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函数的表示方法练习1．一个面积为100 cm 2的等腰梯形，上底长为x cm ，下底长为上底长的3倍，则把它的高y 表示成x 的函数为__________．2．下列图形是函数y ＝－|x |(x ∈［－2,2］)的图象的是__________．3．设2()=1x f x x +，则1()f x＝__________． 4．设()2|1|211,=1,111x x f x x x x ---≤≤⎧⎪⎨><-⎪+⎩，或，则1()2f f ⎡⎤⎢⎥⎣⎦等于__________． 5．设()221<0,1=,0<<2,23,2,x x f x x x x +-≤⎧⎪⎪-⎨⎪≥⎪⎩，则3()4f f f ⎧⎫⎡⎤-⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭的值为________，f (x )的定义域是__________． 6．函数23,0,=3,0<1,5,>1x x y x x x x +≤⎧⎪+≤⎨⎪-+⎩的最大值为______．7．已知f (x ＋1)＝x 2－2x，则f ＝__________．8．A 、B 两地相距150 km ，某汽车以每小时50 km 的速度从A 地到B 地，在B 地停留2 h 之后，又以每小时60 km 的速度返回A 地．则该车离开A 地的距离s (km)关于时间t (h)的函数关系式为________．9．作函数y ＝|x ＋3|＋|x －5|的图象，并求出函数的值域．10．如图，梯形OABC 各顶点的坐标分别为O (0,0)，A (6,0)，B (4,2)，C (2,2)．一条与y 轴平行的动直线l 从O 点开始作平行移动，到A 点为止．设直线l 与x 轴的交点为M ，OM ＝x ，记梯形被直线l 截得的在l 左侧的图形的面积为y ．求函数y ＝f (x )的解析式、定义域、值域以及7()2f f⎡⎤⎢⎥⎣⎦的值．参考答案1．答案：50=y x(x ＞0) 2．答案：②3．答案：f (x )4．答案：4135．答案：32 ［－1,0)∪(0，＋∞) 6．答案：47．答案：5-8．答案：5003=1503<5,45060,5<7.5t t s t t t ≤≤⎧⎪≤⎨⎪-≤⎩，，，9．解：因为函数y ＝|x ＋3|＋|x －5|可以化为223835225x x y x x x -+≤-⎧⎪=<<⎨⎪-≥⎩，，，-，，，所以函数的图象如图所示．由图可知函数的值域为［8，＋∞)．10．解：当0≤x ≤2时，图形为等腰直角三角形，此时y ＝12·x ·x ＝12x 2； 当2＜x ≤4时，图形为一个直角梯形，它又可分割成一个等腰直角三角形(确定的)与一个矩形，此时y ＝12×2×2＋(x －2)×2＝2x －2；当4＜x ≤6时， 图形为一个五边形，它可看做是原梯形去掉一个等腰直角三角形(位于直线右侧)， 此时y ＝12×(6＋2)×2－12(6－x )2＝－12x 2＋6x －10．于是()2210222224,1610,4 6.2x x y f x x x x x x ⎧≤≤⎪⎪=-<≤⎨⎪⎪-+-<≤⎩，，=， 并且函数y ＝f (x )的定义域是［0,6］．又当0≤x ≤2时，0≤12x 2≤2； 当2＜x ≤4时，2＜2x －2≤6； 当4＜x ≤6时，6＜－12x 2＋6x －10≤8． 所以函数y ＝f (x )的值域为［0,2］∪(2,6］∪(6,8］，即为［0,8］． 由于72∈(2,4］，故7()2f ＝2×72－2＝5． 又5∈(4,6］，故f (5)＝－12×52＋6×5－10＝152．于是7()2f f ⎡⎤⎢⎥⎣⎦＝f (5)＝152．。
高中数学 2.1.2函数的表示方法(一)配套训练 苏教版必修1一、基础过关1．一个面积为100 cm 2的等腰梯形，上底长为x cm ，下底长为上底长的3倍，则把它的高y 表示成x 的函数为________．2．一水池有2个进水口，1个出水口，进、出水速度如图甲、乙所示．某天0点到6点，该水池的蓄水量如图丙所示．(至少打开一个水口)给出以下3个论断：①0点到3点只进水不出水；②3点到4点不进水只出水；③4点到6点不进水不出水．则正确论断的个数是________．3．如果f (1x )＝x 1－x，则当x ≠0时，f (x )的表达式为________________． 4．一等腰三角形的周长是20，底边长y 是关于腰长x 的函数，则它的解析式为________________．5．如图，函数f (x )的图象是折线段ABC ，其中点A ，B ，C 的坐标分别为(0,4)，(2,0)，(6,4)，则f {f [f (2)]}＝________.6．f (x )为二次函数且f (0)＝3，f (x ＋2)－f (x )＝4x ＋2.试分别求出f (x )的解析式．7．根据已知条件，求函数表达式．(1)已知f (x )＝x 2－4x ＋3，求f (x ＋1)；(2)已知f (x )＝3x 2＋1，g (x )＝2x －1，求f [g (x )]和g [f (x )]．二、能力提升8．已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 1＋x ＝1－x 21＋x 2，则f (x )的解析式为________________． 9．某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于．．6·时再增选一名代表．那么，各班可推选代表人数y 与该班人数x 之间的函数关系用取整函数y ＝[x ]([x ]表示不大于x 的最大整数)可以表示为________． ①y ＝[x 10] ②y ＝[x ＋310] ③y ＝[x ＋410] ④y ＝[x ＋510]10．已知f (x )是一次函数，若f (f (x ))＝4x ＋8，则f (x )的解析式为________________________．11．有一种螃蟹，从海上捕获不放养最多只能存活两天，如果放养在塘内，可以延长存活时间，但每天也有一定数量的蟹死去，假设放养期内蟹的个体重量基本保持不变．现有一经销商，按市场价收购了这种活蟹1 000 kg 放养在塘内，此时市场价为每千克30元．据测算，此后每千克活蟹的市场价每天可上升1元．但是，放养一天需各种费用支出400元，且平均每天还有10 kg 蟹死去，假定死蟹均于当天全部售出，售价都是每千克20元．(1)设x 天后每千克活蟹的市场价为P 元，写出P 关于x 的函数关系式；(2)如果放养x 天后将活蟹一次性出售，并记1 000 kg 蟹的销售总额为Q 元，写出Q 关于x 的函数关系式．三、探究与拓展12．设f (x )是R 上的函数，且满足f (0)＝1，并且对任意实数x ，y ，有f (x －y )＝f (x )－y (2x －y ＋1)，求f (x )的解析式．答案1．y ＝50x (x >0)2．13．f (x )＝1x －14．y ＝20－2x (5<x <10)5．26．解 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，∴f (x ＋2)＝a (x ＋2)2＋b (x ＋2)＋c ，则f (x ＋2)－f (x )＝4ax ＋4a ＋2b ＝4x ＋2.∴⎩⎪⎨⎪⎧ 4a ＝4，4a ＋2b ＝2.∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1. 又f (0)＝3，∴c ＝3，∴f (x )＝x 2－x ＋3.7．解 (1)∵f (x )＝x 2－4x ＋3，∴f (x ＋1)＝(x ＋1)2－4(x ＋1)＋3＝x 2－2x .(2)∵f (x )＝3x 2＋1，g (x )＝2x －1，∴f [g (x )]＝3[g (x )]2＋1＝3(2x －1)2＋1＝12x 2－12x ＋4，∴g [f (x )]＝2[f (x )]－1＝2(3x 2＋1)－1＝6x 2＋1.8．f (x )＝2x1＋x 2(x ≠－1)9．②10．f (x )＝2x ＋83或f (x )＝－2x －811．解 (1)由题意，知P ＝30＋x .(2)由题意知，活蟹的销售额为(1 000－10x )(30＋x )元．死蟹的销售额为200x 元． ∴Q ＝(1 000－10x )(30＋x )＋200x＝－10x 2＋900x ＋30 000.12．解 因为对任意实数x ，y ，有f (x －y )＝f (x )－y (2x －y ＋1)，所以令y ＝x ，有f (0)＝f (x )－x (2x －x ＋1)，即f (0)＝f (x )－x (x ＋1)．又f (0)＝1，∴f (x )＝x (x ＋1)＋1＝x 2＋x ＋1.。
苏教版必修1《5.2 函数的表示方法》同步练习卷一、选择题1. 设f(x)={1−√x，x≥02x，x<0，则f（f(−2)）=()A.−1B.14C.12D.322. 已知函数f(x)的图象是两条线段（如图所示，不含端点），则f[f(13)]＝（）A.−13B.13C.−23D.233. 设f(x)={1,x>0，0,x=0，−1,x<0，g(x)={1，x为有理数0，x为无理数，则f（g(π)）的值为（）A.1B.0C.−1D.π4. 函数f(x)=ax+b(x+c)2的图象如图所示，则下列结论成立的是()A.a>0，b>0，c<0B.a<0，b>0，c>0C.a<0，b>0，c<0D.a<0，b<0，c<05. 设函数f(x)={3x −b,x <12x ，x ≥1，若f [f (56)]=4，则b =（ ） A.1 B.78C.34D.12二、填空题已知f(1−x1+x )＝x ，则f(x)＝________．函数y ={x 2+1(x ≤0)−2x(x >0) ，使函数值为5的x 的值是________．若函数f(x)满足关系式f(x)+2f(1x )=3x ，则f(2)的值为________． 三、解答题二次函数f(x)满足且f(0)＝0，且对任意x ∈R 总有f(x +1)＝f(x)+x +1，求f(x)的解析式．设f(x)={x +2(x ≤−1)，x 2(−1<x <2)，2x(x ≥2).(1)在直角坐标系中画出f(x)的图象；(2)若f(t)=3，求t 值． 四、选择题如图，函数f(x)的图象是折线段ABC ，其中点A ，B ，C 的坐标分别为(0, 4)，(2, 0)，(6, 4)，则f{f[f(2)]}= ( )A.0B.2C.4D.6已知f(x)={x−5(x≥6)f(x+2)(x<6)，则f(3)的值为________．已知f(x)满足f(x)+3f(−x)＝x2−3x，则f(x)＝________x24+32x．某公司规定，职工入职工资为2000元每月，以后三年中，每年的月工资是上一月的2倍，3年以后按月薪144000元计算，试用列表，图象，解析式3种不同的形式表示该公司某职工前5年中，月工资y（元）（年薪按12个月平均计算）和年份序号x的函数关系，并指出该函数的定义域和值域．参考答案与试题解析苏教版必修1《5.2 函数的表示方法》同步练习卷一、选择题 1.【答案】 C【考点】 函数的求值 【解析】利用分段函数的性质求解． 【解答】解：∵ {1−√x ，x ≥0，2x ，x <0∴ f(−2)=2−2=14，f （f(−2)）=f(14)=1−√14=12．故选C . 2. 【答案】 B【考点】函数的图象与图象的变换分段函数的解析式求法及其图象的作法 函数单调性的性质与判断【解析】先根据函数的图象利用分段函数写出函数的解析式，再根据所求由内向外逐一去掉括号，从而求出函数值． 【解答】由图象知f(x)={x +1(−1<x <0)x −1(0<x <1)∴ f(13)=13−1=−23，∴ f(f(13))=f(−23)=−23+1=13． 3.【答案】 B【考点】 函数的求值 【解析】根据π是无理数可求出g(π)的值，然后根据分段函数f(x)的解析式可求出f （g(π)）的值． 【解答】解：∵ π是无理数， ∴ g(π)=0，则f （g(π)）=f(0)=0 故选B ． 4.【答案】 C【考点】函数的图象与图象的变换 函数的零点【解析】分别根据函数的定义域，函数零点以及f(0)的取值进行判断即可． 【解答】解：函数在P 处无意义，由图象看P 在y 轴右边， 所以−c >0，得c <0， 由图象可知，f(0)=bc 2>0， ∴ b >0，由f(x)=0得ax +b =0，即x =−ba ，即函数的零点x =−ba >0， ∴ a <0，综上a <0，b >0，c <0. 故选C . 5. 【答案】 D【考点】 函数的零点 函数的求值 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：由题意，f (56)=3×56−b =52−b ．由f [f (56)]=4，得{52−b <1，3(52−b)−b =4或{52−b ≥1，252−b−b =4.解得b =12． 故选D ． 二、填空题 【答案】1−x 1+x，(x ≠−1)【考点】函数解析式的求解及常用方法 【解析】 换元法：令t =1−x 1+x，解出x 关于t 的式子，得到f(t)关于t 的表达式，从而得出f(x)的解析式． 【解答】 ∵1−x 1+x=−1+21+x，∴1−x 1+x≠−1令t =1−x 1+x ，(t ≠−1)，则t +tx ＝1−x ，可得x =1−t 1+t∵ f(1−x1+x )=x ∴ f(t)=1−t1+t ．即函数解析式为：f(x)=1−x1+x ，(x ≠−1) 【答案】 −2【考点】 函数的求值分段函数的解析式求法及其图象的作法 求函数的值【解析】根据分段函数的分段标准进行分类讨论，分别建立方程，求出满足条件的x 即可． 【解答】①当x ≤0时，x 2+1＝5解得x ＝−2 ②当x >0时，−2x ＝5解得x =−52（舍去） 综上所述，x ＝−2， 【答案】 −1【考点】 函数的求值 【解析】由函数f(x)满足关系式f(x)+2f(1x)=3x ，分别令x =2和x =12，利用加减消元法，可得答案． 【解答】解：∵ f(x)+2f(1x )=3x ， ∴ f(2)+2f(12)=6，①, f(12)+2f(2)=32，②,②×2−①得：3f(2)=−3， 故f(2)=−1. 故答案为：−1. 三、解答题【答案】由题意：f(x)是二次函数，设f(x)＝ax 2+bx +c ， ∵ f(0)＝0， ∴ c ＝0，则f(x)＝ax 2+bx ，∵ f(x +1)＝f(x)+x +1，即a(x +1)2+b(x +1)＝ax 2+x(b +1)+1 由：{2a +b =b +1a +b =1 ，解得{a =12b =12 ． 故得f(x)的解析式为：f(x)=12x 2+12x ，【考点】函数解析式的求解及常用方法 【解析】f(x)是二次函数，设出解析式，利用待定系数法求解． 【解答】由题意：f(x)是二次函数，设f(x)＝ax 2+bx +c ， ∵ f(0)＝0， ∴ c ＝0，则f(x)＝ax 2+bx ，∵ f(x +1)＝f(x)+x +1，即a(x +1)2+b(x +1)＝ax 2+x(b +1)+1 由：{2a +b =b +1a +b =1 ，解得{a =12b =12 ． 故得f(x)的解析式为：f(x)=12x 2+12x ， 【答案】 解：(1)如图(2)由函数的图象可得：f(t)=3, 即t 2=3且−1<t <2． ∴ t =√3.【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法 函数的求值 【解析】由分段函数，按照基本函数作图，第一段一次函数，第二次二次函数，第三次为一次函数，要注意每段的定义域．【解答】解：(1)如图(2)由函数的图象可得：f(t)=3,即t2=3且−1<t<2．∴t=√3.四、选择题【答案】B【考点】函数的求值【解析】结合函数的性质和图象求解．【解答】解：∵函数f(x)的图象是折线段ABC，其中点A，B，C的坐标分别为(0, 4)，(2, 0)，(6, 4)，∴f(2)=0，f[f(2)]=f(0)=4，f{f[f(2)]}=f(4)=2．故选B．【答案】2【考点】函数的求值求函数的值【解析】由题意得f(3)＝f(5)＝f(7)，故f(7)为所求．【解答】∵f(x)={x−5(x≥6)f(x+2)(x<6)，则f(3)＝f(5)＝f(7)＝7−5＝2，【答案】x2 4+3 2x【考点】函数解析式的求解及常用方法【解析】由f(x)+3f(−x)＝x2−3x，可得f(−x)+3f(x)＝x2+3x．联立解得f(x)即可．【解答】用−x替换原式中的x得，f(−x)+3f(x)＝x2+3x，联立f(x)+3f(−x)＝x2−3x，消去f(−x)，得f(x)=x 24+32x．【答案】由题意，可得解析式：y={2000,x=1 4000,x=2 8000,x=3 144000,x=4,5，函数的定义域{1, 2, 3, 4, 5}，值域{2000, 4000, 8000, 14400}．【考点】根据实际问题选择函数类型【解析】根据题意，可得函数解析式、列表，图象的表示，可得该函数的定义域和值域．【解答】由题意，可得解析式：y={2000,x=1 4000,x=2 8000,x=3 144000,x=4,5，函数的定义域{1, 2, 3, 4, 5}，值域{2000, 4000, 8000, 14400}．。
学业分层测评(建议用时：45分钟)学业达标]一、填空题1．函数f (x )与g (x )的对应关系如下表：则gf (－1)]的值为【解析】 由列表法表示的函数可知f (－1)＝1，g (1)＝0，则gf (－1)]的值为0.【答案】 02．已知函数F (x )＝f (x )＋g (x )，其中f (x )是x 的正比例函数，g (x )是x 的反比例函数，且F ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝16，F (1)＝8，则F (x )的解析式为________．【解析】 设f (x )＝kx (k ≠0)，g (x )＝mx (m ≠0)， 则F (x )＝kx ＋mx . 由F ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝16，F (1)＝8，得⎩⎨⎧13k ＋3m ＝16，k ＋m ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝3，m ＝5，所以F (x )＝3x ＋5x . 【答案】 F (x )＝3x ＋5x图2-1-63．已知函数f (x )的图象是两条线段(如图2-1-6，不含端点)，则 f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝________. 【解析】 由图象知，当－1＜x ＜0时，f (x )＝x ＋1， 当0＜x ＜1时，f (x )＝x －1， ∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，－1＜x ＜0，x －1，0＜x ＜1，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝13－1＝－23， ∴f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＝－23＋1＝13. 【答案】 134．函数f (x )＝⎩⎨⎧2x 2，0≤x <1，2，1≤x <2，3，x ≥2的值域是________．【解析】 当0≤x <1时，f (x )＝2x 2∈0,2)；当1≤x <2时，f (x )＝2；当x ≥2时，f (x )＝3.【答案】 {y |0≤y ≤2或y ＝3}5．设函数f ⎝⎛⎭⎪⎫1－x 1＋x ＝x ，则f (x )＝________. 【解析】 设t ＝1－x 1＋x ，∴x ＝1－t 1＋t ，∴f (t )＝1－t1＋t ，∴f (x )＝1－x1＋x.【答案】1－x1＋x6．已知函数y ＝⎩⎨⎧x 2＋1(x ≤0)，－2x (x >0)，使函数值为5的x 的值是________．【解析】若x 2＋1＝5，则x 2＝4，又∵x ≤0，∴x ＝－2；若－2x ＝5，则x ＝－52，与x >0矛盾，故答案为－2.【答案】 －27．若函数f (x )满足关系式f (x )＋2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝3x ，则f (2)的值为________.【导学号：37590025】【解析】 把x ＝2代入得f (2)＋2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝6，把x ＝12代入得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋2f (2)＝32，解方程组可得f (2)＝－1.【答案】 －18．已知f (x )＝⎩⎨⎧1，x ≥0，－1，x <0，则不等式x ＋(x ＋2)·f (x ＋2)≤5的解集是________．【解析】 当x ＋2≥0，即x ≥－2时，f (x ＋2)＝1，则有x ＋x ＋2≤5，得－2≤x ≤32；当x ＋2<0，即x <－2时，f (x ＋2)＝－1，则有x －x －2≤5，不等式恒成立，综上可知，x ≤32.【答案】 ⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，32 二、解答题9．已知二次函数f (x )满足f (0)＝0，且对任意x ∈R 总有f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，求f (x )．【解】 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， ∵f (0)＝c ＝0，∴f (x ＋1)＝a (x ＋1)2＋b (x ＋1) ＝ax 2＋(2a ＋b )x ＋a ＋b ， f (x )＋x ＋1＝ax 2＋bx ＋x ＋1 ＝ax 2＋(b ＋1)x ＋1. ∴⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝b ＋1，a ＋b ＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝12.∴f (x )＝12x 2＋12x .10．设f (x )＝⎩⎨⎧x ＋2(x ≤－1)，x 2(－1<x <2)，2x (x ≥2)，(1)在下列直角坐标系中画出f (x )的图象；图2-1-7(2)若f (t )＝3，求t 值． 【解析】 (1)如图(2)由函数的图象可得：f (t )＝3即t 2＝3且－1＜t ＜2，∴t ＝ 3.能力提升]1．如图2-1-8，函数f (x )的图象是折线段ABC ，其中点A ，B ，C 的坐标分别为(0,4)，(2,0)，(6,4)，则f {ff (2)]}＝________.图2-1-8【解析】 由题意可知f (2)＝0，f (0)＝4，f (4)＝2. 因此，有f {ff (2)]}＝ff (0)]＝f (4)＝2. 【答案】 22．已知f (x )＝⎩⎨⎧x －5(x ≥6)，f (x ＋2)(x <6)，则f (3)＝________. 【导学号：37590026】【解析】 由函数解析式可知f (3)＝f (5)＝f (7)＝2. 【答案】 23．已知f (x )满足f (x )＋3f (－x )＝x 2－3x ，则f (x )＝________. 【解析】用－x 替换原式中的x 得f (－x )＋3f (x )＝x 2＋3x ， 联立f (x )＋3f (－x )＝x 2－3x ， 消去f (－x )得f (x )＝x 24＋32x . 【答案】 x 24＋32x4．某公司规定：职工入职工资为2 000元/月．以后2年中，每年的月工资是上一年月工资的2倍，3年以后按年薪144 000元计算．试用列表、图象、解析式三种不同的形式表示该公司某职工前5年中，月工资y (元)(年薪按12个月平均计算)和年份序号x 的函数关系，并指出该函数的定义域和值域．【解】 由题意，前3年的月工资分别为2 000元，4 000元，8 000元，第4年和第5年的月工资平均为：144 00012＝12 000.当年份序号为x 时，月工资为y 元，则用列表法表示为：年份序号x (年) 1 2 3 4 5 月工资y (元) 2 0004 0008 00012 00012 000图象法表示为：其解析式为：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2 000×2x －1，x ∈{1，2，3}，12 000，x ∈{4，5}.由题意，该函数的定义域为{1,2,3,4,5}，值域为{2 000，4 000,8 000,12 000}．。
课后导练基础达标1.已知f(x)=⎩⎨⎧<+-≥+,01,012x x x x 则f ［f(-1)］值为（ ） A.5 B.2 C.-1 D.-2解析：由题意知f(-1)=-(-1)+1=2 ∴f ［f(-1)］=f(2)=22+1=5，故选A.答案：A2.已知f(x)=⎩⎨⎧<+≥-,6)2(,64x x f x x 则f(3)等于（ ）A.1B.2C.3D.4解析：f(3)=f(3+2)=f(5+2)=7-4=3.故选C.答案：C3.下列图中可作为函数y=f(x)的图象的是( )解析：由函数的定义知选D.答案：D4.已知正方形周长为x ，它的外接圆的半径为y ，则y 关于x 的函数解析式是( )A.y=21x B.y=42x C.y=82x D.y=162x 解析：正方形周长为x ，则其边长为4x ，由解直角三角形可得y=22·4x =82x ，故选C. 答案：C5.某厂日产手套总成本y （元）与手套日产量x （双）的关系为y=5x+4 000，而厂子出售手套每双10元，若要保证不亏本，日产量应为( )A.2 000双B.4 000双C.600双D.800双 解析：设刚好生产x 双不亏本，则有10x ≥5x+4 000,则x ≥800，故选D.答案：D6.已知f(x)=⎩⎨⎧>-≤+),0(2)0(12x x x x 若f(x)=10，则x=_____________.解析：易知x ≤0.∴x 2+1=10，x=-3.答案：-37.若f(x-1)=2x+5，则f(x 2)=___________.解析：令x-1=t ，则x=t+1,f(t)=2(t+1)+5=2t+7,∴f(x 2)=2x 2+7.答案：2x 2+78.将函数y=122++x x +2|x+2|改写为分段函数.解析：y=122++x x +2|x+2| =2)1(-x +2|x+2|=|x-1|+2|x+2|,要去掉绝对值需对1与-2两点分数轴所成的三部分讨论，当x<-2时，y=1-x-2(x+2)=-3x-3，当-2≤x ≤1时，y=1-x+2(x+2)=x+5，当x>1时，y=x-1+2(x+2)=3x+3，∴原函数可化为y=⎪⎩⎪⎨⎧>+≤≤-+-<--.133,125,233x x x x x x x 9.植物园要建形状为直角梯形的苗圃，两邻边借用夹角为135°的两面墙，另两边总长为30米，设垂直于底边的腰长为x 米，则苗圃面积S 关于x 的函数解析式.解析：设直角梯形的垂直于底的腰为x ，则下底为（30-x ）米，过135°角的顶点向底边作垂线，由等腰直角三角形知上底为（30-2x ）米,∴S=2)30()230(x x -+-x=-23x 2+30x ，因为要构成的图形为梯形而不是三角形 ， ∴0<x<15.10.若f{f ［f(x)］}=27x+26,求一次函数f(x)的解析式.解析：设f(x)=ax+b,f ［f(x)］=a 2x+ab+b,f{f ［（x)］}=a(a 2x+ab+b)+b=a 3x+a 2b+ab+b,∴⎪⎩⎪⎨⎧=++=,26,2723b ab b a a 解得a=3,b=2. 若a=3,b=2,则f(x)=3x+2,f ［f(x)］=3(3x+2)+2=9x+8,f{f ［（x)］}=3(9x+8)+2=27x+26.∴a=3,b=2,f(x)=3x+2为所求.综合训练11.已知函数f(x)=⎩⎨⎧<-≥1,1x x x x 奇函数g(x)在x=0处有定义，且x<0时，g(x)=x(1+x),则方程f(x)+g(x)=f(x)·g(x)的解的个数有（ ）A.4个B.3个C.2个D.1个解析：当x>0时，-x<0,g(x)=-g(-x)=x(1-x),且g(0)=0,∴f(x)+g(x)=⎪⎩⎪⎨⎧≥-+<<-+-≤++-,1)1(,10)1(,0)1(x x x x x x x x x x x x 即f(x)+g(x)=⎪⎩⎪⎨⎧≥-<<-≤,12,10,0222x x x x x x x f(x)·g(x)=⎪⎩⎪⎨⎧≥-<<--≤+-.1)1(,10)1(,0)1(222x x x x x x x x x当x ≤0时，x 2=-x 2(1+x),x 2(2+x)=0得x=0或x=-2；当0<x<1时，-x 2=-x 2(1-x),x 3=0,无解；当x ≥1时，2x-x 2=x 2(1-x),x(x 2-2x+2)=0,无解.∴方程共有两个解.答案：C12.在x 克a%的盐水中，加入y 克b%的盐水，浓度变成c%，则x 与y 的函数关系式为（ ） A.y=b c a c --x B.y=c b a c --x C.y=c a c b --x D.y=ac c b --x 解析：据配制前后溶质不变，有a%·x+b%·y=c%·(x+y)，即ax+by=cx+cy ，故y=c b a c --x. 答案：B13.已知f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧<=>+,00,0,01x x x x π则f ［f(-1)］=_______________. 解析：f(-1)=0,当x=0时，f(0)=π.答案：π14.已知f(2x-1)=4x 2-2x ，则f(x)=____________,f(1)=___________.解析：f(2x-1)=4x 2-2x,令t=2x-1 ∴x=21+t ,∴f(t)=4(21+t )2-2·21+t =t 2+t, ∴f(x)=x 2+x.∴f(1)=1+1=2.答案：x 2+x 215.如果函数f(x)满足方程af(x)+f(x1)=ax,x ∈R ，且x ≠0，a 为常数，且a ≠±1则f(x)的解析式是什么？ 解析：∵af(x)+f(x1)=ax, ① 将x 换成x 1，则x 1换成x ，得af(x1)+f(x)=ax, ② 由①②消去f(x1), 即①×a-②得（a 2-1）f(x)=a 2x-x a . ∵a ≠±1,∴f(x)=122--a x ax a ， 即f(x)=xa ax a )1()1(22--(x ∈R ，且x ≠0）. 拓展提升16.A 、B 两地相距150千米，某汽车以每小时50千米的速度从A 地到B 地，在B 地停留2小时之后，又以每小时60千米的速度返回A 地.（1）写出该车离开A 地的距离s （千米）关于时间t （小时）的函数关系，并画出图象；（2）求车开出6小时后，车离开A 地的距离.解析：（1）由50 t=150得t 1=3.由60 t=150，得t 2=25.∴当0≤t ≤3时，s=50 t ； 当3<t ≤5时，s=150；当5<t ≤7.5时，s=150-60（t-5)=-60t+450.∴所求函数关系式为s=⎪⎩⎪⎨⎧∈+-∈∈].5,7,5(45060],5,3(150],3,0[50t t t t t图象如下图所示.（2）当t=6时，s=150-60（6-5）=90(千米），即车开出6小时后，车离开A 地的距离为90千米.。
[学生用书P91(单独成册)][A基础达标]1．设f(x)＝2x＋3，g(x)＝f(x－2)，则g(x)等于()A．2x＋1B．2x－1C．2x－3D．2x＋7解析：选B.因为f(x)＝2x＋3，所以f(x－2)＝2(x－2)＋3＝2x－1，即g(x)＝2x－1，故选B.2．已知函数f(x－1)＝x2－3，则f(2)的值为()A．－2 B．6C．1 D．0解析：选B.法一：令x－1＝t，则x＝t＋1，所以f(t)＝(t＋1)2－3，所以f(2)＝(2＋1)2－3＝6.法二：f(x－1)＝(x－1)2＋2(x－1)－2，所以f(x)＝x2＋2x－2，所以f(2)＝22＋2×2－2＝6.法三：令x－1＝2，所以x＝3，所以f(2)＝32－3＝6.3．已知函数y＝f(x)的对应关系如表所示，函数y＝g(x) 的图象是如图的曲线ABC，其中A(1，3)，B(2，1)，C(3，2)，则f(g(2))的值为()x 123f(x)230A.3C．1 D．0解析：选B.由函数g(x)的图象知，g(2)＝1，则f (g (2))＝f (1)＝2.4．已知f (x )是一次函数，且满足3f (x ＋1)＝2x ＋17，则f (x )等于( ) A.23x ＋5 B ．23x ＋1C ．2x －3D ．2x ＋1解析：选A.因为f (x )是一次函数， 所以设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，由3f (x ＋1)＝2x ＋17，得3[a (x ＋1)＋b ]＝2x ＋17， 整理得3ax ＋3(a ＋b )＝2x ＋17， 所以⎩⎪⎨⎪⎧3a ＝2，3（a ＋b ）＝17，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝23，b ＝5，所以f (x )＝23x ＋5，故选A.5．一水池有2个进水口，1个出水口，进出水速度如图甲、乙所示．某天0点到6点，该水池的蓄水量如图丙所示．(至少打开一个水口)给出以下3个论断：①0点到3点只进水不出水；②3点到4点不进水只出水；③4点到6点不进水不出水． 则正确论断的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析：选B.由题意可知在0点到3点这段时间，每小时进水量为2，即2个进水口同时进水且不出水，所以①正确；从丙图可知3点到4点水量减少了1，所以应该是有一个进水口进水，同时出水口也出水，故②错；当两个进水口同时进水，出水口也同时出水时，水量保持不变，故③错．6.已知函数y ＝f (x )的图象如图所示，则f (x )的值域为________．解析：观察图象可得y 的取值范围为[0，1]． 答案：[0，1]7．已知正方形的周长为x ，它的外接圆的半径为y ，则y 关于x 的解析式为________． 解析：正方形边长为x 4，而(2y )2＝⎝⎛⎭⎫x 42＋⎝⎛⎭⎫x 42，所以y 2＝x 232.所以y ＝x 42＝28x .答案：y ＝28x 8．某单位为鼓励职工节约用水，作出了如下规定：每位职工每月用水不超过10立方米的，按每立方米m 元收费．用水超过10立方米的，超过部分按每立方米 2m 元收费．某职工某月缴水费16m 元，则该职工这个月实际用水为________．解析：该单位职工每月应缴水费y 与实际用水量x 满足的关系式为y ＝⎩⎨⎧mx ，0≤x ≤10，2mx －10m ，x ＞10.由y ＝16m ，可知x ＞10.令2mx －10m ＝16m ， 解得x ＝13(立方米)． 答案：13立方米9.已知函数p ＝f (m )的图象如图所示．求： (1)函数p ＝f (m )的定义域； (2)函数p ＝f (m )的值域；(3)p 取何值时，只有唯一的m 值与之对应．解：(1)观察函数p ＝f (m )的图象，可以看出图象上所有点的横坐标的取值范围是－3≤m ≤0或1≤m ≤4，由图知定义域为[－3，0]∪[1，4]．(2)由图知值域为[－2，2]．(3)由图知：p ∈(0，2]时，只有唯一的m 值与之对应．10.如图，动点P 从边长为4的正方形ABCD 的顶点B 开始，顺次经C 、D 、A 绕边界运动，用x 表示点P 的行程，y 表示△APB 的面积，求函数y ＝f (x )的解析式．解：当点P 在BC 上运动， 即0≤x ≤4时，y ＝12×4x ＝2x ；当点P 在CD 上运动，即4<x ≤8时，y ＝12×4×4＝8；当点P 在DA 上运动，即8<x ≤12时， y ＝12×4×(12－x )＝24－2x . 综上可知，f (x )＝⎩⎨⎧2x ，0≤x ≤4，8，4<x ≤8，24－2x ，8<x ≤12.[B 能力提升]1．设f (x )＝2x ＋a ，g (x )＝14(x 2＋3)，且g (f (x ))＝x 2－x ＋1，则a 的值为( )A ．1B ．－1C ．1或－1D ．1或－2解析：选B.因为g (x )＝14(x 2＋3)，所以g (f (x ))＝14[(2x ＋a )2＋3]＝14(4x 2＋4ax ＋a 2＋3)＝x 2－x ＋1，求得a ＝－1.故选B.2．已知等腰三角形的周长为24，它的底边y 与腰长x 的函数解析式为________． 解析：因为2x ＋y ＝24，所以y ＝24－2x .因为⎩⎪⎨⎪⎧24－2x >0，2x >24－2x ，所以6<x <12.故解析式为y ＝24－2x ，x ∈(6，12)． 答案：y ＝24－2x ，x ∈(6，12)3．设f (x )是R 上的函数，且满足f (0)＝1，并且对任意实数x ，y ，有f (x －y )＝f (x )－y (2x －y ＋1)，求f (x )的表达式．解：法一：由f (0)＝1， f (x －y )＝f (x )－y (2x －y ＋1)，设x ＝y ，得f (0)＝f (x )－x (2x －x ＋1)． 因为f (0)＝1，所以f (x )－x (2x －x ＋1)＝1， 即f (x )＝x 2＋x ＋1.法二：令x ＝0，得f (0－y )＝f (0)－y (－y ＋1)， 即f (－y )＝1－y (－y ＋1)． 再令－y ＝x ，代入上式，得f (x )＝1－(－x )(x ＋1)＝1＋x (x ＋1)． 即f (x )＝x 2＋x ＋1.4．(选做题)如图，已知底角为45°的等腰梯形ABCD ，底边BC 长为7 cm ，腰长为2 2 cm ，且AG ⊥BC ，DH ⊥BC ，当垂直于底边BC (垂足为F )的直线l 从左至右移动(与梯形ABCD 有公共点)时，直线l 把梯形分成两部分，令BF ＝x ，试写出l 左侧图形的面积y 关于x 的函数解析式，并画出大致图象．解：因为四边形ABCD 是等腰梯形， 底角为45°，AB ＝2 2 cm ， 所以BG ＝AG ＝DH ＝HC ＝2 cm. 又BC ＝7 cm ，所以AD ＝GH ＝3 cm.①当点F 在BG 上时，即x ∈(0，2]时，y ＝12x 2；②当点F 在GH 上时，即x ∈(2，5]时，y ＝12×2×2＋2(x －2)＝2x －2；③当点F 在HC 上时，即x ∈(5，7]时， y ＝S 五边形ABFED ＝S 梯形ABCD －S Rt △CEF ＝12(7＋3)×2－12(7－x )2 ＝－12(x －7)2＋10.综上，l 左侧图形的面积y ＝⎩⎨⎧12x 2，x ∈（0，2]，2x －2，x ∈（2，5]，－12（x －7）2＋10，x ∈（5，7].其图象如图．。
第2章 函数2.1 函数的概念2.1.2 函数的表示方法A 级 基础巩固1．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧10，x ＜0，10x ，x ≥0，则f (f (－7))的值为( )A ．100B ．10C ．－10D ．－100解析：因为f (x )＝⎩⎨⎧10，x ＜0，10x ，x ≥0，所以f (－7)＝10.f (f (－7))＝f (10)＝10×10＝100.答案：A2．函数f (x )＝cx 2x ＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫x ≠－32满足f (f (x ))＝x ，则常数c 等于() A ．3 B ．－3C ．3或－3D ．5或－3解析：f (f (x ))＝c ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫cx 2x ＋32⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫cx 2x ＋3＋3＝c 2x 2cx ＋6x ＋9＝x ，即x [(2c ＋6)x ＋9－c 2]＝0，所以⎩⎨⎧2c ＋6＝0，9－c 2＝0，解得c ＝－3. 答案：B3．如果二次函数的图象开口向上且关于直线x ＝1对称，且过点(0，0)，则此二次函数的解析式可以是( )A ．f (x )＝x 2－1B ．f (x )＝－(x －1)2＋1C ．f (x )＝(x －1)2＋1D ．f (x )＝(x －1)2－1解析：由题意设f (x )＝a (x －1)2＋b (a ＞0)，由于点(0，0)在图象上，所以a ＋b ＝0，a ＝－b ，故符合条件的是D.答案：D4．某同学从家里赶往学校，一开始乘公共汽车匀速前进，在离学校还有少许路程时，改为步行匀速前进到校．下列图形纵轴表示该同学与学校的距离s ，横轴表示该同学出发后的时间t ，则比较符合该同学行进实际的是( )解析：依题意：s 表示该同学与学校的距离，t 表示该同学出发后的时间，当t ＝0时，s 最远，排除A 、B ，由于汽车速度比步行快，因此前段迅速靠近学校，后段较慢．故选D.答案：D5．g (x )＝1－2x ，f (g (x ))＝1－x 2x 2(x ≠0)，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝( ) A ．1 B ．3 C ．15 D ．30解析：由g (x )＝12得：1－2x ＝12⇒x ＝14， 代入1－x 2x 2得：1－⎝ ⎛⎭⎪⎫142⎝ ⎛⎭⎪⎫142＝15. 答案：C6．(2015·陕西卷)设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－x ，x ≥0，x 2，x ＜0，则f (f (－2))＝( ) A ．－1 B.14 C.12 D.32解析：f (－2)＝(－2)2＝4.所以f (f (－2))＝f (4)＝1－4＝－1.答案：A7．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋3x ，x ≤0，2，x >0，则方程f (x )＝x 的解的个数为________．解析：x >0时，x ＝f (x )＝2；x ≤0时，x 2＋3x ＝x ⇒x ＝0或－2. 答案：38.如图所示，函数f (x )的图象是折线段ABC ，其中点A ，B ，C 的坐标分别为(0，4)，(2，0)，(4，2)，则f (f (f (2))＝________．解析：由图象及已知条件知f (2)＝0，即f (f (f (2)))＝f (f (0))，又f (0)＝4，所以f (f (0))＝f (4)＝2.答案：29．若某汽车以52 km/h 的速度从A 地驶向260 km 远处的B 地，在B 地停留32h 后，再以65 km/h 的速度返回A 地．则汽车离开A 地后行走的路程s 关于时间t 的函数解析式为________________．解析：因为260÷52＝5(h)，260÷65＝4(h)，所以s ＝⎩⎪⎨⎪⎧52t ，0≤t ＜5，260，5≤t ≤132，260＋65⎝⎛⎭⎪⎫t －132，132＜t ≤212. 答案：s ＝⎩⎪⎨⎪⎧52t ，0≤t ＜5，260，5≤t ≤132，260＋65⎝⎛⎭⎪⎫t －132，132＜t ≤21210．设f (x )＝⎩⎨⎧x ＋1，x ≥0，1x ，x ＜0.若f (a )＞a ，则实数a 的取值范围是________．解析：当a ≥0时，f (a )＝a ＋1＞a 恒成立．当a ＜0时，f (a )＝1a＞a ，所以a ＜－1. 综上a 的取值范围是a ≥0或a ＜－1.答案：{a |a ≥0或a ＜－1}11．已知二次函数满足f (3x ＋1)＝9x 2－6x ＋5，求f (x )．解：设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，则f (3x ＋1)＝a (3x ＋1)2＋b (3x ＋1)＋c ＝9ax 2＋(6a ＋3b )x ＋a ＋b ＋c .因为f (3x ＋1)＝9x 2－6x ＋5，所以9ax 2＋(6a ＋3b )x ＋a ＋b ＋c ＝9x 2－6x ＋5.比较两端系数，得⎩⎪⎨⎪⎧9a ＝9，6a ＋3b ＝－6，a ＋b ＋c ＝5⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－4，c ＝8.所以f (x )＝x 2－4x ＋8.12．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2（－1≤x ≤1），1（x ＞1或x ＜－1）. (1)画出f (x )的图象；(2)求f (x )的定义域和值域．解：(1)利用描点法，作出f (x )的图象，如图所示．(2)由条件知，函数f (x )的定义域为R.由图象知，当－1≤x ≤1时，f (x )＝x 2的值域为[0，1]，当x ＞1或x ＜－1时，f (x )＝1，所以f (x )的值域为[0，1]．B 级 能力提升13．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2，x ＜1，x 2＋ax ，x ≥1.若f (f (0))＝4a ，则实数a 的值为( )A ．2B ．1C ．3D ．4解析：易知f (0)＝2，所以f (f (0))＝f (2)＝4＋2a ＝4a ，所以a ＝2. 答案：A14．任取x 1，x 2∈[a ，b ]且x 1≠x 2，若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22＞12[f (x 1)＋f (x 2)]，则f (x )在[a ，b ]上是凸函数，在以下图象中，是凸函数的图象是( )解析：只需在图形中任取自变量x 1，x 2，分别标出它们对应的函数值及x 1＋x 22对应的函数值，并观察它们的大小关系即可． 答案：D15．根据统计，一名工人组装第x 件某产品所用的时间(单位：分钟)为f (x )＝⎩⎨⎧C x ，x <A ，C A ，x ≥A ，A ，C 为常数．已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A 件产品用时15分钟，那么C 和A 的值分别是( ) A ．75，25B ．75.16C ．60，25D ．60，16解析：由条件可知，x ≥A 时所用时间为常数，所以组装第4件产品用时必须满足第一段分段函数，即f (4)＝C 4＝30⇒C ＝60， f (A )＝60A＝15⇒A ＝16. 答案：D16．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4，0≤x ≤2，2x ，x ＞2. (1)求f (2)，f (f (2))的值；(2)若f (x 0)＝8，求x 0的值．解：(1)因为0≤x ≤2时，f (x )＝x 2－4，所以f (2)＝22－4＝0，f (f (2))＝f (0)＝02－4＝－4.(2)当0≤x 0≤2时，由x 20－4＝8，得x 0＝±23∉[0，2]，故无解． 当x 0＞2时，由2x 0＝8，得x 0＝4.因此f (x 0)＝8时，x 0的值为4.17．某市出租车的计价标准是：4 km 以内10元，超过4 km 且不超过18 km 的部分1.2 元/km ，超过18 km 的部分1.8 元/km.(1)如果不计等待时间的费用，建立车费与行车里程的函数关系式；(2)如果某人乘车行驶了20 km ，他要付多少车费？解：(1)设车费为y 元，出租车行驶里程为x km.由题意知，当0＜x ≤4时，y ＝10；当4＜x ≤18时，y ＝10＋1.2(x －4)＝1.2x ＋5.2；当x ＞18时，y ＝10＋1.2×14＋1.8(x －18)＝1.8x －5.6.所以，所求函数关系式为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧10，0＜x ≤4，1.2x ＋5.2，4＜x ≤18，1.8x －5.6，x ＞18.(2)当x ＝20时，y ＝1.8×20－5.6＝30.4.所以乘车行驶了20 km 要付30.4元的车费．18．某种商品在30天内每件的销售价格P (元)与时间t (天)的函数关系用图①表示，该商品在30天内日销售量Q (件)与时间t (天)之间的关系如下表所示：(1)根据提供的图象(图①)，写出该商品每件的销售价格P 与时间t 的函数解析式；(2)在所给平面直角坐标系(图②)中，根据表中提供的数据描出实数对(t ，Q )的对应点，并确定一个日销售量Q 与时间t 的函数解析式；(3)求该商品的日销售金额的最大值，并指出日销售金额最大的一天是30天中的第几天(日销售金额＝每件的销售价格×日销售量)．解：(1)根据图象，每件的销售价格P 与时间t 的函数解析式为：P ＝⎩⎨⎧t ＋20，0＜t ＜25，t ∈N ，－t ＋100，25≤t ≤30，t ∈N.(2)描出实数对(t ，Q )的对应点，如下图所示．从图象发现：点(5，35)，(15，25)，(20，20)，(30，10)似乎在同一条直线上，为此假设它们共线于直线l ：Q ＝kt ＋b .由点(5，35)，(30，10)确定出l 的解析式为Q ＝－t ＋40，通过检验可知，点(15，25)，(20，20)也在直线l 上．所以日销售量Q 与时间t 的一个函数解析式为Q ＝－t ＋40(0＜t ≤30，t ∈N)．(3)设日销售金额为y (元)，则y ＝⎩⎨⎧－t 2＋20t ＋800，0＜t ＜25，t ∈N ，t 2－140t ＋4 000，25≤t ≤30，t ∈N.因此y ＝⎩⎨⎧－（t －10）2＋900，0＜t ＜25，t ∈N ，（t －70）2－900，25≤t ≤30，t ∈N.若0＜t ＜25(t ∈N)，则当t ＝10时，y max ＝900；若25≤t ≤30(t ∈N)，则当t ＝25时，y max ＝1 125.因此第25天时销售金额最大，最大值为1 125元．。
函数的表示方法同步练习一．选择题1.向高为 H 的水瓶 A、B、C、D 同时以等速灌水，注满为止，若水量V 与水深 h 的函数的图象是左下图，则水瓶的形状为()2.对某种产品市场产销量状况如下图，此中：l1表示产品各年年产量的变化规律； l 2表示产品各年的销售状况．以下表达：()（1）产品产量、销售量均以直线上涨，仍可按原生产计划进行下去；（2）产品已经出现了供大于求的状况，价钱将趋跌；（3）产品的库存积压将愈来愈严重，应压缩产量或扩大销售量；（4）产品的产、销状况均以必定的年增加率递加．你以为较合理的是 ( )A ．(1),(2),(3) B． (1),(3),(4)C．（ 2），（ 4）D．（ 2），（ 3）3.函数yO xAA.1f ( x)B.f ( x)15.已知函数 f ( x)( x2yyO x OxBC1C. D. f ( x)f (x)x), F (x) f [ f (x)] ，则F(x)的分析式是（y xx的xy图象为（）O4.已知函数x x1f ( x),D x1则 f(-x)=()）A ． xB ．0C． f(x) D ． -f(x)x( x0)0 时F (x) f (x)x，x 0时， F ( x) f (0)0 ，应选C。
由f (x)得 x0( x0)二．填空题6. 在一种对应关系x y, y ax b, x R, y R 中,已知x=2时，y=5; x=-2时，y=-3. 请你求出当 x=2020时 , y=。
7 若 f(x)=2x 2 -1,则 f(x-1)=8.若f ( x 3)x 22x1，则 f (x)=9. 6. 已知二次函数f(x) 同时知足条件 : (1)对称轴是 x=1; (2) f(x) 的最大值为 15;(3) f(x) 的两根立方和等于 17.则 f(x) 的分析式是.10.某批发商批发某种商品的单价P（单位：元 /千克）与一次性批发数目Q（单位：元 /千克）之间函数的图象如图，一零售商仅有现金2700 元，他最多可购置这类商品＿＿＿＿千克（不考虑运输费等其余花费） 。
2.1.2函数的表示方法1．已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧ x －1，0，x ＋1，x>0，x ＝0，x<0，则f(f(12))＝__________.2．x ∈A ，y ∈B ，下列两个表格①和②能看成y 是x 的函数的表格是________．①②3．函数y ＝f(x)的图象如右图所示，那么f(x)的定义域是________；值域是________；其中只与x 的一个值对应的y 值的范围是________．4．已知函数f(x)＝x ＋2x －6，求解：(1)点(3,14)在f(x)的图象上吗？ (2)当x ＝4时，求f(x)的值； (3)当f(x)＝2时，求x 的值．课堂巩固1．已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧ －π，0，x 2－1，x>0，x ＝0，x<0，则f(f(－π))的值为________．2．下列图形是函数y ＝－|x|(x ∈[－2,2])的图象的序号是________．3．(1)已知f(1x )＝1x ＋1，则f(x)的解析式为________．(2)已知f(x)是一次函数，若f(f(x))＝9x ＋3，则f(x)的解析式为__________． 4．已知正方形的周长为x ，它的外接圆的半径为y ，则y 关于x 的解析式是__________．5．已知f(12x －1)＝2x ＋3，f(m)＝6，则m 等于__________．6．如下图，某灌溉渠的横断面是等腰梯形，底宽2m ，渠深1.8m ，边坡的倾角是45°.(1)试用解析表达式将横断面中水的面积Am 2表示成水深hm 的函数； (2)画出函数的图象；(3)确定函数的定义域和值域．1．设f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧ |x －1|－2，11＋x2，|x|≤1，|x|>1，则f(f(12))＝________.2．下列图象中表示函数关系y ＝f(x)的序号是__________．3．植物园要建形状为直角梯形的苗圃，两邻边借用夹角为135°的两面墙，另两边总长为30米．设垂直于底边的腰长为x 米，则苗圃面积S 关于x 的函数解析式为__________．4．已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2，x 2，2x ，x ≤－1，－1<x<2，x ≥2.若f(a)＝3，则a 的值是__________．5．由于水污染日益严重，水资源变得日益短缺．为了节约用水，某市政府拟自2009年开始对居民自来水收费标准调整如下：每户每月用水不超过4吨时，每吨6元；当用水超过4吨时，超过部分每吨增收3元．则某户居民所交水费y 元与该月此户居民所用水量x 吨之间的函数关系式为____________． 6．已知f(x)＋2f(1x)＝x(x ≠0)，则f(x)＝__________.7．函数f(x)对于任意实数x 满足条件f(x ＋2)＝1f(x)，若f(1)＝－5，则f(f(5))＝__________.8．(1)已知f(x)满足f(x －1x )＝x 2＋1x2，则f(x ＋1)的表达式为__________．(2)(易错题)已知f(1－x)＝x ，则f(x)的解析式为__________．9．如图，用长为l 的铁丝弯成下部为矩形，上部为半圆形的框架，若矩形底边长为2x ，求此框架围成的面积y 与x 的函数关系式，并指出其定义域．10．已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ，－1≤x<0，x 2，0≤x<1，x ，1≤x ≤2.(1)求下列各值：f(－8)，f(12)，f(32)，f(－23)；(2)作出函数的简图； (3)求函数的值域．答案2．1.2函数的表示方法课前预习1.1212>0，∴f(12)＝12－1＝－12<0. ∴f(f(12))＝f(－12)＝－12＋1＝12.2．②从表格①中可以得到集合A 中的元素2和集合B 中的两个元素89,85对应， ∴表示①不能看成y 是x 的函数，而表格②则可以． 3．[－3,0]∪[2,3) [1,5) [1,2)∪(4,5) 4．解：(1)∵3＋23－6＝－53≠14，∴点(3,14)不满足函数解析式，即点(3,14)不在函数f(x)的图象上． (2)当x ＝4时，f(x)＝4＋24－6＝－3.(3)由f(x)＝2得x ＋2x －6＝2，解得x ＝14.课堂巩固1．－π∵－π<0，∴f(－π)＝(－π)2－1＝π2－1>0. ∴f(f(－π))＝f(π2－1)＝－π.2．②y ＝－|x|＝⎩⎪⎨⎪⎧ －x ，x ，0≤x ≤2，－2≤x<0.其中y ＝－x(0≤x ≤2)是直线y ＝－x 上满足0≤x ≤2的一条线段(包括端点)，y ＝x 是直线y ＝x 上满足－2≤x ＜0的一条线段(包括左端点)，其图象在原点及x 轴下方． 3．(1)f(x)＝xx ＋1(x ≠0且x ≠－1)(2)f(x)＝3x ＋34或f(x)＝－3x －32(1)令u ＝1x ，∵x ≠0且x ≠－1，∴x ＝1u，u ≠0且u ≠－1.∴f(u)＝11u ＋1＝uu ＋1(u ≠0且u ≠－1)，即f(x)＝xx ＋1(x ≠0且x ≠－1)．(2)由题设f(x)＝ax ＋b ，则f(f(x))＝f(ax ＋b)＝a(ax ＋b)＋b ＝a 2x ＋ab ＋b ＝9x ＋3，比较系数得，a 2＝9且ab ＋b ＝3，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝3，b ＝34，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝－32.∴f(x)＝3x ＋34或f(x)＝－3x －32.4．y ＝28x 如图，设正方形的边长为a ，则4a ＝x. ∴a ＝x 4.由勾股定理得(2y)2＝a 2＋a 2＝2a 2.∴y ＝22a ＝28x. 5．－14方法一：设12x －1＝t ，则x ＝2t ＋2，f(t)＝2×(2t ＋2)＋3＝4t ＋7， 即f(x)＝4x ＋7. ∴f(m)＝4m ＋7＝6. ∴m ＝－14.方法二：令2x ＋3＝6，得x ＝32.∴m ＝12x －1＝12×32－1＝－14.6．解：(1)由已知，横断面为等腰梯形，下底为2m ，上底为(2＋2h)m ，高为hm ， ∴水的横断面面积A ＝[2＋(2＋2h)]h 2＝h 2＋2h(0<h<1.8)．(2)函数图象如下确定：由于A ＝(h ＋1)2－1，对称轴为直线h ＝－1，顶点坐标为(－1，－1)，且图象过(0,0)和(－2,0)，又考虑到0<h<1.8，∴函数A ＝h 2＋2h 的图象仅是抛物线的一部分，如图所示．(3)定义域为{h|0<h<1.8}，值域由函数A ＝h 2＋2h ＝(h ＋1)2－1的图象可知，在区间(0,1.8)上函数图象上升，∴0<A<6.84，故值域为(0,6.84)．课后检测1.413∵|12|≤1， ∴f(12)＝|12－1|－2＝－32.∵|－32|>1，f(－32)＝11＋(－32)2＝413，∴f(f(12))＝f(－32)＝413.2．②⑤⑥∵在图②⑤⑥中，一个自变量x 都对应唯一的y 值，能表示函数f(x)，而①③④则有一个x 值对应两个y 值的情况，故不能表示函数．3．S ＝－32x 2＋30x ，x ∈(0,15)如图所示，直角梯形的高为x 米，一底边长为(30－x)米，则另一底边长为(30－2x)米．由梯形面积公式得S ＝12[(30－x)＋(30－2x)]·x＝12(60－3x)x ＝－32x 2＋30x. 又30－2x>0，∴0<x<15.∴所求的函数解析式为S ＝－32x 2＋30x ，x ∈(0,15)．4.3当a ≤－1时，f(a)＝a ＋2＝3，得a ＝1与a ≤－1矛盾，舍去； 当－1<a<2时，f(a)＝a 2＝3，∴a ＝±3，∵－3∉(－1,2)舍去，∴a ＝3；当a ≥2时，f(a)＝2a ＝3，得a ＝32，与a ≥2矛盾，舍去．综上可知，a ＝ 3.5．y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 6x ，9x －12，0≤x ≤4，x>4当用水量0≤x ≤4时，水费y ＝6x ；当用水量x>4时，水费y ＝24＋9(x －4)＝9x －12. 6．f(x)＝23x －x 3(x ≠0)∵f(x)＋2f(1x)＝x(x ≠0)，①∴将上式中的x 都用1x 替换得f(1x )＋2f(x)＝1x .②解①②关于f(x)与f(1x )的二元方程组得f(x)＝23x －x3(x ≠0)．7．－15由f(x ＋2)＝1f(x)，得f(x ＋4)＝1f(x ＋2)＝f(x)，∴f(5)＝f(1)＝－5.∴f(f(5))＝f(－5)＝f(－1)＝1f(－1＋2)＝1f(1)＝－15.8．(1)f(x ＋1)＝(x ＋1)2＋2(2)f(x)＝(x －1)2(x ≤1)(1)∵f(x －1x )＝x 2＋1x 2＝(x 2－2x·1x ＋1x 2)＋2x·1x＝(x －1x)2＋2，∴f(x)＝x 2＋2.∴f(x ＋1)＝(x ＋1)2＋2. (2)设1－x ＝t ，则x ＝(1－t)2. ∵x ≥0，∴t ≤1. ∴f(t)＝(1－t)2(t ≤1)．∴f(x)的解析式为f(x)＝(x －1)2(x ≤1)．点评：求函数解析式常用方法有配凑法(配方)，如第(1)小题；换元法，如第(2)小题，课堂巩固3题中的第(1)题；待定系数法，如课堂巩固第3题的(2)小题；构造方程组消元法，如前面第6题等．本题第(2)小题是将“1－x ”换元为另一个字母t ，求出变量x 与t 的关系后代入原式可求出t 的函数关系，从而得出所求解析式，但用此换元法要特别注意正确确定中间变量t 的取值范围，否则就不能准确得出函数f(x)的定义域．9．解：由题意知此框架是由一个矩形和一个半圆组成的图形，而矩形的长AB ＝2x ，设宽为a ，则2x ＋2a ＋πx ＝l ，即a ＝l 2－πx2－x ，半圆的直径为2x ，半径为x.所以y ＝π2x 2＋(l 2－π2x －x)·2x ＝－(2＋π2)x 2＋lx.根据实际意义知l 2－π2x －x>0，又因为x>0，所以0<x<l2＋π，即函数y ＝－(2＋π2)x 2＋lx 的定义域是{x|0<x<l2＋π}．10．解：函数的定义域为[－1,0)∪[0,1)∪[1，2]＝[－1,2]． (1)因为－8∉[－1,2]，所以f(－8)无意义． 因为－1≤x<0时，f(x)＝－x ，所以f(－23)＝－(－23)＝23.因为0≤x<1时，f(x)＝x 2， 所以f(12)＝(12)2＝14.因为1≤x ≤2时，f(x)＝x ，所以f(32)＝32.(2)在同一坐标系中分段画出函数图象，如图所示．(3)由(2)画出的图象可知，函数的值域为[0,2]．点评：(1)分段函数的定义域是各段自变量取值集合的并集，应注意在不同的自变量取值范围内用不同的关系式，所以求值时应根据自变量的值所在的区间选用相应的关系式．分段函数的值域是各段函数值的集合的并集而不是交集，分段函数的最大(小)值是各段上的最大(小)值中的最大(小)者．(2)画分段函数的图象时，要注意不同段之间图象端点间的衔接，该用实心点用实心点，该用空心点就用空心点，不能出现“一对多”现象．。
§2.1.2函数的表示方法（2）课后练习【感受理解】1. 已知21(0)()2(0)x x f x x x ⎧+≤=⎨->⎩，若()26f a =，则a = ；2. 已知集合{}{}421,2,3,,4,7,,3A k B a a a ==+，且*,,a N x A y B ∈∈∈，使B 中元素31y x =+和A 中的元素x 对应，则,a k 的值分别为 ；3. 已知22(1)()(12)2(2)x x f x x x x x +≤-⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩，若()3f x =，则x 的值是 ；4. 已知正方形的周长为x ，它的外接圆半径为y ，则y 与x 的函数关系式为：_____________；【思考应用】5. 甲、乙两人同时从A 出发到B ，甲先骑车，到中点后改为步行；乙先步行，到中点后改为骑车，结果两人同时到达B ，已知骑车快于步行，甲骑车快于乙骑车，现把甲、乙离开A 的距离y 表示成时间t 的函数绘制成图象，如下图所示，则甲是图 ,乙是图6．图中的图象所表示的函数的解析式为 ； (A )|1|23-=x y (0≤x ≤2) (B ) |1|2323--=x y (0≤x ≤2)(C ) |1|23--=x y (0≤x ≤2) (D ) |1|1--=x y (0≤x ≤2)7. 已知()f x 是一次函数，且满足()()3121217f x f x x +--=+，则()f x = ；8.函数()f x 对于任意实数x 满足条件()()12f x f x +=，若()15,f =-则()()5f f =_____；9.设()f x 是定义在()1,+∞上的一个函数，且有1()2()1,f x f x x=- y o (1) t t y o (2) y o (3)t tyo (4)（1）求()1f 的值；（2）求()f x .10. 已知二次函数()f x 当2x =时有最大值16，它的图像截x 轴所得的线段长为8，求()y f x =的解析式.11. 等腰梯形ABCD 的两底分别为AD =2a ，BC =a ，∠BAD =45°，作直线MN ⊥AD 交AD 于M ，交折线ABCD 于N ，记AM =x ,试将梯形ABCD 位于直线MN 左侧的面积y 表示为x 的函数，并写出函数的定义域.。
2.1.2 函数的表示方法课时目标 1.加深对函数概念的理解，加深对映射概念的了解.2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.3.通过具体实例，理解简单的分段函数，并能简单应用．1．下列图形中，可能作为函数y ＝f (x )图象的是______．(填序号)2．已知函数f ：A →B (A 、B 为非空数集)，定义域为M ，值域为N ，则A 与M 、B 与N 的关系分别是______________．3．函数y ＝f (x )的图象与直线x ＝a 的交点个数为________．4．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2 (x ≤－1)x 2 (－1<x <2)2x (x ≥2)，若f (a )＝3，则a 的值为________．5．若f (x )的定义域为[－1,4]，则f (x 2)的定义域为__________________________.6．若f (x )＝ax 2－2，a 为一个正的常数，且f (f (2))＝－2，则a ＝________.一、填空题1．函数f (x )＝x 2－4x ＋2，x ∈[－4,4]的最小值是________，最大值是________．2．已知f (x 2－1)的定义域为[－3，3]，则f (x )的定义域为________．3．已知函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1 (x ≤0)－2x (x >0)，使函数值为5的x 的值是________． 4．与y ＝|x |为相等函数的是________．(填序号)①y ＝(x )2；②y ＝x 2；③y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ x (x >0)－x (x <0)；④y ＝3x 3.5．函数y ＝2x ＋1x －3的值域为________． 6．若集合A ＝{x |y ＝x －1}，B ＝{y |y ＝x 2＋2}，则A ∩B ＝________.7．设集合A ＝B ＝{(x ，y )|x ∈R ，y ∈R }，点(x ，y )在映射f ：A →B 的作用下对应的点是(x －y ，x ＋y )，则B 中点(3,2)对应的A 中点的坐标为________．8．已知f (x ＋1)＝x ＋2x ，则f (x )的解析式为_____________________________．9．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x (x ≥0)x 2 (x <0)，则f (f (－2))＝______________. 二、解答题10．若3f (x －1)＋2f (1－x )＝2x ，求f (x )．11．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x (x ＋4) (x ≥0)x (x －4) (x <0)，若f (1)＋f (a ＋1)＝5，求a 的值．能力提升12．已知函数f (x )的定义域为[0,1]，则函数f (x －a )＋f (x ＋a )(0<a <12)的定义域为________． 13．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋5， x ≤－1x 2， －1<x <1，2x ， x ≥1.(1)求f (－3)，f [f (－3)]；(2)画出y ＝f (x )的图象；(3)若f (a )＝12，求a 的值．1．函数的定义域、对应法则以及值域是构成函数的三个要素．事实上，如果函数的定义域和对应法则确定了，那么函数的值域也就确定了．两个函数是否相同，只与函数的定义域和对应法则有关，而与函数用什么字母表示无关．求函数定义域时，要注意分式的字母不能为零；偶次根式内的被开方式子必须大于或等于零．2．函数图象是描述函数两个变量之间关系的一种重要方法，它能够直观形象地表示自变量、函数值的变化趋势．函数的图象可以是直线、光滑的曲线，也可以是一些孤立的点、线段或几段曲线等．3．函数的表示方法有列举法、解析法、图象法三种．根据解析式画函数的图象时，要注意定义域对函数图象的制约作用．函数的图象既是研究函数性质的工具，又是数形结合方法的基础．习题课双基演练1．①②④解析 ③中，当x 取小于0的一个值时，有两个y 值与之对应，不符合函数的定义．2．M ＝A ，N ⊆B解析 值域N 应为集合B 的子集，即N ⊆B ，而不一定有N ＝B .3．0或1解析当a属于f(x)的定义域内时，有一个交点，否则无交点．4. 3解析当a≤－1时，有a＋2＝3，即a＝1，与a≤－1矛盾；当－1<a<2时，有a2＝3，∴a＝3，a＝－3(舍去)；当a≥2时，有2a＝3，∴a＝32与a≥2矛盾．综上可知a＝ 3.5．[－2,2]解析由－1≤x2≤4，得x2≤4，∴－2≤x≤2.6.2 2解析f(2)＝a(2)2－2＝2a－2，∴f(f(2))＝f(2a－2)＝a(2a－2)2－2＝－2，∴a(2a－2)2＝0.∵a>0，∴2a－2＝0，即a＝22.作业设计1．－234解析f(x)＝(x－2)2－2，作出其在[－4,4]上的图象知f(x)min＝f(2)＝－2；f(x)max＝f(－4)＝34.2．[－1,2]解析 ∵x ∈[－3，3]，∴0≤x 2≤3，∴－1≤x 2－1≤2，∴f (x )的定义域为[－1,2]．3．－2解析 若x 2＋1＝5，则x 2＝4，又∵x ≤0，∴x ＝－2，若－2x ＝5，则x ＝－52，与x >0矛盾． 综上，x ＝－2.4．②解析 ①中的函数定义域与y ＝|x |不同；③中的函数定义域不含有x ＝0，而y ＝|x |中含有x ＝0，④中的函数与y ＝|x |的对应法则不同，②正确．5．(－∞，2)∪(2，＋∞)解析 用分离常数法．y ＝2(x －3)＋7x －3＝2＋7x －3. ∵7x －3≠0，∴y ≠2. 6．[2，＋∞)解析 化简集合A ，B ，则得A ＝[1，＋∞)，B ＝[2，＋∞)．∴A ∩B ＝[2，＋∞)．7．(52，－12) 解析 由题意⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＝3x ＋y ＝2，∴⎩⎨⎧ x ＝52y ＝－12.8．f (x )＝x 2－1(x ≥1)解析 ∵f (x ＋1)＝x ＋2x＝(x )2＋2x ＋1－1＝(x ＋1)2－1，∴f (x )＝x 2－1. 由于x ＋1≥1，所以f (x )＝x 2－1(x ≥1)．9．4解析 ∵－2<0，∴f (－2)＝(－2)2＝4，又∵4≥0，∴f (4)＝4，∴f (f (－2))＝4.10．解 令t ＝x －1，则1－x ＝－t ，原式变为3f (t )＋2f (－t )＝2(t ＋1)，①以－t 代t ，原式变为3f (－t )＋2f (t )＝2(1－t )，②由①②消去f (－t )，得f (t )＝2t ＋25. 即f (x )＝2x ＋25. 11．解 f (1)＝1×(1＋4)＝5，∵f (1)＋f (a ＋1)＝5，∴f (a ＋1)＝0.当a ＋1≥0，即a ≥－1时，有(a ＋1)(a ＋5)＝0，∴a ＝－1或a ＝－5(舍去)．当a ＋1<0，即a <－1时，有(a ＋1)(a －3)＝0，无解．综上可知a ＝－1.12．[a,1－a ]解析 由已知，得⎩⎪⎨⎪⎧ 0≤x ＋a ≤1，0≤x －a ≤1⇒⎩⎪⎨⎪⎧－a ≤x ≤1－a ，a ≤x ≤1＋a .又∵0<a <12，∴a ≤x ≤1－a . 13．解 (1)∵x ≤－1时，f (x )＝x ＋5，∴f (－3)＝－3＋5＝2，∴f [f (－3)]＝f (2)＝2×2＝4.(2)函数图象如右图所示．(3)当a ≤－1时，f (a )＝a ＋5＝12，a ＝－92≤－1； 当－1<a <1时，f (a )＝a 2＝12，a ＝±22∈(－1,1)； 当a ≥1时，f (a )＝2a ＝12， a ＝14∉[1，＋∞)，舍去． 故a 的值为－92或±22.。
第2章函数（苏教版必修1）建议用时实际用时满分实际得分120分钟160分一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共分）1.下列图象中不能作为函数图象的是.第1题图2.已知函数y=使函数值为5的x的值是.3.若函数f(x+1)的定义域为[－2，3)，则f(2x－1)的定义域为.4.函数f(x)=2－mx+3在[-2，+∞）上是增函数，在（-∞，-2]上是减函数，则f(1)=.5.若f(x)=－+2ax与g(x)=在区间[1，2]上都是减函数，则a的取值范围是.6.设偶函数f（x）的定义域为R，当[0,)x∈+∞时，（x）是增函数，则(-2),(π),(-3)f f f的大小关系是.7.函数f(x)=在区间[2，5]上的最大值是，最小值是.[来源学科网Z|X|X|K]8.下面四个结论：①偶函数的图象一定与y轴相交；②奇函数的图象一定通过原点；③偶函数的图象关于y轴对称；④既是奇函数，又是偶函数的函数一定是f（x）=0（x∈R）.其中正确的个数是.9.已知函数y=f（x）是偶函数，y=g（x）是奇函数，它们的定义域为[-π，π]，且它们在x∈[0，π]上的图象如图所示，则不等式＞0的解集为.[来源学&科&网]第9题图10.已知f(x)是定义在R上的偶函数，并满足f(x＋2)＝－1()f x，当1≤x≤2时，f(x)＝x－2，则f(6.5)＝________.11.若偶函数f(x)在区间(－∞，－1]上是增函数，则f(－32)、f(－1)、f(2)的大小关系是.12.已知函数f(x)是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x都有xf(x＋1)＝(1＋x)f(x)，则5(())2f f的值是．13.已知函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，3]上为减函数，则实数a的取值范围为________．14.若f(x)＝(m－1)x2＋6mx＋2是偶函数，则f(0)、f(1)、f(－2)从小到大的顺序是_________．二、解答题（本大题共6小题，共90分）15.（14分）已知函数φ(x)=f(x)+g(x)，其中f(x)是关于x的正比例函数，g(x)是关于x的反比例函数，且φ()=16，φ(1)=8，求φ(x)的解析式．16.（14分）判断函数f(x)=(a≠0)在区间(－1，1)上的单调性．17.（14分）已知函数f(x)对于任何正实数x，y都有f(xy)=f(x)·f(y)，且当x>1时，f(x)<1，试判断f(x)在(0，+∞)上的单调性并说明理由．18.（16分）已知函数f(x)，x∈R，若对于任意实数a，b都有f(a+b)=f(a)+f(b)，求证：函数f(x)为奇函数.16.（12分）已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x+2)=－.（1）求函数f(x)的一个周期；（2）若当2≤x≤3时，f(x)=x，求f(105.5)的值. 20．(16分)已知f(x)的定义域为(0，＋∞)，且满足f(2)＝1，f(xy)＝f(x)＋f(y)，又当x2>x1>0时，f(x2)>f(x1)．(1)求f(1)、f(4)、f(8)的值；(2)若有f(x)＋f(x－2)≤3成立，求x的取值范围．第2章函数（苏教版必修1）答题纸一、填空题1.2.3.4.5.6.7. 8. 9. 10.11. 12. 13. 14.二、解答题15.16.17.[来源:]19.20.第2章 函 数（苏教版必修1）参考答案1.②解析:②中的图象任取x ＞0时，都对应两个y 值，不满足函数的定义.2.-2 解析:由题意有+1=5或-2x =5，解得x =±2或x =-.符合题意的为x =-2.3.[0，) 解析:由题意得－2≤x <3，∴－1≤x +1<4，∴－1≤2x －1<4.解得0≤x <. 4.13 解析:由题意，知函数f (x )=2－mx +3的图象是抛物线，其对称轴为直线x =－=－2，可得m =－8，所以f (x )= 2+8x +3，所以f (1)=13.5.(0，1] 解析:f (x )=－+2ax =－ +，当a ≤1时，f (x )在[1，2]上是减函数；g (x )=，当a >0时，g (x )在[1，2]上是减函数，则a 的取值范围是0<a ≤1. 6.f (π)>f (-3) >f (-2) 解析：因为()f x 是偶函数，所以()()()()22,33.f f f f -=-=因为当[0,)x ∈+∞时是增函数，所以()()()()()()23,23f f f f f f <<-<-<ππ所以.7.2 解析:根据单调性定义可知f (x )=在区间[2，5]上是单调减函数，∴=f (2)=2，=f (5)=.8.1解析:偶函数的图象关于y 轴对称，但不一定与y 轴相交，因此③正确，①错误．奇函数的图象关于原点对称，但不一定经过原点，因此②不正确．若y =f （x ）既是奇函数，又是偶函数，由定义可得f （x ）=0，定义域关于原点对称，但不一定x ∈R ，故④错误.故填1. 9.(0，)∪(－π，－) 解析:当x ∈[0，π]时，由不等式＞0可知f （x ），g （x ）的函数值同号，即f （x ）g （x ）＞0.根据图象可知，当x ＞0时，其解集为(0，).根据f (x )，g (x )的奇偶性，画x ∈［-π，0］时的简图，图略. 由图象知当x ＜0时，f （x ）g （x ）＞0，其解集为(－π，－).综上所述，不等式＞0的解集为(0，)∪(－π，－).10. －0.5 解析：由f (x ＋2)＝－，得f (x ＋4)＝－＝f (x )，故f (x )的周期是4，得f (6.5)＝f (2.5)．因为f (x )是偶函数，得f (2.5)＝f (－2.5)＝f (1.5)． 而当1≤x ≤2时，f (x )＝x －2，∴f (1.5)＝－0.5.故f (6.5)＝－0.5.11. f (2)<f (－32)<f (－1)解析：由f (x )是偶函数，得f (2)＝f (－2)，又f (x )在区间(－∞，－1]上是增函数，且－2<－32<－1，则f(2)<f(－32)<f(－1)．12. 0解析：令x＝－12，则－12f(12)＝12f(－12)，又∵f(12)＝f(－12)，∴f(12)＝0.令x＝12，12f(32)＝32f(12)，得f(32)＝0.令x＝32，32f(52)＝52f(32)，得f(52)＝0.而0·f(1)＝f(0)＝0，∴f(f())＝f(0)＝0，故填0.13. a≤－2 解析：函数f(x)的对称轴为直线x＝1－a，则由题意知1－a≥3，即a≤－2.14. f(－2)<f(1)<f(0) 解析：∵f(x)＝(m－1)x2＋6mx＋2是偶函数，∴m＝0.∴f(x)＝－x2＋2.∴f(0)＝2，f(1)＝1，f(－2)＝－2，∴f(－2)<f(1)<f(0)．15.解：设f(x)=ax，g(x)=，a，b为比例常数，则(x) =f(x)+g(x)=ax+.由得解得∴(x)=3x+.16.解：任取，∈(-1，1)，且＜，∴f()－f()=．∵>0，∴当a>0时，函数f(x)在(－1，1)上单调递减；当a<0时，函数f(x)在(－1，1)上单调递增．17.解：f(x)在(0，+∞)上单调递减.理由如下：任取，∈(0，+∞)，且<，则>1.因为当x>1时，f(x)<1，所以f()<1，所以f()=f(·)=f()·f()<f()，即f(x)在(0，+∞)上为单调递减函数．18.证明：由题意可知，函数的定义域为R，关于原点对称.令a=0，则f(b)=f(0)+f(b)，∴f(0)=0.又令a=－x，b=x，则f(－x+x)=f(－x)+f(x)，即0=f(－x) +f(x)，∴f(－x)=－f(x)，∴函数f(x)为奇函数.[来源:1ZXXK]19.解：（1）∵f(x+2)=－，∴f(x)=－=－=f(x+4)，∴函数f(x)的周期T=4.（2）∵f(105.5)=f(26×4+1.5)=f(1.5)，又f(x)是定义在R上的偶函数，∴f(1.5)=f(－1.5)=f(－1.5+4)=f(2.5)=2.5.20.解：(1)∵f(xy)＝f(x)＋f(y)，令x=y=1，可得f(1)＝f(1)＋f(1)，∴f(1)＝0.∴f(4)＝f(2)＋f(2)＝1＋1＝2，f(8)＝f(2)＋f(4)＝1＋2＝3.(2)∵f(x)＋f(x－2)≤3，∴f(x(x－2))≤f(8).又∵对于函数f(x)有x2>x1>0时f(x2)>f(x1)，∴f(x)在(0，＋∞)上为增函数．∴0,-20,(-2)8xxx x⎧⎪⎨⎪⎩＞＞≤⇒2<x≤4.[来源学#科#网Z#X#X#K]∴x的取值范围为(2，4]．。
课时跟踪检测〔十九〕函数的表示方法[A 级 根底稳固]1．函数f (x ＋1)＝x 2－1x ，那么f (2)等于( )A ．0B ．23C ．3D ．83解析：选A 令x ＋1＝2，x ＝1， ∴f (2)＝12－11＝0，应选A.2．(2021·无锡市高一月考)函数y ＝f (x )的对应关系如下表，函数y ＝g (x )的图象是如图的曲线ABC ，其中A (1，3)，B (2，1)，C (3，2)，那么f [g (2)]的值为( )x 1 2 3 f (x )23A ．3B ．2C ．1D ．0解析：选B 由函数g (x )的图象知，g (2)＝1，那么f [g (2)]＝f (1)＝2.3．假设f (x )是一次函数，2f (2)－3f (1)＝5，2f (0)－f (－1)＝1，那么f (x )＝( ) A ．3x ＋2 B ．3x －2 C ．2x ＋3D ．2x －3解析：选B 设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，由题设有⎩⎪⎨⎪⎧2〔2a ＋b 〕－3〔a ＋b 〕＝5，2〔0·a ＋b 〕－〔－a ＋b 〕＝1.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝－2.所以选B. 4．星期天，小明从家出发，出去散步，图中描述了他散步过程中离家的距离s (m)与散步所用的时间t (min)之间的函数关系，根据图象，下面的描述符合小明散步情况的是( )A ．从家出发，到一个公共阅报栏，看了一会儿报，就回家了B ．从家出发，到一个公共阅报栏，看了一会儿报后，继续向前走了一段，然后回家了C ．从家出发，散了一会儿步(没有停留)，然后回家了D ．从家出发，散了一会儿步，就找同学去了，18 min 后才回家解析：选B 水平线段说明小明离家的距离始终是300米，然后离家距离到达500米，说明小明从家出发后，到一个固定的地方停留了一会儿，继续向前走了一段，然后回家了．应选B.5．某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况：在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为________升．解析：由表格信息，得到该车加了48升的汽油，跑了600千米，所以该车每100千米平均耗油量48÷6＝8.答案：86．f (x )是一次函数，满足3f (x ＋1)＝6x ＋4，那么f (x )＝________． 解析：设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)， 那么f (x ＋1)＝a (x ＋1)＋b ＝ax ＋a ＋b ， 依题设，3ax ＋3a ＋3b ＝6x ＋4，∴⎩⎪⎨⎪⎧3a ＝6，3a ＋3b ＝4，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－23，那么f (x )＝2x －23.答案：2x －237．假设一个长方体的高为80 cm ，长比宽多10 cm ，那么这个长方体的体积y (cm 3)与长方体的宽x (cm)之间的表达式是________．解析：由题意可知，长方体的长为(x ＋10)cm ，从而长方体的体积y ＝80x (x ＋10)，x >0. 答案：y ＝80x (x ＋10)，x ∈(0，＋∞)8．函数f (x )对于一切实数x ，y 都有f (x ＋y )－f (y )＝(x ＋2y ＋1)x 成立，且f (1)＝0. (1)那么f (0)的值为________； (2)求f (x )的解析式f (x )＝________．解析：(1)取x ＝1，y ＝0，那么有f (1＋0)－f (0)＝(1＋0＋1)×1⇒f (0)＝f (1)－2＝0－2＝－2.(2)取y ＝0，那么有f (x ＋0)－f (0)＝(x ＋0＋1)x ，整理得f (x )＝x 2＋x －2. 答案：(1)－2 (2)x 2＋x －29．f (x )为二次函数且f (0)＝3，f (x ＋2)－f (x )＝4x ＋2，求f (x )的解析式．解：设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，又f (0)＝c ＝3，∴f (x )＝ax 2＋bx ＋3，∴f (x ＋2)－f (x )＝a (x ＋2)2＋b (x ＋2)＋3－(ax 2＋bx ＋3)＝4ax ＋4a ＋2b ＝4x ＋2.∴⎩⎪⎨⎪⎧4a ＝4，4a ＋2b ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1，∴f (x )＝x 2－x ＋3.10．(2021·海门中学高一月考)党的十九大报告明确要求继续深化国有企业改革，培育具有全球竞争力的世界一流企业．某企业抓住机遇推进生产改革，从单一产品转为生产A 、B 两种产品，根据市场调查与市场预测，A 产品的利润与投资成正比，其关系如图①；B 产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图②(注：所示图中的横坐标表示投资金额，单位为万元)(1)分别求出A 、B 两种产品的利润表示为投资的函数关系式；(2)该企业已筹集到10万元资金，并全部投入A 、B 两种产品的生产，问：怎样分配这10万元资金，才能使企业获得最大利润，最大利润是多少？解：(1)设投资为x 万元，A 产品的利润为f (x )万元，B 产品的利润为g (x )万元， 由题设f (x )＝k 1x ，g (x )＝k 2x ，由图知f (2)＝1，故k 1＝12，又g (4)＝4，∴k 2＝2.从而f (x )＝12x (x ≥0)，g (x )＝2x (x ≥0)．(2)设A 产品投入x 万元，那么B 产品投入10－x 万元，设企业利润为y 万元， 那么y ＝f (x )＋g (10－x )＝12x ＋210－x (0≤x ≤10)，令t ＝10－x ，那么y ＝－12(t －2)2＋7(0≤t ≤10)当t ＝2时，y max ＝7，此时x ＝6.[B 级 综合运用]11．(多项选择)设f (x )＝1＋x 21－x 2，那么以下结论错误的有( )A ．f (－x )＝－f (x )B ．f ⎝⎛⎭⎫1x ＝－f (x ) C ．f ⎝⎛⎭⎫－1x ＝f (x ) D ．f (－x )＝f (x )解析：选AC 因为f (x )＝1＋x 21－x 2，所以f (－x )＝1＋〔－x 〕21－〔－x 〕2＝f (x )，f ⎝⎛⎭⎫1x ＝1＋⎝⎛⎭⎫1x 21－⎝⎛⎭⎫1x 2＝x 2＋1x 2－1＝－f (x )，f ⎝⎛⎭⎫－1x ＝1＋⎝⎛⎭⎫－1x 21－⎝⎛⎭⎫－1x 2＝x 2＋1x 2－1＝－f (x )，应选A 、C.12．图①是某公交车线路的收支差额(票价总收入减去运营本钱)与乘客量x 的函数图象．目前这条线路亏损，为了扭亏，有关部门提出了两种扭亏为赢的建议，如图②和图③，根据图象分别说明这两种建议，图②的建议是________；图③的建议是_________．解析：由图①可以看出，直线的y ＝kx ＋b 中的k 实际意义是票价，在y 轴上的截距的相反数表示运营本钱，图②中，直线的k 增加，在y 轴上的截距b 不变，即表示增加票价，运营本钱不变， 图③中，直线的k 不变，直线的截距b 增加，即表示票价不变，降低运营本钱． 答案：增加票价，运营本钱不变 票价不变，降低运营本钱13．定义域为R ，函数f (x )满足f (a ＋b )＝f (a )·f (b )(a ，b ∈R )，且f (x )>0，假设f (1)＝12，那么f (－2)等于________．解析：令a ＝b ＝0，那么有f (0)＝[f (0)]2. 又∵f (x )>0，f (0)＝1.令a ＝－1，b ＝1，那么有f (0)＝f (－1＋1)＝f (－1)·f (1)， ∴f (－1)＝f 〔0〕f 〔1〕＝112＝2.再令a ＝b ＝－1，那么有f (－2)＝[f (－1)]2＝4. 答案：414．设二次函数f (x )满足f (x －2)＝f (－x －2)，且图象与y 轴交点的纵坐标为1，被x 轴截得的线段长为22，求f (x )的解析式．解：法一：设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)．由f(x－2)＝f(－x－2)得4a－b＝0；①又因为|x1－x2|＝b2－4ac|a|＝22，所以b2－4ac＝8a2；②又由得c＝1.③由①②③解得b＝2，a＝12，c＝1，所以f(x)＝12x2＋2x＋1.法二：因为y＝f(x)的图象有对称轴x＝－2，又|x1－x2|＝22，所以y＝f(x)的图象与x轴的交点为(－2－2，0)，(－2＋2，0)，故可设f(x)＝a(x＋2＋2)(x＋2－2)．因为f(0)＝1，所以a＝12.所以f(x)＝12[(x＋2)2－2]＝12x2＋2x＋1.[C级拓展探究]15．某省两个相近重要城市之间人员交流频繁，为了缓解交通压力，特修一条专用铁路，用一列火车作为交通车，假设该车每次拖4节车厢，一天能来回16次(来、回各算作一次)，假设每次拖7节车厢，那么每天能来回10次．(1)假设每天来回的次数是车头每次拖挂车厢节数的一次函数，求此一次函数的解析式；(2)在(1)的条件下，每节车厢能载乘客110人．问这列火车每天来回多少次才能使运营人数最多？并求出每天最多运营人数．解：(1)设每天来回y次，每次拖x节车厢，那么可设y＝kx＋b(k≠0)．由题意，得16＝4k＋b，10＝7k＋b，解得k＝－2，b＝24，所以y＝－2x＋24.(2)设这列火车每天来回总共拖挂的车厢节数为S，那么由(1)知S＝xy，所以S＝x(－2x＋24)＝－2x2＋24x＝－2(x－6)2＋72，所以当x＝6时，S max＝72，此时y＝12，那么每日最多运营的人数为110×72＝7 920.所以这列火车每天来回12次，才能使运营人数最多，每天最多运营人数为7 920.。
