福建省福州市八县(市)一中2018-2019学年高一下学期期末联考数学试题

分 10 分．
解：（1）依题意，该厂产品检测的平均值
x = 55 0.12 + 65 0.18+75 0.40+85 0.22+95 0.08 ·······························3 分 = 74.6 ． ····················································································4 分
所以取出的 2 件产品中含 B 车间产品的概率为 7 ．····························10 分 10
18．本小题考查 an 与 Sn 的关系、等差数列的定义及通项公式、数列求和等基础知识，考查 运算求解能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、分类与整合思想等．满分 12 分．
福州市 2018—2019 学年第二学期高一期末质量检测
高一数学参考答案及评分标准
评分说明：
1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题
的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则。
2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的
内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数
的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分。
3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。
4．只给整数分数。选择题和填空题不给中间分。
一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题 5 分，满分 60 分．
1．A
2．A
3．C
4．A
5．A
6．B
7．C

密 封 装 订 线高一下学期期末联考数学试题满 分：150分一、选择题（每题5分，共60分。

答案请写在答题卡上） 1、角α的终边过点P （-4，3），则αcos 的值为（ ）。

A 、4B 、－3C 、54-D 、53 2、若θθθ则,0cos sin >在( )A 、第一、二象限B 、第一、四象限C 、第一、三象限D 、第二、四象限3、已知M 是ABC ∆的BC 边上的中点，若AB a =u u u r r 、AC b =u u u r r，则AM u u u u r 等于（ ）。

A 、)(21→→-b aB 、)(21→→+b aC 、)(21→→--b aD 、)(21→→+-b a4、7sin6π=（ ）。

A 、12 B 、3- C 、3 D 、12- 5、若扇形的圆心角α＝2，弧长l ＝4，则该扇形的面积S ＝（ ）。

A 、2B 、2πC 、4πD 、46、要得到函数2tan(2)4y x π=+的图像, 需要将函数2tan(2)y x =的图像（ ）。

A 、向左平移4π个单位B 、向右平移4π个单位 C 、向左平移8π个单位 D 、向右平移8π个单位 7、在ABC ∆中， ,,AB a CB b ==u u u r r u u u r r且0a b •<r r 则三角形ABC 是（ ）。

A 、锐角三角形B 、钝角三角形C 、等腰直角三角形D 、直角三角形 8、已知→→b a ,是单位向量，且(2)a b a →→→-⊥，则→→b a 与的夹角是（ ）。

A 、3πB 、2π C 、4π D 、32π 9、若sin α＋cos αsin α－cos α＝2，则tan2α＝( )。

A 、－34 B 、34 C 、－43 D 、4310、已知函数sin()y A x B ωφ=++(0,0,||2A ωφπ>><)的周期为T ， 在一个周期内的图象如图所示，则正确的结论是（ ）。

福建省福州市八县（市）一中2018-2019学年高一数学下学期期末联考试题完卷时间：120分钟 满 分：150分参考公式：球的表面积公式：24S r π=，∑∑∑∑====Λ--=---=ni ini ii ni ini iixn xyx n y x x x y yx x b 1221121)())((，x b y a ΛΛ-=一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1. 直线03=-+y x 的倾斜角是( )A. 30B. 45C. 135D. 1502.某校有高一学生450人，高二学生480人.为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校高一高二学生中抽取一个容量为n 的样本，已知从高一学生中抽取15人，则n 为( ) A.15 B.61 C.30 D.313.从装有两个红球和两个黑球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的两个事件是（ ） A ．“至少有一个黑球”与“都是黑球” B ．“至少有一个黑球”与“至少有一个红球” C ．“恰有一个黑球”与“恰有两个黑球” D ．“至少有一个黑球”与“都是红球”4.设,m n 是两条不同的直线，γβα,,是三个不同的平面，给出下列四个命题： ①若m //α，n //α，则m n // ②若αβ//，βγ//，m ⊥α，则m ⊥γ ③若m ⊥α，n //α，则n m ⊥ ④若αγ⊥，βγ⊥，则//αβ 其中正确命题的序号是 ( ) A ．①和② B ．②和③C ．③和④D ．①和④5.已知直线012:1=-+y ax l ，直线028:2=-++a ay x l ，若21//l l ，则直线1l 与2l 的距离为（ ） A ．55 B ．552 C ．554 D ．5 6. 将某选手的7个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，5个剩余分数的平均分为21，现场作的7个分数的茎叶图后来有1个数据模糊，无法辨认，在图中以x 表示：则5个剩余分数的方差为( )A.7116 B.536C ．36 D.576 7．已知直线06)23(=---y x k 不经过第一象限，则k 的取值范围为（ ） A ．)23,(-∞ B ．]23,(-∞ C ．),23(+∞ D ．),23[+∞8．某工厂对一批新产品的长度(单位：mm)进行检测，如下图是检测结果的频率分布直方图，据此估计这批产品的中位数与平均数分别为( )A ．20，22.5B ． 22.5，25C ．22.5，22.75D ．22.75，22.759．三棱锥,10,8,6,P ABC PA PB PC AB BC CA -======则二面角P AC B--的大小为( )A ．90 B ．60 C ．45 D ．3010. 一块各面均涂有油漆的正方体被锯成27个大小相同的小正方体，若将这些小正方体均匀地搅混在一起，从中任意取出一个，则取出的小正方体两面涂有油漆的概率是( ) A.271 B.92 C.94 D.278 11．已知点)1,1(A 和点)4,4(B ，P 是直线01=+-y x 上的一点，则PB PA +的最小值是（ ）A ．63B ．34C ．5D ． 5212. 在三棱锥ABC S -中，1,2=====SC BC AC SB SA ，二面角C AB S --的大小为60，则三棱锥ABC S -的外接球的表面积为（ ）A ．34π B ． π4 C ．π12 D ． 352π二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.若(2,3),(3,2),(4,)A B C m --三点共线 则m 的值为___________14. 已知圆C 的圆心在直线03=-y x ，与y 轴相切，且被直线0=-y x 截得的弦长为72，则圆C 的标准方程为____________15. P 是棱长为4的正方体1111D C B A ABCD -的棱1CC 的中点，沿正方体表面从点A 到点P 的最短路程是________16. 利用直线与圆的有关知识求函数12)2(943)(2+---=x x x f 的最小值为_______ 三、解答题（本大题6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. （本小题满分10分）已知直线0132:1=-+y x l 与直线0823:2=--y x l 的交点为P ，点Q 是圆034222=+--+y x y x 上的动点. （1）求点P 的坐标；（2）求直线PQ 的斜率的取值范围.18．（本小题满分12分）如图所示，在三棱柱ABC ­A 1B 1C 1中，侧棱AA 1⊥底面ABC ，AB ⊥BC ，D 为AC 的中点，AA 1＝AB ＝2,BC ＝3.（1）求证：AB 1∥平面BC 1D ； （2）求1AB 与BD 所成角的余弦值．19.（本小题满分12分） 某中学从高三男生中随机抽取n 名学生的身高，将数据整理，得到的频率分布表如下所示：（1）求出频率分布表中b a n ,,的值，并完成下列频率分布直方图；（2）为了能对学生的体能做进一步了解，该校决定在第1，4，5组中用分层抽样取7名学生进行不同项目的体能测试，若在这7名学生中随机抽取2名学生进行引体向上测试，求第4组中至少有一名学生被抽中的概率.20．（本小题满分12分）某种产品的广告费支出x 与销售额y (单位：万元)之间有如下对应数据：(1)(2)在已有的五组数据中任意抽取两组，求两组数据其预测值与实际值之差的绝对值都不超过5的概率．21.（本小题满分12分）如图，在四棱锥ABCD P -中，AB AD BC AD ⊥,//，侧面⊥PAB 底面ABCD .（1）求证：平面⊥PAB 平面PBC ；（2）若AD BC AB PA 2===，且二面角A BC P --等于o45，求直线BD 与平面PBC 所成角的正弦值.22.（本小题满分12分）已知两个定点)1,0(),4,0(B A ，动点P 满足PB PA 2=.设动点P 的轨迹为曲线E ，直线l ：4-=kx y . （1）求曲线E 的轨迹方程；（2）若l 与曲线E 交于不同的D C ,两点，且oCOD 120=∠（O 为坐标原点），求直线l 的斜率；（3）若1=k ，Q 是直线l 上的动点，过Q 作曲线E 的两条切线QN QM ,，切点为N M ,，探究：直线MN 是否过定点. ...2018—2019学年下学期八县一中联考数学期末试卷参考答案13、3- 14、 9)1()3(22=-+-y x 或9)1()3(22=+++y x 15、132 16、3解：（1）由⎩⎨⎧=--=-+08230132y x y x 得⎩⎨⎧-==12y x 3................................................)1,2(-∴的坐标为P 4............................................................................. （2）由2)2()1(03422222=-+-=+--+y x y x y x 得2),2,1(半径为圆心的坐标为∴5............................................................... 设直线PQ 的斜率为k ，则直线PQ 的方程为012=---k y kx 6................................................ 由题意可知， 直线PQ 与圆有公共点即211222≤+---k k k 8......................................................................71≥-≤∴k k 或 9.................................................................................. ),7[]1,(+∞⋃--∞∴的斜率的取值范围为直线PQ 10...................................18、(1)证明：如图，连接B 1C ，设B 1C 与BC 1相交于点O ，连接OD .1.......................∵四边形BCC 1B 1是平行四边形．∴点O 为B 1C 的中点． 2............................................... ∵D 为AC 的中点，∴OD 为△AB 1C 的中位线，∴OD ∥AB 1.4....................... ∵OD ⊂平面BC 1D ，AB 1⊄平面BC 1D ， 5............................................... ∴AB 1∥平面BC 1D . 6............................................... （2）由（1）可知，ODB ∠为1AB 与BD 所成的角或其补角7.......................O50.050.3530nan b n ì=ïïïï=íïïï=ïî 21==AB AA 221=∴AB 2=∴OD2132AC ==∆AC BD D ABC Rt 的中点，则为中，在 同理可得，213=OB 9 (13)262cos 222=⋅-+=∠∆BD OD OB BD OD ODB OBD 中，在 11.......................13261所成角的余弦值为与BD AB ∴ 12............................................... （注：其它方法酌情给分）19、解：（1）由频率分布表可得， 所以，100,35,0.3n a b ===------ 3分------ 6分（2）因为第1，4，5组共有35名学生，利用分层抽样，在35名学生中抽取7名学生，每组分别为：第1组75135?；第4组720435?；第5组710235?. --------------- 8分设第1组的1位学生为1A ，第4组的4位同学为1234,,,B B B B ,第5组的2位同学为12,C C .则从7位学生中抽两位学生的基本事件分别为：{}11,,A B {}12,,A B {}13,,A B {}14,,A B {}11,,A C{}12,,A C {}12,,B B {}13,,B B {}14,,B B {}11,,B C {}12,,B C {}23,,B B {}24,,B B {}21,,B C {}22,,B C{}34,,B B {}31,,B C {}32,,B C {}41,,B C {}42,B C ，{}12,,C C 一共21种.------------ 10分记“第4组中至少有一名学生被抽中”为事件A ，即A 包含的基本事件分别为：{}11,,A C {}12,,A C {}12,,C C 一共3种，于是()31217P A == 所以，()()617P A P A =-= ------------ 12分20、解：(1)x ＝2＋4＋5＋6＋85＝5，y ＝30＋40＋60＋50＋705＝502.............. .∑∑==Λ--=512251i i i ii xn x yx n yx b ＝1 380－5×5×50145－5×5×5＝6.5，4.................................a ^＝y －b ^x ＝50－6.5×5＝17.5， 5.................................因此，所求回归直线方程为：y ^＝6.5x ＋17.5. 6 (2)基本事件：，(40,70)，(60,50)，(60,70)，(50,70)共10个， 10..........................................................两组数据其预测值与实际值之差的绝对值都不超过5：(30,40)，(30,70)，(40,70)共3个所以两组数据其预测值与实际值之差的绝对值都超过5的概率为103. 12.................. （注：其它写法酌情给分）21、（1）证明：由//,AD BC AD AB ^可得，BC AB ^因为，侧面PAB ^底面ABCD ，交线为AB ，BC Ì底面ABCD 且BC AB ^ 则 BC ^侧面PAB ，BC Ì平面PBC所以，平面PAB ^平面PBC ------------ 4分（2）解法一：由 BC ^侧面PAB 可得，BC PB ^，BC AB ^ 则 PBA Ð是二面角P BC A --的平面角，45o PBA?由PA AB =可得，PAB D 为等腰直角三角形 ------------ 6分 取PB 的中点E ，连接AE 可得AE PB ^因为平面PAB ^平面PBC ，交线为PB ，AE Ì平面PAB 且AE PB ^所以AE ^平面PBC ，点A 到平面PBC 的距离为AE . ------------ 8分因为//,AD BC AD Ë平面PBC 则//AD 平面PBC所以点D 到平面PBC 的距离d 等于点A 到平面PBC 的距离，d AE =. 设1AD =，则2PA AB BC ===在PAB D 中，AE ；在ABD D 中，BD = ------------ 10分设直线BD 与平面PBC 所成角为q即sind AE BD BD q ==所以，直线BD 与平面PBC . ----------- 12分解法二：由 BC ^侧面PAB 可得，BC PB ^，BC AB ^ 则 PBA Ð是二面角P BC A --的平面角，45o PBA?由PA AB =可得，PAB D 为等腰直角三角形，PA AB ^ ------------ 6分由 BC ^侧面PAB 可得，BC PA ^，且AB BCB ?所以PA ^平面ABCD ------------8分设1AD =，点D 到平面PBC 的距离为d ，则2PA AB BC ===由D PBC P BCD V V --=可得，1133PBC BCD S d S PA D D 鬃=鬃22=?，解得d =分设直线BD 与平面PBC 所成角为q即sin d BD q ==所以，直线BD 与平面PBC 分22、解：（1）设点P 的坐标为(),x y由2PA PB ==整理可得 224x y += 所以曲线E的轨迹方程为224x y +=.----------- 3分（2）依题意，2OC OD ==，且0120COD ?，则点O 到CD 边的距离为1即点()0,0O 到直线l ：40kx y --=1= ，解得 k =?所以直线l的斜率为.----------- 6分（3）依题意，,ON QN OM QM ^^，则,M N 都在以OQ 为直径的圆F 上 Q 是直线l ：4y x =-上的动点，设(),4Q t t -则圆F 的圆心为4,22t t 骣-琪琪桫，且经过坐标原点 即圆的方程为22(4)0x y tx t y +---= ----------- 9分- 11 - 又因为,M N 在曲线E ：224x y +=上由22224(4)0x y x y tx t y ì+=ïíï+---=î，可得(4)40tx t y +--= 即直线MN 的方程为(4)40tx t y +--=由t R Î且()440t x y y +--=可得，04+40x y y ì+=ïí=ïî 解得11x y ì=ïí=-ïî所以直线MN 是过定点()1,1-. ----------- 12分。

福建省福州市八县（市）一中高一数学下学期期末联考试题高中一年数学科试卷完卷时间：120分钟 满 分：150分一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1、若扇形的半径为6 cm ，所对的弧长为2cm ，则这个扇形的面积是（ ）。

A 、12cm 2 B 、6 cm 2 C 、6cm 2 D 、4 cm 22、在△ABC 中，若(1,)(3,2)AB m BC，，090=∠B 则m =（ ）。

A 、－32 B 、32 C 、23- D 、233、若324tan +=⎪⎭⎫ ⎝⎛+πα，则αtan 的值是（ ）。

A 、33B 、3-C 、1D 、以上答案都不对 4、在ABC △中,角C B A ,,所对的边分别是,,a b c ,若C A sin sin =，ac a b =-22,则=∠A （ ）。

A 、2π B 、4π C 、3π D 、6π 5、0000167cos 43sin 77cos 43cos +的值是（ ）。

A 、3、12 C 3、12-6、以下关于向量说法的四个选项中正确．．的选项是（ ）。

A 、若任意向量a b 与共线且a 为非零向量，则有唯一一个实数λ，使得a b λ=； B 、对于任意非零向量a b 与，若)()0a b a b （，则a b ;C 、任意非零向量a b 与满足a b a b ，则a b 与同向；D 、若A,B,C 三点满足2133OAOB OC ，则点A 是线段BC 的三等分点且离C 点较近。

7、在△ABC 中，利用正弦定理解三角形时，其中有两解的选项是（ ）。

A 、030,6,3===A b a ； B 、0150,5,6===A b a ；C 、060,34,3===A b a ；D 、030,5,29===A b a ； 8、已知23)23(sin -=-απ，则=+)3(cos απ（ ）。

A 、23 B 、23- C 、21 D 、-219、已知△ABC 满足32,2,4π=∠==BAC AC AB ，点E D 、分别是边BC AB ,的中点，连接DE 并延长到点F ，使得EF DE 2=，则 AF DC 的值为（ ）。

2018-2019学年福建省福州市第一中学高一下学期期末数学试题一、单选题1．直线10x -+=的倾斜角为 A ．23π B ．56π C ．3π D ．6π 【答案】D【解析】求得直线的斜率，由此求得直线的倾斜角. 【详解】依题意，直线的斜率为3=，对应的倾斜角为π6，故选D.【点睛】本小题主要考查由直线一般式求斜率和倾斜角，考查特殊角的三角函数值，属于基础题. 2．设A B C D ，，，是空间四个不同的点，在下列命题中，不正确的是 A ．若AC 与BD 共面，则AD 与BC 共面B ．若AC 与BD 是异面直线，则AD 与BC 是异面直线 C ．若AB =AC DB ，=DC ，则AD BC ⊥ D ．若AB = AC DB ，=DC ，则AD =BC 【答案】D【解析】由空间四点共面的判断可是A,B 正确，；C,D 画出图形，可以判定AD 与BC 不一定相等，证明BC 与AD 一定垂直． 【详解】对于选项A ，若AC 与BD 共面，则A B C D AD ，，，是四点共面，则与BC 共面，正确；对于选项B ，若AC 与BD 是异面直线，则,,,A B C D 四点不共面，则AD 与BC 是异面直线，正确；如图，空间四边形ABCD 中，AB ＝AC ，DB ＝DC ，则AD 与BC 不一定相等，∴D 错误； 对于C,当A B C D ，，，四点共面时显然成立，当,,,A B C D 四点不共面时，取BC 的中点M ，连接AM 、DM ，AM ⊥BC ，DM ⊥BC ，∴BC ⊥平面ADM ，∴BC ⊥AD ，∴C 正确；【点睛】本题通过命题真假的判定，考查了空间中的直线共面与异面以及垂直问题，是综合题． 3．两条直线1:1x y l a b -=和2:1x yl b a-=，22a b ≠，在同一直角坐标系中的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】由方程得出直线的截距，逐个选项验证即可. 【详解】由截距式方程可得直线1l 的横、纵截距分别为,a b -，直线2l 的横、纵截距分别为,b a - 选项A ，由1l 的图象可得0,0a b <>，可得直线2l 的截距均为正数，故A 正确； 选项B ，只有当=-a b 时，才有直线平行，故B 错误； 选项C ，只有当a b =时，才有直线的纵截距相等，故C 错误；选项D ，由1l 的图象可得0,0a b >>，可得直线2l 的横截距为正数，纵截距为负数， 由图像不对应，故D 错误； 故选：A 【点睛】本题考查了直线的截距式方程，需理解截距的定义，属于基础题.4．设α，β是两个不同的平面，a ，b 是两条不同的直线，给出下列四个命题，正确的是（ ）A ．若//a α，//b α，则//a bB ．若//a α，b β//，a b ⊥r r，则αβ⊥ C ．若a α⊥，b β⊥，//a b ，则//αβ D ．若a α⊥，b β⊥，//a b ，则αβ⊥【答案】C【解析】利用线面、面面之间的位置关系逐一判断即可. 【详解】对于A ，若//a α，//b α，则,a b 平行、相交、异面均有可能，故A 不正确； 对于B ，若//a α，b β//，a b ⊥r r，则,αβ垂直、平行均有可能，故B 不正确； 对于C ，若a α⊥，b β⊥，//a b ，根据线面垂直的定义可知α内的两条相交线线与β内的两条相交线平行，故//αβ，故C 正确；对于D ，由C 可知，D 不正确； 故选：C 【点睛】本题考查了由线面平行、线面垂直判断线面、线线、面面之间的位置关系，属于基础题. 5．圆()()22231x y -+-=关于直线1y x =-对称的圆的方程为（ ）A ．()()22411x y ++-= B ．()()22411x y -+-= C ．()()22411x y -++= D ．()()22411x y +++=【答案】B【解析】设圆心()2,3关于直线1y x =-对称的圆的圆心为(),a b ，则由311232122b a b a -⎧⨯=-⎪⎪-⎨++⎪=-⎪⎩，求出,a b 的值，可得对称圆的方程. 【详解】 圆()()22231x y -+-=的圆心为()2,3，半径1r =，则不妨设圆()()22231x y -+-=关于直线1y x =-对称的圆的圆心为(),a b ，半径为1，则由311232122b a b a -⎧⨯=-⎪⎪-⎨++⎪=-⎪⎩，解得4,1a b ==，故所求圆的方程为()()22411x y -+-=.故选：B 【点睛】本题考查了圆的标准方程、中点坐标公式，需熟记圆的标准形式，属于基础题. 6．祖暅原理也就是“等积原理”，它是由我国南北朝杰出的数学家祖冲之的儿子祖暅首先提出来的.祖暅原理的内容是：“幂势既同，则积不容异”，“势”即是高，“幂”是面积.意思是，如果夹在两平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的平面所截，如果两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.已知，两个平行平面间有三个几何体，分别是三棱锥、四棱锥、圆锥（高度都是h ），其中：三棱锥的体积为V ，四棱锥的底面是边长为a 的正方形，圆锥的底面半径为r ，现用平行于这两个平面的平面去截三个几何体，如果得到的三个截面面积总相等，那么，下面关系式正确的是（ ） A ．3V a h =，3V r π=，1a r π= B ．3V a h =，3V r h π=，ar π= C．a =，r =，a r =D．a =，r =a r= 【答案】D【解析】由祖暅原理可知：三个几何体的体积相等，根据椎体体积公式即可求解. 【详解】由祖暅原理可知：三个几何体的体积相等， 则213V a h =⋅⋅，解得a =， 由213V r h π=⋅⋅，解得r =所以ar=. 故选：D 【点睛】本题考查了椎体的体积公式，需熟记公式，属于基础题.7．下图是某圆拱形桥一孔圆拱的示意图，这个圆的圆拱跨度40AB =米，拱高10OP =米，建造时每隔8米需要用一根支柱支撑，则支柱22A P 的高度大约是（ ）A ．9.7米B ．9.1米C ．8.7米D ．8.1米【答案】A【解析】以O 为原点、以AB 为x 轴，以OP 为y 轴建立平面直角坐标系，设出圆心坐标与半径，可得圆拱所在圆的方程，将4x =-代入圆的方程，可求出支柱22A P 的高度 【详解】由图以O 为原点、以AB 为x 轴，以OP 为y 轴建立平面直角坐标系，设圆心坐标为()0,a ，()0,10P ，()20,0A -， 则圆拱所在圆的方程为()222x y a r +-=，()222210400a r a r ⎧-=⎪∴⎨+=⎪⎩，解得15a =-，25r =， ∴圆的方程为()2215625x y ++=，将4x =-代入圆的方程，得229.7y A P =≈()m .故选：A 【点睛】本题考查了圆的标准方程在生活中的应用，需熟记圆的标准方程的形式，属于基础题. 8．三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC 且2,PA ABC =∆3则该三棱锥外接球的表面积为( ) A ．43πB ．4πC ．8πD ．20π【答案】C【解析】根据已知中底面ABC ∆3，PA ⊥平面ABC ，可得此三棱锥外接球，即为以ABC ∆为底面以PA 为高的正三棱柱的外接球∵ABC ∆的正三角形，∴ABC ∆的外接圆半径1r ==，球心到ABC ∆的外接圆圆心的距离1d =， 故球的半径R == 故三棱锥P ABC -外接球的表面积248.S R ππ== 故选C ．9．阿波罗尼斯是古希腊著名的数学家，与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠，他对几何问题有深刻而系统的研究，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指出的是：已知动点M 与两定点A ，B 的距离之比为()0,1λλλ>≠，那么点M 的轨迹是一个圆，称之为阿波罗尼斯圆.请解答下面问题：已知()3,0A ，()0,0O ，若直线340x y c -+=上存在点M 满足2=MA MO ，则实数c 的取值范围是（ ）A ．()7,13-B ．[]7,13-C ．()11,9-D ．[]11,9-【答案】B【解析】根据题意设点M 的坐标为3,4x c x +⎛⎫⎪⎝⎭，利用两点间的距离公式可得到关于x 的一元二次方程，只需0∆≥即可求解. 【详解】点M 在直线340x y c -+=上，不妨设点M 的坐标为3,4x c x +⎛⎫⎪⎝⎭， 由直线340x y c -+=上存在点M 满足2=MA MO ，则()2222333444x c x c x x ⎡⎤++⎛⎫⎛⎫-+=+⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，整理可得()2225632480x c x c +++-=，()()22632100480c c ∆=+--≥()()269101370713c c c c c ⇒--≤⇒-+≤⇒-≤≤，所以实数c 的取值范围为[]7,13-. 故选：B 【点睛】本题考查了两点间的距离公式、一元二次不等式的解法，考查了学生分析问题解决问题的能力，属于中档题.10．在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F ，G ，H 分别是11A C ，11A D ，1DD ，1AA 的中点，K 是底面ABCD 上的动点，且//HK 平面EFG ，则HK 与平面ABCD 所成角的正弦值的最小值是（ ）A ．6 B ．5 C ．22D ．12【答案】A【解析】根据题意取,BC AD 的中点,M N ，可得平面//MNH 平面EFG ，从而可得K 在MN 上移动，HA ⊥平面ABCD ，即可HK 与平面ABCD 所成角中最小的为AMH ∠【详解】如图，取,BC AD 的中点,M N ，连接,,,HN MN HM AM ，由E ，F ，G ，H 分别是11A C ，11A D ，1DD ，1AA 的中点， 所以//HN FG ，//MN EF ，且,HN MN N FG EF F ⋂=⋂=， 则平面//MNH 平面EFG ，若K 是底面ABCD 上的动点，且//HK 平面EFG ， 则K 在MN 上移动，由正方体的性质可知HA ⊥平面ABCD ，所以HK 与平面ABCD 所成角中最小的为AMH ∠， 不妨设正方体的边长为a ，在AMH ∆中，62sin 66aAH AMH HM a∠===. 故选：A 【点睛】本题考查了求线面角，同时考查了面面平行的判定定理，解题的关键是找出线面角，属于基础题.二、填空题11．已知直线1:210l ax y a -++=和()()2:2130l x a y a R --+=∈，若12l l ⊥，则a 等于________. 【答案】13【解析】根据两直线互相垂直的性质可得()210a a +-=，从而可求出a 的值. 【详解】Q 直线1:210l ax y a -++=和()()2:2130l x a y a R --+=∈垂直，()210a a ∴+-=.解得13a =. 故答案为：13【点睛】本题考查了直线的一般式，根据两直线的位置关系求参数的值，熟记两直线垂直系数满足：12120A A B B +=是关键，属于基础题.12．四棱柱1111ABCD A B C D -中，1A A ⊥平面ABCD ，平面ABCD 是菱形，14AA =，6AB =，3BAD π∠=，E 是BC 的中点，则点C 到平面1C DE 的距离等于________.【答案】125【解析】利用等体法11C CDE C C DE V V --=即可求解. 【详解】如图，由ABCD 是菱形，6AB =，3BAD π∠=，E 是BC 的中点，所以DE CB ⊥,又1A A ⊥平面ABCD ，所以1C C ⊥平面ABCD ，即1C C DE ⊥， 又1CB CC ⊥Q ，则DE ⊥平面11BB C C ， 由1C E ⊂平面11BB C C ，所以DE ⊥1C E ， 所以111163153522DEC S DE EC =⋅==， 设点C 到平面1C DE 的距离为h ， 由11C CDE C C DE V V --= 即111133CDE DEC S CC S h ⋅=⋅， 即111532CE DE CC h ⋅⋅=， 所以125h =. 故答案为：125【点睛】本题考查了等体法求点到面的距离，同时考查了线面垂直的判定定理，属于基础题. 13．等腰直角ABC ∆中，CA CB =，CD 是AB 边上的高，E 是AC 边的中点，现将ABC ∆沿BC 翻折成直二面角A DC B --，则异面直线DE 与AB 所成角的大小为________. 【答案】60o【解析】取BC 的中点F ，连接,EF DF ，则AB 与DE 所成角即为EF 与DE 所成角，根据已知可得AD BD =，90ADB ∠=o ，可以判断三角形DEF 为等边三角形，进而求出异面直线直线DE 与AB 所成角. 【详解】取BC 的中点F ，连接,EF DF ，则//AB EF ，直线DE 与AB 所成角即为EF 与DE 所成角，Q AD BD =，90ADB ∠=o ，AB CA CB ∴==， 12EF AB ∴=，11,22DE CA DF CB ==， 即三角形DEF 为等边三角形，∴异面直线DE 与AB 所成角的大小为60o .故答案为：60o 【点睛】本题考查立体几何中的翻折问题，考查了异面直线所成的角，考查了学生的空间想象能力，属于基础题.14．已知圆()()22:549C x y -+-=及点()3,2A ，若(),0M m 满足：存在圆C 上的两点P 和Q ，使得MP MA MQ =+u u u r u u u r u u u u r，则实数m 的取值范围是________.【答案】342,342⎡-+⎣【解析】设出点P 、Q 的坐标，利用平面向量的坐标运算以及两圆相交的条件求出实数m 的取值范围. 【详解】设点()()1122,,,P x y Q x y ，由MP MA MQ =+u u u r u u u r u u u u r得()()()1122,3,2,x m y m x m y -=-+-121232x x m y y =+-⎧∴⎨=+⎩，由点()11,P x y 在圆C 上，得()()2222229x m y --+-=，又()22,Q x y Q 在圆C 上， ()()2222549x y -∴-+=，()()2222229x m y --+-=∴与()()2222549x y -+-=有交点，则()2333433m -≤-+≤+，解得342342m -≤≤+故实数m 的取值范围为342,342⎡⎤-+⎣⎦.故答案为：342,342⎡⎤-+⎣⎦【点睛】本题考查了向量的坐标运算、利用圆与圆的位置关系求参数的取值范围，属于中档题.三、解答题15．如图，四棱锥P ABCD -，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是直角梯形，//AD BC ，90BAD ∠=︒，2BC AD =，E 为PB 中点.（1）求证：//AE 平面PCD ；（2）求证：AE BC ⊥.【答案】（1）证明见详解；（2）证明见详解【解析】（1）取PC 的中点F ，证出//AE DF ，再利用线面平行的判定定理即可证出. （2）利用线面垂直的判定定理可证出BC ⊥平面PAB ，再根据线面垂直的定义即可证出.【详解】如图，取PC 的中点F ，连接,EF DF ，Q E 为PB 中点，//EF BC ∴，且12EF BC =， 又Q //AD BC ，2BC AD =， AD EF ∴=，//AD EF ,AEFD ∴为平行四边形，即//AE DF ，又AE ⊄平面PCD ，DF ⊂平面PCD ，所以//AE 平面PCD .（2）由PA ⊥平面ABCD ，所以PA BC ⊥，又因为//AD BC ，90BAD ∠=︒，所以BC AB ⊥，PA AB A =Q I ，BC ∴⊥平面PAB ，又AE ⊂Q 平面PAB ，∴AE BC ⊥.【点睛】本题考查了线面平行的判定定理、线面垂直的判定定理，要证线面平行，需先证线线平行；要证异面直线垂直，可先证线面垂直，此题属于基础题.16．已知ABC ∆的顶点()1,2A ，AB 边上的中线CM 所在直线方程为50x y +-=，AC 边上的高BH 所在直线方程为220x y --=.（1）求C 点坐标；（2）求直线BC 的方程.【答案】（1）()5,0；（2）2100x y +-=【解析】（1）根据点斜式求出AC 边所在的直线方程，再由CM 所在直线方程，两方程联立即可求解.（2）设(),B s t ，根据题意可得220s t --=，125022s t +++-=，两式联立解得 ,s t 的值，再根据两点式即可得到直线BC 的方程.【详解】（1）Q AC 边上的高BH 所在直线方程为220x y --=，且()1,2A∴12AC k =-，AC 边所在的直线方程为250x y +-=， 由AB 边上的中线CM 所在直线方程为50x y +-=，50250x y x y +-=⎧∴⎨+-=⎩，解得5,0x y ==，故C 点坐标为()5,0. （2）设(),B s t ，则由AC 边上的高BH 所在直线方程为220x y --=，可得220s t --=，Q AB 边上的中线CM 所在直线方程为50x y +-=，125022s t ++∴+-=， 220125022s t s t --=⎧⎪∴⎨+++-=⎪⎩，解得3,4s t ==，故点B 的坐标为()3,4， 则直线BC 的方程为430453y x --=--，即2100x y +-=. 【点睛】本题考查了点斜式方程、两点式方程，同时考查了解二元一次方程组，属于基础题. 17．已知圆M 的方程为22430x y y +-+=，直线l 的方程为30x y -=，点P 在直线l 上，过点P 作圆M 的切线PA ，PB ，切点为A ，B .（1）若60APB ∠=︒，求点P 的坐标；（2）求证：经过A ，P ，M 三点的圆必经过异于M 的某个定点，并求该定点的坐标.【答案】（1）()0,0和62,55⎛⎫⎪⎝⎭；（2）()0,2和31,55⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】（1）设()3,P m m ，连接MP ，分析易得22MP MA ==，即有()()22324m m +-=，解得m 的值，即可得到答案. （2）根据题意，分析可得：过A ，P ，M 三点的圆为以MP 为直径的圆，设P 的坐标为 ()3,m m ，用m 表示过A ，P ，M 三点的圆为()222320x y y m x y +--+-=，结合直线与圆的位置关系，分析可得答案.【详解】（1）根据题意，点P 在直线l 上，设()3,P m m ，连接MP ，因为圆M 的方程为()222243021x y y x y +-+=⇒+-=，所以圆心()0,2M ，半径1r =，因为过点P 作圆M 的切线P A ，PB ，切点为A ，B ；则有,PA MA PB MB ⊥⊥，且1MA MB r ===，易得APM BPM ∆≅∆，又由60APB ∠=︒，即30APM ∠=o ，则22MP MA ==，即有()()22324m m +-=，解得0m =或25m =，即P 的坐标为()0,0和62,55⎛⎫ ⎪⎝⎭. （2）根据题意，PA 是圆M 的切线，则PA MA ⊥，则过A ，P ，M 三点的圆为以MP 为直径的圆，设P 的坐标为()3,m m ，()0,2M ，则以MP 为直径的圆为()()()()0320x x m y m y --+--=，变形可得：()223220x y mx m y m +--++=， 即()222320x y y m x y +--+-=，则有2220320x y yx y⎧+-=⎨+-=⎩，解得2xy=⎧⎨=⎩或3515xy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则当0,2x y==和35x=，15y=时，()222320x y y m x y+--+-=恒成立，则经过A，P，M三点的圆必经过异于M的某个定点，且定点的坐标()0,2和31,55⎛⎫⎪⎝⎭.【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系、圆中的定点问题，考查学生分析问题、解决问题的能力，属于中档题.18．如图，三棱柱111ABC A B C-中，CA CB=，D为AB上一点，且1//BC平面1A CD.（1）求证：CD AB⊥；（2）若四边形11BCC B是矩形，且平面11BCC B⊥平面ABC，直线1A C与平面ABC 所成角的正切值等于2，23ACBπ∠=，23AB=111ABC A B C-的体积.【答案】（1）见详解；（2）3【解析】（1）连接1AC交1A C于点E，连接DE，利用线面平行的性质定理可得1//DE BC，从而可得D为AB的中点，进而可证出CD AB⊥（2）利用面面垂直的性质定理可得1BB⊥平面ABC，从而可得三棱柱111ABC A B C-为直三棱柱，在ABC∆中，根据等腰三角形的性质可得2CA CB==，进而可得棱柱的高为4，利用柱体的体积公式即可求解.【详解】（1）连接1AC交1A C于点E，连接DE，如图：由1//BC 平面1A CD ，且平面1ACD ⋂平面1ABC , 所以1//DE BC ，由E 为1AC 的中点，所以D 为AB 的中点，又Q CA CB =，∴CD AB ⊥（2）由四边形11BCC B 是矩形，且平面11BCC B ⊥平面ABC ，所以1BB ⊥平面ABC ，即三棱柱111ABC A B C -为直三棱柱，在ABC ∆中，CA CB =，23ACB π∠=，23AB = 所以2CA CB ==，因为直线1A C 与平面ABC 所成角的正切值等于2， 在1A AC ∆中，11tan 2AA ACA AC∠==，所以14AA =. 111111123144322A ABC ABC BC V S AA AB CD AA -=⋅=⋅⋅⋅=⨯⨯=【点睛】本题考查了线面平行的性质定理、面面垂直的性质定理，同时考查了线面角以及柱体的体积公式，属于基础题.19．已知圆心在直线20x y +=上的圆C 经过()2,2P 点，且与直线40x y +-=相切. （1）求过点P 且被圆C 截得的弦长等于4的直线方程；（2）过点P 作两条相异的直线分别与圆C 交于A ，B ，若直线PA ，PB 的倾斜角互补，试判断直线AB 与O P 的位置关系（O 为坐标原点），并证明.【答案】（1）2x =或2y =；（2）平行【解析】（1）设出圆的圆心为()2,n n -，半径为r ，可得圆的标准方程()()2222x n y n r ++-=，根据题意可得()()222222n n r r ⎧++-==，解出,n r 即可得出圆的方程，讨论过点P 的直线斜率存在与否，再根据点到直线的距离公式即可求解. （2）由题意知，直线P A ，PB 的倾斜角互补，分类讨论两直线的斜率存在与否，当斜率均存在时，则直线P A 的方程为：()22y k x -=-，直线PB 的方程为：()22y k x -=--，分别与圆C 联立可得,A B x x ，利用斜率的计算公式()()()224B B B A B A AB B A B A B Ak x k x k k x x y y k x x x x x x -----+-===---与1OP k =作比较即可. 【详解】（1）根据题意，不妨设圆C 的圆心为()2,n n -，半径为r ，则圆C ()()2222x n y n r ++-=，由圆C 经过()2,2P 点，且与直线40x y +-=相切， 则()()222222n n r r ⎧++-==，解得0,n r ==， 故圆C 的方程为：228x y +=，所以()2,2P 点在圆上， 过点P 且被圆C 截得的弦长等于4的直线，当直线的斜率不存在时，直线为：2x = ，满足题意；当直线的斜率存在时，设直线的斜率为k ，直线方程为：220kx y k -+-=，故2d ===，解得0k =，故直线方程为：2y =.综上所述：所求直线的方程：2x =或2y =.（2）由题意知，直线P A ，PB 的倾斜角互补，且直线P A ，PB 的斜率均存在， 设两直线的倾斜角为a 和b ， 1tan k a =，2tan k b =，因为180a b +=o ，由正切的性质，则120k k +=，不妨设直线PA 的斜率为k ，则PB 的斜率为k -，即PA ：22y kx k =-+，则PB ：22y kx k =-++，由22228y kx k x y =-+⎧⎨+=⎩，得()()()2221414180k x k k x k ++-+--=， Q 点P 的横坐标为2一定是该方程的解，故可得222421A k k x k --=+， 同理，222421B k k x k +-=+， 222448,11A B B A k k x x x x k k -∴+=-=++， ∴()()()2241B B B A B A AB OP B A B A B Ak x k x k k x x y y k k x x x x x x -----+-=====---, ∴直线AB 与O P 平行.【点睛】本题考查了圆的标准方程，已知弦长求直线方程，考查了直线与圆的位置关系以及学生的计算能力，属于中档题.。

福州八中2018—2019学年第二学期高一数学 期末考试一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1、下列推理错误的是( )A ．A ∈l ，A ∈α，B ∈l ，B ∈α⇒l ⊂α B ．A ∈α，A ∈β，B ∈α，B ∈β⇒α∩β＝ABC ．l ⊄α，A ∈l ⇒A ∉αD ．A ∈l ，l ⊂α⇒A ∈α2、若αβ、是两个相交平面，点A 不在α内，也不在β内，则过点A 且与α 和β 都平行的直线( )A ．只有1条B ．只有2条C ．只有4条D ．无数条3、一个简单几何体的正视图、侧视图如图所示，则其俯视图不可能．．．为：①长方形；②正方形；③圆．其中正确的是( ) A ．①②B ．②③C ．①③D ．①②4、等比数列{a n }中，a 2，a 6是方程x 2－34x ＋64＝0的两根，则a 4等于( ) A ．8 B ．－8C ．±8D ．以上都不对5、在等差数列{}n a 中，912162a a =+，则数列{}n a 的前11项和11S 为 ( ) A ．24 B ．48 C ．66 D ．1326、若a 、b 、c R ∈，a b >，则下列不等式成立的是（ ） A.11a b < B . 2211a b > C. 2211a bc c >++ D. ||||a c b c > 7、若A =(3)(7)x x ++，B =(4)(6)x x ++，则A 、B 的大小关系为( )A ．AB < B ．A B =C ．A B >D ．不确定8、如图所示，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，若E 是A 1C 1的中点，则直线CE 垂直于( )A ．ACB ．BDC ．A 1D D ．A 1D 18题图9、设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 10∶S 5＝1∶2，则S 15∶S 5等于 ( ) A ．3∶4B ．2∶3C ．1∶2D ．1∶310、已知12,0,=+>b a b a ，则t a b=+11的最小值是( )A ．3+B ．3-．1+．111、下图是一个几何体的三视图，其中正视图和侧视图都是一个两底长分别为2和4，腰长为4的等腰梯形，则该几何体侧面积为( )A ．6πB ．12πC ．18πD ．24π12、l 、m 、n 为三条不同的直线，α为一平面，下列命题正确的个数是（ ） ①若l α⊥，则l 与α相交；②若m α⊂，n α⊂，l m ⊥，l n ⊥，则l α⊥； ③若l ∥m ，m ∥n ，l α⊥则n α⊥； ④若l ∥m ，m α⊥，n α⊥则l ∥n . A ． 1个 B ． 2个 C ． 3个 D ． 4个二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上) 13、已知a =(1,2), b =(x ,6)，且a ∥b ，则a —b = ．14、如图，已知正方体ABCD —A ′B ′C ′D ′.直线BA ′和CC ′的夹角是 .15、设变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋y ≤3，x －y ≥－1，y ≥1，则目标函数z ＝4x ＋2y 的最大值为16、已知{a n }为等比数列，a 4＋a 7＝2，a 5a 6＝－8，则a 1＋a 10 =_______.三、解答题(本大题共4小题，共40分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17、（共10分）ABCD 与ABEF 是两个全等正方形，AM ＝FN ，其中M ∈AC ，N ∈BF .求证：MN ∥平面BCE .18、（共10分）如图所示，ABCD 是正方形，O 是正方形的中心，PO ⊥底面ABCD ，底面边长为a ，E 是PC 的中点．(1)求证：PA∥面BDE；(2)求证：BD⊥平面PAC19、（共10分）在数列{a n}中，a1＝1，a n＋1＝2a n＋2n.(1)设b n＝an2n－1.证明：数列{b n}是等差数列；(2)求数列{a n}的前n项和S n.20、（共10分）长方体ABCD- A1 B1 C1D1中，AB=3、BC=A A1=4，点O是AC的中点，（1）求证：AD1∥平面DOC1；（2）求异面直线AD1与DC1所成角的余弦值．福州八中2018—2019学年第二学期高一数学期末考试1.C2.A3.B4.A5.D6.C7.A8.B9.A10.A11.B12.C13_____________14_____________15_____________16_____________17.18.19.20．(1)证明由已知a n＋1＝2a n＋2n，得b n＋1＝＝＝＋1＝b n＋1.∴b n＋1－b n＝1，又b1＝a1＝1.∴{b n}是首项为1，公差为1的等差数列．(2)解由(1)知，b n＝n，＝b n＝n.∴a n＝n·2n－1.∴S n＝1＋2·21＋3·22＋…＋n·2n－1两边乘以2得：2S n＝1·21＋2·22＋…＋(n－1)·2n－1＋n·2n，两式相减得：－S n＝1＋21＋22＋…＋2n－1－n·2n＝2n－1－n·2n＝(1－n)2n－1，∴S n＝(n－1)·2n＋1.。

2018—2019学年第二学期福建省高一数学期末试卷一、选择题1、将石子摆成如图的梯形形状．称数列5，9，14，20，…为“梯形数”．根据图形的构成，此数列的第2012项与5的差，即a 2012-5=（）A ．2018×2012B ．2018×2011C ．1009×2012D ．1009×2011 2、已知向量满足，若M为AB 的中点，并且，则λ+μ的最大值是 A ．B ．C ．D ．3、平面上有四个互异点A 、B 、C 、D ，已知（，则△ABC 的形状是A. 直角三角形B. 等腰直角三角形C. 等腰三角形D. 无法确定4、已知x =是函数f （x ）=sin （2x +φ）+cos （2x +φ）（0＜φ＜π）图象的一条对称轴，将函数f （x ）的图象向右平移个单位后得到函数g （x ）的图象，则函数g （x ）在[－，]上的最小值为A ．－2B ．－1C ．－D ．－5、已知α为锐角，且A ．B ．C ．－D ．±6、在△ABC 中，，则这个三角形一定是A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角D ．等腰或直角三角形 7、已知若，则实数对（λ1，λ2）为A ．（1，1）B ．（-1，1）C ．（-1，-1）D ．无数对 8、若将函数f （x ）=2sinxcosx -2sin 2x +1的图象向右平移φ个单位，所得图象关于y 轴对称，则φ的最大负值是A ．－B ．－C ．－D ．－9、若递增等比数列{a n }的前n 项和为S n ，a 2=2，S 3=7，则公比q 等于A ．2B ．C ．2或D ．无法确定 10、若AD 是△ABC 的中线，已知=，，则等于A ．B ．C ．D ．11、设a n =（n ∈N *），则a 3=A ．B ．C ．D ．12、化简cos 15°cos 45°－cos 75°sin 45°的值为A ．B ．C ．－D ．－二、填空题13、给出四个命题：（1）若sin2A=sin2B ，则△ABC 为等腰三角形；（2）若sinA=cosB ，则△ABC 为直角三角形；（3）若sin 2A+sin 2B+sin 2C ＜2，则△ABC 为钝角三角形；（4）若cos （A －B ）cos （B －C ）cos （C －A ）=1，则△ABC 为正三角形。

绝密★启用前福建省福州市八县（市)一中2018-2019学年高一下学期期末数学试题试卷副标题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题)请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题1．直线 y ＝﹣x +1的倾斜角是（ ） A ．30B ．45C ．135D ．1502．某校有高一学生450人，高二学生480人.为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校高一高二学生中抽取一个容量为n 的样本，已知从高一学生中抽取15人，则n 为（ ）A ．15B ．16C ．30D ．313．从装有两个红球和三个黑球的口袋里任取两个球，那么互斥而不对立的两个事件是（ ）A ．“至少有一个黑球”与“都是黑球”B ．“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”C ．“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”D ．“至少有一个黑球”与“都是红球”4．设,m n 是两条不同的直线，,,αβγ是三个不同的平面，给出下列四个命题：①若//,//m n αα，则//m n ； ②若//,//,m αββγα⊥则m γ⊥；③若,//m n αα⊥，则m n ⊥； ④若,αγβγ⊥⊥,则//αβ，其中正确命题的序号是（ ） A ．①和②B ．②和③C ．③和④D ．①和④…………装……………○……※※请※※不※※要※※在※※题※※…………装……………○……5．已知直线1:210l ax y+-=，直线2:820l x ay a++-=，若12l l//，则直线1l与2l的距离为（）A B C．5D6．将某选手的7个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，5个剩余分数的平均分为21，现场作的7个分数的茎叶图后来有1个数据模糊，无法辨认，在图中以x表示,则5个剩余分数的方差为( )A．1167B．365C．36D．57．已知直线(32)60k x y---=不经过第一象限，则k的取值范围为（）A．3,2⎛⎫-∞⎪⎝⎭B．3,2⎛⎤-∞⎥⎝⎦C．3,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭D．3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭8．某工厂对一批新产品的长度(单位：mm)进行检测，如下图是检测结果的频率分布直方图，据此估计这批产品的中位数与平均数分别为( )A．20，22.5B．22.5，25C．22.5，22.75D．22.75，22.759．三棱锥,10,8,6P ABC PA PB PC AB BC CA-======则二面角P AC B--的大小为( )A．90︒B．60︒C．45︒D．30︒10．一块各面均涂有油漆的正方体被锯成27个大小相同的小正方体，若将这些小正方体均匀地搅混在一起，从中任意取出一个，则取出的小正方体两面涂有油漆的概率是( )A．1B．2C．4D．811．已知点(1,1)A 和点(4,4)B ， P 是直线10x y -+=上的一点，则||||PA PB +的最小值是（ ） A ．B C D ．12．在三棱锥S ABC -中，2,1SA SB AC BC SC =====，二面角S AB C --的大小为60︒，则三棱锥S ABC -的外接球的表面积为（ ） A ．43π B ．4π C ．12π D ．523π…外…………○…※…内…………○…第II 卷（非选择题)请点击修改第II 卷的文字说明 二、填空题13．若(2,3),(3,2),(4,)A B C m --三点共线则m 的值为________.14．已知圆C 的圆心在直线30x y -=，与y 轴相切，且被直线0x y -=截得的弦长为C 的标准方程为________.15．P 是棱长为4的正方体1111ABCD A B C D -的棱1CC 的中点，沿正方体表面从点A 到点P 的最短路程是_______.16．利用直线与圆的有关知识求函数()312f x x =-的最小值为_______. 三、解答题17．已知直线1:2310l x y +-=与直线2:3280l x y --=的交点为P ，点Q 是圆222430x y x y +--+=上的动点.（1）求点P 的坐标；（2）求直线PQ 的斜率的取值范围.18．如图所示，在三棱柱111-ABC A B C 中，侧棱1AA ⊥底面ABC ，AB BC ⊥，D 为AC的中点，12,3AA AB BC ＝＝＝.（1）求证：1AB //平面1BC D ； （2）求1AB 与BD 所成角的余弦值．19．某中学从高三男生中随机抽取n 名学生的身高，将数据整理，得到的频率分布表如………装…………○……_________姓名：___________班级：___………装…………○……表所示：（1）求出频率分布表中,,n a b 的值，并完成下列频率分布直方图；（2）为了能对学生的体能做进一步了解，该校决定在第1，4，5组中用分层抽样取7名学生进行不同项目的体能测试，若在这7名学生中随机抽取2名学生进行引体向上测试，求第4组中至少有一名学生被抽中的概率.20．某种产品的广告费支出x 与销售额y (单位：万元)之间有如下对应数据：（1）若广告费与销售额具有相关关系，求回归直线方程；（2）在已有的五组数据中任意抽取两组，求两组数据其预测值与实际值之差的绝对值…………线……………………线…………都不超过5的概率．21．如图，在四棱锥P ABCD -中，//,AD BC AD AB ⊥，侧面PAB ⊥底面ABCD .（1）求证：平面PAB ⊥平面PBC ；（2）若2PA AB BC AD ===，且二面角P BC A --等于45︒，求直线BD 与平面PBC 所成角的正弦值.22．已知两个定点(0,4),(0,1)A B ，动点P 满足||2||PA PB =.设动点P 的轨迹为曲线E ，直线:4l y kx =-.（1）求曲线E 的轨迹方程；（2）若l 与曲线E 交于不同的,C D 两点，且120COD ︒∠=（O 为坐标原点），求直线l 的斜率；（3）若1k =， Q 是直线l 上的动点，过Q 作曲线E 的两条切线,QM QN ，切点为,M N ，探究：直线MN 是否过定点.参考答案1．C 【解析】 【分析】由直线方程可得直线的斜率，进而可得倾斜角． 【详解】直线y ＝﹣x +1的斜率为﹣1， 设倾斜角为α，则tan α＝﹣1， ∴α＝135° 故选：C ． 【点睛】本题考查直线的倾斜角和斜率的关系，属基础题． 2．D 【解析】 【分析】根据分层抽样的定义和性质进行求解即可． 【详解】根据分层抽样原理，列方程如下，15450480450n =+，解得n ＝31． 故选：D ． 【点睛】本题主要考查分层抽样的应用，根据条件建立比例关系是解决本题的关键． 3．C 【解析】分析：利用对立事件、互斥事件的定义求解．详解：从装有两个红球和三个黑球的口袋里任取两个球，在A 中，“至少有一个黑球”与“都是黑球”能同时发生，不是互斥事件，故A 错误； 在B 中，“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”能同时发生，不是互斥事件，故B 错误；在C 中，“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”不能同时发生， 但能同时不发生，是互斥而不对立的两个事件，故C 正确；在D 中，“至少有一个黑球”与“都是红球”是对立事件，故D 错误． 故答案为：C点睛：（1）本题主要考查互斥事件和对立事件的定义，意在考查学生对这些基础知识的掌握水平.(2)互斥事件指的是在一次试验中，不可能同时发生的两个事件，对立事件指的是在一次试验中，不可能同时发生的两个事件，且在一次试验中，必有一个发生的两个事件.注意理解它们的区别和联系. 4．B 【解析】 【分析】①利用线面平行的性质可得：若m ∥α，n ∥α，则m ∥n 、相交或为异面直线；②利用平面平行的传递性和平行平面的性质可得：若α∥β，β∥γ，则α∥γ，又m ⊥α，则m ⊥γ；③利用线面垂直的性质可得：若,//m n αα⊥，则m n ⊥；；④利用面面垂直的性质可得：若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β或相交． 【详解】①若m ∥α，n ∥α，则m ∥n 、相交或为异面直线，不正确； ②若α∥β，β∥γ，则α∥γ，又m ⊥α，则m ⊥γ；正确； ③若,//m n αα⊥，则m n ⊥；正确；④若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β或相交，不正确． 综上可知：②和③正确． 故选：B ． 【点睛】本题综合考查了空间中线面的位置关系及其判定性质，属于基础题． 5．A 【解析】 【分析】利用直线平行的性质解得a ，再由两平行线间的距离求解即可 【详解】∵直线l 1：ax +2y ﹣1＝0，直线l 2：8x +ay +2﹣a ＝0，l 1∥l 2， ∴82a a -=-，且122a a-≠ 解得a ＝﹣4．所以直线l 1：4x -2y +1＝0，直线l 2：4x -2y +3＝0，故1l 与2l5=故选：A ． 【点睛】本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意直线平行的性质的灵活运用． 6．B 【解析】 【分析】由剩余5个分数的平均数为21，据茎叶图列方程求出x ＝4，由此能求出5个剩余分数的方差． 【详解】∵将某选手的7个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，剩余5个分数的平均数为21， ∴由茎叶图得：1724202020215x+++++=得x ＝4，∴5个分数的方差为： S 2=()()()()()222221361721242120212021242155⎡⎤-+-+-+-+-=⎣⎦ 故选：B 【点睛】本题考查方差的求法，考查平均数、方差、茎叶图基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题． 7．D 【解析】 【分析】由题意可得3﹣2k ＝0或3﹣2k ＜0，解不等式即可得到所求范围． 【详解】直线y＝（3﹣2k）x﹣6不经过第一象限，可得3﹣2k＝0或3﹣2k＜0，解得k32 ，则k的取值范围是[32，+∞）．故选：D．【点睛】本题考查直线方程的运用，注意运用直线的斜率为0的情况，考查运算能力，属于基础题．8．C【解析】【分析】根据平均数的定义即可求出．根据频率分布直方图中，中位数的左右两边频率相等，列出等式，求出中位数即可．【详解】：根据频率分布直方图，得平均数为5（12.5×0.02+17.5×0.04+22.5×0.08+27.5×0.03+32.5×0.03）＝22.75，∵0.02×5+0.04×5＝0.3＜0.5，0.3+0.08×5＝0.7＞0.5；∴中位数应在20～25内，设中位数为x，则0.3+（x﹣20）×0.08＝0.5，解得x＝22.5；∴这批产品的中位数是22.5．故选：C．【点睛】本题考查了利用频率分布直方图求数据的中位数平均数的应用问题，是基础题目．9．B【解析】【分析】P在底面的射影是斜边的中点，设AB中点为D过D作DE垂直AC，垂足为E，则∠PED即为二面角P ﹣AC ﹣B 的平面角，在直角三角形PED 中求出此角即可． 【详解】因为AB ＝10，BC ＝8，CA ＝6 所以底面为直角三角形又因为P A ＝PB ＝PC = 所以P 在底面的射影为直角三角形ABC 的外心，为AB 中点． 设AB 中点为D 过D 作DE 垂直AC ，垂足为E ，所以DE 平行BC ，且DE 12=BC ＝4，所以∠PED 即为二面角P ﹣AC ﹣B 的平面角．因为PD 为三角形P AB 的中线，所以可算出PD ＝所以tan ∠PED PDDE== 所以∠PED ＝60°即二面角P ﹣AC ﹣B 的大小为60° 故答案为：60°． 【点睛】本题考查的知识点是二面角的平面角及求法，确定出二面角的平面角是解答本题的关键． 10．C 【解析】 【分析】先求出基本事件总数n ＝27，在得到的27个小正方体中，若其两面涂有油漆，则这个小正方体必在原正方体的某一条棱上，且原正方体的一条棱上只有一个两面涂有油漆的小正方体，则两面涂有油漆的小正方体共有12个，由此能求出在27个小正方体中，任取一个其两面涂有油漆的概率． 【详解】∵一块各面均涂有油漆的正方体被锯成27个大小相同的小正方体， ∴基本事件总数n ＝27， 在得到的27个小正方体中，若其两面涂有油漆，则这个小正方体必在原正方体的某一条棱上， 且原正方体的一条棱上只有一个两面涂有油漆的小正方体，则两面涂有油漆的小正方体共有12个，则在27个小正方体中，任取一个其两面涂有油漆的概率P 1227==49故选：C【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型、正方体性质等基础知识，考查推理论证能力、空间想象能力，考查函数与方程思想，是基础题． 11．D 【解析】 【分析】求出A 关于直线l ：10x y -+=的对称点为C ，则BC 即为所求 【详解】 如下图所示：点(1,1)A ，关于直线l ：10x y -+=的对称点为C （0,2），连接BC,此时||||PA PB +的最小值为BC == 故选：D ．【点睛】本题考查的知识点是两点间距离公式的应用，难度不大，属于中档题． 12．D 【解析】 【分析】取AB 中点F,SC 中点E ，设ABC △的外心为1O ，外接圆半径为,r 三棱锥S ABC -的外接球球心为O ，由()22212r r r =+-⇒=，在四边形1OO CE 中，设OCE α∠=，外接球半径为,R，则122cos cos cos 3απαα=⇒=⎛⎫- ⎪⎝⎭R可求，表面积可求 【详解】取AB 中点F,SC 中点E,连接SF,CF, 因为2,SA SB AC BC ====则,,PF AB CF AB SFC ⊥⊥∴∠为二面角S AB C --的平面角，即60SFC ∠=又1,SC AB =∴=设ABC △的外心为1O ，外接圆半径为,r 三棱锥S ABC -的外接球球心为O 则1OO ⊥面,ABC OE PC ⊥，由()22212r r r =+-⇒=在四边形1OO CE 中，设OCE α∠=，外接球半径为,R，则1122cos cos cos 3R απαα=⇒===⎛⎫- ⎪⎝⎭则三棱锥S ABC -的外接球的表面积为25243R ππ= 故选：D【点睛】本题考查二面角，三棱锥的外接球，考查空间想象能力，考查正弦定理及运算求解能力，是中档题 13．3- 【解析】根据三点共线与斜率的关系即可得出． 【详解】 k AB ()2332--==---1，k AC 33246m m --==---．∵(2,3),(3,2),(4,)A B C m --三点共线， ∴﹣136m-=-，解得m ＝3-． 故答案为3-． 【点睛】本题考查了三点共线与斜率的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 14．22(3)(1)9x y -+-=或22(3)(1)9x y +++= 【解析】 【分析】由圆心在直线x ﹣3y ＝0上，设出圆心坐标，再根据圆与y 轴相切，得到圆心到y 轴的距离即圆心横坐标的绝对值等于圆的半径，表示出半径r ，距离d ，由圆的半径r 及表示出的d 利用勾股定理列出关于t 的方程，求出方程的解得到t 的值，从而得到圆心坐标和半径，根据圆心和半径写出圆的方程即可． 【详解】设圆心为（3t ，t ），半径为r ＝|3t |，则圆心到直线y ＝x 的距离d ==t |，而 2＝r 2﹣d 2，9t 2﹣2t 2＝7，t ＝±1，∴圆心是（3，1）或（-3，-1）故答案为22(3)(1)9x y -+-=或22(3)(1)9x y +++=． 【点睛】本题综合考查了垂径定理，勾股定理及点到直线的距离公式．根据题意设出圆心坐标，找出圆的半径是解本题的关键．15．【分析】从图形可以看出图形的展开方式有二，一是以底棱BC ，CD 为轴，可以看到此两种方式是对称的，所得结果一样，另外一种是以侧棱为轴展开，即以BB 1，DD 1为轴展开，此两种方式对称，求得结果一样，故解题时选择以BC 为轴展开与BB 1为轴展开两种方式验证即可 【详解】由题意，若以BC 为轴展开，则AP 两点连成的线段所在的直角三角形的两直角边的长度分别为4，6，故两点之间的距离是若以BB 1为轴展开，则AP 两点连成的线段所在的直角三角形的两直角边的长度分别为2，8，故两点之间的距离是故沿正方体表面从点A 到点P 的最短路程是故答案为【点睛】本题考查多面体和旋转体表面上的最短距离问题，求解的关键是能够根据题意把求几何体表面上两点距离问题转移到平面中来求 16．3 【解析】 【分析】令y =()()22290x y y -+=≥，()312f x x =-转化为z=3412x y -+=341255x y -+⨯，再利用圆心到直线距离求最值即可【详解】令y =()()22290x y y -+=≥故()312f x x =-转化为z=3412x y -+=341255x y -+⨯，表示上半个圆上的点到直线34120x y -+=的距离的最小值的5倍，即185335⎛⎫⨯-=⎪⎝⎭【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式，考查数形结合思想，是中档题 17．（1）(2,1)-；（2）(,1][7,)-∞-⋃+∞. 【解析】 【分析】 （1）联立方程23103280x y x y +-=⎧⎨--=⎩求解即可；（2）设直线PQ 的斜率为k ，得直线PQ 的方程为210kx y k ---=，由题意，直线PQ≤求解即可【详解】 （1）由23103280x y x y +-=⎧⎨--=⎩得21x y =⎧⎨=-⎩ ∴P 的坐标为(2,1)-P ∴的坐标为(2,1)- .（2）由222430x y x y +--+=得22(1)(2)2x y -+-=∴圆心的坐标为(1,2) 设直线PQ 的斜率为k ，则直线PQ 的方程为210kx y k ---= 由题意可知，直线PQ 与圆有公共点≤ 1k ∴≤-或7k ≥∴直线PQ 的斜率的取值范围为(,1][7,)-∞-⋃+∞. 【点睛】本题考查直线交点坐标，考查直线与圆的位置关系，考查运算能力，是基础题18．（1）证明见解析；（2 . 【解析】 【分析】（1）连接1B C ，设1B C 与1BC 相交于点O ，连接OD .证明 OD 为1AB C ∆的中位线，得1//OD AB ，即可证明；（2）由（1）可知，ODB ∠为1AB 与BD 所成的角或其补角，在OBD∆中，利用余弦定理求解即可 【详解】(1)证明：如图，连接1B C ，设1B C 与1BC 相交于点O ，连接OD . ∵四边形11BCC B 是平行四边形． ∴点O 为1B C 的中点． ∵D 为AC 的中点， ∴OD 为1AB C ∆的中位线，1//OD AB ∴OD ⊂平面1BC D ，1AB ⊄平面1BC D ， 1//AB ∴平面1BC D .（2）由（1）可知，ODB ∠为1AB 与BD 所成的角或其补角在Rt ABC ∆中，D 为AC 的中点，则2AC BD ==同理可得，2OB =在OBD ∆中，222cos 213OD BD OB ODB OD BD +-∠==⋅1AB ∴与BD . 【点睛】本题考查线面平行的判定，异面直线所成的角，考查空间想象能力与计算能力是基础题19．（1）直方图见解析；（2）67. 【解析】 【分析】（1）由题意知，0.0505n=，从而n ＝100，由此求出第2组的频数和第3组的频率，并完成频率分布直方图．（2）利用分层抽样， 35名学生中抽取7名学生，设第1组的1位学生为1A ，第4组的4位同学为1234,,,B B B B ,第5组的2位同学为12,C C ，利用列举法能求出第4组中至少有一名学生被抽中的概率． 【详解】（1）由频率分布表可得50.050.3530n an b n ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩，所以，100,35,0.3n a b === ；（2）因为第1，4，5组共有35名学生，利用分层抽样，在35名学生中抽取7名学生，每组分别为：第1组75135⨯=；第4组720435⨯=；第5组710235⨯=. 设第1组的1位学生为1A ，第4组的4位同学为1234,,,B B B B ,第5组的2位同学为12,C C . 则从7位学生中抽两位学生的基本事件分别为：{}{}{}{}{}1112131411,,,,,,,,A B A B A B A B A C ，{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}12121314111223232422,,,,,,,,,,,,,,,,,,,A C B B B B B B B C B C B B B B B S B C {}{}{}{}{}{}343132414212,,,,,,,,,,,B B B C B C B C B C C C 一共21种.记“第4组中至少有一名学生被抽中”为事件A ，即A 包含的基本事件分别为：{}{}{}1112122,,,,A C A C C C 一共3种，于是31()217P A == 所以，6()1()7P A P A =-= . 【点睛】本题考查概率的求法，考查频率分布直方图、列举法等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题． 20．（1） 6.517.5y x =+；（2）310 .【解析】 【分析】（1）首先求出x ，y 的平均数，利用最小二乘法做出线性回归方程的系数，根据样本中心点满足线性回归方程，代入已知数据求出a 的值，写出线性回归方程．（2）由古典概型列举基本事件求解即可 【详解】 (1)2456830406050705,5055x y ++++++++====51522113805550ˆ 6.5145555i ii ii x y nxybxnx ==--⨯⨯===-⨯⨯-∑∑a 50 6.5517.5y bx =-=-⨯=，因此，所求回归直线方程为： 6.517.5y x =+. (2)基本事件：()()()()()()()()()30,4030,6030,5030,7040,6040,5040,7060,5060,7050,(7)0，，，，，，，，，共10个，两组数据其预测值与实际值之差的绝对值都不超过5：()()()30,4030,7040,70，，共3个 所以两组数据其预测值与实际值之差的绝对值都超过5的概率为310. 【点睛】本题考查回归分析的初步应用，考查求线性回归方程，考查古典概型，是基础题21．（1）证明见解析；（2【解析】 【分析】（1）由/,AD B C A D A B ⊥得，BC AB ⊥，由侧面PAB ⊥底面ABCD 得BC ⊥侧面PAB ，由面面垂直的判定即可证明；（2）由BC ⊥侧面PAB ，可得,BC PB BC AB ⊥⊥， 得PBA ∠是二面角P BC A --的平面角，45PBA ︒∠=，推得PAB ∆为等腰直角三角形，取PB 的中点E ，连接AE 可得AE PB ⊥，由平面PAB ⊥平面PBC ，得AE ⊥平面PBC ，证明//AD 平面PBC ，得点D 到平面PBC 的距离d 等于点A 到平面PBC 的距离，d AE =，再利用sind AE BD BD θ====求解即可 【详解】（1）证明：由//,AD BC AD AB ⊥可得，BC AB ⊥因为侧面PAB ⊥底面ABCD ，交线为,AB BC ⊂底面ABCD 且BC AB ⊥ 则BC ⊥侧面PAB ，BC ⊂平面PBC 所以，平面PAB ⊥平面PBC ；（2）由BC ⊥侧面PAB 可得，,BC PB BC AB ⊥⊥， 则PBA ∠是二面角P BC A --的平面角，45PBA ︒∠= 由PA AB =可得，PAB ∆为等腰直角三角形取PB 的中点E ，连接AE 可得AE PB ⊥因为平面PAB ⊥平面PBC ，交线为,PB AE ⊂平面PAB 且AE PB ⊥所以AE ⊥平面PBC ，点A 到平面PBC 的距离为AE .因为//,AD BC AD ⊄平面PBC则//AD 平面PBC所以点D 到平面PBC 的距离d 等于点A 到平面PBC 的距离，d AE =.设1AD =，则2PA AB BC ===在PAB ∆中，AE =ABD ∆中，BD =设直线BD 与平面PBC 所成角为θ即sin d AE BD BD θ====所以，直线BD 与平面PBC【点睛】本题考查面面垂直的判定，二面角及线面角的求解，考查空间想象能与运算求解能力，关键是线面平行的性质得到点D 到面的距离,是中档题22．（1）224x y +=；（2）（3）(1,1)-.【解析】【分析】（1）设点P 坐标为（x ，y ），运用两点的距离公式，化简整理，即可得到所求轨迹的方程；（2）由120COD ︒∠=，则点O 到CD 边的距离为1，由点到线的距离公式得直线l 的斜率；（3）由题意可知：O ，Q ，M ，N 四点共圆且在以OQ 为直径的圆上，设(,4)Q t t -，则圆F的圆心为4,22t t -⎛⎫ ⎪⎝⎭运用直径式圆的方程，得直线MN 的方程为(4)40tx t y +--=，结合直线系方程，即可得到所求定点．【详解】（1）设点P 的坐标为(,)x y由||2||PA PB ==整理可得224x y +=所以曲线E 的轨迹方程为224x y +=.（2）依题意，2OC OD ==，且120COD ︒∠=，则点O 到CD 边的距离为1即点(0,0)O 到直线:40l kx y --=1=，解得k =所以直线l 的斜率为（3）依题意，,ON QN OM QM ⊥⊥，则M N ，都在以OQ 为直径的圆F 上Q 是直线:4l y x =-上的动点，设(,4)Q t t -则圆F 的圆心为4,22t t -⎛⎫⎪⎝⎭，且经过坐标原点 即圆的方程为22(4)0x y tx t y +---= ，又因为,M N 在曲线22:4E x y +=上 由222245(4)0x y x y x t y ⎧+=⎨+---=⎩，可得(4)40tx t y +--= 即直线MN 的方程为(4)40tx t y +--=由t R ∈且()440t x y y +--=可得，0440x y y +=⎧⎨+=⎩解得11x y =⎧⎨=-⎩所以直线MN 是过定点(1,1)-.【点睛】本题考查点的轨迹方程的求法，注意运用两点的距离公式，考查直线和圆相交的弦长公式，考查直线恒过定点的求法，考查化简整理的运算能力，属于中档题．。

2017-2018学年度第二学期八县（市）一中期末考联考高中 一 年 数学 科试卷命题学校： 长乐一中 命题者： 长乐一中集备组 考试日期： 7 月 3 日 完卷时间： 120 分钟 满 分： 150 分 一、选择题（每题5分，共60分）1．已知向量()1,2a =，(3,3)b =--， (),3c x =，若()2//a b c +，则x =（ ）A ．1-B ．2-C ．3-D ．4-2．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，卷一《方田》[三三]：“今有宛田， 下周六步，径四步问为田几何？”译成现代汉语其意思为：有一块扇形的田，弧长 6步，其所在圆的直径是4步，问这块田的面积是（ ）平方步？ A. 6B.3C. 12D. 93．，则sin 2α的值为（ ）ABC ．9D ．94．将函数15cos π26x y ⎛⎫- ⎪⎝⎭=对应的曲线沿着x 轴水平方向向左平移2π3个单位，得到 曲线为（ ）A ．1πcos 26y x ⎛⎫ ⎪=-B ．1sin 2y x =C ．1πsin 26y x ⎛⎫ ⎪⎝⎭=- D ．1sin 2y x =- 51352cos10cos80-=（ ） A ．2- B ．12- C ．1-D ．16．如图所示，向量,,,,,OA a OB b OC c A B C ===在一条直线上，且4AC CB =-则( )A. 1322c a b =+ B. 3122c a b =- C. 2c a b =-+ D. 1433c a b =-+7．设向量a 与b 满足2a =，1b =，且()b a b ⊥+，则向量b 在向量2a b +方向 上的投影为（ ）学校 班级 姓名 座号 准考号： .---------密………封…………装…………订………线----------A ．12-B ．12C ．1D ． 1-8．函数sin 21cos xy x=+的部分图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．9．已知非零向量a ，b 满足23a b =，2a b a b -=+，则a 与b 的夹角的余弦值为（ ）A ．23B ．34C ．13D ．1410．设sin5a π=，cos10b π=，5tan12c π=，则（ ）A ．c b a >>B ．a c b >>C ．b a c >>D ．a b c >>11. ()f x 在区间ω的值为（ ） A ．2B ．38C ．103D ．2312．平行四边形ABCD 中，2AB =，1AD =，·1AB AD =-，点M 在边CD 上，则·MA MB 的最大值为（ ）A ．1B ．2C ．5D 1二、填空题（每题5分，共20分）13．已知点P ⎝⎛⎭⎫sin 34π，cos 34π落在角θ的终边上，且θ∈[0,2π)，则θ的值为 ．14则sin cos αα等于 ．15．当x θ=时，函数()5sin 12cos f x x x =-取得最大值，则cos θ＝________．16． ①；②③在ABC △中，1AB =，3AC =，D 是BC 的中点，则·4AD BC =； ④已知对任意的x R ∈恒有且()f x 在R 上是奇函数，时，()sin f x x =，其中命题正确的是___． 三、解答题（共6大题，17题10分，18~22题每题12分，共70分） 17．已知向量(3,4)OA =-，(6,3)OB =-，(5,3)OC m m =---.(1)若点A ，B ，C 能构成三角形，求实数m 应满足的条件； (2)若△ABC 为直角三角形，且∠A 为直角，求实数m 的值．18．已知a ，b 是两个单位向量.(1)若|32|3a b -=，求|3|a b +的值； (2)若a ，b 的夹角为3π，求向量2m a b =+与23n b a =-的夹角α.19．已知函数()sin f x x =，先将函数()f x 的图象向右平移6π个单位，再将图象的横坐标扩大3倍，纵坐标扩大2倍得到函数()g x .(1)求函数()g x 的解析式，并求出5()4g π的值； (2)设α，[0,]2πβ∈，10(3)213g πα+=，3cos()5αβ+=，求(32)2g βπ+的值.20．设函数()f x a b =⋅，其中向量()2cos ,1a x =，b ()m x x +=2sin 3,cos ．(1)求函数()x f 的最小正周期和在[]π,0上的单调递增区间； (2)当∈x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡6π,0时，()4f x <恒成立，求实数m 的取值范围．21．如图，在海岸线EF 一侧有一休闲游乐场，游乐场的前一部分边界为曲线段FGBC ，该曲线段是函数sin()(0,0,(0,))y A x A ωϕωϕπ=+>>∈，[]4,0x ∈-的图象，图象的最高点为(1,2)B -.边界的中间部分为长1千米的直线段CD ，且CD ∥EF ．游乐场的后一部分边界是以O 为圆心的一段圆弧DE ． (1)求曲线段FGBC 的函数表达式；(2)如图，在扇形ODE 区域内建一个平行四边形休闲区OMPQ ，平行四边形的一边在海岸线EF 上，一边在半径OD 上，另外一个顶点P 在圆弧DE 上，且POE θ∠=，求平行四边形休闲区OMPQ 面积的最大值及此时θ的值．22．已知向量()11,,1,sin(2)62a y b x π⎛⎫==-+ ⎪⎝⎭，且//a b ，设函数()y f x =．（1）若方程()0f x k -=在[,]2x ππ∈上恰有两个相异的实根αβ、，写出实数k 的取值范围,并求αβ+的值．（2）若()2()1h x f x =-,5,1212x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，且()()2cos 43g x h x x λπ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭求实数λ的值．2017---2018学年度第二学期八县（市）一中期末考联考高一数学参考答案一、选择题：（每小题5 分，共60 分） 二、填空题：（每小题 5 分，共20 分）13. 7π414.25 15. 1213- 16. ②③④三、解答题：（共6大题，17题10分，18~22题每题12分，共70分）17. 解：（1）若点A 、B 、C 能构成三角形，则这三点不共线， ………1分(3,1)AB OB OA -==，(2,1)AC OC OA m m -==--. …………………3分3(1)2m m ∴-≠- ∴． ……………5分 （2）若△ABC 为直角三角形，且∠A 为直角，则AB AC ⊥， ………7分3(2)(1)0m m ∴-+-=…………………………9分…………10分 18．解：（1）因为a ，b 是两个单位向量，所以||||1a b ==，又|32|3a b -=，∴222(32)9||124||9a b a a b b -=-+=，即13a b =. ………2分∴22|3|9||6||91a b a a b b +=++=⨯= ………4分（2）因为227(2)(23)2||6||2m n a b b a b a b a =+-=+-=-， ………6分 222||(2)4||4||41m a b a a b b =+=++=⨯= ………8分222||(23)4||129||41n b a b a b a =-=-+=⨯-= ………10分则71cos 2||||7m n m n α-===-⨯，又因为0απ≤≤，所以23πα=. ………12分 19. 解：（1）由题可知：1()2sin()36gx x π=-，………3分则515()2sin()2sin 2434642g ππππ=⨯-==⨯= ………5分 （2） 因为110(3)2sin[(3)]2sin 232613g πππααα+=+-==， 所以5sin 13α=，[0,]2πα∈，则12cos 13α=，………7分又因为3cos()5αβ+=，[0,]αβπ+∈，则4sin()5αβ+=， ………9分所以3124556cos cos[()]cos()cos sin()sin 51351365βαβααβααβα=+-=+++=⨯+⨯=………11分所以(32)11562sin[(32)]sin()cos 2236265g βπππβπββ+=⨯⨯+-=+==. ..…12分20. (1)()16π2sin 22sin 3cos 22++⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=m x m x x x f …………3分 ∴函数()x f 的最小正周期π=T ， ……………4分π22π6π2x π22πk k +≤+≤+-π6πx π3πk k +≤≤+-∴()Z k ∈ ……………6分∴在[]π,0上的单调递增区间为⎥⎦⎤⎢⎣⎡6π,0，⎥⎦⎤⎢⎣⎡π,3π2． …………7分(2) 当∈x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡6π,0时，()x f 单调递增∴当6π=x 时，()x f 的最大值等于3+m . …………8分当0=x 时，()x f 的最小值等于2+m . …………9分由题设知()4<x f ，即()44<<-x f∴⎩⎨⎧->+<+4243m m ， …………11分 解得：16<<-m . ……………………12分21. (1)由已知条件，得2A =， …………1分又∵34T =，212T πω==，∴6πω= ………2分 又∵当1x =-时，有2sin()2,6y πϕ=-+= ∴23πϕ= …………4分∴曲线段FGBC 的解析式为[]22sin(),4,063y x x ππ=+∈-(2)如图，OC ，1CD =，∴2OD =，6COD π∠=，13PMP π∠=……5分解法一：作1PP ⊥x 轴于1P 点， ……6分 在1Rt OPP ∆中，12cos OPθ=，12sin PP θ=在1Rt MPP ∆中，1112sin tan3PP MP MP πθ==，∴13MP θ==……8分（注：学过正弦定理可以采用解法二求线段OM 的长度）（解法二：作1PP ⊥x 轴于1P 点，在1Rt OPP ∆中，12sin PP θ=， 在OMP ∆中，sin120sin(60)OP OMθ=-∴sin(60)2cos 2cos sin1203OP OM θθθθ⋅-===-．） ……8分……11分当262ππθ+=时，即6πθ=……12分 22. 解：（1）()1sin 262f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭ …………………1分方程()0f x k -=在[,]2x ππ∈上恰有两个相异的实根∴题中问题等价于函数()y f x =与y k =的图像在[,]2x ππ∈上恰有两个不同的交点用五点法画出()1sin 262f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的图像（草图略）…………………4分 ∴由图可知：10.2k -<≤ ……………………5分 αβ、关于直线56x π=对称 ∴5.3παβ=+ ……………………6分2cos 3OM θθ=-（2）()()2cos 43g x h x x λπ⎛⎫=+-⎪⎝⎭4sin 2cos 463x x λππ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 24sin 212sin 266x x λπ⎡π⎤⎛⎫⎛⎫=-+-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦222sin 2216x λλ⎡π⎤⎛⎫=---++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦……………………8分5,1212x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，于是20263x ππ≤-≤，0sin 216x π⎛⎫∴≤-≤ ⎪⎝⎭……………9分①当0λ<时，当且仅当sin 206x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭时，()g x 取得最大值1，与已知不符．10分 ②当01λ≤≤时，当且仅当sin 26x λπ⎛⎫-= ⎪⎝⎭时，()g x 取得最大值221λ+， 由已知得23212λ+=，解得12λ=． ……………11分 ③当1λ>时，当且仅当sin 216x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭时，()g x 取得最大值41λ-， 由已知得3412λ-=，解得58λ=，矛盾． ……………12分 综上所述，12λ=．。

福建省福州市2018-2019学年高一下学期期末质量检测数学试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 终边落在第二象限的角组成的集合为 ( )A. B.C. D.【答案】D【解析】∵终边落在y轴正半轴的角的集合为，终边落在x轴负半轴的角的集合为{ | =，k∈Z}，∴终边落在第二象限的角组成的集合可表示为{ |＜＜，k∈Z}．故选D2. ( )A. B. C. D.【答案】D【解析】根据向量加法运算得，根据向量减法得=故选D3. 若为第四象限角，则 ( )A. B. C. D.【答案】A【解析】若为第四象限角，，所以，所以=故选A4. = ( )A. 0B.C.D. 1【答案】B【解析】==sin（63°-33°）=sin30°=故选B5. 点O为正六边形ABCDEF的中心，则可作为基底的一对向量是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由图形可知：与,与，与共线，不能作为基底向量，与不共线，可作为基底向量，故选：B.6. 点落在（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】C【解析】因为＜3＜π，所以3在第二象限，所以tan3＜0，cos3＜0，故点（tan3，cos3）落在第三象限；故选：C．7. 角的终边与单位圆交于点，则=（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由已知sinα=−，又cos（）=sin=−；故选：B．8. 已知函数，则（）A. 当时，为奇函数B. 当时，为偶函数C. 当时，为奇函数D. 当时，为偶函数【答案】C【解析】A.f（x）===-cos2x, 则f（x）是偶函数，A不符合条件；B. f（x）=sin2（x-0）=sin2x，则f（x）是奇函数，B不符合条件；C. f（x）==sin（2x-π）=-sin2x，则f（x）是奇函数，C符合条件；D. f（x）=sin2（x-π）=sin（2x-2π）=sin2x，则f（x）是奇函数，D不符合条件；故选：C．9. 若向量，，则在方向上的投影为（）A. -2B. 2C.D.【答案】A【解析】向量，，所以，||=5，所以在方向上的投影为 =-2 故选A10. 为得到的图象，只需将的图象（）A. 向左平移个单位B. 向右平移个单位C. 向左平移个单位D. 向右平移个单位【答案】C【解析】将y=的图象向左平移个单位可得y=sin[(x+）+]=cosx的图象，故选：C．点睛：本题主要考查诱导公式的应用，利用了y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，左右平移改变x本身，伸缩变换改变周期，上下平移改变y的取值，最后统一这两个三角函数的名称，是解题的关键.11. 如图，点P是半径为1的半圆弧上一点，若长度为x,则直线AP与半圆弧所围成的图形的面积S关于x的函数图象为（）【答案】A【解析】∵弧AP长度为x，半径为1，∴弧AP所对的圆心角为x，∴直线AP与半圆弧所围成的面积S 关于x的函数S=x-sinx,∴S′=-cosx＞0，∴S在[0，π]上单调递增，S′在[0，π]上单调递增，故选：A．12. 将函数与的所有交点从左到右依次记为，若O为坐标原点，则=（）A. 0B. 1C. 3D. 5【答案】D【解析】函数f（x）=3cos（x）与g（x）=x-1的所有交点，从左往右依次记为A1、A2、A3、A4和A5，且A1和A5，A2和A4，都关于点A3对称，如图所示；则=（5,0），所以=5故选D点睛：本题考查了函数的图象与平面向量的应用问题，也考查了数形结合的应用问题，根据题意画出函数f （x）与g（x）的图象，结合图象求出两函数的交点坐标，再计算与它的模长．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 已知钝角满足，则__________．【答案】【解析】∵钝角α满足，∴．故答案为.14. 如图所示，在正方形ABCD中，点E为边AB的中点，线段AC与DE交于点P，则__________．【答案】-3【解析】设正方形的边长为1，ABCD为正方形，有AB∥CD，则∠BAC=∠ACD，又∠APE与∠CPD为对顶角，则两角相等，那么△APE∽△CPD，∵E为AB中点，则，由余弦定理得，故答案为-3.点睛：本题考查同角基本关系来计算正切，先利用图形特征找出三角形相似得出相似比，再借助直角三角形算出斜边长，即得出AP，DP的长，把放在三角形APD中，利用余弦定理先算出是关键.15. 将函数的图象上所有点的横坐标缩小为原来的倍（纵坐标不变）得到的图象，则__________．【答案】【解析】将函数的图象上所有点的横坐标缩小为原来的倍（纵坐标不变）得到函数图象的解析式为：故答案为16. 在△ABC中，D为BC中点，直线AB上的点M满足：，则__________．【答案】1【解析】设，∵D为BC中点，所以,可以化为3x=λ（）+（3-3λ），化简为（3x-λ）=（3-2λ），只有3x-λ=3-2λ=0时，（3x-λ）=（3-2λ）才成立，所以λ=，x=所以，则M为AB的中点故答案为1点睛：本题考查向量的基本定理基本定理及其意义，考查向量加法的三角形法则，考查数形结合思想，直线AB上的点M可设成，D为BC中点可得出，代入已知条件整理可得.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知四点A（-3，1），B（-1，-2），C（2，0），D（）（1）求证：；(2) ，求实数m的值.【答案】(1)见解析(2) 或1【解析】试题分析：（1）分别根据向量的坐标运算得出算出（2）由向量的平行进行坐标运算即可.试题解析：(1)依题意得，所以所以.(2)，因为所以整理得所以，实数m的值为或1.18. 已知函数（1）用“五点法”作出在长度为一个周期的闭区间上的简图；（2）写出的对称中心与单调递增区间；（3）求的最大值以及取得最大值时x的集合.【答案】(1)见解析（2）对称中心，单调增区间（3）试题解析：(1)按五个关键点列表：描点并将它们用光滑的曲线连接起来，如下图所示：（2）由（1）图象可知，图象的对称中心为；单调递增区间为（3）此时x组成的集合为.19. 已知函数（1）求的周期；（2）若，求的值.【答案】（1）T=(2)【解析】试题分析：（1）利用二倍角的正弦、余弦公式，两角和的正弦公式化简解析式，由周期公式求出f （x）的周期；（2）由（1）化简=，利用平方关系和诱导公式求出的值．试题解析：（1），所以的周期.(2)因，所以，令，则，,所以，.20. 在△ABC中，AB=2，AC=，∠BAC=60°，D为△ABC所在平面内一点，（1）求线段AD的长；（2）求∠DAB的大小.【答案】（1）AD＝1(2)试题解析：（1）依题意得：因为所以所以所以，即AD＝1(2)由（1）可知，，所以，又因所以点睛：本题是用向量的知识来解决的三角形的知识，已知两边及夹角可以求出数量积，再利用向量的加法用基底，来表示,求模长平方即可，计算角度的问题可以联系向量的夹角，利用夹角的计算公式很容易得解.21. 如图，点P为等腰直角△ABC内部（不含边界）一点，AB=BC=AP=1，过点P作PQ//AB，交AC于点Q，记面积为（1）求关于的函数;（2）求的最大值,并求出相应的值.【答案】（1）(2)，【解析】试题分析：（1）利用正弦定理求出PQ，再利用三角形的面积公式，即可求S（θ）关于θ的函数；（2）利用辅助角公式化简函数，即可得出结论．试题解析：（1）依题意得，∠CAB＝，如图，过点A作直线PQ的垂线，垂足为E.因为PQ//AB，所以在RT△APE中，在RT△AQE中，因为所以所以PE＝PE－EQ＝，所以(2)由（1）得，，因为，所以所以当，即时，22. 已知函数部分图象如图所示,点P为与x轴的交点,点A,B 分别为的图象的最低点与最高点,(1)求的值；(2)若，求的取值范围.【答案】（1）（2）当，的值域为；当时，的值域为【解析】试题分析：（1）设函数f（x）的周期是T、P（a，0），由图象和周期性表示出A、B的坐标，根据向量的坐标运算和向量的数量积运算化简已知的式子，求出T后由周期公式求出ω；（2）由（1）和x的范围求出f（x）、ωx+φ范围，利用正弦函数的性质求出f（x）的取值范围．试题解析：（1）设最小正周期为T，，则，所以，解得T＝4，所以（2）由（1）知，，T＝4，由得所以的增区间为，减区间为因为，所以当时，所以在区间上为增函数，在区间为减函数，所以当时，易知为图象的一条对称轴.所以当，即，当，即时，综上，当，的值域为；当时，的值域为点睛：本题考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象解析式的确定，向量数量积的坐标运算，以及正弦函数的性质，第（2）问通过计算函数的对称轴即定出函数的单调区间，进而得出函数在所求区间的最值.。

2018-2019学年福建省福州八中高一下学期期末考试数学试题一、选择题1．若集合{}314A x x =-≥， 2111x B x x +⎧⎫=<⎨⎬-⎩⎭，则集合A B ⋂=（ ）A. (]21--，B. ΦC. [)11-，D. ()2,1--2．已知向量()()2,1,1,a b m ==-，且()()//a b a b +-，则m 的值为（ ） A. 2 B. 2- C.12 D. 12- 3．已知角.C 的终边上一点的坐标为()sin25,cos25︒︒,则角.D 的最小正值为（ ）A. 25︒B. 45︒C. 65︒D. 115︒4．已知等比数列 ，且 ，则 的值为（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 165．变量x ，y 满足约束条件3602030x y x y y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪-≤⎩，则目标函数z=y-2x 的最小值为（ ）A ．-7B ．-4C ． 1D ．26．函数2cos cos y x x x =+在区间,64ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域是（ ）A. 1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B. 12⎡-⎢⎣⎦C. 30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦D. ⎡⎢⎣⎦ 7．已知3OA =， 1OB =， 0OA OB ⋅=，若3OP OA OB =+，则A O P ∠=（ ）A. 6πB. 3πC. 23πD. 56π8．已知()2f x ax bx =+，且满足： ()113f ≤≤， ()111f -≤-≤，则()2f 的取值范围是（ ）A. []0,12B. []2,10C. []0,10D. []2,129．数列{}n a 满足11a =，对任意的*n N ∈ 都有11n n a a n +=++，则122017111a a a +++= ( )A.20162017 B. 40322017 C. 40342018 D. 20172018 10．刘徽是我国魏晋时期著名的数学家，他编著的《海岛算经》中有一问题：“今有望海岛，立两表齐，高三丈，前后相去千步，令后表与前表相直。

福建省福州市八县（市）一中2018-2019学年高一数学下学期期末联考试题完卷时间：120分钟 满 分：150分参考公式：球的表面积公式：24S r π=，∑∑∑∑====Λ--=---=ni ini ii ni ini iixn xyx n y x x x y yx x b 1221121)())((，x b y a ΛΛ-=一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1. 直线03=-+y x 的倾斜角是( )A. 30B. 45C. 135D. 1502.某校有高一学生450人，高二学生480人.为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校高一高二学生中抽取一个容量为n 的样本，已知从高一学生中抽取15人，则n 为( ) A.15 B.61 C.30 D.313.从装有两个红球和两个黑球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的两个事件是（ ） A ．“至少有一个黑球”与“都是黑球” B ．“至少有一个黑球”与“至少有一个红球” C ．“恰有一个黑球”与“恰有两个黑球” D ．“至少有一个黑球”与“都是红球”4.设,m n 是两条不同的直线，γβα,,是三个不同的平面，给出下列四个命题： ①若m //α，n //α，则m n // ②若αβ//，βγ//，m ⊥α，则m ⊥γ ③若m ⊥α，n //α，则n m ⊥ ④若αγ⊥，βγ⊥，则//αβ 其中正确命题的序号是 ( ) A ．①和② B ．②和③C ．③和④D ．①和④5.已知直线012:1=-+y ax l ，直线028:2=-++a ay x l ，若21//l l ，则直线1l 与2l 的距离为（ ） A ．55 B ．552 C ．554 D ．5 6. 将某选手的7个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，5个剩余分数的平均分为21，现场作的7个分数的茎叶图后来有1个数据模糊，无法辨认，在图中以x 表示：1 7 7 249x则5个剩余分数的方差为( )A.7116 B.536C ．36 D.576 7．已知直线06)23(=---y x k 不经过第一象限，则k 的取值范围为（ ） A ．)23,(-∞ B ．]23,(-∞ C ．),23(+∞ D ．),23[+∞8．某工厂对一批新产品的长度(单位：mm)进行检测，如下图是检测结果的频率分布直方图，据此估计这批产品的中位数与平均数分别为( )A ．20，22.5B ． 22.5，25C ．22.5，22.75D ．22.75，22.759．三棱锥,10,8,6,P ABC PA PB PC AB BC CA -======则二面角P AC B--的大小为( )A ．90 B ．60 C ．45 D ．3010. 一块各面均涂有油漆的正方体被锯成27个大小相同的小正方体，若将这些小正方体均匀地搅混在一起，从中任意取出一个，则取出的小正方体两面涂有油漆的概率是( ) A.271 B.92 C.94 D.278 11．已知点)1,1(A 和点)4,4(B ，P 是直线01=+-y x 上的一点，则PB PA +的最小值是（ ）A ．63B ．34C ．5D ． 5212. 在三棱锥ABC S -中，1,2=====SC BC AC SB SA ，二面角C AB S --的大小为60，则三棱锥ABC S -的外接球的表面积为（ ）A ．34π B ． π4 C ．π12 D ． 352π二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.若(2,3),(3,2),(4,)A B C m --三点共线 则m 的值为___________14. 已知圆C 的圆心在直线03=-y x ，与y 轴相切，且被直线0=-y x 截得的弦长为72，则圆C 的标准方程为____________15. P 是棱长为4的正方体1111D C B A ABCD -的棱1CC 的中点，沿正方体表面从点A 到点P 的最短路程是________16. 利用直线与圆的有关知识求函数12)2(943)(2+---=x x x f 的最小值为_______ 三、解答题（本大题6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. （本小题满分10分）已知直线0132:1=-+y x l 与直线0823:2=--y x l 的交点为P ，点Q 是圆034222=+--+y x y x 上的动点. （1）求点P 的坐标；（2）求直线PQ 的斜率的取值范围.18．（本小题满分12分）如图所示，在三棱柱ABC ­A 1B 1C 1中，侧棱AA 1⊥底面ABC ，AB ⊥BC ，D 为AC 的中点，AA 1＝AB ＝2,BC ＝3.（1）求证：AB 1∥平面BC 1D ； （2）求1AB 与BD 所成角的余弦值．19.（本小题满分12分） 某中学从高三男生中随机抽取n 名学生的身高，将数据整理，得到的频率分布表如下所示：（1）求出频率分布表中b a n ,,的值，并完成下列频率分布直方图；（2）为了能对学生的体能做进一步了解，该校决定在第1，4，5组中用分层抽样取7名学生进行不同项目的体能测试，若在这7名学生中随机抽取2名学生进行引体向上测试，求第4组中至少有一名学生被抽中的概率.20．（本小题满分12分）某种产品的广告费支出x 与销售额y (单位：万元)之间有如下对应数据：(1)(2)在已有的五组数据中任意抽取两组，求两组数据其预测值与实际值之差的绝对值都不超过5的概率．21.（本小题满分12分）如图，在四棱锥ABCD P -中，AB AD BC AD ⊥,//，侧面⊥PAB 底面ABCD .（1）求证：平面⊥PAB 平面PBC ；（2）若AD BC AB PA 2===，且二面角A BC P --等于o45，求直线BD 与平面PBC 所成角的正弦值.22.（本小题满分12分）已知两个定点)1,0(),4,0(B A ，动点P 满足PB PA 2=.设动点P 的轨迹为曲线E ，直线l ：4-=kx y . （1）求曲线E 的轨迹方程；（2）若l 与曲线E 交于不同的D C ,两点，且oCOD 120=∠（O 为坐标原点），求直线l 的斜率；（3）若1=k ，Q 是直线l 上的动点，过Q 作曲线E 的两条切线QN QM ,，切点为N M ,，探究：直线MN 是否过定点.2018—2019学年下学期八县一中联考数学期末试卷参考答案13、3- 14、 9)1()3(22=-+-y x 或9)1()3(22=+++y x 15、132 16、3解：（1）由⎩⎨⎧=--=-+08230132y x y x 得⎩⎨⎧-==12y x 3................................................)1,2(-∴的坐标为P 4............................................................................. （2）由2)2()1(03422222=-+-=+--+y x y x y x 得2),2,1(半径为圆心的坐标为∴5............................................................... 设直线PQ 的斜率为k ，则直线PQ 的方程为012=---k y kx 6................................................ 由题意可知， 直线PQ 与圆有公共点即211222≤+---k k k 8......................................................................71≥-≤∴k k 或 9.................................................................................. ),7[]1,(+∞⋃--∞∴的斜率的取值范围为直线PQ 10...................................18、(1)证明：如图，连接B 1C ，设B 1C 与BC 1相交于点O ，连接OD .1.......................∵四边形BCC 1B 1是平行四边形．∴点O 为B 1C 的中点． 2............................................... ∵D 为AC 的中点，∴OD 为△AB 1C 的中位线，∴OD ∥AB 1.4....................... ∵OD ⊂平面BC 1D ，AB 1⊄平面BC 1D ， 5............................................... ∴AB 1∥平面BC 1D . 6............................................... （2）由（1）可知，ODB ∠为1AB 与BD 所成的角或其补角7.......................21==AB AA 221=∴AB 2=∴OD2132AC ==∆AC BD D ABC Rt 的中点，则为中，在 同理可得，213=OB 9 (13)262cos 222=⋅-+=∠∆BD OD OB BD OD ODB OBD 中，在 11.......................13261所成角的余弦值为与BD AB ∴ 12............................................... （注：其它方法酌情给分）19、解：（1）由频率分布表可得， 所以，100,35,0.3n a b ===------ 3分------ 6分（2）因为第1，4，5组共有35名学生，利用分层抽样，在35名学生中抽取7名学生，每组分别为：第1组75135?；第4组720435?；第5组710235?. --------------- 8分设第1组的1位学生为1A ，第4组的4位同学为1234,,,B B B B ,第5组的2位同学为12,C C .则从7位学生中抽两位学生的基本事件分别为：{}11,,A B {}12,,A B {}13,,A B {}14,,A B {}11,,A C{}12,,A C {}12,,B B {}13,,B B {}14,,B B {}11,,B C {}12,,B C {}23,,B B {}24,,B B {}21,,B C {}22,,B C{}34,,B B {}31,,B C {}32,,B C {}41,,B C {}42,B C ，{}12,,C C 一共21种.------------ 10分记“第4组中至少有一名学生被抽中”为事件A ，即A 包含的基本事件分别为：{}11,,A C {}12,,A C {}12,,C C 一共3种，于是()31217P A == 所以，()()617P A P A =-= ------------ 12分20、解：(1)x ＝2＋4＋5＋6＋85＝5，y ＝30＋40＋60＋50＋705＝502.............. .∑∑==Λ--=512251i i i ii xn x yx n yx b ＝1 380－5×5×50145－5×5×5＝6.5，4.................................a ^＝y －b ^x ＝50－6.5×5＝17.5， 5.................................因此，所求回归直线方程为：y ^＝6.5x ＋17.5. 6 (2)基本事件：，(40,70)，(60,50)，(60,70)，(50,70)共10个， 10..........................................................两组数据其预测值与实际值之差的绝对值都不超过5：(30,40)，(30,70)，(40,70)共3个所以两组数据其预测值与实际值之差的绝对值都超过5的概率为103. 12.................. （注：其它写法酌情给分）21、（1）证明：由//,AD BC AD AB ^可得，BC AB ^因为，侧面PAB ^底面ABCD ，交线为AB ，BC Ì底面ABCD 且BC AB ^ 则 BC ^侧面PAB ，BC Ì平面PBC所以，平面PAB ^平面PBC ------------ 4分（2）解法一：由 BC ^侧面PAB 可得，BC PB ^，BC AB ^ 则 PBA Ð是二面角P BC A --的平面角，45o PBA?由PA AB =可得，PAB D 为等腰直角三角形 ------------ 6分 取PB 的中点E ，连接AE 可得AE PB ^因为平面PAB ^平面PBC ，交线为PB ，AE Ì平面PAB 且AE PB ^所以AE ^平面PBC ，点A 到平面PBC 的距离为AE . ------------ 8分因为//,AD BC AD Ë平面PBC 则//AD 平面PBC所以点D 到平面PBC 的距离d 等于点A 到平面PBC 的距离，d AE =. 设1AD =，则2PA AB BC ===在PAB D 中，AE ；在ABD D 中，BD = ------------ 10分设直线BD 与平面PBC 所成角为q即sind AE BD BD q ==所以，直线BD 与平面PBC . ----------- 12分解法二：由 BC ^侧面PAB 可得，BC PB ^，BC AB ^ 则 PBA Ð是二面角P BC A --的平面角，45o PBA?由PA AB =可得，PAB D 为等腰直角三角形，PA AB ^ ------------ 6分由 BC ^侧面PAB 可得，BC PA ^，且AB BCB ?所以PA ^平面ABCD ------------8分设1AD =，点D 到平面PBC 的距离为d ，则2PA AB BC ===由D PBC P BCD V V --=可得，1133PBC BCD S d S PA D D 鬃=鬃22=?，解得d =分设直线BD 与平面PBC 所成角为q即sin d BD q ==所以，直线BD 与平面PBC 分22、解：（1）设点P 的坐标为(),x y由2PA PB ==整理可得 224x y += 所以曲线E的轨迹方程为224x y +=.----------- 3分（2）依题意，2OC OD ==，且0120COD ?，则点O 到CD 边的距离为1即点()0,0O 到直线l ：40kx y --=1= ，解得 k =?所以直线l的斜率为.----------- 6分（3）依题意，,ON QN OM QM ^^，则,M N 都在以OQ 为直径的圆F 上 Q 是直线l ：4y x =-上的动点，设(),4Q t t -则圆F 的圆心为4,22t t 骣-琪琪桫，且经过坐标原点 即圆的方程为22(4)0x y tx t y +---= ----------- 9分又因为,M N 在曲线E ：224x y +=上由22224(4)0x y x y tx t y ì+=ïíï+---=î，可得(4)40tx t y +--= 即直线MN 的方程为(4)40tx t y +--=由t R Î且()440t x y y +--=可得，04+40x y y ì+=ïí=ïî 解得11x y ì=ïí=-ïî所以直线MN 是过定点()1,1-. ----------- 12分。

福州市重点名校2018-2019学年高一下学期期末经典数学试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．如图所示，墙上挂有边长为a的正方形木板，它的四个角的空白部分都是以正方形的顶点为圆心，半径为2a的圆弧，某人向此板投镖，假设每次都能击中木板，且击中木板上每个点的可能性都一样，则它击中阴影部分的概率是（）A．18π-B．4πC．14π-D．与a的值有关联【答案】C【解析】试题分析：本题考查几何概型问题，击中阴影部分的概率为222()214aaaππ-=-．考点：几何概型，圆的面积公式．2．不论m为何值，直线()()21250m x m y-+++=恒过定点A．()1,2--B．()1,2-C．()1,2-D．()1,2【答案】B【解析】【分析】根据直线方程分离参数，再由直线过定点的条件可得方程组，解方程组进而可得m的值．【详解】()()21250m x m y-+++=恒过定点，∴()()2250x y m x y++-++=恒过定点，由20,250,x yx y+=⎧⎨-++=⎩解得1,2,xy=⎧⎨=-⎩即直线()()21250m x m y-+++=恒过定点()1,2-.【点睛】本题考查含有参数的直线过定点问题，过定点是解题关键．3．已知函数2()2cos32f x x x=，在ABC中，内角,,A B C的对边分别是,,a b c，内角A满足()1f A=-，若6a=ABC的面积的最大值为（）A ．33B ．332C ．34D ．23【答案】B 【解析】 【分析】通过将2()2cos 3sin 2f x x x =-利用合一公式变为2cos 213x π⎛⎫++ ⎪⎝⎭，代入A 求得A 角，从而利用余弦定理得到b,c,的关系，从而利用均值不等式即可得到面积最大值. 【详解】2()2cos 3sin 2f x x x =-=cos 23sin 212cos 213x x x π⎛⎫-+=++ ⎪⎝⎭()2cos 211cos 2133f A A A ππ⎛⎫⎛⎫=++=-⇒+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，A 为三角形内角，则3A π=6a =，222222cos 2a b c bc A b c bc bc bc bc =+-=+-≥-=，当且仅当b c =时取等号11333sin 622ABCSbc A =≤⨯⨯=【点睛】本题主要考查三角函数恒等变换，余弦定理，面积公式及均值不等式，综合性较强，意在考查学生的转化能力，对学生的基础知识掌握要求较高. 4．设矩形的长为，宽为，其比满足∶＝，这种矩形给人以美感，称为黄金矩形．黄金矩形常应用于工艺品设计中．下面是某工艺品厂随机抽取两个批次的初加工矩形宽度与长度的比值样本：甲批次：0.598 0.625 0.628 0.595 0.639 乙批次：0.618 0.613 0.592 0.622 0.620根据上述两个样本来估计两个批次的总体平均数，与标准值0.618比较，正确结论是 A ．甲批次的总体平均数与标准值更接近 B ．乙批次的总体平均数与标准值更接近 C ．两个批次总体平均数与标准值接近程度相同 D ．两个批次总体平均数与标准值接近程度不能确定 【答案】A 【解析】甲批次的平均数为0.617，乙批次的平均数为0.6135．sin50sin 20sin 40cos20︒︒+︒︒=( )A B ． C ．12-D ．12【答案】A 【解析】 【分析】将sin50根据诱导公式化为cos 40后，利用两角和的正弦公式可得. 【详解】sin50sin20sin40cos20︒︒+︒︒ cos40sin 20sin 40cos20=︒︒+︒︒sin 602=︒=. 故选：A 【点睛】本题考查了诱导公式，考查了两角和的正弦公式，属于基础题.6．当点(3,2)P 到直线120mx y m -+-=的距离最大时，m 的值为（ ）A B ．0C ．1-D ．1【答案】C 【解析】直线120mx y m -+-=过定点Q(2,1),所以点()3,2P 到直线120mx y m -+-=的距离最大时PQ 垂直直线,即211132m m -⋅=-∴=-- ,选C. 7．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若公差3d =，68a =，则10S 的值为( ) A ．65 B ．62C ．59D ．56【答案】A 【解析】 【分析】先求出5a ，再利用等差数列的性质和求和公式可求10S . 【详解】565a a d =-=，所以()()1101056105652a a S a a +==+=，故选A.【点睛】一般地，如果{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，则有性质：（1）若,,,*,m n p q N m n p q ∈+=+，则m n p q a a a a +=+； （2）()1,1,2,,2k n k n n a a S k n +-+== 且()2121n n S n a -=- ；（3）2n S An Bn =+且n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列； （4）232,,,n n n n n S S S S S -- 为等差数列.8． 已知实数m ，n 满足不等式组24230m n m n m n m +≤⎧⎪-≤⎪⎨+≤⎪⎪≥⎩则关于x 的方程x 2－(3m ＋2n)x ＋6mn ＝0的两根之和的最大值和最小值分别是( ) A ．7，－4 B ．8，－8 C ．4，－7 D ．6，－6【答案】A 【解析】由题意得，方程2(32)60x m n x mn -++=的两根之和32z m n =+， 画出约束条件所表示的平面区域，如图所示，由324m n m n +=⎧⎨+=⎩，可得(1,2)B ，此时max 7z =，由2m n m -=⎧⎨=⎩，可得(0,2)D -，此时min 4z =-，故选A.9．为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据（单位：kPa ）的分组区间为[12,13),[13,14),[14,15),[15,16),[16,17],将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，，第五组，如图是根据试验数据制成的频率分布直方图，已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为（ ）A ．6B ．8C ．12D ．18【答案】C 【解析】试题分析：由直方图可得分布在区间第一组与第二组共有21人，分布在区间第一组与第二组的频率分别为1．24，1．16，所以第一组有12人，第二组8人，第三组的频率为1．36，所以第三组的人数：18人，第三组中没有疗效的有6人，第三组中有疗效的有12人． 考点：频率分布直方图10．数列{}n a 中，若*11,sin ,2n n a a a a n N π+⎛⎫==∈⎪⎝⎭，则下列命题中真命题个数是（ ） （1）若数列{}n a 为常数数列，则1a =±； （2）若()0,1a ∈，数列{}n a 都是单调递增数列； （3）若a Z ∉，任取{}n a 中的9项()19129,,1k k a a k k k <<<<构成数列{}n a 的子数{}n k a （1,2,,9n =），则{}n k a 都是单调数列.A ．0个B ．1 个C ．2个D ．3个【答案】C 【解析】 【分析】对（1），由数列{}n a 为常数数列，则2sin()2a a a π==，解方程可得a 的值；对（2），由函数()sin()2f x x x π=-，(0,1)x ∈，求得导数和极值，可判断单调性；对（3），由()sin()2f x x x π=-，判断奇偶性和单调性，结合正弦函数的单调性，即可得到结论．【详解】数列{}n a 中，若1a a =，1sin()2n n a a π+=，*n N ∈，（1）若数列{}n a 为常数数列，则2sin()2a a a π==，解得0a =或±1，故（1）不正确； （2）若(0,1)a ∈，(0,)22a ππ∈， 2sin()2a a π=，由函数()sin()2f x x x π=-，(0,1)x ∈，()cos()122f x x ππ'=-， 由(0,)22x ππ∈，可得极值点唯一且为22arccos m ππ=，极值为22()arccos 0f m πππ=->，由(0)(1)0f f ==，可得21a a >， 则3221sin()sin()022a a a a ππ-=->，即有32a a >. 由于(0,1)n a ∈，(0,)22n a ππ∈， 由正弦函数的单调性，可得1n n a a +>， 则数列{}n a 都是单调递增数列，故（2）正确；（3）若(0,1)a ∈，任取{}n a 中的9项1k a ，2k a ，3k a ，⋯，9129(1)k a k k k <<<⋯<， 构成数列{}n a 的子数列{}n k a ，1n =，2，⋯，9，{}n k a 是单调递增数列； 由()sin()2f x x x π=-，可得()()f x f x -=-，()f x 为奇函数；当01x <<时，()0f x >，1x >时，()0f x <； 当10x -<<时，()0f x <；1x <-时，()0f x >，运用正弦函数的单调性可得01a <<或1a <-时，数列{}n a 单调递增；10a -<<或1a >时，数列{}n a 单调递减．所以数列{}n k a 都是单调数列，故（3）正确； 故选：C. 【点睛】本题考查数列的单调性的判断和运用，考查正弦函数的单调性，以及分类讨论思想方法，属于难题． 11．下列极限为1的是（ ） A ．lim(0.999)n →∞（n 个9）B ．lim (1)(0.9999)n nn →∞-⋅⎢⎥⎣⎦C ．2lim n n n π-→∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭D ．2273lim 714n n n n n →∞++++【答案】A 【解析】 【分析】利用极限的运算逐项求解判断即可 【详解】对于A 项，极限为1，对于B 项，极限不存在，对于C 项，极限为1．对于D 项，222273lim =lim 71473117144n n n n n n nn n n →∞→∞++=++++++， 故选：A ． 【点睛】本题考查的极限的运算及性质，准确计算是关键，是基础题 12．设i 是虚数单位，复数1a ii-+为纯虚数，则实数a 的值为（ ） A ．1 B ．1- C ．12D ．2-【答案】A 【解析】()()()()()1111112a i i a a ia i i i i ---+---==++-， 10a ∴-=，1a =，故选A ．二、填空题：本题共4小题13．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若ABC ∆cos A ，则cos sin B C +的最大值为________.【解析】 【分析】先求得A 的值，再利用两角和差的三角公式和正弦函数的最大值，求得cos sin B C +的最大值． 【详解】ABC ∆中，若ABC ∆1cos sin 2A bc A =，tan 3A ∴=，6A π∴=．11cos sin cos sin()cos sin()cos cos sin )622B C B A B B B B B B B B π+=++=++=++)33B π=+，当且仅当6B π=时，取等号，故cos sin B C + ，． 【点睛】本题主要两角和差的三角公式的应用和正弦函数的最大值，属于基础题． 14．用数学归纳法证明*(1)(2)()213(21)()n n n n n n n N +++=⋅⋅⋅-∈时，从“n k =到1n k =+”，左边需增乘的代数式是___________. 【答案】2(21)k ⋅+. 【解析】 【分析】从n k =到1n k =+时左边需增乘的代数式是(1)(11)1k k k k k ++++++，化简即可得出．【详解】假设n k =时命题成立，则(1)(2)(3)()2135(21)k k k k k k k ++++=⋅⋅⋅⋯-，当1n k =+时，1(2)(3)(11)2135(21)k k k k k k ++++++=⋅⋅⋅⋯+从n k =到1n k =+时左边需增乘的代数式是(1)(11)2(21)1k k k k k k +++++=++．故答案为：2(21)k ⋅+. 【点睛】本题考查数学归纳法的应用，考查推理能力与计算能力，属于中档题． 15．方程124x -=的解为______． 【答案】3x =或1x =- 【解析】 【分析】由指数函数的性质得12x -=，由此能求出结果． 【详解】方程124x -=，12x ∴-=，12x ∴-=或12x -=-，解得3x =或1x =-． 故答案为3x =或1x =-． 【点睛】本题考查指数方程的解的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意指数函数的性质的合理运用． 16．若关于x 的不等式ax 2＋bx ＋c<0的解集是{x|x<－2或x>－1}，则关于x 的不等式cx 2＋bx ＋a>0的解集是____________． 【答案】{x|－1<x<－12} 【解析】 【分析】观察两个不等式的系数间的关系，得出其根的关系， 再由a 和c 的正负可得解. 【详解】 由已知可得：20ax bx c ++= 的两个根是2- 和1-，且0,0.a c <<将20ax bx c ++= 方程两边同时除以2x ， 得211()0c ba xx++=， 所以20cx bx a ++=的两个根是12-和1- ，且0.c < 20cx bx a ++>解集是11,.2⎛⎫--⎪⎝⎭故得解. 【点睛】本题考查一元二次方程和一元二次不等式间的关系，属于中档题. 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

2018年福州市高一第二学期期末质量检测数学试卷第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题（本大题共12题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.如图，在直角坐标系xOy 中，射线OP 交单位圆O 于点P ，若AOP θ∠=，则点P 的坐标是（ ）A ．(cos ,sin )θθB ．(cos ,sin )θθ-C ．(sin ,cos )θθD ．(sin ,cos )θθ- 2.已知向量(1,)a m =，(,2)b m =，若//a b ，则实数m 等于（ ） A ．2 B 2 C ．2-2 D ．0 3.cos20cos10sin 2010︒︒-︒︒的值为（ ） A 3．32 D ．2 4.设向量(1,3)a =-，(2,4)b =-，(1,2)c =--，若表示向量4a ，42b c -，2()a c -，d 的有向线段首尾相连能构成四边形，则向量d =（ ）A ．(2,6)B ．(2,6)-C ．(2,6)-D ．(2,6)-- 5.若sin tan 0αα<，且cos 0tan αα<，则角α是（ ） A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角 D ．第四象限角 6.若函数()sin()f x x ωϕ=+(0,)2πωϕ><的部分图象如图所示，则有（ ）A ．1ω=，3πϕ= B ．1ω=，3πϕ=-C ．12ω=，6πϕ= D ．12ω=，6πϕ=- 7.已知向量(2,1)AB =，点(1,0)C -，(4,5)D ，则向量AB 在CD 方向上的投影为（ ）A ．322-B ．35-C ．322D ．35 8.要得到函数sin 43y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，只需将函数sin 4y x =的图象（ ） A ．向左平移12π个单位 B ．向右平移12π个单位 C ．向左平移3π个单位 D ．向右平移3π个单位9.如图，O 在ABC ∆的内部，D 为AB 的中点，且20OA OB OC +==，则ABC ∆的面积与AOC ∆的面积的比值为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6 10.1sin 61sin 6+- ）A ．2sin3-B ．2cos3-C ．2sin3D ．2cos311.设偶函数()sin()f x A x ωϕ=+(0,0,0)A ωϕπ>><<的部分图象如图所示，KLM∆为等腰直角三角形，90KML ∠=︒，1KL =，则16f ⎛⎫⎪⎝⎭的值为（ ）A ．34-B ．14-C ．12- D ．34 12.已知平面内的向量OA ，OB 满足：1OA =，()()0OA OB OA OB +⋅-=，且OA 与OB 的夹角为120︒，又12OP OA OB λλ=+，101λ≤≤，213λ≤≤，则由满足条件的点P 所组成的图形面积是（ ）A ．2B ．3C ．1D ．32第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题（本题共4题，每小题5分，共20分）13.已知(,2)a m =，(1,)b n =，0m >，0n >，且4a =，2b =，则向量a 与b 的夹角是 ． 14.cos3502sin160sin(190)︒-︒=-︒ ．15.如图，在半径为2的圆C 中，A 为圆上的一个定点，B 为圆上的一个动点.若点A 、B 、C 不共线，且AB t AC BC -≥对(0,)t ∈+∞恒成立，则AB AC ⋅= ．16.设函数()sin()cos()3f x a x b x παπβ=++++（其中a 、b 、α、β为非零实数），若(2001)5f =，则(2018)f 的值是 ．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知tan 2α=. （Ⅰ）求tan 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值； （Ⅱ）求2sin 2sin sin cos cos 21ααααα+--的值. 18.已知向量a 与b 的夹角为120︒，且2a =，4b =. （Ⅰ）计算：42a b -；（Ⅱ）当k 为何值时，(2)()a b ka b +⊥-.19.已知O ，A ，B 是不共线的三点，且(,)OP mOA nOB m n R =+∈. （Ⅰ）若1m n +=，求证：A ，P ，B 三点共线； （Ⅱ）若A ，P ，B 三点共线，求证：1m n +=. 20.已知函数2()3sin(2)2sin ()612f x x x ππ=-+-.（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期； （Ⅱ）求使函数()3f x ≥的解集. 21.函数()cos()02f x x ππϕϕ⎛⎫=+<<⎪⎝⎭的部分图象如图所示.（Ⅰ）求ϕ及图中0x 的值； （Ⅱ）设1()()3g x f x f x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，求函数()g x 在区间11,23⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值. 22.已知向量33(cos,sin )22a x x =，(cos ,sin )22x x b =-，且[0,]2x π∈. （Ⅰ）求：a b ⋅及a b +；（Ⅱ）若()2f x a b a b λ=⋅-+的最小值是32-，求实数λ的值.2018年福州市高一第二学期期末质量检测数学试卷参考答案一、选择题1-5: ACADC 6-10: CCBBB 11、12：DB 二、填空题13. 30︒三、解答题17.解：（Ⅰ）tan tan4tan 41tan tan 4παπαπα+⎛⎫+= ⎪⎝⎭-213121+==--⨯. （Ⅱ）2sin 2sin sin cos cos 21ααααα+-- 222sin cos sin sin cos 2cos αααααα=+- 22tan tan tan 2ααα=+-221422⨯==+-. 18. 解：由已知得，12442a b ⎛⎫⋅=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭. （Ⅰ）∵2222a b a a b b +=+⋅+42(4)1612=+⨯-+=，∴23a b +=. ∵2224216164a b a a b b -=-⋅+16416(4)416192=⨯-⨯-+⨯=， ∴4283a b -=.（Ⅱ）∵(2)()a b ka b +⊥-，∴(2)()0a b ka b +⋅-=， ∴22(21)20ka k a b b +-⋅-=，即1616(21)2640k k ---⨯=，∴7k =-. 即7k =-时，2a b +与ka b -垂直. 19. 解：（Ⅰ）若1m n +=， 则(1)OP mOA m OB =+-()OB m OA OB =+-，∴()OP OB m OA OB -=-， 即BP mBA =，∴BP 与BA 共线. 又∵BP 与BA 有公共点B ， ∴A ，P ，B 三点共线. （Ⅱ）若A ，P ，B 三点共线， 存在实数λ，使BP BA λ=， ∴()OP OB OA OB λ-=-， 又OP mOA nOB =+.故有(1)mOA n OB OA OB λλ+-=-， 即()(1)0m OA n OB λλ-++-=.∵O ，A ，B 不共线，∴OA ，OB 不共线， ∴010m n λλ-=⎧⎨+-=⎩，∴1m n +=.20.解：（Ⅰ）2())2sin ()612f x x x ππ=-+-)1cos(2)66x x ππ=-+--2sin(2)166x ππ=--+ 2sin(2)13x π=-+，∴22T ππ==.（Ⅱ）由（Ⅰ）()2sin(2)12133f x x π=-+≤+=，故只有当()f x 取最大值时，()3f x ≥， ∴sin(2)13x π-=，有2232x k πππ-=+，即5()12x k k Z ππ=+∈， ∴所求x 的集合为5,12x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭.21.解：（Ⅰ）由题图得(0)2f =，所以cos 2ϕ=， 因为02πϕ<<，故6πϕ=，所以()cos()6f x x ππ=+.由于()f x 的最小正周期22T ππ==，所以由题图可知012x <<，故0713666x ππππ<+<，由0()f x =0cos 62x ππ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 所以01166x πππ+=，053x =. （Ⅱ）因为11cos 336f x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦cos sin 2x x πππ⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭， 所以1()()3g x f x f x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭cos sin 6x x πππ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭cos cos sin sin sin 66x x x πππππ=--3sin 22x x ππ=-6x ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.当11,23x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，2663x ππππ-≤-≤.所以1sin 126x ππ⎛⎫-≤-≤ ⎪⎝⎭，故62x πππ-=，即13x =-时，()g x ；当66x πππ-=-，即13x =时，()g x 取得最小值22.解：（Ⅰ）33coscos sin 222x a b x x ⋅=⋅-sin cos 22xx ⋅=，a b +==∵[0,]2x π∈，∴cos 0x ≥，∴2cos a b x +=.（Ⅱ）()cos 24cos f x x x λ=-，即22()2(cos )12f x x λλ=---. ∵[0,]2x π∈，∴0cos 1x ≤≤.（1）当0λ<时，当且仅当cos 0x =时，()f x 取得最小值-1，这与已知矛盾； （2）当01λ≤≤时，当且仅当cos x λ=时，()f x 取得最小值212λ--， 由已知得23122λ--=-，解得12λ=； （3）当1λ>时，当且仅当cos 1x =时，()f x 取得最小值14λ-，由已知得3142λ-=-， 解得58λ=，这与1λ>矛盾. 综上所述，12λ=为所求.。