201X秋八年级数学下册第二十一章一次函数21.1一次函数第2课时一次函数教案(新版)冀教版

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21。

1一次函数教学设计思想一次函数是在第二十一章学习一般函数的基础上对函数的具体研究，由此开始了对函数的分类探索。

在讲解的过程中先以交流的方式回顾函数的相关知识再进一步学习一次函数。

本节主要学习了一次函数和正比例函数的概念，以及根据所给条件写出简单的一次函数表达式的方法。

在讲解的过程中要注意一次函数与正比例函数的关系。

教学目标知识与技能表述一次函数及其特例—-正比例函数,能判断两个变量间的关系是否可以看作函数；感受函数、一次函数、正比例函数之间一般与特殊的关系.过程与方法经历由实际情景抽象出一次函数的过程；情感态度价值观初步形成利用函数的观点认识现实世界的意识和能力。

教学重点和难点重点是一次函数和正比例函数的概念，以及根据所给条件写出简单的一次函数表达式的方法；难点是根据所给条件写出简单的一次函数表达式。

解决办法：关键是对问题情境的解读,自主探索问题情境，可铺设探究阶梯，分层次解读问题。

教学方法启发引导、小组讨论课时安排 2课时教具学具准备投影仪或电脑教学过程设计第一课时Ⅰ．提出问题，创设情境一九九六年，鸟类研究者在芬兰给一只燕鸥(候鸟)套上标志环．４个月零１周后人们在2．56万千米外的澳大利亚发现了它．1．这只百余克重的小鸟大约平均每天飞行多少千米(精确到10千米)？2．这只燕鸥的行程y(千米）与飞行时间x(天）之间有什么关系？3．这只燕鸥飞行１个半月的行程大约是多少千米？我们来共同分析：一个月按30天计算，这只燕鸥平均每天飞行的路程不少于：25600÷（30×4+7）≈200(km）若设这只燕鸥每天飞行的路程为200km，那么它的行程y（千米）就是飞行时间x（天）的函数．函数解析式为:y=200x（0≤x≤127）这只燕鸥飞行１个半月的行程，大约是x=45时函数y=200x的值．即y=200×45=9000（km）以上我们用y=200x对燕鸥在４个月零１周的飞行路程问题进行了刻画．尽管这只是近似的，但它可以作为反映燕鸥的行程与时间的对应规律的一个模型．类似于y=200x这种形式的函数在现实世界中还有很多．它们都具备什么样的特征呢?我们这节课就来学习．Ⅱ．导入新课首先我们来思考这样一些问题,看看变量之间的对应规律可用怎样的函数来表示？这些函数有什么共同特点？1．圆的周长L随半径r的大小变化而变化．2．铁的密度为7．8g/cm3．铁块的质量m（g）随它的体积V（cm3）的大小变化而变化．3．每个练习本的厚度为0．5cm．一些练习本摞在一些的总厚度h（cm）随这些练习本的本数n的变化而变化．4．冷冻一个0℃的物体，使它每分钟下降2℃．物体的温度Ｔ（℃）随冷冻时间t（分）的变化而变化．应答：1．根据圆的周长公式可得：L=2r．2．依据密度公式p=可得：m=7。

用待定系数法确定一次函数表达式本节课的教学内容为用待定系数法求一次函数解析式，是冀教版八年级数学下册第十九章的教学内容。

下面我从教材分析、教法、学法、教学过程五个方面，谈谈我对这一节课教学的处理情况。

一、教材分析一次函数这部分内容是在学生学习了变量与函数、一次函数的概念等基础上，继续对某些特殊的变量关系的考察和认识。

从知识衔接的角度看，有着承上启下的作用，符合学生的认知规律。

确定一次函数解析式，关键在于确定出一次函数y=kx+b中的k、b的值，用待定系数法确定一次函数解析式，不仅要求学生能正确地确定出解析式，还重在让学生对一次函数式与函数图象、函数式中的变量与函数图象上点的坐标之间关系的理解，将数与形联系起来，形成数形结合的思想意识。

为后面学习反比例函数、二次函数打下基础。

二、教学策略（教法）回顾已学知识：求一次函数解析式的四个基本步骤：“一设、二列、三解、四还原”，即“设出一般式y=kx+b，由题设中给定条件写出关于k、b的方程（组），由方程（组）解出k、b，写出一次函数式。

数学思想方法小结：从形到数：一次函数图象→选取满足条件的两点（x1，y1），（x2，y2）→解出函数解析式（y=kx+b）数学思想方法：数形结合五、教学过程1、教学目标⑴了解待定系数法的思维方式与特点。

⑵会根据所给信息用待定系数法求一次函数解析式，发展解决问题的能力。

⑶进一步体验并初步形成“数形结合”的思想方法。

2、教学重点、难点⑴教学重点：用待定系数法求一次函数解析式；⑵教学难点：解决抽象的函数问题。

⑶教学关键：熟练应用二元一次方程组解一次函数中的待定系数。

流程1．知识回顾，引入问题情景用待定系数法求一次函数解析式的步骤：基本步骤：设、列、解、写⑴设：设一般式y=kx+b⑵列：根据已知条件，列出关于k、b的方程（组）⑶解：解出k、b；⑷写：写出一次函数式2．探索新知：一.利用点的坐标求函数的解析式例1.如果y+1与x成正比例，且x＝1时，y＝3写出y与x之间的函数关系式.变式练习：已知一次函数的图象经过点(3,5)与（4，9），求这个一次函数的解析式．将两个点的坐标代入所设函数式，列出k、b的方程组，求出k、b，写出函数解析式。

21.1一次函数教学设计思想一次函数是在第二十一章学习一般函数的基础上对函数的具体研究，由此开始了对函数的分类探索。

在讲解的过程中先以交流的方式回顾函数的相关知识再进一步学习一次函数。

本节主要学习了一次函数和正比例函数的概念，以及根据所给条件写出简单的一次函数表达式的方法。

在讲解的过程中要注意一次函数与正比例函数的关系。

教学目标知识与技能表述一次函数及其特例——正比例函数，能判断两个变量间的关系是否可以看作函数；感受函数、一次函数、正比例函数之间一般与特殊的关系。

过程与方法经历由实际情景抽象出一次函数的过程；情感态度价值观初步形成利用函数的观点认识现实世界的意识和能力。

教学重点和难点重点是一次函数和正比例函数的概念，以及根据所给条件写出简单的一次函数表达式的方法；难点是根据所给条件写出简单的一次函数表达式。

解决办法：关键是对问题情境的解读，自主探索问题情境，可铺设探究阶梯，分层次解读问题。

教学方法启发引导、小组讨论课时安排 2课时教具学具准备投影仪或电脑教学过程设计第一课时Ⅰ．提出问题，创设情境一九九六年，鸟类研究者在芬兰给一只燕鸥（候鸟）套上标志环．４个月零１周后人们在2．56万千米外的澳大利亚发现了它．1．这只百余克重的小鸟大约平均每天飞行多少千米（精确到10千米）？2．这只燕鸥的行程y（千米）与飞行时间x（天）之间有什么关系？3．这只燕鸥飞行１个半月的行程大约是多少千米？我们来共同分析：一个月按30天计算，这只燕鸥平均每天飞行的路程不少于：25600÷（30×4+7）≈200（km）若设这只燕鸥每天飞行的路程为200km，那么它的行程y（千米）就是飞行时间x（天）的函数．函数解析式为：y=200x（0≤x≤127）这只燕鸥飞行１个半月的行程，大约是x=45时函数y=200x的值．即y=200×45=9000（km）以上我们用y=200x对燕鸥在４个月零１周的飞行路程问题进行了刻画．尽管这只是近似的，但它可以作为反映燕鸥的行程与时间的对应规律的一个模型．类似于y=200x这种形式的函数在现实世界中还有很多．它们都具备什么样的特征呢？我们这节课就来学习．Ⅱ．导入新课首先我们来思考这样一些问题，看看变量之间的对应规律可用怎样的函数来表示？这些函数有什么共同特点？1．圆的周长L随半径r的大小变化而变化．2．铁的密度为7．8g/cm3．铁块的质量m（g）随它的体积V（cm3）的大小变化而变化．3．每个练习本的厚度为0．5cm．一些练习本摞在一些的总厚度h（cm）随这些练习本的本数n的变化而变化．4．冷冻一个0℃的物体，使它每分钟下降2℃．物体的温度Ｔ（℃）随冷冻时间t（分）的变化而变化．应答:1．根据圆的周长公式可得：L=2r．2．依据密度公式p=可得：m=7.8V．3．据题意可知： h=0.5n．4．据题意可知：T=-2t．我们观察这些函数关系式，不难发现这些函数都是常数与自变量乘积的形式，和y=200x的形式一样．一般地，•形如y=•kx•（k•是常数， k ≠0 ）的函数，•叫做正比例函数，其中k叫做比例系数．Ⅲ例题练习例1下列函数哪些是正比例函数？请指出正比例函数的比例系数1.y=3x2.y=2x+13.y=-4.y=5.y=πx6.y=-x例题2 有一块10公顷的成熟麦田，用一台收割速度为0.5公顷/时的小麦收割机来收割。

1第2课时 一次函数1．一次函数的定义及解析式的特点；(重点)2．一次函数与正比例函数的关系．(难点)一、情境导入1．仓库内原有粉笔400盒，如果每个星期领出36盒，求仓库内余下的粉笔盒数Q 与星期数t 之间的函数关系式．2．今年植树节，同学们种的树苗高约1.80米．据介绍，这种树苗在10年内平均每年长高0.35米，求树高(米)与年数之间的函数关系式，并算一算4年后这些树约有多高．3．小徐的爸爸为小徐存了一份教育储蓄．首次存入1万元，以后每个月存入500元，存满3万元止．求存款数增长的规律．几个月后可存满全额？以上3道题中的函数有什么共同特点？ 二、合作探究探究点一：一次函数的定义 【类型一】辨别一次函数下列函数是一次函数的是( )A ．y ＝－8xB ．y ＝－8xC ．y ＝－8x 2＋2 D ．y ＝－8x＋2解析：A.它是正比例函数，属于特殊的一次函数，正确；B.自变量次数不为1，不是一次函数，错误；C.自变量次数不为1，不是一次函数，错误；D.自变量次数不为1，不是一次函数，错误．故选A.方法总结：一次函数解析式的结构特征：k ≠0；自变量的次数为1；常数项b 可以为任意实数．【类型二】一次函数与正比例函数已知y ＝(m －1)x 2－|m |＋n ＋3. (1)当m 、n 取何值时，y 是x 的一次函数？(2)当m 、n 取何值时，y 是x 的正比例函数？解析：(1)根据一次函数的定义，m －1≠0，2－|m |＝1，据此求解即可；(2)根据正比例函数的定义，m －1≠0，2－|m |＝1，n ＋3＝0，据此求解即可．解：(1)根据一次函数的定义得2－|m |＝1，解得m ＝±1.又∵m －1≠0即m ≠1，∴当m ＝－1，n 为任意实数时，这个函数是一次函数；(2)根据正比例函数的定义得2－|m |＝1，n ＋3＝0，解得m ＝±1，n ＝－3.又∵m －1≠0即m ≠1，∴当m ＝－1，n ＝－3时，这个函数是正比例函数．方法总结：一次函数解析式y ＝kx ＋b 的结构特征：k ≠0，自变量的次数为1，常数项b 可以为任意实数．正比例函数y ＝kx 的解析式中，比例系数k 是常数，k ≠0，自变量的次数为1.探究点二：根据实际问题求一次函数解析式【类型一】列一次函数解析式写出下列各题中y 与x 的函数关系式，并判断y 是否是x 的一次函数或正比例函数？(1)某村耕地面积为106(平方米)，该村人均占有耕地面积y (平方米)与人数x (人)之间的函数关系；(2)地面气温为28℃，如果高度每升高1km ，气温下降5℃，气温x (℃)与高度y (km)之间的函数关系．解析：(1)根据人均占有耕地面积y 等于总面积除以总人数得出即可；(2)根据高度每升高1km ，气温下降5℃，得出28－5y ＝x 求出即可．解：(1)根据题意得y ＝106x，不是一次函数；(2)根据题意得28－5y ＝x ，则y ＝－15x＋285，是一次函数． 方法总结：根据实际问题确定一次函数关系式关键是读懂题意，建立一次函数的数学模型来解决问题．需要注意的是实例中的函数图象要根据自变量的取值范围来确定．【类型二】 确定一次函数解析式中系数的值已知一次函数y ＝kx ＋b 中，当自变量x ＝3时，函数值y ＝5；当x ＝－4时，y ＝－9.求k 和b 的值．解析：把两组对应值分别代入y ＝kx ＋b 得到关于k 、b 的方程组，然后解方程组求出k 和b .解：(1)∵当自变量x ＝3时，函数值y ＝5，当x ＝－4时，y ＝－9，∴⎩⎪⎨⎪⎧3k ＋b ＝5，－4k ＋b ＝－9，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝2，b ＝－1. 方法总结：解决此类问题就是将自变量x 的值及与它对应的函数值y 的值代入所设的解析式，得到关于待定系数的方程或方程组解答即可．三、板书设计1．一次函数的定义2．一次函数与正比例函数的区别和联系3．根据实际问题求一次函数解析式在本节课的教学设计与教学实践中，不仅关注学生获得的知识，而且注重知识获得的过程和方法，同时关注学生的全面发展．由于教学方法得当，教学过程设计合理，师生互动关系平等、和谐，所以能较好的完成知识传授与促进学生发展的任务，在数学课堂教学改革的实践中取得较好的教学效果．。

一次函数复习通过交流的方式回顾第二十章函数的概念及三种表达方式。

新授我们已经知道函数是刻画变量之间关系的数学模型，这些模型有多种形态，其中最简单的一种就是一次函数。

（一）试着做做1.某新建住宅小区物业管理部门按房主的住房面积收取物业管理费，每月按1.60元／平方米收取，对有汽车的房主每月再收取车库使用费80元。

设有汽车房主的住房面积为xm2，每月应收房主物业管理费与车库使用费共为y元，请写出y与x的函数关系式：y=_______。

2.小刚家到学校的路程为3.5km。

他每天骑自行车去上学，速度为0.2km／min。

(km)与离开家的时间 t(min)的函数关在上学的路上，小刚距学校的路程s2系式为s=_______。

13.一种计算成年人标准体重G（kg）的方法是：以厘米为单位量出身高值h，减去常数105，所得差是G的值。

用h表示G的函数表达式是。

注：引导学生通过观察、比较，抓住式子的共同特点，抽象出概念的内涵。

1.y＝80＋1.6x。

=3.5－0.2t。

2.s13.G=h-105(二)大家谈谈1.上面得到的三个函数表达式的形式有什么共同特点?与同学交流你的看法以上三个函数表达式的共同特点是：函数都是用自变量的一次整式来表示的。

如果两个变量x和y之间的函数关系式可以表示成y=kx＋b(k,b为常数,k≠0)的形式，那么就称y是x的一次函数(1inear function)。

特别地，当b=0时，一次函数就成为y=kx(k是常数，k≠0)。

所以正比例函数y=kx是一次函数的特殊形式。

2.请写出两个一次函数的表达式，其中有一个是正比例函数，并与同学交流。

注：目的在于让学生通过充分交流，举一反三，达到对新概念的理解。

在交流过程中，应注意继续引导学生认识自变量次数、系数等特征。

（三）一起探究1.在这段时间内，水库的水位y(m)和下闸蓄水的时间t(h)之间的函数关系式是怎样的?这个函数是一次函数吗?2.如果把这个函数写成y=kx＋b的形式，请指出k和b的值。

21.2 一次函数的图像和性质1．会用两点法画出正比例函数和一次函数的图象，并能结合图象说出正比例函数和一次函数的性质；(重点)2．能运用性质、图象及数形结合思想解决相关函数问题．(难点)一、情境导入 做一做：在同一个平面直角坐标系中画出下列函数的图象．(1)y ＝12x ； (2)y ＝12x ＋2；(3)y ＝3x; (4)y ＝3x ＋2. 观察函数图象有什么形式？ 二、合作探究探究点一：一次函数的图象【类型一】一次函数图象的画法在同一平面直角坐标中，作出下列函数的图象．(1)y ＝2x －1; (2)y ＝x ＋3； (3)y ＝－2x; (4)y ＝5x . 解析：分别求出满足各直线的两个特殊点的坐标，经过这两点作直线即可．(1)一次函数y ＝2x －1图象过(1，1)，(0，－1)；(2)一次函数y ＝x ＋3的图象过(0，3)，(－3，0)；(3)正比例函数y ＝－2x 的图象过(1，－2)，(0，0)；(4)正比例函数y ＝5x 的图象过(0，0)，(1，5)．解：如图所示．方法总结：此题考查了一次函数的作图，解题关键是找出两个满足条件的点，连线即可．【类型二】判定一次函数图象的位置已知正比例函数y ＝kx (k ≠0)的函数值y 随x 的增大而减小，则一次函数y ＝x ＋k 的图象大致是()解析：∵正比例函数y ＝kx (k ≠0)的函数值y 随x 的增大而减小，∴k ＜0.∵一次函数y ＝x ＋k 的一次项系数大于0，常数项小于0，∴一次函数y ＝x ＋k 的图象经过第一、三、四象限，且与y 轴的负半轴相交．故选B.方法总结：一次函数y ＝kx ＋b (k 、b 为常数，k ≠0)是一条直线．当k ＞0，图象经过第一、三象限，y 随x 的增大而增大；当k ＜0，图象经过第二、四象限，y 随x 的增大而减小．图象与y 轴的交点坐标为(0，b )．探究点二：一次函数的性质【类型一】 判断增减性和图象经过的象限等对于函数y ＝－5x ＋1，下列结论：①它的图象必经过点(－1，5)；②它的图象经过第一、二、三象限；③当x ＞1时，y ＜0；④y 的值随x 值的增大而增大．其中正确的个数是( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个解析：∵当x ＝－1时，y ＝－5×(－1)＋1＝6≠5，∴点(1，－5)不在一次函数的图象上，故①错误；∵k ＝－5＜0，b ＝1＞0，∴此函数的图象经过第一、二、四象限，故②错误；∵x ＝1时，y ＝－5×1＋1＝－4.又∵k ＝－5＜0，∴y 随x 的增大而减小，∴当x ＞1时，y ＜－4，则y ＜0，故③正确，④错误．综上所述，正确的只有③.故选B.方法总结：一次函数的性质：k ＞0，y 随x 的增大而增大，函数从左到右上升；k ＜0，y 随x 的增大而减小，函数从左到右下降．【类型二】 一次函数的图象与系数的关系已知函数y ＝(2m －2)x ＋m ＋1， (1)当m 为何值时，图象过原点？ (2)已知y 随x 增大而增大，求m 的取值范围；(3)函数图象与y 轴交点在x 轴上方，求m 的取值范围；(4)图象过第一、二、四象限，求m 的取值范围．解析：(1)根据函数图象过原点可知，m ＋1＝0，求出m 的值即可；(2)根据y 随x 增大而增大可知2m －2＞0，求出m 的取值范围即可；(3)由于函数图象与y 轴交点在x 轴上方，故m ＋1＞0，进而可得出m 的取值范围；(4)根据图象过第一、二、四象限列出关于m 的不等式组，求出m 的取值范围．解：(1)∵函数图象过原点，∴m ＋1＝0，即m ＝－1；(2)∵y 随x 增大而增大，∴2m －2＞0，解得m ＞1；(3)∵函数图象与y 轴交点在x 轴上方，∴m ＋1＞0，解得m ＞－1；(4)∵图象过第一、二、四象限，∴⎩⎪⎨⎪⎧2m －2<0，m ＋1>0，解得－1＜m ＜1. 方法总结：一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)中，当k ＜0，b ＞0时，函数图象过第一、二、四象限．探究点三：一次函数图象的平移在平面直角坐标系中，将直线l 1：y ＝－2x －2平移后，得到直线l 2：y ＝－2x ＋4，则下列平移作法正确的是( )A ．将l 1向右平移3个单位长度B ．将l 1向右平移6个单位长度C ．将l 1向上平移2个单位长度D ．将l 1向上平移4个单位长度解析：∵将直线l 1：y ＝－2x －2平移后，得到直线l 2：y ＝－2x ＋4，∴－2(x ＋a )－2＝－2x ＋4，解得a ＝－3，故将l 1向右平移3个单位长度．故选A.方法总结：求直线平移后的解析式时要注意平移时k 的值不变，只有b 发生变化．解析式变化的规律是：左加右减，上加下减．探究点四：一次函数的图象与性质的综合运用一次函数y ＝－2x ＋4的图象如图，图象与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B .(1)求A 、B 两点坐标；(2)求图象与坐标轴所围成的三角形的面积．解析：(1)x 轴上所有的点的纵坐标均为0，y 轴上所有的点的横坐标均为0；(2)利用(1)中所求的点A 、B 的坐标可以求得OA 、OB 的长度．然后根据三角形的面积公式可以求得△OAB 的面积．解：(1)对于y ＝－2x ＋4，令y ＝0，得－2x ＋4＝0，∴x ＝2.∴一次函数y ＝－2x ＋4的图象与x 轴的交点A 的坐标为(2，0)；令x ＝0，得y ＝4.∴一次函数y ＝－2x ＋4的图象与y 轴的交点B 的坐标为(0，4)；(2)由(1)中知OA ＝2，OB ＝4.∴S △AOB ＝12·OA ·OB ＝12×2×4＝4.∴图象与坐标轴所围成的三角形的面积是4.方法总结：求一次函数与坐标轴围成的三角形的面积，一般地应先求出一次函数图象与x 轴、y 轴的交点坐标，进而求出三角形的底和高，即可求面积．三、板书设计1．一次函数的图象 2．一次函数的性质3．一次函数图象的平移规律本节课，学生活动设计了三个方面：一是通过画函数图象理解一次函数图象的形状．二是两点法画一次函数的图象．三是探究一次函数的图象与k、b符号的关系．在学生活动中，如何调动学生的积极性、互动性，提高学生活动的实效性值得深入探讨．为了达到上述目的，应结合每个活动，给学生明确的目的和要求，而且提供操作性很强的程序和题目．学生目标明确，操作性强，受到了较好的效果．。

冀教版数学八年级下册《21.1 一次函数》教学设计一. 教材分析冀教版数学八年级下册《21.1 一次函数》是初中数学的重要内容，主要让学生了解一次函数的定义、性质和图象，以及一次函数在实际生活中的应用。

通过学习，使学生能运用一次函数解决实际问题，培养学生的数学应用能力。

二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了直线、射线、线段的概念，并对函数有了初步的认识。

但学生对一次函数的定义、性质和图象可能还存在一定的模糊认识，因此，在教学过程中，教师需要耐心引导学生，让学生充分理解和掌握一次函数的相关知识。

三. 教学目标1.了解一次函数的定义、性质和图象；2.学会用一次函数解决实际问题；3.培养学生的数学思维能力和合作交流能力。

四. 教学重难点1.一次函数的定义和性质；2.一次函数图象的特点；3.一次函数在实际生活中的应用。

五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例引入一次函数，激发学生的学习兴趣；2.启发式教学法：引导学生主动探究一次函数的定义、性质和图象，培养学生的自主学习能力；3.小组合作学习法：让学生在小组内讨论、交流，提高学生的合作交流能力。

六. 教学准备1.准备相关的生活实例和图片，用于导入和巩固环节；2.准备一次函数的练习题，用于操练和家庭作业环节；3.准备黑板、粉笔，用于板书。

七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过展示生活中的一些实例，如身高与年龄的关系、商品价格与数量的关系等，引导学生发现这些实例都可以用一条直线来表示。

从而引入一次函数的概念。

2.呈现（10分钟）教师通过PPT或板书，呈现一次函数的定义、性质和图象。

让学生初步了解一次函数的基本知识。

3.操练（10分钟）教师给出一些一次函数的练习题，让学生独立完成。

通过练习，让学生进一步理解和掌握一次函数的知识。

4.巩固（10分钟）教师挑选一些练习题，让学生上台板书解答过程，并解释答案的正确性。

其他同学在下面模仿，加深对一次函数的理解。

一次函数
第一课时
一次函数是在第二十章学习一般函数的基础上对函数的具体研究，由此开始了对函数的分类探索，为此建议：
1．首先通过交流的方式回顾第二十章函数的概念及三种表达方式，唤起学生进入研究函数的情境。

有条件的地方，可将第二十章精典的问题或图像制成幻灯片进行回放。

2．通过完成“观察与思考”的几个问题，回顾小学学过的成正比例的两个量，为引出正比例函数做铺垫。

进而根据“做一做”中的3个问题，列出三个表达式，通过观察表达式的共同特点引出正比例函数的定义。

3．对例题的处理，可依学生实际情况让他们独立完成，教师不要全面讲解。

4．练习1判断哪两个量具有正比例关系应引导学生认识到可以通过表达式的特点来判断函数关系。

第二课时
一次函数是在第二十章学习一般函数的基础上对函数的具体研究，由此开始了对函数的分类探索，为此建议：
1．首先通过交流的方式回顾第二十章函数的概念及三种表达方式，唤起学生进入研究函数的情境。

有条件的地方，可将第二十章精典的问题或图像制成幻灯片进行回放。

2．学生写出“一起探究”和“做一做”两个问题中的4个函数表达式后，应及时(可以思考题等方式)引导学生观察、探索表达式的特点。

由于已经研究过正比例函数表达式的特点，故可以对比来认识一次函数的表达式。

还应引导学生认识，函数的类型与自变量采用的字母无关。

3．对例题的处理，可依学生实际情况让他们独立完成，教师不要全面讲解。

4．针对教学实际，可适当增加不同情境的一次函数的实例，以满足学生感受一次函数现实意义的愿望。

第二十一章 一次函数21.1 一次函数 (1)第1课时 正比例函数 (1)第2课时 一次函数 (4)21.2 一次函数的图像和性质 (6)21.3 用待定系数法确定一次函数的表达式 (10)21.4 一次函数的应用 (14)21.5 一次函数与二元一次方程的关系 (19)复习整理 (21)21.1 一次函数第1课时 正比例函数教学目标1．理解正比例函数的概念，并掌握正比例函数图象和性质；(重点)2．运用正比例函数解决简单的问题．(难点)教学过程一、情境导入鸟类研究者在芬兰给一只燕鸥(候鸟)套上标志环；大约128天后，人们在2.56万千米外的澳大利亚发现了它．(1)这只百余克重的小鸟大约平均每天飞行多少千米？(2)这只燕鸥飞行一个半月(一个月按30天计算)的行程大约是多少千米？(3)这只燕鸥的行程y (单位：千米)与飞行时间x (单位：天)之间有什么关系？二、合作探究探究点一：正比例函数 【类型一】 辨别正比例函数下列式子中，表示y 是x 的正比例函数的是( ) A ．y ＝2xB ．y ＝x ＋2C ．y ＝x 2D ．y ＝2x 解析：选项A ，y ＝2x，自变量次数不为1，错误；选项B ，y ＝x ＋2，是和的形式，错误；选项C ，y ＝x 2，自变量次数不为1，错误；选项D ，y ＝2x ，符合正比例函数的含义，正确．故选D.方法总结：正比例函数y ＝kx 成立的条件是：k 为常数且k ≠0，自变量次数为1.【类型二】 确定正比例函数中字母的值 若函数y ＝(m －3)x |m |－2是正比例函数，则m 的值为( )A ．3B ．－3C ．±3D ．不能确定解析：由题意得|m |－2＝1，且m －3≠0，解得m ＝－3.故选B.方法总结：正比例函数自变量的指数为1，系数不能为0.探究点二：正比例函数的图象和性质【类型一】 正比例函数的图象在下列各图象中，表示函数y ＝－kx (k ＜0)的图象的是( )解析：∵k ＜0，∴－k ＞0，∴函数y ＝－kx (k ＜0)的值随自变量x 的增大而增大，且函数为正比例函数．故选C.方法总结：要知道正比例函数的图象是过原点的直线，且当k ＞0时，图象过第一、三象限；当k ＜0时，图象过第二、四象限．【类型二】 正比例函数的性质关于函数y ＝13x ，下列结论中，正确的是( ) A ．函数图象经过点(1，3)B ．不论x 为何值，总有y ＞0C ．y 随x 的增大而减小D ．函数图象经过第一、三象限解析：A.当x ＝1时，y ＝13，故A 选项错误；B.只有当x ＞0时，y ＞0，故B 选项错误；C.∵k ＝13＞0，∴y 随x 的增大而增大，故C 选项错误；D.∵k ＝13＞0，∴函数图象经过第一、三象限，故D 选项正确．故选D.方法总结：解题的关键是了解正比例函数的比例系数的符号与正比例函数的关系及其增减性．【类型三】 正比例函数的图象与系数的关系已知正比例函数y ＝(m －1)x 的图象上两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，当x 1＜x 2时，有y 1＞y 2，那么m 的取值范围是( )A ．m ＜1B ．m ＞1C ．m ＜2D ．m ＞0解析：根据题意，y 随x 的增大而减小，则m －1＜0，即m ＜1.故选A.方法总结：直线y ＝kx 所在的位置与k 的符号有直接的关系：k ＞0时，直线必经过第一、三象限，y 随x 的增大而增大；k ＜0时，直线必经过第二、四象限，y 随x 的增大而减小． 【类型四】 正比例函数图象上点的坐标特征点A (5，y 1)和B (2，y 2)都在直线y ＝－x 上，则y 1与y 2的关系是( )A ．y 1≥y 2B ．y 1＝y 2C ．y 1＜y 2D ．y 1＞y 2解析：∵点A (5，y 1)和B (2，y 2)都在直线y ＝－x 上，∴y 1＝－5，y 2＝－2.∵－5＜－2，∴y 1＜y 2.故选C.方法总结：熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．探究点三：求正比例函数的解析式【类型一】 用定义求正比例函数的解析式已知y ＝y 1＋y 2，y 1与x 2成正比例，y 2与x －2成正比例，当x ＝1时，y ＝5；当x＝－1时，y ＝11，求y 与x 之间的函数表达式，并求当x ＝2时y 的值．解析：设y 1＝kx 2，y 2＝a (x －2)，得出y ＝kx 2＋a (x －2)，把x ＝1，y ＝5和x ＝－1，y ＝11代入得出方程组，求出方程组的解即可，把x ＝2代入函数解析式，即可得出答案．解：设y 1＝kx 2，y 2＝a (x －2)，则y ＝kx 2＋a (x －2)，把x ＝1，y ＝5和x ＝－1，y ＝11代入得⎩⎪⎨⎪⎧k －a ＝5，k －3a ＝11，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，k ＝2，∴y 与x 之间的函数表达式是y ＝2x 2－3(x －2)．把x ＝2代入得y ＝2×22－3×(2－2)＝8.方法总结：用定义求函数解析式，设出解析式是解题的关键一步．【类型二】 用待定系数法求正比例函数的解析式已知正比例函数y ＝kx 图象经过点(3，－6)，求：(1)这个函数的解析式；(2)判断点A (4，－2)是否在这个函数图象上；(3)图象上两点B (x 1，y 1)、C (x 2，y 2)，如果x 1＞x 2，比较y 1，y 2的大小．解析：(1)利用待定系数法把(3，－6)代入正比例函数y ＝kx 中计算出k 即可得到解析式；(2)将A 点的横坐标代入正比例函数关系式，计算函数值，若函数值等于－2，则A 点在这个函数图象上，否则不在这个函数图象上；(3)根据正比例函数的性质：当k ＜0时，y 随x 的增大而减小，即可判断．解：(1)∵正比例函数y ＝kx 经过点(3，－6)，∴－6＝3·k ，解得k ＝－2，∴这个正比例函数的解析式为y ＝－2x ；(2)将x ＝4代入y ＝－2x 得y ＝－8≠－2，∴点A (4，－2)不在这个函数图象上；(3)∵k ＝－2＜0，∴y 随x 的增大而减小．∵x 1＞x 2，∴y 1＜y 2.方法总结：将A点的横坐标代入正比例函数关系式，求出函数值，再进一步判定是解决问题的关键．三、板书设计1．正比例函数的图象2．正比例函数的性质3．正比例函数解析式的确定教学反思本节课在教师引导下使学生通过自己的观察、研究、自学和小组的探索、讨论来发现问题、解决问题，再通过教师的点拨、总结进行知识归纳，理论提升的教学方法．由学生亲自来发现事物的特征和规律，更能使学生产生兴奋感、自信心，激发学生兴趣，产生自主学习的内在动力，更有利于发展学生的创造性思维能力．第2课时一次函数教学目标1．一次函数的定义及解析式的特点；(重点)2．一次函数与正比例函数的关系．(难点)教学过程一、情境导入1．仓库内原有粉笔400盒，如果每个星期领出36盒，求仓库内余下的粉笔盒数Q与星期数t之间的函数关系式．2．今年植树节，同学们种的树苗高约1.80米．据介绍，这种树苗在10年内平均每年长高0.35米，求树高(米)与年数之间的函数关系式，并算一算4年后这些树约有多高．3．小徐的爸爸为小徐存了一份教育储蓄．首次存入1万元，以后每个月存入500元，存满3万元止．求存款数增长的规律．几个月后可存满全额？以上3道题中的函数有什么共同特点？二、合作探究探究点一：一次函数的定义【类型一】辨别一次函数下列函数是一次函数的是( )A ．y ＝－8xB ．y ＝－8xC ．y ＝－8x 2＋2D ．y ＝－8x＋2 解析：A.它是正比例函数，属于特殊的一次函数，正确；B.自变量次数不为1，不是一次函数，错误；C.自变量次数不为1，不是一次函数，错误；D.自变量次数不为1，不是一次函数，错误．故选A.方法总结：一次函数解析式的结构特征：k ≠0；自变量的次数为1；常数项b 可以为任意实数．【类型二】 一次函数与正比例函数已知y ＝(m －1)x 2－|m |＋n ＋3. (1)当m 、n 取何值时，y 是x 的一次函数？(2)当m 、n 取何值时，y 是x 的正比例函数？解析：(1)根据一次函数的定义，m －1≠0，2－|m |＝1，据此求解即可；(2)根据正比例函数的定义，m －1≠0，2－|m |＝1，n ＋3＝0，据此求解即可．解：(1)根据一次函数的定义得2－|m |＝1，解得m ＝±1.又∵m －1≠0即m ≠1，∴当m ＝－1，n 为任意实数时，这个函数是一次函数；(2)根据正比例函数的定义得2－|m |＝1，n ＋3＝0，解得m ＝±1，n ＝－3.又∵m －1≠0即m ≠1，∴当m ＝－1，n ＝－3时，这个函数是正比例函数．方法总结：一次函数解析式y ＝kx ＋b 的结构特征：k ≠0，自变量的次数为1，常数项b 可以为任意实数．正比例函数y ＝kx 的解析式中，比例系数k 是常数，k ≠0，自变量的次数为1.探究点二：根据实际问题求一次函数解析式【类型一】 列一次函数解析式写出下列各题中y 与x 的函数关系式，并判断y 是否是x 的一次函数或正比例函数？(1)某村耕地面积为106(平方米)，该村人均占有耕地面积y (平方米)与人数x (人)之间的函数关系；(2)地面气温为28℃，如果高度每升高1km ，气温下降5℃，气温x (℃)与高度y (km)之间的函数关系．解析：(1)根据人均占有耕地面积y 等于总面积除以总人数得出即可；(2)根据高度每升高1km ，气温下降5℃，得出28－5y ＝x 求出即可．解：(1)根据题意得y ＝106x，不是一次函数； (2)根据题意得28－5y ＝x ，则y ＝－15x ＋285，是一次函数．方法总结：根据实际问题确定一次函数关系式关键是读懂题意，建立一次函数的数学模型来解决问题．需要注意的是实例中的函数图象要根据自变量的取值范围来确定． 【类型二】 确定一次函数解析式中系数的值已知一次函数y ＝kx ＋b 中，当自变量x ＝3时，函数值y ＝5；当x ＝－4时，y ＝－9.求k 和b 的值．解析：把两组对应值分别代入y ＝kx ＋b 得到关于k 、b 的方程组，然后解方程组求出k 和b .解：(1)∵当自变量x ＝3时，函数值y ＝5，当x ＝－4时，y ＝－9，∴⎩⎪⎨⎪⎧3k ＋b ＝5，－4k ＋b ＝－9，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝2，b ＝－1. 方法总结：解决此类问题就是将自变量x 的值及与它对应的函数值y 的值代入所设的解析式，得到关于待定系数的方程或方程组解答即可．三、板书设计1．一次函数的定义2．一次函数与正比例函数的区别和联系3．根据实际问题求一次函数解析式教学反思在本节课的教学设计与教学实践中，不仅关注学生获得的知识，而且注重知识获得的过程和方法，同时关注学生的全面发展．由于教学方法得当，教学过程设计合理，师生互动关系平等、和谐，所以能较好的完成知识传授与促进学生发展的任务，在数学课堂教学改革的实践中取得较好的教学效果．21.2 一次函数的图像和性质教学目标1．会用两点法画出正比例函数和一次函数的图象，并能结合图象说出正比例函数和一次函数的性质；(重点)2．能运用性质、图象及数形结合思想解决相关函数问题．(难点)教学过程一、情境导入做一做：在同一个平面直角坐标系中画出下列函数的图象．(1)y ＝12x ； (2)y ＝12x ＋2； (3)y ＝3x; (4)y ＝3x ＋2.观察函数图象有什么形式？二、合作探究探究点一：一次函数的图象【类型一】 一次函数图象的画法在同一平面直角坐标中，作出下列函数的图象．(1)y ＝2x －1; (2)y ＝x ＋3；(3)y ＝－2x; (4)y ＝5x .解析：分别求出满足各直线的两个特殊点的坐标，经过这两点作直线即可．(1)一次函数y ＝2x －1图象过(1，1)，(0，－1)；(2)一次函数y ＝x ＋3的图象过(0，3)，(－3，0)；(3)正比例函数y ＝－2x 的图象过(1，－2)，(0，0)；(4)正比例函数y ＝5x 的图象过(0，0)，(1，5)．解：如图所示．方法总结：此题考查了一次函数的作图，解题关键是找出两个满足条件的点，连线即可．【类型二】 判定一次函数图象的位置已知正比例函数y ＝kx (k ≠0)的函数值y 随x 的增大而减小，则一次函数y ＝x ＋k 的图象大致是( )解析：∵正比例函数y ＝kx (k ≠0)的函数值y 随x 的增大而减小，∴k ＜0.∵一次函数y ＝x ＋k 的一次项系数大于0，常数项小于0，∴一次函数y ＝x ＋k 的图象经过第一、三、四象限，且与y 轴的负半轴相交．故选B.方法总结：一次函数y ＝kx ＋b (k 、b 为常数，k ≠0)是一条直线．当k ＞0，图象经过第一、三象限，y 随x 的增大而增大；当k ＜0，图象经过第二、四象限，y 随x 的增大而减小．图象与y 轴的交点坐标为(0，b )．探究点二：一次函数的性质 【类型一】 判断增减性和图象经过的象限等对于函数y ＝－5x ＋1，下列结论：①它的图象必经过点(－1，5)；②它的图象经过第一、二、三象限；③当x ＞1时，y ＜0；④y 的值随x 值的增大而增大．其中正确的个数是( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个解析：∵当x ＝－1时，y ＝－5×(－1)＋1＝6≠5，∴点(1，－5)不在一次函数的图象上，故①错误；∵k ＝－5＜0，b ＝1＞0，∴此函数的图象经过第一、二、四象限，故②错误；∵x ＝1时，y ＝－5×1＋1＝－4.又∵k ＝－5＜0，∴y 随x 的增大而减小，∴当x ＞1时，y ＜－4，则y ＜0，故③正确，④错误．综上所述，正确的只有③.故选B.方法总结：一次函数的性质：k ＞0，y 随x 的增大而增大，函数从左到右上升；k ＜0，y 随x 的增大而减小，函数从左到右下降．【类型二】 一次函数的图象与系数的关系已知函数y ＝(2m －2)x ＋m ＋1，(1)当m 为何值时，图象过原点？(2)已知y 随x 增大而增大，求m 的取值范围；(3)函数图象与y 轴交点在x 轴上方，求m 的取值范围；(4)图象过第一、二、四象限，求m 的取值范围．解析：(1)根据函数图象过原点可知，m ＋1＝0，求出m 的值即可；(2)根据y 随x 增大而增大可知2m －2＞0，求出m 的取值范围即可；(3)由于函数图象与y 轴交点在x 轴上方，故m ＋1＞0，进而可得出m 的取值范围；(4)根据图象过第一、二、四象限列出关于m 的不等式组，求出m 的取值范围．解：(1)∵函数图象过原点，∴m ＋1＝0，即m ＝－1；(2)∵y 随x 增大而增大，∴2m －2＞0，解得m ＞1；(3)∵函数图象与y 轴交点在x 轴上方，∴m ＋1＞0，解得m ＞－1；(4)∵图象过第一、二、四象限，∴⎩⎪⎨⎪⎧2m －2<0，m ＋1>0，解得－1＜m ＜1. 方法总结：一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)中，当k ＜0，b ＞0时，函数图象过第一、二、四象限．探究点三：一次函数图象的平移在平面直角坐标系中，将直线l 1：y ＝－2x －2平移后，得到直线l 2：y ＝－2x ＋4，则下列平移作法正确的是( )A ．将l 1向右平移3个单位长度B ．将l 1向右平移6个单位长度C ．将l 1向上平移2个单位长度D ．将l 1向上平移4个单位长度解析：∵将直线l 1：y ＝－2x －2平移后，得到直线l 2：y ＝－2x ＋4，∴－2(x ＋a )－2＝－2x ＋4，解得a ＝－3，故将l 1向右平移3个单位长度．故选A.方法总结：求直线平移后的解析式时要注意平移时k 的值不变，只有b 发生变化．解析式变化的规律是：左加右减，上加下减．探究点四：一次函数的图象与性质的综合运用一次函数y ＝－2x ＋4的图象如图，图象与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B .(1)求A 、B 两点坐标；(2)求图象与坐标轴所围成的三角形的面积．解析：(1)x 轴上所有的点的纵坐标均为0，y 轴上所有的点的横坐标均为0；(2)利用(1)中所求的点A 、B 的坐标可以求得OA 、OB 的长度．然后根据三角形的面积公式可以求得△OAB 的面积．解：(1)对于y ＝－2x ＋4，令y ＝0，得－2x ＋4＝0，∴x ＝2.∴一次函数y ＝－2x ＋4的图象与x 轴的交点A 的坐标为(2，0)；令x ＝0，得y ＝4.∴一次函数y ＝－2x ＋4的图象与y 轴的交点B 的坐标为(0，4)；(2)由(1)中知OA ＝2，OB ＝4.∴S △AOB ＝12·OA ·OB ＝12×2×4＝4.∴图象与坐标轴所围成的三角形的面积是4.方法总结：求一次函数与坐标轴围成的三角形的面积，一般地应先求出一次函数图象与x 轴、y 轴的交点坐标，进而求出三角形的底和高，即可求面积．三、板书设计1．一次函数的图象2．一次函数的性质3．一次函数图象的平移规律教学反思本节课，学生活动设计了三个方面：一是通过画函数图象理解一次函数图象的形状．二是两点法画一次函数的图象．三是探究一次函数的图象与k 、b 符号的关系．在学生活动中，如何调动学生的积极性、互动性，提高学生活动的实效性值得深入探讨．为了达到上述目的，应结合每个活动，给学生明确的目的和要求，而且提供操作性很强的程序和题目．学生目标明确，操作性强，受到了较好的效果．21.3 用待定系数法确定一次函数的表达式教学目标1．用待定系数法求一次函数的解析式；(重点)2．从题目中获取待定系数法所需要的两个点的条件．(难点)教学过程一、情境导入已知弹簧的长度y (厘米)在一定的限度内是所挂重物质量x (千克)的一次函数．现已测得不挂重物时弹簧的长度是6厘米，挂4千克质量的重物时，弹簧的长度是7.2厘米．求这个一次函数的关系式．一次函数解析式怎样确定？需要几个条件？二、合作探究探究点：用待定系数法求一次函数解析式 【类型一】 已知两点确定一次函数解析式已知一次函数图象经过点A (3，5)和点B (－4，－9)．(1)求此一次函数的解析式；(2)若点C (m ，2)是该函数图象上一点，求C 点坐标．解析：(1)将点A (3，5)和点B (－4，－9)分别代入一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)，列出关于k 、b 的二元一次方程组，通过解方程组求得k 、b 的值；(2)将点C 的坐标代入(1)中的一次函数解析式，即可求得m 的值．解：(1)设一次函数的解析式为y ＝kx ＋b (k 、b 是常数，且k ≠0)，则⎩⎪⎨⎪⎧5＝3k ＋b ，－9＝－4k ＋b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧k ＝2，b ＝－1，∴一次函数的解析式为y ＝2x －1；(2)∵点C (m ，2)在y ＝2x －1上，∴2＝2m －1，∴m ＝32，∴点C 的坐标为(32，2)． 方法总结：解答此题时，要注意一次函数的一次项系数k ≠0这一条件，所以求出结果要注意检验一下．【类型二】 由函数图象确定一次函数解析式如图，一次函数的图象与x 轴、y 轴分别相交于A ，B 两点，如果A 点的坐标为(2，0)，且OA ＝OB ，试求一次函数的解析式．解析：先求出点B 的坐标，再根据待定系数法即可求得函数解析式．解：∵OA ＝OB ，A 点的坐标为(2，0)，∴点B 的坐标为(0，－2)．设直线AB 的解析式为y ＝kx ＋b (k ≠0)，则⎩⎪⎨⎪⎧2k ＋b ＝0，b ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝1，b ＝－2，∴一次函数的解析式为y ＝x －2. 方法总结：本题考查用待定系数法求函数解析式，解题关键是利用所给条件得到关键点的坐标，进而求得函数解析式．【类型三】 由三角形的面积确定一次函数解析式如图，点B 的坐标为(－2，0)，AB 垂直x 轴于点B ，交直线l 于点A ，如果△ABO的面积为3，求直线l 的解析式．解析：△AOB 面积等于OB 与AB 乘积的一半．根据OB 与已知面积求出AB 的长，确定出A 点坐标．设直线l 解析式为y ＝kx ，将A 点坐标代入求出k 的值，即可确定出直线l 的解析式．解：∵点B 的坐标为(－2，0)，∴OB ＝2.∵S △AOB ＝12OB ·AB ＝3，∴12×2×AB ＝3，∴AB ＝3，即A (－2，－3)．设直线l 的解析式为y ＝kx ，将A 点坐标代入得－3＝－2k ，即k ＝32，则直线l 的解析式为y ＝32x . 方法总结：解决本题的关键是根据直线与坐标轴围成三角形的面积确定另一个点的坐标．【类型四】 利用图形变换确定一次函数解析式已知一次函数y ＝kx ＋b 的图象过点(1，2)，且其图象可由正比例函数y ＝kx 向下平移4个单位得到，求一次函数的解析式．解析：根据题设得到关于k ，b 的方程组，然后求出k 的值即可．解：把(1，2)代入y ＝kx ＋b 得k ＋b ＝2.∵y ＝kx 向下平移4个单位得到y ＝kx ＋b ，∴b ＝－4，∴k －4＝2，解得k ＝6.∴一次函数的解析式为y ＝6x －4.方法总结：一次函数y ＝kx ＋b (k 、b 为常数，k ≠0)的图象为直线，当直线平移时k 不变，当向上平移m 个单位，则平移后直线的解析式为y ＝kx ＋b ＋m .【类型五】 由实际问题确定一次函数解析式已知水银体温计的读数y (℃)与水银柱的长度x (cm)之间是一次函数关系．现有一支水银体温计，其部分刻度线不清晰(如图)，表中记录的是该体温计部分清晰刻度线及其对应水银柱的长度．水银柱的长度x (cm)4.2 … 8.2 9.8 体温计的读数y (℃) 35.0 … 40.0 42.0(1)求y 关于x 的函数关系式(不需要写出函数自变量的取值范围)；(2)用该体温计测体温时，水银柱的长度为6.2cm ，求此时体温计的读数．解析：(1)设y 关于x 的函数关系式为y ＝kx ＋b ，由统计表的数据建立方程组求出k ，b 即可；(2)当x ＝6.2时，代入(1)的解析式就可以求出y 的值．解：(1)设y 关于x 的函数关系式为y ＝kx ＋b ，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧35.0＝4.2k ＋b ，40.0＝8.2k ＋b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝1.25，b ＝29.75，∴y ＝1.25x ＋29.75.∴y 关于x 的函数关系式为y ＝1.25x ＋29.75； (2)当x ＝6.2时，y ＝1.25×6.2＋29.75＝37.5.答：此时体温计的读数为37.5℃.方法总结：本题考查了待定系数法求一次函数的解析式的运用，由解析式根据自变量的值求函数值的运用，解答时求出函数的解析式是关键．【类型六】 与确定函数解析式有关的综合性问题如图，A 、B 是分别在x 轴上位于原点左右侧的点，点P (2，m )在第一象限内，直线PA 交y 轴于点C (0，2)，直线PB 交y 轴于点D ，S △AOP ＝12.(1)求点A 的坐标及m 的值；(2)求直线AP 的解析式；(3)若S △BOP ＝S △DOP ，求直线BD 的解析式．解析：(1)S △POA ＝S △AOC ＋S △COP ，根据三角形面积公式得到12×OA ×2＋12×2×2＝12，可计算出OA ＝10，则A 点坐标为(－10，0)，然后再利用S △AOP ＝12×10×m ＝12求出m ；(2)已知A 点和C 点坐标，可利用待定系数法确定直线AP 的解析式；(3)利用三角形面积公式由S △BOP＝S △DOP 得PB ＝PD ，即点P 为BD 的中点，则可确定B 点坐标为(4，0)，D 点坐标为(0，245)，然后利用待定系数法确定直线BD 的解析式．解：(1)∵S △POA ＝S △AOC ＋S △COP ，∴12×OA ×2＋12×2×2＝12，∴OA ＝10，∴A 点坐标为(－10，0)．∵S △AOP ＝12×10×m ＝12，∴m ＝125； (2)设直线AP 的解析式为y ＝kx ＋b ，把A (－10，0)，C (0，2)代入得⎩⎪⎨⎪⎧－10k ＋b ＝0，b ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝15，b ＝2，∴直线AP 的解析式为y ＝15x ＋2； (3)∵S △BOP ＝S △DOP ，∴PB ＝PD ，即点P 为BD 的中点，∴B 点坐标为(4，0)，D 点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫0，245.设直线BD 的解析式为y ＝k ′x ＋b ′，把B (4，0)，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，245代入得⎩⎪⎨⎪⎧4k ′＋b ′＝0，b ′＝245，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ′＝－65，b ′＝245，∴直线BD 的解析式为y ＝－65x ＋245.三、板书设计1．待定系数法的定义2．用待定系数法求一次函数解析式教学反思教学中，要让学生通过自主讨论、交流，来探究学习中碰到的问题，教师从中点拨、引导，并和学生一起学习，探讨，真正做到教学相长．21.4 一次函数的应用教学目标1．根据问题及条件找出能反映出实际问题的函数；(重点)2．能利用一次函数图象解决简单的实际问题，能够将实际问题转化为一次函数的问题．(重点)教学过程一、情境导入联通公司手机话费收费有A套餐(月租费15元，通话费每分钟0.1元)和B套餐(月租费0元，通话费每分钟0.15元)两种．设A套餐每月话费为y1(元)，B套餐每月话费为y2(元)，月通话时间为x(分钟)．(1)分别表示出y1与x，y2与x的函数关系式；(2)月通话时间为多长时，A、B两种套餐收费一样？(3)什么情况下A套餐更省钱？二、合作探究探究点：一次函数与实际问题【类型一】利用一次函数解决最值问题广安某水果店计划购进甲、乙两种新出产的水果共140千克，这两种水果的进价、售价如表所示：进价(元/千克)售价(元/千克)甲种58乙种913(1)若该水果店预计进货款为1000元，则这两种水果各购进多少千克？(2)若该水果店决定乙种水果的进货量不超过甲种水果的进货量的3倍，应怎样安排进货才能使水果店在销售完这批水果时获利最多？此时利润为多少元？解析：(1)根据计划购进甲、乙两种新出产的水果共140千克，进而利用该水果店预计进货款为1000元，列出等式求出即可；(2)利用两种水果每千克的利润表示出总利润，再利用一次函数增减性得出最大值即可．解：(1)设购进甲种水果x千克，则购进乙种水果(140－x)千克，根据题意可得5x＋9(140－x )＝1000，解得x ＝65，∴140－x ＝75(千克)．答：购进甲种水果65千克，乙种水果75千克；(2)由图表可得甲种水果每千克利润为3元，乙种水果每千克利润为4元．设总利润为W ，由题意可得W ＝3x ＋4(140－x )＝－x ＋560.∵该水果店决定乙种水果的进货量不超过甲种水果的进货量的3倍，∴140－x ≤3x ，解得x ≥35.∵－1<0，∴W 随x 的增大而减小，则x 越小W 越大．∴当x ＝35时，W 最大＝－35＋560＝525(元)，140－35＝105(千克)．答：当购进甲种水果35千克，购进乙种水果105千克时，此时利润最大为525元． 方法总结：利用一次函数增减性得出函数最值是解题关键． 【类型二】 利用一次函数解决有关路程问题为倡导低碳生活，绿色出行，某自行车俱乐部利用周末组织“远游骑行”活动．自行车队从甲地出发，途经乙地短暂休息完成补给后，继续骑行至目的地丙地，自行车队出发1h 后，恰有一辆邮政车从甲地出发，沿自行车队行进路线前往丙地，在丙地完成2h 装卸工作后按原路返回甲地，自行车队与邮政车行驶速度均保持不变，并且邮政车行驶速度是自行车队行驶速度的2.5倍，如图表示自行车队、邮政车离甲地的路程y (km)与自行车队离开甲地的时间x (h)的函数关系图象，请根据图象提供的信息解答下列各题：(1)自行车队行驶的速度是________km/h ；(2)邮政车出发多久与自行车队首次相遇？(3)邮政车在返程途中与自行车队再次相遇时的地点距离甲地多远？解析：(1)由“速度＝路程÷时间”就可以求出结论；(2)由自行车的速度就可以求出邮政车的速度，再由追及问题设邮政车出发a h 与自行车队首次相遇建立方程求出其解即可；(3)由邮政车的速度可以求出B 的坐标和C 的坐标，由自行车的速度就可以求出D 的坐标，由待定系数法求出BC ，ED 的解析式就可以求出结论．解：(1)由题意得自行车队行驶的速度为72÷3＝24(km/h)．(2)由题意得邮政车的速度为24×2.5＝60(km/h)．设邮政车出发a h 与自行车队首次相遇，由题意得24(a ＋1)＝60a ，解得a ＝23. 答：邮政车出发23h 与自行车队首次相遇； (3)由题意得邮政车到达丙地的时间为135÷60＝94(h)，∴邮政车从丙地出发返回甲地前共用时为94＋2＋1＝214(h)，∴B (214，135)，C (7.5，0)．自行车队到达丙地的时间为135÷24＋0.5＝458＋0.5＝498(h)，∴D (498，135)．设直线BC 的解析式为y 1＝k 1＋b 1，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧135＝214k 1＋b 1，0＝7.5k 1＋b 1，解得⎩⎪⎨⎪⎧k 1＝－60，b 1＝450.∴y 1＝－60x ＋450.设ED 的解析式为y 2＝k 2x ＋b 2，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧72＝3.5k 2＋b 2，135＝498k 2＋b 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧k 2＝24，b 2＝－12，∴y 2＝24x －12.当y 1＝y 2时，－60x ＋450＝24x －12，解得x ＝5.5.y 1＝－60×5.5＋450＝120.答：邮政车在返程途中与自行车队再次相遇时的地点距离甲地120km.方法总结：本题考查了行程问题的数量关系的运用，待定系数法求一次函数的解析式的运用，一次函数与一元一次方程的运用，解答时求出函数的解析式是关键．【类型三】 利用一次函数解决图形面积问题如图①，底面积为30cm 2的空圆柱形容器内水平放置着由两个实心圆柱组成的“几何体”，现向容器内匀速注水，注满为止，在注水过程中，水面高度h (cm)与注水时间t (s)之间的关系如图②所示．请根据图中提供的信息，解答下列问题：(1)圆柱形容器的高为多少？匀速注水的水流速度(单位：cm 3/s)为多少？(2)若“几何体”的下方圆柱的底面积为15cm 2，求“几何体”上方圆柱的高和底面积． 解析：(1)根据图象，分三个部分：注满“几何体”下方圆柱需18s ；注满“几何体”上方圆柱需24－18＝6(s)，注满“几何体”上面的空圆柱形容器需42－24＝18(s)．再设匀速注水的水流速度为x cm 3/s ，根据圆柱的体积公式列方程，再解方程；(2)由图②知几何体下方圆柱的高为a cm ，根据圆柱的体积公式得a ·(30－15)＝18×5，解得a ＝6，于是得到“几何体”上方圆柱的高为5cm ，设“几何体”上方圆柱的底面积为S cm 2，根据圆柱的体积公式得5×(30－S )＝5×(24－18)，再解方程即可．解：(1)根据函数图象得到圆柱形容器的高为14cm ，两个实心圆柱组成的“几何体”的高度为11cm ，水从刚满过由两个实心圆柱组成的“几何体”到注满用了42－24＝18(s)，这段高度为14－11＝3(cm)．设匀速注水的水流速度为x cm 3/s ，则18·x ＝30×3，解得x ＝5，即匀速注水的水流速度为5cm 3/s ；(2)由图②知“几何体”下方圆柱的高为a cm ，则a ·(30－15)＝18×5，解得a ＝6，所以“几何体”上方圆柱的高为11－6＝5(cm)．设“几何体”上方圆柱的底面积为S cm 2，根。