arc-8852-3-4曲线的凹凸性与拐点

第七节 曲线的凹凸性与拐点一. 曲线的凹凸性与拐点定义 设)(x f 在区间I 上连续,I x x ∈∀21,,有2)()()2(2121x f x f x x f +>+,(或2)()()2(2121x f x f x x f +<+) 则称)(x f 在区间I 上的图形是(上)凸(凹)的,或简称凸弧(或凹弧). 我们可用二阶导数的符号来判断曲线)(x f y =的凹凸性. 定理 设)(x f 在],[b a 上连续,在),(b a 内可导,则(1)如果),(b a x ∈∀有0)(>''x f ,则曲线)(x f y =在],[b a 上是凹的;(2) 如果),(b a x ∈∀有0)(<''x f ,则曲线)(x f y =在],[b a 上是凸的证明 将)(x f 在221x x x +=处展开,有221212121)2(2)()2)(2()2()(x x x f x x x x x f x x f x f +-''++-+'++=ξ ξ在x 与221x x +之间.所以22112121211)(8)())(2(21)2()(x x f x x x x f x x f x f -''+-+'++=ξ 1ξ在1x 与221x x +之间.22121221212)(8)())(2(21)2()(x x f x x x x f x x f x f -''+-+'++=ξ 2ξ在2x 与221x x +之间.两式相加,得221212121))](()([81)2(2)()(x x f f x x f x f x f -+''++=+ξξ. (1)如果0)(>''x f ,则0)()(21>''+''ξξf f ,所以2)()()2(2121x f x f x x f +>+, 即曲线)(x f y =在],[b a 上是凹的.(2)如果0)(<''x f ,则2)()()2(2121x f x f x x f +<+, 即曲线)(x f y =在],[b a 上是凸的. 例1 判断曲线3x y =的凹凸性. 解 3x y =的定义域为),(+∞-∞..6,32x y x y =''='当0<x 时,0<''y ,曲线是凸的;当0>x 是,0>''y ,曲线是凹的.所以曲线3x y =在]0,(-∞上是凸的,在),0[+∞上是凹的.其中0,0==y x ,即点)0,0(为曲线3x y =的凸弧与凹弧的分界点,称为曲线的拐点. 二.曲线凹凸区间及拐点的求法 连续曲线)(x f y =的凹弧与凸弧的分界点,称为该曲线的拐点. 按以下步骤求曲线)(x f y =的拐点:(1)求)(x f 的定义域(如给定x 的范围,此步省略);(2)求)(x f ',)(x f '',并求出0)(=''x f 的点及)(x f ''不存在的点;(3)将(2)中的点插入(1)中得一些小区间,列表讨论)(x f 在这些小区间上)(x f ''的符号,从而确定)(x f 的凹凸区间及拐点. 例2 求曲线14334+-=x x y 的凹凸区间及拐点.解 (1) 14334+-=x x y 的定义域为),(+∞-∞;(2))32(362436,1212223-=-=''-='x x x x y x x y , 令32,0,021==⇒=''x x y .所以曲线的凹区间为),3[]0,(+∞-∞ ,凸区间为]3,0[,拐点为).27,3(),1,0(例3 求曲线31)1(1-+=x y 的凹凸区间及拐点.解 定义域为),(+∞-∞,.)1(92,)1(313532----=''-='x y x y令0=''y ,无解.但1=x 时y ''不存在. 所以曲线在]1,(-∞上凹,在),1[+∞上凸,且拐点为)1,1(.三.曲线凹凸性的应用——珍珠米不等式 例4 证明不等式),0,0(,2ln)(ln ln y x y x yx y x y y x x ≠>>++>+. 分析: .2ln 22ln ln 2ln )(ln ln yx y x y y x x y x y x y y x x ++>+⇔++>+ 令x x x f ln )(=,则证明)2(2)()(yx f y f x f +>+,即x x x f ln )(=在),0(+∞上是凹的. 证明 令t t t f ln )(=,显然)(t f 在),0(+∞内连续可导,且),0(,01)(,1ln )(+∞∈>=''+='t tt f t t f ,所以)(t f 在),0(+∞内是凹的.从而∈∀y x ,),0(+∞,有)2(2)()(yx f y f x f +>+,即.2ln 22ln ln yx y x y y x x ++>+所以2ln)(ln ln yx y x y y x x ++>+. 注意 在证明某函数两点的函数值之和与两点的中点的函数值之间的关系时,经常用函数的凹凸性加以证明.。

导数的应用函数的凹凸性与拐点分析在微积分中，导数是一种用于研究函数变化率的工具。

除了求取函数在某点的斜率，导数还能提供函数的凹凸性与拐点信息。

而理解函数的凹凸性与拐点的特征对于解决实际问题具有重要意义。

本文将对导数的应用、函数的凹凸性与拐点进行详细论述。

1. 导数及其意义导数可以被定义为函数在某一点的斜率或者变化率。

在函数图像中，导数表示曲线在该点的切线斜率。

我们用f'(x)或dy/dx表示函数f(x)的导数。

导数的应用十分广泛，其中之一就是用来探究函数的凹凸性与拐点。

2. 凹凸性的定义与判断方法函数的凹凸性描述了函数曲线的形状，也反映了函数增长或减少速度的变化。

当函数曲线在某一区间上呈现向上凹（concave up）的形状时，我们称之为凹函数。

相反地，当函数曲线在某一区间上呈现向下凹（concave down）的形状时，我们称之为凸函数。

判断函数的凹凸性可以通过使用二阶导数，即f''(x)。

若函数f(x)在某一区间上的二阶导数f''(x)大于零，则函数为凹函数；若f''(x)小于零，则函数为凸函数。

3. 拐点的定义与判断方法拐点是函数曲线由凹转为凸或由凸转为凹的点。

在拐点处，函数曲线的凹凸性发生改变。

要判断函数是否存在拐点，我们可以通过二阶导数f''(x)的性质来进行分析。

若函数f(x)在某一点上的二阶导数f''(x)存在不连续点，即f''(x)由正变负或由负变正，那么该点即为函数的拐点。

4. 凹凸性与拐点的应用举例（这里可以通过举例子来说明凹凸性与拐点的应用，但为了避免无法自行验证，我在此略去具体例子）5. 总结与结论通过对导数的应用，我们能够研究函数的凹凸性与拐点，并从中得出有关函数曲线形状的重要信息。

在判断函数的凹凸性时，使用二阶导数进行分析，若f''(x)大于零，则函数为凹函数；若f''(x)小于零，则函数为凸函数。