第15讲 重叠问题

第15讲重叠问题一、公式宝典“在8位同学中，有2人既参加了绘画比赛，又参加了朗读比赛”数学中，我们将这样的问题称为重叠问题。

重要原理—当两个计数部分有重复包含时，为了不重复计数，应从它们的和中排除重复部分。

二、习题讲解例题一：六一儿童节，学校门口挂了一行彩旗。

小张从前数起，红旗是第8面；从后数起，红旗是第10面。

这行彩旗共多少面？想法：借助图形发现从前数起红旗是第8面，从后数起是第10面，这样红旗就数了两次，重复了一次，所以这行彩旗共有8＋10－1=17面。

练习11.小朋友排队做操，小明从前数起排在第4个，从后数起排在第7个。

这队小朋友共有多少人？2.学校组织看文艺演出，冬冬的座位从左数起是第12个，从右数起是第21个。

这一行座位有多少个？3.同学们排队去参观展览，无论从前数还是从后起起，李华都排在第8个。

这一排共有多少个同学？例题二：同学们排队做操，每行人数同样多。

小明的位置从左数起是第4个，从右数起是第3个，从前数起是第5个，从后数起是第6个。

做操的同学共有多少个？想法：根据题意，画出下图：由图可看出：做操的同学共有：6×10=60人。

练习2：1.同学们排队跳舞，每行、每列人数同样多。

小红的位置无论从前数从后数，从左数还是从右数起都是第4个。

跳舞的共有多少人？2.为庆祝“六一”，同学们排成每行人数相同的鲜花队，小华的位置从左数第2个，从右数第4个；从前数第3个，从后数第5个。

鲜花队共多少人？3.三（4）班排成每行人数相同的队伍入场参加校运动会，梅梅的位置从前数是第6个，从后数是第5个；从左数、从右数都是第3个。

三（4）班共有学生多少人？例题三：把两块一样长的木板像下图这样钉在一起成了一块木板。

如果这块钉在一起的木板长120厘米，中间重叠部分是16厘米，这两块木板各长多少厘米？想法：把等长的两块木板的一端钉起来，钉在一起的长度就是重叠部分，重叠的部分是16厘米，所以这两块木板的总长度是120＋16=136厘米，每块木板的长度是136÷2=68厘米。

三年级上册数学重叠问题一、引言在小学数学学习中，三年级上册数学是一个承上启下的阶段，对于学生后续数学学习具有重要意义。

其中，重叠问题是一个相对较难但非常重要的知识点。

本文将通过具体案例，深入探讨三年级上册数学重叠问题的概念、解题方法和应用场景，帮助学生们更好地理解和掌握这一知识点。

二、重叠问题的概念重叠问题是指两个或多个集合元素同时属于两个或多个集合的情况。

在三年级上册数学中，常见的重叠问题包括容斥原理、两堆物体等问题。

这类问题需要学生们能够准确识别元素的重叠情况，并运用适当的数学原理进行求解。

三、解题方法1. 列举法：对于简单的重叠问题，可以通过列举法直接求解。

例如，有两个盒子，其中一个盒子中有3个红球和2个白球，另一个盒子中有2个红球和3个黑球。

求至少有一个红球但颜色未知的球的总数。

通过列举，我们可以得到共有5个球。

2. 容斥原理：容斥原理是一种常用的解题方法，适用于两个集合之间存在重叠的情况。

通过将重叠元素的个数加到两个集合的并集元素个数上，再减去重复计算的部分，可以求出最终结果。

例如，有5个男生和3个女生参加了数学竞赛，问至少有一个男生参加竞赛的学生人数。

根据容斥原理，至少有一个男生参加竞赛的学生人数为5+3-1=7人。

3. 画图法：对于较复杂的问题，可以通过画图来帮助理解。

通过将重叠部分用阴影标出，可以直观地看到元素的分布情况，从而快速找到答案。

四、应用场景重叠问题在日常生活和工作中也经常出现，如运动会报名、志愿者招募等。

学生们可以通过解决重叠问题培养逻辑思维和判断能力，为未来的学习和工作打下基础。

例如，在志愿者招募中，如果有两个志愿者团队同时申请了一些职位，就需要用到重叠问题的知识来计算最终的招募结果。

又如，在超市购物时，需要计算会员卡同时属于两种会员类型的人数，从而决定是否给予优惠。

五、总结三年级上册数学重叠问题是一个相对较难但非常重要的知识点，需要学生们认真理解和掌握。

通过列举法、容斥原理等解题方法，我们可以解决各种类型的重叠问题。

数学重叠问题的解题技巧重叠问题在数学中是一个常见的问题类型，它涉及到两个或多个集合，以及这些集合之间的交集和并集。

解决重叠问题的关键是理解集合的概念，以及如何计算交集和并集。

以下是一些解决重叠问题的技巧：1. 明确集合的定义：首先，你需要明确每个集合的定义。

这通常涉及到确定每个集合的元素。

2. 识别重叠部分：找出两个或多个集合之间的共同元素。

这些共同元素构成了重叠部分。

3. 使用集合的运算：交集：表示两个集合共有的部分。

使用符号∩表示交集。

例如，A∩B 表示集合A和集合B的交集。

并集：表示两个集合的所有元素，包括重复的元素。

使用符号∪表示并集。

例如，A∪B表示集合A和集合B的并集。

4. 避免重复计数：当计算交集时，要注意不要重复计数。

例如，如果集合A 和集合B有3个共同的元素，那么在计算A∩B时，这3个元素只应计算一次。

5. 使用图形表示：有时，使用图形（如韦恩图）来表示集合和它们的重叠部分可以帮助理解问题。

6. 应用公式：对于一些特定的问题，可能存在特定的公式或方法来快速解决。

例如，在计算组合数时，有时可以使用“插空法”或“隔板法”。

7. 逐步解决问题：将问题分解为更小的步骤，每一步只处理一个集合或一个交集/并集的计算。

这有助于避免混淆和错误。

8. 检查答案：完成计算后，检查答案是否符合预期。

这可以通过比较答案与原始问题的关系来完成。

通过遵循这些步骤和技巧，你应该能够解决大多数重叠问题。

记住，重叠问题主要考察的是对集合概念的理解和应用，因此理解这些基本概念是解决这类问题的关键。

一、教材分析《重叠问题》是小学数学三年级下册的一章内容，主要让学生理解重叠问题的概念，掌握解决重叠问题的方法，培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。

本章通过具体的实例，引导学生认识重叠问题，并运用图示和数学语言来表达和解决问题。

二、教学目标1. 让学生理解重叠问题的概念，能识别和表述简单的人民币单位之间的重叠问题。

2. 让学生掌握解决重叠问题的方法，能够运用图示和数学语言来表达和解决问题。

3. 培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。

4. 培养学生合作交流的能力，提高学生的数学素养。

三、教学内容1. 人民币单位之间的重叠问题。

2. 解决重叠问题的方法：图示法和数学语言法。

四、教学过程1. 导入：通过人民币的实例，引导学生认识重叠问题。

2. 新课导入：讲解人民币单位之间的重叠问题，让学生理解重叠问题的概念。

3. 解决问题：教授解决重叠问题的方法，图示法和数学语言法，让学生通过图示和数学语言来表达和解决问题。

4. 练习巩固：设计练习题，让学生运用所学的方法解决实际问题，巩固新知。

5. 总结提升：对本节课的内容进行总结，让学生明确重叠问题的解决方法。

五、教学评价1. 学生能理解重叠问题的概念，能识别和表述简单的人民币单位之间的重叠问题。

2. 学生能掌握解决重叠问题的方法，能够运用图示和数学语言来表达和解决问题。

3. 学生在解决问题过程中，能运用逻辑思维，提高解决问题的能力。

4. 学生能积极参与课堂活动，合作交流，提高数学素养。

六、教学重点与难点重点：1. 理解重叠问题的概念。

2. 掌握解决重叠问题的方法：图示法和数学语言法。

难点：1. 运用图示和数学语言来表达和解决问题。

2. 解决实际生活中的重叠问题。

七、教学方法1. 采用直观演示法，通过图示和实例让学生形象地理解重叠问题。

2. 采用引导发现法，引导学生自主探索解决重叠问题的方法。

3. 采用实践练习法，让学生在实际操作中巩固知识。

4. 采用合作交流法，培养学生合作意识，提高学生解决问题的能力。

重叠问题是指在概率统计中，多个事件之间存在共同发生的可能性。

解决重叠问题的关键是正确计算相互影响的事件发生的概率。

主要知识点包括：
1. 重叠事件的概率计算：重叠事件A和B同时发生的概率P(A∩B)可以通过公式P(A∩B)=P(A)P(B|A)计算，其中P(B|A)表示在事件A发生的条件下事件B发生的概率。

2. 独立事件：如果两个事件A和B相互独立，那么事件A发生对事件B发生的概率没有影响，即P(B|A)=P(B)。

独立事件的重叠概率P(A∩B)=P(A)P(B)。

3. 互斥事件：如果两个事件A和B互斥，那么它们不可能同时发生，即P(A∩B)=0。

4. 一般重叠问题的求解方法：对于一般重叠问题，可以采用先分类后分步的方法，将问题拆分为多个互斥事件的和，然后分别计算每个互斥事件的概率，最后将这些概率相加得到结果。

5. 重叠问题的实际应用：重叠问题在实际生活中有很多应用，如保险、排队理论、可靠性工程等领域。

掌握重叠问题的解决方法对于解决实际问题具有重要意义。

三年级《重叠问题》的说课稿尊敬的各位同事们，大家好！今天我要向大家介绍的是三年级的《重叠问题》课程。

本课程旨在帮助学生了解重叠问题的基本概念和解决方法，并通过实际案例让学生更好地理解和掌握。

一、课程背景重叠问题是指在日常生活中经常遇到的一种问题，例如在时间、地点、人物等方面出现的重复现象。

为了帮助学生更好地理解和解决这些问题，我们特别设计了这一课程，以提高学生的思维能力和解决问题的能力。

二、课程目标本课程的目标是让学生了解重叠问题的基本概念，掌握解决重叠问题的方法，并能够在实际生活中运用所学知识解决类似问题。

同时，我们还希望通过本课程培养学生的思维能力和创造力，激发学生的求知欲和探索精神。

三、课程内容本课程的内容主要包括以下几个方面：1. 重叠问题的基本概念：通过实例和定义，让学生了解什么是重叠问题，以及它的基本特征和分类。

2. 重叠问题的解决方法：介绍几种常见的解决重叠问题的方法，包括筛选法、表格法、图形法等，并通过案例让学生掌握这些方法的实际应用。

3. 实际案例分析：通过具体案例的分析和解决，让学生更好地理解和掌握重叠问题的解决方法，并能够在实际生活中运用所学知识解决类似问题。

四、课程实施本课程的实施将采用以下几种方式：1. 实例解析：通过具体的实例解析，让学生了解重叠问题的解决方法，并能够在实际生活中运用所学知识解决类似问题。

2. 小组讨论：分组进行讨论，让学生互相交流学习心得和解决问题的方法，培养学生的合作精神和沟通能力。

3. 实践活动：组织学生进行实践活动，让学生通过实际操作掌握重叠问题的解决方法，提高学生的实践能力和创新能力。

五、课程评价本课程的评价将采用以下几种方式：1. 课堂表现：观察学生在课堂上的表现，包括参与度、注意力、表达能力等方面，以评估学生的学习状态和效果。

2. 作业：布置相关作业，包括课后练习、案例分析等，以检验学生对所学知识的掌握程度和解决问题的能力。

3. 期末考试：通过期末考试检测学生对本课程知识的掌握程度和运用能力，以评估学生的学习成果。

第15讲重叠问题一、知识要点和基本方法在解答题目时要涉及重叠部分的数量的问题，我们把这类问题称为重叠问题．解答重叠问题一般用公式法或图象法．公式法：运用容斥原理一：C＝＝A＋B－AB，这一公式可计算出两个集合圈的有关问题．运用容斥原理二：D＝A＋B＋C－AB－AC－BC＋ABC，这一公式可计算出三个集合圈的有关问题．图象法：不是利用容斥原理的公式计算，而是根据题意画图，并借助图形帮助分析，逐个地计算出各个部分，从而解答问题．二、例题精讲例1某班40位同学在一次数学测验中，答对第一题的有23人，答对第二题的有27人，两题都答对的有17人，问有几个同学两题都不对？解如果把答对第一题的人数和答对第二题的人数相加，减去两题都答对的学生数，就能求出全班至少答对一题的人数．再用全班学生数减去全班至少答对一题的人数，就能求出有多少位同学两题都不对．根据容斥原理一得：40－（23＋27－17）＝40－33＝7（人）答：有7位学生两题都没有做对．例2某班有学生48人，其中21人参加数学竞赛，13人参加作文竞赛，有7人既参加数学竞赛又参加作文竞赛．那么（1）只参加数学竞赛的有多少人？（2）参加竞赛的一共有多少人？（3）没有参加竞赛的一共有多少人？解根据题意先作图（图15－1）：图15-1（1）从图上可清楚看出只参加数学竞赛的有21－7＝14（人）．（2）根据容斥原理一得：参加竞赛的共有21＋13－7＝27（人）．（3）没有参加竞赛的一共有48－27＝21（人）．例3 在100个学生中，音乐爱好者有56人，体育爱好者有75人，那么既爱好音乐，又爱好体育的人最少有多少人？最多有多少人？解如图15－2，当100人都是或者音乐爱好者，或者体育爱好者时，这两者都爱好的人数为最小值即56＋75－100＝31（个）．图15-2当所有的音乐爱好者都是体育爱好者时，这两者都爱好的人为最大值即56人．例4某校对五年级100名同学进行学习兴趣调查，结果有58人喜欢语文，有38人喜欢数学，有52人喜欢外语．而且喜欢语文和数学（但不喜欢外语）的有6人，喜欢数学和外语（但不喜欢语文）的有4人，三科都喜欢的有12人，而且每人至少喜欢一科．问有多少同学只喜欢语文？解如图15－3：设只喜欢语文、外语的有x人．图15-3根据容斥原理二得：100＝58＋52＋38－（6＋12＋12＋x＋12＋4）＋12解得x＝14．58－6－12－14＝26（人）答：只喜欢语文的同学有26人．例5分母是1001的最简真分数有多少个？它们的和是多少？解我们知道最简真分数即是分子与分母互质且分子比分母小的分数．因为1001＝7 × 11 × 13．在1至1000中：7的倍数有［1000 ÷ 7］＝142（个）11的倍数有［1000 ÷11］＝90（个）13的倍数有［1000 ÷13］＝76（个）7 × 11的倍数有［1000 ÷77］＝12（个）7 ×13的倍数有［1000 ÷91］＝10（个）11×13的倍数有［1000 ÷143］＝6（个）7 × 11 ×13的倍数有［1000 ÷ 1001］＝0（个）根据容斥原理得：能被7整除，能被11整除或被13整除的数共有142＋90＋76－12－10－6＋0＝280（个）．那么，1至1000中，不能被7整除、不能被11整除，也不能被13整除的数共有；1000－280＝720（个）．也就是说分母是 1001的最简真分数有720个． 由于若1001N （N ＜1001）是最简真分数，那么10011001N 也是最简真分数．这样 720个最简真分数的和等于720 ÷ 2＝360．答：分母是1001的最简真分数有720个．它们的和是360．例6 某大学英语专业开设第二外语，学校规定学生在法语、日语、俄语中至少选一门，该班有学生34人，选学法语的有21人，选学日语的有19人，选学俄语的有10人，其中4人同时选学法语和俄语，5人同时选学日语和俄语，没有同学同时选学三门的，同时选学法语和日语的有多少人？解 设同时选学法、日语有x 人．图 15-4根据题意得：21 ＋（19 －x ）＋（10－4－5）＝34解得：x ＝7所以，同时选学法语和日语的有7人．例7 某班学生中78％喜欢游泳，80％喜欢玩游戏机，84％喜欢下棋，88％喜欢看小说．该班学生中同时有四种爱好的学生所占的最小百分比应是多少？解 该班学生中：不喜欢游泳的有1－78％＝22％不喜欢玩游戏机的有1－80％＝20％不喜欢玩下棋的有 1－84％＝16％不喜欢看小说的有1－88％＝12％那么至少不喜欢其中一种活动的学生最多占全班学生人数的：22％＋20％＋16％＋12％＝70％所以该班学生中同时有四种爱好的学生所占的最小百分比应是1－70％＝30％．练 习 题A 组1．某班学生在一次期末语文和数学考试中，语文得优的有15人，数学得优的有 24人，其中语文、数学都得优的有12人．全班得优的共有多少人？2．50名学生答A 、B 两题，其中没答对A 题的有 12名，而答对A 题，没答对B 题的有30名，那么A 、B 两题都答对的有多少人？3．某班中有30人参加足球与排球活动，参加足球活动的有16人，参加排球活动的有21人．求两项活动都参加的共有多少人？只参加足球活动一项的有多少人？只参加排球活动一项的有多少人？4．一个班级常识、数学期中考试得100分的共21人，其中常识得100分的12人，数学得100分的17人，两门课程都得100分的有多少人？5．某班共50人．参加学书法兴趣小组的32人，学绘画兴趣小组的28人，其中两种都学的15人，这个班级还有多少人没有参加这两项兴趣小组？6．育苗小学四年级学生到野外采集标本，采集昆虫标本的有32人，采集植物标本的有27人，两种标本都采集的有7人．全班学生共有多少人？7．京华小学五年级学生采集标本，采集昆虫标本的有25人，采集植物标本的有19人，两种标本都采集的有8人，全班共40人，没有采集标本的有多少人？8．工厂有一批工人，每人至少会一门技术，其中会开车床的有235人，会开铣床的有218人，会开刨床的有207人，既会开车床又会开铣床的有112人，既会开车床又会开刨床的有71人，既会开铣床又会开刨床的有63人，三种床都会开的有19人，求全厂共有多少工人？B 组9．在1至10 000中不能被5或7整除的自然数共有多少个？10．外语学校共有英语、法语、日语教师共27人，其中只能教英语的有8人，只能教日语的有6人，能教英日语的有5人，能教法日语的有3人，能教英法语的有4人，三种都能教的有2人，只能教法语的有多少人？11．某班有学生50人，有人学会骑车，有人学会游泳，已学会骑车的有35人，两样都会的有15人，没有一样也不会的学生，那么会游泳的有多少人？12．图15－5中A、B、C分别代表面积为10、11、13的三张不同形状的纸片，它们重叠放在一起盖住的面积是22，且A与B、B与C、C与A公共部分的面积分别是6、4、5，求A、B、C三个图形公共部分（即阴影部分）的面积．图15-513．学校教导处对100名同学进行调查，结果他们喜欢看球赛和电影、戏剧．其中58人喜欢看球赛，38人喜欢看戏剧，52人喜欢看电影，还知道：既喜欢看球赛又喜欢看戏剧的有6人，既喜欢看电影又喜欢看戏剧的有4人，三种都喜欢看的有12人，只喜欢看电影的有多少人？14．求从1到1995中能被5整除，也能被6或7整除的自然数的个数．15．某学校有学生1050人，其中600人订阅《语文报》，450人订阅《数学报》，有210人订阅《科技报》，全校学生中有350人订阅两种报刊，有88人订阅三种报刊，那么这个学校有多少人没有订阅任何报刊？16．在自然数中，不超过105，且与105互质的数共有多少个？测试题1．有50名同学在操场上活动，其中有18名是女生，活动的项目是短跑和打球，如果有31名同学打球，有14名男生短跑，那么女生打球的有多少人？2．某小学六年级共有120名学生，其中爱好体育、文学和数学竞赛的共有135人，有15人既对体育又对数学竞赛感兴趣，有10人既爱好体育又对文学感兴趣，还有8人既爱好文学又对数学竞赛感兴趣，三项都感兴趣的有4人，问三项都不感兴趣的有多少人？3．某班共有30名男生，其中20人参加足球队，12人参加篮球队，10人参加排球队，已知没有一个人同时参加3个队，且每人至少参加一个队，有6个人既参加足球队又参加篮球队，有2人既参加篮球队又参加排球队，那么既参加足球队又参加排球队的有多少人？4．甲、乙、丙都在读同一本故事书，书中有100个故事．每一个人都从某一个故事开始，按顺序往后读．已知甲读了75个故事，乙读了60个故事，丙读了52个故事．那么甲、乙、丙三人共同读过的故事至少有多少个？5．有一根长100厘米的绳子，从一端开始每隔4厘米做一个记号，每隔5厘米也做一个记号，然后把标有记号的地方剪断，绳子共剪成了多少段？6．甲、乙、丙给100盆花浇水，甲浇了76盆，乙浇了69盆，丙浇了85盆，至少有多少盆花被浇了三次水？7．前锋小学有48名学生参加剪纸、绘画、独唱比赛．有24人参加剪纸比赛；18人参加绘画比赛；其中10人既参加剪纸比赛，又参加绘画比赛．问只参加独唱比赛的有多少人？8．某大学有外语教师130人，其中教英语的有60人，教日语的有55人，教法语的有50人，既教英语又教日语有20人，既教英语又教法语有15人，既教日语又教法语有13人，有7人英语，日语和法语三门课都会教．则不教这三门课的外语教师有多少人？9．某班共有学生52人，其中30人会游泳，35人会骑自行车，42人会打乒乓球，那么，这个班至少有多少学生这三项运动都会？10．求小于1001且与1001互质的所有自然数的和．11．夏日的一大，有十个同学去吃冷饮．向服务员交出需要冷饮的统计，数字如下：有6个人要可可，有5个人要咖啡，有5个人要果汁，有3个人既要可可又要果汁，有3个人既要咖啡又要果汁，有2个人既要可可又要咖啡，有一个人既要可可、咖啡又要了果汁．其中一定有多少个人什么冷饮也没有要？12．某校参加数学竞赛的有120名男生，80名女生．参加语文竞赛的有120名女生，80名男生，已知该校共有260名学生参加了竞赛，其中有75名男生两科竞赛都参加了．那么只参加数学竞赛而没有参加语文竞赛的女生人数是多少人？13．求从1到1994中不能被5整除，也不能被6或7整除的自然数的个数．14．全班有25个学生，其中17人会骑自行车，13人会游泳，8人会滑冰，这三项运动项目没有人全会．至少会这三项运动之一的学生数学成绩都及格了，但又都不是优秀．如果全班有6个人数学不及格，问：（1）全班数学成绩优秀的有几名？（2）全班有几个人既会游泳又会滑冰？15．若干个人参加语文和数学两科竞赛，其中参加数学竞赛的占竞赛总人数的23，参加语文竞赛的占竞赛总人数的34，两科都参加的有45人．参加数学竞赛而未参加语文竞赛的有多少人？16．六年级开展跳绳和跳高竞赛，已知参加竞赛的人数正好占全年级人数的25，参加跳高的占全体参加竞赛人数的25，参加跳绳的占全体参加竞赛人数的34，两项都参加的有12人．问参加跳绳和跳高竞赛的各有多少人？全年级共有多少人？。

小学数学重叠问题在小学数学的学习中，我们常常会遇到一种特殊的数学问题，那就是重叠问题。

这种问题通常涉及到两个或多个集合之间的重叠部分，以及这些部分与各个集合之间的关系。

解决重叠问题的关键是理解并应用集合论的基本概念和运算规则。

一、什么是重叠问题？重叠问题是指在一个集合中，另一个集合的元素与之有部分重合，或者两个集合的元素完全重合。

例如，在一群学生中，有的学生既参加数学小组也参加科学小组，这就是两个集合的重叠。

二、如何解决重叠问题？解决重叠问题的关键是正确理解和应用集合论的基本概念和运算规则。

以下是解决重叠问题的基本步骤：1、确定问题的集合：我们需要确定问题的集合，包括所有的元素和它们之间的关系。

例如，在一群学生中，我们需要确定哪些学生参加了数学小组，哪些学生参加了科学小组，以及哪些学生同时参加了两个小组。

2、识别重叠部分：接下来，我们需要识别出集合之间的重叠部分。

在上述例子中，我们需要找出哪些学生既参加了数学小组也参加了科学小组。

3、应用集合运算规则：我们需要应用集合运算规则来解决问题。

例如，如果我们想知道参加数学小组的学生总数，我们需要把只参加数学小组的学生和既参加数学小组又参加科学小组的学生都计算在内。

三、如何避免重叠问题的误解？解决重叠问题时，我们需要注意以下几点以避免误解：1、仔细阅读题目：理解题目中的每个集合和它们之间的关系是解决重叠问题的关键。

我们需要仔细阅读题目，理解每个集合的元素和它们之间的关系。

2、正确应用集合运算规则：在计算集合的元素个数时，我们需要正确应用集合运算规则，例如并集、交集等。

如果我们错误地应用了运算规则，可能会导致误解。

3、画出集合图：画出集合图可以帮助我们更好地理解集合之间的关系和重叠部分。

通过画出图形，我们可以更直观地看到哪些元素属于哪个集合，以及它们之间的重合部分。

四、例子：解决一个简单的重叠问题为了更好地理解重叠问题的解决方法，让我们看一个简单的例子。

假设在一个班级中，有30个学生，其中10个学生同时参加了数学小组和科学小组，5个学生只参加了数学小组，10个学生只参加了科学小组。

高一物重叠问题解题技巧
解决重叠问题时，要充分运用“数形结合”的方法，根据题目的特点，画出图形或草图，将抽象的问题形象化、具体化，从而进行正确的解题。

重叠问题的解题步骤：
1. 认真审题，弄清题意。

2. 画出图形或草图，将抽象的问题形象化、具体化。

3. 建立方程求解。

4. 得出结论。

重叠问题的解题方法：
1. 直接法：根据题目的特点，直接利用定义、定理、性质等求解。

2. 间接法：先求出其他变量，再求出重叠部分的变量。

3. 整体法：将多个物体视为一个整体，利用整体性质求解。

4. 代数法：将问题转化为代数方程求解。

5. 图解法：将问题转化为图形问题，利用几何性质求解。

解决重叠问题的关键是弄清重叠部分的含义和数量关系，以及如何用数学表达式来表示这些关系。

初中数学专题-重叠问题(精华版)
重叠问题是初中数学中的一个经典问题，很多同学在研究中会
遇到这个问题，现在我们来深入探讨一下。

什么是重叠问题？简单来说，就是用图形去模拟交集的情况。

例如，我们经常听说的“集体婚礼中，每个男士都握着另外四个女
士的手，每个女士也握着另外四个男士的手，问这次婚礼有多少人？”，这就是一个重叠问题。

在解决重叠问题时，我们需要注意以下几点：
1. 画图：重叠问题通常需要用图形来表示，画图是必不可少的。

2. 分类讨论：根据具体的题目条件，我们可以把问题分成不同
情况进行讨论，从而得到最终的答案。

3. 列方程：对于一些比较复杂的重叠问题，我们可以通过列方
程的方式来解决。

4. 推广应用：重叠问题是初中数学中的一个经典问题，但它在
实际生活中也有很多应用，例如科学研究、经济分析、交通规划等
领域都有重叠问题的存在。

通过学习重叠问题，我们不仅可以提高自己的数学能力，还可
以锻炼我们的思维能力和创新能力。

希望同学们能够重视这个问题，认真学习，在学习的过程中不断提高自己的解决问题的能力。

数学广角《重叠问题》讲课稿◆您此刻正在阅读的数学广角《重叠问题》讲课稿文章内容由采集!本站将为您供给更多的精选教课资源!数学广角《重叠问题》讲课稿一、对教材的认识和理解，会合的知识系统会合是比较系统、抽象的数学思想方法，是数学中最基本的思想。

从学生一开始学习数学,其实就已经在运用会合思想方法了，因此对会合有必定的生活经验和知识基础。

比如在数数时，把1个人、2朵花、3枝铅笔用一条关闭的曲线圈起来表示，这样表示出的数学观点更直观、形象。

而此后学习的平面图形之间的关系都要用到会合的思想，如，把一堆图形分类，需要必定的标准，这类分类思想就是会合理论的基础，因此会合的重要性因而可知一斑。

但这些都只是独自的一个会合圈。

本节课教材例1借助学生熟习的题材，浸透了会合的相关思想，并利用直观图的方式求出两个小组的总人数。

教课要使学生理解用直观图(会合圈)表示重叠现象的方法，认识到直观图各部分的意义，特别是重叠部分(交集)的意义，掌握依据直观图列式计算总数(两个会合的并集)的方法。

关于三年级学生来说，学习这部分内容，思想力度较强，有必定的挑战性。

二、本节课教课目的在教课方案过程中，以新课程理念为指导，将数学知识和生活有机联合，经过自主研究、操作实践让学生经历数学学习的过程，从而达到感悟知识的目标。

基第1 页于以上认识，本节课在掌握教材企图的基础上，目标定位以下：1．经过整理图表活动，让学生经历问题解决的数学化过程，获取数学学习体验。

2、使学生理解用直观图(韦恩图)表示重叠现象的方法，并利用会合的思想方法培育学生解决简单问题的能力。

3、经过讲堂教课活动，让学生体验数学的价值，培育和提升学生的察看能力、思虑能力，创新能力、评论说理能力。

本节课的要点是让学生感知会合的思想，并能初步用会合的思想解决简单的实质问题。

难点是对重复部份的理解。

三、讲堂上侧重表现的数学思想方法有以下几个方面1、培育学生采集、整理信息的意识和能力。

会合的抽象性是在它最后形成结论才拥有的，而在结论形成过程中，必定以大批的详细内容为基础。

《重叠问题》说课稿教案《重叠问题》说课稿教案重叠问题说课稿一、教材分析:《重叠问题》是青岛版小学数学一年级上册74——75页智慧广场的内容。

本节课是学生在已经认识了10以内的数、掌握了数的顺序、能正确读写、会比较大小，并且熟练掌握10以内加减法的基础上进行教学的。

本节课的设计目的是从一年级开始向学生渗透画直观图的方法，引导学生从低年级开始初步养成解决问题的策略，为后续学习打下基础，促进学生养成善于思考的好习惯，提高数学素养，激发学生对数学学习的欲望和兴趣，体现数学的价值。

二、教学目标:结合教材特点和学生已有的认知结构、心理特征，制定如下教学目标：1.结合具体情境,学习借助直观图解决简单的重叠问题。

2. 经历独立思考、合作探究的过程，提高思维能力，促进思维发展，形成运用几何直观的方法解决问题的策略，增长学生的聪明才智，发展学生的智力。

3. 通过活动激发学生学习数学的兴趣和欲望，体验成功的乐趣，产生学好数学的自信心。

三、教学重难点本节课的教学重点是:理解简单的重叠问题的意义及解决问题的计算方。

教学难点是：理解前面的数量+中间部分+后面数量=总数。

数了两次的部分是重复的部分，要从总数中去掉四、教学模式本节课采用合作探究教学模式。

主要有：创设教学情境、找出有价值的数学信息、提出有效的数学问题并解决、巩固练习、总结反思四大环节。

其中提出问题和解决问题是核心环节，主要是通过学生自主、合作、探索，建立数学模型。

这样的教学模式，强调学生的自主探究与合作的意识，在参与数学活动的过程中去感知和体验，体现“以人为本”的教学理念。

五、说教学设计：我以激发学生的学习兴趣为目的，让孩子在快乐中学习，在学习中感受数学的乐趣，确定本节课的教学设计如下：一、创设情境，导入新知二、小组合作，探究新知三、自主练习，巩固新知四、总结反思，深化认知一、创设情境导入新知多媒体出示信息图，让学生说一说观察到了哪些数学信息？根据信息，引导学生提出数学问题：从前面数花雁排第6，从后面数排第3，一共有多少只大雁呢？【设计意图】通过创设生动的.情景，让学生更容易理解和接受直观、具体的感性材料，调动起学生自主探索解决问题的热情，为学生理解问题奠定基础。

（尖子生培优）用“排除法”解决重叠问题三年级数学思维拓展解决重叠问题要用到数学中的一个原理一一包含与排除原理，即当两个部分有重复部分时，为了不重复计算，应排除重复部分；可以从它们的和中排除重复部分，也可以先从一部分中排除重复部分再计算。

1．三（1）班每人至少订一份杂志，订《现代少年报》有24人，订《中国少年报》的有28人，两种杂志都订的有13人。

三（1）班一共有多少人？2．在一个自助果园里，只摘山莓者两倍于只摘李子者，摘了草莓、山莓和李子者人数比只摘李子的人数多3个；只摘草莓者比摘了山莓和草莓但没摘李子者多4人；50个人没有摘草莓；11个人摘了山莓和李子但没有摘草莓；总共有60人摘了李子。

如果参与摘水果的总人数是100人，你能回答下列问题吗？（1）有几人摘了山莓；（2）有几人同时摘了三种水果；（3）有几人只摘了山莓；（4）有几人摘了李子和草莓，而没有摘山莓；（5）有几人只摘了草莓。

3．某小学共有学生540人，在一次自愿参加的线上心理辅导讲座活动中，共有50人向辅导老师进行了提问。

提问的人中，有36人用文字进行了提问，25人用语音进行了提问，那么，既用文字又用语音提问的有多少人？4．参加某项活动的人员中有47人会说英语，有38人会说法语，两种都会的有22人，另外15人只会讲汉语．一共有多少人参加了活动？5．三个小朋友比赛猜灯谜，皮皮猜出了18个，果果猜出了10个，乐乐猜出了12个．果果猜出的10个灯谜皮皮都猜出来了．（1）皮皮和果果一共猜出了多少个灯谜？（2）皮皮和乐乐一共猜出了23个灯谜，皮皮和乐乐有几个灯谜都猜出来了？6．三（1）班共有36名同学订阅杂志，其中订阅《数学天地》的有21人，订阅《语文天地》的有18人，每人至少订阅一种．有多少名同学订阅了两种杂志？能力巩固提升7．六一儿童节文艺会演中，四年级（1）班有36人参加演出，其中跳舞表演的有14人，合唱表演的有28人。

两项演出都参加的有多少人？8．三（3）班做完语文作业的38人，做完数学作业的有42人，两种作业都完成的有30人，每人至少完成一种作业，三（3）班一共有学生多少人？9．三年级一班有45人，他们去学习书法和绘画，每人至少学一门．学习书法的有26人，学习绘画的有25人．书法和绘画都学习的有多少人？10．2021年是红军长征胜利85周年。