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三角函数的图像和性质1、用五点法作正弦函数和余弦函数的简图（描点法）：正弦函数y=sinx ，x ∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0,0) (2π,1) (π,0) (23π,-1) (2π,0) 余弦函数y=cosx x ∈[0,2π]的图像中，五个关键点是：(0,1) (2π,0) (π,-1) (23π,0) (2π,1) 2 sin y x = cos y x = tan y x =图象定义域 R R,2x x k k ππ⎧⎫≠+∈Z ⎨⎬⎩⎭值域[]1,1-[]1,1-R最值 当22x k ππ=+时，max 1y =；当22x k ππ=- 时，min 1y =-．当2x k π=时，max 1y =；当2x k ππ=+时，min1y =-．既无最大值也无最小值周期性 2π 2ππ奇偶性奇函数 偶函数 奇函数单调性 在2,222k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦上是增函数； 在32,222k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦上是减函数． 在[]2,2k k πππ-上是增函数； 在[]2,2k k πππ+上是减函数．在,22k k ππππ⎛⎫-+⎪⎝⎭上是增函数．对称性 对称中心(),0k π 对称轴2x k ππ=+对称中心,02k ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭对称轴x k π=对称中心,02k π⎛⎫⎪⎝⎭无对称轴函数 性质例作下列函数的简图(1)y=|sinx|，x ∈[0，2π]， (2)y=-cosx ，x ∈[0，2π]例利用正弦函数和余弦函数的图象，求满足下列条件的x 的集合：21sin )1(≥x 21cos )2(≤x3、周期函数定义：对于函数()y f x =，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有：()()f x T f x +=，那么函数()y f x =就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期。
注意： 周期T 往往是多值的（如sin y x = 2π,4π,…,-2π,-4π,…都是周期）周期T 中最小的正数叫做()y f x =的最小正周期（有些周期函数没有最小正周期）sin y x =, cos y x =的最小正周期为2π （一般称为周期）正弦函数、余弦函数：ωπ=2T 。
.三角函数的图像和性质1．函数）62sin(21π+=x y 的单增区间是___________. 【答案】Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-6,3ππππ2．函数y ＝cos 24x π⎛⎫-⎪⎝⎭的单调递增区间是________． 【答案】388k k ππππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦-＋，＋(k∈Z)3．函数3sin(2)3y x π=+图象的对称中心是_______．【答案】(,0)32k ππ-+4．若函数f(x)=sin(ωx+6π)（ω>0）的最小正周期是5π，则ω=_________。
【答案】105．函数)4tan()(π+=x x f 单调增区间为（ ）A ．Z k k k ∈+-),2,2(ππππ B ．Z k k k ∈+),,(πππC ．Z k k k ∈+-),4,43(ππππD ．Z k k k ∈+-),43,4(ππππ 【答案】C6．下列函数中周期为π且为偶函数的是 （ ） A ．)22sin(π-=x y B. )22cos(π-=x y C. )2sin(π+=x y D. )2cos(π+=x y【答案】A7．设函数()sin(2)3f x x π=+，则下列结论正确的是A ．()f x 的图像关于直线3x π=对称 B ．()f x 的图像关于点(,0)4π对称C ．()f x 的最小正周期为2πD ．()f x 在[0,]12π上为增函数【答案】D8．如果函数)4cos(ax y +=π的图象关于直线π=x 对称，则正实数a 的最小值是( )A ．41=a B ．21=a C ．43=a D ．1=a【答案】C9．已知ω>0，0<φ<π，直线x =4π和x =54π是函数f (x )=sin(ωx +φ)图像的两条相邻的对称轴，则φ=( )（A ）4π （B ）3π （C ）2π（D ）34π【答案】A【解析】试题分析：函数f (x )=sin(ωx +φ)图像的两条相邻的对称轴间的距离等于半个周期，所以2,1T πω==.由sin()14πϕ+=得4πϕ=满足0ϕπ<<，故选A.考点：三角函数的图象及其性质. 10．若当4x π=时，函数()sin()(0)f x A x A ϕ=+>取得最小值，则函数()4y f x π=-是（ ）Ａ．奇函数且图像关于点(,0)2π对称 Ｂ．偶函数且图像关于直线2x π=对称Ｃ．奇函数且图像关于直线2x π=对称 Ｄ．偶函数且图像关于点(,0)2π对称【答案】D【解析】由题意知sin()14πϕ+=-，即324k πϕπ=-； 函数3()sin(2)cos 444y f x A x k A x ππππ=-=-+-=-，所以是偶函数且图像关于点(,0)2π对称.11．函数()sin 24f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭在区间[0,]2π上的最小值是A ．-l B．2 C．2- D ．0 【答案】C【解析】因为[0,]2x π∈，所以32[,],444x πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭因此()sin 2[4f x x π⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭即函数最小值是2-.12．函数y ＝2sinx 263x ππ⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭的值域是________．【答案】[1，2]【解析】根据正弦函数图象，可知x ＝6π时，函数取到最小值1；x ＝2π时，函数取到最大值2. 13．当7,66x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数23sin 2cos y x x =--的最小值是_______，最大值是________。
测试四三角函数与平面向量综合一、选择题(10×5分=50分)1．已知等腰三角形底角的正弦值为,32则顶角的正弦值是（A ）A ．594B ．592C ．594-D ．592-2．函数x y sin =的图象按向量)2,2(π-=a 平移后与)(x g 的图象重合,则函数=)(x g (A )A ．2cos +x B ．2cos --x C ．2cos -x D ．2cos +-x 3．等边ABC ∆的边长为1,设C AC b BC a AB ===,,,则=⋅+⋅+⋅a c c b b a （B ）A ．23B ．21C ．23-D ．21-4．已知,4-<k 则函数)1(cos 2cos -+=x k x y 的最小值是（A）A ．1B ．1-C ．12+kD ．12+-k 5．若θ是第三象限角，且2sin 2cossin 1θθθ+=+，则2θ是（B ）A ．第二、四象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角6．已知P 是ABC ∆所在平面内的一点，若R PB PA CB ∈+=λλ,。
则点P 一定在(B）A ．ABC ∆内部B ．AC 边所在直线上C ．AB 边所在直线上D ．BC 边所在直线上7．把函数x x y sin cos 3-=的图象按向量)0()0,(>-=m m a 平移，所得的图象关于y 轴对称，则m 的最小正值是（D）A ．6πB ．3πC ．π32D ．π658．在ABC ∆中，下列三角表达式：①C B A sin )sin(++②AC B cos )cos(++③2tan 2tanCB A +④2sec 2cosAC B +，其中恒为定值的是（B）A ．①②B ．②③C ．③④D ．②④9．已知ABC ∆中,点D 在BC 边上,且DB CD 2=,,AC s AB r CD +=则s r +的值(D)A ．32B ．34C ．3-D ．010．设(0,0)O ,(1,0)A ,(0,1)B ,点P 是线段AB 上的一个动点,AP AB λ=,若PB PA AB OP ⋅≥⋅,则实数λ的取值范围是(B )A ．112λ≤≤B ．2112λ-≤≤C ．12122λ≤≤+D ．221122λ-≤≤+二、填空题（6×5=30）11．︒︒-︒25cos 25sin 5cos 2的值为312．函数)32sin(4π--=x y 的单调减区间是5,1212k k k z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦_____________13．直角坐标平面上向量)3,2(),1,4(-==OB OA 在直线λ上的射影长度相等，则直线l 的斜率为3或12-_____________14．已知j i ,为互相垂直的单位向量，j i b j i a λ+=-=,2，且b a ,的夹角为锐角，则实数λ的取值范围1(,2)(2,)2-∞-⋃-__________15．在AOB ∆中，)sin 5,cos 5(),sin 2,cos 2(ββαα==OB OA ，若5-=⋅OB OA ，则AOB ∆的面积为_532_________16．在ABC ∆中，O 为中线AM 上的一个动点，若2=AM ，则)(OC OB OA +⋅的最小值是___-2_________三、解答题：17．（本题10分）设πππ471217,53)4cos(<<=+x x ，求xxx tan 1sin 22sin 2-+的值。
三角函数的图像与性质一、知识梳理1.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图(1)正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1，(π，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，－1，(2π，0).(2)余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0，(π，－1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，0，(2π，1).2.正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k ∈Z )π3.对称与周期(1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是14个周期. (2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期.(3).对于y ＝tan x 不能认为其在定义域上为增函数，而是在每个区间⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π2，k π＋π2(k ∈Z )内为增函数.二、例题精讲 + 随堂练习1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)余弦函数y ＝cos x 的对称轴是y 轴.( ) (2)正切函数y ＝tan x 在定义域内是增函数.( ) (3)已知y ＝k sin x ＋1，x ∈R ，则y 的最大值为k ＋1.( ) (4)y ＝sin|x |是偶函数.( )解析 (1)余弦函数y ＝cos x 的对称轴有无穷多条，y 轴只是其中的一条. (2)正切函数y ＝tan x 在每一个区间⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π2，k π＋π2(k ∈Z )上都是增函数，但在定义域内不是单调函数，故不是增函数.(3)当k >0时，y max ＝k ＋1；当k <0时，y max ＝－k ＋1. 答案 (1)× (2)× (3)× (4)√2.若函数y ＝2sin 2x －1的最小正周期为T ，最大值为A ，则( ) A.T ＝π，A ＝1 B.T ＝2π，A ＝1 C.T ＝π，A ＝2D.T ＝2π，A ＝2解析 最小正周期T ＝2π2＝π，最大值A ＝2－1＝1.故选A. 答案 A3.函数y ＝－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －3π4的单调递减区间为________.解析 由－π2＋k π＜2x －3π4＜π2＋k π(k ∈Z )， 得π8＋k π2＜x ＜5π8＋k π2(k ∈Z )，所以y ＝－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －3π4的单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＋k π2，5π8＋k π2(k ∈Z ). 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＋k π2，5π8＋k π2(k ∈Z )4.(2017·全国Ⅱ卷)函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的最小正周期为( )A.4πB.2πC.πD.π2解析 由题意T ＝2π2＝π. 答案 C5.(2017·全国Ⅲ卷)函数f (x )＝15sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6的最大值为( )A.65B.1C.35D.15解析 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，则f (x )＝15sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝65sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，函数的最大值为65. 答案 A6.(2018·江苏卷)已知函数y ＝sin(2x ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2<φ<π2 的图象关于直线x ＝π3对称，则φ的值是________.解析 由函数y ＝sin(2x ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2<φ<π2的图象关于直线x ＝π3对称，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋φ＝±1.所以2π3＋φ＝π2＋k π(k ∈Z )，所以φ＝－π6＋k π(k ∈Z )，又－π2<φ<π2，所以φ＝－π6. 答案 －π6考点一 三角函数的定义域【例1】 (1)函数f (x )＝－2tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的定义域是( ) A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠π6 B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠－π12 C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠k π＋π6（k ∈Z ） D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠k π2＋π6（k ∈Z ） (2)不等式3＋2cos x ≥0的解集是________.(3)函数f (x )＝64－x 2＋log 2(2sin x －1)的定义域是________. 解析 (1)由2x ＋π6≠k π＋π2(k ∈Z )，得x ≠k π2＋π6(k ∈Z ).(2)由3＋2cos x ≥0，得cos x ≥－32，由余弦函数的图象，得在一个周期[－π，π]上，不等式cos x ≥－32的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－5π6≤x ≤56π，故原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－56π＋2k π≤x ≤56π＋2k π，k ∈Z .(3)由题意，得⎩⎨⎧64－x 2≥0，①2sin x －1>0，②由①得－8≤x ≤8，由②得sin x >12，由正弦曲线得π6＋2k π<x <56 π＋2k π(k ∈Z ).所以不等式组的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－116π，－76π∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，56π∪⎝ ⎛⎦⎥⎤13π6，8. 答案 (1)D (2)⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－56π＋2k π≤x ≤56π＋2k π，k ∈Z (3)⎝ ⎛⎭⎪⎫－116π，－76π∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，56π∪⎝ ⎛⎦⎥⎤13π6，8【训练1】 (1)函数y ＝sin x －cos x 的定义域为________. (2)函数y ＝lg(sin x )＋cos x －12的定义域为______.解析 (1)要使函数有意义，必须使sin x －cos x ≥0.利用图象，在同一坐标系中画出[0，2π]上y ＝sin x 和y ＝cos x 的图象，如图所示.在[0，2π]上，满足sin x ＝cos x 的x 为π4，5π4再结合正弦、余弦函数的周期是2π，所以原函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |π4＋2k π≤x ≤54π＋2k π，k ∈Z .(2)要使函数有意义必须有⎩⎪⎨⎪⎧sin x >0，cos x －12≥0， 即⎩⎪⎨⎪⎧sin x >0，cos x ≥12，解得⎩⎪⎨⎪⎧2k π<x <π＋2k π，－π3＋2k π≤x ≤π3＋2k π(k ∈Z )，所以2k π<x ≤π3＋2k π(k ∈Z )，所以函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2k π<x ≤π3＋2k π，k ∈Z .答案(1)⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |π4＋2k π≤x ≤54π＋2k π，k ∈Z (2)⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2k π<x ≤π3＋2k π，k ∈Z考点二 三角函数的值域与最值【例2】 (1)y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的值域是________.(2)(2017·全国Ⅱ卷)函数f (x )＝sin 2x ＋3cos x －34⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2的最大值是________. (3)函数y ＝sin x －cos x ＋sin x cos x 的值域为________.解析 (1)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，故3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3，即y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3. (2)由题意可得f (x )＝－cos 2x ＋3cos x ＋14＝－(cos x －32)2＋1.∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴cos x ∈[0，1].∴当cos x ＝32，即x ＝π6时，f (x )max ＝1. (3)设t ＝sin x －cos x ，则t 2＝sin 2x ＋cos 2x －2sin x cos x ，sin x cos x ＝1－t22，且－2≤t ≤2，所以y ＝－t 22＋t ＋12＝－12(t －1)2＋1.当t ＝1时，y max ＝1；当t ＝－2时，y min ＝－12－ 2 .所以函数的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12－2，1. 答案 (1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3 (2)1 (3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12－2，1【训练2】 (1)函数f (x )＝cos 2x ＋6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x 的最大值为( )A.4B.5C.6D.7(2)(2019·临沂模拟)已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，其中x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，a ，若f (x )的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，则实数a 的取值范围是________. 解析 (1)由f (x )＝cos 2x ＋6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＝1－2sin 2x ＋6sin x ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x －322＋112，又sin x ∈[－1，1]，所以当sin x ＝1时函数的最大值为5.(2)由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，a ，知x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，a ＋π6.因为x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π2时，f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，所以由函数的图象知π2≤a ＋π6≤7π6，所以π3≤a ≤π. 答案 (1)B(2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π考点三 三角函数的单调性 角度1 求三角函数的单调区间【例3－1】 (1)函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的单调递增区间是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π12－π12，k π2＋5π12(k ∈Z ) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π12－π12，k π2＋5π12(k ∈Z )C.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z )D.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z ) (2)函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x ＋π3的单调递减区间为________. 解析 (1)由k π－π2<2x －π3<k π＋π2(k ∈Z )，得k π2－π12<x <k π2＋5π12(k ∈Z )，所以函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z ).(2)y ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，它的减区间是y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的增区间.令2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π12≤x ≤k π＋5π12，k ∈Z .故其单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12，k ∈Z . 答案 (1)B (2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12，k ∈Z角度2 利用单调性比较大小【例3－2】 已知函数f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，设a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π7，b ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，c ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A.a >b >c B.a >c >b C.c >a >bD.b >a >c解析 令2k π≤x ＋π6≤2k π＋π，k ∈Z ，解得2k π－π6≤x ≤2k π＋5π6，k ∈Z ，∴函数f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6上是减函数，∵－π6<π7<π6<π4<5π6， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π7>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4. 答案 A角度3 利用单调性求参数【例3－3】 (2018·全国Ⅱ卷)若f (x )＝cos x －sin x 在[－a ，a ]是减函数，则a 的最大值是( ) A.π4B.π2C.3π4D.π解析 f (x )＝cos x －sin x ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4，由题意得a >0，故－a ＋π4<π4，因为f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4在[－a ，a ]是减函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋π4≥0，a ＋π4≤π，a >0，解得0<a ≤π4，所以a 的最大值是π4.答案 A【训练3】 (1)设函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π，则以下结论正确的是( )A.函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0上单调递减B.函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上单调递增 C.函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，5π6上单调递减 D.函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π6，π上单调递增(2)cos 23°，sin 68°，cos 97°的大小关系是________.(3)若函数f (x )＝sin ωx (ω>0)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上单调递增，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2上单调递减，则ω＝________.解析 (1)由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0，得2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－4π3，－π3，此时函数f (x )先减后增；由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，得2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3，此时函数f (x )先增后减；由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，5π6，得2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π3，4π3，此时函数f (x )单调递减；由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π6，π，得2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤4π3，5π3，此时函数f (x )先减后增.(2)sin 68°＝cos 22°，又y ＝cos x 在[0°，180°]上是减函数，∴sin 68°>cos 23°>cos 97°.(3)法一 由于函数f (x )＝sin ωx (ω>0)的图象经过坐标原点，由已知并结合正弦函数的图象可知，π3为函数f (x )的14周期，故2πω＝4π3，解得ω＝32.法二 由题意，得f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝sin π3ω＝1.由已知并结合正弦函数图象可知，π3ω＝π2＋2k π(k ∈Z )，解得ω＝32＋6k (k ∈Z )，所以当k ＝0时，ω＝32.答案 (1)C (2)sin 68°>cos 23°>cos 97° (3)32考点四 三角函数的周期性、奇偶性、对称性 角度1 三角函数奇偶性、周期性【例4－1】 (1)(2018·全国Ⅰ卷)已知函数f (x )＝2cos 2x －sin 2x ＋2，则( ) A.f (x )的最小正周期为π，最大值为3 B.f (x )的最小正周期为π，最大值为4 C.f (x )的最小正周期为2π，最大值为3 D.f (x )的最小正周期为2π，最大值为4(2)(2019·杭州调研)设函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋θ－3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋θ⎝ ⎛⎭⎪⎫|θ|<π2的图象关于y 轴对称，则θ＝( ) A.－π6 B.π6 C.－π3 D.π3解析 (1)易知f (x )＝2cos 2x －sin 2x ＋2＝3cos 2x ＋1＝3cos 2x ＋12＋1＝32cos 2x ＋52，则f (x )的最小正周期为π，当2x ＝2k π，即x ＝k π(k ∈Z )时，f (x )取得最大值，最大值为4.(2)f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋θ－3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋θ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋θ－π3， 由题意可得f (0)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝±2，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝±1，∴θ－π3＝π2＋k π(k ∈Z )，∴θ＝5π6＋k π(k ∈Z ). ∵|θ|<π2，∴k ＝－1时，θ＝－π6. 答案 (1)B (2)A角度2 三角函数图象的对称性【例4－2】 (1)已知函数f (x )＝a sin x ＋cos x (a 为常数，x ∈R )的图象关于直线x ＝π6对称，则函数g (x )＝sin x ＋a cos x 的图象( )A.关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0对称B.关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，0对称 C.关于直线x ＝π3对称 D.关于直线x ＝π6对称解析 (1)因为函数f (x )＝a sin x ＋cos x (a 为常数，x ∈R )的图象关于直线x ＝π6对称，所以f (0)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，所以1＝32a ＋12，a ＝33，所以g (x )＝sin x ＋33cos x ＝233sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，函数g (x )的对称轴方程为x ＋π6＝k π＋π2(k ∈Z )，即x ＝k π＋π3(k ∈Z )，当k ＝0时，对称轴为直线x ＝π3，所以g (x )＝sin x ＋a cos x 的图象关于直线x ＝π3对称. 规律方法 1.对于可化为f (x )＝A sin(ωx ＋φ)形式的函数，如果求f (x )的对称轴，只需令ωx ＋φ＝π2＋k π(k ∈Z )，求x 即可；如果求f (x )的对称中心的横坐标，只需令ωx ＋φ＝k π(k ∈Z )，求x 即可.2.对于可化为f (x )＝A cos(ωx ＋φ)形式的函数，如果求f (x )的对称轴，只需令ωx ＋φ＝k π(k ∈Z )，求x ；如果求f (x )的对称中心的横坐标，只需令ωx ＋φ＝π2＋k π(k ∈Z )，求x 即可.【训练4】 (1)(2018·全国Ⅲ卷)函数f (x )＝tan x1＋tan 2x的最小正周期为( )A.π4B.π2C.πD.2π(2)设函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，则下列结论错误的是( )A.f (x )的一个周期为－2πB.y ＝f (x )的图象关于直线x ＝8π3对称 C.f (x ＋π)的一个零点为x ＝π6 D.f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π单调递减解析 (1)f (x )的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠k π＋π2，k ∈Z .f (x )＝sin x cos x 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x cos x 2＝sin x ·cos x ＝12sin 2x ，∴f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.(2)A 项，因为f (x )的周期为2k π(k ∈Z 且k ≠0)，所以f (x )的一个周期为－2π，A 项正确.B 项，因为f (x )图象的对称轴为直线x ＝k π－π3(k ∈Z )，当k ＝3时，直线x ＝8π3是其对称轴，B 项正确.C 项，f (x ＋π)＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋4π3，将x ＝π6代入得到f ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π6＝cos 3π2＝0，所以x ＝π6是f (x＋π)的一个零点，C 项正确.D 项，因为f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3的递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π3，2k π＋2π3 (k ∈Z )，递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋2π3，2k π＋5π3 (k ∈Z )，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，2π3是减区间，⎣⎢⎡⎭⎪⎫2π3，π是增区间，D 项错误.答案 (1)C (2)D三、课后练习1.若对于任意x ∈R 都有f (x )＋2f (－x )＝3cos x －sin x ，则函数f (2x )图象的对称中心为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π4，0(k ∈Z ) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π8，0(k ∈Z ) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π4，0(k ∈Z ) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π8，0(k ∈Z ) 解析 因为f (x )＋2f (－x )＝3cos x －sin x ，所以f (－x )＋2f (x )＝3cos x ＋sin x .解得f (x )＝cos x ＋sin x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4，所以f (2x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4. 令2x ＋π4＝k π(k ∈Z )，得x ＝k π2－π8(k ∈Z ).所以f (2x )图象的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π8，0(k ∈Z ). 答案 D2.(2017·天津卷)设函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)，x ∈R ，其中ω>0，|φ|<π.若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π8＝2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π8＝0，且f (x )的最小正周期大于2π，则( ) A.ω＝23，φ＝π12 B.ω＝23，φ＝－11π12C.ω＝13，φ＝－11π24D.ω＝13，φ＝7π24解析 ∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π8＝2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π8＝0，且f (x )的最小正周期大于2π， ∴f (x )的最小正周期为4⎝ ⎛⎭⎪⎫11π8－5π8＝3π， ∴ω＝2π3π＝23，∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23x ＋φ. ∴2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23×5π8＋φ＝2，得φ＝2k π＋π12(k ∈Z )， 又|φ|<π，∴取k ＝0，得φ＝π12.答案 A3.已知x 0＝π3是函数f (x )＝sin(2x ＋φ)的一个极大值点，则f (x )的单调递减区间是________.解析 因为x 0＝π3是函数f (x )＝sin(2x ＋φ)的一个极大值点，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π3＋φ＝1，解得φ＝2k π－π6(k ∈Z ). 不妨取φ＝－π6，此时f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6， 令2k π＋π2≤2x －π6≤2k π＋3π2(k ∈Z )，得f (x )的单调递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π3，k π＋56π(k ∈Z ). 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π3，k π＋56π(k ∈Z )4.已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x sin x －3cos 2x ＋32. (1)求f (x )的最大值及取得最大值时x 的值；(2)若方程f (x )＝23在(0，π)上的解为x 1，x 2，求cos(x 1－x 2)的值.解 (1)f (x )＝cos x sin x －32(2cos 2x －1) ＝12sin 2x －32cos 2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3. 当2x －π3＝π2＋2k π(k ∈Z )，即x ＝512π＋k π(k ∈Z )时，函数f (x )取最大值，且最大值为1.(2)由(1)知，函数f (x )图象的对称轴为x ＝512π＋k π(k ∈Z )，∴当x ∈(0，π)时，对称轴为x ＝512π.又方程f (x )＝23在(0，π)上的解为x 1，x 2.∴x 1＋x 2＝56π，则x 1＝56π－x 2，∴cos(x 1－x 2)＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫56π－2x 2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 2－π3， 又f (x 2)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 2－π3＝23， 故cos(x 1－x 2)＝23.5.已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6，若对任意的实数α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π6，－π2，都存在唯一的实数β∈[0，m ]，使f (α)＋f (β)＝0，则实数m 的最小值是________.解析 因为α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π6，－π2，所以α－π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，－2π3，则f (α)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，0，因为对任意的实数α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π6，－π2，都存在唯一的实数β∈[0，m ]，使f (α)＋f (β)＝0，所以f (β)在[0，m ]上单调，且f (β)∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32，则β－π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3，所以β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2，即实数m 的最小值是π2. 答案 π26.(2017·山东卷)函数y ＝3sin 2x ＋cos 2x 的最小正周期为( )A.π2B.2π3C.πD.2π解析 ∵y ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin 2x ＋12cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6， ∴T ＝2π2＝π.答案 C7.(2019·石家庄检测)若⎝ ⎛⎭⎪⎫π8，0是函数f (x )＝sin ωx ＋cos ωx 图象的一个对称中心，则ω的一个取值是( )A.2B.4C.6D.8解析 因为f (x )＝sin ωx ＋cos ωx ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4，由题意，知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωπ8＋π4＝0，所以ωπ8＋π4＝k π(k ∈Z )，即ω＝8k －2(k ∈Z )，当k ＝1时，ω＝6.答案 C8.已知函数f (x )＝2sin ωx (ω>0)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上的最小值是－2，则ω的最小值等于( ) A.23 B.32 C.2 D.3解析 ∵ω>0，－π3≤x ≤π4，∴－ωπ3≤ωx ≤ωπ4.由已知条件知－ωπ3≤－π2，∴ω≥32.答案 B9.(2019·湖南十四校联考)已知函数f (x )＝2sin ωx －cos ωx (ω>0)，若f (x )的两个零点x 1，x 2满足|x 1－x 2|min ＝2，则f (1)的值为( ) A.102 B.－102 C.2 D.－2解析 依题意可得函数的最小正周期为2πω＝2|x 1－x 2|min ＝2×2＝4，即ω＝π2，所以f (1)＝2sin π2－cos π2＝2.答案 C10.(2018·北京卷)设函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6(ω>0).若f (x )≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4对任意的实数x 都成立，则ω的最小值为________.解析 由于对任意的实数都有f (x )≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4成立，故当x ＝π4时，函数f (x )有最大值，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝1，πω4－π6＝2k π(k ∈Z )，∴ω＝8k ＋23(k ∈Z ).又ω>0，∴ωmin ＝23. 答案 2311.(2019·北京通州区质检)已知函数f (x )＝sin ωx －cos ωx (ω>0)的最小正周期为π.(1)求函数y ＝f (x )图象的对称轴方程；(2)讨论函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的单调性. 解 (1)∵f (x )＝sin ωx －cos ωx ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π4，且T ＝π， ∴ω＝2，于是f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4. 令2x －π4＝k π＋π2(k ∈Z )，得x ＝k π2＋3π8(k ∈Z ).即函数f (x )图象的对称轴方程为x ＝k π2＋3π8(k ∈Z ).(2)令2k π－π2≤2x －π4≤2k π＋π2(k ∈Z )，得函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π8，k π＋3π8(k ∈Z ). 注意到x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以令k ＝0，得函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，3π8； 同理，其单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π8，π2.。
解三角形1．已知点()()()1,2,3,3,0,0C B A ,则ABC Δ的面积为．2．ABC ∆的内角,,A B C 所对的边为,,a b c ,则下列命题正确的是．①若A B <,则cos 2cos 2A B <②若2ab c >,则3C π<③若2a b c +>,则3C π<④若()2a b c ab +<,则2C π>3．在△ABC 中，若5,5AB AC ==，且9cos 10C =，则BC =__________________．4．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，若b 为a 与c 的等差中项，30,B = ABC ∆的面积为23，则b =_________．5．钝角三角形ABC 的面积是12， 1.2AB BC ==，则AC =．6．如图ABC ∆中，已知点D 在BC 边上，,322sin ,=∠⊥BAC AC AD ,23=AB 3=AD ，则BD 的长为．7．钝角三角形ABC 的面积是12，12AB BC ==，AC =．8．已知△ABC 的角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，且5,3,22a b c ===A =_______．9．若2c =，3C π∠=且ABC ∆是锐角三角形，则ABC ∆周长的取值范围__________．10．在ABC △中，4a =，5b =，6c =，则sin 2sin A C=．11．在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ．已知22,sin 2sin a b bc C B -==，则角A 为__________．12．在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，若角C B A ,,依次成等差数列，且3,2==b a ，则ABC S ∆=．13．在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若ABC ∆的面积2223()4S a b c =+-，则C =．14．在ABC ∆中，4,2a b a c b -=+=最大角为120°，则最大边的长度为．15．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ．已知bcosC+ccosB=2b ，则=．16．在ABC ∆中，三内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ．（1）若,2,4560===a A c 求C ；（2）若22242a b c bc =++，C B A sin sin sin 2=，试判断ABC ∆的形状．17．已知锐角三角形ABC 中，.51)sin(,53)sin(=-=+B A B A （1）求证：B A tan 2tan =；（2）设3AB =，求AB 边上的高．18．设2()sin cos cos ()4f x x x x π=-+．（Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）在锐角ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若(0,12A f a ==，求ABC ∆面积的最大值．19．已知△ABC 的内角C B A ,,所对的边分别为,,,c b a 且53cos ,2==B a ．（1）若4=b ，求A sin 的值；（2）若△ABC 的面积,4=∆ABC S 求c b ,的值．20．在△ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知sin (tan tan )tan tan B A C A C +=．（1）求证：,,a b c 成等比数列；（2）若1,2a c ==，求△ABC 的面积S ．21．已知a ，b ，c 分别为△ABC 内角A ，B ，C 的对边，sin 2B=2sinAsinC（Ⅰ）若a=b ，求cosB ；（Ⅱ）设B=90°，且a=2，求△ABC 的面积．22．在锐角三角形ABC ∆中,,,a b c 分别是角,,A B C 32sin a c A =．（1）确定角C 的大小；（2）若7c =ABC ∆的面积为332，求a b +的值．23．已知A 、B 、C 是三角形的内角，3sin A ，－cos A 是方程x 2－x ＋2a ＝0的两根．（1）求角A ；（2）若3sin cos cos sin 2122-=-+BB B B ，求tan B ．24．在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，且a A b 7sin 4=．（1）求B sin 的值；（2）若c b a ,,成等差数列，且公差大于0，求C A cos cos -的值．25．在ABC ∆中，角A B C 、、所对的边分别为a b c 、、，已知sin(2cos()06A B C π+++=．（1）求A 的大小；（2）若6=a ，求b c +的取值范围．26．在锐角ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知7a =3b =7sin 3B A +=．（1）求角A 的大小；（2）求ABC ∆的面积．27．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为c b a ,,，满足1=c ，且()()0cos sin sin cos =+-+B A B a C B ．（1）求角C 的大小；（2）求22b a +的最大值，并求取得最大值时角,A B 的值．28．在△ABC 中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，若a ＋b ＝10，而cosC 的值是方程2x 2－3x －2＝0的一个根，求三角形周长的最小值．29．已知,,a b c 分别是ABC ∆的角,,A B C 所对的边，且2c =，C π=．（Ⅰ）若ABC ∆3,a b ;（Ⅱ）若sin sin()2sin 2C B A A +-=，求A 的值．30．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知(0)a b mc m +=>.（1）当3m =时，①若A B =，求sin C ；②若6B π=，求sin()A C -的值；（2）当2m =时，若2c =，求ABC ∆面积最大值.31．在三角形ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a b c 、、且222b c bc a +=+（1）求∠A ；（2）若3a =22b c +的取值范围．32．在ABC ∆中，C B A ,,的对边分别为c b a ,,,已知C B A cos 5sin ,32cos ==（Ⅰ）求C sin 的值；（Ⅱ）若2=a ，求ABC ∆的面积．33．在ABC ∆中，角C B A 、、所对的边为c b a 、、，且满足cos 2cos 22cos cos 66A B A A ππ⎛⎫⎛⎫-=-+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（1）求角B 的值；（2）若3=b 且a b ≤，求c a 21-的取值范围34．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知12cos sin 2sin 2sin sin 222-++=C B A B A ．（Ⅰ）求角C 的大小；（Ⅱ）若21a b -=，且△ABC 的面积为53，求边a 的长．35．已知函数2()sin()cos()()2sin 632x f x x x g x ππ=+-+=，．（I ）求函数()()y f x g x =+的单调递减区间；（II ）在ABC ∆中，A 为锐角，且角A B C 、、所对的边分别为a b c 、、，若5a =，453)(=A f ,求ABC ∆面积的最大值.36．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知4A π=，22b a -=122c .（1）求tan C 的值；（2）若ABC ∆的面积为7，求b 的值.37．已知,,a b c 分别是ABC ∆内角,,A B C 的对边，2sin 2sin sin B A C =.（Ⅰ）若a b =，求cos ;B （Ⅱ）若90B = ，且2,a =求ABC ∆的面积.38．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边长分别为a ，b ，c ，且()2cos cos b c A a C -=．（Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）若a ＝3，2b c =，求△ABC 的面积．39．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且满足cos (2)cos()b Ac a B π=+-（1）求角B 的大小；（2）若4,b ABC =∆3a c +的值.40．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且满足cos (2)cos()b Ac a B π=+-（1）求角B 的大小；（2）若4,b ABC =∆3a c +的值.41．已知△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c ，若△ABC 的外接圆的半径为2，且sin sin ()sin .a A c C ab B -=-（I ）求∠C ；（Ⅱ）求△ABC 的面积S 的最大值．42．已知ABC ∆的内角,,A B C 所对边分别为,,a b c ，且1cos 2a C cb +=．（1）求角A 的大小；（2）若2bc =，求边长a 的最小值．43．设ABC ∆的内角A ，B ，C 所对边的长分别是a ，b ，c ，且3b =，1c =，2A B =.（1）求a 的值；（2）求sin 4A π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值．44．设三角形ABC 的内角A B C 、、所对的边长分别是a b c 、、，且3B π=．若ABC △不是钝角三角形，求：（1）角C 的范围；（2）2a c的取值范围．45．在ABC ∆中，角C B A 、、的对边分别为c b 、、a ，若2,cos 21==-a C a cb .（1）求c 的值；（2）若,bc c b =+求ABC ∆的面积.46．在ABC ∆中，2sin sin sin A B C =．（Ⅰ）若πA ∠=，求B ∠的大小；（Ⅱ）若1bc =,求ABC ∆的面积的最大值．47．在ABC ∆中，内角,,A B C 对边分别为,,a b c ，且sin 3cos b A a B =.（Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）若3,sin 2sin b C A ==，求,a c 的值.48．在ABC ∆中，角A B C 、、所对的边分别为a b c 、、sin 3cos a c CA =，（Ⅰ）求A 的大小；（Ⅱ）若6=a ，求b c +的取值范围．49．在三角形ABC 中，sin 2cos 3cos 2sin 3C C C C C +=+.（1）求角C 的大小；（2）若2AB =，且sin cos sin 2B A A =，求ABC ∆的面积．50．已知函数2()4cos 3cos 1,f x x x x x R =+-∈.（1）求函数的最小正周期、最大值及取最大值时自变量的取值集合；（2）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ；若a ，b ，c 成等比数列，且2c a =，求()12f B π-的值.参考答案1．232．②③3．4或54．13+5563758．45 9．(]6322，+10．111．3π12．433+13．3π14．1415．216．（1）060C =或0120C =（2）等边三角形17．（1）见解析；（2）26+18．（1）增区间为[,],44k k k Z ππππ-+∈减区间为3[,],44k k k Z ππππ++∈;（2）23419．（1）2sin =A ；（2）5=c ，17=b ．20．（1）详见解析；（2721．（Ⅰ）14；（Ⅱ）122．（1）060C =（2）5a b +=23．（1）π；（2）2．24．(1)7sin 4B =;(2)27．25．（1）3A π=；（2）612b c <+≤．26．（1）3A π=；（2）332ABC S ∆=．27．（1）4π=C ；（2）当π83==B A 时，22b a +取到最大值22+．28．103+29．（Ⅰ）2a b ==；（Ⅱ）2A π=或6A π=30．详见解析31．（1）3π（2）2236b c <+≤32．（Ⅰ）630533．（1）233B ππ=或（2）33)234．（Ⅰ）3π；（Ⅱ）5．35．（I ）单调递减区间是2,3ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦.（II ）115sinA 212bc =.36．（1）2；（2）21b =.37．（Ⅰ）14（Ⅱ）138．（Ⅰ）3π；（Ⅱ）332．39．（1）23B π=；（2）2540．（1）23B π=；（2）2541．（1）3π，（2）23342．（1）3π（2243．（1）23a =；（2）624-.44．（1）2C ππ≤≤；（2）[]1,4.45．（1）433（2346．（1）π3B ∠=，（2）3．47．（Ⅰ）3B π=（Ⅱ）3,3a c ==48．（Ⅰ）3π；（Ⅱ）(6,12]49．（1）3C π=；（2）32；50．（1）参考解析；（2）3722+.。
