224+(y 2−32)2=m4,与x 224+y 22=m 对应相减得y 2=3+m 4,x 22=−14(m 2−10m +9)≤4,当且仅当m =5时取最大值.8.(2016·江苏,10)如图,在平面直角坐标系xOy 中,F 是椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的右焦点,直线y =b2与椭圆交于B ,C 两点,且∠BFC =90°,则该椭圆的离心率是________.8.63 [联立方程组⎩⎨⎧x 2a 2+y 2b 2=1,y =b2,解得B 、C 两点坐标为B ⎝⎛⎭⎫-32a ,b 2,C ⎝⎛⎭⎫32a ,b2,又F (c ,0),则FB →=⎝⎛⎭⎫-32a -c ,b 2,FC →=⎝⎛⎭⎫3a 2-c ,b 2,又由∠BFC =90°,可得FB →·FC →=0,代入坐标可得:c 2-34a 2+b 24=0①,又因为b 2=a 2-c 2.代入①式可化简为c 2a 2=23,则椭圆离心率为e =ca=23=63. 9.(2014·辽宁,15)已知椭圆C :x 29+y 24=1,点M 与C 的焦点不重合.若M 关于C 的焦点的对称点分别为A ,B ,线段MN 的中点在C 上,则|AN |+|BN |=________.9.12 [设MN 交椭圆于点P ,连接F 1P 和F 2P (其中F 1、F 2是椭圆C 的左、右焦点),利用中位线定理可得|AN |+|BN |=2|F 1P |+2|F 2P |=2×2a =4a =12.] 10.(2014·安徽,14)设F 1,F 2分别是椭圆E :x 2+y 2b 2=1(0<b <1)的左、右焦点,过点F 1的直线交椭圆E 于A ,B 两点.若|AF 1|=3|F 1B |,AF 2⊥x 轴,则椭圆E 的方程为________. 10.x 2+3y 22=1 [设点A 在点B 上方,F 1(-c ,0),F 2(c ,0),其中c =1-b 2,则可设A (c ,b 2),B (x 0,y 0),由|AF 1|=3|F 1B |,可得AF 1→=3F 1B →,故⎩⎪⎨⎪⎧-2c =3(x 0+c ),-b 2=3y 0,即⎩⎨⎧x 0=-53c ,y 0=-13b 2,代入椭圆方程可得25(1-b 2)9+19b 2=1,得b 2=23,故椭圆方程为x 2+3y 22=1.] 11.(2014·江西,15)过点M (1,1)作斜率为-12的直线与椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)相交于A ,B两点,若M 是线段AB 的中点,则椭圆C 的离心率等于________. 11.22 [设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),分别代入椭圆方程相减得(x 1-x 2)(x 1+x 2)a 2+(y 1-y 2)(y 1+y 2)b 2=0,根据题意有x 1+x 2=2×1=2,y 1+y 2=2×1=2,且y 1-y 2x 1-x 2=-12,所以2a 2+2b 2×⎝⎛⎭⎫-12=0,得a 2=2b 2,所以a 2=2(a 2-c 2),整理得a 2=2c 2得c a =22,所以e =22.] 12.(2018全国Ⅲ,20)已知斜率为k 的直线l 与椭圆C : x 24+y 23=1交于A ,B 两点,线段AB的中点为M(1 , m)(m >0). (1)证明:k <−12;(2)设F 为C 的右焦点,P 为C 上一点,且FP ⃑⃑⃑⃑⃑ +FA ⃑⃑⃑⃑⃑ +FB ⃑⃑⃑⃑⃑ =0.证明:|FA ⃑⃑⃑⃑⃑ |,|FP ⃑⃑⃑⃑⃑ |,|FB ⃑⃑⃑⃑⃑ |成等差数列,并求该数列的公差. 12.(1)设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则x 124+y 123=1,x 224+y 223=1.两式相减,并由y 1−y2x 1−x 2=k 得x 1+x 24+y 1+y 23⋅k =0. 由题设知x 1+x 22=1,y 1+y 22=m ,于是k =−34m .①由题设得0<m <32,故k <−12. (2)由题意得F(1,0),设P(x 3,y 3),则 (x 3−1,y 3)+(x 1−1,y 1)+(x 2−1,y 2)=(0,0).由(1)及题设得x 3=3−(x 1+x 2)=1,y 3=−(y 1+y 2)=−2m <0. 又点P 在C 上,所以m =34,从而P(1,−32),|FP ⃑⃑⃑⃑⃑ |=32. 于是|FA⃑⃑⃑⃑⃑ |=√(x 1−1)2+y 12=√(x 1−1)2+3(1−x 124)=2−x 12. 同理|FB⃑⃑⃑⃑⃑ |=2−x 22.所以|FA⃑⃑⃑⃑⃑ |+|FB ⃑⃑⃑⃑⃑ |=4−12(x 1+x 2)=3. 故2|FP⃑⃑⃑⃑⃑ |=|FA ⃑⃑⃑⃑⃑ |+|FB ⃑⃑⃑⃑⃑ |,即|FA ⃑⃑⃑⃑⃑ |,|FP ⃑⃑⃑⃑⃑ |,|FB ⃑⃑⃑⃑⃑ |成等差数列. 设该数列的公差为d ,则2|d|=||FB⃑⃑⃑⃑⃑ |−|FA ⃑⃑⃑⃑⃑ ||=12|x 1−x 2|=12√(x 1+x 2)2−4x 1x 2.② 将m =34代入①得k =−1.所以l 的方程为y =−x +74,代入C 的方程,并整理得7x 2−14x +14=0.故x 1+x 2=2,x 1x 2=128,代入②解得|d|=3√2128. 所以该数列的公差为3√2128或−3√2128. 13.(2018天津,19)设椭圆22221x x a b+= (a >b >0)的左焦点为F ,上顶点为B . 已知椭圆的点A 的坐标为(),0b,且FB AB ⋅=(I )求椭圆的方程;(II )设直线l : (0)y kx k =>与椭圆在第一象限的交点为P ,且l 与直线AB 交于点Q .若sin 4AQ AOQ PQ=∠ (O 为原点) ,求k 的值. 13.(Ⅰ)设椭圆的焦距为2c ,由已知有2259c a =,又由a 2=b 2+c 2,可得2a =3b .由已知可得, FB a =,AB =,由FB AB ⋅=ab =6,从而a =3,b =2.所以,椭圆的方程为22194x y +=. (Ⅱ)设点P 的坐标为(x 1,y 1),点Q 的坐标为(x 2,y 2). 由已知有y 1>y 2>0,故12PQ sin AOQ y y ∠=-. 又因为2y AQ sin OAB =∠,而∠OAB =π4,故2AQ =.由4AQ sin AOQ PQ=∠,可得5y 1=9y 2. 由方程组22{ 194y kx x y =+=,,消去x,可得1y =. 易知直线AB 的方程为x +y –2=0, 由方程组{20y kx x y =+-=,,消去x ,可得221ky k =+.由5y 1=9y 2,可得5(k +1)= 两边平方,整理得25650110k k -+=,解得12k =,或1128k =. 所以,k 的值为12或1128.14.(2017•江苏,17)如图,在平面直角坐标系xOy 中,椭圆E : =1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1 , F 2 , 离心率为,两准线之间的距离为8.点P 在椭圆E 上,且位于第一象限,过点F 1作直线PF 1的垂线l 1 , 过点F 2作直线PF 2的垂线l 2 . (Ⅰ)求椭圆E 的标准方程;(Ⅱ)若直线l 1 , l 2的交点Q 在椭圆E 上,求点P 的坐标.14.(1)设椭圆的半焦距为c .因为椭圆E 的离心率为12,两准线之间的距离为8,所以12c a =, 228a c =,解得2,1a c ==,于是b ==因此椭圆E 的标准方程是22143x y +=. (2)由(1)知, ()11,0F -, ()21,0F . 设()00,P x y ,因为点P 为第一象限的点,故000,0x y >>. 当01x =时, 2l 与1l 相交于1F ,与题设不符. 当01x ≠时,直线1PF 的斜率为001y x +,直线2PF 的斜率为001y x -.因为11l PF ⊥, 22l PF ⊥,所以直线1l 的斜率为001x y -+,直线2l 的斜率为001x y --, 从而直线1l 的方程: ()0011x y x y +=-+, ① 直线2l 的方程: ()0011x y x y -=--. ② 由①②,解得2001,x x x y y -=-=,所以20001,x Q x y ⎛⎫-- ⎪⎝⎭.因为点Q 在椭圆上,由对称性,得20001x y y -=±,即2201x y -=或22001x y +=. 又P 在椭圆E 上,故2200143x y +=. 由22002201{ 143x y x y-=+=,解得00x y ==; 220022001{ 143x y x y +=+=,无解.因此点P的坐标为⎝⎭15.(2016·全国Ⅱ,20)已知椭圆E :x 2t +y 23=1的焦点在x 轴上,A 是E 的左顶点,斜率为k (k >0)的直线交E 于A ,M 两点,点N 在E 上,MA ⊥NA . (1)当t =4,|AM |=|AN |时,求△AMN 的面积; (2)当2|AM |=|AN |时,求k 的取值范围.15.解 (1)设M (x 1,y 1),则由题意知y 1>0.当t =4时,E 的方程为x 24+y 23=1,A (-2,0).由|AM |=|AN |及椭圆的对称性知,直线AM 的倾斜角为π4.因此直线AM 的方程为y =x +2.将x =y -2代入x 24+y 23=1得7y 2-12y =0,解得y =0或y =127,所以y 1=127.因此△AMN 的面积S △AMN =2×12×127×127=14449.(2)由题意t >3,k >0,A (-t ,0),将直线AM 的方程y =k (x +t )代入x 2t +y 23=1得(3+tk 2)x 2+2t ·tk 2x +t 2k 2-3t =0.由x 1·(-t )=t 2k 2-3t 3+tk 2得x 1=t (3-tk 2)3+tk 2,故|AM |=|x 1+t |1+k 2=6t (1+k 2)3+tk 2.由题设,直线AN 的方程为y =-1k (x +t ),故同理可得|AN |=6k t (1+k 2)3k 2+t .由2|AM |=|AN |得23+tk 2=k3k 2+t ,即(k 3-2)t =3k (2k -1),当k =32时上式不成立,因此t =3k (2k -1)k 3-2.t >3等价于k 3-2k 2+k -2k 3-2=(k -2)(k 2+1)k 3-2<0,即k -2k 3-2<0.由此得⎩⎪⎨⎪⎧k -2>0,k 3-2<0,或⎩⎪⎨⎪⎧k -2<0,k 3-2>0,解得32<k <2.因此k 的取值范围是(32,2).16.(2016·四川,20)已知椭圆E :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点,直线l :y =-x +3与椭圆E 有且只有一个公共点T . (1)求椭圆E 的方程及点T 的坐标;(2)设O 是坐标原点,直线l ′平行于OT ,与椭圆E 交于不同的两点A 、B ,且与直线l 交于点P .证明:存在常数λ,使得|PT |2=λ|P A |·|PB |,并求λ的值. 16.(1)解 由已知,a =2b ,则椭圆E 的方程为x 22b 2+y 2b 2=1.由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 22b 2+y 2b 2=1,y =-x +3,得3x 2-12x +(18-2b 2)=0.①方程①的判别式为Δ=24(b 2-3),由Δ=0,得b 2=3,此时方程①的解为x =2,所以椭圆E 的方程为x 26+y 23=1.点T 的坐标为(2,1).(2)证明 由已知可设直线l ′的方程为y =12x +m (m ≠0),由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y =12x +m ,y =-x +3,可得⎩⎨⎧x =2-2m3,y =1+2m 3.所以P 点坐标为⎝⎛⎭⎫2-2m 3,1+2m 3.|PT |2=89m 2. 设点A ,B 的坐标分别为A (x 1,y 1),B (x 2,y 2).由方程组⎩⎨⎧x 26+y 23=1,y =12x +m ,可得3x 2+4mx +(4m 2-12)=0.②方程②的判别式为Δ=16(9-2m 2), 由Δ>0,解得-322<m <322.由②得x 1+x 2=-4m3,x 1x 2=4m 2-123.所以|P A |=⎝⎛⎭⎫2-2m 3-x 12+⎝⎛⎭⎫1+2m 3-y 12=52⎪⎪⎪⎪2-2m 3-x 1,同理|PB |=52⎪⎪⎪⎪2-2m 3-x 2.所以|P A |·|PB |=54⎪⎪⎪⎪⎝⎛⎭⎫2-2m3-x 1⎝⎛⎭⎫2-2m 3-x 2 =54⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎝⎛⎭⎫2-2m 32-⎝⎛⎭⎫2-2m 3(x 1+x 2)+x 1x 2 =54⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎝⎛⎭⎫2-2m 32-⎝⎛⎭⎫2-2m 3⎝⎛⎭⎫-4m 3+4m 2-123=109m 2. 故存在常数λ=45,使得|PT |2=λ|P A |·|PB |.17.(2015·重庆,21)如图,椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,过F 2的直线交椭圆于P 、Q 两点,且PQ ⊥PF 1.(1)若|PF 1|=2+2,|PF 2|=2-2,求椭圆的标准方程; (2)若|PF 1|=|PQ |,求椭圆的离心率e .17.解 (1)由椭圆的定义,2a =|PF 1|+|PF 2|=(2+2)+(2-2)=4,故a =2. 设椭圆的半焦距为c ,由已知PF 1⊥PF 2,因此2c =|F 1F 2|=|PF 1|2+|PF 2|2=(2+2)2+(2-2)2=23,即c =3,即c =3,从而b =a 2-c 2=1. 故所求椭圆的标准方程为x 24+y 2=1.(2)法一 如图设点P (x 0,y 0)在椭圆上,且PF 1⊥PF 2,则x 20a 2+y 20b2=1,x 20+y 20=c 2, 求得x 0=±a c a 2-2b 2,y 0=±b 2c .由|PF 1|=|PQ |>|PF 2|得x 0>0,从而 |PF 1|2=⎝ ⎛⎭⎪⎫a a 2-2b 2c +c 2+b 4c 2=2(a 2-b 2)+2a a 2-2b 2=(a +a 2-2b 2)2. 由椭圆的定义,|PF 1|+|PF 2|=2a ,|QF 1|+|QF 2|=2a , 从而由|PF 1|=|PQ |=|PF 2|+|QF 2|,有|QF 1|=4a -2|PF 1|. 又由PF 1⊥PF 2,|PF 1|=|PQ |,知|QF 1|=2|PF 1|, 因此,(2+2)|PF 1|=4a ,即(2+2)(a +a 2-2b 2)=4a , 于是(2+2)(1+2e 2-1)=4,解得e =12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1+⎝ ⎛⎭⎪⎫42+2-12=6- 3. 法二 如图,由椭圆的定义,|PF 1|+|PF 2|=2a ,|QF 1|+|QF 2|=2a .从而由|PF 1|=|PQ |=|PF 2|+|QF 2|,有|QF 1|=4a -2|PF 1|.又由PF 1⊥PQ ,|PF 1|=|PQ |,知|QF 1|=2|PF 1|,因此,4a -2|PF 1|=2|PF 1|,得|PF 1|=2(2-2)a ,从而|PF 2|=2a -|PF 1|=2a -2(2-2)a =2(2-1)a . 由PF 1⊥PF 2,知|PF 1|2+|PF 2|2=|F 1F 2|2=(2c )2,因此e =ca =|PF 1|2+|PF 2|22a =(2-2)2+(2-1)2=9-62=6- 3. 18.(2015·福建,18)已知椭圆E :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)过点(0,2),且离心率e =22.(1)求椭圆E 的方程;(2)设直线l :x =my -1(m ∈R )交椭圆E 于A ,B 两点,判断点G ⎝⎛⎭⎫-94,0与以线段AB 为直径的圆的位置关系,并说明理由.18.解 法一 (1)由已知得,⎩⎪⎨⎪⎧b =2,c a =22,a 2=b 2+c 2.解得⎩⎨⎧a =2,b=2,c = 2.所以椭圆E 的方程为x 24+y 22=1.(2)设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),AB 的中点为H (x 0,y 0).⎩⎪⎨⎪⎧x =my -1,x 24+y 22=1得(m 2+2)y 2-2my -3=0.所以y 1+y 2=2m m 2+2,y 1y 2=-3m 2+2,从而y 0=mm 2+2.所以|GH |2=⎝⎛⎭⎫x 0+942+y 20=⎝⎛⎭⎫my 0+542+y 20=(m 2+1)y 20+52my 0+2516. |AB |24=(x 1-x 2)2+(y 1-y 2)24 =(1+m 2)(y 1-y 2)24=(1+m 2)[(y 1+y 2)2-4y 1y 2]4=(1+m 2)(y 20-y 1y 2), 故|GH |2-|AB |24=52my 0+(1+m 2)y 1y 2+2516=5m 22(m 2+2)-3(1+m 2)m 2+2+2516=17m 2+216(m 2+2)>0, 所以|GH |>|AB |2.故点G ⎝⎛⎭⎫-94,0在以AB 为直径的圆外. 法二 (1)同法一.(2)设点A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则GA →=⎝⎛⎭⎫x 1+94,y 1,GB →=⎝⎛⎭⎫x 2+94,y 2.由⎩⎪⎨⎪⎧x =my -1,x 24+y 22=1得(m 2+2)y 2-2my -3=0, 所以y 1+y 2=2m m 2+2,y 1y 2=-3m 2+2,从而GA →·GB →=⎝⎛⎭⎫x 1+94⎝⎛⎭⎫x 2+94+y 1y 2=⎝⎛⎭⎫my 1+54⎝⎛⎭⎫my 2+54+y 1y 2 =(m 2+1)y 1y 2+54m (y 1+y 2)+2516=-3(m 2+1)m 2+2+52m2m 2+2+2516=17m 2+216(m 2+2)>0, 所以cos 〈GA →,GB →〉>0.又GA →,GB →不共线,所以∠AGB 为锐角. 故点G ⎝⎛⎭⎫-94,0在以AB 为直径的圆外. 19.(2015·陕西,20)已知椭圆E :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的半焦距为c ,原点O 到经过两点(c,0),(0,b )的直线的距离为12c .(1)求椭圆E 的离心率;(2)如图,AB 是圆M :(x +2)2+(y -1)2=52的一条直径,若椭圆E 经过A ,B 两点,求椭圆E的方程.19.解 (1)过点(c ,0),(0,b )的直线方程为bx +cy -bc =0, 则原点O 到该直线的距离d =bc b 2+c 2=bc a,由d =12c ,得a =2b =2a 2-c 2,解得离心率c a =32.(2)法一 由(1)知,椭圆E 的方程为x 2+4y 2=4b 2.① 依题意,圆心M (-2,1)是线段AB 的中点,且|AB |=10,易知,AB 与x 轴不垂直,设其方程为y =k (x +2)+1,代入①得(1+4k 2)x 2+8k (2k +1)x +4(2k +1)2-4b 2=0,设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则x 1+x 2=-8k (2k +1)1+4k 2,x 1x 2=4(2k +1)2-4b 21+4k 2,由x 1+x 2=-4,得-8k (2k +1)1+4k 2=-4,解得k =12,从而x 1x 2=8-2b 2, 于是|AB |=1+⎝⎛⎭⎫122|x 1-x 2|=52(x 1+x 2)2-4x 1x 2=10(b 2-2),由|AB |=10,得10(b 2-2)=10,解得b 2=3, 故椭圆E 的方程为x 212+y 23=1.法二 由(1)知,椭圆E 的方程为x 2+4y 2=4b 2,②依题意,点A ,B 关于圆心M (-2,1)对称,且|AB |=10,设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则x 21+4y 21=4b 2,x 22+4y 22=4b 2,两式相减并结合x 1+x 2=-4,y 1+y 2=2,得-4(x 1-x 2)+8(y 1-y 2)=0, 易知AB 与x 轴不垂直,则x 1≠x 2, 所以AB 的斜率k AB =y 1-y 2x 1-x 2=12, 因此直线AB 的方程为y =12(x +2)+1,代入②得x 2+4x +8-2b 2=0,所以x 1+x 2=-4,x 1x 2=8-2b 2, 于是|AB |=1+⎝⎛⎭⎫122|x 1-x 2|=52(x 1+x 2)2-4x 1x 2=10(b 2-2).由|AB |=10,得10(b 2-2)=10,解得b 2=3, 故椭圆E 的方程为x 212+y 23=1.20.(2015·北京,19)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为22,点P (0,1)和点A (m ,n )(m ≠0)都在椭圆C 上,直线P A 交x 轴于点M .(1)求椭圆C 的方程,并求点M 的坐标(用m ,n 表示);(2)设O 为原点,点B 与点A 关于x 轴对称,直线PB 交x 轴于点N .问:y 轴上是否存在点Q ,使得∠OQM =∠ONQ ?若存在,求点Q 的坐标;若不存在,说明理由.20.解 (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧b =1,c a =22,a 2=b 2+c2解得a 2=2,故椭圆C 的方程为x22+y 2=1.设M (x M ,0).因为m ≠0,所以-1<n <1.直线P A 的方程为y -1=n -1m x .所以x M =m 1-n,即M ⎝⎛⎭⎫m 1-n ,0. (2)因为点B 与点A 关于x 轴对称,所以B (m ,-n ). 设N (x N ,0),则x N =m1+n.“存在点Q (0,y Q )使得∠OQM =∠ONQ ”,等价于“存在点Q (0,y Q )使得|OM ||OQ |=|OQ ||ON |”,即y Q 满足y 2Q =|x M ||x N |.因为x M =m 1-n ,x N =m 1+n ,m 22+n 2=1.所以y 2Q =|x M ||x N |=m 21-n 2=2.所以y Q =2或y Q =- 2.故在y 轴上存在点Q ,使得∠OQM =∠ONQ ,点Q 的坐标为(0,2)或(0,-2). 21.(2015·江苏,18)如图,在平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为22,且右焦点F 到左准线l 的距离为3. (1)求椭圆的标准方程;(2)过F 的直线与椭圆交于A ,B 两点,线段AB 的垂直平分线分别交直线l 和AB 于点P ,C ,若PC =2AB ,求直线AB 的方程. 21.解 (1)由题意,得c a =22且c +a 2c=3,解得a =2,c =1,则b =1,所以椭圆的标准方程为x 22+y 2=1.(2)当AB ⊥x 轴时,AB =2,又CP =3,不合题意.当AB 与x 轴不垂直时,设直线AB 的方程为y =k (x -1),A (x 1,y 1),B (x 2,y 2), 将AB 的方程代入椭圆方程,得(1+2k 2)x 2-4k 2x +2(k 2-1)=0, 则x 1,2=2k 2±2(1+k 2)1+2k 2,C 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 21+2k 2,-k 1+2k 2,且 AB =(x 2-x 1)2+(y 2-y 1)2=(1+k 2)(x 2-x 1)2=22(1+k 2)1+2k 2.若k =0,则线段AB 的垂直平分线为y 轴,与左准线平行,不合题意. 从而k ≠0,故直线PC 的方程为y +k 1+2k 2=-1k ⎝⎛⎭⎫x -2k 21+2k 2,则P 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫-2,5k 2+2k (1+2k 2),从而PC =2(3k 2+1)1+k 2|k |(1+2k 2).因为PC =2AB ,所以2(3k 2+1)1+k 2|k |(1+2k 2)=42(1+k 2)1+2k 2,解得k =±1.此时直线AB 的方程为y =x -1或y =-x +1.二、双曲线知识1.(2018浙江,2)双曲线x 23−y 2=1的焦点坐标是( ) A .(−√2,0),(√2,0) B .(−2,0),(2,0) C .(0,−√2),(0,√2) D .(0,−2),(0,2)1.B 因为双曲线方程为x 23−y 2=1,所以焦点坐标可设为(±c,0),因为c 2=a 2+b 2=3+1=4,c =2,所以焦点坐标为(±2,0),选B. 2.(2018全国Ⅰ,11)已知双曲线C :x 23−y 2=1,O 为坐标原点,F 为C 的右焦点,过F的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M 、N .若△OMN 为直角三角形,则|MN |=( ) A .32 B .3 C .2√3 D .42.B 根据题意,可知其渐近线的斜率为±√33,且右焦点为F(2,0),从而得到∠FON =30°,所以直线MN 的倾斜角为60°或120°,根据双曲线的对称性,设其倾斜角为60°,可以得出直线MN 的方程为y =√3(x −2),分别与两条渐近线y =√33x 和y =−√33x 联立,求得M(3,√3),N(32,−√32),所以|MN |=2)√2)=3,故选B.3.(2018全国Ⅱ,5)双曲线x 2a 2−y 2b 2=1 (a >0, b >0)的离心率为√3,则其渐近线方程为( )A .y =±√2xB .y =±√3xC .y =±√22x D .y =±√32x 3.A ∵e =ca =√3,∴b 2a 2=c 2−a 2a 2=e 2−1=3−1=2,∴ba =√2,因为渐近线方程为y =±ba x ,所以渐近线方程为y =±√2x ,选A. 4.(2018全国Ⅲ,11)设F 1,F 2是双曲线C:x 2a 2−y 2b 2=1()的左、右焦点,O 是坐标原点.过F 2作C 的一条渐近线的垂线,垂足为P .若|PF 1|=√6|OP |,则C 的离心率为( ) A .√5 B .√3 C .2 D .√24.B 由题可知|PF 2|=b,|OF 2|=c ,∴|PO |=a ,在Rt △POF 2中,cos∠PF 2O =|PF 2||OF 2|=bc, ∵在△PF 1F 2中,cos∠PF 2O =|PF 2|2+|F 1F 2|2−|PF 1|22|PF 2||F 1F 2|=bc ,∴b 2+4c 2−(√6a)22b∙2c=bc ⇒c 2=3a 2,∴e =√3.故选C.5.(2018天津,7)已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为2,过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ,B 两点. 设A ,B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为1d 和2d ,且126d d +=,则双曲线的方程为( )A .221412x y -= B .221124x y -= C .22139x y -= D .22193x y -=5.C 设双曲线的右焦点坐标为(),0F c (c >0),则A B x x c ==,由22221c y a b-=可得:2b y a =±,不妨设: 22,,,b b Ac B c a a ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,双曲线的一条渐近线方程为: 0bx ay -=,据此可得:21bc b d c -==,22bc b d c +==,则12226bcd d b c+===,则23,9b b ==,双曲线的离心率:2c e a ====,据此可得: 23a =,则双曲线的方程为22139x y -=. 本题选择C 选项.6.(2017•新课标Ⅱ,9)若双曲线C : ﹣ =1(a >0,b >0)的一条渐近线被圆(x ﹣2)2+y 2=4所截得的弦长为2,则C 的离心率为( )A.2B.C.D.6. A 双曲线C : ﹣=1(a >0,b >0)的一条渐近线不妨为:bx+ay=0,圆(x ﹣2)2+y 2=4的圆心(2,0),半径为:2,双曲线C : ﹣=1(a >0,b >0)的一条渐近线被圆(x ﹣2)2+y 2=4所截得的弦长为2,可得圆心到直线的距离为: = ,解得:,可得e 2=4,即e=2.故选A .7.(2017•新课标Ⅲ,5)已知双曲线C :﹣ =1 (a >0,b >0)的一条渐近线方程为y= x ,且与椭圆 + =1有公共焦点,则C 的方程为( )A.﹣ =1B.﹣ =1C.﹣=1 D.﹣=17. B 椭圆 +=1的焦点坐标(±3,0),则双曲线的焦点坐标为(±3,0),可得c=3,双曲线C :﹣ =1 (a >0,b >0)的一条渐近线方程为y=x ,可得 ,即 ,可得 = ,解得a=2,b= ,所求的双曲线方程为: ﹣ =1.故选B .8.(2017·天津,5)已知双曲线 ﹣ =1(a >0,b >0)的左焦点为F ,离心率为 .若经过F 和P (0,4)两点的直线平行于双曲线的一条渐近线,则双曲线的方程为( ) A.=1 B.=1 C.=1 D.=18. B 设双曲线的左焦点F (﹣c ,0),离心率e= =,c=a ,则双曲线为等轴双曲线,即a=b , 双曲线的渐近线方程为y=±x=±x ,则经过F 和P (0,4)两点的直线的斜率k= =,则=1,c=4,则a=b=2,∴双曲线的标准方程:;故选B .9.(2016·全国Ⅰ,5)已知方程x 2m 2+n -y 23m 2-n =1表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为4,则n 的取值范围是( )A.(-1,3)B.(-1,3)C.(0,3)D.(0,3)9.A [∵方程x 2m 2+n -y 23m 2-n =1表示双曲线,∴(m 2+n )·(3m 2-n )>0,解得-m 2<n <3m 2,由双曲线性质,知c 2=(m 2+n )+(3m 2-n )=4m 2(其中c 是半焦距),∴焦距2c =2×2|m |=4,解得|m |=1,∴-1<n <3,故选A.]10.(2016·全国Ⅱ,11)已知F 1,F 2是双曲线E :x 2a 2-y 2b 2=1的左,右焦点,点M 在E 上,MF 1与x 轴垂直,sin ∠MF 2F 1=13,则E 的离心率为( )A.2B.32C.3D.210.A [离心率e =F 1F 2MF 2-MF 1,由正弦定理得e =F 1F 2MF 2-MF 1=sin Msin F 1-sin F 2=2231-13= 2.故选A.]11.(2015·福建,3)若双曲线E :x 29-y 216=1的左、右焦点分别为F 1,F 2,点P 在双曲线E 上,且|PF 1|=3,则|PF 2|等于( )A.11B.9C.5D.311.B [由双曲线定义||PF 2|-|PF 1||=2a ,∵|PF 1|=3,∴P 在左支上,∵a =3,∴|PF 2|-|PF 1|=6,∴|PF 2|=9,故选B.]12.(2015·安徽,4)下列双曲线中,焦点在y 轴上且渐近线方程为y =±2x 的是( ) A.x 2-y 24=1 B.x 24-y 2=1 C.y 24-x 2=1 D.y 2-x 24=112.C [由双曲线性质知A 、B 项双曲线焦点在x 轴上,不合题意;C 、D 项双曲线焦点均在y 轴上,但D 项渐近线为y =±12x ,只有C 符合,故选C.]13.(2015·广东,7)已知双曲线C :x 2a 2-y 2b 2=1的离心率e =54,且其右焦点为F 2(5,0),则双曲线C 的方程为( )A.x 24-y 23=1B.x 216-y 29=1C.x 29-y 216=1D.x 23-y 24=1 13.B [因为所求双曲线的右焦点为F 2(5,0)且离心率为e =c a =54,所以c =5,a =4,b 2=c 2-a 2=9,所以所求双曲线方程为x 216-y 29=1,故选B.] 14.(2015·四川,5)过双曲线x 2-y 23=1的右焦点且与x 轴垂直的直线,交该双曲线的两条渐近线于A ,B 两点,则|AB |=( ) A.433B.2 3C.6D.4 314.D [焦点F (2,0),过F 与x 轴垂直的直线为x =2,渐近线方程为x 2-y 23=0,将x =2代入渐近线方程得y 2=12,y =±23,∴|AB |=23-(-23)=4 3.选D.]15.(2015·新课标全国Ⅱ,11)已知A ,B 为双曲线E 的左,右顶点,点M 在E 上,△ABM 为等腰三角形,且顶角为120°,则E 的离心率为( ) A. 5 B.2 C. 3 D. 2 15.D [如图,设双曲线E 的方程为x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0),则|AB |=2a ,由双曲线的对称性,可设点M (x 1,y 1)在第一象限内,过M 作MN ⊥x 轴于点N (x 1,0),∵△ABM 为等腰三角形,且∠ABM =120°,∴|BM |=|AB |=2a ,∠MBN =60°,∴y 1=|MN |=|BM |sin ∠MBN =2a sin 60°=3a ,x 1=|OB |+|BN |=a +2a cos 60°=2a .将点M (x 1,y 1)的坐标代入x 2a 2-y 2b 2=1,可得a 2=b 2,∴e =ca =a 2+b 2a 2=2,选D.] 16.(2015·新课标全国Ⅰ,5)已知M (x 0,y 0)是双曲线C :x 22-y 2=1上的一点,F 1,F 2是C 的两个焦点,若MF 1→·MF 2→<0,则y 0的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫-33,33 B.⎝⎛⎭⎫-36,36 C.⎝⎛⎭⎫-223,223 D.⎝⎛⎭⎫-233,233 16.A [由题意知M 在双曲线C :x 22-y 2=1上,又在x 2+y 2=3内部,由⎩⎪⎨⎪⎧x 22-y 2=1,x 2+y 2=3,得y =±33,所以-33<y 0<33.] 17.(2014·天津,5)已知双曲线x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的一条渐近线平行于直线l :y =2x +10,双曲线的一个焦点在直线l 上,则双曲线的方程为( ) A.x 25-y 220=1 B.x 220-y 25=1 C.3x 225-3y 2100=1 D.3x 2100-3y 225=1 17.A [由题意可知,双曲线的其中一条渐近线y =b a x 与直线y =2x +10平行,所以ba =2且左焦点为(-5,0),所以a 2+b 2=c 2=25,解得a 2=5,b 2=20,故双曲线方程为x 25-y 220=1.选A.]18.(2014·广东,4)若实数k 满足0<k <9,则曲线x 225-y 29-k =1与曲线x 225-k -y 29=1的( )A.离心率相等B.实半轴长相等C.虚半轴长相等D.焦距相等18.D [由0<k <9,易知两曲线均为双曲线且焦点都在x 轴上,由25+9-k =25-k +9,得两双曲线的焦距相等,选D.]19.(2014·新课标全国Ⅰ,4)已知F 为双曲线C :x 2-my 2=3m (m >0)的一个焦点,则点F 到C 的一条渐近线的距离为( ) A. 3 B.3 C.3m D.3m19.A [∵双曲线的方程为x 23m -y 23=1,∴焦点F 到一条渐近线的距离为 3.]20.(2014·重庆,8)设F 1,F 2分别为双曲线x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的左、右焦点,双曲线上存在一点P 使得|PF 1|+|PF 2|=3b ,|PF 1|·|PF 2|=94ab ,则该双曲线的离心率为( )A.43B.53C.94D.3 20.B [由双曲线的定义得||PF 1|-|PF 2||=2a ,又|PF 1|+|PF 2|=3b ,所以(|PF 1|+|PF 2|)2-(|PF 1|-|PF 2|)2=9b 2-4a 2,即4|PF 1|·|PF 2|=9b 2-4a 2,又4|PF 1|·|PF 2|=9ab ,因此9b 2-4a 2=9ab ,即9⎝⎛⎭⎫b a 2-9b a -4=0,则⎝⎛⎭⎫3b a +1⎝⎛⎭⎫3b a -4=0,解得b a =43⎝⎛⎭⎫b a =-13舍去,则双曲线的离心率e =1+⎝⎛⎭⎫b a 2=53.]21.(2014·山东,10)已知a >b >0,椭圆C 1的方程为x 2a 2+y 2b 2=1,双曲线C 2的方程为x 2a 2-y 2b 2=1,C 1与C 2的离心率之积为32,则C 2的渐近线方程为( ) A.x ±2y =0 B.2x ±y =0 C.x ±2y =0 D.2x ±y =021.A [椭圆C 1的离心率为a 2-b 2a ,双曲线C 2的离心率为a 2+b 2a ,所以a 2-b 2a ·a 2+b 2a =32,所以a 4-b 4=34a 4,即a 4=4b 4,所以a =2b ,所以双曲线C 2的渐近线方程是y =±12x ,即x ±2y =0.]22.(2014·大纲全国,9)已知双曲线C 的离心率为2,焦点为F 1、F 2,点A 在C 上.若|F 1A |=2|F 2A |,则cos ∠AF 2F 1=( ) A.14 B.13 C.24 D.2322.A [由双曲线的定义知|AF 1|-|AF 2|=2a ,又|AF 1|=2|AF 2|,∴|AF 1|=4a ,|AF 2|=2a . ∵e =ca =2,∴c =2a ,∴|F 1F 2|=4a .∴cos ∠AF 2F 1=|AF 2|2+|F 1F 2|2-|AF 1|22|AF 2|·|F 1F 2|=(2a )2+(4a )2-(4a )22×2a ×4a=14,故选A.]23.(2018江苏,8)在平面直角坐标系xOy 中,若双曲线x 2a −y 2b =1(a >0,b >0)的右焦点F(c,0)到一条渐近线的距离为√32c ,则其离心率的值是________.23.2 因为双曲线的焦点F(c,0)到渐近线y =±ba x,即bx ±ay =0的距离为√a 2+b2=bc c=b,所以b =√32c ,因此a 2=c 2−b 2=c 2−34c 2=14c 2, a =12c,e =2.24.(2017•山东,14)在平面直角坐标系xOy 中,双曲线=1(a >0,b >0)的右支与焦点为F 的抛物线x 2=2py (p >0)交于A ,B 两点,若|AF|+|BF|=4|OF|,则该双曲线的渐近线方程为________.24. y=± x 把x 2=2py (p >0)代入双曲线=1(a >0,b >0),可得:a 2y2﹣2pb 2y+a 2b 2=0,∴y A +y B =,∵|AF|+|BF|=4|OF|,∴y A +y B +2× =4× ,∴ =p ,∴ = .∴该双曲线的渐近线方程为:y=± x .故答案为:y=± x .25.(2017•北京,9)若双曲线x 2﹣=1的离心率为 ,则实数m=________.25.2 双曲线x 2﹣=1(m >0)的离心率为 ,可得: ,解得m=2.故答案为:2.26.(2017•江苏,8)在平面直角坐标系xOy 中,双曲线﹣y 2=1的右准线与它的两条渐近线分别交于点P ,Q ,其焦点是F 1 , F 2 , 则四边形F 1PF 2Q 的面积是________. 26.2双曲线﹣y 2=1的右准线:x=,双曲线渐近线方程为:y= x ,所以P ( , ),Q ( ,﹣ ),F 1(﹣2,0).F 2(2,0).则四边形F 1PF 2Q 的面积是: =2.故答案为:2.27.(2016·山东,13)已知双曲线E :x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0),若矩形ABCD 的四个顶点在E 上,AB ,CD 的中点为E 的两个焦点,且2|AB |=3|BC |,则E 的离心率是________.27.2 [由已知得|AB |=2b 2a ,|BC |=2c ,∴2×2b 2a =3×2c ,又∵b 2=c 2-a 2,整理得:2c 2-3ac -2a 2=0,两边同除以a 2得2⎝⎛⎭⎫c a 2-3c a-2=0,即2e 2-3e -2=0,解得e =2或e =-1(舍去).] 28.(2015·浙江,9)双曲线x 22-y 2=1的焦距是______,渐近线方程是______.28.23 y =±22x [由双曲线方程得a 2=2,b 2=1,∴c 2=3,∴焦距为23,渐近线方程为y =±22x .]29.(2015·北京,10)已知双曲线x 2a 2-y 2=1(a >0)的一条渐近线为3x +y =0,则a =________.29.33 [双曲线渐近线方程为y =±b a x ,∴b a =3,又b =1,∴a =33.] 30.(2015·湖南,13)设F 是双曲线C :x 2a 2-y 2b 2=1的一个焦点,若C 上存在点P ,使线段PF的中点恰为其虚轴的一个端点,则C 的离心率为________.30.5 [不妨设F (c ,0),则由条件知P (-c ,±2b ),代入x 2a 2-y 2b 2=1得c 2a 2=5,∴e = 5.]31.(2015·江苏,12)在平面直角坐标系xOy 中,P 为双曲线x 2-y 2=1右支上的一个动点.若点P 到直线x -y +1=0的距离大于c 恒成立,则实数c 的最大值为________. 31.22[双曲线x 2-y 2=1的渐近线为x ±y =0,直线x -y +1=0与渐近线x -y =0平行,故两平行线的距离d =|1-0|12+12=22.由点P 到直线x -y +1=0的距离大于c 恒成立,得c ≤22,故c 的最大值为22.] 32.(2014·浙江,16)设直线x -3y +m =0(m ≠0)与双曲线x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的两条渐近线分别交于点A ,B .若点P (m,0)满足|P A |=|PB |,则该双曲线的离心率是________. 32.52 [联立直线方程与双曲线渐近线方程y =±bax 可解得交点为 ⎝⎛⎭⎫am 3b -a ,bm 3b -a ,⎝ ⎛⎭⎪⎫-am 3b +a ,bm 3b +a ,而k AB =13,由|P A |=|PB |,可得AB 的中点与点P 连线的斜率为-3,即bm 3b -a +bm3b +a2-0am3b -a +-am 3b +a2-m=-3,化简得4b 2=a 2,所以e =52.]33.(2014·江西,20)如图,已知双曲线C :x 2a 2-y 2=1(a >0)的右焦点为F ,点A ,B 分别在C的两条渐近线上,AF ⊥x 轴,AB ⊥OB ,BF ∥OA (O 为坐标原点). (1)求双曲线C 的方程;(2)过C 上一点P (x 0,y 0)(y 0≠0)的直线l :x 0x a 2-y 0y =1与直线AF 相交于点M ,与直线x =32相交于点N .证明:当点P 在C 上移动时,|MF ||NF |恒为定值,并求此定值.33.(1)解 设F (c ,0),因为b =1,所以c =a 2+1,直线OB 的方程为y =-1a x ,直线BF 的方程为y =1a (x -c ),解得B ⎝⎛⎭⎫c 2,-c 2a . 又直线OA 的方程为y =1a x ,则A ⎝⎛⎭⎫c ,c a ,k AB =c a -⎝⎛⎭⎫-c 2a c -c 2=3a.又因为AB ⊥OB ,所以3a ·⎝⎛⎭⎫-1a =-1,解得a 2=3,故双曲线C 的方程为x 23-y 2=1.(2)证明 由(1)知a =3,则直线l 的方程为x 0x3-y 0y =1(y 0≠0),即y =x 0x -33y 0.因为直线AF 的方程为x =2,所以直线l 与AF 的交点为M ⎝⎛⎭⎫2,2x 0-33y 0;直线l 与直线x =32的交点为N ⎝ ⎛⎭⎪⎫32,32x 0-33y 0. 则|MF |2|NF |2=(2x 0-3)2(3y 0)214+⎝⎛⎭⎫32x 0-32(3y 0)2=(2x 0-3)29y 204+94(x 0-2)2=43·(2x 0-3)23y 20+3(x 0-2)2, 因为P (x 0,y 0)是C 上一点,则x 203-y 20=1,代入上式得 |MF |2|NF |2=43·(2x 0-3)2x 20-3+3(x 0-2)2=43·(2x 0-3)24x 20-12x 0+9=43, 所求定值为|MF ||NF |=23=233.三、抛物线1.(2018全国Ⅰ,8)设抛物线C :y 2=4x 的焦点为F ,过点(–2,0)且斜率为23的直线与C 交于M ,N 两点,则FM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅FN ⃑⃑⃑⃑⃑ =( ) A .5 B .6 C .7 D .81.D 根据题意,过点(–2,0)且斜率为23的直线方程为y =23(x +2),与抛物线方程联立{y =23(x +2)y 2=4x ,消元整理得:y 2−6y +8=0,解得M(1,2),N(4,4),又F(1,0),所以FM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(0,2),FN ⃑⃑⃑⃑⃑ =(3,4),从而可以求得FM⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅FN ⃑⃑⃑⃑⃑ =0×3+2×4=8,故选D. 2.(2016·全国Ⅰ,10)以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A ,B 两点,交C 的准线于D ,E 两点.已知|AB |=42,|DE |=25,则C 的焦点到准线的距离为( ) A.2 B.4 C.6 D.82.B [不妨设抛物线C :y 2=2px (p >0),则圆的方程可设为x 2+y 2=r 2(r >0),如图,又可设A (x 0,22),D ⎝⎛⎭⎫-p2,5,点A (x 0,22)在抛物线y 2=2px 上,∴8=2px 0,① 点A (x 0,22)在圆x 2+y 2=r 2上,∴x 20+8=r 2,② 点D ⎝⎛⎭⎫-p 2,5在圆x 2+y 2=r 2上,∴5+⎝⎛⎭⎫p22=r 2,③ 联立①②③,解得p =4,即C 的焦点到准线的距离为p =4,故选B.]3.(2015·天津,6)已知双曲线x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的一条渐近线过点(2,3) ,且双曲线的一个焦点在抛物线y 2=47x 的准线上,则双曲线的方程为( ) A.x 221-y 228=1 B.x 228-y 221=1 C.x 23-y 24=1 D.x 24-y 23=1 3.D [双曲线x 2a 2-y 2b 2=1的渐近线方程为y =±b a x ,又渐近线过点(2,3),所以2ba =3,即2b =3a ,①抛物线y 2=47x 的准线方程为x =-7,由已知,得a 2+b 2=7,即a 2+b 2=7②, 联立①②解得a 2=4,b 2=3,所求双曲线的方程为x 24-y 23=1,选D.] 4.(2015·浙江,5)如图,设抛物线y 2=4x 的焦点为F ,不经过焦点的直线上有三个不同的点A ,B ,C ,其中点A ,B 在抛物线上,点C 在y 轴上,则△BCF 与△ACF 的面积之比是( )A.|BF |-1|AF |-1B.|BF |2-1|AF |2-1C.|BF |+1|AF |+1D.|BF |2+1|AF |2+14.A [由图象知S △BCF S △ACF =|BC ||AC |=x B x A ,由抛物线的性质知|BF |=x B +1,|AF |=x A +1,∴x B =|BF |-1,x A =|AF |-1,∴S △BCF S △ACF =|BF |-1|AF |-1.故选A.]5.(2018全国Ⅲ,16)已知点M(−1 , 1)和抛物线C : y 2=4x ,过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ,B 两点.若∠AMB =90°,则k =________.5.2 设A (x 1,y 1),B(x 2,y 2),则{y 12=4x 1y 22=4x2,所以y 12−y 22=4x 1−4x 2,所以k =y 1−y 2x 1−x 2=4y 1+y 2.取AB 中点M′(x 0,y 0),分别过点A,B 作准线x =−1的垂线,垂足分别为A ′,B′,因为∠AMB =90°,∴|MM ′|=12|AB |=12(|AF |+|BF |)=12(|AA ′|+|BB′|),因为M’为AB 中点,所以MM’平行于x 轴,因为M(-1,1),所以y 0=1,则y 1+y 2=2即k =2.6.(2017•新课标Ⅱ,16)已知F 是抛物线C :y 2=8x 的焦点,M 是C 上一点,FM 的延长线交y 轴于点N .若M 为FN 的中点,则|FN|=________.6. 6 抛物线C :y 2=8x 的焦点F (2,0),M 是C 上一点,FM 的延长线交y 轴于点N .若M 为FN 的中点,可知M 的横坐标为:1,则M 的纵坐标为: ,|FN|=2|FM|=2 =6.故答案为:6.7.(2016·浙江,9)若抛物线y 2=4x 上的点M 到焦点的距离为10,则M 到y 轴的距离是________. 7.9 [抛物线y 2=4x 的焦点F (1,0).准线为x =-1,由M 到焦点的距离为10,可知M 到准线x =-1的距离也为10,故M 的横坐标满足x M +1=10,解得x M =9,所以点M 到y 轴的距离为9.] 8.(2015·陕西,14)若抛物线y 2=2px (p >0)的准线经过双曲线x 2-y 2=1的一个焦点,则p =________.8.22 [由于双曲线x 2-y 2=1的焦点为(±2,0),故应有p2=2,p =2 2.]9.(2014·湖南,15)如图,正方形ABCD 和正方形DEFG 的边长分别为a , b (a <b ),原点O 为AD 的中点,抛物线y 2=2px (p >0)经过C ,F 两点,则b a =________.9.1+2 [由正方形的定义可知BC =CD ,结合抛物线的定义得点D 为抛物线的焦点,所以|AD |=p =a ,D ⎝⎛⎭⎫p 2,0,F ⎝⎛⎭⎫p2+b ,b ,将点F 的坐标代入抛物线的方程得b 2=2p⎝⎛⎭⎫p 2+b =a 2+2ab ,变形得⎝⎛⎭⎫b a 2-2b a -1=0,解得b a =1+2或b a=1-2(舍去),所以ba =1+ 2.]10.(2014·上海,3)若抛物线y 2=2px的焦点与椭圆x 29+y 25=1的右焦点重合,则该抛物线的准线方程为______________. 10.x =-2[∵c 2=9-5=4,∴c =2.∴椭圆x 29+y 25=1的右焦点为(2,0),∴p2=2,即p =4. ∴抛物线的准线方程为x =-2.]。
专题能力训练16椭圆、双曲线、抛物线一、能力突破训练1.(2018全国Ⅰ,文4)已知椭圆C:=1的一个焦点为(2,0),则C的离心率为()A.B.C.D.2.已知F是双曲线C:x2-=1的右焦点,P是C上一点,且PF与x轴垂直,点A的坐标是(1,3),则△APF的面积为()A.B.C.D.3.已知O为坐标原点,F是椭圆C:=1(a>b>0)的左焦点,A,B分别为C的左、右顶点,P为C上一点,且PF⊥x轴.过点A的直线l与线段PF交于点M,与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点,则C的离心率为()A. B. C. D.4.已知双曲线=1(a>0,b>0)的右焦点为F,点A在双曲线的渐近线上,△OAF是边长为2的等边三角形(O为原点),则双曲线的方程为()A.=1B.=1C.-y2=1D.x2-=15.(2018全国Ⅱ,文11)已知F1,F2是椭圆C的两个焦点,P是C上的一点,若PF1⊥PF2,且∠PF2F1=60°,则C的离心率为()A.1-B.2-C. D.-16.设双曲线=1(a>0,b>0)的右焦点为F,过点F作与x轴垂直的直线l交两渐近线于A,B两点,与双曲线的一个交点为P,设O为坐标原点.若=m+n(m,n∈R),且mn=,则该双曲线的离心率为()A. B.C. D.7.已知双曲线E:=1(a>0,b>0).矩形ABCD的四个顶点在E上,AB,CD的中点为E的两个焦点,且2|AB|=3|BC|,则E的离心率是.8.已知直线l1:x-y+5=0和l2:x+4=0,抛物线C:y2=16x,P是C上一动点,则点P到l1与l2距离之和的最小值为.9.如图,已知抛物线C1:y=x2,圆C2:x2+(y-1)2=1,过点P(t,0)(t>0)作不过原点O的直线PA,PB分别与抛物线C1和圆C2相切,A,B为切点.(1)求点A,B的坐标;(2)求△PAB的面积.注:直线与抛物线有且只有一个公共点,且与抛物线的对称轴不平行,则称该直线与抛物线相切,称该公共点为切点. 10.如图,动点M与两定点A(-1,0),B(1,0)构成△MAB,且直线MA,MB的斜率之积为4,设动点M的轨迹为C.(1)求轨迹C的方程;(2)设直线y=x+m(m>0)与y轴相交于点P,与轨迹C相交于点Q,R,且|PQ|<|PR|,求的取值范围.11.设椭圆=1(a>)的右焦点为F,右顶点为A.已知,其中O为原点,e为椭圆的离心率.(1)求椭圆的方程;(2)设过点A的直线l与椭圆交于点B(B不在x轴上),垂直于l的直线与l交于点M,与y轴交于点H.若BF⊥HF,且∠MOA=∠MAO,求直线l的斜率.二、思维提升训练12.(2018全国Ⅲ,文10)已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的离心率为,则点(4,0)到C的渐近线的距离为()A.B.2 C.D.213.设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,点M在C上,|MF|=5.若以MF为直径的圆过点(0,2),则C的方程为()A.y2=4x或y2=8xB.y2=2x或y2=8xC.y2=4x或y2=16xD.y2=2x或y2=16x14.在平面直角坐标系xOy中,双曲线-y2=1的右准线与它的两条渐近线分别交于点P,Q,其焦点是F1,F2,则四边形F1PF2Q的面积是.15.在平面直角坐标系xOy中,双曲线=1(a>0,b>0)的右支与焦点为F的抛物线x2=2py(p>0)交于A,B两点,若|AF|+|BF|=4|OF|,则该双曲线的渐近线方程为.16.已知圆C:(x+1)2+y2=20,点B(1,0),点A是圆C上的动点,线段AB的垂直平分线与线段AC交于点P.(1)求动点P的轨迹C1的方程;(2)设M,N为抛物线C2:y=x2上的一动点,过点N作抛物线C2的切线交曲线C1于P,Q两点,求△MPQ面积的最大值.17.已知动点C是椭圆Ω:+y2=1(a>1)上的任意一点,AB是圆G:x2+(y-2)2=的一条直径(A,B是端点),的最大值是.(1)求椭圆Ω的方程.(2)已知椭圆Ω的左、右焦点分别为点F1,F2,过点F2且与x轴不垂直的直线l交椭圆Ω于P,Q两点.在线段OF2上是否存在点M(m,0),使得以MP,MQ为邻边的平行四边形是菱形?若存在,求实数m的取值范围;若不存在,请说明理由.专题能力训练16椭圆、双曲线、抛物线一、能力突破训练1.C解析因为椭圆C的一个焦点为(2,0),所以其焦点在x轴上,c=2,所以a2-4=c2,所以a2=8,a=2,所以椭圆C的离心率e=.2.D解析由c2=a2+b2=4,得c=2,所以点F的坐标为(2,0).将x=2代入x2-=1,得y=±3,所以PF=3.又点A的坐标是(1,3),故△APF的面积为×3×(2-1)=,故选D.3.A解析由题意知,A(-a,0),B(a,0),根据对称性,不妨令P,设l:x=my-a,∴M,E.∴直线BM:y=-(x-a).又直线BM经过OE的中点,∴,解得a=3c.∴e=,故选A.4.D解析∵双曲线=1(a>0,b>0)的右焦点为F(c,0),点A在双曲线的渐近线上,且△OAF是边长为2的等边三角形,不妨设点A在渐近线y=x上,∴解得所以双曲线的方程为x2-=1.故选D.5.D解析不妨设椭圆方程为=1(a>b>0),F1,F2分别为椭圆的左、右焦点,则|PF1|+|PF2|=2a.∵∠F2PF1=90°,∠PF2F1=60°,∴c+c=2a,即(+1)c=2a.∴e=-1.6.C解析在y=±x中令x=c,得A,B,在双曲线=1中令x=c得P.当点P的坐标为时,由=m+n,得由(舍去),∴,∴,∴e=.同理,当点P的坐标为时,e=.故该双曲线的离心率为.7. 2解析由题意不妨设AB=3,则BC=2.设AB,CD的中点分别为M,N,如图,则在Rt△BMN中,MN=2,故BN=.由双曲线的定义可得2a=BN-BM==1,而2c=MN=2,所以双曲线的离心率e==2.8.解析在同一坐标系中画出直线l1,l2和曲线C如图.P是C上任意一点,由抛物线的定义知,|PF|=d2,∴d1+d2=d1+|PF|,显然当PF⊥l1,即d1+d2=|FM|时,距离之和取到最小值.∵|FM|=,∴所求最小值为.9.解(1)由题意知直线PA的斜率存在,故可设直线PA的方程为y=k(x-t),由消去y,整理得:x2-4kx+4kt=0,由于直线PA与抛物线相切,得k=t.因此,点A的坐标为(2t,t2).设圆C2的圆心为D(0,1),点B的坐标为(x0,y0),由题意知:点B,O关于直线PD对称,故解得因此,点B的坐标为.(2)由(1)知|AP|=t·和直线PA的方程tx-y-t2=0.点B到直线PA的距离是d=.设△PAB的面积为S(t),所以S(t)=|AP|·d=.10.解(1)设M的坐标为(x,y),当x=-1时,直线MA的斜率不存在;当x=1时,直线MB的斜率不存在.于是x≠1,且x≠-1.此时,MA的斜率为,MB的斜率为.由题意,有=4.整理,得4x2-y2-4=0.故动点M的轨迹C的方程为4x2-y2-4=0(x≠±1).(2)由消去y,可得3x2-2mx-m2-4=0.①对于方程①,其判别式Δ=(-2m)2-4×3(-m2-4)=16m2+48>0,而当1或-1为方程①的根时,m的值为-1或1.结合题设(m>0)可知,m>0,且m≠1.设Q,R的坐标分别为(x Q,y Q),(x R,y R),则x Q,x R为方程①的两根,因为|PQ|<|PR|,所以|x Q|<|x R|.因为x Q=,x R=,且Q,R在同一条直线上,所以=1+.此时>1,且≠2,所以1<1+<3,且1+,所以1<<3,且.综上所述,的取值范围是.11.解(1)设F(c,0).由,即,可得a2-c2=3c2,又a2-c2=b2=3,所以c2=1,因此a2=4.所以,椭圆的方程为=1.(2)设直线l的斜率为k(k≠0),则直线l的方程为y=k(x-2).设B(x B,y B),由方程组消去y,整理得(4k2+3)x2-16k2x+16k2-12=0.解得x=2,或x=,由题意得x B=,从而y B=.由(1)知,F(1,0),设H(0,y H),有=(-1,y H),.由BF⊥HF,得=0,所以=0,解得y H=.因此直线MH的方程为y=-x+.设M(x M,y M),由方程组消去y,解得x M=.在△MAO中,∠MOA=∠MAO⇔|MA|=|MO|,即(x M-2)2+,化简得x M=1,即=1,解得k=-,或k=.所以,直线l的斜率为-.二、思维提升训练12.D解析∵双曲线C的离心率为,∴e=,即c=a,a=b.∴其渐近线方程为y=±x,则(4,0)到C的渐近线距离d==2.13.C解析设点M的坐标为(x0,y0),由抛物线的定义,得|MF|=x0+=5,则x0=5-.因为点F的坐标为,所以以MF为直径的圆的方程为(x-x0)·+(y-y0)y=0.将x=0,y=2代入得px0+8-4y0=0,即-4y0+8=0,解得y0=4.由=2px0,得16=2p,解得p=2或p=8.所以C的方程为y2=4x或y2=16x.故选C.14.2解析该双曲线的右准线方程为x=,两条渐近线方程为y=±x,得P,Q,又c=,所以F1(-,0),F2(,0),四边形F1PF2Q的面积S=2=2.15.y=±x解析抛物线x2=2py的焦点F,准线方程为y=-.设A(x1,y1),B(x2,y2),则|AF|+|BF|=y1++y2+=y1+y2+p=4|OF|=4·=2p.所以y1+y2=p.联立双曲线与抛物线方程得消去x,得a2y2-2pb2y+a2b2=0.所以y1+y2==p,所以.所以该双曲线的渐近线方程为y=±x.16.解(1)由已知可得,点P满足|PB|+|PC|=|AC|=2>2=|BC|,所以动点P的轨迹C1是一个椭圆,其中2a=2,2c=2.动点P的轨迹C1的方程为=1.(2)设N(t,t2),则PQ的方程为y-t2=2t(x-t)⇒y=2tx-t2.联立方程组消去y整理,得(4+20t2)x2-20t3x+5t4-20=0,有而|PQ|=×|x1-x2|=,点M到PQ的高为h=,由S△MPQ=|PQ|h代入化简,得S△MPQ=,当且仅当t2=10时,S△MPQ可取最大值.17.解(1)设点C的坐标为(x,y),则+y2=1.连接CG,由,又G(0,2),=(-x,2-y),可得=x2+(y-2)2-=a(1-y2)+(y-2)2-=-(a-1)y2-4y+a+,其中y∈[-1,1].因为a>1,所以当y=≤-1,即1<a≤3时,取y=-1,得有最大值-(a-1)+4+a+,与条件矛盾;当y=>-1,即a>3时,的最大值是,由条件得,即a2-7a+10=0,解得a=5或a=2(舍去).综上所述,椭圆Ω的方程是+y2=1.(2)设点P(x1,y1),Q(x2,y2),PQ的中点坐标为(x0,y0),则满足=1,=1,两式相减,整理,得=-=-,从而直线PQ的方程为y-y0=-(x-x0).又右焦点F2的坐标是(2,0),将点F2的坐标代入PQ的方程得-y0=-(2-x0),因为直线l与x轴不垂直,所以2x0-=5>0,从而0<x0<2.假设在线段OF2上存在点M(m,0)(0<m<2),使得以MP,MQ为邻边的平行四边形是菱形,则线段PQ的垂直平分线必过点M,而线段PQ的垂直平分线方程是y-y0=(x-x0),将点M(m,0)代入得-y0=(m-x0),得m=x0,从而m∈.。
高中数学专题复习《圆锥曲线与方程椭圆双曲线抛物线》单元过关检测经典荟萃,匠心巨制!独家原创,欢迎下载!注意事项:1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上第I 卷(选择题)请点击修改第I 卷的文字说明 评卷人得分一、选择题1.1 .(汇编年高考四川卷(文))抛物线28y x =的焦点到直线30x y -=的距离是 ( )A .23B .2C .3D .12.(汇编年普通高等学校招生统一考试山东数学(理)试题(含答案))已知抛物线1C :212y x p =(0)p >的焦点与双曲线2C :2213x y -=的右焦点的连线交1C 于第一象限的点M .若1C 在点M 处的切线平行于2C 的一条渐近线,则p =( )A .316B .38C .233D .4333.(汇编大纲文)椭圆的中心在原点,焦距为4,一条准线为4x =-,则该椭圆的方程为( )A .2211612x y += B .221128x y += C .22184x y += D .221124x y +=答案C4.(汇编山东理)设直线:220l x y ++=关于原点对称的直线为l ',若l '与椭圆2214y x +=的交点为A 、B ,点P 为椭圆上的动点,则使PAB ∆的面积为12的点P 的个数为(A ) 1 (B) 2 (C) 3 (D)45.(1994山东理8) 设F 1和F 2为双曲线42x -y 2=1的两个焦点,点P 在双曲线上且满足∠F 1PF 2=90°,则△F 1PF 2的面积是 ( )(A) 1 (B)25(C) 2 (D) 5 6.(汇编)抛物线2y x =-上的点到直线4380x y +-=距离的最小值是( ) A .43B .75C .85D .37.(汇编山东理)13.已知两点,45,4,45,1⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛N M 给出下列曲线方程:①0124=-+y x ②322=+y x ③1222=+y x ④1222=-y x 在曲线上存在点P 满足|MP |=|NP |的所有曲线方程是 ( ) (A) ①③ (B) ②④ (C) ①②③ (D) ②③8.(汇编湖北理)已知椭圆191622=+y x 的左、右焦点分别为F 1、F 2,点P 在椭圆上,若P 、F 1、F 2是一个直角三角形的三个顶点,则点P 到x 轴的距离为 ( ) A .59 B .3 C .779 D .499.若方程x 2k -4-y 2k +4=1表示双曲线,则它的焦点坐标为 ( )A .(2k,0),(-2k,0)B .(0,2k ),(0,-2k )C .(2|k |,0),(-2|k |,0)D .由k 的取值确定解析:若焦点在x 轴上,则⎩⎪⎨⎪⎧k -4>0k +4>0即k >4,且c =2k .若焦点在y 轴上,则⎩⎪⎨⎪⎧k -4<0k +4<0即k <-4,且c =-2k ,故选D.10.抛物线24x y =上一点A 的纵坐标为4,则点A 与抛物线焦点的距离为 A.2 B.3 C.4D. 5第II 卷(非选择题)请点击修改第II 卷的文字说明 评卷人得分二、填空题11.在平面直角坐标系xOy 中,双曲线x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的两条渐近线与抛物线y 2=4x 的准线相交于A ,B 两点.若△AOB 的面积为2,则双曲线的离心率为 ▲ . 512.设ABC △是等腰三角形,120ABC ∠=,则以A B ,为焦点且过点C 的双曲线的离心率为 .13. 与与椭圆221244x y +=有公共焦点,且过点(32,2)的双曲线方程为 14.在平面直角坐标系xOy 中,已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的焦点到一条渐近线l 的距离为4,若渐近线l 恰好是曲线3232y x x x =-+在原点处的切线,则双曲线的标准方程为 _______________ .15.以抛物线24y x =的焦点为圆心,且过坐标原点的圆的方程为 .16.设双曲线x 2-y 2=1的两条渐近线与直线x =22所围成的三角形区域(包括边界)为E ,P (x ,y )为该区域内的一动点,则目标函数z =x -2y 的最小值为________. 解析:由题知,双曲线的渐近线方程为x ±y =0,则其与直线x =22的交点为⎝⎛⎭⎫22,22和⎝⎛⎭⎫22,-22,所以可求得目标函数z =x -2y 的最小值为-22.评卷人得分三、解答题17.已知椭圆C 1的方程为x 24+y 2=1,双曲线C 2的左、右焦点分别是C 1的左、右顶点,而C 2的左、右顶点分别是C 1的左、右焦点. (1)求双曲线C 2的方程;(2)若直线l :y =kx +2与双曲线C 2恒有两个不同的交点A 和B ,且OA ·OB >2(其中O为原点),求k 的取值范围.18.如图, 椭圆C :162x +42y =1的右顶点是A ,上下两个顶点分别为B 、D ,四边形DAMB 是矩形(O 为坐标原点),点E 、P 分别是线段OA 、AM 的中点。
2019高考数学真题汇编 椭圆 双曲线 抛物线一.选择题2019全国Ⅱ卷理8若抛物线px y 22=(p>0)是1322=+p y p x 的一个焦点,则P_______ A. 2 B. 3 C. 4 D.82019全国Ⅱ卷理11设F 为双曲线C :12222=-by a x (a>0,b>0)的右焦点,O 为坐标原点,以OF 为直径的圆与圆222a y x =+交于P,Q 两点,若OF PQ =,则C 的离心率______A. 2B. 3C. 2D.52019全国Ⅲ卷理10双曲线C :12422=-y x 的右焦点为F ,点P 在C 的一条渐近线上,O 为坐标原点.若PF PO =,则△PFO 的面积为______A. 423B. 223 C. 22 D.232019全国Ⅲ卷文10已知F 为双曲线C:15422=-y x 的一个焦点,P 点在C 上,O 为坐标原点,△OPF 的面积为______ A.23 B. 25 C. 27 D.29 2019全国Ⅰ卷理10已知椭圆C 的焦点1F (-1,0) ,2F (1,0),过1F 的直线与C 交于A,B 两点.若122,2BF AB B F AF ==则C 的方程为_________A. 1222=+y xB.12322=+y xC. 13422=+y xD.14522=+y x 2019全国Ⅰ卷文10 双曲线12222=+by a x (a>0,b>0)的一条渐近线的倾斜角为0130,则C 的离心率为___A. 040sin 2B. 040cos 2C.050sin 1 D.050cos 1 2019天津理5已知抛物线x y 42=的焦点为F ,准线为l ,若l 与双曲线12222=+by a x (a>0,b>0)的两条渐近线分别交于点A 和点B ,且OF AB 4=(O 为原点)则双曲线的离心率____ A. 2 B. 3 C. 4 D.52019北京理4已知椭圆)0,0(12222>>=+b a b y a x 的离心率为21则___ A. 222b a = B. 2243b a = C. b a 2= D.b a 432= 2019北京文5已知双曲线1222=-y ax (a>0)的离心率是5,则a=____ A. 6 B. 4 C. 2 D.21 2019浙江理2渐近线方程为0=±y x 的双曲线的离心率是_______B. 22 B. 1 C. 2 D.2二.填空题 2019浙江理15已知椭圆15922=+y x 的左焦点为F ,点P 在椭圆上且在x 轴上方,若线段PF 的中点在以原点O 为圆心,OF 为半径的圆上,则直线PF 的斜率________2019北京文11设抛物线x y 42=的焦点为F ,准线为l ,则以F 为圆心,且与l 相切的圆的方程___________ 2019全国一卷理16已知双曲线左右焦点分别为1F ,2F 率过1F 的直线与C 的两条渐近线分别交于A ,B 两点.若0,211=∙=F F F 则C 的离心率___________.2019全国Ⅲ卷文15设F 1,F 2为椭圆C :1203622=+y x 的两个焦点,M 为C 上一点且在第一象限,若△F MF 21为等腰三角形,则M 的坐标为( ) ()222210,0x y C a b a b-=>>:。
2019高考数学一轮复习专题:椭圆双曲线抛物线(含答案)椭圆、双曲线、抛物线1.椭圆的定义椭圆是平面内与两个定点F1,F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹。
这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距。
椭圆的集合P={M|MF1+MF2=2a},|F1F2|=2c,其中a>0,c>0,且a,c为常数。
当2a>|F1F2|时,P点的轨迹是椭圆;当2a=|F1F2|时,P点的轨迹是线段;当2a<|F1F2|时,P点不存在。
2.椭圆的标准方程和几何性质标准方程为x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)或y^2/a^2+x^2/b^2=1(a>b>0)。
椭圆的范围为-a≤x≤a,-b≤y≤b,对称轴为坐标轴,对称中心为(0,0)。
椭圆的顶点为A1(-a,0),A2(a,0),B1(0,-b),B2(0,b)或A1(0,-a),A2(0,a),B1(-b,0),B2(b,0)。
椭圆的长轴A1A2的长为2a,短轴B1B2的长为2b,焦距为2c,离心率为e=c/a,其中c^2=a^2-b^2.3.应用题1) 2017·浙江高考题:椭圆x^2/9+y^2/4=1的离心率是5/3.解析:根据标准方程,a=3,b=2,则c=5,离心率e=c/a=5/3.2) 已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(m>0)的焦距为8,则m的值为3或41.解析:根据椭圆的性质,c^2=a^2-b^2,焦距为2c=8,则c=4,a^2=16+b^2.代入m>0的条件,解得b=2√(m+1),a=4,代入c^2=a^2-b^2,解得m=3或41.解析:当焦点在x轴上时,椭圆方程为$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{m^2}=1$,根据离心率的定义$e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}=\sqrt{1-\frac{m^2}{4}}$,所以$\frac{m^2}{4}=1-e^2$,代入得到 $m=\sqrt{4-4e^2}$。
专题六解析几何
第二讲椭圆、双曲线、抛物线
1.椭圆的定义.
平面内的动点的轨迹是椭圆必须满足的两个条件.
(1)到两个定点F1,F2的距离的和等于常数2a.
(2)2a>|F1F2|.
1.双曲线的定义.
平面内动点的轨迹是双曲线必须满足的两个条件:(1)到两个定点F1,F2的距离的差的绝对值等于常数2a.
(2)2a<|F1F2|.
3.等轴双曲线. 实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线,其标准方程为x 2-y 2
=λ(λ≠0),离心率e
y =±x .
1.抛物线的定义.
平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线,点F叫做抛物线的焦点,直线l叫做抛物线的准线.
若二元方程f (x ,y )=0是曲线C 的方程,或曲线C 是方程f (x ,y )=0的曲线,则必须满足以下两个条件:
1.曲线上点的坐标都是二元方程f (x ,y )=0的解(纯粹性).
2.以这个方程的解为坐标的点都是曲线C 上的点(完备性).
判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“³”).
(1)平面内与两个定点F 1,F 2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆.(³)
(2)椭圆上一点P 与两焦点F 1,F 2构成△PF 1F 2的周长为2a +2c (其中a 为椭圆的长半轴长,c 为椭圆的半焦距).(√)
(3)椭圆的离心率e 越大,椭圆就越圆.(√)
(4)x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)与y 2a 2+x 2
b 2=1(a >b >0)的焦距相同.(√) (5)方程x 2m -y 2n =1(mn >0)表示焦点在x 轴上的双曲线.(³)。
2019高考数学理二轮冲关演练-椭圆、双曲线、抛物线(本栏目内容,在学生用书以独立形式分册装订!)【一】选择题1、抛物线的顶点在坐标原点,焦点与双曲线y 25-x 24=1的一个焦点重合,那么该抛物线的标准方程可能是()A 、x 2=4yB 、x 2=-4yC 、y 2=-12xD 、x 2=-12y 解析:由题意得c =5+4=3,∴抛物线的焦点坐标为(0,3)或(0,-3),∴该抛物线的标准方程为x 2=12y 或x 2=-12y ,应选D. 答案:D2、假设椭圆x 2a 2+y 2b 2=1过抛物线y 2=8x 的焦点,且与双曲线x 2-y 2=1有相同的焦点,那么该椭圆的方程是()A.x 24+y 22=1B.x 23+y 2=1 C.x 22+y 24=1D 、x 2+y 23=1解析:抛物线y 2=8x 的焦点坐标为(2,0),那么依题意知椭圆右顶点的坐标为(2,0),又椭圆与双曲线x 2-y 2=1有相同的焦点,∴a =2,c =2,∵c 2=a 2-b 2,∴b 2=2,∴椭圆的方程为x 24+y 22=1.答案:A3、(2017·辽宁卷)F 是抛物线y 2=x 的焦点,A ,B 是该抛物线上的两点,|AF |+|BF |=3,那么线段AB 的中点到y 轴的距离为()A.34 B 、1 C.54 D.74 解析:∵|AF |+|BF |=x A +x B +12=3,∴x A +x B =52.∴线段AB 的中点到y 轴的距离为x A +x B 2=54. 答案:C4、双曲线kx 2-y 2=1的一条渐近线与直线l :2x +y +1=0垂直,那么此双曲线的离心率是()A.52B.32 C 、4 3 D. 5解析:由题知意,双曲线的渐近线方程为kx 2-y 2=0,即y =±kx .由题知直线l 的斜率为-2,那么可知k =14,代入双曲线方程kx 2-y 2=1,得x 24-y 2=1,于是,a 2=4,b 2=1,从而c =a 2+b 2=5,所以e =52.答案:A5、(2017·全国新课标卷)设圆锥曲线Γ的两个焦点分别为F 1,F 2,假设曲线Γ上存在点P 满足|PF 1|∶|F 1F 2|∶|PF 2|=4∶3∶2,那么曲线Γ的离心率等于()A.12或32B.23或2C.12或2D.23或32解析:由|PF 1|∶|F 1F 2|∶|PF 2|=4∶3∶2,可设|PF 1|=4k ,|F 1F 2|=3k ,|PF 2|=2k ,假设圆锥曲线为椭圆,那么2a =6k,2c =3k ,e =c a =12.假设圆锥曲线为双曲线,那么2a =4k -2k =2k,2c =3k ,e =c a =32. 答案:A6、从抛物线y 2=8x 上一点P 引抛物线准线的垂线,垂足为M ,且|PM |=5,设抛物线的焦点为F ,那么△PFM 的面积为()A 、5 6B 、6 5C 、10 2D 、5 2解析:抛物线的焦点F (2,0),准线方程为x =-2.设P (m ,n ),那么|PM |=m +2=5,解得m =3.代入抛物线方程得n 2=24,故|n |=26,那么S △PFM =12|PM |·|n |=12×5×26=5 6.答案:A【二】填空题7、双曲线x 2a -y 22=1的一个焦点坐标为(-3,0),那么其渐近线方程为________、解析:由a +2=3,可得a =1,∴双曲线方程为x 2-y 22=1,∴其渐近线方程为x ±y2=0,即y =±2x .故填y =±2x .答案:y =±2x8、经过点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫10,83,渐近线方程为y =±13x 的双曲线的方程为________、解析:设双曲线方程为x 2-9y 2=λ,代入点⎝ ⎛⎭⎪⎫10,83 ∴λ=36∴双曲线方程为x 236-y 24=1. 答案:x 236-y 24=19、双曲线x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的两个焦点F 1,F 2,M 为双曲线上一点,且满足∠F 1MF 2=90°,点M 到x 轴的距离为72,假设△F 1MF 2的面积为14,那么双曲线的渐近线方程为________、解析:由题意,得12·2c ·72=14,所以c =4.又⎩⎪⎨⎪⎧||MF 1|-|MF 2||=2a ,|MF 1|2+|MF 2|2=82,12·|MF 1|·|MF 2|=14.所以a =2,b =14.所以渐近线方程为y =±7x . 答案:y =±7x . 【三】解答题10、在平面直角坐标系xOy 中,抛物线C 的顶点在原点,经过点A (2,2),其焦点F 在x 轴上、(1)求抛物线C 的标准方程;(2)求过点F ,且与直线OA 垂直的直线的方程、解析:(1)设抛物线C 的方程为y 2=2px ,因为点A (2,2)在抛物线C 上,所以p =1,因此,抛物线C 的标准方程为y 2=2x .(2)由(1)得焦点F 的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫12,0,又直线OA 的斜率为22=1,故与直线OA 垂直的直线的斜率为-1,因此,所求直线的方程是x+y -12=0.11、设F 1、F 2分别是椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左右焦点、(1)设椭圆C 上点⎝ ⎛⎭⎪⎫3,32到两点F 1、F 2距离之和等于4,写出椭圆C 的方程和焦点坐标;(2)设点K 是椭圆C 上的动点,求线段KF 1的中点B 的轨迹方程、解析:(1)由于点⎝ ⎛⎭⎪⎫3,32在椭圆上,得32a 2+⎝ ⎛⎭⎪⎫322b 2=1,又2a =4,所以椭圆C的方程为x 24+y 23=1,焦点坐标分别为(-1,0),(1,0)、(2)设KF 1的中点为B (x ,y ),那么点K 的坐标为(2x +1,2y ),把点K 的坐标代入椭圆方程x 24+y 23=1中, 得2x +124+2y23=1,所以线段KF 1的中点B 的轨迹方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x +122+y234=1.12、设椭圆M :y 2a 2+x 2b 2=1(a >b >0)的离心率与双曲线x 2-y 2=1的离心率互为倒数,且内切于圆x 2+y 2=4.(1)求椭圆M 的方程;(2)假设直线y =2x +m 交椭圆于A 、B 两点,椭圆上一点P (1,2),求△PAB 面积的最大值、解析:(1)双曲线的离心率为2,那么椭圆M 的离心率为e =c a =22, 圆x 2+y 2=4的直径为4,那么2a =4,由⎩⎪⎨⎪⎧2a =4c a =22b 2=a 2-c2⇒⎩⎨⎧a =2c =2b =2,所求椭圆M 的方程为y 24+x 22=1. (2)直线AB 的方程:y =2x +m .由⎩⎪⎨⎪⎧y =2x +m x 22+y 24=1,得4x 2+22mx +m 2-4=0,由Δ=(22m )2-16(m 2-4)>0,得-22<m <2 2.∵x 1+x 2=-22m ,x 1x 2=m 2-44. ∴|AB |=1+2|x 1-x 2|=3·x 1+x 22-4x 1x 2=3·12m 2-m 2+4=3·4-m 22. 又点P 到AB 的距离d =|m |3. 那么S △ABP =12|AB |d =12·3·4-m 22·|m |3=12m 2⎝ ⎛⎭⎪⎫4-m 22=122m 28-m 2≤122·m 2+8-m 22=2,当且仅当m =±2∈(-22,22)时取等号、。
(四川专版)2019高考数学二轮复习 专题十六 椭圆、双曲线、抛物线练习 理(时间:5分钟+40分钟)基础演练夯知识1. 下列双曲线不是以2x ±3y =0为渐近线的是( ) A.x 29-y 24=1 B.y 24-x 29=1 C.x 24-y 29=1 D.y 212-x 227=1 2. 抛物线y =ax 2的准线方程为y =1,则实数a 的值为( )A .4 B.14C .-14D .-43. 过抛物线y 2=4x 的焦点作直线交该抛物线于A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)两点.若x 1+x 2=6,则||AB = ( )A. 4 B .6 C. 8 D .104. 已知双曲线 x 2a2-y 2=1(a >0)的实轴长为2,则该双曲线的离心率为( )A.22 B. 52C. 5D. 25. 已知双曲线 x 29-y 2m=1(m >0)的一个焦点在圆 x 2+y 2-4x -5=0 上,则该双曲线的渐近线方程为( )A. y =±34x B .y =±43xC. y =±223xD. y =±324x提升训练强能力6. 已知双曲线C 1:x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的焦距是实轴长的2倍.若抛物线C 2:x 2=2py (p >0)的焦点到双曲线C 1的渐近线的距离为2,则抛物线C 2的方程为( )A .x 2=833y B .x 2=1633yC .x 2=8yD .x 2=16y7. 已知直线l 1:4x -3y +6=0和直线l 2:x =-1,则抛物线y 2=4x 上一动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值是( )A.355B .2C. 115D .38. 已知椭圆E :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的右焦点为F (3,0),过点F 的直线交椭圆E 于A ,B 两点.若AB 的中点坐标为(1,-1),则椭圆E 的方程为( )A.x 245+y 236=1 B.x 236+y 227=1 C.x 227+y 218=1 D.x 218+y 29=1 9. 设P 是双曲线x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)上除顶点外的任意一点,F 1,F 2分别是双曲线的左、右焦点,△PF 1F 2的内切圆与边F 1F 2相切于点M ,则F 1M →·MF 2→=( )A .a 2B .b 2C .a 2+b 2D.12b 2 10. 已知F 1 ,F 2分别是双曲线x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的左、右焦点,过F 1的直线l 与双曲线的左、右两支分别交于A ,B 两点.若△ABF 2是等边三角形,则该双曲线的离心率为( )A .2 B.7C.13D. 1511. 已知P 是以F 1,F 2为焦点的椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)上的任意一点,若∠PF 1F 2=α,∠PF 2F 1=β,且cos α=55,sin(α+β)=35,则此椭圆的离心率为________. 12. 在平面直角坐标系xOy 中,椭圆C 1和C 2的方程分别为x 24+y 2=1和 y 216+x 24=1,射线OA 与椭圆C 1和C 2分别交于A ,B 两点,且 OB →=2OA →,则射线OA 的斜率为________.13. 设双曲线x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的渐近线与抛物线y =x 2+1相切,则该双曲线的离心率为________.14. 已知椭圆C 1的中心在坐标原点,两焦点分别为F 1(-2,0),F 2(2,0),点A (2,3)在椭圆C 1上,又抛物线C 2:x 2=2py (p >0)的通径所在直线被椭圆C 1所截得的线段长为4333.(1)求椭圆C 1和抛物线C 2的方程.(2)过点A 的直线L 与抛物线C 2交于B 、C 两点,抛物线C 2在点B 、C 处的切线分别为l 1、l 2,且l 1与l 2交于点P .是否若存在满足|PF 1|+|PF 2|=|AF 1|+|AF 2|的点P ?若存在,指出这样的点P 有几个(不必求出点P 的坐标),若不存在,说明理由.15. 已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的一个焦点为F (2,0),且离心率为63.(1)求椭圆的方程;(2)斜率为k 的直线l 过点F 且与椭圆交于A ,B 两点,P 为直线x =3上一点,若△ABP 为等边三角形,求直线l 的方程.16. 已知椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)过点(1,e )和⎝⎛⎭⎪⎫e ,32,其中e 为椭圆的离心率.(1)求椭圆C 的方程;(2)设Q (x 0,y 0)(x 0y 0≠0)为椭圆C 上一点,取点A (0,2),E (x 0,0),连接AE ,过点A 作AE 的垂线交x 轴于点D .点G 是点D 关于原点的对称点,证明:直线QG 与椭圆C 只有一个公共点.专题限时集训(十六)【基础演练】1.C [解析] A 中双曲线以2x ±3y =0为渐近线;同理B 、D 中双曲线也是以2x ±3y =0为渐近线;C 中双曲线以3x ±2y =0为浙近线,答案选C.2.C [解析] 由y =ax 2得x 2=1a y ,依题意得⎩⎪⎨⎪⎧a <0,2p =1a,又p =2,因此a =-14. 3.C [解析] 由抛物线的性质知,||AB =x 1+x 2+2=8.4.D [解析] 易知2a =2,即a =1,所以c =2,所以该双曲线的离心率e =ca= 2. 5.B [解析] 易知圆x 2+y 2-4x -5=0与x 轴的交点为(-1,0),(5,0).由于双曲线中c >a =3,所以c =5,所以m =25-9=16,所以双曲线方程为x 29-y 216=1,故其渐近线方程为y =±43x .【提升训练】6.D [解析] 依题意得2c =4a ,因此b =3a ,从而双曲线的渐近线为y =±3x ,又抛物线的焦点为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0,p 2,由条件得d =⎪⎪⎪⎪⎪⎪±3×0-p 23+1=2,解得p =8,所以抛物线的方程为x 2=16y .7.B [解析] 由题可知,直线l 2:x =-1是抛物线y 2=4x 的准线.设抛物线的焦点为F (1,0),则动点P 到直线l 2的距离等于||PF ,故动点P 到直线l 1 和直线l 2的距离之和的最小值即为焦点F 到直线l 1:4x -3y +6=0的距离,所以最小值是|4-0+6|5=2.8.D [解析] 易知直线AB 的斜率为k =0+13-1=12.设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则有x 21a 2+y 21b2=1,x 22a 2+y 22b 2=1,两式相减得x 1+x 2a 2+y 1+y 2b 2·y 1-y 2x 1-x 2=0,将中点坐标和斜率代入得1a 2-12b2=0.又c =3,a 2=b 2+c 2,可解得a 2=18,b 2=9.故选D.9.B [解析] 不妨设P 在双曲线的右支上,则|PF 1|-|PF 2|=2a ,由圆的切线长定理得|F 1M |-|MF 2|=2a ,又|F 1M |+|MF 2|=2c ,因此|F 1M |=c +a ,|MF 2|=c -a ,F 1M →·MF 2→=(c +a )(c -a )=c 2-a 2=b 2.10.B [解析] 依题意可得,|AB |=|AF 2|=|BF 2|.因为|BF 1|-|BF 2|=2a ,所以|AF 1|=2a .又因为|AF 2|-|AF 1|=2a ,所以|AF 2|=4a .故在△BF 1F 2中,|BF 1|=6a ,|BF 2|=4a ,|F 1F 2|=2c ,∠F 1BF 2=60°.由余弦定理可得c 2=7a 2,所以该双曲线的离心率为 7.11.57 [解析] 在△PF 1F 2中由正弦定理得|F 1F 2|sin (α+β)=|PF 1|sin β=|PF 2|sin α=|PF 1|+|PF 2|sin α+sin β,因此2c sin (α+β)=2a sin α+sin β,所以e =sin (α+β)sin α+sin β,由cosα=55得sin α=255>sin(α+β),因此cos(α+β)=-45,sin β=sin[(α+β)-α]=11525,从而e =sin (α+β)sin α+sin β=35255+11525=57.12.±1 [解析] 设点A ()x 1,y 1,B ()x 2,y 2,由OB →=2OA →,得x 2=2x 1,y 2=2y 1.∵点B 在椭圆C 2上,∴y 2216+x 224=1,∴y 214+x 21=1①.又∵点A 在椭圆C 1上,∴x 214+y 21=1②. 由①②可得y 1x 1=±1,∴射线OA 的斜率为±1.13. 5 [解析] 设切点为P (x 0,x 20+1),斜率为y ′=2x 0,则切线方程为y -x 20-1=2x 0(x -x 0),整理得y =2x 0x -x 20+1.因为双曲线的焦点在x 轴上,切线与双曲线的渐近线重合,所以切线过原点,将(0,0)代入切线方程得x 0=±1,所以切线的斜率k =±2,所以b a=2,所以e =c a=1+⎝ ⎛⎭⎪⎫b a2=1+4= 5.14.解: (1)设椭圆C 1的方程为x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0),根据椭圆的定义得2a =|AF 1|+|AF 2|=8,即a =4.又c =2,∴b 2=a 2-c 2=12,∴椭圆C 1的方程为x 216+y 212=1.由⎩⎪⎨⎪⎧y =p 2,x 216+y212=1可得x 2=16-13p 2,则所截得的弦长为216-13p 2=4333,解得p =2,故抛物线C 2的方程为x 2=4y .(2)设B ⎝⎛⎭⎪⎫x 1,14x 21,C ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2,14x 22,由于直线L 的斜率存在,所以可设直线L 的方程为y =k (x -2)+3,由⎩⎪⎨⎪⎧y =k (x -2)+3,x 2=4y消去y ,得x 2-4kx +8k -12=0, 则x 1+x 2=4k ,x 1x 2=8k -12.由x 2=4y 可得y ′=12x .∴抛物线C 1在点B 处的切线l 1的方程为y -x 214=x 12(x -x 1),化简得y =x 12x -14x 21.同理,抛物线C 2在点C 处的切线l 2的方程为y =x 22x -14x 22.由⎩⎪⎨⎪⎧y =x 12x -14x 21,y =x 22x -14x 22,解得⎩⎪⎨⎪⎧x =x 1+x 22=2k ,y =x 1x 24=2k -3.即P (2k ,2k -3),又∵|PF 1|+|PF 2|=|AF 1|+|AF 2|,∴点P 在椭圆C 1上,故(2k )216+(2k -3)212=1,化简得7k 2-12k -3=0,(*)则Δ=122-4×7×(-3)=228>0,所以方程(*)有两个不等的实数根.∴满足条件的点P 有两个. 15.解:(1)依题意有c =2,c a =63,可得a 2=6,b 2=2. 故椭圆方程为x 26+y 22=1.(2)易知直线l 的方程为y =k (x -2).联立⎩⎪⎨⎪⎧y =k (x -2),x 26+y22=1,消去y 并整理得(3k 2+1)x 2-12k 2x +12k 2-6=0.设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则x 1+x 2=12k 23k 2+1,x 1x 2=12k 2-63k 2+1,故|AB |=1+k 2|x 1-x 2|=(1+k 2)[(x 1+x 2)2-4x 1x 2]=26(k 2+1)3k 2+1. 设AB 的中点为M (x 0,y 0),则x 0=6k 23k 2+1,y 0=-2k3k 2+1.因为直线MP 的斜率为-1k,且 x P =3,所以||MP =1+1k2·||x 0-x P =k 2+1k 2·3(k 2+1)3k 2+1. 因为△ABP 为等边三角形,所以|MP |=32|AB |, 即k 2+1k 2·3(k 2+1)3k 2+1=32·26(k 2+1)3k 2+1, 解得k =±1.故直线l 的方程为x -y -2=0或x +y -2=0.16.解: (1)∵椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)过点(1,e )和⎝⎛⎭⎪⎫e ,32,∴⎩⎨⎧1a 2+e 2b 2=1,e 2a 2+34b 2=1⇒⎩⎪⎨⎪⎧1a 2+c 2a 2b 2=1,c 2a 4+34b 2=1,解得a 2=2,b 2=1,∴椭圆C 的方程为x 22+y 2=1. (2)证明:设D (x 1,0). ∵A (0,2),E (x 0,0). ∴AE →=(x 0,-2),AD →=(x 1,-2). 由题意知,AE 与AD 垂直,所以有 AE →·AD →=x 1·x 0+2=0,∴x 1=-2x 0,又点G 是点D 关于原点的对称点, ∴G ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 0,0,∴k QG =y 0-0x 0-2x 0=y 0·x 0x 20-2=x 0-2y 0, ∴l QG :y -y 0=-x 02y 0(x -x 0), 整理得y =2-x 0·x2y 0,(*)将(*)式代入椭圆方程得x 2+2·⎝ ⎛⎭⎪⎫2-x 0·x 2y 02=2.整理得2x 2-4x 0·x +2x 20=0,∴Δ=(-4x 0)2-4·2·2x 2=16x 20-16x 20 =0.∴直线QG 与椭圆C 只有一个公共点.。