苏教版数学高一《函数的表示方法》 同步测试
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函数的表示方法练习1.一个面积为100 cm 2的等腰梯形,上底长为x cm ,下底长为上底长的3倍,则把它的高y 表示成x 的函数为__________.2.下列图形是函数y =-|x |(x ∈[-2,2])的图象的是__________.3.设2()=1x f x x +,则1()f x=__________. 4.设()2|1|211,=1,111x x f x x x x ---≤≤⎧⎪⎨><-⎪+⎩,或,则1()2f f ⎡⎤⎢⎥⎣⎦等于__________. 5.设()221<0,1=,0<<2,23,2,x x f x x x x +-≤⎧⎪⎪-⎨⎪≥⎪⎩,则3()4f f f ⎧⎫⎡⎤-⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭的值为________,f (x )的定义域是__________. 6.函数23,0,=3,0<1,5,>1x x y x x x x +≤⎧⎪+≤⎨⎪-+⎩的最大值为______.7.已知f (x +1)=x 2-2x,则f =__________.8.A 、B 两地相距150 km ,某汽车以每小时50 km 的速度从A 地到B 地,在B 地停留2 h 之后,又以每小时60 km 的速度返回A 地.则该车离开A 地的距离s (km)关于时间t (h)的函数关系式为________.9.作函数y =|x +3|+|x -5|的图象,并求出函数的值域.10.如图,梯形OABC 各顶点的坐标分别为O (0,0),A (6,0),B (4,2),C (2,2).一条与y 轴平行的动直线l 从O 点开始作平行移动,到A 点为止.设直线l 与x 轴的交点为M ,OM =x ,记梯形被直线l 截得的在l 左侧的图形的面积为y .求函数y =f (x )的解析式、定义域、值域以及7()2f f⎡⎤⎢⎥⎣⎦的值.参考答案1.答案:50=y x(x >0) 2.答案:②3.答案:f (x )4.答案:4135.答案:32 [-1,0)∪(0,+∞) 6.答案:47.答案:5-8.答案:5003=1503<5,45060,5<7.5t t s t t t ≤≤⎧⎪≤⎨⎪-≤⎩,,,9.解:因为函数y =|x +3|+|x -5|可以化为223835225x x y x x x -+≤-⎧⎪=<<⎨⎪-≥⎩,,,-,,,所以函数的图象如图所示.由图可知函数的值域为[8,+∞).10.解:当0≤x ≤2时,图形为等腰直角三角形,此时y =12·x ·x =12x 2; 当2<x ≤4时,图形为一个直角梯形,它又可分割成一个等腰直角三角形(确定的)与一个矩形,此时y =12×2×2+(x -2)×2=2x -2;当4<x ≤6时, 图形为一个五边形,它可看做是原梯形去掉一个等腰直角三角形(位于直线右侧), 此时y =12×(6+2)×2-12(6-x )2=-12x 2+6x -10.于是()2210222224,1610,4 6.2x x y f x x x x x x ⎧≤≤⎪⎪=-<≤⎨⎪⎪-+-<≤⎩,,=, 并且函数y =f (x )的定义域是[0,6].又当0≤x ≤2时,0≤12x 2≤2; 当2<x ≤4时,2<2x -2≤6; 当4<x ≤6时,6<-12x 2+6x -10≤8. 所以函数y =f (x )的值域为[0,2]∪(2,6]∪(6,8],即为[0,8]. 由于72∈(2,4],故7()2f =2×72-2=5. 又5∈(4,6],故f (5)=-12×52+6×5-10=152.于是7()2f f ⎡⎤⎢⎥⎣⎦=f (5)=152.。
高中数学 2.1.2函数的表示方法(一)配套训练 苏教版必修1一、基础过关1.一个面积为100 cm 2的等腰梯形,上底长为x cm ,下底长为上底长的3倍,则把它的高y 表示成x 的函数为________.2.一水池有2个进水口,1个出水口,进、出水速度如图甲、乙所示.某天0点到6点,该水池的蓄水量如图丙所示.(至少打开一个水口)给出以下3个论断:①0点到3点只进水不出水;②3点到4点不进水只出水;③4点到6点不进水不出水.则正确论断的个数是________.3.如果f (1x )=x 1-x,则当x ≠0时,f (x )的表达式为________________. 4.一等腰三角形的周长是20,底边长y 是关于腰长x 的函数,则它的解析式为________________.5.如图,函数f (x )的图象是折线段ABC ,其中点A ,B ,C 的坐标分别为(0,4),(2,0),(6,4),则f {f [f (2)]}=________.6.f (x )为二次函数且f (0)=3,f (x +2)-f (x )=4x +2.试分别求出f (x )的解析式.7.根据已知条件,求函数表达式.(1)已知f (x )=x 2-4x +3,求f (x +1);(2)已知f (x )=3x 2+1,g (x )=2x -1,求f [g (x )]和g [f (x )].二、能力提升8.已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1-x 1+x =1-x 21+x 2,则f (x )的解析式为________________. 9.某学校要召开学生代表大会,规定各班每10人推选一名代表,当各班人数除以10的余数大于..6·时再增选一名代表.那么,各班可推选代表人数y 与该班人数x 之间的函数关系用取整函数y =[x ]([x ]表示不大于x 的最大整数)可以表示为________. ①y =[x 10] ②y =[x +310] ③y =[x +410] ④y =[x +510]10.已知f (x )是一次函数,若f (f (x ))=4x +8,则f (x )的解析式为________________________.11.有一种螃蟹,从海上捕获不放养最多只能存活两天,如果放养在塘内,可以延长存活时间,但每天也有一定数量的蟹死去,假设放养期内蟹的个体重量基本保持不变.现有一经销商,按市场价收购了这种活蟹1 000 kg 放养在塘内,此时市场价为每千克30元.据测算,此后每千克活蟹的市场价每天可上升1元.但是,放养一天需各种费用支出400元,且平均每天还有10 kg 蟹死去,假定死蟹均于当天全部售出,售价都是每千克20元.(1)设x 天后每千克活蟹的市场价为P 元,写出P 关于x 的函数关系式;(2)如果放养x 天后将活蟹一次性出售,并记1 000 kg 蟹的销售总额为Q 元,写出Q 关于x 的函数关系式.三、探究与拓展12.设f (x )是R 上的函数,且满足f (0)=1,并且对任意实数x ,y ,有f (x -y )=f (x )-y (2x -y +1),求f (x )的解析式.答案1.y =50x (x >0)2.13.f (x )=1x -14.y =20-2x (5<x <10)5.26.解 设f (x )=ax 2+bx +c (a ≠0),∴f (x +2)=a (x +2)2+b (x +2)+c ,则f (x +2)-f (x )=4ax +4a +2b =4x +2.∴⎩⎪⎨⎪⎧ 4a =4,4a +2b =2.∴⎩⎪⎨⎪⎧a =1,b =-1. 又f (0)=3,∴c =3,∴f (x )=x 2-x +3.7.解 (1)∵f (x )=x 2-4x +3,∴f (x +1)=(x +1)2-4(x +1)+3=x 2-2x .(2)∵f (x )=3x 2+1,g (x )=2x -1,∴f [g (x )]=3[g (x )]2+1=3(2x -1)2+1=12x 2-12x +4,∴g [f (x )]=2[f (x )]-1=2(3x 2+1)-1=6x 2+1.8.f (x )=2x1+x 2(x ≠-1)9.②10.f (x )=2x +83或f (x )=-2x -811.解 (1)由题意,知P =30+x .(2)由题意知,活蟹的销售额为(1 000-10x )(30+x )元.死蟹的销售额为200x 元. ∴Q =(1 000-10x )(30+x )+200x=-10x 2+900x +30 000.12.解 因为对任意实数x ,y ,有f (x -y )=f (x )-y (2x -y +1),所以令y =x ,有f (0)=f (x )-x (2x -x +1),即f (0)=f (x )-x (x +1).又f (0)=1,∴f (x )=x (x +1)+1=x 2+x +1.。
苏教版必修1《5.2 函数的表示方法》同步练习卷一、选择题1. 设f(x)={1−√x,x≥02x,x<0,则f(f(−2))=()A.−1B.14C.12D.322. 已知函数f(x)的图象是两条线段(如图所示,不含端点),则f[f(13)]=()A.−13B.13C.−23D.233. 设f(x)={1,x>0,0,x=0,−1,x<0,g(x)={1,x为有理数0,x为无理数,则f(g(π))的值为()A.1B.0C.−1D.π4. 函数f(x)=ax+b(x+c)2的图象如图所示,则下列结论成立的是()A.a>0,b>0,c<0B.a<0,b>0,c>0C.a<0,b>0,c<0D.a<0,b<0,c<05. 设函数f(x)={3x −b,x <12x ,x ≥1,若f [f (56)]=4,则b =( ) A.1 B.78C.34D.12二、填空题已知f(1−x1+x )=x ,则f(x)=________.函数y ={x 2+1(x ≤0)−2x(x >0) ,使函数值为5的x 的值是________.若函数f(x)满足关系式f(x)+2f(1x )=3x ,则f(2)的值为________. 三、解答题二次函数f(x)满足且f(0)=0,且对任意x ∈R 总有f(x +1)=f(x)+x +1,求f(x)的解析式.设f(x)={x +2(x ≤−1),x 2(−1<x <2),2x(x ≥2).(1)在直角坐标系中画出f(x)的图象;(2)若f(t)=3,求t 值. 四、选择题如图,函数f(x)的图象是折线段ABC ,其中点A ,B ,C 的坐标分别为(0, 4),(2, 0),(6, 4),则f{f[f(2)]}= ( )A.0B.2C.4D.6已知f(x)={x−5(x≥6)f(x+2)(x<6),则f(3)的值为________.已知f(x)满足f(x)+3f(−x)=x2−3x,则f(x)=________x24+32x.某公司规定,职工入职工资为2000元每月,以后三年中,每年的月工资是上一月的2倍,3年以后按月薪144000元计算,试用列表,图象,解析式3种不同的形式表示该公司某职工前5年中,月工资y(元)(年薪按12个月平均计算)和年份序号x的函数关系,并指出该函数的定义域和值域.参考答案与试题解析苏教版必修1《5.2 函数的表示方法》同步练习卷一、选择题 1.【答案】 C【考点】 函数的求值 【解析】利用分段函数的性质求解. 【解答】解:∵ {1−√x ,x ≥0,2x ,x <0∴ f(−2)=2−2=14,f (f(−2))=f(14)=1−√14=12.故选C . 2. 【答案】 B【考点】函数的图象与图象的变换分段函数的解析式求法及其图象的作法 函数单调性的性质与判断【解析】先根据函数的图象利用分段函数写出函数的解析式,再根据所求由内向外逐一去掉括号,从而求出函数值. 【解答】由图象知f(x)={x +1(−1<x <0)x −1(0<x <1)∴ f(13)=13−1=−23,∴ f(f(13))=f(−23)=−23+1=13. 3.【答案】 B【考点】 函数的求值 【解析】根据π是无理数可求出g(π)的值,然后根据分段函数f(x)的解析式可求出f (g(π))的值. 【解答】解:∵ π是无理数, ∴ g(π)=0,则f (g(π))=f(0)=0 故选B . 4.【答案】 C【考点】函数的图象与图象的变换 函数的零点【解析】分别根据函数的定义域,函数零点以及f(0)的取值进行判断即可. 【解答】解:函数在P 处无意义,由图象看P 在y 轴右边, 所以−c >0,得c <0, 由图象可知,f(0)=bc 2>0, ∴ b >0,由f(x)=0得ax +b =0,即x =−ba ,即函数的零点x =−ba >0, ∴ a <0,综上a <0,b >0,c <0. 故选C . 5. 【答案】 D【考点】 函数的零点 函数的求值 【解析】 此题暂无解析 【解答】解:由题意,f (56)=3×56−b =52−b .由f [f (56)]=4,得{52−b <1,3(52−b)−b =4或{52−b ≥1,252−b−b =4.解得b =12. 故选D . 二、填空题 【答案】1−x 1+x,(x ≠−1)【考点】函数解析式的求解及常用方法 【解析】 换元法:令t =1−x 1+x,解出x 关于t 的式子,得到f(t)关于t 的表达式,从而得出f(x)的解析式. 【解答】 ∵1−x 1+x=−1+21+x,∴1−x 1+x≠−1令t =1−x 1+x ,(t ≠−1),则t +tx =1−x ,可得x =1−t 1+t∵ f(1−x1+x )=x ∴ f(t)=1−t1+t .即函数解析式为:f(x)=1−x1+x ,(x ≠−1) 【答案】 −2【考点】 函数的求值分段函数的解析式求法及其图象的作法 求函数的值【解析】根据分段函数的分段标准进行分类讨论,分别建立方程,求出满足条件的x 即可. 【解答】①当x ≤0时,x 2+1=5解得x =−2 ②当x >0时,−2x =5解得x =−52(舍去) 综上所述,x =−2, 【答案】 −1【考点】 函数的求值 【解析】由函数f(x)满足关系式f(x)+2f(1x)=3x ,分别令x =2和x =12,利用加减消元法,可得答案. 【解答】解:∵ f(x)+2f(1x )=3x , ∴ f(2)+2f(12)=6,①, f(12)+2f(2)=32,②,②×2−①得:3f(2)=−3, 故f(2)=−1. 故答案为:−1. 三、解答题【答案】由题意:f(x)是二次函数,设f(x)=ax 2+bx +c , ∵ f(0)=0, ∴ c =0,则f(x)=ax 2+bx ,∵ f(x +1)=f(x)+x +1,即a(x +1)2+b(x +1)=ax 2+x(b +1)+1 由:{2a +b =b +1a +b =1 ,解得{a =12b =12 . 故得f(x)的解析式为:f(x)=12x 2+12x ,【考点】函数解析式的求解及常用方法 【解析】f(x)是二次函数,设出解析式,利用待定系数法求解. 【解答】由题意:f(x)是二次函数,设f(x)=ax 2+bx +c , ∵ f(0)=0, ∴ c =0,则f(x)=ax 2+bx ,∵ f(x +1)=f(x)+x +1,即a(x +1)2+b(x +1)=ax 2+x(b +1)+1 由:{2a +b =b +1a +b =1 ,解得{a =12b =12 . 故得f(x)的解析式为:f(x)=12x 2+12x , 【答案】 解:(1)如图(2)由函数的图象可得:f(t)=3, 即t 2=3且−1<t <2. ∴ t =√3.【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法 函数的求值 【解析】由分段函数,按照基本函数作图,第一段一次函数,第二次二次函数,第三次为一次函数,要注意每段的定义域.【解答】解:(1)如图(2)由函数的图象可得:f(t)=3,即t2=3且−1<t<2.∴t=√3.四、选择题【答案】B【考点】函数的求值【解析】结合函数的性质和图象求解.【解答】解:∵函数f(x)的图象是折线段ABC,其中点A,B,C的坐标分别为(0, 4),(2, 0),(6, 4),∴f(2)=0,f[f(2)]=f(0)=4,f{f[f(2)]}=f(4)=2.故选B.【答案】2【考点】函数的求值求函数的值【解析】由题意得f(3)=f(5)=f(7),故f(7)为所求.【解答】∵f(x)={x−5(x≥6)f(x+2)(x<6),则f(3)=f(5)=f(7)=7−5=2,【答案】x2 4+3 2x【考点】函数解析式的求解及常用方法【解析】由f(x)+3f(−x)=x2−3x,可得f(−x)+3f(x)=x2+3x.联立解得f(x)即可.【解答】用−x替换原式中的x得,f(−x)+3f(x)=x2+3x,联立f(x)+3f(−x)=x2−3x,消去f(−x),得f(x)=x 24+32x.【答案】由题意,可得解析式:y={2000,x=1 4000,x=2 8000,x=3 144000,x=4,5,函数的定义域{1, 2, 3, 4, 5},值域{2000, 4000, 8000, 14400}.【考点】根据实际问题选择函数类型【解析】根据题意,可得函数解析式、列表,图象的表示,可得该函数的定义域和值域.【解答】由题意,可得解析式:y={2000,x=1 4000,x=2 8000,x=3 144000,x=4,5,函数的定义域{1, 2, 3, 4, 5},值域{2000, 4000, 8000, 14400}.。
学业分层测评(建议用时:45分钟)学业达标]一、填空题1.函数f (x )与g (x )的对应关系如下表:则gf (-1)]的值为【解析】 由列表法表示的函数可知f (-1)=1,g (1)=0,则gf (-1)]的值为0.【答案】 02.已知函数F (x )=f (x )+g (x ),其中f (x )是x 的正比例函数,g (x )是x 的反比例函数,且F ⎝ ⎛⎭⎪⎫13=16,F (1)=8,则F (x )的解析式为________.【解析】 设f (x )=kx (k ≠0),g (x )=mx (m ≠0), 则F (x )=kx +mx . 由F ⎝ ⎛⎭⎪⎫13=16,F (1)=8,得⎩⎨⎧13k +3m =16,k +m =8,解得⎩⎪⎨⎪⎧k =3,m =5,所以F (x )=3x +5x . 【答案】 F (x )=3x +5x图2-1-63.已知函数f (x )的图象是两条线段(如图2-1-6,不含端点),则 f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13=________. 【解析】 由图象知,当-1<x <0时,f (x )=x +1, 当0<x <1时,f (x )=x -1, ∴f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x +1,-1<x <0,x -1,0<x <1,∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13=13-1=-23, ∴f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13=f ⎝ ⎛⎭⎪⎫-23=-23+1=13. 【答案】 134.函数f (x )=⎩⎨⎧2x 2,0≤x <1,2,1≤x <2,3,x ≥2的值域是________.【解析】 当0≤x <1时,f (x )=2x 2∈0,2);当1≤x <2时,f (x )=2;当x ≥2时,f (x )=3.【答案】 {y |0≤y ≤2或y =3}5.设函数f ⎝⎛⎭⎪⎫1-x 1+x =x ,则f (x )=________. 【解析】 设t =1-x 1+x ,∴x =1-t 1+t ,∴f (t )=1-t1+t ,∴f (x )=1-x1+x.【答案】1-x1+x6.已知函数y =⎩⎨⎧x 2+1(x ≤0),-2x (x >0),使函数值为5的x 的值是________.【解析】若x 2+1=5,则x 2=4,又∵x ≤0,∴x =-2;若-2x =5,则x =-52,与x >0矛盾,故答案为-2.【答案】 -27.若函数f (x )满足关系式f (x )+2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x =3x ,则f (2)的值为________.【导学号:37590025】【解析】 把x =2代入得f (2)+2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12=6,把x =12代入得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12+2f (2)=32,解方程组可得f (2)=-1.【答案】 -18.已知f (x )=⎩⎨⎧1,x ≥0,-1,x <0,则不等式x +(x +2)·f (x +2)≤5的解集是________.【解析】 当x +2≥0,即x ≥-2时,f (x +2)=1,则有x +x +2≤5,得-2≤x ≤32;当x +2<0,即x <-2时,f (x +2)=-1,则有x -x -2≤5,不等式恒成立,综上可知,x ≤32.【答案】 ⎝ ⎛⎦⎥⎤-∞,32 二、解答题9.已知二次函数f (x )满足f (0)=0,且对任意x ∈R 总有f (x +1)=f (x )+x +1,求f (x ).【解】 设f (x )=ax 2+bx +c (a ≠0), ∵f (0)=c =0,∴f (x +1)=a (x +1)2+b (x +1) =ax 2+(2a +b )x +a +b , f (x )+x +1=ax 2+bx +x +1 =ax 2+(b +1)x +1. ∴⎩⎪⎨⎪⎧2a +b =b +1,a +b =1,∴⎩⎪⎨⎪⎧a =12,b =12.∴f (x )=12x 2+12x .10.设f (x )=⎩⎨⎧x +2(x ≤-1),x 2(-1<x <2),2x (x ≥2),(1)在下列直角坐标系中画出f (x )的图象;图2-1-7(2)若f (t )=3,求t 值. 【解析】 (1)如图(2)由函数的图象可得:f (t )=3即t 2=3且-1<t <2,∴t = 3.能力提升]1.如图2-1-8,函数f (x )的图象是折线段ABC ,其中点A ,B ,C 的坐标分别为(0,4),(2,0),(6,4),则f {ff (2)]}=________.图2-1-8【解析】 由题意可知f (2)=0,f (0)=4,f (4)=2. 因此,有f {ff (2)]}=ff (0)]=f (4)=2. 【答案】 22.已知f (x )=⎩⎨⎧x -5(x ≥6),f (x +2)(x <6),则f (3)=________. 【导学号:37590026】【解析】 由函数解析式可知f (3)=f (5)=f (7)=2. 【答案】 23.已知f (x )满足f (x )+3f (-x )=x 2-3x ,则f (x )=________. 【解析】用-x 替换原式中的x 得f (-x )+3f (x )=x 2+3x , 联立f (x )+3f (-x )=x 2-3x , 消去f (-x )得f (x )=x 24+32x . 【答案】 x 24+32x4.某公司规定:职工入职工资为2 000元/月.以后2年中,每年的月工资是上一年月工资的2倍,3年以后按年薪144 000元计算.试用列表、图象、解析式三种不同的形式表示该公司某职工前5年中,月工资y (元)(年薪按12个月平均计算)和年份序号x 的函数关系,并指出该函数的定义域和值域.【解】 由题意,前3年的月工资分别为2 000元,4 000元,8 000元,第4年和第5年的月工资平均为:144 00012=12 000.当年份序号为x 时,月工资为y 元,则用列表法表示为:年份序号x (年) 1 2 3 4 5 月工资y (元) 2 0004 0008 00012 00012 000图象法表示为:其解析式为:f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧2 000×2x -1,x ∈{1,2,3},12 000,x ∈{4,5}.由题意,该函数的定义域为{1,2,3,4,5},值域为{2 000,4 000,8 000,12 000}.。
课后导练基础达标1.已知f(x)=⎩⎨⎧<+-≥+,01,012x x x x 则f [f(-1)]值为( ) A.5 B.2 C.-1 D.-2解析:由题意知f(-1)=-(-1)+1=2 ∴f [f(-1)]=f(2)=22+1=5,故选A.答案:A2.已知f(x)=⎩⎨⎧<+≥-,6)2(,64x x f x x 则f(3)等于( )A.1B.2C.3D.4解析:f(3)=f(3+2)=f(5+2)=7-4=3.故选C.答案:C3.下列图中可作为函数y=f(x)的图象的是( )解析:由函数的定义知选D.答案:D4.已知正方形周长为x ,它的外接圆的半径为y ,则y 关于x 的函数解析式是( )A.y=21x B.y=42x C.y=82x D.y=162x 解析:正方形周长为x ,则其边长为4x ,由解直角三角形可得y=22·4x =82x ,故选C. 答案:C5.某厂日产手套总成本y (元)与手套日产量x (双)的关系为y=5x+4 000,而厂子出售手套每双10元,若要保证不亏本,日产量应为( )A.2 000双B.4 000双C.600双D.800双 解析:设刚好生产x 双不亏本,则有10x ≥5x+4 000,则x ≥800,故选D.答案:D6.已知f(x)=⎩⎨⎧>-≤+),0(2)0(12x x x x 若f(x)=10,则x=_____________.解析:易知x ≤0.∴x 2+1=10,x=-3.答案:-37.若f(x-1)=2x+5,则f(x 2)=___________.解析:令x-1=t ,则x=t+1,f(t)=2(t+1)+5=2t+7,∴f(x 2)=2x 2+7.答案:2x 2+78.将函数y=122++x x +2|x+2|改写为分段函数.解析:y=122++x x +2|x+2| =2)1(-x +2|x+2|=|x-1|+2|x+2|,要去掉绝对值需对1与-2两点分数轴所成的三部分讨论,当x<-2时,y=1-x-2(x+2)=-3x-3,当-2≤x ≤1时,y=1-x+2(x+2)=x+5,当x>1时,y=x-1+2(x+2)=3x+3,∴原函数可化为y=⎪⎩⎪⎨⎧>+≤≤-+-<--.133,125,233x x x x x x x 9.植物园要建形状为直角梯形的苗圃,两邻边借用夹角为135°的两面墙,另两边总长为30米,设垂直于底边的腰长为x 米,则苗圃面积S 关于x 的函数解析式.解析:设直角梯形的垂直于底的腰为x ,则下底为(30-x )米,过135°角的顶点向底边作垂线,由等腰直角三角形知上底为(30-2x )米,∴S=2)30()230(x x -+-x=-23x 2+30x ,因为要构成的图形为梯形而不是三角形 , ∴0<x<15.10.若f{f [f(x)]}=27x+26,求一次函数f(x)的解析式.解析:设f(x)=ax+b,f [f(x)]=a 2x+ab+b,f{f [(x)]}=a(a 2x+ab+b)+b=a 3x+a 2b+ab+b,∴⎪⎩⎪⎨⎧=++=,26,2723b ab b a a 解得a=3,b=2. 若a=3,b=2,则f(x)=3x+2,f [f(x)]=3(3x+2)+2=9x+8,f{f [(x)]}=3(9x+8)+2=27x+26.∴a=3,b=2,f(x)=3x+2为所求.综合训练11.已知函数f(x)=⎩⎨⎧<-≥1,1x x x x 奇函数g(x)在x=0处有定义,且x<0时,g(x)=x(1+x),则方程f(x)+g(x)=f(x)·g(x)的解的个数有( )A.4个B.3个C.2个D.1个解析:当x>0时,-x<0,g(x)=-g(-x)=x(1-x),且g(0)=0,∴f(x)+g(x)=⎪⎩⎪⎨⎧≥-+<<-+-≤++-,1)1(,10)1(,0)1(x x x x x x x x x x x x 即f(x)+g(x)=⎪⎩⎪⎨⎧≥-<<-≤,12,10,0222x x x x x x x f(x)·g(x)=⎪⎩⎪⎨⎧≥-<<--≤+-.1)1(,10)1(,0)1(222x x x x x x x x x当x ≤0时,x 2=-x 2(1+x),x 2(2+x)=0得x=0或x=-2;当0<x<1时,-x 2=-x 2(1-x),x 3=0,无解;当x ≥1时,2x-x 2=x 2(1-x),x(x 2-2x+2)=0,无解.∴方程共有两个解.答案:C12.在x 克a%的盐水中,加入y 克b%的盐水,浓度变成c%,则x 与y 的函数关系式为( ) A.y=b c a c --x B.y=c b a c --x C.y=c a c b --x D.y=ac c b --x 解析:据配制前后溶质不变,有a%·x+b%·y=c%·(x+y),即ax+by=cx+cy ,故y=c b a c --x. 答案:B13.已知f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧<=>+,00,0,01x x x x π则f [f(-1)]=_______________. 解析:f(-1)=0,当x=0时,f(0)=π.答案:π14.已知f(2x-1)=4x 2-2x ,则f(x)=____________,f(1)=___________.解析:f(2x-1)=4x 2-2x,令t=2x-1 ∴x=21+t ,∴f(t)=4(21+t )2-2·21+t =t 2+t, ∴f(x)=x 2+x.∴f(1)=1+1=2.答案:x 2+x 215.如果函数f(x)满足方程af(x)+f(x1)=ax,x ∈R ,且x ≠0,a 为常数,且a ≠±1则f(x)的解析式是什么? 解析:∵af(x)+f(x1)=ax, ① 将x 换成x 1,则x 1换成x ,得af(x1)+f(x)=ax, ② 由①②消去f(x1), 即①×a-②得(a 2-1)f(x)=a 2x-x a . ∵a ≠±1,∴f(x)=122--a x ax a , 即f(x)=xa ax a )1()1(22--(x ∈R ,且x ≠0). 拓展提升16.A 、B 两地相距150千米,某汽车以每小时50千米的速度从A 地到B 地,在B 地停留2小时之后,又以每小时60千米的速度返回A 地.(1)写出该车离开A 地的距离s (千米)关于时间t (小时)的函数关系,并画出图象;(2)求车开出6小时后,车离开A 地的距离.解析:(1)由50 t=150得t 1=3.由60 t=150,得t 2=25.∴当0≤t ≤3时,s=50 t ; 当3<t ≤5时,s=150;当5<t ≤7.5时,s=150-60(t-5)=-60t+450.∴所求函数关系式为s=⎪⎩⎪⎨⎧∈+-∈∈].5,7,5(45060],5,3(150],3,0[50t t t t t图象如下图所示.(2)当t=6时,s=150-60(6-5)=90(千米),即车开出6小时后,车离开A 地的距离为90千米.。
[学生用书P91(单独成册)][A基础达标]1.设f(x)=2x+3,g(x)=f(x-2),则g(x)等于()A.2x+1B.2x-1C.2x-3D.2x+7解析:选B.因为f(x)=2x+3,所以f(x-2)=2(x-2)+3=2x-1,即g(x)=2x-1,故选B.2.已知函数f(x-1)=x2-3,则f(2)的值为()A.-2 B.6C.1 D.0解析:选B.法一:令x-1=t,则x=t+1,所以f(t)=(t+1)2-3,所以f(2)=(2+1)2-3=6.法二:f(x-1)=(x-1)2+2(x-1)-2,所以f(x)=x2+2x-2,所以f(2)=22+2×2-2=6.法三:令x-1=2,所以x=3,所以f(2)=32-3=6.3.已知函数y=f(x)的对应关系如表所示,函数y=g(x) 的图象是如图的曲线ABC,其中A(1,3),B(2,1),C(3,2),则f(g(2))的值为()x 123f(x)230A.3C.1 D.0解析:选B.由函数g(x)的图象知,g(2)=1,则f (g (2))=f (1)=2.4.已知f (x )是一次函数,且满足3f (x +1)=2x +17,则f (x )等于( ) A.23x +5 B .23x +1C .2x -3D .2x +1解析:选A.因为f (x )是一次函数, 所以设f (x )=ax +b (a ≠0),由3f (x +1)=2x +17,得3[a (x +1)+b ]=2x +17, 整理得3ax +3(a +b )=2x +17, 所以⎩⎪⎨⎪⎧3a =2,3(a +b )=17,所以⎩⎪⎨⎪⎧a =23,b =5,所以f (x )=23x +5,故选A.5.一水池有2个进水口,1个出水口,进出水速度如图甲、乙所示.某天0点到6点,该水池的蓄水量如图丙所示.(至少打开一个水口)给出以下3个论断:①0点到3点只进水不出水;②3点到4点不进水只出水;③4点到6点不进水不出水. 则正确论断的个数是( ) A .0 B .1 C .2D .3解析:选B.由题意可知在0点到3点这段时间,每小时进水量为2,即2个进水口同时进水且不出水,所以①正确;从丙图可知3点到4点水量减少了1,所以应该是有一个进水口进水,同时出水口也出水,故②错;当两个进水口同时进水,出水口也同时出水时,水量保持不变,故③错.6.已知函数y =f (x )的图象如图所示,则f (x )的值域为________.解析:观察图象可得y 的取值范围为[0,1]. 答案:[0,1]7.已知正方形的周长为x ,它的外接圆的半径为y ,则y 关于x 的解析式为________. 解析:正方形边长为x 4,而(2y )2=⎝⎛⎭⎫x 42+⎝⎛⎭⎫x 42,所以y 2=x 232.所以y =x 42=28x .答案:y =28x 8.某单位为鼓励职工节约用水,作出了如下规定:每位职工每月用水不超过10立方米的,按每立方米m 元收费.用水超过10立方米的,超过部分按每立方米 2m 元收费.某职工某月缴水费16m 元,则该职工这个月实际用水为________.解析:该单位职工每月应缴水费y 与实际用水量x 满足的关系式为y =⎩⎨⎧mx ,0≤x ≤10,2mx -10m ,x >10.由y =16m ,可知x >10.令2mx -10m =16m , 解得x =13(立方米). 答案:13立方米9.已知函数p =f (m )的图象如图所示.求: (1)函数p =f (m )的定义域; (2)函数p =f (m )的值域;(3)p 取何值时,只有唯一的m 值与之对应.解:(1)观察函数p =f (m )的图象,可以看出图象上所有点的横坐标的取值范围是-3≤m ≤0或1≤m ≤4,由图知定义域为[-3,0]∪[1,4].(2)由图知值域为[-2,2].(3)由图知:p ∈(0,2]时,只有唯一的m 值与之对应.10.如图,动点P 从边长为4的正方形ABCD 的顶点B 开始,顺次经C 、D 、A 绕边界运动,用x 表示点P 的行程,y 表示△APB 的面积,求函数y =f (x )的解析式.解:当点P 在BC 上运动, 即0≤x ≤4时,y =12×4x =2x ;当点P 在CD 上运动,即4<x ≤8时,y =12×4×4=8;当点P 在DA 上运动,即8<x ≤12时, y =12×4×(12-x )=24-2x . 综上可知,f (x )=⎩⎨⎧2x ,0≤x ≤4,8,4<x ≤8,24-2x ,8<x ≤12.[B 能力提升]1.设f (x )=2x +a ,g (x )=14(x 2+3),且g (f (x ))=x 2-x +1,则a 的值为( )A .1B .-1C .1或-1D .1或-2解析:选B.因为g (x )=14(x 2+3),所以g (f (x ))=14[(2x +a )2+3]=14(4x 2+4ax +a 2+3)=x 2-x +1,求得a =-1.故选B.2.已知等腰三角形的周长为24,它的底边y 与腰长x 的函数解析式为________. 解析:因为2x +y =24,所以y =24-2x .因为⎩⎪⎨⎪⎧24-2x >0,2x >24-2x ,所以6<x <12.故解析式为y =24-2x ,x ∈(6,12). 答案:y =24-2x ,x ∈(6,12)3.设f (x )是R 上的函数,且满足f (0)=1,并且对任意实数x ,y ,有f (x -y )=f (x )-y (2x -y +1),求f (x )的表达式.解:法一:由f (0)=1, f (x -y )=f (x )-y (2x -y +1),设x =y ,得f (0)=f (x )-x (2x -x +1). 因为f (0)=1,所以f (x )-x (2x -x +1)=1, 即f (x )=x 2+x +1.法二:令x =0,得f (0-y )=f (0)-y (-y +1), 即f (-y )=1-y (-y +1). 再令-y =x ,代入上式,得f (x )=1-(-x )(x +1)=1+x (x +1). 即f (x )=x 2+x +1.4.(选做题)如图,已知底角为45°的等腰梯形ABCD ,底边BC 长为7 cm ,腰长为2 2 cm ,且AG ⊥BC ,DH ⊥BC ,当垂直于底边BC (垂足为F )的直线l 从左至右移动(与梯形ABCD 有公共点)时,直线l 把梯形分成两部分,令BF =x ,试写出l 左侧图形的面积y 关于x 的函数解析式,并画出大致图象.解:因为四边形ABCD 是等腰梯形, 底角为45°,AB =2 2 cm , 所以BG =AG =DH =HC =2 cm. 又BC =7 cm ,所以AD =GH =3 cm.①当点F 在BG 上时,即x ∈(0,2]时,y =12x 2;②当点F 在GH 上时,即x ∈(2,5]时,y =12×2×2+2(x -2)=2x -2;③当点F 在HC 上时,即x ∈(5,7]时, y =S 五边形ABFED =S 梯形ABCD -S Rt △CEF =12(7+3)×2-12(7-x )2 =-12(x -7)2+10.综上,l 左侧图形的面积y =⎩⎨⎧12x 2,x ∈(0,2],2x -2,x ∈(2,5],-12(x -7)2+10,x ∈(5,7].其图象如图.。
第2章 函数2.1 函数的概念2.1.2 函数的表示方法A 级 基础巩固1.已知f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧10,x <0,10x ,x ≥0,则f (f (-7))的值为( )A .100B .10C .-10D .-100解析:因为f (x )=⎩⎨⎧10,x <0,10x ,x ≥0,所以f (-7)=10.f (f (-7))=f (10)=10×10=100.答案:A2.函数f (x )=cx 2x +3⎝ ⎛⎭⎪⎫x ≠-32满足f (f (x ))=x ,则常数c 等于() A .3 B .-3C .3或-3D .5或-3解析:f (f (x ))=c ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫cx 2x +32⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫cx 2x +3+3=c 2x 2cx +6x +9=x ,即x [(2c +6)x +9-c 2]=0,所以⎩⎨⎧2c +6=0,9-c 2=0,解得c =-3. 答案:B3.如果二次函数的图象开口向上且关于直线x =1对称,且过点(0,0),则此二次函数的解析式可以是( )A .f (x )=x 2-1B .f (x )=-(x -1)2+1C .f (x )=(x -1)2+1D .f (x )=(x -1)2-1解析:由题意设f (x )=a (x -1)2+b (a >0),由于点(0,0)在图象上,所以a +b =0,a =-b ,故符合条件的是D.答案:D4.某同学从家里赶往学校,一开始乘公共汽车匀速前进,在离学校还有少许路程时,改为步行匀速前进到校.下列图形纵轴表示该同学与学校的距离s ,横轴表示该同学出发后的时间t ,则比较符合该同学行进实际的是( )解析:依题意:s 表示该同学与学校的距离,t 表示该同学出发后的时间,当t =0时,s 最远,排除A 、B ,由于汽车速度比步行快,因此前段迅速靠近学校,后段较慢.故选D.答案:D5.g (x )=1-2x ,f (g (x ))=1-x 2x 2(x ≠0),则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12=( ) A .1 B .3 C .15 D .30解析:由g (x )=12得:1-2x =12⇒x =14, 代入1-x 2x 2得:1-⎝ ⎛⎭⎪⎫142⎝ ⎛⎭⎪⎫142=15. 答案:C6.(2015·陕西卷)设f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧1-x ,x ≥0,x 2,x <0,则f (f (-2))=( ) A .-1 B.14 C.12 D.32解析:f (-2)=(-2)2=4.所以f (f (-2))=f (4)=1-4=-1.答案:A7.已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x 2+3x ,x ≤0,2,x >0,则方程f (x )=x 的解的个数为________.解析:x >0时,x =f (x )=2;x ≤0时,x 2+3x =x ⇒x =0或-2. 答案:38.如图所示,函数f (x )的图象是折线段ABC ,其中点A ,B ,C 的坐标分别为(0,4),(2,0),(4,2),则f (f (f (2))=________.解析:由图象及已知条件知f (2)=0,即f (f (f (2)))=f (f (0)),又f (0)=4,所以f (f (0))=f (4)=2.答案:29.若某汽车以52 km/h 的速度从A 地驶向260 km 远处的B 地,在B 地停留32h 后,再以65 km/h 的速度返回A 地.则汽车离开A 地后行走的路程s 关于时间t 的函数解析式为________________.解析:因为260÷52=5(h),260÷65=4(h),所以s =⎩⎪⎨⎪⎧52t ,0≤t <5,260,5≤t ≤132,260+65⎝⎛⎭⎪⎫t -132,132<t ≤212. 答案:s =⎩⎪⎨⎪⎧52t ,0≤t <5,260,5≤t ≤132,260+65⎝⎛⎭⎪⎫t -132,132<t ≤21210.设f (x )=⎩⎨⎧x +1,x ≥0,1x ,x <0.若f (a )>a ,则实数a 的取值范围是________.解析:当a ≥0时,f (a )=a +1>a 恒成立.当a <0时,f (a )=1a>a ,所以a <-1. 综上a 的取值范围是a ≥0或a <-1.答案:{a |a ≥0或a <-1}11.已知二次函数满足f (3x +1)=9x 2-6x +5,求f (x ).解:设f (x )=ax 2+bx +c (a ≠0),则f (3x +1)=a (3x +1)2+b (3x +1)+c =9ax 2+(6a +3b )x +a +b +c .因为f (3x +1)=9x 2-6x +5,所以9ax 2+(6a +3b )x +a +b +c =9x 2-6x +5.比较两端系数,得⎩⎪⎨⎪⎧9a =9,6a +3b =-6,a +b +c =5⇒⎩⎪⎨⎪⎧a =1,b =-4,c =8.所以f (x )=x 2-4x +8.12.已知f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x 2(-1≤x ≤1),1(x >1或x <-1). (1)画出f (x )的图象;(2)求f (x )的定义域和值域.解:(1)利用描点法,作出f (x )的图象,如图所示.(2)由条件知,函数f (x )的定义域为R.由图象知,当-1≤x ≤1时,f (x )=x 2的值域为[0,1],当x >1或x <-1时,f (x )=1,所以f (x )的值域为[0,1].B 级 能力提升13.已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧3x +2,x <1,x 2+ax ,x ≥1.若f (f (0))=4a ,则实数a 的值为( )A .2B .1C .3D .4解析:易知f (0)=2,所以f (f (0))=f (2)=4+2a =4a ,所以a =2. 答案:A14.任取x 1,x 2∈[a ,b ]且x 1≠x 2,若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1+x 22>12[f (x 1)+f (x 2)],则f (x )在[a ,b ]上是凸函数,在以下图象中,是凸函数的图象是( )解析:只需在图形中任取自变量x 1,x 2,分别标出它们对应的函数值及x 1+x 22对应的函数值,并观察它们的大小关系即可. 答案:D15.根据统计,一名工人组装第x 件某产品所用的时间(单位:分钟)为f (x )=⎩⎨⎧C x ,x <A ,C A ,x ≥A ,A ,C 为常数.已知工人组装第4件产品用时30分钟,组装第A 件产品用时15分钟,那么C 和A 的值分别是( ) A .75,25B .75.16C .60,25D .60,16解析:由条件可知,x ≥A 时所用时间为常数,所以组装第4件产品用时必须满足第一段分段函数,即f (4)=C 4=30⇒C =60, f (A )=60A=15⇒A =16. 答案:D16.已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x 2-4,0≤x ≤2,2x ,x >2. (1)求f (2),f (f (2))的值;(2)若f (x 0)=8,求x 0的值.解:(1)因为0≤x ≤2时,f (x )=x 2-4,所以f (2)=22-4=0,f (f (2))=f (0)=02-4=-4.(2)当0≤x 0≤2时,由x 20-4=8,得x 0=±23∉[0,2],故无解. 当x 0>2时,由2x 0=8,得x 0=4.因此f (x 0)=8时,x 0的值为4.17.某市出租车的计价标准是:4 km 以内10元,超过4 km 且不超过18 km 的部分1.2 元/km ,超过18 km 的部分1.8 元/km.(1)如果不计等待时间的费用,建立车费与行车里程的函数关系式;(2)如果某人乘车行驶了20 km ,他要付多少车费?解:(1)设车费为y 元,出租车行驶里程为x km.由题意知,当0<x ≤4时,y =10;当4<x ≤18时,y =10+1.2(x -4)=1.2x +5.2;当x >18时,y =10+1.2×14+1.8(x -18)=1.8x -5.6.所以,所求函数关系式为y =⎩⎪⎨⎪⎧10,0<x ≤4,1.2x +5.2,4<x ≤18,1.8x -5.6,x >18.(2)当x =20时,y =1.8×20-5.6=30.4.所以乘车行驶了20 km 要付30.4元的车费.18.某种商品在30天内每件的销售价格P (元)与时间t (天)的函数关系用图①表示,该商品在30天内日销售量Q (件)与时间t (天)之间的关系如下表所示:(1)根据提供的图象(图①),写出该商品每件的销售价格P 与时间t 的函数解析式;(2)在所给平面直角坐标系(图②)中,根据表中提供的数据描出实数对(t ,Q )的对应点,并确定一个日销售量Q 与时间t 的函数解析式;(3)求该商品的日销售金额的最大值,并指出日销售金额最大的一天是30天中的第几天(日销售金额=每件的销售价格×日销售量).解:(1)根据图象,每件的销售价格P 与时间t 的函数解析式为:P =⎩⎨⎧t +20,0<t <25,t ∈N ,-t +100,25≤t ≤30,t ∈N.(2)描出实数对(t ,Q )的对应点,如下图所示.从图象发现:点(5,35),(15,25),(20,20),(30,10)似乎在同一条直线上,为此假设它们共线于直线l :Q =kt +b .由点(5,35),(30,10)确定出l 的解析式为Q =-t +40,通过检验可知,点(15,25),(20,20)也在直线l 上.所以日销售量Q 与时间t 的一个函数解析式为Q =-t +40(0<t ≤30,t ∈N).(3)设日销售金额为y (元),则y =⎩⎨⎧-t 2+20t +800,0<t <25,t ∈N ,t 2-140t +4 000,25≤t ≤30,t ∈N.因此y =⎩⎨⎧-(t -10)2+900,0<t <25,t ∈N ,(t -70)2-900,25≤t ≤30,t ∈N.若0<t <25(t ∈N),则当t =10时,y max =900;若25≤t ≤30(t ∈N),则当t =25时,y max =1 125.因此第25天时销售金额最大,最大值为1 125元.。
函数的表示方法同步练习一.选择题1.向高为 H 的水瓶 A、B、C、D 同时以等速灌水,注满为止,若水量V 与水深 h 的函数的图象是左下图,则水瓶的形状为()2.对某种产品市场产销量状况如下图,此中:l1表示产品各年年产量的变化规律; l 2表示产品各年的销售状况.以下表达:()(1)产品产量、销售量均以直线上涨,仍可按原生产计划进行下去;(2)产品已经出现了供大于求的状况,价钱将趋跌;(3)产品的库存积压将愈来愈严重,应压缩产量或扩大销售量;(4)产品的产、销状况均以必定的年增加率递加.你以为较合理的是 ( )A .(1),(2),(3) B. (1),(3),(4)C.( 2),( 4)D.( 2),( 3)3.函数yO xAA.1f ( x)B.f ( x)15.已知函数 f ( x)( x2yyO x OxBC1C. D. f ( x)f (x)x), F (x) f [ f (x)] ,则F(x)的分析式是(y xx的xy图象为()O4.已知函数x x1f ( x),D x1则 f(-x)=())A . xB .0C. f(x) D . -f(x)x( x0)0 时F (x) f (x)x,x 0时, F ( x) f (0)0 ,应选C。
由f (x)得 x0( x0)二.填空题6. 在一种对应关系x y, y ax b, x R, y R 中,已知x=2时,y=5; x=-2时,y=-3. 请你求出当 x=2020时 , y=。
7 若 f(x)=2x 2 -1,则 f(x-1)=8.若f ( x 3)x 22x1,则 f (x)=9. 6. 已知二次函数f(x) 同时知足条件 : (1)对称轴是 x=1; (2) f(x) 的最大值为 15;(3) f(x) 的两根立方和等于 17.则 f(x) 的分析式是.10.某批发商批发某种商品的单价P(单位:元 /千克)与一次性批发数目Q(单位:元 /千克)之间函数的图象如图,一零售商仅有现金2700 元,他最多可购置这类商品____千克(不考虑运输费等其余花费) 。
2.1.2函数的表示方法1.已知函数f(x)=⎩⎪⎨⎪⎧ x -1,0,x +1,x>0,x =0,x<0,则f(f(12))=__________.2.x ∈A ,y ∈B ,下列两个表格①和②能看成y 是x 的函数的表格是________.①②3.函数y =f(x)的图象如右图所示,那么f(x)的定义域是________;值域是________;其中只与x 的一个值对应的y 值的范围是________.4.已知函数f(x)=x +2x -6,求解:(1)点(3,14)在f(x)的图象上吗? (2)当x =4时,求f(x)的值; (3)当f(x)=2时,求x 的值.课堂巩固1.已知函数f(x)=⎩⎪⎨⎪⎧ -π,0,x 2-1,x>0,x =0,x<0,则f(f(-π))的值为________.2.下列图形是函数y =-|x|(x ∈[-2,2])的图象的序号是________.3.(1)已知f(1x )=1x +1,则f(x)的解析式为________.(2)已知f(x)是一次函数,若f(f(x))=9x +3,则f(x)的解析式为__________. 4.已知正方形的周长为x ,它的外接圆的半径为y ,则y 关于x 的解析式是__________.5.已知f(12x -1)=2x +3,f(m)=6,则m 等于__________.6.如下图,某灌溉渠的横断面是等腰梯形,底宽2m ,渠深1.8m ,边坡的倾角是45°.(1)试用解析表达式将横断面中水的面积Am 2表示成水深hm 的函数; (2)画出函数的图象;(3)确定函数的定义域和值域.1.设f(x)=⎩⎪⎨⎪⎧ |x -1|-2,11+x2,|x|≤1,|x|>1,则f(f(12))=________.2.下列图象中表示函数关系y =f(x)的序号是__________.3.植物园要建形状为直角梯形的苗圃,两邻边借用夹角为135°的两面墙,另两边总长为30米.设垂直于底边的腰长为x 米,则苗圃面积S 关于x 的函数解析式为__________.4.已知函数f(x)=⎩⎪⎨⎪⎧ x +2,x 2,2x ,x ≤-1,-1<x<2,x ≥2.若f(a)=3,则a 的值是__________.5.由于水污染日益严重,水资源变得日益短缺.为了节约用水,某市政府拟自2009年开始对居民自来水收费标准调整如下:每户每月用水不超过4吨时,每吨6元;当用水超过4吨时,超过部分每吨增收3元.则某户居民所交水费y 元与该月此户居民所用水量x 吨之间的函数关系式为____________. 6.已知f(x)+2f(1x)=x(x ≠0),则f(x)=__________.7.函数f(x)对于任意实数x 满足条件f(x +2)=1f(x),若f(1)=-5,则f(f(5))=__________.8.(1)已知f(x)满足f(x -1x )=x 2+1x2,则f(x +1)的表达式为__________.(2)(易错题)已知f(1-x)=x ,则f(x)的解析式为__________.9.如图,用长为l 的铁丝弯成下部为矩形,上部为半圆形的框架,若矩形底边长为2x ,求此框架围成的面积y 与x 的函数关系式,并指出其定义域.10.已知函数f(x)=⎩⎪⎨⎪⎧-x ,-1≤x<0,x 2,0≤x<1,x ,1≤x ≤2.(1)求下列各值:f(-8),f(12),f(32),f(-23);(2)作出函数的简图; (3)求函数的值域.答案2.1.2函数的表示方法课前预习1.1212>0,∴f(12)=12-1=-12<0. ∴f(f(12))=f(-12)=-12+1=12.2.②从表格①中可以得到集合A 中的元素2和集合B 中的两个元素89,85对应, ∴表示①不能看成y 是x 的函数,而表格②则可以. 3.[-3,0]∪[2,3) [1,5) [1,2)∪(4,5) 4.解:(1)∵3+23-6=-53≠14,∴点(3,14)不满足函数解析式,即点(3,14)不在函数f(x)的图象上. (2)当x =4时,f(x)=4+24-6=-3.(3)由f(x)=2得x +2x -6=2,解得x =14.课堂巩固1.-π∵-π<0,∴f(-π)=(-π)2-1=π2-1>0. ∴f(f(-π))=f(π2-1)=-π.2.②y =-|x|=⎩⎪⎨⎪⎧ -x ,x ,0≤x ≤2,-2≤x<0.其中y =-x(0≤x ≤2)是直线y =-x 上满足0≤x ≤2的一条线段(包括端点),y =x 是直线y =x 上满足-2≤x <0的一条线段(包括左端点),其图象在原点及x 轴下方. 3.(1)f(x)=xx +1(x ≠0且x ≠-1)(2)f(x)=3x +34或f(x)=-3x -32(1)令u =1x ,∵x ≠0且x ≠-1,∴x =1u,u ≠0且u ≠-1.∴f(u)=11u +1=uu +1(u ≠0且u ≠-1),即f(x)=xx +1(x ≠0且x ≠-1).(2)由题设f(x)=ax +b ,则f(f(x))=f(ax +b)=a(ax +b)+b =a 2x +ab +b =9x +3,比较系数得,a 2=9且ab +b =3,∴⎩⎪⎨⎪⎧ a =3,b =34,或⎩⎪⎨⎪⎧a =-3,b =-32.∴f(x)=3x +34或f(x)=-3x -32.4.y =28x 如图,设正方形的边长为a ,则4a =x. ∴a =x 4.由勾股定理得(2y)2=a 2+a 2=2a 2.∴y =22a =28x. 5.-14方法一:设12x -1=t ,则x =2t +2,f(t)=2×(2t +2)+3=4t +7, 即f(x)=4x +7. ∴f(m)=4m +7=6. ∴m =-14.方法二:令2x +3=6,得x =32.∴m =12x -1=12×32-1=-14.6.解:(1)由已知,横断面为等腰梯形,下底为2m ,上底为(2+2h)m ,高为hm , ∴水的横断面面积A =[2+(2+2h)]h 2=h 2+2h(0<h<1.8).(2)函数图象如下确定:由于A =(h +1)2-1,对称轴为直线h =-1,顶点坐标为(-1,-1),且图象过(0,0)和(-2,0),又考虑到0<h<1.8,∴函数A =h 2+2h 的图象仅是抛物线的一部分,如图所示.(3)定义域为{h|0<h<1.8},值域由函数A =h 2+2h =(h +1)2-1的图象可知,在区间(0,1.8)上函数图象上升,∴0<A<6.84,故值域为(0,6.84).课后检测1.413∵|12|≤1, ∴f(12)=|12-1|-2=-32.∵|-32|>1,f(-32)=11+(-32)2=413,∴f(f(12))=f(-32)=413.2.②⑤⑥∵在图②⑤⑥中,一个自变量x 都对应唯一的y 值,能表示函数f(x),而①③④则有一个x 值对应两个y 值的情况,故不能表示函数.3.S =-32x 2+30x ,x ∈(0,15)如图所示,直角梯形的高为x 米,一底边长为(30-x)米,则另一底边长为(30-2x)米.由梯形面积公式得S =12[(30-x)+(30-2x)]·x=12(60-3x)x =-32x 2+30x. 又30-2x>0,∴0<x<15.∴所求的函数解析式为S =-32x 2+30x ,x ∈(0,15).4.3当a ≤-1时,f(a)=a +2=3,得a =1与a ≤-1矛盾,舍去; 当-1<a<2时,f(a)=a 2=3,∴a =±3,∵-3∉(-1,2)舍去,∴a =3;当a ≥2时,f(a)=2a =3,得a =32,与a ≥2矛盾,舍去.综上可知,a = 3.5.y =⎩⎪⎨⎪⎧ 6x ,9x -12,0≤x ≤4,x>4当用水量0≤x ≤4时,水费y =6x ;当用水量x>4时,水费y =24+9(x -4)=9x -12. 6.f(x)=23x -x 3(x ≠0)∵f(x)+2f(1x)=x(x ≠0),①∴将上式中的x 都用1x 替换得f(1x )+2f(x)=1x .②解①②关于f(x)与f(1x )的二元方程组得f(x)=23x -x3(x ≠0).7.-15由f(x +2)=1f(x),得f(x +4)=1f(x +2)=f(x),∴f(5)=f(1)=-5.∴f(f(5))=f(-5)=f(-1)=1f(-1+2)=1f(1)=-15.8.(1)f(x +1)=(x +1)2+2(2)f(x)=(x -1)2(x ≤1)(1)∵f(x -1x )=x 2+1x 2=(x 2-2x·1x +1x 2)+2x·1x=(x -1x)2+2,∴f(x)=x 2+2.∴f(x +1)=(x +1)2+2. (2)设1-x =t ,则x =(1-t)2. ∵x ≥0,∴t ≤1. ∴f(t)=(1-t)2(t ≤1).∴f(x)的解析式为f(x)=(x -1)2(x ≤1).点评:求函数解析式常用方法有配凑法(配方),如第(1)小题;换元法,如第(2)小题,课堂巩固3题中的第(1)题;待定系数法,如课堂巩固第3题的(2)小题;构造方程组消元法,如前面第6题等.本题第(2)小题是将“1-x ”换元为另一个字母t ,求出变量x 与t 的关系后代入原式可求出t 的函数关系,从而得出所求解析式,但用此换元法要特别注意正确确定中间变量t 的取值范围,否则就不能准确得出函数f(x)的定义域.9.解:由题意知此框架是由一个矩形和一个半圆组成的图形,而矩形的长AB =2x ,设宽为a ,则2x +2a +πx =l ,即a =l 2-πx2-x ,半圆的直径为2x ,半径为x.所以y =π2x 2+(l 2-π2x -x)·2x =-(2+π2)x 2+lx.根据实际意义知l 2-π2x -x>0,又因为x>0,所以0<x<l2+π,即函数y =-(2+π2)x 2+lx 的定义域是{x|0<x<l2+π}.10.解:函数的定义域为[-1,0)∪[0,1)∪[1,2]=[-1,2]. (1)因为-8∉[-1,2],所以f(-8)无意义. 因为-1≤x<0时,f(x)=-x ,所以f(-23)=-(-23)=23.因为0≤x<1时,f(x)=x 2, 所以f(12)=(12)2=14.因为1≤x ≤2时,f(x)=x ,所以f(32)=32.(2)在同一坐标系中分段画出函数图象,如图所示.(3)由(2)画出的图象可知,函数的值域为[0,2].点评:(1)分段函数的定义域是各段自变量取值集合的并集,应注意在不同的自变量取值范围内用不同的关系式,所以求值时应根据自变量的值所在的区间选用相应的关系式.分段函数的值域是各段函数值的集合的并集而不是交集,分段函数的最大(小)值是各段上的最大(小)值中的最大(小)者.(2)画分段函数的图象时,要注意不同段之间图象端点间的衔接,该用实心点用实心点,该用空心点就用空心点,不能出现“一对多”现象.。