2018-2019学年人教B版必修四1.3.1正弦函数的图象与性质(四)学案

1.3.1正弦函数的图像与性质(第一课时) 正弦函数的图象教学目标：1．理解并掌握作正弦函数图象的方法．2．理解并熟练掌握用五点法作正弦函数简图的方法．3. 培养学生数形转化的能力。

教学重点：用单位圆中的正弦线作正弦函数的图象．教学难点：理解弧度值到x轴上点的对应。

开始时，教学过程要慢一些，让学生有一个形成正60进制，弧度用弧长（十进制）度量，再转化为x轴确概念的过程。

在小学度量角度使用的0上的有向长度。

实践证明，这个抽象过程对初学者有一定的难度。

授课类型：新授课课时安排：1课时教具：多媒体、实物投影仪概念形成正弦函数的图象用单位圆中的正弦线作正弦函数的图象（几何法）：为了作三角函数的图象，三角函数的自变量要用弧度制来度量，使自变量与函数值都为实数．在一般情况下，两个坐标轴上所取的单位长度应该相同，否则所作曲线的形状各不相同，从而影响初学者对曲线形状的正确认识．第一步：列表首先在单位圆中画出正弦线．在直角坐标系的x轴上任取一点1O，以1O为圆心作单位圆，从这个圆与x轴的交点A起把圆分成12等份（等份越多，作出的图象越精确），过圆上的各分点作x轴的垂线，可以得到对应于角6,0π，3π，2π,…，2π的角的。

正弦线（这等价于描点法中的列表）．第二步：描点．我们把x轴上从0到2π这一段（28.62≈π）分成12等份，每个分点分别对应于,2,,32,2,3,6,0πππππ⋅⋅⋅⋅⋅⋅=x分别过这些分点作这些弧度数对应的正弦线，（把角x的正弦线向右平行移动，使得正弦线的起点与x轴上相应的点x重合，则正弦线的终点就是正弦函数图象上的点．）第三步：连线，用光滑曲线把这些正弦线的终点连结起来，就得到正弦函数y=sinx，x∈[0，2π]的图象．以上我们作出了y=sinx，x∈[0，2π]的图象，因为Zkxkx∈=•+,sin)2sin(π所以正弦函数xy sin=在[][][]⋅⋅⋅⋅⋅⋅∈∈-∈πππππ6,4,4,2,0,2xxx学生作图，该过程中教师适时指点学生，并加强学生与学生之间的讨论与交流。

、
、能够认识以上这些函数与正弦函数
过正弦函数
、明确
的
函数，
，称为
单位时间内往复振动的次数，
动的频率；
在函数中，
的图
的五
图象
的图象
倍得到的
为振幅变换
)
)的简图
X-
X+
其中
｜个单位长度而得到
置不一样，这一变换称为相位变换＝
sin＝
的图象
（当
（当
平移
sin
再作图
换称为周期变换
(ω>1
或伸长
1若将某函数的图象向右平移以后所得到的图象的函数式是
A＋)
y－D)
2＋
A向右平移个单位，横坐标缩小到原来的
B向左平移个单位，横坐标缩小到原来的
C向右平移个单位，横坐标扩大到原来的倍，纵坐标缩小到原来的向左平移个单位，横坐标缩小到原来的倍，纵坐标缩小到原来的
正弦型函数
=
＋的简图
=sin的图象（简图）。

1.3 三角函数的图象与性质 1.3.1 正弦函数的图象与性质 第一课时 正弦函数的图象与性质3．了解周期函数的概念．(易错点)1．正弦函数的图象(1)正弦函数y ＝sin x ，x ∈R 的图象叫做正弦曲线．我们用“五点法”作出y ＝sin x ，x ∈R 的图象如下图．其中在x ∈[0,2π]的图象起关键作用的五个点分别为(0,0)，⎝⎛⎭⎪⎫π2，1，(π，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，－1，(2π，0)．【自主测试1】y ＝－sin x 的图象的大致形状是图中的( )答案：C2．正弦函数的性质 (1)定义域：R .(2)值域：[－1,1]，当且仅当x ＝2k π＋π2(k ∈Z )时，正弦函数取得最大值1；当且仅当x ＝2k π－π2(k ∈Z )时，正弦函数取得最小值－1.(3)周期性：最小正周期为2π.(4)奇偶性：奇函数，正弦曲线关于原点对称．(5)单调性：正弦函数在每一个闭区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2＋2k π，π2＋2k π(k ∈Z )上，都从－1增大到1，是增函数；在每一个闭区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋2k π，3π2＋2k π(k ∈Z )上，都从1减小到－1，是减函数．【自主测试2】函数y ＝sin x (0＜x ≤2π)的值域是__________． 答案：[－1,1] 3．周期函数一般地，对于函数f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得定义域内的每一个x 值，都满足f (x ＋T )＝f (x )，那么函数f (x )就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期．对于一个周期函数f (x )，如果在它的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做它的最小正周期．今后本书所涉及到的周期，如果不加特殊说明，三角函数的周期均指最小正周期．是否所有的周期函数都有最小正周期？请举例说明．答：一个周期函数的周期不止一个，若有最小正周期的话，则最小正周期只有一个，并不是每一个周期函数都有最小正周期，如f (x )＝a (a 为常数)就没有最小正周期．【自主测试3】f (x )＝sin x ，x ∈R 是( ) A ．最小正周期为2π的偶函数 B ．最小正周期为2π的奇函数C ．最小正周期为π2的偶函数D ．最小正周期为π2的奇函数解析：由正弦函数的性质，可知f (x )的最小正周期为2π.又由f (－x )＝sin(－x )＝－sin x ＝－f (x )，得f (x )是奇函数．答案：B1．探讨正弦函数图象的对称性剖析：因为y ＝sin x 为奇函数，所以其图象关于原点成中心对称，除了这个中心对称点之外，对于正弦函数图象，将y 轴左移或右移π个单位长度，2π个单位长度，3π个单位长度，…，即k π(k ∈Z )个单位长度，正弦函数的图象的对称中心也可以是点(π，0)，点(2π，0)，…，点(k π，0)(k ∈Z )，由此可知正弦函数的图象有无数个对称中心，且为(k π，0)(k ∈Z )，它们是图象与x 轴的交点．正弦函数的图象也具有轴对称性，对称轴为x ＝k π＋π2(k ∈Z )，它们是过图象的最高点或最低点且与x 轴垂直的直线． 2．对周期函数概念的理解剖析：对于周期函数概念的理解要注意以下几个方面：①“f (x ＋T )＝f (x )”是定义域内的恒等式，即对定义域内的每一个x 的值，x ＋T 仍在定义域内且等式成立．②从等式“f (x ＋T )＝f (x )”来看，应强调是自变量x 本身加的非零常数T 才是周期．例如f (2x ＋T )＝f (x )恒成立，但T 不是f (x )的周期．③周期函数的周期不是唯一的，如果T 是函数f (x )的周期，那么kT (k ∈Z ，k ≠0)也一定是函数f (x )的周期．④周期函数的定义域不一定是R ，但一定是无限集．⑤对于周期函数来说，如果所有的周期中存在一个最小的正数，就称它为最小正周期．但是并不是所有周期函数都存在最小正周期．3．教材中的“？”(1)请同学们观察下图，说明将函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象怎样变换就能得到函数y ＝1＋sin x ，x ∈[0,2π]的图象．剖析：函数y ＝sin x ――------------→横坐标不变，将所有点的纵坐标增加1y ＝sin x ＋1(也可以说，将函数y ＝sin x 的图象向上平移1个单位长度，便可得到函数y ＝sin x ＋1的图象)．(2)请同学们自己动手推导：函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(其中A ≠0，ω＞0，x ∈R )的周期为T ＝2πω.剖析：设u ＝ωx ＋φ，因为y ＝sin u 的周期是2π， 所以sin(u ＋2π)＝sin u ，即sin[(ωx ＋φ)＋2π]＝sin(ωx ＋φ)＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ω⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2πω＋φ.这说明，当自变量由x 增加到x ＋2πω，且必须增加到x ＋2πω时，函数值重复出现．因此y ＝A sin(ωx ＋φ)的周期T ＝2πω.由此可知该函数的周期仅与自变量的系数有关，公式为T ＝2πω.说明：若没有ω＞0这个条件，则周期T ＝2π|ω|.归纳总结除定义法外，求三角函数周期的方法还有以下两种．(1)公式法：对于y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ是常数，且A ≠0，ω≠0)，T ＝2π|ω|.(2)观察法(图象法)：画出函数图象，观察图象可得函数周期．题型一 用“五点法”画有关正弦函数的图象【例题1】用“五点法”作出y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2的图象．分析：先把x ＋π2看成一个整体，取出一个周期内的五个关键点，再求出相应的x ，然后求出y .解：在直角坐标系中描出表中的五个关键点，并用光滑的曲线连接，然后向两边扩展，得下图所示的图象，即为所求作的图象．反思在利用关键的五个点描点作图时要注意被这五个点分隔的区间上函数的变化情况，在x ＋π2＝π，2π附近，函数增加或下降得快一些，曲线“陡”一些；在x ＋π2＝π2，3π2，5π2附近，函数变化得慢一些，曲线“平缓”一些． 题型二 讨论有关正弦函数的性质【例题2】讨论y ＝－12sin x ＋12的性质．分析：讨论有关正弦函数的性质，应结合图象并从定义域、值域、最值、奇偶性、周期性、单调性等几方面入手．解：先用“五点法”作出y ＝－12sin x ＋12的图象，如下图．由图象去分析函数的性质，如下：(1)定义域：R . (2)值域：[0,1]．(3)最值：当x ＝π2＋2k π(k ∈Z )时，取最小值0；当x ＝－π2＋2k π(k ∈Z )时，取最大值1.(4)奇偶性：是非奇非偶函数． (5)周期性：最小正周期为2π.(6)单调性：在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π2，2k π＋3π2(k ∈Z )上是增函数； 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z )上是减函数． 反思通过三角函数图象可以使那些原本较复杂的数量关系、抽象的概念等显得直观，以此达到化难为易的效果．题型三 正弦函数性质的简单应用 【例题3】判断下列函数的奇偶性：(1)f (x )＝x sin(π＋x )；(2)f (x )＝1－sin x1＋sin x.分析：利用函数奇偶性的定义进行判断． 解：(1)函数的定义域为R ，关于原点对称． 又∵f (x )＝x sin(π＋x )＝－x sin x ，∴f (－x )＝－(－x )sin(－x )＝－x sin x ＝f (x )， ∴f (x )是偶函数．(2)∵函数应满足1＋sin x ≠0，∴函数的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ∈R ，且x ≠2k π＋3π2，k ∈Z. ∴函数的定义域不关于原点对称．∴该函数既不是奇函数也不是偶函数．反思函数的定义域是判断函数奇偶性的前提，即首先要看定义域是否关于原点对称，再看f (－x )与f (x )的关系．【例题4】求函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋2x 的单调递增区间． 分析：把“π3＋2x ”整体换元，代入正弦函数y ＝sin x 的单调区间，求出x 即可．解：设t ＝π3＋2x ，则t ＝π3＋2x 是关于x 的增函数，而y ＝sin t 的单调递增区间为t∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z )． 故2x ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z )．解得x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－5π12，k π＋π12(k ∈Z )． 因此函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋2x 的单调递增区间为 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－5π12，k π＋π12(k ∈Z )． 反思如果x 的系数是负值，可利用诱导公式先化成正值，再整体代换．〖互动探究〗若将本例中的函数改为y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x ，求其单调递增区间． 解：∵y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x ＝－2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3， ∴只需求出y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的单调递减区间． 令2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π2，2k π＋3π2(k ∈Z )，解得x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋5π12，k π＋11π12(k ∈Z )． 因此函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x 的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋5π12，k π＋11π12(k ∈Z )．1．函数f (x )＝sin x2是( )A ．周期为4π的奇函数B ．周期为π的偶函数C ．周期为π2的奇函数D ．周期为2π的偶函数 答案：A2．下列函数的图象与下图中曲线一致的是( )A ．y ＝|sin x |B ．y ＝12|sin x |＋12C ．y ＝|sin 2x |D ．y ＝|sin 2x |＋12答案：B3．比较大小：(1)sin 74__________cos 53；(2)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π18__________sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π10. 解析：(1)∵cos 53＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋53， 又π2＜74＜π2＋53＜3π2，但y ＝sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，3π2上是减函数，∴sin 74＞sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋53＝cos 53， 即sin 74＞cos 53.(2)∵－π2＜－π10＜－π18＜0，且y ＝sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0上是增函数， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π18＞sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π10. 答案：(1)＞ (2)＞4．若x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的最大值为__________，相应的x 值为__________．解析：∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，∴2x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4.故当2x ＋π4＝π2，即x ＝π8时，y 取最大值 2.答案： 2 π85．判断下列函数的奇偶性：(1)f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x 4＋3π2；(2)f (x )＝1－sin x ＋sin x －1.解：(1)f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x 4＋3π2＝－cos 3x 4，x ∈R .又f (－x )＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3x 4＝－cos 3x 4＝f (x )， 故函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x 4＋3π2是偶函数．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧1－sin x ≥0，sin x －1≥0，得sin x ＝1，故f (x )＝0，x ∈⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ＝2k π＋π2，k ∈Z .故函数f (x )＝1－sin x ＋sin x －1是非奇非偶函数．6．求函数y ＝2cos 2x ＋5sin x －4的最大值和最小值．解：y ＝2cos 2x ＋5sin x －4＝－2sin 2x ＋5sin x －2＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x －542＋98. ∵sin x ∈[－1,1]，∴当sin x ＝－1，即x ＝2k π－π2(k ∈Z )时，y 有最小值－9；当sin x ＝1，即x ＝2k π＋π2(k ∈Z )时，y 有最大值1.。

正弦函数的图象与性质1.能正确使用“五点法”、“几何法”作出正弦函数的图象.(难点)2.理解正弦函数的性质，会求正弦函数的最小正周期、奇偶性、单调区间及最值.(重点)[基础·初探]教材整理1 正弦函数的图象阅读教材P 37～P 38“例1”以上部分，完成下列问题.1.利用正弦线可以作出y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象，要想得到y ＝sin x (x ∈R )的图象，只需将y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象沿x 轴平移±2π，±4π…即可，此时的图象叫做正弦曲线.2.“五点法”作y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象时，所取的五点分别是(0,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1，(π，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫32π，－1和(2π，0).判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)正弦函数的图象向左右是无限伸展的.( )(2)正弦函数y ＝sin x 的图象在x ∈[2k π，2k π＋2π]，(k ∈Z )上的图象形状相同，只是位置不同.( )(3)正弦函数y ＝sin x (x ∈R )的图象关于x 轴对称.( ) (4)正弦函数y ＝sin x (x ∈R )的图象关于原点成中心对称.( ) 【解析】 由正弦曲线的定义可知只有(3)错误. 【答案】 (1)√ (2)√ (3)× (4)√ 教材整理2 正弦函数的性质阅读教材P 39～P 40“例2”以上部分，完成下列问题. 1.函数的周期性(1)周期函数：对于函数f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得定义域内的每一个x 值，都满足f (x ＋T )＝f (x )，那么函数f (x )就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期.(2)最小正周期：对于一个周期函数f (x )，如果在它的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做它的最小正周期.2.正弦函数的性质单调性在⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z )上递增； 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π2，2k π＋32π(k ∈Z )上递减 最值x ＝2k π＋π2，(k ∈Z )时，y 最大值＝1；x ＝2k π－π2(k ∈Z )时，y 最小值＝－1函数y ＝A.x ＝π2B.x ＝π4C.x ＝0D.x ＝π【解析】 y ＝sin x 的对称轴是x ＝k π＋π2(k ∈Z )，∴应选A.【答案】 A[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：_________________________________________________________ 解惑：_________________________________________________________ 疑问2：_________________________________________________________ 解惑：_________________________________________________________ 疑问3：_________________________________________________________ 解惑：_________________________________________________________ 疑问4：_________________________________________________________ 解惑：_________________________________________________________[小组合作型]五点法作函数的图象作函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]与函数y ＝－1＋sin x ，x ∈[0,2π]的简图，并研究它们之间的关系.【导学号：】【精彩点拨】 可以用“五点法”原理在同一坐标系中作出两函数的图象，然后比较它们的关系.【自主解答】 按五个关键点列表：x 0π2πsin x 0 1 0 －1 0 －1＋sin x－1－1－2－1利用正弦函数的性质描点作图，如图：由图象可以发现，把y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象向下平移1个单位长度即可得y ＝－1＋sin x ，x ∈[0,2π]的图象.1.五点法作图，要抓住五个关键点，使函数式中的x 依次取0，π2，π，32π，2π，然后解出相应的y 值，再描点，连线得出图象.2.y ＝sin x ±b 的图象可以由y ＝sin x 的图象上、下平移获得. [再练一题]1.作出函数y ＝1＋sin x (x ∈[0,2π])的简图. 【解】 列表：x 0 π 32π 2π y1211描点连线：求三角函数的周期求下列函数的最小正周期.(1)y ＝sin 12x ；(2)y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3－π6. 【精彩点拨】 求周期的方法可以用诱导公式sin(x ＋2k π)＝sin x 得到.【自主解答】 (1)如果令u ＝12x ，则sin 12x ＝sin u 是周期函数，且最小正周期为2π.∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋2π＝sin 12x ，即sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12x ＋4π＝sin 12x . ∴y ＝sin 12x 的最小正周期是4π.(2)∵2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3－π6＋2π＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3－π6， 即2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤13x ＋6π－π6＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3－π6，∴y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3－π6的最小正周期是6π. 用定义求周期时应注意，从等式f (x ＋T )＝f (x )来看，应强调是自变量x 本身加的常数才是周期，如：f (2x ＋T )＝f (2x )，T 不是周期，要写成f (2x ＋T )＝f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋T 2＝f (2x )，T2是f (x )的周期. [再练一题]2.求下列函数的周期：(1)y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3；(2)y ＝|sin x |. 【解】 (1)∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋2π，即sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π＋π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3， ∴y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的最小正周期是π. (2)令f (x )＝|sin x |，则f (k π＋x )＝|sin(k π＋x )|＝|±sin x |＝|sin x |＝f (x )(k∈Z 且k ≠0).∴k π是函数f (x )的周期，则最小正周期为π.正弦函数的单调性及应用已知函数f (x )＝sin x －1.(1)写出f (x )的单调区间；(2)求f (x )的最大值和最小值及取得最值时x 的集合；(3)比较f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π18与f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12的大小. 【精彩点拨】 结合正弦函数的单调性及单调区间求解即可.【自主解答】 (1)∵函数f (x )＝sin x －1与g (x )＝sin x 的单调区间相同， ∴f (x )＝sin x －1的增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z )，减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π2，2k π＋32π(k ∈Z ).(2)∵函数g (x )＝sin x ，当x ＝2k π＋π2(k ∈Z )时，取最大值1，当x ＝2k π＋32π(k ∈Z )时，取最小值－1.∴函数f (x )＝sin x －1，当x ＝2k π＋π2(k ∈Z )时，取最大值0，当x ＝2k π＋32π(k ∈Z )时，取最小值－2.(3)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π18＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π18－1， f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12－1， ∵－π2＜－π12＜－π18＜π2，且y ＝sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上是增函数， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12＜sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π18. ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π18＞f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12. 1.求正弦函数的单调区间和最值时要联系正弦函数的图象，同时注意三角函数的周期性.2.比较三角函数值的大小时，需要把角化为同一单调区间上的同名三角函数，然后用三角函数的单调性即可，如果角不在同一单调区间上，一般用诱导公式进行转化，然后再比较.[再练一题] 3.比较大小：(1)sin 250°与sin 260°；(2)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－235π与sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－174π. 【解】 (1)sin 250°＝sin(180°＋70°)＝－sin 70°，sin 260°＝sin(180°＋80°)＝－sin 80°，因为0°＜70°＜80°＜90°，且函数y ＝sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2是增函数，所以sin 70°＜sin 80°，所以－sin 70°＞－sin 80°，即sin 250°＞sin 260°.(2)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23π5＝－sin 23π5＝－sin 3π5＝－sin ⎝⎛⎭⎪⎫π－2π5＝－sin 2π5，sin ⎝⎛⎭⎪⎫－17π4＝－sin 17π4＝－sin π4. 因为0＜π4＜2π5＜π2，且函数y ＝sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2是增函数，所以sin π4＜sin 2π5，－sin π4>－sin 2π5，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23π5＜sin ⎝⎛⎭⎪⎫－17π4.[探究共研型]正弦函数的值域与最值问题探究1 函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋4在x ∈[0，π]上最小值能否为－1?【提示】 不能.因为x ∈[0，π]，所以x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，5π4，由正弦函数图象可知函数的最小值为－22. 探究2 函数y ＝A sin x ＋b ，x ∈R 的最大值一定是A ＋b 吗？【提示】 不是.因为A >0时最大值为A ＋b ，若A <0时最大值应为－A ＋b .求下列函数的值域.(1)y ＝3＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3； (2)y ＝1－2sin 2x ＋sin x .【精彩点拨】 (1)用|sin α|≤1构建关于y 的不等式，从而求得y 的取值范围. (2)用t 代替sin x ，然后写出关于t 的函数，再利用二次函数的性质及|t |≤1即可求出y 的取值范围.【自主解答】 (1)∵－1≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3≤1，∴－2≤2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3≤2，∴1≤2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3＋3≤5， ∴1≤y ≤5，即函数y ＝3＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的值域为[1,5].(2)y ＝1－2sin 2x ＋sin x ， 令sin x ＝t ，则－1≤t ≤1，y ＝－2t 2＋t ＋1＝－2⎝⎛⎭⎪⎫t －142＋98.由二次函数y ＝－2t 2＋t ＋1的图象可知－2≤y ≤98，即函数y ＝1－2sin 2x ＋sin x 的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2，98.1.换元法，旨在三角问题代数化，要防止破坏等价性.2.转化成同一函数，要注意不要一见sin x 就有－1≤sin x ≤1，要根据x 的范围确定. [再练一题]4.设|x |≤π4，求函数f (x )＝cos 2x ＋sin x 的最小值.【解】 f (x )＝cos 2x ＋sin x ＝1－sin 2x ＋sin x ＝－⎝⎛⎭⎪⎫sin x －122＋54. ∵|x |≤π4，∴－22≤sin x ≤22，∴当sin x ＝－22时取最小值为1－22. 1.以下对于正弦函数y ＝sin x 的图象描述不正确的是( )A.在x ∈[2k π，2k π＋2π]，k ∈Z 上的图象形状相同，只是位置不同B.关于x 轴对称C.介于直线y ＝1和y ＝－1之间D.与y 轴仅有一个交点【解析】 观察y ＝sin x 图象可知A ，C ，D 正确，且关于原点中心对称，故选B. 【答案】 B2.下列图象中，是y ＝－sin x 在[0,2π]上的图象的是( )【解析】 由y ＝sin x 在[0,2π]上的图象作关于x 轴的对称图形，应为D 项. 【答案】 D 3.点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，－m 在函数y ＝sin x 的图象上，则m 等于( ) A.0 B.1 C.－1D.2【解析】 由题意－m ＝sin π2，∴－m ＝1，∴m ＝－1.【答案】 C4.若sin x ＝2m ＋1且x ∈R ，则m 的取值范围是__________.【导学号：】【解析】 因为－1≤sin x ≤1，sin x ＝2m ＋1，所以－1≤2m ＋1≤1，解得－1≤m ≤0. 【答案】 [－1,0]5.(2016·西安高一检测)用五点法画出函数y ＝－2sin x 在区间[0,2π]上的简图. 【解】 列表：描点、连线得y 我还有这些不足：(1)_________________________________________________________ (2)_________________________________________________________ 我的课下提升方案：(1)_________________________________________________________ (2)_________________________________________________________学业分层测评(八) (建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1.函数y ＝sin|x |的图象是( )【解析】 ∵函数y ＝sin|x |是偶函数，且x ≥0时，sin|x |＝sin x .故应选B. 【答案】 B2.(2016·济南高一检测)函数y ＝|sin x |的一个单调递增区间是( ) A.⎝⎛⎭⎪⎫π2，πB.(π，2π)C.⎝⎛⎭⎪⎫π，3π2D.(0，π)【解析】 作出函数y ＝|sin x |的图象，如图，观察图象知C 正确， 故选C. 【答案】 C3.在[0,2π]内，不等式sin x <－32的解集是( ) 【导学号：】A.(0，π)B.⎝⎛⎭⎪⎫π3，4π3C.⎝⎛⎭⎪⎫4π3，5π3D.⎝⎛⎭⎪⎫5π3，2π【解析】 画出y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的草图如下： 因为sin π3＝32，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋π3＝－32，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π－π3＝－32. 即在[0,2π]内，满足sin x ＝－32的是x ＝4π3或x ＝5π3. 可知不等式sin x <－32的解集是⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3，5π3.【答案】 C4.(2016·兰州高一检测)设a ＞0，对于函数f (x )＝sin x ＋asin x (0＜x ＜π)，下列结论正确的是( )A.有最大值而无最小值B.有最小值而无最大值C.有最大值且有最小值D.既无最大值又无最小值【解析】 因为0＜x ＜π，所以0＜sin x ≤1，1sin x ≥1，所以函数f (x )＝sin x ＋a sin x＝1＋asin x有最小值而无最大值，故选B.【答案】 B5.函数y ＝sin(2x ＋φ)(0≤φ≤π)是R 上的偶函数，则φ的值是( ) A.0 B.π4C.π2D.π【解析】 当φ＝π2时，y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝cos 2x ，而y ＝cos 2x 是偶函数，故选C. 【答案】 C 二、填空题6.y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3(ω＞0)的周期是23π，则ω＝________.【解析】 根据题意有sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ω⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2π3＋π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3， sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋2πω3＋π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3， ∴2π3ω＝2π， ∴ω＝3. 【答案】 37.函数y ＝log 2(sin x )的定义域为________.【解析】 据题意知sin x ＞0，得x ∈(2k π，2k π＋π)(k ∈Z ). 【答案】 (2k π，2k π＋π)(k ∈Z )8.(2016·杭州高一检测)若x 是三角形的最小角，则y ＝sin x 的值域是________. 【解析】 由三角形内角和为π知， 若x 为三角形中的最小角， 则0＜x ≤π3，由y ＝sin x 图象知y ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，32. 【答案】 ⎝ ⎛⎦⎥⎤0，32 三、解答题9.定义在R 上的函数f (x )既是偶函数又是周期函数，若f (x )的最小正周期是π，且当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f (x )＝sin x ，求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3的值.【解】 ∵f (x )的最小正周期是π， ∴f ⎝⎛⎭⎪⎫5π3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3－2π＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3. ∵f (x )是R 上的偶函数，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝sin π3＝32，∴f ⎝⎛⎭⎪⎫5π3＝32.10.已知函数f (x )＝2a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋b 的定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，最大值为1，最小值为－5，求a 和b 的值.【解】 ∵0≤x ≤π2，∴－π3≤2x －π3≤23π， ∴－32≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3≤1，易知a ≠0. 当a >0时，最大值为2a ＋b ＝1，最小值为－3a ＋b ＝－5.由⎩⎨⎧ 2a ＋b ＝1，－3a ＋b ＝－5，解得⎩⎨⎧a ＝12－63，b ＝－23＋12 3. 当a <0时，最大值为－3a ＋b ＝1， 最小值为2a ＋b ＝－5. 由⎩⎨⎧ －3a ＋b ＝1，2a ＋b ＝－5，解得⎩⎨⎧a ＝－12＋63，b ＝19－12 3. [能力提升]1.函数y ＝sin(－x )，x ∈[0,2π]的简图是( )【解析】 因为y ＝sin(－x )＝－sin x ，x ∈[0,2π]的图象可看作是由y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象关于x 轴对称得到的.故选B.【答案】 B2.直线x sin α＋y ＋2＝0的倾斜角的取值范围是________.【解析】 ∵sin α∈[－1,1]，∴－sin α∈[－1,1]，∴已知直线的斜率范围为[－1,1]，由倾斜角与斜率关系得倾斜角范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π 【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π 3.已知直线y ＝a ，函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]，试探求以下问题.(1)当a 为何值时，直线y ＝a 与函数y ＝sin x 的图象只有一个交点？(2)当a 为何值时，直线与函数图象有两个交点？(3)当a 为何值时，直线与函数图象有三个交点？(4)当a 为何值时，直线与函数图象无交点？【解】 作出直线y ＝a ，与函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象(如图所示)，由图象可知.(1)当a ＝1或－1时，直线与函数图象只有一个交点.(2)当－1＜a ＜0或0＜a ＜1时，直线与函数图象有两个交点.(3)当a ＝0时，直线与函数图象有三个交点.(4)当a＜－1或a＞1时，直线与函数图象无交点.。

正弦函数的图象与性质教学设计一. 教材分析《正弦函数的图象与性质》是高中新教材人教B版必修第四册的内容，作为函数，它是已学过的一次函数、二次函数、指数函数与对数函数的后继内容，是在已有三角函数线知识的基础上，来研究正弦函数的图象与性质的，它是学习三角函数图象与性质的入门课，是今后研究余弦函数、正切函数的图象与性质、正弦型函数的图象的知识基础和方法准备。

因此，本节的学习在全章中乃至整个函数的学习中具有极其重要的地位与作用。

本节共分三个课时，本课为第一课时，主要是利用正弦线画出的图象，考察图象的特点，用“五点作图法”画正弦函数图象简图，并掌握与正弦函数有关的简单的图象平移变换和对称变换；再利用图象研究正弦函数的部分性质（定义域、值域等）。

二. 学情分析本课的学习对象为高二下学期的学生，他们经过近一年半的高中学习，已具有一定的学习基础和分析问题、解决问题的能力，思维活跃、想象力丰富、乐于尝试、勇于探索，学习欲望强的学习特点。

三. 教学目标根据《高中数学教学大纲》的要求和教学内容的结构特征，依据学生学习的心理规律和素质教育的要求，结合学生的实际水平，制定本节课的教学目标如下：（一）知识目标学会用单位圆中的正弦线画出正弦函数的图象，通过对正弦线的复习，来发现几何作图与描点作图之间的本质区别，以培养运用已有数学知识解决新问题的能力。

（二）能力目标1. 会用单位圆中的正弦线画出正弦函数图象；2. 掌握正弦函数图象的“五点作图法”；3. 掌握与正弦函数有关的简单图象平移变换和对称变换；5. 培养观察能力、分析能力、归纳能力和表达能力；6. 培养数形结合和化归转化的数学思想方法。

（三）情感目标1. 培养学生合作学习和数学交流的能力；2. 培养学生勇于探索、勤于思考的科学素养；3. 渗透由抽象到具体的思想，使学生理解动与静的辩证关系，培养辩证唯物主义观点。

四. 教学重点、难点教学重点：“五点法”画长度为一个周期的闭区间上的正弦函数图象；教学难点：运用几何法画正弦函数图象。

1．3 三角函数的图象与性质 1．3.1 正弦函数的图象与性质(一)[学习目标] 1.了解利用单位圆中的正弦线画正弦曲线的方法.2.掌握“五点法”画正弦曲线的步骤和方法，能用“五点法”作出简单的正弦曲线．[知识链接]1．在如图所示的单位圆中，角α的正弦线、余弦线分别是什么？ 答 sin α＝MP ；cos α＝OM .2．设实数x 对应的角的正弦值为y ，则对应关系y ＝sin x 就是一个函数，称为正弦函数；正弦函数的定义域是什么？ 答 正弦函数的定义域是R .3．作函数图象最基本的方法是什么？其步骤是什么？答 作函数图象最基本的方法是描点法，其步骤是列表、描点、连线． [预习导引]1．正弦函数图象的画法 (1)几何法—借助三角函数线． (2)描点法—五点法函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象上起关键作用的点有以下五个：(0,0)，⎝⎛⎭⎫π2，1，(π，0)，⎝⎛⎭⎫32π，－1，(2π，0)．(3)利用五点法作函数y ＝A sin x (A >0)的图象时，选取的五个关键点依次是：(0,0)，⎝⎛⎭⎫π2，A ，(π，0)，⎝⎛⎭⎫32π，－A ，(2π，0)． 2．正弦曲线的简单变换(1)函数y ＝－sin x 的图象与y ＝sin x 的图象关于x 轴对称； (2)函数y ＝sin x 与y ＝sin x ＋k 图象间的关系．当k >0时，把y ＝sin x 的图象向上平移k 个单位得到函数y ＝sin x ＋k 的图象；当k<0时，把y＝sin x的图象向下平移|k|个单位得到函数y＝sin x＋k的图象.要点一用“五点法”作正弦函数的图象例1利用“五点法”作出函数y＝1－sin x(0≤x≤2π)的简图．解列表：描点作图，如图所示：规律方法作正弦曲线要理解几何法作图，掌握五点法作图．“五点”即y＝sin x的图象在[0,2π]上的最高点、最低点和与x轴的交点．“五点法”是作简图的常用方法．跟踪演练1用“五点法”作出下列函数的简图：(1)y＝sin x－1，x∈[0,2π]；(2)y＝－sin x(0≤x≤2π)．解(1)列表：描点连线，如图：(2)列表：描点作图，如图：要点二 正弦函数图象的应用例2 方程sin x ＝lg x 的解的个数是________． 答案 3解析 用五点法画出函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象，再依次向左、右连续平移2π个单位，得到y ＝sin x 的图象．描出点⎝⎛⎭⎫110，－1，(1,0)，(10,1)并用光滑曲线连接得到y ＝lg x 的图象，如图所示． 由图象可知方程sin x ＝lg x 的解有3个．规律方法 利用三角函数图象能解决求方程解的个数问题，也可利用方程解的个数(或两函数图象的交点个数)求字母参数的范围问题．跟踪演练2 函数f (x )＝sin x ＋2|sin x |，x ∈[0,2π]的图象与直线y ＝k 有且仅有两个不同的交点，求k 的取值范围．解 f (x )＝sin x ＋2|sin x |＝⎩⎪⎨⎪⎧3sin x ，x ∈[0，π]，－sin x ，x ∈(π，2π].图象如图，若使f (x )的图象与直线y ＝k 有且仅有两个不同的交点，根据上图可得k 的取值范围是(1,3)． 要点三 利用三角函数图象求函数的定义域 例3 求函数y ＝log 21sin x－1的定义域．解 为使函数有意义，需满足 ⎩⎪⎨⎪⎧log 21sin x －1≥0，sin x >0，即⎩⎪⎨⎪⎧sin x ≤12，sin x >0.正弦函数图象如图所示，∴定义域为x 2k π<x ≤2k π＋π6，k ∈Z ∪x 2k π＋5π6≤x <2k π＋π，k ∈Z .规律方法 求三角函数定义域时，常常归结为解三角不等式组，这时可利用三角函数的图象或单位圆中三角函数线直观地求得解集．跟踪演练3 方程sin x ＝1－a 2在x ∈[π3，π]上有两个实数解，求a 的取值范围．解 设y 1＝sin x ，x ∈[π3，π]，y 2＝1－a 2.y 1＝sin x ，x ∈[π3，π]的图象如图．由图象可知，当32≤1－a 2<1，即－1<a ≤1－3时，y ＝sin x ，x ∈[π3，π]的图象与y ＝1－a 2的图象有两个交点，即方程sin x ＝1－a 2在x ∈[π3，π]上有两个实数解.1．方程2x ＝sin x 的解的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．无穷多 答案 D2．函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象与直线y ＝－12的交点有________个．答案 2解析 如图所示．3．求函数y ＝2sin x ＋1的定义域． 解 要使y ＝2sin x ＋1有意义，则必须满足2sin x ＋1≥0，即sin x ≥－12.结合正弦曲线或三角函数线，如图所示：知函数y ＝2sin x ＋1的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2k π－π6≤x ≤2k π＋7π6，k ∈Z .4．用“五点法”画出函数y ＝12＋sin x ，x ∈[0,2π]的简图．解 取值列表如下：描点、连线，如图所示．1.正弦曲线在研究正弦函数的性质中有着非常重要的应用，是运用数形结合思想解决三角函数问题的基础．2．五点法是画三角函数图象的基本方法，要熟练掌握，与五点法作图有关的问题是高考常考知识点之一．。

《正弦函数图象及其性质》教学设计学校：人大附中姓名：崔鹏学科：数学年级：高一1.3.1 正弦函数图象及其性质中国人民大学附属中学崔鹏●指导思想与理论依据本教学设计力图以《高中数学课程标准》为依据，以“师生互动教学”为指导，以教师主导、学生主体为理念，以信息技术融入学科结合动手操作教学为手段，以课堂为依托来实现教学目标．《高中数学课程标准》指导下的新教材将突破以知识块为主线，而以基本的数学思想方法为主线来选择和安排教学内容，强调数的意识、空间观念、优化思想、统计思想、方程与函数思想、估计意识、推理意识和应用意识，强调从运算意义出发进行思考和教学，强调密切联系学生的生活．目的是让学生通过基础知识和基本技能的学习，学会从数学的角度提出问题、理解问题，能综合应用所学的知识和技能解决问题，发展应用意识．学生学习，尤其是新授课教与学应当是一个生动活泼、主动的和富有个性的过程．认真听讲、积极思考、动手实践，自主探索、合作交流都是学习数学的重要方式．因此，本节课采用小组合作是学生喜闻乐见的形式，让学生从小组合作探究开始进入学习，可以让学生在合作的过程体验学习的快乐，旨在为学生提供对新知识的认识角度，结合生活实际解决教学难点，从而启发学生的创新性思维．●教学背景分析内容分析本节内容是高中数学人教B版教材《必修四》第一章第三节第一课时内容．三角函数是高中数学范围内学生接触的最后一类基本初等函数，而正弦函数是其中最具代表性的函数．学生通过必修一的学习，已经初步掌握了研究函数的一种基本方法，即通过图象研究函数的性质，通过简单的函数性质修正函数的图象．学情分析在本节课前，学生已经接触了弧度制、任意角三角函数定义、同角三角函数基本关系式和诱导公式等知识，并通过三角函数线初次体会了三角函数“形”的概念，那么，建立正弦函数与其自变量之间的映射关系并抽象为函数图象是本节课的难点．教学方法（1）通过正弦线的变化趋势，让学生建立直观的函数变化趋势，初步总结归纳出正弦函数性质；（2）通过描点，帮助学生建立角的弧度值到坐标轴的对应关系，以实物教具的方式，让学生动手将弧长转化为数；（3）通过描点、分析、实物帮助作图到五点法，使学生逐步深入地了解正弦函数的图象形状，养成五点作图的习惯，并通过练习落实；（4）本节课将以多媒体、实物教具辅助教学的手段，通过小组合作、归纳探究、展示评价的方式展开，培养学生的自主思考能力和动手实操能力．●教学目标与重点、难点设计教学目标1．知识目标：理解正弦函数的性质，能正确使用“五点法”、“几何法”作出正弦函数的图象；2、过程目标：通过研究三角函数的性质和图象，进一步体会研究函数的基本方法，学会通过函数的性质作出函数草图，通过函数图象推演函数的性质的过程；3、情感目标：通过图象的学习，培养由局部到整体，具体到抽象的思维方法，从而达到从感性认识到理性认识的飞跃．教学重点：正弦函数的性质与图象；教学难点：理解弧度值与x轴上的点的对应；● 教学过程与教学资源设计 教学过程： 一、复习回顾我们已经学习了任意角的三角函数以及三角函数线的内容，并且定义了正弦函数，y=sinx ，x ∈R ．三角函数是我们高中范围内学习的最后一种函数．我们已经有了一些研究函数的基本方法． 【提问1】根据这些经验，我们应该从哪几个方面研究正弦函数？ →定义域，值域，单调性，奇偶性，对称性，最值，图象等． 本节课我们将研究正弦函数的图象和性质．二、课堂活动【活动1】学生结合已有的经验，小组活动研究正弦函数的图象和性质．【提问2】你是怎样作出这个图象的？为什么可以这样作图？【提问3】你作出的图象是正弦函数图象吗？为什么图象是这样的形状？有没有使图象更精确的做法？→材料：一个圆形纸片（半径为1的圆），两根软绳，一把直尺．【提问4】在什么点拐弯，另外一边是什么样的？图中有哪些关键点？这些关键点对我们作图有什么帮助？【设计意图】五点作图法，五个点分别为：3(0,0),(,1),(,0),(,1),(2,0)22ππππ-． 【提问5】结合图象，你能得出正弦函数的哪些性质？ 【设计意图】培养学生根据图象获取函数性质的能力．【活动2】分小组展示，每组总结得出一条正弦函数的性质，其他组补充，教师点评． 【提问1】你是怎样得到这些性质呢？这些性质可以帮助我们作出正弦函数图象吗？ 【设计意图】培养学生根据性质作图的习惯．【活动1】学生分小组展示正弦函数的性质并讲明道理，并根据性质作出正弦函数的图象．其他组补充，教师点评．【提问2】要想得到正弦函数的图象，除了性质以外，我们还需要借助哪些条件？你有比较用1号绳量取弧长用2准确的作图方法吗？【活动2】两名学生演示作图方法，并解释该方法的原理．方法归纳：作图时，可以从0度开始量取单位圆上的一段弧长，即为对应的角度，再量取弧的终端到x 轴的线段数量，即为正弦值，利用线的长度分别得到一点的两个坐标即可．【提问3】图中有哪些关键点？这些关键点对我们作出正弦函数的草图有什么帮助？ 【活动3】试作出正弦函数的图象． 【设计意图】明确正弦函数图象的形状后，为了简化作图方式，在精确度不太高时，常采用五点法作正弦函数的简图．只要这五个点描出后，图象在[0,2π]上的形状就基本确定了．三、课堂总结本节课我们作出了正弦函数的图象，并根据图象总结得到了正弦函数的重要性质．（本节课我们通过对正弦函数的定义和正弦线得到了正弦函数的性质，并根据性质作出了正弦函数的图象）．这是研究函数的基本方法．后面的学习，我们将继续深入研究正弦函数的性质和图象．学习效果评价设计1、根据课上的讨论，完成下面的表格． 正弦函数的性质正弦函数还具有周期性，这通过其图象不难发现．你知道如何定义函数的“周期”吗？用1号绳量取弧长用22、用五点法在同一坐标系内作出函数y = sin x ，y=2sin x 和y = sin x 在[-2π，2π]上的图象；3、用五点法在同一坐标系内作出函数y = sin x ，y=2sin x 和y = sin x 在[-2π，2π]上的图象；4、用五点法在同一坐标系内作出函数y = sin x ，y=|sin x|和y =sin|x |在[-2π，2π]上的图象；【设计意图】本节课的重点是正弦函数的图象和性质，但是考虑到学生经过探究得到正弦函数图象之后可以很容易根据图象得到正弦函数的性质，因此在设置课堂练习和课后习题时，一方面落实“五点作图法”，并辅以简单的图象变换，另一方面引导学生总结归纳正弦函数的性质．教学设计特色说明与教学反思本节课围绕正弦函数的图象和性质展开．根据学生的思维过程，可以通过几何法或描点法先作出函数图象再归纳总结性质，也可以根据三角函数线的变化规律先探究函数性质，再作出图象．不管是从哪个角度，都希望向学生渗透函数性质和图象的依存关系，这也是数形结合的重要意义所在．根据“形”，即三角函数图象得到三角函数的性质后，可以进一步指导学生根据性质作出正弦函数图象．如利用周期性，将正弦函数图象的研究范围缩小到[-π，π]，利用奇偶性，将范围进一步缩小到[0，π]，利用对称性，将范围进一步缩小到[0，2]，这样我们可以只研究锐角的三角函数值，这大大降低了研究正弦函数的难度．在教学环节中，教师的个别指导和小组展示评价是本节课是否能够达到教学目标的关键，也是甄别学生是否能从小组合作和自主探究中体会新知识的研究方法，尤其是和生活衔接非常紧密的三角函数的研究方法，而后将本部分内容自然地镶嵌到一般函数的研究方法中，从而启发学生的学习和探究过程．板书设计：。

正弦函数的图像和性质学习目标：．理解并掌握利用单位圆作正弦函数图象的方法；．理解并熟练掌握用“五点法”作出正弦函数的简图的方法，并利用图象解决一些有关问题．掌握正弦函数的周期和最小正周期，并能求出正弦函数的最小正周期；．掌握正弦函数的奇、偶性的判断，并能求出正弦函数的单调区间．知识链接：弧度制、三角函数的定义、描点法作图的步骤。

【自主学习】一、复习图像：．用单位圆中的正弦线作正弦函数的图象（几何法）：为了作三角函数的图象，三角函数的自变量要用弧度制来度量，使自变量与函数值都为实数．．用五点法作正弦函数的简图（描点法）：作正弦函数的图象时，应抓住哪些关键点？.“五点（画图）法”的优点是方便，缺点是精确度不高．二.预习教材，画出正弦曲线，回答以下问题：正弦函数性质：．定义域：正弦函数的定义域是实数集［或(－∞，＋∞)］．．值域：正弦函数∈的值域是．①当且仅当＝时，取得最大值；②当且仅当＝时，取得最小值．思考正弦函数取得最值的点有何特点？．单调性：在每一个闭区间上都是增函数，其值从增大到；在每一个闭区间上都是减函数,其值从减小到.思考正弦函数在定义域内是单调函数吗？.对称性：的对称轴为，的对称中心为;三、探究合作展示例、设，求的取值范围。

变式：设求的取值范围。

变式：不等式恒成立，求的取值范围。

例、求下列函数取得最值时的自变量的集合，并写出最值是什么；()∈.()—∈. （）（）()∈（）（）例、利用函数的单调性,比较下列各组数的大小:()()与();()()与().四、能力提升：求函数()∈的周期，单调递增区间，对称轴，对称中心和最值点？变式：（、层选做）()∈[ππ]，求单调递增区间，对称轴，对称中心和最值点？变式：（、层选做）()，求单调递增区间？∈[ππ]呢？五、课堂巩固：。

1．3.1正弦函数的图象与性质第一课时正弦函数的图象与性质预习课本P37～43，思考并完成以下问题(1)如何把y＝sin x，x∈[0,2π]图象变换为y＝sin x，x∈R的图象？(2)正弦函数图象五个关键点是什么？(3)周期函数的定义是什么？(4)正弦函数的性质是什么？[新知初探]1．正弦函数的图象及作法(1)“正弦线”作图．①利用正弦线可以作出y＝sin x，x∈[0,2π]的图象．②要想得到y＝sin x(x∈R)的图象，只需将y＝sin x，x∈[0,2π]的图象沿x轴平移±2π，±4π，…即可，此时的图象叫做正弦曲线．(2)“五点法”.交点．这是作正弦函数、余弦函数图象最常用的方法．2．正弦函数的性质(1)周期函数①定义：一般地，对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得定义域内的每一个x 值，都满足f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期．②最小正周期：对于一个周期函数f(x)，如果在它的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做它的最小正周期．[点睛]对周期函数的两点说明(1)并不是每一个函数都是周期函数，若函数具有周期性，则其周期也不一定唯一．(2)如果T是函数ƒ(x)的一个周期，则nT(n∈Z且n≠0)也是ƒ(x)的周期．(2)正弦函数的性质数”也是错误的，因为在第一象限内，即使是终边相同的角，它们也可以相差2π的整数倍．[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)画正弦函数图象时，函数自变量要用弧度制．( )(2)若T 是函数ƒ(x )的周期，则kT ，k ∈N ＋也是函数f (x )的周期．( ) (3)函数y ＝3sin 2x 是奇函数．( ) 答案：(1)√ (2)√ (3)√2．函数y ＝sin 12x 的最小正周期为( )A ．2πB ．πC ．4πD ．6π解析：选C ∵sin ⎣⎡⎦⎤12(x ＋4π)＝sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋2π＝sin 12x ，∴sin 12x 的周期为4π，故选C. 3．函数y ＝2－sin x 的最大值及取最大值时x 的值为( ) A ．y max ＝3，x ＝π2B ．y max ＝1，x ＝π2＋2k π(k ∈Z)C ．y max ＝3，x ＝－π2＋2k π(k ∈Z)D ．y max ＝3，x ＝π2＋2k π(k ∈Z)答案：C4．请补充完整下面用“五点法”作出y ＝－sin x (0≤x ≤2π)的图象时的列表.①________；②________；③________. 答案：π 0 1[典例] 作函数y ＝3tan x cos x 的图象．[解] 由cos x ≠0，得x ≠k π＋π2(k ∈Z)，于是函数y ＝3tan x cos x 的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠k π＋π2，k ∈Z .又y ＝3tan x cos x ＝3sin x ，即y ＝3sin x ⎝⎛⎭⎫x ≠k π＋π2，k ∈Z .按五个关键点列表：先作出y ＝3sin x ，x ∈[0,2π]的图象，然后向左、右扩展，去掉横坐标为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝k π＋π2，k ∈Z 的点，得到y ＝3tan x cos x 的图象．用五点法画函数y ＝A sin x ＋b (A ≠0)在[0,2π]上的简图的步骤如下 (1)列表：(2)描点：在平面直角坐标系中描出下列五个点：(0，y )，⎝⎛⎭⎫π2，y ，(π，y )，⎝⎛⎭⎫3π2，y ，(2π，y )，这里的y 是通过函数式计算得到的．(3)连线：用光滑的曲线将描出的五个点连接起来，不要用线段进行连接．[活学活用]用“五点法”画出函数y ＝3－sin x (x ∈[0,2π])的图象． 解：(1)列表：(2)[典例] A ．奇函数 B ．偶函数 C ．既是奇函数又是偶函数D ．非奇非偶函数(2)函数f (x )＝|sin x |的最小正周期为________．(3)定义在R 上的函数ƒ(x )既是偶函数又是周期函数，若ƒ(x )的最小正周期是π，且当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，ƒ(x )＝sin x ，求ƒ⎝⎛⎭⎫5π3的值． [解析] (1)∵f (x )的定义域是R.且f (－x )＝2sin 2(－x )＝－2sin 2x ＝－f (x )， ∴函数为奇函数． (2)法一：∵ƒ(x )＝|sin x |,∴ƒ(x ＋π)＝|sin(x ＋π)|＝|sin x |＝ƒ(x )， ∴ƒ(x )的周期为π.法二：∵函数y ＝|sin x |的图象如图所示．由图象可知T ＝π. [答案] (1)A (2)π(3)解：∵ƒ(x )的最小正周期是π， ∴ƒ⎝⎛⎭⎫5π3＝ƒ⎝⎛⎭⎫5π3－2π＝ƒ⎝⎛⎭⎫－π3 ∵ƒ(x )是R 上的偶函数， ∴ƒ⎝⎛⎭⎫－π3＝ƒ⎝⎛⎭⎫π3＝sin π3＝32. ∴ƒ⎝⎛⎭⎫5π3＝32. [一题多变]1．[变条件]若本例(3)中“偶”变“奇”其他条件不变，求ƒ⎝⎛⎭⎫5π3的值． 解：ƒ⎝⎛⎭⎫5π3＝ƒ⎝⎛⎭⎫－π3＝－ƒ⎝⎛⎭⎫π3 ＝－sin π3＝－32.2．[变设问]若本例(3)条件不变，求ƒ⎝⎛⎭⎫－19π6的值． 解：ƒ⎝⎛⎭⎫－19π6＝ƒ⎝⎛⎭⎫19π6＝ƒ⎝⎛⎭⎫3π＋π6 ＝ƒ⎝⎛⎭⎫π6＝sin π6＝12. 3．[变条件]若本例(3)条件为：函数ƒ(x )为偶函数且ƒ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝－ƒ(x )，ƒ⎝⎛⎭⎫π3＝1，求ƒ⎝⎛⎭⎫5π3的值．解：∵ƒ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝－ƒ(x )， ∴ƒ(x ＋π)＝ƒ(x )，即T ＝π，ƒ⎝⎛⎭⎫5π3＝ƒ⎝⎛⎭⎫5π3－2π＝ƒ⎝⎛⎭⎫－π3＝ƒ⎝⎛⎭⎫π3＝1.求三角函数周期和判断奇偶性的方法(1)求三角函数周期的方法①定义法：即利用周期函数的定义求解． ②图象法：即通过观察函数图象求其周期．(2)判断函数的奇偶性，首先要看定义域是否关于原点对称，再看f (－x )与f (x )的关系．正弦函数的单调性[典例] 求函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫π3－2x 的单调递减区间． [解] ∵y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫π3－2x ＝－3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3， ∴y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3是增函数时， y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫π3－2x 是减函数．∵函数y ＝sin x 在⎣⎡⎦⎤－π2＋2k π，π2＋2k π(k ∈Z)上是增函数， ∴－π2＋2k π≤2x －π3≤π2＋2k π，即－π12＋k π≤x ≤5π12＋k π(k ∈Z)． ∴函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫π3－2x 的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤－π12＋k π，5π12＋k π(k ∈Z)．与正弦函数有关的单调区间的求解技巧(1)结合正弦函数的图象，熟记其单调区间．(2)确定函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)单调区间的方法：采用“换元”法整体代换，将ωx ＋φ看作一个整体，可令“z ＝ωx ＋φ”，即通过求y ＝A sin z 的单调区间而求出函数的单调区间．若ω<0，则可利用诱导公式将x 的系数转变为正数．[活学活用]1．函数f (x )＝－2sin x ＋1，x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π的值域是( ) A ．[1,3] B ．[－1,3] C ．[－3,1]D ．[－1,1]解析：选B ∵x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π，∴sin x ∈[－1,1]， ∴－2sin x ＋1∈[－1,3]． 2．下列关系式中正确的是( )A ．sin 11°＜cos 10°＜sin 168°B ．sin 168°＜sin 11°＜cos 10°C ．sin 11°＜sin 168°＜cos 10°D ．sin 168°＜cos 10°＜sin 11°解析：选C sin 168°＝sin(180°－12°)＝sin 12°，cos 10°＝cos(90°－80°)＝sin 80°.根据正弦函数的单调性知sin 11°＜sin 12°＜sin 80°，即sin 11°＜sin 168°＜cos 10°.3．求函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋3π4的单调区间． 解：由－π2＋2k π≤2x ＋3π4≤π2＋2k π，k ∈Z得－5π8＋k π≤x ≤－π8＋k π，k ∈Z. ∴函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋3π4的单调增区间为 ⎣⎡⎦⎤－5π8＋k π，－π8＋k π(k ∈Z)． 由π2＋2k π≤2x ＋3π4≤3π2＋2k π，k ∈Z 得－π8＋k π≤x ≤3π8＋k π，k ∈Z.∴函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋3π4的单调减区间为 ⎣⎡⎦⎤－π8＋k π，3π8＋k π(k ∈Z)．层级一 学业水平达标1．函数f (x )＝sin(－x )的奇偶性是( ) A ．奇函数 B ．偶函数 C ．既是奇函数又是偶函数 D ．非奇非偶函数解析：选A 由于x ∈R ，且f (－x )＝sin x ＝－sin(－x )＝－f (x )， 所以f (x )为奇函数．2．下列函数图象相同的是( ) A ．f (x )＝sin x 与g (x )＝sin(π＋x ) B ．f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π2与g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－x C ．f (x )＝sin x 与g (x )＝sin(－x ) D ．f (x )＝sin(2π＋x )与g (x )＝sin x解析：选D A 、B 、C 中f (x )＝－g (x )，D 中f (x )＝g (x )． 3．函数y ＝2－3sin x 的最大值、最小值分别是( ) A ．2，－3 B ．0,2 C ．5,2D ．5，－1解析：选D ∵－1≤sin x ≤1，∴－3≤－3sin x ≤3， ∴－1≤2－3sin x ≤5.4．函数y ＝4sin(2x ＋π)的图象关于( ) A ．x 轴对称 B ．原点对称 C ．y 轴对称D ．直线x ＝π2对称解析：选B y ＝4sin(2x ＋π)＝－4sin 2x ，奇函数图象关于原点对称． 5．与图中曲线对应的函数是( )A ．y ＝|sin x |B ．y ＝sin|x |C ．y ＝－sin|x |D ．y ＝－|sin x |解析：选C 注意到此函数图象所对应的函数值有正有负，因此排除A 、D.当x ∈(0，π)时，sin|x |＞0，与题图不符合，因此排除B.6．函数ƒ(x )是以2为周期的函数，且ƒ(2)＝3，则ƒ(6)＝________. 解析：∵函数ƒ(x )是以2为周期的函数，且ƒ(2)＝3， ∴ƒ(6)＝ƒ(2×2＋2)＝ƒ(2)＝3. 答案：37．y ＝1＋sin x ，x ∈[0,2π]的图象与y ＝32的交点的个数是________．解析：由y ＝sin x 的图象向上平移1个单位，得y ＝1＋sin x 的图象，故在[0,2π]上与y ＝32交点的个数是2个． 答案：28．函数y ＝sin(x ＋π)在⎣⎡⎦⎤－π2，π上的单调递增区间为________． 解析：因为sin(x ＋π)＝－sin x ，所以要求y ＝sin(x ＋π)在⎣⎡⎦⎤－π2，π上的单调递增区间，即求y ＝sin x 在⎣⎡⎦⎤－π2，π上的单调递减区间，易知为⎣⎡⎦⎤π2，π. 答案：⎣⎡⎦⎤π2，π9．利用“五点法”作出函数y ＝sin x －π2x ∈π2，5π2的图象．解：列表如下：描点连线，如图所示．10．求函数y ＝－3sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π4的单调区间． 解：函数y ＝－3sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π4的单调递增区间， 即函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π4的单调递减区间． 令π2＋2k π≤12x ＋π4≤3π2＋2k π，k ∈Z ， 解得4k π＋π2≤x ≤4k π＋5π2，k ∈Z ，即函数y ＝－3sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π4的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤4k π＋π2，4k π＋5π2(k ∈Z)．同理，令－π2＋2k π≤12x ＋π4≤π2＋2k π，k ∈Z ，解得4k π－3π2≤x ≤4k π＋π2，k ∈Z ， 即函数y ＝－3sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π4的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤4k π－3π2，4k π＋π2(k ∈Z)． 层级二 应试能力达标1．用“五点法”作y ＝2sin 2x 的图象时，首先描出的五个点的横坐标是( ) A ．0，π2，π，3π2，2πB ．0，π4，π2，3π4，πC ．0，π，2π，3π，4πD ．0，π6，π3，π2，2π3解析：选B 由2x ＝0，π2，π，3π2，2π知五个点的横坐标是0，π4，π2，3π4，π.2．函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最小值为( ) A ．－1B ．－22C.22 D ．0 解析：选B ∵x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，∴－π4≤2x －π4≤3π4，∴当2x －π4＝－π4时，f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4有最小值－22. 3．函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4(ω＞0)的周期为π，则其单调递增区间为( ) A.⎣⎡⎦⎤k π－3π4，k π＋π4(k ∈Z) B.⎣⎡⎦⎤2k π－3π4，2k π＋π4(k ∈Z) C.⎣⎡⎦⎤k π－3π8，k π＋π8(k ∈Z) D.⎣⎡⎦⎤2k π－3π8，2k π＋π8(k ∈Z) 解析：选C 周期T ＝π，∴2πω＝π，∴ω＝2，∴y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4.由－π2＋2k π≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z. 4．在[0,2π]内，不等式sin x <－32的解集是( ) A ．(0，π) B.⎝⎛⎭⎫π3，4π3C.⎝⎛⎭⎫4π3，5π3D.⎝⎛⎭⎫5π3，2π 解析：选C 画出y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的草图如下．因为sin π3＝32，所以sin ⎝⎛⎭⎫π＋π3＝－32， sin ⎝⎛⎭⎫2π－π3＝－32.即在[0,2π]内，满足sin x ＝－32的x ＝4π3或5π3.可知不等式sin x <－32的解集是⎝⎛⎭⎫4π3，5π3.故选C.5．函数值sin 3π5，sin 4π5，sin 9π10从大到小的顺序为________(用“＞”连接)．解析：∵π2＜3π5＜4π5＜9π10＜π，又函数y ＝sin x 在⎣⎡⎦⎤π2，π上单调递减，∴sin 3π5＞sin 4π5＞sin 9π10. 答案：sin 3π5＞sin 4π5＞sin 9π106．若方程sin x ＝4m ＋1在x ∈[0,2π]上有解，则实数m 的取值范围是________．解析：由正弦函数的图象，知当x ∈[0,2π]时，sin x ∈[－1,1]，要使得方程sin x ＝4m ＋1在x ∈[0,2π]上有解，则－1≤4m ＋1≤1，故－12≤m ≤0. 答案：⎣⎡⎦⎤－12，0 7．设函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4，x ∈R. (1)求函数f (x )的最小正周期和单调递增区间；(2)求函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤π8，3π4上的最小值和最大值，并求出取最值时x 的值．解：(1)最小正周期T ＝2π2＝π， 由2k π－π2≤2x －π4≤2k π＋π2(k ∈Z)， 得k π－π8≤x ≤k π＋3π8(k ∈Z)， ∴函数f (x )的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤k π－π8，k π＋3π8(k ∈Z)． (2)令t ＝2x －π4，则由π8≤x ≤3π4可得0≤t ≤5π4， ∴当t ＝5π4，即x ＝3π4时，y min ＝2×⎝⎛⎭⎫－22＝－1， ∴当t ＝π2，即x ＝3π8时，y max ＝2×1＝ 2.8．已知函数ƒ(x )对于任意实数x 满足条件ƒ(x ＋2)＝－1ƒ(x )(ƒ(x )≠0)． (1)求证：函数ƒ(x )是周期函数．(2)若ƒ(1)＝－5，求ƒ(ƒ(5))的值．解：(1)证明：∵ƒ(x ＋2)＝－1ƒ(x )， ∴ƒ(x ＋4)＝－1ƒ(x ＋2)＝－1－1ƒ(x)＝ƒ(x)，∴ƒ(x)是周期函数，4就是它的一个周期．(2)∵4是ƒ(x)的一个周期．∴ƒ(5)＝ƒ(1)＝－5，∴ƒ(ƒ(5))＝ƒ(－5)＝ƒ(－1)＝－1ƒ(－1＋2)＝－1ƒ(1)＝15.。

《正弦函数的图像与性质》研究函数的性质常常以图像直观为基础，这点学生已经有些经验，通过观察函数的图像，从图像的特征获得函数的性质是一个基本方法，这也是数形结合思想的应用。

正弦函数、余弦函数的教学也是如此。

先研究它们的图像，在此基础上再利用图像来研究它们的性质。

显然，加强数形结合是深入研究函数性质的基本要求。

【知识与能力目标】1、理解正弦函数的周期性；2、掌握用“五点法”作正弦函数的简图；3、掌握利用正弦函数的图像观察其性质；4、掌握求简单正弦函数的定义域、值域和单调区间。

【过程与方法目标】通过实验演示，让学生经历图像画法的过程及方法，通过对图像的感知，形成正弦曲线的初步认识，进而探索正弦曲线准确的作法，养成善于发现、善于探究的良好习惯。

学会遇到新问题时善于调动所学过的知识，较好地运用新旧知识之间的联系，提高分析问题、解决问题的能力。

【情感态度价值观目标】通过本节的学习，让学生体会数学中的图形美，体验善于动手操作、合作探究的学习方法带来的成功愉悦。

渗透由抽象到具体的思想，加深数形结合思想的认识，理解动与静的辩证关系，树立科学的辩证唯物主义观。

【教学重点】1、用“五点法”画正弦函数在一个周期上的图像；2、利用函数图像观察正弦函数的性质；3、给学生逐渐渗透“数形结合”的思想。

【教学难点】正弦函数性质的理解和应用。

问题引入前面学习了正弦函数y=sinx ，进一步研究它的性质，如：值域、单调性、奇偶性、最大值与最小值等。

我们从函数图像入手。

思考：有什么办法画出该曲线的图象？探究点1 正弦函数的图象1、用描点法作出函数图像的主要步骤是怎样的？x y sin =，[]π2,0∈x（1）列表。