高考数学二轮复习 专题限时集训(一)B 理(解析版)

2025年高考数学二轮复习模块1数列专题-特技大招1-特殊值秒解数列选填大招总结当数列的选择填空题中只有一个条件时,在不违背题意的条件下,我们可以直接利用特殊值,令其公差为0或者公比为1,即令数列为常数列,每一项设为x ,只需5秒搞定一道题.题目本身难度其实也不大,但用此方法更快.注意:一定检验是否符合题意,题目中如果出现公差不为0或者公比不为1,则慎用此法.另外,如果问题是求取值范围,则此方法失效.如果问题是求固定值,则可放心使用,详细用法,我们通过例题讲解.典型例题例1.设等差数列{}n a 前n 项和为n S ,若972S =,则249a a a ++=（）A.12B.18C.24D.36解方法1：等差数列{}n a 前n 项和为n S ，()199597292a a S a +===,58a ∴=.故24915312324a a a a d a ++=+==,故选C.方法2:令每一项为x ，972S =,即972x =，8x =，249324a a a x ++==,故选C.例2.在等差数列{}n a 中,912162a a =+,则数列{}n a 的前11项和11S =（）A.24B.48C.66D.132解方法1：数列{}n a 为等差数列,设其公差为d ，912162a a =+,()11181162a d a d ∴+=++，1512a d ∴+=,即612a =.∴数列{}n a 的前11项和111211S a a a =+++()()()111210576611132a a a a a a a a =+++++++==.故选D.方法2：令每一项为x ，912162a a =+，162x x =+，12x =，1111132S x ==,故选D.已知数列{}n a 是等差数列,且1472a a a π++=,则()35tan a a +的值为()A.3B.C.D.33-方法1:数列{}n a 是等差数列,且1472a a a π++=,147432a a a a π∴++==，423a π∴=，()()3544tan tan 2tantan 33a a a ππ∴+====,故选C.方法2:令每一项为x ，14732a a a x π++==，23x π=,()()354tan tan 2tantan 33a a x ππ∴+====,故选C.例4.已知数列{}n a 是等差数列,n S 是数列{}n a 的前n 项和,269S a +=,则5S 的值为（）A.10B.15C.30D.3解方法1:设等差数列{}n a 的公差为d ，269S a +=，1369a d ∴+=,化为:1323a d a +==,则()155355152a a S a +===.故选B.方法2:令每一项为x ，2629S a x x +=+=，3x =，515S =,故选B.例5.已知{}n a 为等差数列,且6154a a +=,若数列{}n a 的前m 项的和为40,则正整数m 的值为()A.10B.20C.30D.40解方法1:由题意可得,()()120206152010402a a S a a +==+=,所以20m =.故选B.方法2:令每一项为x ，61524a a x +==，2x =，240m S m ==,所以20m =.故选B.例6.已知数列{}n a 为正项等比数列,且13355724a a a a a a ++=,则24a a +=（）A.1B.2C.3D.4方法1：数列{}n a 为正项等比数列,且13355724a a a a a a ++=,数列{}n a 为正项等比数列,262a a ∴+=.故选B.()222133557226626224a a a a a a a a a a a a ∴++=++=+=,方法2:令每一项为x ,则222133557224a a a a a a x x x ++=++=， 1.x =2622a a x +==,故选B.例7.已知等比数列{}n a 的各项圴为正数,且39a =,则313233log log log a a a +++3435log log a a +=（）A.52B.53C.10D.15方法1：()553138333415312345333log log log log log log log log 910a a a a a a a a a a a ++++====,故选C.方法2:不妨令数列为常数项,每一项n 39a a ==，3132333435log log log log log 2a a a a a ++++=+222210+++=,故选C.例8.已知等比数列{}n a 的各项均为正数,且212227log log log a a a +++=7，则2635a a a a +=（）A.16B.14C.8D.4解方法1:等比数列{}n a 的各项均为正数,且212227log log log 7a a a +++=，(212log a a ⋅)77a =，71272a a a ∴⋅=，7742a ∴=，42a ∴=，22635428a a a a a ∴+==,故选C.方法2:令每一项为x ,则2122272log log log 7log 7a a a x ++==，2x =，222635a a a a x x +=+=8,故选C.例9.已知{}n a 为等差数列,公差2d =，24618a a a ++=,则57a a +=（）A.8B.12C.16D.20解方法1:根据题意知,4262a a a =+，57424a a a d +=+，24618a a a ++=，4318a ∴=，4 6.a ∴=∴57424264220a a a d +=+=⨯+⨯=.故选D.方法2:此题为反例,题干中明确说了公差2d =,所以不能用特殊值的方法,令公差为0,故不能用大招.例10.在等比数列{}n a 中,若3212a a a =+,则2538a a a 的值为()A.12或1-B.12-或1C.2或1-D.12解方法1:根据题意,设等比数列{}n a 的公比为q ,若3212a a a =+,则220q q --=,解可得2q =或1-,若2q =,则22851273811112a a q a a a q a q q ===,若1q =-,则2285127381111a a q a a a q a q q ===-,故2538a a a 的值为12或1-,故选A .方法2:此题为反例,若令每一项为x ,则3212a a a =+变为2x x x =+，0x =,等比数列中0n a ≠,故不能用大招.例11.在各项均为正数的等比数列{}n a 中，226598225a a a a ++=，则113a a 的最大值是()A.25B.254C.5D.25解方法1：等比数列{}n a 的各项都为正数,()2222265986688682225a a a a a a a a a a ∴++=++=+=，6a ∴85a +=，268113682524a a a a a a +⎛⎫∴==⎪⎝⎭,当且仅当6852a a ==时取等号,113a a ∴的最大值是254.故选B.方法2:此题为反例，题目问的是“最大值”，而不是定值，故不能用特殊值这种大招.例12.已知数列{}{},n n a b 满足n 2n b =log a ，n N +∈,其中{}n b 是等差数列,1020112a a =,则122020b b b +++=________.解方法1:数列{}{},n n a b 满足2log n n b a =，n N +∈,其中{}n b 是等差数列,2bn n a ∴=是等比数列,1020112a a =，122020212222020log log log b b b a a a ∴+++=+++()2122020log a a a =⨯⨯⨯=方法2:令数列{}n a 每一项为x ,则21020112a a x ==，n a x ==，21log 2n n b a ==，1220201202010102b b b +++=⨯=.自我检测1.已知等差数列{}n a 的前n 项和n S ,若23109a a a ++=,则9S =（）A.27B.18C.9D.3【解析】方法1:设公差为d ,则13129a d +=，1543a d a ∴+==，95927S a ∴==,故选A.方法2:令每一项为x ,则23109a a a x x x ++=++=，3x =，927S =.故选A.2.在等差数列{}n a 中,18153120a a a ++=,则9102a a -的值为()A.20B.22C.24D.8-【解析】方法1：在等差数列{}n a 中,18153120a a a ++=，85120a ∴=，824a ∴=，910182724a a a d a -=+==.故选C.方法2:令每一项为x ，181535120a a a x ++==，24x =,故选C.3.等差数列{}n a 中,若81126a a =+,则19a a +等于()A.54C.10D.6【解析】方法1:设等差数列{}n a 的公差为d ，等差数列{}n a 中,81126a a =+，()1127610a d a d ∴+=++,解得146a d +=.191182612a a a a d ∴+=++=⨯=.故选B.方法2:令每一项为x ,81126a a =+,26x x =+,6x =,19212a a x +==,故选B.4.已知数列{}n a 是等差数列,且23451a a a a +++=,则16a a +=()A.14B.12D.2【解析】方法1：数列{}n a 是等差数列,且23451a a a a +++=，()23451621a a a a a a ∴+++=+=，解得16a a +12=.故选B.方法2:令每一项为x ，234541a a a a x +++==，14x =，16122a a x +==,故选B.5.已知数列{}n a 是等差数列,且31120a a +=,则11152a a -=（）A.10B.9C.8D.7【解析】方法1:数列{}n a 是等差数列,且31120a a +=,则1121020a d a d +++=,即1610a d +=,则11152a a -=11122014610a d a d a d +--=+=,故选A.方法2:令每一项为x ，311220a a x +==，10x =，则11152210a a x x x -=-==,故选A.6.在等差数列{}n a 中,3456a a a ++=,则()17 a a +=A.2B.3C.4D.5【解析】方法1:由等差数列的性质,得345436a a a a ++==,解得42a =，17424a a a ∴+==,故选C.方法2:令每一项为x ，34536a a a x ++==，2x =,则1724a a x +==,故选C.7.等差数列{}n a 中,5101530a a a ++=,则22162a a -的值为()A.10-B.20-C.10D.20【解析】方法1:设等差数列{}n a 的公差为d ，5101530a a a ++=，10330a ∴=，1010a ∴=，221610212a a a d ∴-=+()10102610a d a -+=-=-,故选A.方法2:令每一项为x ，51015330a a a x ++==，10x =,则22162210a a x x x -=-=-=-,故选A.8.设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和,若152a a +=,则5S =()A.5B.7C.9D.11【解析】方法1:因为数列{}n a 为等差数列,设其公差为d ,前n 项和为n S ,则()2121n n S n a -=-.所以535S a =,又152a a +=,所以31a =,所以5355S a ==,故选A.方法2:令每一项为x ，1522a a x +==，1x =,则555S x ==,故选A .9.已知数列{}n a 是等差数列,57918a a a ++=,则其前13项的和是()A.45B.56C.65D.78【解析】方法1：在等差数列{}n a 中,57918a a a ++=，5797318a a a a ∴++==,解得76a =，∴该数列的前13项之和:()1311371313136782S a a a =⨯+==⨯=,故选D.方法2:令每一项为x ，579318a a a x ++==，6x =,则131378S x ==,故选D.10.公比为2的等比数列{}n a 的各项都是正数，且31116a a =,则5a =（）A.4B.2C.1D.8【解析】方法1：公比为2的等比数列{}n a 的各项都是正数,且31116a a =，210112216a a ∴⋅⋅⋅=,且10a >,解得1412a =，4541212a ∴=⋅=.故选C .方法2:题目中提到公比为2,所以不能用大招.11.已知各项均为正数的等比数列{}n a ,若543264328a a a a +--=,则7696a a +的最小值为（）A.12C.24D.32【解析】方法1:由题意知等比数列{}n a 中0n a >,则公比0q >,因为543264328a a a a +--=,所以432111164328a q a q a q a q ⋅+⋅-⋅-⋅=,即()432164328a q q q q +--=,所以()()2132218a q q q +-=,所以1(3a q q 282)21q +=-,所以()654476111224824969633232121a a a q a q q a q q q q q q+=⋅+⋅=⋅+=⋅=--,设x =21q,则0x >，22242121(1)1y x x x q q =-=-=-- ,所以2421q q -取最大值1时,7696a a +取到最小值24.故选C.方法2:此题为反例,题目问的是“最小值”,而不是定值,故不能用特殊值这种大招.12.已知正项等比数列{}n a ,满足21232527log log log log 4a a a a +++=,则(226log ) a a +的最小值为（）A.1B.2D.4【解析】由对数的运算性质可得,()2123252721357log log log log log 4a a a a a a a a +++==，135716a a a a ∴=，由等比数列的性质可知,413574a a a a a =且40a >，42a ∴=，()226224log log log 22a a a ∴+= ，故(22log a )6a +的最小值为2，故选B.方法2:此题为反例,题目问的是“最小值”,而不是定值,故不能用特殊值这种大招.13.在等差数列{}n a 中，已知3810a a +=，则573a a +=__________.【解析】方法1:由等差数列的性质得:()()()()5755756563832222220a a a a a a a a a a a +=++=+=+=+=,故答案为:20.方法2:令每一项为x ，3810a a +=，5x =，57320a a +=,故答案为:20.14.等比数列{}n a 的各项均为正数,且1516a a =,则2122232425log log log log log a a a a a ++++=__________.【解析】方法1：等比数列{}n a 的各项均为正数,且1516a a =，2122232425log log log log log a a a a a ∴++++=()521252log log 410a a a ⨯⨯⨯==.故答案为:10.方法2:令每一项为x ，1516a a =，4x =，2122232425log log log log log 10a a a a a ++++=,故答案为:10.15.在前n 项和为n S 的等差数列{}n a 中,若()()1536932a a a a a ++++18=,则8__________.S =【解析】解:方法1:由等差数列的性质有366618a a +=,有363a a +=,则()()1883684122a a S a a +==+=.故答案为:12.方法2:令每一项为x ，()()()()153********a a a a a x x x x x ++++=++++=，1218x =，32x =，所以83812.2S =⨯=。

专题限时集训(一)A [第1讲　集合与常用逻辑用语] (时间：30分钟) 1．已知集合P＝{－1，m}，Q＝，若P∩Q≠，则整数m的值为( ) A．0 B．1 C．2 D．4 2．设全集U＝R，且A＝{x||x－1|>2}，B＝{x|x2－6x＋80，则a与b的夹角为锐角；命题q：若函数f(x)在(－∞，0]及(0，＋∞)上都是减函数，则f(x)在(－∞，＋∞)上是减函数．下列说法中正确的是( ) A．“p或q”是真命题 B．“p或q”是假命题 C．p为假命题 D．q为假命题 5．已知集合A＝{x|y＝log2(x2－1)}，B＝，则A∩B等于( ) A. B．{x|1<x0} D．{x|x>1} 6．A＝{x|x≠1，xR}∪{y|y≠2，yR}，B＝{z|z≠1且z≠2，zR}，那么( ) A．A＝B B．AB C．AB D．A∩B＝ 7．设a，bR，则“a>1且0<b0且>1”的( ) A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 8．已知向量a＝(1,2)，b＝(2,3)，则λ<－4是向量m＝λa＋b与向量n＝(3，－1)的夹角为钝角的( ) A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 9．设m，n是空间两条不同直线，α，β是空间两个不同平面，则下列选项中不正确的是( ) A．当nα时，“nβ”是“αβ”成立的充要条件 B．当mα时，“mβ”是“αβ”的充分不必要条件 C．当mα时，“nα”是“mn”的必要不充分条件 D．当mα时，“nα”是“mn”的充分不必要条件 10．已知条件p：x2－3x－4≤0；条件q：x2－6x＋9－m2≤0，若p是q的充分不必要条件，则m的取值范围是________． 11．已知A，B均为集合U＝{1,2,3,4,5,6}的子集，且A∩B＝{3}，(UB)∩A＝{1}，(UA)∩(?UB)＝{2,4}，则B∩(UA)＝________. 12．已知集合AM＝{1,2,3，…，11}，把满足以下条件：若2kA，则2k±1A(k∈Z)的集合A称为好集，则含有至少3个偶数的好集A的个数为________个． 专题限时集训(一)A 【基础演练】 1．A　[解析] 根据集合元素的互异性m≠－1，在P∩Q≠的情况下整数m的值只能是0. 2．C　[解析] 集合A＝{x|x3}，B＝{x|2<x<4}，则UA＝{x|－1≤x≤3}，因此，(UA)∩B＝{x|20时，a与b的夹角为锐角或零度角，所以命题p是假命题；又命题q是假命题，例如f(x)＝综上可知，“p或q”是假命题． 【提升训练】 5．D　[解析] 集合A为函数y＝log2(x2－1)的定义域，由x2－1>0可得集合A＝(－∞，－1)(1，＋∞)；集合B为函数y＝x－1的值域，根据指数函数性质集合B＝(0，＋∞)．所以A∩B＝{x|x>1}． 6．C　[解析] 集合中的代表元素与用什么字母表示无关． 事实上A＝(－∞，1)(1，＋∞)(－∞，2)(2，＋∞)＝(－∞，＋∞)，集合B＝(－∞，1)(1,2)∪(2，＋∞)，所以AB. 7．A　[解析] 显然a>1且0<b0且>1；反之，a－b>0且>1a>b且>0a>b且b>0，这样推不出a>1且0<b1且0<b0且>1”的充分而不必要条件． 8．A　[解析] m＝(λ＋2,2λ＋3)，m，n的夹角为钝角的充要条件是m·n<0且m≠μn(μ<0)．m·n<0，即3(λ＋2)－(2λ＋3)<0，即λ<－3；若m＝μn，则λ＋2＝3μ，2λ＋3＝－μ，解得μ＝，故m＝μn(μ<0)不可能，所以，m，n的夹角为钝角的充要条件是λ<－3，故λ0，则Q＝[3－m,3＋m]，则(等号不同时取到)，解得：m≥4， 若m<0，Q＝[3＋m,3－m]，则(等号不同时取到)，解得：m≤－4， 若m＝0，Q＝{3}，显然不满足，故m的取值范围为：(－∞，－4][4，＋∞)． 11．{5,6}　[解析] 依题意作出满足条件的韦恩图，可得B∩(UA)＝{5,6}． 12．25　[解析] 可按集合中偶数的个数来分类．若有3个偶数，如2,4,6时，集合A中必含有1,3,5,7，另两个奇数9和11可都有，也可仅有一个，或者没有，因此符合条件的集合有4个．其余情况可类似分析． 高考学习网： 高考学习网：。

特色专项考前增分集训小题提速练(一) “12选择＋4填空”80分练(时间：45分钟 分值：80分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知集合A ＝{x |y ＝lg(x ＋1)}，B ＝{x ||x |＜2}，则A ∩B ＝( )A ．(－2,0)B ．(0,2)C ．(－1,2)D ．(－2，－1)C [因为A ＝{x |x ＞－1}，B ＝{x |－2＜x ＜2}，所以A ∩B ＝(－1,2)，故选C.]2．已知z i ＝2－i ，则复数z 在复平面内对应的点的坐标是( )A ．(－1，－2)B ．(－1,2)C ．(1，－2)D ．(1,2)A [因为z i ＝2－i ，所以z ＝2－i i ＝－i(2－i)＝－1－2i ，所以复数z 在复平面内对应的点的坐标为(－1，－2)，故选A.]3．已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和，2(a 1＋a 3＋a 5)＋3(a 8＋a 10)＝36，则S 11＝( )A ．66B ．55C ．44D ．33D [因为a 1＋a 5＝2a 3，a 8＋a 10＝2a 9，所以2(a 1＋a 3＋a 5)＋3(a 8＋a 10)＝6a 3＋6a 9＝36，所以a 3＋a 9＝6，所以S 11＝11(a 1＋a 11)2＝11×(a 3＋a 9)2＝33，故选D.]4．△ABC 是边长为2的等边三角形，已知向量a ，b 满足AB→＝2a ，AC →＝2a ＋b ，则下列结论正确的是( )A ．|b |＝1B ．a ⊥bC ．a·b ＝1D ．(4a ＋b )⊥BC →D [∵b ＝AC →－AB →＝BC →，∴|b |＝|BC →|＝2，故A 错；∵BA →·BC →＝2×2×cos 60°＝2，即－2a ·b ＝2，∴a·b ＝－1，故B 、C 都错；∵(4a ＋b )·BC →＝(4a ＋b )·b ＝4a·b ＋b 2＝－4＋4＝0，∴(4a ＋b )⊥BC→，故选D.] 5．函数f (x )＝cos x x 的图象大致为( )D [易知函数f (x )＝cos x x 为奇函数，其图象关于原点对称，所以排除选项A ，B ；又f ′(x )＝－(x sin x ＋cos x )x 2，当0＜x ＜1时，f ′(x )＜0，所以f (x )＝cos x x在(0,1)上为减函数，故排除选项C.故选D.]6．已知圆C ：x 2＋y 2＝1，直线l ：y ＝k (x ＋2)，在[－1,1]上随机选取一个数k ，则事件“直线l 与圆C 相离”发生的概率为( )A.12B ．2－22 C.3－33 D ．2－32 C [若直线l ：y ＝k (x ＋2)与圆C ：x 2＋y 2＝1相离，则圆C 的圆心到直线l 的距离d ＝2|k |k 2＋1＞1，又k ∈[－1,1]，所以－1≤k ＜－33或33＜k ≤1，所以事件“直线l 与圆C 相离”发生的概率为2－2332＝3－33，故选C.]7．执行如图1所示的程序框图，已知输出的s ∈[0,4]，若输入的t ∈[m ，n ]，则实数n －m 的最大值为( )图1A ．1B ．2C ．3D ．4D [由程序框图得s ＝⎩⎨⎧3t ，t ＜14t －t 2，t ≥1，作出s 的图象如图所示．若输入的t ∈[m ，n ]，输出的s ∈[0,4]，则由图象得n －m 的最大值为4，故选D. ]8．某几何体的三视图如图2所示，则该几何体的表面积为( )图2A ．6π＋1B ．(24＋2)π4＋1 C.(23＋2)π4＋12 D ．(23＋2)π4＋1 D [由几何体的三视图知，该几何体为一个组合体，其中下部是底面直径为2，高为2的圆柱，上部是底面直径为2，高为1的圆锥的四分之一，所以该几何体的表面积为4π＋π＋3π4＋2π4＋1＝(23＋2)π4＋1，故选D.]9.已知，给出下列四个命题：p 1：∀(x ，y )∈D ，x＋y ＋1≥0；p 2：∀(x ，y )∈D,2x －y ＋2≤0；p 3：∃(x ，y )∈D ，y ＋1x －1≤－4；p 4：∃(x ，y )∈D ，x 2＋y 2≤2.其中为真命题的是( )A ．p 1，p 2B ．p 2，p 3C ．p 2，p 4D ．p 3，p 4C [因为表示的平面区域如图中阴影部分所示，所以z 1＝x ＋y 的最小值为－2，z 2＝2x －y 的最大值为－2，z 3＝y ＋1x －1的最小值为－3，z 4＝x 2＋y 2的最小值为2，所以命题p 1为假命题，命题p 2为真命题，命题p 3为假命题，命题p 4为真命题，故选C.]10.已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，过焦点F 的直线交该抛物线于A ，B 两点，O 为坐标原点，若△AOB 的面积为6，则|AB |＝( ) A ．6 B ．8 C ．12 D ．16A [由题易知抛物线y 2＝4x 的焦点F 的坐标为(1,0)，当直线AB 垂直于x 轴时，△AOB 的面积为2，不满足题意，所以设直线AB 的方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)，与y 2＝4x 联立，消去x 得ky 2－4y －4k ＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，所以y 1＋y 2＝4k，y 1y 2＝－4，所以|y 1－y 2|＝16k 2＋16，所以△AOB 的面积为12×1×16k 2＋16＝6，解得k ＝±2，所以|AB |＝1＋1k 2|y 1－y 2|＝6.选A.] 11．在数列{a n }中，已知a 1＝1，a n ＋1－a n ＝sin (n ＋1)π2(n ∈N *)，记S n 为数列{a n }的前n 项和，则S 2 016＝( )A ．1 006B ．1 007C ．1 008D ．1 009C [由题意，得a n ＋1＝a n ＋sin (n ＋1)π2(n ∈N *)，所以a 2＝a 1＋sin π＝1，a 3＝a 2＋sin 3π2＝0，a 4＝a 3＋sin 2π＝0，a 5＝a 4＋sin 5π2＝1，…因此数列{a n }是一个周期为4的周期数列，而2 016＝4×504，所以S 2 016＝504×(a 1＋a 2＋a 3＋a 4)＝1 008，故选C.]12．设函数f (x )＝32x 2－2ax (a ＞0)的图象与g (x )＝a 2ln x ＋b 的图象有公共点，且在公共点处的切线方程相同，则实数b 的最大值为( )A.12e 2B.12e 2C.1e D ．－32e 2A [f ′(x )＝3x －2a ，g ′(x )＝a 2x ，因为函数f (x )的图象与函数g (x )的图象有公共点且在公共点处的切线方程相同，所以3x －2a ＝a 2x ，故3x 2－2ax －a 2＝0在(0，＋∞)上有解，又a ＞0，所以x ＝a ，即切点的横坐标为a ，所以a 2ln a ＋b ＝－a 22，所以b ＝－a 2ln a －a 22(a ＞0)，b ′＝－2a (ln a ＋1)，由b ′＝0得a ＝1e ，所以0＜a ＜1e 时b ′＞0，a ＞1e 时b ′＜0，所以当a ＝1e 时，b 取得最大值且最大值为12e 2，故选A.]二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．若⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x n 的展开式的二项式系数之和为64，则含x 3项的系数为________． [解析] 由题意，得2n ＝64，所以n ＝6，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x 6，其展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 6(x 2)6－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x r ＝C r 6x 12－3r .令12－3r ＝3，得r ＝3，所以展开式中含x 3项的系数为C 36＝20.[答案] 2014．已知双曲线经过点(1,22)，其一条渐近线方程为y ＝2x ，则该双曲线的标准方程为________．[解析] 因为双曲线的渐近线方程为y ＝2x ，所以设双曲线的方程为x 2－y 24＝λ(λ≠0)，又双曲线过点(1，22)，所以λ＝－1，所以双曲线的标准方程为y 24－x 2＝1.[答案] y 24－x 2＝115．我国南北朝时期的伟大科学家祖暅在数学上有突出贡献，他在实践的基础上，于5世纪末提出下面的体积计算原理(祖暅原理)：“幂势既同，则积不容异”．“势”是几何体的高，“幂”是截面积．意思是，两等高立方体，若在每一等高处的截面积都相等，则两立方体体积相等．现有下题：在xOy 平面上，将两个半圆弧(x －1)2＋y 2＝1(x ≥1)和(x －3)2＋y 2＝1(x ≥3)、两条直线y ＝1和y ＝－1围成的封闭图形记为D ，如图3所示阴影部分．记D 绕y 轴旋转一周而成的几何体为Ω，过(0，y )(|y |≤1)作Ω的水平截面，所得截面面积为4π1－y 2＋8π，试利用祖暅原理、一个平放的圆柱和一个长方体，得出Ω的体积值为________．图3[解析] 根据提示，一个底面半径为1，高为2π的圆柱平放，一个高为2，底面积为8π的长方体，这两个几何体与Ω放在一起，根据祖暅原理，每个平行水平面的截面面积都相等，故它们的体积相等，即Ω的体积为π·12·2π＋2·8π＝2π2＋16π.[答案] 2π2＋16π16．已知数列{a n }中，a 1＝－1，a n ＋1＝2a n ＋3n －1(n ∈N *)，则其前n 项和S n ＝________.[解析] 因为a n ＋1＝2a n ＋3n －1，所以a n ＋1＋3(n ＋1)＋2＝2(a n ＋3n ＋2)，所以数列{a n ＋3n ＋2}是首项为4，公比为2的等比数列，所以a n ＋3n ＋2＝2n ＋1，所以a n ＝2n ＋1－3n －2，所以数列{a n }的前n 项和S n ＝2n ＋2－4－n (3n ＋7)2.n(3n＋7) [答案]2n＋2－4－2。

专题限时集训(五)B [第5讲　导数在研究函数性质中的应用] (时间：45分钟) 1．函数y＝xex的最小值是( ) A．－1 B．－e C．－ D．不存在 2．设曲线y＝在点(3,2)处的切线与直线ax＋y＋1＝0垂直，则a＝( ) A．2 B．－2 C．－ D. 3．已知函数f(x)＝xsinx＋cosx，则f′的值为( ) A. B．0 C．－1 D．1 4．对于R上可导的任意函数f(x)，若满足(x－1)f′(x)≥0，则必有( ) A．f(0)＋f(2)2f(1) 5．函数y＝xsinx＋cosx在下面哪个区间上为增函数( ) A. B．(π，2π) C. D．(2π，3π) 6．已知函数f(x)＝x2eax，其中a为常数，e为自然对数的底数，若f(x)在(2，＋∞)上为减函数，则a的取值范围为( ) A．(－∞，－1) B．(－∞，0) C．(－∞，1) D．(－∞，2) 7．定义在区间[0，a]上的函数f(x)的图象如图5－1所示，记以A(0，f(0))，B(a，f(a))，C(x，f(x))为顶点的三角形面积为S(x)，则函数S(x)的导函数S′(x)的图象大致是( ) 图5－1 图5－2 8．已知f1(x)＝sinx＋cosx，记f2(x)＝f1′(x)，f3(x)＝f2′(x)，…，fn(x)＝fn－1′(x)(nN*，n≥2)， 则f1＋f2＋…＋f2 011＝________. 9．已知函数f(x)的定义域为[－1,5]，部分对应值如下表. x－1045f(x)1221f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图5－3所示： 图5－3 下列关于f(x)的命题： 函数f(x)是周期函数； 函数f(x)在[0,2]是减函数； 如果当x[－1，t]时，f(x)的最大值是2，那么t的最大值为4； 当1－1时，y′>0，所以x＝－1时，ymin＝－，选C. 2．B　[解析] y＝1＋，所以y′＝－，将x＝3代入得y′＝－，所以(－a)×－＝－1，解得a＝－2. 3．B　[解析] f′(x)＝sinx＋xcosx－sinx＝xcosx，f′＝0. 【提升训练】 4．C　[解析] 依题意，当x>1时，f′(x)≥0，函数f(x)在(1，＋∞)上是增函数；当x0，y′＝xcosx>0，此时函数y＝xsinx＋cosx为增函数，故选C. 6．A　[解析] f′(x)＝x(ax＋2)eax，由题意得f′(x)＝x(ax＋2)eax<0在[2，＋∞)上恒成立．即x(ax＋2)<0在[2，＋∞)上恒成立，即a<－在[2，＋∞)上恒成立，即a0时，f(x)的增区间为(－∞，－k)，(k，＋∞)，f(x)的减区间为(－k，k)， 当k0时，f(k＋1)＝e>，所以不会有x∈(0，＋∞)，f(x)≤. 当k<0时，由(1)有f(x)在(0，＋∞)上的最大值是f(－k)＝， 所以x∈(0，＋∞)，f(x)≤等价于f(－k)＝≤ －≤k0)． 当x(0,1)时，F′(x)>0，函数F(x)单调递增， 当x(1，＋∞)时，F′(x)<0，函数F(x)单调递减， 函数F(x)的单调递增区间为(0,1)；函数F(x)的单调递减区间为(1，＋∞)． (2)G(x)＝h(x)·f(x)＝lnx，由已知a≠0，因为x(0,1)， 所以lnx<0. 当a0.不合题意． 当a>0时，x(0,1)，由G(x)<－2，可得lnx＋＝<0. 设ψ(x)＝lnx＋，则x(0,1)，ψ(x)<0.ψ′(x)＝. 设m(x)＝x2＋(2－4a)x＋1，方程m(x)＝0的判别式Δ＝16a(a－1)． 若a(0,1]，Δ≤0，m(x)≥0，ψ′(x)≥0，ψ(x)在(0,1)上是增函数， 又ψ(1)＝0，所以x(0,1)，ψ(x)0，m(0)＝1>0，m(1)＝4(1－a)<0，所以存在x0(0,1)，使得m(x0)＝0，对任意x(x0,1)，m(x)<0， ψ′(x)0.不合题意． 综上，实数a的取值范围是(0,1]． 12．解：(1)当a＝1时，f′(x)＝－1(x>0)， 当0<x0，当x>1时，f′(x)<0， f(x)在(0,1)上递增，在(1，＋∞)上递减， 当x＝1时，f(x)取得极大值－1，无极小值． (2)方法1：由f(x)＝0，得a＝(*)， 令g(x)＝，则g′(x)＝， 当0<x0，当x>e时，g′(x)e时，g(x)＝>0， 当a≤0或a＝时，方程(*)有唯一解，当0时，方程(*)无解， 所以，当a≤0或a＝时，y＝f(x)有1个零点； 当0时，y＝f(x)无零点． 方法2：由f(x)＝0，得lnx＝ax， y＝f(x)的零点个数为y＝lnx和y＝ax的图象交点的个数． 由y＝lnx和y＝ax的图象可知： 当a≤0时，y＝f(x)有且仅有一个零点； 当a>0时，若直线y＝ax与y＝lnx相切，设切点为P(x0，y0)，因为y′＝(lnx)′＝， k切＝＝，得x0＝e，k切＝， 故当a＝时，y＝f(x)有且仅有一个零点； 当0时，y＝f(x)无零点， 综上所述，当a≤0或a＝时，y＝f(x)有1个零点； 当0时，y＝f(x)无零点． (3)由(1)知，当x(0，＋∞)时，lnx≤x－1. an>0，bn>0，lnan≤an－1，从而有bnlnan≤bnan－bn， 即lnabnn≤bnan－bn(nN*)，nabii≤iai－i， a1b1＋a2b2＋…＋anbn≤b1＋b2＋…＋bn，即iai－i≤0， nabii≤0，即ln(ab11·ab22·…·abnn)≤0， ab11·ab22·…·abnn≤1. 高考学习网： 高考学习网：。

2022高考数学二轮专项限时集训(一)：函数的性质（江苏专用）[专题一 函数的性质](时刻：45分钟)一、填空题1．函数f(x)＝log a2＋2(2x ＋1)的单调增区间是________．2．已知函数y ＝f(x)是奇函数，当x>0时，f(x)＝lg x ，则f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫1100的值等于________．3．定义在R 上的偶函数f (x )在[0，＋∞)上递增，f ⎝⎛⎭⎫13＝0，则满足f (log 18x )＞0的x 的取值范畴是________．4．函数f (x )在定义域R 上不是常数函数，且f (x )满足条件：对任意x ∈R ，都有f (2＋x )＝f (2－x )，f (1＋x )＝－f (x )，则f (x )是________(填序号)．①奇函数但非偶函数；②偶函数但非奇函数； ③既是奇函数又是偶函数；④是非奇非偶函数．5．已知函数f (x )＝mx 3＋nx 2的图象在点(－1,2)处的切线恰好与直线3x ＋y ＝0平行，若f (x )在区间[t ，t ＋1]上单调递减，则实数t 的取值范畴是________．6．设函数f (x )＝x (x －1)2，x >0，若0<a ≤1，记f (x )在(0，a ]上的最大值为F (a )，则函数G (a )＝F (a )a 的最小值为________．二、解答题7．已知函数f (x )＝x 2－ax －a ln(x －1)(a ∈R )． (1)当a ＝1时，求函数f (x )的最值； (2)求函数f (x )的单调区间．8．已知函数f (x )＝2x ＋a ln x ，a ∈R .(1)若曲线y ＝f (x )在点P (1，f (1))处的切线垂直于直线y ＝x ＋2，求a 的值； (2)求函数f (x )在区间(0，e]上的最小值．专题限时集训(一)B[专题一 函数的性质](时刻：45分钟)一、填空题1．设f(x)是定义在R 上的奇函数，当x ≤0时，f (x )＝2x 2－x ，则f (1)＝________.2．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ，x ≤0，x 2，x >0.若f (α)＝4，则实数α＝________. 3．设函数f (x )＝|x |x ＋bx ＋c ，则下列命题中正确命题的序号有________．(请将正确命题的序号都填上)①当b >0时，函数f (x )在R 上是单调增函数； ②当b <0时，函数f (x )在R 上有最小值； ③函数f (x )的图象关于点(0，c )对称； ④方程f (x )＝0可能有三个实数根．4．若函数f (x )＝x ＋13－2tx (t ∈N *)的最大值是正整数M ，则M ＝________.5．对任意实数a ，b ，定义：F (a ，b )＝12(a ＋b －|a －b |)，假如函数f (x )＝x 2，g (x )＝52x ＋32，h (x )＝－x ＋2，那么函数G (x )＝F (F (f (x )，g (x ))，h (x ))的最大值等于________．6．某同学在研究函数f (x )＝x1＋|x |(x ∈R )时，分别给出下面几个结论： ①等式f (－x )＋f (x )＝0在x ∈R 时恒成立； ②函数f (x )的值域为(－1,1)；③若x 1≠x 2，则一定有f (x 1)≠f (x 2)；④函数g (x )＝f (x )－x 在R 上有三个零点．其中正确结论的序号有________．(请将你认为正确的结论的序号都填上) 二、解答题7．设函数f (x )＝mx －mx －2ln x (m ∈R )． (1)当m ＝1，x >1时，求证：f (x )>0；(2)若关于x ∈[1，3]，均有f (x )<2成立，求实数m 的取值范畴．8．已知函数f (x )＝3－2log 2x ，g (x )＝log 2x .(1)假如x ∈[1,4]，求函数h (x )＝(f (x )＋1)g (x )的值域； (2)求函数M (x )＝f (x )＋g (x )－|f (x )－g (x )|2的最大值； (3)假如对不等式f (x 2)f (x )>kg (x )中的任意x ∈[1,4]，不等式恒成立，求实数k 的取值范畴．专题限时集训(一)A1.⎝⎛⎭⎫－12，＋∞ 【解析】 因为a 2＋2≥2，因此y ＝log a 2＋2x 为增函数，故原函数的单调增区间为⎝⎛⎭⎫－12，＋∞.2．－lg2 【解析】 因为f ⎝⎛⎭⎫1100＝lg 1100＝－2，因此f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫1100＝f (－2)＝－f (2)＝－lg2.3.⎝⎛⎭⎫0，12∪(2，＋∞) 【解析】由f (x )＝f (－x )＝f (|x |)得f ⎝⎛⎭⎫⎪⎪⎪⎪log 18x >f ⎝⎛⎭⎫13.又函数f (x )在[0，＋∞)上递增，因此⎪⎪⎪⎪log 18x >13，解得log 18x >13或log 18x <－13，即x ∈⎝⎛⎭⎫0，12∪(2，＋∞)． 4．② 【解析】 f (x ＋2)＝f [1＋(1＋x )]＝－f (1＋x )＝f (x )，即f (x )是周期函数，T ＝2，又f (x )的图象关于直线x ＝2对称，因此f (x )的图象关于y 轴对称，是偶函数．5．[－2，－1] 【解析】 由题意知，点(－1,2)在函数f (x )的图象上，故－m ＋n ＝2.① 又f ′(x )＝3mx 2＋2nx ，则f ′(－1)＝－3，故3m －2n ＝－3.② 由①②解得m ＝1，n ＝3，即f (x )＝x 3＋3x 2. 令f ′(x )＝3x 2＋6x ≤0，解得－2≤x ≤0，则[t ，t ＋1]⊆[－2,0]，故t ≥－2且t ＋1≤0，因此t ∈[－2，－1]．6.427 【解析】 f ′(x )＝(3x －1)(x －1)．令f ′(x )＝0，得x 1＝13，x 2＝1，f (x )在区间⎝⎛⎭⎫0，13，(1，＋∞)上单调递增，在⎝⎛⎭⎫13，1上单调递减，因此当x ＝13时，有极大值f ⎝⎛⎭⎫13＝427；当x ＝1时，有极小值f (1)＝0，因此当0<a ≤13时，F (a )＝f (a )，G (a )＝F (a )a ＝(a －1)2≥49，专门当a ＝13时，有G (a )min ＝49；当13<a ≤1时，F (a )＝f ⎝⎛⎭⎫13，则G (a )＝f ⎝⎛⎭⎫13a ＝427a ≥427，因此对任意的0<a ≤1，G (a )min ＝427.7．【解答】 (1)函数f (x )＝x 2－ax －a ln(x －1)(a ∈R )的定义域是(1，＋∞)． 当a ＝1时，f (x )＝x 2－x －ln(x －1)，f ′(x )＝2x －1－1x －1＝2x ⎝⎛⎭⎫x －32x －1，因此f (x )在⎝⎛⎭⎫1，32上为减函数，在⎝⎛⎭⎫32，＋∞上为增函数， 因此函数f (x )的最小值为f ⎝⎛⎭⎫32＝34＋ln2，无最大值．(2)f ′(x )＝2x －a －ax －1＝2x ⎝⎛⎭⎫x －a ＋22x －1，若a ≤0，则a ＋22≤1，f ′(x )＝2x ⎝⎛⎭⎫x －a ＋22x －1>0在(1，＋∞)上恒成立，因此f (x )的增区间为(1，＋∞)．若a >0，则a ＋22>1，故当x ∈⎝⎛⎦⎤1，a ＋22时，f ′(x )＝2x ⎝⎛⎭⎫x －a ＋22x －1≤0，当x ∈⎝⎛⎭⎫a ＋22，＋∞时，f ′(x )＝2x ⎝⎛⎭⎫x －a ＋22x －1>0，因此a >0时f (x )的减区间为⎝⎛⎦⎤1，a ＋22，增区间为⎝⎛⎭⎫a ＋22，＋∞.8．【解答】 (1)直线y ＝x ＋2的斜率为1. 函数y ＝f (x )的导数为f ′(x )＝－2x 2＋a x ， 则f ′(1)＝－212＋a1＝－1，因此a ＝1. (2)f ′(x )＝ax －2x 2，x ∈(0，＋∞)．①当a ＝0时，在区间(0，e]上f ′(x )＝－2x 2<0，现在f (x )在区间(0，e]上单调递减，则f (x )在区间(0，e]上的最小值为f (e)＝2e . ②当2a <0，即a <0时，在区间(0，e]上f ′(x )<0，现在f (x )在区间(0，e]上单调递减，则f (x )在区间(0，e]上的最小值为f (e)＝2e ＋a . ③当0<2a <e ，即a >2e 时，在区间⎝⎛⎭⎫0，2a 上f ′(x )<0，现在f (x )在区间⎝⎛⎭⎫0，2a 上单调递减；在区间⎝⎛⎦⎤2a ，e 上f ′(x )>0，现在f (x )在区间⎝⎛⎦⎤2a ，e 上单调递增，则f (x )在区间(0，e]上的最小值为f ⎝⎛⎭⎫2a ＝a ＋a ln 2a .④当2a ≥e ，即0<a ≤2e 时，在区间(0，e]上f ′(x )≤0，现在f (x )在区间(0，e]上单调递减，则f (x )在区间(0，e]上的最小值为f (e)＝2e ＋a . 综上所述，当a ≤2e 时，f (x )在区间(0，e]上的最小值为2e ＋a ； 当a >2e 时，f (x )在区间(0，e]上的最小值为a ＋a ln 2a .专题限时集训(一)B1．－3 【解析】 法一：∵f (x )是定义在R 上的奇函数，且x ≤0时，f (x ) ＝ 2x 2－x ， ∴f (1)＝－f (－1)＝－2×(－1)2＋(－1)＝－3.法二：设x >0，则－x <0，∵f (x )是定义在R 上的奇函数，且x ≤0时，f (x ) ＝ 2x 2－x ，∴f (－x )＝2(－x )2－(－x )＝2x 2＋x .又f (－x )＝－f (x )，∴f (x )＝－2x 2－x ，∴f (1)＝－2×12－1＝－3.2．－4或2 【解析】 当α>0时，α2＝4⇒α＝2；当α≤0时，－α＝4⇒α＝－4.3．①③④ 【解析】 由b 的取值画出分段函数的图象，即可得①③④正确，②错误．4．7 【解析】 本题采纳整体换元法求解，令u ＝13－2tx (t ∈N *)，u ≥0⇒x ＝13－u 22t (u ≥0)，∴f (u )＝13－u 22t ＋u ＝－12t (u －t )2＋12⎝⎛⎭⎫t ＋13t (t ∈N *，u ≥0)．由题知原函数的最大值即为函数f (u )＝－12t (u －t )2＋12⎝⎛⎭⎫t ＋13t (t ∈N *，u ≥0)的最大值，∴12⎝⎛⎭⎫t ＋13t ＝M ，∵M 为正整数，因此t ＋13t (t ∈N *)必须能被2整除，因此当t ＝1或t ＝13时取到最大值M ＝7.5．1 【解析】 方法一：由F (a ，b )＝12(a ＋b －|a －b |)＝⎩⎪⎨⎪⎧b (a ≥b )，a (a <b )，因此F (f (x )，g (x ))＝12(f (x )＋g (x )－|f (x )－g (x )|)＝12⎝⎛⎭⎫x 2＋52x ＋32－⎪⎪⎪⎪x 2－52x －32＝⎩⎨⎧x 2，x ∈⎣⎡⎦⎤－12，3，52x ＋32，x ∈⎝⎛⎭⎫－∞，－12∪(3，＋∞)，则G (x )＝F (F (f (x )，g (x ))，h (x ))＝⎩⎨⎧x 2，x ∈⎣⎡⎦⎤－12，1，52x ＋32，x ∈⎝⎛⎭⎫－∞，－12，－x ＋2，x ∈(1，＋∞)，故G (x )的最大值等于1.方法二：依题意可知F (a ，b )＝12(a ＋b －|a －b |)＝⎩⎪⎨⎪⎧b ，a ≥b ，a ，a <b ，事实上质即为求F (a ，b )的最小值．从而G (x )＝F (F (f (x )，g (x ))，h (x ))即为函数f (x )＝x 2，g (x )＝52x ＋32，h (x )＝－x ＋2的最小值．在同一直角坐标系中作出三个函数的图象，由图象可知G (x )的最大值等于1.6．①②③ 【解析】 ①正确；②当x ≠0时|f (x )|＝11|x |＋1∈(0,1)，当x ＝0时，f (0)＝0，因此0≤|f (x )|<1，正确；③当x ≥0时，f (x )＝x 1＋x ＝1－1x ＋1≥0且是增函数，当x <0时，f (x )＝x 1－x ＝11－x －1<0且是增函数，即f (x )在R 上是增函数，因此，x 1≠x 2，则一定有f (x 1)≠f (x 2)，正确；④由g (x )＝f (x )－x ＝0得x ＝0，只有一个零点，不正确．7．【解答】 (1)证明：当m ＝1时，f (x )＝x －1x －2ln x ， f ′(x )＝1＋1x 2－2x ＝(x －1)2x 2， 对∀x ∈(1，＋∞)，有f ′(x )>0，∴f (x )在(1，＋∞)上为单调增函数， 又f (x )在(1，＋∞)上的图象不间断， ∴当x >1时，f (x )>f (1)＝0.(2)对任意x ∈[1，3]，f (x )<2恒成立等价于f (x )max <2(x ∈[1，3])．(*)①当m ＝0时，∵f ′(x )＝－2x <0，∴f (x )在[1，3]上是减函数．∴f (x )max ＝f (1)＝0<2，即(*)式成立．②当m <0时，对任意x ∈[1，3]，f ′(x )＝mx 2－2x ＋mx 2<0， 同①知(*)式成立．③当m >0时，f ′(x )＝mx 2－2x ＋mx 2. (a)当4－4m 2≤0，即m ≥1时，f ′(x )>0关于任意的x ∈(1，3)恒成立，∴f (x )在[1，3]上是增函数，∴f (x )max ＝f (3)＝m ⎝⎛⎭⎫3－13－2ln 3.由m ⎝⎛⎭⎫3－13－2ln 3<2，解得m <3(1＋ln 3)， ∴1≤m <3(1＋ln 3)．(b)当4－4m 2>0，即0<m <1时，令f ′(x )＝0，得x 1＝1－1－m 2m <1(舍去)，x 2＝1＋1－m 2m >1， 令1＋1－m 2m＝3，得m ＝32. (i)当0<m ≤32时，x 2＝1m ＋1m 2－1≥23＋⎝⎛⎭⎫232－1＝3，又f (x )在(1，x 2)上是减函数，∴f (x )在[1，3]上也是减函数， ∴f (x )max ＝f (1)＝0<2，即(*)式成立． (ii)当32<m <1时，x 2＝1m ＋1m 2－1<3，则f (x )在(1，x 2)上是减函数，在(x 2，3)上是增函数， ∴当x ＝1或x ＝3时，f (x )取得最大值，要使(*)式成立，只需⎩⎨⎧f (1)<2，f (3)<2，即m <3(1＋ln 3)，∴32<m <1，综上，m 的取值范畴是(－∞，3(1＋ln 3))． 8．【解答】 (1)h (x )＝(4－2log 2x )·log 2x ＝－2(log 2x －1)2＋2， ∵x ∈[1,4]，∴log 2x ∈[0,2]， ∴h (x )的值域为[0,2]．(2)法一：f (x )－g (x )＝3(1－log 2x )．当x >2时，f (x )<g (x )；当0<x ≤2时，f (x )≥g (x )．∴M (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ g (x )，f (x )≥g (x )f (x )，f (x )<g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，0<x ≤2，3－2log 2x ，x >2，当0<x ≤2时，M (x )最大值为1；当x >2时，M (x )<1；综上：当x ＝2时，M (x )取到最大值为1.法二：∵M (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧g (x )，f (x )≥g (x )，f (x )，f (x )<g (x )， 设f (x )，g (x )中的较小值为M ，①t ≥M ，②3－2t ≥M ，①×2＋②得：3M ≤3，M ≤1， 当t ＝1，x ＝2时，M ＝1，∴M (x )max ＝1. (3)由f (x 2)f (x )>kg (x )得 (3－4log 2x )(3－log 2x )>k ·log 2x ，令t ＝log 2x ，∵x ∈[1,4]，∴t ∈[0,2]，∴(3－4t )(3－t )>kt 对一切t ∈[0,2]恒成立， ①当t ＝0时，k ∈R ；②t ∈(0,2]时，k <(3－4t )(3－t )t 恒成立，即k <4t ＋9t －15， ∵4t ＋9t ≥12，当且仅当4t ＝9t ，即t ＝32时取等号． ∴4t ＋9t －15的最小值为－3.∴k <－3. 综上：k <－3.。

专题限时集训(一 )B[ 第 1 讲会合与常用逻辑用语](时间： 30 分钟 )1．设会合 A ＝ {x| － 3<x<1} ， B＝ {x|log 2|x|<1} ，则 A ∩B 等于 ()A． (－ 3， 0)∪ (0，1) B ． (－ 1， 0)∪ (0， 1)C． ( －2， 1)D． (－ 2， 0)∪(0，1)2．已知会合 A ＝ {x|x 2－ 2x－ 3<0} ， B＝ {y|1 ≤ y≤ 4} ，则以下结论正确的选项是()A． A∩ B＝B． (?U A) ∪B ＝ (－ 1，＋∞ )C．A ∩B＝(1， 4]D． (?U A) ∩B＝ [3，4]2”的 ()3．“ a>1”是“a>1A．充足不用要条件 B ．必需不充足条件C．充要条件D．既不充足也不用要条件4．命题“存在 x∈R，使得 e x<x”的否认是 ()A．存在 x∈R，使得 e x>x B．随意 x∈R，都有 e x≥xC．存在 x∈R，使得 e x≥ x D．随意 x∈R，都有 e x>x5．设 a，b 是平面α内两条不一样的直线， l 是平面α外的一条直线，则“l ⊥ a，l ⊥ b”是“ l ⊥α”的 ()A．充要条件B．充足不用要条件C．必需不充足条件 D ．既不充足也不用要条件6．若会合 A ＝ {0 ， 1} ， B＝ { － 1，a2} ，则“ a＝1”是“ A ∩B ＝ {1} ”的 ()A．充足非必需条件 B ．必需非充足条件C．充要条件D．既不充足也不用要条件7．已知会合 M ＝ {1 ， 2，3} ， N＝ {2 ， 3， 4} ，全集 I＝ {1 ， 2， 3， 4， 5} ，则图 X1－ 1所示的暗影部分表示的会合为()图 X1－1A． {1}B． {2 ，3}C． {4}D． {5}8．设 x， y∈R，则“ x≥ 1 且 y≥ 2”是“ x＋ y≥ 3”的 ()A．充足不用要条件B．必需不充足条件C．充要条件D．既不充足也不用要条件9．在△ ABC 中，“ A ＝ 30°”是“ sin A ＝1”的 () 2A．充足不用要条件B ．必需不充足条件C．充要条件D．既不充足又不用要条件10．S n是数列 {a n} 的前 n 项和，则“ S n是对于 n 的二次函数”是“数列{a n} 为等差数列”的 ()A．充足不用要条件B．必需不充足条件C．充足必需条件D．既不充足也不用要条件11．若命题“存在实数x，使 x2＋ ax＋1<0 ”的否认是真命题，则实数 a 的取值范围为________ ．12．设有两个命题 p， q.此中 p：对于随意的 x∈R，不等式 ax2＋ 2x＋1>0 恒建立；命题q：f(x) ＝(4a－3)x在R上为减函数．假如两个命题中有且只有一个是真命题，那么实数 a 的取值范围是 ________．A ，记 A *＝ {y| 随意 x∈ A ，都有 y≥x} ．设非空实数会合13．对于非空实数集M，P，知足 M P.给出以下结论：**①P M；②M *∩P＝；③M∩P*≠．此中正确的结论是 ________． (写出全部正确结论的序号 )x－ 2x－a2－ 2 14．已知全集 U＝R，非空会合 A ＝ x<0，B＝ x< 0.命题 p：x－（ 3a＋ 1）x－ ax∈ A ，命题 q： x∈ B.若 q 是 p 的必需条件，则实数 a 的取值范围是________．专题限时集训 (一 )B1．D [ 分析 ] B ＝ {x|log 2|x|<1} ＝ (－ 2， 0)∪ (0， 2)，所以 A ∩ B ＝ (－2， 0)∪ (0， 1)．2．D [ 分析 ] 由于 A ＝ {x|x 2－ 2x － 3<0} ＝ {x| －1<x<3} ，则 ?U A ＝ {x|x ≥ 3 或 x ≤－ 1} ，所以 A ∩ B ＝ {x|1 ≤x<3} ，( ?U A) ∪ B ＝ {x|x ≥1 或 x ≤－ 1} ， (?U A) ∩ B ＝ {x|3 ≤ x ≤4} ．应选 D.3．A [ 分析 ] a 2>1 a<－ 1 或 a>1，明显选 A. 4． B [ 分析 ] 特称命题的否认为全称命题，应选 B.5．C [分析 ] 当 a ，b 不订交时， 则“ l ⊥ α”不必定建立； 当“ l ⊥ α”时， 必定有“ l ⊥ a ，l ⊥ b ”．故“ l ⊥ a ， l ⊥ b ”是“ l ⊥ α”的必需不充足条件．应选 C.6．A [ 分析 ] a ＝1 A ∩ B ＝{1} ；A ∩B ＝{1} a ＝ ±1，故为充足不用要条件． 7． C [ 分析 ] M ∩ N ＝ {2 ， 3} ，则暗影部分表示的会合为 {4} ．8．A [ 分析 ] “x ≥ 1 且 y ≥ 2” “x ＋ y ≥3”，而“ x ＋y ≥ 3” / “ x ≥ 1 且 y ≥ 2”，故为充足不用要条件．9．A1，则 A ＝ 30°或 A ＝150°，所以“ A ＝ 30°”[ 分析 ] 由于在△ ABC 中，若 sin A ＝ 2是“ sin A ＝1”的充足不用要条件，应选A.2S n ＝ an 2＋ bn ＋ c(a ≠ 0)，则当 n ≥ 210．D[分析 ] 若 S n 是对于 n 的二次函数，则设为时，有 a n ＝ S n － S n － 1＝ 2an ＋ b － a ，当 n ＝ 1 时， S 1＝ a ＋ b ＋ c ，只有当 c ＝ 0 时，数列 {a n } 才是n （ n －1） d2d ＋ a 1－ dn ，当 d ≠ 0 时为等差数列；若数列 {a n } 为等差数列，则 S n ＝ na 1＋ ＝ n2 2 2 二次函数，当 d ＝ 0 时，为一次函数，所以“ S n 是对于 n 的二次函数”是“数列 {a n } 为等差 数列”的既不充足也不用要条件．2＋ ax ＋1≥ 0”，则 ＝ a 2－ 4≤ 0，11． [－ 2，2] [ 分析 ] 该命题的否认为“ x ∈ R ， x－ 2≤ a ≤ 2.312. 4， 1 ∪ (1，＋∞ ) [ 分析 ] 当 a ＝ 0 时，不等式为 2x ＋ 1>0，明显不可以恒建立，故 a＝ 0 不合适；当 a ≠0 时，不等式 ax2＋ 2x ＋1>0 恒建立的充要条件是a>0，解得 a>1.＝22－ 4a<0，3若命题 q 为真，则 0<4a －3<1 ，解得 4<a<1. 由题意，可知 p ， q 一真一假．当 p 真 q 假时， a 的取值范围是{a|a>1} ∩ a a ≤3或a ≥ 1＝ {a|a>1} ；4当 p 假 q 真时， a 的取值范围是3 3 {a|a ≤ 1} ∩ a 4<a<1＝ a 4< a<1.所以 a 的取值范围是 3， 1 ∪ (1，＋∞ )．4A ，记 A * ＝ {y|13．① [ 分析 ] 依据题意，对于非空实数集到会合 A * 中的元素大于或许等于会合 A 中的元素．所以可知① P * ＝ ， M * 和 P 中可能有同样的元素，所以错误．对于③M ∩ P *≠共元素，所以错误，故答案为① .x ∈ A ，y ≥ x} ，则能够得M *建立．对于② M *∩P ，M *与 P 中不行能有公14. － 1， 1 ∪ 13－ 5[ 分析 ] ∵ a 2＋ 2>a ，∴ B ＝ {x|a<x<a 2＋ 2} ．2 3 3，21①当 3a ＋ 1>2 ，即 a>3时， A ＝ {x|2<x<3a ＋ 1} ． ∵ p 是 q 的充足条件，∴ A B.a ≤2， 13－5 ∴3a ＋1≤ a 2＋2，即3<a ≤2.②当 3a ＋ 1＝ 2，即 a ＝13时， A ＝，不切合题意；1③当 3a ＋ 1<2 ，即 a< 时， A ＝ {x|3a ＋ 1<x<2} ，由 A B 得a ≤3a ＋ 1，∴－ 1≤ a<1.232a ＋ 2≥ 2，综上所述，实数 a 的取值范围是1 1 ∪ 1 3－ 5－ ，3.23， 2。

专题限时集训(一)B[第1讲集合与常用逻辑用语](时间：30分钟)1．设集合A＝{x|－3<x<1}，B＝{x2∩B等于()A．(－3，0)∪(0，1) B．(－1，0)∪(0，1)C．(－2，1) D．(－2，0)∪(0，1)2．已知全集U＝R，集合A＝{x|x2－1<0}，B＝{y|y＝x}，则A∩(∁U B)＝()A．(－1，0) B．(－1，0]C．(0，1) D．[0，1)3．“a>1”是“a2>1”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．设全集U＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A＝{1，2，3，5}，B＝{2，4，6}，则图X1－1A．{2} B．{4，6}C．{1，3，5} D．{4，6，7，8}5．已知a>0且a≠1，则log a b>0是(a－1)(b－1)>0的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．若集合A＝{0，1}，B＝{－1，a2}，则“a＝1”是“A∩B＝{1}”的()A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D7．已知集合M＝{1，2，3}，N＝I＝{1，2，3，4，5}，则图X1－2所示的阴影部分表示的集合为()A．{1} B．{2，3}C．{4} D．{5}8．设x，y∈R，则“x≥1且y≥2”是“x＋y≥3”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件9．下列判断中正确的是()A ．命题“若a －b ＝1，则a 2＋b 2>12”是真命题 B ．“1a ＋1b ＝4”的必要不充分条件是“a ＝b ＝12” C ．命题“若a ＋1a ＝2，则a ＝1”的逆否命题是“若a ＝1，则a ＋1a≠2” D ．“函数f (x )＝cos 2ax －sin 2ax 的最小正周期为π”是“a ＝1”的必要不充分条件10．函数f (x )＝log 12(x 2－3x ＋2)的值域是( ) A ．R B ．(1，2)C ．[2，＋∞)D ．(－∞，1)(2，＋∞)11．S n 是数列{a n }的前n 项和，则“S n 是关于n 的二次函数”是“数列{a n }为等差数列”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件12．若命题“存在实数x 0，使x 20＋ax 0＋1<0”的否定是真命题，则实数a 的取值范围为________．13．若集合M ＝{x |x ＝2－t ，t ∈R }，N ＝{y |y ＝sin x ，x ∈R }，则M ∩N ＝________．14．已知R 是实数集，M ＝x ⎪⎪2x <1，N ＝y |y ＝x －1＋1，则N ∩(∁R M )＝________．专题限时集训(一)B1．D [解析] B ＝{x |log 2|x |<1}＝(－2，0)∪(0，2)，所以A ∩B ＝(－2，0)∪(0，1)．2．A [解析] 由x 2－1<0得－1<x <1，所以A ＝{x |－1<x <1}，又B ＝{y |y ≥0}，所以∁U B ＝{y |y <0}，所以A ∩(∁U B )＝(－1，0)．3．A [解析] a 2>1⇒a <－1或a >1，显然选A.4．B [解析] 图中的阴影部分表示的集合为(∁U A )∩B ＝{4，6，7，8}∩{2，4，6}＝{4，6}．5．A [解析] log a b >0⇔⎩⎪⎨⎪⎧a >1，b >1或⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，0<b <1，故(a －1)(b －1)>0成立，故充分条件成立．而(a －1)(b －1)>0⇔⎩⎪⎨⎪⎧a >1，b >1或⎩⎪⎨⎪⎧a <1，b <1.若b ≤0，则log a b 无意义．故选A. 6．A [解析] a ＝1⇒A ∩B ＝{1}；A ∩B ＝{1}⇒a ＝±1，故为充分不必要条件．7．C [解析] M ∩N ＝{2，3}，则阴影部分表示的集合为{4}．8．A [解析] “x ≥1且y ≥2”⇒“x ＋y ≥3”，而“x ＋y ≥3”⇒/ “x ≥1且y ≥2”，故为充分不必要条件．9．D [解析] 选项A 中，a ＝1＋b ，故a 2＋b 2＝(1＋b )2＋b 2＝2b 2＋2b ＋1＝2⎝⎛⎭⎫b ＋122＋12≥12，故选项A 中的命题是假命题；选项B 中，1a ＋1b ＝4推不出a ＝b ＝12，反之成立，故选项B 中的命题是假命题；选项C 中，“若a ＋1a＝2，则a ＝1”的逆否命题是“若a ≠1，则a ＋1a ≠2”，故选项C 中的命题是假命题；选项D 中，f (x )＝cos 2ax ，其最小正周期为π时，2π2|a |＝π，即a ＝±1，故命题是真命题．10．A [解析] 由y ＝x 2－3x ＋2＝⎝⎛⎭⎫x －322－14知x 2－3x ＋2可以取到所有的正实数，所以函数f (x )的值域为R ，选A.11．D [解析] 若S n 是关于n 的二次函数，则设为S n ＝an 2＋bn ＋c (a ≠0)，则当n ≥2时，有a n ＝S n －S n －1＝2an ＋b －a ，当n ＝1时，S 1＝a ＋b ＋c ，只有当c ＝0时，数列{a n }才是等差数列；若数列{a n }为等差数列，则S n ＝na 1＋n （n －1）d 2＝n 22d ＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2n ，当d ≠0时为二次函数，当d ＝0时，为一次函数，所以“S n 是关于n 的二次函数”是“数列{a n }为等差数列”的既不充分也不必要条件．12．[－2，2] [解析] 该命题的否定为“∀x ∈R ，x 2＋ax ＋1≥0”，则Δ＝a 2－4≤0，－2≤a ≤2.13．(0，1] [解析] 由题意得M ＝(0，＋∞)，N ＝[－1，1]，故M ∩N ＝(0，1]．14．[1，2] [解析] 化简2x －1<0，可得2－x x<0，即x (x －2)>0，∴M ＝{x |x <0或x >2}，∁R M ＝[0，2]，N ＝{y |y ＝x －1＋1}＝{y |y ≥1}，故N ∩(∁R M )＝[1，2]．。

专题限时集训(十六)B[第16讲 圆锥曲线热点问题](时间：45分钟)1．与两圆x 2＋y 2＝1及x 2＋y 2－8x ＋( ) A ．一个椭圆上 B ．双曲线的一支上 C ．一条抛物线上 D ．一个圆上2．到坐标原点的距离是到x 轴距离2倍的点的轨迹方程是( )A ．y ＝±3xB ．y ＝33xC ．x 2－3y 2＝1D ．x 2－3y 2＝03．点P 是抛物线x 2＝y 上的点，则点P 到直线y ＝x －1的距离的最小值是( )A. 2B.34C.324D.3284．已知点F (1,0)，直线l ：x ＝－1，P 为平面上的动点，过P 作直线l 的垂线，垂足为点Q ，且QP →·QF →＝FP →·FQ →，则动点P 的轨迹C 的方程是( )A ．y 2＝4xB ．y 2＝－4xC ．y 2＝8xD ．y 2＝－8x5．已知椭圆C ：x24＋y2b＝1，直线l ：y ＝mx ＋1，若对任意的m ∈R ，直线l 与椭圆C 恒有公共点，则实数b 的取值范围是( )A ．[1,4)B ．[1，＋∞)C ．[1,4)∪(4，＋∞) D．(4，＋∞)6．已知A (0,7)，B (0，－7)，C (12,2)，以C 为一个焦点作过A ，B 的椭圆，椭圆的另一个焦点F 的轨迹方程是( )A ．y 2－x 248＝1(y ≤－1) B ．y 2－x 248＝1C ．y 2－x 248＝－1 D ．x 2－y 248＝1 7．若点O 和点F (－2,0)分别是双曲线x 2a2－y 2＝1(a >0)的中心和左焦点，点P 为双曲线右支上的任意一点，则OP →·FP →的取值范围为( )A ．[3－23，＋∞) B．[3＋23，＋∞) C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－74，＋∞ D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫74，＋∞ 8．过椭圆x 29＋y 24＝1上一点M 作圆x 2＋y 2＝2的两条切线，点A ，B 为切点．过A ，B 的直线l 与x 轴，y 轴分别交于点P ，Q ，则△POQ 的面积的最小值为( )A.12B.23 C ．1 D.439．过双曲线的左焦点F 1且与双曲线的实轴垂直的直线交双曲线于A ，B 两点，若在双曲线虚轴所在直线上存在一点C ，使AC →·BC →＝0，则双曲线离心率e 的取值范围是________．10．抛物线y 2＝8x 的准线为l ，点Q 在圆C ：x 2＋y 2＋6x ＋8y ＋21＝0上，设抛物线上任意一点P 到直线l 的距离为m ，则m ＋|PQ |的最小值为________．11．过抛物线y 2＝x 的焦点F 的直线m 的倾斜角θ≥π4，m 交抛物线于A ，B 两点，且A点在x 轴上方，则|FA |的取值范围是________．12．已知椭圆M 的中心为坐标原点，且焦点在x 轴上，若M 的一个顶点恰好是抛物线y2＝8x 的焦点，M 的离心率e ＝12，过M 的右焦点F 作不与坐标轴垂直的直线l ，交M 于A ，B 两点．(1)求椭圆M 的标准方程；(2)设点N (t,0)是一个动点，且(NA →＋NB →)⊥AB →，求实数t 的取值范围．13．已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)长轴上有一顶点到两个焦点之间的距离分别为：3＋22，3－2 2.(1)求椭圆的方程；(2)如果直线x ＝t (t ∈R )与椭圆相交于A ，B 两点，若C (－3,0)，D (3,0)，证明：直线CA 与直线BD 的交点K 必在一条确定的双曲线上；(3)过点Q (1,0)作直线l (与x 轴不垂直)与椭圆交于M ，N 两点，与y 轴交于点R ，若RM →＝λMQ →，RN →＝μNQ →，求证：λ＋μ为定值．14．已知抛物线C 的顶点是椭圆x 24＋y 23＝1的中心，且焦点与该椭圆右焦点重合．(1)求抛物线C 的方程；(2)若P (a,0)为x 轴上一动点，过P 点作直线交抛物线C 于A ，B 两点．①设S △AOB ＝t ·tan∠AOB ，试问：当a 为何值时，t 取得最小值，并求此最小值； ②若a ＝－1，点A 关于x 轴的对称点为D ，证明：直线BD 过定点．专题限时集训(十六)B【基础演练】1．D [解析] 设点的坐标为(x ，y )，则x 2＋y 2＝2|y |，整理得x 2－3y 2＝0.2．D [解析] 设P (x ，y )，则d ＝|x －y －1|2＝|x －x 2－1|2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －122＋342≥328.3．A [解析] 设点P (x ，y )，则Q (－1，y )，由QP →·QF →＝FP →·FQ →得： (x ＋1,0)·(2，－y )＝(x －1，y )·(－2，y )，化简得：y 2＝4x .4．B [解析] 圆x 2＋y 2－8x ＋12＝0的圆心为(4,0)，半径为2，动圆的圆心到(4,0)的距离减去到(0,0)的距离等于1，由此可知，动圆的圆心在双曲线的一支上．【提升训练】5．C [解析] 直线恒过定点(0,1)，只要该点在椭圆内部或椭圆上即可，故只要b ≥1且b ≠4.6．A [解析] 由题意|AC |＝13，|BC |＝15，|AB |＝14，又|AF |＋|AC |＝|BF |＋|BC |， ∴|AF |－|BF |＝|BC |－|AC |＝2.故F 点的轨迹是以A ，B 为焦点，实轴长为2的双曲线下支． 又c ＝7，a ＝1，b 2＝48，所以轨迹方程为y 2－x 248＝1(y ≤－1)．7．B [解析] 因为F (－2,0)是已知双曲线的左焦点，所以a 2＋1＝4，即a 2＝3，所以双曲线方程为x 23－y 2＝1，设点P (x 0，y 0)，则有x 203－y 20＝1(x 0≥3)，解得y 20＝x 203－1(x 0≥3)，因为FP →＝(x 0＋2，y 0)，OP →＝(x 0，y 0)，所以OP →·FP →＝x 0(x 0＋2)＋y 20＝4x 203＋2x 0－1，此二次函数对应的抛物线的对称轴为x 0＝－34，因为x 0≥3，所以当x 0＝3时，OP →·FP →取得最小值43×3＋23－1＝3＋23，故OP →·FP →的取值范围是[3＋23，＋∞)，选B.8．B [解析] 设M (x 0，y 0)，根据圆的切线知识可得过A ，B 的直线l 的方程为x 0x ＋y 0y ＝2，由此得P 2x 0，0，Q 0，2y 0，故△POQ 的面积为12×⎪⎪⎪⎪⎪⎪2x 0·⎪⎪⎪⎪⎪⎪2y 0＝2|x 0y 0|.点M 在椭圆上，所以x 209＋y 204＝1≥2⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 03·⎪⎪⎪⎪⎪⎪y 02，由此得|x 0y 0|≤3，所以2|x 0y 0|≥23，等号当且仅当|x 0|3＝|y 0|2时成立．9.5＋12，＋∞ [解析] 设曲线的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，A －c ，b 2a ，B －c ，－b 2a，C (0，t )，由AC →·BC →＝0，得t 2＝b 4a 2－c 2≥0，e ≥5＋12.10.41－2 [解析] 由抛物线的定义得，点P 到直线l 的距离，即为点P 到抛物线的焦点F (2,0)的距离．设线段FC 与圆交于点E ，则|FE |即为m ＋|PQ |的最小值．圆C ：x 2＋y 2＋6x ＋8y ＋21＝0化为标准方程是(x ＋3)2＋(y ＋4)2＝4，其半径r ＝2，故|FE |＝|FC |－r ＝－3－22＋－4－02－2＝41－2.11.14，1＋22 [解析] 取值范围的左端点是p 2＝14，但不能取到，右端点是当直线的倾斜角等于π4时取得，此时直线方程是y ＝x －14，代入抛物线方程得x 2－32x ＋116＝0，根据题意点A 的横坐标是x ＝32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322－142＝34＋22，根据抛物线定义，该点到焦点的距离等于其到准线的距离，故这个距离是34＋22＋14＝1＋22.12．解：(1)设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)．抛物线焦点坐标为(2,0)，所以a ＝2，c a ＝12，所以c ＝1，b 2＝a 2－c 2＝3，所以椭圆M 的标准方程为：x 24＋y 23＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，设l ：x ＝my ＋1(m ∈R ，m ≠0)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋1，x 24＋y 23＝1⇒(3m 2＋4)y 2＋6my －9＝0.则y 1＋y 2＝－6m 3m 2＋4，①(NA →＋NB →)⊥AB →⇒|NA |＝|NB |⇒(x 1－t )2＋y 21＝(x 2－t )2＋y 22⇒(x 1－x 2)(x 1＋x 2－2t )＋(y 21－y 22)＝0，将x 1＝my 1＋1，x 2＝my 2＋1代入上式整理得：(y 1－y 2)[(m 2＋1)(y 1＋y 2)＋m (2－2t )]＝0，由y 1≠y 2知， (m 2＋1)(y 1＋y 2)＋m (2－2t )＝0，将①代入得t ＝13m 2＋4， 所以实数t ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14. 13．解：(1)由已知⎩⎨⎧a ＋c ＝3＋22，a －c ＝3－22，得⎩⎨⎧a ＝3，c ＝22，b 2＝a 2－c 2＝1，所以椭圆方程为x 29＋y 2＝1.(2)依题意可设A (t ，y 0)，B (t ，－y 0)，K (x ，y )，且有t 29＋y 20＝1，又CA ：y ＝y 0t ＋3(x ＋3)，DB ：y ＝－y 0t －3(x －3)，y 2＝－y 20t 2－9(x 2－9)， 将t 29＋y 2＝1代入即得y 2＝19(x 2－9)，x 29－y 2＝1， 所以直线CA 与直线BD 的交点K 必在双曲线x 29－y 2＝1上．(3)依题意，直线l 的斜率存在，则设直线l 的方程为y ＝k (x －1)，设M (x 3，y 3)，N (x 4，y 4)，R (0，y 5)，则M ，N 两点坐标满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －1，x 29＋y 2＝1，消去y 整理得(1＋9k 2)x 2－18k 2x ＋9k 2－9＝0， 所以x 3＋x 4＝18k 21＋9k 2，x 3x 4＝9k 2－91＋9k2，①因为RM →＝λMQ →，所以(x 3，y 3－y 5)＝λ[(1,0)－(x 3，y 3)]， 即⎩⎪⎨⎪⎧x 3＝λ1－x 3，y 3－y 5＝－λy 3，因为l 与x 轴不垂直，所以x 3≠1，则λ＝x 31－x 3，又RN →＝μNQ →，同理可得μ＝x 41－x 4，所以λ＋μ＝x 31－x 3＋x 41－x 4＝x 3＋x 4－2x 3x 41－x 3＋x 4＋x 3x 4，由①式代人上式得λ＋μ＝－94.14．解：(1)由题意，设抛物线C 的标准方程为y 2＝2px (p >0)，焦点F p2，0，∵椭圆x 24＋y 23＝1的右焦点为(1,0)，∴p2＝1，即p ＝2， ∴抛物线方程为y 2＝4x . (2)①设直线AB ：my ＝x －a ，联立⎩⎪⎨⎪⎧my ＝x －a ，y 2＝4x ，消x 得，y 24－my －a ＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1y 2＝－4a ，x 1x 2＝y 21y 2216＝a 2，由S △AOB ＝12|OA |·|OB |·sin∠AOB＝12|OA |·|OB |·cos∠AOB ·tan∠AOB ， ∴t ＝12|OA |·|OB |·cos∠AOB .∵|OA |·|OB |·cos ∠AOB ＝OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2， ∴t ＝12(x 1x 2＋y 1y 2)＝12(a 2－4a )＝12(a －2)2－2≥－2，即当a ＝2时，t 取得最小值－2.②由①可知D (x 1，－y 1)，y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝4， 直线BD 的方程为y －y 2＝y 2＋y 1x 2－x 1·(x －x 2)， 即y －y 2＝y 2＋y 1y 224－y 214·x －y 224，y ＝y 2＋4y 2－y 1x －y 224，∴y ＝4y 2－y 1x －4y 2－y 1＝4y 2－y 1(x －1)， ∴直线BD 过定点(1,0)．。

专题限时集训(二十五)B[第25讲 坐标系与参数方程、不等式选讲](时间：30分钟)1．在极坐标系(ρ，θ)(0<θ≤2π)中，曲线ρ(cos θ＋sin θ)＝2与ρ(sin θ－cos θ)＝2的交点的极坐标为________．2．若不等式⎪⎪⎪⎪x ＋1x >|a －2|＋1对于一切非零实数x 均成立，那么实数a 的取值范围是________．3．在平面直角坐标系下，曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2t ＋2，y ＝－t (t 为参数)，曲线C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝2＋2sin θ(θ为参数)，那么曲线C 1，C 2的公共点的个数为________．4．若不等式|a －1|≥2x ＋2y ＋z 对满足x 2＋y 2＋z 2＝4，且一切实数x ，y ，z 恒成立，那么实数a 的取值范围是________．5．已知点P (x ，y )是曲线C 上的点，以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，若曲线C 的极坐标方程为ρ2＋4ρcos θ－5＝0，那么使3x －y ＋a ≥0恒成立的实数a 的取值范围为________．6．已知点P 是边长为23的等边三角形内一点，它到三边的距离分别为x ，y ，z ，那么x ，y ，z 所满足的关系式为________，x 2＋y 2＋z 2的最小值是________．7．先阅读第(1)题的解法，再解决第(2)题：(1)已知a ＝(3，4)，b ＝(x ，y )，a ·b ＝1，求x 2＋y 2的最小值．解：由|a ·b |≤|a |·|b |⇒1≤5x 2＋y 2⇒x 2＋y 2≥125，故x 2＋y 2的最小值为125. (2)已知实数x ，y ，z 满足：2x ＋3y ＋z ＝1，那么x 2＋y 2＋z 2的最小值为________．8．已知曲线C 1，C 2的极坐标方程分别为ρ＝－2cos θ＋π2，2ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＋1＝0，那么曲线C 1上的点与曲线C 2上的点的最远距离为________．9．已知函数f (x )＝|x －2|，若a ≠0，且a ，b ∈R ，都有不等式|a ＋b |＋|a －b |≥|a |·f (x )成立，那么实数x 的取值范围是________．数学解析下载见： :// 学优高考网 /down/2013-2/9/1033612.shtml。