一类用单调有界定理求解的数列的极限

数列极限的几种求解方法张宇（渤海大学数学系辽宁锦州121000 中国）摘要在髙等数学中极限是一个重要的基本概念。

高等数学中其他的一些重要概念，如微分、积分、级数等都是用极限来定义的。

本文主要研究了求极限问题的若干种方法。

在纷繁众多的求极限方法中，同学们往往在求解极限时不知如何下手。

文章内容包括对求解简单极限问题的各种常用方法的总结：利用迫敛性：利用单调有界定理；利用柯西准则证明数列极限：这些方法对解决一般数列极限问题都很适用。

还包括在此基础上探索出来的解决各种复杂极限问题的特姝方法，例如：利用数列的构造和性质求数列的极限：利用定积分定义求数列极限以及利用压缩映射原理等特殊方法求数列极限，这些特殊方法对解决复杂极限有很重要的意义，而且还比较方便。

在实际求解过程中，要灵活运用以上各种方法。

关键词：数列，极限，槪念，泄理。

Solution of the limitAbstract : In the higher mathematics limit is an important basic concepts・ In the higher mathematics, some important concepts of other, such as the differential and integration. series are used to define the limit. This paper mainly studies the problem of several limit .In the numerous and numerous limit method. students often in solving limit doesn't know how to start. Tlie contents include the limit for solving all kinds of simple method using the summary: popularizes forced convergence property. Monotone have defined Daniel, Using the proof of cauchy criterion sequence limit. These methods of solving problems are generally sequence limit. Also included on the basis of exploring the problem solving complex limit methods, such as special stnictures and properties of invariable; the sequence limit, Using the integral definition for sequence limit and use the banach cotraction principle as a special method. these special method sequence limit to solve complex limit is important, but also more convenient. In the actual solving process, using various above methods・Key words: Series, limit, the concept, the theorem.引言极限的概念与运算贯穿了高等数学的始终。

求数列极限的若干方法摘要：本文主要探讨了求数列极限的六种方法:极限定义法，迫敛性，单调有界定理，定积分的定义，施笃茨定理，以及利用函数极限求数列极限的方法，并对每一类方法进行了总结，这将有利于我们更好的学习后续课程。

关键词：极限；迫敛性；定积分数列极限是数学分析中最重要的概念之一，以极限作为工具去解决和处理数学问题是一种极其重要的方法。

许多学生在学习数列极限时感觉很困难，原因在于数列极限概念很抽象，而且计算也有一定的难度。

论文总结出了求数列极限的一些常用方法，为并结合实例进行了说明。

1. 数列极限概述对于数列{}n a ，若当n 无限增大时，{}n a 能无限地接近某一个常数a ，就称此数列为收敛数列，a 是此数列的极限。

例如，对于数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n 1，当∞→n 时，n 1能无限地接近于0，则称数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n 1为收敛数列。

就是说，当n 充分大时，数列的通项n a 与常数a 之差的绝对值可以任意小。

因此有下列数列极限的精确定义。

1.1数列极限的N -ε定义定义1 设{}n a 为数列，a 为定数.若对任给的正数ε，总存在正整数N ,使得当n >N 时有ε<-a a n ，则称数列{}n a 收敛于a ，定数a 称为数列{}n a 的极限。

定理1 （唯一性） 若数列{}n a 收敛，则它只有一个极限。

一个收敛数列一般含有无穷多个数，而它的极限只有一个数。

定理 2 （有界性）若数列{}n a 收敛，则{}n a 为有界数列，即存在正数M ，使得对一切正整数n 有M a n <.定理3 （保号性）若)0(0lim <>=∞→a a n n ，则对任何)0,)(,0(''）（或a a a a ∈∈，存在正数N ,使得当N n >时有)(''a a a a n n <>或。

定理 4 （保不等式性）设{}n a 与{}n b 均为收敛数列.若存在正数0N ,使得当0N n >时有n n b a ≤，则n n n n b a ∞→∞→≤lim lim 。

1.关于数列极限概念，单调有界定理，数列子列知识1.1数列极限概念定义1 设{}n a 为数列，α为定数。

若对任给的正数ε，总存在正数N ，使得当n >N 时， |α-n a |<ε则称数列{}n a 收敛于α，定数α称为数列{}n a 的极限，并记作lim n ∞→α=n a 或()∞→→n a n α读作“当n 趋于无穷大时，{}n a 的极限等于α或n a 趋于α”例1 证明limn ∞→0n 1=α，这里α为正数。

证 由于 ︱0n 1-α︱=αn1<ε, 可得αε11n >，故对任给的ε>0,只要取111+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=αεN ，则当N n >时，便有： εαα<<N n 11， 即 ︱01-αn ︱<ε，即 ︱01-αn︱<ε,这就证明了limn ∞→0n1=α 例2：证明,0lim =∞→n n q 这里.1<q证：若,0=q 则结果是显然的。

现设.10<<q 记,11-=qh 则.0>h 我们有,)1(10nn h q q +==-并由nh h n+≥+1)1(，得到.111nh nh q n <+≤对任给的,0>ε只要取,1hN ε=则当N n >时，由上式得.0ε<-n q 这就证明了0lim =∞→n n q1.2单调有界定理及其证明定义2 若数列{}n a 的各项满足关系式:)(11n ++≥≤n n n a a a a ,则称{}n a 为递增（递减）数列。

递增数列和递减数列统称为单调数列。

如⎭⎬⎫⎩⎨⎧n 1为递减数列，⎭⎬⎫⎩⎨⎧+1n n 为递增数列，而⎭⎬⎫⎩⎨⎧-n 1n）（则不是单调数列。

定理1：（单调有界定理）在实数系中，有界的单调数列必有极限。

证明：不妨设{}n a 为有上界的递增数列。

由确界原理，数列{}n a 有上确界，记}n a sup =α，下面证明α就是{}n a 的极限。

数列极限的几种求法摘要本文通过实例，归纳总结了数列极限的若干种求法．学习并掌握这些方法，对于学好数学分析颇有益处．关键词数列极限；级数；定积分；重要极限；单调有界数列中图分类号Ｏ171Several Methods of Sequence limitAbstract：Through examples，summarized several series method for finding the limit．Learn and master these methods，mathematical analysis is quite good for studying．Keywords：Sequence limit；Series；Definite integral；Important limit；Monotone bounded sequence１引言极限是分析数学中最基本的概念之一，用以描述变量在一定的变化过程中的终极状态．极限的概念，可追溯到古希腊时代，德谟克里特（Democritus）是古希腊的哲学家，他博学多才，著作多到五六十种，涉及哲学、数学、天文、生物、医学、逻辑、教育与文学艺术等方面．年轻时他花尽了父亲给他的全部财产到埃及、巴比伦、印度等国家游历，获得了大量的科学知识．马克思、恩格斯称他为“经验的自然科学家和希腊人第一百个百科全书式的学者”．谟克里特以探求真理为最大快乐，他有句名言：“宁可找到一个因果的解释，不愿获得一个波斯王位．”在他的著作中有一种原子法，把物体看作是由大量微小部分叠和而成，利用这一理论，求得锥体体积是等于等高柱体体积的三分之一，这是极限思想的萌芽．公元前五世纪，希腊数学家安提丰（Antiphon）在研究化圆为方问题时创立了割圆术，即从一个简单的圆内接正多边形出发，把每边所对的圆弧二等分，连结分点，得到一个边数加倍的圆内接正多边形，当重复这一步骤多次时，所得圆内接正多边形面积之差将小于任何给定的限度．实际上，安提丰认为圆内接正多边形与圆最终将会重合．稍后，另一位希腊数学家布里松(Bryson)考虑了用圆的外切正多边形逼近圆的类似步骤．这种以直线形逼近曲边形的过程表明，当时的希腊数学家已经产生了初步的极限思想．公元前４世纪，欧多克索斯(Eudoxus)将上述过程发展为处理面积、体积等问题的一般方法，称为穷竭法，并发展为较为严格的理论，提出现在分析中通称的“阿基米德公理”．穷竭法成功地运用于面积的计算．这些都可以看作是近代极限理论的雏形．朴素的、直观的极限思想在我国古代的文献中也有记载．如，中国古代的《墨经》中载有“穷，或有前，不容尺也”，《庄子·天下》中载有“一尺之棰啊，日取其半，万世不竭”．公元３世纪的中国数学家刘徽所创的割圆术，从圆内接正六边形出发割圆，得到圆内接6*2n 边形序列，并指出割得越细，正多边形的面积与圆面积之差就越小，“之又割，以至于不可割．则与圆和体，面无所失矣”……，其中包括了深刻的极限思想． ２ 基本概念定义１ 若函数f 的定义域为全体正正数集合N +，则称:f N R +→ 或 (),f n n N +∈为数列．因正整数集N +的元素可由小到大的顺序排列，故数列()f n 也可写作12,,,,,n a a a ⋅⋅⋅⋅⋅⋅或简单地记为{}n a ，其中n a 称为该数列的通项．定义２ 设{}n a 为一数列，如果存在常数a ，对于任意给定的正数ε（无论它多么小），总存在正整数N ，使得当n N <时，不等式n a a ε-<都成立，那么就称常数a 是数列{}n a 的极限，或者称数列{}n a 收敛于a ，记为lim n n a a →∞=或()n a a n →→∞．若数列{}n a 没有极限，则称{}n a 不收敛，或称{}n a 为发散数列．３ 数列极限的几种求法极限论包括数列极限和函数极限两类，其中计算数列极限有着多种多样的方法，除了要熟练运用极限的四则运算法则，极限和无穷小量之间的关系和初等函数的连续性以外，还要掌握和应用更多的方法和技巧．在这里，主要总结了以下几种方法：（１）四则运算法；（２）变量替换法；（３）初等变形法；（４）利用重要极限求数列极限；（５）单调有界数列法；（６）利用定积分求数列极限；（７）利用两边夹定理法；（８）级数法．下面通过实例讲述数列极限的若干种求法．（１）用四则运算法则求极限定理 若{}n a 与{}n b 为收敛数列，则{}n n a b +，{}n n a b -，{}n n a b ⋅ 也都是收敛数列，且有 ()lim lim lim n n n n n n n a b a b →∞→∞→∞±=±，()lim lim lim n n n n n n n a b a b →∞→∞→∞⋅=⋅．例１求n ．解==()111,n n +→→∞．得12n n ==． （２）用变量替换求极限有时候，为了将已知的极限化简，转化成为已知的极限，可根据极限式的特点，适当引入新变量，以替换原有的变量，使原来较复杂的极限过程转化为更简化的极限过程．例２ 设11n a -<<，)1,2,n a n ==⋅⋅⋅ 求(i) ()lim 41n n n a →∞-；(ii) ()12lim n n a a a →∞⋅⋅⋅⋅．解 可令()0cos ,0,a ααπ=∈，则1cos 2a α===． ()cos,1,2,2n na n α==⋅⋅⋅．于是（i ） ()22011lim 41cos lim 24arccos 222n nnn n a αα→∞→∞⎛⎫-=⋅== ⎪⎝⎭． （ii ） ()122lim lim cos cos cos 222n n n n a a a ααα→∞→∞⎛⎫⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭2cos cos cos sin 2222lim sin 2n n n n ααααα→∞⎛⎫⋅⋅⋅⋅⋅ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭01sin sin 2lim sin 2n n nαααα→∞===． （３）运用初等变形求极限对于某些较繁的数列{}n a ，可用初等数学的方法将其变形，转化为一个简单的数列，然后再对之求极限．例３ 求极限222111lim 11123n n →∞⎛⎫⎛⎫⎛⎫--⋅⋅⋅- ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．解 因为22211111123n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--⋅⋅⋅- ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭1325112233n n n n -+⎛⎫=⨯⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯⨯ ⎪⎝⎭． ∴ 222111lim 11123n n →∞⎛⎫⎛⎫⎛⎫--⋅⋅⋅- ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭111lim 22n n n →∞+=⨯=．（４）利用重要极限求数列极限两个重要极限分别为（i ）0sin lim 1x xx→=；（ii ）1lim 1nn e n →∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭．例４ 求()20lim 1xx x →+．解 ()()()21120lim 1lim 11xx x x x x x x e →→⎡⎤+=+⋅+=⎢⎥⎣⎦． （５）利用单调有界数列法求极限这一方法是利用极限理论基本定理：单调有界数列必有极限，其方法为：①判定数列是单调有界的，从而可设其极限为A ；②建立数列相邻两项之间的关系式；③在关系式两端取极限，得到一个关于A 的方程，若能解出A ，问题得解．例５ ⋅⋅⋅⋅⋅⋅，其中()0a >的极限．解 设)011,0,1,2,n x x x n +===⋅⋅⋅==⋅⋅⋅． 则{}n x 是单调有界数列，它要有极限，设其极限为A ．在1n x +=A =，即20A A a --=．所以12A ±=． 因为0A >，所以12A +=，即1lim 2n n x →∞+=．（６）利用定积分求数列极限若一个数列{}n a 是一个和式的形式，且每一项可提出一个1n或其他形式的代数式，提出这些代数式后，剩下的可表示为一个通式，则可方便的用定积分法求解．例６求1lim n n →∞⋅⋅⋅+． 解原式1101lim n n i n →∞===112xdx π===．（７）利用两边夹定理求数列极限当一数列极限不易直接求出时，可考虑将求极限的数列作适当的放大和缩小，使放大、缩小所得的新数列易于求极限，且两端的极限值相等，则原数列的极限值存在，且等于它们的公共值．例７ 求22212lim 12n n n n n n n n n →∞⎛⎫++⋅⋅⋅+ ⎪++++++⎝⎭． 解 因为()()2222112121222n n n nn n n n n n n n n n n n +++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+≥=+++++++++，()()222221121212121n n n nn n n n n n n n n n n +++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+≤=++++++++++． 又因为 ()()()()2111limlim 22221n n n n n n n n n n →∞→∞++==+++．所以 222121lim 122n n n n n n n n n →∞⎛⎫++⋅⋅⋅+= ⎪++++++⎝⎭． （８）用级数展开式求数列极限级数是一个无穷序列和的形式，其部分和就是一个序列．有时为了方便可将数列极限看作是某个级数的部分和，这样能更方便、更简捷的求出数列的极限．例８ 计算21lim 1sin n n n n →∞⎛⎫- ⎪⎝⎭．解 由泰勒公式知：()()33sin ,3!x x x o x x =-+→∞．令1x n =得，()()2111sin 1,3!n n O n n ⎛⎫-=+→∞ ⎪⎝⎭．则211lim 1sin 6n n n n →∞⎛⎫-= ⎪⎝⎭为所求． 总之，极限的求法很多，但如果在解题过程中能根据算式的特点注意使用适当的解题方法，则可以化难为易，使问题得到圆满解决，并可提高解题效率．参 考 文 献[1]华东师范大学数学系．数学分析（上册，第三版）［Ｍ］．北京：高等教育出版社，2006． [2]黄丹妹．试论极限的计算方法数列篇［Ｊ］．福建：福建省侨兴轻工学．2005(07)：18-20． [3]魏立明．一类数列极限求法的研究［Ｊ］．广西贺洲．梧州师范高等专科学校．2004(11)：75-77．[4]裴礼文．数学分析中的典型问题与方法［Ｍ］．北京：高等教育出版社，1993． [5]孙 涛．数学分析经典习题解析［Ｍ］．北京：高等教育出版社，2004． [6]陈文灯．数学复习指南［Ｍ］．北京：世界图书出版社，2005． [7]蔡子华．考研复习大全［Ｍ］．北京：现代出版社，2004．。

用单调有界准则求数列极限
单调有界准则求数列极限：
1、定义：单调有界准则（Monotonic Bounded Criterion）是利用一系列
上升或下降的有界数列作为依据来求解数列极限的一种准则。

2、假设：假定(a_n)是在区间[M,N]上有界的单调递增数列，其成长速
度越来越接近，则有a_n的极限存在，其极限值介于M与N之间；假
定(a_n)是在区间[M,N]上有界的单调递减数列，其成长速度越来越接近，则有a_n的极限存在，其极限值介于M与N之间；
3、性质：
（1）当a_n为上升数列时，极限值不会小于M，也不会大于N；
（2）当a_n为下降数列时，极限值不会小于M，也不会大于N；
（3）当a_n在M处取得局部最大值，或者在N处取得局部最小值时，可得出结论：极限值为M或N；
（4）当a_n在区间[M,N]内趋近于某一固定值L，则可以得到极限L；
4、应用：
（1）由定义可以看出，单调有界准则求数列极限与有界性紧密相关，只有满足有界条件的数列，才能满足单调有界准则的条件，从而求出其序列极限；
（2）对于上升或者下降的数列非常有用，而且单调有界准则具有计算量小、容易理解等优点；
（3）它还可以结合起始数列限定范围内所有可能的极限，具有很强的证明性。

5、示例：
令a_n={1+1/n， n=1，2，3，…}，M=1，N=2，那么由单调性及上下界可知此序列的极限落在[1,2]闭区间上，而整数M在该闭区间中，故有极限等于1。

浅谈数列极限与函数极限在解题中的区别和联系摘要在数学分析中，极限的知识体系包括数列极限和函数极限。

在求解数列极限的方法中，我们从极限的定义出发，根据极限的性质以及相关的定理法则，例如单调有界收敛来论证极限；在求解函数极限时，其方法与数列极限有着相同之处，同时又有所区别。

本文重点在于分析数列极限与函数极限在解题中的相似之处与不同之处，同时研究数列极限与函数极限的关系。

关键词：数列极限；函数极限；区别；联系目录1 数列极限与函数极限在解题中的相似之处 (3)1.1 定义法在极限解题中的应用 (3)1.1.1 定义法概述 (3)1.1.2 定义法解题实例分析 (3)1.2 迫敛性在极限解题中的应用 (4)1.2.1 迫敛性概述 (4)1.2.2 迫敛性解题实例分析 (4)1.3 积分中值定理在极限解题中的应用 (5)1.3.1 积分中值定理概述 (5)1.3.2 积分中值定理实例分析 (6)1.4 本章小结 (6)2 数列极限与函数极限在解题中的不同之处 (7)2.1 存在条件不同 (7)2.1.1 数列极限存在条件 (7)2.1.2 函数极限存在条件 (9)2.2 特殊形式的极限 (10)2.2.1 数列极限的特殊解法研究 (10)2.2.3 两个重要形式的函数极限解法研究 (12)3数列极限与函数极限的关系 (13)3.1海涅定理 (13)3.2海涅定理的应用 (14)4 结论 (16)1 数列极限与函数极限在解题中的相似之处数列极限与函数极限在解题过程中，存在着很多的相似之处。

主要表现在数列极限与函数极限的解题过程中，其方法的运用方面存在着很多的共同点。

下面将重点分析进行数列极限与函数极限的解题过程中，定义法以及利用数列迫敛性在数列极限与函数极限中的运用。

1.1 定义法在极限解题中的应用 1.1.1 定义法概述数列极限的N ε-定义：设{}n a 为数列，a 为定数，若对任给的正数ε，总存在正数N ，使得当n N >时，有n a a ε-<，则称数列{}n a 收敛于a 。