八年级下册课时数学分层训练题

#### 一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列各数中，有理数是（）A. √-1B. √2C. πD. -52. 若a > 0，b < 0，则下列不等式中正确的是（）A. a > bB. a < bC. -a > -bD. -a < -b3. 已知x + y = 5，x - y = 1，则x² - y²的值为（）A. 4B. 5C. 6D. 104. 一个长方形的长是10cm，宽是6cm，那么它的周长是（）A. 16cmB. 26cmC. 36cmD. 46cm5. 在直角三角形ABC中，∠C是直角，若∠A = 45°，则∠B的度数是（）A. 45°B. 90°C. 135°D. 180°6. 下列函数中，一次函数是（）A. y = 2x + 3B. y = x² + 2x + 1C. y = √xD. y = log₂x7. 若一个等腰三角形的底边长为6cm，腰长为8cm，则该三角形的面积是（）A. 24cm²B. 27cm²C. 30cm²D. 32cm²8. 下列各组数中，能构成等差数列的是（）A. 1, 3, 5, 7B. 2, 4, 8, 16C. 1, 4, 9, 16D. 3, 6, 9, 129. 已知等腰三角形ABC的底边BC=8cm，腰AB=AC=6cm，则三角形ABC的面积是（）A. 16cm²B. 24cm²C. 30cm²D. 36cm²10. 若一个圆的半径增加一倍，那么其面积将增加（）A. 原面积的2倍B. 原面积的4倍C. 原面积的8倍D. 原面积的16倍#### 二、填空题（每题5分，共20分）11. 若m² - 9 = 0，则m的值为__________。

人教版初中数学八年级下册17.1.1 勾股定理同步练习夯实基础篇一、单选题：1．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对应边分别是a，b，c，若∠B＝90°，则下列等式中成立的是（）A．a2＋b2＝c2B．b2＋c2＝a2C．a2＋c2＝b2D．c2﹣a2＝b2【答案】C【分析】利用勾股定理即可得到结果．【详解】解：在△ABC中，∠B＝90°，∴△ABC为直角三角形，则根据勾股定理得：．故选：C．【点睛】此题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．2．在△ABC中，∠C＝90°，AB＝3，则AB2+BC2+AC2的值为（）A．6B．9C．12D．18【答案】D【分析】根据，利用勾股定理可得，据此求解即可．【详解】解：如图示，∴在中，∴，故选：D．【点睛】本题主要考查了勾股定理的性质，掌握直角三角形中，三角形的三边长，，满足是解题的关键．3．如图，是由两个直角三角形和三个正方形组成的图形，大直角三角形的斜边和直角边长分别是13，12．则图中阴影部分的面积是（）A．16B．25C．144D．1【答案】B【分析】根据勾股定理可进行求解【详解】解：如图所示：根据勾股定理得出：，，阴影部分面积是，故选：B．【点睛】此题考查勾股定理，解决此题的关键是清楚阴影部分的两个正方形的面积和等于的平方．4．直角三角形两边长为3，4，则第三边长为（）A．5B．C．5或D．不能确定【答案】C【分析】分两种情况，3，4为直角边时和4为斜边时，利用勾股定理求解即可．【详解】解：当3，4为直角边时，第三边的长为，当4为斜边时，第三边的长为，则第三边的长为或，故选：C【点睛】此题考查了勾股定理，解题的关键是掌握勾股定理，直角三角形的两个直角边的平方和等于斜边的平方，注意分类讨论．5．如图，在中，，，垂足为D ．若，，则的长为（ ）A ．2.4B ．2.5C ．4.8D ．5【答案】A【分析】先由勾股定理求出的长，再运用等面积法求得的长即可．【详解】解：∵在中，，，，∴，∴，即．故选A ．【点睛】本题主要考查了勾股定理、等面积法等知识点，掌握运用等面积法求三角形的高是解题的关键．6．等腰三角形的腰长为5，底边上的中线长为4，它的面积为（ ）A ．24B ．20C ．15D ．12【答案】D【分析】根据等腰三角形的性质可知上的中线，同时也是边上的高线，根据勾股定理求出的长即可求得．【详解】解：如图所示，∵等腰三角形中，，是上的中线，，同时也是上的高线，，，，故选：D．【点睛】本题考查了勾股定理及等腰三角形的性质．解题关键是得出底边上的中线是上的高线．7．在中，，，，则的长为（ ）A．3B．3或C．3或D．【答案】A【分析】在中，已知与的长，利用勾股定理求出的长即可；【详解】解：在中，，，，由勾股定理得：，∴的长为3；故选：A【点睛】本题考查了勾股定理，能灵活运用定理进行计算是解题的关键．二、填空题：8．在中，，，，则____．【答案】4【分析】直接根据勾股定理求解即可．【详解】解：∵在中，，，，．故答案为：4．【点睛】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方和等于斜边长的平方是解答此题的关键．9．一直角三角形的两直角边长满足，则该直角三角形的斜边长为________．【答案】【分析】根据算术平方根的非负性，绝对值的非负性，得出的值，根据勾股定理即可求解．【详解】解：∵，∴，解得：，∴该直角三角形的斜边长为，故答案为：．【点睛】本题考查了算术平方根的非负性，绝对值的非负性，勾股定理，得出的值是解题的关键．10．在中，，．则的面积为______．【答案】60【分析】画出图形，过点作于，利用等腰三角形的三线合一性质得到，再利用勾股定理求得即可求解．【详解】解：如图，过点作于，则，∵，，∴，∴在中，，∴，故答案为：60．【点睛】本题考查等腰三角形的性质、勾股定理、三角形的面积公式，熟练掌握等腰三角形的三线合一性质解答的关键．11．如图，在中，．以、为边的正方形的面积分别为、．若，，则的长为______．【答案】3【分析】根据正方形的面积求得，，再根据勾股定理求解即可．【详解】解：∵以、为边的正方形的面积分别为、，，，∴，，在中，，由勾股定理得：，故答案为：3．【点睛】本题考查勾股定理、正方形的面积，熟练掌握勾股定理是解答的关键．12．若直角三角形的两边长为a、b，且满足，则该直角三角形的斜边长的平方为_____．【答案】25或16##16或25【分析】先根据非负数的性质求出两直角边长、，已知两直角边求斜边可以根据勾股定理求解．【详解】解：，，解得：，，，，解得，，①当a，b为直角边，该直角三角形的斜边长的平方为，②4也可能为斜边，该直角三角形的斜边长的平方为16，故答案为：25或16．【点睛】本题考查了非负数的性质，根据勾股定理计算直角三角形的斜边，正确的运用勾股定理是解题的关键．13．如图，为中斜边上的一点，且，过作的垂线，交于，若，，则的长为________．【答案】【分析】连接，根据已知条件，先证明，再根据全等三角形的性质，求得的长度，进而勾股定理即可求解．【详解】解：如图，连接．∵为中斜边上的一点，且，过作的垂线，交于，∴，∴在和中，，∴，∴，又∵，∴．在中，，∴故答案为:．【点睛】本题主要考查了直角三角形全等的判定（）以及全等三角形的性质，勾股定理，连接是解决本题的关键．14．如图，Rt中，，现将沿进行翻折，使点A刚好落在上，则_____．【答案】##2.5【分析】设，将沿进行翻折，使点A刚好落在上，则．则直角中根据勾股定理，即可得到一个关于的方程，即可求得．【详解】解：设，则在Rt中，．则．在Rt中：．即：．解得：【点睛】此题考查了勾股定理的运用，根据勾股定理把求线段的长的问题转化为方程问题是解决本题的关键．三、解答题：15．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，AB＝3，BD＝2，DC＝1，求AC的长．解：在Rt△ABD中，AB＝3，BD＝2，由勾股定理得AD2＝AB2－BD2＝32－22＝5.在Rt△ACD中，CD＝1，由勾股定理得16．如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝10，CD⊥AB，垂足为D，CD＝8.求AC的长．解∵CD⊥AB，∴∠ADC＝∠BDC＝90°.在Rt△BCD中，设AC＝AB＝x，则AD＝x－6.在Rt△ACD中，AC2＝AD2＋CD2，即x2＝(x－6)2＋82，解得x＝，即AC的长为.17．、、是的三边，且有．若是直角三角形，求的值．【答案】或【分析】先根据完全平方公式把原式变形为，可得，，再分两种情况讨论，即可求解．【详解】解：∵∴∴∴∴，，解得：，，当，为直角边时，；当为斜边时，；综上所述，的值为或．【点睛】本题主要考查了完全平方公式的应用，勾股定理，熟练掌握完全平方公式的应用，勾股定理，利用分类讨论思想解答是解题的关键．18．已知：如图，在中，，点是中点，于点，求证：．【答案】见解析【分析】在、、中，运用三次勾股定理，然后利用等量代换即可证明结论．【详解】证明：在中，，在中，，∴，又∵是中点，∴，∴，即：．【点睛】题目主要考查勾股定理的重复运用，熟练掌握勾股定理且准确应用等量代换是解题关键．能力提升篇一、单选题：1．如图，在△ABC中，AB＝AC＝6，∠BAC＝120°，过点A作AD⊥BA交BC于点D，过点D作DE⊥BC 交AC于点E，则AE的长为（ ）A．1B．2C．3D．4【答案】B【分析】根据等腰三角形的性质可得，根据含角的直角三角形的性质可得的长，再求出的长，即可确定的长．【详解】解：，，，，，设，则，根据勾股定理，可得，解得或（舍去），，，，，，，设，则，根据勾股定理，得，或（舍去），，，故选：B．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理、直角三角形的性质，熟练掌握这些性质是解题的关键．2．如图，在四边形中，，，点是边上一点，，，．下列结论：①；②；③四边形的面积是；④；⑤该图可以验证勾股定理．其中正确的结论个数是（）A．2个B．3个C．4个D．5个【答案】D【分析】利用可证，故①正确；由全等三角形的性质可得出，，求出，即可得到②正确；根据梯形的面积公式可得③正确；根据列式，可得④正确；整理后可得，即⑤正确．【详解】解：∵，，∴，∴，在和中，，∴，故①正确；∴，，∵，∴，∵，∴，故②正确；∵，，∴梯形的面积是，故③正确；∵，∴，故④正确；整理得：，∴该图可以验证勾股定理，故⑤正确；正确的结论个数是5个，故选：D．【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质的运用，梯形的面积计算，三角形的面积计算，勾股定理等知识，解答时证明三角形全等是关键．3．如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形面积为49，小正方形面积为4，若用x，y表示直角三角形的两直角边（x＞y），下列结论：①；②x﹣y＝2；③2xy+4＝49；④x+y＝7．其中正确的结论是（ ）A．①②B．②④C．①②③D．①③【答案】C【分析】由题意知，①﹣②可得2xy＝45记为③，①+③得到，由此即可判断．【详解】解：由题意知，①﹣②可得2xy＝45记为③，①+③得到，∴，∴．∵x＞y，由②可得x-y=2由③得2xy+4＝49∴结论①②③正确，④错误．故选：C．【点睛】本题考查勾股定理中弦图的有关计算，准确找出图中的线段关系，并利用完全平方公式求出各个式子的关系是解题的关键．二、填空题：4．如图，点在边长为5的正方形内，满足，若，则图中阴影部分的面积为______．【答案】19【分析】根据勾股定理求出，分别求出和正方形的面积，即可求出答案．【详解】解：∵在中，，，，由勾股定理得：，∴正方形的面积是，∵的面积是，∴阴影部分的面积是，故答案为：19．【点睛】本题考查了正方形的性质，三角形的面积，勾股定理的应用，主要考查学生的计算能力和推理能力．5．如图，在中，，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC的延长线于点E．若，，则EC的长为______．【答案】【分析】连接，根据垂直平分线的性质得出，再由勾股定理确定，设，则，利用勾股定理求解即可．【详解】解：连接，如图所示：∵的垂直平分线交于点D，交的延长线于点E，∴，∵，，，∴，设，则，在中，，即，解得：，∴，故答案为：．【点睛】题目主要考查垂直平分线的性质，勾股定理解三角形等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键．6．如图，已知直角三角形的周长为24，且阴影部分的面积为24，则斜边的长为______．【答案】10【分析】根据阴影部分面积等于以为直径的半圆面积之和加上的面积减去以为直径的半圆面积进行求解即可．【详解】解；∵直角三角形的周长为24，∴，,∴，∵阴影部分的面积为24，∴，∴∴∴，∴，故答案为：10．【点睛】本题主要考查了勾股定理，完全平方公式，熟知相关知识是解题的关键．三、解答题：7．已知：在中，，、、所对的边分别记作a、b、c．如图1，分别以的三条边为边长向外作正方形，其正方形的面积由小到大分别记作、、，则有，(1)如图2，分别以的三条边为直径向外作半圆，其半圆的面积由小到大分、、，请问与有怎样的数量关系，并证明你的结论；(2)分别以直角三角形的三条边为直径作半圆，如图3所示，其面积由小到大分别记作S1、S2Sa，根据（2）中的探索，直接回答与有怎样的数量关系；(3)若中，，，求出图4中阴影部分的面积．【答案】(1)，证明见解析(2)(3)24【分析】（1）由扇形的面积公式可知，，，在Rt△ABC中，由勾股定理得AC2＋BC2＝AB2，即S1＋S2＝S3；（2）根据（1）中的求解即可得出答案；（3）利用（2）中的结论进行求解．（1）解：①，根据勾股定理可知：，；（2）解：由（1）知，同理根据根据勾股定理：，从而可得；（3）解：由（2）知．【点睛】本题考查勾股定理的应用，解题关键是对勾股定理的熟练掌握及灵活运用．。

19.2.3 第1课时一次函数与一元一次方程、不等式【基础练习】知识点 1 一次函数与一元一次方程1.(1)一元一次方程-2x+4=0的解是.(2)函数y=-2x+4,当x= 时,函数值为0.(3)直线y=-2x+4与x轴的交点坐标是.(4)由上述问题可知,一元一次方程ax+b=0(a≠0)的解就是一次函数y=ax+b(a≠0)当y=0时所对应的的值;从图象上看,就是一次函数y=ax+b(a≠0)的图象与轴交点的.2.如图,直线y=ax+b(a≠0)过点A(0,4),B(-3,0),则方程ax+b=0的解是.3.如图,已知直线y=ax-b(a≠0),则关于x的方程ax-1=b的解为.4.如图是函数y=kx+b(k,b是常数,且k≠0)的图象,利用图象直接写出:(1)方程kx+b=0的解;(2)方程kx+b=-2的解;(3)方程kx+b=-3的解.知识点 2 一次函数与一元一次不等式5.(1)kx+b>0的解集就是直线y=kx+b 在直线y=0的 (填“上方”或“下方”)部分对应x 的范围;(2)kx+b<0的解集就是直线y=kx+b 在直线y=0的 (填“上方”或“下方”)部分对应x 的范围;(3)kx+b>a 的解集就是直线y= 在直线y= 的上方部分对应x 的范围; (4)kx+b<a 的解集就是直线y= 在直线y= 的下方部分对应x 的范围; (5)k 1x+b 1>k 2x+b 2的解集就是直线y= 在直线y= 的上方部分对应x 的范围; (6)k 1x+b 1<k 2x+b 2的解集就是直线y= 在直线y= 的下方部分对应x 的范围. 6.已知函数y=kx+b (k ≠0)的图象如图所示,则不等式kx+b<0的解集为( )A .x>5B .x<5C .x>4D .x<47.如图所示,直线l 1:y=32x+6与直线l 2:y=-52x-2交于点P (-2,3),则不等式32x+6>-52x-2的解集是 ( )A.x>-2B.x≥-2C.x<-2D.x≤-28.直线y=kx+b在平面直角坐标系中的位置如图所示,则不等式kx+b≤2的解集是 ()A.x≤-2B.x≤-4C.x≥-2D.x≥-49.如图所示,一次函数y=ax+b(a,b为常数,且a>0)的图象经过点A(4,1),则不等式ax+b<1的解集为.10.如图,直线y=kx+b(k≠0)与x轴的交点坐标为(2,0),与y轴的交点坐标为(0,3),则关于x 的不等式组0<kx+b<3的解集是.【能力提升】11.数形结合是解决数学问题常用的思想方法.如图19-2-35,直线y=x+5和直线y=ax+b相交于点P,根据图象可知,方程x+5=ax+b的解是()图19-2-35A .x=20B .x=5C .x=25D .x=1512.已知y=kx+2,当x<-1时,其图象在x 轴下方;当x>-1时,其图象在x 轴上方,则k 的值为( ) A .-2B .2C .-3D .313. 如图,直线y=x+b 和y=kx+2(k ≠0)分别与x 轴交于点A (-2,0),点B (3,0),则{x +b >0,kx +2>0的解集为( )A .x<-2B .x>3C .x<-2或x>3D .-2<x<314.若一次函数y=kx+b (k ≠0)的图象如图所示,则关于x 的不等式kx+2b<0的解集为( )A .x<3B .x>3C .x<6D .x>615.已知一次函数y=kx+b (k ≠0)的图象如图所示,当x<1时,y 的取值范围是 .16.如图,直线y=-2x 与直线y=kx+b (k ≠0)相交于点A (a ,2),并且直线y=kx+b 经过x 轴上的点B (2,0).(1)求直线y=kx+b所对应的函数解析式;(2)求两条直线与y轴围成的三角形的面积;(3)直接写出不等式(k+2)x+b≥0的解集.17.某学校的复印任务原来由甲复印社承接,其收费y(元)与复印页数x(页)的关系如下表:x(页) 100 200 400 1000y(元) 40 80 160 400(1)猜想y与x满足哪种函数关系,并求出函数的解析式;(2)现在乙复印社表示:若学校每月先付200元的承包费,则可按每页0.15元收费,故乙复印社每月收费y(元)与复印页数x(页)之间的函数解析式为;(3)在图19-2-40中的平面直角坐标系内画出(1)(2)中函数的图象,并回答每月复印页数在1200页左右应选择哪个复印社.答案1.(1)x=2 (2)2 (3)(2,0) (4)x x 横坐标2.x=-33.x=44.解:(1)x=2.(2)x=0.(3)x=-1.5.(1)上方 (2)下方 (3)kx+b a 、(4)kx+b a (5)k 1x+b 1 k 2x+b 2 (6)k 1x+b 1 k 2x+b 26.C7.A8.C9.x<4 10.0<x<2 . 11.A 12.B 13.D 14.D 15.y<-216.解:(1)把A (a ,2)代入y=-2x ,得-2a=2,解得a=-1,∴A (-1,2).把A (-1,2),B (2,0)代入y=kx+b ,得{-k +b =2,2k +b =0,解得{k =-23,b =43,∴直线y=kx+b 所对应的函数解析式是y=-23x+43.(2)设直线AB 与y 轴交于点C ,则C (0,43),∴S △AOC =12×43×1=23.(3)不等式(k+2)x+b ≥0可以变形为kx+b ≥-2x ,结合图象可得到不等式(k+2)x+b ≥0的解集为x ≥-1.17.解:(1)根据表中的数据可知y 与x 满足正比例函数关系.设y=kx (k ≠0),将x=100,y=40代入y=kx ,得k=0.4,所以y=0.4x ,将其他几组值代入该函数解析式均成立,所以函数的解析式为y=0.4x (x>0). (2)y=0.15x+200(x>0) (3)如图所示.由图象可知,当每月复印页数在1200页左右时,应选择乙复印社.。

19.1 第2课时函数【基础练习】知识点 1 函数的概念1.下列说法不正确的是()A.矩形的长一定,其宽与面积之间存在函数关系B.圆的面积与半径之间存在函数关系C.正方形的面积为y,y自身可以称为函数D.正方形的周长与面积之间存在函数关系2.下列是关于变量x,y的关系,其中y不是x的函数的是()图43.下列关系式中,y不是x的函数的是()A.y=x2B.y=2xC.y=|x|D.y2=x4.火车以120千米/时的速度行驶,它走过的路程s(千米)与时间t(时)之间的关系式是,s (填“是”或“不是”)t的函数.知识点 2 函数自变量的取值范围中,自变量x的取值范围是()5.函数y=1x+3A.x>-3B.x<3C.x≠-3D.x≠3+√x-2的自变量x的取值范围是()6.函数y=1x-3A.x≥2且x≠3B.x≥2C.x≠3D.x>2且x≠37.油箱中有油30 L,油从管道中匀速流出,1 h流完,则油箱中剩余油量Q(L)与流出时间t(min)之间的函数解析式是,自变量t的取值范围是.知识点 3 函数值时,y的值为()8.若y与x之间的函数解析式为y=30x-6,则当x=13A.5B.10C.4D.-49.某地海拔h(km)与温度T(℃)的关系可用T=21-6h来表示,则该地区海拔为2000 m的山顶上的温度是()A.15 ℃B.3 ℃C.-11979 ℃D.9 ℃【能力提升】10.如图5,在矩形ABCD中,AB=6,AD=4,P是CD上的动点,且不与点C,D重合,设DP=x,梯形ABCP的面积为y,则y与x之间的函数关系式和自变量的取值范围分别是 ()图5A.y=24-2x,0<x<6B.y=24-2x,0<x<4C.y=24-3x,0<x<6D.y=24-3x,0<x<411.在一定限度内弹簧挂上物体后会伸长,测得一弹簧长度y(cm)与所挂物体质量x(kg)有如下关系:(假设都在弹性限度内)所挂物体质量x/kg 0 1 2 3 4 5 6弹簧长度y/cm 12 12.5 13 13.5 14 14.5 15(1)由表格知,弹簧原长为 cm,所挂物体每增加1 kg弹簧伸长 cm;(2)请写出弹簧长度y(cm)与所挂物体质量x(kg)之间的函数关系式;(不必写出自变量的取值范围)(3)预测当所挂物体质量为10 kg时,弹簧长度是多少?(4)当弹簧长度为20 cm时,求所挂物体的质量.答案1.C2.B3.D4.s=120t 是5.C6.A7.Q=30-0.5t 0≤t≤608.C9.D.10.A11.解:(1)120.5(2)弹簧长度y(cm)与所挂物体质量x(kg)之间的函数关系式为y=0.5x+12.(3)把x=10代入y=0.5x+12,解得y=17,即所挂物体质量为10 kg时,弹簧长度为17 cm.(4)把y=20代入y=0.5x+12,解得x=16,即当弹簧长度为20 cm时,所挂物体的质量为16 kg.。

第2课时 一次函数与二元一次方程组【基础练习】知识点 一次函数与二元一次方程(组)1.如图1,直线上每个点的坐标都是二元一次方程2x-y=2的解的是 ( )图12.若直线y=3x+6与y=2x+4的交点坐标为(a ,b ),则{x =a ,y =b 是下列哪个方程组的解 ( ) A .{y -3x =6,2y +x =-4 B .{y -3x =6,2y -x =4 C .{3x -y =6,2x -y =4 D .{3x -y =-6,2x -y =-4 3.如图2,已知函数y=x-2和y=-2x+1的图象相交于点P ,根据图象可得方程组{x -y =2,2x +y =1的解是 .图24.已知方程组{x +y =1,2x -y =2的解为{x =1,y =0,则一次函数y=-x+1和y=2x-2的图象的交点坐标为 .5.(1)请在如图3所示的平面直角坐标系中画出一次函数y 1=x-1和y 2=-2x+5的图象; (2)根据图象直接写出{y -x =-1,y +2x =5的解;(3)利用图象求两条直线与y 轴所围成图形的面积.图36.已知点A ,B ,C ,D 的坐标如图4所示,求直线AB 与直线CD 的交点坐标.图47.如图5,直线l 1的函数解析式为y=2x-2,直线l 1与x 轴交于点A.直线l 2:y=kx+b (k ≠0)经过点B (3,1).直线l 1,l 2交于点C (m ,2). (1)求点A 、点C 的坐标; (2)求直线l 2的函数解析式;(3)利用函数图象写出关于x ,y 的二元一次方程组{y =2x -2,y =kx +b的解.图5【能力提升】8.直线y=x+1与y=-2x+a 的交点在第一象限,则a 的取值可以是 ( ) A .-1B .0C .1D .29.已知方程组{-3x +4y =6,2x -3y =m 的解是{x =2,y =3,则一次函数y=34x+32与一次函数y=23x-13m 的图象的交点坐标为 .10.如图6,直线l 1:y=x+1与直线l 2:y=mx+n 相交于点P (1,b ). (1)求b 的值;(2)不解关于x ,y 的方程组{y =x +1,y =mx +n ,请你直接写出它的解;(3)直线l 3:y=nx+m 是否也经过点P ?请说明理由.图611.A,B 两地相距100千米,甲、乙两人骑车分别从A,B 两地相向而行,图7中l 1和l 2分别表示他们各自到A 地的距离y (千米)与时间x (时)的关系,根据图中提供的信息,解答下列问题: (1)图中哪条线表示甲到A 地的距离与时间的关系? (2)甲、乙两人的速度分别是多少? (3)求点P 的坐标,并解释点P 的实际意义; (4)甲出发多长时间后,两人相距30千米?图712.如图8,直线y 1=2x-2的图象与y 轴交于点A ,直线y 2=-2x+6的图象与y 轴交于点B ,两者相交于点C.(1)方程组{2x -y =2,2x +y =6的解是 ;(2)当y 1>0与y 2>0同时成立时,x 的取值范围为 ; (3)求△ABC 的面积;(4)在直线y1=2x-2上存在异于点C的另一点P,使得△ABC与△ABP的面积相等,请求出点P 的坐标.图8答案1.B2.D3.{x =1,y =-14.(1,0)5.解:(1)如图.(2){y -x =-1,y +2x =5的解为{x =2,y =1.(3)直线y=-2x+5与y 轴的交点坐标为(0,5), 直线y=x-1与y 轴的交点坐标为(0,-1),所以两条直线与y 轴所围成图形的面积=12×(5+1)×2=6.6.解:由图象得直线AB 和直线CD 所对应的函数解析式分别为y=2x+6和y=-12x+1,解方程组{y =2x +6,y =-12x +1,得{x =-2,y =2,∴直线AB 与直线CD 的交点坐标为(-2,2).7.解:(1)∵点A 为直线l 1:y=2x-2与x 轴的交点,∴令y=0,得0=2x-2,解得x=1,∴点A 的坐标为(1,0).∵点C (m ,2)在直线l 1:y=2x-2上, ∴2=2m-2,解得m=2, ∴点C 的坐标为(2,2).(2)∵点C (2,2),B (3,1)在直线l 2上,∴{2k +b =2,3k +b =1,解得{k =-1,b =4,∴直线l 2的函数解析式为y=-x+4.(3)由题图可知二元一次方程组{y =2x -2,y =kx +b 的解为{x =2,y =2.8.D 9.(2,3)10.解:(1)把P (1,b )代入y=x+1,得b=1+1=2,∴b 的值是2.(2)由图象得直线l 1:y=x+1和直线l 2:y=mx+n 的交点是P (1,2),∴关于x ,y 的方程组{y =x +1,y =mx +n 的解是{x =1,y =2.(3)直线l 3:y=nx+m 也经过点P.理由如下:∵直线l 1:y=x+1和直线l 2:y=mx+n 的交点是P (1,2),∴点P (1,2)在直线y=mx+n 上.把P (1,2)代入y=mx+n ,得m+n=2. 把x=1代入y=nx+m ,得y=n+m ,即y=2,∴点P (1,2)在直线l 3:y=nx+m 上,∴直线l 3:y=nx+m 也经过点P (1,2).11.解:(1)由A,B 两地相距100千米,甲、乙两人骑车分别从A,B 两地相向而行,可知l 1表示甲到A 地的距离与时间的关系.(2)甲的速度为30千米/时,乙的速度为20千米/时. (3)设直线l 1的函数解析式为y=k 1x+b 1(k 1≠0). 根据题意,得{k 1+b 1=0,2k 1+b 1=30,解得{k 1=30,b 1=-30,故直线l 1的函数解析式为y=30x-30. 设直线l 2的函数解析式为y=k 2x+b 2(k 2≠0). 根据题意,得{k 2+b 2=80,b 2=100,解得{k 2=-20,b 2=100,故直线l 2的函数解析式为y=-20x+100. 联立l 1,l 2的函数解析式,得{y =30x -30,y =-20x +100,解得{x =2.6,y =48,所以点P 的坐标为(2.6,48).点P 的实际意义:乙出发2.6小时后两人相遇,这时两人距离A 地48千米. (4)设甲出发x 小时后,两人相距30千米.根据题意得20(x+1)+30x=100-30或20(x+1)+30x=100+30,解得x=1或x=2.2. 答:甲出发1小时或2.2小时后,两人相距30千米.12.解:(1){x =2,y =2(2)1<x<3(3)令x=0,则y1=-2,y2=6,∴A(0,-2),B(0,6),∴AB=8,×8×2=8.∴S△ABC=12(4)令P(x0,2x0-2).∵△ABC与△ABP的面积相等, ∴S△ABP=1×8×|x0|=8,2∴x0=±2.∵点P异于点C,∴x0=-2,2x0-2=-6,∴点P的坐标为(-2,-6).。

人教版初中数学八年级下册18.2.2 矩形的判定同步练习夯实基础篇一、单选题：1．下列给出的判定中不能判定一个四边形是矩形的是（　）A．有三个角是直角B．对角线互相平分且相等C．对角线互相垂直且相等D．一组对边平行且相等，一个角是直角【答案】C【分析】利用矩形的判定方法即可对各选项进行判断，得到符合题意的选项．【详解】解：A、有三个角是直角的四边形是矩形，该选项说法正确，不合题意；B、对角线互相平分且相等的四边形是矩形，该选项说法正确，不合题意；C、对角线互相平分且相等的四边形是矩形，该选项原说法错误，符合题意；D、一组对边平行且相等，一个角是直角的四边形是矩形，该选项说法正确，不合题意；故选：C．【点睛】此题考查了矩形的判定，矩形的判定方法有：有一个角是直角的平行四边形是矩形；三个角都是直角的四边形是矩形；对角线相等的平行四边形是矩形，熟练掌握矩形的判定方法是解本题的关键．2．如图，四边形是平行四边形，添加下列条件，能判定这个四边形是矩形的是（）A．B．C．D．【答案】A【分析】由矩形的判定和平行四边形的性质分别对各个选项进行判断即可；【详解】解：A、四边形是平行四边形，，，，平行四边形是矩形，故选项A符合题意；B、四边形ABCD是平行四边形，，，，，选项B不能判定这个平行四边形为矩形，故选项B不符合题意；C、四边形是平行四边形，，平行四边形是菱形，故选项C不符合题意；D、四边形是平行四边形，，平行四边形是菱形，故选项D不符合题意；故选：A．【点睛】本题考查了矩形的判定、菱形的判定、平行四边形的性质等知识，熟练掌握矩形的判定是解题的关键．3．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点O作交AD于E，若，则AE的长为（）A．3B．4C．5D．【答案】C【分析】根据矩形ABCD，得到AD=BC=8，∠ADC=90°，OA=OC，从而得证△AOE≌△COE，AE=CE，设AE=x，则EC=x，DE=8-x，利用勾股定理计算即可．【详解】如图，连接EC，∵矩形ABCD，，，∴AD=BC=8，AB=CD=4，∠ADC=90°，OA=OC，∵，∴∠AOE=∠COE=90°，∵OE=OE，∴△AOE≌△COE，AE=CE，设AE=x，则EC=x，DE=8-x，在Rt△DEC中，，∴，∴x=5，∴AE=5，故选C．【点睛】本题考查了矩形的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，熟练掌握矩形的性质，三角形全等，勾股定理是解题的关键．4．如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AOB是等边三角形，OE BD交BC于点E，CD＝2，则CE的长为（）A．1B．C．D．【答案】D【分析】先根据等边三角形的性质、平行四边形的性质、矩形的判定证出平行四边形是矩形，再根据矩形的性质可得，然后利用勾股定理可得，，最后根据线段和差即可得．【详解】解：四边形是平行四边形，，，是等边三角形，，，平行四边形是矩形，，，，，设，则，在中，，即，解得或（不符题意，舍去），，，故选：D．【点睛】本题考查了等边三角形的性质、平行四边形的性质、矩形的判定与性质、勾股定理等知识点，熟练掌握矩形的判定与性质是解题关键．5．如图，在四边形中，对角线，垂足为，点、、、分别为边、、、的中点．若，，则四边形的面积为（ ）A．48B．24C．32D．12【答案】D【分析】有一个角是直角的平行四边形是矩形．利用中位线定理可得出四边形EFGH矩形，根据矩形的面积公式解答即可．【详解】解：∵点E、F分别为四边形ABCD的边AD、AB的中点，∴EF BD，且EF=BD=3．同理求得EH AC GF，且EH=GF=AC=4，又∵AC⊥BD，∴EF GH，FG HE且EF⊥FG．四边形EFGH是矩形．∴四边形EFGH的面积=EF•EH=3×4=12，即四边形EFGH的面积是12．故选：D．【点睛】本题考查的是中点四边形．解题时，利用了矩形的判定以及矩形的性质，矩形的判定定理有：（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形；（2）有三个角是直角的四边形是矩形；（3）对角线互相平分且相等的四边形是矩形．6．如图，在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是AD，BD，BC，CA的中点，若四边形EFGH是矩形，则四边形ABCD需满足的条件是（）A．B．C．D．【答案】A【分析】利用三角形中位线定理可得四边形EFGH是平行四边形，当，利用,可得即可证明四边形EFGH是矩形．【详解】解：∵点E，F，G，H分别是AD，BD，BC，CA的中点，∴，且，且，∴四边形EFGH是平行四边形，∵四边形EFGH是矩形，∴，即，∵，，∴，故选：A．【点睛】本题考查矩形的判定定理，三角形中位线的定义和性质，关键是利用三角形中位线定理证明四边形EFGH是平行四边形，再利用推出．7．如图，在直角三角形中，，，，点M是边上一点（不与点A，B重合），作于点E，于点F，则的最小值是（）A．2B．2.4C．2.5D．2.6【答案】B【分析】根据题意可证四边形ECFM是矩形，得EF=CM，再由垂线段最短得CM最短进而可得EF最短，最后进行计算即可．【详解】连接CM，∵ME AC，MF BC，∴MEC=MFC=90°,∵C=90°，∴四边形ECFM是矩形，∴EF=CM，当CM AB时，CM最短，如下图：当CM AB，，∴，∵在Rt ABC中，=，∴，∴CM=2.4，∴CM的最小值是2.4，∴EF=CM=2.4，∴EF的最小值是2.4．故选：B．【点睛】本题考查了矩形的性质和判定、垂线段最短定理和勾股定理，解决此题的关键是要找到CM最短时的情况．二、填空题：8.如图，平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，欲使四边形ABCD变成矩形，则还需添加______．（写出一个合适的条件即可）【答案】AC=BD（答案不唯一）【分析】根据矩形的判定条件求解即可．【详解】解：添加条件AC=BD，利用如下：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，OB=OD，又∵AC=BD，∴平行四边形ABCD是矩形，故答案为：AC=BD（答案不唯一）．【点睛】本题主要考查了矩形的判定，熟知矩形的判定条件是解题的关键．9．一个木匠要制作矩形的踏板．他在一个对边平行的长木板上分别沿与长边垂直的方向锯两次，就能得到矩形踏板．理由是______．【答案】三个角都是直角的四边形是矩形（或：“有一个角是直角的平行四边形是矩形”）【分析】使用矩形的判定定理，有三个角是直角的四边形是矩形【详解】因为木板的对边平行，在进行两次锯开时都是沿着垂直于对边的方向，所以会出现4个直角，有三个角是直角的四边形是矩形．故答案是三个角是直角的四边形是矩形．【点睛】本题考查矩形的判定，需要熟记矩形的判定定理并灵活运用．10．如图，顺次连接四边形ABCD各边中点得四边形EFGH，要使四边形EFGH为矩形，AC与BD应满足的的条件是___________．【答案】【分析】连接，先根据三角形中位线定理、平行四边形的判定可得四边形为平行四边形，再根据矩形的判定即可得．【详解】解：如图，连接，分别为的中点，，，四边形为平行四边形，要使平行四边形为矩形，则，，故答案为：．【点睛】本题考查了三角形中位线定理、平行四边形的判定、矩形的判定，熟练掌握三角形中位线定理是解题关键．11．如图，，、、、分别为角平分线，则四边形是__________．【答案】矩形【分析】首先根据角平分线的性质证明∠MPQ+∠NPQ＝90°，再证明四边形PMQN是平行四边形，然后根据有一个角是直角的平行四边形是矩形进行判定．【详解】解：∵PM、PN分别平分∠APQ，∠BPQ，∴∠MPQ＝∠APQ，∠NPQ＝∠BPQ，∵∠APQ+∠BPQ＝180°，∴∠MPQ+∠NPQ＝90°，即∠NPM＝90°，∵AB∥CD，∴∠APQ＝∠PQD，∵QN平分∠PQD，∴∠PQN＝∠PQD，∴∠MPQ＝∠NQP，∴PM∥QN，同理QM∥PN，∴四边形PMQN是平行四边形，∵∠NPM＝90°，∴四边形PMQN是矩形．故答案为：矩形．【点睛】此题主要考查了矩形的判定和平行线的性质，解题关键是根据角平分线和平行线的性质得出90°角和平行四边形．12．如图，矩形ABCD中，BE⊥AC于点E，若∠ACB＝23°，则∠DBE＝_______度．【答案】44【分析】由矩形的性质可知∠OBC=∠ACB=23°，则可求得∠AOB度数，由直角三角形的性质可得∠DBE的度数．【详解】解：∵四边形ABCD是矩形∴AC=BD，OA=OC，OB=OD，∴OB=OC，∴∠ACB=∠OBC=23° ，∵∠AOB=∠ACB+∠OBC=46°，且BE⊥AC，∴∠DBE=44° ．故答案为：44【点睛】本题主要考查矩形的性质，等腰三角形的性质，利用矩形的对角线相等且平分求得∠OBC的度数是解题的关键．13．如图，在面积为36的四边形ABCD中，∠ADC=∠ABC=90°，AD=CD，DP⊥AB于点P，则DP的长是_____【答案】6【分析】作DE⊥BC，交BC延长线于E，如图，则四边形BEDP为矩形，再利用等角的余角相等得到∠ADP=∠CDE，则可利用“AAS”证明△ADP≌△CDE，得到DP=DE，S△ADP=S△CDE，所以四边形BEDP为正方形，S四边形ABCD=S正方形BEDP，根据正方形的面积公式得到DP2=36，易得DP=6．【详解】如图，作DE⊥BC，交BC延长线于E，∵DP⊥AB，ABC=90°，∴四边形BEDP为矩形，∴∠PDE=90°，即∠CDE+∠PDC=90°，∵∠ADC=90°，即∠ADP+∠PDC=90°，∴∠ADP=∠CDE，在△ADP和△CDE中，∴△ADP≌△CDE，∴DP=DE，S△ADP=S△CDE，∴四边形BEDP为正方形，S四边形ABCD=S正方形BEDP，∴DP2=36，∴DP=6．故答案为6．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质：全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．也考查了正方形和矩形的性质．本题的关键的作辅助线构造两个全等的三角形．三、解答题：14．如图，在中，，平分交于点D，分别过点A、D作、，与相交于点E，连接．(1)求证：；(2)求证：四边形是矩形．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）根据、证明四边形为平行四边形，即可得出答案；（2）由等腰三角形的性质得出，，得出，，先证出四边形是平行四边形．再证明四边形是矩形即可．【详解】（1）证明：∵、，∴四边形是平行四边形，∴；（2）证明：∵，平分，∴，，∵，∴，∵，∴四边形是平行四边形，∵，∴∴四边形是矩形．【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定与性质、矩形的判定、等腰三角形的性质；熟练掌握平行四边形的判定与性质，由等腰三角形的性质得出，，是解决问题的关键．15．如图，四边形是平行四边形，过点作于点，点在边上，，连接，．(1)求证：四边形是矩形．(2)若是的平分线．若，，求的长．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）先证出四边形是平行四边形，再根据矩形的判定即可证得；（2）根据勾股定理求出长，可证得，即可得出答案．【详解】（1）证明：四边形是平行四边形，，，，，即，四边形是平行四边形，，，四边形是矩形；（2）解：四边形是矩形，，，四边形是平行四边形，，是的平分线，，，，，，．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，矩形的性质和判定，角平分线的定义，等角对等边，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．16．如图，在四边形中，AD BC，．对角线交于点平分交于点，连接．(1)求证：四边形是矩形；(2)若，=，求△的面积．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）先根据平行线的性质可得，从而可得，再根据矩形的判定即可得证；（2）先根据含角的直角三角形的性质、勾股定理可得，再根据矩形的性质可得，根据角平分线的定义和直角三角形的性质可得，然后根据等腰三角形的判定可得，从而可得，最后利用三角形的面积公式即可得．（1）证明：，，∵，，∴四边形是矩形．（2）解：在中，，，由（1）已证：四边形是矩形，，平分，，，，，则的面积为．【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的判定等知识点，熟练掌握矩形的判定与性质是解题关键．17．如图，在中，对角线AC，BD相交于点O，于点E，于点F，且．(1)求证：四边形ABCD是矩形．(2)若，求的度数．【答案】(1)见解析(2)10°【分析】（1）证△AEO≌△DFO（AAS），得出OA=OD，则AC=BD，即可得出四边形ABCD是矩形．（2）由矩形的性质得出∠ABC=∠BAD=90°，OA=OB，则∠OAB=∠OBA，求出∠BAE=40°，则∠OBA=∠OAB=50°，即可得出答案．（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴，，∵于点E，于点F，∴，又∵，∴，∴，∴，∴四边形ABCD是矩形；（2）由（1）得：四边形ABCD是矩形，∴，，∴，∵，∴，∴，∴．【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识；熟练掌握矩形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．能力提升篇一、单选题：1．如图，点是中斜边不与，重合上一动点，分别作于点，作于点，点是的中点，若，，当点在上运动时，则的最小值是（）A．B．C．D．【答案】B【分析】证明四边形BMPN是矩形，得BP=MN，由勾股定理求出AC=15，当BP⊥AC时，BP最小，然后由面积法求出BP最小值，即可解决问题．【详解】解：连接，如图所示：，于点，于点，四边形是矩形，，，与互相平分，点是的中点，，当时，最小∵，，，故选：B．【点睛】本题主要考查矩形的判定与性质，垂线段最短，勾股定理及面积法等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．2．如图，在中，，M为的中点，H为上一点，过点C作，交的延长线于点，若，，则四边形周长的最小值是（）A．28B．26C．22D．18【答案】A【分析】通过证明可得，可得四边形的周长即为，进而可确定当时，四边形的周长有最小值，通过证明四边形为矩形可得的长，进而可求解．【详解】解：，，是的中点，，在和中，，，，，，，四边形的周长，当最小时，即时四边形的周长有最小值，，，，四边形为矩形，，四边形的周长最小值为，故选：A．【点睛】本题主要考查轴对称最短路径问题，全等三角形的判定与性质，确定的值是解题的关键．3．在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AE平分交BC于点E，．连接OE，则下面的结论：①是等边三角形；②是等腰三角形；③；④；⑤，其中正确的结论有（）A．2个B．3个C．4个D．5个【分析】判断出△ABE是等腰直角三角形，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠ACB＝30°，再判断出△ABO，△DOC是等边三角形，可判断①；根据等边三角形的性质求出OB＝AB，再求出OB＝BE，可判断②，由直角三角形的性质可得BC＝AB，可判断③，由等腰三角形性质求出∠BOE＝75°，再根据∠AOE＝∠AOB＋∠BOE＝135°，可判断④；由面积公式可得可判断⑤；即可求解．【详解】解：∵AE平分∠BAD，∴∠BAE＝∠DAE＝45°，∴∠AEB＝45°，∴△ABE是等腰直角三角形，∴AB＝BE，∵∠CAE＝15°，∴∠ACE＝∠AEB−∠CAE＝45°−15°＝30°，∴∠BAO＝90°−30°＝60°，∵矩形ABCD中：OA＝OB＝OC＝OD，∴△ABO是等边三角形，△COD是等边三角形，故①正确；∴OB＝AB，又∵AB＝BE，∴OB＝BE，∴△BOE是等腰三角形，故②正确；在Rt△ABC中∵∠ACB=30°∴BC＝AB，故③错误；∵∠OBE＝∠ABC−∠ABO＝90°−60°＝30°＝∠ACB，∴∠BOE＝（180°−30°）＝75°，∴∠AOE＝∠AOB＋∠BOE＝60°＋75°＝135°，故④错误；∵AO＝CO，∴，故⑤正确；【点睛】本题考查了矩形的性质，等腰直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记各性质是解题的关键．二、填空题：4．如图，在平行四边形中，，，，点在边上，且，点在线段上，点在线段的延长线上，且，连接交于点，过点作于，则___________.【答案】【分析】过点M作MH BC交CP于H，根据平行线的性质可得∠MHP＝∠BCP，∠NCF＝∠MHF，根据等边对等角可得∠BCP＝∠BPC，然后求出∠BPC＝∠MHP，根据等角对等边可得PM＝MH，根据等腰三角形三线合一的性质可得PE＝EH，利用“角角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得CF＝FH，从而求出EF＝CP，利用勾股定理列式求出AP，然后可得PD，再次利用勾股定理列式计算即可求出CP，从而得解．【详解】解：如图，过点M作MH BC交CP于H，则∠MHP＝∠BCP，∠NCF＝∠MHF，∵BP＝BC，∴∠BCP＝∠BPC，∴∠BPC＝∠MHP，∴PM＝MH，∵PM＝CN，∴CN＝MH，∵ME⊥CP，∴PE＝EH，在和中，，∴（AAS），∴CF＝FH，∴EF＝EH＋FH＝CP，∵在平行四边形ABCD中，AD＝10，，∴BC＝AD＝10，平行四边形ABCD是矩形，∴BP＝BC＝10，在Rt中，AP＝，∴PD＝AD−AP＝10−6＝4，∵在矩形ABCD中，∠D＝90°，∴在Rt中，CP＝，∴EF＝CP＝，故答案为：．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理等知识，熟记各性质并作辅助线构造出全等三角形和等腰三角形是解题的关键．5．如图，在矩形ABCD中，，，点P从点A向点D以每秒1cm的速度运动，Q以每秒4cm的速度从点C出发，在B、C两点之间做往返运动，两点同时出发，点P到达点D为止(同时点Q 也停止)，这段时间内，当运动时间为______时，P、Q、C、D四点组成矩形．【答案】2.4s或4s或7.2s【分析】根据已知可知：点Q将由根据矩形的性质得到AD∥BC，设过了t秒，当AP=BQ时，P、Q、C、D四点组成矩形，在点Q由的过程中，则PA=t，BQ=12-4t，求得t=2.4（s），在点Q 由的过程中，t=4（t-3），求得t=4（s），在点Q再由中，t=12-4（t-6），求得t=7.2（s），在点Q 再由的过程中，t=4（t-9），t=13（s），故此舍去，从而得到结论．【详解】解：根据已知可知：点Q由在点Q第一次到达点B过程中，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，若，则四边形APQB是矩形，则以P、Q、C、D四点为顶点组成矩形．设过了t秒，则PA=t，BQ=12-4t，∴t=12-4t，∴t=2.4（s），在点Q由的过程中，设过了t秒，则PA=t，BQ=4（t-3），t=4（t-3），解得：t=4（s），在点Q再由过程中，设过了t秒，则PA=t，BQ=12-4（t-6），t=12-4（t-6），解得：t=7.2（s），在点Q再由的过程中，设过了t秒，则PA=t，BQ=4（t-9），t=4（t-9），解得：t=13（s）>12(s)，故此舍去．故答案为：2.4s或4s或7.2s；【点睛】本题考查了矩形的性质与判定，此题属于动点型题目．解题时要注意数形结合与方程思想的应用．三、解答题：6．如图，在平行四边形中，过点D作于点E，点F在边上，，连接．(1)求证：四边形是矩形．(2)已知是的平分线，若，则□的面积为______．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，再证明平行四边形是矩形．(2）根据边角的关系，得到，再根据S行四边形进行计算．【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，∴，∵，∴，∴，∵，∴四边形是平行四边形，∵，∴，∴四边形是矩形．（2）解：∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，，∵四边形是平行四边形，∴，∴，∵平分，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴．【点睛】本题主要考查平行四边形及矩形判定，角平分线的性质，勾股定理及平行四边形面积计算，能够熟练运用平行四边形的性质是解题关键．7．如图，在中，，D是AC的中点，，动点P以每秒1个单位长度的速度从点B出发向点A移动，连接PD并延长交CE于点F，设点P移动的时间为t秒．(1)求AB与CE之间的距离；(2)当t为何值时，四边形PBCF为平行四边形；(3)当时，求t的值．【答案】(1)2.4(2)t为时，四边形PBCF为平行四边形(3)【分析】（1）根据勾股定理，可得的长，根据面积的不同表示方法，可得答案；（2）根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可得答案；（3）根据已知条件判定，即可得出，进而得到四边形为平行四边形，依据，即可得到四边形为矩形．再根据勾股定理即可得到的长，进而得出．（1）解：在中，，，．如图，过作于，则由，得．，与之间的距离为2.4．（2），当时，四边形是平行四边形．为的中点，为的中点．．（3），，．为的中点，，．，四边形为平行四边形．，．．四边形为矩形．．在中，，，．．【点睛】此题考查了平行四边形的判定与性质、矩形的判定与性质以及勾股定理的运用，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解本题的关键．。

一、基础知识（每题5分，共50分）1. 简答题：（1）写出下列各数的倒数：$\frac{1}{2}$，$-3$，$\sqrt{3}$。

（2）比较大小：$\sqrt{5}$与2的大小关系。

（3）若$a > b$，则$a^2$与$b^2$的大小关系。

2. 计算题：（1）计算：$(-2)^3 - 3 \times (-4) + 5$。

（2）计算：$\frac{2}{3} \times \frac{3}{4} - \frac{1}{2} \div\frac{1}{3}$。

（3）计算：$(x^2 - 4x + 4) - (x^2 - 3x + 9)$。

3. 选择题：（1）若$a$、$b$、$c$是等差数列，且$a + b + c = 12$，则$b$的值为（）。

A. 3B. 4C. 5D. 6（2）下列各式中，正确的是（）。

A. $\sqrt{16} = 4$B. $\sqrt{25} = -5$C. $\sqrt{9} = 3$D.$\sqrt{4} = 2$（3）若$x^2 - 5x + 6 = 0$，则$x$的值为（）。

A. 2或3B. 1或4C. 1或6D. 2或54. 填空题：（1）若$|x - 3| = 5$，则$x$的值为______。

（2）若$\frac{1}{2}x + 3 = 7$，则$x$的值为______。

（3）若$2x - 3 = 5$，则$x$的值为______。

二、综合应用（每题10分，共40分）5. 解方程组：$$\begin{cases}x + 2y = 5 \\3x - y = 2\end{cases}$$6. 解不等式组：$$\begin{cases}2x - 3 < 7 \\x + 4 \geq 1\end{cases}$$7. 应用题：（1）一个长方形的长是$5x$，宽是$3x$，求这个长方形的面积。

（2）已知一个三角形的底是$6$，高是$4$，求这个三角形的面积。

一、选择题（每题2分，共20分）1. 下列各数中，不是有理数的是（）A. 2.5B. -3C. √4D. √-1答案：D解析：有理数包括整数和分数，而√-1是一个虚数，不属于有理数。

2. 下列函数中，是反比例函数的是（）A. y = x + 1B. y = 2xC. y = 2/xD. y = x^2答案：C解析：反比例函数的一般形式是y = k/x（k≠0），只有选项C符合这一形式。

3. 已知一元二次方程x^2 - 5x + 6 = 0，则其判别式Δ=（）A. 1B. 4C. 9D. 16答案：B解析：一元二次方程的判别式Δ = b^2 - 4ac，代入a=1，b=-5，c=6，得到Δ = (-5)^2 - 4×1×6 = 25 - 24 = 1。

4. 下列各组数中，成等差数列的是（）A. 1，4，7，10B. 2，4，8，16C. 1，3，6，10D. 3，6，12，24答案：D解析：等差数列的特征是相邻两项之差相等，选项D中每相邻两项之差均为3，因此是等差数列。

5. 在直角坐标系中，点A（2，3）关于x轴的对称点坐标是（）A.（2，-3）B.（-2，3）C.（2，-3）D.（-2，-3）答案：A解析：点A关于x轴对称，即y坐标取相反数，所以对称点坐标为（2，-3）。

二、填空题（每题2分，共20分）6. 若a > 0，b < 0，则a - b的值（）答案：正数解析：a > 0，b < 0，则a - b = a + (-b)，因为b是负数，所以-b是正数，两者相加结果为正数。

7. 函数y = 2x - 1的图像与x轴的交点坐标是（）答案：（1/2，0）解析：令y=0，解得2x - 1 = 0，x = 1/2，所以交点坐标为（1/2，0）。

8. 已知等差数列的第一项是2，公差是3，则第10项是（）答案：29解析：等差数列的通项公式为an = a1 + (n-1)d，代入a1=2，d=3，n=10，得到a10 = 2 + (10-1)×3 = 29。

第3课时用待定系数法求一次函数解析式【基础练习】知识点 1 未知函数解析式中的k,b,通过两个点确定k,b的值1.已知直线l经过点A(4,0),B(0,3),则直线l的函数解析式为()A.y=-x+3B.y=3x+4C.y=4x+3D.y=-3x+32.下表中是某个一次函数的自变量x与函数y的三组对应值,则这个一次函数的解析式为()A.y=-x+1B.y=-x-1C.y=x-1D.y=x+13.一次函数y=kx+b(k≠0)的图象如图13所示,则下列结论正确的是()图13A.k=2B.k=3C.b=2D.b=34.已知一次函数y=kx+b(k≠0),当x=1时,y=2,且它的图象与y轴交点的纵坐标是-5,那么该函数的解析式为()A.y=3x+5B.y=-3x+5C.y=7x-5D.y=-3x-55.已知一次函数的图象经过点A(0,2)和点B(2,-2),则y关于x的函数解析式为;当-2<y≤4时,x的取值范围是.6.如图14所示,在平面直角坐标系xOy中,直线l过点(1,3),(3,1),且与x轴、y轴分别交于点A,B.(1)求直线l所对应的函数解析式;(2)求△AOB的面积.图14 知识点 2 已知函数解析式中k,b的一个,通过一个点确定另一个的值7.若一次函数y=kx+b(k≠0)的图象与直线y=-x+1平行,且过点(8,2),则此一次函数的解析式为()A.y=-x-2B.y=-x-6C.y=-x-1D.y=-x+108.已知一次函数的图象与y轴的交点在x轴上方3个单位长度处,且函数的自变量每增加1,函数值就减少2,则此函数的解析式为.【能力提升】9.如图15所示,直线AB是一次函数y=kx+b(k≠0)的图象.若AB=,则该一次函数的解析式为.图1510.对于老师给定的一次函数y=kx+b(k≠0),有以下三条关于该函数图象与性质的正确信息:①函数图象与x轴交于点A(-2,0);②函数图象与y轴交于点B,且OB=2OA;③y的值随着x值的增大而增大.根据以上信息画出这个函数的图象,并求出这个函数的解析式.图1611.把关于x的函数y=kx+b(k≠0)的图象向下平移2个单位长度,则平移后的图象经过点(1,2)和(5,4),请用至少两种方法求函数y=kx+b的解析式.12.如图17,在平面直角坐标系中,A(2,3),B(-2,1),在x轴上是否存在点P,使点P到A,B两点的距离之和最小?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.图1713.如图18,直线AB过点A(-1,5),P(2,a),B(3,-3).(1)求直线AB的函数解析式和a的值;(2)求△AOP的面积.图1814.如图19,直线l上有一点P1(2,1),将点P1先向右平移1个单位长度,再向上平移2个单位长度得到点P2,点P2恰好在直线l上.(1)写出点P2的坐标;(2)求直线l所表示的一次函数的解析式;(3)若将点P2先向右平移3个单位长度,再向上平移6个单位长度得到点P3,请判断点P3是否在直线l上,并说明理由.(4)若P3是函数图象上任意一点,将该点向右平移2个单位长度,然后向上平移4个单位长度得到点P4,试说明点P4一定在该函数图象上.(5)观察函数图象发现,该函数的自变量每增加1,函数值增加m,求出m的值,并与该函数的比例系数k比较大小.图19答案1.A2.A3.D4.C5.y=-2x+2-1≤x<26.解:(1)设直线l所对应的函数解析式为y=kx+b(k≠0).把点(1,3),(3,1)的坐标代入,得解得∴直线l所对应的函数解析式为y=-x+4.(2)在y=-x+4中,令x=0,得y=4,∴B(0,4).令y=0,得x=4,∴A(4,0),∴OA=4,OB=4,∴S△AOB=OA·OB=×4×4=8.7.D8.y=-2x+39.y=2x+2.10.解:这个函数的图象如图所示.∵A(-2,0),∴OA=2.又∵OB=2OA,∴OB=4.∵y的值随着x值的增大而增大,∴B(0,4).把点A和点B的坐标代入y=kx+b,可得解得∴这个函数的解析式为y=2x+4.11.解:方法一:设平移后的函数解析式为y=mx+n,代入平移后经过两点的坐标,得解得因此,平移后的函数解析式为y=x+.把其图象向上平移2个单位长度得出直线y=kx+b,因此系数k=,b=+2=.即函数y=kx+b的解析式为y=x+.方法二:点(1,2),(5,4)同时向上平移2个单位长度得出对应点的坐标为(1,4)和(5,6),所以函数y=kx+b的图象经过这两个点.将点(1,4)和(5,6)代入函数y=kx+b的解析式中,得方程组解得所以函数y=kx+b的解析式为y=x+.12.解: 存在.如图,作出点A(2,3)关于x轴对称的点C(2,-3),连接CB交x轴于点P,点P即为所求.设直线CB的函数解析式为y=kx+b(k≠0),将B(-2,1),C(2,-3)代入,得解得∴直线CB的函数解析式为y=-x-1.当y=0时,-x-1=0,解得x=-1,∴点P的坐标是(-1,0).13.解:(1)设直线AB的函数解析式为y=kx+b(k≠0).将A(-1,5),B(3,-3)代入y=kx+b,得解得∴直线AB的函数解析式为y=-2x+3.当x=2时,y=-2x+3=-1,∴点P的坐标为(2,-1),即a的值为-1.(2)设直线AB与y轴交于点D.当x=0时,y=-2x+3=3,∴点D的坐标为(0,3),∴S△AOP=S△AOD+S△POD=OD·|x A|+OD·|x P|=×3×1+×3×2=.14.解:(1)P2(3,3).(2)设直线l所表示的一次函数的解析式为y=kx+b(k≠0).∵点P1(2,1),P2(3,3)在直线l上,∴解得∴直线l所表示的一次函数的解析式为y=2x-3.(3)点P3在直线l上.理由:由题意知,点P3的坐标为(6,9).∵当x=6时,y=2×6-3=9,∴点P3在直线l上.(4)∵点P3在函数图象上,∴设点P3的坐标为(x,2x-3),则将其经过平移得到点P4的坐标应该为(x+2,2x+1).将其代入原函数解析式y=2x-3中,发现其满足函数解析式,故点P4在该函数图象上.(5)函数的自变量每增加1,函数值增加2,即m=2.∵该函数的比例系数k=2,∴m=k.。

人教版初中数学八年级下册20.1.1平均数(1)分层作业夯实基础篇一、单选题：那么表中的的值是（【点睛】本题主要考查加权平均数，解题的关键是掌握加权平均数的定义．二、填空题：【答案】7.95分【分析】根据加权平均数进行计算即可．⨯【详解】解：815%故答案为：7.95分．【点睛】本题考查的是加权平均数的求法，在计算过程中要弄清楚各数据的权．14．已知某班共有学生则该班男生的平均身高是三、解答题：【答案】30.5元【分析】根据加权平均数的计算方法求解即可．【详解】解：这天销售的四种商品的平均单价是：⨯+⨯+1010%2015%能力提升篇一、单选题：1．某公司招聘人员，学历、工作经验、表达能力、工作态度四方面进行综合考核．其中一位应聘者，这四项依次得分为8分、9分、7分、8分（每项满分10分）．这四项按照如图所示的比例确定面试综合成绩，则这位应聘者最后的得分为（）A．8分B．7.95分C．7.9分D．7.85分【答案】B【分析】根据加权平均数的计算方法进行计算即可．⨯+⨯+⨯+⨯=，故B正【详解】解：根据题意得，这位应聘者最后的得分为：815%925%730%830%7.95确．故选：B．【点睛】本题主要考查了加权平均数的计算，解题的关键是熟练掌握加权平均数的计算方法，准确计算．2．嘉嘉计算出数据x1，x2，x3，x4的平均数为3，则数据3x1+2，3x2+2，3x3+2，3x4+2的平均数是() A．3B．2C．5D．11【答案】D二、填空题：4．已知一组数据1x 、2x 、3x 、4x 、5x 的平均数是5，则另一组新数组11x +、22x +、33x +、44x +、55x +的平均数是_____．【答案】8【分析】根据原数据的平均数为5，计算所有原数据的总和为25，即可求出新数据的平均数．【详解】1x ∵、2x 、3x 、4x 、5x 的平均数是5，1234525x x x x x ++++=∴，∴新数据的平均数为：若总评成绩是根据如图所示的权重计算，则小明总评成绩是【答案】88.5【分析】先计算出四次单元检测的平均成绩，再利用加权平均数公式计算即可．【详解】解：单元检测平均成绩为∴小明总评成绩是8710%9010%⨯++故答案为：88.5．【点睛】此题考查了平均数的计算公式，加权平均数计算公式，正确掌握计算公式是解题的关键．。

人教版初中数学八年级下册19.2.1正比例函数的概念分层作业夯实基础篇一、单选题：1．下列函数中，属于正比例函数的有（）①1y x ；②y x ；③1y x ④13r x ；⑤2s r ；⑥3x yA ．2个B ．3个C ．4个D ．5个2．在(1)k y k x 中，若y 是x 的正比例函数，则k 值为（）A ．1B ．1 C ．1 D ．无法确定3．小王每天记忆10个英语单词，x天后他记忆的单词总量为y个，则y与x之间的函数关系式是（）A．y＝10+x B．y＝10x C．y＝100x D．y＝10x+10【答案】B【分析】根据总数=每份数×份数列式即可得答案．【详解】∵每天记忆10个英语单词，∴x天后他记忆的单词总量y=10x，故选：B．【点睛】本题考查根据实际问题列正比例函数关系式，找到所求量的等量关系是解决问题的关键．4．下列各选项中的y与x的关系为正比例函数的是（）A．正方形周长y（厘米）和它的边长x（厘米）的关系B．圆的面积y（平方厘米）与半径x（厘米）的关系C．立方体的体积y（立方厘米）和它棱长x（厘米）的关系D．一棵树的高度为60厘米，每个月长高3厘米，x月后这棵的树高度为y厘米【答案】A【分析】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；5．若 44y m x m 是正比例函数，则点 2,2m m 所在的象限是（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D【分析】根据求正比例函数的定义求出m 的值，即可判断点 2,2m m 所在的象限．【详解】解∶∵ 44y m x m 是正比例函数，∴40m 且40m ，∴4m ，∴ 2,2m m 即为 6,2 ，∴ 6,2 在第四象限．故选：D ．【点睛】本题考查了正比例函数的定义，各象限内点的特征：第一象限中的点的横坐标 x 大于0，纵坐标 y 大于0；第二象限中的点的横坐标 x 小于0，纵坐标 y 大于0；第三象限中的点的横坐标 x 小于0，纵坐标 y ）小于0；第四象限中的点的横坐标 x 大于0，纵坐标 y 小于0．根据正比例函数的定义求出m 的值是解题的关键．二、填空题：6．形如_________的函数叫做正比例函数．其中_______叫做比例系数．【答案】y kx （k 是常数，0k ）k【分析】根据正比例函数的定义直接填空即可．【详解】形如y kx （k 是常数，0k ）的函数叫做正比例函数．其中k 叫做比例系数．故答案为：y kx （k 是常数，0k ）；k【点睛】本题考查了正比例函数的定义，理解正比例函数的定义是解题的关键．7．下列函数：①3y x ；②31y x ；③3y x ；④2y x ；⑤3x y ．其中，y 是x 的正比例函数的有______个．8．经过点 2,1A 的正比例函数解析式是______．9．当m _______时，函数 2221m y m x是正比例函数．10．已知y 与x 成正比例，如果2x 时，1y ，那么3x 时，y _____．11．在函数 224y m x m 中，当m ______时，y 是x 的正比例函数．【答案】-2【分析】根据正比例函数的定义得20m ，且240m ，进而即可求解．【详解】解：由题意得：20m ，且240m ，解得：2m ．故答案为：-2．【点睛】本题主要考查正比例函数的定义，掌握正比例函数形式： 0y kx k 是关键．三、解答题：12．陕西某旅游景点的门票收费标准是：每人30元．某公司计划组织员工去该景点旅游，写出总门票费y （元）与人数x （人）之间关系式，并判断y 是x 的正比例函数吗？【答案】30y x ；y 是x 的正比例函数．【分析】由总门票费等于单价乘以人数可得函数关系式，再结合正比例函数的定义可得答案．【详解】解：总门票费y （元）与人数x （人）之间关系式为：30y x ；∴y 是x 的正比例函数．【点睛】本题考查的是列函数关系式，正比例函数的定义，理解题意，列出正确的函数关系式是解本题的关键．13．列式表示下列问题中的y 与x 的函数关系，并指出哪些是正比例函数．（1）正方形的边长为cm x ，周长为cm y ；（2）某人一年内的月平均收入为x 元，他这年（12个月）的总收入为y 元；（3）一个长方体的长为2cm ，宽为1.5cm ，高为cm x ，体积为3cm y ．【答案】（1）4y x ，是正比例函数；（2）12y x ，是正比例函数；（3）3y x ，是正比例函数．【分析】（1）根据正方形的周长等于边长的4倍，即可求解；（2）根据总收入等于月平均收入乘以时间，即可求解；（3）根据长方体的体积等于长乘以宽乘以高，即可求解．【详解】解：（1）y 与x 的函数关系式为4y x ，是正比例函数；（2）y 与x 的函数关系式为12y x ，是正比例函数；（3）y 与x 的函数关系式为3y x ，是正比例函数．【点睛】本题主要考查了列函数关系式，正比例函数的定义，根据题意列出函数关系式是解题的关键．14．已知函数2(2)4y m x m 是关于x 的正比例函数，求当2x 时y 的值．【答案】8【分析】利用正比例函数的定义得出m 的值，继而得到函数解析式，代入x 的值，即可解答．【详解】解：∵函数2(2)4y m x m 是关于x 的正比例函数∴220,40m m ，解得：2m 4y x当2x 时，8y ．【点睛】本题考查正比例函数的定义，解题的关键是熟练掌握正比例函数的定义：正比例函数y kx 条件是k 为常数且0k ，自变量的次数为1．15．如果3y ＋与2x -成正比例，且1x 时，1y ．求出y 与x 之间的函数关系式．【答案】45y x 【分析】设 32y k x ，把1x ，1y 代入，求出4k ，再将4k 代入 32y k x ，即可求解．【详解】设 32y k x ，把1x ，1y 代入得 1213k ，解得4k ，所以 342y x ，所以y 与x 之间的函数关系式为45y x 【点睛】本题考查一次函数的关系式，解题的关键是求出正比例函数中k 的值．16．已知关于x 的函数||1(2)5m y m x n ，当m ，n 为何值时，它是正比例函数？【答案】当2m ，5n 时，函数||1(2)5m y m x n 是正比例函数．【分析】根据正比例函数的定义，形如y =kx ，k ≠0是正比例函数即可求解．【详解】解：||1(2)5m y m x n ∵是正比例函数，20m 且||11m 且50n ，解得2m ，5n ．即当2m ，5n 时，函数||1(2)5m y m x n 是正比例函数．【点睛】本题考查正比例函数定义，解绝对值方程，解一元一次方程，掌握正比例函数定义是解题关键．能力提升篇一、单选题：1．设点A (a ，b )是正比例函数32y x图象上的任意一点，则下列等式一定成立的是（）A ．2a +3b =0B ．2a −3b =0C ．3a −2b =0D ．3a +2b =0【答案】D3a=2b 2．已知函数 2322my m x n ，（m ，n 是常数）是正比例函数，+m n 的值为（）A ．4 或0B ．2C ．0D ．4 【答案】D 【分析】按正比例函数的定义解答，正比例函数的定义是形如=y kx （k 是常数，）的函数，叫做正比例函数．【详解】∵函数 2322my m x n ，（m ，n 是常数）是正比例函数，∴23=120+2=0m m n ①②③，解得，=22=2m m n，∴=2=2m n，∴4m n ．故选：D ．【点睛】本题主要考查了正比例函数等，解决问题的关键是熟练掌握正比例函数的定义，解方程或不等式．3．对于正比例函数y kx ，当自变量x 的值增加2时，对应的函数值y 减少6，则k 的值为（）A ．3B ．2C ．3D ．0.5 【答案】C【分析】当自变量为 2x 时，函数值为 6y ，代入解析式化简计算即可．【详解】∵正比例函数y kx ，当自变量x 的值增加2时，对应的函数值y 减少6，∴ 62y k x ，∴62y kx k ，∴26k ，解得：3k ．故选：C ．【点睛】本题考查了正比例函数的性质及其解析式的确定，熟练掌握性质是解题的关键．二、填空题：4．下列问题，①某登山队大本营所在地气温为4℃，海拔每升高1km 气温下降6℃，登山队员由大本营向上登高km x ，他们所在位置的气温是y ℃；②铜的密度为38.9g/cm ，铜块的质量g y 随它的体积3cm x 的变化而变化；③圆的面积y 随半径x 的变化而变化．其中y 与x 的函数关系是正比例函数的是______（只需填写序号）．【答案】②【分析】分别写出对应函数解析式，再与正比函数定义比较，判断是什么函数即可.【详解】①46y x ，是一次函数；②8.9y x ，是正比例函数；③2y x ，是二次函数故填：②.【点睛】本题考查正比例函数的定义，正确理解定义是解题的关键.5．已知2y 和21x 成正比例，且2x 时，7y ，则y 与x 之间的函数表达式为_________．【答案】65y x 【分析】根据题意设出函数解析式，把当x =-2时，y =-7代入解析式，便可求出未知数的值，从而求出其解析式．【详解】解：∵2y 和21x 成正比例，∴设2(21)y k x当x =-2时，y =-7代入解析式得，72[2(2)1]k 解得，3k ∴23(21)y x 整理得，65y x 故答案为：65y x 【点睛】本题考查待定系数法求一次函数解析式，注意掌握待定系数法的运用．三、解答题：6．已知：y ＝y 1+y 2，y 1与x 成正比例，y 2与x ﹣2成正比例，当x ＝1时，y ＝0；当x ＝3时，y ＝4．(1)求y 与x 之间的关系式；(2)当x ＝﹣1时，求y 的值．【答案】(1)22y x (2)4【分析】（1）根据题意分别设出y 1，y 2，代入y ＝y 1＋y 2，表示出y 与x 的解析式，将已知两对值代入求出k 与b 的值，确定出解析式；（2）将x ＝－1代入计算即可求出值．【详解】（1）设y 1＝ax ，y 2＝k （x ﹣2），∴y ＝ax +k （x ﹣2）由当x ＝1时，y ＝0．当x ＝3时，y ＝4可得，0124332a k a k，解得：11a k，∴y 与x 之间的关系式为：y ＝2x ﹣2；（2）当x ＝﹣1时,2124y =﹣=﹣．【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，解题关键是熟练掌握待定系数法．7．已知：函数23(2)by b x 且y 是x 的是正比例函数，5a ＋4的立方根是4，c的整数部分．（1）求a ，b ，c 的值；（2）求2a ﹣b ＋c 的平方根．所以2a﹣b＋c的平方根是 5.【点睛】本题考查的是正比例函数的定义，立方根的含义，平方根的含义，无理数的整数部分，熟悉以上基础知识是解题的关键.。

18.2.3 正方形【基础练习】知识点 1 正方形的概念及性质1.如图,已知正方形ABCD的两条对角线相交于点O,那么图中等腰直角三角形有()A.4个B.6个C.8个D.10个2.若正方形的一条对角线的长为4,则这个正方形的面积是()A.8B.4√2C.8√2D.163.如图3,四边形ABCD是正方形,延长AB到点E,使AE=AC,则∠BCE的度数是()图3A.67.5°B.22.5°C.30°D.45°4.如图4,在正方形ABCD的外侧,作等边三角形ABE,则∠BED的度数为()图4A.15°B.35°C.45°D.55°5.如图5,在正方形ABCD中,点E,F分别在AD,CD上,且DE=CF,AF与BE相交于点G.(1)求证:BE=AF;(2)若AB=4,DE=1,求AF的长.图5知识点 2 正方形的判定6.下列判断中,正确的是()A.四条边相等的四边形是正方形B.四个角相等的四边形是正方形C.对角线互相垂直的平行四边形是正方形D.对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形7.已知四边形ABCD是平行四边形,再从①AB=BC,②∠ABC=90°,③AC=BD,④AC⊥BD四个条件中选两个作为补充条件后,使得四边形ABCD是正方形,现有下列四种选法,其中错误的是()A.①②B.②③C.①③D.②④8.如图6,BD是△ABC的角平分线,DE∥BC,交AB于点E,DF∥AB,交BC于点F,当△ABC满足条件:时,四边形BEDF是正方形.图69.如图7所示,顺次延长正方形ABCD的各边AB,BC,CD,DA至点E,F,G,H,使BE=CF=DG=AH.求证:四边形EFGH是正方形.图7【能力提升】10.如图8,在△ABC中,∠ACB=90°,BC的垂直平分线EF交BC于点D,交AB于点E,且BE=BF.添加一个条件,仍不能证明四边形BECF为正方形的是()图8A.BC=ACB.CF⊥BFC.BD=DFD.AC=BF11.如图9,四边形ABCD是正方形,E是CD边上任意一点,连接AE,作BF⊥AE,DG⊥AE,垂足分别为F,G.求证:BF-DG=FG.图912.在同一平面内,正方形ABCD与正方形CEFH如图18-2-60放置,连接DE,BH,两线交于点M.求证:(1)BH=DE;(2)BH⊥DE.图18-2-6013.如图,在四边形ABCD中,E,F,G,H分别是AD,BD,BC,AC的中点.(1)当AB,CD满足什么条件时,四边形EFGH是矩形?并证明你的结论;(2)当AB,CD满足什么条件时,四边形EFGH是菱形?并证明你的结论;(3)当AB,CD满足什么条件时,四边形EFGH是正方形?并证明你的结论.答案1.C2.A3.B 4.C5.解:(1)证明:∵四边形ABCD是正方形,∴∠BAE=∠ADF=90°,AB=AD=CD.∵DE=CF,∴AE=DF.在△BAE和△ADF中,{AB=DA,∠BAE=∠ADF, AE=DF,∴△BAE≌△ADF(SAS),∴BE=AF.(2)∵AD=AB=4,DE=1,∴AE=3.∵∠BAE=90°,∴BE=2+AE2=2+32=5,∴AF=BE=5.6.D7.B8.∠ABC=90°(答案不唯一)9.证明:∵四边形ABCD是正方形,∴AB=BC=CD=DA,∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB,∴∠EBF=∠HAE=∠GDH=∠FCG.∵BE=CF=DG=AH,∴CG=DH=AE=BF,∴△AEH≌△CGF≌△DHG≌△BFE,∴EF=FG=GH=HE,∠EFB=∠HEA,∴四边形EFGH是菱形.∵∠EFB+∠FEB=90°, ∴∠FEB+∠HEA=∠FEH=90°, ∴菱形EFGH 是正方形.10.D11.证明:∵四边形ABCD 是正方形,∴AB=AD ,∠DAB=90°. ∵BF ⊥AE ,DG ⊥AE ,∴∠AFB=∠AGD=∠ADG+∠DAG=90°. ∵∠DAG+∠BAF=90°, ∴∠ADG=∠BAF.在△BAF 和△ADG 中,{∠BAF =∠ADG ,∠AFB =∠DGA ,AB =DA ,∴△BAF ≌△ADG (AAS), ∴BF=AG ,AF=DG.∵AG=AF+FG ,∴BF=AG=DG+FG. ∴BF -DG=FG.12.证明:(1)∵四边形ABCD 与四边形CEFH 均是正方形,∴BC=DC ,CH=CE ,∠BCD=∠HCE=90°,∴∠BCD+∠DCH=∠HCE+∠DCH ,即∠BCH=∠DCE.在△BCH 和△DCE 中,{BC =DC ,∠BCH =∠DCE ,CH =CE ,∴△BCH ≌△DCE ,∴BH=DE.(2)设CD 与BH 相交于点G ,则∠HBC+∠BGC=90°. 由(1)知△BCH ≌△DCE ,∴∠CDE=∠HBC. 又∵∠DGH=∠BGC ,∴∠CDE+∠DGH=90°, ∴∠GMD=90°,∴BH ⊥DE.13.解:(1)当AB ⊥CD 时,四边形EFGH 是矩形.证明:∵E ,F 分别是AD ,BD 的中点,G ,H 分别是BC ,AC 的中点,∴EF ∥AB ,EF=12AB , GH ∥AB ,GH=12AB , ∴EF ∥GH ,EF=GH ,∴四边形EFGH 是平行四边形. ∵F ,G 分别是BD ,BC 的中点,∴FG ∥CD又∵AB ⊥CD ,EF ∥AB ,∴EF ⊥FG ,即∠EFG=90°, ∴四边形EFGH 是矩形.(2)当AB=CD 时,四边形EFGH 是菱形.证明:∵E ,F ,G ,H 分别是AD ,BD ,BC ,AC 的中点,∴EF=12AB ,GH=12AB ,FG=12CD ,EH=12CD又∵AB=CD ,∴EF=FG=GH=EH ,∴四边形EFGH 是菱形.(3)当AB=CD 且AB ⊥CD 时,四边形EFGH 是正方形. 证明:∵E ,F 分别是AD ,BD 的中点,∴EF ∥AB ,EF=12AB.同理,EH ∥CD ,EH=12CD ,FG=12CD ,GH=12AB.∵AB=CD , ∴EF=EH=GH=FG , ∴四边形EFGH 是菱形. ∵AB ⊥CD ,EF ∥AB ,EH ∥CD , ∴EF ⊥EH ,∴菱形EFGH 是正方形.。

18.2.2 第2课时菱形的判定【基础练习】知识点 1 一组邻边相等的平行四边形是菱形1.如图1,四边形ABCD的两条对角线相交于点O,且互相平分.添加下列条件,仍不能判定四边形ABCD为菱形的是()图1A.AD=CDB.AB=ADC.AC=BDD.∠BAC=∠BCA2.利用图2所给的图形证明:一个顶点到它所对的两边距离相等的平行四边形是菱形.(写出已知、求证,并加以证明)已知:求证:证明:图2知识点 2 对角线互相垂直的平行四边形是菱形3.下列条件中,能够判定一个四边形是菱形的是()A.对角线互相垂直平分B.对角线互相平分且相等C.对角线相等且互相垂直D.对角线互相垂直4.如图3,在平行四边形ABCD中,添加一个条件,使平行四边形ABCD是菱形.图35.如图4,在▱ABCD中,E,F分别是AD,BC上的点,且DE=BF,AC⊥EF.求证:四边形AECF是菱形.图4知识点 3 四条边相等的四边形是菱形6.如图5,已知在△ABC中,AB=AC,将△ABC沿边BC翻折,得到的△DBC与原△ABC拼成四边形ABDC,则能直接判定四边形ABDC是菱形的依据是()图5A.一组邻边相等的平行四边形是菱形B.四条边相等的四边形是菱形C.对角线互相垂直的平行四边形是菱形D.对角线互相垂直平分的四边形是菱形7.如图6,AC=8,分别以点A,C为圆心,以5为半径作弧,两弧分别相交于点B,D.依次连接点A,B,C,D,连接BD交AC于点O.(1)判断四边形ABCD的形状,并说明理由;(2)求BD的长.图6【能力提升】8.用尺规在一个平行四边形内作菱形ABCD,如图7所示的作法中错误的是()图79.[2019·吉林]图8①②均为4×4的正方形网格,每个小正方形的边长均相等,顶点称为格点.在图①中已画出线段AB,在图②中已画出线段CD,其中A,B,C,D均为格点,按下列要求画图:(1)在图①中,以AB为对角线画一个菱形AEBF,且E,F为格点;(2)在图②中,以CD为对角线画一个对边不相等的四边形CGDH,且G,H为格点,∠CGD=∠CHD=90°.图810.如图9,▱ABCD的对角线AC,BD相交于点O,过点O作EF⊥AC,分别交AB,DC于点E,F,连接AF,CE.(1)若OE=,求EF的长;(2)判新四边形AECF的形状,并说明理由.图911.如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,AC平分∠BAD,CE∥AD交AB于点E.(1)求证:四边形AECD是菱形;(2)若E是AB的中点,试判断△ABC的形状,并说明理由.12.如图,将一张矩形纸片ABCD进行折叠,具体操作如下:第一步:先对折,使AD与BC重合,得到折痕MN,展开;第二步:再折叠一次,使点A落在MN上的点A'处,并使折痕经过点B,得到折痕BE,同时,得到线段BA',EA',展开,如图①;第三步:再沿EA'所在的直线折叠,点B落在AD上的点B'处,得到折痕EF,同时得到线段B'F,展开,如图②.求证:(1)∠ABE=30°;(2)四边形BFB'E为菱形.答案1.C2.解:已知:在▱ABCD中,DE⊥AB,DF⊥BC,垂足分别为E,F,DE=DF.求证:▱ABCD是菱形.证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴∠A=∠C.∵DE⊥AB,DF⊥BC,∴∠DEA=∠DFC=90°.又∵DE=DF,∴△DAE≌△DCF,∴DA=DC,∴▱ABCD是菱形.3.A4.答案不唯一,如AB=BC或AC⊥BD等5.证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD=BC,AD∥BC.∵DE=BF,∴AD-DE=BC-BF,即AE=CF.又∵AE∥CF,∴四边形AECF是平行四边形.又∵AC⊥EF,∴四边形AECF是菱形.6.B7.解:(1)四边形ABCD为菱形.理由:由作法得AB=AD=CB=CD=5,∴四边形ABCD为菱形.(2)∵四边形ABCD为菱形,∴OA=OC=4,OB=OD,AC⊥BD.在Rt△AOB中,OB==3,∴BD=2OB=6.8.C9.解:(1)如图①,菱形AEBF即为所求(答案不唯一).(2)如图②,四边形CGDH即为所求(答案不唯一).10.解:(1)∵四边形ABCD是平行四边形,∴AO=CO,AB∥DC,∴∠OAE=∠OCF.∵EF⊥AC,∴∠AOE=∠COF=90°.在△AEO和△CFO中,∴△AEO≌△CFO,∴OE=OF.又OE=,∴OE=OF=,∴EF=OE+OF=3.(2)四边形AECF是菱形.理由如下:由(1)知OE=OF.又∵AO=CO,∴四边形AECF是平行四边形.∵EF⊥AC,∴四边形AECF是菱形.11.解:(1)证明:∵AB∥CD,CE∥AD,∴四边形AECD是平行四边形.∵AC平分∠BAD,∴∠CAE=∠CAD.又∵AD∥CE,∴∠ACE=∠CAD,∴∠ACE=∠CAE,∴AE=CE,∴四边形AECD是菱形.(2)△ABC是直角三角形.理由如下:∵E是AB的中点,∴AE=BE.又∵AE=CE,∴BE=CE,∴∠B=∠BCE.∵∠B+∠BCA+∠BAC=180°,∴2∠BCE+2∠ACE=180°,∴∠BCE+∠ACE=90°,即∠ACB=90°,∴△ABC是直角三角形.12.证明:(1)∵第二步折叠使点A落在MN上的点A'处,并使折痕经过点B,得到折痕BE,∴∠AEB=∠A'EB.∵第三步折叠点B落在AD上的点B'处,得到折痕EF,同时得到线段B'F, ∴∠A'EB=∠FEB'.∵∠AEB+∠A'EB+∠FEB'=180°,∴∠AEB=∠A'EB=∠FEB'=60°,∴∠ABE=30°.(2)∵沿EA'所在的直线折叠,点B落在AD上的点B'处,∴BE=B'E,BF=B'F.∵AD∥BC,∴∠BFE=∠FEB'=60°,∴△BEF是等边三角形,∴BE=BF,∴BE=B'E=B'F=BF,∴四边形BFB'E为菱形.。

八年级下数学分层课课练答案第一单元有理数的乘除运算1.1 有理数的乘法1.5/6 × (-2/3) = -5/92.(-2/5) × (-3/4) = 3/103.(-3/7) × 7/8 = -3/84.(-9/10) × 10/11 = -9/111.2 有理数的除法1.(-2/3) ÷ (4/5) = -10/12 = -5/62.(-5/6) ÷ (-2/3) = 15/12 = 5/43.(-2/3) ÷ 2/7 = -7/94.2/3 ÷ (-4/5) = -30/12 = -5/2第二单元利率与利息2.1 简单利息1.计算北京银行储蓄存款利息：本金10000元，年利率2.5%，存款时间为3年。

利息 = 10000 × 0.025 × 3 = 750元2.计算某贷款机构贷款利息：贷款金额100000元，年利率3%，贷款时间为5年。

利息 = 100000 × 0.03 × 5 = 15000元2.2 复利1.计算某银行定期存款利息：本金10000元，年利率2%，存款时间为3年，每年复利。

利息 = 10000 × (1 + 0.02)^3 - 10000 = 10612元2.计算某投资计划的总收益：投资金额50000元，年收益率5%，投资时间为6年，每年复利。

总收益 = 50000 × (1 + 0.05)^6 - 50000 = 16105元第三单元方程与方程组3.1 一元一次方程1.解方程 2x + 5 = 17：–2x = 17 - 5 = 12–x = 12 ÷ 2 = 62.解方程 3(x + 4) = 27：–3x + 12 = 27–3x = 27 - 12 = 15–x = 15 ÷ 3 = 53.解方程 2x - 4 = -10：–2x = -10 + 4 = -6–x = -6 ÷ 2 = -34.解方程 4 - 3x = 13：–-3x = 13 - 4 = 9–x = 9 ÷ -3 = -33.2 一元一次方程组1.解方程组–x + y = 5–x - y = 1 解得 x = 3, y = 22.解方程组–2x + y = 8–x - 3y = -6 解得 x = 3, y = 23.解方程组–3x + 2y = 13–x - y = 2 解得 x = 3, y = 14.解方程组–5x + 3y = 2–2x - y = 7 解得 x = -1, y = -4第四单元概率与统计4.1 随机事件的概率1.一颗骰子，投掷一次，出现3点的概率为 1/62.一副扑克牌，从中抽取一张红心的概率为 1/43.一个有5个红球和5个蓝球的盒子，从中抽取一球，为红球的概率为 1/24.一副扑克牌，从中抽取两张A的概率为 4/52 ×3/51 = 1/2214.2 统计与频率1.一个班级的学生身高数据如下 (单位：厘米)：–150, 160, 155, 165, 170, 150, 155, 165, 155, 160 其中，150cm出现2次，155cm出现3次，160cm出现2次，165cm出现2次，170cm出现1次2.一组随机数的数据如下：–1, 2, 3, 4, 1, 3, 2, 4, 1, 2, 4, 3 其中，1出现3次，2出现3次，3出现3次，4出现3次3.一组学生的成绩数据如下：–80, 85, 90, 75, 80, 85, 70, 75, 85, 90 其中，70分出现1次，75分出现2次，80分出现2次，85分出现3次，90分出现2次4.一组人的年龄数据如下：–20, 21, 24, 20, 25, 24, 22, 20, 25, 23 其中，20岁出现3次，21岁出现1次，22岁出现1次，23岁出现1次，24岁出现2次，25岁出现2次以上是八年级下数学分层课课练的答案。

一、填空。

（每空1分，共20分）（1）最大两位数的23 是（ ），（ ）的 58 是516 吨。

（2）（）4 =（ ）÷32= 七五折 =（ ）%=（ ）（小数）（3）统计病人一昼夜的体温变化情况，应选用（ ）统计图，统计考试各等级人数与考试总人数之间的关系，应选用（ ）统计图。

（4）如果用（6，3）表示第六列第三行的位置，那么（7，2）表示第（）列第（）行；第1行第5列用（ ）表示。

（5）光明小学的同学植树，活了76棵，死了4棵，成活率是（ ）。

（6）一个圆环的内圆直径是8厘米，外圆半径是10是厘米，它的面积是（）平方厘米。

（7）已知A与9的乘积是1，A是（ ）。

（8）元旦，新华书店打出这样一条广告语：“八二折，只有新年才有的最实在的精神享受！”，）。

这句广告语的意思是：现在的书价是原来的（ ）%，还可以说（ （9）某次数学竞赛，共有20道题，每道题做对得5分，没做或做错都要倒扣2分，小聪得了72分，他做错了（ ）道题。

(10)要剪切一个周长是6.28分米的圆形铁片，至少要用选用边长（ ）分米的正方形铁板，这个圆形铁片的面积是（ ）平方分米，剪切后，余下的边角料是（ ）平方分米。

二、判断题。

（5分）（ ）（1）半圆的对称轴有无数条。

（ ）（2）一个假分数的倒数一定小于这个假分数。

（ ）（3）1米增加它的15 后，再减少15 米，结果还是1米。

（4）正方形的边长与圆的直径相等，那么正方形的周长一定大于圆的周长。

（ ）（5）小明身高154cm,弟弟的身高是1m,小明和弟弟身高的比是154:1。

 ( ) 三、选择题。

（5分）（1）20克盐溶解在100克水中，水和盐水的比是（ ）。

B、4∶5 C、5∶6 A、1∶5 （2）把一根绳子对折后对折，再对折，这时，每一份的长度是全长的（ ） A、50% B、16 C、25% D、12.5%（3）a×23 ＝b÷52 ，a、b都大于0，则（ ）。

18.1.2 第1课时从两组对边或对角或对角线的角度判定平行四边形【基础练习】知识点 1 两组对边分别相等的四边形是平行四边形1.在四边形ABCD中,AB=4 cm,BC=5 cm,当CD= cm,DA= cm时,四边形ABCD 是平行四边形.2.如图,在四边形ABCD中,AB=CD,BC=AD.若∠B=110°,则∠A= °.3.如图,以△ABC的顶点A为圆心,以BC长为半径作弧,再以顶点C为圆心,以AB长为半径作弧,两弧交于点D,连接AD,CD,则四边形ABCD为四边形.4.用两个全等的三角形(三边都不相等)拼成平行四边形,有种拼法.知识点 2 两组对角分别相等的四边形是平行四边形5.要使四边形ABCD是平行四边形,则∠A∶∠B∶∠C∶∠D可能为()A.2∶3∶6∶7B.3∶4∶5∶6C.3∶3∶5∶5D.4∶5∶4∶56.在下列条件中,不能确定四边形ABCD为平行四边形的是()A.∠A=∠C,∠B=∠DB.∠A=∠B=∠C=90°C.∠A+∠B=180°,∠B+∠C=180°D.∠A+∠B=180°,∠C+∠D=180°知识点 3 对角线互相平分的四边形是平行四边形7.将两根木条AC,BD的中点重叠,并用钉子固定,则四边形ABCD为平行四边形,理由是.8.已知:如图在四边形ABCD中,AB∥CD,对角线AC,BD相交于点O,OB=OD.求证:四边形ABCD是平行四边形.9.已知:如图1,E,F是四边形ABCD的对角线AC上的两点,AF=CE,连接DE,DF,BE,BF,四边形DEBF是平行四边形.求证:四边形ABCD是平行四边形.图1【能力提升】10.顺次连接平面上A,B,C,D四点得到一个四边形,从①AB∥CD,②BC=AD,③∠A=∠C,④∠B=∠D四个条件中任取其中两个,可以得出“四边形ABCD是平行四边形”这一结论的情况共有()A.5种B.4种C.3种D.1种11.如图2,四边形ABCD中,∠A=∠ABC=90°,E是边CD上一点,连接BE并延长,与AD的延长线相交于点F,请你只添加一个条件:,使四边形BDFC为平行四边形.图212.如图3,在四边形ABCD中,AD=AC=BC,∠B=∠D=40°.(1)求∠DAC的度数;(2)求证:四边形ABCD是平行四边形.图3 13.如图4,在△ABC中,D是BC边的中点,分别过点B,C作射线AD的垂线,垂足分别为E,F,连接BF,CE.(1)求证:四边形BECF是平行四边形;(2)若AF=FD,在不添加辅助线的条件下,直接写出与△ABD面积相等的所有三角形.图414.如图5所示,以△ABC(∠BAC≠60°)的三边AB,BC,CA为边,在BC的同侧作等边三角形ABD,等边三角形BCE,等边三角形ACF.求证:四边形ADEF为平行四边形.图515.如图6,在四边形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,在①AB∥CD,②AO=CO,③AD=BC中任意选取两个作为条件,“四边形ABCD是平行四边形”为结论构成命题.(1)以①②作为条件构成的命题是真命题吗?若是,请证明;若不是,请举出反例.(2)写出按题意构成的所有命题中的假命题,并举出反例加以说明(命题请写成“如果……那么……”的形式).图6答案1.452.703.平行4.35.D6.D7.对角线互相平分的四边形是平行四边形8.证明:∵AB∥CD,∴∠ABO=∠CDO.在△ABO与△CDO中,∴△ABO≌△CDO,∴OA=OC.又∵OB=OD,∴四边形ABCD是平行四边形.9.证明:如图,连接BD,交AC于点O.∵四边形DEBF为平行四边形,∴BO=DO,EO=FO.∵AF=CE,∴AF-FO=CE-EO,即AO=CO.又∵BO=DO,∴四边形ABCD是平行四边形.10.C11.∠CBD=∠CFD(答案不唯一)12.解:(1)∵AD=AC,∠D=40°,∴∠ACD=40°,∴∠DAC=180°-40°-40°=100°.(2)证明:∵AC=BC,∠B=40°,∴∠BAC=∠B=40°,∴∠BAC=∠ACD,∴AB∥CD.∵∠DAB+∠B=∠DAC+∠BAC+∠B=100°+40°+40°=180°,∴AD∥BC,∴四边形ABCD是平行四边形.13.解:(1)证明:∵D是BC边的中点,∴BD=CD.∵BE⊥AD,CF⊥AD,∴∠BED=∠CFD=90°.在△BED与△CFD中,∴△BED≌△CFD(AAS),∴ED=FD.又∵BD=CD,∴四边形BECF是平行四边形.(2)若AF=FD,则与△ABD面积相等的三角形有△ACD,△CEF,△BEF,△BEC,△BFC.14.证明:∵△BCE,△ACF,△ABD都是等边三角形,∴AB=AD,AC=FC=AF,BC=EC,∠BCE=∠ACF=60°,∴∠BCE-∠ACE=∠ACF-∠ACE,即∠BCA=∠ECF.在△BCA和△ECF中,∴△BCA≌△ECF(SAS),∴AB=EF.又∵AB=AD,∴AD=EF.同理:△BDE≌△BAC,∴DE=AC=AF,∴四边形ADEF是平行四边形.15.解:(1)以①②作为条件构成的命题是真命题.证明如下:∵AB∥CD,∴∠ABO=∠CDO.又∵∠AOB=∠COD,AO=CO,∴△ABO≌△CDO,∴OB=OD,∴四边形ABCD是平行四边形.(2)假命题:(Ⅰ)在四边形ABCD中,如果AB∥CD,AD=BC,那么四边形ABCD是平行四边形.反例:如图①,四边形ABCD是等腰梯形,即AB∥CD,AD=BC,但由于AB≠CD,∴四边形ABCD不是平行四边形.(Ⅱ)在四边形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,如果AO=CO,AD=BC,那么四边形ABCD是平行四边形.反例:如图②,在▱AB'CD中,对角线AC,B'D相交于点O,点B在B'D上,且CB=CB',∴AO=CO,AD=BC.但由于OD≠OB,∴四边形ABCD不是平行四边形.。

第3课时三角形的中位线【基础练习】知识点 1 三角形的中位线1.在△ABC中,D,E分别为BC,AC的中点,AB=6 cm,则DE= cm.2.如图,A,B两地被池塘隔开,小康通过下列方法测出了A,B间的距离:先在直线AB外选一地点C,然后测出AC,BC的中点M,N,并测量出MN的长为18 m,由此他就知道了A,B间的距离.下列有关他这次探究活动的结论中,错误的是 ()A.AB=36 mB.MN∥ABC.MN=CBD.CM=AC3.如图,在△ABC中,D,E分别是AB和AC的中点,△ABC的周长为8,则△ADE的周长为.4.如图,在△ABC中,DE是中位线.(1)若∠ADE=60°,求∠B的度数;(2)若BC=8 cm,求DE的长.5.三角形中位线定理是我们非常熟悉的定理.(1)请你在下面的横线上,完整地叙述出这个定理:;(2)根据这个定理画出图形,写出已知和求证,并对该定理给出证明.知识点 2 三角形的中位线与平行四边形6.如图1,以三角形的三个顶点及三边中点为顶点的平行四边形共有()图1A.1个B.2个C.3个D.4个7.如图2,平行四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,E是AB的中点,△BEO的周长是8,则△BCD的周长为.图28.如图3,已知D,E,F分别是△ABC的边AB,BC,AC的中点.求证:AE与DF互相平分.图3【能力提升】9.如图4,在△ABC中,M是BC的中点,AN平分∠BAC,BN⊥AN.若AB=14,AC=20,则MN的长是()图4A.2B.3C.6D.1710.如图5,△ABC的中位线DE=5 cm,把△ABC沿DE折叠,使点A落在边BC上的点F处,若A,F 两点间的距离是8 cm,则△ABC的面积为cm2.图511.如图6,在△A1B1C1中,已知A1B1=7,B1C1=4,A1C1=6,依次连接△A1B1C1的三边中点,得△A2B2C2,再依次连接△A2B2C2的三边中点,得△A3B3C3……则△A n B n C n的周长为.图612.如图7,等边三角形ABC的边长是2,D,E分别为AB,AC的中点,过点E作EF∥CD,交BC的延长线于点F,连接CD.(1)求证:DE=CF;(2)求EF的长.图713.如图8,O是△ABC内一点,连接OB,OC,并将AB,OB,OC,AC的中点D,E,F,G依次连接,得到四边形DEFG.求证:四边形DEFG是平行四边形.图814.在△ABC中,AE平分∠BAC,BE⊥AE于点E,F是BC的中点.(1)如图9①,BE的延长线与AC边相交于点D,求证:EF=(AC-AB);(2)如图②,请直接写出线段AB,AC,EF的数量关系.图9答案1.32.C3.44.解:(1)∵DE是△ABC的中位线,∴DE∥BC,∴∠B=∠ADE=60°.(2)∵DE是△ABC的中位线,∴DE=BC=4 cm.5.解:(1)三角形的中位线平行于三角形的第三边,并且等于第三边的一半(2)已知:如图,D,E分别是△ABC的边AB,AC的中点.求证:DE∥BC,且DE=BC.证明:如图,延长DE到点F,使EF=DE,连接CF.又∵∠AED=∠CEF,AE=CE,∴△AED≌△CEF,∴AD=CF,∠ADE=∠CFE,∴AD∥CF.又∵AD=BD,∴BD=CF,∴四边形BCFD是平行四边形,∴DF∥BC,DF=BC.又∵DE=EF,∴DE=BC.即DE∥BC,且DE=BC.6.C7.168.证明:∵D,E,F分别是△ABC各边的中点,∴根据中位线定理知DE∥AC,EF∥AB,∴四边形ADEF为平行四边形,∴AE与DF互相平分.9.B10.4011.12.解:(1)证明:∵D,E分别为AB,AC的中点,∴DE∥BC.又∵EF∥CD,∴四边形DEFC是平行四边形,∴DE=CF.(2)∵四边形DEFC是平行四边形,∴DC=EF.∵D为AB的中点,等边三角形ABC的边长是2,∴BC=2,AD=BD=1,CD⊥AB,∴EF=DC=.13.证明:∵D,G分别是AB,AC的中点,∴DG∥BC,DG=BC.∵E,F分别是OB,OC的中点,∴EF∥BC,EF=BC,∴DG∥EF,DG=EF,∴四边形DEFG是平行四边形.14.解:(1)证明:∵AE⊥BD,∴∠AED=∠AEB=90°,∴∠BAE+∠ABE=90°,∠DAE+∠ADE=90°.∵AE平分∠BAC,∴∠BAE=∠DAE,∴∠ABE=∠ADE,∴AB=AD.又∵AE⊥BD,∴BE=DE.∵F是BC的中点,∴BF=FC,∴EF=DC=(AC-AD)=(AC-AB).(2)EF=(AB-AC).理由:如图,延长AC交BE的延长线于点P.∵AE⊥BP,∴∠AEP=∠AEB=90°,∴∠BAE+∠ABE=90°,∠PAE+∠APE=90°.∵AE平分∠BAP,∴∠BAE=∠PAE,∴∠ABE=∠APE,∴AB=AP.又∵AE⊥BP,∴BE=PE.∵F是BC的中点,∴BF=FC, ∴EF=PC=(AP-AC)=(AB-AC).。

人教版初中数学八年级下册19.1.2函数同步练习夯实基础篇一、单选题：1．下列关系式中y不是x的函数是（）A．�=±�(�>0)B．�=−2�(�>0) C．�=�2D．�=(�)2(�>0)【答案】A【知识点】函数的概念【解析】【解答】解：在选项B，C，D中，每给x一个值，y都有1个值与它对应，所以B，C，D中y是x的函数，在A中，给x一个正值，y有2个值与之对应，所以y不是x的函数．故答案为：A【分析】一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x、y，并且对于x的每一个值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们称y是x的函数，据此判断即可.2．函数y=�+1�2−4的自变量x的取值范围是()A．x≥-1B．x≥-1且x≠2C．x≠±2D．x>-1且x≠2【答案】B【知识点】分式有意义的条件；二次根式有意义的条件；函数自变量的取值范围【解析】【解答】解：根据题意得：x+1≥0且x2-4≠0∴x≥-1且x≠±2∴x≥-1且x≠2故答案为：B【分析】观察此函数解析式，既含有分式又含有二次根式，要使分式有意义，则分母不等于0，且分子等于0，建立不等式和方程求解即可。

3．下列函数中，自变量x的取值范围是x≥2的是（）A．�=−2−�B．�=�−2�C．�=4−�2D．�=【答案】B【知识点】分式有意义的条件；二次根式有意义的条件；函数自变量的取值范围【解析】【解答】求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，根据二次根式被开方数必须是非负数和分式分母不为0的条件，得函数y=−2−x，y=x−2，y=4−x2，y=变量x的取值范围分别为x≤2，x≥2，-2≤x≤2，x>2.故选B.【分析】二次根式有意义的条件是：被开方数为非负数；分式有意义的条件是：分母不为0．根据上述条件得到自变量x的取值范围x≥2的函数即可．4．已知函数y=3x-1，当x=3时，y的值是（）.A．6B．7C．8D．9【答案】C【知识点】函数值【解析】【解答】x=3时，y=3×3-1=8选：C．【分析】把x=3代入函数关系式进行计算5．下列关系不是函数关系的是（）A．汽车在匀速行驶过程中，油箱的余油量y（升）是行驶时间t（小时）的函数B．改变正实数x，它的平方根y随之改变，y是x的函数C．电压一定时，通过某电阻的电流强度I(单位：安)是电阻R（单位:欧姆）的函数D．垂直向上抛一个小球，小球离地的高度h（单位：米）是时间t（单位：秒）的函数【答案】B【知识点】函数的概念【解析】【解答】解：A、汽车在匀速行驶过程中，行驶时间t的每一个取值函数油箱的余油量y都有唯一确定的值与之对应，是函数关系，不符合题意；B、一个正数的平方根有两个，∴不是函数关系，不符合题意；C、电压一定时，每个电阻值都有通过这段电阻的电流强度和它对应，所以是函数关系，不符合题意；D、竖直向上抛一个小球，时间t的每一个取值，小球离地的高度h都有唯一确定的值与之对应，因此是函数关系,符合题意。

第2课时从一组对边的角度判定平行四边形【基础练习】知识点 1 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形1.小李拿出两段长度相等的木棒平行摆放,然后顺次连接四个端点得到的图形一定是.理由: .2.如图是一个三棱柱,若它的两个侧面ABB'A'和ACC'A'都是平行四边形,则四边形CBB'C'是不是平行四边形?.(填“是”或“否”)3.如图,在四边形ABCD中,E为BC延长线上一点,AD=BC,∠D=∠DCE.求证:四边形ABCD是平行四边形.4.如图,点E,F分别在▱ABCD的边BC,AD上,BE=BC,FD=AD,连接BF,DE.求证:四边形BEDF是平行四边形.知识点 2 平行四边形的判定方法的综合应用5.如图,在四边形ABCD中,对角线AC与BD交于点O,不能判定四边形ABCD是平行四边形的是()A.OA=OC,OB=ODB.AB∥CD,AD∥CBC.AB=CD,AD=CBD.AB∥CD,AD=CB6.在▱ABCD中,E,F是对角线BD上不同的两点,下列条件中,不能得出四边形AECF一定为平行四边形的是()A.BE=DFB.AE=CFC.AF∥CED.∠BAE=∠DCF7.在四边形ABCD中,AD∥BC,在不添加任何辅助线的情况下,请你添加一个条件:,使四边形ABCD是平行四边形(填一个即可).知识点 3 平行四边形的性质与判定的综合应用8.如图1,在四边形ABCD中,AD∥BC,∠B=∠C.E是边BC上一点,且DE=DC.求证:AD=BE.图19.如图2,分别延长▱ABCD的边AB,CD至点E,F,连接CE,AF,其中∠E=∠F.求证:四边形AECF 为平行四边形.图2【能力提升】10.如图3,已知▱ABCD,过点A作AM⊥BC于点M,交BD于点E,过点C作CN⊥AD于点N,交BD 于点F,连接AF,CE.求证:四边形AECF是平行四边形.图311.如图4,在四边形ABCD中,AD∥BC,延长BC到点E,使CE=BC,连接AE交CD于点F,F是CD 的中点.求证:(1)△ADF≌△ECF;(2)四边形ABCD是平行四边形.图412.如图5,将▱ABCD的AD边延长至点E,使DE=AD,连接CE,F是BC边的中点,连接FD.(1)求证:四边形CEDF是平行四边形;(2)若AB=2,AD=3,∠A=60°,求CE的长.图513.如图6所示,四边形ABCD是平行四边形,∠EAD=∠DBC,∠AED=90°.(1)求证:AE∥BD;(2)过点C作CF⊥BD于点F,连接EF,求证:四边形EFCD是平行四边形.图614.如图7,在四边形ABCD中,AD∥BC,BC=6 cm,AD=9 cm.点P,Q分别从点A,C同时出发,点P 以1 cm/s的速度由点A向点D运动,点Q以2 cm/s的速度由点C向点B运动,当一点到达终点时,两点同时停止运动.当点P,Q运动s时,直线QP将四边形ABCD截出一个平行四边形.图7答案1.平行四边形一组对边平行且相等的四边形是平行四边形2.是3.证明:∵∠D=∠DCE,∴AD∥BC.又∵AD=BC,∴四边形ABCD是平行四边形.4.证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,且AD=BC.又∵BE=BC,FD=AD,∴BE=FD,∴四边形BEDF是平行四边形.5.D6.B7.答案不唯一,如AD=BC8.证明:∵DE=DC,∴∠C=∠DEC.∵∠B=∠C,∴∠B=∠DEC,∴AB∥DE.又∵AD∥BC,∴四边形ABED为平行四边形,∴AD=BE.9.证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB=CD,AD=BC,∠ADC=∠ABC,∴∠ADF=∠CBE.又∵∠F=∠E,AD=CB,∴△ADF≌△CBE,∴AF=CE,DF=BE.∵点E,F分别在AB,CD的延长线上,∴AB+BE=CD+DF,即AE=CF.又∵AF=CE,∴四边形AECF是平行四边形.10.证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,AD=BC,∴∠ADE=∠CBF.∵AM⊥BC,∴AM⊥AD.∵CN⊥AD,∴CN⊥BC,AE∥CF.在△ADE和△CBF中∴△ADE≌△CBF,∴AE=CF,∴四边形AECF是平行四边形.11.证明:(1)∵AD∥BC,∴∠DAF=∠E.∵F是CD的中点,∴DF=CF.在△ADF和△ECF中,∴△ADF≌△ECF(AAS).(2)∵△ADF≌△ECF,∴AD=EC.∵CE=BC,∴AD=BC.∵AD∥BC,∴四边形ABCD是平行四边形.12.解:(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD=BC,AD∥BC,∴DE∥FC.∵DE=AD,F是BC边的中点,∴DE=FC,∴四边形CEDF是平行四边形.(2)过点D作DN⊥BC于点N.∵四边形ABCD是平行四边形,∠A=60°,∴∠BCD=∠A=60°.∵AB=CD=2,BC=AD=3,∴FC=BC=,NC=CD=1,DN=,∴FN=FC-NC=-1=,∴CE=DF==.13.证明:(1)∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,∴∠ADB=∠DBC.∵∠EAD=∠DBC,∴∠EAD=∠ADB,∴AE∥BD.(2)∵AE∥BD,∴∠AED+∠BDE=180°.∵∠AED=90°,∴∠BDE=90°.∵CF⊥BD,∴∠CFD=90°=∠BDE,∴DE∥CF.∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD=BC.又∵∠EAD=∠FBC,∠AED=∠BFC=90°,∴△ADE≌△BCF,∴DE=CF,∴四边形EFCD是平行四边形.14.2或3。