高中数学选修2-2北师大版课件：变化率及导数的概念

变化率与导数____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________1、平均变化率的概念、函数在某点处附近的平均变化率；2、理解导数的几何意义；一、变化率问题：知识导入：问题1 气球膨胀率将班内同学平均分成4组，每组发一只气球，各有一位同学负责将气球吹起，其他同学观察气球在吹起过程中的变化，并做好准备回答以下问题：（1）气球在吹起过程中，随着吹入气体的增加，它的膨胀速度有何变化？（2）你认为膨胀速度与哪些量有关系？（3）球的体积公式是什么？有哪些基本量？（4）结合球的体积公式，试用两个变量之间的关系来表述气球的膨胀率问题？总结：可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢?⏹气球的体积V(单位:L)与半径r(单位:dm)之间的函数关系是334)(rrVπ=⏹如果将半径r表示为体积V的函数,那么343)(πVVr=分析: 343)(πVVr=，⑴当V从0增加到1时,气球半径增加了)(62.0)0()1(dmrr≈-气球的平均膨胀率为)/(62.01)0()1(Ldmrr≈--⑵当V从1增加到2时,气球半径增加了)(16.0)1()2(dmrr≈-气球的平均膨胀率为)/(16.012)1()2(Ldmrr≈--可以看出，随着气球体积逐渐增大，它的平均膨胀率逐渐变小了．hto思考：当空气容量从V 1增加到V 2时,气球的平均膨胀率是多少?1212)()(V V V r V r --问题2 高台跳水在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h (单位：m )与起跳后的时间t （单位：s ）存在函数关系h (t )= -4.9t 2+6.5t +10.如何用运动员在某些时间段内的平均速v 度粗略地描述其运动状态? 思考计算：5.00≤≤t 和21≤≤t 的平均速度在5.00≤≤t 这段时间里，)/(05.405.0)0()5.0(s m h h v =--=；在21≤≤t 这段时间里，)/(2.812)1()2(s m h h v -=--=探究：计算运动员在49650≤≤t 这段时间里的平均速度，并思考以下问题：⑴运动员在这段时间内使静止的吗？⑵你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？探究过程：如图是函数h (t )=-4.9t 2+6.5t +10的图像，结合图形可知，)0()4965(h h =， 所以)/(004965)0()4965(m s h h v =--=， 虽然运动员在49650≤≤t 这段时间里的平均速度为)/(0m s ，但实际情况是运动员仍然运动，并非静止，可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态．1、平均变化率：1．上述问题中的变化率可用式子1212)()(x x x f x f --表示,称为函数f (x )从x 1到x 2的平均变化率2．若设12x x x -=∆, )()(12x f x f f -=∆ (这里x ∆看作是对于x 1的一个“增量”可用x 1+x ∆代替x 2,同样)()(12x f x f y f -=∆=∆) 3． 则平均变化率为=∆∆=∆∆xfx y x x f x x f x x x f x f ∆-∆+=--)()()()(111212思考：观察函数f (x )的图象平均变化率=∆∆xf1212)()(x x x f x f --表示什么?直线AB 的斜率二、导数的概念：1、瞬时变化率：从函数y =f (x )在x =x 0处的瞬时变化率是:0000()()limlimx x f x x f x fxx ∆→∆→+∆-∆=∆∆ 我们称它为函数()y f x =在0x x =出的导数，记作'0()f x 或0'|x x y =，即0000()()()limx f x x f x f x x∆→+∆-'=∆说明：（1）导数即为函数y =f (x )在x =x 0处的瞬时变化率（2）0x x x ∆=-，当0x ∆→时，0x x →，所以000()()()lim x f x f x f x x x ∆→-'=-三、导数的几何意义：1、平均变化率与割线的斜率、瞬时变化率与切线的斜率： （一）曲线的切线及切线的斜率：如图3.1-2，当(,())(1,2,3,4)n n n P x f x n =沿着曲线()f x 趋近于点00(,())P x f x 时，割线n PP 的变化趋势是什么？ 们发现,当点n P 沿着曲我x 1x 2Oyy =f (x )f (x 1) f (x 2) △x = x 2-x 1 △y =f (x 2)-f (x 1)x图3.1-2线无限接近点P 即Δx →0时,割线n PP 趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT 称为曲线在点P 处的切线.问题：⑴割线n PP 的斜率n k 与切线PT 的斜率k 有什么关系？⑵切线PT 的斜率k 为多少？ 容易知道，割线n PP 的斜率是00()()n n n f x f x k x x -=-,当点n P 沿着曲线无限接近点P 时，n k 无限趋近于切线PT 的斜率k ，即0000()()lim()x f x x f x k f x x∆→+∆-'==∆说明：（1）设切线的倾斜角为α,那么当Δx →0时,割线PQ 的斜率,称为曲线在点P 处的切线的斜率. 这个概念: ①提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法;②切线斜率的本质—函数在0x x =处的导数.（2）曲线在某点处的切线: 1)与该点的位置有关;2)要根据割线是否有极限位置来判断与求解.如有极限,则在此点有切线,且切线是唯一的;如不存在,则在此点处无切线;3)曲线的切线,并不一定与曲线只有一个交点,可以有多个,甚至可以无穷多个. 2、导数的几何意义：函数y =f (x )在x =x 0处的导数等于在该点00(,())x f x 处的切线的斜率， 即 0000()()()limx f x x f x f x k x∆→+∆-'==∆说明：求曲线在某点处的切线方程的基本步骤: ①求出P 点的坐标;②求出函数在点0x 处的变化率0000()()()lim x f x x f x f x k x∆→+∆-'==∆ ，得到曲线在点00(,())x f x 的切线的斜率；③利用点斜式求切线方程.类型一：求函数的平均变化率例1、求221y x =+在0x 到0x x +∆之间的平均变化率，并求01x =，12x ∆=时平均变化率的值.思路点拨: 求函数的平均变化率，要紧扣定义式00()()f x x f x y x x+∆-∆=∆∆进行操作. 解析：当变量从0x 变到0x x +∆时，函数的平均变化率为220000()()[2()1][21]f x x f x x x x x x+∆-+∆+-+=∆∆042x x =+∆ 当01x =，12x ∆=时，平均变化率的值为：141252⨯+⨯=. 总结升华：解答本题的关键是熟练掌握平均变化率的概念，只要求出平均变化率的表达式，其他就迎刃而解.举一反三：【变式1】求函数y=5x 2+6在区间[2，2+x ∆]内的平均变化率。