(四川专版)2019高考数学二轮复习 专题十六 椭圆、双曲线、抛物线练习 理

数学高考试卷椭圆双曲线抛物线和圆锥曲线的综合应用，带参考答案本文收集整理了高中数学高考试卷椭圆、双曲线、抛物线和圆锥曲线的综合应用知识知识，并配上详细参考答案，内容全共五十六页。

同学们认真完成这些练习，并对过答案，对学习高中椭圆、双曲线、抛物线和圆锥曲线的综合应用知识知识，一定有很大的帮助，希望大家喜欢这份文档。

一、椭圆知识1．（2018全国Ⅱ，12）已知F 1，F 2是椭圆C ： x 2a +y 2b =1 (a >b >0)的左，右焦点，A是C 的左顶点，点P 在过A 且斜率为√36的直线上，△PF 1F 2为等腰三角形，∠F 1F 2P =120°，则C 的离心率为( )A ．23 B ．12 C ．13 D ．141.答案：D 因为△PF 1F 2为等腰三角形，∠F 1F 2P =120°，所以PF 2=F 1F 2=2c,由AP 斜率为√36得，tan∠PAF 2=√36,∴sin∠PAF 2=√13cos∠PAF 2=√12√13，由正弦定理得PF 2AF 2=sin∠PAF 2sin∠APF 2,所以2c a+c =1√13sin(π3−∠PAF 2)1√13√32⋅√12√13−12⋅1√1325∴a =4c,e =14，选D.2.（2017•新课标Ⅲ,10）已知椭圆C ： =1（a ＞b ＞0）的左、右顶点分别为A 1 ， A 2 ， 且以线段A 1A 2为直径的圆与直线bx ﹣ay+2ab=0相切，则C 的离心率为（ ）A. B. C. D.2. 答案：A 以线段A 1A 2为直径的圆与直线bx ﹣ay+2ab=0相切， ∴原点到直线的距离=a ，化为：a 2=3b 2 ． ∴椭圆C 的离心率e= = = ．故选A ．3.（2017•浙江,）椭圆+=1的离心率是（ ）A. B. C. D.3. 答案：B 椭圆+=1，可得a=3，b=2，则c==，所以椭圆的离心率为： =．故选B ．4.(2016·浙江，7)已知椭圆C 1：x 2m 2＋y 2＝1(m ＞1)与双曲线C 2：x 2n2－y 2＝1(n ＞0)的焦点重合，e 1，e 2分别为C 1，C 2的离心率，则( )A.m ＞n 且e 1e 2＞1B.m ＞n 且e 1e 2＜1C.m ＜n 且e 1e 2＞1D.m ＜n 且e 1e 2＜14.答案： A [由题意可得：m 2－1＝n 2＋1，即m 2＝n 2＋2， 又∵m ＞0，n ＞0，故m ＞n . 又∵e 21·e 22＝m 2－1m 2·n 2＋1n 2＝n 2＋1n 2＋2·n 2＋1n 2＝n 4＋2n 2＋1n 4＋2n 2＝1＋1n 4＋2n 2＞1，∴e 1·e 2＞1.] 5.(2016·全国Ⅲ，11)已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点，A ，B分别为C 的左，右顶点.P 为C 上一点，且PF ⊥x 轴.过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为( ) A.13 B.12 C.23 D.345.A [设M (－c ，m )，则E ⎝⎛⎭⎫0，am a －c ，OE 的中点为D ，则D ⎝⎛⎭⎫0，am2（a －c ），又B ，D ，M 三点共线，所以m 2（a －c ）＝m a ＋c，a ＝3c ，e ＝13.]6.(2014·大纲全国，6)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点为F 1、F 2，离心率为33，过F 2的直线l 交C 于A 、B 两点.若△AF 1B 的周长为43，则C 的方程为( ) A.x 23＋y 22＝1 B.x 23＋y 2＝1 C.x 212＋y 28＝1 D.x 212＋y 24＝1 6.A [由椭圆的性质知|AF 1|＋|AF 2|＝2a ，|BF 1|＋|BF 2|＝2a ， ∴△AF 1B 的周长＝|AF 1|＋|AF 2|＋|BF 1|＋|BF 2|＝43，∴a ＝ 3.又e ＝33，∴c ＝1.∴b 2＝a 2－c 2＝2，∴椭圆的方程为x 23＋y 22＝1，故选A.]7．（2018浙江，17）已知点P (0，1)，椭圆x24+y 2=m (m >1)上两点A ，B 满足AP⃑⃑⃑⃑⃑ =2PB ⃑⃑⃑⃑⃑ ，则当m =___________时，点B 横坐标的绝对值最大．7.5 设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)，由AP ⃑⃑⃑⃑⃑ =2PB ⃑⃑⃑⃑⃑ 得−x 1=2x 2,1−y 1=2(y 2−1),∴−y 1=2y 2−3, 因为A ,B 在椭圆上,所以x 124+y 12=m,x 224+y 22=m, ∴4x 224+(2y 2−3)2=m,∴x 224+(y 2−32)2=m4，与x 224+y 22=m 对应相减得y 2=3+m 4,x 22=−14(m 2−10m +9)≤4，当且仅当m =5时取最大值.8.(2016·江苏，10)如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点，直线y ＝b2与椭圆交于B ，C 两点，且∠BFC ＝90°，则该椭圆的离心率是________.8.63 [联立方程组⎩⎨⎧x 2a 2＋y 2b 2＝1，y ＝b2，解得B 、C 两点坐标为B ⎝⎛⎭⎫－32a ，b 2,C ⎝⎛⎭⎫32a ，b2,又F (c ,0),则FB →＝⎝⎛⎭⎫－32a －c ，b 2，FC →＝⎝⎛⎭⎫3a 2－c ，b 2，又由∠BFC ＝90°，可得FB →·FC →＝0，代入坐标可得：c 2－34a 2＋b 24＝0①，又因为b 2＝a 2－c 2.代入①式可化简为c 2a 2＝23，则椭圆离心率为e ＝ca＝23＝63. 9.(2014·辽宁，15)已知椭圆C ：x 29＋y 24＝1，点M 与C 的焦点不重合.若M 关于C 的焦点的对称点分别为A ，B ，线段MN 的中点在C 上，则|AN |＋|BN |＝________.9.12 [设MN 交椭圆于点P ，连接F 1P 和F 2P (其中F 1、F 2是椭圆C 的左、右焦点)，利用中位线定理可得|AN |＋|BN |＝2|F 1P |＋2|F 2P |＝2×2a ＝4a ＝12.] 10.(2014·安徽，14)设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2＋y 2b 2＝1(0<b <1)的左、右焦点，过点F 1的直线交椭圆E 于A ，B 两点.若|AF 1|＝3|F 1B |，AF 2⊥x 轴，则椭圆E 的方程为________. 10.x 2＋3y 22＝1 [设点A 在点B 上方，F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)，其中c ＝1－b 2，则可设A (c ，b 2)，B (x 0，y 0)，由|AF 1|＝3|F 1B |，可得AF 1→＝3F 1B →，故⎩⎪⎨⎪⎧－2c ＝3（x 0＋c ），－b 2＝3y 0，即⎩⎨⎧x 0＝－53c ，y 0＝－13b 2，代入椭圆方程可得25（1－b 2）9＋19b 2＝1，得b 2＝23，故椭圆方程为x 2＋3y 22＝1.] 11.(2014·江西，15)过点M (1,1)作斜率为－12的直线与椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)相交于A ，B两点，若M 是线段AB 的中点，则椭圆C 的离心率等于________. 11.22 [设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，分别代入椭圆方程相减得（x 1－x 2）（x 1＋x 2）a 2＋（y 1－y 2）（y 1＋y 2）b 2＝0，根据题意有x 1＋x 2＝2×1＝2，y 1＋y 2＝2×1＝2，且y 1－y 2x 1－x 2＝－12，所以2a 2＋2b 2×⎝⎛⎭⎫－12＝0，得a 2＝2b 2，所以a 2＝2(a 2－c 2)，整理得a 2＝2c 2得c a ＝22，所以e ＝22.] 12．（2018全国Ⅲ，20）已知斜率为k 的直线l 与椭圆C ： x 24+y 23=1交于A ，B 两点，线段AB的中点为M(1 ， m)(m >0)． （1）证明：k <−12；（2）设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点,且FP ⃑⃑⃑⃑⃑ +FA ⃑⃑⃑⃑⃑ +FB ⃑⃑⃑⃑⃑ =0．证明：|FA ⃑⃑⃑⃑⃑ |，|FP ⃑⃑⃑⃑⃑ |，|FB ⃑⃑⃑⃑⃑ |成等差数列，并求该数列的公差． 12.（1）设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)，则x 124+y 123=1,x 224+y 223=1.两式相减，并由y 1−y2x 1−x 2=k 得x 1+x 24+y 1+y 23⋅k =0. 由题设知x 1+x 22=1,y 1+y 22=m ，于是k =−34m .①由题设得0<m <32，故k <−12. （2）由题意得F(1,0)，设P(x 3,y 3)，则 (x 3−1,y 3)+(x 1−1,y 1)+(x 2−1,y 2)=(0,0).由（1）及题设得x 3=3−(x 1+x 2)=1,y 3=−(y 1+y 2)=−2m <0. 又点P 在C 上，所以m =34，从而P(1,−32)，|FP ⃑⃑⃑⃑⃑ |=32. 于是|FA⃑⃑⃑⃑⃑ |=√(x 1−1)2+y 12=√(x 1−1)2+3(1−x 124)=2−x 12. 同理|FB⃑⃑⃑⃑⃑ |=2−x 22.所以|FA⃑⃑⃑⃑⃑ |+|FB ⃑⃑⃑⃑⃑ |=4−12(x 1+x 2)=3. 故2|FP⃑⃑⃑⃑⃑ |=|FA ⃑⃑⃑⃑⃑ |+|FB ⃑⃑⃑⃑⃑ |，即|FA ⃑⃑⃑⃑⃑ |,|FP ⃑⃑⃑⃑⃑ |,|FB ⃑⃑⃑⃑⃑ |成等差数列. 设该数列的公差为d ，则2|d|=||FB⃑⃑⃑⃑⃑ |−|FA ⃑⃑⃑⃑⃑ ||=12|x 1−x 2|=12√(x 1+x 2)2−4x 1x 2.② 将m =34代入①得k =−1.所以l 的方程为y =−x +74，代入C 的方程，并整理得7x 2−14x +14=0.故x 1+x 2=2,x 1x 2=128，代入②解得|d|=3√2128. 所以该数列的公差为3√2128或−3√2128. 13．（2018天津，19）设椭圆22221x x a b+= (a >b >0)的左焦点为F ，上顶点为B . 已知椭圆的点A 的坐标为(),0b，且FB AB ⋅=（I ）求椭圆的方程；（II ）设直线l ： (0)y kx k =>与椭圆在第一象限的交点为P ，且l 与直线AB 交于点Q .若sin 4AQ AOQ PQ=∠ (O 为原点) ，求k 的值. 13.（Ⅰ）设椭圆的焦距为2c ，由已知有2259c a =，又由a 2=b 2+c 2，可得2a =3b ．由已知可得， FB a =，AB =，由FB AB ⋅=ab =6，从而a =3，b =2．所以，椭圆的方程为22194x y +=． （Ⅱ）设点P 的坐标为（x 1，y 1），点Q 的坐标为（x 2，y 2）． 由已知有y 1>y 2>0，故12PQ sin AOQ y y ∠=-． 又因为2y AQ sin OAB =∠，而∠OAB =π4，故2AQ =．由4AQ sin AOQ PQ=∠，可得5y 1=9y 2． 由方程组22{ 194y kx x y =+=，，消去x，可得1y =． 易知直线AB 的方程为x +y –2=0， 由方程组{20y kx x y =+-=，，消去x ，可得221ky k =+．由5y 1=9y 2，可得5（k +1）= 两边平方，整理得25650110k k -+=，解得12k =，或1128k =． 所以，k 的值为12或1128．14.（2017•江苏,17）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆E ： =1（a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为F 1 ， F 2 ， 离心率为，两准线之间的距离为8．点P 在椭圆E 上，且位于第一象限，过点F 1作直线PF 1的垂线l 1 ， 过点F 2作直线PF 2的垂线l 2 ． （Ⅰ）求椭圆E 的标准方程；（Ⅱ）若直线l 1 ， l 2的交点Q 在椭圆E 上，求点P 的坐标．14.（1）设椭圆的半焦距为c .因为椭圆E 的离心率为12，两准线之间的距离为8，所以12c a =， 228a c =，解得2,1a c ==，于是b ==因此椭圆E 的标准方程是22143x y +=. （2）由（1）知， ()11,0F -， ()21,0F . 设()00,P x y ，因为点P 为第一象限的点，故000,0x y >>. 当01x =时， 2l 与1l 相交于1F ，与题设不符. 当01x ≠时，直线1PF 的斜率为001y x +，直线2PF 的斜率为001y x -.因为11l PF ⊥， 22l PF ⊥，所以直线1l 的斜率为001x y -+，直线2l 的斜率为001x y --， 从而直线1l 的方程： ()0011x y x y +=-+， ① 直线2l 的方程： ()0011x y x y -=--. ② 由①②，解得2001,x x x y y -=-=，所以20001,x Q x y ⎛⎫-- ⎪⎝⎭.因为点Q 在椭圆上，由对称性，得20001x y y -=±，即2201x y -=或22001x y +=. 又P 在椭圆E 上，故2200143x y +=. 由22002201{ 143x y x y-=+=，解得00x y ==； 220022001{ 143x y x y +=+=，无解.因此点P的坐标为⎝⎭15.(2016·全国Ⅱ，20)已知椭圆E ：x 2t ＋y 23＝1的焦点在x 轴上，A 是E 的左顶点，斜率为k (k >0)的直线交E 于A ，M 两点，点N 在E 上，MA ⊥NA . (1)当t ＝4，|AM |＝|AN |时，求△AMN 的面积； (2)当2|AM |＝|AN |时，求k 的取值范围.15.解 (1)设M (x 1，y 1)，则由题意知y 1>0.当t ＝4时，E 的方程为x 24＋y 23＝1,A (-2,0).由|AM |＝|AN |及椭圆的对称性知，直线AM 的倾斜角为π4.因此直线AM 的方程为y ＝x ＋2.将x ＝y －2代入x 24＋y 23＝1得7y 2－12y ＝0，解得y ＝0或y ＝127，所以y 1＝127.因此△AMN 的面积S △AMN ＝2×12×127×127＝14449.(2)由题意t >3，k >0，A (－t ，0)，将直线AM 的方程y ＝k (x ＋t )代入x 2t ＋y 23＝1得(3＋tk 2)x 2＋2t ·tk 2x ＋t 2k 2－3t ＝0.由x 1·(－t )＝t 2k 2－3t 3＋tk 2得x 1＝t （3－tk 2）3＋tk 2，故|AM |＝|x 1＋t |1＋k 2＝6t （1＋k 2）3＋tk 2.由题设，直线AN 的方程为y ＝－1k (x ＋t )，故同理可得|AN |＝6k t （1＋k 2）3k 2＋t .由2|AM |＝|AN |得23＋tk 2＝k3k 2＋t ，即(k 3－2)t ＝3k (2k －1)，当k ＝32时上式不成立，因此t ＝3k （2k －1）k 3－2.t >3等价于k 3－2k 2＋k －2k 3－2＝（k －2）（k 2＋1）k 3－2<0，即k －2k 3－2<0.由此得⎩⎪⎨⎪⎧k －2>0，k 3－2<0，或⎩⎪⎨⎪⎧k －2<0，k 3－2>0，解得32<k <2.因此k 的取值范围是(32，2).16.(2016·四川，20)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点，直线l ：y ＝－x ＋3与椭圆E 有且只有一个公共点T . (1)求椭圆E 的方程及点T 的坐标；(2)设O 是坐标原点，直线l ′平行于OT ，与椭圆E 交于不同的两点A 、B ，且与直线l 交于点P .证明：存在常数λ，使得|PT |2＝λ|P A |·|PB |，并求λ的值. 16.(1)解 由已知，a ＝2b ，则椭圆E 的方程为x 22b 2＋y 2b 2＝1.由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 22b 2＋y 2b 2＝1，y ＝－x ＋3，得3x 2－12x ＋(18－2b 2)＝0.①方程①的判别式为Δ＝24(b 2－3)，由Δ＝0，得b 2＝3，此时方程①的解为x ＝2，所以椭圆E 的方程为x 26＋y 23＝1.点T 的坐标为(2，1).(2)证明 由已知可设直线l ′的方程为y ＝12x ＋m (m ≠0)，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12x ＋m ，y ＝－x ＋3，可得⎩⎨⎧x ＝2－2m3，y ＝1＋2m 3.所以P 点坐标为⎝⎛⎭⎫2－2m 3，1＋2m 3.|PT |2＝89m 2. 设点A ，B 的坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2).由方程组⎩⎨⎧x 26＋y 23＝1，y ＝12x ＋m ，可得3x 2＋4mx ＋(4m 2－12)＝0.②方程②的判别式为Δ＝16(9－2m 2)， 由Δ>0，解得－322<m <322.由②得x 1＋x 2＝－4m3，x 1x 2＝4m 2－123.所以|P A |＝⎝⎛⎭⎫2－2m 3－x 12＋⎝⎛⎭⎫1＋2m 3－y 12＝52⎪⎪⎪⎪2－2m 3－x 1，同理|PB |＝52⎪⎪⎪⎪2－2m 3－x 2.所以|P A |·|PB |＝54⎪⎪⎪⎪⎝⎛⎭⎫2－2m3－x 1⎝⎛⎭⎫2－2m 3－x 2 ＝54⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎝⎛⎭⎫2－2m 32－⎝⎛⎭⎫2－2m 3（x 1＋x 2）＋x 1x 2 ＝54⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎝⎛⎭⎫2－2m 32－⎝⎛⎭⎫2－2m 3⎝⎛⎭⎫－4m 3＋4m 2－123＝109m 2. 故存在常数λ＝45，使得|PT |2＝λ|P A |·|PB |.17.(2015·重庆，21)如图，椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2的直线交椭圆于P 、Q 两点，且PQ ⊥PF 1.(1)若|PF 1|＝2＋2，|PF 2|＝2－2，求椭圆的标准方程； (2)若|PF 1|＝|PQ |，求椭圆的离心率e .17.解 (1)由椭圆的定义，2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝(2＋2)＋(2－2)＝4，故a ＝2. 设椭圆的半焦距为c ，由已知PF 1⊥PF 2，因此2c ＝|F 1F 2|＝|PF 1|2＋|PF 2|2＝（2＋2）2＋（2－2）2＝23，即c ＝3，即c ＝3，从而b ＝a 2－c 2＝1. 故所求椭圆的标准方程为x 24＋y 2＝1.(2)法一 如图设点P (x 0，y 0)在椭圆上，且PF 1⊥PF 2，则x 20a 2＋y 20b2＝1，x 20＋y 20＝c 2， 求得x 0＝±a c a 2－2b 2，y 0＝±b 2c .由|PF 1|＝|PQ |＞|PF 2|得x 0＞0，从而 |PF 1|2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a a 2－2b 2c ＋c 2＋b 4c 2＝2(a 2－b 2)＋2a a 2－2b 2＝(a ＋a 2－2b 2)2. 由椭圆的定义,|PF 1|＋|PF 2|＝2a ,|QF 1|＋|QF 2|＝2a , 从而由|PF 1|＝|PQ |＝|PF 2|＋|QF 2|,有|QF 1|＝4a －2|PF 1|. 又由PF 1⊥PF 2，|PF 1|＝|PQ |，知|QF 1|＝2|PF 1|， 因此，(2＋2)|PF 1|＝4a ，即(2＋2)(a ＋a 2－2b 2)＝4a ， 于是(2＋2)(1＋2e 2－1)＝4，解得e ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫42＋2－12＝6－ 3. 法二 如图，由椭圆的定义，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，|QF 1|＋|QF 2|＝2a .从而由|PF 1|＝|PQ |＝|PF 2|＋|QF 2|，有|QF 1|＝4a －2|PF 1|.又由PF 1⊥PQ ，|PF 1|＝|PQ |，知|QF 1|＝2|PF 1|，因此，4a －2|PF 1|＝2|PF 1|，得|PF 1|＝2(2－2)a ，从而|PF 2|＝2a －|PF 1|＝2a －2(2－2)a ＝2(2－1)a . 由PF 1⊥PF 2，知|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2＝(2c )2，因此e ＝ca ＝|PF 1|2＋|PF 2|22a ＝（2－2）2＋（2－1）2＝9－62＝6－ 3. 18.(2015·福建，18)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)过点(0，2)，且离心率e ＝22.(1)求椭圆E 的方程；(2)设直线l ：x ＝my －1(m ∈R )交椭圆E 于A ，B 两点，判断点G ⎝⎛⎭⎫－94，0与以线段AB 为直径的圆的位置关系，并说明理由.18.解 法一 (1)由已知得，⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2，c a ＝22，a 2＝b 2＋c 2.解得⎩⎨⎧a ＝2，b＝2，c ＝ 2.所以椭圆E 的方程为x 24＋y 22＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 的中点为H (x 0，y 0).⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my －1，x 24＋y 22＝1得(m 2＋2)y 2－2my －3＝0.所以y 1＋y 2＝2m m 2＋2，y 1y 2＝－3m 2＋2，从而y 0＝mm 2＋2.所以|GH |2＝⎝⎛⎭⎫x 0＋942＋y 20＝⎝⎛⎭⎫my 0＋542＋y 20＝(m 2＋1)y 20＋52my 0＋2516. |AB |24＝（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）24 ＝（1＋m 2）（y 1－y 2）24＝（1＋m 2）[（y 1＋y 2）2－4y 1y 2]4＝(1＋m 2)(y 20－y 1y 2)， 故|GH |2－|AB |24＝52my 0＋(1＋m 2)y 1y 2＋2516＝5m 22（m 2＋2）－3（1＋m 2）m 2＋2＋2516＝17m 2＋216（m 2＋2）＞0， 所以|GH |＞|AB |2.故点G ⎝⎛⎭⎫－94，0在以AB 为直径的圆外. 法二 (1)同法一.(2)设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则GA →＝⎝⎛⎭⎫x 1＋94，y 1，GB →＝⎝⎛⎭⎫x 2＋94，y 2.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my －1，x 24＋y 22＝1得(m 2＋2)y 2－2my －3＝0， 所以y 1＋y 2＝2m m 2＋2，y 1y 2＝－3m 2＋2，从而GA →·GB →＝⎝⎛⎭⎫x 1＋94⎝⎛⎭⎫x 2＋94＋y 1y 2＝⎝⎛⎭⎫my 1＋54⎝⎛⎭⎫my 2＋54＋y 1y 2 ＝(m 2＋1)y 1y 2＋54m (y 1＋y 2)＋2516＝－3（m 2＋1）m 2＋2＋52m2m 2＋2＋2516＝17m 2＋216（m 2＋2）＞0， 所以cos 〈GA →，GB →〉＞0.又GA →，GB →不共线，所以∠AGB 为锐角. 故点G ⎝⎛⎭⎫－94，0在以AB 为直径的圆外. 19.(2015·陕西，20)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的半焦距为c ，原点O 到经过两点(c,0)，(0，b )的直线的距离为12c .(1)求椭圆E 的离心率；(2)如图，AB 是圆M ：(x ＋2)2＋(y －1)2＝52的一条直径，若椭圆E 经过A ，B 两点，求椭圆E的方程.19.解 (1)过点(c ，0)，(0，b )的直线方程为bx ＋cy －bc ＝0， 则原点O 到该直线的距离d ＝bc b 2＋c 2＝bc a,由d ＝12c ,得a ＝2b ＝2a 2－c 2,解得离心率c a ＝32.(2)法一 由(1)知，椭圆E 的方程为x 2＋4y 2＝4b 2.① 依题意，圆心M (－2，1)是线段AB 的中点，且|AB |＝10，易知,AB 与x 轴不垂直,设其方程为y ＝k (x ＋2)＋1,代入①得(1＋4k 2)x 2＋8k (2k ＋1)x ＋4(2k ＋1)2－4b 2＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－8k （2k ＋1）1＋4k 2，x 1x 2＝4（2k ＋1）2－4b 21＋4k 2，由x 1＋x 2＝－4，得－8k （2k ＋1）1＋4k 2＝－4，解得k ＝12，从而x 1x 2＝8－2b 2， 于是|AB |＝1＋⎝⎛⎭⎫122|x 1－x 2|＝52（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝10（b 2－2），由|AB |＝10，得10（b 2－2）＝10，解得b 2＝3， 故椭圆E 的方程为x 212＋y 23＝1.法二 由(1)知，椭圆E 的方程为x 2＋4y 2＝4b 2，②依题意，点A ，B 关于圆心M (－2，1)对称，且|AB |＝10，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 21＋4y 21＝4b 2，x 22＋4y 22＝4b 2，两式相减并结合x 1＋x 2＝－4，y 1＋y 2＝2，得－4(x 1－x 2)＋8(y 1－y 2)＝0， 易知AB 与x 轴不垂直，则x 1≠x 2， 所以AB 的斜率k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝12， 因此直线AB 的方程为y ＝12(x ＋2)＋1，代入②得x 2＋4x ＋8－2b 2＝0，所以x 1＋x 2＝－4，x 1x 2＝8－2b 2， 于是|AB |＝1＋⎝⎛⎭⎫122|x 1－x 2|＝52（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝10（b 2－2）.由|AB |＝10，得10（b 2－2）＝10，解得b 2＝3， 故椭圆E 的方程为x 212＋y 23＝1.20.(2015·北京，19)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22，点P (0,1)和点A (m ，n )(m ≠0)都在椭圆C 上，直线P A 交x 轴于点M .(1)求椭圆C 的方程，并求点M 的坐标(用m ，n 表示)；(2)设O 为原点，点B 与点A 关于x 轴对称，直线PB 交x 轴于点N .问：y 轴上是否存在点Q ，使得∠OQM ＝∠ONQ ？若存在，求点Q 的坐标；若不存在，说明理由.20.解 (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1，c a ＝22，a 2＝b 2＋c2解得a 2＝2，故椭圆C 的方程为x22＋y 2＝1.设M (x M ，0).因为m ≠0，所以－1＜n ＜1.直线P A 的方程为y －1＝n －1m x .所以x M ＝m 1－n，即M ⎝⎛⎭⎫m 1－n ，0. (2)因为点B 与点A 关于x 轴对称，所以B (m ，－n ). 设N (x N ，0)，则x N ＝m1＋n.“存在点Q (0，y Q )使得∠OQM ＝∠ONQ ”，等价于“存在点Q (0，y Q )使得|OM ||OQ |＝|OQ ||ON |”，即y Q 满足y 2Q ＝|x M ||x N |.因为x M ＝m 1－n ，x N ＝m 1＋n ，m 22＋n 2＝1.所以y 2Q ＝|x M ||x N |＝m 21－n 2＝2.所以y Q ＝2或y Q ＝－ 2.故在y 轴上存在点Q ，使得∠OQM ＝∠ONQ ，点Q 的坐标为(0，2)或(0，－2). 21.(2015·江苏,18)如图,在平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22,且右焦点F 到左准线l 的距离为3. (1)求椭圆的标准方程；(2)过F 的直线与椭圆交于A ,B 两点,线段AB 的垂直平分线分别交直线l 和AB 于点P ,C ,若PC ＝2AB ,求直线AB 的方程. 21.解 (1)由题意,得c a ＝22且c ＋a 2c＝3,解得a ＝2,c ＝1,则b ＝1,所以椭圆的标准方程为x 22＋y 2＝1.(2)当AB ⊥x 轴时,AB ＝2,又CP ＝3,不合题意.当AB 与x 轴不垂直时,设直线AB 的方程为y ＝k (x －1),A (x 1,y 1),B (x 2,y 2), 将AB 的方程代入椭圆方程,得(1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2(k 2－1)＝0, 则x 1,2＝2k 2±2（1＋k 2）1＋2k 2,C 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 21＋2k 2，－k 1＋2k 2,且 AB ＝（x 2－x 1）2＋（y 2－y 1）2＝（1＋k 2）（x 2－x 1）2＝22（1＋k 2）1＋2k 2.若k ＝0,则线段AB 的垂直平分线为y 轴,与左准线平行,不合题意. 从而k ≠0,故直线PC 的方程为y ＋k 1＋2k 2＝－1k ⎝⎛⎭⎫x －2k 21＋2k 2,则P 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，5k 2＋2k （1＋2k 2）,从而PC ＝2（3k 2＋1）1＋k 2|k |（1＋2k 2）.因为PC ＝2AB ,所以2（3k 2＋1）1＋k 2|k |（1＋2k 2）＝42（1＋k 2）1＋2k 2,解得k ＝±1.此时直线AB 的方程为y ＝x －1或y ＝－x ＋1.二、双曲线知识1．（2018浙江，2）双曲线x 23−y 2=1的焦点坐标是( ) A ．(−√2，0)，(√2，0) B ．(−2，0)，(2，0) C ．(0，−√2)，(0，√2) D ．(0，−2)，(0，2)1.B 因为双曲线方程为x 23−y 2=1，所以焦点坐标可设为(±c,0)，因为c 2=a 2+b 2=3+1=4,c =2，所以焦点坐标为(±2,0)，选B. 2．（2018全国Ⅰ，11）已知双曲线C ：x 23−y 2=1，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M 、N .若△OMN 为直角三角形，则|MN |=( ) A ．32 B ．3 C ．2√3 D ．42.B 根据题意，可知其渐近线的斜率为±√33，且右焦点为F(2,0)，从而得到∠FON =30°，所以直线MN 的倾斜角为60°或120°，根据双曲线的对称性，设其倾斜角为60°，可以得出直线MN 的方程为y =√3(x −2)，分别与两条渐近线y =√33x 和y =−√33x 联立，求得M(3,√3),N(32,−√32)，所以|MN |=2)√2)=3，故选B.3．（2018全国Ⅱ，5）双曲线x 2a 2−y 2b 2=1 (a >0, b >0)的离心率为√3，则其渐近线方程为( )A ．y =±√2xB ．y =±√3xC ．y =±√22x D ．y =±√32x 3.A ∵e =ca =√3,∴b 2a 2=c 2−a 2a 2=e 2−1=3−1=2,∴ba =√2,因为渐近线方程为y =±ba x ，所以渐近线方程为y =±√2x ，选A. 4．（2018全国Ⅲ，11）设F 1,F 2是双曲线C:x 2a 2−y 2b 2=1（）的左、右焦点，O 是坐标原点．过F 2作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P ．若|PF 1|=√6|OP |，则C 的离心率为( ) A ．√5 B ．√3 C ．2 D ．√24.B 由题可知|PF 2|=b,|OF 2|=c ,∴|PO |=a ,在Rt △POF 2中，cos∠PF 2O =|PF 2||OF 2|=bc, ∵在△PF 1F 2中,cos∠PF 2O =|PF 2|2+|F 1F 2|2−|PF 1|22|PF 2||F 1F 2|=bc ,∴b 2+4c 2−(√6a)22b∙2c=bc ⇒c 2=3a 2,∴e =√3.故选C.5．（2018天津，7）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点. 设A ，B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为1d 和2d ，且126d d +=，则双曲线的方程为( )A ．221412x y -= B ．221124x y -= C ．22139x y -= D ．22193x y -=5.C 设双曲线的右焦点坐标为(),0F c （c >0），则A B x x c ==，由22221c y a b-=可得：2b y a =±，不妨设： 22,,,b b Ac B c a a ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，双曲线的一条渐近线方程为： 0bx ay -=，据此可得：21bc b d c -==，22bc b d c +==，则12226bcd d b c+===，则23,9b b ==，双曲线的离心率：2c e a ====，据此可得： 23a =，则双曲线的方程为22139x y -=. 本题选择C 选项.6.（2017•新课标Ⅱ,9）若双曲线C ： ﹣ =1（a ＞0，b ＞0）的一条渐近线被圆（x ﹣2）2+y 2=4所截得的弦长为2，则C 的离心率为（ ）A.2B.C.D.6. A 双曲线C ： ﹣=1（a ＞0，b ＞0）的一条渐近线不妨为：bx+ay=0，圆（x ﹣2）2+y 2=4的圆心（2，0），半径为：2，双曲线C ： ﹣=1（a ＞0，b ＞0）的一条渐近线被圆（x ﹣2）2+y 2=4所截得的弦长为2，可得圆心到直线的距离为： = ，解得：，可得e 2=4，即e=2．故选A ．7.（2017•新课标Ⅲ,5）已知双曲线C ：﹣ =1 （a ＞0，b ＞0）的一条渐近线方程为y= x ，且与椭圆 + =1有公共焦点，则C 的方程为（ ）A.﹣ =1B.﹣ =1C.﹣=1 D.﹣=17. B 椭圆 +=1的焦点坐标（±3，0），则双曲线的焦点坐标为（±3，0），可得c=3，双曲线C ：﹣ =1 （a ＞0，b ＞0）的一条渐近线方程为y=x ，可得 ，即 ，可得 = ，解得a=2，b= ，所求的双曲线方程为： ﹣ =1．故选B ．8.（2017·天津,5）已知双曲线 ﹣ =1（a ＞0，b ＞0）的左焦点为F ，离心率为 ．若经过F 和P （0，4）两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为（ ） A.=1 B.=1 C.=1 D.=18. B 设双曲线的左焦点F （﹣c ，0），离心率e= =，c=a ，则双曲线为等轴双曲线，即a=b ， 双曲线的渐近线方程为y=±x=±x ，则经过F 和P （0，4）两点的直线的斜率k= =，则=1，c=4，则a=b=2，∴双曲线的标准方程：；故选B ．9.(2016·全国Ⅰ，5)已知方程x 2m 2＋n －y 23m 2－n ＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是( )A.(－1，3)B.(－1，3)C.(0，3)D.(0，3)9.A [∵方程x 2m 2＋n －y 23m 2－n ＝1表示双曲线，∴(m 2＋n )·(3m 2－n )>0，解得－m 2<n <3m 2，由双曲线性质，知c 2＝(m 2＋n )＋(3m 2－n )＝4m 2(其中c 是半焦距)，∴焦距2c ＝2×2|m |＝4，解得|m |＝1，∴－1<n <3，故选A.]10.(2016·全国Ⅱ，11)已知F 1，F 2是双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1的左，右焦点，点M 在E 上，MF 1与x 轴垂直，sin ∠MF 2F 1＝13，则E 的离心率为( )A.2B.32C.3D.210.A [离心率e ＝F 1F 2MF 2－MF 1，由正弦定理得e ＝F 1F 2MF 2－MF 1＝sin Msin F 1－sin F 2＝2231－13＝ 2.故选A.]11.(2015·福建，3)若双曲线E ：x 29－y 216＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线E 上，且|PF 1|＝3，则|PF 2|等于( )A.11B.9C.5D.311.B [由双曲线定义||PF 2|－|PF 1||＝2a ,∵|PF 1|＝3,∴P 在左支上,∵a ＝3,∴|PF 2|－|PF 1|＝6，∴|PF 2|＝9，故选B.]12.(2015·安徽，4)下列双曲线中，焦点在y 轴上且渐近线方程为y ＝±2x 的是( ) A.x 2－y 24＝1 B.x 24－y 2＝1 C.y 24－x 2＝1 D.y 2－x 24＝112.C [由双曲线性质知A 、B 项双曲线焦点在x 轴上，不合题意；C 、D 项双曲线焦点均在y 轴上，但D 项渐近线为y ＝±12x ，只有C 符合，故选C.]13.(2015·广东，7)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率e ＝54，且其右焦点为F 2(5,0)，则双曲线C 的方程为( )A.x 24－y 23＝1B.x 216－y 29＝1C.x 29－y 216＝1D.x 23－y 24＝1 13.B [因为所求双曲线的右焦点为F 2(5，0)且离心率为e ＝c a ＝54，所以c ＝5，a ＝4，b 2＝c 2－a 2＝9，所以所求双曲线方程为x 216－y 29＝1，故选B.] 14.(2015·四川，5)过双曲线x 2－y 23＝1的右焦点且与x 轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A ，B 两点，则|AB |＝( ) A.433B.2 3C.6D.4 314.D [焦点F (2，0)，过F 与x 轴垂直的直线为x ＝2，渐近线方程为x 2－y 23＝0，将x ＝2代入渐近线方程得y 2＝12，y ＝±23，∴|AB |＝23－(－23)＝4 3.选D.]15.(2015·新课标全国Ⅱ，11)已知A ，B 为双曲线E 的左，右顶点，点M 在E 上，△ABM 为等腰三角形，且顶角为120°，则E 的离心率为( ) A. 5 B.2 C. 3 D. 2 15.D [如图，设双曲线E 的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0),则|AB |＝2a ,由双曲线的对称性,可设点M (x 1，y 1)在第一象限内,过M 作MN ⊥x 轴于点N (x 1，0)，∵△ABM 为等腰三角形，且∠ABM ＝120°，∴|BM |＝|AB |＝2a ，∠MBN ＝60°，∴y 1＝|MN |＝|BM |sin ∠MBN ＝2a sin 60°＝3a ，x 1＝|OB |＋|BN |＝a ＋2a cos 60°＝2a .将点M (x 1，y 1)的坐标代入x 2a 2－y 2b 2＝1，可得a 2＝b 2，∴e ＝ca ＝a 2＋b 2a 2＝2，选D.] 16.(2015·新课标全国Ⅰ，5)已知M (x 0，y 0)是双曲线C ：x 22－y 2＝1上的一点，F 1，F 2是C 的两个焦点，若MF 1→·MF 2→<0，则y 0的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫－33，33 B.⎝⎛⎭⎫－36，36 C.⎝⎛⎭⎫－223，223 D.⎝⎛⎭⎫－233，233 16.A [由题意知M 在双曲线C ：x 22－y 2＝1上，又在x 2＋y 2＝3内部，由⎩⎪⎨⎪⎧x 22－y 2＝1，x 2＋y 2＝3，得y ＝±33，所以－33<y 0<33.] 17.(2014·天津，5)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线平行于直线l ：y ＝2x ＋10，双曲线的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为( ) A.x 25－y 220＝1 B.x 220－y 25＝1 C.3x 225－3y 2100＝1 D.3x 2100－3y 225＝1 17.A [由题意可知，双曲线的其中一条渐近线y ＝b a x 与直线y ＝2x ＋10平行，所以ba ＝2且左焦点为(-5,0),所以a 2＋b 2＝c 2＝25,解得a 2＝5,b 2＝20,故双曲线方程为x 25－y 220＝1.选A.]18.(2014·广东，4)若实数k 满足0<k <9，则曲线x 225－y 29－k ＝1与曲线x 225－k －y 29＝1的( )A.离心率相等B.实半轴长相等C.虚半轴长相等D.焦距相等18.D [由0<k <9，易知两曲线均为双曲线且焦点都在x 轴上，由25＋9－k ＝25－k ＋9，得两双曲线的焦距相等，选D.]19.(2014·新课标全国Ⅰ，4)已知F 为双曲线C ：x 2－my 2＝3m (m >0)的一个焦点，则点F 到C 的一条渐近线的距离为( ) A. 3 B.3 C.3m D.3m19.A [∵双曲线的方程为x 23m －y 23＝1，∴焦点F 到一条渐近线的距离为 3.]20.(2014·重庆，8)设F 1，F 2分别为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，双曲线上存在一点P 使得|PF 1|＋|PF 2|＝3b ，|PF 1|·|PF 2|＝94ab ，则该双曲线的离心率为( )A.43B.53C.94D.3 20.B [由双曲线的定义得||PF 1|-|PF 2||＝2a ,又|PF 1|＋|PF 2|＝3b ,所以(|PF 1|＋|PF 2|)2－(|PF 1|-|PF 2|)2＝9b 2-4a 2,即4|PF 1|·|PF 2|＝9b 2－4a 2，又4|PF 1|·|PF 2|＝9ab ，因此9b 2－4a 2＝9ab ，即9⎝⎛⎭⎫b a 2-9b a －4＝0,则⎝⎛⎭⎫3b a ＋1⎝⎛⎭⎫3b a －4＝0，解得b a ＝43⎝⎛⎭⎫b a ＝－13舍去，则双曲线的离心率e ＝1＋⎝⎛⎭⎫b a 2＝53.]21.(2014·山东，10)已知a >b >0，椭圆C 1的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1，双曲线C 2的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，C 1与C 2的离心率之积为32，则C 2的渐近线方程为( ) A.x ±2y ＝0 B.2x ±y ＝0 C.x ±2y ＝0 D.2x ±y ＝021.A [椭圆C 1的离心率为a 2－b 2a ,双曲线C 2的离心率为a 2＋b 2a ，所以a 2－b 2a ·a 2＋b 2a ＝32，所以a 4－b 4＝34a 4，即a 4＝4b 4，所以a ＝2b ，所以双曲线C 2的渐近线方程是y ＝±12x ，即x ±2y ＝0.]22.(2014·大纲全国，9)已知双曲线C 的离心率为2，焦点为F 1、F 2，点A 在C 上.若|F 1A |＝2|F 2A |，则cos ∠AF 2F 1＝( ) A.14 B.13 C.24 D.2322.A [由双曲线的定义知|AF 1|－|AF 2|＝2a ，又|AF 1|＝2|AF 2|，∴|AF 1|＝4a ，|AF 2|＝2a . ∵e ＝ca ＝2，∴c ＝2a ，∴|F 1F 2|＝4a .∴cos ∠AF 2F 1＝|AF 2|2＋|F 1F 2|2－|AF 1|22|AF 2|·|F 1F 2|＝（2a ）2＋（4a ）2－（4a ）22×2a ×4a＝14，故选A.]23．（2018江苏，8）在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线x 2a −y 2b =1(a >0,b >0)的右焦点F(c,0)到一条渐近线的距离为√32c ，则其离心率的值是________．23.2 因为双曲线的焦点F(c,0)到渐近线y =±ba x,即bx ±ay =0的距离为√a 2+b2=bc c=b,所以b =√32c ，因此a 2=c 2−b 2=c 2−34c 2=14c 2, a =12c,e =2.24.（2017•山东,14）在平面直角坐标系xOy 中，双曲线=1（a ＞0，b ＞0）的右支与焦点为F 的抛物线x 2=2py （p ＞0）交于A ，B 两点，若|AF|+|BF|=4|OF|，则该双曲线的渐近线方程为________．24. y=± x 把x 2=2py （p ＞0）代入双曲线=1（a ＞0，b ＞0），可得：a 2y2﹣2pb 2y+a 2b 2=0，∴y A +y B =，∵|AF|+|BF|=4|OF|，∴y A +y B +2× =4× ，∴ =p ，∴ = ．∴该双曲线的渐近线方程为：y=± x ．故答案为：y=± x ．25.（2017•北京,9）若双曲线x 2﹣=1的离心率为 ，则实数m=________．25.2 双曲线x 2﹣=1（m ＞0）的离心率为 ，可得： ，解得m=2．故答案为：2．26.（2017•江苏,8）在平面直角坐标系xOy 中，双曲线﹣y 2=1的右准线与它的两条渐近线分别交于点P ，Q ，其焦点是F 1 ， F 2 ， 则四边形F 1PF 2Q 的面积是________． 26.2双曲线﹣y 2=1的右准线：x=，双曲线渐近线方程为：y= x ，所以P （ ， ），Q （ ，﹣ ），F 1（﹣2，0）．F 2（2，0）．则四边形F 1PF 2Q 的面积是： =2．故答案为：2．27.(2016·山东，13)已知双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，若矩形ABCD 的四个顶点在E 上，AB ，CD 的中点为E 的两个焦点，且2|AB |＝3|BC |，则E 的离心率是________.27.2 [由已知得|AB |＝2b 2a ,|BC |＝2c ,∴2×2b 2a ＝3×2c ,又∵b 2＝c 2-a 2,整理得：2c 2-3ac -2a 2=0，两边同除以a 2得2⎝⎛⎭⎫c a 2－3c a－2＝0，即2e 2－3e －2＝0，解得e ＝2或e ＝－1(舍去).] 28.(2015·浙江，9)双曲线x 22－y 2＝1的焦距是______，渐近线方程是______.28.23 y ＝±22x [由双曲线方程得a 2＝2，b 2＝1，∴c 2＝3，∴焦距为23，渐近线方程为y ＝±22x .]29.(2015·北京，10)已知双曲线x 2a 2－y 2＝1(a ＞0)的一条渐近线为3x ＋y ＝0，则a ＝________.29.33 [双曲线渐近线方程为y ＝±b a x ，∴b a ＝3，又b ＝1，∴a ＝33.] 30.(2015·湖南，13)设F 是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1的一个焦点，若C 上存在点P ，使线段PF的中点恰为其虚轴的一个端点，则C 的离心率为________.30.5 [不妨设F (c ，0)，则由条件知P (－c ，±2b )，代入x 2a 2－y 2b 2＝1得c 2a 2＝5，∴e ＝ 5.]31.(2015·江苏，12)在平面直角坐标系xOy 中，P 为双曲线x 2－y 2＝1右支上的一个动点.若点P 到直线x －y ＋1＝0的距离大于c 恒成立，则实数c 的最大值为________. 31.22[双曲线x 2－y 2＝1的渐近线为x ±y ＝0，直线x －y ＋1＝0与渐近线x －y ＝0平行，故两平行线的距离d ＝|1－0|12＋12＝22.由点P 到直线x －y ＋1＝0的距离大于c 恒成立，得c ≤22，故c 的最大值为22.] 32.(2014·浙江，16)设直线x －3y ＋m ＝0(m ≠0)与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线分别交于点A ，B .若点P (m,0)满足|P A |＝|PB |，则该双曲线的离心率是________. 32.52 [联立直线方程与双曲线渐近线方程y ＝±bax 可解得交点为 ⎝⎛⎭⎫am 3b －a ，bm 3b －a ，⎝ ⎛⎭⎪⎫－am 3b ＋a ，bm 3b ＋a ，而k AB ＝13，由|P A |＝|PB |，可得AB 的中点与点P 连线的斜率为－3，即bm 3b －a ＋bm3b ＋a2－0am3b －a ＋－am 3b ＋a2－m＝－3，化简得4b 2＝a 2，所以e ＝52.]33.(2014·江西，20)如图，已知双曲线C ：x 2a 2－y 2＝1(a >0)的右焦点为F ，点A ，B 分别在C的两条渐近线上，AF ⊥x 轴，AB ⊥OB ，BF ∥OA (O 为坐标原点). (1)求双曲线C 的方程；(2)过C 上一点P (x 0，y 0)(y 0≠0)的直线l ：x 0x a 2－y 0y ＝1与直线AF 相交于点M ，与直线x ＝32相交于点N .证明：当点P 在C 上移动时，|MF ||NF |恒为定值，并求此定值.33.(1)解 设F (c ，0)，因为b ＝1，所以c ＝a 2＋1，直线OB 的方程为y ＝－1a x ，直线BF 的方程为y ＝1a (x －c )，解得B ⎝⎛⎭⎫c 2，－c 2a . 又直线OA 的方程为y ＝1a x ，则A ⎝⎛⎭⎫c ，c a ，k AB ＝c a －⎝⎛⎭⎫－c 2a c －c 2＝3a.又因为AB ⊥OB ，所以3a ·⎝⎛⎭⎫－1a ＝－1，解得a 2＝3，故双曲线C 的方程为x 23－y 2＝1.(2)证明 由(1)知a ＝3，则直线l 的方程为x 0x3－y 0y ＝1(y 0≠0)，即y ＝x 0x －33y 0.因为直线AF 的方程为x ＝2，所以直线l 与AF 的交点为M ⎝⎛⎭⎫2，2x 0－33y 0；直线l 与直线x ＝32的交点为N ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32x 0－33y 0. 则|MF |2|NF |2＝（2x 0－3）2（3y 0）214＋⎝⎛⎭⎫32x 0－32（3y 0）2＝（2x 0－3）29y 204＋94（x 0－2）2＝43·（2x 0－3）23y 20＋3（x 0－2）2， 因为P (x 0，y 0)是C 上一点，则x 203－y 20＝1，代入上式得 |MF |2|NF |2＝43·（2x 0－3）2x 20－3＋3（x 0－2）2＝43·（2x 0－3）24x 20－12x 0＋9＝43， 所求定值为|MF ||NF |＝23＝233.三、抛物线1．（2018全国Ⅰ，8）设抛物线C ：y 2=4x 的焦点为F ，过点（–2，0）且斜率为23的直线与C 交于M ，N 两点，则FM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅FN ⃑⃑⃑⃑⃑ =( ) A ．5 B ．6 C ．7 D ．81.D 根据题意，过点（–2，0）且斜率为23的直线方程为y =23(x +2)，与抛物线方程联立{y =23(x +2)y 2=4x ，消元整理得：y 2−6y +8=0，解得M(1,2),N(4,4)，又F(1,0)，所以FM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(0,2),FN ⃑⃑⃑⃑⃑ =(3,4)，从而可以求得FM⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅FN ⃑⃑⃑⃑⃑ =0×3+2×4=8，故选D. 2.(2016·全国Ⅰ，10)以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A ，B 两点，交C 的准线于D ，E 两点.已知|AB |＝42，|DE |＝25，则C 的焦点到准线的距离为( ) A.2 B.4 C.6 D.82.B [不妨设抛物线C ：y 2＝2px (p >0)，则圆的方程可设为x 2＋y 2＝r 2(r >0),如图，又可设A (x 0，22)，D ⎝⎛⎭⎫－p2，5，点A (x 0，22)在抛物线y 2＝2px 上，∴8＝2px 0，① 点A (x 0，22)在圆x 2＋y 2＝r 2上，∴x 20＋8＝r 2，② 点D ⎝⎛⎭⎫－p 2，5在圆x 2＋y 2＝r 2上，∴5＋⎝⎛⎭⎫p22＝r 2，③ 联立①②③，解得p ＝4，即C 的焦点到准线的距离为p ＝4，故选B.]3.(2015·天津，6)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线过点(2，3) ，且双曲线的一个焦点在抛物线y 2＝47x 的准线上，则双曲线的方程为( ) A.x 221－y 228＝1 B.x 228－y 221＝1 C.x 23－y 24＝1 D.x 24－y 23＝1 3.D [双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线方程为y ＝±b a x ，又渐近线过点(2，3)，所以2ba ＝3，即2b ＝3a ，①抛物线y 2＝47x 的准线方程为x ＝－7，由已知，得a 2＋b 2＝7，即a 2＋b 2＝7②， 联立①②解得a 2＝4，b 2＝3，所求双曲线的方程为x 24－y 23＝1，选D.] 4.(2015·浙江，5)如图，设抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，不经过焦点的直线上有三个不同的点A ，B ，C ，其中点A ，B 在抛物线上，点C 在y 轴上，则△BCF 与△ACF 的面积之比是( )A.|BF |－1|AF |－1B.|BF |2－1|AF |2－1C.|BF |＋1|AF |＋1D.|BF |2＋1|AF |2＋14.A [由图象知S △BCF S △ACF ＝|BC ||AC |＝x B x A ，由抛物线的性质知|BF |＝x B ＋1，|AF |＝x A ＋1，∴x B ＝|BF |-1，x A ＝|AF |－1，∴S △BCF S △ACF ＝|BF |－1|AF |－1.故选A.]5．（2018全国Ⅲ，16）已知点M(−1 ， 1)和抛物线C ： y 2=4x ，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点．若∠AMB =90°，则k =________．5.2 设A (x 1,y 1),B(x 2,y 2),则{y 12=4x 1y 22=4x2,所以y 12−y 22=4x 1−4x 2,所以k =y 1−y 2x 1−x 2=4y 1+y 2.取AB 中点M′(x 0，y 0),分别过点A,B 作准线x =−1的垂线，垂足分别为A ′,B′,因为∠AMB =90°,∴|MM ′|=12|AB |=12(|AF |+|BF |)=12(|AA ′|+|BB′|),因为M’为AB 中点，所以MM’平行于x 轴,因为M(-1,1),所以y 0=1，则y 1+y 2=2即k =2.6.（2017•新课标Ⅱ,16）已知F 是抛物线C ：y 2=8x 的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N ．若M 为FN 的中点，则|FN|=________．6. 6 抛物线C ：y 2=8x 的焦点F （2，0），M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N ．若M 为FN 的中点，可知M 的横坐标为：1，则M 的纵坐标为： ，|FN|=2|FM|=2 =6．故答案为：6．7.(2016·浙江，9)若抛物线y 2＝4x 上的点M 到焦点的距离为10，则M 到y 轴的距离是________. 7.9 [抛物线y 2＝4x 的焦点F (1,0).准线为x ＝-1,由M 到焦点的距离为10,可知M 到准线x ＝-1的距离也为10,故M 的横坐标满足x M ＋1＝10,解得x M ＝9,所以点M 到y 轴的距离为9.] 8.(2015·陕西，14)若抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线经过双曲线x 2－y 2＝1的一个焦点，则p ＝________.8.22 [由于双曲线x 2－y 2＝1的焦点为(±2，0)，故应有p2＝2，p ＝2 2.]9.(2014·湖南，15)如图，正方形ABCD 和正方形DEFG 的边长分别为a ， b (a <b )，原点O 为AD 的中点，抛物线y 2＝2px (p >0)经过C ，F 两点，则b a ＝________.9.1＋2 [由正方形的定义可知BC ＝CD ，结合抛物线的定义得点D 为抛物线的焦点，所以|AD |＝p ＝a ，D ⎝⎛⎭⎫p 2，0，F ⎝⎛⎭⎫p2＋b ，b ，将点F 的坐标代入抛物线的方程得b 2＝2p⎝⎛⎭⎫p 2＋b ＝a 2＋2ab ，变形得⎝⎛⎭⎫b a 2－2b a －1＝0，解得b a ＝1＋2或b a＝1－2(舍去)，所以ba ＝1＋ 2.]10.(2014·上海，3)若抛物线y 2＝2px的焦点与椭圆x 29＋y 25＝1的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为______________. 10.x ＝-2[∵c 2＝9-5＝4,∴c ＝2.∴椭圆x 29＋y 25＝1的右焦点为(2，0),∴p2＝2,即p ＝4. ∴抛物线的准线方程为x ＝-2.]。

专题能力训练16椭圆、双曲线、抛物线一、能力突破训练1.(2018全国Ⅰ,文4)已知椭圆C:=1的一个焦点为(2,0),则C的离心率为()A.B.C.D.2.已知F是双曲线C:x2-=1的右焦点,P是C上一点,且PF与x轴垂直,点A的坐标是(1,3),则△APF的面积为()A.B.C.D.3.已知O为坐标原点,F是椭圆C:=1(a>b>0)的左焦点,A,B分别为C的左、右顶点,P为C上一点,且PF⊥x轴.过点A的直线l与线段PF交于点M,与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点,则C的离心率为()A. B. C. D.4.已知双曲线=1(a>0,b>0)的右焦点为F,点A在双曲线的渐近线上,△OAF是边长为2的等边三角形(O为原点),则双曲线的方程为()A.=1B.=1C.-y2=1D.x2-=15.(2018全国Ⅱ,文11)已知F1,F2是椭圆C的两个焦点,P是C上的一点,若PF1⊥PF2,且∠PF2F1=60°,则C的离心率为()A.1-B.2-C. D.-16.设双曲线=1(a>0,b>0)的右焦点为F,过点F作与x轴垂直的直线l交两渐近线于A,B两点,与双曲线的一个交点为P,设O为坐标原点.若=m+n(m,n∈R),且mn=,则该双曲线的离心率为()A. B.C. D.7.已知双曲线E:=1(a>0,b>0).矩形ABCD的四个顶点在E上,AB,CD的中点为E的两个焦点,且2|AB|=3|BC|,则E的离心率是.8.已知直线l1:x-y+5=0和l2:x+4=0,抛物线C:y2=16x,P是C上一动点,则点P到l1与l2距离之和的最小值为.9.如图,已知抛物线C1:y=x2,圆C2:x2+(y-1)2=1,过点P(t,0)(t>0)作不过原点O的直线PA,PB分别与抛物线C1和圆C2相切,A,B为切点.(1)求点A,B的坐标;(2)求△PAB的面积.注:直线与抛物线有且只有一个公共点,且与抛物线的对称轴不平行,则称该直线与抛物线相切,称该公共点为切点. 10.如图,动点M与两定点A(-1,0),B(1,0)构成△MAB,且直线MA,MB的斜率之积为4,设动点M的轨迹为C.(1)求轨迹C的方程;(2)设直线y=x+m(m>0)与y轴相交于点P,与轨迹C相交于点Q,R,且|PQ|<|PR|,求的取值范围.11.设椭圆=1(a>)的右焦点为F,右顶点为A.已知,其中O为原点,e为椭圆的离心率.(1)求椭圆的方程;(2)设过点A的直线l与椭圆交于点B(B不在x轴上),垂直于l的直线与l交于点M,与y轴交于点H.若BF⊥HF,且∠MOA=∠MAO,求直线l的斜率.二、思维提升训练12.(2018全国Ⅲ,文10)已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的离心率为,则点(4,0)到C的渐近线的距离为()A.B.2 C.D.213.设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,点M在C上,|MF|=5.若以MF为直径的圆过点(0,2),则C的方程为()A.y2=4x或y2=8xB.y2=2x或y2=8xC.y2=4x或y2=16xD.y2=2x或y2=16x14.在平面直角坐标系xOy中,双曲线-y2=1的右准线与它的两条渐近线分别交于点P,Q,其焦点是F1,F2,则四边形F1PF2Q的面积是.15.在平面直角坐标系xOy中,双曲线=1(a>0,b>0)的右支与焦点为F的抛物线x2=2py(p>0)交于A,B两点,若|AF|+|BF|=4|OF|,则该双曲线的渐近线方程为.16.已知圆C:(x+1)2+y2=20,点B(1,0),点A是圆C上的动点,线段AB的垂直平分线与线段AC交于点P.(1)求动点P的轨迹C1的方程;(2)设M,N为抛物线C2:y=x2上的一动点,过点N作抛物线C2的切线交曲线C1于P,Q两点,求△MPQ面积的最大值.17.已知动点C是椭圆Ω:+y2=1(a>1)上的任意一点,AB是圆G:x2+(y-2)2=的一条直径(A,B是端点),的最大值是.(1)求椭圆Ω的方程.(2)已知椭圆Ω的左、右焦点分别为点F1,F2,过点F2且与x轴不垂直的直线l交椭圆Ω于P,Q两点.在线段OF2上是否存在点M(m,0),使得以MP,MQ为邻边的平行四边形是菱形?若存在,求实数m的取值范围;若不存在,请说明理由.专题能力训练16椭圆、双曲线、抛物线一、能力突破训练1.C解析因为椭圆C的一个焦点为(2,0),所以其焦点在x轴上,c=2,所以a2-4=c2,所以a2=8,a=2,所以椭圆C的离心率e=.2.D解析由c2=a2+b2=4,得c=2,所以点F的坐标为(2,0).将x=2代入x2-=1,得y=±3,所以PF=3.又点A的坐标是(1,3),故△APF的面积为×3×(2-1)=,故选D.3.A解析由题意知,A(-a,0),B(a,0),根据对称性,不妨令P,设l:x=my-a,∴M,E.∴直线BM:y=-(x-a).又直线BM经过OE的中点,∴,解得a=3c.∴e=,故选A.4.D解析∵双曲线=1(a>0,b>0)的右焦点为F(c,0),点A在双曲线的渐近线上,且△OAF是边长为2的等边三角形,不妨设点A在渐近线y=x上,∴解得所以双曲线的方程为x2-=1.故选D.5.D解析不妨设椭圆方程为=1(a>b>0),F1,F2分别为椭圆的左、右焦点,则|PF1|+|PF2|=2a.∵∠F2PF1=90°,∠PF2F1=60°,∴c+c=2a,即(+1)c=2a.∴e=-1.6.C解析在y=±x中令x=c,得A,B,在双曲线=1中令x=c得P.当点P的坐标为时,由=m+n,得由(舍去),∴,∴,∴e=.同理,当点P的坐标为时,e=.故该双曲线的离心率为.7. 2解析由题意不妨设AB=3,则BC=2.设AB,CD的中点分别为M,N,如图,则在Rt△BMN中,MN=2,故BN=.由双曲线的定义可得2a=BN-BM==1,而2c=MN=2,所以双曲线的离心率e==2.8.解析在同一坐标系中画出直线l1,l2和曲线C如图.P是C上任意一点,由抛物线的定义知,|PF|=d2,∴d1+d2=d1+|PF|,显然当PF⊥l1,即d1+d2=|FM|时,距离之和取到最小值.∵|FM|=,∴所求最小值为.9.解(1)由题意知直线PA的斜率存在,故可设直线PA的方程为y=k(x-t),由消去y,整理得:x2-4kx+4kt=0,由于直线PA与抛物线相切,得k=t.因此,点A的坐标为(2t,t2).设圆C2的圆心为D(0,1),点B的坐标为(x0,y0),由题意知:点B,O关于直线PD对称,故解得因此,点B的坐标为.(2)由(1)知|AP|=t·和直线PA的方程tx-y-t2=0.点B到直线PA的距离是d=.设△PAB的面积为S(t),所以S(t)=|AP|·d=.10.解(1)设M的坐标为(x,y),当x=-1时,直线MA的斜率不存在;当x=1时,直线MB的斜率不存在.于是x≠1,且x≠-1.此时,MA的斜率为,MB的斜率为.由题意,有=4.整理,得4x2-y2-4=0.故动点M的轨迹C的方程为4x2-y2-4=0(x≠±1).(2)由消去y,可得3x2-2mx-m2-4=0.①对于方程①,其判别式Δ=(-2m)2-4×3(-m2-4)=16m2+48>0,而当1或-1为方程①的根时,m的值为-1或1.结合题设(m>0)可知,m>0,且m≠1.设Q,R的坐标分别为(x Q,y Q),(x R,y R),则x Q,x R为方程①的两根,因为|PQ|<|PR|,所以|x Q|<|x R|.因为x Q=,x R=,且Q,R在同一条直线上,所以=1+.此时>1,且≠2,所以1<1+<3,且1+,所以1<<3,且.综上所述,的取值范围是.11.解(1)设F(c,0).由,即,可得a2-c2=3c2,又a2-c2=b2=3,所以c2=1,因此a2=4.所以,椭圆的方程为=1.(2)设直线l的斜率为k(k≠0),则直线l的方程为y=k(x-2).设B(x B,y B),由方程组消去y,整理得(4k2+3)x2-16k2x+16k2-12=0.解得x=2,或x=,由题意得x B=,从而y B=.由(1)知,F(1,0),设H(0,y H),有=(-1,y H),.由BF⊥HF,得=0,所以=0,解得y H=.因此直线MH的方程为y=-x+.设M(x M,y M),由方程组消去y,解得x M=.在△MAO中,∠MOA=∠MAO⇔|MA|=|MO|,即(x M-2)2+,化简得x M=1,即=1,解得k=-,或k=.所以,直线l的斜率为-.二、思维提升训练12.D解析∵双曲线C的离心率为,∴e=,即c=a,a=b.∴其渐近线方程为y=±x,则(4,0)到C的渐近线距离d==2.13.C解析设点M的坐标为(x0,y0),由抛物线的定义,得|MF|=x0+=5,则x0=5-.因为点F的坐标为,所以以MF为直径的圆的方程为(x-x0)·+(y-y0)y=0.将x=0,y=2代入得px0+8-4y0=0,即-4y0+8=0,解得y0=4.由=2px0,得16=2p,解得p=2或p=8.所以C的方程为y2=4x或y2=16x.故选C.14.2解析该双曲线的右准线方程为x=,两条渐近线方程为y=±x,得P,Q,又c=,所以F1(-,0),F2(,0),四边形F1PF2Q的面积S=2=2.15.y=±x解析抛物线x2=2py的焦点F,准线方程为y=-.设A(x1,y1),B(x2,y2),则|AF|+|BF|=y1++y2+=y1+y2+p=4|OF|=4·=2p.所以y1+y2=p.联立双曲线与抛物线方程得消去x,得a2y2-2pb2y+a2b2=0.所以y1+y2==p,所以.所以该双曲线的渐近线方程为y=±x.16.解(1)由已知可得,点P满足|PB|+|PC|=|AC|=2>2=|BC|,所以动点P的轨迹C1是一个椭圆,其中2a=2,2c=2.动点P的轨迹C1的方程为=1.(2)设N(t,t2),则PQ的方程为y-t2=2t(x-t)⇒y=2tx-t2.联立方程组消去y整理,得(4+20t2)x2-20t3x+5t4-20=0,有而|PQ|=×|x1-x2|=,点M到PQ的高为h=,由S△MPQ=|PQ|h代入化简,得S△MPQ=,当且仅当t2=10时,S△MPQ可取最大值.17.解(1)设点C的坐标为(x,y),则+y2=1.连接CG,由,又G(0,2),=(-x,2-y),可得=x2+(y-2)2-=a(1-y2)+(y-2)2-=-(a-1)y2-4y+a+,其中y∈[-1,1].因为a>1,所以当y=≤-1,即1<a≤3时,取y=-1,得有最大值-(a-1)+4+a+,与条件矛盾;当y=>-1,即a>3时,的最大值是,由条件得,即a2-7a+10=0,解得a=5或a=2(舍去).综上所述,椭圆Ω的方程是+y2=1.(2)设点P(x1,y1),Q(x2,y2),PQ的中点坐标为(x0,y0),则满足=1,=1,两式相减,整理,得=-=-,从而直线PQ的方程为y-y0=-(x-x0).又右焦点F2的坐标是(2,0),将点F2的坐标代入PQ的方程得-y0=-(2-x0),因为直线l与x轴不垂直,所以2x0-=5>0,从而0<x0<2.假设在线段OF2上存在点M(m,0)(0<m<2),使得以MP,MQ为邻边的平行四边形是菱形,则线段PQ的垂直平分线必过点M,而线段PQ的垂直平分线方程是y-y0=(x-x0),将点M(m,0)代入得-y0=(m-x0),得m=x0,从而m∈.。

高中数学专题复习《圆锥曲线与方程椭圆双曲线抛物线》单元过关检测经典荟萃，匠心巨制！独家原创，欢迎下载！注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明 评卷人得分一、选择题1．1 ．（汇编年高考四川卷（文））抛物线28y x =的焦点到直线30x y -=的距离是 （ ）A ．23B ．2C ．3D ．12．（汇编年普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题（含答案））已知抛物线1C :212y x p =(0)p >的焦点与双曲线2C :2213x y -=的右焦点的连线交1C 于第一象限的点M .若1C 在点M 处的切线平行于2C 的一条渐近线,则p =（ ）A ．316B ．38C ．233D ．4333．（汇编大纲文）椭圆的中心在原点,焦距为4,一条准线为4x =-,则该椭圆的方程为（ ）A ．2211612x y += B ．221128x y += C ．22184x y += D ．221124x y +=答案C4．(汇编山东理)设直线:220l x y ++=关于原点对称的直线为l '，若l '与椭圆2214y x +=的交点为A 、B ，点P 为椭圆上的动点，则使PAB ∆的面积为12的点P 的个数为（A ） 1 (B) 2 (C) 3 (D)45．（1994山东理8) 设F 1和F 2为双曲线42x －y 2=1的两个焦点，点P 在双曲线上且满足∠F 1PF 2=90°，则△F 1PF 2的面积是 ( )(A) 1 (B)25(C) 2 (D) 5 6．（汇编）抛物线2y x =-上的点到直线4380x y +-=距离的最小值是( ) A ．43B ．75C ．85D ．37．（汇编山东理）13.已知两点,45,4,45,1⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛N M 给出下列曲线方程：①0124=-+y x ②322=+y x ③1222=+y x ④1222=-y x 在曲线上存在点P 满足|MP |=|NP |的所有曲线方程是 ( ) (A) ①③ (B) ②④ (C) ①②③ (D) ②③8．(汇编湖北理)已知椭圆191622=+y x 的左、右焦点分别为F 1、F 2，点P 在椭圆上，若P 、F 1、F 2是一个直角三角形的三个顶点，则点P 到x 轴的距离为 （ ） A ．59 B ．3 C ．779 D ．499．若方程x 2k －4－y 2k ＋4＝1表示双曲线，则它的焦点坐标为 ( )A ．(2k,0)，(－2k,0)B ．(0，2k )，(0，－2k )C ．(2|k |，0)，(－2|k |，0)D ．由k 的取值确定解析：若焦点在x 轴上，则⎩⎪⎨⎪⎧k －4>0k ＋4>0即k >4，且c ＝2k .若焦点在y 轴上，则⎩⎪⎨⎪⎧k －4<0k ＋4<0即k <－4，且c ＝－2k ，故选D.10．抛物线24x y =上一点A 的纵坐标为4，则点A 与抛物线焦点的距离为 A.2 B.3 C.4D. 5第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明 评卷人得分二、填空题11．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的两条渐近线与抛物线y 2＝4x 的准线相交于A ，B 两点．若△AOB 的面积为2，则双曲线的离心率为 ▲ ． 512．设ABC △是等腰三角形，120ABC ∠=，则以A B ，为焦点且过点C 的双曲线的离心率为 .13． 与与椭圆221244x y +=有公共焦点，且过点（32，2）的双曲线方程为 14．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的焦点到一条渐近线l 的距离为4，若渐近线l 恰好是曲线3232y x x x =-+在原点处的切线，则双曲线的标准方程为 _______________ ．15．以抛物线24y x =的焦点为圆心，且过坐标原点的圆的方程为 ．16．设双曲线x 2－y 2＝1的两条渐近线与直线x ＝22所围成的三角形区域(包括边界)为E ，P (x ，y )为该区域内的一动点，则目标函数z ＝x －2y 的最小值为________． 解析：由题知，双曲线的渐近线方程为x ±y ＝0，则其与直线x ＝22的交点为⎝⎛⎭⎫22，22和⎝⎛⎭⎫22，－22，所以可求得目标函数z ＝x －2y 的最小值为－22.评卷人得分三、解答题17．已知椭圆C 1的方程为x 24＋y 2＝1，双曲线C 2的左、右焦点分别是C 1的左、右顶点，而C 2的左、右顶点分别是C 1的左、右焦点． (1)求双曲线C 2的方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋2与双曲线C 2恒有两个不同的交点A 和B ，且OA ·OB >2(其中O为原点)，求k 的取值范围．18．如图, 椭圆C ：162x +42y =1的右顶点是A ，上下两个顶点分别为B 、D ，四边形DAMB 是矩形（O 为坐标原点），点E 、P 分别是线段OA 、AM 的中点。

2019高考数学真题汇编 椭圆 双曲线 抛物线一．选择题2019全国Ⅱ卷理8若抛物线px y 22=（p>0）是1322=+p y p x 的一个焦点，则P_______ A. 2 B. 3 C. 4 D.82019全国Ⅱ卷理11设F 为双曲线C ：12222=-by a x （a>0,b>0）的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆222a y x =+交于P,Q 两点，若OF PQ =,则C 的离心率______A. 2B. 3C. 2D.52019全国Ⅲ卷理10双曲线C ：12422=-y x 的右焦点为F ，点P 在C 的一条渐近线上，O 为坐标原点.若PF PO =,则△PFO 的面积为______A. 423B. 223 C. 22 D.232019全国Ⅲ卷文10已知F 为双曲线C:15422=-y x 的一个焦点,P 点在C 上，O 为坐标原点，△OPF 的面积为______ A.23 B. 25 C. 27 D.29 2019全国Ⅰ卷理10已知椭圆C 的焦点1F (-1,0) ,2F (1,0),过1F 的直线与C 交于A,B 两点.若122,2BF AB B F AF ==则C 的方程为_________A. 1222=+y xB.12322=+y xC. 13422=+y xD.14522=+y x 2019全国Ⅰ卷文10 双曲线12222=+by a x （a>0,b>0）的一条渐近线的倾斜角为0130，则C 的离心率为___A. 040sin 2B. 040cos 2C.050sin 1 D.050cos 1 2019天津理5已知抛物线x y 42=的焦点为F ，准线为l ，若l 与双曲线12222=+by a x （a>0,b>0）的两条渐近线分别交于点A 和点B ，且OF AB 4=(O 为原点）则双曲线的离心率____ A. 2 B. 3 C. 4 D.52019北京理4已知椭圆)0,0(12222>>=+b a b y a x 的离心率为21则___ A. 222b a = B. 2243b a = C. b a 2= D.b a 432= 2019北京文5已知双曲线1222=-y ax （a>0）的离心率是5，则a=____ A. 6 B. 4 C. 2 D.21 2019浙江理2渐近线方程为0=±y x 的双曲线的离心率是_______B. 22 B. 1 C. 2 D.2二．填空题 2019浙江理15已知椭圆15922=+y x 的左焦点为F ，点P 在椭圆上且在x 轴上方，若线段PF 的中点在以原点O 为圆心，OF 为半径的圆上，则直线PF 的斜率________2019北京文11设抛物线x y 42=的焦点为F ，准线为l ，则以F 为圆心，且与l 相切的圆的方程___________ 2019全国一卷理16已知双曲线左右焦点分别为1F ,2F 率过1F 的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点.若0,211=∙=F F F 则C 的离心率___________.2019全国Ⅲ卷文15设F 1,F 2为椭圆C ：1203622=+y x 的两个焦点，M 为C 上一点且在第一象限，若△F MF 21为等腰三角形，则M 的坐标为（ ） ()222210,0x y C a b a b-=>>：。

2019高考数学一轮复习专题：椭圆双曲线抛物线(含答案)椭圆、双曲线、抛物线1.椭圆的定义椭圆是平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹。

这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距。

椭圆的集合P={M|MF1+MF2=2a}，|F1F2|=2c，其中a>0，c>0，且a，c为常数。

当2a>|F1F2|时，P点的轨迹是椭圆；当2a=|F1F2|时，P点的轨迹是线段；当2a<|F1F2|时，P点不存在。

2.椭圆的标准方程和几何性质标准方程为x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)或y^2/a^2+x^2/b^2=1(a>b>0)。

椭圆的范围为-a≤x≤a，-b≤y≤b，对称轴为坐标轴，对称中心为(0,0)。

椭圆的顶点为A1(-a,0)，A2(a,0)，B1(0,-b)，B2(0,b)或A1(0,-a)，A2(0,a)，B1(-b,0)，B2(b,0)。

椭圆的长轴A1A2的长为2a，短轴B1B2的长为2b，焦距为2c，离心率为e=c/a，其中c^2=a^2-b^2.3.应用题1) 2017·浙江高考题：椭圆x^2/9+y^2/4=1的离心率是5/3.解析：根据标准方程，a=3，b=2，则c=5，离心率e=c/a=5/3.2) 已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(m>0)的焦距为8，则m的值为3或41.解析：根据椭圆的性质，c^2=a^2-b^2，焦距为2c=8，则c=4，a^2=16+b^2.代入m>0的条件，解得b=2√(m+1)，a=4，代入c^2=a^2-b^2，解得m=3或41.解析：当焦点在x轴上时，椭圆方程为$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{m^2}=1$，根据离心率的定义$e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}=\sqrt{1-\frac{m^2}{4}}$，所以$\frac{m^2}{4}=1-e^2$，代入得到 $m=\sqrt{4-4e^2}$。

专题六解析几何
第二讲椭圆、双曲线、抛物线
1．椭圆的定义．
平面内的动点的轨迹是椭圆必须满足的两个条件．
(1)到两个定点F1，F2的距离的和等于常数2a.
(2)2a＞|F1F2|.
1．双曲线的定义．
平面内动点的轨迹是双曲线必须满足的两个条件：(1)到两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数2a.
(2)2a＜|F1F2|.
3.等轴双曲线． 实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，其标准方程为x 2－y 2
＝λ(λ≠0)，离心率e
y ＝±x ．
1．抛物线的定义．
平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．
若二元方程f (x ，y )＝0是曲线C 的方程，或曲线C 是方程f (x ，y )＝0的曲线，则必须满足以下两个条件：
1．曲线上点的坐标都是二元方程f (x ，y )＝0的解(纯粹性)．
2．以这个方程的解为坐标的点都是曲线C 上的点(完备性)．
判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“³”)．
(1)平面内与两个定点F 1，F 2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．(³)
(2)椭圆上一点P 与两焦点F 1，F 2构成△PF 1F 2的周长为2a ＋2c (其中a 为椭圆的长半轴长，c 为椭圆的半焦距)．(√)
(3)椭圆的离心率e 越大，椭圆就越圆．(√)
(4)x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与y 2a 2＋x 2
b 2＝1(a >b >0)的焦距相同．(√) (5)方程x 2m －y 2n ＝1(mn >0)表示焦点在x 轴上的双曲线．(³)。

2019高考数学理二轮冲关演练-椭圆、双曲线、抛物线(本栏目内容，在学生用书以独立形式分册装订！)【一】选择题1、抛物线的顶点在坐标原点，焦点与双曲线y 25－x 24＝1的一个焦点重合，那么该抛物线的标准方程可能是()A 、x 2＝4yB 、x 2＝－4yC 、y 2＝－12xD 、x 2＝－12y 解析：由题意得c ＝5＋4＝3，∴抛物线的焦点坐标为(0,3)或(0，－3)，∴该抛物线的标准方程为x 2＝12y 或x 2＝－12y ，应选D. 答案：D2、假设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1过抛物线y 2＝8x 的焦点，且与双曲线x 2－y 2＝1有相同的焦点，那么该椭圆的方程是()A.x 24＋y 22＝1B.x 23＋y 2＝1 C.x 22＋y 24＝1D 、x 2＋y 23＝1解析：抛物线y 2＝8x 的焦点坐标为(2,0)，那么依题意知椭圆右顶点的坐标为(2,0)，又椭圆与双曲线x 2－y 2＝1有相同的焦点，∴a ＝2，c ＝2，∵c 2＝a 2－b 2，∴b 2＝2，∴椭圆的方程为x 24＋y 22＝1.答案：A3、(2017·辽宁卷)F 是抛物线y 2＝x 的焦点，A ，B 是该抛物线上的两点，|AF |＋|BF |＝3，那么线段AB 的中点到y 轴的距离为()A.34 B 、1 C.54 D.74 解析：∵|AF |＋|BF |＝x A ＋x B ＋12＝3，∴x A ＋x B ＝52.∴线段AB 的中点到y 轴的距离为x A ＋x B 2＝54. 答案：C4、双曲线kx 2－y 2＝1的一条渐近线与直线l ：2x ＋y ＋1＝0垂直，那么此双曲线的离心率是()A.52B.32 C 、4 3 D. 5解析：由题知意，双曲线的渐近线方程为kx 2－y 2＝0，即y ＝±kx .由题知直线l 的斜率为－2，那么可知k ＝14，代入双曲线方程kx 2－y 2＝1，得x 24－y 2＝1，于是，a 2＝4，b 2＝1，从而c ＝a 2＋b 2＝5，所以e ＝52.答案：A5、(2017·全国新课标卷)设圆锥曲线Γ的两个焦点分别为F 1，F 2，假设曲线Γ上存在点P 满足|PF 1|∶|F 1F 2|∶|PF 2|＝4∶3∶2，那么曲线Γ的离心率等于()A.12或32B.23或2C.12或2D.23或32解析：由|PF 1|∶|F 1F 2|∶|PF 2|＝4∶3∶2，可设|PF 1|＝4k ，|F 1F 2|＝3k ，|PF 2|＝2k ，假设圆锥曲线为椭圆，那么2a ＝6k,2c ＝3k ，e ＝c a ＝12.假设圆锥曲线为双曲线，那么2a ＝4k －2k ＝2k,2c ＝3k ，e ＝c a ＝32. 答案：A6、从抛物线y 2＝8x 上一点P 引抛物线准线的垂线，垂足为M ，且|PM |＝5，设抛物线的焦点为F ，那么△PFM 的面积为()A 、5 6B 、6 5C 、10 2D 、5 2解析：抛物线的焦点F (2,0)，准线方程为x ＝－2.设P (m ，n )，那么|PM |＝m ＋2＝5，解得m ＝3.代入抛物线方程得n 2＝24，故|n |＝26，那么S △PFM ＝12|PM |·|n |＝12×5×26＝5 6.答案：A【二】填空题7、双曲线x 2a －y 22＝1的一个焦点坐标为(－3，0)，那么其渐近线方程为________、解析：由a ＋2＝3，可得a ＝1，∴双曲线方程为x 2－y 22＝1，∴其渐近线方程为x ±y2＝0，即y ＝±2x .故填y ＝±2x .答案：y ＝±2x8、经过点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫10，83，渐近线方程为y ＝±13x 的双曲线的方程为________、解析：设双曲线方程为x 2－9y 2＝λ，代入点⎝ ⎛⎭⎪⎫10，83 ∴λ＝36∴双曲线方程为x 236－y 24＝1. 答案：x 236－y 24＝19、双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的两个焦点F 1，F 2，M 为双曲线上一点，且满足∠F 1MF 2＝90°，点M 到x 轴的距离为72，假设△F 1MF 2的面积为14，那么双曲线的渐近线方程为________、解析：由题意，得12·2c ·72＝14，所以c ＝4.又⎩⎪⎨⎪⎧||MF 1|－|MF 2||＝2a ，|MF 1|2＋|MF 2|2＝82，12·|MF 1|·|MF 2|＝14.所以a ＝2，b ＝14.所以渐近线方程为y ＝±7x . 答案：y ＝±7x . 【三】解答题10、在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C 的顶点在原点，经过点A (2,2)，其焦点F 在x 轴上、(1)求抛物线C 的标准方程；(2)求过点F ，且与直线OA 垂直的直线的方程、解析：(1)设抛物线C 的方程为y 2＝2px ，因为点A (2,2)在抛物线C 上，所以p ＝1，因此，抛物线C 的标准方程为y 2＝2x .(2)由(1)得焦点F 的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，又直线OA 的斜率为22＝1，故与直线OA 垂直的直线的斜率为－1，因此，所求直线的方程是x＋y －12＝0.11、设F 1、F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左右焦点、(1)设椭圆C 上点⎝ ⎛⎭⎪⎫3，32到两点F 1、F 2距离之和等于4，写出椭圆C 的方程和焦点坐标；(2)设点K 是椭圆C 上的动点，求线段KF 1的中点B 的轨迹方程、解析：(1)由于点⎝ ⎛⎭⎪⎫3，32在椭圆上，得32a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322b 2＝1，又2a ＝4，所以椭圆C的方程为x 24＋y 23＝1，焦点坐标分别为(－1,0)，(1,0)、(2)设KF 1的中点为B (x ，y )，那么点K 的坐标为(2x ＋1,2y )，把点K 的坐标代入椭圆方程x 24＋y 23＝1中， 得2x ＋124＋2y23＝1，所以线段KF 1的中点B 的轨迹方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋y234＝1.12、设椭圆M ：y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率与双曲线x 2－y 2＝1的离心率互为倒数，且内切于圆x 2＋y 2＝4.(1)求椭圆M 的方程；(2)假设直线y ＝2x ＋m 交椭圆于A 、B 两点，椭圆上一点P (1，2)，求△PAB 面积的最大值、解析：(1)双曲线的离心率为2，那么椭圆M 的离心率为e ＝c a ＝22， 圆x 2＋y 2＝4的直径为4，那么2a ＝4，由⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝4c a ＝22b 2＝a 2－c2⇒⎩⎨⎧a ＝2c ＝2b ＝2，所求椭圆M 的方程为y 24＋x 22＝1. (2)直线AB 的方程：y ＝2x ＋m .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋m x 22＋y 24＝1，得4x 2＋22mx ＋m 2－4＝0，由Δ＝(22m )2－16(m 2－4)＞0，得－22＜m ＜2 2.∵x 1＋x 2＝－22m ，x 1x 2＝m 2－44. ∴|AB |＝1＋2|x 1－x 2|＝3·x 1＋x 22－4x 1x 2＝3·12m 2－m 2＋4＝3·4－m 22. 又点P 到AB 的距离d ＝|m |3. 那么S △ABP ＝12|AB |d ＝12·3·4－m 22·|m |3＝12m 2⎝ ⎛⎭⎪⎫4－m 22＝122m 28－m 2≤122·m 2＋8－m 22＝2，当且仅当m ＝±2∈(－22，22)时取等号、。

地地道道的达到 第 2 讲 椭圆、双曲线、抛物线高考定位1. 圆锥曲线的方程与几何性质是高考的要点，多以选择题、 填空题或解答题的一问的形式命题； 2 直线与圆锥曲线的地点关系是命题的热门，特别是相关弦长计算及存在性问题，运算量大，能力要求高，突出方程思想、转变化归与分类议论思想方法的考察 .真题感悟1.(2018 ·全国Ⅱ卷 ) 双曲线x 222－y2＝ 1( >0， >0) 的离心率为3，则其渐近线方程为 ( )ababA. y ＝± 2xB. y ＝± 3x23C.y ＝± 2 xD. y ＝± 2 xc22b分析 法一 由题意知， e ＝a ＝ 3 ，所以 c ＝ 3 a ，所以 b ＝ c － a ＝ 2a ，即 a ＝ 2，所b以该双曲线的渐近线方程为y ＝± a x ＝± 2x .cb 2bb法二 由 e ＝ a ＝ 1＋ a ＝ 3，得 a ＝ 2，所以该双曲线的渐近线方程为y ＝± a x ＝± 2x .答案 A222.(2018 ·全国Ⅰ卷 ) 设抛物线 C ： y ＝ 4x 的焦点为 F ，过点 ( －2， 0) 且斜率为 3的直线与 C → → )交于 M ， N 两点，则 FM · FN ＝ ( A.5B.6C.7D.8( x ＋2) ，由 y 2x ＋ 2），过点 ( － 2， 0) 且斜率为2 的直线的方程为 y ＝ 2 ＝ （分析 3得 x 2－ 5x33 y2＝4 ，x＋4＝ 0. 设 M ( x ， y ) ， N ( x， y ) ，则 y>0， y >0，依据根与系数的关系，得x ＋x ＝ 5， x x2112212121＝4. 易知 (1 ， 0) ，所以 →＝ (x 1－ 1， 1) ，→＝(x 2－1， 2) ，所以 → · → ＝(x 1－ 1)(2－ 1)F FM y FNyFM FN x＋y 1y 2＝ x 1x 2－ ( x 1＋ x 2 ) ＋ 1＋ 4 x 1x 2＝ 4－ 5＋ 1＋ 8＝ 8.答案Dx 2 y 23.(2018 ·全国Ⅱ卷 ) 已知 F 1，F 2 是椭圆 C ：a 2＋b 2＝ 1( a >b >0) 的左、右焦点， A 是 C 的左极点，呵呵复生复生复生3点 P 在过 A 且斜率为 6 的直线上， △PF 1F 2 为等腰三角形， ∠ F 1F 2P ＝120°， 则 C 的离心率为()2 1 1 1 A.B.C.D.3234分析由题意可知椭圆的焦点在 x 轴上，以下图，设| F 1F 2| ＝ 2c ，∵△ PF 1F 2 为等腰三角形，且∠ F 1F 2P ＝120°，∴ | PF 2| ＝ | F 1F 2| ＝ 2c .∵| OF 2| ＝ c ，过 P 作 PE 垂直 x 轴，则∠ PF 2E ＝60°，所以 F 2E ＝c ，PE ＝ 3 c ，即点 P (2 c ， 3c ). ∵点 P 在过点 A ，且斜率为 33c3 6的直线上，∴ 2c ＋ a ＝6 ，解得c 1 1＝，∴＝.a 4e 4答案D2x24.(2018 ·全国Ⅰ卷 ) 设椭圆 C ： ＋ y ＝ 1 的右焦点为 F ，过 F 的直线 l 与 C 交于 A ，B 两点，点 M 的坐标为 (2 ， 0).(1) 当 l 与 x 轴垂直时，求直线AM 的方程；(2) 设 O 为坐标原点，证明：∠ OMA ＝∠ OMB .(1) 解 由已知得 F (1 ， 0) ， l 的方程为 x ＝ 1.把 x ＝ 1 代入椭圆方程x 2y 2A 的坐标为2 2＋＝ 1，可得点1， 或 1，－ .22 222又 M (2 ， 0) ，所以 AM 的方程为 y ＝－ 2 x ＋2或 y ＝ 2 x － 2.(2) 证明 当 l 与 x 轴重合时，∠ OMA ＝∠ OMB ＝0°.当 l 与 x 轴垂直时， OM 为 AB 的垂直均分线，所以∠ OMA ＝∠ OMB .当 l 与 x 轴不重合也不垂直时，设 l 的方程为 y＝ ( － 1)( k ≠0)， (， y ) ， ( ， y ) ，12 2 1则 x < 2，x< 2，直线 MA ， MB 的斜率之和为y 1y 2k ＋ k ＝x －2＋ x － 2.12MAMB由 y 1＝ k ( x 1－ 1) ， y 2＝ k ( x 2－1) 得2kx x － 3k （x ＋ x ）＋ 4kk MA ＋ k MB ＝ 1 21 2.（ x 1－ 2）（ x 2－ 2）将 y＝ ( －1)代入x 2 ＋ y 2＝1 得k x2呵呵复生复生复生(2 k 2＋ 1) x 2－ 4k 2x ＋ 2k 2－ 2＝0.4k 22k 2－ 2所以， x 1 ＋ x 2＝2k 2＋ 1， x 1x 2＝2k 2＋ 1.则 2 1 x 2 －3(1＋ 2) ＋4k 4k 3－ 4k － 12k 3＋ 8k 3＋ 4k kxk x x2k ＋1进而 k MA ＋ k MB ＝ 0，故 MA ， MB 的倾斜角互补 .所以∠ OMA ＝∠ OMB .综上，∠ OMA ＝∠ OMB .考点整合1. 圆锥曲线的定义(1) 椭圆： | MF 1| ＋ | MF 2| ＝2a (2 a ＞| F 1F 2|) ；(2) 双曲线： || MF 1| － | MF 2|| ＝ 2a (2 a ＜ | F 1F 2|) ；(3) 抛物线： | MF | ＝ d ( d 为 M 点到准线的距离 ).温馨提示应用圆锥曲线定义解题时，易忽略定义中隐含条件致使错误 .2. 圆锥曲线的标准方程x 2 y 2 y 2 x 2(1) 椭圆： a 2＋b 2＝ 1( a ＞ b ＞ 0)( 焦点在 x 轴上 ) 或 a 2＋ b 2＝ 1( a ＞ b ＞ 0)( 焦点在 y 轴上 ) ；x 2 y 2y 2 x 2(2) 双曲线：a 2－ b 2＝ 1( a ＞0，b ＞ 0)( 焦点在 x 轴上 ) 或 a 2－ b 2＝1( a ＞ 0，b ＞ 0)( 焦点在 y 轴上 ) ；(3) 抛物线： y 2＝ 2px ，y 2＝－ 2px ， x 2＝ 2py ，x 2＝－ 2py ( p ＞ 0). 3. 圆锥曲线的重要性质(1) 椭圆、双曲线中 a ， b ， c 之间的关系222cb 2①在椭圆中： a ＝ b ＋ c ；离心率为 e ＝ a ＝ 1－ a 2.②在双曲线中：2 22c ＝b 2c ＝ a ＋ b ；离心率为 e ＝1＋2.aa (2) 双曲线的渐近线方程与焦点坐标x 2 y 2b①双曲线 a－b ＝ 1( a>0，b>0) 的渐近线方程为 y ＝± a x ；焦点坐标 F ( － c ， 0) ， F ( c ， 0).2212y 2 x 2a②双曲线 a 2 －b 2 ＝ 1( a >0，b >0) 的渐近线方程为 y ＝± b x ，焦点坐标 F 1(0 ，－ c ) ， F 2(0 ， c ). (3) 抛物线的焦点坐标与准线方程2pp ①抛物线 y ＝2px ( p >0) 的焦点 F 2， 0 ，准线方程 x ＝－ 2.2pp②抛物线 x ＝2 py ( p >0) 的焦点 F 0， 2 ，准线方程 y ＝－ 2.4. 弦长问题呵呵复生复生复生(1) 直线与圆锥曲线订交的弦长设而不求，利用根与系数的关系，进行整体代入. 即当斜率为 k ，直线与圆锥曲线交于 A ( x 1，y 1) ，B ( x 2， y 2) 时， | AB | ＝ 1＋ k 2| x 1－x 2| ＝ 1＋ k 2 （x 1＋ x 2） 2－ 4x 1x 2.(2) 过抛物线焦点的弦长2112212 p21 2 2抛物线 y ＝ 2px ( p >0) 过焦点 F 的弦 AB ，若 A ( x ， y ) ， B ( x ， y ) ，则 x x ＝ 4 ， y y ＝－ p ， 弦长 | AB | ＝x 1＋ x 2＋ p .热门一圆锥曲线的定义及标准方程x 2 y 2【例 1】 (1)(2018 ·天津卷 ) 已知双曲线 a 2 －b 2＝ 1( a >0，b >0) 的离心率为 2，过右焦点且垂 直于 x 轴的直线与双曲线交于 A ，B 两点 . 设 A ， B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d 1 和 2 ，且 d 1＋ 2＝ 6，则双曲线的方程为()ddx 2 y 2 x 2 y 2A. 4－ 12＝ 1B. 12－ 4＝1x 2 y 2x 2 y 2C. 3－ 9＝1D. 9－ 3＝1(2)(2018 ·烟台二模 ) 已知抛物线 C ： x 2＝ 4 y 的焦点为 F ，M 是抛物线 C 上一点，若 FM 的延 长线交 x 轴的正半轴于点 N ，交抛物线 C 的准线 l→ →NT | ＝ ________.于点 T ，且 FM ＝ MN ，则 | 分析12x 2(1) 由 d ＋ d ＝ 6，得双曲线的右焦点到渐近线的距离为3，所以 b ＝ 3. 因为双曲线 a 2－ y 2 c a 2＋ b 2a 2＋ 9 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，所以 a ＝2，所以 a 2 ＝ 4，所以a2＝ 4，解得 a ＝ 3，所x 2 y 2以双曲线的方程为3－ 9＝1.(2) 由 x 2＝ 4y ，知 F (0 ，1) ，准线 l ： y ＝－ 1.设点 M ( x 0， y 0) ，且 x 0>0，y 0>0.→ → FN 的中点， N 是 FT 中点， 利用抛物线 由FM ＝ MN ，知点 M 是线段定义，| |＝| ′| ＝ 0 ＋1，且 | ′|＝2| ′| ＝2. 又 2( y 0＋1) ＝|′|＋| ′|＝3，MFMMyFFNNFFNN113知 y 0＝ 2. ∴ | MF | ＝ 2＋ 1＝ 2，进而 | NT | ＝ | FN | ＝ 2| MF | ＝ 3.答案(1)C (2)3研究提升1. 凡波及抛物线上的点到焦点距离，一般运用定义转变成到准线的距离办理. 如本例 (2) 中充分运用抛物线定义实行转变，使解答简捷、明快.呵呵复生复生复生2. 求解圆锥曲线的标准方程的方法是“先定型，后计算” . 所谓“定型”， 就是指确定种类，所谓“计算”，就是指利用待定系数法求出方程中的 a 2， b 2， p 的值，最后辈入写出椭圆、双曲线、抛物线的标准方程 .x 2 y 2【训练 1】 (1)(2017 ·全国Ⅲ卷 ) 已知双曲线 C ： a 2－ b 2＝ 1( a >0， b >0) 的一条渐近线方程为5 x 2 y 2y ＝ 2 x ，且与椭圆 12＋ 3 ＝ 1 有公共焦点，则 C 的方程为 ()A. x 2 y 2 x 2y 2－ ＝ 1B. － ＝18 10 45 C. x 2 y 2x 2y 2－ ＝ 1D. － ＝15 443(2)(2018 ·衡水中学调研x 2212) P 为椭圆 C ： 2 ＋y＝ 1 上一动点， F ，F 分别为左、右焦点，延伸1 至点 ，使得 || ＝| 2| ，记动点 Q 的轨迹为 Ω ，设点 B 为椭圆 C 短轴上一极点，直线F P Q PQ PFBF 2 与 Ω 交于 M ， N 两点，则 | MN |＝ ________.b5分析 (1) 由题设知 a ＝ 2 ，①x 2 y 2又由椭圆 12＋ 3 ＝ 1 与双曲线有公共焦点，易知 a 2＋ b 2＝ c 2＝ 9，②由①②解得 a ＝ 2， b ＝ 5，则双曲线 C 的方程为x 2 y 24－ 5＝ 1. (2) ∵ | PF | ＋| PF | ＝ 2a ＝2 2，且 | PQ | ＝| PF | ，122∴| F 1Q | ＝ | F 1P | ＋ | PF 2| ＝ 2 2.∴Ω 为以 F 1( － 1， 0) 为圆心， 2 2为半径的圆 .∵ | BF 1| ＝ | BF 2| ＝ 2， | F 1F 2| ＝ 2，∴ BF 1⊥ BF 2，故| MN |＝ 2 | F 1M | 2－ | BF 1| 2＝ 2 （2 2）2－（ 2） 2＝2 6. 答案 (1)B (2)2 6 热门二圆锥曲线的几何性质x 2 y 2【例 2】 (1)(2018 ·全国Ⅲ卷 ) 已知双曲线 C ：a 2－b 2＝ 1( a >0，b >0) 的离心率为 2，则点 (4 ，0) 到 C 的渐近线的距离为 ()A. 2B.23 2 D.22C.2x 2 y 2x 2y 2若双曲线 N(2)(2018 ·北京卷改编 ) 已知椭圆 M ： 2＋2＝ 1( a >b >0) ，双曲线 N ： 2－ 2＝1.a bm n的两条渐近线与椭圆 M 的四个交点及椭圆 M 的两个焦点恰为一个正六边形的极点， 则椭圆 M呵呵复生复生复生地地道道的达到的离心率为 ________.分析 (1) 法一由离心率 e ＝ c＝ 2，得 c ＝ 2a ，又 b 2＝ c 2－ a 2，得 b ＝a ，所以双曲线 Ca的渐近线方程为4＝y ＝± x . 由点到直线的距离公式， 得点 (4 ，0) 到 C 的渐近线的距离为1＋ 12 2.法二 离心率 e ＝ 2的双曲线是等轴双曲线，其渐近线方程是 y ＝± x ，∴点 (4 ， 0) 到 C 的渐近线的距离为4＝2 2.1＋ 1(2) 设椭圆的右焦点为 F ( c ， 0) ，双曲线 N 的渐近线与椭圆 M 在第一象限内的交点为 A ，由题意可知A c ， 3c，22c 23c 2 2 22222由点 A 在椭圆 M 上得， 4a2＋4b 2＝ 1，∴ b c ＋ 3a c ＝ 4a b ，∵b 2＝ a 2－c 2，∴ ( a 2－ c 2) c 2＋ 3a 2c 2＝ 4a 2( a 2－ c 2) ，则 4a 4－ 8a 2c 2＋ c 4＝ 0，e 4－8 2 ＋ 4＝ 0，∴ e 2＝4＋2 3( 舍)，2＝ 4－2 3. 由 0< <1，得 ＝ 3－1.eeee答案 (1)D (2) 3－ 1研究提升 1. 剖析圆锥曲线中 a ，b ，c ，e 各量之间的关系是求解圆锥曲线性责问题的要点.2. 确定椭圆和双曲线的离心率的值及范围，其要点就是确定一个对于a ，b ，c 的方程 ( 组 )或不等式 ( 组 ) ，再依据 a ，b ，c 的关系消掉 b 获得 a ，c 的关系式 . 成立对于 a ，b ，c 的方程 ( 组 ) 或不等式 ( 组 ) ，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.3. 求双曲线渐近线方程要点在于求 b a1”变成“ 0”， 然a 或b 的值，也可将双曲线等号右侧的“后因式分解获得 .x 2 y 2【训练 2】 (1)(2018 ·成都质检 ) 设椭圆 C ： a 2＋b 2＝ 1( a >b >0) 的左、右焦点分别为 F 1， F 2， 点 E (0 ， t )(0< t <b ). 已知动点 P 在椭圆上，且点 P ，E ，F 2 不共线，若△ PEF 2 的周长的最小值 为 4 ，则椭圆C 的离心率为 ()b3213 A. 2B. 2C. 2D. 32 2(2) 在平面直角坐标系xOy 中，双曲线 x2－ y2＝ 1( a＞ 0， ＞ 0) 的右支与焦点为F 的抛物线x 2a bb＝2py ( p ＞ 0) 交于 A ，B 两点，若 | AF | ＋ | BF | ＝ 4| OF | ，则该双曲线的渐近线方程为 ________.分析(1) 由椭圆的定义及对称性，△ PEF 的周长的最小值为 2a . ∴ 2a ＝ 4b ， a ＝ 2b ，则 c ＝2呵呵复生复生复生22c 3a －b ＝ 3b ，则椭圆 C 的离心率 e ＝ a ＝ 2 . (2) 设 A ( x 1， y 1 ) ， B ( x 2， y 2) ，x 2 y 2＝ 1，消去 x 得 a 2y 2－ 2pb 2y ＋ a 2b 2 ＝0，联立方程：a 2－b2x 2 ＝2py ，2b 2由根与系数的关系得y 1＋ y 2＝ a 2 p ，又∵ | AF | ＋| BF | ＝ 4| OF | ，∴ y1＋ p ＋ 2＋p ＝4× p，即 y 1 ＋ 2 ＝ ，y22y p22b 2 b 21 b 2∴ a 2 p ＝ p ，即 a 2＝ 2 a ＝2.2∴双曲线渐近线方程为y ＝± 2 x .2答案(1)A(2) y ＝± 2 x热门三直线与圆锥曲线考法 1直线与圆锥曲线的地点关系【例 3－1】 (2016 ·全国Ⅰ卷 ) 在直角坐标系 xOy 中，直线 l ： y ＝ t ( t ≠0) 交 y 轴于点 M ，交抛物线 C ： y 2＝ 2px ( p >0) 于点 P ， M 对于点 P 的对称点为 N ，连结 ON 并延伸交 C 于点 H .| OH |(1) 求| ON |；(2) 除 H 之外，直线 MH 与 C 能否有其余公共点？说明原因 .t 2解 (1) 如图，由已知得 M (0 ，t ) ， P 2p ， t ，t 2又 N 为 M 对于点 P 的对称点，故 N p ， t ，p故直线 ON 的方程为 y ＝ t x ，将其代入 y 2＝2px 整理得 px 2－ 2t 2x ＝ 0，2t 22t 2解得 x 1＝ 0， x 2 ＝ p ，所以 Hp ， 2t .| OH |所以 N 为 OH 的中点，即 | ON |＝ 2.(2) 直线 MH 与 C 除 H 之外没有其余公共点，原因以下：直线的方程为y － ＝ p ，即x ＝ 2t ( y － ).MH t 2t xp t代入 y 2＝ 2px 得 y 2－ 4ty ＋4t 2＝ 0，呵呵复生复生复生解得 y 1＝ y 2＝ 2t ，即直线 MH 与 C 只有一个公共点，所以除 H 之外，直线 MH 与 C 没有其余公共点 .研究提升1. 此题第 (1) 问求解的要点是求点， H 的坐标 . 而第 (2) 问的要点是将直线 的NMH方程与曲线 C 联立，依据方程组的解的个数进行判断 .2. 判断直线与圆锥曲线的交点个数时，可直接求解相应方程组获得交点坐标， 也可利用消元后的一元二次方程的鉴别式来确定，需注意利用鉴别式的前提是二次项系数不为 0. 而且解题时注意应用根与系数的关系及设而不求、整体代换的技巧.【训练 3】 (2018 ·潍坊三模 ) 已知 M 为圆 O ： x 2＋ y 2＝1 上一动点， 过点 M 作 x 轴， y 轴的垂线，垂足分别为 A ，B ，连结 BA 延伸至点 P ， 使得 | PA | ＝2，记点 P 的轨迹为曲线 C . (1) 求曲线 C 的方程；(2) 直线 l： ＝ kx ＋ 与圆 O 相切，且与曲线 C交于 ，两点，直线 l 1 平行于 l 且与曲线Cy mD ES2相切于点 Q ( O ， Q 位于 l 双侧 ) ， △ ODE＝ ，求 k 的值 .S △ QDE 322解 (1) 设 P ( x ， y ) ， A ( x 0， 0) ，B (0 ， y 0) ，则 M ( x 0， y 0) 且 x 0＋ y 0＝ 1，由题意知 OAMB 为矩形，∴ | AB | ＝ | OM |＝ 1，→ →y ) ＝ 2( x 0，－ y 0) ，∴AP ＝ 2BA ，即 ( x － x 0， x－ yx 2y 2∴x 0＝ 3， y 0＝ 2 ，则 9 ＋ 4 ＝ 1，x 2 y 2故曲线 C 的方程为＋ ＝ 1.94(2) 设 l 1： y ＝kx ＋ n ，∵ l 与圆 O 相切，||∴圆心 O 到 l1m22＋ 1，①的距离 d ＝＝ 1，得 m ＝ kk 2＋ 1∵ l 1 与 l 距离d | m － n |，②2＝k 2＋ 11| · 1|△ ODE 2 DE d 1 | m| ＝2，∵S ＝＝d ＝ S △ QDE 1d 2 | m － n | 32| DE | · d 22∴m ＝－ 2n 或 m ＝ 5n ，又 ， 位于 l 双侧，∴ ＝2 ，③O Qm 5n呵呵复生复生复生x 2 y 2联立 9 ＋ 4＝1，消去 y 整理得 y ＝kx ＋ n ，(9 k 2＋ 4) x 2＋ 18knx ＋ 9n 2－36＝ 0， 由＝ 0，得 n 2＝ 9k 2＋ 4，④3 11 由①③④得k ＝±.11考法 2相关弦的中点、弦长问题x 2 y 2【例 3－ 2】 (2018 ·全国Ⅲ卷 ) 已知斜率为 k 的直线 l 与椭圆 C ： 4 ＋ 3 ＝ 1 交于 A ，B 两点，线段 AB 的中点为 M (1 ， m )( m >0).1(1) 证明： k <－ 2；→ → → → → →(2) 设 F 为 C 的右焦点， P 为 C 上一点，且 FP ＋FA ＋ FB ＝ 0. 证明： | FA | ， | FP | ， | FB | 成等差数列，并求该数列的公差.(1) 证明设 A ( x 1， y 1) ，B ( x 2， y 2) ，2222x 1y 1 x 2y 2则 4＋ 3＝1， 4＋3＝1.两式相减，并由 y 1－ y 2得x 1＋ x 2 y 1＋y 2＝ 0.＝ ＋·12k43kx － xx 1 ＋x 2＝ 1， y 1＋ y 23 . ①由题设知 22 ＝m ，于是 k ＝－4mx 2 y 2因为点 M (1 ， m )( m >0) 在椭圆 4 ＋ 3 ＝ 1 内，123 1m∴ 4＋ 3 <1，解得 0<m <2，故 k <－2. (2) 解 由题意得 F (1 ， 0). 设 P ( x 3， y 3) ，则( x 3－ 1， y 3) ＋( x 1－ 1， y 1) ＋ ( x 2－ 1， y 2) ＝ (0 ，0).由(1) 及题设得x ＝3－ ( x ＋ x) ＝ 1， y ＝－ ( y ＋ y ) ＝－ 2m <0.3123123又点 P 在 C 上，所以 m ＝ 4，1，－ 3→3进而 P 2 ，| FP | ＝2.→2x 1于是 | | ＝ （ 2 y 2（2x 1 1－1） ＋ 1＝1－1） ＋3 1－＝2－ .FAxx42同理 | →| ＝ 2－ x 2.FB2所以 |→| ＋| →| ＝ 4－1(x1＋ 2) ＝3.FAFB 2 x故 2|→| ＝|→| ＋| →|，FP FA FB→ → →即| FA | ， | FP | ， | FB | 成等差数列 .设该数列的公差为d ，则→ →12| d | ＝ || FB | － | FA || ＝2| x 1－ x 2|11221 2② ＝ 2 （ x ＋x ） － 4x x . 3将 m ＝ 4代入①得 k ＝－ 1.所以 l 的方程为 y ＝－ x ＋ 7，代入 C 的方程，并整理得 7 2－14 x ＋ 1＝0.4x 41 3 21故 x 1＋ x 2＝ 2， x 1x 2＝ 28，代入②解得 | d | ＝ 28 .3 21 3 21 所以该数列的公差为 28或－28.研究提升1. 在波及弦长的问题中，应娴熟地利用根与系数关系与弦长公式|AB |＝ 1＋ k 2| x 2 －x 1| ，设而不求计算弦长；波及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解，以简化运算 .2. 对于弦的中点问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解，在使用根与系数的关系时，要注意使用条件>0，在用“点差法”时，要查验直线与圆锥曲线能否订交 .22【训练 4】 (2018 ·天津卷 ) 设椭圆x2＋ y2＝ 1(> >0) 的左焦点为，上极点为，已知椭圆a ba bF B5的离心率为 3 ，点 A 的坐标为 ( b ， 0) ，且 | FB | ·|AB | ＝ 6 2.(1) 求椭圆的方程；(2) 设直线 l ：y ＝ kx ( k >0) 与椭圆在第一象限的交点为| AQ | P ，且 l 与直线 AB 交于点 Q . 若||＝PQ5 2 k 的值 .sin ∠( 为原点 ) ，求4 AOQOc 2 5解 (1) 设椭圆的焦距为 2c ，由已知有 a 2＝ 9，又由 a 2＝ b 2＋ c 2，可得 2a ＝ 3b .由已知可得， | FB | ＝a ， | AB | ＝ 2b ，由| FB | ·|AB | ＝ 6 2，可得 ab ＝ 6，进而 a ＝ 3， b ＝2.x2y2所以，椭圆的方程为＋＝1.9 4(2)设点 P的坐标为( x1， y1)，点 Q的坐标为( x2， y2). 由已知有 y1>y2>0，故| PQ|sin ∠AOQ＝y1－y2.又因为 | AQ| ＝y2 π，而∠ OAB＝4，sin ∠OAB故| AQ| ＝ 2y .2| AQ| 5 2sin 1 2由| |＝ 4 ∠ AOQ，可得5y ＝ 9y .PQy＝ kx，6k由方程组 2 y 2 1x 消去 x，可得 y ＝ 2 .9＋4＝ 1，9k ＋ 4 易知直线 AB的方程为 x＋ y－2＝0，y＝ kx， 2k由方程组x＋y－2＝0，消去x，可得y2＝k＋1.代入 5y1＝ 9y2，可得 5( k＋ 1) ＝ 3 9k2＋ 4，将等式两边平方，整理得56k2－50k＋ 11＝ 0，111解得 k＝2或 k＝28.111所以， k 的值为2或28.1.椭圆、双曲线的方程形式上可一致为Ax2＋ By2＝1，此中 A，B 是不等的常数， A＞ B＞0时，表示焦点在y 轴上的椭圆； B＞ A＞0时，表示焦点在x 轴上的椭圆； AB＜0时表示双曲线.2. 对波及圆锥曲线上点到焦点距离或焦点弦问题，恰入采用定义解题，会成效显然，定义中的定值是标准方程的基础.c3. 求双曲线、椭圆的离心率的方法：法一：直接求出a， c，计算 e＝a；法二：依据已知条c件确定 a，b， c 的等量关系，而后把 b 用 a， c 代换，求a.4.弦长公式对于直线与椭圆的订交、直线与双曲线的订交、直线与抛物线的订交都是通用的，此公式能够记忆，也能够在解题的过程中，利用两点间的距离公式推导.5.求中点弦的直线方程的常用方法(1) 点差法，设弦的两头点坐标分别为( x1，y1) ， ( x2，y2) ，分别代入圆锥曲线方程，两式作y 1－ y 2差，式中含有x 1＋ x 2，y 1＋y 2， 三个量，则成立了圆锥曲线的弦的中点坐标与弦所在直x 1－ x 2线的斜率之间的关系，借助弦的中点坐标即可求得斜率；(2) 根与系数的关系，联立直线与圆锥曲线的方程，化为一元二次方程，用根与系数的关系求解.一、选择题2 21.(2018 ·合肥调研 ) 已知双曲线： y2－ x 2＝ 1( >0， b >0) 的一条渐近线与直线2 x － ＋1＝0C ab ay垂直，则双曲线 C 的离心率为 ()A.2B. 2C.3D. 5ab 22分析 依题意， 2· － b ＝－ 1，∴ b ＝ 2a . 则 e ＝ 1＋ a ＝ 5，∴ e ＝ 5. 答案 D2.(2018 ·南昌质检 ) 已知抛物线： 2＝ 4 y ，过抛物线C 上两点 ， B 分别作抛物线的两条切C xA线 PA ， PB ， P 为两切线的交点，→ →O 为坐标原点，若 PA · PB ＝0，则直线 OA 与 OB 的斜率之积 为()11A.－ 4B. －3C. －8D.－ 422分析 设x A，x B ， x B，由 2＝，得 ′＝ x 所以 AP ＝ A B→·→＝ ，A x A ，B 4 x 4y y k x ， BP ＝ x，由4 2. 2 k2PAPB 0得 ⊥ . ∴x·x＝－ 1，则 A · B ＝－ 4，又 OA · OB ＝ x22＝－1.·x＝x xPA PBABx xkk A BA B2 24x A 4x B16 4答案A22y3.(2017 ·全国Ⅰ卷 ) 已知 F 是双曲线 C ： x － ＝ 1 的右焦点， P 是 C 上一点，且PF 与 x 轴垂直，点 A 的坐标是 (1 ， 3) ，则△ APF 的面积为 ()1 123 A.B.C.D.3232分析 由 c 2＝a 2＋ b 2＝ 4 得 c ＝ 2，所以 F (2 ，0) ，2y 2将 x ＝ 2 代入 x － 3 ＝ 1，得 y ＝± 3，所以 | PF | ＝ 3.又 A 的坐标是 (1 ，3)， 故△ APF 的面积为1×3×(2 － 1) ＝ 3 . 2 2答案D地地道道的达到：x224. 已知椭圆 2＋y2＝ 1( > >0) 的左、右焦点分别为 1， 2， O 为坐标原点， A 为椭圆上一C aba bF F点，∠ F AF ＝ ，连结 AF 交 y 轴于 点，若 3| |＝ | | ，则该椭圆的离心率为()12π 2221 3510 A. 3B. 3C. 8D. 4分析设 | AF 1| ＝ m ， | AF 2| ＝ n .以下图，由题意可得∵ R t △ F 1AF 2∽ Rt △ MOF 2.∴ |AF 1|＝ | OM |＝ 1，则 n ＝ 3m . 又 | AF 1| ＋ | AF 2| ＝m ＋n ＝ 2a ， AF 2| | OF 2| 3|a 3 ∴m ＝ 2， n ＝ 2a .22 210 22在 Rt △ F 1AF 2 中， m ＋ n ＝ 4c ，即 4 a ＝ 4c ，2 c 2 10 10 ∴e ＝ a 2＝ 16，故 e ＝ 4 . 答案 D1， 2 分别为双曲线x225.(2018 ·石家庄调研 ) 已知 2－y2＝ 1( a >0， >0) 的左、右焦点，P 为双FFabb曲线上一点， PF 与 x 轴垂直，∠PFF ＝30°，且虚轴长为 2 2，则双曲线的标准方程为()21 2A. x 2－ y 2＝ 1B. x 2－ y 2 ＝14232222C.x－ y＝ 1D. x 2－ y＝14 8 2 分析 如图，不如设点 P ( x ， y ) 在第一象限，则 PF ⊥ x 轴，2在 Rt △ PF 1F 2 中，∠ PF 1F 2＝30°， | F 1F 2| ＝ 2c ，2 34 3c2c13 ，则| PF | ＝3 ，| PF | ＝2 3又因为 | PF 1| －| PF 2| ＝ c ＝ 2a ，即 c ＝ 3a .3又 2b ＝ 2 2，知 b ＝ 2，且 c 2－ a 2＝ 2，进而得 a 2＝1， c 2＝ 3.x 2y 2故双曲线的标准方程为 － 2＝1.答案 D 二、填空题6.(2018 ·北京卷 ) 已知直线 l 过点 (1 ， 0) 且垂直于 x 轴 . 若 l 被抛物线 y 2＝ 4ax 截得的线段长为 4，则抛物线的焦点坐标为 ________.分析 由题意知， a >0，对于 y 2 ＝4ax ，当 x ＝ 1 时， y ＝±2 a ，因为 l 被抛物线 y 2＝ 4ax 截 得的线段长为 4，所以 4 a ＝4，所以 a ＝ 1，所以抛物线的焦点坐标为(1 ，0).答案 (1 ，0)x 2 y 27.(2018 ·江苏卷 ) 在平面直角坐标系 xOy 中，若双曲线 a 2 － b 2＝ 1( a >0， b >0) 的右焦点 F ( c ，0) 到一条渐近线的距离为 3 ，则其离心率的值是 ________.2 cb分析 不如设双曲线的一条渐近线方程为y ＝ a x ，| bc |32223 2所以 a 2＋ b 2 ＝ b ＝ 2 c ，所以 b ＝ c － a ＝ 4c ，得 c ＝ 2a ，c所以双曲线的离心率e ＝ a ＝ 2.答案 28. 设抛物线 x 2＝ 4y 的焦点为 F ， A 为抛物线上第一象限内一点，知足| AF | ＝ 2；已知 P 为抛物线准线上任一点，当 | PA | ＋| PF | 获得最小值时，△ PAF 的外接圆半径为 ________. 分析 由 x 2＝4 y ，知 ＝ 2，∴焦点 (0 ，1) ，准线 y ＝－ 1.pF依题意，设 A ( x 0， y 0)( x 0>0) ，p由定义，得 | AF | ＝ y 0＋2，则 y 0＝ 2－ 1＝ 1，∴ AF ⊥ y 轴 .易知当 P (1 ，－ 1) 时， | PA | ＋| PF | 最小，∴ | PF | ＝ 12＋（－ 1－ 1） 2＝ 5. 由正弦定理， 2 ＝ |PF |＝ 5 ＝ 5， R sin A 2 255所以△ PAF 的外接圆半径R ＝4.答案54三、解答题9.(2018 ·全国Ⅱ卷 ) 设抛物线 C ：y 2＝ 4x 的焦点为 F ，过 F 且斜率为 k ( k >0) 的直线 l 与 C 交 于 A ，B 两点， | AB | ＝8.(1) 求 l 的方程；(2) 求过点 A ， B 且与 C 的准线相切的圆的方程 .解(1) 由题意得 F (1 ， 0) ， l 的方程为 y ＝ k ( x －1)( k >0).设 A ( x 1， y 1) ， B ( x 2， y 2).y ＝ k （x － ）， 由y 2＝ 4x1得 k 2x 2－ (2 k 2＋4) x ＋ k 2＝ 0.2 2＋4＝ 16k 2＋ 16>0，故 x 1＋x 2＝k2.k所以 | AB | ＝| AF | ＋ | BF | ＝ ( x ＋ 1) ＋ ( x ＋ 1) ＝4k 2＋ 4 .212k由题设知 4k 2＋4k 2 ＝ 8，解得 k ＝－ 1( 舍去 ) ， k ＝ 1.所以 l 的方程为 y ＝x － 1.(2) 由 (1) 得 AB 的中点坐标为 (3 ， 2) ，所以 AB 的垂直均分线方程为 y － 2＝－ ( x － 3) ，即 y ＝－ x ＋ 5.设所求圆的圆心坐标为( x 0， y 0) ，则0 ＝－ x 0y ＋ 5，2（ x 0＋ 1） 2＝（y － x ＋1）＋16.2x 0＝ 3， x 0＝11，解得或y 0＝ 2y 0＝－ 6.所以所求圆的方程为 ( x － 3) 2＋ ( y － 2) 2＝ 16 或 ( x － 11) 2＋ ( y ＋ 6) 2＝144.10.(2017 ·北京卷) 已知椭圆 C 的两个极点分别为 A ( － 2， 0) ， B (2 ，0) ，焦点在 x 轴上，离3心率为2.(1) 求椭圆 C 的方程；(2) 点 D 为 x 轴上一点，过 D 作 x 轴的垂线交椭圆 C 于不一样的两点 M ， N ，过 D 作 AM 的垂线交 BN 于点 E . 求证：△ BDE 与△ BDN 的面积之比为 4∶ 5.(1) 解 设椭圆C 的方程为 x2y 2＝ 1( > >0).2＋ 2a b a ba ＝ 2，由题意得 c3 解得 c ＝ 3. 所以 b 2＝ a 2－ c 2＝ 1. a＝2，x 22所以椭圆 C 的方程为 4＋ y ＝ 1.(2) 证明 设 ( ，)，则 ( ，0)， ( ，－ ).M m nD m N mn由题设知 ≠± 2，且n ≠0.m地地道道的达到n直线 AM 的斜率 k AM ＝，m ＋ 2故直线 DE 的斜率 k DE ＝－n .m ＋ 2所以直线 DE 的方程为 y ＝－ n( x － m ).直线 BN 的方程为 y ＝n( x －2).2－ mm ＋ 2 y ＝－n（ x － m ），联立ny ＝（ x － 2），2－ m2n （ 4－m ）解得点 E 的纵坐标 y E ＝－2 2.4－ m ＋ n22由点 M 在椭圆 C 上，得 4－ m ＝ 4n ，4En .所以 y ＝－5 12又 S △ BDE ＝2| BD | ·|y E | ＝ 5| BD | ·|n | ，1S △ BDN ＝ 2| BD | ·|n |.所以△与△ 的面积之比为 4∶ 5.BDE BDN11. 设 F ，F 分别是椭圆 C ：a22＋ b＝ 1( a >b >0) 的左、右焦点， M 是椭圆 C 上一点，且 MF 与 x12x 2y223 3轴垂直，直线 MF 1 在 y 轴上的截距为 4 ，且 | MF 2| ＝ 5| MF 1|. (1) 求椭圆 C 的方程；22→ →(2) 已知直线 l ：y ＝ kx ＋t 与椭圆 C 交于 E 、F 两点，且直线 l 与圆 7x ＋ 7y ＝12 相切，求OE · OF 的值 ( O 为坐标原点 ). 解 (1) 设直线1与 y 轴的交点为，则 || ＝ 3 .MFNON 4∵MF 2⊥ x 轴，∴在△ F 1F 2M 中， ON 綉1MF 2，23则| MF 2| ＝ 2.3又| MF 2| ＋ | MF 1| ＝ 2a ， | MF 2| ＝ 5| MF 1| ，33∴ | MF 2| ＝ 4a ＝2，∴ a ＝2.2又| MF 2| ＝ b，∴ b 2＝ 3.a地地道道的达到∴椭圆 C 的标准方程为x 2＋ y 2＝ 1.4 3(2) 设 E ( x 1， y 1 ) ， F ( x 2， y 2) ，y ＝ kx ＋ t ，联立 x 2 y 2 消 y 得(3 ＋ 4k 2) x 2＋ 8ktx ＋ 4t 2 －12＝ 0.＋ ＝ 1，438kt4t 2－ 12∴x 1＋ x 2＝－ 3＋ 4k 2， x 1x 2＝ 3＋ 4k 2 ，＝ (8 kt ) 2－4(3＋ k2t 2－12)>0 ，得 t2＋ k 2，(*)4 )(4<34→ →x ＋ y y ＝ xx ＋ ( kx ＋t )( kx ＋ t )则OE · OF ＝ x1 1 21 21 22＝ (1 ＋ k 2) x 1x 2＋ kt ( x 1＋ x 2) ＋ t 2（ 1＋ k 2）（ 4t 2－ 12） 8k 2t 2 t 2（ 3＋ 4k 2）＝3＋4k 2 － 3＋ 4k 2＋ 3＋ 4k 2 7t 2－ 12（ 1＋ k 2） ＝ 3＋ 4k 2. 又直线 l 与圆 7x 2＋ 7y 2＝12 相切，| t |1227 2∴ 1＋ k2＝7 ，则 1＋ k ＝12t 知足 (*) 式，7t 2 －12× 7 t 2→ → 12 故OE · OF ＝ 3＋4 2 ＝ 0.k呵呵复生复生复生。

1.以客观题形式考查圆锥曲线的标准方程、圆锥曲线的定义、离心率、焦点弦长问题、双曲线的渐近线等，可能会与数列、三角函数、平面向量、不等式结合命题，若与立体几何结合，会在定值、最值、定义角度命题．2.每年必考一个大题，相对较难，且往往为压轴题，具有较高的区分度．平面向量的介入，增加了本部分高考命题的广度与深度，成为近几年高考命题的一大亮点，备受命题者的青睐，本部分还经常结合函数、方程、不等式、数列、三角等知识结合进行综合考查．一、椭圆、双曲线、抛物线的定义及几何性质(0，【误区警示】1．求椭圆、双曲线方程时，注意椭圆中c 2＝a 2＋b 2，双曲线中c 2＝a 2－b 2的区别． 2．注意焦点在x 轴上与y 轴上的双曲线的渐近线方程的区别．3．平行于双曲线渐近线的直线与双曲线有且仅有一个交点；平行于抛物线的轴的直线与抛物线有且仅有一个交点．高频考点一 椭圆的定义及其方程 例1．（2018年全国I 卷） 已知椭圆：的一个焦点为，则的离心率为A. B. C. D.【答案】C【解析】根据题意，可知，因为，所以，即，所以椭圆的离心率为，故选C.【变式探究】【2017课标3，文11】已知椭圆C ：22221x y a b+=，（a >b >0）的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线相切，则C 的离心率为（ ）A B C D ．13【答案】A【解析】以线段12A A 为直径的圆的圆心为坐标原点()0,0，半径为r a =，圆的方程为222x y a +=，直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即，整理可得223a b =，即即2223a c =，从而22223c e a ==，则椭圆的离心率，故选A.【变式探究】已知椭圆C 1：22x m +y 2=1(m >1)与双曲线C 2：22x n–y 2=1(n >0)的焦点重合，e 1，e 2分别为C 1，C 2的离心率，则（ ）A ．m >n 且e 1e 2>1B ．m >n 且e 1e 2<1C ．m <n 且e 1e 2>1D ．m <n 且e 1e 2<1 【答案】A 【解析】由题意知，即222m n =+，由于m ＞1，n ＞0，可得m ＞n ，又=，故121e e >．故选A ．【变式探究】已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点为F (3，0)，过点F 的直线交E 于A ，B 两点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为( ) A.x 245＋y 236＝1 B.x 236＋y 227＝1 C.x 227＋y 218＝1 D.x 218＋y 29＝1 解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， ∵A ，B 在椭圆上，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 21a 2＋y 21b2＝1， ①x 22a 2＋y 22b 2＝1 ②①－②，得（x 1＋x 2）（x 1－x 2）a 2＋（y 1＋y 2）（y 1－y 2）b2＝0， 即b 2a 2＝－（y 1＋y 2）（y 1－y 2）（x 1＋x 2）（x 1－x 2）， ∵AB 的中点为(1，－1)，∴y 1＋y 2＝－2，x 1＋x 2＝2，而y 1－y 2x 1－x 2＝k AB ＝0－（－1）3－1＝12，∴b 2a 2＝12.又∵a 2－b 2＝9，∴a 2＝18，b 2＝9.∴椭圆E 的方程为x 218＋y 29＝1，故选D.答案 D高频考点二 椭圆的几何性质例2．（2018年全国卷Ⅱ）已知，是椭圆的两个焦点，P 是C 上的一点，若，且，则C 的离心率为 A.B.C.D.【答案】D 【解析】在中，设，则，又由椭圆定义可知则离心率，故选D.【变式探究】【2017浙江，2】椭圆22194x y +=的离心率是A B C ．23D ．59【答案】B【解析】，选B ．【变式探究】已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：的左焦点，,A B 分别为C 的左，右顶点.P 为C 上一点，且PF x ⊥轴.过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为（ ） （A ）13（B ）12（C ）23（D ）34【答案】A【解析】由题意设直线l 的方程为，分别令x c =-与0x =得，||OE k a =.设OE 的中点为N ，则，则，即，整理，得13c a =，所以椭圆C 的离心率13e =，故选A ． 【变式探究】已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22，点P (0，1)和点A (m ，n )(m ≠0)都在椭圆C上，直线PA 交x 轴于点M .(1)求椭圆C 的方程，并求点M 的坐标(用m ，n 表示)；(2)设O 为原点，点B 与点A 关于x 轴对称，直线PB 交x 轴于点N .问：y 轴上是否存在点Q ，使得∠OQM ＝∠ONQ ？若存在，求点Q 的坐标；若不存在，说明理由．(2)因为点B 与点A 关于x 轴对称， 所以B (m ，－n )． 设N (x N ，0)，则x N ＝m1＋n.“存在点Q (0，y Q )使得∠OQM ＝∠ONQ ”，等价于“存在点Q (0，y Q )使得|OM ||OQ |＝|OQ ||ON |”，即y Q 满足y 2Q ＝|x M ||x N |.因为x M ＝m 1－n ，x N ＝m 1＋n ，m 22＋n 2＝1.所以y 2Q ＝|x M ||x N |＝m 21－n 2＝2.所以y Q ＝2或y Q ＝－ 2.故在y 轴上存在点Q ，使得∠OQM ＝∠ONQ ，点Q 的坐标为(0，2)或 (0，－2)．高频考点三 双曲线的定义及标准方程例3．（2018年天津卷）已知双曲线 的离心率为2，过右焦点且垂直于轴的直线与双曲线交于两点.设到双曲线的同一条渐近线的距离分别为和，且则双曲线的方程为A. B. C. D.【答案】A【解析】设双曲线的右焦点坐标为（c >0），则，由可得：，不妨设：，双曲线的一条渐近线方程为，据此可得：，，则，则，双曲线的离心率：，据此可得：，则双曲线的方程为.本题选择A 选项.【变式探究】【2017课表1，文5】已知F 是双曲线C ：1322=-y x 的右焦点，P 是C 上一点，且PF 与x轴垂直，点A 的坐标是(1，3)，则△APF 的面积为 A ．13B ．1 2C ．2 3D ．3 2【答案】D 【解析】由得2c =，所以()2,0F ，将2x =代入2213y x -=，得3y =±，所以3PF =，又点A 的坐标是(1，3)，故△APF 的面积为，选D ．【变式探究】已知双曲线2224=1x y b -（b >0），以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A 、B 、C 、D 四点，四边形的ABCD 的面积为2b ，则双曲线的方程为（ ）（A ）22443=1y x -（B ）（C ）2224=1x y b -（D ）2224=11x y -【答案】D【解析】根据对称性，不妨设A 在第一象限，(,)A x y ，∴，∴，故双曲线的方程为221412x y -=，故选D. 【变式探究】若双曲线E ：x 29－y 216＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线E 上，且|PF 1|＝3，则|PF 2|等于( )A ．11B ．9C ．5D ．3解析 由双曲线定义||PF 2|－|PF 1||＝2a ，∵|PF 1|＝3，∴P 在左支上，∵a ＝3，∴|PF 2|－|PF 1|＝6，∴|PF 2|＝9，故选B.【变式探究】以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A 、B 两点,交C 的准线于D 、E 两点.已知|AB |=,|DE|=则C 的焦点到准线的距离为 (A)2 (B)4 (C)6 (D)8 【答案】B【解析】如图,设抛物线方程为22y px =,,AB DE 交x 轴于,C F 点,则AC =即A 点纵坐标为,则A 点横坐标为4p ,即4OC p=,由勾股定理知, ,即,解得4p =,即C 的焦点到准线的距离为4,故选B.【变式探究】已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线过点(2，3) ，且双曲线的一个焦点在抛物线y 2＝47x 的准线上，则双曲线的方程为( ) A.x 221－y 228＝1 B.x 228－y 221＝1 C.x 23－y 24＝1D.x 24－y 23＝11. （2018年浙江卷）双曲线的焦点坐标是A. (−，0)，(，0)B. (−2，0)，(2，0)C. (0，−)，(0，)D. (0，−2)，(0，2) 【答案】B【解析】因为双曲线方程为，所以焦点坐标可设为，因为，所以焦点坐标为，选B.2. （2018年全国卷Ⅱ）双曲线的离心率为，则其渐近线方程为A. B. C. D.【答案】A【解析】因为渐近线方程为，所以渐近线方程为，选A.3. （2018年全国III卷）已知双曲线的离心率为，则点到的渐近线的距离为A. B. C. D.【答案】D【解析】，所以双曲线的渐近线方程为所以点（4，0）到渐近线的距离4. （2018年全国卷Ⅱ）曲线在点处的切线方程为__________．【答案】y=2x–2【解析】由，得则曲线在点处的切线的斜率为，则所求切线方程为，即.5. （2018年北京卷）若双曲线的离心率为，则a=_________.【答案】4【解析】在双曲线中，，且6. （2018年江苏卷）在平面直角坐标系中，若双曲线的右焦点到一条渐近线的距离为，则其离心率的值是________．【答案】2【解析】先确定双曲线的焦点到渐近线的距离，再根据条件求离心率。