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11.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理真题演练集训理新人教A版编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018版高考数学一轮复习第十一章计数原理、概率、随机变量及其分布11.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理真题演练集训理新人教A版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
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11.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理真题演练集训理新人教A版1．[2016·新课标全国卷Ⅱ]如图,小明从街道的E处出发,先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为（)A．24 B．18 C．12 D．9答案：B解析：由题意可知E→F共有6种走法,F→G共有3种走法，由分步乘法计数原理知，共有6×3＝18（种)走法，故选B。
2．[2016·新课标全国卷Ⅲ］定义“规范01数列”｛a n｝如下：{a n}共有2m项,其中m项为0,m项为1，且对任意k≤2m，a1，a2，…,a k中0的个数不少于1的个数．若m＝4，则不同的“规范01数列”共有( )A．18个 B．16个C．14个 D．12个答案：C解析：由题意可得，a1＝0,a8＝1，a2，a3，…，a7中有3个0、3个1,且满足对任意k≤8,都有a1,a2，…，a k中0的个数不少于1的个数,利用列举法可得不同的“规范01数列"有00001111,00010111，00011011，00011101，00100111,00101011，00101101，00110011，00110101,01000111，01001011,01001101，01010011，01010101，共14个．3．［2016·四川卷]用数字1，2，3,4,5组成没有重复数字的五位数,其中奇数的个数为（)A．24 B．48C．60 D．72答案：D解析：由题意可知，个位可以从1,3，5中任选一个，有A1，3种方法，其他数位上的数可以从剩下的4个数字中任选，进行全排列,有A4，4种方法，所以奇数的个数为A错误!A错误!＝3×4×3×2×1＝72，故选D。
（全国通用版）2019版高考数学大一轮复习第十一章计数原理、概率、随机变量及其分布第1节分类加法计数原理与分步乘法计数原理学案理新人教B版编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（（全国通用版）2019版高考数学大一轮复习第十一章计数原理、概率、随机变量及其分布第1节分类加法计数原理与分步乘法计数原理学案理新人教B版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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第1节分类加法计数原理与分步乘法计数原理最新考纲1。
理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理;2。
会用分类加法计数原理或分步乘法计数原理分析和解决一些简单的实际问题。
知识梳理1。
分类加法计数原理做一件事，完成它有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，……，在第n类办法中有m n种不同的方法。
则完成这件事共有N＝m1＋m2＋…＋m n 种不同的方法。
2。
分步乘法计数原理做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一个步骤有m1种不同的方法，做第二个步骤有m2种不同的方法，……，做第n个步骤有m n种不同的方法.那么完成这件事共有N＝m1×m2×…×m n 种不同的方法。
3。
分类加法和分步乘法计数原理，区别在于：分类加法计数原理针对“分类”问题，其中各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事；分步乘法计数原理针对“分步"问题，各个步骤相互依存,只有各个步骤都完成了才算完成这件事.[常用结论与微点提醒］1。
本卷贰O贰贰年贰月捌日编写；出题人：令狐学复；欧阳化语；令狐理总。
第1讲分类加法计数原理与分步乘法计数原理【2021年高考会这样考】考察分类加法计数原理和分步乘法计数原理的应用．【复习指导】复习时要弄清分类加法计数原理和分步乘法计数原理的区别与联络，这是解排列组合问题的根底．根底梳理1．分类加法计数原理完成一件事有n类不同的方案，在第一类方案中有m1种不同的方法，在第二类方案中有m2种不同的方法，……，在第n类方案中有m n种不同的方法，那么完成这件事情一共有N＝m1＋m2＋…＋m n种不同的方法．2．分步乘法计数原理完成一件事情需要分成n个不同的步骤，完成第一步有m1种不同的方法，完成第二步有m2种不同的方法，……，完成第n步有m n种不同的方法，那么完成这件事情一共有N＝m1×m2×…×m n种不同的方法．两个原理分类加法计数原理与分步乘法计数原理是解决排列组合问题的根底并贯穿始终．分类加法计数原理中，完成一件事的方法属于其中一类并且只属于其中一类，简单的说分类的HY是“不重不漏，一步完成〞．而分步乘法计数原理中，各个步骤互相依存，在各个步骤中任取一种方法，即是完成这件事的一种方法，简单的说步与步之间的方法“互相HY，多步完成〞．类比加法与乘法的关系，在特定的情况下分步乘法计数原理可简化运用分类加法计数原理的过程．双基自测1．(人教A版教材习题改编)由0,1,2,3这四个数字组成的四位数中，有重复数字的四位数一共有( )．A．238个 B．232个 C．174个 D．168个解析可用排除法由0,1,2,3可组成的四位数一共有3×43＝192(个)，其中无重复的数字的四位数一共有3A33＝18(个)，故一共有192－18＝174(个)．答案 C2．(2021·模拟)集合A＝{1,2,3,4}，B＝{5,6,7}，C＝{8,9}．如今从这三个集合中取出两个集合，再从这两个集合中各取出一个元素，组成一个含有两个元素的集合，那么一一共可以组成多少个集合( )．A．24个 B．36个 C．26个 D．27个解析C14C13＋C14C12＋C13C12＝26，应选C.答案 C3．(2021·调研)甲、乙两人从4门课程中各选修2门，那么甲、乙所选的课程中恰有1门一样的选法有( )．A．6种 B．12种 C．24种 D．30种解析分步完成．首先甲、乙两人从4门课程中同选1门，有4种方法，其次甲从剩下的3门课程中任选1门，有3种方法，最后乙从剩下的2门课程中任选1门，有2种方法，于是，甲、乙所选的课程中恰有1门一样的选法一共有4×3×2＝24(种)，应选C.答案 C4．(2021·)在某种信息传输过程中，用4个数字的一个排列(数字允许重复)表示一个信息，不同排列表示不同信息．假设所用数字只有0和1，那么与信息0110至多有两个对应位置上的数字一样的信息个数为( )．A．10 B．11 C．12 D．15解析假设4个位置的数字都不同的信息个数为1；假设恰有3个位置的数字不同的信息个数为C34；假设恰有2个位置上的数字不同的信息个数为C24，由分类计数原理知满足条件的信息个数为1＋C34＋C24＝11. 答案 B5．某电子元件是由3个电阻组成的回路，其中有4个焊点A、B、C、D，假设某个焊点脱落，整个电路就不通，如今发现电路不通了，那么焊点脱落的可能情况一共有________种．解析法一当线路不通时焊点脱落的可能情况一共有2×2×2×2－1＝15(种)．法二恰有i个焊点脱落的可能情况为C i4(i＝1,2,3,4)种，由分类计数原理，当电路不通时焊点脱落的可能情况一共C14＋C24＋C34＋C44＝15(种)．答案15考向一分类加法计数原理【例1】►(2021·全国)某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友一本，那么不同的赠送方法一共有( )．A．4种 B．10种 C．18种 D．20种[审题视点] 由于是两类不同的书本，故用分类加法计数原理．解析赠送一本画册，3本集邮册，一共4种方法；赠送2本画册，2本集邮册一共C24种方法，由分类计数原理知不同的赠送方法一共4＋C24＝10(种)．答案 B分类时，首先要确定一个恰当的分类HY，然后进展分类；其次分类时要注意完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类，并且分别属于不同种类的两种方法是不同的方法，只有满足这些条件，才可以用分类加法计数原理．【训练1】如下图，在连接正八边形的三个顶点而成的三角形中，与正八边形有公一共边的三角形有________个．解析把与正八边形有公一共边的三角形分为两类：第一类，有一条公一共边的三角形一共有8×4＝32(个)；第二类，有两条公一共边的三角形一共有8(个)．由分类加法计数原理知，一共有32＋8＝40(个)．答案40考向二分步乘法计数原理【例2】►(2021·)用数字2,3组成四位数，且数字2,3至少都出现一次，这样的四位数一共有________个(用数字答题)．[审题视点] 组成这个四位数须分4步完成，故用分步乘法计数原理．解析法一用2,3组成四位数一共有2×2×2×2＝16(个)，其中不出现2或者不出现3的一共2个，因此满足条件的四位数一共有16－2＝14(个)．法二满足条件的四位数可分为三类：第一类含有一个2，三个3，一共有4个；第二类含有三个2，一个3一共有4个；第三类含有二个2，二个3一共有C24＝6(个)，因此满足条件的四位数一共有2×4＋C24＝14(个)．答案14此类问题，首先将完成这件事的过程分步，然后再找出每一步中的方法有多少种，求其积．注意：各步之间互相联络，依次都完成后，才能做完这件事．简单说使用分步计数原理的原那么是步与步之间的方法“互相HY，逐步完成〞．【训练2】由数字1,2,3,4，(1)可组成多少个3位数；(2)可组成多少个没有重复数字的3位数；(3)可组成多少个没有重复数字的三位数，且百位数字大于十位数字，十位数字大于个位数字．解(1)百位数一共有4种排法；十位数一共有4种排法；个位数一共有4种排法，根据分步计数原理一共可组成43＝64个3位数．(2)百位上一共有4种排法；十位上一共有3种排法；个位上一共有2种排法，由分步计数原理一共可排成没有重复数字的3位数4×3×2＝24(个)．(3)排出的三位数分别是432、431、421、321，一共4个．考向三涂色问题【例3】►如图，用5种不同的颜色给图中A、B、C、D四个区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不同，求有多少种不同的涂色方法？[审题视点] 根据乘法原理逐块涂色，要注意在不相邻的区域内可使用同一种颜色．解法一如题图分四个步骤来完成涂色这件事：涂A有5种涂法；涂B有4种方法；涂C有3种方法；涂D有3种方法(还可以使用涂A的颜色)．根据分步计数原理一共有5×4×3×3＝180种涂色方法．法二由于A、B、C两两相邻，因此三个区域的颜色互不一样，一共有A35＝60种涂法；又D与B、C相邻、因此D有3种涂法；由分步计数原理知一共有60×3＝180种涂法．涂色问题的本质是分类与分步，一般是整体分步，分步过程中假设出现某一步需分情况说明时还要进展分类．涂色问题通常没有固定的方法可循，只能按照题目的实际情况，结合两个根本原理和排列组合的知识灵敏处理．【训练3】如下图，将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端异色，假如只有5种颜色可供使用，求不同的染色方法种数．解法一可分为两大步进展，先将四棱锥一侧面三顶点染色，然后再分类考虑另外两顶点的染色数，用分步乘法原理即可得出结论．由题设，四棱锥SABCD的顶点S、A、B所染的颜色互不一样，它们一共有5×4×3＝60种染色方法．当S、A、B染好时，不妨设其颜色分别为1、2、3，假设C染2，那么D可染3或者4或者5，有3种染法；假设C染4，那么D可染3或者5，有2种染法，假设C染5，那么D可染3或者4，有2种染法．可见，当S、A、B已染好时，C、D还有7种染法，故不同的染色方法有60×7＝420(种)．法二以S、A、B、C、D顺序分步染色第一步，S点染色，有5种方法；第二步，A点染色，与S在同一条棱上，有4种方法；第三步，B点染色，与S、A分别在同一条棱上，有3种方法；第四步，C点染色，也有3种方法，但考虑到D点与S、A、C相邻，需要针对A与C是否同色进展分类，当A与C同色时，D点有3种染色方法；当A与C不同色时，因为C与S、B也不同色，所以C点有2种染色方法，D点也有2种染色方法．由分步乘法、分类加法计数原理得不同的染色方法一共有5×4×3×(1×3＋2×2)＝420(种)．法三按所用颜色种数分类第一类，5种颜色全用，一共有A55种不同的方法；第二类，只用4种颜色，那么必有某两个顶点同色(A与C，或者B与D)，一共有2×A45种不同的方法；第三类，只用3种颜色，那么A与C、B与D必定同色，一共有A35种不同的方法．由分类加法计数原理，得不同的染色方法总数为A55＋2×A45＋A35＝420(种)．标准解答20——如何解决涂色问题【问题研究】涂色问题是由两个根本原理和排列组合知识的综合运用所产生的一类问题，这类问题是计数原理应用的典型问题，由于涂色本身就是策略的一个运用过程，能较好地考察考生的思维连接性与敏捷性，加之涂色问题的兴趣性，自然成为新课标高考的命题热点.【解决方案】涂色问题的关键是颜色的数目和在不相邻的区域内是否可以使用同一种颜色，详细操作法和按照颜色的数目进展分类法是解决这类问题的首选方法.【例如】► (本小题满分是12分)用红、黄、蓝、白、黑五种颜色涂在“田〞字形的4个小方格内，每格涂一种颜色，相邻两格涂不同的颜色，假如颜色可以反复使用，一共有多少种不同的涂色方法？颜色可以反复使用，即说明在不相邻的小方格内可以使用同一种颜色，首先确定第一个小方格的涂法，再考虑其相邻的两个小方格的涂法．1 23 4[解答示范] 如下图，将41个小方格可以从5种颜色中任取一种颜色涂上，有5种不同的涂法．(2分)①当第2个、第3个小方格涂不同颜色时，有A24＝12种不同的涂法，第4个小方格有3种不同的涂法．由分步计数原理可知，有5×12×3＝180种不同的涂法；(6分)②当第2个、第3个小方格涂一样颜色时，有4种涂法，由于相邻西格不同色，因此，第4个小方格也有4种不同的涂法，由分步计数原理可知．有5×4×4＝80种不同的涂法．(10分)由分类加法计数原理可得，一共有180＋80＝260种不同的涂法．(12分)在涂色问题中一定要看颜色是否可以重复使用，不允许重复使用的涂色问题实际上就是一般的排列问题，当颜色允许重复使用时，要充分利用两个计数原理分析解决问题．【试一试】(2021·)给n个自上而下相连的正方形着黑色或者白色．当n≤4时，在所有不同的着色方案中，黑色正方形互不相邻的着色方案如下列图所示：由此推断，当n＝6时，黑色正方形互不相邻的着色方案一共有__________种，至少有两个黑色正方形相邻的着色方案一共有________种．(结果用数值表示)[尝试解答] (1)当n＝6时，假如没有黑色正方形有1种方案，当有1个黑色正方形时，有6种方案，当有两个黑色正方形时，采用插空法，即两个黑色正方形插入四个白色正方形形成的5个空内，有C25＝10种方案，当有三个黑色正方形时，同上方法有C34＝4种方案，由图可知不可能有4个，5个，6个黑色正方形，综上可知一共有21种方案．(2)将6个正方形空格涂有黑白两种颜色，每个空格都有两种方案，由分步计数原理一一共有26种方案，本问所求事件为(1)的对立事件，故至少有两个黑色正方形相邻的方案有26－21＝43(种)．答案21 43本卷贰O贰贰年贰月捌日编写；出题人：令狐学复；欧阳化语；令狐理总。
