【精品】高中数学选修1-1_抛物线及其标准方程 讲义+巩固练习_提高

第二章 圆锥曲线与方程2.3 抛物线2.3.1 抛物线及其标准方程A 级 基础巩固一、选择题1．准线方程为y ＝23的抛物线的标准方程为( ) A ．x 2＝83y B ．x 2＝－83y C ．y 2＝－83xD ．y 2＝83x解析：由准线方程为y ＝23，知抛物线焦点在y 轴负半轴上，且p 2＝23，则p ＝43.故所求抛物线的标准方程为x 2＝－83y .答案：B2．已知抛物线y －2 016x 2＝0，则它的焦点坐标是( ) A ．(504，0) B.⎝⎛⎭⎪⎫18 064，0 C.⎝⎛⎭⎪⎫0，18 064 D.⎝⎛⎭⎪⎫0，1504 解析：抛物线的标准方程为x 2＝12 016y ，故其焦点为(0，18 064)． 答案：C3．抛物线y ＝12x 2上的点到焦点的距离的最小值为( ) A ．3 B ．6 C.148 D.124解析：将方程化为标准形式是x 2＝112y ，因为2p ＝112，所以p ＝124.故到焦点的距离最小值为148. 答案：C4．一动圆的圆心在抛物线y 2＝8x 上，且动圆恒与直线x ＋2＝0相切，则动圆过定点( ) A ．(4，0) B ．(2，0) C ．(0，2)D ．(0，4)解析：由题意易知直线x ＋2＝0为抛物线y 2＝8x 的准线，由抛物线的定义知动圆一定过抛物线的焦点． 答案：B5．抛物线y 2＝2px (p >0)上有A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)三点，F 是焦点，|AF |，|BF |，|CF |成等差数列，则( )A ．x 1，x 2，x 3成等差数列B ．x 1，x 3，x 2成等差数列C ．y 1，y 2，y 3成等差数列D ．y 1，y 3，y 2成等差数列解析：由抛物线的定义知|AF |＝x 1＋p2，|BF |＝x 2＋p 2， |CF |＝x 3＋p 2.因为|AF |，|BF |，|CF |成等差数列，所以2⎝⎛⎭⎪⎫x2＋p 2＝⎝⎛⎭⎪⎫x1＋p 2＋⎝⎛⎭⎪⎫x3＋p 2，即2x 2＝x 1＋x 3.故x 1，x 2，x 3成等差数列．故选A.答案：A 二、填空题6．抛物线y 2＝2x 上的两点A ，B 到焦点的距离之和是5，则线段AB 中点的横坐标是________． 解析：由抛物线的定义知点A ，B 到准线的距离之和是5，则AB 的中点到准线的距离为52，故AB 中点的横坐标为x ＝52－12＝2.答案：27．抛物线过原点，焦点在y 轴上，其上一点P (m ，1)到焦点的距离为5，则抛物线的标准方程是________． 解析：由题意，知抛物线开口向上，且1＋p 2＝5，所以p ＝8，即抛物线的标准方程是x 2＝16y . 答案：x 2＝16y8．焦点为F 的抛物线y 2＝2px (p ＞0)上一点M 在准线上的射影为N ，若|MN |＝p ，则|FN |＝________． 解析：由条件知|MF |＝|MN |＝p ，MF ⊥MN ，在△MNF 中，∠FMN ＝90°，得|FN |＝2p . 答案：2p 三、解答题9．求满足下列条件的抛物线的标准方程．(1)焦点在坐标轴上，顶点在原点，且过点(－3，2)；(2)顶点在原点，以坐标轴为对称轴，焦点在直线x －2y －4＝0上．解：(1)当焦点在x 轴上时，设抛物线的标准方程为y 2＝－2px (p >0)．把(－3，2)代入，得22＝－2p ×(－3)，解得p ＝23.所以所求抛物线的标准方程为y 2＝－43x .当焦点在y 轴上时，设抛物线的标准方程为x 2＝2py (p >0)． 把(－3，2)代入，得(－3)2＝4p ，解得p ＝94.所以所求抛物线的标准方程为x2＝92 y.(2)直线x－2y－4＝0与x轴的交点为(4，0)，与y轴的交点为(0，－2)，故抛物线的焦点为(4，0)或(0，－2)．当焦点为(4，0)时，设抛物线方程为y2＝2px(p>0)，则p2＝4，所以p＝8.所以抛物线方程为y2＝16x.当焦点为(0，－2)时，设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，则－p2＝－2，所以p＝4.所以抛物线方程为x2＝－8y.10．已知动圆M与直线y＝2相切，且与定圆C：x2＋(y＋3)2＝1外切，求动圆圆心M的轨迹方程．解：设动圆圆心为M(x，y)，半径为r，则由题意可得M到C(0，－3)的距离与到直线y＝3的距离相等，则动圆圆心的轨迹是以C(0，－3)为焦点，y＝3为准线的一条抛物线，其方程为x2＝－12y.B级能力提升1．点M(5，3)到抛物线y＝ax2的准线的距离为6，那么抛物线的方程是( )A．y＝12x2B．y＝12x2或y＝－36x2C．y＝－36x2D．y＝112x2或y＝－136x2解析：当a＞0时，抛物线开口向上，准线方程为y＝－14a，则点M到准线的距离为3＋14a＝6，解得a＝112，抛物线方程为y＝112x2.当a＜0时，开口向下，准线方程为y＝－14a，点M到准线的距离为⎪⎪⎪⎪⎪⎪3＋14a＝6，解得a＝－136，抛物线方程为y＝－136x2.答案：D2．已知直线l1：4x－3y＋6＝0和直线l2：x＝－1，抛物线y2＝4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值为________．解析：由已知得抛物线的焦点为F(1，0)，由抛物线的定义知：动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值即为焦点F(1，0)到直线l1：4x－3y＋6＝0的距离，由点到直线的距离公式得：d＝|4－0＋6|42＋（－3）2＝2，所以动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是2.答案：23．抛物线y2＝2px(p＞0)且一个内接直角三角形，直角顶点是原点，一条直角边所在直线方程为y＝2x，斜边长为513，求此抛物线方程．解：设抛物线y2＝2px(p＞0)的内接直角三角形为AOB，直角边OA所在直线方程为y＝2x，另一直角边所在直线方程为y ＝－12x .解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ，y2＝2px ，可得点A 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，p ；解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－12x ，y2＝2px ，可得点B 的坐标为(8p ，－4p )．因为|OA |2＋|OB |2＝|AB |2，且|AB |＝513，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫p24＋p2＋(64p 2＋16p 2)＝325.所以p ＝2，所以所求的抛物线方程为y 2＝4x .。

人教新课标版（A ）高二选修1-1 2.3.2 抛物线及其标准方程（二）同步练习题【基础演练】题型一：抛物线的基本运算 因为抛物线中的基本量之间存在着内在联系，所以从方程的角度来讲，可以已知一部分求另一部分，请根据以上知识解决以下1~4题。

1. 对抛物线ay 4x 2=（0a ≠），下列说法中正确的是A. 若0a >，焦点为（0，a ），若0a <，焦点为（0，-a ）B. 若0a >，焦点为⎪⎭⎫ ⎝⎛2a ,0；若0a <，焦点为⎪⎭⎫ ⎝⎛-2a ,0C. 不论0a >，还是0a <，焦点都是（0，a ）D. 不论a 0>，还是0a <，焦点都是⎪⎭⎫⎝⎛2a ,02. 已知椭圆14y 5x 22=+的中心为A ，右准线为l ，那么A 为顶点，l 为准线的抛物线方程为A. x 20y 2-=B. x 20y 2=C. x 10y 2-=D. x 10y 2=3. 已知P （8，a ）在抛物线px 4y 2=上，且P 到焦点的距离为10，则焦点到准线的距离为 A. 2 B. 4 C. 8 D. 164. 对于顶点在原点的抛物线，给出下列条件： ①焦点在y 轴上；②焦点在x 轴上；③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6；④抛物线的通径的长为5；⑤由原点向过焦点的某条直线作垂线，垂足坐标为（2，1），能使此抛物线方程为x 10y 2=的条件是___________。

（要求填写合适条件的序号）。

题型二：求抛物线的方程 求抛物线方程的常用方法有：待定系数法、直译法、定义法、相关点法、几何法等，请根据以上知识解决以下5~7题。

5. 如图2-3-1所示，在正方体1111D C B A ABCD -中，P 是侧面C C BB 11内一动点，若P 到直线BC 与直线11D C 的距离相等，则动点P 的轨迹所在的曲线是A. 直线B. 圆C. 双曲线D. 抛物线6. 已知点A （-2，0）、B （3，0），动点P （x ，y ）满足2x PB PA =⋅，则点P 的轨迹是 A. 圆 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 抛物线7. 已知抛物线C 的顶点在坐标原点，对称轴为x 轴，直线AB 交抛物线C 于A 、B 两点，交x 轴的正半轴于点M （m ，0），A 、B 到x 轴的距离之积为2m ，求抛物线C 的方程。

第1讲命题及其关系、充分条件与必要条件1.了解“p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系.2.理解必要条件、充分条件与充要条件的意义.1.命题的概念在数学中用语言、符号或式子表达的，可以的陈述句叫做命题.其中的语句叫真命题，的语句叫假命题.2.四种命题及其关系(1)四种命题(2)四种命题间的关系(3)四种命题的真假关系①两个命题互为逆否命题，它们有的真假性；②两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性[思考探究]一个命题的“否命题”与“否定”是同一个命题吗？提示：不是.命题的否命题既否定命题的条件又否定命题的结论，而命题的否定仅是否定命题的结论.3.充分条件与必要条件(1)如果p⇒q，则p是q的，q是p的；(2)如果p⇒q，q⇒p，则p是q的.1.命题真假的判定对于命题真假的判定，关键是分清命题的条件与结论，只有将条件与结论分清，再结合所涉及的知识才能正确地判断命题的真假.2.四种命题的关系的应用掌握原命题和逆否命题，否命题和逆命题的等价性，当一个命题直接判断它的真假不易进行时，可以转而判断其逆否命题的真假.[特别警示]当一个命题有大前提而写出其他三种命题时，必须保留大前提，大前提不动.※ 分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题、命题的否定，并判断它们的真假： (1)若q ≤1，则方程x 2＋2x ＋q ＝0有实根；(2)若x 、y 都是奇数，则x ＋y 是偶数；(3)若xy ＝0，则x ＝0或y ＝0；(4)若x 2＋y 2＝0，则x 、y 全为0.1.利用定义判断(1)若p ⇒q ，则p 是q 的充分条件； (2)若q ⇒p ，则p 是q 的必要条件；(3)若p ⇒q 且q ⇒p ，则p 是q 的充要条件；(4)若p ⇒q 且q p ，则p 是q 的充分不必要条件； (5)若p q 且q ⇒p ，则p 是q 的必要不充分条件；(6)若p q 且q p ，则p 是q 的既不充分也不必要条件. 2.利用集合判断记条件p 、q 对应的集合分别为A 、B ，则： 若A ⊆B ，则p 是q 的充分条件； 若A B ，则p 是q 的充分不必要条件； 若A ⊇B ，则p 是q 的必要条件； 若A B ，则p 是q 的必要不充分条件； 若A ＝B ，则p 是q 的充要条件；若A ⊈ B ，且A ⊉ B ，则p 是q 的既不充分也不必要条件.[特别警示] 从集合的角度理解，小范围可以推出大范围，大范围不能推出小范围. ※ 指出下列各组命题中，p 是q 的什么条件？(1) p ：a ＋b ＝2，q ：直线x ＋y ＝0与圆(x －a )2＋(y －b )2＝2相切； (2) p ：|x |＝x ，q ：x 2＋x ≥0；(3) 设l ，m 均为直线，α为平面，其中l ⊄α，m ⊂α，p ：l ∥α，q ：l ∥m ； (4) 设α∈)2,2(ππ-，β∈)2,2(ππ-，p ：α＜β，q ：tan α＜tan β.1.条件已知证明结论成立是充分性.结论已知推出条件成立是必要性；2.证明分为两个环节，一是充分性；二是必要性.证明时，不要认为它是推理过程的“双向书写”，而应该进行由条件到结论，由结论到条件的两次证明；3.证明时易出现必要性与充分性混淆的情形，这就要分清哪是条件，哪是结论.※求证：关于x的方程x2 ＋mx ＋1＝0有两个负实根的充要条件是m≥2.若关于x的方程x2 ＋mx ＋1＝0有两个正实根，求m的取值范围？第2讲简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词1.简单的逻辑联结词：了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义.2.全称量词与存在量词(1)理解全称量词与存在量词的意义(2)能正确地对含有一个量词的命题进行否定.1.命题p∧p2.全称量词3.1.判断含有逻辑联结词的命题真假的关键是对逻辑联结词“或”、“且”、“非”含义的理解. 数学中的逻辑联结词“或”与日常生活中的“或”意义不同，日常生活中的“或”带有不能同时具备之意.数学中的逻辑联结词“且”与日常生活中的“且”意义基本一致，表示而且的意思. 数学中的逻辑联结词“非”与日常生活中的“非”意义基本一致，表示否定的意思.2.解决该类问题基本步骤为：(1)弄清构成它的命题p 、q 的真假； (2)弄清它的结构形式；(3)根据真值表判断构成新命题的真假.※ 已知命题p ：∃x ∈R ，使tan x ＝1，命题q ：x 2－3x ＋2＜0的解集是{x |1＜x ＜2}，下列结论： ①命题“p ∧q ”是真命题； ②命题“p ∧q ”是假命题； ③命题“p ∨q ”是真命题； ④命题“p ∨q ”是假命题. 其中正确的是 ( )A. ②③B. ①②④C. ①③④D. ①②③④1.要判断一个全称命题是真命题，必须对限定的集合M 中的每一个元素x ，验证p (x )成立.2.要判断一个全称命题是假命题，只要能举出集合M 中的一个x ＝x 0，使p (x 0)不成立即可.3.要判断一个特称命题是真命题，只要在限定的集合M 中，至少能找到一个x ＝x 0，使p (x 0)成立即可，否则这一特称命题就是假命题.※ 判断下列命题是否是全称命题或特称命题，若是，用符号表示，并判断其真假. (1)有一个实数α，sin 2α＋cos 2α≠1；(2)任何一条直线都存在斜率；(3)所有的实数a ，b ，方程ax ＋b ＝0有唯一解； (4)存在实数x ，使得2112=+-x x 。

高二数学选修1－1 第二章 第2节 抛物线北师大版（文）【本讲教育信息】一、教学内容选修1—1 抛物线的标准方程及其几何性质二、教学目标1、掌握抛物线定义、抛物线的标准方程四种形式及其几何性质并能熟练地应用定义、几何性质解决抛物线问题。

2、方程的数学思想、函数的数学思想、等价转化的数学思想、数与形结合的思想及待定系数法、定义法等数学思想方法的应用。

三、知识要点分析1、抛物线定义：平面内与一个定点F 和一条定直线L （L 不过F 点）的距离相等的点的集合叫抛物线。

定点F 叫做抛物线的焦点，定直线L 叫做抛物线的准线。

2、抛物线的标准方程形式：px y 22=（p>0）px y 22-=，（p>0）py x 22=，（p>0）py x 22-=（p>0）P ：称为焦准距（焦点到准线的距离）3、抛物线的几何性质：对称性，X 围，顶点，离心率，（以px y 22=为例） 4、抛物线的通径：过抛物线焦点F 且垂直于对称轴的直线，与抛物线相交于P 1、P 2两点，则两交点)P P (21之间的距离就是抛物线的通径，长度是2p 。

5、有关的重要结论：设过抛物线px y 22=的焦点的直线的倾斜角是θ，与抛物线交于A （),(),,2211y x B y x 。

则有下列结论（1）|AB|=p x x ++21，|AB|=θ2sin p2，（显然当︒=θ90时，|AB|最小。

最小值是2p ，此时|AB|是抛物线的通径。

）（2）=21x x 2212,4p y y p-=（3）θsin 22p S AOB =∆（4）pBF AF 2||1||1=+（定值） （5）以|AB|为直径的圆与准线相切。

【典型例题】考点一：考查求抛物线的标准方程例1：求以原点为顶点，坐标轴为对称轴，并且经过P （－2，－4）的抛物线的标准方程及其对应的准线、焦点坐标。

【思路分析】因顶点在原点，对称轴是坐标轴，且过点P （－2，－4），故可设抛物线方程是)0(,22>-=p py x 或设)0(,22>-=p px y解：由已知设抛物线的标准方程是)0(,22>-=p py x 或)0(,22>-=p px y 把P （－2，－4）代入py x 22-=或px y 22-=得21=p 或p=4 故所求的抛物线的标准方程是x y y x 822-=-=或当抛物线方程是y x -=2时，焦点坐标是F （)41,0-，准线方程是41=y 当抛物线方程是x y 82-=时，焦点坐标是F （－2，0），准线方程是x=2 【说明】对顶点在原点，对称轴为坐标轴的抛物线方程可设为)0a (,ay x ax y 22≠==或例2：设过P （－2，4），倾斜角为π43的直线L 与抛物线C 交于A ，B 两点，抛物线C 的顶点在原点，以x 轴为对称轴，若|PA|，|AB|，|PB|成等比数列，求抛物线C 的标准方程。

§2.3.1 拋物線及其標準方程【學情分析】：學生已經學習過橢圓和雙曲線，掌握了橢圓和雙曲線的定義。

經歷了根據橢圓和雙曲線的幾何特徵，建立適當的直角坐標系，求橢圓和雙曲線標準方程的過程。

【教學目標】：（1）知識與技能：掌握拋物線定義和拋物線標準方程的概念；能根據拋物線標準方程求焦距和焦點，初步掌握求拋物線標準方程的方法。

（2）過程與方法：在進一步培養學生類比、數形結合、分類討論和化歸的數學思想方法的過程中，提高學生學習能力。

（3）情感、態度與價值觀：培養學生科學探索精神、審美觀和理論聯繫實際思想。

【教學重點】：拋物線的定義和拋物線的標準方程。

【教學難點】：（1）拋物線標準方程的推導；（2）利用拋物線的定義及其標準方程的知識解決實際問題。

【課前準備】：Powerpoint或投影片【教學過程設計】：教學環節教學活動設計意圖一、復習引入拋物線的定義 1. 橢圓的定義：平面內與兩定點F1、F2的距離的和等於常數2a（122F F a<）的點的軌跡. 2．雙曲線的定義：平面內與兩定點F1、F2的距離的差的絕對值等於常數2a（122F F a>）的點的軌跡.3．思考：與一個定點的距離和一條定直線的距離的比是常數e的點的軌跡，當0＜e＜1時是橢圓，當e>1 時是雙曲線．那麼，當e＝1時它是什麼曲線呢？拋物線的定義：平面內與一個定點和一條定直線l的距離相等的點的軌跡。

點F叫做拋物線的焦點，直線l叫做拋物線的准線．學生已經學過橢圓和雙曲線是如何形成的。

通過類似的方法，讓學生瞭解拋物線的形成，從而理解並掌握拋物線的定義。

二、建立拋物線的標準方程如圖，建立直角坐標系xOy，使x軸經過點F且垂直於直線l，垂足為K，並使原點與線段KF的中點重合．設(0)KF p p=>,則焦點F的座標為（2p，0），准線的方程為2px=-．設點M(x，y)是拋物線上任意一點，點M到l的距離為d．由拋物線的定義，拋物線就是點的集合{}P M MF d==．∵MF=222px y⎛⎫-+⎪⎝⎭；d=2px+．∴2222p px y x⎛⎫-++⎪⎝⎭＝．化簡得：22(0)y px p=>．注：22(0)y px p=>叫做拋物線的標準方程．它表示的拋物線的焦點在x軸的正半軸，座標是2p⎛⎫⎪⎝⎭，，准線方程是2px=-．探究：拋物線的標準方程有哪些不同的形式？請探究之後填寫下表。

2.3 抛物线2.3.1 抛物线及其标准方程1．抛物线的定义思考1：平面内到一定点距离与到一定直线距离相等的点的轨迹是抛物线吗？ [提示] 不一定．当直线l 经过点F 时，点的轨迹是过定点F 且垂直于定直线l 的一条直线；l 不经过点F 时，点的轨迹是抛物线．2．抛物线的标准方程思考2：抛物线的标准方程y 2＝2px (p >0)中p 的几何意义是什么？ [提示] 焦点到准线的距离．思考3：已知抛物线的标准方程，怎样确定抛物线的焦点位置和开口方向？ [提示] 一次项变量为x (或y )，则焦点在x 轴(或y 轴)上；若系数为正，则焦点在正半轴上；系数为负，则焦点在负半轴上．焦点确定，开口方向也随之确定．1．抛物线y ＝ax 2的准线方程是y ＝2，则实数a 的值为( ) A ．18 B ．－18 C ．8D ．－8B [由y ＝ax 2，得x 2＝1a y ，14a ＝－2，a ＝－18.] 2．抛物线y 2＝4x 的焦点坐标是( ) A ．(0,2) B ．(0,1) C ．(2,0)D ．(1,0)D [∵y 2＝4x ，∴焦点F (1,0)．]3．已知抛物线的顶点是原点，对称轴为坐标轴，并且经过点P (－2，－4)，则该抛物线的标准方程为________．y 2＝－8x 或x 2＝－y [设抛物线方程为y 2＝2px (p ≠0)，或x 2＝2py (p ≠0)．将P(－2，－4)代入，分别得方程为y2＝－8x或x2＝－y.](1)准线方程为2y＋4＝0；(2)过点(3，－4)；(3)焦点在直线x＋3y＋15＝0上．[思路探究]确定抛物线的类型→设出标准方程→确定参数→写出方程[解](1)准线方程为2y＋4＝0，即y＝－2，故抛物线焦点在y轴的正半轴上，设其方程为x2＝2py(p>0)，又p2＝2，所以2p＝8，故抛物线方程为x2＝8y.(2)∵点(3，－4)在第四象限，∴设抛物线的标准方程为y2＝2px(p＞0)或x2＝－2p1y(p1＞0)．把点(3，－4)的坐标分别代入y2＝2px和x2＝－2p1y，得(－4)2＝2p·3,32＝－2p1·(－4)，即2p＝163，2p1＝94.∴所求抛物线的标准方程为y2＝163x或x2＝－94y.(3)令x＝0得y＝－5；令y＝0得x＝－15.∴抛物线的焦点为(0，－5)或(－15,0)．∴所求抛物线的标准方程为x2＝－20y或y2＝－60x.求抛物线方程的主要方法是待定系数法，若已知抛物线的焦点位置，则可设出抛物线的标准方程，求出p 值即可，若抛物线的焦点位置不确定，则要分情况讨论，另外，焦点在x 轴上的抛物线方程可统一设成y 2＝ax (a ≠0)，焦点在y 轴上的抛物线方程可统一设成x 2＝ay (a ≠0).1．根据下列条件分别求抛物线的标准方程． (1)抛物线的焦点是双曲线16x 2－9y 2＝144的左顶点；(2)抛物线的焦点F 在x 轴上，直线y ＝－3与抛物线交于点A ，|AF |＝5. [解] (1)双曲线方程可化为x 29－y 216＝1，左顶点为(－3,0)， 由题意设抛物线方程为y 2＝－2px (p >0)且－p2＝－3，∴p ＝6，∴抛物线的方程为y 2＝－12x .(2)设所求焦点在x 轴上的抛物线的方程为y 2＝2px (p ≠0)，A (m ，－3)， 由抛物线定义得5＝|AF |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪m ＋p 2. 又(－3)2＝2pm ，∴p ＝±1或p ＝±9， 故所求抛物线方程为y 2＝±2x 或y 2＝±18x .1．抛物线定义的实质可归结为“一动三定”，这句话的含义是什么？ [提示] 抛物线定义的实质可归结为“一动三定”，一个动点，设为M ；一个定点F ，即抛物线的焦点；一条定直线l ，即为抛物线的准线；一个定值，即点M 与点F 的距离和M 到l 的距离之比等于1.定点F 不能在直线上，否则，动点M 的轨迹就不是抛物线.2．如何通过抛物线定义实现距离转化？[提示] 根据抛物线的定义，抛物线上任意一点到焦点的距离等于它到准线的距离，因此，由抛物线定义可以实现点点距与点线距的相互转化，从而简化某些问题．【例2】 若位于y 轴右侧的动点M 到F ()12，0的距离比它到y 轴的距离大12.求点M 的轨迹方程．[思路探究] 把|MF |比M 到y 轴的距离大12，转化为|MF |与点M 到x ＝－12的距离相等，从而利用抛物线定义求解．[解] 由于位于y 轴右侧的动点M 到F ()12，0的距离比它到y 轴的距离大12，所以动点M 到F ()12，0的距离与它到直线l ：x ＝－12的距离相等． 由抛物线的定义知动点M 的轨迹是以F 为焦点，l 为准线的抛物线，其方程应为y 2＝2px (p >0)的形式，而p 2＝12， 所以p ＝1,2p ＝2，故点M 的轨迹方程为y 2＝2x (x ≠0)．1．(变换条件、改变问法)若本例中的点M 所在轨迹上有一点N 到点F 的距离为2，求点N 的坐标．[解] 设点N 的坐标为(x 0，y 0)，则|NF |＝2，即()x 0－122＋y 20＝4 ①，又由例题的解析知点M 的轨迹方程为y 2＝2x (x ≠0)，故y 20＝2x 0 ②，由①②可得⎩⎨⎧x 0＝32，y 0＝3，或⎩⎨⎧x 0＝32，y 0＝－3，故点N 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，3或⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－3.2．(变换条件、改变问法)若本例中增加一点A (3,2)，其他条件不变，求|MA |＋|MF |的最小值，并求出点M 的坐标．[解] 如图，由于点M 在抛物线上，所以|MF |等于点M 到其准线l 的距离|MN |，于是|MA |＋|MF |＝|MA |＋|MN |，所以当A ，M ，N 三点共线时，|MA |＋|MN |取最小值，亦即|MA |＋|MF |取最小值，最小值为3＋12＝72.这时点M 的纵坐标为2，可设M (x 0,2)， 代入抛物线方程得x 0＝2，即M (2,2)．利用抛物线的定义可实现抛物线上的点到焦点和到准线距离的相互转化.解此类最值、定值问题时，首先要注意抛物线定义的转化应用，其次是注意平面几何知识的应用，例如两点之间线段最短，三角形中三边间的不等关系，点与直线上点的连线中垂线段最短等.一小船宽4 m ，高2 m ，载货后船露出水面上的部分高0.75 m ，则水面上涨到与抛物线形拱桥顶相距多少米时，小船开始不能通航？[思路探究] 建立平面直角坐标系得出抛物线方程，借助抛物线方程分析求解．[解] 如图所示，以拱桥的拱顶为原点，以过拱顶且平行于水面的直线为x 轴，建立平面直角坐标系．设抛物线方程为x 2＝－2py (p ＞0)，由题意可知点B (4，－5)在抛物线上，故p ＝85，得x 2＝－165y .当船面两侧和抛物线接触时，船不能通航， 设此时船面宽为AA ′，则A (2，y A )， 由22＝－165y A ，得y A ＝－54.又知船面露出水面上的部分高为0.75 m ， 所以h ＝|y A |＋0.75＝2(m)．所以水面上涨到与抛物线形拱桥顶相距2 m 时，小船开始不能通航．涉及桥的高度、隧道的高低等抛物线型问题，通常用抛物线的标准方程解决，建立直角坐标系后，要结合点的位置分析坐标的符号，根据实际问题中的数据准确写出点的坐标，再结合实际问题求解.2．某大桥在涨水时有最大跨度的中央桥孔，已知上部呈抛物线形，跨度为20 m ，拱顶距水面6 m ，桥墩高出水面4 m ．现有一货船欲过此孔，该货船水下宽度不超过18 m ，目前吃水线上部分中央船体高5 m ，宽16 m ，且该货船在现在状况下还可多装1 000 t 货物，但每多装150 t 货物，船体吃水线就要上升0.04 m ，若不考虑水下深度，问：该货船在现在状况下能否直接或设法通过该桥孔？为什么？[解] 如图所示，以拱顶为原点，过拱顶的水平直线为x 轴，竖直直线为y 轴，建立直角坐标系．∵拱顶距水面6 m，桥墩高出水面4 m，∴A(10，－2)．设桥孔上部抛物线方程是x2＝－2py(p>0)，则102＝－2p(－2)，∴p＝25，∴抛物线方程为x2＝－50y，即y＝－1 50x2.若货船沿正中央航行，船宽16 m，而当x＝8时，y＝－150×82＝－1.28 m，即船体在x＝±8之间通过，B(8，－1.28)，此时B点距水面6＋(－1.28)＝4.72(m)，而船体高为5 m，∴无法通行．又∵5－4.72＝0.28 m,0.28÷0.04＝7，150×7＝1 050(t)，即若船通过增加货物通过桥孔，则要增加1 050 t，而船最多还能装1 000 t货物，所以货船在现有状况下不能通过桥孔.1．思考辨析(1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．()(2)抛物线x2＝－20y的焦点到准线的距离是10．()(3)抛物线y＝－2x2的准线方程是y＝18．()[提示] (1)× 不一定．当F 在l 上时是过F 且垂直于l 的一条直线． (2)√ (3)√2．若点P 到定点F (4,0)的距离比它到直线x ＋5＝0的距离小1，则点P 的轨迹方程是( )A ．y 2＝－16xB ．y 2＝－32xC ．y 2＝16xD ．y 2＝16x 或y ＝0(x ＜0)C [∵点F (4,0)在直线x ＋5＝0的右侧，且P 点到点F (4,0)的距离比它到直线x ＋5＝0的距离小1，∴点P 到F (4,0)的距离与它到直线x ＋4＝0的距离相等．故点P 的轨迹为抛物线，且顶点在原点，开口向右，p ＝8，故P 点的轨迹方程为y 2＝16x .]3．抛物线y 2＝2px (p ＞0)上一点M 到焦点的距离是a ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＞p 2，则点M 的横坐标是 ( )A ．a ＋p2 B ．a －p2 C ．a ＋pD ．a －pB [设抛物线上点M (x 0，y 0)，如图所示，过M 作MN ⊥l 于N (l 是抛物线的准线x ＝－p2)，连MF .根据抛物线定义， |MN |＝|MF |＝a ， ∴x 0＋p2＝a ，∴x 0＝a －p2，所以选B.]4．若抛物线y 2＝4x 上的点M 到焦点的距离为10，则M 到y 轴的距离是________．9 [由于抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，则准线为x ＝－1. 设点M 的横坐标为x ，则x ＋1＝10，所以x ＝9. 故M 到y 轴的距离是9.]5．若抛物线y 2＝2px (p ＞0)上一点M 到准线及对称轴的距离分别为10和6，求M 点的横坐标及抛物线方程．[解] ∵点M 到对称轴的距离为6， ∴设点M 的坐标为(x,6)， ∴62＝2px .①∵点M 到准线的距离为10， ∴x ＋p2＝10.② 由①②解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝9，p ＝2；或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，p ＝18.故当点M 的横坐标为9时，抛物线方程为y 2＝4x ，当点M 的横坐标为1时，抛物线方程为y 2＝36x .。

1 高中新课标选修（1-1）抛物线教材解读一、抛物线及其标准方程（1）定义：平面内与一个定点F 和一条定直线l （F l ∉）距离相等的点的轨迹叫做抛物线． 点F 叫做抛物线焦点，直线l 叫做抛物线的准线．从以下几个方面加深对定义的理解：①结合教材第61页的演示图可知，直线m 垂直平分线段HF MF MH ⇒=； ②满足抛物线定义的点的集合表示：{}P M MF d ==|．（2）推导抛物线的标准方程应注意以下几个方面：①建立适当的直角坐标系是解题的关键．建系时，首先要注意其对称性，其次要使抛物线的顶点在原点，这样才能使抛物线方程的形式最为简单和美观（如图1）．②在22(0)y px p =>中，参数p 的意义是焦点到准线的距离FK ，由此可得焦点F 的坐标02p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，及准线方程2p x =-． （3）抛物线标准方程的求法：①在22(0)y px p =>中，只含有一个参数，因此只要有一个独立的条件就可以求出其参数p （常用特定系数法）．②求抛物线的标准方程时，首先要确定标准方程的形式，这是解题的关键．二、抛物线的简单几何性质类似于椭圆及双曲线，再结合二次函数的图象和性质，我们可以类似地得到抛物线的几何性质．这里主要以22(0)x py p =->（＊）为例说明其几何性质的要点：（1）范围:结合解析式及其图象，抓住以下两点去考虑：①图象的位置；②图象的变化趋势．从（＊）式可以得出x 的取值可以取正，也可以取负，而总有y ＜0，因此，图象开口方向与y轴负向相同，且向左下方和右下方无限延伸（图2）．反之，由图象也可以设出其方程的形式．（2）对称性：以x 代替x，（＊）式不变，故其图象关于y轴对称．我们把抛物线的对称轴称做抛物线的轴．（3）顶点：抛物线与它的轴的交点叫做抛物线的顶点，抛物线（＊）式的顶点为坐标原点．（4）离心率：抛物线上的点M到焦点的距离和它到准线的距离的比叫做抛物线的离心率．用e表示且e=1．注：单从定义来看，抛物线与我们学习过的椭圆、双曲线区别很大，但是其实质非常的相似，希望同学们好好把握，充分利用前两节的学习方法和思想来解决抛物线问题．2。