广东省汕头市2007-2008学年度第二学期期末统一测试高二数学(文)试卷本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分．考试时间120分钟． 注意事项：1．答第一部分(选择题)前，考生务必将自己的姓名、座位号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上．2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试题卷上．3．考生务必将第二部分(非选择题)的解答写在答题卷的框线内，框线外的部分不计分．4．考试结束后，监考员将第一部分的答题卡和第二部分的答题卷都收回，试卷考生自己保管．参考公式：柱体的体积公式Sh V =，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高．如果事件A 、B 互斥，那么)()()(B P A P B A P += 或)()()(B P A P B A P +=+ 第一部分（选择题，共50分）一、选择题：本大题共有10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请把它选出后在答题卡上规定的位置上用铅笔涂黑． 1．某个学院有三个系，外语系有学生1200人，数学系有学生6000人，中文系有学生2000人，现采用分层抽样的方法抽取容量为46的样本，那么在外语系、数学系、中文系中各抽取的人数分别为（ ）A ．6，20，2B ．30，10，6C ．10，6，30D ．6，30，102．设函数12+=x y 的定义域为A ，)32lg(2--=x x y 的定义域为B ，则=B A （ ）A ．),3(+∞B ．)3,21[- C ．)1,(--∞ D ．]21,1(--3．若2)21(=+i z （i 表示虚数单位），则复数z 在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4．设{}{}22,02M x x N y y =-≤≤=≤≤，给出下列4个图形，其中能表示以集合M 为定义域，N 为值域的函数关系的是（ ）5．抛掷2枚质地均匀的硬币，则恰有一枚正面向上的概率是（ ）A ．41 B ．21 C ．43D ．16．曲线x x x f ln )(=在点1=x 处的切线方程为 ( )A. 22+=x yB. 22-=x yC. 1-=x yD. 1+=x y 7．已知],0[,1cos 2)(2π∈+=x x x f ，则)(x f 的单调递增区间是（ ）A ．]2,[ππB ．],0[πC ．],2[ππ D ．]2,0[π8．已知焦点在x 轴上的双曲线的一条渐近线方程为x y 2=，则此双曲线的离心率为（ ）A ．5B ．5C ．3D ．39．给出下列命题：①对∀实数y ，都∃一个实数x ，使得2x y =；②两个非零向量a 与b 垂直的充要条件是|a +b |=|a -b |；③如果两条直线b a ,和平面M 满足M a ⊥，且M b ⊥，则b a //；④∃一个实数x ，使022≤+-x x .其中真命题的序号是( )A ．②③④B ．②③C ．②④D ．①③10．如下图所示的框图算法中，若输入8=n ，则输出的=S （ ）A ．42B ．56C ．72D ．90第二部分（非选择题，共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，满分20分．本大题分为必做题和选做题两部分.（一）必做题：第11、12、13题是必做题，每道试题考生都必须做答．11．一个几何体的三视图如图所示，若它的正视图和侧视图都是矩形，俯视图是一个正三角形，则这个几何体的表面积是 ；体积是 ．12．设目标函数y x z -=2，其中变量x 和y 满足条件：0203≥-≥-+⎩⎨⎧y x y x ，则z 的最小值为__________． 13．设数列})12()12(8{22+-n n n的前n 项和为n S ，则3S = ，当4≥n 时，n S = ． （二）选做题：第14、15题是选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题的得分．14．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，以)2,2(πa 为圆心，2a为半径的圆的极坐标方程是 ，该圆与极轴平行的切线的极坐标方程是 ． 15．（几何证明选讲选做题）如图，从圆O 外一点A 引圆的切线AD 和割线ABC ，已知6AC =，圆O 的半径为3，圆心O 到AC 的距离为5， 则=AD ，=DCBD．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 16．(本小题满分14分)一颗骰子连续抛掷两次，计算： (Ⅰ) 向上的点数之和是5的概率； (Ⅱ) 向上的点数之和不大于4的概率． 17．(本小题满分14分)已知函数R x x x x y ∈+=),cos sin 3(cos ． (Ⅰ) 求函数y 的最大值及相应的自变量x 的集合；(Ⅱ) 该函数的图象可由)(sin R x x y ∈=的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？ 18．(本小题满分14分)已知向量a =)9,1(2--x ，b =)2,6(2x x ，若)(x f =a ·b ，R x ∈．(Ⅰ) 求函数)(x f 的极值； (Ⅱ) 判断)(x f 的零点的个数． 19．(本小题满分14分)如右图，把边长为1的正方形ABDC 沿对角线BC 折起得到三棱锥ABC D -，若O 是BC 边的中点，1=DA ．(Ⅰ) 求证：OD ⊥平面ABC ； (Ⅱ) 求三棱锥ABC D -的体积． 20．(本小题满分12分)已知1，3，6，…的各项是一个等比数列和一个等差数列对应项相加而得到的，其中等差数列的首项为0．(Ⅰ) 分别求出等差数列和等比数列的通项公式； (Ⅱ) 若数列的前n 项和为S n ，求证2122<-n S nn ． 21．(本小题满分12分)已知椭圆C 的中心在原点，长轴在x 轴上，若椭圆上有一点P 到两焦点的距离分别是25和23，且过点P 作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点． (Ⅰ) 求椭圆C 的方程；(Ⅱ) 试探究椭圆C 上是否存在两点B A ,关于直线m x y -=2对称，如果存在，求出实数m 的取值范围；如果不存在，请说明理由．参考答案DBACO一、选择题 1．D∵2001920046=，∴1020012000,3020016000,620011200=⨯=⨯=⨯，选D 2．A解：由012≥+x 得21-≥x ∴}21|{-≥=x x A由0322>--x x 得1-<x 或3>x ∴}31|{>-<=x x x B 或 ∴}3|{>=x x B A ，选A3．D∵2)21(=+i z ，∴5)21(2212i i z -=+=，选D 4．B解析：函数的定义域应为[]2,2M =-，排除A ； 函数值域应为[]0,2N =，排除D ；函数的对应法则不允许一对多，排除C ，故选B 5．B∵抛掷2枚硬币的基本事件总数为4，即 （正，正），（正，反），（反，正），（反，反）∴所求事件中含2个基本事件，∴所求概率2142==P ，选B 6．C∵x x y ln =，∴1ln /+=x y ，则切线斜率1|1/===x y k ∴切线方程为1-=x y ．选C 7．C∵],0[,2cos 21cos 2)(2π∈+=+=x x x x f ∴ππ22≤≤x ，即ππ≤≤x 2．选C8．A∵双曲线的焦点在x 轴上，且一条渐近线方程为x y 2=∴2=a b，∴5122=+==ab ac e ，选A9．B①假命题．反例：取1-=y ，则12-≠x②真命题．因为对于非零向量,，有||||)()(022-=+⇔-=+⇔=⋅⇔⊥③真命题．此命题是直线与平面平行的性质定理（用反证法证明） ④假命题．因为“对R x ∈∀，047)21(222>+-=+-x x x ”是真命题，所以它的否定是假命题．故选B 10．C∵数列}{n a 中，2,211+==-n n a a a ， ∴n a n 2=∴8222128⨯+⋅⋅⋅+⨯+⨯=S 7298=⨯=．选C 二、填空题11．)33(8+； 38∵该几何体三视图中正视图和侧视图都是矩形，俯视图是一个正三角形 ∴它是一个底面边长为4的正三角形的三棱柱 ∴)33(842360sin 42122+=⨯⨯+︒⨯⨯=S ，38234=⨯==Sh V 12．3如图，作出满足⎩⎨⎧≥-≥-+0203y x y x 的可行域由⎩⎨⎧=-=-+0203y x y x 得)1,2(M ，∴3122max =-⨯=z13．4948，2)12(11+-n （或22)12(1)12(+-+n n ）；222222223222222222217114948)711(2524753853283185112524)2521(38532831831198318-==+=⋅⨯+⋅⨯+⋅=-==+=⋅⨯+⋅=-==⋅=S S S … 猜想：2)12(11+-=n S n 或者：2222)12(1)12(1)12()12(8+--=+-=n n n n na n 可得14．θρsin a =；a =θρsin在OAP Rt ∆中∵OAOP=θsin ∴θρsin a =在OAM Rt ∆中∵OMOA=θsin ∴a =θρsin15．32；33 ∵⊙O 的半径为3，圆心O 到BC 的距离为5 ∴45322=-=BC ∴2=-=BC AC AB∴122=⋅=AC AB AD ， ∴32=AD 又ADC ABD ∆∆∽， ∴33322===AD AB DC BD （或33632===AC AD DC BD ） 三、解答题16．(本小题满分14分)解：(Ⅰ)记“一颗骰子连续抛掷2次，向上的点数之和等于5”为事件A -------2分∵一颗骰子连续抛掷2次，共有以下36种结果： (1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6) (2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6) (3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6) (4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(4,6) (5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6) (6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)而向上的点数之和为5的结果有(4,1)，(3,2)，(2,3)，(1,4)等4种情况 -------------6分∴91364)(==A P ，故一颗骰子连续抛掷2次，向上的点数之和等于5的概率为91-------------7分(Ⅱ)记“一颗骰子连续抛掷2次，向上的点数之和不大于4”为事件B ，“向上的点数之和为2”记作事件1C ，“向上的点数之和为3”记作事件2C ，“向上的点数之和为4”记作事件3C ，则321C C C B =． -------------8分∵事件321,,C C C 不可能同时发生，∴事件321,,C C C 是两两互斥事件 -------------9分∴61366363362361)()()()(321==++=++=C P C P C P B P -------------13分故一颗骰子连续抛掷2次，向上的点数之和不大于4的概率为61． -------------14分17．(本小题满分14分)解：(Ⅰ) ∵)cos sin 3(cos x x x y +=x x x 2cos cos sin 3+= -------------1分 )2cos 1(212sin 23x x ++=)62sin(21π++=x -------------4分 ∴当1)62sin(=+πx 时，函数y 有最大值，最大值是23，此时相应的自变量x 的取值为)(2262Z k k x ∈+=+πππ，即)(6Z k k x ∈+=ππ．故函数y 的最大值为23，相应自变量x 的集合为},6|{Z k k x x ∈+=ππ-------------7分(Ⅱ) 方法一：将函数x y sin =的图象依次进行如下变换：(ⅰ) 先把函数x y sin =的图象上所有点向左平移6π个单位长度，得到)6sin(π+=x y 的图象；-------------10分(ⅱ)再把函数)6sin(π+=x y 的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的21倍，得到)62sin(π+=x y 的图象；-------------12分(ⅲ)最后把函数)62sin(π+=x y 的图象向上平移21个单位长度，就可得到)62sin(21π++=x y 的图象． -------------14分方法二：将函数x y sin =的图象依次进行如下变换：(ⅰ)先把函数x y sin =的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的21倍，得到x y 2sin =的图象； -------------10分(ⅱ)再把函数x y 2sin =的图象上所有点向左平移12π个单位长度，得到)62sin(π+=x y 的图象；-------------12分(ⅲ)最后把函数)62sin(π+=x y 的图象向上平移21个单位长度，就可得到)62sin(21π++=x y 的图象． -------------14分18．(本小题满分14分)解：(Ⅰ)∵a =)9,1(2--x ，b =)2,6(2x x ，∴)(x f =a ·b =x x x 186223-- -------------2分 ∴18126)(2/--=x x x f -------------4分 令0)(/=x f 得0322=--x x ，解得1-=x 或3=x -------------5分 当x 变化时，)(/x f 、)(x f 的变化情况如下表：-------------7分∴当1-=x 时，y 有极大值10；当3=x 时，y 有极小值54-． -------------8分 (Ⅱ)解法1：令0)(=x f 得0186223=--x x x -------------9分∴0=x 或0932=--x x -------------11分∴0=x 或2533±=x -------------13分∴函数)(x f 有3个零点． -------------14分 解法2：由（1）)(x f 可导，且极大值=-)1(f 10>0；有极小值=)3(f 54-0<．-∞→-∞→+∞→+∞→)(,;)(,x f x x f x 时时， -------------11分所以)(x f 草图如下：-------------13分∴函数)(x f 有3个零点 -------------14分 19． (本小题满分14分)解：(Ⅰ)连结OA∵O 是BC 的中点，且DB DC =∴BC OD ⊥ -------------2分 在BCD Rt ∆中，因为1==BD CD∴22=OD 同理22=OA -------------4分又1=DA∴222AD OD OA =+∴OA OD ⊥ -------------6分 又O OA BC =∴⊥OD 平面ABC -------------8分 (Ⅱ) 由(Ⅰ)知⊥OD 平面ABC -------------9分∴OD S V ABC ABC D ⋅=∆-31三棱锥 -------------11分 1222131=⋅⋅⋅=OD AC AB -------------14分 20． (本小题满分12分)解：(Ⅰ)记{a n }为等差数列，公差为d ，{b n }为等比数列，公比为q ．∵⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+==6310332211b a b a b a -------------2分∴⎩⎨⎧=+=+6232q d q dDB ACO∴q 2-2q=0 解得q=0(舍)或q=2 ∴q=2，d=1 -------------4分∴1-=n a n ，12-=n n b -------------6分(Ⅱ) ∵S n =(a 1+b 1)+(a 2+b 2)+…+(a n +b n )＝(a 1+a 2+…+a n )＋(b 1+b 2+…+b n )=[0+1+…+(n-1)]+(1+2+…+2n-1) ＝21212)1(--+-nn n ＝2222--+n n n -------------10分 ∴222222n n n n S nn --=-21121212<--=n n -------------12分 21．(本小题满分12分)解：(Ⅰ)设所求椭圆的方程为)0(12222>>=+b a by a x ，两焦点21,F F 的距离c 2 ∵4||||221=+=PF PF a ，∴2=a -------------2分又21F PF ∆为直角三角形，21F F 为直角边 ∴222)23()25()2(-=c ，∴1=c ，3=b -------------5分∴所求椭圆方程为13422=+y x -------------6分(Ⅱ) 方法一：假设椭圆C 上存在两点B A ,关于直线m x y -=2对称，设直线AB 的方程为n x y +-=21． -------------7分 联立方程组得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-==+②① 21 13422n x y y x 消取y 得12)21(4322=+-+n x x 整理得0322=-+-n nx x ③-------------8分设B A ,两点的坐标分别是),(11y x 和),(22y x ，则 21,x x 是方程③的两个不相等的实根∴0)3(422>--=∆n n ，∴42<n ④ -------------9分 又设),(00y x M 是AB 的中点， ∴22210n x x x =+=，∴n n x y 432100=+-= 又点M 在对称轴m x y +=2上，∴m n n +⨯=2243， ∴m n 4-=⑤ -------------10分把⑤代入④得142<m ，∴21||<m 故椭圆C 上存在两点B A ,关于直线m x y -=2对称，实数m 的取值范围是)21,21(-．-------------12分方法二：假设椭圆C 上存在两点),(),,(2211y x B y x A 关于直线m x y -=2对称，设AB 的中点为),(00y x M ，则⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧+=+=-=⋅--=+=+⑤y y y ④x x x ③x x y y ②y x ①y x 2 2 12 134 ********0121221212121 -------------8分由①-②得03))((4))((21212121=-++-+y y y y x x x x ⑥ -------------9分 把③④⑤代入⑥得0023x y =又m x y -=002，∴m y m x 3,200== -------------10分又点M 在椭圆内，∴4)1()1(20222020<+-+++y x y x ∴1342020<+y x ，∴142<m ，∴21||<m 故椭圆C 上存在两点B A ,关于直线m x y -=2对称，实数m 的取值范围是)21,21(-．-------------12分。
