2012年高考真题——数学理(湖南卷)

2012年普通高等学校招生全国统一考试数学（湖南卷）无
【期刊名称】《新高考：高二数学》
【年(卷),期】2012(000)007
【总页数】9页(P62-66,I0029-I0032)
【作者】无
【作者单位】不详
【正文语种】中文
【中图分类】G41
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2012年全国统一高考数学试卷（理科）（大纲版）一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）复数=（）A．2+i B．2﹣i C．1+2i D．1﹣2i2．（5分）已知集合A={1，3，}，B={1，m}，A∪B=A，则m的值为（）A．0或B．0或3C．1或D．1或33．（5分）椭圆的中心在原点，焦距为4，一条准线为x=﹣4，则该椭圆的方程为（）A．B．C．D．4．（5分）已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=2，CC1=2，E为CC1的中点，则直线AC1与平面BED的距离为（）A．2B．C．D．15．（5分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a5=5，S5=15，则数列的前100项和为（）A．B．C．D．6．（5分）△ABC中，AB边的高为CD，若=，=，•=0，||=1，||=2，则=（）A．B．C．D．7．（5分）已知α为第二象限角，，则cos2α=（）A．﹣B．﹣C．D．8．（5分）已知F1、F2为双曲线C：x2﹣y2=2的左、右焦点，点P在C上，|PF1|=2|PF2|，则cos∠F1PF2=（）A．B．C．D．9．（5分）已知x=lnπ，y=log52，，则（）A．x＜y＜z B．z＜x＜y C．z＜y＜x D．y＜z＜x 10．（5分）已知函数y=x3﹣3x+c的图象与x轴恰有两个公共点，则c=（）A．﹣2或2B．﹣9或3C．﹣1或1D．﹣3或1 11．（5分）将字母a，a，b，b，c，c排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有（）A．12种B．18种C．24种D．36种12．（5分）正方形ABCD的边长为1，点E在边AB上，点F在边BC上，，动点P从E出发沿直线向F运动，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点P第一次碰到E时，P与正方形的边碰撞的次数为（）A．16B．14C．12D．10二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上．（注意：在试题卷上作答无效）13．（5分）若x，y满足约束条件则z=3x﹣y的最小值为．14．（5分）当函数y=sinx﹣cosx（0≤x＜2π）取得最大值时，x=．15．（5分）若的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则该展开式中的系数为．16．（5分）三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面边长和侧棱长都相等，∠BAA1=∠CAA1=60°，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为．三.解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知cos（A﹣C）+cosB=1，a=2c，求C．18．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，PA⊥底面ABCD，，PA=2，E是PC上的一点，PE=2EC．（Ⅰ）证明：PC⊥平面BED；（Ⅱ）设二面角A﹣PB﹣C为90°，求PD与平面PBC所成角的大小．19．（12分）乒乓球比赛规则规定：一局比赛，双方比分在10平前，一方连续发球2次后，对方再连续发球2次，依次轮换．每次发球，胜方得1分，负方得0分．设在甲、乙的比赛中，每次发球，发球方得1分的概率为0.6，各次发球的胜负结果相互独立．甲、乙的一局比赛中，甲先发球．（Ⅰ）求开始第4次发球时，甲、乙的比分为1比2的概率；（Ⅱ）ξ表示开始第4次发球时乙的得分，求ξ的期望．20．（12分）设函数f（x）=ax+cosx，x∈[0，π]．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）设f（x）≤1+sinx，求a的取值范围．21．（12分）已知抛物线C：y=（x+1）2与圆（r＞0）有一个公共点A，且在A处两曲线的切线为同一直线l．（Ⅰ）求r；（Ⅱ）设m，n是异于l且与C及M都相切的两条直线，m，n的交点为D，求D到l的距离．22．（12分）函数f（x）=x2﹣2x﹣3，定义数列{ x n}如下：x1=2，x n+1是过两点P （4，5），Q n（x n，f（x n））的直线PQ n与x轴交点的横坐标．（Ⅰ）证明：2≤x n＜x n+1＜3；（Ⅱ）求数列{ x n}的通项公式．2012年全国统一高考数学试卷（理科）（大纲版）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）复数=（）A．2+i B．2﹣i C．1+2i D．1﹣2i【考点】A5：复数的运算．【专题】11：计算题．【分析】把的分子分母都乘以分母的共轭复数，得，由此利用复数的代数形式的乘除运算，能求出结果．【解答】解：===1+2i．故选：C．【点评】本题考查复数的代数形式的乘除运算，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．2．（5分）已知集合A={1，3，}，B={1，m}，A∪B=A，则m的值为（）A．0或B．0或3C．1或D．1或3【考点】1C：集合关系中的参数取值问题．【专题】5J：集合．【分析】由题设条件中本题可先由条件A∪B=A得出B⊆A，由此判断出参数m 可能的取值，再进行验证即可得出答案选出正确选项．【解答】解：由题意A∪B=A，即B⊆A，又，B={1，m}，∴m=3或m=，解得m=3或m=0及m=1，验证知，m=1不满足集合的互异性，故m=0或m=3即为所求，故选：B．【点评】本题考查集合中参数取值问题，解题的关键是将条件A∪B=A转化为B⊆A，再由集合的包含关系得出参数所可能的取值．3．（5分）椭圆的中心在原点，焦距为4，一条准线为x=﹣4，则该椭圆的方程为（）A．B．C．D．【考点】K3：椭圆的标准方程；K4：椭圆的性质．【专题】11：计算题．【分析】确定椭圆的焦点在x轴上，根据焦距为4，一条准线为x=﹣4，求出几何量，即可求得椭圆的方程．【解答】解：由题意，椭圆的焦点在x轴上，且∴c=2，a2=8∴b2=a2﹣c2=4∴椭圆的方程为故选：C．【点评】本题考查椭圆的标准方程，考查椭圆的几何性质，属于基础题．4．（5分）已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=2，CC1=2，E为CC1的中点，则直线AC1与平面BED的距离为（）A．2B．C．D．1【考点】MI：直线与平面所成的角．【专题】11：计算题．【分析】先利用线面平行的判定定理证明直线C1A∥平面BDE，再将线面距离转化为点面距离，最后利用等体积法求点面距离即可【解答】解：如图：连接AC，交BD于O，在三角形CC1A中，易证OE∥C1A，从而C1A∥平面BDE，∴直线AC1与平面BED的距离即为点A到平面BED的距离，设为h，=S△ABD×EC=××2×2×=在三棱锥E﹣ABD中，V E﹣ABD=×2×=2在三棱锥A﹣BDE中，BD=2，BE=，DE=，∴S△EBD∴V A=×S△EBD×h=×2×h=﹣BDE∴h=1故选：D．【点评】本题主要考查了线面平行的判定，线面距离与点面距离的转化，三棱锥的体积计算方法，等体积法求点面距离的技巧，属基础题5．（5分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a5=5，S5=15，则数列的前100项和为（）A．B．C．D．【考点】85：等差数列的前n项和；8E：数列的求和．【专题】11：计算题．【分析】由等差数列的通项公式及求和公式，结合已知可求a1，d，进而可求a n，代入可得==，裂项可求和【解答】解：设等差数列的公差为d由题意可得，解方程可得，d=1，a1=1由等差数列的通项公式可得，a n=a1+（n﹣1）d=1+（n﹣1）×1=n∴===1﹣=故选：A．【点评】本题主要考查了等差数列的通项公式及求和公式的应用，及数列求和的裂项求和方法的应用，属于基础试题6．（5分）△ABC中，AB边的高为CD，若=，=，•=0，||=1，||=2，则=（）A．B．C．D．【考点】9Y：平面向量的综合题．【分析】由题意可得，CA⊥CB，CD⊥AB，由射影定理可得，AC2=AD•AB可求AD，进而可求，从而可求与的关系，进而可求【解答】解：∵•=0，∴CA⊥CB∵CD⊥AB∵||=1，||=2∴AB=由射影定理可得，AC2=AD•AB∴∴∴==故选：D．【点评】本题主要考查了直角三角形的射影定理的应用，向量的基本运算的应用，向量的数量积的性质的应用．7．（5分）已知α为第二象限角，，则cos2α=（）A．﹣B．﹣C．D．【考点】GG：同角三角函数间的基本关系；GS：二倍角的三角函数．【专题】56：三角函数的求值．【分析】由α为第二象限角，可知sinα＞0，cosα＜0，从而可求得sinα﹣cosα=，利用cos2α=﹣（sinα﹣cosα）（sinα+cosα）可求得cos2α【解答】解：∵sinα+cosα=，两边平方得：1+sin2α=，∴sin2α=﹣，①∴（sinα﹣cosα）2=1﹣sin2α=，∵α为第二象限角，∴sinα＞0，cosα＜0，∴sinα﹣cosα=，②∴cos2α=﹣（sinα﹣cosα）（sinα+cosα）=（﹣）×=﹣．故选：A．【点评】本题考查同角三角函数间的基本关系，突出二倍角的正弦与余弦的应用，求得sinα﹣cosα=是关键，属于中档题．8．（5分）已知F1、F2为双曲线C：x2﹣y2=2的左、右焦点，点P在C上，|PF1|=2|PF2|，则cos∠F1PF2=（）A．B．C．D．【考点】KC：双曲线的性质．【专题】11：计算题．【分析】根据双曲线的定义，结合|PF1|=2|PF2|，利用余弦定理，即可求cos∠F1PF2的值．【解答】解：将双曲线方程x2﹣y2=2化为标准方程﹣=1，则a=，b=，c=2，设|PF1|=2|PF2|=2m，则根据双曲线的定义，|PF1|﹣|PF2|=2a可得m=2，∴|PF1|=4，|PF2|=2，∵|F1F2|=2c=4，∴cos∠F1PF2====．故选：C．【点评】本题考查双曲线的性质，考查双曲线的定义，考查余弦定理的运用，属于中档题．9．（5分）已知x=lnπ，y=log52，，则（）A．x＜y＜z B．z＜x＜y C．z＜y＜x D．y＜z＜x【考点】72：不等式比较大小．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】利用x=lnπ＞1，0＜y=log52＜，1＞z=＞，即可得到答案．【解答】解：∵x=lnπ＞lne=1，0＜log52＜log5=，即y∈（0，）；1=e0＞=＞=，即z∈（，1），∴y＜z＜x．故选：D．【点评】本题考查不等式比较大小，掌握对数函数与指数函数的性质是解决问题的关键，属于基础题．10．（5分）已知函数y=x3﹣3x+c的图象与x轴恰有两个公共点，则c=（）A．﹣2或2B．﹣9或3C．﹣1或1D．﹣3或1【考点】53：函数的零点与方程根的关系；6D：利用导数研究函数的极值．【专题】11：计算题．【分析】求导函数，确定函数的单调性，确定函数的极值点，利用函数y=x3﹣3x+c的图象与x轴恰有两个公共点，可得极大值等于0或极小值等于0，由此可求c的值．【解答】解：求导函数可得y′=3（x+1）（x﹣1），令y′＞0，可得x＞1或x＜﹣1；令y′＜0，可得﹣1＜x＜1；∴函数在（﹣∞，﹣1），（1，+∞）上单调增，（﹣1，1）上单调减，∴函数在x=﹣1处取得极大值，在x=1处取得极小值．∵函数y=x3﹣3x+c的图象与x轴恰有两个公共点，∴极大值等于0或极小值等于0．∴1﹣3+c=0或﹣1+3+c=0，∴c=﹣2或2．故选：A．【点评】本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与极值，解题的关键是利用极大值等于0或极小值等于0．11．（5分）将字母a，a，b，b，c，c排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有（）A．12种B．18种C．24种D．36种【考点】D9：排列、组合及简单计数问题．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】由题意，可按分步原理计数，对列的情况进行讨论比对行讨论更简洁．【解答】解：由题意，可按分步原理计数，首先，对第一列进行排列，第一列为a，b，c的全排列，共有种，再分析第二列的情况，当第一列确定时，第二列第一行只能有2种情况，当第二列一行确定时，第二列第2，3行只能有1种情况；所以排列方法共有：×2×1×1=12种，故选：A．【点评】本题若讨论三行每一行的情况，讨论情况较繁琐，而对两列的情况进行分析会大大简化解答过程．12．（5分）正方形ABCD的边长为1，点E在边AB上，点F在边BC上，，动点P从E出发沿直线向F运动，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点P第一次碰到E时，P与正方形的边碰撞的次数为（）A．16B．14C．12D．10【考点】IG：直线的一般式方程与直线的性质；IQ：与直线关于点、直线对称的直线方程．【专题】13：作图题；16：压轴题．【分析】通过相似三角形，来确定反射后的点的落的位置，结合图象分析反射的次数即可．【解答】解：根据已知中的点E，F的位置，可知第一次碰撞点为F，在反射的过程中，直线是平行的，利用平行关系及三角形的相似可得第二次碰撞点为G，且CG=，第二次碰撞点为H，且DH=，作图，可以得到回到E点时，需要碰撞14次即可．故选：B．【点评】本题主要考查了反射原理与三角形相似知识的运用．通过相似三角形，来确定反射后的点的落的位置，结合图象分析反射的次数即可，属于难题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上．（注意：在试题卷上作答无效）13．（5分）若x，y满足约束条件则z=3x﹣y的最小值为﹣1．【考点】7C：简单线性规划．【专题】11：计算题．【分析】作出不等式组表示的平面区域，由z=3x﹣y可得y=3x﹣z，则﹣z表示直线3x﹣y﹣z=0在y轴上的截距，截距越大z越小，结合图形可求【解答】解：作出不等式组表示的平面区域，如图所示由z=3x﹣y可得y=3x﹣z，则﹣z表示直线3x﹣y﹣z=0在y轴上的截距，截距越大z越小结合图形可知，当直线z=3x﹣y过点C时z最小由可得C（0，1），此时z=﹣1故答案为：﹣1【点评】本题主要考查了线性规划的简单应用，解题的关键是明确目标函数中z 的几何意义，属于基础试题14．（5分）当函数y=sinx﹣cosx（0≤x＜2π）取得最大值时，x=．【考点】GP：两角和与差的三角函数；HW：三角函数的最值．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】利用辅助角公式将y=sinx﹣cosx化为y=2sin（x﹣）（0≤x＜2π），即可求得y=sinx﹣cosx（0≤x＜2π）取得最大值时x的值．【解答】解：∵y=sinx﹣cosx=2（sinx﹣cosx）=2sin（x﹣）．∵0≤x＜2π，∴﹣≤x﹣＜，∴y max=2，此时x﹣=，∴x=．故答案为：．【点评】本题考查三角函数的最值两与角和与差的正弦函数，着重考查辅助角公式的应用与正弦函数的性质，将y=sinx﹣cosx（0≤x＜2π）化为y=2sin （x﹣）（0≤x＜2π）是关键，属于中档题．15．（5分）若的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则该展开式中的系数为56．【考点】DA：二项式定理．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】根据第2项与第7项的系数相等建立等式，求出n的值，根据通项可求满足条件的系数【解答】解：由题意可得，∴n=8展开式的通项=令8﹣2r=﹣2可得r=5此时系数为=56故答案为：56【点评】本题主要考查了二项式系数的性质，以及系数的求解，解题的关键是根据二项式定理写出通项公式，同时考查了计算能力．16．（5分）三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面边长和侧棱长都相等，∠BAA1=∠CAA1=60°，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为．【考点】LM：异面直线及其所成的角．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】先选一组基底，再利用向量加法和减法的三角形法则和平行四边形法则将两条异面直线的方向向量用基底表示，最后利用夹角公式求异面直线AB1与BC1所成角的余弦值即可【解答】解：如图，设=，，，棱长均为1，则=，=，=∵，∴=（）•（）=﹣++﹣+=﹣++=﹣1++1=1||===||===∴cos＜，＞===∴异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为【点评】本题主要考查了空间向量在解决立体几何问题中的应用，空间向量基本定理，向量数量积运算的性质及夹角公式的应用，有一定的运算量三.解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知cos（A﹣C）+cosB=1，a=2c，求C．【考点】GL：三角函数中的恒等变换应用；HP：正弦定理．【专题】11：计算题．【分析】由cos（A﹣C）+cosB=cos（A﹣C）﹣cos（A+C）=1，可得sinAsinC=，由a=2c及正弦定理可得sinA=2sinC，联立可求C【解答】解：由B=π﹣（A+C）可得cosB=﹣cos（A+C）∴cos（A﹣C）+cosB=cos（A﹣C）﹣cos（A+C）=2sinAsinC=1∴sinAsinC=①由a=2c及正弦定理可得sinA=2sinC②①②联立可得，∵0＜C＜π∴sinC=a=2c即a＞c【点评】本题主要考查了两角和与差的余弦公式及正弦定理的应用，属于基础试题18．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，PA⊥底面ABCD，，PA=2，E是PC上的一点，PE=2EC．（Ⅰ）证明：PC⊥平面BED；（Ⅱ）设二面角A﹣PB﹣C为90°，求PD与平面PBC所成角的大小．【考点】LW：直线与平面垂直；MI：直线与平面所成的角；MM：向量语言表述线面的垂直、平行关系．【专题】11：计算题．【分析】（I）先由已知建立空间直角坐标系，设D（，b，0），从而写出相关点和相关向量的坐标，利用向量垂直的充要条件，证明PC⊥BE，PC⊥DE，从而利用线面垂直的判定定理证明结论即可；（II）先求平面PAB的法向量，再求平面PBC的法向量，利用两平面垂直的性质，即可求得b的值，最后利用空间向量夹角公式即可求得线面角的正弦值，进而求得线面角【解答】解：（I）以A为坐标原点，建立如图空间直角坐标系A﹣xyz，设D（，b，0），则C（2，0，0），P（0，0，2），E（，0，），B（，﹣b，0）∴=（2，0，﹣2），=（，b，），=（，﹣b，）∴•=﹣=0，•=0∴PC⊥BE，PC⊥DE，BE∩DE=E∴PC⊥平面BED（II）=（0，0，2），=（，﹣b，0）设平面PAB的法向量为=（x，y，z），则取=（b，，0）设平面PBC的法向量为=（p，q，r），则取=（1，﹣，）∵平面PAB⊥平面PBC，∴•=b﹣=0．故b=∴=（1，﹣1，），=（﹣，﹣，2）∴cos＜，＞==设PD与平面PBC所成角为θ，θ∈[0，]，则sinθ=∴θ=30°∴PD与平面PBC所成角的大小为30°【点评】本题主要考查了利用空间直角坐标系和空间向量解决立体几何问题的一般方法，线面垂直的判定定理，空间线面角的求法，有一定的运算量，属中档题19．（12分）乒乓球比赛规则规定：一局比赛，双方比分在10平前，一方连续发球2次后，对方再连续发球2次，依次轮换．每次发球，胜方得1分，负方得0分．设在甲、乙的比赛中，每次发球，发球方得1分的概率为0.6，各次发球的胜负结果相互独立．甲、乙的一局比赛中，甲先发球．（Ⅰ）求开始第4次发球时，甲、乙的比分为1比2的概率；（Ⅱ）ξ表示开始第4次发球时乙的得分，求ξ的期望．【考点】C8：相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式；CH：离散型随机变量的期望与方差．【专题】15：综合题．【分析】（Ⅰ）记A i表示事件：第1次和第2次这两次发球，甲共得i分，i=0，1，2；A表示事件：第3次发球，甲得1分；B表示事件：开始第4次发球，甲、乙的比分为1比2，则B=A0A+A1，根据P（A）=0.4，P（A0）=0.16，P （A1）=2×0.6×0.4=0.48，即可求得结论；（Ⅱ）P（A2）=0.62=0.36，ξ表示开始第4次发球时乙的得分，可取0，1，2，3，计算相应的概率，即可求得ξ的期望．【解答】解：（Ⅰ）记A i表示事件：第1次和第2次这两次发球，甲共得i分，i=0，1，2；A表示事件：第3次发球，甲得1分；B表示事件：开始第4次发球，甲、乙的比分为1比2，则B=A0A+A1∵P（A）=0.4，P（A0）=0.16，P（A1）=2×0.6×0.4=0.48∴P（B）=0.16×0.4+0.48×（1﹣0.4）=0.352；（Ⅱ）P（A2）=0.62=0.36，ξ表示开始第4次发球时乙的得分，可取0，1，2，3 P（ξ=0）=P（A2A）=0.36×0.4=0.144P（ξ=2）=P（B）=0.352P（ξ=3）=P（A0）=0.16×0.6=0.096P（ξ=1）=1﹣0.144﹣0.352﹣0.096=0.408∴ξ的期望Eξ=1×0.408+2×0.352+3×0.096=1.400．【点评】本题考查相互独立事件的概率，考查离散型随机变量的期望，确定变量的取值，计算相应的概率是关键．20．（12分）设函数f（x）=ax+cosx，x∈[0，π]．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）设f（x）≤1+sinx，求a的取值范围．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6E：利用导数研究函数的最值．【专题】15：综合题．【分析】（Ⅰ）求导函数，可得f'（x）=a﹣sinx，x∈[0．π]，sinx∈[0，1]，对a进行分类讨论，即可确定函数的单调区间；（Ⅱ）由f（x）≤1+sinx得f（π）≤1，aπ﹣1≤1，可得a≤，构造函数g（x）=sinx﹣（0≤x），可得g（x）≥0（0≤x），再考虑：①0≤x；②，即可得到结论．【解答】解：（Ⅰ）求导函数，可得f'（x）=a﹣sinx，x∈[0，π]，sinx∈[0，1]；当a≤0时，f'（x）≤0恒成立，f（x）单调递减；当a≥1 时，f'（x）≥0恒成立，f（x）单调递增；当0＜a＜1时，由f'（x）=0得x1=arcsina，x2=π﹣arcsina当x∈[0，x1]时，sinx＜a，f'（x）＞0，f（x）单调递增当x∈[x1，x2]时，sinx＞a，f'（x）＜0，f（x）单调递减当x∈[x2，π]时，sinx＜a，f'（x）＞0，f（x）单调递增；（Ⅱ）由f（x）≤1+sinx得f（π）≤1，aπ﹣1≤1，∴a≤．令g（x）=sinx﹣（0≤x），则g′（x）=cosx﹣当x时，g′（x）＞0，当时，g′（x）＜0∵，∴g（x）≥0，即（0≤x），当a≤时，有①当0≤x时，，cosx≤1，所以f（x）≤1+sinx；②当时，=1+≤1+sinx综上，a≤．【点评】本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查函数的最值，解题的关键是正确求导，确定函数的单调性．21．（12分）已知抛物线C：y=（x+1）2与圆（r＞0）有一个公共点A，且在A处两曲线的切线为同一直线l．（Ⅰ）求r；（Ⅱ）设m，n是异于l且与C及M都相切的两条直线，m，n的交点为D，求D到l的距离．【考点】IM：两条直线的交点坐标；IT：点到直线的距离公式；KJ：圆与圆锥曲线的综合．【专题】15：综合题；16：压轴题．【分析】（Ⅰ）设A（x0，（x0+1）2），根据y=（x+1）2，求出l的斜率，圆心M （1，），求得MA的斜率，利用l⊥MA建立方程，求得A的坐标，即可求得r的值；（Ⅱ）设（t，（t+1）2）为C上一点，则在该点处的切线方程为y﹣（t+1）2=2（t+1）（x﹣t），即y=2（t+1）x﹣t2+1，若该直线与圆M相切，则圆心M到该切线的距离为，建立方程，求得t的值，求出相应的切线方程，可得D 的坐标，从而可求D到l的距离．【解答】解：（Ⅰ）设A（x0，（x0+1）2），∵y=（x+1）2，y′=2（x+1）∴l的斜率为k=2（x0+1）当x0=1时，不合题意，所以x0≠1圆心M（1，），MA的斜率．∵l⊥MA，∴2（x0+1）×=﹣1∴x0=0，∴A（0，1），∴r=|MA|=；（Ⅱ）设（t，（t+1）2）为C上一点，则在该点处的切线方程为y﹣（t+1）2=2（t+1）（x﹣t），即y=2（t+1）x﹣t2+1若该直线与圆M相切，则圆心M到该切线的距离为∴∴t2（t2﹣4t﹣6）=0∴t0=0，或t1=2+，t2=2﹣抛物线C在点（t i，（t i+1）2）（i=0，1，2）处的切线分别为l，m，n，其方程分别为y=2x+1①，y=2（t1+1）x﹣②，y=2（t2+1）x﹣③②﹣③：x=代入②可得：y=﹣1∴D（2，﹣1），∴D到l的距离为【点评】本题考查圆与抛物线的综合，考查抛物线的切线方程，考查导数知识的运用，考查点到直线的距离公式的运用，关键是确定切线方程，求得交点坐标．22．（12分）函数f（x）=x2﹣2x﹣3，定义数列{ x n}如下：x1=2，x n+1是过两点P （4，5），Q n（x n，f（x n））的直线PQ n与x轴交点的横坐标．（Ⅰ）证明：2≤x n＜x n+1＜3；（Ⅱ）求数列{ x n}的通项公式．【考点】8H：数列递推式；8I：数列与函数的综合．【专题】15：综合题；16：压轴题．【分析】（Ⅰ）用数学归纳法证明：①n=1时，x1=2，直线PQ1的方程为，当y=0时，可得；②假设n=k时，结论成立，即2≤x k＜x k+1＜3，直线PQ k+1的方程为，当y=0时，可得，根据归纳假设2≤x k＜x k+1＜3，可以证明2≤x k+1＜x k+2＜3，从而结论成立．（Ⅱ）由（Ⅰ），可得，构造b n=x n﹣3，可得是以﹣为首项，5为公比的等比数列，由此可求数列{ x n}的通项公式．【解答】（Ⅰ）证明：①n=1时，x1=2，直线PQ1的方程为当y=0时，∴，∴2≤x1＜x2＜3；②假设n=k时，结论成立，即2≤x k＜x k+1＜3，直线PQ k+1的方程为当y=0时，∴∵2≤x k＜x k+1＜3，∴＜x k+2∴x k+1＜x k+2＜3∴2≤x k+1即n=k+1时，结论成立由①②可知：2≤x n＜x n+1＜3；（Ⅱ）由（Ⅰ），可得设b n=x n﹣3，∴∴∴是以﹣为首项，5为公比的等比数列∴∴∴．【点评】本题考查数列的通项公式，考查数列与函数的综合，解题的关键是从函数入手，确定直线方程，求得交点坐标，再利用数列知识解决．。

2012年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（必修+选修II ）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，第I 卷第1至2页，第II 卷第3至第4页.考试结束，务必将试卷和答题卡一并上交. 第I 卷注意事项：全卷满分150分，考试时间120分钟. 考生注意事项：1.答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码.请认真核准该条形码上的准考证号、姓名和科目.2.没小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效．．．．．．．．．.3.第I 卷共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 一、选择题1、 复数131ii-++= A 2+I B 2-I C 1+2i D 1- 2i 【解析】i ii i i i i i 21242)1)(1()1)(31(131+=+=-+-+-=++-，选C. 【答案】C2、已知集合A ＝{1.3.m }，B ＝{1，m} ,AB ＝A, 则m=A 0或3B 0或3C 1或3D 1或3 【解析】因为A B A = ,所以A B ⊆,所以3=m 或m m =.若3=m ，则}3,1{},3,3,1{==B A ,满足A B A = .若m m =，解得0=m 或1=m .若0=m ，则}0,3,1{},0,3,1{==B A ，满足A B A = .若1=m ，}1,1{},1,3,1{==B A 显然不成立，综上0=m 或3=m ，选B.【答案】B3 椭圆的中心在原点，焦距为4 一条准线为x=-4 ，则该椭圆的方程为A 216x +212y =1B 212x +28y =1C 28x +24y =1D 212x +24y =1 【解析】椭圆的焦距为4，所以2,42==c c 因为准线为4-=x ，所以椭圆的焦点在x 轴上，且42-=-c a ，所以842==c a ，448222=-=-=c a b ，所以椭圆的方程为14822=+y x ，选C.【答案】C4 已知正四棱柱ABCD- A 1B 1C 1D 1中 ，AB=2，CC 1=22 E 为CC 1的中点，则直线AC 1与平面BED 的距离为 A 2 B3 C 2 D 1【解析】连结BD AC ,交于点O ，连结OE ，因为E O ,是中点，所以1//AC OE ,且121AC OE =，所以BDE AC //1，即直线1AC 与平面BED 的距离等于点C 到平面BED 的距离，过C 做OE CF ⊥于F ,则CF 即为所求距离.因为底面边长为2，高为22，所以22=AC ,2,2==CE OC ,2=OE ,所以利用等积法得1=CF ，选 D.【答案】D（5）已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 5=5，S 5=15，则数列的前100项和为(A)100101 (B) 99101(C) 99100 (D) 101100 【解析】由15,555==S a ,得1,11==d a ，所以n n a n =-+=)1(1，所以111)1(111+-=+=+n n n n a a n n ，又1011001011110111001312121111110110021=-=-++-+-=+ a a a a ，选A.【答案】A（6）△ABC 中，AB 边的高为CD ，若a ·b=0，|a|=1，|b|=2，则(A) （B ） (C) (D)【解析】在直角三角形中，521===AB CA CB ，，,则52=CD ,所以5454422=-=-=CD CA AD ,所以54=AB AD ,即b a b a AB AD 5454)(5454-=-==，选D. 【答案】D（7）已知α为第二象限角，33cos sin =+αα，则cos2α= (A) 5-3 （B ）5-9 (C) 59 (D)53【解析】因为33cos sin =+αα所以两边平方得31cos sin 21=+αα，所以032cos sin 2<-=αα，因为已知α为第二象限角，所以0cos ,0sin <>αα，31535321cos sin 21cos sin ==+=-=-αααα，所以)sin )(cos sin (cos sin cos 2cos 22ααααααα+-=-==3533315-=⨯-，选A. 【答案】A（8）已知F 1、F 2为双曲线C ：x ²-y ²=2的左、右焦点，点P 在C 上，|PF 1|=|2PF 2|，则cos ∠F 1PF 2= (A)14 （B ）35 (C)34 (D)45【解析】双曲线的方程为12222=-y x ，所以2,2===c b a ，因为|PF 1|=|2PF 2|，所以点P 在双曲线的右支上，则有|PF 1|-|PF 2|=2a=22,所以解得|PF 2|=22，|PF 1|=24，所以根据余弦定理得432422214)24()22(cos 2221=⨯⨯-+=PF F ,选C. 【答案】C（9）已知x=ln π，y=log 52，21-=ez ，则(A)x ＜y ＜z （B ）z ＜x ＜y (C)z ＜y ＜x (D)y ＜z ＜x【解析】1ln >=πx ，215log 12log 25<==y ，ee z 121==-，1121<<e ，所以x z y <<，选D.【答案】D(10) 已知函数y ＝x ²-3x+c 的图像与x 恰有两个公共点，则c ＝ （A ）-2或2 （B ）-9或3 （C ）-1或1 （D ）-3或1【解析】若函数c x x y +-=33的图象与x 轴恰有两个公共点，则说明函数的两个极值中有一个为0，函数的导数为33'2-=x y ，令033'2=-=x y ，解得1±=x ，可知当极大值为c f +=-2)1(，极小值为2)1(-=c f .由02)1(=+=-c f ，解得2-=c ，由02)1(=-=c f ，解得2=c ，所以2-=c 或2=c ，选A.【答案】A（11）将字母a,a,b,b,c,c,排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有（A ）12种（B ）18种（C ）24种（D ）36种【解析】第一步先排第一列有633=A ，在排第二列，当第一列确定时，第二列有两种方法，如图，所以共有1226=⨯种，选A.【答案】A（12）正方形ABCD 的边长为1，点E 在边AB 上，点F 在边BC 上，AE ＝BF ＝73.动点P 从E 出发沿直线喜爱那个F 运动，每当碰到正方形的方向的边时反弹，反弹时反射等于入射角，当点P 第一次碰到E 时，P 与正方形的边碰撞的次数为 （A ）16（B ）14（C ）12(D)10【解析】结合已知中的点E,F 的位置，进行作图，推理可知，在反射的过程中，直线是平行的，那么利用平行关系，作图，可以得到回到EA 点时，需要碰撞14次即可. 【答案】B2012年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（必修+选修Ⅱ） 第Ⅱ卷 注意事项：1.答题前，考生先在答题卡上用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，然后贴好条形码.请认真核准条形码上得准考证号、姓名和科目.2.第Ⅱ卷共2页，请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效．．．．．．．．. 3.第Ⅱ卷共10小题，共90分.二.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上. （注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．） （13）若x ，y 满足约束条件则z=3x-y 的最小值为_________.【解析】做出做出不等式所表示的区域如图，由y x z -=3得z x y -=3，平移直线x y 3=，由图象可知当直线经过点)1,0(C 时，直线z x y -=3的截距最 大，此时z 最小,最小值为1-3=-=y x z . 【答案】1-（14）当函数取得最大值时，x=___________.【解析】函数为)3sin(2cos 3sin π-=-=x x x y ，当π20<≤x 时，3533πππ<-≤-x ，由三角函数图象可知，当23ππ=-x ，即65π=x 时取得最大值，所以65π=x . 【答案】65π=x （15）若的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则该展开式中的系数为_________.【解析】因为展开式中的第3项和第7项的二项式系数相同，即62n n C C =，所以8=n ，所以展开式的通项为k k k kk k x C xxC T 288881)1(--+==，令228-=-k ，解得5=k ，所以2586)1(x C T =，所以21x的系数为5658=C .【答案】56（16）三菱柱ABC-A 1B 1C 1中，底面边长和侧棱长都相等， BAA 1=CAA 1=60°则异面直线AB 1与BC 1所成角的余弦值为____________.【解析】如图设,,,1c AC b AB a AA ===设棱长为1，则,1b a AB +=b c a BC a BC -1+=+=，因为底面边长和侧棱长都相等，且01160=∠=∠CAA BAA 所以21=•=•=•c b c a b a ，所以3)(21=+=b a AB ，2)-(21=+=b c a BC ，2)-()(11=+•+=•b c a b a BC AB ，设异面直线的夹角为θ，所以36322cos 1111=⨯=•=BC AB BC AB θ. 【答案】36 三.解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.（17）（本小题满分10分）（注意：在试卷上作答无效．．．．．．．．．．．） △ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知cos （A-C ）＋cosB=1，a=2c ，求c.（18）（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．）如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，PA⊥底面ABCD，AC=22，PA=2，E是PC上的一点，PE=2EC.（Ⅰ）证明：PC⊥平面BED；（Ⅱ）设二面角A-PB-C为90°，求PD与平面PBC所成角的大小.19. （本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．）乒乓球比赛规则规定：一局比赛，双方比分在10平前，一方连续发球2次后，对方再连续发球2次，依次轮换.每次发球，胜方得1分，负方得0分.设在甲、乙的比赛中，每次发球，发球方得1分的概率为0.6，各次发球的胜负结果相互独立.甲、乙的一局比赛中，甲先发球. （Ⅰ）求开始第4次发球时，甲、乙的比分为1比2的概率；（Ⅱ）表示开始第4次发球时乙的得分，求的期望.（20）（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．）设函数f（x）=ax+cosx，x∈[0，π].（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）设f（x）≤1+sinx，求a的取值范围.21.（本小题满分12分）（注意：在试卷上作答无效．．．．．．．．）已知抛物线C：y=(x+1)2与圆M：（x-1）2+(12y )2=r2(r＞0)有一个公共点，且在A处两曲线的切线为同一直线l.（Ⅰ）求r；（Ⅱ）设m、n是异于l且与C及M都相切的两条直线，m、n的交点为D，求D到l的距离.22（本小题满分12分）（注意：在试卷上作答无效．．．．．．．．）函数f(x)=x2-2x-3，定义数列{x n}如下：x1=2，x n+1是过两点P（4,5）、Q n(x n,f(x n))的直线PQ n 与x轴交点的横坐标.（Ⅰ）证明：2 x n＜x n+1＜3；（Ⅱ）求数列{x n}的通项公式.。

绝密★启用前2012年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）数学（理工农医类）本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分,共6页.时量120分钟.满分150分. 一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.设集合21,0,1,{}{|}M N x x x =-=≤,则M N = ( ) A .{0} B .{0,1} C .{-1,1} D .{-1,0,1}2.命题“若π4α=,则tan 1α=”的逆否命题是( )A .若π4α≠,则tan 1α≠B .若π4α=,则tan 1α≠C .若tan 1α≠,则π4α≠D .若tan 1α≠,则π4α=3.某几何体的正视图和侧视图均如图1所示,则该几何体的俯视图不可能．．．是 ( )A B C D4.设某大学的女生体重y （单位：kg ）与身高x （单位：cm ）具有线性相关关系,根据一 组样本数据(,)i i x y (1,2,,)i n =,用最小二乘法建立的回归方程为0.8585.71y x =-,则下 列结论中不正确．．．的是( )A .y 与x 具有正的线性相关关系B .回归直线过样本点的中心(,)x yC .若该大学某女生身高增加1 cm ,则其体重约增加0.85 kgD .若该大学某女生身高为170 cm ,则可断定其体重必为58.79 kg5.已知双曲线2222:1x y C a b-=的焦距为10,点(2,1)P 在C 的渐近线上,则C 的方程为( )A .221205x y -=B .221520x y -=C .2218020x y -= D .2212080x y -= 6.函数π()sin cos()6f x x x =-+的值域为 （ ）A .[]2,2- B.[ C .[]1,1- D.[227.在ABC △中,2,3AB AC ==,AB BC =1,则BC =( )ABC.D8.已知两条直线1:l y m =和28:(0)21l y m m =>+,1l 与函数2|log |y x =的图象从左至右相交于点A B ,,2l 与函数2|log |y x =的图象从左至右相交于点C D ,.记线段AC 和BD 在x轴上的投影长度分别为a ,b .当m 变化时,ba的最小值为 ( )A. B. C. D.二、填空题：本大题共8小题,考生作答7小题,每小题5分,共35分.把答案填在答题卡．．．中对应题号后的横线上.（一）选做题（请考生在第9,10,11三题中任选两题作答,如果全做,则按前两题记分）9.在直角坐标系xOy 中,已知曲线11,:12,x t C y t =+⎧⎨=-⎩（t 为参数）与曲线2sin :3cos x a C y θ,θ,=⎧⎨=⎩（θ为参数,0a >）有一个公共点在x 轴上,则a = . 10.不等式|21|2|1|0x x +-->的解集为 .11.如图2,过点P 的直线与圆⊙O 相交于A ,B 两点.若1,2,PA AB ==3PO =,则圆O 的半径等于 .12.已知复数2i)(3z =+（i 为虚数单位）,则|z |= .13.6的二项展开式中的常数项为 .（用数字作答） 14.如果执行如图3所示的程序框图,输入1,3x n =-=,则输出的数S = . 15.函数()sin()f x x ωϕ=+的导函数()y f x '=的部分图象如图4所示,其中,P 为图象与y 轴的交点,,A C 为图象与x 轴的两个交点,B 为图象的最低点. （1）若π6ϕ=,点P的坐标为,则ω= ；（2）若在曲线段ABC 与x 轴所围成的区域内随机取一点,则该点在ABC △内的概率 为 .16.设2(,2)n N n n =∈*≥N ,将N 个数12,,,N x x x 依次放入编号为1,2,,N 的N 个位置,得到排列012N P x x x =.将该排列中分别位于奇数与偶数位置的数取出,并按原顺序依次放入对应的前2N 和后2N个位置,得到排列113124N N P x x x x x x -=,将此操作称为C 变换.将1P 分成两段,每段2N个数,并对每段作C 变换,得到2P ；当22i n -≤≤时,将i P 分成2i 段,每段2i N个数,并对每段作C 变换,得到1i P +.例如,当8N =时,215372648P x x x x x x x x =,此时7x 位于2P 中的第4个位置.（1）当16N =时,7x 位于2P 中的第 个位置；（2）当2(8)n N n =≥时,173x 位于4P 中的第 个位置.三、解答题：本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分12分）某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息,安排一名员工随机收集了在该超市购 物的100位顾客的相关数据,如下表所示.--------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无------------------------------------姓名________________ 准考证号_____________已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%.（Ⅰ）确定,x y 的值,并求顾客一次购物的结算时间X 的分布列与数学期望； （Ⅱ）若某顾客到达收银台时前面恰有2位顾客需结算,且各顾客的结算相互独立,求该顾客结算前的等候时间不超过．．．2.5分钟的概率. （注：将频率视为概率）18.（本小题满分12分）如图5,在四棱锥P ABCD -中,PA ⊥平面ABCD ,4,3,5,AB BC AD ===90,DAB ABC E ∠=∠=是CD 的中点.（Ⅰ）证明：CD ⊥平面PAE ；（Ⅱ）若直线PB 与平面PAE 所成的角和PB 与平面ABCD 所成的角相等,求四棱锥P ABCD -的体积.19.（本小题满分12分）已知数列{}n a 的各项均为正数,记()A n =12n a a a +++,()B n =231n a a a ++++,()C n =342n a a a ++++,=1,2,n .（Ⅰ）若121,5a a ==,且对任意n ∈N*,三个数(),(),()A n B n C n 组成等差数列,求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）证明：数列{}n a 是公比为q 的等比数列的充分必要条件是：对任意n ∈N*,三个 数(),(),()A n B n C n 组成公比为q 的等比数列.20.（本小题满分13分）某企业接到生产3 000台某产品的A ,B ,C 三种部件的订单,每台产品需要这三种部件 的数量分别为2,2,1（单位：件）.已知每个工人每天可生产A 部件6 件,或B 部件3 件,或C 部件2件.该企业计划安排200名工人分成三组分别生产这三种部件,生产B 部件的人数与生产A 部件的人数成正比,比例系数为k （k 为正整数）.（Ⅰ）设生产A 部件的人数为x ,分别写出完成A ,B ,C 三种部件生产需要的时间；（Ⅱ）假设这三种部件的生产同时开工,试确定正整数k 的值,使完成订单任务的时间最 短,并给出时间最短时具体的人数分组方案.21.（本小题满分13分）在直角坐标系xOy 中,曲线1C 上的点均在222:(5)9C x y -+=外,且对1C 上任意一点,M M 到直线2x =-的距离等于该点与圆2C 上点的距离的最小值.（Ⅰ）求曲线1C 的方程；（Ⅱ）设000(,)(3)P x y y ≠±为圆2C 外一点,过P 作圆2C 的两条切线,分别与曲线1C 相交 于点,A B 和,C D .证明：当P 在直线4x =-上运动时,四点,,,A B C D 的纵坐标之积为 定值.22.（本小题满分13分）已知函数()e axf x x =-,其中0a ≠.（Ⅰ）若对一切x ∈R ,()1f x ≥恒成立,求a 的取值集合；（Ⅱ）在函数()f x 的图象上取定两点112212(,()),(,())()A x f x B x f x x x <,记直线AB 的斜率为k .问：是否存在012(,)x x x ∈,使0()f x k '>成立？若存在,求0x 的取值范围；若不存在,请说明理由.2012年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）数学（理工农医类）一、选择题CBDPE图5A1.【答案】B 【解析】{0,1}N =，{1,0,1}M =-，{0,1}M N ∴=．【提示】先求出{0,1}N =，再利用交集定义得出MN ．【考点】集合的基本运算（交集） 2.【答案】C【解析】因为“若p ，则q ”的逆否命题为“若p ⌝，则q ⌝”，所以“若π4α=，则t a n 1α=”的逆否命题是“若tan 1,α≠则π4α≠”．【提示】根据命题“若p ，则q ”的逆否命题为“若p ⌝，则q ⌝”，即可求它的逆否命题． 【考点】四种命题及其之间的关系 3.【答案】D【解析】本题是组合体的三视图问题，由几何体的正视图和侧视图均如图所示知，原图下面图为圆柱或直四棱柱，上面是圆柱或直四棱柱或下底是直角的三棱柱，A ，B ，C ，都可能是该几何体的俯视图，D 不可能是该几何体的俯视图，因为它的正视图上面应为如图的矩形．【提示】根据已知的平面图形的正视图和侧视图，即可求出它的俯视图． 【考点】平面图形的直观图与三视图 4.【答案】D【解析】由回归方程为0.85571ˆ8.x y-=知y 随x 的增大而增大，所以y 与x 具有正的线性相关关系，由最小二乘法建立的回归方程的过程知ˆ()ybx a bx y bx a y bx =+=+-=-，所以回归直线过样本点的中心(,)x y ，利用回归方程可以预测估计总体，所以D 不正确．【提示】根据两变量之间的回归方程，即可判断两者之间的关系． 【考点】线性回归分析 5.【答案】A【解析】设双曲线22221x a C yb -=:的半焦距为c ，则210c =，5c =， 又C 的渐近线为by x a=±，点P （2，1）在C 的渐近线上，12ba∴=⨯，即2a b =，又222c a b =+，a ∴=b =C ∴的方程为221205x y -=．【提示】根据给出的双曲线的焦距及其渐近线上一点，即可求出双曲线的标准方程．【考点】双曲线的标准方程 6.【答案】B【解析】π1π()sin cos sin sin 626f x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=-+=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， πsin [1,1]6x ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，()f x ∴值域为[．【提示】根据给出的三角函数表达式，结合两角差的正弦即可求出其值域． 【考点】两角差的正弦，三角函数的值域 7.【答案】A【解析】由图知，||||cos(π)2||(cos )1AB BC AB BC B BC B =-=⨯⨯-=，1cos 2B BC∴=-，又由余弦定理知222cos 2AB BC AC B AB BC +-=，解得BC =．【提示】根据给出的三角形两边及数量积，结合数量积运算及余弦定理即可求解另一边． 【考点】平面向量的数量积运算，余弦定理8.【答案】B【解析】在同一坐标系中作出y m =，8(0)21y m m =>+，2|log |y x =图象如图， 由2|log |x m =，得12m x -=，22mx =，由28|log |21x m =+，得82132m x -+=，82142m x +=，依照题意得82122mm a --+=-，82122m mb +=-，8218218218212222222m m mm mm m m b a++++--+-===-，8141114312122222m m m m +=++-≥-=++，minb a ⎛⎫∴= ⎪⎝⎭【提示】根据给出的三个函数表达式，画出函数图象，结合图象与不等式即可判断b a最小值．【考点】函数图象的应用，基本不等式 二、填空题 9.【答案】32【解析】曲线1112x t C y t=+⎧⎨=-⎩：，直角坐标方程为32y x =-，与x 轴交点为3,02⎛⎫ ⎪⎝⎭；曲线2sin 3cos x a C y θθ=⎧⎨=⎩：，直角坐标方程为22219x y a +=，其与x 轴交点为(,0)a -，(,0)a ， 由0a >，曲线1C 与曲线2C有一个公共点在x 轴上，知32a =． 【提示】根据给出的两条直线的参数方程与极坐标方程，分别转化成直角坐标方程，根据题意设交点求解．【考点】参数方程与普通方程的转化，极坐标方程与普通方程的转化10.【答案】14x x ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭【解析】令()|21|2|1|f x x x =+--，则由13,()21()41,(1)23,(1)x f x x x x ⎧-<-⎪⎪⎪=--≤≤⎨⎪>⎪⎪⎩，得()0f x >的解集为14x x ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭．【提示】设函数表达式，求其等价的分段函数，再分段求其大于零时的解集即可． 【考点】绝对值不等式 11.【解析】设PO 交圆O 于C ，D ，如图，设圆的半径为r ，由割线定理知PA PB PC PD =， 即1(12)(3)(3)r r ⨯+=-+，r ∴=．【提示】根据给出的线段长，由切割线定理PA PB PC PD =，即可求出圆的半径． 【考点】切割线定理 12.【答案】10【解析】22(3i)96i i 86i z =+=++=+，||10z ==． 【提示】根据给出的复数表达式，进行四则运算，即可求出其模． 【考点】复数代数形式的四则运算 13.【答案】160-【解析】6⎛ ⎝的展开式项公式是6631662(1)rr r r r r rr T C C x ---+⎛==- ⎝， 由题意知30r -=，3r =，所以二项展开式中的常数项为333462(1)160T C =-=-． 【提示】根据给出的二项式，即可求出其展开式的常数项．【考点】二项式定理 14.【答案】4-【解析】输入1x =-，3n =，执行过程如下：2i =，6233S =-++=-；1i =，3(1)115S =--++=；0i =，5(1)014S =-++=-，所以输出的是4-．【提示】根据程序框图的逻辑关系，并根据程序框图即可求出S 的值． 【考点】循环结构的程序框图 15.【答案】3π4【解析】①()cos()y f x x ωωϕ'==+，当π6ϕ=，点P的坐标为⎛ ⎝⎭时，πcos 6ω= 3ω∴=；②由图知2ππ22T AC ωω===，1π22ABC S AC ω==△， 设A ，B 的横坐标分别为a ，b ，设曲线段弧ABC 与x 轴所围成的区域的面积为S ， 则()()sin()sin()2bbaaS f x dx f x a b ωϕωϕ'===+-+=⎰，由几何概型知该点在△ABC 内的概率为π2π24ABC S P S ===△． 【提示】根据给出的函数导数的图象判断ω的大小，由定积分求面积，并结合概率求解即可．【考点】函数图象的应用，定积分的几何意义，几何概型 16.【答案】643211n -⨯+【解析】①当16N =时，0123456P x x x x x x x =…，可设为(1,2,3,4,5,6,…，113571524616P x x x x x x x x x =……，即为(1,3,5……，2159133711152616P x x x x x x x x x x x =…，即(1,5,9,13,3,7,11,15,2,6,,16)…，7x 位于2P 中的第6个位置；②方法同①，归纳推理知173x 位于4P 中的第43211n -⨯+个位置．【提示】根据题意归纳推理求解即可． 【考点】归纳推理 三、解答题17.【答案】（Ⅰ）由已知，得251055y ++=，35x y +=，所以15x =，20y =，该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所以收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量随机样本，将频率视为概率，得：153(1)10020P X ===， 303( 1.5)10010P X ===，251(2)1004P X ===，X 的数学期望为()1 1.52 2.53 1.920104510E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=；（Ⅱ）记A 为事件“该顾客结算前的等候时间不超过2．5分钟”，(1,2)i X i =为该顾客前面第i位顾客的结算时间，则121212()(11)(1 1.5)( 1.51)P A P X X P X X P X X ===+==+==且且且，由于顾客的结算相互独立，且1X ，2X 的分布列都与X 的分布列相同，所以121212()(1)1)(1)( 1.5)( 1.5)(1)P A P X P X P X P X PX P X ==⨯=+=⨯=+=⨯=(333333920202010102080=⨯+⨯+⨯=． 故该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟的概率为980． 【提示】根据给出的数据求分布列与期望，判断事件之间互斥关系，从而求得对立事件的概率即可．【考点】用样本数字特征估计总体数字特征，对立事件的概率18.【答案】（Ⅰ）如图，连接AC ，由4AB =，3BC =，90ABC ∠=，得5AC =， 又5AD =，E 是CD 的中点，所以CD AE ⊥，PA ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，所以PA CD ⊥，而PA ，AE 是平面PAE 内的两条相交直线， 所以CD ⊥平面PAE ；（Ⅱ）过点B 作BG CD ∥，分别与AE ，AD 相交于F ，G 连结PF ， 由（Ⅰ）CD ⊥平面PAE 知，BG ⊥平面PAE ，于是BPF ∠为直线PB 与平面PAE 所成的角，且BG AE ⊥，由PA ⊥平面ABCD 知，PBA ∠为直线PB 与平面ABCD 所成的角，4AB =，2AG =，BG AF ⊥由题意，知PBA BPF ∠=∠，因为sin PA PBA PB ∠=，sin BFBPF PB∠=，所以PA BF =，由90DAB ABC ∠=∠=， 知，AD BC ∥，又BG CD ∥，所以四边形BCDG 是平行四边形，故3GD BC ==，于是2AG =，在Rt BAG △中，4AB =，2AG =，BG AF ⊥，所以BG =，2AB BF BG ===于是PA BF ==， 又梯形ABCD 的面积为1(53)4162S =⨯+⨯=，所以四棱锥P ABCD -的体积为111633V S PA =⨯⨯=⨯=【解析二】如图，以A 为坐标原点，AB ，AD ，AP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，设PA h =，则相关的各点坐标为：(0,0,0)A ，(4,0,0)B ，(4,3,0)C ，(0,5,0)D ，(2,4,0)E ，(0,0,)P h ；（Ⅰ）易知(4,2,0)CD =-，(2,4,0)AE =，(0,0,)AP h =，8800CD AE =-++=，0CD AP =，所以CD AE ⊥，CD AP ⊥，而AP ，AE 是平面PAE 内的两条相交直线，所以CD ⊥平面PAE ；（Ⅱ）由题设和（Ⅰ）知，CD ，AP 分别是平面PAE ，平面ABCD 的法向量，而PB 与平面PAE 所成的角和PB 与平面ABCD 所成的角相等，所以cos ,cos ,CD PB PA PB <>=<>，即||||||||C D P BP A P BC D P B P A P B =，由（Ⅰ）知，(4,2,0)CD =-，(0,0,)AP h=-由(4,0,)PB h =-，故2216516h hh++，解得5h =，又梯形ABCD 的面积为1(53)4162S =⨯+⨯=，所以四棱锥P ABCD -的体积为1112851633V S PA =⨯⨯=⨯=【提示】根据定理判定线面垂直；找出四棱锥的高求其体积． 【考点】直线与平面垂直的判定，四棱锥的体积19.【答案】（Ⅰ）对任意n *∈N ，三个数()A n ，()B n ，()C n 是等差数列，所以()()()()B n A n C n B n -=-，即1122n n a a a a ++-=-，亦即21214n n a a a a +--=-=，故数列{}n a 是首项为1，公差为4的等差数列，于是1(1)443n a n n =+-⨯=-； （Ⅱ）①必要性：若数列{}n a 是公比为q 的等比数列，则对任意n *∈N ，有1n n a a q +=， 由0n a >知，()A n ，()B n ，()C n 均大于0，于是231121212()()()n n n na a a q a a a B n q A n a a a a a a +++++++===++++++…………， 342231231231()()()n n n n a a a q a a a C n q B n a a a a a a ++++++++++===++++++…………， 即()()()()B nC n q A n B n ==， 所以三个数()A n ，()B n ，()C n 组成公比为q 的等比数列；②充分性：若对于任意n *∈N ，三个数()A n ，()B n ，()C n 组成公比为q 的等比数列， 则()()B n qA n =，()()C n qB n =，于是()()[()()]C n B n q B n A n -=-， 得2211()n n a a q a a ++-=-，即2121n n a qa a a ++-=-， 由1n =有(1)(1)B qA =，即21a qa =，从而210n n a qa ++-=， 因为0n a >，所以2211n n a a q a a ++==， 故数列{}n a 是首项为1a ，公比为q 的等比数列．综上所述，数列{}n a 是公比为q 的等比数列的充分必要条件是：对任意n *∈N ，三个数()A n ，()B n ，()C n 组成公比为q 的等比数列．【提示】根据给出的三个关系式，根据三者之间的关系结合等差、等比性质求解即可． 【考点】等差数列的通项公式，等比数列的性质20.【答案】（Ⅰ）设完成A ，B ，C 三种部件的生产任务需要的时间（单位：天）分别为1()T x ，2()T x ，3()T x 由题设有1230001000()6T x x x ⨯==，22000()T x kx=，31500()200(1)T x k x =-+，其中x ，kx ，200(1)k x -+均为1到200之间的正整数；（Ⅱ）完成订单任务的时间为{}123()max (),(),()f x T x T x T x =，其定义域为2000,1x x x k *⎧⎫<<∈⎨⎬+⎩⎭N ， 易知，1()T x ，2()T x 为减函数，3()T x 为增函数，注意到212()()T x T x k=，于是：①当2k =时，12()()T x T x =，此时{}1310001500()max (),()max ,2003f x T x T x x x ⎧⎫==⎨⎬-⎩⎭， 由函数1()T x ，3()T x 的单调性知，当100015002003x x=-时()f x 取得最小值，解得4009x =，由于40044459<<，而1250(44)(44)11f T ==，3300(45)(45)13f T ==，(44)(45)f f <， 故当44x =时完成订单任务的时间最短，且最短时间为250(44)11f =；②当2k >时，12()()T x T x >，由于k 为正整数，故3k ≥，此时375()50T x x=-，{}1()max (),()x T x T x ϕ=易知()T x 为增函数，则{}{}1311000375()max (),()max (),()()max ,50f x T x T x T x T x x x x ϕ⎧⎫=≥==⎨⎬-⎩⎭，由函数1()T x ，()T x 的单调性知，当100037550x x =-时()x ϕ取得最小值，解得40011x =，由于400363711<<而1250250(36)(36)911T ϕ==>，375250(37)(37)1311T ϕ==>，此时完成订单任务的最短时间大于25011；③当2k <时，12()()T x T x <，由于k 为正整数，故1k =，此时{}232000750()max (),()max ,100f x T x T x x x ⎧⎫==⎨⎬-⎩⎭，由函数2()T x ，3()T x 的单调性知， 当2000750100x x =-时()f x 取得最小值，解得80011x =， 类似①的讨论，此时完成订单任务的最短时间为2509，大于25011．综上所述，当2k =时完成订单任务的时间最短，此时生产A ，B ，C 三种部件的人数分别为44，88，68．【提示】根据题意建立模型，判断单调性求最值即可．【考点】分段函数模型，函数单调性的判断，利用函数单调性求最值21.【答案】（Ⅰ）解法一：设M 的坐标为(,)x y，由已知得|2|3x +，易知圆2C 上的点位于直线2x =-的右侧，于是20x +>，5x =+，化简得曲线1C 的方程为220y x =；解法二：由题设知，曲线1C 上任意一点M 到圆心2C (5,0)的距离等于它到直线5x =-的距离，因此，曲线1C 是以(5,0)为焦点，直线5x =-为准线的抛物线，故其方程为220y x =；（Ⅱ）当点P 在直线4x =-上运动时，P 的坐标为0(4,)y -，又03y ≠±，则过P 且与圆2C 相切得直线的斜率k 存在且不为0，每条切线都与抛物线有两个交点，切线方程为0(4)y y k x -=+，即040kx y y k -++=，于是3=，整理得2200721890k y k y ++-=①，设过P 所作的两条切线PA ，PC 的斜率分别为1k ，2k ，则1y ，2y 是方程①的两个实根，故001218724y y k k +=-=-②，由10124020k x y y k y x -++=⎧⎨=⎩，得21012020(4)0k y y y k -++=③，设四点A ，B ，C ，D 的纵坐标分别为1y ，2y ，3y ，4y ，则1k ，2k 是方程③的两个实根，所以0112120(4)y k y y k +=④，同理可得0234220(4)y k y y k +=⑤，于是由②，④，⑤三式，得0102123412400(4)(4)y k y k y y y y k k ++= 2012012124004()16y k k y k k k k ⎡⎤+++⎣⎦=2201212400166400y y k k k k ⎡⎤-+⎣⎦==．所以，当P 在直线4x =-上运动时，四点A ，B ，C ，D 的纵坐标之积为定值6400． 【提示】根据给出的圆的方程及两曲线之间的关系，联立方程由韦达定理即可求解． 【考点】曲线与方程，直线与曲线的位置关系 22.【答案】（Ⅰ）{1}（Ⅱ）0x 的取值范围为212211e e ln,()ax ax x a a x x ⎡⎤-⎢⎥-⎣⎦【解析】（Ⅰ）若0a <，则对一切0x >，()f x e 1ax x =-<，这与题设矛盾，又0a ≠，故0a >，而()e 1ax f x a '=-，令()0f x '=，得11lnx aa =，当11ln x a a<时，()0f x '<，()f x 单调递减；当11ln x a a >时，()0f x '>，()f x 单调递增．故当11ln x a a=时，()f x 取最小值11111ln ln f a a a a a⎛⎫=- ⎪⎝⎭，于是对一切x ∈R ，()1f x ≥恒成立，当且仅当111ln 1a a a-≥，令()ln g t t t t =-，则()ln g t t '=-，当01t <<时，()0g t '>，()g t 单调递增；当1t >时，()0g t '<，()g t 单调递减．故当1t =时，()g t 取最大值(1)1g =，因此，当且仅当11a=即1a =时，a 的取值集合为{1}； （Ⅱ）由题意知，21212121()()e e 1ax ax f x f x k x x x x --==---，令2121e e ()()e ax ax axx f x k a x x ϕ-'=-=--，则121()12121e ()[e ()1]ax a x x x a x x x x ϕ-=-----，212()21221e ()[e ()1]ax a x x x a x x x x ϕ-=----， 令()e 1tF t t =--，则()e 1tF t '=-．当0t <时，()0F t '<，()F t 单调递减；当0t >时，()0F t '>，()F t 单调递增． 故当0t =，()(0)0F t F >=，即e 10t t -->， 从而21()21e()10a x x a x x ---->，12()12e()10a x x a x x ---->，又121e 0ax x x >-，221e 0ax x x >-， 所以1()0x ϕ<，2()0x ϕ>，因为函数()y x ϕ=在区间12[,]x x 上的图象是连续不断的一条曲线，所以存在012(,)x x x ∈使0()0x ϕ=，2()e 0axx a ϕ'=>，()x ϕ单调递增，故这样的c 是唯一的，且21211e e ln ()ax ax c a a x x -=-，故当且仅当212211e e ln ,()ax ax x x a a x x ⎡⎤-∈⎢⎥-⎣⎦时，0()f x k '>．综上所述，存在012(,)x x x ∈使0()f x k '>成立，且0x 的取值范围为212211e e ln ,()ax ax x a a x x ⎡⎤-⎢⎥-⎣⎦． 【提示】给出函数解析式，利用导数判断函数单调性求参数的取值范围；利用导数判断段单调性并求不等式．【考点】利用导数判断或求函数的单调区间，利用导数解决不等式问题。

2012年湖南高考数学2012年湖南高考数学试题是一份具有一定难度的试卷。

试卷的内容涉及了数学的各个方面，既有基础知识的考查，也有解决实际问题的能力要求。

试卷的难度适中，总体而言较为公平。

该试卷中的选择题主要考查了学生对知识点的掌握情况。

例如，第1至8题是选择题，其中包括了函数、三角函数、立体几何等多个知识点的考察。

对于有针对性复习过的学生而言，这些选择题难度不大，只要掌握了相应的知识点，就能做出正确答案。

而在解答题中，难度逐渐加大，需要学生进行较为深入的思考和推理。

其中，第九题要求学生通过排队的方法，找到一种顺序，使得每个出列的学生都按照从小到大的顺序出列。

这道题目旨在考察学生的逻辑思维和排序能力。

解决这个问题可以先将学生按照身高从小到大排列，然后再按照题目所给的规则进行进一步排序，最终得到正确答案。

接下来的第十题和第十一题是解答题的重点，分别考察了学生的函数和数列的知识。

这两道题目都需要学生对所学知识进行运用，用恰当的方法解决问题。

例如，第十题要求学生求解一个函数的最小正周期，需要学生通过观察函数图像和分析函数性质，找到函数的周期。

对于有数学思维能力的学生而言，这道题目并不算难。

而第十一题则稍微有些难度，要求学生通过已知数列的前两项和第n项，求出它的通项公式。

这道题目考查了学生对数列的理解和分析能力，需要学生通过找到规律和进行变量替换，最终得出正确答案。

最后一道题目是解析几何的知识点，要求学生根据题意找到一个合适的点，使得它到给定的两个平面的距离相等。

这道题目考验了学生的空间想象能力和几何知识的灵活运用。

对于善于观察和发散思维的学生而言，这道题目应该不难解答。

总的来说，2012年湖南高考数学试卷难度适中，内容涵盖了数学的各个方面，既考察了学生对基础知识的掌握，也考察了学生的思维能力和问题解决能力。

对于有系统地复习过的学生而言，这份试卷应该不是难题。

通过合理的复习安排和积极的备考态度，相信每个学生都能够取得好的成绩。

2012年湖南高考理科数学试题一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 设集合M ＝{－1，0，1}，N ＝{x |2x ≤x }，则M∩N ＝（ B ）A ．{0}B ．{0，1}C ．{－1，1}D ．{－1，0，1} 2. 命题“若α＝4π，则tan α＝1”的逆否命题是（ C ）A ．若α≠4π，则tan α≠1B ．若α＝4π，则tan α≠1C ．若tan α≠1，则α≠4πD ．若tan α≠1，则α＝4π3. 某几何体的正视图和侧视图均如图1所示，则该几何体的俯视图不可能．．．是（ D ）4. 设某大学的女生体重y （单位：kg ）与身高x （单位：cm ）具有线性相关关系，根据一组样本数据（i x ，i y ）（i ＝1，2，3，···，n ），用最小二乘法建立的回归方程为yˆ＝0.85x －85.71，则下列结论中不正确．．．的是（ D ） A ．y 与x 具有正的线性相关关系B ．回归直线过样本点的中心（x ，y ）C ．若该大学某女生身高增加1cm ，则其体重约增加0.85kgD ．若该大学某女生身高为170cm ，则可断定其体重必为58.79kg5. 已知双曲线C ：22a x －22by ＝1（a >0，b >0）的焦距为10，点P （2，1）在C 的渐近线上，则C 的方程为（ A ）A ．202x －52y ＝1B ．52x －202y ＝1C ．802x －202y ＝1 D ．202x －802y6. 设)(x f ＝s inx －co s(x ＋6π)的值域为（ B ）A ．[－2，2]B ．[－3，3]C ．[－1，1]D ．[－23，23] 7. 在△ABC 中，AB ＝2，AC ＝3，·＝1，则BC ＝（ A ） A ．3 B ．7 C ．22 D ．23A 图1 B C D8. 已知直线1l ：y ＝m 和2l ：y ＝128+m (m >0)，1l 与函数y ＝||2x log 的图象从左至右相交于点A 、B ，2l 与函数y ＝||2x log 的图象从左至右相交于点C 、D ；记线段AC 和BD 在x 轴上的投影长度分别为a ，b ，当m 变化时，ab 的最小值为（ B ）A ．162B ．82C ．834D ．434二、填空题：（本大题共8小题，考生作答7小题，每小题5分，共35分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上）（一）选做题（请考生在第9、10、11三题中任选两题作答，若全做，则按前两题记分）9. 在直角坐标系x O y 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧-=+=t y t x 211（t 为参数）与曲线C 2：⎩⎨⎧⋅=⋅=θθcos y sin a x 3（θ为参数，a >0）有一个公共点在x 轴上，则a ＝ .【23】 10. 不等式1212--+x x >0的解集为 .【{x |x >41}】11. 如图，过点P 的直线与⊙O 相交于A 、B 两点，若PA ＝1，AB ＝2，PO＝3，则⊙O 的半径等于 .【6】（二）必做题（12~16题）12. 已知复数z ＝2)3(i +（i 为虚数单位），则z ＝ .【10】13. 6)12(xx -的二项展开式中的常数项为 .【－160】14. 如果执行如图3所示的程序框图，输入x ＝－1，n ＝3，则输出的数S ＝ .【－4】图215. 函数)(x f ＝s in (ωx ＋ϕ)的导函数y ＝)(x f '的部分图象如图4所示，其中，P 为图象与y 轴的交点，A ，C 为图象与x 轴的两个交点，B 为图象的最低点. （1）若ϕ＝6π，点P 的坐标为(0，233)，则ω＝ .【3】（2）若在曲线段ABC 与x 轴所围成的区域内随机取一点，则该点在△ABC 内的概率为 .【4π】16. 设N ＝n2（n ∈N*，n ≥2），将N 个数1x ，2x ，3x ，···，N x 依次放入编号为1，2，···，N 的N 个位置，得到排列0P ＝1x 2x 3x ···N x ，将该排列中分别位于奇数与偶数位置的数取出并按原顺序依次放入对应的前2N 和后2N 个位置，得到排列1P ＝1x 3x ···1-N x 2x 4x ···N x ，将此操作称为C 变换，将1P 分成两段，每段2N 个数，并对每段作C 变换，得到2P ；当2≤i ≤n －2时，将i P 分成i2段，每段i N 2个数，并对每段作C变换，得到1-i P ；例如，当N ＝8时，2P ＝1x 5x 3x 7x 2x 6x 4x 8x ，此时7x 位于2P 中的第4个位置.（1）当N ＝16时，7x 位于2P 中的第 个位置；（2）当N ＝n2（n ≥8）时，173x 位于4P 中的第 个位置.【（1）6；（2）3×42-n ＋11.】三、解答题：（本大题共6小题，共75分，解答在应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. （本小题满分12分）某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%.（1）确定x ，y 的值，并求顾客一次购物的结算时间X 的分布列与数学期望；（2）若某顾客到达收银台时前面恰有2位顾客需结算，且各顾客的结算相互独立，求该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟的概率. （注：将频率视为概率）解：（1）由题得：25＋y ＋10＝100×55%，∴y ＝20，再由x ＋30＝45，得x ＝15， ∴x ＝15，y ＝20.该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为100的简单随机样本，将频率视为概率得：P(X ＝1)＝10015＝203，P(X ＝1.5)＝10030＝103，P(X ＝2)＝10025＝41，P(X ＝2.5)＝10020＝51，P(X ＝3)＝10010＝101.X 的数学期望E(X)＝1×203＋1.5×103＋2×41＋2.5×51＋3×101＝1.9.（2）记A 为事件“该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟”，i X (i ＝1，2)为该顾客前面第i 位顾客的结算时间，则P(A)＝P(X 1＝1且X 2＝1)＋P(X 1＝1且X 2＝1.5)＋ P(X 1＝1.5且X 2＝1). 由于各顾客的结算相互独立，且X 1，X 2的分布列都与X 的分布列相同， ∴P(A)＝ 203×203＋203×103＋103×203＝809，∴该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟的概率为809.18. （本小题满分12分）如图5，在四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，AB ＝4，BC ＝3，AD ＝5，∠DAB ＝∠ABC ＝90°，E 是CD 的中点. （1）证明：CD ⊥平面PAE ；（2）若直线PB 与平面PAE 所成的角和PB 与平面ABCD 所成的角相等，求四棱锥P －ABCD 的体积. 解法1 （1）如图①连结AC ，由AB ＝4，BC ＝3，∠ABC ＝90°得AC ＝5，又AD ＝5，E 是CD 的中点，∴CD ⊥AE. ∵PA ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，∴PA ⊥CD ，又PA∩AE ＝A ，∴CD ⊥平面PAE.（2）过点B 作BG ∥CD ，分别交AE 、AD 于点F 、G ，连结PF. 由（1）知，CD ⊥平面PAE ，∴BF ⊥平面PAE ， ∴∠BPF 为直线PB 与平面PAE 所成的角，且BG ⊥AE ，由PA ⊥平面ABCD 知，∠PBA 为直线PB 与平面ABCD 所成的角，由题意∠PBA＝∠BPF ，∴R t △BFP ≌R t △PAB ，∴PA ＝BF ，由∠DAB ＝∠ABD ＝90°知，AD ∥BC ，又BG ∥CD ，∴四边形BCDG 是平行四边形，∴GD ＝BC ＝3，∴AG ＝2，在R t △BAG 中，AB ＝4，AG ＝2，BG ⊥AF ，∴BG＝22AG AB +＝25，BF ＝AB 2＝5216＝558，∴PA ＝BF ＝558，又梯形ABCD 的面积S ＝21(5＋3)×4＝16，∴ABCD P V-＝31×S×PA ＝31×16×558＝155128.AB C DPE图5 ABC D PEF图 ①G534解法2 如图②以A 为坐标原点，AB ，AD ，AP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，设PA ＝h ，则相关各点的坐标为：A(0，0，0)，B(4，0，0)，C(4，3，0)，D(0，5，0)，E(2，4，0)，P(0，0，h ). （1）易知，CD ＝(－4，2，0)，AE ＝(2，4，0)，AP ＝(0，0，h )，∵CD ·AE ＝0，CD ·AP ＝0，∴CD ⊥AE ，CD ⊥AP ，又AP∩AE ＝A ，∴CD ⊥平面PAE.（2）由题设与（1）知，CD ，PA 分别是平面PAE ，平面ABCD的法向量，而PB 与平面PAE 所成的角和PB 与平面ABCD 所成的角相等，∴><PB CD cos ,＝><PB PA cos ,，由（1）知，CD ＝(－4，2，0)，PA＝(0，0，－h )，又PB ＝(4，0，－h )，∴216520016h +⋅++-＝221600h h h +⋅++，解得h ＝558，又梯形ABCD 的面积S ＝21(5＋3)×4＝16，∴ABCD P V -＝31×S×PA ＝31×16×558＝155128.19. （本小题满分12分）已知数列{}n a 的各项均为正数，记A(n )＝1a ＋2a ＋···＋n a ，B(n )＝2a ＋3a ＋···＋1+n a ，C(n )＝3a ＋4a ＋···＋2+n a ，n ＝1，2，3，···.（1）若1a ＝1，2a ＝5，且对任意n ∈N*，三个数A(n )，B(n )，C(n )组成等差数列，求数列{}n a 的通项公式.（2）证明：数列{}n a 是公比为q 的等比数列的充分必要条件是：对任意n ∈N*，三个数A(n )，B(n )，C(n )组成公比为q 的等比数列. 解：（1）对任意n ∈N*，三个数A(n )，B(n )，C(n )是等差数列，∴B(n )－A(n )＝C(n )－B(n )，即1+n a －1a ＝2+n a －2a ，∴2+n a －1+n a ＝2a －1a ＝4，∴{}n a 是首项为1，公差为4的等差数列，∴n a ＝4n －3（n ∈N*）.（2）①必要性：若数列{}n a 是公比为q 的等比数列，则对任意n ∈N*，有1+n a ＝n a q ，由n a >0知，A(n )，B(n )，C(n )均大于0， ∴)()(n A n B ＝n n a a a a a a +++++++ 21132＝n n a a a a a a q ++++++ 2121)(＝q ，)()(n B n C ＝132243++++++++n n a a a a a a ＝132132)(++++++++n n a a a a a a q ＝q ， 即)()(n A n B ＝)()(n B n C ＝q ，∴三个数A(n )，B(n )，C(n )组成公比为q 的等比数列. ②充分性：若对任意n ∈N*，三个数A(n )，B(n )，C(n )组成公比为q 的等比数列，则 B(n )＝q ·A(n )，C(n )＝q ·B(n )，∴C(n )－B(n )＝q [B(n )－A(n )]，得2+n a －q 1+n a ＝2a －q 1a ，由n ＝1时，有B(1)＝q ·A(1)，即2a ＝q 1a ，∴2+n a －q 1+n a ＝0，∵n a >0， ∴12++n n a a ＝12a a ＝q ，∴数列{}n a 是首项为1a ，公比为q 的等比数列. 综上所述，数列{}n a 是公比为q 的等比数列的充分必要条件是： 对任意n ∈N*，三个数A(n )，B(n )，C(n )组成公比为q 的等比数列.20. （本小题满分13分）某企业接到生产3000台某产品的A ，B ，C 三种部件的订单，每台产品需要这三种部件的数量分别为2，2，1（单位：件）. 已知每个工人每天可生产A 部件6件，或B 部件3件，或C 部件2件. 该企业计划安排200名工人分成三组分别生产这三种部件，生产B 部件的人数与生产A 部件的人数成正比，比例系数为k （k 为正整数）.（1）设生产A 部件的人数为x ，分别写出完成A ，B ，C 三种部件生产需要的时间； （2）假设这三种部件的生产同时开工，试确定正整数k 的值，使完成订单任务的时间最短，并给出时间最短时具体的人数分组方案.解：（1）设完成A ，B ，C 三种部件的生产任务需要的时间（单位：天）分别为T 1(x )，T 2(x )，T 3(x )，由题设有：T 1(x )＝x 630002⨯＝x 1000，T 2(x )＝kx2000，T 3(x )＝xk )1(2001500+-，其中x ，kx ，200－(1＋k )x 均为1到200之间的正整数.（2）完成订单任务的时间为)(x f ＝max { T 1(x )，T 2(x )，T 3(x )}，其定义域为{0<x <k+1200，x ∈N*}. 易知，T 1(x )，T 2(x )为减函数，T 3(x )为增函数，注意到T 2(x )＝k2·T 1(x )，于是①当k ＝2时，T 1(x )＝T 2(x )，此时，)(x f ＝max { T 1(x )，T 3(x )}＝max {x1000，x 32001500-}，由函数T 1(x )，T 3(x )的单调性知，当x 1000＝x32001500-时，)(x f 取得最小值，解得x ＝400，由于44<400<45，而)44(f ＝T 1(44)＝11250，)45(f ＝T 3(45)＝13300，∵)44(f <)45(f ，∴当x ＝44时完成订单任务的时间最短，且最短时间为)44(f ＝250.②当k >2时，T 1(x )>T 2(x )，由于k 为正整数，∴k ≥3，此时，x k )1(2001500+-≥x )31(2001500+-＝x-50375. 记T(x )＝x-50375，)(x ϕ＝max {T 1(x )，T(x )}，易知，T(x )是增函数，则)(x f ＝max { T 1(x )，T 3(x )}≥max { T 1(x )，T(x )}＝)(x ϕ＝max {x1000，x -50375}，由函数T 1(x )，T(x )的单调性知，当x 1000＝x-50375时，)(x ϕ取最小值，解得x ＝11400，由于36<11400<37，而)36(ϕ＝T 1(36)＝9250>11250，)37(ϕ＝T(37)＝13375>11250，此时，完成订单任务的最短时间大于250.③当k <2时，T 1(x )<T 2(x )，由于k 为正整数，故k ＝1，此时，)(x f ＝max { T 2(x )，T 3(x )}＝max {x 2000，x-100750}，由函数T 2(x )，T 3(x )的单调性知，当x 2000＝x-100750时，)(x f 取最小值，解得x＝800，类似①的讨论，此时完成订单任务的最短时间为9250，大于250.综上所述，当k ＝2时，完成订单任务的时间最短，此时，生产A ，B ，C 三种部件的人数分别为44，88，68.21. （本小题满分13分）在直角坐标系x O y 中，曲线C 1上的点均在圆C 2：(x －5)2＋y 2＝9外，且对C 1上任意一点M ，M 到直线x ＝－2的距离等于该点与圆C 2上点的距离的最小值. （1）求曲线C 1的方程；（2）设P(x 0，y 0)（y 0≠±3）为圆C 2外一点，过P 作圆C 2的两条切线，分别与曲线C 1相交于点A ，B 和C ，D ，证明：当P 在直线x ＝－4上运动时，四点A ，B ，C ，D 的纵坐标之积为定值.解：（1）解法1 设M(x ，y )，由已知得：|x ＋2|＝22)5(y x +-－3，易知圆C 2上的点位于直线x ＝－2的右侧，∴x ＋2>0，∴22)5(y x +-＝x ＋5，化简得曲线C 1的方程为2y ＝20x .解法2 由题设知，曲线C 1上任意一点M 到圆心C 2(5，0)的距离等于它到直线x ＝－5的距离，∴曲线C 1是以(5，0)为焦点，直线x ＝－5为准线的抛物线，∴其方程为2y ＝20x .（2）当点P 在直线x ＝－4上运动时，设P(－4，y 0)，又y 0≠±3，∴过P 且与圆C 2相切的直线的斜率k 存在且不为0，每条切线都与抛物线有两个交点，切线方程为y －y 0＝k (x ＋4)，即kx －y ＋y 0＋4k ＝0，∴1|45|20+++k k y k ＝3，整理得：722k ＋180y k ＋20y －9＝0······①设过P 所作的两条切线PA ，PC 的斜率分别为1k ，2k ，则1k ，2k 是方程①的两个实根，∴1k ＋2k ＝42y -······②由⎩⎨⎧==++-xy k y y x k 20042101，得)4(20201021k y y y k ++-＝0······③设四点A ，B ，C ，D 的纵坐标分别为y 1，y 2，y 3，y 4，则y 1，y 2是方程③的两个实根，∴y 1y 2＝110)4(20k k y +······④，同理可得 y 3y 4＝220)4(20k k y +······⑤∴由②④⑤三式得 y 1y 2y 3y 4＝212010)4)(4(400k k k y k y ++＝212102120]16)(4[400k k k k y k k y +++＝21212020)16(400k k k k y y +-＝6400.∴当P 在直线x ＝－4上运动时，四点A ，B ，C ，D 的纵坐标之积为定值6400.22. （本小题满分13分）已知函数)(x f ＝x eax-，其中a ≠0.（1）若一切x ∈R ，)(x f ≥1恒成立，求a 的取值集合；（2）在函数)(x f 的图象上取定两点A(1x ，)(1x f )，B(2x ，)(2x f )（1x <2x ），记直线AB 的斜率为k ，问：是否存在0x ∈(1x ，2x )，使)(x f '>k 成立？若存在，求0x 的取值范围；若不存在，请说明理由.解：（1）若a <0，则对一切x >0，)(x f ＝x eax-<1，这与题设矛盾，又a ≠0，∴a >0.∵)(x f '＝1-axae ，令)(x f '＝0得x ＝aln a 11⋅.当x <a ln a 11⋅时，)(x f '<0，)(x f 单调递减；当x >aln a11⋅时，)(x f '>0，)(x f 单调递增.∴当x ＝a ln a 11⋅时，)(x f 取最小值)11(a ln a f ⋅＝a 1－aln a 11⋅.于是对一切x ∈R ，)(x f ≥1恒成立，当且仅当a 1－aln a 11⋅≥1······①令)(t g ＝lnt t t ⋅-，则)(t g '＝lnt -.当0<t <1时，)(t g '>0，)(t g 单调递增；当t >1时，)(t g '<0，)(t g 单调递减. ∴当t ＝1时，)(t g 取最大值)1(g ＝1，∴当且仅当a1＝1，即a ＝1时，①式成立.综上所述，a 的取值集合为{1}.（2）由题意知，k ＝1212)()(x x x f x f --＝1212x x e e ax ax --－1，令)(x ϕ＝)(x f '－k ＝axae －1212x x e e ax ax --，则 )(1x ϕ＝]1)([12)(12121------x x a e x x ae x x a ax ， )(2x ϕ＝]1)([21)(12212----x x a e ae x x a ax . 令F(t )＝1--t e t，则)(t F '＝1-te ，当t <0时，)(t F '<0，F(t )单调递减；当t >0时，)(t F '>0，F(t )单调递增. ∴当t ≠0时，F(t )>F(0)＝0，即1--t e t>0， ∴1)(12)(12----x x a ex x a >0，1)(21)(21----x x a e x x a >0，又121ae ax >0，122ae ax >0，∴)(1x ϕ<0，)(2x ϕ>0， ∵函数y ＝)(x ϕ在区间[1x ，2x ]上的图象是连续不断的一条曲线，∴存在c ∈(1x ，2x )，使得)(c ϕ＝0，又)(x ϕ'＝axe a 2>0，∴)(x ϕ单调递增，∴这样的c 是唯一的，且c ＝)(11212x x a e e ln a ax ax --⋅，∴当且仅当x ∈()(11212x x a e e ln a ax ax --⋅，2x )时，)(x f '>k .综上所述，存在0x ∈(1x ，2x )，使)(0x f '>k 成立，且0x 的取值范围为()(11212x x a e e ln a ax ax --⋅，2x ).。

2012年湖南理一、选择题（共8小题；共40分）1. 设集合M=−1,0,1，N=x x2≤x，则M∩N= A. 0B. 0,1C. −1,1D. −1,0,12. 命题"若α=π4，则tanα=1 "的逆否命题是 A. 若α≠π4，则tanα≠1 B. 若α=π4，则tanα≠1C. 若tanα≠1，则α≠π4D. 若tanα≠1，则α=π43. 某几何体的正视图和侧视图均如图所示，则该几何体的俯视图不可能是 A. B.C. D.4. 设某大学的女生体重y（单位：kg）与身高x（单位：cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据x i,y i i=1,2,⋯,n，用最小二乘法建立的回归方程为y=0.85x−85.71，则下列结论中不正确的是 A. y与x具有正的线性相关关系B. 回归直线过样本点的中心x,yC. 若该大学某女生身高增加1 cm，则其体重约增加0.85 kgD. 若该大学某女生身高为170 cm，则可断定其体重必为58.79 kg5. 已知双曲线C:x2a2−y2b2=1的焦距为10，点P2,1在C的渐近线上，则C的方程为 A. x220−y25=1 B. x25−y220=1 C. x280−y220=1 D. x220−y280=16. 函数f x=sin x−cos x+π6的值域为 A. −2,2B. −3,3C. −1,1D. −32,3 27. 在△ABC中，AB=2，AC=3，AB⋅BC=1，则BC= A. B. C. 2 D.8. 已知两条直线l1:y=m和l2:y=82m+1m>0，l1与函数y=log2x的图象从左至右相交于点A,B，l2与函数y=log2x的图象从左至右相交于点C,D．记线段AC和BD在x轴上的投影长度分别为a,b．当m变化时，ba的最小值为 A. 16B. 8C. 83D. 43二、填空题（共8小题；共40分）9. 在直角坐标系xOy中，已知曲线C1:x=t+1,y=1−2t（t为参数）与曲线C2:x=a sinθ,y=3cosθ（θ为参数，a>0）有一个公共点在x轴上，则a=．10. 不等式2x+1−2x−1>0的解集为．11. 如图，过点P的直线与⊙O相交于A,B两点．若PA=1，AB=2，PO=3，则⊙O的半径等于．12. 已知复数z=3+i2（i为虚数单位），则z=．13. 2xx 6的二项展开式中的常数项为（用数字作答）．14. 如果执行如图所示的程序框图，输入x=−1，n=3，则输出的数S=．15. 函数f x=sinωx+φ的导函数y=f′x的部分图象如图所示，其中，P为图象与y轴的交点，A,C为图象与x轴的两个交点，B为图象的最低点．（1）若φ=π6，点P的坐标为0,332，则ω=；（2）若在曲线段ABC与x轴所围成的区域内随机取一点，则该点在△ABC内的概率为．16. 设N=2n n∈N∗,n≥2，将N个数x1,x2,⋯,x N依次放入编号为1,2,⋯,N的N个位置，得到排列P0=x1x2⋯x N．将该排列中分别位于奇数与偶数位置的数取出，并按原顺序依次放入对应的前N 2和后N2个位置，得到排列P1=x1x3⋯x N−1x2x4⋯x N，将此操作称为C变换，将P1分成两段，每段N2个数，并对每段作C变换，得到P2；当2≤i≤n−2时，将P i分成2i段，每段N2i个数，并对每段作C变换，得到P i+1．例如，当N=8时，P2=x1x5x3x7x2x6x4x8，此时x7位于P2中的第4个位置．（1）当N=16时，x7位于P2中的第个位置；（2）当N=2n n≥8时，x173位于P4中的第个位置．三、解答题（共6小题；共78分）17. 某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示．一次购物量1至4件5至8件9至12件13至16件17件及以上顾客数人x3025y10结算时间分钟/人1 1.52 2.53已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%．（1）确定x，y的值，并求顾客一次购物的结算时间X的分布列与数学期望；（2）若某顾客到达收银台时前面恰有2位顾客需结算，且各顾客的结算相互独立，求该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟的概率．（注：将频率视为概率）18. 如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB=4，BC=3，AD=5，∠DAB=∠ABC=90∘，E是CD的中点．（1）证明：CD⊥平面PAE；（2）若直线PB与平面PAE所成的角和PB与平面ABCD所成的角相等，求四棱锥P−ABCD的体积．19. 已知数列a n的各项均为正数，记A n=a1+a2+⋯+a n，B n=a2+a3+⋯+a n+1，C n=a3+a4+⋯+a n+2,n=1,2,⋯．（1）若a1=1,a2=5，且对任意n∈N∗，三个数A n,B n,C n组成等差数列，求数列a n的通项公式；（2）证明：数列a n是公比为q的等比数列的充分必要条件是：对任意n∈N∗，三个数A n,B n,C n组成公比为q的等比数列．20. 某企业接到生产3000台某产品的A，B，C三种部件的订单，每台产品需要这三种部件的数量分别为2，2，1（单位：件）．已知每个工人每天可生产A部件6件，或B部件3件，或C部件2件，该企业计划安排200名工人分成三组分别生产这三种部件，生产B部件的人数与生产A部件的人数成正比，比例系数为k（k为正整数）．（1）设生产A部件的人数为x，分别写出完成A，B，C三种部件生产需要的时间；（2）假设这三种部件的生产同时开工，试确定正整数k的值，使完成订单任务的时间最短，并给出时间最短时具体的人数分组方案．21. 在直角坐标系xOy中，曲线C1上的点均在圆C2:x−52+y2=9外，且对C1上任意一点M，M到直线x=−2的距离等于该点与圆C2上点的距离的最小值．（1）求曲线C1的方程；（2）设P x0,y0y0≠±3为圆C2外一点，过P作圆C2的两条切线，分别与曲线C1相交于点A，B 和C，D．证明：当P在直线x=−4上运动时，四点A，B，C，D的纵坐标之积为定值．22. 已知函数f x=e ax−x，其中a≠0．（1）若对一切x∈R，f x≥1恒成立，求a的取值集合；（2）在函数f x的图象上取定两点A x1,f x1，B x2,f x2x1<x2，记直线AB的斜率为k．问：是否存在x0∈x1,x2，使fʹx0>k成立?若存在，求x0的取值范围；若不存在，请说明理由．答案第一部分 1. B 2. C 【解析】命题"若α=π4，则tan α=1 "的逆否命题是"若tan α≠1，则α≠π4"．3. D4. D【解析】若该大学某女生身高为170 cm ，我们只能说其体重大约是58.79 kg ，而不可断定． 5. A6. B 【解析】提示：f x 可化为 3sin x −π6 ． 7. A8. B【解析】由条件可知−log 2x A =log 2x B ，所以x A x B =1，同理x C x D =1，设x A =x 1，则x B =1x 1，设x C =x 2，则x D =1x 2，x 1,x 2∈ 0,1 ；log 2 x 1x 2 =log 2x 1+log 2x 2=−m −8=−m −1−8+1≤−7,当且仅当m =32时等号成立，所以x 1x 2≤2−7=8 2,所以b a = 1x 1−1x 2 x 2−x 1 =1x 1x 2≥8 2, 故ba 的最小值是8 ． 第二部分 9. 32【解析】x 轴上有一个公共点，所以此点的纵坐标为0，代入参数方程得t =12，所以公共点为 32,0 ，将此点的坐标代入曲线C 2中，可解得a =32．10. x x >14【解析】不等式化为 2x +1 >2 x −1 ，两边平方后可化为一元二次不等式． 11. 6 12. 10 13. −160 14. −4 15. 3;π4【解析】（1）因为fʹ x =ωcos ωx +φ ，当φ=π6时，fʹ 0 = 32ω=3 32，解得ω=3．（2）fʹ x =ωcos ωx +φ ，令fʹ x =0，则x =π2ω−φω+kπω，k ∈Z ，不妨设ω>0，且设A π2ω−φω,0 ，C π2ω−φω+πω,0 ， 所以曲线段ABC 与x 轴围成区域的面积为S = ωcos ωx +φ π2ω−φω+πωπ2ω−φωd x=2．又 AC =πω， y B =ω，所以S △ABC =π2，因此，所求概率为π4． 16. 6，3×2n−4+11 【解析】（1）当N =16时，P 0=x 1x 2x 3x 4x 5x 6x 7x 8x 9x 10x 11x 12x 13x 14x 15x 16, P 1=x 1x 3x 5x 7x 9x 11x 13x 15x 2x 4x 6x 8x 10x 12x 14x 16, P 2=x 1x 5x 9x 13x 3x 7x 11x 15x 2x 6x 10x 14x 4x 8x 12x 16,所以x 7位于P 2中的第6个位置．（2）考察C 变换的定义及（1）的计算可发现：第一次C 变换后，所有的数分为两段，每段的序号组成公差为2的等差数列，且第一段序号以1为首项，第二段序号以2为首项；第二次C 变换后，所有的数据分为四段，每段的数字序号组成以4公差的等差数列，且第一段的序号以1为首项，第二段序号以3为首项，第三段序号以2为首项，第四段序号以4为首项．依此类推可得出：P 4中所有的数字分为16段，每段的数字序号组成以16为公差的等差数列，且一到十六段的首项的序号分别为1,9,5,13,⋯.由于173=16×10+13,则x 173位于以13为首项的那一段的第11个数， 由于N =2n n ≥8 ,则每段的数字有2n−4个，以13为首项的是第四段， 故x 173位于第3×2n−4+11个位置． 第三部分17. （1）由已知得25+y +10=55，x +30=45，所以x =15，y =20．该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为100的简单随机样本，将频率视为概率得P X =1 =15100=320,P X =1.5 =30=3,P X =2 =25100=14,P X =2.5 =20100=15,P X =3 =10=1.X的分布列为X 1 1.52 2.53P 3203101415110X 的数学期望为 EX =1×3+1.5×3+2×1+2.5×1+3×1=1.9.（2）记A 为事件"该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟"，X i i =1,2 为该顾客前面第i 位顾客的结算时间，则P A =P X 1=1且X 2=1 +P X 1=1且X 2=1.5 +P X 1=1.5且X 2=1 .由于各顾客的结算相互独立，且X1,X2的分布列都与X的分布列相同，所以P A=P X1=1×P X2=1+P X1=1×P X2=1.5+P X1=1.5×P X2=1=320×320+320×310+310×320=9 80.故该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟的概率为980．18. （1）如图，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．设PA= ，则相关各点的坐标为：A0,0,0，B4,0,0，C4,3,0，D0,5,0，E2,4,0，P0,0, ．易知CD=−4,2,0，AE=2,4,0，AP=0,0, ．因为CD⋅AE=−8+8+0=0，CD⋅AP=0，所以CD⊥AE，CD⊥AP而AP，AE是平面PAE内的两条相交直线，所以CD⊥平面PAE．（2）由题设和（1）知，CD⋅PA分别是平面PAE，平面ABCD的法向量．而PB与平面PAE所成的角和PB与平面ABCD所成的角相等，所以cos⟨CD,PB⟩=cos⟨PA,PB⟩，即CD⋅PBCD⋅PB =PA⋅PBPA⋅PB．由（1）知，CD=−4,2,0，PA=0,0,− ，又PB=4,0,− ，故25×16+ 2=2×16+ 2．解得 =855．又梯形ABCD的面积为S=12×5+3×4=16，所以四棱锥P−ABCD的体积为V=13×S×PA=13×16×855=128515．19. （1）对任意n∈N∗，三个数A n,B n,C n成等差数列，所以B n−A n=C n−B n,即a n+1−a1=a n+2−a2,亦即a n+2−a n+1=a2−a1=4.故数列a n是首项为1，公差为4的等差数列．于是a n=1+n−1×4=4n−3.（2）（1）必要性：若数列a n是公比为q的等比数列，则对任意n∈N∗，有a n+1=a n q，由a n>0知，A n,B n,C n均大于0，于是B n A n =a2+a3+⋯+a n+1a1+a2+⋯+a n=q a1+a2+⋯+a na1+a2+⋯+a n=q,C n=a3+a4+⋯+a n+223n+1=q a2+a3+⋯+a n+123n+1=q,即B n=C n=q.所以三个数A n,B n,C n组成公比为q的等比数列．（2）充分性：若对任意n∈N∗，三个数A n,B n,C n组成公比为q的等比数列，则B n=qA n,C n=qB n.于是C n−B n=q B n−A n,得a n+2−a2=q a n+1−a1,即a n+2−qa n+1=a2−qa1.由n=1有B1=qA1，即a2=qa1，从而a n+2−qa n+1=0.因为a n>0，所以a n+2 a n+1=a2a1=q.故数列a n是首项为a1，公比为q的等比数列．综上所述，数列a n是公比为q的等比数列的充分必要条件是：对任意n∈N∗，三个数A n,B n,C n组成公比为q的等比数列．20. （1）设完成A，B，C三种部件的生产任务需要的时间（单位：天），分别为T1x，T2x，T3x，由题设有T1x=2×30006x=1000x,T2x=2×30003kx=2000kx,T3x=1500,其中x，kx，200−1+k x均为1到200之间的正整数．（2）完成订单任务的时间为f x=max T1x,T2x,T3x，其定义域为x0<x<200,x∈N∗.易知，T1x，T2x为减函数，T3x为增函数，注意到T2x=2kT1x，于是①当k=2时，T1x=T2x，此时f x=max T1x,T3x=max 1000,1500.由函数T1x，T3x的单调性知，当1000x =1500200−3x时，f x取得最小值，解得x=400.由于44<4009<45，而f44=T144=250 11,f45=T345=300 13,因此f44<f45，故当x=44时完成订单任务的时间最短，且最短时间为f44=250 11.②当k>2时，T1x>T2x，由于k为正整数，故k≥3，此时1500 200−1+k x ≥1500200−1+3x=37550−x.记T x=375,φx=max T1x,T x,易知T x是增函数，则f x=max T1x,T3x≥max T1x,T x=φx=max 1000x,37550−x.由函数T1x，T x的单调性知，当1000x =37550−x时，φx取最小值，解得x=400.由于36<40011<37，而φ36=T136=250>250,此时完成订单任务的最短时间大于25011．③当k<2时，T1x<T2x，由于k为正整数，故k=1，此时f x=max T2x,T3x=max 2000,750.由函数T2x，T3x的单调性知，当2000x =750100−x时，f x取最小值，解得x=800,类似（1）的讨论，此时完成订单任务的最短时间为2509，大于25011．综上所述，当k=2时，完成订单任务的时间最短，此时，生产A，B，C三种部件的人数分别为44，88，68．21. （1）解法一：设M的坐标为x,y，由已知得x+2= x22−3,易知圆C2上的点位于直线x=−2的右侧，于是x+2>0，所以x22=x+5.化简得曲线C1的方程为y2=20x.解法二：由题设知，曲线C1上任意一点M到圆心C25,0的距离等于它到直线x=−5的距离．因此，曲线C1是以5,0为焦点，直线x=−5为准线的抛物线．故其方程为y2=20x.（2）当点P在直线x=−4上运动时，P点坐标为−4,y0．又y0≠±3，则过P且与圆C2相切的直线的斜率k存在且不为0，每条切线都与抛物线有两个交点，设切线方程为y−y0=k x+4，即kx−y+y0+4k=0．于是k2+1=3.整理得72k2+18y0k+y02−9=0, ⋯⋯①设过P所作的两条切线PA，PC的斜率分别为k1，k2，则k1，k2是方程①的两个实根．故k1+k2=−18y0=−y0, ⋯⋯②由k1x−y+y0+4k1=0,y2=20x,得k1y2−20y+20y0+4k1=0. ⋯⋯③设四点A，B，C，D的纵坐标分别为y1，y2，y3，y4，则y1，y2是方程③的两个实根，所以y1y2=20y0+4k1k1, ⋯⋯④同理可得y3y4=20y0+4k2k2, ⋯⋯⑤于是由②，④，⑤三式得y1y2y3y4=400y0+4k1y0+4k212=400y02+4k1+k2y0+16k1k212=400y02−y02+16k1k2k1k2=6400.所以，当P在直线x=−4上运动时，四点A，B，C，D的纵坐标之积为定值6400．22. （1）若a<0，则对一切x>0，f x=e ax−x<1，这与题设矛盾．又a≠0，故a>0．而fʹx=a e ax−1，令fʹx=0，得x=1aln1a.当x<1a ln1a时，fʹx<0，f x单调递减；当x>1a ln1a时，fʹx>0，f x单调递增．故当x=1a ln1a时，f x取最小值f1ln1=1−1ln1.于是对一切x∈R，f x≥1恒成立，当且仅当1−1ln1≥1, ⋯⋯①令g t=t−t ln t t>0，则gʹt=−ln t．当0<t<1时，gʹt>0，g t单调递增；当t>1时，gʹt<0，g t单调递减．故当t=1时，g t取最大值g1=1.因此，当且仅当1a=1，即a=1时，①式成立．综上所述，a的取值集合为1．（2）由题意知，k=f x2−f x121=e ax2−e ax121−1,令φx=fʹx−k=a e ax−e ax2−e ax1 x2−x1,则φx1=−e ax1x2−x1e a x2−x1−a x2−x1−1,φx2=e ax2x2−x1e a x1−x2−a x1−x2−1,令F t=e t−t−1，则Fʹt=e t−1．当t<0时，Fʹt<0，F t单调递减；当t>0时，Fʹt>0，F t单调递增．故当t≠0时，F t>F0=0，即e t−t−1>0．从而e a x2−x1−a x2−x1−1>0, 又e ax1 21>0,e ax221>0,所以φx1<0,φx2>0.因为函数y=φx在区间x1,x2上的图象是连续不断的一条曲线，所以存在c∈x1,x2，使得φc=0．又φʹx=a2e ax>0，φx单调递增，故这样的c是唯一的，且c=1alne ax2−e ax1a x2−x1.故当且仅当x∈1a ln e a x2−e a x1a x2−x1,x2时，fʹx>k．综上所述，存在x0∈x1,x2，使fʹx0>k成立，且x0的取值范围为1a ln e a x2−e a x1a x2−x1,x2．。

2012年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（必修+选修Ⅱ）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷第1至2页，第Ⅱ卷第3至第4页。

考试结束，务必将试卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷注意事项：全卷满分150分，考试时间120分钟。

考生注意事项：1.答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码。

请认真核准该条形码上的准考证号、姓名和科目。

2.没小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

在试题卷上作答无效．．．．．．．．．。

3.第I 卷共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

一、选择题 （1）复数131ii-+=+ （A ）2i + （B ）2i - （C ）12i + （D ）12i - （2）已知集合{A =，{1,}B m =，A B A =U ，则m =（A ）0（B ）0或3 （C ）1（D ）1或3 （3）椭圆的中心在原点，焦距为4，一条准线为4x =-，则该椭圆的方程为（A ）2211612x y += （B ）221128x y += （C ）22184x y += （D ）221124x y += （4）已知正四棱柱1111ABCD A B C D -中 ，2AB =，1CC =E 为1CC 的中点，则直线1AC 与平面BED 的距离为（A ）2 （B（C（D ）1 （5）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，55a =，515S =，则数列11{}n n a a +的前100项和为 （A ）100101 （B ）99101（C ）99100 （D ）101100（6）ABC ∆中，AB 边的高为CD ，若CB a =u u u r r ，CA b =u u u r r ，0a b ⋅=r r ，||1a =r ，||2b =r ，则AD =u u u r（A ）1133a b -r r （B ）2233a b -r r （C ）3355a b -r r （D ）4455a b -r r（7）已知α为第二象限角，sin cos αα+=，则cos2α=（A ） （B ） （C （D （8）已知1F 、2F 为双曲线22:2C x y -=的左、右焦点，点P 在C 上，12||2||PF PF =，则12cos F PF ∠= （A ）14 （B ）35 （C ）34 （D ）45（9）已知ln x π=，5log 2y =，12z e-=，则（A ）x y z << （B ）z x y << （C ）z y x << （D ）y z x << （10）已知函数33y x x c =-+的图像与x 恰有两个公共点，则c =（A ）2-或2 （B ）9-或3 （C ）1-或1 （D ）3-或1（11）将字母,,,,,a a b b c c 排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有（A ）12种 （B ）18种 （C ）24种 （D ）36种 （12）正方形ABCD 的边长为1，点E 在边AB 上，点F 在边BC 上，37AE BF ==。