人教新课标版数学高二选修1-1练习2-3-1抛物线及其标准方程

第二章 圆锥曲线与方程2.3 抛物线2.3.1 抛物线及其标准方程A 级 基础巩固一、选择题1．准线方程为y ＝23的抛物线的标准方程为( ) A ．x 2＝83y B ．x 2＝－83y C ．y 2＝－83xD ．y 2＝83x解析：由准线方程为y ＝23，知抛物线焦点在y 轴负半轴上，且p 2＝23，则p ＝43.故所求抛物线的标准方程为x 2＝－83y .答案：B2．已知抛物线y －2 016x 2＝0，则它的焦点坐标是( ) A ．(504，0) B.⎝⎛⎭⎪⎫18 064，0 C.⎝⎛⎭⎪⎫0，18 064 D.⎝⎛⎭⎪⎫0，1504 解析：抛物线的标准方程为x 2＝12 016y ，故其焦点为(0，18 064)． 答案：C3．抛物线y ＝12x 2上的点到焦点的距离的最小值为( ) A ．3 B ．6 C.148 D.124解析：将方程化为标准形式是x 2＝112y ，因为2p ＝112，所以p ＝124.故到焦点的距离最小值为148. 答案：C4．一动圆的圆心在抛物线y 2＝8x 上，且动圆恒与直线x ＋2＝0相切，则动圆过定点( ) A ．(4，0) B ．(2，0) C ．(0，2)D ．(0，4)解析：由题意易知直线x ＋2＝0为抛物线y 2＝8x 的准线，由抛物线的定义知动圆一定过抛物线的焦点． 答案：B5．抛物线y 2＝2px (p >0)上有A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)三点，F 是焦点，|AF |，|BF |，|CF |成等差数列，则( )A ．x 1，x 2，x 3成等差数列B ．x 1，x 3，x 2成等差数列C ．y 1，y 2，y 3成等差数列D ．y 1，y 3，y 2成等差数列解析：由抛物线的定义知|AF |＝x 1＋p2，|BF |＝x 2＋p 2， |CF |＝x 3＋p 2.因为|AF |，|BF |，|CF |成等差数列，所以2⎝⎛⎭⎪⎫x2＋p 2＝⎝⎛⎭⎪⎫x1＋p 2＋⎝⎛⎭⎪⎫x3＋p 2，即2x 2＝x 1＋x 3.故x 1，x 2，x 3成等差数列．故选A.答案：A 二、填空题6．抛物线y 2＝2x 上的两点A ，B 到焦点的距离之和是5，则线段AB 中点的横坐标是________． 解析：由抛物线的定义知点A ，B 到准线的距离之和是5，则AB 的中点到准线的距离为52，故AB 中点的横坐标为x ＝52－12＝2.答案：27．抛物线过原点，焦点在y 轴上，其上一点P (m ，1)到焦点的距离为5，则抛物线的标准方程是________． 解析：由题意，知抛物线开口向上，且1＋p 2＝5，所以p ＝8，即抛物线的标准方程是x 2＝16y . 答案：x 2＝16y8．焦点为F 的抛物线y 2＝2px (p ＞0)上一点M 在准线上的射影为N ，若|MN |＝p ，则|FN |＝________． 解析：由条件知|MF |＝|MN |＝p ，MF ⊥MN ，在△MNF 中，∠FMN ＝90°，得|FN |＝2p . 答案：2p 三、解答题9．求满足下列条件的抛物线的标准方程．(1)焦点在坐标轴上，顶点在原点，且过点(－3，2)；(2)顶点在原点，以坐标轴为对称轴，焦点在直线x －2y －4＝0上．解：(1)当焦点在x 轴上时，设抛物线的标准方程为y 2＝－2px (p >0)．把(－3，2)代入，得22＝－2p ×(－3)，解得p ＝23.所以所求抛物线的标准方程为y 2＝－43x .当焦点在y 轴上时，设抛物线的标准方程为x 2＝2py (p >0)． 把(－3，2)代入，得(－3)2＝4p ，解得p ＝94.所以所求抛物线的标准方程为x2＝92 y.(2)直线x－2y－4＝0与x轴的交点为(4，0)，与y轴的交点为(0，－2)，故抛物线的焦点为(4，0)或(0，－2)．当焦点为(4，0)时，设抛物线方程为y2＝2px(p>0)，则p2＝4，所以p＝8.所以抛物线方程为y2＝16x.当焦点为(0，－2)时，设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，则－p2＝－2，所以p＝4.所以抛物线方程为x2＝－8y.10．已知动圆M与直线y＝2相切，且与定圆C：x2＋(y＋3)2＝1外切，求动圆圆心M的轨迹方程．解：设动圆圆心为M(x，y)，半径为r，则由题意可得M到C(0，－3)的距离与到直线y＝3的距离相等，则动圆圆心的轨迹是以C(0，－3)为焦点，y＝3为准线的一条抛物线，其方程为x2＝－12y.B级能力提升1．点M(5，3)到抛物线y＝ax2的准线的距离为6，那么抛物线的方程是( )A．y＝12x2B．y＝12x2或y＝－36x2C．y＝－36x2D．y＝112x2或y＝－136x2解析：当a＞0时，抛物线开口向上，准线方程为y＝－14a，则点M到准线的距离为3＋14a＝6，解得a＝112，抛物线方程为y＝112x2.当a＜0时，开口向下，准线方程为y＝－14a，点M到准线的距离为⎪⎪⎪⎪⎪⎪3＋14a＝6，解得a＝－136，抛物线方程为y＝－136x2.答案：D2．已知直线l1：4x－3y＋6＝0和直线l2：x＝－1，抛物线y2＝4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值为________．解析：由已知得抛物线的焦点为F(1，0)，由抛物线的定义知：动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值即为焦点F(1，0)到直线l1：4x－3y＋6＝0的距离，由点到直线的距离公式得：d＝|4－0＋6|42＋（－3）2＝2，所以动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是2.答案：23．抛物线y2＝2px(p＞0)且一个内接直角三角形，直角顶点是原点，一条直角边所在直线方程为y＝2x，斜边长为513，求此抛物线方程．解：设抛物线y2＝2px(p＞0)的内接直角三角形为AOB，直角边OA所在直线方程为y＝2x，另一直角边所在直线方程为y ＝－12x .解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ，y2＝2px ，可得点A 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，p ；解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－12x ，y2＝2px ，可得点B 的坐标为(8p ，－4p )．因为|OA |2＋|OB |2＝|AB |2，且|AB |＝513，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫p24＋p2＋(64p 2＋16p 2)＝325.所以p ＝2，所以所求的抛物线方程为y 2＝4x .。

人教新课标版（A ）高二选修1-1 2.3.2 抛物线及其标准方程（二）同步练习题【基础演练】题型一：抛物线的基本运算 因为抛物线中的基本量之间存在着内在联系，所以从方程的角度来讲，可以已知一部分求另一部分，请根据以上知识解决以下1~4题。

1. 对抛物线ay 4x 2=（0a ≠），下列说法中正确的是A. 若0a >，焦点为（0，a ），若0a <，焦点为（0，-a ）B. 若0a >，焦点为⎪⎭⎫ ⎝⎛2a ,0；若0a <，焦点为⎪⎭⎫ ⎝⎛-2a ,0C. 不论0a >，还是0a <，焦点都是（0，a ）D. 不论a 0>，还是0a <，焦点都是⎪⎭⎫⎝⎛2a ,02. 已知椭圆14y 5x 22=+的中心为A ，右准线为l ，那么A 为顶点，l 为准线的抛物线方程为A. x 20y 2-=B. x 20y 2=C. x 10y 2-=D. x 10y 2=3. 已知P （8，a ）在抛物线px 4y 2=上，且P 到焦点的距离为10，则焦点到准线的距离为 A. 2 B. 4 C. 8 D. 164. 对于顶点在原点的抛物线，给出下列条件： ①焦点在y 轴上；②焦点在x 轴上；③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6；④抛物线的通径的长为5；⑤由原点向过焦点的某条直线作垂线，垂足坐标为（2，1），能使此抛物线方程为x 10y 2=的条件是___________。

（要求填写合适条件的序号）。

题型二：求抛物线的方程 求抛物线方程的常用方法有：待定系数法、直译法、定义法、相关点法、几何法等，请根据以上知识解决以下5~7题。

5. 如图2-3-1所示，在正方体1111D C B A ABCD -中，P 是侧面C C BB 11内一动点，若P 到直线BC 与直线11D C 的距离相等，则动点P 的轨迹所在的曲线是A. 直线B. 圆C. 双曲线D. 抛物线6. 已知点A （-2，0）、B （3，0），动点P （x ，y ）满足2x PB PA =⋅，则点P 的轨迹是 A. 圆 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 抛物线7. 已知抛物线C 的顶点在坐标原点，对称轴为x 轴，直线AB 交抛物线C 于A 、B 两点，交x 轴的正半轴于点M （m ，0），A 、B 到x 轴的距离之积为2m ，求抛物线C 的方程。

课后训练1．抛物线y2＝12x的焦点坐标是()A．(12,0) B．(6,0)C．(3,0) D．(0,3)2．经过点(2，－3)且焦点在x轴正半轴上的抛物线的标准方程是()A．24 3y x=B．29 2y x=C．24 3y x=-D．y2＝4x3．抛物线24 3y x=的准线方程是()A．13x=B．23x=C．23x=-D．13x=-4．已知圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的圆心为抛物线y2＝4x的焦点，且与直线3x＋4y＋2＝0相切，则该圆的方程为()A．(x－1)2＋y2＝6425B．x2＋(y－1)2＝6425C．(x－1)2＋y2＝1 D．x2＋(y－1)2＝15．设点P是抛物线y2＝16x上的点，它到焦点的距离h＝10，则它到y轴的距离d等于()A．3 B．6 C．9 D．126．设定点1033M⎛⎫⎪⎝⎭，与抛物线y2＝2x上的点P之间的距离为d1，点P到抛物线准线l的距离为d2，则d1＋d2取最小值时，点P的坐标为()A．(0,0) B．(1C．(2,2) D．11 82⎛⎫-⎪⎝⎭，7．动点P到点F(2,0)的距离与它到直线x＋2＝0的距离相等，则点P的轨迹方程为__________．8．抛物线x＝2y2的焦点坐标是__________．9．已知抛物线y2＝2px(p＞0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，求该抛物线的准线方程．10．如图，已知AB是抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点弦，F是抛物线的焦点，点A(x1，y1)，B(x2，y2)，求证：(1)y 1y 2＝－p 2，x 1x 2＝24p ； (2)|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝22sin p θ(θ为直线AB 的倾斜角)； (3)11||||AF BF +为定值．参考答案1. 答案：C2. 答案：B3. 答案：D4. 答案：C5. 答案：B 设点P 到抛物线准线的距离为l .由抛物线y 2＝16x 知42p =.由抛物线定义知l ＝h ，又l ＝d ＋2p ，故d ＝l －2p ＝h －2p ＝10－4＝6. 6. 答案：C 连结PF ，则d 1＋d 2＝|PM |＋|PF |≥|MF |，知d 1＋d 2的最小值是|MF |，当且仅当M ，P ，F 三点共线时，等号成立，而直线MF 的方程为4132y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，与y 2＝2x 联立求得x ＝2，y ＝2；18x =，12y =- (舍去)，此时，点P 的坐标为(2,2)． 7. 答案：y 2＝8x8. 答案：108⎛⎫ ⎪⎝⎭， 9. 答案：分析：用“设而不求”和“点差法”即可解决．解：解法一：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由题意知直线AB 的方程为y ＝x －2p ，与y 2＝2px 联立得y 2－2py －p 2＝0，∴y 1＋y 2＝2p .由题意知y 1＋y 2＝4，∴p ＝2，∴抛物线的方程为y 2＝4x ，其准线方程为x ＝－1.解法二：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由题意得y 1＋y 2＝4，y 12＝2px 1，y 22＝2px 2，两式相减，得121212212AB y y p p k x x y y -====-+， ∴p ＝2，∴抛物线的方程为y 2＝4x ，其准线方程为x ＝－1.10. 答案：分析：设出直线AB 的方程并与抛物线方程联立，借助一元二次方程根与系数的关系、抛物线的定义求解．解：(1)∵焦点02p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，， 当k 存在时，设直线AB 的方程为2p y k x ⎛⎫=-⎪⎝⎭(k ≠0)， 由222p y k x y px ⎧⎛⎫=-⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪=⎩，，消去x 得ky 2－2py －kp 2＝0.①由一元二次方程根与系数的关系得y 1y 2＝－p 2.当k 不存在时，直线AB 的方程为2p x =， 则y 1＝p ，y 2＝－p ，∴y 1y 2＝－p 2. ∴总有y 1y 2＝－p 2，222212121222244y y y y p x x p p p ()=⋅==. (2)当k 存在时，由抛物线的定义知，|AF |＝x 1＋2p ，|BF |＝x 2＋2p ， ∴|AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋x 2＋p .② 又2p y k x ⎛⎫=-⎪⎝⎭， ∴12p x y k =+， ∴x 1＋x 2＝1k (y 1＋y 2)＋p .由①知y 1＋y 2＝2p k， ∴x 1＋x 2＝22p k＋p ，代入②得 |AB |＝22p k ＋2p ＝2221122121tan sin p p p k θθ⎛⎫⎛⎫+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 当k 不存在，即π2θ=时，2p A p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，2p B p ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，|AB |＝2p ＝2p ＋2p ＋p ＝22πsin 2p . 综上，|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝22sin p θ. (3)1221212121111||||2224x x p p p AF BF x x x x x x +++=+=+++(+)+， 将2124p x x =，x 1＋x 2＝|AB |－p ，代入上式得2211||2||||||424AB p p p AF BF p AB p +===+(-)+常数． 故11||||AF BF +为定值．。

04 课后课时精练时间：40分钟满分：75分 一、选择题(每小题5分，共30分)1．若抛物线y 2＝8x 上一点P 到其焦点的距离为10，则点P 的坐标为( )A ．(8,8)B ．(8，－8)C ．(8，±8)D ．(－8，±8)答案 C解析 设P (x P ，y P )，因为点P 到焦点的距离等于它到准线x ＝－2的距离，所以x P ＝8，y P ＝±8，故选C.2．已知点A (－2,3)在抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的准线上，记C 的焦点为F ，则直线AF 的斜率为( )A ．－43B ．－1C ．－34D ．－12答案 C解析 因为点A 在抛物线的准线上，所以－p 2＝－2，所以该抛物线的焦点为F (2,0)，所以k AF ＝3－0－2－2＝－34. 3．已知双曲线y 2a 2－x 23＝1(a >0)的一个焦点与抛物线y ＝18x 2的焦点重合，则实数a ＝( )A ．4B ．3C ．2D ．1答案 D解析 由y ＝18x 2，得x 2＝8y ，∴焦点坐标为(0,2)．由题意得a 2＋3＝4，又a >0，∴a ＝1.4．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，P 3(x 3，y 3)在抛物线上，且|FP 1|，|FP 2|，|FP 3|成等差数列，则有( )A ．x 1＋x 2＝x 3B ．y 1＋y 2＝y 3C ．x 1＋x 3＝2x 2D ．y 1＋y 3＝2y 2答案 C 解析 根据抛物线的定义知|FP 1|＝x 1＋p 2，|FP 2|＝x 2＋p 2，|FP 3|＝x 3＋p 2.∵|FP 1|，|FP 2|，|FP 3|成等差数列，∴2|FP 2|＝|FP 1|＋|FP 3|，∴2x 2＋p ＝x 1＋x 3＋p ，∴2x 2＝x 1＋x 3.5. 如图，南北方向的公路L ，A 地在公路正东2 km 处，B 地在A 北偏东60°方向2 3 km 处，河流沿岸曲线PQ 上任意一点到公路L 和到A 地距离相等，现要在曲线PQ 上某处建一座码头，向A ，B 两地运货物，经测算，从M 到A ，B 修建公路的费用都为 a 万元/km ，那么，修建这两条公路的总费用最低是( )A ．(2＋3)a 万元B ．(23＋1)a 万元C ．5a 万元D ．6a 万元答案 C 解析 依题意知曲线PQ 是以A 为焦点、L 为准线的抛物线，根据抛物线的定义知：欲求从M 到A ，B 修建公路的费用最低，只需求出B 到直线L 的距离即可．∵B 地在A 地北偏东60°方向2 3 km 处，∴B 到点A 的水平距离为3 km, ∴B 到直线L 的距离为3＋2＝5(km)，那么，修建这两条公路的总费用最低为5a 万元，故选C.6．如图动直线l ：y ＝b 与抛物线y 2＝4x 交于点A ，与椭圆x 22＋y 2＝1交于抛物线右侧的点B ，F 为抛物线的焦点，则AF ＋BF ＋AB 的最大值为( )A ．3 3B ．3 2C ．2D ．2 2答案 D解析 设直线y ＝b 与x ＝－1的交点为D ，由抛物线定义，可知|AF |＝|AD |，设B (x ，b )，椭圆x 22＋y 2＝1的焦点坐标为(1,0)，可得x 22＋b 2＝1，AF ＋BF ＋AB ＝AD ＋BF ＋AB ＝BD ＋BF＝(x －1)2＋b 2＋x ＋1 ＝(x －1)2＋1－x 22＋x ＋1＝22(2－x )＋x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－22x ＋1＋ 2. 由x ∈(0，2]知，AF ＋BF ＋AB 的最大值为⎝⎛⎭⎪⎫1－22×2＋1＋2＝2 2.二、填空题(每小题5分，共15分)7．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的准线与圆(x －3)2＋y 2＝16相切，则p 的值为________．答案 2解析 ∵y 2＝2px 的准线方程为x ＝－p 2，由题意得：p 2＋3＝4，∴p ＝2.8．设抛物线y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，PA ⊥l ，A 为垂足，如果直线AF 的斜率为－3，那么|PF |＝________.答案 8解析 如图所示，直线AF 的方程为y ＝－3(x －2)，与准线方程x ＝－2联立得A (－2,43)．设P (x 0,43)，代入抛物线y 2＝8x ，得8x 0＝48，∴x 0＝6，∴|PF |＝x 0＋2＝8.9．如图，正方形ABCD 和正方形DEFG 的边长分别为a ，b (a <b )，原点O 为AD 的中点，抛物线y 2＝2px (p >0)经过C ，F 两点，则b a ＝________.答案 1＋ 2解析 由正方形的定义可知BC ＝CD ，结合抛物线的定义得点D为抛物线的焦点，所以|AD |＝p ＝a ，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2＋b ，b ，将点F 的坐标代入抛物线的方程得b 2＝2p ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2＋b ＝a 2＋2ab ，变形得⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2－2b a －1＝0，解得b a ＝1＋2或b a ＝1－2(舍去)，所以b a ＝1＋ 2.三、解答题(每小题10分，共30分)10．根据下列条件分别求抛物线的标准方程．(1)抛物线的焦点是双曲线16x 2－9y 2＝144的左顶点；(2)抛物线的焦点F 在x 轴上，直线y ＝－3与抛物线交于点A ，|AF |＝5.解 (1)双曲线方程可化为x 29－y 216＝1，左顶点为(－3,0)，由题意设抛物线方程为y 2＝－2px (p >0)且－p 2＝－3， ∴p ＝6，∴抛物线的方程为y 2＝－12x .(2)设所求焦点在x 轴上的抛物线的方程为y 2＝2px (p ≠0)，A (m ，－3)，由抛物线定义得5＝|AF |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪m ＋p 2. 又(－3)2＝2pm ，∴p ＝±1或p ＝±9，故所求抛物线方程为y 2＝±2x 或y 2＝±18x .11．一辆卡车高3 m ，宽1.6 m ，欲通过断面为抛物线形的隧道，已知拱口宽恰好是拱高的4倍，若拱口宽为a m ，求使卡车通过的a 的最小整数值．解 以隧道顶点为原点，拱高所在直线为y 轴，建立直角坐标系如图．则点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，－a 4. 设隧道所在的抛物线方程为x 2＝－2py (p >0)，则⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22＝－2p ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 4，∴2p ＝a . 即抛物线方程为x 2＝－ay ，将(0.8，y 0)代入x 2＝－ay ，得0.82＝－ay 0，∴y 0＝－0.64a .欲使卡车通过隧道，应有y 0－⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 4>3，即a 4－0.64a >3. ∵a >0，∴a >12.21.故a 的最小整数值应为13.12．已知抛物线C 的顶点在原点，焦点F 在x 轴的正半轴上，设A ，B 是抛物线C 上的两个动点(AB 不垂直于x 轴)，且|AF |＋|BF |＝8，线段AB 的垂直平分线恒经过点Q (6,0)，求抛物线的方程．解 设抛物线的方程为y 2＝2px (p >0)，则其准线为x ＝－p 2.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，∵|AF |＋|BF |＝8，∴x 1＋p 2＋x 2＋p 2＝8，即x 1＋x 2＝8－p .∵Q (6,0)在线段AB 的中垂线上，∴|QA |＝|QB |， 即(6－x 1)2＋(－y 1)2＝(6－x 2)2＋(－y 2)2，又y 21＝2px 1，y 22＝2px 2，∴(x 1－x 2)(x 1＋x 2－12＋2p )＝0.∵AB 与x 轴不垂直，∴x 1≠x 2.故x 1＋x 2－12＋2p ＝8－p －12＋2p ＝0，即p ＝4.从而抛物线方程为y 2＝8x .。

[课时作业] [A 组 基础巩固]1．经过点(2,4)的抛物线的标准方程为( ) A ．y 2＝8x B ．x 2＝y C ．y 2＝8x 或x 2＝yD ．无法确定解析：由题设知抛物线开口向右或开口向上，设其方程为y 2＝2px (p >0)或x 2＝2py (p >0)，将点(2,4)代入可得p ＝4或p ＝12，所以所求抛物线标准方程为y 2＝8x 或x 2＝y ，故选C.答案：C2．已知抛物线C ：y 2＝x 的焦点为F ，A (x 0，y 0)是C 上一点，|AF |＝54x 0，则x 0＝( )A ．1B ．2C ．4D ．8解析：由题意知抛物线的准线为x ＝－14.因为|AF |＝54x 0，根据抛物线的定义可得x 0＋14＝|AF |＝54x 0，解得x 0＝1，故选A. 答案：A3．若动点M (x ，y )到点F (4,0)的距离等于它到直线x ＋4＝0的距离，则M 点的轨迹方程是( ) A ．x ＋4＝0 B ．x －4＝0 C ．y 2＝8xD ．y 2＝16x解析：根据抛物线定义可知，M 点的轨迹是以F 为焦点，以直线x ＝－4为准线的抛物线，p ＝8，∴其轨迹方程为y 2＝16x ，故选D. 答案：D4．已知双曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2.若抛物线C 2：x 2＝2py (p >0)的焦点到双曲线C 1的渐近线的距离为2，则抛物线C 2的方程为( ) A ．x 2＝833yB ．x 2＝1633yC ．x 2＝8yD ．x 2＝16y解析：抛物线的焦点⎝⎛⎭⎫0，p 2，双曲线的渐近线为y ＝±b a x ，不妨取y ＝bax ，即bx －ay ＝0，焦点到渐近线的距离为|a ×p 2|a 2＋b 2＝2，即ap ＝4a 2＋b 2＝4c ，所以c a ＝p 4，双曲线的离心率为c a ＝2，所以c a ＝p4＝2，所以p ＝8，所以抛物线方程为x 2＝16y .故选D.答案：D5．(2015·高考浙江卷)如图，设抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，不经过焦点的直线上有三个不同的点A ，B ，C ，其中点A ，B 在抛物线上，点C 在y 轴上，则△BCF 与△ACF 的面积之比是( ) A.|BF |－1|AF |－1 B.|BF |2－1|AF |2－1 C.|BF |＋1|AF |＋1D.|BF |2＋1|AF |2＋1解析：由图形可知，△BCF 与△ACF 有公共的顶点F ，且A ，B ，C三点共线，易知△BCF 与△ACF 的面积之比就等于|BC ||AC |.由抛物线方程知焦点F (1,0)，作准线l ，则l 的方程为x ＝－1.∵点A ，B 在抛物线上，过A ，B 分别作AK ，BH 与准线垂直，垂足分别为点K ，H ，且与y 轴分别交于点N ，M .由抛物线定义，得|BM |＝|BF |－1，|AN |＝|AF |－1.在△CAN 中，BM ∥AN ，∴|BC ||AC |＝|BM ||AN |＝|BF |－1|AF |－1.答案：A6．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的准线与圆x 2＋y 2－6x －7＝0相切，则p 的值为________． 解析：依题意得，直线x ＝－p 2与圆(x －3)2＋y 2＝16相切，因此圆心(3,0)到直线x ＝－p2的距离等于半径4，于是有3＋p2＝4，即p ＝2.答案：27．设抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，定点A (0,2)．若线段F A 的中点B 在抛物线上，则B 到该抛物线准线的距离为________． 解析：抛物线的焦点F 的坐标为⎝⎛⎭⎫p 2，0， 线段F A 的中点B 的坐标为⎝⎛⎭⎫p 4，1， 代入抛物线方程得 1＝2p ×p 4，解得p ＝2，故点B 的坐标为⎝⎛⎭⎫24，1，故点B 到该抛物线准线的距离为24＋22＝324.答案：3248．对于抛物线y 2＝4x 上任意一点Q ，点P (a,0)都满足|PQ |≥|a |，则a 的取值范围是________． 解析：设Q (x 0，±2x 0)(x 0≥0)，则|PQ |＝(x 0－a )2＋4x 0≥|a |对∀x 0≥0恒成立， 即(x 0－a )2＋4x 0≥a 2对∀x ≥0恒成立． 化简得x 20＋(4－2a )x 0≥0.当4－2a ≥0时，对∀x 0≥0，x 20＋(4－2a )x 0≥0恒成立，此时a ≤2； 当4－2a ＜0时，0＜x 0＜2a －4时不合题意． 答案：(－∞，2]9．已知圆A ：(x ＋2)2＋y 2＝1与定直线l ：x ＝1，且动圆P 和圆A 外切并与直线l 相切，求动圆的圆心P 的轨迹方程．解析：如图，作PK 垂直于直线x ＝1，垂足为K ，PQ 垂直于直线x ＝2，垂足为Q ，则|KQ |＝1，所以|PQ |＝r ＋1， 又|AP |＝r ＋1. 所以|AP |＝|PQ |.故点P 到圆心A (－2,0)的距离和到定直线x ＝2的距离相等． 所以点P 的轨迹为抛物线，A (－2,0)为焦点． 直线x ＝2为准线． ∴p2＝2.∴p ＝4. ∴点P 的轨迹方程为y 2＝－8x .10.如图所示，花坛水池中央有一喷泉，水管O ′P ＝1 m ，水从喷头P 喷出后呈抛物线状，先向上至最高点后落下，若最高点距水面2 m ，P 距抛物线的对称轴1 m ，则水池的直径至少应设计为多少米？(精确到整数位)解析：如图所示，建立平面直角坐标系，设抛物线方程为x 2＝－2py (p >0)，依题意有P (－1，－1)，在此抛物线上，代入得p ＝12，故得抛物线方程为x 2＝－y . 又因为B 点在抛物线上， 将B (x ，－2)代入抛物线方程 得x ＝2，即|AB |＝2，则水池半径应为|AB |＋1＝2＋1，因此所求水池的直径为2(1＋2)，约为5 m ， 即水池的直径至少应设计为5 m.[B 组 能力提升]1．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，P 3(x 3，y 3)在抛物线上，且2x 2＝x 1＋x 3，则有( ) A ．|FP 1|＋|FP 2|＝|FP 3| B ．|FP 1|2＋|FP 2|2＝|FP 3|2 C ．2|FP 2|＝|FP 1|＋|FP 3| D ．|FP 2|2＝|FP 1|·|FP 3|解析：|FP 1|＝x 1＋p 2，|FP 2|＝x 2＋p 2，|FP 3|＝x 3＋p 2，∵2x 2＝x 1＋x 3， ∴2|FP 2|＝|FP 1|＋|FP 3|. 答案：C2．已知抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点O ，并且经过点M (2，y 0)．若点M 到该抛物线焦点的距离为3，则|OM |等于( )A ．2 2B ．2 3C ．4D ．2 5 解析：设抛物线方程为y 2＝2px (p >0)， 则焦点坐标为⎝⎛⎭⎫p 2，0，准线方程为x ＝－p 2， ∵M 在抛物线上，∴M 到焦点的距离等于到准线的距离，即2＋p2＝3，p ＝2，抛物线方程为y 2＝4x ，∵M (2，y 0)在抛物线上，∴y 20＝8，∴|OM |＝22＋y 20＝22＋8＝2 3.答案：B3．已知抛物线y 2＝2px (p >0)上一点M (1，m )(m >0)到其焦点的距离为5，双曲线x 2a－y 2＝1的左顶点为A .若双曲线的一条渐近线与直线AM 平行，则实数a 等于________． 解析：由抛物线定义知1＋p2＝5，∴p ＝8，∴抛物线方程为y 2＝16x ，所以m 2＝16， ∴m ＝4，即M (1,4)，又因为A (－a ，0)，双曲线渐近线方程为y ＝±1a x ，由题意知41＋a ＝1a，∴a ＝19.答案：194．如图，正方形ABCD 和正方形DEFG 的边长分别为a ，b (a ＜b )，原点O 为AD 的中点，抛物线y 2＝2px (p ＞0)经过C ，F 两点，则ba ＝________.解析：∵正方形ABCD 和正方形DEFG 的边长分别为a ，b ，O 为AD 的中点，∴C ⎝⎛⎭⎫a 2，－a ，F ⎝⎛⎭⎫a2＋b ，b . 又∵点C ，F 在抛物线y 2＝2px (p ＞0)上， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝pa ，b 2＝2p ⎝⎛⎭⎫a 2＋b ，解得b a ＝2＋1. 答案：2＋15．已知抛物线y 2＝－x 与直线y ＝k (x ＋1)相交于A ，B 两点． (1)求证：OA ⊥OB ；(2)当△OAB 的面积等于10时，求k 的值．解析：(1)证明：设A (－y 21，y 1)，B (－y 22，y 2)． 则y 1＝k (－y 21＋1)，y 2＝k (－y 22＋1)， 消去k 得y 1(1－y 22)＝y 2(1－y 21)．∴(y 2－y 1)＝y 1y 2(y 1－y 2)， 又y 1≠y 2，∴y 1y 2＝－1，∴OA →·OB →＝y 1y 2＋y 21y 22＝y 1y 2(1＋y 1y 2)＝0， ∴OA ⊥OB .(2)S △OAB ＝12×1×|y 2－y 1|，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝－x ，y ＝k (x ＋1)，得ky 2＋y －k ＝0， ∴S △OAB ＝12×1×|y 2－y 1|＝121k 2＋4＝10， ∴k ＝±16.6．已知抛物线y 2＝2px (p >0)．试问：(1)在抛物线上是否存在点P ，使得点P 到焦点F 的距离与点P 到y 轴的距离相等？ (2)在抛物线上是否存在点P ，使得点P 到x 轴的距离与点P 到准线的距离相等？解析：(1)假设在抛物线上存在点P ，使得点P 到焦点F 的距离与点P 到y 轴的距离相等．那么根据抛物线定义，得点P到准线的距离与点P到y轴的距离相等，这显然是不可能的．所以在抛物线上不存在点P，使得点P到焦点F的距离与点P到y轴的距离相等．(2)假设在抛物线上存在点P，使得点P到x轴的距离与点P到准线的距离相等，则由抛物线定义，得点P到x轴的距离与点P到焦点的距离相等．这样的点是存在的，有两个，即当PF与x轴垂直时，满足条件.。

2．3.1 抛物线及其标准方程填一填1.抛物线的定义平面内与一个定点F 和一条定直线l (l 不过点F )距离相等的点的集合叫作抛物线，点F 叫作抛物线的焦点，直线l 叫作抛物线的准线．2．抛物线的标准方程 (1)方程y 2＝±2px ，x 2＝±2py (p >0)叫作抛物线的标准方程．(2)抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点坐标是⎝⎛⎭⎫p 2，0，准线方程是x ＝－p2，开口方向向右． (3)抛物线y 2＝－2px (p >0)的焦点坐标是⎝⎛⎭⎫－p 2，0，准线方程是x ＝p2，开口方向向左． (4)抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点坐标是⎝⎛⎭⎫0，p 2，准线方程是y ＝－p2，开口方向向上． (5)抛物线x 2＝－2py (p >0)的焦点坐标是⎝⎛⎭⎫0，－p 2，准线方程是y ＝p2，开口方向向下.判一判1.解析：由抛物线标准方程的推导过程可知正确．2．动点P 到点F (2,0)的距离与它到直线x －2＝0的距离相等，则点P 的轨迹方程为抛物线．(×)解析：定点F 在定直线上，动点P 的轨迹是一条直线，故错误．3．抛物线x ＝2y 2的准线方程为y ＝－18.(×)解析：抛物线x ＝2y 2化为标准方程为y 2＝12x ，准线方程为x ＝－18，故错误．4．抛物线y ＝ax 2的焦点坐标是⎝⎛⎭⎫14a ，0.(×) 解析：抛物线的焦点在y 轴上应为⎝⎛⎭⎫0，14a ，故错误． 5．顶点在原点，且过点(－4,4)的抛物线的标准方程是y 2＝－4x .(×)解析：设抛物线方程为y 2＝－2p 1x (p 1>0)或x 2＝2p 2y (p 2>0)，把(－4,4)代入得16＝8p 1或16＝8p 2，即p 1＝2或p 2＝2.抛物线的标准方程为y 2＝－4x 或x 2＝4y .故错误．6．若动圆与圆(x －2)2＋y 2＝1外切，又与直线x ＋1＝0相切，则动圆圆心的轨迹方程是y 2＝4x .(×)解析：设动圆的半径为r ，圆心为O ′(x ，y )，且O ′到点(2,0)的距离为r ＋1，O ′到直线x ＝－1的距离为r ，所以O ′到(2,0)的距离与到直线x ＝－2的距离相等，由抛物线的定义，动圆圆心的轨迹方程为y 2想一想1.在抛物线的定义中，若去掉“l 不过点F ”，点的轨迹还是抛物线么？提示：不一定是抛物线，当直线l 经过点F 时，点的轨迹是过定点F 且垂直于定直线l 的一条直线；l 不经过点F 时，点的轨迹是抛物线．2．抛物线的标准方程中p 的几何意义是什么？ 提示：p 的几何意义是焦点到准线的距离． 3．求抛物线的标准方程的方法有哪些？ 提示：(1)定义法根据抛物线的定义，确定p 的值(系数p 是指焦点到准线的距离)，再结合焦点位置，求出抛物线方程．标准方程有四种形式，要注意选择．(2)待定系数法①根据抛物线焦点是在x 轴上还是在y 轴上，设出相应形式的标准方程，然后根据条件确定关于p 的方程，解出p ，从而写出抛物线的标准方程．②当焦点位置不确定时，有两种方法解决： 法一、分情况讨论，注意要对四种形式的标准方程进行讨论，对于焦点在x 轴上的抛物线，为避免开口方向不确定可分为y 2＝2px (p >0)和y 2＝－2px (p >0)两种情况求解．法二、设成y 2＝mx (m ≠0)，若m >0，开口向右；若m <0，开口向左；若m 有两个解，则抛物线的标准方程有两个．同理，焦点在y 轴上的抛物线可以设成x 2＝my (m ≠0)．如果不确定焦点所在的坐标轴，应考虑上述两种情况设方程．4．四种位置的抛物线的标准方程有什么异同？ 提示：(1)共同点：①原点在抛物线上；②焦点在坐标轴上；③焦点的非零坐标都是一次项系数的14；(2)不同点：①焦点在x 轴上时，x 为一次y 为二次；焦点在y 轴上时，y 为一次x 为二次；即一次项的变量与焦点所在的坐标轴的名称相同．②一次项系数的正负不同，x 为一次项且系数为正(负)开口向x 轴的正(反)方向；y 为一次项且系数为正(负)开口向y 轴的正(反)方向，即一次项系数的符号决定抛物线的开口方向．思考感悟：练一练1．抛物线y 2＝ax (a ≠0)的焦点到其准线的距离是( ) A.|a |4 B.|a |2C ．|a |D ．－a2解析：因为y 2＝ax ，所以p ＝|a |2，即该抛物线的焦点到其准线的距离为|a |2，故选B.答案：B2．已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x 轴，焦点在双曲线x 24－y 22＝1上，则抛物线方程为( )A ．y 2＝8xB ．y 2＝4xC ．y 2＝2xD ．y 2＝±8x解析：由题意知抛物线的焦点为双曲线x 24－y 22＝1的顶点，即为(－2,0)或(2,0)，所以抛物线的方程为y 2＝8x 或y 2＝－8x .答案：D3．抛物线x 2＋12y ＝0的准线方程是________．解析：抛物线x 2＋12y ＝0，即x 2＝－12y ，故其准线方程是y ＝3. 答案：y ＝34．已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x 轴，抛物线上的点M (－3，m )到焦点的距离等于5，求抛物线的方程和m 的值，并写出抛物线的焦点坐标和准线方程．解析：设抛物线方程为y 2＝－2px (p >0)，则焦点F ⎝⎛⎭⎫－p2，0，由题意， 得⎩⎪⎨⎪⎧m 2＝6p ， m 2＋⎝⎛⎭⎫3－p 22＝5， 解得⎩⎨⎧ p ＝4，m ＝26，或⎩⎨⎧p ＝4，m ＝－2 6.故所求的抛物线方程为y 2＝－8x ，m ＝±2 6. 抛物线的焦点坐标为(－2,0)，准线方程为x ＝2.知识点一抛物线的定义1.已知动点M 的坐标满足方程5x 2＋y 2＝|3x ＋4y －12|，则动点M 的轨迹是( )A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．圆解析：方程5x 2＋y 2＝|3x ＋4y －12|可化为x 2＋y 2＝|3x ＋4y －12|5，它表示点M 到坐标原点O 的距离等于它到直线3x ＋4y －12＝0的距离，由抛物线的定义可知，动点M 的轨迹是抛物线．故选C.答案：C2．给出下列命题：①到定点F (－1,0)的距离和定直线x ＝1的距离相等的动点P 的轨迹为抛物线；②到定点F (2,1)的距离和到定直线3x －2y －4＝0的距离相等的动点P 的轨迹为抛物线； ③抛物线的焦点一定在y 轴上． 其中假命题是________(填序号)．解析：由抛物线的定义，知命题①为真命题；因为定点F (2,1)在定直线3x －2y －4＝0上，可知动点P 的轨迹为一条直线，所以命题②为假命题；因为抛物线的焦点可以随建立坐标系的方式不同而不同，因此可以在x 轴上，所以命题③为假命题．答案：②③3．平面上动点P 到定点F (1,0)的距离比点P 到y 轴的距离大1，求动点P 的轨迹方程． 解析：方法一：设点P 的坐标为(x ，y )， 则(x －1)2＋y 2＝|x |＋1.两边平方并化简，得y 2＝2x ＋2|x |，所以y 2＝⎩⎪⎨⎪⎧4x ，x ≥0，0，x <0. 于是动点P 的轨迹方程为y 2＝4x (x ≥0)或y ＝0(x <0)．方法二：由于点F (1,0)到y 轴的距离为1，所以当x <0时，射线y ＝0上的点满足题意；当x ≥0时，已知条件等价于点P 到点F (1,0)的距离与到其直线x ＝－1的距离相等，所以点P 的轨迹是以点F 为焦点，直线x ＝－1为准线的抛物线，方程为y 2＝4x .2知识点二 抛物线的标准方程 4.准线方程为y ＝23的抛物线的标准方程为( )A ．x 2＝83yB ．x 2＝－83yC ．y 2＝－83xD ．y 2＝83x解析：由准线方程为y ＝23，知抛物线焦点在y 轴负半轴上，且p 2＝23，则p ＝43.故所求抛物线的标准方程为x 2＝－83y .答案：B5．已知抛物线y －2 016x 2＝0，则它的焦点坐标是( )A ．(504,0) B.⎝⎛⎭⎫18 064，0C.⎝⎛⎭⎫0，18 064D.⎝⎛⎭⎫0，1504 解析：抛物线的标准方程为x 2＝12 016y ，故其焦点为⎝⎛⎭⎫0，18 064. 答案：C6．抛物线y ＝x 2的焦点坐标为( )A.⎝⎛⎭⎫－14，0B.⎝⎛⎭⎫14，0 C.⎝⎛⎭⎫0，－14 D.⎝⎛⎭⎫0，14 解析：∵抛物线方程为y ＝x 2，∴2p ＝1，∴p ＝12，又∵焦点在y 轴的正半轴，∴焦点坐标为⎝⎛⎭⎫0，14，故选D. 答案：D7．根据下列条件写出抛物线的标准方程： (1)准线方程为y ＝－1；(2)焦点在x 轴的正半轴上，焦点到准线的距离是3.解析：(1)由准线方程为y ＝－1知抛物线焦点在y 轴正半轴上，且p2＝1，则p ＝2.故抛物线的标准方程为x 2＝4y .(2)设焦点在x 轴的正半轴上的抛物线的标准方程为y 2＝2px (p >0)，则焦点坐标为⎝⎛⎭⎫p 2，0，准线为x ＝－p 2， 则焦点到准线的距离是p ＝3，因此所求的抛物线的标准方程是y 2＝6x .基础达标一、选择题1．抛物线y ＝2x 2的焦点坐标是( )A.⎝⎛⎭⎫12，0B.⎝⎛⎭⎫0，12C.⎝⎛⎭⎫18，0D.⎝⎛⎭⎫0，18 解析：转化为标准方程，x 2＝12y ，所以焦点为⎝⎛⎭⎫0，18.故选D. 答案：D2．抛物线y ＝ax 2的准线方程是( )A ．y ＝－a 2B ．y ＝－a4C ．y ＝－12aD ．y ＝－14a解析：首先将方程化为标准方程x 2＝1a y ＝2·12a y .当a >0时，y ＝－14a ；当a <0时，y ＝－14a .所以抛物线y ＝ax 2的准线方程是y ＝－14a.故选D.答案：D3．若抛物线y 2＝2px 的焦点与椭圆x 26＋y 22＝1的右焦点重合，则p 的值为( )A ．－2B ．2C ．－4D ．4解析：椭圆x 26＋y 22＝1的右焦点为(2,0)，所以抛物线y 2＝2px 的焦点为(2,0)，则p ＝4.答案：D4．已知两个正数a ，b 的等差中项是92，一个等比中项是25，且a >b ，则抛物线y 2＝－bax 的焦点坐标为( )A.⎝⎛⎭⎫－516，0B.⎝⎛⎭⎫－15，0 C.⎝⎛⎭⎫15，0 D.⎝⎛⎭⎫－25，0 解析：依题意，⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝9，ab ＝20，a >b 解得a ＝5，b ＝4，∴抛物线方程为y 2＝－45x ，p ＝25，∴其焦点的坐标为⎝⎛⎭⎫－15，0，故选B. 答案：B5．点M ⎝⎛⎭⎫x 0，32是抛物线x 2＝2py (p ＞0)上一点，若点M 到该抛物线的焦点的距离为2，则点M 到坐标原点的距离为( ) A.312B.31C.21D.212解析：抛物线x 2＝2py (p >0)的准线方程是y ＝－p2，因为点M 到该抛物线的焦点的距离为2，所以32＋p2＝2，解得：p ＝1，所以该抛物线的方程是x 2＝2y ，因为点M ⎝⎛⎭⎫x 0，32是抛物线x 2＝2y上的一点，所以x 20＝2×32＝3，所以点M 到坐标原点的距离是x 20＋⎝⎛⎭⎫322＝3＋94＝212，故选D.答案：D6．抛物线y 2＝2px (p >0)上的点M (4，m )到焦点的距离为5，则m 的值为( ) A ．2 B ．3C ．4D ．4或－4解析：抛物线y 2＝2px 的准线方程为x ＝－p2，由抛物线的定义有⎪⎪⎪⎪4＋p 2＝5，p ＝2(负值舍去)，此时y 2＝4x ，将点M (4，m )代入抛物线方程中，求出m ＝±4.答案：D7．已知P 为抛物线y 2＝4x 上一动点，记点P 到y 轴的距离为d ，对于定点A (4,5)，则|P A |＋d 的最小值为( )A ．4 B.74C.17－1D.34－1解析：抛物线y 2＝4x的焦点为F (1,0)，准线l ：x ＝－1.如图所示，过点P 作PN ⊥l 交y 轴于点M ，垂足为N ，则|PF |＝|PN |.∴d ＝|PF |－1，∴|P A |＋d ≥|AF |－1＝(4－1)2＋52－1＝34－1，故选D. 答案：D 二、填空题8．抛物线y 2＝2px (p >0)上的动点Q 到焦点的距离的最小值为1，则p ＝________.解析：因为抛物线上动点到焦点的距离为动点到准线的距离，因此抛物线上动点到焦点的最短距离为顶点到准线的距离，即p2＝1，p ＝2.答案：29．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的准线与圆(x －3)2＋y 2＝16相切，则p 的值为________．解析：抛物线的准线为x ＝－p 2，与圆相切，则3＋p2＝4，p ＝2.答案：210．如图是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面2米，水面宽4米．水位下降1米后，水面宽________米．解析：以抛物线的顶点为原点，对称轴为y 轴建立直角坐标系，设抛物线的方程为x 2＝－2py ，则点(2，－2)在抛物线上，代入可得p ＝1，所以x 2＝－2y .当y ＝－3时，x 2＝6，所以水面宽为26米．答案：2 611．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，其准线与双曲线y 2－x 23＝1相交于A ，B 两点，若△ABF 为等边三角形，则p ＝________.解析：如图，可得A ⎝⎛⎭⎫－p 2，p 3代入双曲线y 2－x 23＝1可得p 23－p 23×4＝1，解得p ＝2.答案：212．已知抛物线y ＝ax 2(a >0)的准线为l ，若l 与圆C (x －3)2＋y 2＝1相交所得弦长为3，则a ＝________.解析：抛物线y ＝ax 2(a ＞0)的准线l ：y ＝－14a ，∴圆心(3,0)到其距离为d ＝1－34＝12，∴14a ＝12，∴a ＝12. 答案：12三、解答题13．求满足下列条件的抛物线的标准方程： (1)经过点(－2，－4)，且以坐标轴为对称轴； (2)焦点为直线2x －3y －6＝0与坐标轴的交点； (3)顶点在坐标原点，准线方程为y ＝－5.解析：(1)因为点(－2，－4)在第三象限，所以可设抛物线的标准方程为y 2＝－2px 或x 2＝－2py (p >0)若点(－2，－4)在x 2＝－2py (p >0)上，则(－2)2＝－2p ×(－4)，解得p ＝12若点(－2，－4)在y 2＝－2px (p >0)上，则(－4)2＝－2p ×(－2)，解得p ＝4.故所求抛物线的标准方程为y 2＝－8x 或x 2＝－y .(2)直线2x －3y －6＝0与x 轴的交点坐标为(3,0)，与y 轴的交点坐标为(0，－2)，当焦点坐标为(3,0)时，p2＝3即p ＝6，抛物线的方程是y 2＝12x ；当焦点坐标为(0，－2)时，p2＝2即p ＝4，抛物线的方程是x 2＝－8y .抛物线的标准方程为y 2＝12x 或x 2＝－8y .(3)因为准线方程为y ＝－5，所以可设抛物线的标准方程为x 2＝2py (p >0)，且p2＝5，p ＝10，故所求抛物线的标准方程为x 2＝20y .14．如图所示，一辆卡车高3 m ，宽1.6 m ，欲通过断面为抛物线形的隧道，已知拱口宽AB 恰好是拱高CD 的4倍，若拱口宽为a m ，求能使卡车通过的a 的最小整数值．解析：以拱顶为原点，拱高所在直线为y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系．则点B 的坐标为⎝⎛⎭⎫a 2，－a 4. 设抛物线方程为x 2＝－2py (p >0)， 因为点B 在抛物线上，所以⎝⎛⎭⎫a 22＝－2p ·⎝⎛⎭⎫－a 4， 解得p ＝a2，所以抛物线方程为x 2＝－ay .将点E (0.8，y )代入抛物线方程，得y ＝－0.64a.所以点E 到拱底AB 的距离为a 4－|y |＝a 4－0.64a>3.解得a >12.21.因为a能力提升15.已知抛物线x 2＝12y 的焦点为F ，M ，N 是抛物线上两点，若|MF |＋|NF |＝32，求线段MN的中点P 到x 轴的距离．解析：如图，抛物线x 2＝12y 的焦点为⎝⎛⎭⎫0，18，准线为y ＝－18，过M ，N 分别作准线的垂线，则|MM ′|＝|MF |，|NN ′|＝|NF |，所以|MM ′|＋|NN ′|＝|MF |＋|NF |＝32，所以中位线|PP ′|＝|MM ′|＋|NN ′|2＝34，所以中点P 到x 轴的距离为|PP ′|－18＝34－18＝58.16．设抛物线y 2＝mx的准线与直线x ＝1的距离为3，求抛物线的方程．解析：当m >0时，准线方程为x ＝－m4，由条件知1－⎝⎛⎭⎫－m4＝3，所以m ＝8. 此时抛物线方程为y 2＝8x ；当m <0时，准线方程为x ＝－m4，由条件知－m4－1＝3，所以m ＝－16，此时抛物线方程为y 2＝－16x . 所以所求抛物线方程为y 2＝8x 或y 2＝－16x .。

能力拓展提升一、选择题11．若动点M(x，y)到点F(4,0)的距离比它到直线x＋5＝0的距离小1，则点M的轨迹方程是()A．x＋4＝0 B．x－4＝0C．y2＝8x D．y2＝16x[答案] D[解析]依题意可知M点到点F的距离等于M点到直线x＝－4的距离，因此其轨迹是抛物线，且p＝8，顶点在原点，焦点在x轴正半轴上，∴其方程为y2＝16x，故答案是D.12．(2013·四川文，5)抛物线y2＝8x的焦点到直线x－3y＝0的距离是()A．2 3 B．2C. 3 D．1[答案] D[解析]本题考查了抛物线y2＝2px的焦点坐标及点到直线的距离公式．由y2＝8x可得其焦点坐标(2,0)，根据点到直线的距离公式可得d＝|2－3×0|12＋(3)2＝1.13．设抛物线的顶点在原点，准线方程为x＝－2，则抛物线的方程是()A．y2＝－8x B．y2＝－4xC ．y 2＝8xD ．y 2＝4x[答案] C[解析] 由抛物线准线方程为x ＝－2知p ＝4，且开口向右，∴抛物线方程为y 2＝8x .故选C.14．抛物线的顶点在坐标原点，焦点是椭圆4x 2＋y 2＝1的一个焦点，则此抛物线的焦点到准线的距离为( )A ．2 3 B. 3 C.32 D.34[答案] B[解析] ∵椭圆x 214＋y 2＝1的焦点坐标为(0，±32)，由条件知，p 2＝32，∴p ＝ 3. 二、填空题15．点M (5,3)到抛物线x 2＝ay (a >0)的准线的距离为6，则抛物线的方程是________．[答案] x 2＝12y[解析] 抛物线x 2＝ay 的准线方程为y ＝－a4， 由题意得3－(－a4)＝6，∴a ＝12，∴x 2＝12y .16．已知圆x 2＋y 2＋6x ＋8＝0与抛物线y 2＝2px (p >0)的准线相切，则p ＝________.[答案] 4或8[解析] 抛物线的准线方程为：x ＝－p2，圆心坐标为(－3,0)，半径为1，由题意知3－p 2＝1或p2－3＝1，∴p ＝4或p ＝8. 三、解答题17．已知抛物线的焦点在x 轴上，抛物线上的点M (－3，m )到焦点的距离是5.求抛物线方程和m 的值．[解析] 解法一：∵抛物线焦点在x 轴上，且过点M (－3，m )， ∴设抛物线方程为y 2＝－2px (p >0)， 则焦点坐标F (－p2，0)， 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧m 2＝6p m 2＋(3－p 2)2＝5，解得⎩⎨⎧p ＝4m ＝26，或⎩⎨⎧p ＝4m ＝－26.∴所求抛物线方程为y 2＝－8x ，m ＝±2 6. 解法二：设抛物线方程为y 2＝－2px (p >0)， 则焦点坐标F (－p 2，0)，准线方程x ＝p 2. 由抛物线定义知，点M 到焦点的距离等于5， 即点M 到准线的距离等于5，则3＋p2＝5，∴p ＝4，∴抛物线方程为y 2＝－8x . 又点M (－3，m )在抛物线上， ∴m 2＝24，∴m ＝±26，∴所求抛物线方程为y 2＝－8x ，m ＝±2 6.18．一辆卡车高3m ，宽1.6m ，欲通过断面为抛物线型的隧道，已知拱口宽恰好是拱高的4倍，若拱口宽为a m ，求使卡车通过的a 的最小整数值．[解析]以隧道顶点为原点，拱高所在直线为y 轴建立直角坐标系，则B 点的坐标为(a 2，－a4)，如图所示，设隧道所在抛物线方程为x 2＝my ，则(a 2)2＝m ·(－a 4)，∴m ＝－a ，即抛物线方程为x 2＝－ay . 将(0.8，y )代入抛物线方程，得0.82＝－ay ， 即y ＝－0.82a .欲使卡车通过隧道，应有y－(－a4)>3，即a4－0.82a>3，由于a>0，得上述不等式的解为a>12.21，∴a应取13.。