“同向不等式”运用

运用同向不等式相加解题的错因分析作者：卫保新来源：《试题与研究·教学论坛》2013年第26期教师在课堂教学中，学生在解题过程中经常会遇到应用不等式的性质：同向不等式相加或同向不等式相乘去解决变量、参数的取值范围，求变量及参数的最大、最小值问题，得出的结果常出现范围扩大或取不到最大、最小值的情况。

以下通过解题分析对运用此内容解题进行剖析与反思。

例1 2009高考全国卷22题：设函数f（x）=x3+3bx2+3cx两个极点x1，x2，且x1∈[-1，0]，x2∈[1，2]。

（1）求b，c满足的约束条件，并在坐标系内画出满足这些条件的点（b，c）的区域；（2）证明：-10≤f（x2）≤-■解题过程第（1）解答略，第（2）问解答如下解法（一）解：由f′（x）=3x2+6bx+3c，则f′（x2）=3x■■■+6bx2+3c=0，∴b=-■，∴f（x2）=x■■■+3bx■■■+3cx2=-■x■■■+■x2∵θ1≤x2≤2，∴-4≤-■x■■■≤-■，由（1）得-2≤c≤0∴-6≤■x2≤0，∴-10≤-■x■■■+■x2≤-■，即-10≤f（x2）≤-■解法（二）解：由f′（x）=3x2+6bx+3c，则f′（x2）=3x■■■+6bx2+3c=0，所以c=-2x■■■-2bx2，f（x2）=x■■■+6bx■■■+x2（-3x■■■-6bx2）=-2x■■■-3bx■■■θ1≤x2≤2，∴-16≤-2x■■■≤-2，又由（1）得-1≤b≤0，0≤-3bx■■■≤12所以-16≤-2x■■■-3bx■■■≤10，-16≤f（x2）≤10解法（三）解：由f′（x）=3x2+6bx+3c，由题意知x1，x2是方程的由3x2+6bx+3c=0两根，∴x1+x2=-2b，x1x2=c，∴f（x2）=x■■■+3bx■■■+3cx2=-■x■■■+■x1x2，θ1≤x2≤2，∴-4≤-■x■■■≤-■，又-1≤x1≤0，∴-6≤■x1x2≤0∴-10≤-■x■■■+■x1x2≤-■即-10≤f（x2）≤-■问题：为何b，x2用表示f（x2）时，证出的范围扩大了，是解法错误吗？但三种方法用的都是同向不等式相加及同向不等式相乘，运算的过程不错，方法也不错，为何范围扩大了呢？分析错因：1.在解法（二）中，不妨从不等式等号成立的条件分析，不等式右等号成立的条件是-3bx■■■=12且-3x■■■=-2同时成立，若结论中右等号成立，由-3bx■■■=12得b=-1，x2=2，由-2x■■■=-2等号成立则x2=1，故同向不等式不能同时取等号，即结论中右等号不成立，同理左等号也不成立。

高考数学总复习 不等式的概念与性质一．不等式的概念：1、 不等式的意义：a>b ⇔a-b>0；a=b ⇔a-b=0；a<b ⇔a-b<0.2、 同向不等式：如果两个不等式中，每一个的左边都大于（或小于）右边，则这两个不等式称为同向不等式。

3、 异向不等式：如果两个不等式中，一个是左边大于右边，一个是左边小于右边，则这两个不等式称为异向不等式。

二、不等式的性质：(1)反对称性：若a>b,则b<a ；若b<a,则a>b.(2) 传递性：若a>b,b>c,则a>c.(3)同加原理：若a>b,则a+c>b+c.(4)同向相加原理：若a>b,c>d,则a+c>b+d.(5）同乘原理：若a>b,c>0,则ac>bc ；若a>b,c<0,则ac<bc.(6)同向相乘原理：若a>b>0,c>d>0,则ac>bd.(7)乘方原理：若a>b>0,则a n >b n .(8)开方原理：若a>b>0,则n n b a >.(9)倒数原理：若a>b>0，则b a 11<；若b<a<0,则ba 11<. 注意：（1）不等式的性质是解（证）不等式的基础，对任意两实数a,b,有：a>b ⇔a-b>0；a=b ⇔a-b=0；a<b ⇔a-b<0.这既是比较大小的理论依据，也是学习不等式的基础。

（2）对于不等式的性质，关键是正确理解和运用，要弄清每一个性质的条件和结论，注意条件的加强和减弱、条件与结论之间的相互联系。

（3）不等式的性质应用于证明不等式，往往是从条件推出结论的变换关系，而解不等式则要求等价变形。

高考数学一轮复习（七）不等式一．不等式的性质：1．同向不等式可以相加；异向不等式可以相减：若,a bc d >>，则a c b d +>+（若,a b c d ><，则a c b d ->-），但异向不等式不可以相加；同向不等式不可以相减；2．左右同正不等式：同向的不等式可以相乘，但不能相除；异向不等式可以相除，但不能相乘：若0,0a b c d >>>>，则ac bd >（若0,0a b c d >><<，则a bc d>）；3．左右同正不等式：两边可以同时乘方或开方：若0a b >>，则n n a b >>4．若0ab >，a b >，则11a b <；若0ab <，a b >，则11a b>。

例：（1）对于实数c b a ,,中，给出下列命题：①22,bc ac b a >>则若； ②b a bc ac >>则若,22；③22,0b ab a b a >><<则若； ④ba b a 11,0<<<则若；⑤baa b b a ><<则若,0； ⑥b a b a ><<则若,0；⑦b c b a c a b a c ->->>>则若,0； ⑧11,a b a b>>若，则0,0a b ><。

其中正确的命题是______（2）已知11x y -≤+≤，13x y ≤-≤，则3x y -的取值范围是______ （3）已知c b a >>，且,0=++c b a 则ac的取值范围是______ 二．不等式大小比较的常用方法： 1．作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果； 2．作商（常用于分数指数幂的代数式）； 3．分析法； 4．平方法；5．分子（或分母）有理化； 6．利用函数的单调性； 7．寻找中间量或放缩法 ；8．图象法。

概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结不等式一．不等式的性质：1．同向不等式可以相加；异向不等式可以相减：若,a b c d >>，则a c b d +>+（若,a b c d ><，则a c b d ->-），但异向不等式不可以相加；同向不等式不可以相减；2．左右同正不等式：同向的不等式可以相乘，但不能相除；异向不等式可以相除，但不能相乘：若0,0a b c d >>>>，则ac bd >（若0,0a b c d >><<，则a b c d>）； 3．左右同正不等式：两边可以同时乘方或开方：若0a b >>，则n n a b >或>4．若0ab >，a b >，则11a b <；若0ab <，a b >，则11a b>。

如（1）对于实数c b a ,,中，给出下列命题：①22,bc ac b a >>则若； ②b a bc ac >>则若,22；③22,0b ab a b a >><<则若； ④ba b a 11,0<<<则若；⑤baa b b a ><<则若,0； ⑥b a b a ><<则若,0；⑦b c b a c a b a c ->->>>则若,0； ⑧11,a b a b>>若，则0,0a b ><。

其中正确的命题是______（答：②③⑥⑦⑧）；（2）已知11x y -≤+≤，13x y ≤-≤，则3x y -的取值范围是______（答：137x y ≤-≤）；（3）已知c b a >>，且,0=++c b a 则ac的取值范围是______（答：12,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭）二．不等式大小比较的常用方法：1．作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果； 2．作商（常用于分数指数幂的代数式）； 3．分析法； 4．平方法；5．分子（或分母）有理化； 6．利用函数的单调性； 7．寻找中间量或放缩法 ；8．图象法。

博通教育辅导讲义年 级 高一辅导科目 数学 学科教师 课次数 课 题第五讲 不等式的基本性质及解法主管审核教 学 内 容知识点及例题精讲一．不等式的性质：1．同向不等式可以相加；异向不等式可以相减：若,a b c d >>，则a c b d +>+（若,a b c d ><，则a c b d ->-），但异向不等式不可以相加；同向不等式不可以相减；2．左右同正不等式：同向的不等式可以相乘，但不能相除；异向不等式可以相除，但不能相乘：若0,0a b c d >>>>，则ac bd >（若0,0a b c d >><<，则a bc d>）；3．左右同正不等式：两边可以同时乘方或开方：若0a b >>，则n n a b >或n n a b >；4．若0ab >，a b >，则11a b <；若0ab <，a b >，则11a b>。

[例1]（1）对于实数c b a ,,中，给出下列命题：①22,bc ac b a >>则若； ②b a bc ac >>则若,22；③22,0b ab a b a >><<则若； ④ba b a 11,0<<<则若；⑤baa b b a ><<则若,0； ⑥b a b a ><<则若,0；⑦bc ba c ab ac ->->>>则若,0； ⑧11,a b a b >>若，则0,0a b ><。

其中正确的命题是______（2）已知11x y -≤+≤，13x y ≤-≤，则3x y -的取值范围是______（3）已知c b a >>，且,0=++c b a 则ac的取值范围是______ 二、一元二次不等式解法1.一元二次不等式(1)一元二次不等式经过变形，可以化成如下标准形式： ①ax 2+bx+c ＞0(a ＞0);②ax 2+bx+c ＜0(a ＞0).2.一元二次函数的图像、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集对比表二次函数△情况一元二次方程一元二次不等式y=ax2+bx+c(a＞0) △=b2-4ac ax2+bx+c=0(a＞0)ax2+bx+c＞0(a＞0)ax2+bx+c＜0(a＞0)图像与解△＞0x1=x2=不等式解集为｛x｜x＜x1或x＞x2＝不等式解集为｛x｜x1＜x＜x2＝△=0x1=x2=x0=不等式解集｛x｜x≠x0,x∈R｝解集为△＜0 方程无解不等式解集为R(一切实数)解集为a＜0的情况自己完成3.一元n次不等式(x-a1)(x-a2)…(x-a n)＞0,(x-a1)(x-a2)…(x-a n)＜0，其中a1＜a2＜…＜a n.把a1,a2,…a n按大小顺序标在数轴上，则不等式的解的区间如图所示：综合可知，一元二次不等式的解法充分运用了“函数与方程”，“数形结合”及“化归”的数学思想，一元二次方程ax2+bx+c=0的根就是使二次函数y=ax2+bx+c的函数值为零时对应的x值，一元二次不等式ax2+bx+c＞0，ax2+bx+c＜0的解就是使二次函数y=ax2+bx+c的函数值大于零或小于零时x的取值范围，因此解一元二次方程ax2+bx+c＞0，ax2+bx+c＜0一般要画与之对应的二次函数y=ax2+bx+c的图像.例1解下列关于x的不等式：(1)2x+3-x2＞0;(2)x(x+2)-1≥x(3-x);(3)x2-2x+3＞0;(4)x2+6(x+3)＞3;例2解不等式≥2.例3若函数f(x)=ax2+bx+c(a＞0)对任意的实数t,都有f(2+t)=f(2-t)，下列不等式成立的是( ) A.f(1)＜f(2)＜f(4) B.f(2)＜f(1)＜f(4)C.f(2)＜f(4)＜f(1)D.f(4)＜f(2)＜f(1)例4已知不等式ax2+bx+2＞0的解为-＜x＜，求a，b值.例5若x2+qx+q＞0的解集是｛x｜2＜x＜4｝，求实数p、q的值.例6设A=｛x｜-2＜x＜-1,或x＞1｝，B=｛x｜x2+ax+b≤0｝，已知A∪B=｛x｜x＞-2｝，A∩B=｛x｜1＜x≤3｝，试求a,b 的值.例7已知f(x)=x2+2(a-2)x+4.(1)如果对一切x∈R，f(x)＞0恒成立，求实数a的取值范围.(2)如果对x∈〔-3，1〕，f(x)＞0成立，求实数a的取值范围.例8公园要建造一个圆形喷水池.在水池中央垂直于水面安装一个花形柱子OA，O恰在水面中心，OA=1.25米，安置在柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，且在过OA的任一平面上抛物线路径如下左图所示.为使水流形状较为漂亮，设计成水流在到OA距离为1米处达到距水平最大高度为2.25米，如果不计其他因素，那么水池半径至少要多少米，才能使喷出的水流不致落到池外?巩固练习与随堂测验一、选择题1.已知集合A=｛x｜x2-2x-3＜0 ，B=｛x｜｜x｜＜a ，若B A，则实数a的取值范围是( )A.0＜a≤1；B.a≤1；C.-1＜a≤3；D.a＜1.2.集合A=｛x｜x2-3x-10≤0，x∈Z｝，B=｛x｜2x2-x-6＞0，x∈Z｝，则A∩B的子集的个数为( )A.16；B.8；C.15；D.7.3.不等式≥0的解集是( )A.｛x｜-1≤x≤3｝B.｛x｜x≤-1，或x＞3｝C.｛x｜x≤-1，或x≥3｝D.｛x｜-1≤x＜3｝4.若对于任何实数，二次函数y=ax2-x+c的值恒为负，那么a、c应满足( )A.a＞0且ac≤B.a＜0且ac＜C.a＜0且ac＞D.a＜0且ac＜0二、填空题2.不等式ax2+bx+2＞0的解集是｛x｜- ＜x＜,则a+b=________ .3.不等式≤1的解集是 __________________ .4.不等式-4≤x2-3x＜18的整数解为____________________ .5.已知关于x的方程ax2+bx+c＜0的解集为｛x｜x＜-1或x＞2｝.则不等式ax2-bx+c＞0的解集为___________________________________ .三、解答题1.求不等式x2-2x+2m-m2＞0的解集.4.已知a＞1解关于x的不等式组5.解不等式课后作业1.解关于x的不等式x2-x-a2+a＞02.已知函数y=(k2+4k-5)x2+4(1-k)x+3的图像都在x轴上方，求实数k的取值范围.3.已知A=｛x｜x2-3x+2≤0｝,B=｛x｜x2-(a+1)x+a≤0｝.(1)若A B，求a的取值范围；(2)若B A，求a的取值范围；(3)若A∩B为仅含有一个元素的集合，求a的值.4不等式＞1解集是 .5如下图，铁路线上AB段长100千米，工厂C到铁路的距离CA为20千米.现要在AB上某一点D处向C修一条公路，已知铁路每吨千米的运费与公路每吨千米的运费之比为3∶5.为了使原料从供应站B运到工厂C的运费最少，D点应选在何处?6要在墙上开一个上半部为半圆形，下部为矩形的窗户(如下图所示)，在窗框为定长的条件下，要使窗户能够透过最多的光线，窗户应设计成怎样的尺寸?。

不等式1、不等式的性质：（1）同向不等式可以相加；异向不等式可以相减：若,a b c d >>，则a c b d +>+（若,a b c d ><，则a c b d ->-），但异向不等式不可以相加；同向不等式不可以相减；（2）左右同正不等式：同向的不等式可以相乘，但不能相除；异向不等式可以相除，但不能相乘：若0,0a b c d >>>>，则ac bd >（若0,0a b c d >><<，则a bc d>）；（3）左右同正不等式：两边可以同时乘方或开方：若0a b >>，则n n a b >或>（4）若0ab >，a b >，则11a b <；若0ab <，a b >，则11a b>。

如（1）对于实数c b a ,,中，给出下列命题：①22,bc ac b a >>则若；②b a bc ac >>则若,22；③22,0b ab a b a >><<则若；④b a b a 11,0<<<则若；⑤b aa b b a ><<则若,0；⑥b a b a ><<则若,0；⑦b c b a c a b a c ->->>>则若,0；⑧11,a b a b>>若，则0,0a b ><。

其中正确的命题是______（答：②③⑥⑦⑧）；（2）已知11x y -≤+≤，13x y ≤-≤，则3x y -的取值范围是______（答：137x y ≤-≤）；（3）已知c b a >>，且,0=++c b a 则a c 的取值范围是______（答：12,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭）2. 不等式大小比较的常用方法：（1）作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果；（2）作商（常用于分数指数幂的代数式）；（3）分析法；（4）平方法；（5）分子（或分母）有理化；（6）利用函数的单调性；（7）寻找中间量或放缩法 ；(8)图象法。

不等式知识点及其解题技巧不等式知识点及其解题技巧不等式的性质：1.同向不等式可以相加；异向不等式可以相减。

例如，若a>b,c>d，则a+c>b+d（若a>b,cb-d），但异向不等式不可以相加；同向不等式不可以相减；2.左右同正不等式：同向的不等式可以相乘，但不能相除；异向不等式可以相除，但不能相乘。

例如，若a>b>0,c>d>0，则ac>bd（若a>b>0,0<c<d，则ab<cd）；3.左右同正不等式：两边可以同时乘方或开方。

例如，若a>b>0，则a>b或ad>0，则c>d或c<d；4.若a>b>0,c>d>0，则a+c>b+d；若a>b>0,0b-d；5.若ab或ab；6.若ab；若a<b<0，则a<b；7.若c>a>b>d，则c-d>a-b；若a>b,0b。

例如：1.对于实数a,b,c中，给出下列命题：①若a>b，则ac>bc；②若ac>bc，则a>b；③若ab>c；④若a<b<c，则a<c；⑤若ab；⑥若ab；⑦若c>a>b>d，则c-d>a-b；⑧若a>b,0b。

其中正确的命题是②③⑥⑦⑧。

2.已知-1≤x+y≤1，1≤x-y≤3，则3x-y的取值范围是1≤3x-y≤7.3.已知a>b>c，且a+b+c=1，则$\frac{c-2a}{2a}$的取值范围是$(-2,-1)$。

不等式大小比较的常用方法：1.作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果；2.作商（常用于分数指数幂的代数式）；3.分析法；4.平方法；5.分子（或分母）有理化；6.利用函数的单调性；7.寻找中间量或放缩法；8.图象法。

高中数学复习系列---不等式（基础知识总结）【不等式的基础知识总结】一．不等式的性质：1．同向不等式可以相加；异向不等式可以相减：若,a b c d >>，则a c b d +>+（若,a b c d ><，则a c b d ->-），但异向不等式不可以相加；同向不等式不可以相减；2．左右同正不等式：同向的不等式可以相乘，但不能相除；异向不等式可以相除，但不能相乘：若0,0a b c d >>>>，则ac bd >（若0,0a b c d >><<，则a b c d>）；3．左右同正不等式：两边可以同时乘方或开方：若0a b >>，则n n a b >>4．若0ab >，a b >，则11a b <；若0ab <，a b >，则11a b>。

训练1：（1）对于实数c b a ,,中，给出下列命题：①22,bc ac b a >>则若；②b a bc ac >>则若,22；③22,0b ab a b a >><<则若；④ba b a 11,0<<<则若；⑤b a a b b a ><<则若,0；⑥b a b a ><<则若,0；⑦b c b a c a b a c ->->>>则若,0； ⑧11,a b a b>>若，则0,0a b ><。

其中正确的命题是______（2）已知11x y -≤+≤，13x y ≤-≤，则3x y -的取值范围是______（3）已知c b a >>，且,0=++c b a 则a c 的取值范围是______ 二．不等式大小比较的常用方法：1．作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果；2．作商（常用于分数指数幂的代数式）；3．分析法；4．平方法；5．分子（或分母）有理化；6．利用函数的单调性；7．寻找中间量或放缩法 ；8．图象法。