苏教版数学高一《幂函数》 同步导学案

2.3 幂函数教学目标：1.了解幂函数的概念，会求幂函数的解析式.2.结合幂函数y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝1x ，y ＝x 12 的图象，掌握它们的性质3.能利用幂函数的单调性比较指数幂的大小． 教学重点：1.掌握幂函数图象并掌握它们的性质2.能利用幂函数的单调性比较指数幂的大小 教学难点：幂函数图象及其性质教学过程；预习教材P77－P78，完成下面问题： 知识点1 幂函数的概念一般地，函数y ＝x α叫做幂函数，其中x 是自变量，α是常数． 【预习评价】 (正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数y ＝x －45是幂函数．( )(2)函数y ＝2－x 是幂函数．( )(3)函数y ＝－x 12 是幂函数．( )(1)√ 函数y ＝x －45 符合幂函数的定义，所以是幂函数；(2)× 幂函数中自变量x 是底数，而不是指数，所以y ＝2－x 不是幂函数；(3)× 幂函数中x α的系数必须为1，所以y ＝－x 12 不是幂函数．知识点2 幂函数的图象和性质 (1)五个幂函数的图象：(2)判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y ＝x α(α为常数)的形式，函数的解析式为一个幂的形式，且：①指数为常数，②底数为自变量，③底数系数为1.形如y ＝(3x )α，y ＝2x α，y ＝x α＋5…形式的函数都不是幂函数．反过来，若一个函数为幂函数，则该函数也必具有这一形式．【训练1】 若函数f (x )是幂函数，且满足f (4)＝3f (2)，则f ⎝⎛⎭⎫12的值等于________．答案 13题型二 幂函数的图象及应用【例2】 (1)如图所示，图中的曲线是幂函数y ＝x n 在第一象限的图象，已知n 取±2，±12四个值，则相应于C 1，C 2，C 3，C 4的n 依次为( )A ．－2，－12，12，2B ．2，12，－12，－2C ．－12，－2,2，12D ．2，12，－2，－12(2)点(2，2)与点⎝⎛⎭⎫－2，－12分别在幂函数f (x )，g (x )的图象上，问当x 为何值时，分别有：①f (x )>g (x )；②f (x )＝g (x )；③f (x )<g (x )． 答案 （1）B(2)解 设f (x )＝x α，g (x )＝x β.∵(2)α＝2，(－2)β＝－12，∴α＝2，β＝－1，∴f (x )＝x 2，g (x )＝x －1.分别作出它们的图象，如图所示．由图象知：①当x ∈(－∞，0)∪(1，＋∞)时，f (x )>g (x )； ②当x ＝1时，f (x )＝g (x )； ③当x ∈(0,1)时，f (x )<g (x )．规律方法 解决幂函数图象问题应把握的两个原则(1)依据图象高低判断幂指数大小，相关结论为：①在(0,1)上，指数越大，幂函数图象越靠近x 轴(简记为指大图低)；②在(1，＋∞)上，指数越大，幂函数图象越远离x 轴(简记为指大图高)．(2)依据图象确定幂指数α与0,1的大小关系，即根据幂函数在第一象限内的图象(类似于y ＝x －1或y ＝x 12 或y ＝x 3)来判断．【训练2】 如图是函数y ＝x m n(m ，n ∈N *，m ，n 互质)的图象，则( )A ．m ，n 是奇数，且mn <1B ．m 是偶数，n 是奇数，且mn >1C ．m 是偶数，n 是奇数，且mn <1D ．m 是奇数，n 是偶数，且mn >1答案 C典例迁移题型三 利用幂函数的性质比较大小【例3】 比较下列各组数中两个数的大小：(1)⎝⎛⎭⎫250.3与⎝⎛⎭⎫130.3；(2)⎝⎛⎭⎫－23－1与⎝⎛⎭⎫－35－1. 解 (1)因为幂函数y ＝x 0.3在(0，＋∞)上是单调递增的， 又25>13，所以⎝⎛⎭⎫250.3>⎝⎛⎭⎫130.3. (2)因为幂函数y ＝x －1在(－∞，0)上是单调递减的， 又－23<－35，所以⎝⎛⎭⎫－23－1>⎝⎛⎭⎫－35－1. 【迁移1】 (变换条件)若将例1(1)中的两数换为“⎝⎛⎭⎫250.3与⎝⎛⎭⎫13－0.3”，则二者的大小关系如何？解 因为⎝⎛⎭⎫13－0.3＝30.3，而y ＝x 0.3在(0，＋∞)上是单调递增的， 又25<3，所以⎝⎛⎭⎫250.3<30.3.即⎝⎛⎭⎫250.3<⎝⎛⎭⎫13－0.3. 【迁移2】 (变换条件)若将例1(1)中的两数换为“⎝⎛⎭⎫250.3与0.325 ”，则二者的大小关系如何？解 因为y 1＝⎝⎛⎭⎫25x 在(0，＋∞)为上减函数，又0.3<25，所以⎝⎛⎭⎫250.3>⎝⎛⎭⎫2525 ，又因为函数y 2＝x 25 在(0，＋∞)上为增函数，且25>0.3，所以⎝⎛⎭⎫2525 >0.325 ，所以⎝⎛⎭⎫250.3>0.325 . 规律方法 比较幂值大小的三种基本方法【训练3】 比较下列各组数的大小： (1)⎝⎛⎭⎫230.5与⎝⎛⎭⎫350.5；(2)－3.143与－π3； (3)⎝⎛⎭⎫1234 与⎝⎛⎭⎫3412.解 (1)∵y ＝x 0.5在[0，＋∞)上是增函数且23＞35，∴⎝⎛⎭⎫230.5＞⎝⎛⎭⎫350.5.(2)∵y ＝x 3是R 上的增函数，且3.14＜π， ∴3.143＜π3，∴－3.143＞－π3.(3)∵y ＝⎝⎛⎭⎫12x是R 上的减函数，∴⎝⎛⎭⎫1234 ＜⎝⎛⎭⎫1212 . y ＝x 12是[0，＋∞)上的增函数，∴⎝⎛⎭⎫3412 ＞⎝⎛⎭⎫1212 .∴⎝⎛⎭⎫3412 ＞⎝⎛⎭⎫1234 .课堂达标1．已知幂函数y ＝f (x )的图象经过点⎝⎛⎭⎫4，12，则f (2)＝( ) A ．14B ．4C ．22D ． 2答案 C2．下列函数中，其定义域和值域不同的函数是( )A ．y ＝x 13B ．y ＝x －12C ．y ＝x 53D ．y ＝x 23答案 D3．设a ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，1，12，3，则使函数y ＝x a 的定义域是R ，且为奇函数的所有a 的值是( )A ．1,3B ．－1,1C ．－1,3D ．－1,1,3答案 A4．函数y ＝x 13 的图象是( )答案 B5．比较下列各组数的大小：(1)－8－78 与－⎝⎛⎭⎫1978 ；(2)⎝⎛⎭⎫－23－23 与⎝⎛⎭⎫－π6－23 .解 (1)－8－78 ＝－⎝⎛⎭⎫1878 ，函数y ＝x 78 在(0，＋∞)上为增函数，又18>19，则⎝⎛⎭⎫1878 >⎝⎛⎭⎫1978 .从而－8－78 <－⎝⎛⎭⎫1978 . (2)⎝⎛⎭⎫－23 －23 ＝⎝⎛⎭⎫23－23 ＝⎝⎛⎭⎫46－23 ，⎝⎛⎭⎫－π6－23 ＝⎝⎛⎭⎫π6－23 .因为函数y ＝x －23 在(0，＋∞)上为减函数，又46>π6，所以⎝⎛⎭⎫－23－23 <⎝⎛⎭⎫－π6－23 .7．已知幂函数y ＝x 3m －9(m ∈N *)的图象关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上单调递减，求满足(a ＋3)－m 5<(5－2a )－m5的a 的取值范围．能力提升8．如图是幂函数y ＝x m 与y ＝x n 在第一象限内的图象，则( )A ．－1＜n ＜0＜m ＜1B ．n ＜－1,0＜m ＜1C ．－1＜n ＜0，m ＞1D ．n ＜－1，m ＞1答案 B9．如图，函数y ＝x 23的图象是( )答案 D10．已知幂函数f (x )＝x 12 ，若f (10－2a )<f (a ＋1)，则a 的取值范围是________．答案 (3,5]11．已知a ＝x α，b ＝x a2 ，c ＝x 1a，x ∈(0,1)，α∈(0,1)，则a ，b ，c 的大小关系是________．答案 c <a <b 12．已知幂函数y ＝f (x )＝x－2m 2－m ＋3，其中m ∈{x |－2<x <2，x ∈Z }，满足：(1)是区间(0，＋∞)上的增函数；(2)对任意的x ∈R ，都有f (－x )＋f (x )＝0.求同时满足(1)，(2)的幂函数f (x )的解析式，并求x ∈[0,3]时f (x )的值域．13．(选做题)已知函数f (x )＝x 1-a 3的定义域是非零实数，且在(－∞，0)上是增函数，在(0，＋∞)上是减函数，求最小自然数α. 教学反思。

§6幂函数预习案一、学习目标：1、掌握幂函数的概念2、熟悉21,1,3,2,1-=α时幂函数αx y =的图像与性质3、理解奇函数，偶函数的定义及图像的性质，并会利用定义证明简单函数的奇偶性二、学习重点：幂函数的概念，奇函数和偶函数的概念三、学习难点：幂函数αx y =的性质，奇偶性的应用四、知识链接：1、幂函数的概念如果一个函数， 是自变量x ， 是常数α，即 ，这样的函数称为幂函数2、幂函数的性质（1）所有幂函数在（+∞,0）上都有定义，且图像都通过点（1，1），幂函数图像不过第四象限（2）0>α时，幂函数图像都通过点（0，0）（1，1）并且在[)+∞,0上都是递增的； 0<α时，幂函数图像都通过点（1，1）并且在[)+∞,0上都是递减的，在第一象限内函数图像向上与y 轴无限接近，向右与x 轴无限接近3、函数的奇偶性一般地，图像关于原点对称的函数叫作 ，如果一个函数是奇函数，则一定满足 ；图像关于y 轴对称的函数叫作 ，如果一个函数是奇函数，则一定满足 ；当函数是奇函数或偶函数时，称函数具有奇偶性。

例1：函数322)1()(-+--=m m x m m x f 是幂函数，且当()+∞∈,0x 时，)(x f 单调递增，求)(x f 的解析式例2判断下列函数的奇偶性（1）[]2,1,)(2-∈-=x x x x f （2）x x x f 1)(-=（3）11)(22-+-=x x x f （4）⎩⎨⎧>+<-=0),1(0),1()(x x x x x x x f例3函数21)(x b ax x f ++=是定义在)1,1(-上的奇函数，且52)21(=f 求)(x f 的解析式例4设定义在[]2,2-上的偶函数)(x f 在区间[]0,2-上单调递减，若)()1(m f m f <-，求实数m 的取值范围。

1对于定义在R 上的任何奇函数)(x f 都有（ ）A.0)()(>--x f x fB. 0)()(≤--x f x fC.0)()(≤-∙x f x fD. 0)()(≤-∙x f x f2幂函数)(x f y =的图像过点⎪⎭⎫ ⎝⎛21,4，则=)(x f3当1>x 时，2212)(,)(,)(-===x x h x x g x x f 的大小关系是。

高一数学必修1教学案 第三单元必修1_02 分数指数幂班级 姓名 目标要求1.理解根式的概念，掌握n 次方根的性质与整数指数幂的运算性质2.理解分数指数的概念，掌握有理指数幂的运算性质3.能运用有理指数幂的运算性质进行化简和运算4.会进行根式与分数指数幂的相互转化熟练掌握用根式和分数指数幂表示一个正实数 的算术根重点难点重点：利用分数指数幂的运算性质熟练地进行指数运算 难点：分数指数幂的运算性质及运用课前预习一、复习回顾：（1）整数指数幂：① ② ③（2）整数指数幂的运算性质：① ② ③二、阅读教材P59～P61，回答下列问题： 1、根式：（1）n 次实数方根： . （2）n 次实数方根的性质： . （3）根式： ，其中 叫根指数， 叫做被开方数.性质：=nn a )（ ，=n n a 思考1：求下列各式的值：（1）33)8(- （2）2)10(- （3）44)3(π- （4）2)(b a -（a>b ）2、分数指数幂的意义：正数a 的正分数指数幂=n m a （),,0*N n m a ∈> 正数a 的负分数指数幂=-nm a（),,0*N n m a ∈>同时规定：0的正分数指数幂为 ，0的负分数指数幂为 . 思考2：求下列各式的值：（1）328 （2）21100-（3）239-（4）43)8116(-3．指数概念的推广：4．指数运算法则：① ② ③思考3：用分数指数幂的形式表示并计算下列各式（式中字母都是正数）: （1）a a ⋅2（2）323a a ⋅ （3）a a（4）)3()6)(2(656131212132b a b a b a -÷-三、典型例题：例1 已知231211322[()()]a b a b ab a ------==求的值.变题1：已知nnn n naa a a a --+++=332,12求的值.变题2：已知31=+-x x ，求下列各式的值：（1）2121-+xx ；（2）2121--xx ；（3）2323-+xx .例2 比较63123,11,5的大小.例3 求代数式31)1|(|--x 有意义的x 的取值范围.变题1：求使下列等式成立的x 的取值范围： （1）1)1()1)(1(2+-=--x x x x ； （2）2222)21()21(--=--x x x x变题2：画出函数323213312+++++-=x x x x x y 的图象.课堂练习1、 求下列各式的值：（1）44100 （2）55)1.0(- （3）2)4(-π （4）66)(y x - （x >y ） 2、1212--=--x x x x 成立的x 的取值范围是_____________.3、化简： 526-=________；=-5614__________； 32-＝________.4、化简44)1(a a -+的结果是________________.5、已知2,,(()a b R a b b a ∈-=--等式成立的条件是____________________学习反思1．整数指数幂的运算性质：（1）_____(,)mna a m n Z ⋅=∈（2）),______()(Z n m a nm ∈= （3）()_____()nab n Z =∈ 2．分数指数幂：规定正数的正分数指数幂的意义是______________规定正数的负分数指数幂的意义是______________0的正分数指数幂_____，0的负分数指数幂_______，0的0次幂______________高一数学作业(23)班级 姓名 得分1、 求值：122[(]-= .2、 5.02120)01.0(492513-⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+⎪⎭⎫⎝⎛--= .3、 已知,6,12,2434===c b a 则三者从小到大为 .4、若223x x-+=,则144x x+的值=_____________. 5、若23xa=,则33x xx xa a a a--++的值=_____________. 6、若32a=，135b-=,则323a b -的值= .7、化简：303122603.1232366141⎪⎪⎭⎫⎝⎛---+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫⎝⎛--= . 8、已知：11222a a -+=，则33224453a a a a --++++)0(>a = .9、化简下列各式： (1) 33)(a - (2)44)(m - (3) 1221205326312---⨯-⨯⨯- （4）)(22212122Z k k k k ∈-++---- (5)043)(0625.0833416π-+-(6))53(9302522y x x xy y <+- (7)ba b a ba b a +-+--2222)()(10、计算下列各式（其中各字母均为正数）：①654332a a a ÷②23462)2516(--rt s③)32)(32(41214121---+y x y x④323234343131yx y x yx y x ---++11、解下列方程：①151243=-x ②324x +=256×18x - ③0826212=-⨯--+x x12、已知()0)xf x a =>,求129()()()101010f f f +++的值.必修1_02 指数函数（1）班级 姓名 目标要求理解指数函数的概念，掌握指数函数的图象和性质。

幂函数导学案幂函数是一种常见的基础函数，其形式为y=ax^n，其中a为常数，n为整数。

在学习幂函数的过程中，我们需要了解其导数的计算方法以及一些常见的性质。

本导学案将针对幂函数的导数进行详细讲解，帮助同学们更好地掌握这一知识点。

一、导数的定义在学习幂函数的导数之前，我们先来回顾一下导数的定义。

导数描述了函数在某一点处的变化率，可以通过极限的定义来计算。

对于函数y=f(x)，其导数f'(x)的定义可以表示为：f'(x) = lim [f(x + h) - f(x)] / h (h→0)其中，h表示自变量x的增量。

当h趋近于0时，得到函数在点x 处的导数。

二、幂函数的导数计算1. 当幂函数为y=ax^n时，其中a为常数，n为整数时，我们可以通过以下公式计算其导数：dy / dx = n * ax^(n-1)即，幂函数的导数等于指数n乘以系数a再乘以x的n-1次方。

2. 举例说明：对于函数y=3x^2，其导数为：dy / dx = 2 * 3x^(2-1) = 6x因此，函数y=3x^2的导数为6x。

3. 特殊情况：当幂函数为y=ax^0时，即y=a时，其导数为0。

因为常数函数的图像是一条水平直线，斜率始终为0。

三、常见幂函数的导数性质1. 幂函数导数的线性：若f(x)和g(x)分别是幂函数y=ax^n和y=bx^m，其中a、b为常数，n、m为整数，则有：f(x) ± g(x) = f'(x) ± g'(x)即，幂函数的导数是具有线性性质的。

2. 幂函数导数的乘积法则：若f(x)和g(x)分别是幂函数y=ax^n和y=bx^m，则有：[f(x) * g(x)]' = f'(x) * g(x) + f(x) * g'(x)即，幂函数的导数在求导乘积时遵循乘积法则。

四、综合练习1. 求以下函数的导数：（1）y=5x^3 - 2x^2解：y' = 3 * 5x^(3-1) - 2 * 2x^(2-1) = 15x^2 - 4x（2）y=2x^4 + 3x^3 - x解：y' = 4 * 2x^(4-1) + 3 * 3x^(3-1) - 1 = 8x^3 + 9x^2 - 12. 若f(x) = x^2，g(x) = 3x，则求f'(x) * g(x) + f(x) * g'(x)的导数。

《3.3幂函数》一、学习目标1.了解幂函数的概念.2.掌握y ＝x α⎝ ⎛⎭⎪⎫α＝－1，12，1，2，3的图象与性质.3.理解和掌握幂函数在第一象限的分类特征，能运用数形结合的方法处理幂函数的有关问题．二、导学指导与检测导学检测及课堂展示 幂函数的概念一般地，函数 叫做幂函数，其中x 是自变量，α是常数． 五个幂函数的图象与性质1．在同一平面直角坐标系内函数(1)y ＝x ；(2)y ＝12x ；(3)y ＝x 2；(4)y ＝x －1；(5)y ＝x 3的图象如图．2五个幂函数的性质y ＝xy ＝x 2y ＝x 312y x =y ＝x －1定义域 R R R [0，＋∞) {x |x ≠0} 值域 R [0，＋∞)R[0，＋∞){y |y ≠0}奇偶性非奇非偶单调性 增 在[0，＋∞) 上增，在(－∞，0] 上减增 增 在(0，＋∞)上减，在(－∞，0)上减一般幂函数的图象特征三、巩固诊断1、已知幂函数f (x )＝x α图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，22，则f (4)＝________.2、)已知幂函数f (x )＝k ·x α的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，22，则k ＋α等于( )A.12 B ．1 C.32D ．2 3、已知f (x )＝ax 2a ＋1－b ＋1是幂函数，则a ＋b 等于( )4、已知幂函数f (x )＝x α的图象过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，14，试画出f (x )的图象并指出该函数的定义域与单调区间．四、堂清、日清记录今日之事今日毕 日积月累成大器。

幂函数（1）
【学习导航】
知识网络
学习要求 1．了解幂函数的概念，会画出幂函数12312,,,,y x y x y x y x y x -=====的图象，
根据上述幂函数的图象，了解幂函数的变化情况和性质；；
2．了解几个常见的幂函数的性质，会用它们的单调性比较两个底数不同而指数相同的
指数值的大小；
3．进一步体会数形结合的思想．
自学评价
1．幂函数的概念：一般地，我们把形
如 的函数称为幂函数，其中 是自变量， 是常数；
注意：幂函数与指数函数的区别．
2.幂函数的性质：
（1）幂函数的图象都过点
（2）当0α>时，幂函数在[0,)+∞上 ；当0α<时，幂函数在(0,)+∞上
（3）当2,2α=-时，幂函数是
当1
1,1,3,3
α=-时，幂函数是 【互动探究】
例1：写出下列函数的定义域，并指出它们的奇偶性：
（1）3y x = （2）12
y x =
（3）2y x -= （4）22y x x -=+
（5）1122y x x -=+ （6）1124()3()f x x x =+-
例2：比较大小：。

（2）∵x ∈R ，∴x 2≥0．∴ y ≥0．（3）f （－x ）＝5（－x ）2 ＝5x 2 ＝f （x ）， ∴函数y ＝52x 是偶函数；（4）∵n ＝25＞0， ∴幂函数y ＝52x 在［0，＋∞］上单调递增． 由于幂函数y ＝52x 是偶函数，∴幂函数y ＝52x 在（－∞，0）上单调递减．（5）其图象如右图所示．［例2］比较下列各组中两个数的大小：（1）1.553，1.753；（2）0.71.5，0.61.5；（3）（－1.2）32-，（－1.25）32-． 解析：（1）考查幂函数y ＝53x 的单调性，在第一象限内函数单调递增，∵1.5＜1.7 ∴1.553＜1.753（2）考查幂函数y ＝23x 的单调性，同理0.71.5＞0.61.5．（3）先将负指数幂化为正指数幂可知它是偶函数，∵（－1.2）32-＝1.232-，（－1.25）32-＝1.2532-，又1.232-＞1.2532- ∴（－1.2）32-＞（－1.25）32-点评：比较幂形式的两个数的大小，一般的思路是：（1）若能化为同指数，则用幂函数的单调性；（2）若能化为同底数，则用指数函数的单调性；（3）若既不能化为同指数，也不能化为同底数，则需寻找一个恰当的数作为桥梁来比较大小．［例3］求函数y ＝52x ＋2x 51＋4（x ≥－32）值域．解析：设t ＝x 51，∵x ≥－32，∴t ≥－2，则y ＝t 2＋2t ＋4＝（t ＋1）2＋3．当t ＝－1时，y min ＝3．∴函数y ＝52x ＋2x 51＋4（x ≥－32）的值域为［3，＋∞）．点评：这是复合函数求值域的问题，应用换元法．Ⅲ.课堂练习课本P 73 1，2。

第26课时 幂函数【自主学习】我们以前学过这样的函数：21;;,y x y x y x -===你对它们的图像和性质了解吗？这些函数有什么共同特征？ 【知识要点】幂函数的定义：我们把形如 的函数叫做幂函数，其中 是自变量， 是常数.幂函数的性质：（1）幂函数的图像恒过点 .（2）在第一象限，幂指数大于0的幂函数是 ，幂指数小于0的幂函数是 . 两个幂的值大小的比较方法：（1） 同底数幂： （2） 同指数幂：（3） 既不同底也不同指数幂：【练习】1、下列函数中是幂函数的有 ： ()()()()34(1)2;2;33;41;xy x y x y y x -====-()()()()405556;71;8.y y x y x y x -===+=2、当t 为何值时，()12t y t x -=+是幂函数？【典型例题】例1.求下列函数的定义域，并指出它们的奇偶性和单调性,并画出图象．()()()()()()24335436541;2;3;4;5;6y x y x y xy x y x y x---======例2. 比较大小：()()()()()()113322320.270.254313.1420.380.391123343334π----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭例3、已知函数()()2251m m f x m m x+-=--，（1）若函数()f x 是幂函数，则m 的值为 .（2）若函数()f x 是幂函数，且在()0,+∞上是减函数，则m 的值为 . （3）若函数()f x 是正比例函数，则m 的值为 .【反馈练习】1、比较下列各组数的大小：()113311.5,1.7,1;()224333102,,1.127--⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 2、已知幂函数()223()m m f x x m z --=∈为偶函数，且在()0,+∞上是单调减函数，则函数()f x 的解析式为________.3、如图所示的曲线是幂函数ny x =的图象，已知n 取12,2±±四个值，则相应于曲线1234,,,C C C C 的n 依次为 .4、已知点)2在幂函数()f x 的图象上，点12,4⎛⎫- ⎪⎝⎭在幂函数()g x 的图象上，问x 为何值时，(1)()f x >()g x , (2) ()f x <()g x .。

第二十八课时 幂函数（2）【学习导航】知识网络学习要求 1．了解幂函数的概念，能画出一些简单幂函数图象并了解它们的图形特征；2．掌握判断某些简单函数奇偶性的方法；3．培养学生判断推理的能力，加强数形结合思想，化归转化能力的培养．自学评价1．幂函数的性质：（1）都过点 ；（2）任何幂函数都不过 象限；（3）当0α>时，幂函数的图象过 ．2．幂函数的图象在第一象限的分布规律：（1）在经过点(1,1)平行于y 轴的直线的右侧，按幂指数由小到大的关系幂函数的图象从 到 分布；（2）幂指数的分母为偶数时，图象只在象限；幂指数的分子为偶数时，图象在第一、第二象限关于 轴对称；幂指数的分子、分母都为奇数时，图象在第一、第三象限关于 对称．【精典范例】例1：讨论下列函数的定义域、值域，奇偶性与单调性：（1）5y x = （2）43y x-= （3）54y x =（4）35y x -=（5）12y x -=分析：要求幂函数的定义域和值域，可先将分数指数式化为根式．点评: 熟练进行分数指数幂与根式的互化，是研究幂函数性质的基础．例2：将下列各组数用小于号从小到大排列：（1）2223332.5,( 1.4),(3)--（2）3338420.16,0.5,6.25--1. 图中曲线是幂函数y x α=在第一相限的图象，已知α取12±，2± 四个值，则相应与曲线1C 、2C 、3C 、4C 的α值依次为（ ）()A 2-，12-，12，2 ()B 2，12，12-，2- ()C 12-，2-，2，12()D 2，12，2-，12- 2.给出下列四个函数：13(1)y x =；13(2)y x -=；1(3)y x -=；23(4)y x =，其中定义域和值域相同的是 （写出所有满足条件的函数的序号）3. 比较下列几组数大小（1）131.5，131.7，1；（2）232()2--，2310()7-，431.1-．【选修延伸】一、幂函数性质的运用。

幂函数 使用时间： 【课前检测】 1.函数1)2(log )(+=x x f a 的图象恒过定点
2.函数x x f 2log )(=在区间]2,1[上的值域为
【新课学习】
一、学习目标
1．理解幂函数的概念，比较其与指数函数概念的异同。

2．会画幂函数的图像，掌握幂函数图像的变化情况和相关性质。

3．了解几个常见幂函数的性质。

二、知识点归纳
1.概念：一般地，我们把形如________的函数，称为幂函数，其中____为自变量，___为常数。

2.幂函数的共同特征有：
（1）幂函数的图像都过点________。

（2）幂函数α
x y =，当0>α时，在),0(+∞上为单调____函数，当0<α时，在),0(+∞为单调_____函数。

（3）幂函数的图像一定过第____象限，一定不过第___象限。

三、例题讲解
例题1 画出函数21132,,,,x y x y x y x y x y =====-的图像，写出这些函数的定义域、值域、奇偶性、单调性。

例题2 求下列函数的定义域、值域并指出其奇偶性、单调性。

（1）2-=x y
（2）23x y =
例题3 比较下列各组数的大小
（1）31
312.3____14.3
（2）14.314.3)9.0_____()8.0( （3）112.1____3.1--
（
4）25.027.0)31____()31(
四、课堂检测
1.（1）22x y =，（2）13-=x y ，（3）x
y 1-=，（4）2-=x y ，（5）x y 2=，其中是幂函数的是__________。

五、小结与反思。

江苏省响水中学高中数学 第二章《幂函数》导学案 苏教版必修11.通过实例,了解幂函数的概念,会求幂函数的解析式.2.结合幂函数y=x ,y=x 2,y=x -1,y=的图象,了解它们的变化情况.在初中,我们学过一些特殊图形或几何体的面积和体积公式,它们其实也是函数,如正方形的面积S 关于边长a 的函数是S=a 2,正方形的边长a 关于面积S 的函数是a=,圆的面积S 关于半径R 的函数是S=πR 2,正方体的体积V 关于棱长a 的函数是V=a 3.问题1:(1)把上面的函数的自变量和函数换成字母x 和y 表示后分别是y=x 2,y=,y=πx 2,y=x 3 ,其中符合y=x a形式的函数有 个,分别是 , , .(2)一般地,形如 的函数称为幂函数,其中x 是自变量,α是常数. (3)幂函数的特点是底数是 ,指数是 ,系数是 .问题2:常见的幂函数y=x ,y=x -1,y=x 2,y=x 3,y=的图象和性质是怎样的?函数性质y=x y=x 2y=x 3y=y=x -1定义域 (-∞,+∞) (-∞,+∞) (-∞,+∞) [0,+∞) (-∞,0)∪(0,+∞) 值域 (-∞,+∞)[0,+∞)(-∞,+∞)[0,+∞)(-∞,0) ∪(0,+∞)奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 单调性 增(-∞,0]减,[0,+∞)增增 增(-∞,0)减,(0,+∞)减 定点(0,0),(1,1)(1,1)问题3:幂函数的性质主要有哪些?(1)所有幂函数在(0,+∞)上都有意义,并且图象都过点 .(2)当α>0时,则幂函数的图象都过点 ,并且在区间[0,+∞)上为 ;当α为奇数时,幂函数为 ;当α为偶数时,幂函数为 .(3)当α<0时,则幂函数图象都过点 ,在区间(0,+∞)上是 ,在第一象限内,当x 从右边趋于原点时,图象在y 轴右方无限地逼近 轴,当x 趋向+∞时,图象在x 轴上方无限地逼近 轴.问题4:如何比较两个幂的大小?比较两个幂的大小,需观察两个幂的结构特征.(1)若两个幂的指数相同,构造幂函数,根据函数的 比较大小;(2)若两个幂的底数相同,构造指数函数,利用指数函数的 比较大小;(3)若两个幂的底数和指数均不同,找一个中间幂,使之与一个幂的 ,与另一个幂的 ,分别将此幂与它们比大小.1.下列函数①y=2x 2;②y=x 2+1;③y=;④y=2x,其中是幂函数的是 .2.设α∈{-1,1,,3},则使函数y=x α的定义域为R 且为奇函数的所有α值为 . 3.幂函数f (x )的图象过点(4,2),则f (9)= . 4.求下列幂函数的定义域,并指出其奇偶性. (1)y=x -2;(2)y=.幂函数的概念 已知y=(m 2+2m-2)·+2n-3是幂函数,求m ,n 的值.幂函数单调性的应用比较下列各组数中两个数的大小:(1)()0.5与()0.5;(2)(-)-1与(-)-1;(3)(与(.幂函数的定义域、值域问题求下列函数的定义域和值域.(1)y=;(2)y=.已知函数f(x)=(m2+2m)·,m为何值时,f(x)是:(1)正比例函数;(2)反比例函数;(3)二次函数;(4)幂函数.(1)(-,(-,(-的大小关系为.(2)已知幂函数y=x p-3(p∈N*)的图象关于y轴对称,且在(0,+∞)上是减函数,求满足(a+1<(3-2a的a的取值范围.求下列函数的定义域、值域.①y=x6;②y=;③y=;④y=x-5.1.下列幂函数①y=x-1;②y=;③y=x;④y=x2;⑤y=x3,其中在定义域内为增函数的个数为.2.下列幂函数①y=;②y=x4;③y=x-2;④y=,其中图象过点(0,0),(1,1),且是偶函数的是.3.若幂函数y=(m2+3m-17)·的图象不过原点,则m的值为.4.比较下列各组数的大小:(1)1.,1.,1;(2)3.,3.,(-1.8;(3)31.4,51.5.设a=0.40.5,b=0.60.5,c=0.60.3,则a,b,c的大小关系是.考题变式(我来改编):第8课时幂函数知识体系梳理问题1:(1)3y=x2y=y=x3(2)y=xα(3)x常数 1问题3:(1)(1,1)(2)(0,0),(1,1)增函数奇函数偶函数(3)(1,1)减函数y x问题4:(1)单调性(2)单调性(3)底数相同指数相同基础学习交流1.③根据幂函数的定义知,①②④均不是幂函数,③函数y=化为y=x-2,符合幂函数的定义.2.1,3当α=1,3时,函数y=xα的定义域为R,且为奇函数.当α=-1时,y=的定义域是{x|x∈R且x≠0}.当α=时,y==的定义域是{x|x≥0}.3.3设f(x)=xα,由图象过点(4,2),∴有4α=2,∴α=,∴f(x)=,则f(9)==3.4.解:(1)y=x-2=,定义域是{x|x≠0},是偶函数.(2)y==,定义域是R,是偶函数.重点难点探究探究一:【解析】由题意得解得∴m=-3,n=即为所求.【小结】幂函数的定义同指数函数、对数函数一样,是一种形式定义,其表现形式非常严格.判断一个函数是否为幂函数,关键是看它是否具有幂函数的三个特征:①指数为常数α,且α为任意实常数;②底数为自变量;③系数为1.探究二:【解析】(1)∵幂函数y=x0.5在(0,+∞)上是单调递增的,又>,∴()0.5>()0.5.(2)∵幂函数y=x-1在(-∞,0)上是单调递减的,又-<-,∴(-)-1>(-)-1.(3)∵函数y1=()x为减函数,又>,∴(>(,又∵函数y2=在(0,+∞)上是增函数,且>,∴(>(,∴(>(.【小结】本题是比较大小的基本题,关键在于构造适当的函数,若指数相同而底数不同,则考虑幂函数;若指数不同底数相同,则考虑指数函数;若底数不同,指数也不同,则需引入中间量.利用幂函数与指数函数的单调性,也可以借助幂函数与指数函数的图象.探究三:【解析】(1)y==.定义域为{x|x∈R且x≠0},值域为(0,+∞).(2)y==定义域为(0,+∞),值域为(0,+∞).【小结】当幂函数的指数为分数形式时,需将其转化为根式,利用根式的有关要求求出自变量的取值范围.思维拓展应用应用一:(1)若f(x)为正比例函数,则⇒m=1.(2)若f(x)为反比例函数,则⇒m=-1.(3)若f(x)为二次函数,则⇒m=.(4)若f(x)为幂函数,则m2+2m=1,解得m=-1±.应用二:(1)(->(->(-(1)∵y=,>0,∴y=在(0,+∞)上单调递增.∵<<,∴(<(<(.又∵(-=-(,(-=-(,(-=-(,∴(->(->(-.(2)∵幂函数y=x p-3在(0,+∞)上是减函数,∴p-3<0,∴p<3,又∵p∈N*,∴p=1或2.∵幂函数y=x p-3图象关于y轴对称,∴函数y=x p-3为偶函数,∴p=1.∴(a+1<(3-2a.∵y=在R上是增函数,∴a+1<3-2a,∴a<.即a的取值范围为(-∞,).应用三:①y=x6的定义域为R,值域为[0,+∞).②y==的定义域为R,值域为R.③y==的定义域为[0,+∞),值域为[0,+∞).④y=x-5=的定义域为{x|x∈R且x≠0},值域为{y|y∈R且y≠0}.基础智能检测1.3由幂函数性质知②③⑤在定义域内为增函数.2.②函数y=,y=不是偶函数,故排除①④;函数y=x-2是偶函数,但其图象不过点(0,0),故排除③;函数y=x4的图象过点(0,0),(1,1)且是偶函数,故选②.3.-6由⇒m=-6.4.解:(1)比较幂1.、1.、1的大小就是比较1.、1.、的大小,而函数y=在(0,+∞)上单调递增,且1.7>1.5>1,所以1.>1.>1.(2)利用幂函数和指数函数的单调性可以发现0<3.<1,3.>1,(-1.8<0,从而可以比较出它们的大小,即(-1.8<<3..(3)由于它们的底数和指数都不同且大于1,故可插入一个中间数31.5,利用幂函数和指数函数的单调性可以发现31.4<31.5<51.5,故31.4<51.5.全新视角拓展a<b<c 因为y=x0.5在[0,+∞)上为增函数,且0.4<0.6,所以0.40.5<0.60.5,又y=0.6x在R上为减函数,且0.5>0.3,所以0.60.5<0.60.3,所以a<b<c.。

【教学目标】1.通过观察实例，理解幂函数定义及其基本性质。

2.学会画出幂函数的图像，掌握幂函数的单调性、奇偶性和零点等特点。

3.掌握幂函数的基本变形，包括平移、伸缩、翻折等。

4.能够应用幂函数解决实际问题，并自己撰写幂函数的应用题。

【教学重点】1.掌握幂函数的基本定义及其性质。

2.学会画出幂函数的图像和掌握其特点。

3.掌握幂函数的基本变形。

【教学难点】1.理解幂函数的基本定义及其性质。

2.掌握幂函数的变形方法。

【教学方法】1.归纳法与演绎法相结合。

2.讲授与练习相结合。

3.分类讲解与综合讲解相结合。

【教学过程】一、导入（5分钟）通过学生的生活实例引入幂函数的定义及其性质。

二、讲授幂函数的定义及其性质（20分钟）1.幂函数的定义幂函数是指 x 的某个实数次幂作为自变量，y 作为因变量的函数，可以表示为 y=x^a（a 为常数，且a≠0）。

2.幂函数的基本性质（1）定义域：x∈R（若 a<0，则需要排除 x=0 的情况）。

（2）值域：当 a>0 时，f(x)>0，即 y 轴上端点为原点，向左无限延伸，在第一象限单调递增，在第三象限单调递减。

当 a<0 时，f(x)<0，即 y 轴下端点为原点，同样在第一、三象限单调性不变。

（3）奇偶性：当 a 为整数时，幂函数为偶函数。

当 a 为奇数时，幂函数为奇函数。

（4）单调性：当 a>0 时，幂函数单调递增；当 a<0 时，幂函数单调递减。

（5）零点：当 a>0 时，x=0 是唯一的零点；当 a<0 时，幂函数没有零点。

三、画图分析（20分钟）1.通过示例练习加深学生对幂函数的理解。

例如：画出函数 f(x)=x^2 和 g(x)=x^3 的图像，分析其特点。

2.探究幂函数的单调性、奇偶性和零点等特点。

例如：画出函数 f(x)=x^2 和 g(x)=x^(-1) 的图像，用图像分析它们的单调性、奇偶性和零点等特点。