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单调有界数列必有极限证明单调有界数列必有极限证明在数学中，单调有界数列必有极限是一个非常基础的定理。
它告诉我们，如果一个数列在数值上单调递增或单调递减，并且有一个上限和一个下限，那么它必然有一个极限。
这个定理使用起来非常广泛，它可以用于证明一些重要的数学结论，比如连续函数的中间值定理和柯西收敛原理等。
在本文中，我们将详细介绍单调有界数列必有极限的证明过程。
首先，我们来定义一下什么是单调有界数列。
如果一个数列满足以下两个条件，那么它就是单调有界数列：1. 数列单调递增或单调递减；2. 数列有一个上界和一个下界。
下面我们将证明：对于任意单调有界数列，它都有一个极限。
证明过程如下：1. 如果数列是单调递增的，那么我们将其上限定义为L。
因为数列有一个上界，所以L是有限的。
2. 接下来我们来证明，对于任意ε>0，都存在N，当n>N时，an和L的距离小于ε。
取N为大于L-ε的最小整数，那么有N>L-ε。
因为数列单调递增，所以对于任意n>N，an≥an-k （k=n-N>0）。
那么an≥an-N+1≥L-ε+1≥L-ε。
也就是说，an和L的距离小于ε，得证。
3. 如果数列是单调递减的，证明过程与上述类似。
我们将其下限定义为L，并证明对于任意ε>0，都存在N，当n>N时，an和L的距离小于ε。
取N为大于L+ε的最小整数，那么有N<L+ε。
因为数列单调递减，所以对于任意n>N，an≤an-k （k=n-N>0）。
那么an≤an-N+1≤L+ε-1≤L+ε。
也就是说，an和L的距离小于ε，得证。
综上所述，对于任意单调有界数列，它都有一个极限。
这个极限可以是数列的上限或下限。
证毕。
通过上述证明过程可以看出，该定理的证明并不是很复杂。
但这个定理的重要性在于它的应用广泛，特别是在数学分析中。
它奠定了数学分析的基础，为后来的柯西、威尔斯、阿贝尔等伟大的数学家打下了基础。
第一章 实数和数列极限第六节 单调有界原理与闭区间套定理我们知道，有界数列不一定收敛。
我们就问，对有界数列再加上什么条件，就能使它收敛呢。
在本节中将要引入一类特殊 的数列—单调数列；单调有界的数列必有极限，对单调数列而言，有界性和收敛性是等价的。
一 、单调数列 的概念 定义 1.8 设}{n a 是一个数列。
（1）如果数列}{n a 满足 1+≤n n a a ， ,2,1=n则称此数列为递增数列；（2）如果数列}{n a 满足 1+≥n n a a ， ,2,1=n 则称此数列为递减数列；（3）如果上面两个不等式都是严格的，即1+<n n a a （或1+>n n a a ）， ,2,1=n ， 则称此数列为严格递增的 （或严格递减的）。
（4）递增或递减的数列通称为单调数列 。
显然，递增的数列有下界， 递减的数列有上界。
显然，}{n a 是递增数列等价于}{n a -是递减数列。
（递增数列与递减数列两者可以互相转换，所以只讨论一种就可以了。
）例如 （1）na n 1211+++= ，*N n ∈，}{n a 是递增数列；（2）121211-+++=n n a ，*N n ∈，}{n a 是递增数列， （3）!1!211n s n +++= ，*N n ∈， }{n s 是递增数列 。
（4）}1{n 是递减数列，}{2n 是递增数列，}1{+n n 是递增数列 （11)1(1+-+++n n n n 0)1](1)1[(1>+++=n n ）。
例 设21=x ，并定义n n x x +=+21，*N n ∈则}{n x 是递增数列。
事实上 222+=x ，,,2223 ++=x可以从中观察出来有1321+<<<<<n n x x x x x ，*N n ∈；或者从考察1122-++-+=-n n n n x x x x)(22111---+++=n n n n x x x x ， 由此递推，得1321+<<<<<n n x x x x x ，*N n ∈； 故}{n x 是递增数列。
单调有界函数必收敛
单调有界函数必收敛是指：对任意输入x，若存在一个有限的定义域D，使得f(x)在D上只有一个最大值或最小值，则称f(x)为有界函数。
如果f(x)的值不断逼近这个最大值或最小值，则称函数收敛，这种函数就叫做单调有界函数。
由单调性可知，当x无穷大或无穷小时，f(x)将不断朝有界界值而不断减小或增大，因此f(x)必将不断接近其有界值，即收敛，由此可知，单调有界函数必然收敛。
例子：
设函数f(x)=1/x^2-1, 这是一个单调有界函数，当x无穷大时，f(x)的值将不断向0靠拢，故势必收敛于0。
又如设函数f(x)=x/(x^2+1), 它的定义域为D，当x ->无穷时，f(x)的值将不断向0靠拢，故f(x)必然收敛于0.
综上所述，单调有界函数必然收敛，不管x取何值，只要判断函数是否是单调有界函数，可以根据它的有界值来判断，就可以确定函数是否会收敛，这就是单调有界函数必收敛的原理。
单调有界定理
2.4.3实数的连续性
实数集比有理集多了一个重要性质，这就是连续性. 正因为实数集具有连续性，所以在实数集上的极限运算才是封闭的，从而实数集就成为数学分析的立论基础。
定理2.4.3（单调有界定理）若数列{a n}单调增加且有上界，则数列{a n}收敛。
证明：我们不妨假设a n≥0，否则，存在某个有理数c>0，使a n′= a n+c≥0，从而由讨论数列{ a n}变为讨论数列{ a n′}。
由引理2.4.1知，数列{ a n}稳定于某个实数a＝，下面证明，a就
是数列{ a n}的极限。
＞0，n0N，当n≥n0时，＜。
由引理2.4.1知，
事实上，
a n 0…，a n k…，
对于充分大的n0，当n＞n0时，有
a n＝，
︱a n-a︱=︱- ︱
≤<，
即=a
推论4.1若数列｛a n｝单调减少（即a n≥a n+1），且有下界M（a n≥M），则数列｛a n｝收敛。
证明：令a n′＝-a n。
由于a n≥a n+1且有下界M′，则可得a n′≥a n+1 ′且a n′≤M＝- M′，由
定理2.4.3知′＝a′。
从而有= a = - a n′
例1设a0＞0，b>0，a n＝（），n=1，2，…，证明数列｛a n｝收敛，并求其极限。
证明：不难看出，n N，有a n＞0，根据几何平均不超过算术平均，n N，有
a n＝（）≥（）＝b，
即数列｛a n｝有下界。
n N，有
a n+1-a n＝（）- a n＝（b-a n2）≤0，
即数列｛a n｝单调减少。
根据推论4.1，数列｛a n｝收敛，设＝a，由极限的单调性，有a≥>0。
对等式a n+1＝（）两端取极限得a=（a+），因a>0，得a=。
注4.4当b=2时，是无理数，例1表明：若a0是一有理数，则有理数列｛a n｝
收敛于无理数。
求极限的方法小结
阮正顺
极限思想贯穿整个高等数学的课程之中，而给定函数的极限的求法则成为极限思想的基础，因此有必要总结极限的求法，其求法可总结为以下几种：
一、利用极限四则运算法则
对和、差、积、商形式的函数求极限，自然会想到极限四则运算法则，法则本身很简单，但为了能够使用这些法则，往往需要先对函数做某些恒等变形或化简，采用怎样的变形和化简，要根据具体的算式确定，常用的变形或化简有分式的约分或通分、分式的分解、分子或分母的有理化、三角函数的恒等变形、某些求和或求积公式以及适当的变量替换。
例 1.
2.
二、利用两个重要极限
两个重要极限为：或使用它们求极限时，最重要的是对所给的函数或数列做适当的变形，使之具有相应的形式，有时也可通过变量替换使问题简化。
例 1.
2.
三、利用夹逼准则求极限
关键在于选用合适的不等式。
例 1.
2. 设，且求
四、利用单调有界准则求极限
首先常用数学归纳法讨论数列的单调性和有界性，再求解方程可求出极限。
例1. 设，
求极限。
五、利用无穷小的性质求极限
有限个无穷小的和是无穷小，有界函数与无穷小乘积是无穷小。
用等价无穷小替换求极限常常行之有效。
例 1. 2.
六、利用函数连续性求极限
设在点处连续，则。
例 1. 2.
七、利用洛必达法则求极限
洛必达法则对求未定式的极限而言，是一种简便而又有效的方法，前面出现的许多极限都可以使用此法则。
使用时，注意适当地化简、换元，并与前面的其他方法结合使用，可极大的简化运算。
例 1.
2.
3.
八、利用麦克劳林展式或泰勒展式求极限
设函数在的某个邻域内有定义，且存在，则对该邻域内任意点有如下表示式成立
此式称为的具有皮亚诺余项的阶麦克劳林展式，对某些教复杂的求极限问题，可利用麦克劳林展式加以解决。
必须熟悉一些常用的展式，如：
计算过程中，要注意高阶无穷小的运算及处理。
例
九、利用定积分定义及性质求极限
若遇到某些求和式极限问题，能够将其表示为某个可积函数的积分和，就能用定积分来求极限，关键在于根据所给和式确定被积函数以及积分区间。
例 1.
2.
十、利用级数收敛的必要条件求极限
级数收敛的必要条件是：若级数收敛，则，故对某些极限，可将函数作为级数的一般项，只须证明此技术收敛，便有。
例
十一、利用幂级数的和函数求极限
当数列本身就是某个级数的部分和数列时，求该数列的极限就成了求相应级数的和，此时常可以辅助性的构造一个函数项级数（通常为幂级数，有时为Fourier 级数）。
使得要求的极限恰好是该函数项级数的和函数在某点的值。
例求。
