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高中数学 第一章 统计 1.8 最小二乘估计自主练习 北师大版必修3我夯基我达标1.设有一个回归方程y =2-1.5x ,则变量x 增加一个单位时(A.y 平均增加1.5个单位B.y 平均增加2个单位C.y 平均减少1.5个单位D.y 平均减少2个单位思路解析:(2-1.5x 1)-(2-1.5x 2)=-1.5(x 1-x 2),若变量x 增加一个单位,即x 1-x 2=1,则y 平均减少1.5个单位,所以应选 答案:C2.线性回归方程y =a +bx 必定过(A.(0,0)B.(xC.(0,y )D.(x ,y )思路解析:由公式中的a =y -b x ,得y =b x +a ,又(x i ,y i )(i =1,2,…,n )的中心点(x ,y )恰好满足方程y =b x +a ,故线性回归方程y =a +bx 必过(x ,y )点答案:D3.近10年来,某市社会商品零售总额与职工工资总额数据如下(单位:亿元): 工资总额x 23.8 27.6 31.6 32.4 33.7 34.9 43.2 52.8 63.8 73.4 社会商品总额y41.4 51.8 61.7 67.9 68.7 77.5 95.9 137.4 155.0 175.0建立社会商品零售总额y 与职工工资总额x 的线性回归方程是(A.y =2.799 1x- B.y =2.799 2x-C.y =2.699 2x- D.y =2.899 2x- 思路解析:利用计算器容易求得y x ,,x i ,y i ,x i 2,x i y i ,代入公式求出a 、b 得方程为y =2.799 2x -23.549 3. 答案:B4.针对某工厂某产品产量与单位成本的资料进行线性回归分析如下:月份 产量(千件)x i单位成本(元/件)y i x i 2x i y i ,716426,621===y x ∑∑====61612,4811,79i i i i iy x x，b 2818.1)6(67971621648112≈⨯-⨯⨯-=1 2 73 4 146a =71-(-1.818 2)×621≈77.37 则产量每增加1 000件,单位成本下降_______元思路解析:由上表可得y =-1.818 2x +77.37,产量每增加1千件,则单位成本下降 1.818 2元答案:1.818 25.某地区某种病的发病人数呈上升趋势,统计近四年这种病的新发病人数的线性回归分析如下表所示: 年份(x i ) 该年新发病人数(y i )x =1 997.5,y =2 540.25b =∑∑==--412241i i i i i xn x y x n yxa =y -b x =-186 6231996 2 400 1997 2 4911998 2 5861999 2 684如果不加控制,仍按这个趋势发展下去,请预测从2000年初到2003年底的四年时间里,该地区这种病的新发病总人数约为思路解析:由上表可得:y =94.7x -186 623,当x 分别取2 000,2 001,2 002,2 003时,得估计值分别为:2 777,2 871.7,2 966.4,3 061.1,则总人数约为 2 777+2 871.7+2 966.4+3答案:11 6766.在10年期间,一城市居民的年收入与某种商品的销售额之间的关系有如下数据. 第n 年 1 2 3 4 5 居民年收入x (亿元) 32.2 31.1 32.9 35.8 37.1某商品销售额y (万元)25.030.0343739.0第n 年 6 7 8 910 居民年收入x(亿元) 38.0 39.0 43 44.6 46.0某商品销售额y (万元) 41 42 42 48 51.0(1)画出散点图(2)如果它们具有线性关系,请用E xc el 软件求出回归直线方程思路分析:通过散点图检验两个变量是否具有线性相关关系后,再求回归方程.从散点图能看出它们有较好的线性关系 解:(1)根据数据画出散点图(2)从散点图看出它们具有线性关系,可以用最小二乘估计方法或用E xc el软件求出回归直线方程y=1.447x-15.843.7.某城区为研究城镇居民月家庭人均生活费支出和月人均收入的相关关系,随机抽取10户进行调查,其结果如下:月人均收入x(元) 300 390 420 504 570 700 760 800 850 1 080 月人均生活费y(元) 255 324 330 345 450 520 580 650 700 750 利用上述资料(1)画出散点图(2)如果变量x与y之间具有线性相关关系,求出回归直线方程(3)测算人均收入为280元时,人均生活费支出应为多少元思路分析:这是一个实际应用的回归分析问题,其实就是找出回归方程,通过回归直线方程来分析月人均收入与月人均生活费的关系解:(1)散点图如图所示(2)回归直线方程为y=0.707 61x(3)测算人均收入为280元时,人均生活费支出应为237.5元.我综合我发展8.每立方米混凝土的水泥用量x(单位:kg)与28天后混凝土的抗压强度(单位:kg/cm2)之间的关系有如下数据.x150 160 170 180 190 200210 220 230 240 250 260y74.1 77.4 80.2 82.6 86.4 89.7(1)利用散点图判断它们的相关性(2)如果y与x之间具有线性相关关系,求回归直线方程思路分析:求回归直线方程和相关系数,通常是用计算器来完成的.在有的较专门的计算器中,可通过直接按键得出回归直线方程的系数和相关系数,而如果要用一般的科学计算器进行计算,先列出相应的表格,有了表格中的那些相关数据,回归方程中的系数和相关系数就都容易求出了解:(1)画出散点图(2)从散点图看出y 与x 具有线性关系,可以用计算机或计算器求出线性回归方程y =0.304x +10.283.9.以下资料是一位销售经理收集来的每年销售额和销售经验年数的关系: 销售经验(年) 1 3 4 4 6 8 10 10 11 13 年销售额(千元) 80 97 92 102 103 111 119 123 117 136 (1)依据这些数据画出散点图并作直线y =78+4.2x ,计算∑=-1012;)ˆ(i i iyy(2)依据这些数据由最小二乘法求回归直线方程,并据此计算∑=-1012;)ˆ(i iiyy (3)比较(1)和(2)中的平方和∑=-1012)ˆ(i i iyy的大小,谁更好一些思路分析:由回归方程的系数的计算公式进行计算.通过本题的解答体会最小二乘估计的优越性解:(1)散点图与直线y ^=78+4.2x 的图形如下图所示,对x =1,3,…,13,有y ^=82.2,90.6,94.8,94.8,103.2,111.6,120,120,124.2,132.6,∑=-1012)ˆ(i i iyy(2)∑∑===-===1011012,142)(,108,7101i i i i x x y x x ∑=--101))((i i iy y x x=568,所以b =142568=4,a =y -b x =108-4×7=80, 故yˆ=4x +80.i yˆ=84,92,96,96,104,112,120,120,124,132. ∑==-1012.170)ˆ(i i iyy(3)比较可知,用最小二乘法求出的∑=-1012)ˆ(i i iyy较小,用最小二乘估计的算法优越一些. 10.一机器可以按各种不同速度运转,其生产的物件有一些会有问题,每小时生产有问题物件的多寡,随机器运转的速度而变化,下列即为其试验结果: 速度 每小时生产有问题物件数 8 5 12 8 14 9 1611(1)求出机器速度影响每小时生产有问题物件数的回归直线方程(2)若实际生产中所允许的每小时最大问题物件数为10,那么,机器的速度不得超过多少转/秒思路分析:把题中的量用回归分析的专用术语改写后再顺着回归分析的一般步骤解题 解:(1)用x 来表示机器速度,y 表示每小时生产的有问题的物件数,那么有 (x 1,y 1)=(8,5),(x 2,y 2)=(12,8),(x 3,y 3)=(14,9),(x 4,y 4)=(16,11), 则x =12.5,y 回归直线的斜率为b =∑∑==--ni ini iixn xyx n yx 1221截距a =x b y -=-0.857 1.所以所求的回归方程为y =0.728 6x -(2)根据公式y =0.728 6x -0.857 1,要使y ≤10,即0.728 6x-∴x ≤14.901 3,即机器的速度不能超过14.901 3转/秒.11.一个工厂在某年里每月产品的总成本y (万元)与该月产量x (万件)之间有如下一组数据. x 1.08 1.12 1.19 1.28 1.36 1.48 y 2.25 2.37 2.40 2.55 2.64 2.75x 1.59 1.68 1.80 1.87 1.98 2.07 y 2.92 3.03 3.14 3.26 3.363.50(1)画出散点图(2)求月成本y 与月产量x 之间的回归直线方程思路分析:从散点图中我们看出该月产量与总成本符合方程y =1.277 0x +0.853 7,很好地反映了它们之间的关系,我们可以根据要达到的产量来确定需要的总成本解:(2)利用计算器计算得∑====1212,5822.2,7541.1125.18i i x y x =29.808，∑=1212i i y =97.768 1，∑=121i i i y x =53.86.利用公式求得b ≈1.277 0，a =y －bx 因此所求回归直线方程为y =1.277 0x +0.853 7.。
最小二乘估计(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)一、选择题(每小题5分，共20分)1．由一组样本数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )得到线性回归方程y ＝bx ＋a ，那么下面说法不正确的是( )A ．直线y ＝bx ＋a 必经过点(x ，y )B ．直线y ＝bx ＋a 至少经过点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )中的一个点C ．直线y ＝bx ＋a 的斜率为∑i ＝1nx i y i －n x y∑i ＝1nx 2i －n x2D ．直线y ＝bx ＋a 与各点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )的接近程度∑i ＝1n[y i －(bx i ＋a )]2是该坐标平面上所有直线与这些点的最接近的直线解析： 直线y ＝bx ＋a 一定过点(x ，y )，但不一定要过样本点． 答案： B2．设一个线性回归方程为y ＝2＋x ，则变量x 增加1个单位时( ) A ．yB ．yC ．y 平均增加2个单位D ．y 平均减少2个单位解析： 根据系数b 的意义可得b ＝1.2＞0，因此变量x 增加1个单位时，y ． 答案： A3．某考察团对全国10大城市进行职工人均工资水平x (元)与居民人均消费水平y (元)统计调查，y 与x 具有相关关系，线性回归方程为y ＝x ＋1562，若某城市居民人均消费水平为7675元，估计该城市人均消费额占人均工资收入的百分比约为( )A ．83%B ．72%C ．67%D ．66%解析： 将y ＝7675代入回归方程，可计算得x ≈9262，所以该城市人均消费额占人均工资收入的百分比约为7675÷9262≈0.83，即约为83%.答案： A4．已知x 与y 之间的几组数据如下表：x 1 2 3 4 5 6 y21334假设根据上表数据所得线性回归直线方程为y ＝bx ＋a .若某同学根据上表中的前两组数据(1,0)和(2,2)求得的直线方程为y ＝b ′x ＋a ′，则以下结论正确的是( )A ．b ＞b ′，a ＞a ′B ．b ＞b ′，a ＜a ′C ．b ＜b ′，a ＞a ′D ．b ＜b ′，a ＜a ′解析： 法一：由两组数据(1,0)和(2,2)可求得直线方程为y ＝2x －2，故b ′＝2，a ′＝－2.而利用线性回归方程回归系数b ，a 的计算公式与已知表格中的数据，可求得b ＝∑i ＝16x i y i －6x ·y∑i ＝16x 2i －6x2＝58－6×72×13691－6×⎝⎛⎭⎫722＝57，a ＝y －b x ＝136－57×72＝－13，所以b ＜b ′，a ＞a ′.法二：根据所给数据画出散点图(如图所示)直接判断，斜率b ′＞b ，截距a ＞a ′.答案： C二、填空题(每小题5分，共15分)5．调查了某地若干户家庭的年收入x (单位：万元)和年饮食支出y (单位：万元)，调查显示年收入x 与年饮食支出y 具有线性相关关系，并由调查数据得到y 对x 的回归直线方程：y ＝x ＋，家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加________万元．解析： 由线性回归方程中b ． 答案：6．某地区近10年居民的年收入x 与支出y 之间的关系大致符合y ＝x ＋(单位：亿元)，预计今年该地区居民收入为15亿元，则年支出估计是________亿元．解析： 由题意知，y ×(亿元)． 答案：7．已知x ，y 之间的一组数据如下表：x 2 3 4 5 6 y34689对于表中数据，现给出如下拟合直线：①y ＝x ＋1；②y ＝2x －1；③y ＝85x －25；④y ＝32x .则根据最小二乘法的思想求得拟合程度最好的直线是________(填序号)．解析： 由题意知x ＝4，y ＝6，∴b ＝∑i ＝15x i y i －5x y∑i ＝15x 2i －5x2＝85， ∴a ＝y －b x ＝－25，∴y ＝85x －25，故填③.答案： ③三、解答题(每小题10分，共20分)8．随着网络的普及，网上购物的方式已经受到越来越多年轻人的青睐，某家网络店铺商品的成交量x (件)与店铺的浏览量y (次)之间的对应数据如下表所示：x /件 2 4 5 6 8 y /次3040506070(1)画出表中数据的散点图；(2)根据表中的数据，求出y 关于x 的线性回归方程；(3)要使这种商品的成交量突破100件(含100件)，则这家店铺的浏览量至少为多少？ 解析： (1)散点图如图所示．(2)根据散点图，变量x 与y 之间具有线性相关关系．数据列成下表：i x i y i x 2i x i y i 1 2 30 4 60 2 4 40 16 160 3 5 50 25 250 4 6 60 36 360 5 8 70 64 560 合计252501451 390由上表计算出x ＝255＝5，y ＝2505＝50，代入公式得b ＝∑i ＝15x i y i －5x y∑i ＝15x 2i －5x2＝1 390－5×5×50145－5×52＝7，a ＝y －b x ＝50－7×5＝15，故所求的线性回归方程是y ＝15＋7x . (3)根据上面求出的线性回归方程，当成交量突破100件(含100件)，即x ＝y －157≥100时，y ≥715，所以店铺的浏览量至少为715次．9．(2018·上海徐汇区一模)某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此作了四次试验，得到的数据如下：零件的个数x (个) 2 3 4 5 加工的时间y (时)34(1)在给定的坐标系中画出表中数据的散点图；(2)求出y 关于x 的线性回归方程y ∧＝b ∧x ＋a ∧，并在坐标系中画出回归直线； (3)试预测加工10个零件需要多少时．附：b ∧＝∑i ＝1nx i y i －n x y∑i ＝1nx 2i －n x2，a ∧＝y －b ∧x解析： (1)散点图如图．(2)由表中数据得∑i ＝14x i y i ＝52.5，x ＝3.5，y ＝3.5，∑i ＝14x 2i ＝54.∴b ∧＝，∴a ∧＝1.05.∴y ∧＝x ＋．(3)将x ＝10代入线性回归方程，得y ∧＝×10＋＝(时)． ∴．。
§8最小二乘估计课时过关·能力提升1.某地区调查了2~9岁的儿童的身高,由此建立的身高y(cm)与年龄x(岁)的回归模型为y=8.25x+60.13,下列叙述正确的是()A.该地区一个10岁儿童的身高为142.63 cmB.该地区2~9岁的儿童每年身高约增加8.25 cmC.该地区9岁儿童的平均身高是134.38 cmD.利用这个模型可以准确地预算该地区每个2~9岁儿童的身高解析:由y=8.25x+60.13知斜率的估计值为8.25,说明每增加一个单位年龄,约增加8.25个单位身高,故选B.答案:B2.对具有线性相关关系的变量x,y有一组预测数据(x i,y i)(i=1,2,…,8),其回归直线方程是y=13x+a,且x1+x2+⋯+x8=2(y1+y2+⋯+y8)=6,则实数a的值是()A.116B.18C.14D.12解析:由题意易知x=3,y=3,代入线性回归方程得a=1.答案:B3.y对xA.y=x-1B.y=x+1C.y=88+12x D.y=176解析:方法一:由线性回归方程过样本中心点(176,176),排除A,B项,结合选项可得C为正确答案.方法二:将表中的五组数值分别代入选项验证,可知y=88+12x最适合.答案:C4.下表是某厂1月到4用水量y与月份x,则a的值为()A.5.25B.5C.2.5D.3.5解析:x=2.5,y=3.5,代入回归方程,得3.5=-0.7×2.5+a,故a=5.25.答案:A5.对某台机器购置后的运行年限x(x=1,2,3,…)与当年利润y的统计分析知x,y具备线性相关关系,线性回归方程为y=10.47-1.3x,估计该台机器最为划算的使用年限为()A.7年B.8年C.9年D.越长越划算解析:当年利润小于或等于零时应该报废该机器,当y=0时,10.47-1.3x=0,解得x≈8.05.故估计该台机器最为划算的使用年限为8年.答案:B6.正常情况下,年龄在18岁到38岁的人,体重y(kg)对身高x(cm)的回归方程为y=0.72x-58.2,王能同学(20岁)身高178 cm,他的体重应该在kg左右.解析:用回归方程对身高为178 cm的人的体重进行预测,当x=178时,y=0.72×178-58.2=69.96.答案:69.967.某数学老师身高176 cm,他爷爷、父亲和儿子的身高分别是173 cm,170 cm和182 cm.因为儿子的身高与父亲的身高有关,该老师用以上数据求出线性回归方程来预测他孙子的身高为cm.解析:设线性回归方程为y−b x=176−173=3.故线性回归直线方程为y=3+x,将x=182代入可预测他孙子的身高为185 cm.答案:1858.期中考试后,某班班主任对50名学生的成绩进行分析,得到数学成绩y与总成绩x之间具有线性相关关系,其线性回归方程为y=6+0.4x,由此可以估计:若两名同学的总成绩相差50分,则他们的数学成绩相差分.答案:209. 已知某工厂在某年每月产品的总成本y(单位:万元)与该月产量x(单位:万件)之间的回归方程为y=1.215x+0.974,计算当x=2时,总成本y的估计值为.解析:当x=2时,总成本y的估计值y=1.215×2+0.974=3.404.答案:3.40410.一个车间为了规定工时定额,需要确定加工零件所花费时间,为此进行了10次试验,测得的数据如下:如果(1)y关于x的线性回归方程;(2)x关于y的线性回归方程.b=55950-10×55×91.738500-10×552≈0.668,a=y−bx≈91.7-0.668×55=54.96,即所求线性回归方程为y=0.668x+54.96.(2)设所求线性回归方程为x=c+dy,d=55950-10×55×91.7 87777-10×91.72≈1.495.则c=x−dy≈55-1.495×91.7≈-82.09, 即所求线性回归方程为x=1.495y-82.09.。
高中数学第一章统计1.8最小二乘估计课后梯度测评北师大版必修3一、选择题1．过三点(3,10)，(7,20)，(11,24)的线性回归直线方程是( )A．y＝1.75－5.75x B．y＝－1.75＋5.75xC．y＝5.75＋1.75x D．y＝5.75－1.75x答案 C解析根据求线性回归方程的方法，利用公式可得到答案．2．抽测10只某种白炽灯的使用寿命x，结果如下(单位：h)：1067,919,1196,785，t,936,918,1156,920,918，若x－＝997，则t大约是( )A．1120 B．1124 C．1155 D．1128答案 C3．在线性回归方程中，b表示( )A．当x增加一个单位时，y增加a的数量B．当y增加一个单位时，x增加b的数量C．当x增加一个单位时，y的平均变化量D．当y增加一个单位时，x的平均变化量答案 C解析本题主要考查线性回归方程中a，b的含义．4．由一组样本数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x n，y n)得到线性回归方程y＝bx＋a，那么下列说法中错误的是( )A．直线y＝bx＋a必经过点(x－，y－)B．直线y＝bx＋a至少经过点(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x n，y n)中的一个点C．直线y＝bx＋a的斜率为b＝∑i＝1nx i y i－n x－y－∑i＝1nx2i－n x－2D．直线y＝bx＋a和各点(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x n，y n)的偏差的平方和∑i＝1n[y i－(bx i＋a)]2是该坐标平面上所有直线与这些点的偏差的平方和中最小的答案 B解析 理解线性回归方程的真正含义．因为y －＝b x －＋a ，其中x －＝1n(x 1＋x 2＋…＋x n )，y－＝1n(y 1＋y 2＋…＋y n )，显然回归直线经过点(x －，y －)．故A 是正确的．回归直线最能近似刻画点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )的变化趋势，但并不一定经过某些点．故B 是错误的．对于C 、D 只需了解相应概念便会得出正确结论．5．下列叙述中：①变量间关系有函数关系，还有相关关系； ②回归函数即用函数关系近似地描述相互关系；③∑ni ＝1x i ＝x 1＋x 2＋…＋x n ； ④线性回归方程y ^＝bx ＋a 中，b ＝∑ni ＝1 (x i －x －)(y i －y －)∑ni ＝1(x i －x －)2，a ＝y －－b x －； ⑤线性回归方程一定可以近似地表示所有相关关系． 其中正确的有( ) A ．①②③ B ．①②④⑤ C ．①②③④ D ．③④⑤答案 C解析 利用直接法逐个判断可知，①②③④正确，而⑤线性回归方程可以近似地表示具有线性相关关系，而不能表示其他相关关系．6．某化工厂为预测某产品的回收率y ，需要研究它和原料有效成份含量x 之间的相关关系，现取了8对观察值，计算得：∑8i ＝1x i ＝52，∑8i ＝1y i ＝228，∑8i ＝1x 2i ＝478，∑8i ＝1x i y i ＝1849，则y 与x 的回归方程是( )A.y ^＝11.47＋2.62x B.y ^＝－11.47＋2.62xC.y ^＝2.62＋22.47x D.y ^＝11.47－2.62x 答案 A解析 把题目所给的数据代入公式分别求系数a 和b 即可． 二、填空题7．调查了某地若干户家庭的年收入x (单位：万元)和年饮食支出y (单位：万元)，调查显示年收入x 与年饮食支出y 具有线性相关关系，并由调查数据得到y 对x 的回归直线方程：y ^＝0.254x ＋0.321.由回归直线方程可知，家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加________万元．答案 0.254解析 本小题主要考查了利用回归直线方程，对数据进行估计．以x ＋1代x ，得0.254(x ＋1)＋0.321，与0.254x ＋0.321相减可得，年饮食支出平均增加0.254万元．8．某商店统计了最近6个月某商品的进价x 与售价y (单位：元)的对应数据如下：x 3 5 2 8 9 12 y46391214则x －＝________，y ＝________，∑6i ＝1x 2i ＝________，∑6i ＝1x i y i ＝________，回归方程为________．答案 6.5 8 327 396 y ^＝1.4x ＋0.571解析 根据公式代入即可求得，也可以利用计算器求得，x －＝6.5，y －＝8，∑6i ＝1x 2i ＝327，∑6i ＝1x i y i ＝396，回归方程为y ^＝1.4x ＋0.571.9．假设学生在初中的英语成绩和高一英语成绩是线性相关的．现有10名学生的初中英语成绩(x )和高一英语成绩(y )如下：x 74 71 72 68 76 73 67 70 65 74 y76757170767965776272答案 1.2182解析 求斜率即求回归方程中的b ，按照公式进行即可，即需要依次计算出x －＝71，∑10i ＝1x 2i＝50520，y －＝72.3，∑10i ＝1x i y i ＝51467，所以b ＝51467－10×71×72.350520－10×712≈1.2182，所以斜率为1.2182.三、解答题10．在10年期间，一城市居民的年收入与某种商品的销售额有如下数据：(1)画出散点图；(2)如果散点图中的各点大致分布在一条直线的附近，求y与x之间的线性回归方程．解(1)散点图如图．(2)由图可知，y与x线性相关，列表计算如下：所以b ＝15202.9－10×37.97×39.114663.67－10×37.972≈1.447，a ＝39.1－1.447×37.97≈－15.843，因此，所求线性回归方程为y ＝1.447x －15.843.11．PM2.5是指空气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物(也称可入肺颗粒物)，为了探究车流量与PM2.5的浓度是否相关，现采集到某城市周一至周五某时间段车流量与PM2.5浓度的数据如下表：(2)若周六同一时段车流量是200万辆，试根据(1)求出的线性回归方程，预测此时PM2.5的浓度为多少？解 (1)由条件可知，x －＝15∑i ＝15x i ＝5405＝108，y －＝15∑i ＝15y i ＝4205＝84，∑i ＝15(x i －x －)(y i －y －)＝(－8)×(－6)＋(－6)×(－4)＋0×0＋6×4＋8×6＝144，∑i ＝15(x i －x －)2＝(－8)2＋(－6)2＋02＋62＋82＝200，b ＝∑i ＝15(x i －x －)(y i －y －)∑i ＝15(x i －x －)2＝144200＝0.72， a ＝y －－b x －＝84－0.72×108＝6.24，故y 关于x 的线性回归方程为y ^＝0.72x ＋6.24.(2)当x ＝200时，y ^＝0.72×200＋6.24＝150.24.所以可以预测此时PM2.5的浓度约为150.24微克/立方米． 12．某地最近十年粮食需求量逐年上升，下表是部分统计数据：(1)利用所给数据求年需求量与年份之间的回归直线方程y ^＝bx ＋a ； (2)利用(1)中所求出的直线方程预测该地2020年的粮食需求量．解 本题考查回归分析的基本思想及其初步应用、回归直线的意义和求法、数据处理的基本方法和能力，考查运用统计知识解决简单实际应用问题的能力．(1)由所给数据看出，年需求量与年份之间是近似直线上升，下面来求回归直线方程．为此对数据预处理如下：对预处理后的数据，容易算得x ＝0，y ＝3.2，b ＝(－4)×(－21)＋(－2)×(－11)＋2×19＋4×2942＋22＋22＋42＝26040＝6.5， a ＝y －－b x －＝3.2.由上述计算结果，知所求回归直线方程为y ^－257＝b (x －2014)＋a ＝6.5(x －2014)＋3.2，即y ^＝6.5(x －2014)＋260.2. ①(2)利用直线方程①，可预测2020年的粮食需求量为6．5×(2020－2014)＋260.2＝6.5×6＋260.2＝299.2(万吨)≈300(万吨)．(未写近似值不扣分)13．日常生活中，某些东西所含的热量比较高，对我们的身体有一定的影响，下表给出了不同类型八种饼干的数据，第一列数据表示八种饼干各含热量的百分比，第二列数据表示顾客对八种饼干所给予分数(百分制)．(1)(2)关于两个变量之间的关系，你能得出什么结论？(3)为什么人们更喜欢吃位于回归直线上方的饼干而不是下方的饼干？ 解 (1)先把数据列成表：由上表分别计算x ，y 的平均数得x －＝1878，y －＝6098，代入公式⎩⎪⎨⎪⎧b ＝∑ni ＝1x i y i －n x －y －∑ni ＝1x 2i －n x － 2，a ＝y －－b x －，得b ＝14426－8×1878×60984555－8×⎝ ⎛⎭⎪⎫18782＝190.625183.875≈1.037，a ＝6098－1.036710×1878＝76.125－24.2331≈51.9. 则回归直线方程y ^＝1.037x ＋51.9.(2)回归直线方程y ^＝1.037x ＋51.9中的回归系数b ＝1.037，它的意义是热量比每增加一个百分比，口味记录平均增加1.037分．(3)因为饼干所含有的热量百分比相同时，人们的满意率比较高；并且满意率相同时，位于回归直线上方的饼干所含热量百分比较低，人们比较喜欢吃热量百分比较低的食品．所以人们喜欢吃位于回归直线上方的饼干．。
高中数学第一章统计 1.8 最小二乘估计自我小测北师大版必修31．根据一组数据判断两个变量是否线性相关时，应选( )．A．茎叶图 B．频率分布直方图C．散点图 D．频率折线图2．下列两个变量中具有相关关系的是( )．A．正方体的体积与棱长B．匀速行驶的车辆的行驶距离与时间C．人的身高与体重D．人的身高与视力3．下列关系中为相关关系的有( )．①学生的学习态度和学习成绩之间的关系；②教师的执教水平与学生的学习成绩之间的关系；③学生的身高与学生的学习成绩之间的关系；④家庭的经济条件与学生的学习成绩之间的关系．A．①② B．①③ C．②③ D．②④4．能从各散点图中点的分布状况，直观上判断两个量之间有线性相关关系的是( )．5．下列两个变量之间的关系不是函数关系的是______．①角度和它的余弦值②正方形的边长和周长③正n边形的边数和内角和④人的体重和身高6．下面各组变量之间具有相关关系的是______(填上正确答案的序号)．①高原含氧量与海拔高度．②速度一定时，汽车行驶的路程和所用的时间．③学生的成绩和学生的学号．④父母的身高和子女的身高．7．某个男孩的年龄与身高的统计数据如下：8．在7块并排的、形状大小相同的试验田上进行施化肥量对水稻产量影响的试验，得到如下表所示的一组数据(单位：kg)：(1)(2)判断它们是否具有线性相关关系．参考答案1．答案：C2．解析：函数关系是一种确定的关系，而相关关系则是一种不确定的关系．A，B两项为函数关系，C项是相关关系，D项则无任何关系．答案：C3．答案：A4．解析：在选项A中，点的分布毫无规则，横轴、纵轴表示的两个量之间的相关程度很小．在选项B中，所有的点严格地分布在一条直线上，横轴、纵轴表示的两个量之间有确定的关系——函数关系．在选项C中，点的分布基本上集中在一个带状区域内，横轴、纵轴表示的两个变量之间有线性相关关系．在选项D中，点的分布基本上集中在某条曲线两侧带状区域内，因此横轴、纵轴表示的两个变量也有相关关系，只是它是非线性相关关系．答案：C5．解析：由函数关系与相关关系的概念即知．答案：④6．答案：①④7．解：散点图如右．由散点图可清楚地看到，在一定的范围内，这个男孩的年龄与身高具有明显的线性相关关系．8．分析：(1)以施化肥量为横坐标，其对应的观测值为纵坐标，在平面直角坐标系中描点，得散点图；(2)由散点图分析是否具有线性相关关系，如果散点图中的点分布在一条直线附近，说明两个变量具有线性相关关系，否则不具有线性相关关系．解：(1)散点图如图所示．(2)观察散点图，知散点图中的点分布在一条直线附近，则水稻产量与施化肥量之间具有线性相关关系．。
1.8 最小二乘估计1．了解最小二乘法的思想及意义．(重点)2．会求线性回归方程并进行简单应用．(难点)[基础·初探]教材整理 最小二乘法及线性回归方程阅读教材P 54～P 59“信息技术应用”以上部分，完成下列问题．1．最小二乘法．如果散点图呈现一定的规律性，我们散点图利用最小二乘法估计时，要先做出数据的估计出线性最小二乘法再根据这个规律进行拟合．如果散点图呈现出线性关系，我们可以用回归方程；如果散点图呈现出其他的曲线关系，我们就要利用其他的工具进行拟合．2．线性回归方程用x 表示x1＋x2＋ (x)n，用y 表示y1＋y2＋…＋ynn，由最小二乘法可以求得b＝－x－y＋－x －y＋…＋－x－y－x＋－x＋…＋－x＝x1y1＋x2y2＋…＋xnyn－n x yx21＋x22＋…＋x2n －n x 2，a ＝y －b x .是线性回归方程的系数．b 、a 称为线性回归方程，bx ＋a ＝y 这样得到的直线方程判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)回归直线总经过样本中的所有点．( ) (2)由回归直线求出的值不是一个准确值．( )(3)任何一组数据，都可以由最小二乘法得出线性回归方程．( )【解析】 (1)×，回归直线不一定经过样本中的点，若经过所有点，则两变量为函数关系．(2)√，求出的值是一个估计值．(3)×，只有线性相关的数据才有线性回归方程．【答案】 (1)× (2)√ (3)×[小组合作型]某地区)的数据如下表：(2)利用(1)中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入．附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：b ＝∑n i ＝1－t－y∑ni ＝1－t，a ＝y －b t .【精彩点拨】 (1)借助最小二乘法求回归直线的斜率和截距．(2)根据b 的值判断2007～2013年的人均收入情况，令t ＝9求出y 的值即为2015年的收入情况．【自主解答】 (1)因为t ＝1＋2＋…＋77＝4，y ＝2.9＋3.3＋3.6＋4.4＋4.8＋5.2＋5.97＝4.3，设回归方程为y ＝bt ＋a ，代入公式，经计算得b ＝3×1.4＋2＋0.7＋0＋0.5＋1.8＋4.8＋4＋＝1414×2＝12，。
§8最小二乘估计课后篇巩固提升A组1.已知回归直线的斜率的估计值是1.23,样本点的中心是(4,5),则线性回归方程是()A.y=4+1.23xB.y=5+1.23xC.y=0.08+1.23xD.y=1.23+0.08x解析由已知得b=1.23,푥=4,푦=5,于是a=푦-b푥=5-1.23×4=0.08,因此线性回归方程为y=1.23x+0.08. 答案C2.在2017年春节期间,某市场物价部门对本市五个商场销售的某商品一天销售量及其价格进行调查,五个商场的售价x元和销售量y件之间的一组数据如下表所示:价格x 99.15 010.15 1销售量y 11108 6 5通过分析,发现销售量y对商品的价格x具有线性相关关系,则销售量y对商品的价格x的线性回归方程为()A.y=3.2x-24B.y=-3.2x+40C.y=3x-22D.y=3x+38 答案B3.某地区调查了2~9岁的儿童的身高,由此建立的身高y(单位:cm)与年龄x(单位:岁)的回归模型为y=8.25x+60.13,下列叙述正确的是()A.该地区一个10岁儿童的身高为142.63 cmB.该地区2~9岁的儿童每年身高约增加8.25 cmC.该地区9岁儿童的平均身高是134.38 cmD.利用这个模型可以准确地预算该地区每个2~9岁儿童的身高解析由y=8.25x+60.13知斜率的估计值为8.25,说明每增加一个单位年龄,约增加8.25个单位身高,故选B.答案B4.某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表:广告费用x/万元4 2 3 5销售额y/ 4 2 3 5万元9 6 9 4根据上表可得回归方程y=bx+a中的b为9.4,据此模型预报广告费用为6万元时的销售额为()A.63.6万元B.65.5万元C.67.7万元 D.72.0万元4+2+3+549+26+39+54解析∵푥==3.5, =42,且y=bx+a必过(푥,푦),4푦=41∴42=3.5×9.4+a,∴a=9.1.∴线性回归方程为y=9.4x+9.1.∴当x=6时,y=9.4×6+9.1=65.5(万元).答案B5.已知x与y之间的几组数据如下表:x123456y021334假设根据上表数据所得线性回归方程为y=bx+a,若某同学根据上表中的前两组数据(1,0)和(2,2)求得的直线方程为y=b'x+a',则以下结论正确的是()A.b>b',a>a'B.b>b',a<a'C.b<b',a>a'D.b<b',a<a'2-01366解析b'= =2,a'=0-2×1=-2. ∑x i y i=0+4+3+12+15+24=58, =3.5,x y=6,∑푥2푖2- 1푖=1i=11358-6×3.5×65135=1+4+9+16+25+36=91,∴b= ,a=6―×3.5=-,∴b<b',a>a'.故选C.=91-6×3.5277答案C6.已知一个线性回归方程为y=1.5x+45,x∈{1,7,5,13,19},则푦=.1解析因为푥=(1+7+5+13+19)=9,且=1.5 +45,所以=1.5×9+45=58.5.答案58.55푦푥푦7.下表是某厂1到4月用水量情况(单位:百吨)的一组数据:月份x1234用水量y 4.52.435用水量y与月份x之间具有线性相关关系,其线性回归方程为y=-0.7x+a,则a的值为.解析由已知得푥=2.5,푦=3.5,因此3.5=-0.7×2.5+a,解得a=5.25.答案5.258.(2018山东潍坊高一同步检测)2018年,我国政府加强了对高耗能企业的监管,采取多种方式促进企业向节能型企业转变,某工厂经过技术改造后,降低了能源消耗,经统计该厂某种产品的产量x(吨)与相应的生产能耗y(吨汽油)有如下几组样本数据:x3 4562 4y. 34.5 5根据相关性检验,这组样本数据具有线性相关关系,通过线性回归分析,求得回归直线的斜率为0.7,已知该工厂在2018年能耗计划中汽油不超过8.75吨,则该工厂2018年的计划产量最大约为吨.3+4+5+6 2.5+3+4+4.5解析푥==4.5, =3.5,故样本点的中心为A(4.5,3.5),由题意,设回4푦=4^ ^ ^ ^ ^ 归直线方程是푦=0.7x+a,代入A点坐标得3.5=0.7×4.5+푎,求得푎=0.35,故回归直线方程为푦^=0.7x+0.35.由题意得푦=0.7x+0.35≤8.75,解得x≤12.所以该工厂2018年的计划产量最大约为12吨.2答案129. 导学号36424030假设关于某设备使用年限x年和所支出的维修费用y(单位: 万元),有如下的统计资料:x2 3 4 5 62 3 5 6 7y. . . . .2 8 5 5 0请画出上表数据的散点图,判断它们是否具有相关关系,若相关,求出y关于x的线性回归方程. 解散点图如下:由散点图可知,两变量之间具有相关关系,且为线性相关.列表,计算i 1 2 3 4 5x i 2 3 4 5 6y i 2.23.85.56.57.x i y i 4.411.422.032.542.0x2i4 9 16 25 36=4, =5;5 5∑x2i=90, ∑i=1i=1x i y i=112.3设所求回归方程为y=bx+a,则由上表可得112.3-5×4×512.3b= ==1.23,90-5×4210a=푦-b푥=5-1.23×4=0.08.所以回归方程为y=1.23x+0.08.10. 导学号36424031某连锁经营公司所属5个零售店某月的销售额和利润额如下表:商店名称A B C D E销售额x/千35679万元利润额y/百23345万元(1)画出散点图,观察散点图,说明两个变量是否线性相关;(2)用最小二乘法计算利润额y对销售额x的线性回归方程;(3)当销售额为4千万元时,估计利润额的大小.解(1)散点图如图所示.3由散点图可以看出变量x,y线性相关.(2)设线性回归方程是y=bx+a.55因为푦=3.4,푥=6, ∑x i y i=112, ∑=200,푥2푖푖=1i=15∑푥푖푦푖-5푥푦푖=1所以b= =0.5,5∑푥2푖-5푥2 푖=1a=푦-b푥=3.4-6×0.5=0.4,即利润额y对销售额x的线性回归方程为y=0.5x+0.4.(3)当销售额为4千万元时,利润额为y=0.5×4+0.4=2.4(百万元).B组1.下列叙述中:①变量间关系有函数关系,又有相关关系;②回归函数即用函数关系近似地描述相关关系;푛∑(x i- x)(y i- y) 푖=1③线性回归方程y=bx+a中,b= ,a=푦-b푥;n2∑(푥푖- 푥)i=1④线性回归方程一定可以近似地表示相关关系.其中正确的有()A.①②③B.①④C.①③④D.③② 解析线性回归方程只能近似地表示线性相关关系.答案A2.对具有线性相关关系的变量x,y有一组预测数据(x i,y i)(i=1,2,…,8),其回归直线方程是1y= x+a,且x1+x2+…+x8=2(y1+y2+…+y8)=6,则实数a的值是()31A. B.16C. D.33解析由题意易知푥=4,푦=,代入线性回归方程得a=.8答案B3.为了解篮球爱好者小李的投篮命中率与打篮球时间之间的关系,下表记录了小李某月1号到5号每天打篮球时间x(单位:时)与当天投篮命中率y之间的关系:时间x 12 3 4 5命中0.0.0.0.0.率y 4 5 6 6 4小李这5天的平均投篮命中率为;用线性回归分析的方法,预测小李该月6号打6时篮球的投篮命中率为.答案0.50.534.2018年6月22日,某市物价部门对本市的5家商场的一天销售量及其价格进行调查,5家商场的售价和销售量之间的一组数据如下表所示:4价格x/ 元99.m510.15 1销售量y/件11n86 5由数据对应的散点图可知,销售量y与价格x之间有较强的线性相关关系,其线性回归方程是y=-3.2x+40,且m+n=20,则其中的n=.1푚1解析푥=(9+9.5+m+10.5+11)=8+ (11+n+8+6+5)=6+,线性回归方程一定经过样本中心5,푦=55푚3.2푚+푛=42, 푚=10, (푥,푦),所以6+=-3.2×(8++40,即3.2m+n=42,由解得故n=10.5){푚+푛=20, {푛=10,答案105.以下关于线性回归的判断,正确的有个.①若散点图中所有点都在一条直线附近,则这条直线为回归直线;②散点图中的绝大多数点都线性相关,个别特殊点不影响线性回归,如图中的点A,B,C;③已知线性回归方程为y=0.50x-0.81,则当x=25时,y的估计值为11.69;④线性回归方程的意义是它反映了样本整体的变化趋势. 解析能使所有数据点都在它附近的直线不止一条,而根据回归直线的定义知,只有按最小二乘法求得回归系数a,b得到的直线y=a+bx才是回归直线,故①不正确;②正确;将x=25代入y=0.50x-0.81,解得y=11.69,故③正确;④正确.答案36. 导学号36424032某企业上半年产品产量与单位成本资料如下:月产量/ 单位成本份千件/元 1 273 2 3 72 34 71 4 3735 4 696 5 68且已知产量x与单位成本y具有线性相关关系.(1)求出线性回归方程.(2)指出产量每增加1 000件时,单位成本平均变动多少?(3)假定产量为6 000件时,单位成本为多少元?解(1)n=6,푥=3.5,푦=71,66∑=79, ∑x i y i=1 481,x2i푖=1i=11481-6×3.5×71b= ≈-1.82,79-6×3.52a=푦-b푥≈71+1.82×3.5=77.37,则线性回归方程为y=bx+a=-1.82x+77.37.(2)因为单位成本平均变动b=-1.82<0,且产量x的计量单位是千件,所以根据回归系数b 的意义有产量每增加一个单位即1 000件时,单位成本平均减少1.82元.(3)当产量为6 000件,即x=6时,代入线性回归方程,得y=77.37-1.82×6=66.45(元).5即当产量为6 000件时,单位成本大约为66.45元.7.某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价,将该产品按事先拟定的价格进行试销,得到如下数据:单价x(元) 88.28.8.8.4 6 89销量y(件) 984 83 80 7568^ ^ ^ ^ ^ ^ (1)求回归直线方程푦=b x+푎,其中푏=-20,푎=푦―푏푥;(2)预计在今后的销售中,销量与单价仍然服从(1)中的关系,且该产品的成本是4元/件,为使工厂获得最大利润,该产品的单价应定为多少元?(利润=销售收入-成本)1解(1)由于푥=(8+8.2+8.4+8.6+8.8+9)=8.5,61푦=(90+84+83+80+75+68)=80.6^ ^所以푎=푦―푏푥=80+20×8.5=250,^ 从而回归直线方程为푦=-20x+250.(2)设工厂获得的利润为L元,依题意得L=x(-20x+250)-4(-20x+250)=-20x2+330x-1 000233=-20(푥- 4)+361.25.当且仅当x=8.25时,L取得最大值.故当单价定为8.25元时,工厂可获得最大利润.6。
