高中数学-导数的几何意义及应用

导数知识点1．导数的概念(1)函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数：函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率li mΔx →0 ΔyΔx ＝li m Δx →0f x 0＋Δx －fx 0Δx❶为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′x ＝x 0，即f ′(x 0)＝li mΔx →0 ΔyΔx＝li m Δx →0 f x 0＋Δx －fx 0Δx.函数y ＝f (x )的导数f ′(x )反映了函数f (x )的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f ′(x )|反映了变化的快慢，|f ′(x )|越大，曲线在这点处的切线越“陡”．(2)导数的几何意义：函数f (x )在x ＝x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是在曲线y ＝f (x )上点P (x 0，y 0)❶处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s (t )对时间t 的导数)．相应地，切线方程为y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0)．❶曲线y ＝fx 在点Px 0，y 0处的切线是指P 为切点，斜率为k ＝f ′x 0的切线，是唯一的一条切线.(3)函数f (x )的导函数：称函数f ′(x )＝li mΔx →0 fx ＋Δx －fxΔx为f (x )的导函数．(4)f ′(x )是一个函数，f ′(x 0)是函数f ′(x )在x 0处的函数值(常数)，[f ′(x 0)]′＝0.2．基本初等函数的导数公式原函数 导函数 f (x )＝x n (n ❶Q *) f ′(x )＝n ·x n －1 f (x )＝sin x f ′(x )＝cos x f (x )＝cos x f ′(x )＝－sin x f (x )＝a x (a ＞0，且a ≠1)f ′(x )＝a x ln a f (x )＝e xf ′(x )＝e x f (x )＝log a x (a ＞0，且a ≠1)f ′(x )＝1x ln a f (x )＝ln xf ′(x )＝1x3.导数的运算法则(1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； (2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )； (3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤f x g x ′＝f ′xg x －f x g ′x [g x ]2(g (x )≠0)．4．复合函数的导数复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y x ′＝y u ′·u x ′，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．5．定积分的概念在∫ba f (x )d x 中，a ，b 分别叫做积分下限与积分上限，区间[a ，b ]叫做积分区间，f (x )叫做被积函数，x 叫做积分变量，f (x )d x 叫做被积式．6．定积分的性质(1)∫b a kf (x )d x ＝k ∫b a f (x )d x (k 为常数)； (2)∫b a [f 1(x )±f 2(x )]d x ＝∫b a f 1(x )d x ±∫b a f 2(x )d x ； (3)∫b a f (x )d x ＝∫c a f (x )d x ＋∫b c f (x )d x (其中a ＜c ＜b )．求分段函数的定积分，可以先确定不同区间上的函数解析式，然后根据定积分的性质3进行计算.7．微积分基本定理一般地，如果f (x )是区间[a ，b ]上的连续函数，并且F ′(x )＝f (x )，那么∫b a f (x )d x ＝F (b )－F (a )，常把F (b )－F (a )记作F (x )|b a ，即∫b a f (x )d x ＝F (x )|b a ＝F (b )－F (a )．8．定积分的几何意义定积分∫ba f (x )d x 的几何意义是介于x 轴、曲线y ＝f (x )及直线x ＝a ，x ＝b 之间的曲边梯形的面积的代数和，其值可正可负，具体来说，如图，设阴影部分的面积为S .❶S ＝∫b a f (x )d x ；❶S ＝－∫b a f (x )d x ；❶S ＝∫c a f (x )d x －∫b c f (x )d x ； ❶S ＝∫b a f (x )d x －∫b a g (x )d x ＝∫b a [f (x )－g (x )]d x .1定积分的几何意义是曲边梯形的面积，但要注意：面积非负，而定积分的结果可正可负.2当曲边梯形位于x轴上方时，定积分的值为正；当曲边梯形位于x轴下方时，定积分的值为负；当位于x轴上方的曲边梯形与位于x轴下方的曲边梯形面积相等时，定积分的值为零.导数应用一、基础知识1．函数的单调性与导数的关系在(a，b)内可导函数f(x)，f′(x)在(a，b)任意子区间内都不恒等于0.f′(x)≥0❶f(x)在(a，b)上为增函数．f′(x)≤0❶f x在❶(a，b)上为减函数．2．函数的极值(1)函数的极小值：函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′a＝0；而且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则点❶a叫做函数y＝f x的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．❶(2)函数的极大值：函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近的其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．极小值点、极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值．3．函数的最值(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．(3)开区间上的单调连续函数无最值．,(1)f′(x)＞0(＜0)是f(x)在区间(a，b)内单调递增(减)的充分不必要条件．(2)f′(x)≥0(≤0)是f(x)在区间(a，b)内单调递增(减)的必要不充分条件．(3)由f(x)在区间(a，b)内单调递增(减)可得f′(x)≥0(≤0)在该区间内恒成立，而不是f′(x)＞0(＜0)恒成立，“＝”不能少，必要时还需对“＝”进行检验.f′(x0)＝0是x0为f(x)的极值点的必要不充分条件．例如，f(x)＝x3，f′(0)＝0，但x＝0不是极值点．(1)极值点不是点，若函数f(x)在x1处取得极大值，则x1为极大值点，极大值为f(x1)；在x2处取得极小值，则x2为极小值点，极小值为f(x2)．极大值与极小值之间无确定的大小关系．(2)极值一定在区间内部取得，有极值的函数一定不是单调函数.二、常用结论(1)若所求函数的单调区间不止一个，这些区间之间不能用并集“❶”及“或”连接，只能用“，”“和”字隔开．(2)若函数f(x)在开区间(a，b)内只有一个极值点，则相应的极值一定是函数的最值．(3)极值只能在定义域内取得(不包括端点)，最值却可以在端点处取得，有极值的不一定有最值，有最值的也未必有极值；极值有可能成为最值，非常数可导函数最值只要不在端点处取，则必定在极值处取．。

高中数学导数的定义与求解在高中数学中，导数是一个重要的概念，它用于描述函数的变化率，并广泛应用于微积分和其他相关学科中。

本文将介绍导数的定义及其求解方法。

一、导数的定义导数描述了函数在某一点处的变化率。

设函数f(x)在点x=a处可导，那么它的导数f'(a)定义为：f'(a) = lim(h→0) [f(a+h) - f(a)] / h其中lim表示极限运算，h表示自变量x的增量。

二、导数的几何意义函数的导数在几何上有直观的解释：它等于函数曲线在对应点处的切线斜率。

换句话说，导数给出了函数曲线在特定点上的“陡峭程度”。

三、导数的求解方法1. 基本导数公式对于一些基本的函数，我们可以利用导数的基本定义和一些特殊公式来求导。

以下是一些常见函数的导数:- 常数函数导数：f(x) = C (其中C为常数) 的导数为0。

- 幂函数导数：f(x) = x^a (其中a为实数) 的导数为 f'(x) = a * x^(a-1)。

- 指数函数导数：f(x) = e^x 的导数为 f'(x) = e^x。

- 对数函数导数：f(x) = ln(x) 的导数为 f'(x) = 1 / x。

2. 导数的四则运算法则利用导数的四则运算法则，我们可以更方便地求解复杂函数的导数。

下面是一些常见的四则运算法则：- 和差法则：若函数 f(x) 和 g(x) 都在点 x 处可导，则它们的和（差）的导数为：[f(x) ± g(x)]' = f'(x) ± g'(x)。

- 积法则：若函数 f(x) 和 g(x) 都在点 x 处可导，则它们的乘积的导数为：[f(x) * g(x)]' = f'(x) * g(x) + f(x) * g'(x)。

- 商法则：若函数 f(x) 和 g(x) 都在点 x 处可导，并且g(x) ≠ 0，则它们的商的导数为：[f(x) / g(x)]' = [f'(x) * g(x) - f(x) * g'(x)] / [g(x)]^2。

高中数学导数知识点总结一、导数的定义1. 导数的几何意义在直角坐标系中，函数的导数表示了函数曲线在某一点的切线的斜率。

也就是说，导数描述了函数在某一点处的变化率。

如果函数在某一点的导数为正，那么函数在这一点的曲线是朝上凸的；如果函数在某一点的导数为负，那么函数在这一点的曲线是朝下凸的；如果函数在某一点的导数为零，那么函数在这一点的曲线可能是一个最大值、最小值或者拐点。

2. 导数的代数定义设函数y=f(x)，在点x0处可导。

如果当自变量x的增量为Δx时，函数值的增量Δy与自变量的增量Δx的比值在Δx趋于0时的极限存在，那么就称函数y=f(x)在点x0处可导。

这个极限就是函数在点x0处的导数，通常用f'(x0)或者df(x0)/dx来表示。

二、导数的性质1. 可导性与连续性在区间上连续的函数必定在该区间上有定义且连续的导数。

不过反之不成立。

2. 导数的四则运算法则设函数y=f(x)和y=g(x)都在x处可导，则：（1）常数函数的导数\[ (k)' = 0 \]（2）乘积的导数\[ (u \cdot v)' = u' \cdot v + u \cdot v' \]（3）商的导数\[ \left( \frac{u}{v} \right)' = \frac{u' \cdot v - u \cdot v'}{v^2} \]（4）复合函数的导数\[ (f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x) \]3. 链式法则设函数y=f(u)和u=g(x)都在某点可导，则复合函数y=f(g(x))在该点可导，且有\[ y' = f'(g(x)) \cdot g'(x) \]4. 高阶导数如果函数f的导数也可导，则函数f有二阶导数，记作f''；同理，f(n)表示函数f的n阶导数。

导数的简单自学讲义1．函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数(1)定义：称函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率()()0000lim lim x x f x x f x y x x∆→∆→+∆-∆=∆∆为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0(2)几何意义：函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是在曲线y ＝f (x )上点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s (t )对时间t 的导数)．相应地，切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)．2．函数f (x )的导函数称函数f ′(x )＝()()0lim x f x x f x x∆→+∆-∆为f (x )的导函数．3．基本初等函数的导数公式（*）4．利用导数的定义求函数的导数（1）根据导数的定义求函数在点处导数的方法： ①求函数的增量； ②求平均变化率； ③得导数，简记作：一差、二比、三极限.（2）函数的导数与导数值的区间与联系：导数是原来函数的导函数，而导数值是导函数在某一点的函数值，导数值是常数.5．导数的运算法则1) ．[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )；2) ．[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )；3) ．()()()()()()()2f x f x g x f x g x g x g x '⎡⎤''-=⎢⎥⎡⎤⎣⎦⎣⎦(g (x )≠0) 4) 复合函数的导数复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y x ′＝y u ′·u x ′，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．例题精析【例题1】求函数y =x=1处的导数. 【例题2】一质点运动的方程为.（1） 求质点在t=1时的瞬时速度；（2） 求质点在t=1时的瞬时加速度；【例题3】求下列函数的导数.【例题4】已知曲线，（1）求曲线在点P(2,4)处的切线方程；（2）求曲线过点P(2,4)的切线方程；。

第三章 导数及其应用第一节 导数的概念及运算、定积分1．导数的概念(1)函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数：函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率li m Δx →0 ΔyΔx＝li mΔx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ❶为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′x ＝x 0，即f ′(x 0)＝li mΔx →0 ΔyΔx ＝li m Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx.函数y ＝f (x )的导数f ′(x )反映了函数f (x )的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f ′(x )|反映了变化的快慢，|f ′(x )|越大，曲线在这点处的切线越“陡”．(2)导数的几何意义：函数f (x )在x ＝x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是在曲线y ＝f (x )上点P (x 0，y 0)❷处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s (t )对时间t 的导数)．相应地，切线方程为y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0)．❷曲线y ＝f (x )在点P (x 0，y 0)处的切线是指P 为切点，斜率为k ＝f ′(x 0)的切线，是唯一的一条切线.(3)函数f (x )的导函数：称函数f ′(x )＝li mΔx →0 f (x ＋Δx )－f (x )Δx为f (x )的导函数．(4)f ′(x )是一个函数，f ′(x 0)是函数f ′(x )在x 0处的函数值(常数)，[f ′(x 0)]′＝0. 2．基本初等函数的导数公式3.(1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )；(2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )； (3)⎣⎡⎦⎤f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2(g (x )≠0)． 4．复合函数的导数复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y x ′＝y u ′·u x ′，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．5．定积分的概念在∫b a f (x )d x 中，a ，b 分别叫做积分下限与积分上限，区间[a ，b ]叫做积分区间，f (x )叫做被积函数，x 叫做积分变量，f (x )d x 叫做被积式．6．定积分的性质(1)∫b a kf (x )d x ＝k ∫b a f (x )d x (k 为常数)； (2)∫b a [f 1(x )±f 2(x )]d x ＝∫b a f 1(x )d x ±∫b a f 2(x )d x ； (3)∫b a f (x )d x ＝∫c a f (x )d x ＋∫b c f (x )d x (其中a ＜c ＜b )．求分段函数的定积分，可以先确定不同区间上的函数解析式，然后根据定积分的性质(3)进行计算.7．微积分基本定理一般地，如果f (x )是区间[a ，b ]上的连续函数，并且F ′(x )＝f (x )，那么∫b a f (x )d x ＝F (b )－F (a )，常把F (b )－F (a )记作F (x )|b a ，即∫b a f (x )d x ＝F (x )|ba ＝F (b )－F (a )．8．定积分的几何意义定积分∫b a f (x )d x 的几何意义是介于x 轴、曲线y ＝f (x )及直线x ＝a ，x ＝b 之间的曲边梯形的面积的代数和，其值可正可负，具体来说，如图，设阴影部分的面积为S .①S ＝∫b a f (x )d x ；②S ＝－∫b a f (x )d x ；③S ＝∫c a f (x )d x －∫bc f (x )d x ； ④S ＝∫b a f (x )d x －∫b a g (x )d x ＝∫b a [f (x )－g (x )]d x .(1)定积分的几何意义是曲边梯形的面积，但要注意：面积非负，而定积分的结果可正可负.(2)当曲边梯形位于x 轴上方时，定积分的值为正；当曲边梯形位于x 轴下方时，定积分的值为负；当位于x 轴上方的曲边梯形与位于x 轴下方的曲边梯形面积相等时，定积分的值为零.二、常用结论1．奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数． 2．熟记以下结论：(1)⎝⎛⎭⎫1x ′＝－1x 2；(2)(ln|x |)′＝1x ； (3)⎣⎡⎦⎤1f (x )′＝－f ′(x )[f (x )]2(f (x )≠0)； (4)[af (x )±bg (x )]′＝af ′(x )±bg ′(x )． 3．常见被积函数的原函数(1)∫b a c d x ＝cx |b a ；(2)∫b a x n d x ＝x n ＋1n ＋1|ba (n ≠－1)； (3)∫b a sin x d x ＝－cos x |b a ；(4)∫b a cos x d x ＝sin x |ba ；(5)∫b a 1x d x ＝ln|x ||b a ；(6)∫b a e x d x ＝e x |b a . 考点一 导数的运算1．f (x )＝x (2 018＋ln x )，若f ′(x 0)＝2 019，则x 0等于( ) A ．e 2 B ．1 C ．ln 2D ．e解析：选B f ′(x )＝2 018＋ln x ＋x ×1x ＝2 019＋ln x ，故由f ′(x 0)＝2 019，得2 019＋ln x 0＝2 019，则ln x 0＝0，解得x 0＝1.2．(2019·宜昌联考)已知f ′(x )是函数f (x )的导数，f (x )＝f ′(1)·2x ＋x 2，则f ′(2)＝( ) A.12－8ln 21－2ln 2B.21－2ln 2C.41－2ln 2D ．－2解析：选C 因为f ′(x )＝f ′(1)·2x ln 2＋2x ，所以f ′(1)＝f ′(1)·2ln 2＋2，解得f ′(1)＝21－2ln 2，所以f ′(x )＝21－2ln 2·2x ln 2＋2x ，所以f ′(2)＝21－2ln 2×22ln 2＋2×2＝41－2ln 2.3．若函数f (x )＝ax 4＋bx 2＋c 满足f ′(1)＝2，则f ′(－1)＝________. 解析：f ′(x )＝4ax 3＋2bx ， ∵f ′(x )为奇函数且f ′(1)＝2， ∴f ′(－1)＝－2. 答案：－24．求下列函数的导数． (1)y ＝x 2sin x ； (2)y ＝ln x ＋1x；(3)y ＝cos x ex ；(4)y ＝x sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2. 解：(1)y ′＝(x 2)′sin x ＋x 2(sin x )′ ＝2x sin x ＋x 2cos x .(2)y ′＝⎝⎛⎭⎫ln x ＋1x ′＝(ln x )′＋⎝⎛⎭⎫1x ′＝1x －1x2. (3)y ′＝⎝⎛⎭⎫cos x e x ′＝(cos x )′e x－cos x (e x)′(e x )2＝－sin x ＋cos x e x .(4)∵y ＝x sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2 ＝12x sin(4x ＋π) ＝－12x sin 4x ，∴y ′＝－12sin 4x －12x ·4cos 4x＝－12sin 4x －2x cos 4x .考点二 导数的几何意义及其应用考法(一) 求切线方程[例1] (2018·全国卷Ⅰ)设函数f (x )＝x 3＋(a －1)·x 2＋ax ，若f (x )为奇函数，则曲线y ＝f (x )在点(0,0)处的切线方程为( )A ．y ＝－2xB ．y ＝－xC ．y ＝2xD ．y ＝x[解析] 法一：∵f (x )＝x 3＋(a －1)x 2＋ax ， ∴f ′(x )＝3x 2＋2(a －1)x ＋a .又f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )恒成立，即－x 3＋(a －1)x 2－ax ＝－x 3－(a －1)x 2－ax 恒成立， ∴a ＝1，∴f ′(x )＝3x 2＋1，∴f ′(0)＝1， ∴曲线y ＝f (x )在点(0,0)处的切线方程为y ＝x . 法二：∵f (x )＝x 3＋(a －1)x 2＋ax 为奇函数， ∴f ′(x )＝3x 2＋2(a －1)x ＋a 为偶函数， ∴a ＝1，即f ′(x )＝3x 2＋1，∴f ′(0)＝1， ∴曲线y ＝f (x )在点(0,0)处的切线方程为y ＝x .[答案] D考法(二) 求切点坐标[例2] 已知函数f (x )＝x ln x 在点P (x 0，f (x 0))处的切线与直线x ＋y ＝0垂直，则切点P (x 0，f (x 0))的坐标为________．[解析] ∵f (x )＝x ln x ，∴f ′(x )＝ln x ＋1，由题意得f ′(x 0)·(－1)＝－1，即f ′(x 0)＝1，∴ln x 0＋1＝1，ln x 0＝0，∴x 0＝1，∴f (x 0)＝0，即P (1,0)．[答案] (1,0)考法(三) 由曲线的切线(斜率)求参数的值(范围)[例3] (1)(2018·商丘二模)设曲线f (x )＝－e x －x (e 为自然对数的底数)上任意一点处的切线为l 1，总存在曲线g (x )＝3ax ＋2cos x 上某点处的切线l 2，使得l 1⊥l 2，则实数a 的取值范围是( )A ．[－1,2]B ．(3，＋∞) C.⎣⎡⎦⎤－23，13 D.⎣⎡⎦⎤－13，23 (2)(2018·全国卷Ⅲ)曲线y ＝(ax ＋1)e x 在点(0,1)处的切线的斜率为－2，则a ＝________. [解析] (1)由f (x )＝－e x －x ，得f ′(x )＝－e x －1，∵e x ＋1>1，∴1e x ＋1∈(0,1)．由g (x )＝3ax ＋2cos x ，得g ′(x )＝3a －2sin x ，又－2sin x∈[－2,2]，∴3a －2sin x ∈[－2＋3a ，2＋3a ]．要使过曲线f (x )＝－e x －x 上任意一点的切线l 1，总存在过曲线g (x )＝3ax ＋2cos x 上某点处的切线l 2，使得l 1⊥l 2，则⎩⎪⎨⎪⎧－2＋3a ≤0，2＋3a ≥1，解得－13≤a ≤23.(2)∵y ′＝(ax ＋a ＋1)e x ， ∴当x ＝0时，y ′＝a ＋1， ∴a ＋1＝－2，解得a ＝－3. [答案] (1)D (2)－3考法(四) 两曲线的公切线问题[例4] 已知曲线f (x )＝x 3＋ax ＋14在x ＝0处的切线与曲线g (x )＝－ln x 相切，则a 的值为________．[解析] 由f (x )＝x 3＋ax ＋14，得f ′(x )＝3x 2＋a .∵f ′(0)＝a ，f (0)＝14，∴曲线y ＝f (x )在x ＝0处的切线方程为y －14＝ax .设直线y －14＝ax 与曲线g (x )＝－ln x 相切于点(x 0，－ln x 0)，g ′(x )＝－1x，∴⎩⎪⎨⎪⎧－ln x 0－14＝ax 0， ①a ＝－1x， ②将②代入①得ln x 0＝34，∴x 0＝e 34，∴a ＝－1e 34＝－e －34.[答案] －e －34[题组训练]1．曲线y ＝x －1x ＋1在点(0，－1)处的切线与两坐标轴围成的封闭图形的面积为( )A.18B.14C.12D ．1 解析：选B 因为y ′＝2(x ＋1)2，所以y ′x ＝0＝2，所以曲线在点(0，－1)处的切线方程为y ＋1＝2x ，即y ＝2x －1，与两坐标轴的交点坐标分别为(0，－1)，⎝⎛⎭⎫12，0，所以与两坐标轴围成的三角形的面积S ＝12×|－1|×12＝14.2．已知直线2x －y ＋1＝0与曲线y ＝a e x ＋x 相切(其中e 为自然对数的底数)，则实数a 的值为________．解析：由题意知y ′＝a e x ＋1＝2，则a >0，x ＝－ln a ，代入曲线方程得y ＝1－ln a ，所以切线方程为y －(1－ln a )＝2(x ＋ln a )，即y ＝2x ＋ln a ＋1＝2x ＋1⇒a ＝1.答案：13．若一直线与曲线y ＝ln x 和曲线x 2＝ay (a >0)相切于同一点P ，则a 的值为________． 解析：设切点P (x 0，y 0)，则由y ＝ln x ，得y ′＝1x，由x 2＝ay ，得y ′＝2ax ，则有⎩⎪⎨⎪⎧1x 0＝2a x 0，y 0＝ln x 0，x 20＝ay 0，解得a ＝2e.答案：2e考点三 定积分的运算及应用[题组训练]1. ⎠⎛0π(sin x －cos x )d x ＝________.解析：⎠⎛0π (sin x －cos x )d x＝⎠⎛0πsin x d x －⎠⎛0πcos x d x ＝－cos x ⎪⎪⎪π0－sin x ⎪⎪⎪π＝2. 答案：2 2. ⎠⎛1e 1x d x ＋⎠⎛－224－x 2d x ＝________.解析：⎠⎛1e 1x d x ＝ln x ⎪⎪⎪e1＝1－0＝1，因为⎠⎛－224－x 2d x 表示的是圆x 2＋y 2＝4在x 轴及其上方的面积，故⎠⎛－224－x 2d x ＝12π×22＝2π，故答案为2π＋1.答案：2π＋13．由曲线y ＝x ，y ＝2－x ，y ＝－13x 所围成图形的面积为____________．解析：法一：画出草图，如图所示．解方程组⎩⎨⎧y ＝x ，x ＋y ＝2，⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ，y ＝－13x 及⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，y ＝－13x ，得交点分别为(1,1)，(0,0)，(3，－1)， 所以所求图形的面积S ＝⎠⎛01⎣⎡⎦⎤ x －⎝⎛⎭⎫－13x d x ＋⎠⎛13⎣⎡⎦⎤(2－x )－⎝⎛⎭⎫－13x d x ＝⎠⎛01⎝⎛⎭⎫ x ＋13x d x ＋⎠⎛13⎝⎛⎭⎫2－23x d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 32＋16x 2⎪⎪⎪10＋⎝⎛⎭⎫2x －13x 2⎪⎪⎪31 ＝56＋6－13×9－2＋13＝136.法二：如图所求阴影的面积就是三角形OAB 的面积减去由y 轴，y ＝x ，y ＝2－x 围成的曲边三角形的面积，即S ＝12×2×3－⎠⎛01 (2－x －x )d x＝3－⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －12x 2－23x 32⎪⎪⎪1＝3－⎝⎛⎭⎫2－12－23＝136. 答案：1364．一物体在力F (x ) ＝⎩⎪⎨⎪⎧5，0≤x ≤2，3x ＋4，x >2(单位：N)的作用下沿与力F 相同的方向，从x＝0处运动到x ＝4(单位：m)处，则力F (x )做的功为________J.解析：由题意知，力F (x )所做的功为W ＝⎠⎛04F (x )d x ＝⎠⎛025d x ＋⎠⎛24(3x ＋4)d x ＝5×2＋⎝⎛⎭⎫32x 2＋4x ⎪⎪⎪42＝10＋⎣⎡⎦⎤32×42＋4×4－⎝⎛⎭⎫32×22＋4×2＝36(J)． 答案：361．正确选用求定积分的4个常用方法 定理法 性质法 几何法 奇偶性法 2．定积分在物理中的2个应用(1)求物体做变速直线运动的路程，如果变速直线运动物体的速度为v ＝v (t )，那么从时刻t ＝a 到t ＝b 所经过的路程s ＝⎠⎛ab v (t )d t .(2)变力做功，一物体在变力F (x )的作用下，沿着与F (x )相同的方向从x ＝a 移动到x ＝b 时，力F (x )所做的功是W ＝⎠⎛ab F (x )d x .[课时跟踪检测]A 级1．曲线y ＝e x －ln x 在点(1，e)处的切线方程为( ) A ．(1－e)x －y ＋1＝0 B ．(1－e)x －y －1＝0 C ．(e －1)x －y ＋1＝0D ．(e －1)x －y －1＝0解析：选C 由于y ′＝e －1x ，所以y ′|x ＝1＝e －1，故曲线y ＝e x －ln x 在点(1，e)处的切线方程为y －e ＝(e －1)(x －1)，即(e －1)x －y ＋1＝0.2．曲线f (x )＝x 3－x ＋3在点P 处的切线平行于直线y ＝2x －1，则P 点的坐标为( ) A ．(1,3) B ．(－1,3) C ．(1,3)和(－1,3)D ．(1，－3)解析：选C f ′(x )＝3x 2－1，令f ′(x )＝2，则3x 2－1＝2，解得x ＝1或x ＝－1，∴P (1,3)或(－1,3)，经检验，点(1,3)，(－1,3)均不在直线y ＝2x －1上，故选C.3．已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足关系式f (x )＝x 2＋3xf ′(2)＋ln x ，则f ′(2)的值等于( )A ．－2B ．2C ．－94 D.94解析：选C 因为f (x )＝x 2＋3xf ′(2)＋ln x ，所以f ′(x )＝2x ＋3f ′(2)＋1x ，所以f ′(2)＝2×2＋3f ′(2)＋12，解得f ′(2)＝－94.4.(2019·四川名校联考)已知函数f (x )的图象如图所示，f ′(x )是f (x )的导函数，则下列数值排序正确的是( )A ．0<f ′(2)<f ′(3)<f (3)－f (2)B ．0<f ′(3)<f ′(2)<f (3)－f (2)C ．0<f ′(3)<f (3)－f (2)<f ′(2)D ．0<f (3)－f (2)<f ′(2)<f ′(3)解析：选C 设f ′(3)，f (3)－f (2)，f ′(2)分别表示直线n ，m ，l 的斜率，数形结合知0<f ′(3)<f (3)－f (2)<f ′(2)，故选C.5.(2019·玉林模拟)由曲线y ＝x 2和曲线y ＝x 围成的一个叶形图如图所示，则图中阴影部分的面积为( )A.13 B.310 C.14D.15解析：选A 由⎩⎨⎧ y ＝x 2，y ＝x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，所以阴影部分的面积为⎠⎛01 (x －x 2)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 32－13x 3⎪⎪⎪10＝13.6．(2018·安庆模拟)设曲线y ＝e ax －ln(x ＋1)在x ＝0处的切线方程为2x －y ＋1＝0，则a ＝( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选D ∵y ＝e ax －ln(x ＋1)，∴y ′＝a e ax －1x ＋1，∴当x ＝0时，y ′＝a －1.∵曲线y ＝e ax －ln(x ＋1)在x ＝0处的切线方程为2x －y ＋1＝0，∴a －1＝2，即a ＝3.7．(2018·延边期中)设点P 是曲线y ＝x 3－3x ＋23上的任意一点，则曲线在点P 处切线的倾斜角α的取值范围为( )A.⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭⎫5π6，π B.⎣⎡⎭⎫2π3，π C.⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭⎫2π3，π D.⎝⎛⎦⎤π2，5π6解析：选C 因为y ′＝3x 2－3≥－3，故切线的斜率k ≥－3，所以切线的倾斜角α的取值范围为⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭⎫2π3，π. 8．若曲线f (x )＝x sin x ＋1在x ＝π2处的切线与直线ax ＋2y ＋1＝0 相互垂直，则实数a ＝________.解析：因为f ′(x )＝sin x ＋x cos x ，所以f ′⎝⎛⎭⎫π2＝sin π2＋π2cos π2＝1.又直线ax ＋2y ＋1＝0的斜率为－a2，所以1×⎝⎛⎭⎫－a 2＝－1，解得a ＝2. 答案：29．(2019·重庆质检)若曲线y ＝ln(x ＋a )的一条切线为y ＝e x ＋b ，其中a ，b 为正实数，则a ＋eb ＋2的取值范围为________．解析：由y ＝ln(x ＋a )，得y ′＝1x ＋a .设切点为(x 0，y 0)，则有⎩⎪⎨⎪⎧1x 0＋a ＝e ，ln (x 0＋a )＝e x 0＋b ⇒b ＝a e －2.∵b >0，∴a >2e，∴a ＋e b ＋2＝a ＋1a ≥2，当且仅当a ＝1时等号成立．答案：[2，＋∞)10．(2018·烟台期中)设函数F (x )＝ln x ＋ax (0<x ≤3)的图象上任意一点P (x 0，y 0)处切线的斜率k ≤12恒成立，则实数a 的取值范围为________．解析：由F (x )＝ln x ＋ax (0<x ≤3)，得F ′(x )＝x －a x 2(0<x ≤3 )，则有k ＝F ′(x 0)＝x 0－a x 20≤12在(0,3]上恒成立，所以a ≥⎝⎛⎭⎫－12x 20＋x 0max .当x 0＝1时，－12x 20＋x 0在(0,3]上取得最大值12，所以a ≥12.答案：⎣⎡⎭⎫12，＋∞B 级1．若f (x )＝x 2＋2⎠⎛01f (x )d x ，则⎠⎛01f (x )d x ＝( )A ．－1B ．－13C.13D ．1解析：选B ∵f (x )＝x 2＋2⎠⎛01f (x )d x ，∴⎠⎛01f (x )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3＋2x ⎠⎛01f (x )d x ⎪⎪⎪10＝13＋2⎠⎛01f (x )d x ，∴⎠⎛01f (x )d x ＝－13. 2．设f (x )＝⎩⎨⎧1－x 2，x ∈[－1，1]， x 2－1，x ∈(1，2]，则⎠⎛-12f (x )d x 的值为( )A.π2＋43 B.π2＋3 C.π4＋43D.π4＋3 解析：选A ⎠⎛-12f (x )d x ＝⎠⎛-111－x 2d x ＋⎠⎛12 (x 2－1)d x ＝12π×12＋⎝⎛⎭⎫13x 3－x ⎪⎪⎪21＝π2＋43. 3．等比数列{a n }中，a 1＝2，a 8＝4，函数f (x )＝x (x －a 1)·(x －a 2)·…·(x －a 8)，则f ′(0)＝( )A ．26B ．29C ．212D ．215解析：选C 因为f ′(x )＝x ′·[(x －a 1)(x －a 2)·…·(x －a 8)]＋[(x －a 1)(x －a 2)·…·(x －a 8)]′·x ＝(x －a 1)(x －a 2)·…·(x －a 8)＋[(x －a 1)(x －a 2)·…·(x －a 8)]′·x ，所以f ′(0)＝(0－a 1)(0－a 2)·…·(0－a 8)＋0＝a 1a 2·…·a 8.因为数列{a n }为等比数列， 所以a 2a 7＝a 3a 6＝a 4a 5＝a 1a 8＝8， 所以f ′(0)＝84＝212.4．若存在过点(1,0)的直线与曲线y ＝x 3和y ＝ax 2＋154x －9都相切，则a 等于( )A ．－1或－2564B ．－1或214C ．－74或－2564D ．－74或7解析：选A 因为y ＝x 3，所以y ′＝3x 2， 设过点(1,0)的直线与y ＝x 3相切于点(x 0，x 30)， 则在该点处的切线斜率为k ＝3x 20，所以切线方程为y －x 30＝3x 20(x －x 0)，即y ＝3x 20x －2x 30.又点(1,0)在切线上，所以x 0＝0或x 0＝32.当x 0＝0时，切线方程为y ＝0.由y ＝0与y ＝ax 2＋154x －9相切可得a ＝－2564；当x 0＝32时，切线方程为y ＝274x －274，由y ＝274x －274与y ＝ax 2＋154x －9相切，可得a ＝－1.综上，a 的值为－1或－2564.5．已知f 1(x )＝sin x ＋cos x ，f n ＋1(x )是f n (x )的导函数，即f 2(x )＝f 1′(x )，f 3(x )＝f 2′(x )，…，f n ＋1(x )＝f n ′(x )，n ∈N *，则f 2 019(x )＝( )A ．－sin x －cos xB ．sin x －cos xC ．－sin x ＋cos xD ．sin x ＋cos x解析：选A ∵f 1(x )＝sin x ＋cos x ，∴f 2(x )＝f 1′(x )＝cos x －sin x ，f 3(x )＝f 2′(x )＝－sin x －cos x ，f 4(x )＝f 3′(x )＝－cos x ＋sin x ，f 5(x )＝f 4′(x )＝sin x ＋cos x ，…，∴f n (x )的解析式以4为周期重复出现，∵2 019＝4×504＋3，∴f 2 019(x )＝f 3(x )＝－sin x －cos x .6．曲线y ＝ln(2x －1)上的点到直线2x －y ＋8＝0的最短距离是( ) A ．2 5 B ．2 C ．2 3D. 3解析：选A 设M (x 0，ln(2x 0－1))为曲线上的任意一点，则曲线在点M 处的切线与直线2x －y ＋8＝0平行时，点M 到直线的距离即为曲线y ＝ln(2x －1)上的点到直线2x －y ＋8＝0的最短距离．∵y ′＝22x －1，∴22x 0－1＝2，解得x 0＝1，∴M (1,0)．记点M 到直线2x －y ＋8＝0的距离为d ，则d ＝|2＋8|4＋1＝2 5.7．如图，y ＝f (x )是可导函数，直线l ：y ＝kx ＋2是曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线，令g (x )＝xf (x )，则曲线g (x )在x ＝3处的切线方程为________．解析：由题图可知曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线斜率等于－13，即f ′(3)＝－13.又g (x )＝xf (x )，所以g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )，g ′(3)＝f (3)＋3f ′(3)，由题图可知f (3)＝1，所以g (3)＝3f (3)＝3，g ′(3)＝1＋3×⎝⎛⎭⎫－13＝0，则曲线g (x )在x ＝3处的切线方程为y －3＝0. 答案：y －3＝08．设函数f (x )＝ax －bx ，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x －4y －12＝0.(1)求f (x )的解析式；(2)曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形的面积是否为定值，若是，求此定值；若不是，说明理由．解：(1)方程7x －4y －12＝0可化为y ＝74x －3，当x ＝2时，y ＝12.又f ′(x )＝a ＋bx 2，所以⎩⎨⎧2a －b 2＝12，a ＋b 4＝74，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3.故f (x )＝x －3x.(2)是定值，理由如下：设P (x 0，y 0)为曲线y ＝f (x )上任一点，由f ′(x )＝1＋3x 2知曲线在点P (x 0，y 0)处的切线方程为y －y 0＝⎝⎛⎭⎫1＋3x 20(x －x 0)， 即y －⎝⎛⎭⎫x 0－3x 0＝⎝⎛⎭⎫1＋3x 20(x －x 0)． 令x ＝0，得y ＝－6x 0，得切线与直线x ＝0的交点坐标为⎝⎛⎭⎫0，－6x 0. 令y ＝x ，得y ＝x ＝2x 0，得切线与直线y ＝x 的交点坐标为(2x 0,2x 0)．所以曲线y ＝f (x )在点P (x 0，y 0)处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形的面积S ＝12⎪⎪⎪⎪－6x 0·|2x 0|＝6.故曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，且此定值为6.9．已知函数f (x )＝ln x －a (x ＋1)x －1，曲线y ＝f (x )在点⎝⎛⎭⎫12，f ⎝⎛⎭⎫12处的切线平行于直线y ＝10x ＋1.(1)求函数f (x )的单调区间；(2)设直线l 为函数g (x )＝ln x 图象上任意一点A (x 0，y 0)处的切线，问：在区间(1，＋∞)上是否存在x 0，使得直线l 与曲线h (x )＝e x 也相切？若存在，满足条件的 x 0有几个？解：(1)∵函数f (x )＝ln x －a (x ＋1)x －1(x ＞0且x ≠1)，∴f ′(x )＝1x ＋2a(x －1)2，∵曲线y ＝f (x )在点⎝⎛⎭⎫12，f ⎝⎛⎭⎫12处的切线平行于直线y ＝10x ＋1， ∴f ′⎝⎛⎭⎫12＝2＋8a ＝10，∴a ＝1，∴f ′(x )＝x 2＋1x (x －1)2. ∵x ＞0且x ≠1，∴f ′(x )＞0，∴函数f (x )的单调递增区间为(0,1)和(1，＋∞)，无单调递减区间． (2)在区间(1，＋∞)上存在唯一一个满足条件的x 0. ∵g (x )＝ln x ，∴g ′(x )＝1x，∴切线l 的方程为y －ln x 0＝1x 0(x －x 0)，即y ＝1x 0x ＋ln x 0－1.①设直线l 与曲线h (x )＝e x 相切于点(x 1，e x 1)， ∵h ′(x )＝e x ，∴e x 1＝1x 0，∴x 1＝－ln x 0，∴直线l 的方程也可以写成y －1x 0＝1x 0(x ＋ln x 0)，即y ＝1x 0x ＋ln x 0x 0＋1x 0.②由①②得ln x 0－1＝ln x 0x 0＋1x 0，∴ln x 0＝ x 0＋1x 0－1.下证在区间(1，＋∞)上存在唯一一个满足条件的x 0. 由(1)可知，f (x )＝ln x －x ＋1x －1在区间(1，＋∞)上单调递增，又∵f (e)＝－2e －1＜0，f (e 2)＝e 2－3e 2－1＞0，∴结合零点存在性定理，知方程f (x )＝0在区间(e ，e 2)上有唯一的实数根，这个根就是所求的唯一满足条件的x 0.第二节导数的简单应用一、基础知识1．函数的单调性与导数的关系在(a，b)内可导函数f(x)，f′(x)在(a，b)任意子区间内都不恒等于0.f′(x)≥0⇔f(x)在(a，b)上为增函数．f′(x)≤0⇔f(x)在❶(a，b)上为减函数．2．函数的极值(1)函数的极小值：；函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0❷，f(a)而且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则点a叫做函数y＝f(x)的极小值点❸叫做函数y＝f(x)的极小值．(2)函数的极大值：函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近的其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．极小值点、极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值．3．函数的最值(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．(3)开区间上的单调连续函数无最值．,(1)f′(x)＞0(＜0)是f(x)在区间(a，b)内单调递增(减)的充分不必要条件．(2)f′(x)≥0(≤0)是f(x)在区间(a，b)内单调递增(减)的必要不充分条件．(3)由f(x)在区间(a，b)内单调递增(减)可得f′(x)≥0(≤0)在该区间内恒成立，而不是f′(x)＞0(＜0)恒成立，“＝”不能少，必要时还需对“＝”进行检验.)＝0是x0为f(x)的极值点的必要不充分条件．例如，f(x)＝x3，f′(0)＝0，但xf′(x＝0不是极值点．(1)极值点不是点，若函数f(x)在x1处取得极大值，则x1为极大值点，极大值为f(x1)；在x2处取得极小值，则x2为极小值点，极小值为f(x2)．极大值与极小值之间无确定的大小关系．(2)极值一定在区间内部取得，有极值的函数一定不是单调函数.二、常用结论(1)若所求函数的单调区间不止一个，这些区间之间不能用并集“∪”及“或”连接，只能用“，”“和”字隔开．(2)若函数f (x )在开区间(a ，b )内只有一个极值点，则相应的极值一定是函数的最值． (3)极值只能在定义域内取得(不包括端点)，最值却可以在端点处取得，有极值的不一定有最值，有最值的也未必有极值；极值有可能成为最值，非常数可导函数最值只要不在端点处取，则必定在极值处取． 第一课时 导数与函数的单调性 考点一 求函数的单调区间1．已知函数f (x )＝x ln x ，则f (x )( ) A ．在(0，＋∞)上单调递增 B ．在(0，＋∞)上单调递减 C ．在⎝⎛⎭⎫0，1e 上单调递增 D ．在⎝⎛⎭⎫0，1e 上单调递减 解析：选D 因为函数f (x )＝x ln x 的定义域为(0，＋∞)， 所以f ′(x )＝ln x ＋1(x ＞0)， 当f ′(x )＞0时，解得x ＞1e，即函数f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫1e ，＋∞； 当f ′(x )＜0时，解得0＜x ＜1e，即函数f (x )的单调递减区间为⎝⎛⎭⎫0，1e ，故选D. 2．若幂函数f (x )的图象过点⎝⎛⎭⎫22，12，则函数g (x )＝e x f (x )的单调递减区间为________．解析：设幂函数f (x )＝x a ，因为图象过点⎝⎛⎭⎫22，12，所以12＝⎝⎛⎭⎫22a，a ＝2，所以f (x )＝x 2，故g (x )＝e x x 2， 则g ′(x )＝e x x 2＋2e x x ＝e x (x 2＋2x )， 令g ′(x )＜0，得－2＜x ＜0，故函数g (x )的单调递减区间为(－2,0)． 答案：(－2,0)3．(2018·开封调研)已知定义在区间(－π，π)上的函数f (x )＝x sin x ＋cos x ，则f (x )的单调递增区间是___________________________________________________________．解析：f ′(x )＝sin x ＋x cos x －sin x ＝x cos x . 令f ′(x )＝x cos x ＞0(x ∈(－π，π))， 解得－π＜x ＜－π2或0＜x ＜π2，即函数f (x )的单调递增区间是⎝⎛⎭⎫－π，－π2和⎝⎛⎭⎫0，π2. 答案：⎝⎛⎭⎫－π，－π2和⎝⎛⎭⎫0，π2 考点二 判断含参函数的单调性(2018·全国卷Ⅰ节选)已知函数f (x )＝1x －x ＋a ln x ，讨论f (x )的单调性．[解] f (x )的定义域为(0，＋∞)， f ′(x )＝－1x 2－1＋ax ＝－x 2－ax ＋1x 2.①当a ≤2时，则f ′(x )≤0， 当且仅当a ＝2，x ＝1时，f ′(x )＝0， 所以f (x )在(0，＋∞)上单调递减． ②当a ＞2时，令f ′(x )＝0， 得x ＝a －a 2－42或x ＝a ＋a 2－42.当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a －a 2－42∪⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋a 2－42，＋∞时，f ′(x )＜0；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫a －a 2－42，a ＋a 2－42时，f ′(x )＞0. 所以f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a －a 2－42，⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋a 2－42，＋∞上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫a －a 2－42，a ＋a 2－42上单调递增．综合①②可知，当a ≤2时，f (x )在(0，＋∞)上单调递减；当a ＞2时，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a －a 2－42，⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋a 2－42，＋∞上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫a －a 2－42，a ＋a 2－42上单调递增．[题组训练]已知函数g (x )＝ln x ＋ax 2＋bx ，其中g (x )的函数图象在点(1，g (1))处的切线平行于x 轴． (1)确定a 与b 的关系；(2)若a ≥0，试讨论函数g (x )的单调性． 解：(1)g ′(x )＝1x＋2ax ＋b (x ＞0)．由函数g (x )的图象在点(1，g (1))处的切线平行于x 轴， 得g ′(1)＝1＋2a ＋b ＝0，所以b ＝－2a －1. (2)由(1)得g ′(x )＝2ax 2－(2a ＋1)x ＋1x ＝(2ax －1)(x －1)x .因为函数g (x )的定义域为(0，＋∞)， 所以当a ＝0时，g ′(x )＝－x －1x.由g ′(x )＞0，得0＜x ＜1，由g ′(x )＜0，得x ＞1， 即函数g (x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减． 当a ＞0时，令g ′(x )＝0，得x ＝1或x ＝12a，若12a ＜1，即a ＞12，由g ′(x )＞0，得x ＞1或0＜x ＜12a ，由g ′(x )＜0，得12a ＜x ＜1， 即函数g (x )在⎝⎛⎭⎫0，12a ，(1，＋∞)上单调递增，在⎝⎛⎭⎫12a ，1上单调递减； 若12a ＞1，即0＜a ＜12，由g ′(x )＞0，得x ＞12a 或0＜x ＜1， 由g ′(x )＜0，得1＜x ＜12a，即函数g (x )在(0,1)，⎝⎛⎭⎫12a ，＋∞上单调递增，在⎝⎛⎭⎫1，12a 上单调递减； 若12a ＝1，即a ＝12，在(0，＋∞)上恒有g ′(x )≥0， 即函数g (x )在(0，＋∞)上单调递增．综上可得，当a ＝0时，函数g (x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减； 当0＜a ＜12时，函数g (x )在(0,1)，⎝⎛⎭⎫12a ，＋∞上单调递增，在⎝⎛⎭⎫1，12a 上单调递减； 当a ＝12时，函数g (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a ＞12时，函数g (x )在⎝⎛⎭⎫0，12a ，(1，＋∞)上单调递增， 在⎝⎛⎭⎫12a ，1上单调递减．考点三 根据函数的单调性求参数[典例精析](1)若函数f (x )＝x －13sin 2x ＋a sin x 在(－∞，＋∞)单调递增，则a 的取值范围是________．(2)若函数h (x )＝ln x －12ax 2－2x (a ≠0)在[1,4]上单调递减，则a 的取值范围为________．[解析] (1)函数f (x )＝x －13sin 2x ＋a sin x 在(－∞，＋∞)单调递增，等价于f ′(x )＝1－23cos 2x ＋a cos x ＝－43cos 2x ＋a cos x ＋53≥0在(－∞，＋∞)恒成立．设cos x ＝t ，则g (t )＝－43t 2＋at ＋53≥0在[－1,1]恒成立，所以⎩⎨⎧g (1)＝－43＋a ＋53≥0，g (－1)＝－43－a ＋53≥0，解得－13≤a ≤13.(2)因为h (x )在[1,4]上单调递减，所以当x ∈[1,4]时，h ′(x )＝1x －ax －2≤0恒成立，即a ≥1x 2－2x 恒成立．由(1)知G (x )＝1x 2－2x，所以a ≥G (x )max ，而G (x )＝⎝⎛⎭⎫1x －12－1， 因为x ∈[1,4]，所以1x ∈⎣⎡⎦⎤14，1， 所以G (x )max ＝－716(此时x ＝4)， 所以a ≥－716，又因为a ≠0，所以a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫－716，0∪(0，＋∞)． 答案：(1)⎣⎡⎦⎤－13，13 (2)⎣⎡⎭⎫－716，0∪(0，＋∞)[变式发散]1．(变条件)若本例(2)条件变为“函数h (x )在[1,4]上单调递增”，则a 的取值范围为________．解析：因为h (x )在[1,4]上单调递增，所以当x ∈[1,4]时，h ′(x )≥0恒成立，即a ≤1x 2－2x 恒成立，又因为当 x ∈[1,4]时，⎝⎛⎭⎫1x 2－2x min ＝－1(此时x ＝1)， 所以a ≤－1，即a 的取值范围是(－∞，－1]． 答案：(－∞，－1]2．(变条件)若本例(2)条件变为“函数h (x )在[1,4]上存在单调递减区间”，则a 的取值范围为________．解析：因为h (x )在[1,4]上存在单调递减区间， 所以h ′(x )＜0在[1,4]上有解， 所以当x ∈[1,4]时，a ＞1x 2－2x有解，而当x ∈[1,4]时，⎝⎛⎭⎫1x 2－2x min ＝－1(此时x ＝1)， 所以a ＞－1，又因为a ≠0，所以a 的取值范围是(－1,0)∪(0，＋∞)． 答案：(－1,0)∪(0，＋∞)3．(变条件)若本例(2)条件变为“函数h (x )在[1,4]上不单调”，则a 的取值范围为________．解析：因为h (x )在[1,4]上不单调，所以h ′(x )＝0在(1,4)上有解，即a ＝1x 2－2x ＝⎝⎛⎭⎫1x －12－1在(1,4)上有解， 令m (x )＝1x 2－2x ，x ∈(1,4)，则－1＜m (x )＜－716.所以实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－1，－716. 答案：⎝⎛⎭⎫－1，－716 [题组训练]1．(2019·渭南质检)已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2的图象经过点M (1,4)，曲线在点M 处的切线恰好与直线x ＋9y ＝0垂直．若函数f (x )在区间[m ，m ＋1]上单调递增，则m 的取值范围是________．解析：∵f (x )＝ax 3＋bx 2的图象经过点M (1,4)， ∴a ＋b ＝4，①f ′(x )＝3ax 2＋2bx ，则f ′(1)＝3a ＋2b .由题意可得f ′(1)·⎝⎛⎭⎫－19＝－1，即3a ＋2b ＝9.② 联立①②两式解得a ＝1，b ＝3， ∴f (x )＝x 3＋3x 2，f ′(x )＝3x 2＋6x .令f ′(x )＝3x 2＋6x ≥0，得x ≥0或x ≤－2. ∵函数f (x )在区间[m ，m ＋1]上单调递增， ∴[m ，m ＋1]⊆(－∞，－2]∪[0，＋∞)， ∴m ≥0或m ＋1≤－2，即m ≥0或m ≤－3. 答案：(－∞，－3]∪[0，＋∞)2．已知函数f (x )＝3xa －2x 2＋ln x (a ＞0)，若函数f (x )在[1,2]上为单调函数，则a 的取值范围是________．解析：f ′(x )＝3a －4x ＋1x ，若函数f (x )在[1,2]上为单调函数，即f ′(x )＝3a －4x ＋1x ≥0或f ′(x )＝3a －4x ＋1x ≤0在[1,2]上恒成立，即3a ≥4x －1x 或3a ≤4x －1x 在[1,2]上恒成立． 令h (x )＝4x －1x，则h (x )在[1,2]上单调递增， 所以3a ≥h (2)或3a ≤h (1)，即3a ≥152或3a≤3，又a ＞0， 所以0＜a ≤25或a ≥1.答案：⎝⎛⎦⎤0，25∪[1，＋∞) [课时跟踪检测]A 级1．下列函数中，在(0，＋∞)上为增函数的是( ) A ．f (x )＝sin 2x B ．f (x )＝x e x C ．f (x )＝x 3－xD ．f (x )＝－x ＋ln x解析：选B 对于A ，f (x )＝sin 2x 的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤k π－π4，k π＋π4(k ∈Z)；对于B ，f ′(x )＝e x (x ＋1)，当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )＞0，∴函数f (x )＝x e x 在(0，＋∞)上为增函数；对于C ，f ′(x )＝3x 2－1，令f ′(x )＞0，得x ＞33或x ＜－33，∴函数f (x )＝x 3－x 在⎝⎛⎭⎫－∞，－33和⎝⎛⎭⎫33，＋∞上单调递增；对于D ，f ′(x )＝－1＋1x ＝－x －1x ，令f ′(x )＞0，得0＜x ＜1，∴函数f (x )＝－x ＋ln x 在区间(0,1)上单调递增．综上所述，应选B.2．已知函数f (x )＝x 2＋2cos x ，若f ′(x )是f (x )的导函数，则函数f ′(x )的大致图象是( )解析：选A 设g (x )＝f ′(x )＝2x －2sin x ，则g ′(x )2－2cos x ≥0，所以函数f ′(x )在R 上单调递增，结合选项知选A.3．若函数f (x )＝(x 2－cx ＋5)e x 在区间⎣⎡⎦⎤12，4上单调递增，则实数c 的取值范围是( ) A ．(－∞，2] B ．(－∞，4] C ．(－∞，8]D ．[－2,4]解析：选B f ′(x )＝[x 2＋(2－c )x －c ＋5]e x ，∵函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤12，4上单调递增，∴x 2＋(2－c )x －c ＋5≥0对任意x ∈⎣⎡⎦⎤12，4恒成立，即(x ＋1)c ≤x 2＋2x ＋5对任意x ∈⎣⎡⎦⎤12，4恒成立，∴c ≤x 2＋2x ＋5x ＋1对任意x ∈⎣⎡⎦⎤12，4恒成立，∵x ∈⎣⎡⎦⎤12，4，∴x 2＋2x ＋5x ＋1＝x ＋1＋4x ＋1≥4，当且仅当x ＝1时等号成立，∴c ≤4.4．(2019·咸宁联考)设函数f (x )＝12x 2－9ln x 在区间[a －1，a ＋1]上单调递减，则实数a的取值范围是( )A ．(1,2]B ．(4，＋∞)C ．(－∞，2)D ．(0,3]解析：选A ∵f (x )＝12x 2－9ln x ，∴f ′(x )＝x －9x (x ＞0)，由x －9x ≤0，得0＜x ≤3，∴f (x )在(0,3]上是减函数，则[a －1，a ＋1]⊆(0,3]，∴a －1＞0且a ＋1≤3，解得1＜a ≤2.5．(2019·南昌联考)已知函数f (x ＋1)是偶函数，当x ∈(1，＋∞)时，函数f (x )＝sin x －x ，设a ＝f ⎝⎛⎭⎫－12，b ＝f (3)，c ＝f (0)，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．b ＜a ＜c B ．c ＜a ＜b C ．b ＜c ＜aD ．a ＜b ＜c解析：选A ∵函数f (x ＋1)是偶函数，∴函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称，∴a ＝f ⎝⎛⎭⎫－12＝f ⎝⎛⎭⎫52，b ＝f (3)，c ＝f (0)＝f (2)．又∵当x ∈(1，＋∞)时，函数f (x )＝sin x －x ，∴当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )＝cos x －1≤0，即f (x )＝sin x －x 在(1，＋∞)上为减函数，∴b ＜a ＜c .6．已知函数y ＝f (x )(x ∈R)的图象如图所示，则不等式xf ′(x )≥0的解集为________________．解析：由f (x )图象特征可得，在⎝⎛⎦⎤－∞，12和[2，＋∞)上f ′(x )≥0, 在 ⎝⎛⎭⎫12，2上f ′(x )＜0，所以xf ′(x )≥0⇔⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥0，f ′(x )≥0或⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，f ′(x )≤0⇔0≤x ≤12或x ≥2，所以xf ′(x )≥0的解集为⎣⎡⎦⎤0，12∪[2，＋∞)． 答案：⎣⎡⎦⎤0，12∪[2，＋∞) 7．(2019·岳阳模拟)若函数f (x )＝x 2－e x －ax 在R 上存在单调递增区间，则实数a 的取值范围是________．解析：∵函数f (x )＝x 2－e x －ax 在R 上存在单调递增区间， ∴f ′(x )＝2x －e x －a ＞0，即a ＜2x －e x 有解． 设g (x )＝2x －e x ，则g ′(x )＝2－e x ， 令g ′(x )＝0，得x ＝ln 2，则当x ＜ln 2时，g ′(x )＞0，g (x )单调递增， 当x ＞ln 2时，g ′(x )＜0，g (x )单调递减，∴当x ＝ln 2时，g (x )取得最大值，且g (x )max ＝g (ln 2)＝2ln 2－2，∴a ＜2ln 2－2. 答案：(－∞，2ln 2－2)8．设f (x )＝a (x －5)2＋6ln x ，其中a ∈R ，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与y 轴相交于点(0,6)．(1)确定a 的值；(2)求函数f (x )的单调区间． 解：(1)因为f (x )＝a (x －5)2＋6ln x ， 所以f ′(x )＝2a (x －5)＋6x.令x ＝1，得f (1)＝16a ，f ′(1)＝6－8a ，所以曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y －16a ＝(6－8a )(x －1)， 由点(0,6)在切线上，可得6－16a ＝8a －6，解得a ＝12.(2)由(1)知，f (x )＝12(x －5)2＋6ln x (x ＞0)，f ′(x )＝x －5＋6x ＝(x －2)(x －3)x .令f ′(x )＝0，解得x ＝2或x ＝3. 当0＜x ＜2或x ＞3时，f ′(x )＞0； 当2＜x ＜3时，f ′(x )＜0，故函数f (x )的单调递增区间是(0,2)，(3，＋∞)，单调递减区间是(2,3)．9．已知e 是自然对数的底数，实数a 是常数，函数f (x )＝e x －ax －1的定义域为(0，＋∞)．(1)设a ＝e ，求函数f (x )的图象在点(1，f (1))处的切线方程； (2)判断函数f (x )的单调性． 解：(1)∵a ＝e ，∴f (x )＝e x －e x －1， ∴f ′(x )＝e x －e ，f (1)＝－1，f ′(1)＝0.∴当a ＝e 时，函数f (x )的图象在点(1，f (1))处的切线方程为y ＝－1. (2)∵f (x )＝e x －ax －1，∴f ′(x )＝e x －a . 易知f ′(x )＝e x －a 在(0，＋∞)上单调递增．∴当a ≤1时，f ′(x )＞0，故f (x )在(0，＋∞)上单调递增； 当a ＞1时，由f ′(x )＝e x －a ＝0，得x ＝ln a ，∴当0＜x ＜ln a 时，f ′(x )＜0，当x ＞ln a 时，f ′(x )＞0， ∴f (x )在(0，ln a )上单调递减，在(ln a ，＋∞)上单调递增． 综上，当a ≤1时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a ＞1时，f (x )在(0，ln a )上单调递减，在(ln a ，＋∞)上单调递增．B 级1．(2019·南昌模拟)已知函数f (x )＝x sin x ，x 1，x 2∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，且f (x 1)＜f (x 2)，那么( ) A ．x 1－x 2＞0B ．x 1＋x 2＞0C ．x 21－x 22＞0D ．x 21－x 22＜0解析：选D 由f (x )＝x sin x ，得f ′(x )＝sin x ＋x cos x ＝cos x (tan x ＋x )，当x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2时，f ′(x )＞0，即f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2上为增函数，又∵f (－x )＝－x sin(－x )＝x sin x ＝f (x )，∴f (x )为偶函数，∴当f (x 1)＜f (x 2)时，有f (|x 1|)＜f (|x 2|)，∴|x 1|＜|x 2|，x 21－x 22＜0，故选D.2．函数f (x )＝12x 2－ln x 的单调递减区间为________．解析：由题意知，函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，由f (x )＝x －1x ＜0，得0＜x ＜1，所以函数f (x )的单调递减区间为(0,1)．答案：(0,1)3．(2019·郴州模拟)已知函数f (x )＝－12x 2＋4x －3ln x 在区间[t ，t ＋1]上不单调，则实数t 的取值范围是________．解析：由题意知f ′(x )＝－x ＋4－3x ＝－(x －1)(x －3)x ，由f ′(x )＝0得函数f (x )的两个极值点为1和3，则只要这两个极值点有一个在区间(t ，t ＋1)内，函数f (x )在区间[t ，t ＋1]上就不单调，∴1∈(t ，t ＋1)或3∈(t ，t ＋1)⇔⎩⎪⎨⎪⎧ t ＜1，t ＋1＞1或⎩⎪⎨⎪⎧t ＜3，t ＋1＞3⇔0＜t ＜1或2＜t ＜3.答案：(0,1)∪(2,3)4.已知函数y ＝xf ′(x )的图象如图所示(其中f ′(x )是函数f (x )的导函数)，下面四个图象中，y ＝f (x )的图象大致是( )解析：选C 当0＜x ＜1时，xf ′(x )＜0，∴f ′(x )＜0，故y ＝f (x )在(0,1)上为减函数；当x ＞1时，xf ′(x )＞0，∴f ′(x )＞0，故y ＝f (x )在(1，＋∞)上为增函数，因此排除A 、B 、D ，故选C.5．已知函数f (x )＝x 3－2x ＋e x －1e x ，其中e 是自然对数的底数．若f (a －1)＋f (2a 2)≤0，则实数a 的取值范围是________．解析：由f (x )＝x 3－2x ＋e x －1e x ，得f (－x )＝－x 3＋2x ＋1e x －e x ＝－f (x )，所以f (x )是R 上的奇函数．又f ′(x )＝3x 2－2＋e x ＋1e x ≥3x 2－2＋2e x ·1ex ＝3x 2≥0，当且仅当x ＝0时取等号， 所以f (x )在其定义域内单调递增．因为f (a －1)＋f (2a 2)≤0， 所以f (a －1)≤－f (2a 2)＝f (－2a 2)， 所以a －1≤－2a 2，解得－1≤a ≤12，故实数a 的取值范围是⎣⎡⎦⎤－1，12. 答案：⎣⎡⎦⎤－1，12 6．已知f (x )＝ax －1x ，g (x )＝ln x ，x ＞0，a ∈R 是常数．(1)求函数y ＝g (x )的图象在点P (1，g (1))处的切线方程； (2)设F (x )＝f (x )－g (x )，讨论函数F (x )的单调性． 解：(1)因为g (x )＝ln x (x ＞0)， 所以g (1)＝0，g ′(x )＝1x，g ′(1)＝1，故函数g (x )的图象在P (1，g (1))处的切线方程是y ＝x －1. (2)因为F (x )＝f (x )－g (x )＝ax －1x －ln x (x ＞0)，所以F ′(x )＝a ＋1x 2－1x＝a ＋⎝⎛⎭⎫1x －122－14. ①当a ≥14时，F ′(x )≥0，F (x )在(0，＋∞)上单调递增；②当a ＝0时，F ′(x )＝1－xx 2，F (x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减；③当0＜a ＜14时，由F ′(x )＝0，得x 1＝1－1－4a 2a ＞0，x 2＝1＋1－4a 2a ＞0，且x 2＞x 1，故F (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1－1－4a 2a ，⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1－4a 2a ，＋∞上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1－4a 2a ，1＋1－4a 2a 上单调递减；④当a ＜0时，由F ′(x )＝0，得x 1＝1－1－4a 2a ＞0，x 2＝1＋1－4a 2a ＜0，F (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1－1－4a 2a 上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1－4a 2a ，＋∞上单调递减． 7．已知函数f (x )＝ax －ln x ，g (x )＝e ax ＋2x ，其中a ∈R. (1)当a ＝2时，求函数f (x )的极值；(2)若存在区间D ⊆(0，＋∞)，使得f (x )与g (x )在区间D 上具有相同的单调性，求实数a的取值范围．解：(1)当a ＝2时，f (x )＝2x －ln x ，定义域为(0，＋∞)，则f ′(x )＝2－1x，故当x ∈⎝⎛⎭⎫0，12时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减；当x ∈⎝⎛⎭⎫12，＋∞ 时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增．所以f (x )在x ＝12处取得极小值，且f ⎝⎛⎭⎫12＝1＋ln 2，无极大值． (2)由题意知，f ′(x )＝a －1x，g ′(x )＝a e ax ＋2，①当a ＞0时，g ′(x )＞0，即g (x )在R 上单调递增，而f (x )在⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞上单调递增，故必存在区间D ⊆(0，＋∞)，使得f (x )与g (x )在区间D 上单调递增；②当a ＝0时，f ′(x )＝－1x ＜0，故f (x )在(0，＋∞)上单调递减，而g (x )在(0，＋∞)上单调递增，故不存在满足条件的区间D ；③当a ＜0时，f ′(x )＝a －1x ＜0，即f (x )在(0，＋∞)上单调递减，而g (x )在⎝⎛⎭⎫－∞，1a ln ⎝⎛⎭⎫－2a 上单调递减，在⎝⎛⎭⎫1a ln ⎝⎛⎭⎫－2a ，＋∞上单调递增，若存在区间D ⊆(0，＋∞)，使得f (x )与g (x )在区间D 上有相同的单调性，则有1a ln ⎝⎛⎭⎫－2a ＞0，解得a ＜－2. 综上可知，实数a 的取值范围为(－∞，－2)∪(0，＋∞)．第二课时 导数与函数的极值、最值 考点一 利用导数研究函数的极值考法(一) 已知函数的解析式求函数的极值点个数或极值[例1] 已知函数f (x )＝x －1＋ae x (a ∈R ，e 为自然对数的底数)，求函数f (x )的极值．[解] 由f (x )＝x －1＋a e x ，得f ′(x )＝1－aex .①当a ≤0时，f ′(x )＞0，f (x )为(－∞，＋∞)上的增函数，所以函数f (x )无极值． ②当a ＞0时，令f ′(x )＝0， 得e x ＝a ，即x ＝ln a ，当x ∈(－∞，ln a )时，f ′(x )＜0； 当x ∈(ln a ，＋∞)时，f ′(x )＞0，所以函数f (x )在(－∞，ln a )上单调递减，在(ln a ，＋∞)上单调递增，故函数f (x )在x ＝ln a 处取得极小值且极小值为f (ln a )＝ln a ，无极大值．综上，当a ≤0时，函数f (x )无极值；当a ＞0时，函数f (x )在x ＝ln a 处取得极小值ln a ，无极大值．[例2] 设函数f (x )＝ln(x ＋1)＋a (x 2－x )，其中a ∈R.讨论函数f (x )极值点的个数，并说明理由．[解] f ′(x )＝1x ＋1＋a (2x －1)＝2ax 2＋ax －a ＋1x ＋1(x ＞－1)．令g (x )＝2ax 2＋ax －a ＋1，x ∈(－1，＋∞)．①当a ＝0时，g (x )＝1，f ′(x )＞0，函数f (x )在(－1，＋∞)上单调递增，无极值点． ②当 a ＞0时，Δ＝a 2－8a (1－a )＝a (9a －8)． 当0＜a ≤89时，Δ≤0，g (x )≥0，f ′(x )≥0，函数f (x )在(－1，＋∞)上单调递增，无极值点． 当a ＞89时，Δ＞0，设方程2ax 2＋ax －a ＋1＝0的两根为x 1，x 2(x 1＜x 2)， 因为x 1＋x 2＝－12，所以x 1＜－14，x 2＞－14.由g (－1)＝1＞0，可得－1＜x 1＜－14.所以当x ∈(－1，x 1)时，g (x )＞0，f ′(x )＞0，函数f (x )单调递增；。

《导数及其应用》知识点总结一、导数的概念和几何意义1. 函数的平均变化率：函数()f x 在区间12[,]x x 上的平均变化率为：2121()()f x f x x x --。

2. 导数的定义：设函数()y f x =在区间(,)a b 上有定义，0(,)x a b ∈，若x ∆无限趋近于0时，比值00()()f x x f x y x x+∆-∆=∆∆无限趋近于一个常数A ，则称函数()f x 在0x x =处可导，并称该常数A 为函数()f x 在0x x =处的导数，记作0()f x '。

函数()f x 在0x x =处的导数的实质是在该点的瞬时变化率。

3. 求函数导数的基本步骤：（1）求函数的增量00()()y f x x f x ∆=+∆-；（2）求平均变化率：00()()f x x f x x +∆-∆；（3）取极限，当x ∆无限趋近与0时，00()()f x x f x x+∆-∆无限趋近与一个常数A ，则0()f x A '=. 4. 导数的几何意义：函数()f x 在0x x =处的导数就是曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线的斜率。

由此，可以利用导数求曲线的切线方程，具体求法分两步：（1）求出()y f x =在x 0处的导数，即为曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线的斜率； （2）在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为000()()y y f x x x '-=-。

当点00(,)P x y 不在()y f x =上时，求经过点P 的()y f x =的切线方程，可设切点坐标，由切点坐标得到切线方程，再将P 点的坐标代入确定切点。

特别地，如果曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线平行与y 轴，这时导数不存在，根据切线定义，可得切线方程为0x x =。

5. 导数的物理意义：质点做直线运动的位移S 是时间t 的函数()S t ，则()V S t '=表示瞬时速度，()a v t '=表示瞬时加速度。

高中数学，导数的几何意义，曲线在某点处的切线方程1. 引言1.1 概述高中数学是我们学习生涯中的一门重要课程，其中导数作为微积分的基本概念之一，在数学和科学领域都有着广泛的应用。

导数可以帮助我们理解函数的变化规律以及曲线在不同点处的特性。

而曲线在某点处的切线方程，则是通过导数概念所获得的重要结果之一。

1.2 目的本文旨在通过对高中数学中导数和曲线在某点处切线方程这两个关键概念进行深入探讨，帮助读者更全面地理解和运用这些知识。

我们将分析导数的几何意义，揭示其与曲线形状和斜率之间的关系，以及如何求解曲线在某点处的切线方程。

同时，我们还将介绍一些实际应用和案例分析，展示导数和切线方程在物理、经济等领域中的实际应用价值。

1.3 结构本文主要分为五个部分：引言、数学中的导数概念、曲线在某点处的切线方程、实际应用和案例分析、结论与展望。

接下来，我们将逐一介绍这些部分的内容。

在引言中，我们将概述本文的主题、目的以及整体结构，为读者提供一个全面的了解。

2. 数学中的导数概念:2.1 导数定义:导数是微积分中的一个重要概念，用于描述函数在某一点上的变化率。

对于一个函数f(x)，在某一点x处的导数表示为f'(x)或者dy/dx。

导数可以理解为函数曲线在该点处的切线斜率。

2.2 导数的几何意义:几何上，导数可以被解释为函数曲线在某一点上切线的斜率。

换句话说，它代表了曲线在该点处的瞬时变化率。

如果导数为正值，则曲线在该点上升；如果导数为负值，则曲线下降；如果导数为零，则曲线具有拐点。

2.3 导数与变化率的关系:导数也可以被理解为函数值随着自变量（通常是x）变化而改变的速率。

当我们考虑时间作为自变量时，导数描述了物体位置、速度和加速度之间的关系。

例如，在物理学中，速度是位移关于时间的导数，加速度是速度关于时间的导数。

总结：在数学中，导数不仅仅是一个单独存在的概念，而且有着广泛的应用。

它能够帮助我们理解函数曲线的特性，如上升下降趋势、拐点位置以及最大值和最小值等。

19. 高中数学导数的几何意义是什么？关键信息项：1、导数的定义2、曲线的切线3、导数与切线斜率的关系4、导数几何意义的应用11 导数的定义导数是函数在某一点处的变化率，它反映了函数在该点附近的变化趋势。

对于函数 y ＝ f(x)，在点 x₀处的导数定义为：f'（x₀) ＝limₕ→₀ f(x₀＋ h) f(x₀) ／ h 。

这个极限值表示当自变量 x 的增量 h 趋近于 0 时，函数值的增量与自变量增量的比值的极限。

111 导数的直观理解从几何角度来看，导数可以理解为函数图像在某一点处的切线的斜率。

也就是说，当我们计算函数在某一点的导数时，实际上是在求得该点处切线的倾斜程度。

12 曲线的切线曲线在某一点处的切线是指与曲线在该点处只有一个公共点，并且在该点附近与曲线非常接近的直线。

切线的概念在几何中具有重要意义，它能够帮助我们更好地理解曲线的性质和变化趋势。

121 切线的存在性和唯一性并非所有曲线在任意点处都存在切线。

对于一些连续但不光滑的曲线，可能在某些点处不存在切线。

然而，对于大多数常见的光滑曲线，在其每一个点处都存在唯一的切线。

122 切线的求解方法通常，可以通过求函数在某一点的导数来得到该点处切线的斜率，然后再利用已知点的坐标和斜率来确定切线的方程。

13 导数与切线斜率的关系导数的数值等于曲线在对应点处切线的斜率。

如果函数在点 x₀处的导数 f'（x₀) 存在且不为零，则切线的斜率就是 f'（x₀) 。

当导数为正，切线斜率为正，曲线上升；当导数为负，切线斜率为负，曲线下降；当导数为零，切线斜率为零，可能是曲线的极值点或转折点。

131 利用导数求切线方程设曲线 y ＝ f(x) 在点（x₀, y₀) 处的导数为 f'（x₀) ，则切线方程可以表示为 y y₀＝ f'（x₀)（x x₀) 。

14 导数几何意义的应用导数的几何意义在数学和实际问题中都有广泛的应用。

完整版)高中数学导数知识点归纳总结导数的定义：对于函数y=f(x)，在点x处的导数f'(x)定义为：f'(x)=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta y}{\Deltax}=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}其中，$\Delta x$表示自变量的增量，$\Delta y$表示函数值的增量。

函数的连续性和可导性的关系：如果函数y=f(x)在点x处可导，则它在该点处必然连续。

但是，反过来并不成立，即函数在某点处连续并不一定可导。

导数的几何意义：函数y=f(x)在点x处的导数f'(x)表示曲线在该点处的切线的斜率。

因此，切线方程为：y-y_0=f'(x_0)(x-x_0)其中，$y_0=f(x_0)$表示曲线在点$(x_0,y_0)$处的纵坐标。

导数的四则运算法则：对于任意可导函数f(x)和g(x)，有以下四则运算法则：1.$(f+g)'(x)=f'(x)+g'(x)$2.$(f-g)'(x)=f'(x)-g'(x)$3.$(fg)'(x)=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)$4.$\left(\frac{f}{g}\right)'(x)=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g^2(x)}$其中，除法的分母$g(x)$不能为0.导数的应用：导数可以用来求函数的单调性、极值和最值。

函数单调递增的条件是导数大于0，函数单调递减的条件是导数小于0.函数在极值点处的导数为0，但反之不一定成立。

函数的最值可以通过求导数来确定。

注①：若点x是可导函数f(x)的极值点，则f'(x)=0.但反过来不一定成立。

对于可导函数，其一点x是极值点的必要条件是若函数在该点可导，则导数值为零。

高中数学导数二级结论
高中数学导数的二级结论包括但不限于：
1. 导数的几何意义：函数在某一点的导数可以解释为该点切线的斜率。

2. 函数的极值：如果函数在某一点的导数由正变为负或由负变为正，那么该点就是函数的拐点，即函数在该点取得极值。

3. 洛必达法则：当一个极限的分子和分母都趋于零时，可以分别对分子和分母求导，然后再取极限。

4. 导数与单调性：如果函数在某区间的导数大于零，那么函数在这个区间内单调递增；如果导数小于零，那么函数在这个区间内单调递减。

5. 导数的零点定理：如果函数在某一点的导数为零，且该点两侧的导数符号相反，那么函数在该点有一个零点。

6. 导数的周期性：如果函数在某一点的导数等于该点的周期，那么函数在该点具有周期性。

7. 导数的奇偶性：如果函数在某一点的导数等于该点的奇偶性，那么函数在该点具有奇偶性。

以上只是一部分导数的二级结论，还有许多其他的结论等待探索和掌握。

导数的定义及几何意义1．xx f x x f x f x ∆-∆+=→∆)()(lim )(0000/叫函数)(x f y =在0x x →处的导数，记作0|/x x y = 。

注：①函数应在点0x 的附近有定义，否则导数不存在。

②在定义导数的极限式中，x ∆趋近于0可正、可负、但不为0，而y ∆可能为0。

③xy ∆∆是函数)(x f y =对自变量x 在x ∆范围内的平均变化率，它的几何意义是过曲线)(x f y =上点（0x ，)(0x f ）及点（0x +x ∆，)(00x x f ∆+）的割线斜率。

④导数xx f x x f x f x ∆-∆+=→∆)()(lim )(0000/是函数)(x f y =在点0x 的处瞬时变化率，它反映的函数)(x f y =在0x 点处变化的快慢程度，它的几何意义是曲线)(x f y =上点（0x ，)(0x f ）处的切线的斜率。

⑤若极限xx f x x f x ∆-∆+→∆)()(lim 000不存在，则称函数)(x f y =在点0x 处不可导。

⑥如果函数)(x f y =在开区间),(b a 内每一点都有导数，则称函数)(x f y =在开区间),(b a 内可导；此时对于每一个x ∈),(b a ，都对应着一个确定的导数)(/x f ，从而构成了一个新的函数)(/x f ，称这个函数)(/x f 为函数)(x f y =在开区间),(b a 内的导函数，简称导数；导数与导函数都称为导数，这要加以区分：求一个函数的导数，就是求导函数；求一个函数在给定点的导数，就是求导函数值。

[举例1]若2)(0/=x f ，则kx f k x f k 2)()(lim 000--→等于： (A) -1 (B) -2 (C) 1 (D) 1/2解析：∵2)(0/=x f ，即k x f k x f k ---+→-)()]([lim 000=2⇒kx f k x f k 2)()(lim 000--→=-1。