一元二次函数
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一元二次函数的图象一、 定义:一般地,如果c b a c bx ax y ,,(2++=是常数,)0≠a ,那么y 叫做x 的一元二次函数. 其中,x 是自变量,a,b,c 分别是函数表达式的二次项系数、一次项系数和常数项。
二、一元二次函数y =ax ²+bx +c ﹙a ≠0﹚的图象(其中a,b,c 均为常数)1.当a >0时 函数图象开口向上;对称轴为x =﹣2a /b ,有最小值且为﹙4ac -b ²﹚/4a ; 当x ∈﹙﹣∞,﹣2a /b]时递减;当x ∈[﹣2a /b,﹢∞﹚时递增;2.当a <0时函数图象开口向下;对称轴为x =﹣2a /b ,有最大值且为﹙4ac -b ²﹚/4a ; 当x ∈﹙﹣∞,﹣2a /b]时递增;当x ∈[﹣2a /b,﹢∞﹚时递减;2.△=b ²-4ac当△>0时,函数图象与x 轴有两个交点; 当△=0时,函数图象与x 轴只有一个交点; 当△<0时,函数图象与x 轴没有交点。
(如下图所示)三、抛物线c bx ax y ++=2中,c b a ,,的作用(1) a 决定开口方向及开口大小,这与2ax y =中的a 完全一样.例1:画出212y x =- 2y x =- 22y x =-的图象212y x =- 22y x =- 2y x =-归纳:一般地,抛物线2y ax =的对称轴是y 轴,顶点是原点,当0a >时,抛物线的开口向上,顶点是抛物线的最低点,a 越大,抛物线的开口越小;当0a <时,抛物线的开口向下,顶点是抛物线的最高点,a 越大,抛物线的开口越大。
(2)b 和a共同决定抛物线对称轴的位置例2:画出二次函数21(1)2y x =-+,211)2y x =--(的图象,考虑他们的开口方向、对称轴和顶点。
21(1)2y x =-+ 211)2y x =--(可以看出,抛物线21(1)2y x =-+的开口向下,对称轴是进过点(-1,0)且与x 轴垂直的直线,记为x=-1,顶点是(-1,0);抛物线211)2y x =--(的开口向下,对称轴是x=1,顶点是(1,0)。
1. 一元二次函数函数 2y ax bx c =++ (0)a ¹叫做一元二次函数,其中,,a b c 是常数 一般式2y ax bx c =++ ( 0a ¹)顶点式 ()2y a x h k =-+ (0a ¹),其中(),h k 为抛物线顶点坐标两点式()()12y a x x x x =-- ( 0a ¹), 其中12,x x 是抛物线与x 轴交点的横坐标。
1.1一元二次函数的基本性质1.1.1一元二次函数的定义域和值域 一元二次函数2y ax bx c =++ ,(0)a ¹的R一元二次函数2y ax bx c =++ ,(0)a ¹ 的值域是0a >时一元二次函数的值域是24,4ac ba 轹-÷ê÷+ ÷ê÷øë 0a <时一元二次函数的值域是24,4acb a 纟-çú- ççúèû1.1.2一元二次函数的单调性1. 2y ax bx c =++ , ()0a > 在区间,2ba 纟çú-?ççúèû上为单调减函数 ,在区间,2ba 轹÷ê-+ ÷÷êøë上为单调增函数 。
当2b x a=-时 2min 44ac b y a-=, m ax y =无2. 2y ax bx c =++ ()0a <在区间,2ba 纟çú-?ççúèû上为单调增加函数,在区间,2ba轹÷ê-+ ÷÷êøë上为单调减函数 。
专题09 一元二次函数的三种表示方式一、知识点精讲通过上一小节的学习,我们知道,一元二次函数可以表示成以下三种形式:1.一般式:y=ax2+bx+c(a≠0);2.顶点式:y=a(x+h)2+k (a≠0),其中顶点坐标是(-h,k).除了上述两种表示方法外,它还可以用另一种形式来表示.为了研究另一种表示方式,我们先来研究二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交点个数.当抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴相交时,其函数值为零,于是有ax2+bx+c=0.①并且方程①的解就是抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交点的横坐标(纵坐标为零),于是,不难发现,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交点个数与方程①的解的个数有关,而方程①的解的个数又与方程①的根的判别式Δ=b2-4ac有关,由此可知,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交点个数与根的判别式Δ=b2-4ac 存在下列关系:(1)当Δ>0时,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴有两个交点;反过来,若抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴有两个交点,则Δ>0也成立.(2)当Δ=0时,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴有一个交点(抛物线的顶点);反过来,若抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴有一个交点,则Δ=0也成立.(3)当Δ<0时,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴没有交点;反过来,若抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x 轴没有交点,则Δ<0也成立.于是,若抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴有两个交点A(x1,0),B(x2,0),则x1,x2是方程ax2+bx+c=0的两根,所以x1+x2=ba-,x1x2=ca,即ba=-(x1+x2),ca=x1x2.所以,y=ax2+bx+c=a(2b cx xa a++)= a[x2-(x1+x2)x+x1x2]=a(x-x1) (x-x2).由上面的推导过程可以得到下面结论:若抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于A(x1,0),B(x2,0)两点,则其函数关系式可以表示为y=a(x-x1) (x-x2) (a≠0).这样,也就得到了表示二次函数的第三种方法:3.交点式:y=a(x-x1) (x-x2) (a≠0),其中x1,x2是二次函数图象与x轴交点的横坐标.今后,在求二次函数的表达式时,我们可以根据题目所提供的条件,选用一般式、顶点式、交点式这三种表达形式中的某一形式来解题.二、典例精析【典例1】已知某一元二次函数的最大值为2,图像的顶点在直线y=x+1上,并且图象经过点(3,-1),求该一元二次函数的解析式.【答案】见解析【分析】:在解本例时,要充分利用题目中所给出的条件——最大值、顶点位置,从而可以将二次函数设成顶点式,再由函数图象过定点来求解出系数a .【解析】∵二次函数的最大值为2,而最大值一定是其顶点的纵坐标,∴顶点的纵坐标为2.又顶点在直线y =x +1上,所以,2=x +1,∴x =1.∴顶点坐标是(1,2).设该二次函数的解析式为2(1)2(0)y a x a =-+<,∵二次函数的图像经过点(3,-1),∴21(31)2a -=-+,解得a =-34. ∴二次函数的解析式为23(1)24y x =--+,即y =-34x 2+32x+54. 【说明】:在解题时,由最大值确定出顶点的纵坐标,再利用顶点的位置求出顶点坐标,然后设出二次函数的顶点式,最终解决了问题.因此,在解题时,要充分挖掘题目所给的条件,并巧妙地利用条件简捷地解决问题.【典例2】已知二次函数的图象过点(-3,0),(1,0),且顶点到x 轴的距离等于2,求此二次函数的表达式.【答案】见解析【分析一】:由于题目所给的条件中,二次函数的图象所过的两点实际上就是二次函数的图象与x 轴的交点坐标,于是可以将函数的表达式设成交点式.【解析一】:∵二次函数的图象过点(-3,0),(1,0),∴可设二次函数为y =a (x +3) (x -1) (a ≠0),展开得 y =ax 2+2ax -3a , 顶点的纵坐标为 2212444a a a a--=-, 由于二次函数图象的顶点到x 轴的距离2,∴|-4a |=2,即a =12±. 所以,二次函数的表达式为y =21322x x +-,或y =-21322x x -+. 【分析二】:由于二次函数的图象过点(-3,0),(1,0),所以,对称轴为直线x =-1,又由顶点到x 轴的距离为2,可知顶点的纵坐标为2,或-2,于是,又可以将二次函数的表达式设成顶点式来解,然后再利用图象过点(-3,0),或(1,0),就可以求得函数的表达式.【解析二】:∵二次函数的图象过点(-3,0),(1,0),∴对称轴为直线x =-1.又顶点到x 轴的距离为2,∴顶点的纵坐标为2,或-2.于是可设二次函数为y =a (x +1)2+2,或y =a (x +1)2-2,由于函数图象过点(1,0),∴0=a (1+1)2+2,或0=a (1+1)2-2.∴a =-12,或a =12. 所以,所求的二次函数为y =-12(x +1)2+2,或y =12(x +1)2-2. 【说明】:上述两种解法分别从与x 轴的交点坐标及顶点的坐标这两个不同角度,利用交点式和顶点式来解题,在今后的解题过程中,要善于利用条件,选择恰当的方法来解决问题.【典例3】已知二次函数的图象过点(-1,-22),(0,-8),(2,8),求此二次函数的表达式.【答案】见解析【解析】设该二次函数为y =ax 2+bx +c (a ≠0).由函数图象过点(-1,-22),(0,-8),(2,8),可得22,8,842,a b c c a b c -=-+⎧⎪-=⎨⎪=++⎩解得 a =-2,b =12,c =-8.所以,所求的二次函数为y =-2x 2+12x -8.【说明】通过上面的几道例题,同学们能否归纳出:在什么情况下,分别利用函数的一般式、顶点式、交点式来求二次函数的表达式?三、对点精练1.选择题:(1)函数y =-x 2+x -1图象与x 轴的交点个数是 ( )(A )0个 (B )1个 (C )2个 (D )无法确定【答案】A【解析】214(1)(1)30=-⨯-⨯-=-<,∴函数y =-x2+x -1图象与x 轴的交点个数是0个。
一元二次方程和一元二次函数的关系
一元二次方程和一元二次函数有着密切的关系。
一元二次方程是
表示形式为ax²+bx+c=0的方程,其中a,b,c为已知常数,x为未知数。
而一元二次函数是表示形式为y=ax²+bx+c的函数,其中a,b,c为已
知常数,x为自变量,y为因变量。
可以发现,一元二次方程的解就是
一元二次函数的零点,即函数图像与x轴的交点。
反之,一元二次函
数的图像在x轴处的交点就是一元二次方程的解。
因此,解一元二次
方程可以帮助我们找到一元二次函数的零点,而对一元二次函数进行
分析可以帮助我们求解一元二次方程。
一元二次函数解法
一元二次函数解法是解决二次函数的根的方法。
一元二次函数的形式为y=ax^2+bx+c,其中a、b、c为已知数,x为未知数,y为函数值。
为了求出该函数的根,我们可以采用以下解法:
1.配方法:当a不为0时,可以采用配方法将一元二次函数化为完全平方形式,再利用求根公式求出函数的根。
2.因式分解法:当函数的系数a、b、c均为整数时,可以采用因式分解法将函数化简,再利用零点定理求出函数的根。
3.求根公式法:当函数无法化简时,可以直接利用求根公式求出函数的根。
求根公式为:x1,2=(-b±√b-4ac)/2a。
4.图像法:当函数的系数a、b、c无法确定时,可以采用图像法观察函数的图像,根据图像的性质推断函数的根。
以上是一元二次函数的几种解法,具体应用时需要根据实际情况选择合适的方法。
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一、一元二次函数及一元二次不等式一、二次函数1.函数)0(2≠++=a c bx ax y 叫做一元二次函数。
2. 一元二次函数的图象是一条抛物线。
3.任何一个二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 都可把它的解析式配方为顶点式:ab ac ab x a y 44)2(22-++=,性质如下:(1)图象的顶点坐标为)44,2(2ab ac ab --,对称轴是直线ab x 2-=。
(2)最大(小)值① 当0>a ,函数图象开口向上,y 有最小值,a b ac y 442min -=,无最大值。
② 当0<a ,函数图象开口向下,y 有最大值,ab ac y 442max -=,无最小值。
(3)当0>a ,函数在区间)2,(ab --∞上是减函数,在),2(+∞-ab上是增函数。
当0<a ,函数在区间上),2(+∞-a b 是减函数,在)2,(ab --∞上是增函数。
【例1】求作函数64212++=x x y 的图象【解】 )128(21642122++=++=x x x x y【练习1】(1)求作函数362++=x x y 的图象。
(2)求作函数342+--=x x y 的图像【解】)34(3422-+-=+--=x x x x y 7)2[(]7)2[(22++-=-+-=x x (二)一元二次函数性质【例2】求函数962++=x x y 的最小值及图象的对称轴和顶点坐标,并求它的单调区间。
【解】 7)3(79626222-+=-++=++=x x x x x y 由配方结果可知:顶点坐标为)73(--,,对称轴为3-=x ; 01> ∴当3-=x 时, 7min -=y 函数在区间]3(--∞,上是减函数,在区间)3[∞+-,上是增函数。
【练习2】求函数1352++-=x x y 图象的顶点坐标、对称轴、最值及它的单调区间。
103)5(232=-⨯-=-ab ,2029)5(431)5(44422=-⨯-⨯-⨯=-ab ac∴函数图象的顶点坐标为)2029,103(,对称轴为2029=x05<- ∴当103=x 时,函数取得最大值2029=maz y函数在区间]103,(-∞上是增函数,在区间),3[+∞-上是减函数。