一元二次方程基础知识

一元二次方程的定义【知识要点】1．一元二次方程的定义及一般形式：(1)等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数式2（二次）的方程，叫做一元二次方程。

(2)一元二次方程的一般形式:20(0)ax bx c a ++=≠.其中a 为二次项系数，b 为一次项系数，c 为常数项。

注意：三个要点①只含有一个未知数；②所含未知数的最高次数是2；③是整式方程。

【典型例题】1.判断下列方程是否为一元二次方程：（1）362=+x x ； （2）3623=+x x ； （3）632=+y x ；（4）0212=-x x ； （5）01=+x ； （6）632=x2.将下列一元二次方程化为一般形式，并指出它的二次项系数、一次项系数及常数项： （1）x x 4152=- （2）2481x =（3）25)2(4=-x x （4）38)1)(23(-=+-x x x3.已知关于x 的方程.0)1(4)12(2=-+-+k kx x k（1）当k 为何值时，此方程是一元一次方程?并求出这个一元一次方程的根。

（2）当k 为何值时,此方程是一元二次方程?并写出这个一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项。

【课堂检测】1．下列方程中，是一元二次方程的是：（ ） A 、2x +3x +y=0 ； B 、 x+y+1=0 ；C 、 213122+=+x x ； D 、0512=++x x2．方程：①13122=-x x ②05222=+-y xy x ③0172=+x ④022=y 中一元二次方程是（ ） A. ①和② B. ②和③ C. ③和④ D. ①和③3．关于x 的方程（2a +a －2）2x +ax+b=0是一元二次方程的条件是（ ） A 、a ≠0 B 、 a ≠－2 C 、 a ≠－2且 a ≠1 D 、a ≠1 4．把一元二次方程2(13)(2)1x x x -+=-化成一般形式是______ ___；一元二次方程的解法--直接开平方法【知识要点】 1.直接开平方法：形如2()(0)x a b b +=≥的方程可以用直接开平方法解，两边直接开平方得x a b +=或者x a b +=-，∴x a b =-±。

一元二次方程知识点总结一元二次方程是代数学中的基础内容之一，其包含了一元变量的二次项、一次项和常数项。

在解决实际问题时，一元二次方程经常被用来建立数学模型。

以下是对一元二次方程的知识点进行总结：一、一元二次方程的基本形式一元二次方程的基本形式可以表示为：ax² + bx + c = 0，其中a、b 和c是常数，而x是未知变量。

二、一元二次方程的求解方法1. 因式分解法：如果方程可以进行因式分解，则可以直接求得方程的解。

2. 完全平方公式：适用于方程无法进行因式分解时，利用完全平方公式求解。

3. 直接求根公式：一元二次方程的根可以通过以下公式直接求得：x = (-b ± √(b²-4ac)) / (2a)三、一元二次方程解的性质1. 实根与复根：一元二次方程的解可以是实数也可以是复数。

具体取决于方程中的判别式(b²-4ac)的值。

若判别式大于零，则方程有两个不相等的实根；若判别式等于零，则方程有两个相等的实根；若判别式小于零，则方程有两个共轭复根。

2. 关系式：一元二次方程的根与系数之间存在一定的关系，如根的和等于系数b的相反数，根的乘积等于常数项c。

四、一元二次方程的图像特征一元二次方程的图像为抛物线，其开口的方向和抛物线的顶点位置与方程中的系数相关。

具体来说：1. a的正负：当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。

2. 顶点坐标：抛物线的顶点坐标为(-b/2a, f(-b/2a))，其中f(x)是方程的函数。

五、应用实例一元二次方程在实际问题中的应用广泛，尤其是用于建立数学模型。

以下是几个常见的应用实例：1. 求解抛物线运动的高度、飞行时间等问题。

2. 求解面积和周长的关系，如矩形或正方形的最大面积问题。

3. 求解抛物线拱桥的最高点坐标。

六、注意事项在应用一元二次方程解决问题时，需要注意以下几点：1. 确定方程中的未知数和已知数。

一元二次方程知识整理一、什么是一元二次方程一元二次方程是指一个未知数的平方与一次项的乘积再加上一个常数项的等式，通常表达为ax^2 + bx + c = 0。

其中，a、b、c为已知的实数，a不等于0，x为未知数。

二、一元二次方程的一般形式一元二次方程的一般形式为ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c为实数，且a不等于0。

这个方程中的x称为未知数，a、b、c则是已知的系数。

方程中的平方项ax^2、一次项bx以及常数项c分别对应了二次函数的系数。

三、一元二次方程的解的判别式一元二次方程的解的判别式是用来判断方程的根的情况的。

判别式的公式为D = b^2 - 4ac。

根据判别式的值可以分为三种情况：1. 当D > 0时，方程有两个不相等的实根；2. 当D = 0时，方程有两个相等的实根；3. 当D < 0时，方程没有实根，但有两个共轭复根。

四、一元二次方程的求解方法1. 因式分解法：当方程能够被因式分解为两个一次因式的乘积时，可以直接得到方程的解。

2. 完全平方公式法：当方程的判别式D = b^2 - 4ac为完全平方数时，可以利用完全平方公式求解方程。

3. 直接开平方法：当方程的一次项为0时，可以直接将方程两边开平方求解。

4. 二次根式法：当方程的系数较大或判别式较为复杂时，可以利用二次根式的求根公式求解方程。

五、一元二次方程的应用领域一元二次方程在数学中有着广泛的应用。

它可以用来解决与平方关系有关的问题，如抛物线的形状、最值等。

在物理学、工程学等领域中，一元二次方程也经常被用来描述和解决各种实际问题，如抛体运动、电磁波传播等。

六、一元二次方程的重要性一元二次方程是高中数学中的重要内容，它不仅是其他数学知识的基础，也是解决实际问题的重要工具。

通过学习一元二次方程，可以培养学生的逻辑思维能力、分析问题的能力和解决问题的能力，为学生今后的学习和工作打下坚实的数学基础。

七、总结一元二次方程作为高中数学中的重要内容，不仅具有理论性和应用性，而且在解决实际问题中有着广泛的应用。

一元二次方程知识点总结
一元二次方程是数学中的一个重要概念，它在数学、物理、化学等领域中都有广泛的应用。

以下是一元二次方程的知识点总结:
1. 一元二次方程的基本概念：一元二次方程是一个含有一个未
知数的二次方程，通常表示为 ax2+bx+c=0(a、b、c 为已知常数，x 为未知数)。

2. 一元二次方程的解法：一元二次方程的解法包括配方法、公
式法、因式分解法等。

其中，配方法是最常用的解法，它可以使一元二次方程化为一个完全平方公式的形式，从而方便解出未知数的值。

3. 一元二次方程的性质：一元二次方程的性质包括根的分布性质、根的符号性质、根的近似计算等。

其中，根的分布性质指出，一元二次方程的根的分布情况取决于系数 a、b、c 的大小。

4. 一元二次方程的应用：一元二次方程在数学、物理、化学等
领域中都有广泛的应用。

例如，在物理中，一元二次方程可以用来描述物体的运动轨迹;在化学中，一元二次方程可以用来表示化学反应
的平衡状态等。

5. 一元二次方程的判别式：一元二次方程的判别式是指 b2-4ac，它可以用来判断一元二次方程是否有实数根、有几个实数根等。

6. 一元二次方程的逆用：一元二次方程的逆用是指利用一元二
次方程的根的判别式和根的分布性质来求解未知数的方法。

例如，如果已知一元二次方程 ax2+bx+c=0 有两个不等实数根，可以利用逆用定理求解未知数的值。

以上是一元二次方程的知识点总结。

在学习一元二次方程时，需要掌握基本概念、解法、性质、应用和判别式等方面的知识，并且结合实际问题进行理解和应用。

一元二次方程专题（一）、一元二次方程的解法：【知识点归纳与总结】一、概念：一元二次方程的一般形式为：ax 2+bx+c=0, (a≠0)，它是只含一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程。

二、基本思路与方法: 解一元二次方程的基本思想方法是通过“降次”将它化为两个一元一次方程。

一元二次方程有四种解法：1、直接开平方法；2、配方法；3、公式法；4、因式分解法。

1 用直接开平方法解形如 (x-m)2=n (n≥0) 的方程，其解为x=m±.例1．解方程（1）75(3x+1)2=7 （2）9x 2-24x+16=112．配方法：用配方法解方程ax 2+bx +c=0 (a≠0)先将常数c 移到方程右边：ax 2+bx=-c将二次项系数化为1：x 2+b a x=-c a方程两边分别加上一次项系数的一半的平方：x 2+b a x+(b 2a )2=-c a +(b 2a)2 方程左边成为一个完全平方式：(x+)2= 当b 2-4ac≥0时，x+=±∴ x= (这就是求根公式)例2．用配方法解方程 3x 2-4x-2=03．公式法：把一元二次方程化成一般形式，然后计算判别式△=b 2-4ac 的值，当b 2-4ac≥0时，把各项系数a, b, c 的值代入求根公式x= (b 2-4ac≥0)就可得到方程的根。

例3．用公式法解方程 2x 2-8x=-54．因式分解法：把方程变形为一边是零，把另一边的二次三项式分解成两个一次因式的积的形式，让两个一次因式分别等于零，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程所得到的根，就是原方程的两个根。

这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法。

例4．用因式分解法解下列方程：(1) (x+3)(x-6)=-8 (2) 2x 2+3x=0 (3) 6x 2+5x-50=0 (4)x 2-2(+)x+4 =0小结：一般解一元二次方程，最常用的方法还是因式分解法，在应用因式分解法时，一般要先将方程写成一般形式，同时应使二次项系数化为正数。

2 1 章一元二次方程知识点一、一元二次方程1、一元二次方程概念：等号两边是整式，含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的方程叫做一元二次方程。

注意：（1）一元二次方程必须是一个整式方程；（2）只含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2 ；（4）二次项系数不能等于02、一元二次方程的一般形式：ax2 bx c 0（a 0），它的特征是：等式左边是一个关于未知数x的二次三项式，等式右边是零，其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项，b叫做一次项系数；c叫做常数项。

注意：（1）二次项、二次项系数、一次项、一次项系数，常数项都包括它前—面的符号。

（2）要准确找出一个一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项，必须把它先化为一般形式。

（3）形如ax2 bx c 0不一定是一元二次方程，当且仅当a 0时是一元二次方程。

二、一元二次方程的解使方程左、右两边相等的未知数的值叫做方程的解，如：当x 2时，2 2X 3x 2 0所以X 2是x 3x 2 0方程的解。

一兀二次方程的解也叫一元二次方程的根。

一元二次方程有两个根（相等或不等）三、一元二次方程的解法1、直接开平方法：直接开平方法理论依据：平方根的定义。

利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。

根据平方根的定义可知，x a是b的平方根，当b 0时，x a . b，x a . b，当b<0时，方程没有实数根。

三种类型：（1）x2a a 0的解是x a ；（2）x m 2n n 0 的解是x 、n m ；22、配方法:配方法的理论根据是完全平方公式 a 2 2ab b 2 (a b)2，把公式中的a 看 做未知数x ，并用x 代替，则有x 2 2bx b 2 (x b)2。

(一) 用配方法解二次项系数为1的一元二次方程用配方法解二次项系数为1的一元二次方程的步骤： (1) 把一元二次方程化成一般形式(2) 在方程的左边加上一次项系数绝对值的一半的平方，再减去这个数； (3) 把原方程变为x m 2 n 的形式。

《一元二次方程》总复习教案《《一元二次方程》总复习教案》这是优秀的教学设计文章，希望可以对您的学习工作中带来帮助！(一)基础知识归纳1.一元二次方程的有关概念(1)一元二次方程：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是二次的整式方程，叫做一元二次方程。

注：一元二次方程须同时满足三个条件：①整式方程②化简后只含有一个未知数③未知数的最高次数是2。

(2)一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0(a≠0，a、b、c是常数)其中ax2叫做二次项，bx叫做一次项，c叫做常数项，a、b分别是二次项，一次项的系数。

(3)使一元二次方程左右两边的值相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根。

2.一元二次方程根的判别式一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)是否有实数根，关键由b2-4ac 的值的符号来确定，我们把b2-4ac叫一元二次方程根的判别式，记作“△”，即△=b2-4ac。

一元二次方程根的情况与判别式的关系：①当△=b2-4ac>0时，方程有两个不相等的实数根。

②当△=b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根。

③当△=b2-4ac<0时，方程没有实数根。

反之亦然3.一元二次方程的解法(1)直接开平方法：利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的根的方法叫做直接开平方法。

直接开平方法的理论依据是平方根的定义，这种方法适合解左边是一个完全平方式，而右边是一个非负数的方程，即形如(x+a)2=b(b≥0)的方程。

(2)配方法：通过配方，把方程的一边化为一个完全平方式，另一边化为非负数，然后利用开平方求解的方法叫做配方法。

用配方法解一元二次方程的一般步骤：①如果一元二次方程的二次项系数不是1，就定在方程的两边同时除以二次项系数，把二次项系数化为1;②把含未知数的项移到左边，常数项移到右边。

③在方程的左右两边同时加上一次项系数一半的平方，这样使方程的左边变成一个完全平方式，右边是一个非负数的形式;④用直接开平方法解这个一元二次方程。

一元二次方程知识点整理总结
一元二次方程是形如ax^2 + bx + c = 0的方程，其中a、b、c 为已知实数且a ≠ 0。

以下是一元二次方程的知识点整理总结：
1. 一元二次方程的解法有配方法、公式法和因式分解法。

2. 配方法是将方程进行变形，通过配方完成平方，从而化为二
次项的完全平方和。

3. 一元二次方程的解的公式是x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) /
2a，其中±表示取两个解，√表示求平方根。

4. 当b^2 - 4ac > 0时，方程有两个不相等的实数解；当b^2 - 4ac = 0时，方程有两个相等的实数解；当b^2 - 4ac < 0时，方程无实数解，但有两个共轭复数解。

5. 一元二次方程的解可以用图像方法来解释，方程的解为方程
所对应的二次函数的根或顶点的横坐标。

6. 一元二次方程的根与系数之间存在着关系，如根的和等于-
b/a，根的积等于c/a。

7. 一元二次方程在实际问题中的应用十分广泛，例如用于研究
抛物线的形状、求解物体的运动轨迹等。

以上是关于一元二次方程的一些基本知识点的整理总结。

掌握这些知识点有助于理解和解决一元二次方程相关的问题。

一元二次方程知识点以及考点分析一、知识概述《一元二次方程》①基本定义：简单来说，一元二次方程就是一个未知数，它的最高次数是2的整式方程。

比如，ax²+bx+c=0(a≠0)就是一个典型的一元二次方程。

②重要程度：在数学学习中，一元二次方程可是个大热门，它在代数、几何等多个领域都有广泛应用，是中学数学学习的重点，不管你是升学还是实际应用，这个知识点都是避不开的。

③前置知识：学这个知识点之前，你得先搞定一元一次方程，了解基础的代数运算和简单的因式分解等。

④应用价值：说实话，一元二次方程在现实生活中的应用可不少。

比如建筑设计、物理运动中的抛物线计算，甚至经济学中的一些模型也用得到它。

掌握好了，感觉瞬间高大上了呢！二、知识体系①知识图谱：一元二次方程可是代数家族里的一颗重要明珠，它和因式分解、根与系数的关系、不等式等都有千丝万缕的联系。

②关联知识：它和函数图像、几何变换、求解最值问题等也紧密相连。

③重难点分析：重点是求解一元二次方程的步骤和理解根与系数的关系；难点在于复杂方程的求解和实际应用场景的抽象建模。

④考点分析：考试中，一元二次方程的求解方法、判别式的运用、韦达定理的应用等都是常考的。

而且，还经常结合实际问题，考你的应用能力。

三、详细讲解（以方法技能类为主）【方法技能类】①基本步骤：求解一元二次方程，直接开方法、配方法、公式法或者因式分解法都是常见的。

比如公式法，就是把方程写成标准形式，然后直接套公式x=[-b±√(b²-4ac)]/(2a)求解。

②关键要点：解题时，一定要看清方程的系数，特别是a不能为0，否则就不是一元二次方程了。

还有，应用公式法时，要注意判别式的值，它决定了方程的根的情况。

③常见误区：很多同学容易在计算判别式时出错，或者求根时忘了考虑正负根号。

还有，对于无实数根的情况，也要给出明确说明。

④技巧提示：如果方程看起来复杂，不妨先尝试因式分解简化一下。

还有，别忘了联系实际，检查求出的解是否合理。

一元二次方程的参数关系一元二次方程是高中数学中的基础知识之一，解一元二次方程需要理解其中的参数关系。

本文将详细介绍一元二次方程的参数关系，并提供一些例子来加深理解。

一元二次方程一般形式为 ax² + bx + c = 0，其中 a、b、c 是实数且 a ≠ 0。

在这个方程中，a 是二次项的系数，b 是一次项的系数，c 是常数项。

参数 a 的关系参数 a 是二次项的系数，它决定了一元二次方程的开口方向和抛物线的开口情况。

当a > 0 时，二次项系数为正，抛物线开口向上，即为正向抛物线。

例如，方程 2x² + 3x + 1 = 0 的图像为向上的抛物线。

当a < 0 时，二次项系数为负，抛物线开口向下，即为倒向抛物线。

例如，方程 -2x² + 3x + 1 = 0 的图像为向下的抛物线。

参数 b 的关系参数 b 是一次项的系数，它对一元二次方程的根（解）有影响。

方程 ax² + bx + c = 0 的两个根可以用以下公式计算：x₁ = [-b + √(b²-4ac)] / (2a)x₂ = [-b - √(b²-4ac)] / (2a)从上述公式可以看出，b 的值影响解的大小和符号。

当 b > 0 时，根的和 x₁ + x₂的值更小，根的差 x₁ - x₂的值更大。

例如，方程 x² + 4x + 4 = 0 的两个解为 -2，-2。

当 b < 0 时，根的和 x₁ + x₂的值更大，根的差 x₁ - x₂的值更小。

例如，方程 x² - 4x + 4 = 0 的两个解为 2，2。

参数 c 的关系参数 c 是常数项，它对一元二次方程的根没有直接影响，但会影响抛物线与 x 轴的交点。

当 c > 0 时，抛物线与 x 轴有两个交点。

例如，方程 x² - 2x + 1 = 0的图像与 x 轴有一个切点。

（完整版）⼀元⼆次⽅程知识点总结⼀元⼆次⽅程1、⼀元⼆次⽅程：含有⼀个未知数，并且未知数的最⾼次数是2的整式⽅程叫做⼀元⼆次⽅程。

2、⼀元⼆次⽅程的⼀般形式：，它的特征是：等式左边⼗⼀个关)0(02≠=++a c bx ax 于未知数x 的⼆次多项式，等式右边是零，其中叫做⼆2ax 次项，a 叫做⼆次项系数；bx 叫做⼀次项，b 叫做⼀次项系数；c 叫做常数项。

3.⼀元⼆次⽅程的解法(1)直接开平⽅法:利⽤平⽅根的定义直接开平⽅求⼀元⼆次⽅程的解的⽅法叫做直接开平⽅法。

直接开平⽅法适⽤于解形如的⼀元⼆次⽅程。

根据b a x =+2)(平⽅根的定义可知，是b 的平⽅根，当时，，a x +0≥b b a x ±=+，当b<0时，⽅程没有实数根。

b a x ±-=(2)配⽅法:配⽅法的理论根据是完全平⽅公式，把公式中的a 看222)(2b a b ab a +=+±做未知数x ，并⽤x 代替，则有。

222)(2b x b bx x ±=+±配⽅法的步骤：先把常数项移到⽅程的右边，再把⼆次项的系数化为1，再同时加上1次项的系数的⼀半的平⽅，最后配成完全平⽅公式(3)公式法:公式法是⽤求根公式解⼀元⼆次⽅程的解的⽅法，它是解⼀元⼆次⽅程的⼀般⽅法。

⼀元⼆次⽅程的求根公式：)0(02≠=++a c bx ax )04(2422≥--±-=ac b aac b b x 公式法的步骤：就把⼀元⼆次⽅程的各系数分别代⼊，这⾥⼆次项的系数为a ，⼀次项的系数为b ，常数项的系数为c(4)因式分解法:因式分解法就是利⽤因式分解的⼿段，求出⽅程的解的⽅法，这种⽅法简单易⾏，是解⼀元⼆次⽅程最常⽤的⽅法。

分解因式法的步骤：把⽅程右边化为0，然后看看是否能⽤提取公因式，公式法（这⾥指的是分解因式中的公式法）或⼗字相乘，如果可以，就可以化为乘积的形式4.⼀元⼆次⽅程根的判别式:⼀元⼆次⽅程中，叫做⼀)0(02≠=++a c bx ax ac b 42-元⼆次⽅程的根的判别式，通常⽤“)0(02≠=++a c bx ax ”来表⽰，即?acb 42-=?I 当△>0时，⼀元⼆次⽅程有2个不相等的实数根；II 当△=0时，⼀元⼆次⽅程有2个相同的实数根；III 当△<0时，⼀元⼆次⽅程没有实数根5.⼀元⼆次⽅程根与系数的关系如果⽅程的两个实数根是，那么，)0(02≠=++a c bx ax 21x x ，ab x x -=+21。