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抛物线复习课

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抛物线的简单几何性质

抛物线的简单几何性质

y12 2 px1 y1 y2 2 px1 2 px 2 px ∴ y ∴ y y1 y1 y2 y1 y2 y1 y2 y1 y2
2 2 px 4 p ∵ y12 2 px1 , y1 y2 4 p2 ∴ y y1 y2 y1 y2 2p ∴ y ( x 2 p) ∴ AB 过定点（2p,0）y=2，则a的值为( (A)1/8 (B)-1/8 (C)8 (D)-8
B
)
抛物线的焦点弦问题：
过抛物线 y 2 2 px( p 0) 焦点 F 作弦 AB
已知抛物线y2=2px（p>0），顶点与焦点F的距离等于2， 过F作弦AB，设A（ x1，y1），B（x2，y2）． （1）求P的值； （2）求证：x1x2=
线段 GH 为直径的圆外．
方法一：转化为点在圆外的位置关系，即去证明准线与 x 轴的交点到圆心的距离恒大于半径． 方法二：利用向量方法，记抛物线 C 的准线与 x 轴的交点为 E ，等价转化为 GEH 为锐角，即证 明 EG EH 0 恒成立． 显然方法一、二是学生容易想到的常见方法，但不可否认，运算量都比较大．教师在肯定学生的同 时可问学生有没有简化运算量的优美解呢？也可以通过设置几个问题来引导学生： ① 以 AB 为直径的圆与准线相切吗？切于哪个点？ ② 以 GH 为直径的圆与准线什么位置关系？ ③ A, G, N 三点共线吗？ B, H , N 呢？（如图 2）
m2 0 上． 在直 l : x my 2
（I）若 m 2 ，求抛物线 C 的方程； （ II ）设直线 l 与抛物线 C 交于 A, B 两点，过 A, B 分别作抛物线 C 的准线的垂线，垂足为 A1 , B1 ，
AA1 F , BB1 F 的重心分别为 G , H ，求证：对任意非零实数 m ，抛物线 C 的准线与 x 轴的交点在以

抛物线复习课

抛物线复习课

抛物线复习课题型一、给定条件，求抛物线的标准方程例1. 求适合下列条件的抛物线的标准方程（1）过点(3,4)-；（2）焦点在直线3150++=上x y变式1：已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，且抛物线上有一点(3,)-，它到焦点的A m距离是5，求抛物线的方程变式2：抛物线22(0)=>有一内接三角形AO B，直角顶点在坐标原点y px p（1）若斜边垂直与x轴，且长为12，求抛物线的方程（2）若一直角边O A方程为2y x=，斜边长为（3）A B恒过定点(4,0)，求抛物线的方程题型二、与抛物线定义相关的问题例2．抛物线2=的准线方程是2ax yy=，则实数a的值为_____________L x=-的距离大3，则点M的轨迹方程变式1：若点M到点(2,0)F的距离比它到定直线:1是_______________________变式2：已知F 是抛物线2y x =的焦点，,A B 是该抛物线上的两点，3AF BF +=，则线段A B 的中点到y 轴的距离是____________变式3：已知抛物线的顶点在原点，焦点在y 轴上，抛物线上一点(,3)M m -到焦点的距离为5，则m =_________,抛物线方程是___________，准线方程是______________题型三、与抛物线相关的最值问题例3．点P 在抛物线2y x =上，定点(3,0)A ，求PA 的最小值变式1：若点P 为抛物线2y x =上一动点，Q 为圆22(3)1x y -+=上一动点，求P Q 的最小值变式2：若点P 为抛物线2y x =上一动点，求点P 到直线:3460L x y ++=的距离的最小值变式3：已知定点(3,2)M ，F 是抛物线22y x =的焦点，在此抛物线上求一点P ，使P M P F +取得最小值，并求点P 的坐标变式4：P 为抛物线24x y =上的一动点，定点(8,7)A ，则点P 到x 轴与到点A 的距离之和的最小值是________________题型四、抛物线的焦点弦问题【常用结论】：已知A B 是抛物线的焦点弦，F 为抛物线焦点，L 为抛物线的准线，过,A B 分别作准线L 的垂线，垂足分别为,C D ．则：（1）4221p x x =221p y y -= （2）θ221sin 2p p x x AB =++=（θ为直线A B 的倾斜角）(焦点弦中通径最短) （3）112AF BF p +=（4）以A B 为直径的圆与抛物线准线L 相切。

高三第一轮复习抛物线课件理

高三第一轮复习抛物线课件理

特点：对称性、 不变性、可逆性
应用：解决实际问 题，如求抛物线的 顶点、焦点等
注意事项：选择合 适的对称点或对称 直线，避免出现错 误
抛物线在实际生 活中的应用
物理中的抛物线运动
抛物线运动是物体在重力作用下，沿着抛物线轨迹运动的一种运动形式。 抛物线运动的特点是物体在运动过程中，速度、加速度和位移都是变化的。 抛物线运动的应用广泛，如炮弹、火箭、卫星等物体的运动都可以用抛物线运动来描述。 抛物线运动在物理学中具有重要的理论意义和实际应用价值。
抛物线与直线、圆的区别：抛物线是二次函数，其图像是一条曲线，而直线是直线方程，其 图像是一条直线；抛物线是二次函数，其图像是一条曲线，而圆是圆方程，其图像是一个圆。
与双曲线的联系与区别
抛物线与双曲线都是二次曲线，具有共同的性质和特点
抛物线是开口向上的曲线，双曲线是开口向下的曲线
抛物线与双曲线的焦点位置不同，抛物线的焦点在x轴上，双曲线的焦点在y轴 上
抛物线在工程学中的应用： 如桥梁设计、建筑设计等
抛物线在生物学中的应用： 如种群增长、生态平衡等
抛物线与其他曲 线的联系与区别
与直线、圆的关系
抛物线与直线的关系：抛物线是二次函数，其图像是一条曲线，而直线是直线方程，其图像是 一条直线。
抛物线与圆的关系：抛物线是二次函数，其图像是一条曲线，而圆是圆方程，其图像是一个圆。
抛物线的几何变 换
平移变换
平移变换的定义：将抛物线沿x轴或y轴移动一定距离 平移变换的公式：y=ax^2+bx+c，其中a、b、c为常数 平移变换的图形：抛物线沿x轴或y轴移动后的图形 平移变换的应用：解决实际问题，如求抛物线的顶点、对称轴等
伸缩变换
定义：将抛物线沿x轴或y轴进行伸缩变换，得到新的抛物线 伸缩变换公式：x'=kx，y'=ky，其中k为伸缩系数 伸缩变换对抛物线形状的影响：k>1时，抛物线变长；k<1时，抛物线变短 伸缩变换对抛物线顶点的影响：k>1时，顶点向上移动；k<1时，顶点向下移动 伸缩变换对抛物线对称轴的影响：伸缩变换不改变抛物线的对称轴位置

理科数学公开课优质课件精选抛物线复习课

理科数学公开课优质课件精选抛物线复习课
《抛物线复习课》
执教教师：XXX
本节主要包括2个知识点： 1.抛物线的定义及其应用； 2.抛物线的标准方程及性质.
突破点(一) 抛物线的定义及其应用
抛物线的定义 平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的_距__离__ _相__等__的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的_焦__点__，直 线l叫做抛物线的_准__线__.
AB过焦点F时，|AB|取得最大值4.
答案：D
4. [考点二] 若抛物线y2＝4x的焦点为F，过F且斜率为1的直线交
抛物线于A，B两点，动点P在曲线y2＝－4x(y≥0)上，则△
PAB的面积的最小值为________．
解析：由题意得F(1,0)，直线AB的方程为y＝x－1.由
点 M 向抛物线 x2＝4y 的准线 l：y＝
－1 引垂线，垂足为 M1(图略)，则有|MA|＋|MF|＝|MA|＋|MM1|， 结合图形可知|MA|＋|MM1|的最小值等于圆心 C(－1，5)到 y＝－1 的距离再减去圆 C 的半径，即等于 6－1＝5，因此|MA|＋|MF|的
3. [考点一]已知抛物线 y2＝2x 的弦 AB 的中点的横坐标为32，则
|AB|的最大值为
()
A．1
B．2 C．3
D．4
解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2
＝3，利用抛物线的定义可知，|AF|＋
|BF|＝x1＋x2＋1＝4，由图可知|AF|＋
|BF|≥|AB|，即|AB|≤4，当且仅当直线
p 1－cos
θ
，|BF|＝
p 1＋cos
； θ
(3)|AB|＝x1＋x2＋p＝
2p sin2θ
(其中θ为直线AB的倾斜角)，

抛物线——高三数学一轮复习课

抛物线——高三数学一轮复习课
Work report
本堂小结
Instructional design
壹
贰
叁
肆
抛物线的定义
抛物线的标准方程
焦半径公式
最值问题
能根据抛物线的定
义判断动点的轨迹，
并且区别与椭圆、
双曲线的定义
会写抛物线的标准方程， 区分四种抛物线方
也能根据抛物线的标准 程的焦半径公式，
方程写出焦点坐标和准 会应用公式解决问
完成课时作业
相应部分
预习抛物线的
性质
感谢您的观看
business affairs Work camille summary report business affairs
Work report
例3. 已知点 是抛物线C: 2 = 4 上的动点，过点 向 轴作垂线
垂足记为点，若点(3 , 4)，则|| + ||的最小值是( A )
A．2 5－1
B． 5－1
C. 5＋1
D．2 5＋1
变式1. 抛物线 2 = 4上的焦点为，点(4 , 2)，为抛物线上一
点且不在直线上，则∆周长的最小值为 +
变式2.已知为抛物线 2 = 4上的一点，到该抛物线准线的距
离为1 ，到直线 + 2 + 12 = 0的距离为2 ，则1 +2 的最小结
business affairs Work camille summary report business affairs
Work report
一. 由定义判断轨迹
例1. 若动点(, )满足5 ( − 1)2 +( − 2)2 = |3 − 4 + 12|，
则点的轨迹是（ D ）

《抛物线》复习课件

《抛物线》复习课件

由于抛物线的定义域和值域与开口方向和位置有关，学生容易忽略这一
点而导致错误。因此，在解题时需要特别注意定义域和值域的限制。
03
错误理解抛物线的对称性和平移性质
学生可能对抛物线的对称性和平移性质理解不深刻，导致在解题时出错。
为了避免这种错误，需要加强对这些性质的理解和练习。
下一步学习计划和目标
深入学习抛物线的性质和应用
05
CATALOGUE
典型例题解析与思路拓展
求抛物线方程或参数值问题
已知抛物线顶点、焦点或准线，求抛物线方程
通过顶点式、焦点式或准线式，代入已知条件求解。
已知抛物线上两点坐标，求抛物线方程
利用两点式或中点式，结合抛物线性质求解。
已知抛物线方程和参数，求参数值
将方程化为标准形式，通过比较系数或利用抛物线性质求解参数。
物理学中的抛ห้องสมุดไป่ตู้线运动
抛体运动
在重力作用下，物体被抛出后沿 着抛物线路径进行运动，如炮弹 的飞行轨迹、篮球的投篮轨迹等。
斜抛运动
物体以一定角度抛出后，在重力和 初速度的共同作用下沿着抛物线路 径进行运动，如足球的远射、排球 的扣球等。
平抛运动
物体以水平初速度抛出后，在重力 的作用下沿着抛物线路径进行运动， 如飞镖的飞行、羽毛球的扣杀等。
抛物线的图像和性质 抛物线的图像是一个对称的U形曲线，具有顶点、对称轴、 开口方向等性质。这些性质对于理解和分析抛物线问题非 常重要。
易错难点剖析指导
01
混淆抛物线的四种标准方程
学生容易混淆不同开口方向和位置的抛物线的标准方程。为了避免这种
错误，需要仔细区分每种方程的特点和适用条件。
02
忽略抛物线的定义域和值域

抛物线及其标准方程复习课


p 0, 2
p y 2
二、例题分析
例 1. 已知抛物线顶点在原点，焦点在 y 轴上， 又知此抛物线上的一点A(m,-3)到焦点F的距离 为5，求此抛物线的方程及m的值.
引申1：已知B、C是该抛物线上的两点，且|BF|+|CF|=8， 求线段BC的中点到y轴的距离．
引申2：已知定点B(2,-3)，试在此抛物线上求一点P,使 |PB|+|PF|最小，并求出这个最小值.
抛物线及其标准方程 （复习课）
一、引例
1.平面内到定点F的距离等于到定直线 l的距离 的点的轨迹是（ A.抛物线 C.抛物线或直线 ） B.直线 D.不存在
1 2 2.抛物线y x 的焦点坐标是( ) 4 1 1 A.(0, ) B.( ,0) C.(0,1) D.(1,0) 16 16
四种抛物线的标准方程对比
（2）若点M是C上任意一点，过 M作x轴的垂线段MN，
图形 标准方程 焦点坐标
y 2 px p ,0 p 0 px p ,0
2
p 0

2

p x 2
p y 2
p x 2 2 py 0,
p 0
2

2
x 2 py p 0
变式1：若抛物线的准线与直 线l : x 1的距离 为3，求抛物线的标准方程 .
变式2：求过点A（-3，2）的抛物线的标准方程.
巩固提升:
设点P（x, y）为平面直角坐标系 xOy中的一个动点
1 （O为坐标原点），点 P到定点A( ,0)的距离比点P 2 1 到y轴的距离大 . 2 （ 1）求点P的轨迹C的方程； N为垂足，求线段 MN中点H的轨迹.

抛物线复习课优秀的ppt课件


B．[0,2]
( )．
C．(2，＋∞)
D．[2，＋∞)
抓住2个考点
突破3个考向
揭秘3年高考
[审题视点] (1)按焦点所在位置分类讨论求解； (2)由|FM|大于焦点到准线的距离(圆与抛物线相交)，再结合 抛物线定义可求．
抓住2个考点
突破3个考向
揭秘3年高考
解析 (1)由于点P在第三象限． ①当焦点在x轴负半轴上时，设方程为y2＝－2px(p＞0)， 把点P(－2，－4)代入得：(－4)2＝－2p×(－2)， 解得p＝4，∴抛物线方程为y2＝－8x. ②当焦点在y轴负半轴上时，设方程为x2＝－2py(p＞0)，把 点P(－2，－4)代入得：(－2)2＝－2p×(－4)． 解得p＝12.∴抛物线方程为x2＝－y. 综上可知抛物线方程为y2＝－8x或x2＝－y.
【助学·微博】 一个重要转化 一次项的变量与焦点所在的坐标轴的名称相同，一次项系 数的符号决定抛物线的开口方向，即“对称轴看一次项， 符号决定开口方向”．
抓住2个考点
突破3个考向
揭秘3年高考
考点自测
1．抛物线y2＝4x的焦点F到准线l的距离为
( )．
A．1
B．2
C．3
D．4
解析 该抛物线的焦点F(1,0)，准线l为：x＝－1.∴焦点F
求抛物线方程为y2＝8x.
答案 C
抓住2个考点
突破3个考向
揭秘3年高考
3．(2012·四川)已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原
点O，并且经过点M(2，y0)．若点M到该抛物线焦点的距
离为3，则|OM|＝
( )．
A．2 2
B．2 3
C．4
D．2 5
抓住2个考点

高考数学一轮复习第七章第七讲抛物线课件


解析：如图 D81，分别过 P，Q 两点作准线 x＝－2p的垂线，
垂足分别为 P1，Q1.分别过 P，Q 两点ห้องสมุดไป่ตู้ x 轴
的垂线，垂足分别为 P2，Q2.准线 x＝－p2交
x 轴于点 D－p2，0.
∵|PP1|＝|PF|＝4，|FP2|＝12|PF|＝2，
图 D81
∴|DF|＝|DP2|－|FP2|＝4－2＝2. ∵|FQ2|＝21|QF|＝12|QQ1|， ∴|DF|＝|QQ1|＋|FQ2|＝23|QF|. ∴32|QF|＝2，|QF|＝43. 答案：34
A.直线 AB 的斜率为 2 6 B.|OB|＝|OF| C.|AB|＞4|OF| D.∠OAM＋∠OBM＜180°
解析：如图 7-7-5，
图 7-7-5 ∵Fp2，0，M(p，0)，且|AF|＝|AM|，
∴A34p， 26p， 由抛物线焦点弦的性质可得 xA·xB＝p42，则 xB＝p3，
则 Bp3，－ 36p，
F0，－p2 y≤0，x∈R
(续表) 准线方程 开口方向
焦半径 通径长
x＝－p2 向右 x0＋p2
x＝p2 向左 －x0＋2p
2p
y＝－p2 向上 y0＋p2
y＝p2 向下 －y0＋2p
【名师点睛】 如图 7-7-1，设 AB 是过抛物线 y2＝2px(p＞0)焦点 F 的弦，若 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
由yy＝ 2＝k4(xx－，1)， 得 k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，
得 xA·xB＝1，① 因为|AF|＝2|BF|，由抛物线的定义得 xA＋1＝2(xB＋1)， 即 xA＝2xB＋1，② 由①②解得 xA＝2，xB＝21， 所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝xA＋xB＋p＝29. 答案：B

抛物线课件 高三数学一轮复习

解析：抛物线x2＝4y的焦点F(0，1)，准线方程为y＝－1， 延长PM交准线于N，连PF，显然PN垂直于抛物线的准线，由抛物线定义知： |PA|＋|PM|＝|PA|＋|PN|－1＝|PA|＋|PF|－1≥|AF|－1，当且仅当点P是线段AF与 抛物线的交点时取等号， 而|AF|＝ 5，所以|PA|＋|PM|的最小值为 5－1.
解析：由题意知F(1，0)，设A，B，C的横坐标 分别为x1，x2，x3，
由AF＝13 (AB + AC)，得1－x1＝13(x2－x1＋x3－x1)， 所以x1＋x2＋x3＝3，
由抛物线的定义得|AF|＋|BF|＋|CF|＝x1＋1＋x2＋ 1＋x3＋1＝x1＋x2＋x3＋3＝6.
(2)[2024·广东广州模拟]设动点P在抛物线y＝14x2上，点P在x轴上的射 影为点M，点A的坐标是(2，0)，则|PA|＋|PM|的最小值是___5_－__1__．
题后师说
求抛物线标准方程的常用方法
巩固训练2
(1)已知抛物线y2＝2px(p>0)上任意一点到焦点F的距离比到y轴的距
离大1，则抛物线的标准方程为( )
A．y2＝x
B．y2＝2x
C．y2＝4x
D．y2＝8x
答案： C 解析：由题意抛物线y2＝2px(p>0)上任意一点到焦点F的距离与它到直线x＝－1 的距离相同，因此－p2＝－1，p＝2，抛物线方程为y2＝4x.故选C.
题后师说
抛物线定义的应用策略
巩固训练1
(1)[2024·辽 宁 辽 阳 模 拟 ] 已 知 抛 物 线 C ： x2 ＝ 2py(p>0) 的 焦 点 为 F ，
M(m，2)在抛物线C上，且|MF|＝4，则p＝( )
A．2
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