2020届高考数学(理科)总复习课时跟踪练(十八)定积分与微积分基本定理含解析

3.3 定积分与微积分基本定理挖命题【考情探究】分析解读 1.了解微积分基本定理,会求函数的定积分.2.理解定积分的几何意义,会求曲边梯形的面积.3.本节在近五年的课标卷中没有考查,但却是自主命题地区的命题热点,考查定积分的求解,定积分的应用(求平面图形的面积),多以选择题,填空题的形式出现,分值为5分,属中低档题.破考点【考点集训】考点定积分与微积分基本定理1.(2017陕西西安高新一中一模,8)-(xcos x+)dx的值为( )A. B. C. D.答案D2.(2017江西赣中南五校二模,5)设f(x)=--则-f(x)dx的值为( )A.+B.+3C.+D.+3答案A3.(2017山西大学附中第二次模拟,13)曲线y=2sin x(0≤x≤π)与直线y=1围成的封闭图形的面积为.答案2-炼技法【方法集训】方法利用定积分求图形面积的方法1.(2017河北邯郸一模,8)如图,在边长为2的正方形ABCD中,M是AB的中点,则过C,M,D三点的抛物线与CD围成阴影部分的面积是( )A. B. C. D.答案D2.(2018河南商丘期末,8)如图,在由直线x=0,y=0,x=及曲线y=cos x围成的区域内任取一点,则该点落在直线x=0及曲线y=sin x,y=cos x围成的区域内(阴影部分)的概率为( )A.1-B.-C.3-2D.-1答案D过专题【五年高考】自主命题·省(区、市)卷题组1.(2014江西,8,5分)若f(x)=x2+2则( )A.-1B.-C.D.1答案Bf(x)g(x)dx=0,则称f(x),g(x)为区间[-1,1]上的一2.(2014湖北,6,5分)若函数f(x),g(x)满足-组正交函数.给出三组函数:①f(x)=sin x,g(x)=cos x;②f(x)=x+1,g(x)=x-1;③f(x)=x,g(x)=x2.其中为区间[-1,1]上的正交函数的组数是( )A.0B.1C.2D.3答案C3.(2015天津,11,5分)曲线y=x2与直线y=x所围成的封闭图形的面积为.答案4.(2015陕西,16,5分)如图,一横截面为等腰梯形的水渠,因泥沙沉积,导致水渠截面边界呈抛物线型(图中虚线所示),则原始的最大流量与当前最大流量的比值为.答案 1.2教师专用题组1.(2014山东,6,5分)直线y=4x与曲线y=x3在第一象限内围成的封闭图形的面积为( )A.2B.4C.2D.4答案D2.(2014陕西,3,5分)定积分(2x+e x)dx的值为( )A.e+2B.e+1C.eD.e-1答案C3.(2014湖南,9,5分)已知函数f(x)=sin(x-φ),且f(x)dx=0,则函数f(x)的图象的一条对称轴是( )A.x=B.x=C.x=D.x=答案A4.(2015湖南,11,5分)-dx= .答案0【三年模拟】一、选择题(每小题5分,共50分)1.(2019届江西九江高三第一次十校联考,6)M=dx,T=sin2xdx,则T的值为( )A. B.-C.-1 D.1答案A2.(2019届山东日照一中第二次质量达标检测,5)在函数y=cos x,x∈-的图象上有一点P(t,cos t),若该函数的图象与x轴、直线x=t,围成图形(如图阴影部分)的面积为S,则函数S=g(t)的图象大致是( )答案B3.(2019届吉林长春实验中学上学期期中,6)设f(x)=则f(x)dx等于( )A. B. C. D.0答案A4.(2018河南郑州一模,6)汽车以v=(3t+2)m/s做变速运动时,在第1s至第2s之间的1s内经过的路程是( )A.5mB.mC.6mD.m答案D5.(2018湖北孝感模拟,5)已知-dx=,则m的值为( )A.-B.C.-D.-1答案B6.(2017江西仿真模拟,3)设f(x)+g(x)=2tdt,x∈R,若函数f(x)为奇函数,则g(x)的解析式可以为( )A.x3B.cos xC.1+xD.xe x答案C7.(2018四川广元第一次高考适应性统考,7)如图,在长方形OABC内任取一点P(x,y),则点P落在阴影部分内的概率为( )A. B. C. D.答案D8.(2018陕西西安期末,4)f(x)=且f(f(e))=10,则m的值为( )A.1B.2C.-1D.-2答案B9.(2018山东菏泽第一次模拟,8)若(n∈N*)的展开式中含有常数项,且n的最小值为a,-dx=( )则-A.36πB.C.D.25π答案C10.(2018湖南衡阳联考,10)如图,函数f(x)=-的图象与x轴围成一个山峰形状的图形,设该图形夹在两条直线x=t,x=t+2(-2≤t≤2)之间的部分的面积为S(t),则下列判断正确的是( )A.S(0)=4ln2+2B.S(-2)=2S(2)C.S(t)的最大值为S(1)D.S(t)在[-2,2]上的最大值与最小值之差为6-4ln2答案D二、填空题(每小题5分,共15分)11.(2019届安徽皖南八校第一次联考,14)用min{a,b}表示a,b两个数中的最小数,设f(x)=min,则由函数f(x)的图象,x轴,直线x=和直线x=2所围成的封闭图形的面积为.答案+ln212.(2019届江西新余第四中学月考,13)由x=-,x=,y=0,y=cos x四条曲线所围成的封闭图形的面积为.答案13.(2018广东阳春第一中学月考,14)(|x-1|+|x-3|)dx= .答案10。

高考数学一轮复习课时作业18定积分与微积分基本定理理（含解析）新人教版课时作业18 定积分与微积分基本定理一、选择题1．定积分⎠⎛01(3x ＋e x)d x 的值为( D )A ．e ＋1B ．eC ．e －12D ．e ＋12解析：⎠⎛01(3x ＋e x)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32x 2＋e x |10＝32＋e －1＝e ＋12. 2．若f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3＋sin x ，－1≤x ≤1，3，1<x ≤2，则⎠⎛2－1f (x )d x ＝( D )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：⎠⎛-12f (x )d x ＝⎠⎛-11 (x 3＋sin x )d x ＋⎠⎛123d x ＝0＋3x|21＝6－3＝3.3．已知a ＝2－13 ，b ＝(2log 23) －12 ，c ＝14⎠⎛0πsin x d x ，则实数a ，b ，c 的大小关系是( C )A ．a >c >bB ．b >a >cC ．a >b >cD ．c >b >a解析：依题意得，a ＝2－13 ，b ＝3－12 ，c ＝－14cos x|π0＝12，所以a 6＝2－2＝14，b 6＝3－3＝127，c 6＝(12)6＝164，则a >b >c .选C. 4．若⎠⎛01(x 2＋mx )d x ＝0，则实数m 的值为( B )A ．－13B ．－23C ．－1D ．－2解析：由题意知0(x 2＋mx )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 33＋mx 22|10＝13＋m2＝0，解得m ＝－23.5．由曲线y ＝x ，直线y ＝x －2及y 轴所围成的图形的面积为( C ) A.103 B ．4 C.163D ．6 解析：作出曲线y ＝x 和直线y ＝x －2的草图(如图所示)，所求面积为阴影部分的面积．由⎩⎨⎧y ＝x ，y ＝x －2得交点A (4,2)．因此y ＝x 与y ＝x －2及y 轴所围成的图形的面积为⎠⎛04 [x －(x －2)]d x ＝⎠⎛04 (x －x＋2)d x＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫23x 32 －12x 2＋2x |40＝23×8－12×16＋2×4＝163. 6．抛物线y ＝－x 2＋2x 与x 轴围成的封闭图形的面积是( C ) A.34 B ．1 C.43 D.54解析：令－x 2＋2x ＝0，得x ＝0或x ＝2，所以抛物线y ＝－x 2＋2x 与x 轴围成的封闭图形的面积S ＝⎠⎛02 (－x 2＋2x )d x ＝(－13x 3＋x 2)|20＝－83＋4＝43.故选C.7．若f (x )＝x 2＋2⎠⎛01f (x )d x ，则⎠⎛01f (x )d x ＝( B )A ．－1B ．－13C.13D ．1解析：设m ＝⎠⎛01f (x )d x ，则f (x )＝x 2＋2m ，⎠⎛01f (x )d x ＝⎠⎛01(x 2＋2m )d x ＝(13x 3＋2mx )|10 ＝13＋2m ＝m ，所以m ＝－13.故选B. 8．已知f (x )为偶函数且⎠⎛06f (x )d x ＝8，则⎠⎛-66f (x )d x 等于( D )A ．0B ．4C ．8D ．16解析：⎠⎛-66f (x )d x ＝⎠⎛-66f (x )d x ＋⎠⎛06f (x )d x ，因为f (x )为偶函数，所以f (x )的图象关于y 轴对称， 故⎠⎛-66f (x )d x ＝2⎠⎛06f (x )d x ＝2×8＝16.故选D.二、填空题9．若函数f (x )＝x ＋1x ，则⎠⎛1e f (x )d x ＝12e 2＋12.解析：⎠⎛1e f (x )d x ＝⎠⎛1e ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2＋ln x |e 1＝12e 2＋12.10．一物体在力F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧5，0≤x ≤2，3x ＋4，x >2(单位：N)的作用下沿与力F 相同的方向，从x ＝0处运动到x ＝4(单位：m)处，则力F (x )做的功为36J.解析：由题意知，力F (x )所做的功为W ＝⎠⎛04F (x )d x ＝⎠⎛025d x ＋⎠⎛24(3x ＋4)d x ＝5x 20＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32x 2＋4x |42＝5×2＋⎣⎢⎡32×42＋4×4－⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫32×22＋4×2＝36(J)． 11．(2019·安徽二模)计算：⎠⎛01(2x －x 2－x )d x ＝π－24.解析：由定积分的几何意义知⎠⎛012x －x 2d x 是由y ＝2x －x 2与直线x ＝0，x ＝1所围成的图形的面积，即是以(1,0)为圆心，以1为半径的圆的面积的14，故⎠⎛012x －x 2d x ＝π4，⎠⎛01 (－x )d x ＝－12x 210＝－12，∴⎠⎛01 (2x －x 2－x )d x ＝π－24.12．已知直线AB ：x ＋y －6＝0(A ，B 为直线与x 轴、y 轴的交点)与抛物线y ＝x 2及x 轴正半轴围成的图形为Ω，若从Rt △AOB 区域内任取一点M (x ，y )，则点M 取自图形Ω的概率为1627.解析：由定积分可求得阴影部分图形Ω的面积为S＝⎠⎛2x 2d x＋⎠⎛26(6－x)d x＝323.又Rt △AOB的面积为12×6×6＝18，所以P＝32318＝1627.13．若直线y＝1与函数f(x)＝2sin2x的图象相交于点P(x1，y1)，Q(x2，y2)，且|x1－x2|＝2π3，则线段PQ与函数f(x)的图象所围成的图形面积是( A )A.2π3＋ 3 B.π3＋ 3C.2π3＋3－2 D.π3＋3－2解析：如图，分别画出直线y＝1与函数f(x)＝2sin2x的图象，不妨令P在Q的左边，由|x1－x2|＝2π3可得满足题意的两个交点为P(5π12，1)，Q(13π12，1)，将线段PQ与函数f(x)的图象所围成的图形面积的问题转化为定积分的问题，即S＝ (1－2sin2x)d x＝(x＋cos2x) ＝(13π12＋cos13π6)－(5π12＋cos5π6)＝2π3＋ 3.故选A.14．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ，x >0，x ＋⎠⎛0a 3t 2d t ，x ≤0，若f (f (1))≥1，则实数a 的取值范围是( D )A ．a ≤－1B ．a ≥－1C ．a ≤1D ．a ≥1解析：由题知，f (1)＝0，f (f (1))＝f (0)＝⎠⎛0a 3t 2d t ＝t 3a0＝a 3，所以f (f (1))≥1，即a 3≥1，解得a ≥1.故选D.尖子生小题库——供重点班学生使用，普通班学生慎用15．(2019·长沙模拟)设a ＝⎠⎛01cos x d x ，b ＝⎠⎛01sin x d x ，则下列关系式成立的是( A )A ．a >bB ．a ＋b <1C ．a <bD ．a ＋b ＝1解析：∵(sin x )′＝cos x ，∴a ＝⎠⎛01cos x d x ＝sin x|10＝sin1.∵(－cos x )′＝sin x ，∴b＝⎠⎛01sin x d x ＝(－cos x )|10＝1－cos1.∵sin1＋cos1>1，∴sin1>1－cos1，即a >b .故选A.16．设M ，m 分别是f (x )在区间[a ，b ]上的最大值和最小值，则m (b －a )≤⎠⎛ab f (x )d x ≤M (b－a )．根据上述估值定理可知定积分⎠⎛-122－x2d x 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤316，3. 解析：因为当－1≤x ≤2时，0≤x 2≤4，所以116≤2－x2≤1.根据估值定理得116×[2－(－1)]≤⎠⎛-122－x 2d x ≤1×[2－(－1)]，即316≤⎠⎛-122－x2d x ≤3.。

第3节 定积分与微积分基本定理最新考纲 1.了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念，几何意义；2.了解微积分基本定理的含义.知 识 梳 理1.定积分的概念与几何意义 (1)定积分的定义如果函数f (x )在区间[a ，b ]上连续，用分点将区间[a ，b ]等分成n 个小区间，在每个小区间上任取一点ξi (i ＝1，2，…，n )，作和式∑n i ＝1f (ξi )Δx ＝∑ni ＝1b －anf (ξi )，当n →∞时，上述和式无限接近于某个常数，这个常数叫做函数f (x )在区间[a ，b ]上的定积分，记作⎠⎛a b f (x )d x ，即⎠⎛ab f (x )d x ＝在⎠⎛a b f (x )d x 中，a ，b 分别叫做积分下限与积分上限，区间[a ，b ]叫做积分区间，函数f (x )叫做被积函数，x 叫做积分变量，f (x )d x 叫做被积式. (2)定积分的几何意义(1)⎠⎛a b kf (x )d x ＝k ⎠⎛ab f (x )d x (k 为常数).(2)⎠⎛a b [f 1(x )±f 2(x )]d x ＝⎠⎛a b f 1(x )d x ±⎠⎛a b f 2(x )d x . (3)⎠⎛a b f (x )d x ＝⎠⎛a c f (x )d x ＋⎠⎛c b f (x )d x (其中a ＜c ＜b ). 3.微积分基本定理一般地，如果f (x )是在区间[a ，b ]上的连续函数，且F ′(x )＝f (x )，那么⎠⎛abf (x )d x ＝F (b )－F (a ).这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿—莱布尼茨公式.可以把F (b )－F (a )记为F (x )⎪⎪⎪ba ，即⎠⎛a bf (x )d x ＝F (x )⎪⎪⎪ba )＝F (b )－F (a ).[微点提醒]函数f (x )在闭区间[－a ，a ]上连续，则有 (1)若f (x )为偶函数，则⎠⎛－a a f (x )d x ＝2⎠⎛0a f (x )d x .(2)若f (x )为奇函数，则⎠⎛－aa f (x )d x ＝0. 基 础 自 测1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)设函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上连续，则⎠⎛a b f (x )d x ＝⎠⎛a b f (t )d t .( )(2)曲线y ＝x 2与y ＝x 所围成的面积是⎠⎛01(x 2－x )d x .( ) (3)若⎠⎛a b f (x )d x <0，那么由y ＝f (x )，x ＝a ，x ＝b 以及x 轴所围成的图形一定在x轴下方.( )(4)定积分⎠⎛a b f (x )d x 一定等于由x ＝a ，x ＝b ，y ＝0及曲线y ＝f (x )所围成的曲边梯形的面积.( )(5)加速度对时间的积分是路程.( )解析 (2)y ＝x 2与y ＝x 所围成的面积是⎠⎛01(x －x 2)d x .(3)若⎠⎛ab f (x )d x <0，那么由y ＝f (x )，x ＝a ，x ＝b 以及x 轴所围成的图形在x 轴下方的面积比在x 轴上方的面积大.(4)定积分⎠⎛a b f (x )d x 等于由x ＝a ，x ＝b ，y ＝0及曲线y ＝f (x )所围成图形的面积的代数和.(5)加速度对时间的积分是速度，速度对时间的积分才是路程. 答案 (1)√ (2)× (3)× (4)× (5)×2.(选修2－2P50A5改编)定积分⎠⎛－11|x |d x ＝( )A.1B.2C.3D.4解析 ⎠⎛－11|x |d x ＝⎠⎛－10(－x )d x ＋⎠⎛01x d x ＝2⎠⎛01x d x ＝x 2⎪⎪⎪10＝1.答案 A3.(选修2－2P60A6改编)已知质点的速度v ＝10t ，则从t ＝0到t ＝t 0质点所经过的路程是( ) A.10t 20 B.5t 20C.103t 20 D.53t 20 解析 S ＝⎠⎛0t 0v d t ＝⎪⎪⎪⎠⎛0t010t d t ＝5t 2t 0＝5t 20. 答案B4.(2018·青岛月考)直线y ＝4x 与曲线y ＝x 3在第一象限内围成的封闭图形的面积S ，正确的是( ) A.S ＝⎠⎛02(4x －x 3)d xB.S ＝⎠⎛02(x 3－4x )d xC.S ＝⎠⎛02⎝⎛⎭⎪⎫3y －y 4d yD.S ＝⎠⎛02⎝ ⎛⎭⎪⎫y 4－3y d y解析 两函数图象的交点坐标是(0，0)，(2，8)，故对x 积分时，积分上限是2、下限是0，由于在[0，2]上，4x ≥x 3，故直线y ＝4x 与曲线y ＝x 3所围成的封闭图形的面积S ＝⎠⎛02(4x －x 3)d x ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫同理对y 积分时S ＝⎠⎛08⎝ ⎛⎭⎪⎫3y －y 4d y .答案 A5.(2019·安阳模拟)若a ＝⎠⎛02x 2d x ，b ＝⎠⎛02x 3d x ，c ＝⎠⎛02sin x d x ，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A.a <c <b B.a <b <c C.c <b <aD.c <a <b解析 由微积分基本定理a ＝⎠⎛02x 2d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3⎪⎪⎪20＝83，b ＝⎠⎛02x 3d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14x 4⎪⎪⎪20＝4，c ＝⎠⎛02sin x d x ＝(－cos x )⎪⎪⎪20＝1－cos 2<2，则c <a <b .答案 D6.(2019·昆明诊断)若⎠⎛a 0x 2d x ＝9，则常数a 的值为________. 解析 ⎠⎛a0x 2d x ＝13x 3⎪⎪⎪0a ＝－13a 3＝9，∴a 3＝－27，a ＝－3.答案 －3考点一 定积分的计算【例1】 (1)⎠⎛0π(cos x ＋1)d x ＝________. (2)⎠⎛－22|x 2－2x |d x ＝________. 解析 (1)⎠⎛0π(cos x ＋1)d x ＝(sin x ＋x )⎪⎪⎪π0＝π.(2)⎠⎛－22|x 2－2x |d x ＝⎠⎛－20(x 2－2x )d x ＋⎠⎛02(2x －x 2)d x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－x 2⎪⎪⎪0－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－13x 3⎪⎪⎪20＝83＋4＋4－83＝8.答案 (1)π (2)8规律方法 运用微积分基本定理求定积分时要注意以下几点： (1)对被积函数要先化简，再求积分；(2)若被积函数为分段函数的定积分，依据定积分“对区间的可加性”，先分段积分再求和；(3)对于含有绝对值符号的被积函数，要先去掉绝对值符号再求积分. 【训练1】 (1)设f (x )＝⎩⎨⎧x 2，x ∈[0，1]，2－x ，x ∈（1，2]，则⎠⎛02f (x )d x 等于( )A.34B.45C.56D.不存在 (2)定积分⎠⎛－11(x 2＋sin x )d x ＝________.解析 (1)如图，⎠⎛02f (x )d x ＝⎠⎛01x 2d x ＋⎠⎛12(2－x )d x ＝13x 3⎪⎪⎪10＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －12x 2⎪⎪⎪21＝13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫4－2－2＋12＝56.(2)⎠⎛－11(x 2＋sin x )d x ＝⎠⎛－11x 2d x ＋⎠⎛－11sin x d x ＝2⎠⎛01x 2d x ＝2·x 33⎪⎪⎪10＝23.答案 (1)C (2)23考点二 定积分的几何意义多维探究角度1 利用定积分的几何意义计算定积分【例2－1】 (1)计算：⎠⎛01(2x ＋1－x 2)d x ＝________.(2)若⎠⎛－2m －x 2－2x d x ＝π4，则m ＝________.解析 (1)由定积分的几何意义知，⎠⎛011－x 2 d x 表示以原点为圆心，以1为半径的圆的面积的14，所以⎠⎛011－x 2 d x ＝π4，又⎠⎛012x d x ＝x 2⎪⎪⎪10＝1，所以⎠⎛01(2x ＋1－x 2)d x ＝π4＋1.(2)根据定积分的几何意义⎠⎛－2m －x 2－2x d x 表示圆(x ＋1)2＋y 2＝1和直线x ＝－2，x ＝m 和y ＝0围成的图形的面积，又⎠⎛－2m －x 2－2x d x ＝π4为四分之一圆的面积，结合图形知m ＝－1. 答案 (1)π4＋1 (2)－1 角度2 利用定积分计算平面图形的面积【例2－2】 (一题多解)由抛物线y 2＝2x 与直线y ＝x －4围成的平面图形的面积为________.解析 如图所示，解方程组⎩⎨⎧y 2＝2x ，y ＝x －4，得两交点为(2，－2)，(8，4).法一 选取横坐标x 为积分变量，则图中阴影部分的面积S 可看作两部分面积之和，即S ＝2⎠⎛022x d x ＋⎠⎛28(2x －x ＋4)d x ＝18.法二 选取纵坐标y 为积分变量，则图中阴影部分的面积S ＝⎠⎛－24⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋4－12y 2d y ＝18. 答案 18规律方法 1.运用定积分的几何意义求定积分，当被积函数的原函数不易找到时常用此方法求定积分.2.利用定积分求曲边梯形面积的基本步骤：画草图、解方程得积分上、下限，把面积表示为已知函数的定积分(注意：两曲线的上、下位置关系，分段表示的面积之间的关系).【训练2】 (1)计算：⎠⎛133＋2x －x 2 d x ＝________.(2)已知曲线y ＝x 2与直线y ＝kx (k >0)所围成的曲边图形的面积为43，则k ＝________.解析 (1)由定积分的几何意义知，⎠⎛133＋2x －x 2 d x 表示圆(x －1)2＋y 2＝4和x＝1，x ＝3，y ＝0围成的图形的面积，∴⎠⎛133＋2x －x 2 d x ＝14×π×4＝π.(2)由⎩⎨⎧y ＝x 2，y ＝kx ，得⎩⎨⎧x ＝0，y ＝0或⎩⎨⎧x ＝k ，y ＝k 2，则曲线y ＝x 2与直线y ＝kx (k >0)所围成的曲边梯形的面积为⎠⎛0k (kx －x 2)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2x 2－13x 3⎪⎪⎪k0＝k 32－13k 3＝43，则k 3＝8，∴k ＝2.答案 (1)π (2)2考点三 定积分在物理中的应用【例3】 (1)物体A 以v ＝3t 2＋1(m/s)的速度在一直线l 上运动，物体B 在直线l 上，且在物体A 的正前方5 m 处，同时以v ＝10t (m/s)的速度与A 同向运动，出发后，物体A 追上物体B 所用的时间t (s)为( ) A.3B.4C.5D.6(2)设变力F (x )作用在质点M 上，使M 沿x 轴正向从x ＝1运动到x ＝10，已知F (x )＝x 2＋1且方向和x 轴正向相同，则变力F (x )对质点M 所做的功为________ J(x 的单位：m ，力的单位：N).解析 (1)因为物体A 在t 秒内行驶的路程为⎠⎛0t (3t 2＋1)d t ，物体B 在t 秒内行驶的路程为⎠⎛0t 10t d t .所以⎠⎛0t (3t 2＋1－10t )d t ＝(t 3＋t －5t 2)⎪⎪⎪t0＝t 3＋t －5t 2＝5.整理得(t －5)(t 2＋1)＝0，解得t ＝5.(2)变力F (x )＝x 2＋1使质点M 沿x 轴正向从x ＝1运动到x ＝10所做的功为 W ＝⎠⎛110F (x )d x ＝⎠⎛110(x 2＋1)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3＋x ⎪⎪⎪101＝342(J).答案 (1)C (2)342规律方法 定积分在物理中的两个应用(1)变速直线运动的位移：如果变速直线运动物体的速度为v ＝v (t )，那么从时刻t ＝a 到t ＝b 所经过的位移s ＝⎠⎛ab v (t )d t .(2)变力做功：一物体在变力F (x )的作用下，沿着与F (x )相同方向从x ＝a 移动到x ＝b 时，力F (x )所做的功是W ＝⎠⎛ab F (x )d x .【训练3】 一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v (t )＝7－3t ＋251＋t (t 的单位：s ，v 的单位：m/s)行驶至停止.在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是( ) A.1＋25ln 5 B.8＋25ln113C.4＋25ln 5D.4＋50ln 2解析 令v (t )＝0，得t ＝4或t ＝－83(舍去)，∴汽车行驶距离s ＝⎠⎛04⎝ ⎛⎭⎪⎫7－3t ＋251＋t d t ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤7t －32t 2＋25ln （1＋t ）⎪⎪⎪4＝28－24＋25ln 5＝4＋25ln 5(m). 答案 C[思维升华]1.定积分是一个数值(极限值)，它的值仅仅取决于被积函数与积分的上、下限，而与积分变量用什么字母表示无关.2.⎠⎛a b f (x )d x 、⎠⎛a b |f (x )|d x 与|⎠⎛a b f (x )d x |在几何意义上有不同的含义，由于被积函数f (x )在闭区间[a ，b ]上可正可负，也就是它的图象可以在x 轴上方、也可以在x 轴下方、还可以在x 轴的上下两侧，所以⎠⎛ab f (x )d x 表示由x 轴、函数f (x )的曲线及直线x ＝a ，x ＝b (a ≠b )之间各部分面积的代数和；而|f (x )|是非负的，所以⎠⎛ab |f (x )|d x 表示在区间[a ，b ]上所有以|f (x )|为曲边的正曲边梯形的面积；而|⎠⎛a b f (x )d x |则是⎠⎛a b f (x )d x 的绝对值，三者的值一般情况下是不相同的. [易错防范]1.若定积分的被积函数是分段函数，应分段积分然后求和.2.若积分式子中有几个不同的参数，则必须先分清谁是被积变量.3.定积分的几何意义是曲边梯形的面积，但要注意：面积非负，而定积分的结果可以为负.基础巩固题组 (建议用时：35分钟)一、选择题1.(2019·西安调研)定积分⎠⎛01(2x ＋e x)d x 的值为( )A.e ＋2B.e ＋1C.eD.e －1解析 ⎠⎛01(2x ＋e x )d x ＝(x 2＋e x )⎪⎪⎪10)＝1＋e 1－1＝e.答案 C2.已知⎠⎛1e⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －m d x ＝3－e 2，则m 的值为( )A.e －14e B.12 C.－12D.－1解析 由微积分基本定理得⎠⎛1e ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －m d x ＝(ln x －mx )⎪⎪⎪e1)＝m ＋1－m e ，结合题意得m ＋1－m e ＝3－e 2，解得m ＝12. 答案 B3.(2019·郑州模拟)汽车以v ＝(3t ＋2) m/s 做变速运动时，在第1 s 至第2 s 之间的1 s 内经过的路程是( ) A.132m B.6 mC.152m D.7 m解析 s ＝⎠⎛12(3t ＋2)d t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32t 2＋2t ⎪⎪⎪21＝32×4＋4－⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋2＝10－72＝132(m).答案 A4.π20⎰sin 2x2d x 等于( )A.0B.π4－12C.π4－14D.π2－1 解析π20⎰sin 2x2d x ＝π20⎰1－cos x 2d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －12sin x π20|＝π4－12.答案 B5.定积分⎠⎛02|x －1|d x 等于( )A.1B.－1C.0D.2解析 ⎠⎛02|x －1|d x ＝⎠⎛01|x －1|d x ＋⎠⎛12|x －1|d x＝⎠⎛01(1－x )d x ＋⎠⎛12(x －1)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －x 22⎪⎪⎪10＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22－x ⎪⎪⎪21＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫222－2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＝1.答案 A6.如图，指数函数的图象过点E (2，9)，则图中阴影部分的面积等于( )A.8ln 3B.8C.9ln 3D.9解析 设指数函数为y ＝a x (a >0且a ≠1)，因为其过点E (2，9)，所以a 2＝9，解得a ＝3，所以图中阴影部分的面积S ＝⎠⎛023xd x ＝3xln 3⎪⎪⎪20＝8ln 3.答案 A7.若f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ，x >0，x ＋⎠⎛0a 3t 2d t ，x ≤0，f [f (1)]＝1，则a 的值为( )A.1B.2C.－1D.－2解析 因为f (1)＝lg 1＝0，f (0)＝⎠⎛0a 3t 2d t ＝t 3⎪⎪⎪a0＝a 3，所以由f [f (1)]＝1，得a 3＝1，a ＝1. 答案 A8.由y ＝x 2，y ＝x 24，y ＝1所围成的图形的面积为( )A.43B.34C.2D.1解析 如图所示，阴影部分的面积为 S ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎠⎛01⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－14x 2d x ＋⎠⎛12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14x 2d x ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－112x 3⎪⎪⎪10＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x －112x 3⎪⎪⎪21 ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫13－112＋2－112×23－1＋112＝43.答案 A 二、填空题9.已知f (x )为偶函数且⎠⎛06f (x )d x ＝8，则⎠⎛－66f (x )d x ＝________.解析 原式＝⎠⎛－60f (x )d x ＋⎠⎛06f (x )d x ，因为原函数为偶函数，所以在y 轴两侧的图象对称，所以对应面积相等，即8×2＝16. 答案 1610.如图所示，函数y ＝－x 2＋2x ＋1与y ＝1相交形成一个闭合图形(图中的阴影部分)，则该闭合图形的面积是________.解析 由⎩⎨⎧y ＝－x 2＋2x ＋1，y ＝1，解得x 1＝0，x 2＝2.∴S ＝⎠⎛02(－x 2＋2x ＋1－1)d x ＝⎠⎛02(－x 2＋2x )d x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 33＋x 2⎪⎪⎪2＝－83＋4＝43.答案4311.(2019·济南模拟)设a >0，若曲线y ＝x 与直线x ＝a ，y ＝0所围成封闭图形的面积为a 2，则a ＝________. 解析 封闭图形如图所示，则⎠⎛0ax d x ＝23x 32⎪⎪⎪a0＝23a 32－0＝a 2，解得a ＝49.答案4912.(2019·广州调研)设f (x )＝⎩⎨⎧1－x 2，x ∈[－1，1），x 2－1，x ∈[1，2]，则⎠⎛－12f (x )d x 的值为________.解析 ⎠⎛－12f (x )d x ＝⎠⎛－111－x 2d x ＋⎠⎛12(x 2－1)d x＝12π×12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－x ⎪⎪⎪21＝π2＋43. 答案π2＋43能力提升题组 (建议用时：15分钟)13.(一题多解)若S 1＝⎠⎛12x 2d x ，S 2＝⎠⎛121x d x ，S 3＝⎠⎛12e x d x ，则S 1，S 2，S 3的大小关系为( ) A.S 1<S 2<S 3 B.S 2<S 1<S 3 C.S 2<S 3<S 1D.S 3<S 2<S 1解析 法一 S 1＝13x 3⎪⎪⎪21＝83－13＝73，S 2＝ln x ⎪⎪⎪21＝ln 2<ln e ＝1，S 3＝e x⎪⎪⎪21＝e 2－e≈2.72－2.7＝4.59，所以S 2<S 1<S 3.法二 S 1，S 2，S 3分别表示曲线y ＝x 2，y ＝1x，y ＝e x 与直线x ＝1，x ＝2及x 轴围成的图形的面积，通过作图易知S 2<S 1<S 3. 答案 B14.若f (x )＝x 2＋2⎠⎛01f (x )d x ，则⎠⎛01f (x )d x ＝( )A.－1B.－13C.13D.1解析 由题意知f (x )＝x 2＋2⎠⎛01f (x )d x ，设m ＝⎠⎛01f (x )d x ，则f (x )＝x 2＋2m ，⎠⎛01f (x )d x ＝⎠⎛01(x 2＋2m )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3＋2mx ⎪⎪⎪10 ＝13＋2m ＝m ，解得m ＝－13. 答案 B15.一物体在力F (x )＝⎩⎨⎧5，0≤x ≤2，3x ＋4，x ＞2(单位：N )的作用下沿与力F 相同的方向，从x ＝0处运动到x ＝4(单位：m)处，则力F (x )做的功为________ J. 解析 由题意知，力F (x )所做的功为W ＝⎠⎛04F (x )d x ＝⎠⎛025d x ＋⎠⎛24(3x ＋4)d x ＝5×2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32x 2＋4x ⎪⎪⎪42＝10＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤32×42＋4×4－⎝ ⎛⎭⎪⎫32×22＋4×2＝36(J).答案 3616.(2019·长春模拟)在平面直角坐标系xOy 中，将直线y ＝x 与直线x ＝1及x 轴所围成的图形绕x 轴旋转一周得到一个圆锥，圆锥的体积V圆锥＝⎠⎛01πx 2d x ＝π3x 3⎪⎪⎪10＝π3.据此类比：将曲线y ＝2 ln x 与直线y ＝1及x 轴、y 轴所围成的图形绕y 轴旋转一周得到一个旋转体，该旋转体的体积V ＝________.解析 类比已知结论，将曲线y ＝2ln x 与直线y ＝1及x 轴、y 轴所围成的图形绕y 轴旋转一周得到旋转体的体积应为一定积分，被积函数为π(e y2)2＝πe y ，积分变量为y ，积分区间为[0，1]，即V ＝⎠⎛01πe y d y ＝πe y ⎪⎪⎪10＝π(e－1).答案 π(e－1)。

定积分与微积分基本定理(理)基础巩固强化1.求曲线y ＝x 2与y ＝x 所围成图形的面积，其中正确的是( ) A ．S ＝⎠⎛01(x 2－x )d x B ．S ＝⎠⎛01(x －x 2)d xC ．S ＝⎠⎛01(y 2－y )d y D ．S ＝⎠⎛01(y －y )d y[答案]B[分析] 根据定积分的几何意义，确定积分上、下限和被积函数． [解析]两函数图象的交点坐标是(0,0)，(1,1)，故积分上限是1，下限是0，由于在[0,1]上，x ≥x 2，故函数y ＝x 2与y ＝x 所围成图形的面积S ＝⎠⎛01(x －x 2)d x .2．如图，阴影部分面积等于( )A ．23B ．2－ 3 C.323D.353 [答案]C[解析]图中阴影部分面积为S ＝⎠⎛-31(3－x 2－2x )d x ＝(3x －13x 3－x 2)|1－3＝323. 3.⎠⎛024－x 2d x ＝( )A ．4πB ．2πC ．π D.π2 [答案]C[解析]令y ＝4－x 2，则x 2＋y 2＝4(y ≥0)，由定积分的几何意义知所求积分为图中阴影部分的面积，∴S ＝14×π×22＝π.4.已知甲、乙两车由同一起点同时出发，并沿同一路线(假定为直线)行驶．甲车、乙车的速度曲线分别为v 甲和v 乙(如图所示)．那么对于图中给定的t 0和t 1，下列判断中一定正确的是( )A ．在t 1时刻，甲车在乙车前面B ．在t 1时刻，甲车在乙车后面C ．在t 0时刻，两车的位置相同D ．t 0时刻后，乙车在甲车前面 [答案]A[解析]判断甲、乙两车谁在前，谁在后的问题，实际上是判断在t 0，t 1时刻，甲、乙两车行驶路程的大小问题．根据定积分的几何意义知：车在某段时间行驶的路程就是该时间段速度函数的定积分，即速度函数v (t )的图象与t 轴以与时间段围成区域的面积．从图象知：在t 0时刻，v 甲的图象与t 轴和t ＝0，t ＝t 0围成区域的面积大于v 乙的图象与t 轴和t ＝0，t ＝t 0围成区域的面积，因此，在t 0时刻，甲车在乙车的前面，而且此时乙车的速度刚刚赶上甲车的速度，所以选项C ，D 错误；同样，在t 1时刻，v 甲的图象与t 轴和t ＝t 1围成区域的面积，仍然大于v 乙的图象与t 轴和t ＝t 1围成区域的面积，所以，可以断定：在t 1时刻，甲车还是在乙车的前面．所以选A.5．向平面区域Ω＝{(x ，y )|－π4≤x ≤π4，0≤y ≤1}随机投掷一点，该点落在曲线y ＝cos2x 下方的概率是( )A.π4B.12C.π2－1D.2π [答案]D[解析]平面区域Ω是矩形区域，其面积是π2，在这个区6．的值是( )A ．0 B.π4 C ．2 D ．－2 [答案]D[解析]2(cos sin )2x x ππ---＝2(cos sin )2x x ππ---＝－2. 7．⎠⎛02(2－|1－x |)d x ＝________.[答案]3[解析]∵y ＝⎩⎨⎧1＋x 0≤x ≤13－x 1<x ≤2，∴⎠⎛02(2－|1－x |)d x ＝⎠⎛01(1＋x )d x ＋⎠⎛12(3－x )d x＝(x ＋12x 2)|10＋(3x －12x 2)|21＝32＋32＝3. 9．已知a ＝20(sin cos )x x dx π+⎰，则二项式(a x －1x)6的展开式中含x 2项的系数是________．[答案]－192 [解析]由已知得a ＝2(sin cos )x x dx π+⎰＝(－cos x ＋sin x )|π20＝(sin π2－cos π2)－(sin0－cos0)＝2，(2x －1x)6的展开式中第r ＋1项是T r ＋1＝(－1)r ×C r 6×26－r×x 3－r ，令3－r ＝2得，r ＝1，故其系数为(－1)1×C 16×25＝－192.10．有一条直线与抛物线y ＝x 2相交于A 、B 两点，线段AB 与抛物线所围成图形的面积恒等于43，求线段AB 的中点P 的轨迹方程．[解析]设直线与抛物线的两个交点分别为A (a ，a 2)，B (b ，b 2)，不妨设a <b ，则直线AB 的方程为y －a 2＝b 2－a 2b －a (x －a )，即y ＝(a ＋b )x －ab .则直线AB 与抛物线围成图形的面积为S ＝⎠⎛ab [(a ＋b )x －ab －x 2]d x＝(a ＋b 2x 2－abx －x 33)|ba ＝16(b －a )3，∴16(b －a )3＝43，解得b －a ＝2.设线段AB 的中点坐标为P (x ，y )， 其中⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋b 2，y ＝a 2＋b 22.将b －a ＝2代入得⎩⎨⎧x ＝a ＋1，y ＝a 2＋2a ＋2.消去a 得y ＝x 2＋1.∴线段AB 的中点P 的轨迹方程为y ＝x 2＋1.能力拓展提升11.等比数列{a n }中，a 3＝6，前三项和S 3＝⎠⎛034x d x ，则公比q 的值为( )A ．1B ．－12C ．1或－12D ．－1或－12 [答案]C [解析]因为S 3＝⎠⎛034x d x ＝2x 2|30＝18，所以6q ＋6q 2＋6＝18，化简得2q 2－q －1＝0，解得q ＝1或q ＝－12，故选C.12．已知(x ln x )′＝ln x ＋1，则⎠⎛1e ln x d x ＝( )A ．1B ．eC ．e －1D ．e ＋1 [答案]A[解析]由(x ln x )′＝ln x ＋1，联想到(x ln x －x )′＝(ln x ＋1)－1＝ln x ，于是⎠⎛1e ln x d x ＝(x ln x －x )|e 1＝(e ln e －e )－(1×ln1－1)＝1.13．抛物线y 2＝2x 与直线y ＝4－x 围成的平面图形的面积为________．[答案]18[解析]由方程组⎩⎨⎧y 2＝2x ，y ＝4－x ，解得两交点A (2,2)、B (8，－4)，选y 作为积分变量x ＝y 22、x ＝4－y ，∴S ＝⎠⎛-42 [(4－y )－y 22]dy ＝(4y －y 22－y 36)|2－4＝18.14.已知函数f (x )＝e x －1，直线l 1：x ＝1，l 2：y ＝e t －1(t 为常数，且0≤t ≤1)．直线l 1，l 2与函数f (x )的图象围成的封闭图形如图中区域Ⅱ所示，其面积用S 2表示．直线l 2，y 轴与函数f (x )的图象围成的封闭图形如图中区域Ⅰ所示，其面积用S 1表示．当t 变化时，阴影部分的面积的最小值为________．[答案](e －1)2[解析]由题意得S 1＋S 2＝⎠⎛0t (e t －1－e x ＋1)d x ＋⎠⎛t1(e x －1－e t ＋1)d x＝⎠⎛0t (e t －e x )d x ＋⎠⎛t1(e x －e t )d x ＝(xe t －e x )|t 0＋(e x －xe t )|1t ＝(2t －3)e t ＋e ＋1，令g (t )＝(2t －3)e t ＋e ＋1(0≤t ≤1)，则g ′(t )＝2e t ＋(2t －3)e t ＝(2t －1)e t，令g ′(t )＝0，得t ＝12，∴当t ∈[0，12)时，g ′(t )<0，g (t )是减函数，当t ∈(12，1]时，g ′(t )>0，g (t )是增函数，因此g (t )的最小值为g (12)＝e ＋1－2e 12＝(e －1)2.故阴影部分的面积的最小值为(e －1)2.15．求下列定积分． (1)⎠⎛1－1|x |d x; (2)⎠⎛πcos 2x2d x ；(3)∫e ＋121x －1d x . [解析](1)⎠⎛1－1|x |d x ＝2⎠⎛1x d x ＝2×12x 2|10＝1.(2)⎠⎛πcos 2x 2d x ＝⎠⎛0π1＋cos x 2d x ＝12x |π0＋12sin x |π0＝π2. (3)∫e ＋121x －1d x ＝ln(x －1)|e ＋12＝1. 16．已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2＋bx (a ，b ∈R )的图象如图所示，它与x 轴在原点处相切，且x 轴与函数图象所围区域(图中阴影部分)的面积为112，求a 的值．[解析]f ′(x )＝－3x 2＋2ax ＋b ，∵f ′(0)＝0，∴b ＝0， ∴f (x )＝－x 3＋ax 2，令f (x )＝0，得x ＝0或x ＝a (a <0)． ∴S 阴影＝⎠⎛a0[0－(－x 3＋ax 2)]d x＝(14x 4－13ax 3)|0a ＝112a 4＝112， ∵a <0，∴a ＝－1.1．已知函数f (x )＝sin 5x ＋1，根据函数的性质、积分的性质和积分的几何意义，探求22()f x dx ππ-⎰的值，结果是( )A.16＋π2 B ．π C ．1 D ．0 [答案]B[解析]22()f x dx ππ-⎰＝22ππ-⎰sin 5x d x ＋22ππ-⎰1d x ，由于函数y ＝sin 5x 是奇函数，所以22ππ-⎰sin 5x d x ＝0，而22ππ-⎰1d x ＝x |π2－π2＝π，故选B.2．若函数f (x )＝⎩⎨⎧－x －1 (－1≤x <0)，cos x (0≤x <π2)，的图象与坐标轴所围成的封闭图形的面积为a ，则a 的值为( )A.2＋π4B.12 C ．1 D.32 [答案]D[解析]由图可知a ＝12＋⎠⎜⎜⎛0π2cos x d x ＝12＋sin x |π20＝32.3．对任意非零实数a 、b ，若a ⊗b 的运算原理如图所示，则2⊗⎠⎛0πsin x d x ＝________.[答案]22[解析]∵⎠⎛0πsin x d x ＝－cos x |π0＝2>2， ∴2⊗⎠⎛0πsin x d x ＝2⊗2＝2－12＝22. 4．设函数f (x )＝ax 2＋c (a ≠0)，若⎠⎛01f (x )d x ＝f (x 0)，0≤x 0≤1，则x 0的值为________． [答案]33[解析]⎠⎛01f (x )d x ＝⎠⎛01(ax 2＋c )d x ＝(ax 33＋cx )|10＝a 3＋c ，故a 3＋c ＝ax 20＋c ，即ax 20＝a 3，又a ≠0，所以x 20＝13，又0≤x 0≤1，所以x 0＝33.故填33. 5．设n ＝⎠⎛12(3x 2－2)d x ，则(x －2x)n 展开式中含x 2项的系数是________．[答案]40[解析]∵(x 3－2x )′＝3x 2－2， ∴n ＝⎠⎛12(3x 2－2)d x ＝(x 3－2x )|21 ＝(23－2×2)－(1－2)＝5.∴(x －2x )5的通项公式为T r ＋1＝C r 5x 5－r (－2x)r ＝(－2)r C r 5x 5－3r 2 ，令5－3r2＝2，得r ＝2， ∴x 2项的系数是(－2)2C 25＝40.。

备考2020年高考数学一轮复习：15 定积分与微积分基本定理（理科专用）一、单选题(共12题；共24分)1．（2分）由直线 y =3−x ，曲线 y =2√x 以及 x 轴所围成的封闭图形的面积是（ ）A ．83B ．3C ．103D ．√2+22．（2分）曲线 y =2x与直线 y =x −1 及 x =4 所围成的封闭图形的面积为( )A ．2ln2B ．2−ln2C ．4−ln2D ．4−2ln23．（2分）曲线y= 4x与直线y=5-x 围成的平面图形的面积为（ ） A ．152B ．154C ．154 -4ln2D ．152-8ln24．（2分）定积分 ∫−a a √a2−x 2dx 等于( )A ．14πa 2B ．12πa 2C ．πa 2D ．2πa 25．（2分）射线 y =4x(x ≥0) 与曲线 y =x 3 所围成的图形的面积为（ ）A ．2B ．4C ．5D ．66．（2分）曲线 y 2=x 与 y =x 2 所围图形的面积为（ ）A ．16B ．π−24C ．13D ．π2−17．（2分）曲线y ＝x 2与曲线y ＝8 √x 所围成的封闭图形的面积为 ( )A ．643B ．1283C ．483D ．14438．（2分）如图所示，正弦曲线 y =sin x ，余弦曲线 y =cos x 与两直线 x =0 ， x =π 所围成的阴影部分的面积为（ ）A ．1B ．√2C ．2D ．2√29．（2分）在求由 x =a,x =b(a <b),y =f(x)(f(x)≥0) 及 y =0 围成的曲边梯形的面积 S时，在区间 [a,b] 上等间隔地插入 n −1 个分点，分别过这些分点作x 轴的垂线，把曲边梯形分成 n 个小曲边梯形，下列说法中正确的是( ) A ．n 个小曲边梯形的面积和等于 S B ．n 个小曲边梯形的面积和小于 SC．n个小曲边梯形的面积和大于SD．n个小曲边梯形的面积和与S之间的大小关系无法确定10．（2分）由y＝1x，x＝1，x＝2，y＝0所围成的平面图形的面积为()A．ln 2B．ln 2－1C．1＋ln 2D．2ln 211．（2分）求由抛物线y=2x2与直线x=0,x=t(t>0),y=0所围成的曲边梯形的面积时，将区间[ [0,t]等分成n个小区间，则第i−1个区间为()A．[i−1n ,in]B．[i n,i+1n]C．[t(i−1)n ,tin]D．[t(i−2)n,t(i−1)n]12．（2分）如图，由曲线y=x2−1，直线x=0，x=2和x轴围成的封闭图形的面积是（）A．1B．23C．43D．2二、填空题(共6题；共6分)13．（1分）∫(√1−(x−1)2−2x)dx1=．14．（1分）由曲线y=1x，y2=x与直线x=2，y=0所围成图形的面积为．15．（1分）计算定积分∫(√1−(1−x)2−1)dx=1.16．（1分）∫02√4−x2dx=.17．（1分）曲线y=x2和曲线y= √x围成一个叶形图（如图所示阴影部分），其面积是．18．（1分）已知抛物线C：y=ax2的焦点坐标为(0，1)，则抛物线C与直线y=x所围成的封闭图形的面积为．三、解答题(共3题；共15分)19．（5分）如图，阴影部分区域是由函数y=cosx的图象，直线y=1，x=π围成，求这阴影部分区域面积．20．（5分）求曲线y=2x﹣x2，y=2x2﹣4x所围成图形的面积．与直线y=x，x=2所围成的图形面积．21．（5分）求曲线y= 1x答案解析部分1．【答案】C【解析】【解答】如下图所示，联立 {y =2√xy =3−x ，得 {x =1y =2 ，则直线 y =3−x 与曲线 y =2√x 交于点 A(1,2) ， 结合图形可知，所求区域的面积为 ∫12√xdx +∫(3−x)31dx=43x 32|1+(3x −12x 2)|13 =43+2=103 ，故答案为：C 。

年 级 高二 学科数学内容标题 定积分的计算 编稿老师马利军一、教学目标：1。

理解定积分的基本概念并能利用定积分的几何意义解决一些简单的积分计算问题。

2。

理解微积分的基本定理,并会用定积分公式解决简单函数的定积分问题。

二、知识要点分析1. 定积分的概念：函数)(x f 在区间［a ，b ］上的定积分表示为：⎰badx x f )(2. 定积分的几何意义：（1）当函数f （x ）在区间［a ，b]上恒为正时，定积分⎰badx x f )(的几何意义是：y=f（x)与x=a ，x=b 及x 轴围成的曲边梯形面积，在一般情形下.⎰b adx x f )(的几何意义是介于x 轴、函数f （x ）的图象、以及直线x=a,x=b 之间的各部分的面积代数和，在x 轴上方的面积取正号，x 轴下方的面积取负号。

在图（1）中：0s dx )x (f ba>=⎰，在图（2）中：0s dx )x (f ba<=⎰，在图（3)中：dx)x (f ba⎰表示函数y=f （x ）图象及直线x=a,x=b 、x 轴围成的面积的代数和。

注:函数y=f （x ）图象与x 轴及直线x=a ，x=b 围成的面积不一定等于⎰badx x f )(，仅当在区间[a,b ］上f （x ）恒正时，其面积才等于⎰badx x f )(。

3. 定积分的性质，（设函数f （x)，g （x ）在区间［a,b]上可积） (1）⎰⎰⎰±=±bab abadx )x (g dx )x (f dx )]x (g )x (f [（2）⎰⎰=bab a dx x f k dx x kf )()(，（k 为常数）（3）⎰⎰⎰+=bcbac adx x f dx x f dx x f )()()(（4）若在区间［a ，b ］上，⎰≥≥badx x f x f 0)(,0)(则推论：（1）若在区间［a,b]上，⎰⎰≤≤babadx x g dx x f x g x f )()(),()(则（2)⎰⎰≤babadx x f dx x f |)(||)(|（3)若f(x ）是偶函数，则⎰⎰=-a aadx x f dx x f 0)(2)(,若f （x ）是奇函数，则0)(=⎰-aadx x f4。

定积分与微积分基本定理【考点导读】1． 了解定积分的实际背景，初步掌握定积分的相关概念，体会定积分的基本方法。

2． 了解微积分基本定理的含义，能利用微积分基本定理计算简单的定积分，解决一些简单的几何和物理问题。

【基础练习】1．下列等于1的积分是 （3） 。

（1）dx x ⎰10 （2）dx x ⎰+10)1( （3）dx ⎰101 （4）dx ⎰10212.曲线3cos (0)2y x x π=≤≤与坐标轴围成的面积是 52。

3．已知自由落体运动的速率v gt =，则落体运动从0t =到0t t =所走的路程为 220gt。

4．如果10N 的力能使弹簧压缩10cm ，为在弹性限度内将弹簧拉长6cm ，则力所做的功为 0.18J 。

5．220(3)10,x k dx k +==⎰则1 , 8-=⎰__454 。

【范例导析】例1．计算下列定积分的值： （1）⎰--312)4(dx x x ；（2）⎰-215)1(dx x ；（3）dx x x ⎰+20)sin (π；（4）dx x ⎰-222cos ππ；分析：求函数()f x 在某一区间上的定积分，常用的方法有两种：一是利用定积分的几何意义，转化为曲边梯形的面积来处理；二是应用微积分基本定理，关键在于找到()F x ，使()()F x f x '=。

解：（1）3223311120(4)(2)|33x x dx x x ---=-=⎰ （2）因为56)1(])1(61[-='-x x ，所以61|)1(61)1(216215=-=-⎰x dx x ；（3）222200(sin )(cos )|128x x x dx x πππ+=-=+⎰ （4）22222221cos 2sin 2cos |2242x x x xdx dx πππππππ---+==+=⎰⎰dx x ⎰-222cos ππ点评：除了题目有明确要求之外，在求定积分的两种方法中我们基本上选用微积分基本定理解决问题，避免每次都要进行“分割、以直代曲、作和、逼近”的操作，不过有时候我们不容易找到比较()F x ，这时候用定义或者其几何意义就显得方便了。

课时跟踪检《定积分与微积分基本定理》1．设函数f (x )＝x m＋ax 的导函数f ′(x )＝2x ＋1，则⎠⎛12f (－x )d x 的值等于( )A.56B.12C.23D.162．从空中自由下落的一物体，在第一秒末恰经过电视塔顶，在第二秒末物体落地，已知自由落体的运动速度为v ＝gt (g 为常数)，则电视塔高为( )A.12g B ．g C.32gD ．2g3．已知二次函数y ＝f (x )的图象如图所示，则它与x 轴所围图形的面积为( )A.2π5 B.43 C.32D.π24．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，－1≤x <0，cos x ，0≤x ≤π2的图象与x 轴所围成的封闭图形的面积为( ) A.32B ．1C ．2D.125．由曲线y ＝x ，直线y ＝x －2及y 轴所围成的图形的面积为( ) A.103B ．4 C.163D ．66．设函数f (x )＝ax 2＋b (a ≠0)，若∫30f (x )d x ＝3f (x 0)，则x 0等于( ) A ．±1 B. 2 C ．±3D ．27．设函数f (x )＝ax 2＋c (a ≠0)，若∫10f (x )d x ＝f (x 0)，0≤x 0≤1，则x 0的值为______．8．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ∈[0，1]，1x ，x ∈(1，e](e 为自然对数的底数)，则∫e 0f (x )d x 的值为________．9．由三条曲线y ＝x 2，y ＝x 24，y ＝1所围成的封闭图形的面积为________．10．求下列定积分．(1)∫21⎝⎛⎭⎫x －x 2＋1x d x ；(2)∫0－π(cos x ＋e x )d x . 11．求函数y ＝∫x 0(sin t ＋cos t sin t )d t 的最大值．12．已知f (x )为二次函数，且f (－1)＝2，f ′(0)＝0，∫10f (x )d x ＝－2.(1)求f (x )的解析式；(2)求f (x )在[－1,1]上的最大值与最小值．1．由曲线y ＝x 2＋2x 与直线y ＝x 所围成的封闭图形的面积为( ) A.16 B.13 C.56D.232．若函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，且f (1)＝4，f ′(1)＝1，∫10f (x )d x ＝316，则函数f (x )的解析式为________．3.如图，过点A (6,4)作曲线f (x )＝4x －8的切线l . (1)求切线l 的方程；(2)求切线l 、x 轴及曲线f (x )＝4x －8所围成的封闭图形的面积S .[答 题 栏]答 案 课时跟踪检测(十七)A 级1．A 2.C 3.B 4.A5．选C 由y ＝x 及y ＝x －2可得，x ＝4，所以由y ＝x 及y ＝x －2及y 轴所围成的封闭图形面积为∫40(x －x ＋2)dx ＝⎝⎛⎪⎪23x 32－⎭⎫12x 2＋2x 40＝163.6．选C ∫30f (x )d x ＝∫30(ax 2＋b )d x ＝⎝⎛⎭⎫13ax 3＋bx⎪⎪30＝9a ＋3b ， 则9a ＋3b ＝3(ax 20＋b )， 即x 20＝3，x 0＝±3.7．解析：∫10f (x )d x ＝∫10(ax 2＋c )d x ＝⎝⎛⎭⎫13ax 3＋cx⎪⎪10 ＝13a ＋c ＝f (x 0)＝ax 20＋c ， ∴x 20＝13，x 0＝±33.又∵0≤x 0≤1，∴x 0＝33. 答案：338．解析：依题意得∫e 0f (x )d x ＝∫10x 2d x ＋∫e11xd x ＝x 33 ⎪⎪10＋ln x⎪⎪e1＝13＋1＝43. 答案：439．解析：解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，y ＝1，和⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 24，y ＝1，得交点坐标(－1,1)，(1,1)，(－2,1)，(2,1)．则S ＝2∫10⎝⎛⎭⎫x 2－x 24d x ＋∫211－x 24d x ＝2⎝⎛⎭⎫14x 3⎪⎪10＋x ⎪⎪⎪21－⎝⎛⎭⎫112x 3⎪⎪⎪21＝43. 答案：4310．解：(1)∫21⎝⎛⎭⎫x －x 2＋1x d x ＝∫21x d x －∫21x 2d x ＋∫211xd x ＝x 22 ⎪⎪21－x 33 ⎪⎪21＋ln x⎪⎪21＝32－73＋ln 2＝ln 2－56. (2)∫0－π(cos x ＋e x )d x ＝∫0－πcos x d x ＋∫0－πe x d x ＝sin x ⎪⎪0－π＋e x⎪⎪0－π＝1－1e π.11．解：y ＝∫x 0(sin t ＋cos t sin t )d t ＝∫x 0⎝⎛⎭⎫sin t ＋12sin 2t d t ＝⎝⎛⎭⎫－cos t －14cos 2t⎪⎪x0 ＝－cos x －14cos 2x ＋54＝－cos x －14()2cos 2x －1＋54＝－12cos 2x －cos x ＋32＝－12(cos x ＋1)2＋2≤2，当cos x ＝－1时取等号．所以函数y ＝∫x 0(sin t ＋cos t sin t )d t 的最大值为2. 12．解：(1)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， 则f ′(x )＝2ax ＋b . 由f (－1)＝2，f ′(0)＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ a －b ＋c ＝2，b ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2－a ，b ＝0， 故f (x )＝ax 2＋(2－a )．又∫10f (x )d x ＝∫10[ax 2＋(2－a )]d x＝⎣⎡⎦⎤13ax 3＋(2－a )x ⎪⎪⎪10＝2－23a ＝－2，得a ＝6，故c ＝－4.从而f (x )＝6x 2－4.(2)因为f (x )＝6x 2－4，x ∈[－1,1]， 所以当x ＝0时，f (x )min ＝－4； 当x ＝±1时，f (x )max ＝2.即f (x )在[－1,1]上的最大值为2，最小值为－4.B 级1．选A 在直角坐标系内，画出曲线y ＝x 2＋2x 和直线y ＝x 围成的封闭图形，如图所示，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2＋2x ，y ＝x ，得曲线与直线的两个交点坐标为(－1，－1)和(0,0)，故封闭图形的面积为S ＝∫0－1[x －(x 2＋2x )]d x ＝⎝⎛⎭⎫－13x 3－12x 2 ⎪⎪⎪0－1＝－⎝⎛⎭⎫13－12＝16. 2．解析：由题意知f (1)＝a ＋b ＋c ＝4，① f ′(1)＝2a ＋b ＝1.②又由∫10f (x )d x ＝∫10(ax 2＋bx ＋c )d x ＝316， 知a 3＋b 2＋c ＝316.③ ①②③联立，解得a ＝－1，b ＝3，c ＝2，从而所求的函数f (x )的解析式为f (x )＝－x 2＋3x ＋2.答案：f (x )＝－x 2＋3x ＋2 3．解：(1)∵f ′(x )＝1x －2，∴f ′(6)＝12，∴切线l 的方程为y －4＝12(x －6)，即x －2y ＋2＝0. (2)令f (x )＝0，则x ＝2， 令y ＝12x ＋1＝0，则x ＝－2.故S ＝∫6－2⎝⎛⎭⎫12x ＋1d x －∫624x －8d x ＝⎝⎛⎭⎫14x 2＋x⎪⎪⎪6－2－16(4x －8)32⎪⎪⎪62＝163.。