典中点图形的相似专训3 三角形中位线的应用

2022年中考数学三角形中的中位线定义详解与定理作用
三角形中的中位线
连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。

(1)三角形共有三条中位线，并且它们又重新构成一个新的三角形。

(2)要会区别三角形中线与中位线。

三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。

三角形中位线定理的作用：
位置关系：可以证明两条直线平行。

数量关系：可以证明线段的倍分关系。

常用结论：任一个三角形都有三条中位线，由此有：
结论1：三条中位线组成一个三角形，其周长为原三角形周长的一半。

结论2：三条中位线将原三角形分割成四个全等的三角形。

结论3：三条中位线将原三角形划分出三个面积相等的平行四边形。

结论4：三角形一条中线和与它相交的中位线互相平分。

结论5：三角形中任意两条中位线的夹角与这夹角所对的三角形的顶角相等。

注意：重要辅助线
⑴中点配中点构成中位线;⑵加倍中线;⑶添加辅助平行线证明方法
⑴直接证法：综合法、分析法
⑵间接证法-反证法：①反设②归谬③结论
⑶证线段相等、角相等常通过证三角形全等
⑷证线段倍分关系：加倍法、折半法
⑸证线段和差关系：延结法、截余法
⑹证面积关系：将面积表示出来。

七年级《典中点》数学《典中点》是我们七年级的数学教材，它包含了很多基础的数学知识和技能。

下面，我将针对《典中点》中的一些关键内容进行介绍和解析。

一、图形的基本性质在第二章中，我们学习了图形的基本性质，包括点、线、面的概念和三种基本几何图形——圆、三角形和矩形。

在学习这些基本概念和图形时，我们需要注意以下几点：1. 点是几何图形中最简单的要素，它没有大小、形状和方向之分，只有位置之别。

我们可以用大写字母表示一个点，如A、B、C等。

2. 线是由无数个点按一定顺序排列而成的，它没有宽度，仅有长度和方向之分。

我们可以用大写字母表示一条线段，如AB。

3. 面是由一个或多个线段所围成的区域，它有面积，没有长度和宽度之分。

我们可以用小写字母表示一个面，如a、b、c等。

4. 圆是由一个固定点（圆心）和与该点距离相等的所有点组成的。

我们可以用大写字母表示一个圆，如O。

5. 三角形是由三条线段围成的闭合图形。

我们可以根据其内角、边长和形状等特征将三角形分类。

6. 矩形是由四条线段围成的闭合图形，它的两对对边平行且相等，对角线相等。

二、相似与全等在第三章中，我们学习了相似与全等的概念和判定方法，这是初中数学中的基础内容。

相似和全等都是用来描述两个几何图形之间的关系。

1. 相似是指两个几何图形的形状相似，但大小不同。

两个图形相似，意味着它们有相同的形状，但并不一定有相同的大小。

2. 全等是指两个几何图形的形状和大小都相同。

如果两个几何图形全等，则可以通过平移、旋转或翻转等方法使它们重合。

判定两个三角形相似的条件有以下两种：1. 两个三角形的对应角度相等；2. 两个三角形的对应边成比例。

判定两个三角形全等的条件有以下三种：1. 两个三角形的三对对边相等；2. 两个三角形的两对对边和对夹角分别相等；3. 两个三角形的一对对边和夹角以及对应的另一条边相等。

三、三角形的周长和面积在第五章中，我们学习了三角形的周长和面积的计算方法，这也是初中数学中的重要内容。

专题02 中点四大模型在三角形中应用（知识解读）【专题说明】线段中点是几何部分一个非常重要的概念，和后面学习的中线，中位线等概念有着密切的联系.在几何证明题中也屡次出现.那么，如果在题中遇到中点你会想到什么？等腰三角形三线合一；直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；还是中位线定理？今天我们重点探究“倍长中线”法以及平行线间夹中点时延长中线交平行等的应用。

【方法技巧】模型1 ：倍长中线法如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线.当题中出现中线时，我们经常根据需要将AD延长，使延长部分和中线相等，这种方法叫做“倍长中线”.如下图：此时，易证△ACD≌EDB，进而得到AC=BE且AC//BE.模型2：平行线夹中点如图，AB//CD，点E是BC的中点.可延长DE交AB于点F.模型3：中位线如图，在△ABC中，点D是AB边的中点.可作另一边AC的中点，构造三角形中位线.如下图所示：由中位线的性质可得，DE//BC且DE=1/2BC.模型4：连接直角顶点，构造斜中定理【典例分析】【模型1 倍长中线法】【典例1】【阅读理解】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，△ABC中，若AB＝8，AC＝6，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到点E，使DE＝AD，请根据小明的方法思考：（1）由已知和作图能得到△ADC≌△EDB的理由是．A．SSS B．SAS C．AAS D．HL（2）求得AD的取值范围是．A．6＜AD＜8 B．6≤AD≤8 C．1＜AD＜7 D．1≤AD≤7【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．【问题解决】（3）如图2，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE＝EF．求证：AC ＝BF．【变式1-1】（1）在△ABC中，AB＝5，AC＝3，求BC边上的中线AD的取值范围．（2）受到（1）启发，请你证明下面的问题：如图，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF．求证：BE+CF＞EF.【变式1-2】如图，在△ABC中，已知：点D是BC中点，连接AD并延长到点E，连接BE．（1）请你添加一个条件使△ACD≌△EBD，并给出证明．（2）若AB＝5，AC＝3，求BC边上的中线AD的取值范围．【变式1-3】阅读下面的题目及分析过程，并按要求进行证明．已知：如图，E是BC的中点，点A在DE上，且∠BAE＝∠CDE．求证：AB＝CD．分析：证明两条线段相等，常用的一般方法是应用全等三角形或等腰三角形的判定和性质，观察本题中要证明的两条线段，它们不在同一个三角形中，且它们分别所在的两个三角形也不全等，因此，要证明AB＝CD，必须添加适当的辅助线，构造全等三角形或等腰三角形．现给出如下三种添加辅助线的方法，请任意选择其中两种对原题进行证明．（1）延长DE到F，使得EF＝DE；（2）作CG⊥DE于G，BF⊥DE于F交DE的延长线于F；（3）过点C作CF∥AB交DE的延长线于F．【模型2 平行线夹中点】【典例2】如图，已知AB＝12，AB⊥BC，垂足为点B，AB⊥AD，垂足为点A，AD＝5，BC ＝10，点E是CD的中点，求AE的长．【变式2-1】如图，AB∥CD，∠BCD＝90°，AB＝1，BC＝4，CD＝3，取AD的中点E，连结BE，则BE＝．【变式2-2】如图，公园有一条“Z”字形道路AB﹣BC﹣CD，其中AB∥CD，在E、M、F 处各有一个小石凳，且BE＝CF，M为BC的中点，连接EM、MF，请问石凳M到石凳E、F的距离ME、MF是否相等？说出你推断的理由．【变式2-3】如图：已知AB∥CD，BC⊥CD，且CD＝2AB＝12，BC＝8，E是AD的中点，①请你用直尺（无刻度）作出一条线段与BE相等；并证明之；②求BE的长．【模型3 中位线】【典例3】如图，△ABC中，AD平分∠BAC，E是BC中点，AD⊥BD，AC＝7，AB＝4，则DE的值为（）A．1B．2C．D．【变式3-1】如图，在△ABC中，D，E，F分别是边AB，BC，CA的中点，若△DEF的周长为10，则△ABC的周长为．【变式3-2】如图，等边△ABC的边长是4，D，E分别为AB，AC的中点，延长BC至点F，使，连接CD和EF．（1）求证：CD＝EF；（2）四边形DEFC的面积为．【变式3-3】如图，在平行四边形ABCD中，点E在BC的延长线上，CE＝DE＝2BC．CD 的中点为F，DE的中点为G，连接AF，FG．（1）求证：四边形AFGD为菱形；（2）连接AG，若BC＝2，，求AG的长．【模型4 连接直角顶点，构造斜中定】【典例4】用三种方法证明：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．已知：如图，∠BCA ＝90°，AD＝DB．求证：CD＝AB．【变式4-1】直角三角形斜边上的中线长为10，则该斜边长为（）A．5B．10C．15D．20【变式4-2】如图，点E是△ABC内一点，∠AEB＝90°，D是边AB的中点，延长线段DE 交边BC于点F，点F是边BC的中点．若AB＝6，EF＝1，则线段AC的长为（）A．7B．C．8D．9【变式4-3】用两种方法证明“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”．已知：如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线．求证：CD＝AB．证法1：如图2，在∠ACB的内部作∠BCE＝∠B，CE与AB相交于点E．∵∠BCE＝∠B，∴．∵∠BCE+∠ACE＝90°，∴∠B+∠ACE＝90°．又∵，∴∠ACE＝∠A．∴EA＝EC．∴EA＝EB＝EC，即CE是斜边AB上的中线，且CE＝AB．又∵CD是斜边AB上的中线，即CD与CE重合，∴CD＝AB．请把证法1补充完整，并用不同的方法完成证法2．专题02 中点四大模型在三角形中应用（知识解读）【专题说明】线段中点是几何部分一个非常重要的概念，和后面学习的中线，中位线等概念有着密切的联系.在几何证明题中也屡次出现.那么，如果在题中遇到中点你会想到什么？等腰三角形三线合一；直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；还是中位线定理？今天我们重点探究“倍长中线”法以及平行线间夹中点时延长中线交平行的应用。

三角形中位线定理的应用拓展 锦囊：题目中有中点或有122或这样的关键字时，要联想到构造中位线，利用中位线性质解决问题。

复习回顾
1、定义：连接三角形两边 的线段叫 三角形的中位线。

2、定理：三角形的中位线 且 第三边的一半。

练习：
1、 在ABC V 中，D E 、分别是AB AC 、的中点，4DE =，则BC =
2、 已知三角形的三边长分别是4，5，6，则它的三条中位线围成的
三角形的周长是
3、 点D E F 、、分别是ABC V 三边的中点，且3DEF S =V ，则ABC V 的面积
等于
几何实验室：
如图１，已知E F G H
、、、的、、、分别为四边形ABCD的边AB BC CD DA
中点，连接EF FG GH HE
、、、，你认为四边形EFGH是什么特殊四边形，请说明理由？
图１
变式1、如图2，若拖动点D使点D在原四边形ABCD的内部，四边形EFGH还是平行四边形吗？说明理由
图２
变式2、如图3，若拖动点D使点D在原四边形ABCD的外部，四边形EFGH还是平行四边形吗？说明理由
图３
总结与反思
学以致用
１、如图4，在四边形ABCD 中，E F 、分别是AD BC 、的中点，连接EF ， 求证：2AB CD EF +≤
图4
2、如图5，在四边形ABCD 中，AB CD =，,M N 分别是AD BC 、的中点，BA 、CD 的延长线分别交MN 的延长线于点P Q 、 求证：APM DQM ∠=∠。

典中点全等三角形专训3 全等三角形判定的六种应用◐名师点金◑一般三角形全等的判定方法有四种:SSS,SAS,ASA,AAS，直角三角形是一种特殊的三角形,它除了上述四种判定方法之外,还有一种特殊的方法,即“HL”.具体到某一道题目时,要根据题目所给出的条件进行观察、分析,选择合适的、简单易行的方法来解题。

类型1：已知一边一角型应用1：一次全等型1.如图,在△ACD中,AB⊥CD于点B,BD=AB,∠DEB=∠ACB求证:(1)DE=AC;(2)DE⊥AC2.如图,在△ABC中,D是BC边上一点,连结AD,过点B作BE⊥AD于点E,过点C作CF⊥AD交AD的延长线于点F,且BE=CF求证:AD是△ABC的中线应用2：两次全等型3.如图,∠C=∠D,AC=AD,求证:BC=BD4.如图,D是△ABC中BC边上一点,E是AD上一点EB=EC,∠BAE=∠CAE求证:∠ABE=∠ACE类型2：已知两边型应用3：一次全等型5.如图,点B,F,C,E在直线l上(F,C之间不能直接测量),点A,D在1异侧测得AB=DE,AC=DF BF=EC.(1)求证:△ABC≌△DEF;(2)指出图中所有平行的线段,并说明理由.应用4:两次全等型6.如图,AB=CB,AD=CD,E是BD上任意一点.求证:AE= CE7.如图,已知AD=AE,AB=AC.求证:BF=FC类型3:已知两角型应用5:一次全等型8.如图,已知∠BDC=∠CEB=90°,BE,CD交于点O,且A0平分∠BAC.求证:OB=OC应用6:两次全等型9.如图,在△ABC与△DCB中,AC与BD交于点E,且∠BAC=∠CDB,∠ACB=∠DBC,分别延长BA与CD 交于点F.求证:BF=CF。

典中点多边形专训3 三角形的三种重要线段◐名师点金◑三角形的高、中线和角平分线是三角形中三种重要的线段，它们提供了重要的线段或角的关系，为我们以后深入研究三角形的一些特征起到了很大的帮助作用，因此，我们需要从不同的角度认识这三种线段．应用1： 三角形的高类型1：找三角形的高1．已知，如图，AB ⊥BD 于点B ，AC ⊥CD 于点C ，AC 与BD 交于点E.△ADE 的边DE 上的高为________，边AE 上的高为________．类型2：作三角形的高2．画出图中△ABC 的三条高．(要标明字母，不写画法)类型3：应用三角形的高3．如图，在△ABC 中，BC ＝4 cm ，AC ＝5 cm ，若BC 边上的高AD ＝4 cm.(1)试求△ABC 的面积及AC 边上的高BE 的长；(2)试求AD ∶BE 的值．类型4：证明与高相关线段和的问题4．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，BG ⊥AC ，垂足分别为E ，F ，G.试说明：DE ＋DF ＝BG.类型5：求与高有关的面积5. 如图,△ABC 的面积为16,点D 是BC 边上一点,且BD=41BC, 点G 是AB 边上一点,点H 在△ABC 内部,且四边形BDHG 是平行四边形则图中阴影部分的面积是( )A.3B.4C.5D.6应用2：三角形中线的应用类型1：求与中线相关的线段问题6．如图，AE是△ABC的中线，已知EC＝4，DE＝2，则BD的长为( )A．2 B．3 C．4 D．6（第6题) (第7题)7．如图，已知BE＝CE，ED为△EBC的中线，BD＝8，△AEC的周长为24，则△ABC的周长为( ) A．40 B．46 C．50 D．568．在等腰三角形ABC中，AB＝AC，一腰上的中线BD将这个三角形的周长分成15 cm和6 cm两部分，求这个等腰三角形的三边长．类型2：求与中线相关的面积问题9．如图，在△ABC中，E是BC上的一点，EC＝2BE，点D是AC的中点，设△ABC，△ADF，△BEF的面积分别为S△ABC，S△ADF，S△BEF，且S△ABC＝12，则S△ADF－S△BEF＝( )A．1 B．2 C．3 D．410．操作与探索：在图①～③中，△ABC的面积为a.(1)如图①，延长△ABC的边BC到点D，使CD＝BC，连结DA，若△ACD的面积为S1，则S1＝________(用含a的代数式表示)；(2)如图②，延长△ABC的边BC到点D，延长边CA到点E，使CD＝BC，AE＝CA，连结DE，若△DEC的面积为S2，则S2＝________(用含a的代数式表示)，请说明理由；(3)在图②的基础上延长AB到点F，使BF＝AB，连结FD，FE，得到△DEF(如图③)，若阴影部分的面积为S3，则S3＝________．(用含a的代数式表示)应用3：三角形角平分线的应用类型1：三角形角平分线定义的直接应用11．(1)如图，在△ABC中，D，E，F是边BC上的三点，且∠1＝∠2＝∠3＝∠4，以AE为角平分线的三角形有________________；(2)如图，若已知AE平分∠BAC，且∠1＝∠2＝∠4＝15°，计算∠3的度数，并说明AE是△DAF的角平分线．类型2：三角形的角平分线与高线相结合求角的度数12．如图，在△ABC中，AD是高，AE是∠BAC的平分线，∠B＝20°，∠C＝60°，求∠DAE的度数．类型3：求三角形两内角平分线的夹角度数13．如图，在△ABC中，BE，CD分别为其角平分线且交于点O.(1)当∠A＝60°时，求∠BOC的度数；(2)当∠A＝100°时，求∠BOC的度数；(3)当∠A＝α°时，求∠BOC的度数．。

第六讲 相似三角形(三) -------三角形的中位线及其应用一、知识点梳理：1、三角形的中位线定义：连结三角形两边中点的线段.三角形中位线定理： ①三角形的中位线于第三边（位置关系） ②三角形的中位线等于（数量关系）符号语言：∵DE 是△ABC 的中位线（或AD=BD,AE=CE)∴DE //2、 三角形的重心： 三角形重心的性质：基础巩固1、如图△ABC 中，D 、E 分别是边AB 、AC 的中点，已知DE=5，则BC 的长为2、如图，△ABC 中，AB=AC ，AD 平分∠BAC ，DE ∥AC 交AB 于E ，则S △EBD ：S △ABC =3、若△ABC 的面积是8cm 2，则它的三条中位线围成的三角形的面积是4、△ABC 的三边长分别为a 、b 、c ，三条中位线组成第一个中点三角形，第一个中点三角形的三条中位线又组成第二个中点三角形，以此类推，求第2009中点三角形的周长为（ ）A ．B ．C ．D ．5、如图，小红作出了边长为1的第1个正△A 1B 1C 1，算出了正△A 1B 1C 1的面积，然后分别取△A 1B 1C 1三边的中点A 2，B 2，C 2，作出了第2个正△A 2B 2C 2，算出了正△A 2B 2C 2的面积，用同样的方法，作出了第3个正△A 3B 3C 3，算出了正△A 3B 3C 3的面积…，由此可得，第2014个正△A 2014B 2014C 2014的面积是（ ）A ．B ．C ．D ．3、梯形的中位线定义：连结梯形中点的线段. 梯形中位线定理： 梯形的中位线B3、中点四边形：对角线的四边形的中点四边形是菱形对角线的四边形的中点四边形是矩形对角线的四边形的中点四边形是正方形对角线的四边形的中点四边形是平行四边形(1) 顺次连接四边形各边中点所得的四边形是.(2) 顺次连接平行四边形各边中点所得的四边形是.(3) 顺次连接矩形各边中点所得的四边形是.(4) 顺次连接菱形各边中点所得的四边形是.(5) 顺次连接正方形各边中点所得的四边形是基础巩固1、顺次连接对角线互相垂直的四边形的各边中点，所得图形一定是（）A．矩形B．直角梯形C．菱形D．正方形2、顺次连接一个四边形的各边中点，得到了一个矩形，则下列四边形满足条件的是（）①平行四边形②菱形③等腰梯形④对角线互相垂直的四边形A.①③B.②③C.③④D.②④3、顺次连接四边形ABCD各边的中点所得四边形是菱形，则四边形ABCD一定是A.菱形B.对角线互相垂直的四边形C.矩形D.对角线相等的四边形4、若梯形中位线的长是高的2倍，面积是18cm2，则这个梯形的高等于（）（A）62cm （B）6cm （C）32cm （D）二、专题讲解：常规辅助线的添加方法一、【利用角平分线+垂直、必有等腰三角形】例题1：如图，△ABC中，CD平分∠ACB，AD⊥CD，垂足为D点，点E为AB的中点. （1）求证：DE∥BC；（2）求证：DE=（BC-AC）/2BAFME C BA PF E DC BA练习：如图，在∆ABC 中，AB=BC ，∠ABC=90°，F 为BC 上一点，M 为AF 的中点，BE 平分∠ABC ，且EF ⊥BE ，求证：CF=2ME 。

相似三角形的中线定理与三角形中点相似三角形是几何学中重要的概念之一，它在解决各种三角形相关问题时起着重要作用。

本文将介绍相似三角形的中线定理及其与三角形中点的关系。

一、相似三角形的中线定理相似三角形的中线定理是指：如果在两个相似三角形中，这两个相似三角形的顶点与中点分别对应，则这两个相似三角形的中线也相似，并且它们的比例为1:2。

为了更好地理解中线定理，我们先简单介绍一下三角形的中点。

三角形的中点即三边各自的中点连成的线段所形成的交点，我们将其称为三角形的中点。

对于任意一个三角形而言，它都有三个中点，分别对应三个边。

在图形上，可以用字母M表示三角形中点。

回到中线定理，根据定理的描述，当两个相似三角形的顶点与中点一一对应时，这两个相似三角形的中线也相似，且比例为1:2。

中线是连接三角形的一个顶点与对边中点的线段，三角形共有三条中线，分别对应三个顶点。

根据中线定理，如果两个相似三角形的顶点分别与中点一一对应，那么这两个相似三角形的三条中线也相似，并且它们的比例为1:2。

二、三角形中点的作用三角形的中点在几何学中有着重要的作用。

中点有以下几个特点：1. 中点是三角形的重心：三角形的重心是三条中线的交点，也是三个部分重心的重点，是三个部分重心到相应顶点距离的平方和最小的点。

重心有着平衡的作用，它将三角形平均分配了质量或者面积。

2. 中点是三角形内接圆圆心：三角形的内接圆是唯一与三条边都相切的圆，圆心即为三角形的中点。

3. 中点距离顶点的距离是边长的一半：三角形的中点到相应顶点的距离等于对边的一半。

这一性质可以用来推导相似三角形的中线定理，即中线比例为1:2。

三、示例为了更好地理解相似三角形的中线定理与三角形中点的关系，我们以一个具体的实例进行说明。

假设有两个相似三角形ABC和DEF，他们的顶点和中点对应如下：A对应DB对应EC对应F根据中线定理，我们可以得知，相似三角形ABC的三条中线与相似三角形DEF的三条中线相似，并且它们的比例为1:2。

相似三角形的中位线和中线的关系在数学中，三角形是基本的几何形状之一。

相似三角形也是中学数学中的一个基本概念。

本文将介绍相似三角形的中位线和中线的关系。

首先，让我们来了解一下什么是相似三角形。

相似三角形是指在形状上相似但不同于大小的两个三角形。

即它们的三个角度相等，但它们的三条边长比例不一定相等。

现在，让我们来研究相似三角形的中位线和中线。

一个三角形的中位线是一个从一个角移动到其对面线的中点的线段，而中线是一个连接三角形的一条边中点和另一个角的线段。

第一个结论是：在任何三角形ABC（其中AB≠AC）中，AD（其中D是BC的中点）是三角形ABC的一条中位线。

同理，BE（其中E是AC的中点）和CF（其中F是AB的中点）也分别是三角形ABC的中位线。

第二个结论是：在任何三角形ABC中，AM（其中M是BC的中点）与AN（其中N是角A的对边BC的中点）是三角形ABC的中线。

同理，BM和BN以及CM和CN也分别是三角形ABC的中线。

通过上述结论，我们可以得出以下关于相似三角形中位线和中线的关系：当两个三角形相似时，它们的中线与中位线的比例是相同的。

这也适用于与这些线段平行的线。

具体来说，假设三角形ABC和DEF是相似的，且它们的对应点分别是A和D，B和E，C和F，则有以下比例关系成立：AD/DE = BE/EF = CF/DF = 1/2AM/DF = BN/DE = 1/2AN/EF = CM/DE = 1/2其中，AD、BE和CF是对应三角形ABC的中位线，AM、BN和CN是对应三角形ABC的中线，DE、EF和DF是对应三角形DEF的中位线。

综上所述，对于相似的三角形，在它们的中线和中位线之间存在着固定的比例关系，这对于解决一些三角形问题很有用。

相似三角形的中位线三角形关系在几何学中，相似三角形是指具有相同形状但大小不同的三角形。

中位线是指连接三角形的一个顶点与对边中点的线段。

本文将探讨相似三角形中的中位线与三角形的关系。

首先，让我们考虑一个三角形ABC和它的中位线DE。

三角形ABC的三个顶点分别为A、B和C，而DE连接了A和对边BC的中点。

我们要研究的是，当我们选择不同的三角形ABC时，中位线三角形DE的性质是否会发生变化。

为了更好地理解问题，让我们通过一个具体例子来说明。

假设我们有一个相似三角形ABC和它的中位线DE。

我们可以用长度比例来表示相似三角形的关系，即AB/DE=BC/EF=AC/DF，其中EF和DF分别为中位线DE的另外两条边。

根据相似三角形的性质，我们知道三角形ABC和三角形DEF具有相似的形状，即它们的对应角度相等。

因此，我们可以推断出，中位线三角形DEF也是与原始三角形ABC相似的三角形。

通过观察我们可以发现，中位线三角形DEF的三个顶点分别是原始三角形ABC的三条边的中点。

这意味着中位线三角形DEF的三个边长分别是原始三角形ABC的三个边长的一半。

进一步地，我们可以用数学来证明这一结论。

设中位线DE的长度为x，那么根据长度比例关系，我们可以得到AB=2x、BC=2x以及AC=2x。

因此，中位线三角形DEF的边长分别为EF=x、DF=x以及DE=x。

根据中位线三角形DEF的定义，我们知道它的两条边EF和DF分别平分了原始三角形ABC的两条边BC和AC。

也就是说，EF平分了BC，DF平分了AC。

此外，根据相似三角形的性质，我们可以得出，DE与原始三角形ABC的对边BC平行。

这是因为DE是根据BC的中点连接到A的，而平行线可以通过对向平行线的辅助线来证明。

这些性质和关系表明，中位线三角形DEF与原始三角形ABC是相似的，并且具有一些特殊的性质。

根据中位线的定义，我们知道中位线的长度等于原始三角形对边的一半。

因此，中位线三角形DEF的面积为原始三角形ABC面积的四分之一。

相似三角形的中位线比例与中线定理相似三角形是指具有相同形状但大小不同的三角形。

在研究相似三角形时，我们常常需要了解它们的特性和性质。

其中一个重要的性质就是相似三角形的中位线比例与中线定理。

中位线是指连接一个三角形的两个边的中点的线段。

对于一个三角形ABC，它的三条中位线分别是DE、FG和HI，其中D、E是BC的中点，F、G是AC的中点，H、I是AB的中点。

中位线的性质之一是：三角形的三条中位线交于同一点，这个点称为三角形的重心，通常用点G表示。

重心是三角形内部的一个点，它到三个顶点的距离相等。

假设在相似三角形ABC和DEF中，它们的对应边比例为AB:DE，BC:EF和AC:DF。

现在我们来看一下相似三角形的中位线比例与中线定理在这个情况下的应用。

定理一：相似三角形的中位线比例与中线比例相等。

证明：考虑相似三角形ABC和DEF，由于它们是相似的，所以有AB/DE = BC/EF = AC/DF。

我们需要证明的是中位线比例与中线比例相等，即DG/BE = EH/CF = FG/AF。

首先，我们来证明DG/BE = EH/CF。

连接AG和BH，它们分别是三角形ABC和DEF的两条中线。

由于G是ABC的重心，所以AG和HG的长度相等，即AG = HG。

同理，EH和FH的长度也相等，即EH = FH。

在三角形ABH和DEF中，它们的对应边比例为AB/DE = BH/EF。

根据比例的性质，我们可以得出AB/BH = DE/EF。

而AB/BH又等于AG/HG，所以AG/HG = DE/EF。

通过等式转化，我们可以得到AG/DE = HG/EF。

同理，对于三角形ACG和DEF，可以得到AG/DF = HG/EF。

综合以上两个等式，我们可以得到AG/DE = AG/DF，也即DG/BE = EH/CF。

接下来我们证明EH/CF = FG/AF。

我们可以使用类似的方法证明，连接CG和AF，根据相似三角形ACG和AEF的对应边比例，可以得出CG/AF = HG/EF。

三角形中位线训练试题解答题三角形中位线是连接三角形的一个顶点和对边中点的线段。

本文将针对三个中位线的相关性质和应用进行讲解和解答题目。

一、三角形中位线的定义和性质1. 定义：三角形中位线是连接一个顶点和对边中点的线段，直线它与对边的交点称为中点。

2. 性质1：三角形的三个中位线交于一点，且该点距离三个顶点相等。

这个点被称为三角形的重心，常用符号为G。

3. 性质2：三角形的重心将每条中位线按1:2的比例分成两段，其中离重心近的那一段的长度是远离重心的那一段的长度的两倍。

4. 性质3：三角形的重心到各个顶点的距离之和等于重心到对边的距离之和，即AG + BG + CG = 2GM。

5. 性质4：三角形中位线的长度等于对边长度的一半，即GM =0.5BC。

二、解答题目现在我们来解答一道与三角形中位线相关的试题。

题目：在△ABC中，AB = 12，BC = 9，AC = 7，D，E，F分别是BC、AC、AB的中点，求△DEF的周长。

解答：首先，我们绘制出三角形ABC，并确定D、E、F分别是BC、AC、AB的中点，如下所示：B/ \/ \D ----- E/ \/ \A ------------ CF根据中位线的性质，我们可以得到下面的等式：BD = 0.5BC = 0.5 * 9 = 4.5CE = 0.5AC = 0.5 * 7 = 3.5AF = 0.5AB = 0.5 * 12 = 6接下来，我们计算△DEF的周长。

由于△DEF是个等腰三角形，所以我们只需要知道两个边的长度即可。

DE = AC - AD - CE = 7 - 4.5 - 3.5 = 7 - 8 = -1 （注意这里的负号）DF = AB - AF - BD = 12 - 6 - 4.5 = 12 - 10.5 = 1.5由于三角形的边长不能为负数，所以DE的长度为0，即DE = 0。

这意味着△DEF其实是一条线段，而不是一个三角形。

三角形中位线应用技巧嘿，朋友们！今天咱们来唠唠三角形中位线这个超有趣又超有用的东西。

我记得我上学的时候，刚开始接触三角形中位线，那真的是一头雾水啊。

啥是三角形中位线呢？其实啊，三角形中位线就是连接三角形两边中点的线段。

就像在三角形这个大家庭里，它是一种特殊的存在，默默地起着非常大的作用呢。

有一次，我和我的同桌小明一起做数学题。

题目里给出了一个大大的三角形，然后告诉我们一些边的长度，让我们求另外一些线段的长度。

我当时就懵了，看着那一堆线条，感觉就像走进了一个迷宫，完全不知道从哪儿下手。

这时候小明就特别得意地跟我说：“你看，这里有中位线啊，这可是个大宝贝。

”我就特别纳闷，这中位线能有啥用啊？小明就开始给我解释。

他说：“你看啊，三角形的中位线平行于第三边，而且长度是第三边的一半。

这就好像是一把钥匙，能打开很多关于三角形边长问题的锁。

”他这么一说，我就有点开窍了。

就像我们知道了一个秘密通道一样。

比如说，如果我们知道了中位线的长度，那要求第三边的长度，不就是中位线长度乘以2嘛，多简单啊！这就好比我们在玩猜数字的游戏，知道了一半的线索，那另一半也就很容易猜到了。

那三角形中位线在证明题里又有啥用呢？我和隔壁班的小红讨论过这个问题。

小红可是个数学学霸。

她给我讲了一道证明题。

题目是要证明两条线段平行。

她看了一眼就说：“看，这里有三角形中位线的影子。

”我就很疑惑地看着她。

她接着说：“我们只要找到三角形里的中位线，因为中位线平行于第三边，那如果这两条线段正好和中位线与第三边的关系能对应上，不就证明出来了嘛。

这就像我们在拼图，找到了关键的那几块拼图，整个图案就很容易拼出来了。

”我当时就恍然大悟。

在实际的解题过程中，我们要善于发现三角形中位线。

比如说在一些复杂的图形里，可能三角形是隐藏起来的，就像宝藏被埋在了一堆杂物下面。

我们要把那些干扰的线条去掉，找到真正的三角形，然后再看有没有中位线。

有时候啊，就像捉迷藏一样，中位线就在那里，但是我们就是看不到。

三角形中位线定理的应用三角形的中位线定理是几何中一个重要定理，它不仅反映了图形间线段的位置关系，而且还揭示了线段间的数量关系，利用三角形中位线定理可以解决许多相关的问题.一、借助中位线定理选择结论例1如图1，已知四边形ABCD 中，R 、P 分别是BC 、CD 上的点，E 、F 分别是AP 、RP 的中点，当点P 在CD 上从C 向D 移动而点R 不动时，那么下列结论成立的是（ ）.（A ）线段EF 的长逐渐增大（B ）线段EF 的长逐渐减小（C ）线段EF 的长不变（D ）线段EF 的长与点P 的位置有关分析：由E ，F 分别为AP ，RP 的中点，由此可联想三角形的中位线，故连接AR ，由于已知条件可知EF 为ARP 的中位线，根据中位线定理可知EF=21AR ， 由于点P 从点C 到点D 移动的移动过程中，AR 始终不变，∴EF 的长度也不变. 解：连接AR ，∵E ，F 分别是PA ，PR 的中点，∴EF=21AB ， ∵AR 不变，∴线段EF 的长不变.故选（C ）.点评：本题通过巧妙地连接AR ，把问题转化为三角形中位线问题，借助于中位线的性质俩来解决.二、借助中位线定理求长度例2某花木场有一块如四边形ABCD 的空地（如图2），两对角线相等，各边的中点分别是E 、F 、G 、H ，用篱笆围成的四边形EFGH 场地的周长为40cm ，则对角线AC= cm分析：根据E 、F 分别为BA ，BC 的中点，可知EF 为△ABC 的中位线，根据中位线定理可得EF=21AC ，同理可得HG=21AC ，HE=21BD ，FG=21BD ，根据两对角线相等可得EF=FG=GH=HE ，由此可求到EF 的长，也就求到AC 的长.解：∵E ，F 分别是BA ，BC 的中点，∴EF=21AC ，同理可得HG=21AC ， ∵E ，H 分别是AB ，AD 的中点，∴EH=21BD ，同理可得FG=21BD ， ∵AC=BD ，∴EF=FG=GH=HE ，∵EF+FG+GH+HE=40cm ，∴EF=10cm ，∴AC=2EF=20cm.点评：根据已知条件的特点，本题是将四边形问题转化为三角形问题，通过多次利用三角形中位线的性质，确定EF 的长，进而求到AC 的长.三、借助中位线定理说理例3 如图3，在△ABC 中，BC>AC ，点D 在BC 上，且DC ＝AC,∠ACB 的平分线CF 交AD 于F ，点E 是AB 的中点，连结EF.说明EF∥CB 理由分析：根据E 为AB 的中点，要说明EF//BC ，可说明EF 为△ABC 的中位线，为此，需要证明F 为AD 的中点.解：∵CF 平分∠ACB，∴∠DCF=∠ACF.又∵DC=AC，∴CF是△ACD的中线，∴ 点F是AD的中点.∵ 点E是AB的中点，∴ EF//BD，即EF∥BC.点评：本题根据点E为AB的中点联想三角形的中位线，打开了证明的思路，在解决类似问题中应注意中位线的应用.。