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数值计算方法试题一一、填空题（每空1分，共17分）1、如果用二分法求方程在区间内的根精确到三位小数，需对分（）次。
2、迭代格式局部收敛的充分条件是取值在(）。
3、已知是三次样条函数，则=（)，=（),=（）。
4、是以整数点为节点的Lagrange插值基函数，则（)，（），当时（)。
5、设和节点则和.6、5个节点的牛顿—柯特斯求积公式的代数精度为，5个节点的求积公式最高代数精度为.7、是区间上权函数的最高项系数为1的正交多项式族,其中，则。
8、给定方程组，为实数，当满足,且时，SOR迭代法收敛。
9、解初值问题的改进欧拉法是阶方法.10、设，当（）时,必有分解式，其中为下三角阵，当其对角线元素满足（）条件时，这种分解是唯一的。
二、二、选择题（每题2分)1、解方程组的简单迭代格式收敛的充要条件是（）。
（1），（2) ，（3) , (4)2、在牛顿-柯特斯求积公式：中，当系数是负值时,公式的稳定性不能保证,所以实际应用中,当（)时的牛顿-柯特斯求积公式不使用。
(1），（2），（3), （4）,（1)二次; （2)三次；（3）四次；（4）五次4、若用二阶中点公式求解初值问题，试问为保证该公式绝对稳定，步长的取值范围为( ）。
（1），(2）, (3)，（4)三、1、(8分）用最小二乘法求形如的经验公式拟合以下数据：2、（15(1)（1) 试用余项估计其误差。
（2）用的复化梯形公式（或复化Simpson公式）计算出该积分的近似值.四、1、（15分）方程在附近有根，把方程写成三种不同的等价形式(1)对应迭代格式；（2）对应迭代格式；（3）对应迭代格式。
判断迭代格式在的收敛性，选一种收敛格式计算附近的根,精确到小数点后第三位.选一种迭代格式建立Steffensen迭代法，并进行计算与前一种结果比较，说明是否有加速效果.2、（8分）已知方程组,其中，（1）（1）列出Jacobi迭代法和Gauss—Seidel迭代法的分量形式。
《数值计算方法》复习试题一、填空题：1、⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=410141014A ，则A 的LU 分解为A ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦。
答案：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=15561415014115401411A 2、已知3.1)3(,2.1)2(,0.1)1(===f f f ，则用辛普生（辛卜生）公式计算求得⎰≈31_________)(dx x f ,用三点式求得≈')1(f 。
答案：，3、1)3(,2)2(,1)1(==-=f f f ，则过这三点的二次插值多项式中2x 的系数为 ，拉格朗日插值多项式为 。
答案：-1，)2)(1(21)3)(1(2)3)(2(21)(2--------=x x x x x x x L4、近似值*0.231x =关于真值229.0=x 有( 2 )位有效数字；5、设)(x f 可微,求方程)(x f x =的牛顿迭代格式是( )；（答案)(1)(1n n n n n x f x f x x x '---=+6、对1)(3++=x x x f ,差商=]3,2,1,0[f ( 1 ),=]4,3,2,1,0[f ( 0 )；7、计算方法主要研究( 截断 )误差和( 舍入 )误差；8、用二分法求非线性方程 f (x )=0在区间(a ,b )内的根时，二分n 次后的误差限为( 12+-n a b )；9、求解一阶常微分方程初值问题y '= f (x ,y )，y (x 0)=y 0的改进的欧拉公式为( )],(),([2111+++++=n n n n n n y x f y x f hy y )；10、已知f (1)＝2，f (2)＝3，f (4)＝，则二次Newton 插值多项式中x 2系数为( )； 11、 两点式高斯型求积公式⎰1d )(xx f ≈(⎰++-≈1)]3213()3213([21d )(f f x x f )，代数精度为( 5 )；12、 解线性方程组A x =b 的高斯顺序消元法满足的充要条件为(A 的各阶顺序主子式均不为零)。
数值计算方法试题一、填空(共20分，每题2分）1、设，取5位有效数字，则所得的近似值x=_____。
2、设一阶差商，则二阶差商3、数值微分中，已知等距节点的函数值则由三点的求导公式，有4、求方程的近似根，用迭代公式，取初始值，那么5、解初始值问题近似解的梯形公式是6、，则A的谱半径＝,A的＝7、设 ,则＝和=8、若线性代数方程组AX=b 的系数矩阵A为严格对角占优阵，则雅可比迭代和高斯—塞德尔迭代都_____9、解常微分方程初值问题的欧拉（Euler）方法的局部截断误差为_____10、设，当时，必有分解式，其中L为下三角阵，当其对角线元素足条件时,这种分解是唯一的.二、计算题（共60 分，每题15分)1、设（1）试求在上的三次Hermite插值多项式H（x）使满足H（x）以升幂形式给出.（2）写出余项的表达式2、已知的满足,试问如何利用构造一个收敛的简单迭代函数，使0，1…收敛？3、试确定常数A,B,C和,使得数值积分公式有尽可能高的代数精度。
试问所得的数值积分公式代数精度是多少？它是否为Gauss型的？4、推导常微分方程的初值问题的数值解公式:三、证明题1、设（1）写出解的Newton迭代格式(2)证明此迭代格式是线性收敛的2、设R=I－CA，如果，证明：（1）A、C都是非奇异的矩阵（2）参考答案：一、填空题1、2.31502、3、4、1.55、6、7、8、收敛9、O（h）10、二、计算题1、1、(1）(2)2、由，可得因故故，k=0,1,…收敛。
3、,该数值求积公式具有5次代数精确度，它是Gauss型的4、数值积分方法构造该数值解公式：对方程在区间上积分,得，记步长为h，对积分用Simpson求积公式得所以得数值解公式：三、证明题1、证明：（1）因,故，由Newton迭代公式：n=0,1,…得，n=0，1,…(2）因迭代函数，而，又，则故此迭代格式是线性收敛的。
2、证明:(1）因,所以I–R非奇异，因I–R=CA，所以C，A都是非奇异矩阵（2)故则有（2.1）因CA=I–R，所以C=（I–R)A—1,即A-1=（I–R)—1C又RA-1=A—1–C，故由（这里用到了教材98页引理的结论）移项得 (2.2)结合（2。
![001025[数值计算方法]](https://uimg.taocdn.com/7dab344bdd36a32d7375817a.webp)
数值计算方法复习题一、（1）简述求解非线性方程的常用的方法有哪些？（2）用二分法求解方程02sin =--xe x π在[0，1]之间的一个根，要求误差不超过521。
一、答案：（1）求解非线性方程的常用的方法有二分法、迭代法、牛顿法、弦截法（2）令()sin 2x xf x e π-=-，则()010f =>，()10.63210f =-<，且()cos 022x xf x e ππ-'=--<∴()f x 在[]0,1之间有且仅有一个根*x ，其计算过程为：∴取40.468752x ==为*x 的近似值，且*452x x -≤二、举例说明误差的来源主要有哪些？在数值计算中值得注意的问题主要有什么？二、答案：误差的主要来源有： （1）模型误差； （2）观测误差； （3）截断误差； （4）舍入误差。
在数值计算中值得注意的问题主要有： （1）防止相近的两数相减； （2）防止大数“吃掉”小数；（3）防止除法中除数的数量级远小于被除数。
三、（1）简述LU 分解法求解线性方程组的步骤； （2）已知⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡∙⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-613322121121542774322 试用LU 分解法求解方程组⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-713542774322321x x x 。
三、答案：（1）LU 分解法求解线性方程组的步骤：对于方程组AX b =，首先对系数矩阵A 进行LU 分解：A LU =；则，接下来分别求解两个三角方程组即可：LY b =和UX Y =（2）首先对系数矩阵A 进行LU 分解122321311216A LU ⎛⎫⎛⎫⎪⎪== ⎪⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭由LY b =，可解得()3,5,6TY =- 再由UX Y =，得()2,2,1TX =-四、用一般迭代法求解方程0123=--x x 在]5.1 , 4.1[=x 间的根，要求：四、答案：①由3210x x --=()x x ϕ⇒==()203x x ϕ'=> []()1.41.5x ∈， 且()1x ϕ'< []()1.41.5x ∈，∴迭代法收敛，迭代公式为1k x += ()0k ≥②取0 1.45x =，代入迭代公式1 1.4585x =LYb = UX Y = AX b LUX b =⇔=⇔2 1.4624x =3 1.4611x =4 1.4691x =5 1.4653x =6 1.4654x =43651010x x ---=< ∴取*61.4654x =为近似值 五、①叙述收敛阶的定义，并说明一般情形下牛顿法的收敛阶是多少？②用牛顿法求解020103=-+x x 在区间[1，2] 内的一个根，要求迭代4次。
fuxiti例1证明方程1－x－sin x＝0在区间[0,1]内有一个根，使用二分法求误差不超过0.5×10－4的根要迭代多少次？证明令f(x)＝1－x－sin x，∵f(0)=1>0，f(1)=－sin1<0∴f(x)=1－x－sin x=0在[0，1]有根.又f'(x)=1－c os x>0(x∈[0.1]),故f(x)＝0在区间[0，1]内有唯一实根.给定误差限ε＝0.5×10－4，有只要取n＝14.例4选择填空题1. 设函数f(x)在区间[a,b]上连续，若满足，则方程f(x)=0在区间[a,b]一定有实根.答案：f(a)f(b)<0解答：因为f(x)在区间[a,b]上连续，在两端点函数值异号，由连续函数的介值定理，必存在c，使得f(c)=0，故f(x)=0一定有根.2. 用简单迭代法求方程f(x)=0的实根，把方程(x)=0表成x=ϕ(x),则f(x)=0的根是( )(A)y=x与y=ϕ(x)的交点(B) y=x与y=ϕ(x)交点的横坐标(C) y=x与x轴的交点的横坐标(D) y=ϕ(x)与x轴交点的横坐标答案：(B)解答：把f(x)=0表成x=ϕ(x), 满足x=ϕ(x)的x是方程的解，它正是y=x与y=ϕ(x)的交点的横坐标.3.为求方程x3―x2―1=0在区间[1.3,1.6]内的一个根，把方程改写成下列形式，并建立相应的迭代公式，迭代公式不收敛的是( )(A)(B)(C)(D)答案：(A)解答：在(A)中故迭代发散.在(B)中，故迭代收敛.在(C)中，，故迭代收敛.在(D)中，类似证明，迭代收敛.例3填空选择题：1. 用高斯列主元消去法解线性方程组作第1次消元后的第2，3个方程分别为。
解答1. 选a21=2为主元，作行互换，第1个方程变为：2x1+2x2+3x3=3，消元得到是应填写的内容。
一、解答下列问题：1) 数值计算中，最基础的五个误差概念（术语）是 , , , , .2) 分别用 2.718281， 2.718282 作数e 的近似值 ，它们的有效位数分别有位， 位; 又取73.13≈ （三位有效数字），则≤-73.13 .3）为减少乘除法运算次数，应将算式32)1(7)1(51318---+-+=x x x y 改写成4）为减少舍入误差的影响，应将算式 9910- 改写成 5）递推公式 ⎪⎩⎪⎨⎧=-==-,2,1,110210n y y y n n如果取41.120≈=y 作计算，则计算到10y 时，误差有这个计算公式数值稳定不稳定 ？1） 绝对误差 ， 相对误差 ， 有效数字 ， 截断误差 ， 舍入误差 。
《数值计算⽅法》试题集及答案要点《数值计算⽅法》复习试题⼀、填空题：1、----=410141014A ，则A 的LU 分解为A ?=。
答案：--??--=15561415014115401411A 2、已知3.1)3(,2.1)2(,0.1)1(===f f f ，则⽤⾟普⽣（⾟⼘⽣）公式计算求得?≈31_________)(dx x f ,⽤三点式求得≈')1(f 。
答案：2.367，0.25 3、1)3(,2)2(,1)1(==-=f f f ，则过这三点的⼆次插值多项式中2x 的系数为，拉格朗⽇插值多项式为。
答案：-1，)2)(1(21)3)(1(2)3)(2(21)(2--------=x x x x x x x L4、近似值*0.231x =关于真值229.0=x 有( 2 )位有效数字；5、设)(x f 可微,求⽅程)(x f x =的⽜顿迭代格式是()；答案)(1)(1n n n n n x f x f x x x '---=+6、对1)(3++=x x x f ,差商=]3,2,1,0[f (1 ),=]4,3,2,1,0[f ( 0 )；7、计算⽅法主要研究( 截断 )误差和( 舍⼊ )误差； 8、⽤⼆分法求⾮线性⽅程f (x )=0在区间(a ,b )内的根时，⼆分n 次后的误差限为(12+-n a b )；9、求解⼀阶常微分⽅程初值问题y '= f (x ,y )，y (x 0)=y 0的改进的欧拉公式为()],(),([2111+++++=n n n n n n y x f y x f hy y)；10、已知f (1)＝2，f (2)＝3，f (4)＝5.9，则⼆次Newton 插值多项式中x 2系数为( 0.15 )；11、两点式⾼斯型求积公式?10d )(x x f ≈(?++-≈1)]3213()3213([21d )(f f x x f)，代数精度为( 5 )；12、解线性⽅程组A x =b 的⾼斯顺序消元法满⾜的充要条件为(A 的各阶顺序主⼦式均不为零)。
fuxiti例1证明方程1－x－sin x＝0在区间[0,1]内有一个根，使用二分法求误差不超过0.5×10－4的根要迭代多少次？证明令f(x)＝1－x－sin x，∵f(0)=1>0，f(1)=－sin1<0∴f(x)=1－x－sin x=0在[0，1]有根.又f'(x)=1－c os x>0(x∈[0.1]),故f(x)＝0在区间[0，1]内有唯一实根.给定误差限ε＝0.5×10－4，有只要取n＝14.例4选择填空题1. 设函数f(x)在区间[a,b]上连续，若满足，则方程f(x)=0在区间[a,b]一定有实根.答案：f(a)f(b)<0解答：因为f(x)在区间[a,b]上连续，在两端点函数值异号，由连续函数的介值定理，必存在c，使得f(c)=0，故f(x)=0一定有根.2. 用简单迭代法求方程f(x)=0的实根，把方程(x)=0表成x=ϕ(x),则f(x)=0的根是( )(A)y=x与y=ϕ(x)的交点(B) y=x与y=ϕ(x)交点的横坐标(C) y=x与x轴的交点的横坐标(D) y=ϕ(x)与x轴交点的横坐标答案：(B)解答：把f(x)=0表成x=ϕ(x), 满足x=ϕ(x)的x是方程的解，它正是y=x与y=ϕ(x)的交点的横坐标.3.为求方程x3―x2―1=0在区间[1.3,1.6]内的一个根，把方程改写成下列形式，并建立相应的迭代公式，迭代公式不收敛的是( )(A)(B)(C)(D)答案：(A)解答：在(A)中故迭代发散.在(B)中，故迭代收敛.在(C)中，，故迭代收敛.在(D)中，类似证明，迭代收敛.例3填空选择题：1. 用高斯列主元消去法解线性方程组作第1次消元后的第2，3个方程分别为。
解答1. 选a21=2为主元，作行互换，第1个方程变为：2x1+2x2+3x3=3，消元得到是应填写的内容。
一、解答下列问题：1) 数值计算中，最基础的五个误差概念（术语）是 , , , , .2) 分别用 2.718281， 2.718282 作数e 的近似值 ，它们的有效位数分别有位， 位; 又取73.13≈ （三位有效数字），则≤-73.13 .3）为减少乘除法运算次数，应将算式32)1(7)1(51318---+-+=x x x y 改写成4）为减少舍入误差的影响，应将算式 9910- 改写成 5）递推公式 ⎪⎩⎪⎨⎧=-==-,2,1,110210n y y y n n如果取41.120≈=y 作计算，则计算到10y 时，误差有这个计算公式数值稳定不稳定 ？1） 绝对误差 ， 相对误差 ， 有效数字 ， 截断误差 ， 舍入误差 。
数值计算方法试题一一、 填空题（每空1分，共17分）1、如果用二分法求方程043=-+x x 在区间]2,1[内的根精确到三位小数，需对分（ ）次。
2、迭代格式)2(21-+=+k k k x x x α局部收敛的充分条件是α取值在（ ）。
3、已知⎪⎩⎪⎨⎧≤≤+-+-+-≤≤=31)1()1()1(2110)(233x c x b x a x x x x S 是三次样条函数，则a =( )，b =（ ），c =（ ）。
4、)(,),(),(10x l x l x l n 是以整数点n x x x ,,,10 为节点的Lagrange 插值基函数，则∑==nk kx l0)(( )，∑==nk k jk x lx 0)(()，当2≥n 时=++∑=)()3(204x l x xk k nk k ( )。
5、设1326)(247+++=x x x x f 和节点,,2,1,0,2/ ==k k x k 则=],,,[10n x x x f 和=∆07f。
6、5个节点的牛顿-柯特斯求积公式的代数精度为 ，5个节点的求积公式最高代数精度为 。
7、{}∞=0)(k kx ϕ是区间]1,0[上权函数x x =)(ρ的最高项系数为1的正交多项式族，其中1)(0=x ϕ，则⎰=14)(dx x x ϕ 。
8、给定方程组⎩⎨⎧=+-=-221121b x ax b ax x ，a 为实数，当a 满足 ，且20<<ω时，SOR 迭代法收敛。
9、解初值问题00(,)()y f x y y x y '=⎧⎨=⎩的改进欧拉法⎪⎩⎪⎨⎧++=+=++++)],(),([2),(]0[111]0[1n n n n n n n n n n y x f y x f h y y y x hf y y 是阶方法。
10、设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=11001a a a a A ，当∈a （ ）时，必有分解式T LL A =，其中L 为下三角阵，当其对角线元素)3,2,1(=i l ii 满足（ ）条件时，这种分解是唯一的。
《数值计算⽅法》试题集及标准答案（-）-《数值计算⽅法》试题集及答案(-)-————————————————————————————————作者：————————————————————————————————⽇期：《计算⽅法》期中复习试题⼀、填空题：1、已知3.1)3(,2.1)2(,0.1)1(===f f f ，则⽤⾟普⽣（⾟⼘⽣）公式计算求得≈31_________)(dx x f ,⽤三点式求得≈')1(f 。
答案：2.367，0.252、1)3(,2)2(,1)1(==-=f f f ，则过这三点的⼆次插值多项式中2x 的系数为，拉格朗⽇插值多项式为。
答案：-1，)2)(1(21)3)(1(2)3)(2(21)(2--------=x x x x x x x L3、近似值*0.231x =关于真值229.0=x 有( 2 )位有效数字；4、设)(x f 可微,求⽅程)(x f x =的⽜顿迭代格式是( )；答案)(1)(1n n n n n x f x f x x x '---=+5、对1)(3++=x x x f ,差商=]3,2,1,0[f ( 1 ),=]4,3,2,1,0[f ( 0 )；6、计算⽅法主要研究( 截断 )误差和( 舍⼊ )误差；7、⽤⼆分法求⾮线性⽅程 f (x )=0在区间(a ,b )内的根时，⼆分n 次后的误差限为( 12+-n a b )；8、已知f (1)＝2，f (2)＝3，f (4)＝5.9，则⼆次Newton 插值多项式中x 2系数为( 0.15 )； 11、两点式⾼斯型求积公式?1d )(xx f ≈(++-≈1)]3213()3213([21d )(f f x x f )，代数精度为( 5 )；12、为了使计算32)1(6)1(41310---+-+=x x x y 的乘除法次数尽量地少，应将该表达式改写为11,))64(3(10-=-++=x t t t t y ，为了减少舍⼊误差，应将表达式19992001-改写为199920012+ 。
数值计算方法试题一一、 填空题（每空1分，共17分）1、如果用二分法求方程043=-+x x 在区间]2,1[内的根精确到三位小数，需对分（ ）次。
2、迭代格式)2(21-+=+k k k x x x α局部收敛的充分条件是α取值在（ ）。
3、已知⎪⎩⎪⎨⎧≤≤+-+-+-≤≤=31)1()1()1(2110)(233x c x b x a x x x x S 是三次样条函数，则a =( )，b =（ ），c =（ ）。
4、)(,),(),(10x l x l x l n 是以整数点n x x x ,,,10 为节点的Lagrange 插值基函数，则∑==nk kx l0)(( )，∑==nk k jk x lx 0)(( )，当2≥n 时=++∑=)()3(204x l x xk k n k k( )。
5、设1326)(247+++=x x x x f 和节点,,2,1,0,2/ ==k k x k 则=],,,[10n x x x f 和=∆07f 。
6、5个节点的牛顿-柯特斯求积公式的代数精度为 ，5个节点的求积公式最高代数精度为 。
7、{}∞=0)(k k x ϕ是区间]1,0[上权函数x x =)(ρ的最高项系数为1的正交多项式族，其中1)(0=x ϕ，则⎰=14)(dx x x ϕ 。
8、给定方程组⎩⎨⎧=+-=-221121b x ax b ax x ，a 为实数，当a 满足 ，且20<<ω时，SOR 迭代法收敛。
9、解初值问题00(,)()y f x y y x y '=⎧⎨=⎩的改进欧拉法⎪⎩⎪⎨⎧++=+=++++)],(),([2),(]0[111]0[1n n n n n n n n n n y x f y x f h y y y x hf y y 是阶方法。
10、设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=11001a a a a A ，当∈a （ ）时，必有分解式T LL A =，其中L 为下三角阵，当其对角线元素)3,2,1(=i l ii 满足（ ）条件时，这种分解是唯一的。
数值计算方法复习题9习题九1. 取步长h = 0.1，分别用欧拉法与改进的欧拉法解下列初值问题（1）；（2）准确解：（1）；（2）；欧拉法：，，，改进的欧拉法：，，，2. 用四阶标准龙格—库塔法解第1题中的初值问题，比较各法解的精度。
，，，3. 用欧拉法计算下列积分在点处的近似值。
0.5000,1.1420,2.5011,7.24504. 求下列差分格式局部截断误差的首项，并指出其阶数。
（1），2（2），3；（3），4（4），45.用Euler法解初值问题取步长h=0.1，计算到x=0.3(保留到小数点后4位).解: 直接将Eulerr法应用于本题，得到由于，直接代入计算，得到6.用改进Euler法和梯形法解初值问题取步长h=0.1,计算到x=0.5，并与准确解相比较.解：用改进Euler法求解公式，得计算结果见下表用梯形法求解公式，得解得精确解为7.证明中点公式(7.3.9)是二阶的，并求其局部截断误差主项.证明根据局部截断误差定义，得将右端Taylor展开，得故方法是二阶的，且局部截断误差主项是上式右端含h3的项。
8.用四阶R-K方法求解初值问题取步长h=0.2.解直接用四阶R－K方法其中计算结果如表所示：9.对于初值问题解因f'(y)=-100，故由绝对稳定区间要求(1)用Euler法解时，(2)用梯形法解时，绝对稳定区间为，由因f对y是线性的，故不用迭代，对h仍无限制。
(3)用四阶R-K方法时，10. (1) 用Euler法求解，步长h应取在什么范围内计算才稳定?(2) 若用梯形法求解，对步长h有无限制? (3) 若用四阶R-K方法求解，步长h如何选取?解：用四阶显式Adams公式先要算出，而，其余3点可用四阶R-K方法计算。
由，得由计算得再由四步四阶Adams显式方法得11.用四步四阶的Adams显式方法求解初值问题取h=0.1.(1)用形如的线性二步法解(2)试确定参数，使方法具有尽可能高的阶数，并求出局部截断误差主项.解本题仍利用局部截断误差的Taylor展开，要确定参数，可令解得而方法得局部截断。
数值计算方法试题一一、填空题（每空1分,共17分）1、如果用二分法求方程在区间内的根精确到三位小数，需对分( ）次。
2、迭代格式局部收敛的充分条件是取值在（).3、已知是三次样条函数，则=（)，=（)，=()。
4、是以整数点为节点的Lagrange插值基函数，则（)，（），当时( ）.5、设和节点则和.6、5个节点的牛顿-柯特斯求积公式的代数精度为，5个节点的求积公式最高代数精度为。
7、是区间上权函数的最高项系数为1的正交多项式族，其中，则。
8、给定方程组，为实数，当满足，且时，SOR迭代法收敛.9、解初值问题的改进欧拉法是阶方法。
10、设，当( ）时，必有分解式，其中为下三角阵，当其对角线元素满足( ）条件时，这种分解是唯一的。
二、二、选择题（每题2分）1、解方程组的简单迭代格式收敛的充要条件是( ）。
（1），（2）, (3）, （4）2、在牛顿—柯特斯求积公式：中,当系数是负值时，公式的稳定性不能保证，所以实际应用中，当（)时的牛顿—柯特斯求积公式不使用。
（1)，（2），（3），（4）,3（1）二次; （2)三次；（3）四次；（4)五次4、若用二阶中点公式求解初值问题,试问为保证该公式绝对稳定，步长的取值范围为（）。
(1）, (2），(3), （4)三、1、（82、（15分)(1)(1）试用余项估计其误差。
（2）用的复化梯形公式(或复化Simpson公式）计算出该积分的近似值.四、1、（15分）方程在附近有根,把方程写成三种不同的等价形式（1)对应迭代格式；(2)对应迭代格式；（3）对应迭代格式.判断迭代格式在的收敛性，选一种收敛格式计算附近的根，精确到小数点后第三位。
选一种迭代格式建立Steffensen迭代法，并进行计算与前一种结果比较，说明是否有加速效果。
2、（8分）已知方程组,其中，（1）（1）列出Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法的分量形式。
（2）（2）求出Jacobi迭代矩阵的谱半径,写出SOR迭代法。
数值计算方法试题一、填空（共20分，每题2分）1、设，取5位有效数字，则所得的近似值x=_____.2、设一阶差商，则二阶差商3、数值微分中，已知等距节点的函数值则由三点的求导公式，有4、求方程的近似根，用迭代公式，取初始值，那么5、解初始值问题近似解的梯形公式是6、，则A的谱半径＝，A的＝7、设，则＝和=8、若线性代数方程组AX=b 的系数矩阵A为严格对角占优阵，则雅可比迭代和高斯-塞德尔迭代都_____9、解常微分方程初值问题的欧拉（Euler）方法的局部截断误差为_____10、设，当时，必有分解式，其中L为下三角阵，当其对角线元素足条件时，这种分解是唯一的。
二、计算题（共60 分，每题15分）1、设在上的三次Hermite插值多项式H（x）使满足（1）试求H（x）以升幂形式给出。
（2）写出余项的表达式2、已知的满足，试问如何利用构造一个收敛的简单迭代函数，使0，1…收敛？3、试确定常数A，B，C和，使得数值积分公式有尽可能高的代数精度。
试问所得的数值积分公式代数精度是多少？它是否为Gauss型的？4、推导常微分方程的初值问题的数值解公式：三、证明题1、设（1）写出解的Newton迭代格式（2）证明此迭代格式是线性收敛的2、设R=I－CA，如果，证明：（1）A、C都是非奇异的矩阵（2）参考答案：一、填空题1、2.31502、3、4、1.55、6、7、8、收敛9、O（h）10、二、计算题1、1、（1）（2）2、由，可得因故故，k=0,1,…收敛。
3、 ，该数值求积公式具有5次代数精确度，它是Gauss 型的4、 数值积分方法构造该数值解公式：对方程 在区间上积分，得，记步长为h,对积分用Simpson 求积公式得所以得数值解公式：三、证明题1、证明：（1）因，故，由Newton迭代公式：n=0,1,…得，n=0,1,…（2）因迭代函数，而，又，则故此迭代格式是线性收敛的。
2、证明：（1）因，所以I–R非奇异，因I–R=CA，所以C，A都是非奇异矩阵(2)故则有（2.1）因CA=I–R，所以C=（I–R）A-1，即A-1=（I–R）-1C又RA-1=A-1–C，故由（这里用到了教材98页引理的结论）移项得(2.2)结合（2.1）、(2.2)两式，得模拟试题一、填空题（每空2分，共20分）1、解非线性方程f(x)=0的牛顿迭代法具有＿＿＿＿＿＿＿收敛2、迭代过程（k=1,2,…）收敛的充要条件是＿＿＿3、已知数 e=2.718281828...,取近似值 x=2.7182,那麽x具有的有效数字是＿＿＿4、高斯--塞尔德迭代法解线性方程组的迭代格式中求＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿5、通过四个互异节点的插值多项式p(x),只要满足＿＿＿＿＿＿＿，则p(x)是不超过二次的多项式6、对于n+1个节点的插值求积公式至少具有＿＿＿次代数精度.7、插值型求积公式的求积系数之和＿＿＿8、 ,为使A可分解为A=LL T, 其中L为对角线元素为正的下三角形，a的取值范围＿9、若则矩阵A的谱半径(A)=＿＿＿10、解常微分方程初值问题的梯形格式是＿＿＿阶方法二、计算题（每小题15分，共60分）1、用列主元消去法解线性方程组2、已知y=f（x）的数据如下x 0 2 3f（x） 1 3 2求二次插值多项式及f（2.5）3、用牛顿法导出计算的公式，并计算，要求迭代误差不超过。
习题九1.取步长h = 0.1,分别用欧拉法与改进的欧拉法解下列初值问题7 4 F "0 < A< 0.4y r = Ay<0 < < 0 斗（1）沁）-0（2）,丄①）-1准确解：（1）卩（X）二匕Yx十H —1（2）陀）=n亡卄£ ；欧拉法：儿丹就山，沟就血9，片二：005(5改进的欧拉法: 丹=0005?, = 0 019025片= 0.C41217625 v. =010*******2.用四阶标准龙格一库塔法解第1题中的初值问题，比较各法解的精度。
厲=叽04巧巧y2= 0.013730901 = 0.04088421 = 0 0703202833.用欧拉法计算下列积分在点-:-匚】处的近似值。
0.5000,1.1420,2.5011,7.24504.求下列差分格式局部截断误差的首项，并指出其阶数。
5用Euler 法解初值问题h=0.1，计算到x=0.3保留到小数点后4位）. 解：直接将Eulerr 法应用于本题，得到（4）二」取步长，直接代入计算，得到由于6.用改进Euler法和梯形法解初值问题取步长h=0.1,计算到x=0.5,并与相比较.准确解解：用改进Euler法求解公式，得计算结果见下表用梯形法求解公式，得解得精确解为7证明中点公式（739）是二阶的, 并求其局部截断误差主项.证明根据局部截断误差定义，得将右端Taylor展开，得故方法是二阶的，且局部截断误差主项是上式右端含h3的项8用四阶R-K方法求解初值问题取步长h=0.2.解直接用四阶R— K方法其中计算结果如表所示:9对于初值问题解 因f(y)=-100 ，故由绝对稳定区间要求(1)用Euler 法解时,(2)用梯形法解时，绝对稳定区间，由因f 对y 是线性的，故不 h 仍无限制。
(3)用四阶R-K 方法时，为用迭代,10. (1)用Euler法求解，步长h应取在什么范围内计算才稳定？(2)若用梯形法求解，对步长h有无限制？ (3)若用四阶R-K方法求解，步长h如何选取？解：用四阶显式Adams公式先要算出,其余3点可用四阶R-K方法计算。
习题九
1. 取步长h = 0.1，分别用欧拉法与改进的欧拉法解下列初值问题
（1）；（2）
准确解：（1）；（2）；
欧拉法：，，，
改进的欧拉法：，，，
2. 用四阶标准龙格—库塔法解第1题中的初值问题，比较各法解的精度。
，，，
3. 用欧拉法计算下列积分在点处的近似值。
0.5000,1.1420,2.5011,7.2450
4. 求下列差分格式局部截断误差的首项，并指出其阶数。
（1），2
（2），3；
（3），4
（4），4
5.用Euler法解初值问题取步长h=0.1，计算到x=0.3(保留到小数点后4位).
解: 直接将Eulerr法应用于本题，得到
由于，直接代入计算，得到
6.用改进Euler法和梯形法解初值问题取步长
h=0.1,计算到x=0.5，并与准确解相比较.
解：用改进Euler法求解公式，得
计算结果见下表
用梯形法求解公式，得
解得
精确解为
7.证明中点公式(7.3.9)是二阶的，并求其局部截断误差主项.
证明根据局部截断误差定义，得
将右端Taylor展开，得
故方法是二阶的，且局部截断误差主项是上式右端含h3的项。
8.用四阶R-K方法求解初值问题取步长
h=0.2.
解直接用四阶R－K方法
其中
计算结果如表所示：
9.对于初值问题
解因f'(y)=-100，故由绝对稳定区间要求(1)用Euler法解时，
(2)用梯形法解时，绝对稳定区间为，由因f 对y是线性的，故不用迭代，对h仍无限制。
(3)用四阶R-K方法时，
10. (1) 用Euler法求解，步长h应取在什么范围内计算才稳定?(2) 若用梯形法求解，对步长h有无限制? (3) 若用四阶R-K方法求解，步长h如何选取?
解：用四阶显式Adams公式先要算出，而，其余3点可用四阶R-K方法计算。
由，得
由计算得
再由四步四阶Adams显式方法得
11.用四步四阶的Adams显式方法
求解初值问题取h=0.1.(1)用形如
的线性二步法解
(2)试确定参数，使方法具有尽可能高的阶数，并求出局部截断误差主项.
解本题仍利用局部截断误差的Taylor展开，
要确定参数，可令
解得而方法得局部截断
故所求方法是二阶方法，局部截断误差主项为。
