高考数学二轮复习 专题限时集训(四)A第4讲 不等式与简单的线性规划配套作业 文(解析版)1

第4讲 简单的线性规划1．(2017年北京)若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≤3，x ＋y ≥2y ≤x ，，则x ＋2y 的最大值为( )A ．1B ．3C ．5D ．92．(2017年新课标Ⅲ)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y －6≤0，x ≥0，y ≥0，则z ＝x －y 的取值范围是( )A ．[－3,0]B ．[－3,2]C ．[0,2]D ．[0,3]3．已知实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤3，2x －3y ≤6，3x ＋4y ≤12，则z ＝x ＋y －2x ＋1的取值范围是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－4，716 B ．[－4,1]C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，716D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，1 4．(2014年新课标Ⅰ)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥a ，x －y ≤－1，且z ＝x ＋ay 的最小值为7，则a ＝( )A ．－5B ．3C ．－5或3D ．5或－35．设二元一次不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －19≥0，x －y －8≤0，x ＋2y －14≤0所表示的平面区域为M ，则使函数y ＝log a x (a >0，a ≠1)的图象过区域M 的a 的取值范围是( )A ．[1,3]B ．[2，10]C ．[2,9]D ．[10，9]6．x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，x －2y －2≤0，2x －y ＋2≥0.若z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则实数a 的值为( )A.12或－1 B ．2或12 C ．2或1 D ．2或－17．在平面直角坐标系中，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y ≤0，x －y －4≤0表示的平面区域的面积是________．8．(2016年江苏) 已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋4≥0，2x ＋y －2≥0，3x －y －3≤0，则x 2＋y 2的取值范围是________．9．变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3≤0，3x ＋5y －25≤0，x ≥1.(1)设z ＝yx ，求z 的最小值；(2)设z ＝x 2＋y 2，求z 的取值范围；(3)设z ＝x 2＋y 2＋6x －4y ＋13，求z 的取值范围．10．已知函数g (x )＝x 2＋(a ＋1)x ＋a ＋b ＋1，两个零点可分别作为一个椭圆和一个双曲线的离心率．求ba的取值范围．第4讲 简单的线性规划1．D 解析：如图D116，画出可行域．图D116z ＝x ＋2y 表示斜率为－12的一组平行线，当过点C (3，3)时，目标函数取得最大值z max＝3＋2×3＝9.2．B 解析：将点(0,0)，(2,0)，(0,3)代入z ＝x －y 解得0,2，－3.所以z ＝x －y 的取值范围是[－3,2]．故选B.3．B 解析：作出不等式组表示的平面区域(如图D117)，因为z ＝x ＋y －2x ＋1＝y －3x ＋1＋1表示平面区域内的点与点(－1，3)之间连线的斜率k 与1的和．由图知，当x ＝0，y ＝－2时，k 取得最小值k min ＝－2－30＋1＝－5；当x ＝0，y ＝3时，k 取得最大值k max ＝3－30＋1＝0.所以z ∈[－4，1]．故选B.图D1174．B 解析：根据题中约束条件可画出可行域如图D118.两直线交点坐标为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫a －12，a ＋12.又由z ＝x ＋ay 知，当a ＝0时，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12，z 的最小值为－12，不合题意；当a ≥1时，y ＝－1a x ＋z a 过点A 时，z 有最小值，即z ＝a －12＋a ×a ＋12＝a 2＋2a －12＝7，解得a ＝3或a ＝－5(舍去)；当a <1时，z 无最小值．故选B.图D1185．C 解析：区域M 是一个三角形区域，三个顶点的坐标分别是(8,3)，(10,2)，(9,1)，结合图形检验，可知：当a ∈[2,9]时，符合题目要求．6．D 解析：如图D119，由y ＝ax ＋z 知z 的几何意义是直线在y 轴上的截距，故当a >0时，要使z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则a ＝2；当a <0时，要使z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则a ＝－1.图D1197．1 解析：不等式组表示的区域如图D120所示的阴影部分，图D120由x ＝1，x ＋y ＝0，得A (1，－1)； 由x ＝1，x －y －4＝0，得B (1，－3)； 由x ＋y ＝0，x －y －4＝0，得C (2，－2)．∴|AB |＝2.∴S △ABC ＝12×2×1＝1.8.⎣⎢⎡⎦⎥⎤45，13 解析：由图D121知，原点到直线2x ＋y －2＝0的距离平方为x 2＋y 2的最小值，为⎝ ⎛⎭⎪⎫ 252＝45；原点到点(2,3)距离平方为x 2＋y 2的最大值，为13.因此x 2＋y 2的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤45，13.图D1219．解：由约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3≤0，3x ＋5y －25≤0，x ≥1，作出(x ，y )的可行域如图D122所示的阴影部分．图D122由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，3x ＋5y －25＝0，解得A ⎝⎛⎭⎪⎫1，225.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，x －4y ＋3＝0，解得C (1,1)．由⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3＝0，3x ＋5y －25＝0，解得B (5,2)．(1)∵z ＝y x ＝y －0x －0，∴z 的值即是可行域中的点与原点O 连线的斜率．观察图形可知z min＝k OB ＝25.(2)z ＝x 2＋y 2的几何意义是可行域上的点到原点O 的距离的平方． 结合图形可知，可行域上的点到原点的距离中， d min ＝|OC |＝2，d max ＝|OB |＝29. 故z 的取值范围是[2,29]．(3)z ＝x 2＋y 2＋6x －4y ＋13＝(x ＋3)2＋(y －2)2的几何意义是可行域上的点到点(－3,2)的距离的平方．结合图形可知，可行域上的点到(－3,2)的距离中，d min ＝1－(－3)＝4，d max ＝－3－2＋－2＝8. 故z 的取值范围是[16,64]．10．解：g (x )＝x 2＋(a ＋1)x ＋a ＋b ＋1，两个零点为方程x 2＋(a ＋1)x ＋a ＋b ＋1＝0的两根，且一根大于1，另一根大于0且小于1，由根的分布画图，得⎩⎪⎨⎪⎧ g ，g ，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋1>0，2a ＋b ＋3<0.作出可行域如图D123.图D123而b a ＝b －0a －0表示可行域中的点(a ，b )与原点连线的斜率k ，直线OA 的斜率k 1＝－12，直线2a ＋b ＋3＝0的斜率k 2＝－2.所以k ∈⎝⎛⎭⎪⎫－2，－12，即b a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－12.。

专题限时集训(四)B[第4讲 不等式与简单的线性规划](时间：30分钟)1．已知y >x >0，且x ＋y ＝1，那么( ) A ．x <x ＋y2<y <2xyB ．2xy <x <x ＋y2<yC ．x <x ＋y2<2xy <yD ．x <2xy <x ＋y2<y2．直线ax ＋by ＋c ＝0的某一侧的点P (m ，n )，满足am ＋bn ＋c <0，则当a >0，b <0时，该点位于该直线的( )A ．右上方B ．右下方C ．左下方D ．左上方3．已知x >0，y >0，x ，a ，b ，y 成等差数列，x ，c ，d ，y 成等比数列，则（a ＋b ）2cd的最小值是( )A ．0B ．1C ．2D ．44．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧12x ，x ≤0，x ，x >0，若f (x 0)>1，则x 0的取值范围是( )A ．(0，1)B ．(1，＋∞)C ．(－∞，－1)∪(0，＋∞)D ．(－∞，0)∪(1，＋∞)5．设0<x <1，则a ＝2x ，b ＝1＋x ，c ＝11－x 中最大的一个是( )A ．aB ．bC ．cD ．不能确定6．若关于x 的不等式ax 2＋bx ＋2>0的解集为－12，13，其中a ，b 为常数，则不等式2x2＋bx ＋a <0的解集是( )A ．(－3，2)B ．(－2，3)C ．(－3，3)D ．(－2，2)7．已知函数f (x )＝x ＋ax －2(x >2)的图象过点A (3，7)，则此函数的最小值是( )A ．2B ．4C ．6D ．88．若实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，y ≥2x ，2x ＋y －8≤0，目标函数z ＝x ＋ay (a >0)取得最大值的最优解有无穷多个，则z 的最小值为( )A ．2B ．3C ．5D ．139．若关于x 的不等式ax －b >0的解集是(1，＋∞)，则关于x 的不等式ax ＋bx －2>0的解集是________．10．若不等式x 2－kx ＋k －1>0对x ∈(1，2)恒成立，则实数k 的取值范围是________． 11．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋y －9≥0，x －y －1≤0，y ≤3，则x －3y 的最大值是________．12．已知t 是正实数，如果不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤t ，x －y ≤0，y ≥0表示的区域内存在一个半径为1的圆，则t 的最小值为________．专题限时集训(四)B【基础演练】1．D [解析] ∵y >x >0，且x ＋y ＝1，取特殊值：x ＝14，y ＝34，则x ＋y 2＝12，2xy ＝38，∴x <2xy <x ＋y2<y .故选D.2．D [解析] ∵am ＋bn ＋c <0，b <0，∴n >－ab m －c b. ∴点P 所在的平面区域满足不等式y >－a b x －c b，a >0，b <0.∴－a b>0.故点P 在该直线的上侧，综上知，点P 在该直线的左上方．3．D [解析] 依题意，得a ＋b ＝x ＋y ，cd ＝xy ，于是（a ＋b ）2cd ＝（x ＋y ）2xy ＝x 2＋y 2＋2xyxy≥2xy ＋2xyxy＝4.故选D.4．D [解析] 依题意，不等式f (x 0)>1等价于⎩⎪⎨⎪⎧x 0≤0，12x 0>1或⎩⎨⎧x 0>0，x 0>1，解得x 0<0或x 0>1.故选D.【提升训练】5．C [解析] 因为0<x <1，所以1＋x >2x ＝4x >2x ，所以只需比较1＋x 与11－x 的大小．因为1＋x －11－x ＝1－x 2－11－x ＝x 2x －1<0，所以1＋x <11－x.故选C.6．B [解析] 依题意知，－12和13是一元二次方程ax 2＋bx ＋2＝0的两根，且a <0，则⎩⎪⎨⎪⎧－12＋13＝－b a ，－12×13＝2a，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－12，b ＝－2.于是，不等式2x 2＋bx ＋a <0即是2x 2－2x －12<0，解得－2<x <3.故选B.7．C [解析] 依题意，函数f (x )＝x ＋ax －2(x >2)的图象过点A (3，7)，则a ＝4.于是，f (x )＝x ＋4x －2＝(x －2)＋4x －2＋2≥2（x －2）·4x －2＋2＝6.故选C. 8．A [解析] 作出满足条件的可行域，由图可知，当z ＝x ＋ay ，取得最大值的最优解有无数个时，－1a ＝－2，解得a ＝12.于是目标函数z ＝x ＋12y 经过点(1，2)时，z 得最小值为2.故选A.9．(－∞，－1)∪(2，＋∞) [解析] 由于ax >b 的解集为(1，＋∞)，故有a >0且b a＝1. 又ax ＋bx －2>0⇔(ax ＋b )(x －2)＝a (x ＋1)(x －2)>0⇔(x ＋1)(x －2)>0， 故原不等式的解集为(－∞，－1)∪(2，＋∞)．10．k ≤2 [解析] 依题意，不等式x 2－kx ＋k －1>0对x ∈(1，2)恒成立，则x 2－1>k (x －1)对x ∈(1，2)恒成立，所以k <x ＋1对x ∈(1，2)恒成立，即k ≤1＋1＝2.11．－1 [解析] 作出不等式组表示的平面区域如图．作直线l ：x －3y ＝0，平移直线l ，当直线l 经过4x ＋y －9＝0与x －y －1＝0的交点P (2，1)时，目标函数z ＝x －3y 取得最大值为2－3×1＝－1，所以x －3y 的最大值为－1.12．2＋2 2 [解析] 画出不等式组表示的平面区域，当t 最小时，所表示的区域为第一象限的一个等腰直角三角形．依题意，它有一个半径为1的内切圆，不妨设斜边|OB |＝t ，则两直角边长|AB |＝|OA |＝22t ，所以22t ＋22t －t 2＝1，求得t ＝22－1＝22＋2，即 t min ＝2＋22.。

专题限时集训(四)B[第4讲 不等式与简单的线性规划](时间：30分钟)1．已知y >x >0，且x ＋y ＝1，那么( ) A ．x <x ＋y2<y <2xy B ．2xy <x <x ＋y2<y C ．x <x ＋y 2<2xy <y D ．x <2xy <x ＋y2<y2．若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋2y ≥4，2x ＋y ≤4所表示的平面区域被直线y ＝kx ＋2分为面积相等的两部分，则k 的值是( )A ．1B ．2C ．－1D ．－23．已知x >0，y >0，x ，a ，b ，y 成等差数列，x ，c ，d ，y 成等比数列，则（a ＋b ）2cd的最小值是( )A ．0B ．1C ．2D ．44．当0<x <1，a ，b ∈R ＋时，y ＝a 2x ＋b 21－x的最小值为________．5．设0<x <1，则a ＝2x ，b ＝1＋x ，c ＝11－x 中最大的一个是( )A ．aB ．bC ．cD ．不能确定6．若关于x 的不等式ax 2＋bx ＋2>0的解集为－12，13，其中a ，b 为常数，则不等式2x2＋bx ＋a <0的解集是( )A ．(－3，2)B ．(－2，3)C ．(－3，3)D ．(－2，2) 7．已知函数f (x )＝x ＋ax －2(x >2)的图像过点A (3，7)，则此函数的最小值是( )A ．2B ．4C ．6D ．88．若实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，y ≥2x ，2x ＋y －8≤0，目标函数z ＝x ＋ay (a >0)取得最大值的最优解有无穷多个，则z 的最小值为( )A ．2B ．3C ．5D ．139．在平面直角坐标系xOy 中，已知平面区域A ＝{(x ，y )|x ＋y ≤1，x ≥0，y ≥0}，则平面区域B ＝{(x ＋y ，x －y )|(x ，y )∈A }的面积为( )A ．1B ．2C ．6D ．810．已知实数x ，y 满足⎩⎨⎧（x ＋3y ）（3x －y ）≤0，x 2＋y 2≤4，则此不等式组表示的平面区域的面积为________．11．不等式(x －1)x 2＋x －6≥0的解集为________．12．已知不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ，y ≥－x ，x ≤a ，表示的平面区域S 的面积为4，点P (x ，y )∈S ，则z ＝2x ＋y的最大值为________．13．已知t 是正实数，如果不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤t ，x －y ≤0，y ≥0表示的区域内存在一个半径为1的圆，则t 的最小值为________．专题限时集训(四)B【基础演练】1．D [解析] ∵y >x >0，且x ＋y ＝1，取特殊值：x ＝14，y ＝34，则x ＋y 2＝12，2xy ＝38，∴x <2xy <x ＋y2<y .故选D.2．A [解析] 可行域是由点A (0，2)，B (0，4)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，43构成的三角形区域，直线y ＝kx ＋2过点A ，由直线将三角形面积分成相等的两部分，则直线过线段BC 的中点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，83，此时直线AM 斜率k ＝1.3．D [解析] 依题意，得a ＋b ＝x ＋y ，cd ＝xy ，于是（a ＋b ）2cd ＝（x ＋y ）2xy ＝x 2＋y 2＋2xyxy≥2xy ＋2xyxy＝4.故选D.4．(a ＋b )2[解析] y ＝a 2x ＋b 21－x ＝[x ＋(1－x )]·⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2x ＋b 21－x ＝a 2＋b 2＋1－x x a 2＋x 1－x b 2≥a 2＋b 2＋21－xxa 2·x1－xb 2＝(a ＋b )2，当且仅当1－x x a 2＝x 1－x b 2，即x ＝a a ＋b 时等号成立，y min ＝(a ＋b )2.【提升训练】5．C [解析] 因为0<x <1，所以1＋x >2x ＝4x >2x ，所以只需比较1＋x 与11－x 的大小．因为1＋x －11－x ＝1－x 2－11－x ＝x 2x －1<0，所以1＋x <11－x.故选C.6．B [解析] 依题意知，－12和13是一元二次方程ax 2＋bx ＋2＝0的两根，且a <0，则⎩⎪⎨⎪⎧－12＋13＝－b a ，－12×13＝2a，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－12，b ＝－2.于是，不等式2x 2＋bx ＋a <0即是2x 2－2x －12<0，解得－2<x <3.故选B.7．C [解析] 依题意，函数f (x )＝x ＋ax －2(x >2)的图像过点A (3，7)，则a ＝4.于是，f (x )＝x ＋4x －2＝(x －2)＋4x －2＋2≥2（x －2）·4x －2＋2＝6.故选C.8．A [解析] 作出满足条件的可行域，由图可知，当z ＝x ＋ay ，取得最大值的最优解有无数个时，－1a ＝－2，解得a ＝12.于是目标函数z ＝x ＋12y 经过点(1，2)时，z 得最小值为2.故选A.9．A [解析] 设B (a ，b )，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＝x ＋y ，b ＝x －y ⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋b2，y ＝a －b 2得：⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ≥0，a －b ≥0，a ≤1，画出关于a ，b 的可行域得面积为1.10．2π [解析] 在同一直角坐标系中作出可行域⎩⎨⎧（x ＋3y ）（3x －y ）≤0，x 2＋y 2≤4.由图形知，不等式组表示的平面区域的面积是二分之一的半径为2的圆面积，即S ＝12×π×22＝2π.11．{x |x ≥2} [解析] 原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝0，x 2＋x －6≥0或⎩⎪⎨⎪⎧x －1>0，x 2＋x －6≥0，解得x ≥2.12．6 [解析] 如图，依题意，S ＝12·2a ·a ＝a 2＝4，所以a ＝2.分析可知，当直线y ＝－2x ＋z 经过点A (2，2)时，z max ＝2×2＋2＝6.13．2＋2 2 [解析] 画出不等式组表示的平面区域，当t 最小时，所表示的区域为第一象限的一个等腰直角三角形．依题意，它有一个半径为1的内切圆，不妨设斜边|OB |＝t ，则两直角边长|AB |＝|OA |＝22t ，所以22t ＋22t －t 2＝1，求得t ＝22－1＝22＋2，即 t min ＝2＋2 2.。

专题限时集训(四)A[第4讲 不等式与不等式选讲、简单的线性规划](时间：30分钟)1．如果a ，b ，c ，d A ．a >b ，c ＝d ⇒ac >bdB ．a 3>b 3，ab >0⇒1a <1bC.a c >b c⇒a >b D ．a 2>b 2，ab >0⇒1a <1b2．不等式1x <12的解集是( )A ．(－∞，2)B ．(2，＋∞)C ．(0，2)D ．(－∞，0)∪(2，＋∞)3．已知向量a ＝(x －1，2)，b ＝(4，y )，若a ⊥b ，则9x ＋3y的最小值为( ) A ．2 3 B ．6 C ．12 D ．3 24．已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋4≥0，x ＋y ≥0，x ≤3，则z ＝2x ＋y 的最小值是( )A ．－4B ．－2C ．0D ．25．不等式|x ＋3|－|x －1|≤a 2－3a a 的取值范围为( ) A ．(－∞，－1]∪[4，＋∞) B ．(－∞，－2]∪[5，＋∞) C ．[1，2] D ．(－∞，1]∪[2，＋∞)6．若对任意正数x ，均有a 2<1＋x ，则实数a 的取值范围是( ) A ．[－1，1] B ．(－1，1)C ．[－1＋x ，1＋x ]D ．(－1＋x ，1＋x )7．已知变量x 、y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ≤0，x －2y ＋3≥0，x ≥0，则z ＝2x ＋y ＋4的最大值为( )A ．16B ．8C ．6D ．48．已知点M (x ，y )的坐标满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －2≤0，y －1≤0，x ＋2y －2≥0，则此不等式组确定的平面区域的面积S 的大小是( )A ．1B ．2C ．3D ．49．x 、y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，x －y ≥－1，2x －y ≤2，若目标函数z ＝ax ＋by (a >0，b >0)的最大值为7，则3a＋4b的最小值为( )A ．14B ．7C ．18D ．13 10．f (x )＝lg ⎝⎛⎭⎪⎫21－x ＋a 是奇函数，则使f (x )<0的x 的取值范围是( )A ．(－1，0)B ．(0，1)C ．(－∞，0)D ．(－∞，0)∪(1，＋∞)11．一批货物随17列货车从A 市以v km/h 匀速直达B 市，已知两地铁路路线长400 km ，为了安全，两列货车间距离不得小于v202km ，那么这批货物全部运到B 市，最快需要________h(不计货车的车身长)．12．不等式|x ＋1|＋|2x －4|>6的解集为________．13．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y 2－x ≤0，x ＋y ≤2，则2x ＋y 的最小值为________，最大值为________．专题限时集训(四)A【基础演练】1．B [解析] 对于B ，由a 3>b 3知a >b ，而ab >0，由不等式的倒数法则知1a <1b.故选B.2．D [解析] 由1x <12，得1x －12<0，即2－x2x<0，于是不等式转化为x (x －2)>0，解得x <0或x >2.故选D.3．B [解析] a ·b ＝4x －4＋2y ＝0，即2x ＋y ＝2，9x＋3y≥29x·3y＝232x ＋y＝232＝6(当2x ＝y ＝1时取等号)．4．B [解析] 作出满足题设条件的可行域(如图)，则当直线y ＝－2x ＋z 经过点A (－2，2)时，截距z 取得最小值，即z min ＝2×(－2)＋2＝－2.【提升训练】5．A [解析] |x ＋3|－|x －1|≤|(x ＋3)－(x －1)|＝4，由题意，有4≤a 2－3a ，解得a ≤－1，或a ≥4.6．A [解析] 依题意，a 2<1＋x 对任意正数x 恒成立，则a 2≤1，求得－1≤a ≤1. 7．B [解析] 作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ≤0，x －2y ＋3≥0，x ≥0的可行域，如图中的阴影部分所示，设w ＝2x ＋y ，由图知，当取点A (1，2)时，w 取得最大值为2×1＋2＝4，此时z ＝2x ＋y ＋4的最大值为4＋4＝8.故选B.8．A [解析] 作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －2≤0，y －1≤0，x ＋2y －2≥0表示的平面区域，则此平面区域为△ABC ，且A (2，0)，B (0，1)，C (2，1)，于是，S ＝12×2×1＝1.故选A.9．B [解析] 由a >0，b >0且直线x －y ＝－1与2x －y ＝2的交点为(3，4)，得当x ＝3，y ＝4时，z 取得大值，3a ＋4b ＝7，所以3a ＋4b ＝3a ＋4b ·3a ＋4b 7＝97＋167＋127b a ＋a b ≥257＋127×2b a ·a b ＝257＋247＝7. 10．A [解析] 由f (x )是奇函数知f (0)＝lg(2＋a )＝0，解得a ＝－1，那么由f (x )＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫21－x －1<0＝lg1，得21－x －1<1，即x x －1>0，解得x <0或x >1，又知其定义域为21－x －1>0，即x ＋1x －1<0，解得－1<x <1，综上可得－1<x <0.故选A. 11．8 [解析] 依题意，设货车从A 市到B 市的时间为t ，则t ＝400v ＋16×v 202v ＝400v ＋16v 400≥2400v ·16v400＝216＝8.故填8. 12．(－∞，－1)∪(3，＋∞) [解析] 当x ≤－1时，不等式可化为－(x ＋1)－(2x －4)>6，解得x <－1；当－1<x <2时，不等式可化为(x ＋1)－(2x －4)>6，解得x <－1，无解；当x ≥2时，不等式可化为(x ＋1)＋(2x －4)>6，解得x >3；故不等式的解集为(－∞，－1)∪(3，＋∞)．13．－18 6 [解析] 作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y 2－x ≤0，x ＋y ≤2表示的可行域(如下图阴影部分所示，含边界)．联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2－x ＝0，x ＋y ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝－2，故两交点分别为A (1，1)，B (4，－2)．设z ＝2x ＋y ，可知当直线z ＝2x ＋y 经过点B (4，－2)时，z ＝2x ＋y 有最大值，且z max ＝6；当直线z＝2x ＋y 与抛物线y 2－x ＝0相切时，z ＝2x ＋y 有最小值，此时由⎩⎪⎨⎪⎧y 2－x ＝0，z ＝2x ＋y ，消去y 得4x 2－(4z ＋1)x ＋z 2＝0，令Δ＝(4z ＋1)2－16z 2＝0，解得z ＝－18.故z min ＝－18.故2x ＋y 的最小值为－18，最大值为6.。

专题限时集训四B
[第4讲不等式与简单的线性规划]
时间：30分钟
1．已知>>0，且＋＝1，那么
A．0，b0，>0，，a，b，成等差数列，，c，d，成等比数列，则错误!的最小值是
A．0 B．1
C．2 D．4
4．已知函数f＝错误!若f0>1，则0的取值范围是
A．0，1 B．1，＋∞
C．－∞，－1∪0，＋∞ D．－∞，0∪1，＋∞
5．设00的解集为－错误!，错误!，其中a，b为常数，则不等式22＋b＋a2的图象过点A3，7，则此函数的最小值是
A．2 B．4
C．6 D．8
8．若实数，满足约束条件错误!目标函数＝＋aa>0取得最大值的最优解有无穷多个，则的最小值为
A．2 B．3
C．5 D．13
9．已知实数，满足错误!则此不等式组表示的平面区域的面积为________．
10．若不等式2－＋－1>0对∈1，2恒成立，则实数的取值范围是________．
11．若直线a＋b＝aba>0，b>0与圆2＋2＝1相切，则ab的最小值是________．
12．已知t是正实数，如果不等式组错误!表示的区域内存在一个半径为1的圆，则t 的最小值为________．
专题限时集训四B
【基础演练】
1．D [解析] ∵>>0，且＋＝1，取特殊值：＝错误!，＝错误!，则错误!＝错误!，2＝错误!，∴－错误!m－错误!
＝2＋2错误!。

专题限时集训(四)B[第4讲 不等式与不等式选讲、简单的线性规划](时间：30分钟)1．已知y >x >0，且x ＋y ＝1，那么A ．x <x ＋y 2<y <2xyB ．2xy <x <x ＋y2<yC ．x <x ＋y 2<2xy <yD ．x <2xy <x ＋y2<y2．不等式|x －1|＋|x －6|>m 恒成立，则实数m 的取值范围是( ) A ．[5，＋∞) B ．(5，＋∞) C ．(－∞，5] D ．(－∞，5)3．直线ax ＋by ＋c ＝0的某一侧的点P (m ，n )，满足am ＋bn ＋c <0，则当a >0，b <0时，该点位于该直线的( )A ．右上方B ．右下方C ．左下方D ．左上方4．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧12x ，x ≤0，x ，x >0，若f (x 0)>1，则x 0的取值范围是( )A ．(0，1)B ．(1，＋∞)C ．(－∞，－1)∪(0，＋∞)D ．(－∞，0)∪(1，＋∞)5．不等式x 2－x －6x －1>0的解集为( ) A ．{x |x <－2，或x >3} B ．{x |x <－2，或1<x <3} C ．{x |－2<x <1，或x >3} D ．{x |－2<x <1，或1<x <3}6．若关于x 的不等式ax 2＋bx ＋2>0的解集为－12，13，其中a ，b 为常数，则不等式2x2＋bx ＋a <0的解集是( )A ．(－3，2)B ．(－2，3)C ．(－3，3)D ．(－2，2)7．设0<x <1，则a ＝2x ，b ＝1＋x ，c ＝11－x中最大的一个是( )A ．aB ．bC ．cD ．不能确定8．已知实数x ，y 满足⎩⎨⎧（x ＋3y ）（3x －y ）≤0，x 2＋y 2≤4.则此不等式组表示的平面区域的面积为________．9．已知t 是正实数，如果不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤t ，x －y ≤0，y ≥0表示的区域内存在一个半径为1的圆，则t 的最小值为________．10．已知命题“存在x ∈R ，使得|x －a |＋|x ＋2|≤2成立”是假命题，则实数a 的取值范围是________．11．某楼盘的建筑成本由土地使用权费和材料工程费构成，已知土地使用权费为 2 000元/m 2，材料工程费在建造第一层时为400元/m 2，以后每增加一层，费用增加40元/m 2.要使平均每平方米建筑面积的成本费最低，则应把楼盘的楼房设计成________层．12．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y －3≤0，x －y ＋1≥0，y ≥－1，则z ＝2|x |＋y 的取值范围是________．专题限时集训(四)B【基础演练】1．D [解析] ∵y >x >0，且x ＋y ＝1，取特殊值：x ＝14，y ＝34，则x ＋y 2＝12，2xy ＝38，∴x <2xy <x ＋y2<y .故选D.2．D [解析] |x －1|＋|x －6|≥|(x －1)－(x －6)|＝5，故要使不等式|x －1|＋|x －6|>m 恒成立，须满足m <5.3．D [解析] ∵am ＋bn ＋c <0，b <0，∴n >－ab m －c b. ∴点P 所在的平面区域满足不等式y >－a b x －c b，a >0，b <0.∴－a b>0.故点P 在该直线的上侧，综上知，点P 在该直线的左上方．4．D [解析] 依题意，不等式f (x 0)>1等价于⎩⎪⎨⎪⎧x 0≤0，12x 0>1或⎩⎨⎧x 0>0，x 0>1，解得x 0<0或x 0>1.故选D.【提升训练】5．C [解析] 不等式x 2－x －6x －1>0可化为(x ＋2)(x －3)(x －1)>0，由数轴标根法可知，解集为{x |－2<x <1，或x >3}．6．B [解析] 依题意知，－12和13是一元二次方程ax 2＋bx ＋2＝0的两根，且a <0，则⎩⎪⎨⎪⎧－12＋13＝－b a ，－12×13＝2a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－12，b ＝－2.于是，不等式2x 2＋bx ＋a <0即是2x 2－2x －12<0，解得－2<x <3.故选B.7．C [解析] 因为0<x <1，所以1＋x >2x ＝4x >2x ，所以只需比较1＋x 与11－x 的大小．因为1＋x －11－x ＝1－x 2－11－x ＝x 2x －1<0，所以1＋x <11－x.故选C.8．2π [解析] 在同一直角坐标系中作出可行域⎩⎨⎧（x ＋3y ）（3x －y ）≤0，x 2＋y 2≤4.由图形知，不等式组表示的平面区域的面积是二分之一的半径为2的圆面积，即S ＝12×π×22＝2π.9．2＋2 2 [解析] 画出不等式组表示的平面区域，当t 最小时，所表示的区域为第一象限的一个等腰直角三角形．依题意，它有一个半径为1的内切圆，不妨设斜边|OB |＝t ，则两直角边长|AB |＝|OA |＝22t ，所以22t ＋22t －t 2＝1，求得t ＝22－1＝22＋2，即 t min ＝2＋22.10．(－∞，－4)∪(0，＋∞) [解析] 由题意，对任意x ∈R ，|x －a |＋|x ＋2|>2恒成立，因为|x －a |＋|x ＋2|≥|(x －a )－(x ＋2)|＝|2＋a |，所以需满足|2＋a |>2，得2＋a >2，或2＋a <－2，解得a >0，或a <－4.11．10 [解析] 设应把楼房设计成x 层，每层的面积为y m 2，则平均每平方米建筑面积的成本费为k ＝2 000y ＋y ×400＋y ×440＋…＋y ×[400＋40（x －1）]xy ＝2 000x＋20x ＋380≥22 000x·20x ＋380＝780，当且仅当2 000x＝20x ，即x ＝10时取等号，故应把楼房设计成10层．12．[－1，11] [解析] 作出x ，y 满足的可行域(如下图阴影部分所示，含边界)．当x ≥0时，z ＝2x ＋y 在点C (6，－1)处取得最大值11，在点D (0，－1)处取最小值－1；当x ≤0时，目标函数z ＝－2x ＋y 在点B (－2，－1)处取最大值3，在点D (0，－1)处取最小值－1，所以z ∈[－1，11]．。

专题限时集训(四)A[第4讲 不等式与线性规划](时间：30分钟)1．已知集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪x ⎪⎪⎪x －2x ≤0，x ∈N ，B ＝{x|1≤2x ≤16，x ∈Z }，则A ∩B ＝( ) A ．(1，2) B ．[0，2]C ．{0，1，2}D ．{1，2}2．若直线ax －by ＋1＝0平分圆C ：x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0的周长，则ab 的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎤－∞，14B.⎝⎛⎦⎤－∞，18 C.⎝⎛⎦⎤0，14 D.⎝⎛⎦⎤0，18 3．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤1，x －y ≤2，x ＋y ≤2，则z ＝2x －3y 的最大值是( )A ．－6B ．－1C ．6D ．44．若A 为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，y ≥0，y －x ≤2表示的平面区域，则当实数a 从－2连续变化到0时，动直线x ＋y ＝a 扫过A 中部分的区域的面积为( )A.34B.12C ．2D ．1 5．已知关于x 的不等式ax 2＋2x ＋b>0(a ≠0)的解集是错误!，且a>b ，则错误!的最小值是( )A ．2 2B ．2 C. 2 D ．16．在如图X4－1所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x 为______m.7．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －2≥0，x －2y ＋4≥0，x －1≤0，则目标函数z ＝3x －2y 的最小值为( )A ．－6B ．－4C ．2D ．48．已知x>0，y>0，若不等式x ＋2y xy ≥m 2x ＋y恒成立，则实数m 的最大值为( ) A ．10 B ．9C ．8D ．79．已知点P(x ，y)满足⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤1，0≤x ＋y ≤2，则点Q(x ＋y ，y)构成的图形的面积为( ) A ．1 B ．2C ．3D ．410．设实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ＋y ≤1，－1≤x －y ≤1，则点(x ，y)在圆面x 2＋y 2≤12内部的概率为( ) A.π8 B.π4C.3π4D.π211．某旅行社租用A ，B 两种型号的客车安排900名客人旅行，A ，B 两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1600元/辆和2400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B 型车不能多于A 型车7辆，则租金最少为( )A ．31 200元B ．36 000元C ．36 800元D ．38 400元12．实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ≥0，y ≥x ，y ≥－x ＋94，则z ＝2x ＋y 的最小值为________13．若x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧3x －5y ＋6≥0，2x ＋3y －15≤0，y ≥0，当且仅当x ＝y ＝3时，z ＝ax －y 取最小值，则实数a 的取值范围是________．14．设奇函数f(x)在[－1，1]上是增函数，且f(－1)＝－1，若函数f(x)≤t 2－2at ＋1对所有的x ∈[－1，1]都成立，则当a ∈[－1，1]时t 的取值范围是________________．专题限时集训(四)A1．D [解析] 集合A ＝{x⎪⎪⎪⎪ )x －2x ≤0，x ∈N }＝{1，2}，B ＝{x|1≤2x ≤16，x ∈Z }＝{0，1，2，3，4}，所以A ∩B ＝{1，2}．2．B [解析] 依题意知直线ax －by ＋1＝0过圆C 的圆心(－1，2)，即a ＋2b ＝1，由1＝a ＋2b ≥2 2ab ab ≤18，故选B. 3．C [解析] 画图可知，四个角点分别是A(0，－2)，B(1，－1)，C(1，1)，D(0，2)，可知z max ＝z A ＝6.4．D [解析] A 区域为(－22，则直线x ＋y ＝a 从(－2，0)开始扫过，扫到区域一半时停止，所以扫过A 中部分的区域的面积为1.5．A [解析] 由已知可知方程ax 2＋2x ＋b ＝0(a ≠0)有两个相等的实数解，故Δ＝0，即ab ＝1.a 2＋b 2a －b ＝（a －b ）2＋2ab （a －b ）＝(a －b)＋2（a －b ），因为a>b ，所以(a －b)＋2（a －b ）≥2 2. 6．20 [解析] 如图所示，利用所给的图形关系，可知△ADE 与△ABC 相似，设矩形的另一边长为y ，则S △ADE S △ABC ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫40－y 402＝x （40－y ）402，所以y ＝40－x ，又有xy ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22＝400成立，当且仅当x ＝40－x 时等号成立，则有x ＝20，故其边长x 为20 m.7．B [解析] 作出不等式组对应的可行域如图所示，由z ＝3x －2y 得y ＝32x －z 2.由图像可知当直线y ＝32x －z 2经过点C(0，2)时，直线的截距最大，而此时z ＝3x －2y 最小，最小值为－4.8．B [解析] m ≤⎝⎛⎭⎫2x ＋1y (2x ＋y)＝5＋2⎝⎛⎭⎫x y ＋y x ，⎣⎦⎤5＋2⎝⎛⎭⎫x y ＋y x min＝9，所以m 的最大值为9.9．B [解析] 令x ＋y ＝u ，y ＝v ，则点Q(u ，v)满足⎩⎪⎨⎪⎧0≤u －v ≤1，0≤u ≤2，在uOv 平面内画出点Q(u ，v)B.10．B [解析] 不等式组⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ＋y ≤1，－1≤x －y ≤1表示的可行域是边长为2的正方形，所以S 正＝2.x 2＋y 2≤12恰好在正方形的内部，且圆的面积为πr 2＝12π，所以点(x ，y)在圆面x 2＋y 2≤12内部的概率为12π2＝π4. 11．C [解析] 根据已知，设需要A 型车x 辆，B 型车y 辆，则根据题设，有⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤21，y －x ≤7，x ≥0，y ≥0，36x ＋60y ＝900，画出可行域，求出三个顶点的坐标分别为A(7，14)，B(5，12)，C(15，6)，目标函数(租金)为k ＝1600x ＋2400y ，如图所示，将点B 的坐标代入其中，即得租金的最小值，即k ＝1600×5＋2400×12＝36 800(元)．12．3 [解析] 画出约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ≥0，y ≥x ，y ≥－x ＋94表示的可行域，如图所示，由可行域知目标函数z ＝2x ＋y 过点⎝⎛⎭⎫34，32时取最小值，此时最小值为z min ＝2×3＋32＝3. 13．(－25，35) [解析] 画出可行域，如图所示，得到最优解(3，3)．把z ＝ax －y 变为y ＝ax －z ，即研究－z 的最大值．当a ∈⎛⎭⎫－23，35时，y ＝ax －z 均过(3，3)时截距－z 最大． 14.t ≥2或t ＝0或t f(－1)＝－1，所以最大值为f(1)＝1，要使f(x)≤t 2－2at ＋1对所有的x ∈[－1，1]都成立，则1≤t 2－2at ＋1，即t 2－2at ≥0，设g(a)＝t 2－2at(－1≤a ≤1)，欲使t 2－2at ≥0恒成立，则⎩⎪⎨⎪⎧g （－1）≥0，g （1）≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧t 2＋2t ≥0，t 2－2t ≥0，解得t ≥2或t ＝0或t ≤－2.。

专题限时集训(四)A[第4讲 不等式与简单的线性规划](时间：30分钟)1．设0<a <1，且m ＝log a (a 2＋1)，n ＝log a (a ＋1)，p ＝log a (2a )，则m ，n ，p 的大小关系为( )A ．n >m >pB ．m >p >nC ．m >n >pD ．p >m >n2．已知向量a ＝(x －1，2)，b ＝(4，y )，若a ⊥b ，则9x＋3y的最小值为( ) A ．2 3 B ．6 C ．12 D ．3 23．已知变量x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，y ≤2，x －y ≤0，则x ＋y 的最小值是( )A ．4B ．3C ．2D ．14．在坐标平面内，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≥2|x |－1，y ≤x ＋1所表示的平面区域的面积为( )A ．24 B.83C.223D ．25．函数y ＝x 2＋2x ＋2x ＋1(x >－1)的图象最低点坐标是( )A ．(1，2)B ．(1，－2)C ．(1，1)D ．(0，2)6．在R 上定义运算⊗：x ⊗y ＝x (1－y )．若不等式(x －a )⊗(x －b )>0的解集是[2，3]，则a ＋b 的值是( )A ．1B ．2C ．4D ．87．若直线2ax －by ＋2＝0(a >0，b >0)被圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0所截得的弦长为4，则1a＋1b的最小值为( )A.14B.12 C ．2 D ．48．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≥1，y ≤2x －1，x ＋y ≤m ，如果目标函数z ＝x －y 最小值的取值范围是[－2，－1]，则目标函数最大值的取值范围是( )A ．[1，2]B ．[3，6]C ．[5，8]D ．[7，10]9．若不等式x 2＋ax ＋4≥0对一切x ∈(0，1]恒成立，则a 的取值范围是________． 10．某公司一年购买某种货物200 t ，分成若干次均匀购买，每次购买的运费为2万元，一年存储费用恰好为每次的购买吨数(单位：万元)，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则每次应购买________t.11．设变量x ，y 满足约束条件：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥3，x －y ≥－1，2x －y ≤3，则目标函数z ＝y ＋1x的最小值为________．12．在约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，y ＋x ≤s ，y ＋2x ≤4下，当3≤s ≤5时，目标函数z ＝3x ＋2y 的最大值的变化范围是________．专题限时集训(四)A【基础演练】1．D [解析] 由于0<a <1，∴2a <a 2＋1，2a <a ＋1，a 2＋1<a ＋1，故2a <a 2＋1<a ＋1，故log a (2a )>log a (a 2＋1)>log a (a ＋1)，即p >m >n .正确选项D.2．B [解析] a ·b ＝4x －4＋2y ＝0，即2x ＋y ＝2，9x＋3y≥29x·3y＝232x ＋y＝232＝6(当2x ＝y ＝1时取等号)．3.C [解析] 不等式组表示的平面区域如图中的△ABC ，目标函数z ＝x ＋y 的几何意义是直线y ＝－x ＋z 在y 轴上的截距，根据图形，在点A 处目标函数取得最小值．由y ＝x ，x ＝1解得A (1，1)，故目标函数的最小值为1＋1＝2.4．B [解析] 不等式组表示的平面区域如图中的△ABC ，由y ＝x ＋1，y ＝2x －1得点B 的横坐标为2，由y ＝－2x －1，y ＝x ＋1得点C 的横坐标为－23.所以S △ABC ＝12|AD |(|x C |＋|x B |)＝12×2×23＋2＝83.【提升训练】5．D [解析] y ＝（x ＋1）2＋1x ＋1＝(x ＋1)＋1x ＋1≥2，取“＝”号时x ＝0.6．C [解析] 不等式(x －a )⊗(x －b )>0，即不等式(x －a )[1－(x －b )]>0，即(x －a )[x －(b ＋1)]<0，该不等式的解集为[2，3]，说明方程(x －a )[x －(b ＋1)]＝0的两根之和等于5，即a ＋b ＋1＝5，即a ＋b ＝4.正确选项为C.7．D [解析] 圆的方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝4，圆的直径为4，直线2ax －by ＋2＝0被圆截得的弦长为4，即直线过圆的圆心，所以－2a －2b ＋2＝0，即a ＋b ＝1，所以1a ＋1b＝(a ＋b )1a ＋1b ＝2＋b a ＋ab≥2＋2b a ·a b ＝4，等号当且仅当a ＝b ＝12时成立． 8.B [解析] (x ，y )满足的区域如图，变换目标函数为y ＝x －z ，当z 最小时就是直线y ＝x －z 在y 轴上的截距最大时．当z 的最小值为－1时，直线为y ＝x ＋1，此时点A 的坐标是(2，3)，此时m ＝2＋3＝5；当z ＝－2时，直线为y ＝x ＋2，此时点A 的坐标是(3，5)，此时m ＝3＋5＝8.故m 的取值范围是[5，8]．目标函数的最大值在点B (m －1，1)取得，即z max ＝m －1－1＝m －2，故目标函数最大值的取值范围是[3，6]．正确选项B.9．[－5，＋∞) [解析] 分离参数后得，a ≥－x ＋4x ，设f (x )＝－x ＋4x，则只要a ≥f (x )max ，由于函数f (x )在(0，1]上单调递增，所以f (x )max ＝f (1)＝－5，故a ≥－5.10．20 [解析] 设每次都购买x 吨，则需要购买200x 次，则一年的总运费为200x ×2＝400x，一年的储存费用为x ，则一年的总费用为400x＋x ≥2400x ·x ＝40，等号当且仅当400x＝x ，即x ＝20时成立，故要使一年的总运费与总存储费用之和最小，每次应购买20 t ．(注：函数类实际应用问题的关键是找到影响问题中各个变化量的一个基本量，利用这个基本量去表示求解目标需要的各个量，这是分析求解函数应用题的基本思考方法)11．1 [解析] 不等式表示的平面区域如图，目标函数的几何意义是区域内的点与点(0，－1)连线的斜率，结合图形，显然在点B 处目标函数取得最小值．由2x －y ＝3，x ＋y ＝3，得B (2，1)，所以z min ＝y ＋1x ＝y －()－1x －0＝1－（－1）2－0＝1.12.[7，8] [解析] (1)当3≤s <4时，可行域是四边形OABD (图(1))，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝s ，y ＋2x ＝4⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4－s ，y ＝2s －4，交点为A (0，2)，B (4－s ，2s －4)，C (0，4)，D (0，s )，此时目标函数在点B 处取得最大值，这个最大值是3(4－s )＋2(2s －4)＝s ＋4，7≤z <8；(2)当4≤s ≤5时，可行域是△OAC (图(2))，此时目标函数在点C 处取得最大值，z max ＝8. 综上可知目标函数的取值范围是[7，8]．。

专题限时集训(四)B[第4讲 不等式与简单的线性规划](时间：30分钟)1．不等式ax 2＋bx ＋2>0的解集是⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，13，则a ＋b 的值是( )A ．10B ．－10C ．14D ．－142．某汽车运输公司，购买了一批豪华大客车投入运营，据市场分析每辆客车运营的总利润y (单位：10万元)与运营年数x 的函数关系为y ＝－(x －6)2＋11(x ∈N *)，则要使每辆客车运营的年平均利润最大，每辆客车的运营年限为( )A ．3年B ．4年C ．5年D ．6年3．已知x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ，x ＋y ≥2，x ≤2，则z ＝2x ＋y 的最大值与最小值的比值为( )A.12B.43C.32D ．2 4．已知a >0，b >0，且2a ＋b ＝4，则1ab的最小值为( ) A.14 B ．4 C.12D ．2 5．若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，y ＋x ≤s ，y ＋2x ≤4表示的平面区域是一个三角形，则实数s 的取值范围是( )A ．0<s ≤2或s ≥4 B．0<s ≤2 C ．s ≥4 D．s ≤2或s ≥46．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥x ，4x ＋3y ≤12，则x ＋2y ＋3x ＋1的取值范围是( )A ．[1,5]B ．[2,6]C ．[3,10]D ．[3,11]7．已知O 为坐标原点，A ，B 两点的坐标均满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋1≤0，x ＋y －3≤0，x －1≥0，则tan ∠AOB的最大值等于( )A.12B.34C.47D.948．某企业准备投资A ，B 两个项目建设，资金来源主要靠企业自筹和银行贷款两份资金构成，具体情况如下表．投资A 项目资金不超过160万元，B 项目不超过200万元，预计建成后，自筹资金每份获利12万元，银行贷款每份获利10万元，为获得总利润最大，那么两份资金分别投入的份数是( )单位：万元A.自筹资金4B ．自筹资金3份，银行贷款3份 C ．自筹资金2份，银行贷款4份 D ．自筹资金2份，银行贷款2份9．已知函数g (x )是R 上的奇函数，且当x <0时g (x )＝－ln(1－x )，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3x ，g xx ，若f (2－x 2)>f (x )，则实数x 的取值范围是( )A ．(－2,1)B ．(－∞，－2)∪(1，2)∪(2，＋∞)C ．(－1,2)D ．(－2，－2)∪(－2，0)∪(0,1) 10．已知a ，b 为非零实数，且a <b ，则下列不等式 ①a 2<b 2；②ab 2<a 2b ；③1ab 2<1a 2b；④b a <ab；⑤a 3b 2<a 2b 3.其中恒成立的序号是________．11．已知M ，N 为平面区域⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －6≤0，x －y ＋2≥0，x ≥0内的两个动点，向量a ＝(1,3)，则MN →·a的最大值是________．12．设x ，y ∈(0,2]，且xy ＝2，且6－2x －y ≥a (2－x )(4－y )恒成立，则实数a 的取值范围是________．专题限时集训(四)B【基础演练】1．D [解析] ax 2＋bx ＋2＝0的两根为－12，13，∴⎩⎪⎨⎪⎧－b a ＝－12＋13，2a ＝－16，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－12，b ＝－2，∴a ＋b ＝－14.2．C [解析] y x＝－x ＋25x＋12≤－2x ·25x ＋12，当且仅当x ＝25x，即x ＝5时等号成立．D [解析] 不等式组表示的平面区域如图，目标函数z ＝2x ＋y ，即y ＝－2x ＋z ，z 的几何意义是直线y ＝－2x ＋z 在y 轴上的截距，则过点A 时取得最小值，过点C 时取得最大值．由y ＝x ，x ＋y ＝2解得A (1,1)，故目标函数的最小值为3；由x ＝2，y ＝x 得C (2,2)，故目标函数的最大值为6.所以目标函数的最大值与最小值的比为63＝2.4．C [解析] 由2a ＋b ＝4，得4≥22ab ，所以ab ≤2，所以1ab ≥12.【提升训练】5．A [解析] 如图，⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，y ＋2x ≤4表示的区域是图中的△OAB ，其中A (2,0)，B (0,4)，由于区域y ＋x ≤s 是直线x ＋y ＝s 及其下方的区域，显然当s ≥4时就是区域⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，y ＋2x ≤4，其图形是三角形；当2<s <4时，区域是一个四边形；当0<s ≤2时，区域又是三角形；当s ＝0时区域变成了坐标原点；当s <0时，区域是空集．故实数s 的取值范围是0<s ≤2或s ≥4.6．D [解析] 变换求解目标为1＋2·y ＋1x ＋1，令z ＝y ＋1x ＋1，其几何意义是区域⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥x ，4x ＋3y ≤12内的点到点M (－1，－1)连线的斜率．如图，显然z 的值满足k MA ≤z ≤k MB ，k MA ＝1，k MB ＝5，故1≤z ≤5，所以3≤x ＋2y ＋3x ＋1≤11.B [解析] 不等式组表示的平面区域如图中的△ABC .根据正切函数的单调性，在∠AOB 为锐角的情况下，当∠AOB 最大时tan ∠AOB 最大．结合图形，在点A ，B 位于图中位置时∠AOB 最大．由x －3y ＋1＝0，x ＋y －3＝0得A (2,1)，由x ＝1，x ＋y －3＝0得B (1,2)．所以tan ∠xOA ＝12，tan ∠xOB ＝2，所以tan ∠AOB ＝tan(∠xOB －∠xOA )＝2－121＋2×12＝34.8．C [解析] 设自筹资金x 份，银行贷款资金y 份，由题意⎩⎪⎨⎪⎧20x ＋30y ≤160，40x ＋30y ≤200，x ，y ≥0.目标函数z ＝12x ＋10y .由于目标函数直线的斜率为－65，不等式组区域边界的直线斜率为－23，－43，而－43<－65<－23，所以目标函数取得最大值的点一定是直线20x ＋30y ＝160,40x ＋30y ＝200的交点，解得交点坐标为(2,4)，故当x ＝2，y ＝4时，z max ＝64.9．D [解析] 当x >0时，g (x )＝－g (－x )＝ln(1＋x )，而当x ＝0时，x 3＝ln(1＋x )＝0，则根据y ＝x 3，y ＝ln(1＋x )都是单调递增的，可得函数f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增，所以f (2－x 2)>f (x )等价于2－x 2>x ，即x 2＋x －2<0，解得－2<x <1.注意到函数的定义域，还应该有2－x 2≠0，x ≠0，即x ≠±2，x ≠0，所以实数x 的取值范围是(－2，－2)∪(－2，0)∪(0,1)．(注：本题极易忽视函数的定义域导致错误)10．③⑤ [解析] a 2<b 2⇔(a ＋b )(a －b )<0，在a <b 时，这个不等式只有当a ＋b >0时才成立，已知不能保证，故①不恒成立；ab 2<a 2b ⇔ab (b －a )<0，在a <b 的情况下，只有ab <0时才成立，已知条件不具备，故②不恒成立；1ab 2<1a 2b ⇔1ab 2－1a 2b <0⇔a 2b －ab 2a 3b 3<0⇔ab a －ba 3b 3<0⇔a －b <0⇔a <b ，故③恒成立； b a <a b ⇔b 2－a 2ab <0⇔b ＋a b －a ab <0，在a <b 时只有当a ＋b ab＜0才能成立，这个不等式不是恒成立的，故④不恒成立；a 3b 2<a 2b 3⇔a 2b 2(a －b )<0⇔a －b <0⇔a <b ，故⑤恒成立．能够恒成立的不等式的序号是③⑤.11．40 [解析] 不等式组表示的平面区域如图中的△ABC .设区域内的点M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则MN →·a ＝(x 2－x 1，y 2－y 1)·(1,3)＝(x 2＋3y 2)－(x 1＋3y 1)，只有当x 2＋3y 2最大且x 1＋3y 1最小时MN →·a 取得最大值．设z ＝x ＋3y ，则目标函数的最值与直线y ＝－13x ＋z3在y 轴上的截距成正比，结合图形，在点B 处目标函数取得最大值，在点A 处目标函数取得最小值．由3x －y －6＝0，x －y ＋2＝0得B (4,6)；由x ＝0,3x －y －6＝0得A (0，－6)．所以目标函数的最大值z max ＝4＋3×6＝22，最小值z min ＝0＋3×(－6)＝－18，所以MN →·a 的最大值为22＋18＝40，此时点M ，N 分别位于图中的点A ，B .12．(－∞，1] [解析] 不等式6－2x －y ≥a (2－x )(4－y )，即6－2x －y ≥a (10－4x －2y )，令t ＝2x ＋y ，即不等式6－t ≥a (10－2t )，即(2a －1)t ＋6－10a ≥0恒成立．由于xy ＝2，所以y ＝2x ≤2，x ∈[1,2]，所以t ＝2x ＋2x ，t ′＝2－2x2，当x ∈[1,2]时，t ′≥0，所以函数t ＝2x ＋2x在[1,2]上单调递增，所以t 的取值范围是[4,5]．设f (t )＝(2a －1)t ＋6－10a ，则f (t )≥0在区间[4,5]恒成立，因此只要f (4)≥0且f (5)≥0即可，即2－2a ≥0且1≥0，解得a ≤1，故实数a 的取值范围是(－∞，1]．。

专题限时集训(四)A[第4讲 坐标系与参数方程](时间：30分钟)1．设A ，B 分别为直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－10＋3t ，y ＝3t(t 为参数)和曲线C ：ρ＝4cos θ上的点，则|AB|的最小值为________．2．在极坐标系中，圆ρ＝4sin θ的圆心到直线θ＝π6(ρ∈R )的距离是________． 3．在极坐标系中，曲线ρ＝－4sin θ和ρcos θ＝1相交于A ，B 两点，则|AB|＝________．4．直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋4t ，y ＝－1－2t (t 为参数)，圆C ：ρ＝22cos(θ＋π4)(极点与原点重合，极轴与x 轴的非负半轴重合，且单位长度相同)，若直线l 被圆C 截得的弦长为6 55，则实数a 的值为________．5．若P 是极坐标方程为θ＝π3(ρ∈R )的直线与参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝1＋cos 2θ(θ为参数，且θ∈R )的曲线的交点，则P 的直角坐标为________．6．在直线坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．直线ρsin(θ＋π4)＝22与曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin α＋cos α，y ＝sin αcos α(α为参数)的交点的直角坐标为________．7．设极点与原点重合，极轴与x C 1的极坐标方程为ρcos(θ＋π3)＝m ，曲线C 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)，若两曲线有公共点，则实数m 的取值范围为________．8．在平面直角坐标系中，直线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝1－t (t 是参数)被圆C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ(θ是参数)截得的弦长为________．9．在极坐标系中，已知两点A ，B 的极坐标分别为(3，π3)，(4，π6)，则△AOB(其中O 为极点)的面积为________．10．在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t ＋1(t 为参数)，曲线C 2的极坐标方程为ρsin θ－ρcos θ＝3，则曲线C 1与C 2的交点在直角坐标系中的坐标为________．11．已知圆C 的圆心是直线ρcos θ－ρsin θ＋1＝0与x 轴的交点，且圆C 与直线ρcos θ＋ρsin θ＋3＝0相切，则圆C 的方程为________．12．已知曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)，则曲线C 上的点到直线3x －4y ＋4＝0的距离的最大值为________．13.已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ，y ＝3t (t 为参数)，曲线C 的极坐标方程为ρ2cos 2θ＝1，则直线l 被曲线C 截得的弦长为________．14．已知直线l 的极坐标方程为θ＝π4(ρ∈R )，它与曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2cos α，y ＝2＋2sin α(α为参数)相交于A ，B 两点，则|AB|＝________．专题限时集训(四)A1．4 [解析] 直线l 的一般方程为x －3y ＋10＝0，曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－4x ＝0，可知圆心C(2，0)，半径r ＝2，点C(2，0)到直线l 的距离为d ＝|2－0＋10|1＋3＝6，故|AB|min ＝6－2＝4.2.3 [解析] 由ρ＝4sin θ得圆的直角坐标方程为x 2＋(y －2)2＝4，则圆心的坐标为(0，2)．直线θ＝π6(ρ∈R )的直角坐标方程为x －3y ＝0，所以点C(0，2)到直线θ＝π6(ρ∈R )的距离是 3.3．2 3 [解析] 由题意可知，直线方程为x ＝1，曲线方程为x 2＋(y ＋2)2＝4，该曲线是圆，其圆心(0，－2)到直线的距离d ＝1.又圆的半径为2，利用圆的弦长公式得|AB|＝2r 2－d 2＝2 3.4．0或2 [解析] 由题意可知，在平面直角坐标系下直线方程为x ＋2y ＋(2－a)＝0，圆的方程为x 2＋y 2＝2x －2y ，即(x －1)2＋(y ＋1)2＝2，所以圆心为(1，－1)，半径r ＝ 2.若直线l 被圆C 截得的弦长为6 55，则圆心到直线的距离d ＝r 2－（3 55）2＝2－95＝55.又d ＝|1－2＋2－a|1＋22＝|1－a|5＝55，即|1－a|＝1，解得a ＝0或a ＝2. 5．(0，0) [解析] 直线为y ＝3x ①，曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝1＋cos 2θ＝2cos 2θ即y ＝12x 2(x ∈[－2，2])②，联立①②可解得x ＝0或x ＝2 3(舍)，故交点为P(0，0)．6．(1，0) [解析] 依题意可知，直线的直角坐标方程为x ＋y ＝1①，曲线的普通方程为x 2＝1＋2y(－2≤x ≤2)②，联立方程①②，解得x ＝1或x ＝－3(舍去)，故交点坐标为(1，0)． 7．[－1，3] [解析] 将两曲线方程化为直角坐标方程分别为C 1：x －3y －2m ＝0，C 2：(x －2)2＋y 2＝4.由于两曲线有公共点，则|2－2m|2≤2，即－1≤m ≤3，故m ∈[－1，3]． 8.2 [解析] 圆C 2的普通方程为x 2＋y 2＝1，圆心为(0，0)，半径为1，直线C 1的普通方程为x ＋y －1＝0.圆心到直线C 1的距离d ＝12，故直线C 1与圆C 2相交所得的弦长为21－（12）2＝ 2. 9．3 [解析] A ，B 的极坐标分别为(3，π3)，(4，π6)，则S △ABC ＝12OA ·OB ·sin ∠AOB ＝12×3×4×sin π6＝3. 10．(2，5) [解析] 曲线C 2的直角坐标方程为y －x ＝3，将C 1的参数方程代入得t ＋1－t ＝3，解得t ＝4，因此两曲线C 1与C 2的交点坐标为(2，5)．11．(x ＋1)2＋y 2＝2 [解析] 依题可得直线ρcos θ－ρsin θ＋1＝0的直角坐标方程为x －y ＋1＝0，令y ＝0，得x ＝－1，即圆心为C(－1，0)．直线ρcos θ＋ρsin θ＋3＝0的直角坐标方程为x ＋y ＋3＝0.因为圆C 与直线x ＋y ＋3＝0相切，所以半径r ＝|－1＋0＋3|2＝2，所以圆C 的方程为(x ＋1)2＋y 2＝2.12．3 [解析] 由题可知曲线C 的普通方程为(x －2)2＋y 2＝1，则曲线C 上的点到直线3x －4y ＋4＝0的距离的最大值为圆心到直线的距离加上半径．又圆心到直线的距离为d ＝|3×2－0＋4|32＋42＝2，故所求最大值为3.13．210 [解析] 由题意可知，把直线的参数方程化为标准方程为y ＝3(x －2)①，曲线C 的直角坐标方程为x 2－y 2＝1②.联立方程①②消y 得2x 2－12x ＋13＝0，由弦长公式可得|AB|＝1＋k 2·（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝210.14.14 [解析] 依题可得直线l 的直角坐标方程为y ＝x ①，曲线C 的普通方程为(x －1)2＋(y －2)2＝4②，联立方程①②，解得交点坐标为(3＋72，3＋72)，(3－72，3－72)，所以|AB|＝14.。

限时集训(三十六) 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题(限时：45分钟 满分：81分)一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分) 1．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋3y ≥4，3x ＋y ≤4所表示的平面区域的面积等于( )A.32 B.23 C.43D.342．在平面直角坐标系xOy 中，满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧|x |≤|y |，|x |<1的点(x ，y )的集合用阴影表示为下列图中的( )3．(2012·天津高考)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －2≥0，x －2y ＋4≥0，x －1≤0，则目标函数z ＝3x －2y的最小值为( )A ．－5B ．－4C ．－2D ．34．若实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≤0，x >0，y ≤2，则yx的取值范围是( ) A ．(0,2) B ．(0,2] C ．(2，＋∞)D ．[2，＋∞)5．(2012·辽宁高考)设变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≤10，0≤x ＋y ≤20，0≤y ≤15，则2x ＋3y 的最大值为( ) A ．20B ．35C ．45D ．556．(2013·衡水模拟)点P (2，t )在不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y －4≤0，x ＋y －3≤0，表示的平面区域内，则点P (2，t )到直线3x ＋4y ＋10＝0距离的最大值为( )A ．2B ．4C ．6D ．8二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)7．已知点(－3，－1)和点(4，－6)在直线3x －2y －a ＝0的两侧，则a 的取值范围为________．8．(2013·濮阳模拟)已知点A (2,0)，点P 的坐标(x ，y )满足⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3≤0，3x ＋5y ≤25，x －1≥0，则|OP|·cos∠AOP (O 为坐标原点)的最大值是________．9．某公司租赁甲、乙两种设备生产A ，B 两类产品，甲种设备每天能生产A 类产品5件和B 类产品10件，乙种设备每天能生产A 类产品6件和B 类产品20件．已知设备甲每天的租赁费为200元，设备乙每天的租赁费为300元，现该公司至少要生产A 类产品50件，B 类产品140件，所需租赁费最少为________元．三、解答题(本大题共3小题，每小题12分，共36分) 10．(2013·合肥模拟)画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0，x ＋y ≥0，x ≤3表示的平面区域，并回答下列问题：(1)指出x ，y 的取值范围； (2)平面区域内有多少个整点？11．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0，x ＋y ≥0，x ≤3，求z ＝(x ＋1)2＋y 2的最大值．12．(2013·黄山模拟)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，x －y ≥－1，2x －y ≤2，(1)求目标函数z ＝12x －y ＋12的最值．(2)若目标函数z ＝ax ＋2y 仅在点(1,0)处取得最小值，求a 的取值范围．限时集训(三十六) 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题答 案1．C 2.C 3.B 4.D 5.D 6.B 7．(－7,24) 8.5 9.2 30010．解：(1)不等式x －y ＋5≥0表示直线x －y ＋5＝0上及其右下方的点的集合，x ＋y ≥0表示直线x ＋y ＝0上及其右上方的点的集合，x ≤3表示直线x ＝3上及其左方的点的集合．所以，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0，x ＋y ≥0，x ≤3表示的平面区域如图所示． 结合图中可行域得x ∈⎣⎡⎦⎤－52，3， y ∈[－3,8]．(2)由图形及不等式组知 ⎩⎪⎨⎪⎧－x ≤y ≤x ＋5，－52≤x ≤3，且x ∈Z ， 当x ＝3时，－3≤y ≤8，有12个整点； 当x ＝2时，－2≤y ≤7，有10个整点； 当x ＝1时，－1≤y ≤6，有8个整点； 当x ＝0时，0≤y ≤5，有6个整点； 当x ＝－1时，1≤y ≤4，有4个整点； 当x ＝－2时，2≤y ≤3，有2个整点； ∴平面区域内的整点共有 2＋4＋6＋8＋10＋12＝42(个)．11．解：作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0，x ＋y ≥0，x ≤3表示的平面区域，如图中阴影部分所示．(x ＋1)2＋y 2可看作点(x ，y )到点P (－1,0)的距离的平方，由图象可知可行域内的点A 到点P (－1,0)的距离最大．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，x －y ＋5＝0，得A 点的坐标为(3,8)，代入z ＝(x ＋1)2＋y 2，得z max ＝(3＋1)2＋82＝80.12．解：(1)作出可行域如图，可求得A (3,4)，B (0,1)，C (1,0)．平移初始直线12x －y ＋12＝0，过A (3,4)取最小值－2，过C (1,0)取最大值1.∴z 的最大值为1，最小值为－2.(2)直线ax ＋2y ＝z 仅在点(1,0)处取得最小值，由图象可知－1<－a2<2，解得－4<a <2.故所求a 的取值范围为(－4,2)．。

专题限时集训(二十) 不等式与线性规划A 组 高考题、模拟题重组练]一、根本不等式1．(2021·安庆二模)a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝1a ＋1b ，那么1a ＋2b最小值为( )A ．4B ．22C ．8D ．16B 由a ＋b ＝1a ＋1b，有ab ＝1，那么1a ＋2b≥21a ×2b＝2 2.]2．(2021·长沙一模)假设实数a ，b 满足1a ＋2b＝ab ，那么ab最小值为( )A. 2 B ．2 C ．2 2D ．4C 依题意知a ＞0，b ＞0，那么1a ＋2b ≥22ab＝22ab，当且仅当1a ＝2b ，即b ＝2a 时，“＝〞成立，因为1a ＋2b＝ab ，所以ab≥22ab，即ab ≥22，所以ab 最小值为22，应选C.]3．(2021·武汉一模)假设2x＋4y＝4，那么x＋2y最大值是________.【导学号：85952077】2因为4＝2x＋4y＝2x＋22y≥22x×22y＝22x＋2y，所以2x ＋2y≤4＝22，即x＋2y≤2，当且仅当2x＝22y＝2，即x＝2y＝1时，x＋2y取得最大值2.]4．(2021·江苏高考)在锐角三角形ABC中，假设sin A＝2sin B sin C，那么tan A tan B tan C最小值是________．8在锐角三角形ABC中，∵sin A＝2sin B sin C，∴sin(B＋C)＝2sin B sin C，∴sin B cos C＋cos B sin C＝2sin B sin C，等号两边同除以cos B cos C，得tan B＋tan C＝2tan B tan C.∴tan A＝tanπ－(B＋C)]＝－tan(B＋C)＝tan B＋tan C tan B tan C－1＝2tan B tan Ctan B tan C－1.①∵A，B，C均为锐角，∴tan B tan C－1>0，∴tan B tan C>1.由①得tan B tan C＝tan A tan A－2.又由tan B tan C>1得tan Atan A－2>1，∴tan A>2.∴tan A tan B tan C＝tan 2Atan A －2＝tan A －22＋4tan A －2＋4tan A －2＝(tan A －2)＋4tan A －2＋4≥24＋4＝8，当且仅当tan A －2＝4tan A －2，即tan A ＝4时取得等号．故tan A tan B tan C 最小值为8.] 二、线性规划问题5．(2021·山东高考)假设变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2，2x －3y ≤9，x ≥0，那么x 2＋y 2最大值是( )A ．4B ．9C ．10D ．12C 作出不等式组表示平面区域，如图中阴影局部所示．x 2＋y 2表示平面区域内点到原点距离平方，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，2x －3y ＝9得A (3，－1)，由图易得(x 2＋y 2)max ＝|OA |2＝32＋(－1)2＝10.应选C.]6．(2021·浙江高考)假设平面区域⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≥0，2x －y －3≤0，x －2y ＋3≥0夹在两条斜率为1平行直线之间，那么这两条平行直线间距离最小值是( )A.355B ．2C.322D.5B 根据约束条件作出可行域如图阴影局部，当斜率为1直线分别过A 点与B 点时满足条件，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3＝0，x －2y ＋3＝0求得A (1,2)，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －3＝0，x ＋y －3＝0求得B (2,1)，可求得分别过A ，B 点且斜率为1两条直线方程为x －y ＋1＝0与x －y －1＝0，由两平行线间距离公式得距离为|1＋1|2＝2，应选B.]7．(2021·北京高考)A (2,5)，B (4,1)．假设点P (x ，y )在线段AB 上，那么2x －y 最大值为( )A ．－1B ．3C ．7D ．8C 作出线段AB ，如下图．作直线2x －y ＝0并将其向下平移至直线过点B (4,1)时，2x －y 取最大值为2×4－1＝7.]8．(2021·全国丙卷)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋1≥0，x －2y －1≤0，x ≤1，那么z ＝2x ＋3y －5最小值为________．－10 画出不等式组表示平面区域如图中阴影局部所示．由题意可知，当直线y ＝－23x ＋53＋z3过点A (－1，－1)时，z 取得最小值，即z min ＝2×(－1)＋3×(－1)－5＝－10.]9．(2021·全国乙卷)某高科技企业生产产品A 与产品B 需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A 需要甲材料1.5 kg ，乙材料1 kg ，用5个工时；生产一件产品B 需要甲材料0.5 kg ，乙材料0.3 kg ，用3个工时．生产一件产品A 利润为2 100元，生产一件产品B 利润为900元．该企业现有甲材料150 kg ，乙材料90 kg ，那么在不超过600个工时条件下，生产产品A 、产品B 利润之与最大值为________元．216 000 设生产A 产品x 件，B 产品y 件，那么错误!目标函数z ＝2 100x ＋900y .作出可行域为图中阴影局部(包括边界)内整数点，图中阴影四边形顶点坐标分别为(60,100)，(0,200)，(0,0)，(90,0)．当直线z ＝2 100x ＋900y 经过点(60,100)时，z 取得最大值，z max ＝2 100×60＋900×100＝216 000(元)．]10．(2021 ·全国卷Ⅰ)假设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥0，x －y ≤0，x ＋y －4≤0，那么yx最大值为________．3 画出可行域如图阴影所示，∵yx表示过点(x ，y )与原点(0,0)直线斜率，∴点(x ，y )在点A 处时yx最大．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，x ＋y －4＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝3.∴A (1,3)．∴yx最大值为3.] B 组 “12＋4〞模拟题提速练]一、选择题1．(2021·邯郸二模)a ＜b ＜0，那么以下不等式成立是( )【导学号：85952078】A ．a 2＜b 2B ．a b＜1C ．a ＜1－bD.1a ＜1bC 因为a ＜b ＜0，所以a 2＞b 2，a b ＞1，1a ＞1b，a ＋b ＜1. 因此A ，B ，D 不正确，C 正确．]2．(2021·长春一模)一元二次不等式f (x )＜0解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪⎪x ＜－1或x ＞13，那么f (e x )＞0解集为( )A ．{x |x ＜－1或x ＞－ln 3}B ．{x |－1＜x ＜－ln 3}C ．{x |x ＞－ln 3}D ．{x |x ＜－ln 3} Df (x )＞0解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪⎪－1＜x ＜13，那么由f (e x)＞0得－1＜e x＜13，解得x ＜－ln 3，即f (e x )＞0解集为{x |x ＜－ln 3}．]3．(2021·武汉联考)g (x )是R 上奇函数，当x ＜0时，g (x )＝－ln(1－x )，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3，x ≤0，g x ，x ＞0，假设f (2－x 2)＞f (x )，那么实数x 取值范围是( )A ．(－∞，1)∪(2，＋∞)B ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)C ．(1,2)D ．(－2,1)D 设x ＞0，那么－x ＜0，所以g (－x )＝－ln(1＋x )，因为g (x )是R 上奇函数，所以g (x )＝－g (－x )＝ln(1＋x )，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3，x ≤0，ln 1＋x ，x ＞0，易知f (x )是R 上单调递增函数，所以原不等式等价于2－x 2＞x ，解得－2＜x ＜1.应选D.]4．(2021·重庆一模)假设log 4(3a ＋4b )＝log 2ab ，那么a ＋b 最小值是( )A ．6＋2 3B ．7＋23C ．6＋4 3D ．7＋43D 由log 4(3a ＋4b )＝log 2ab ，得3a ＋4b ＝ab ，且a ＞0，b ＞0，∴a ＝4b b －3，由a ＞0，得b ＞3.∴a ＋b ＝b ＋4b b －3＝b ＋4b －3＋12b －3＝(b －3)＋12b －3＋7≥212＋7＝43＋7，即a ＋b 最小值为7＋4 3.]5．(2021·德阳模拟)P (x ，y )为区域⎩⎪⎨⎪⎧y 2－x 2≤0，0≤x ≤a内任意一点，当该区域面积为4时，z ＝2x －y 最大值是( )A ．6B ．0C ．2D ．22A 由⎩⎪⎨⎪⎧y 2－x 2≤0，0≤x ≤a作出可行域如图，易求得A (a ，－a )，B (a ，a )，由题意知S △OAB ＝12·2a ·a ＝4，得a ＝2.∴A (2，－2)，当y ＝2x －z 过A 点时，z 最大，z max ＝2×2－(－2)＝6.应选A.]6．(2021·大庆模拟)假设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤0，x －2y －1≥0，x －4y －3≤0，那么z ＝3x ＋5y 取值范围是( )A ．3，＋∞)B ．－8,3]C ．(－∞，9]D ．－8,9]D 作出可行域，如下图阴影局部，由z ＝3x ＋5y ，得y ＝－35x＋15z ，15z 表示直线y ＝－35x ＋15z 在y 轴上截距，截距越大，z 越大， 由图可知，当z ＝3x ＋5y 经过点A 时z 最小；当z ＝3x ＋5y 经过点B 时z 最大，由⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＝3，y ＝0可得B (3,0)，此时z max ＝9，由⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＝3，x －2y ＝1可得A (－1，－1)，此时z min ＝－8，所以z ＝3x ＋5y 取值范围是－8,9]．]7．(2021·贵阳模拟)假设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≤0，y ≤1，x ＞－1，那么(x －2)2＋y 2最小值为( )A.322B ．5C.92D ．5D 作出不等式组对应平面区域如图，设z ＝(x －2)2＋y 2，那么z 几何意义为区域内点到定点D (2,0)距离平方，由图知C ，D 间距离最小，此时z 最小．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝1，x －y ＋1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1，即C (0,1)，此时z min ＝(x －2)2＋y 2＝4＋1＝5，应选D.]8．(2021·石家庄模拟)x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，y ≥－1，4x ＋y ≤9，x ＋y ≤3，假设目标函数z ＝y －mx (m ＞0)最大值为1，那么m 值是( )【导学号：85952079】A ．－209B ．1C ．2D ．5B 作出可行域，如下图阴影局部．∵m ＞0，∴当z ＝y －mx 经过点A 时，z 取最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，x ＋y ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2，即A (1,2)，∴2－m ＝1，解得m ＝1.应选B.]9．(2021·江西师大附中模拟)假设关于x ，y 不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，x ＋y ≥0，kx －y ＋1≥0表示平面区域是等腰直角三角形，那么其表示区域面积为( )A ．1或14B ．12或18C ．1或12D.12或14D 可行域由三条直线x ＝0，x ＋y ＝0，kx －y ＋1＝0所围成，因为x ＝0与x ＋y ＝0夹角为π4，所以x ＝0与kx －y ＋1＝0夹角为π4或x ＋y ＝0与kx －y ＋1＝0夹角为π4.当x ＝0与kx －y ＋1＝0夹角为π4时，可知k ＝1，此时等腰三角形直角边长为22，面积为14；当x ＋y ＝0与kx －y ＋1＝0夹角为π4时，k ＝0，此时等腰三角形直角边长为1，面积为12，所以选D.]10．(2021·泰安模拟)设正实数x ，y ，z 满足x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0，那么当zxy取得最小值时，x ＋2y －z 最大值是( )A ．0B ．98C ．2D.94C z xy ＝x 2－3xy ＋4y 2xy ＝x y －3＋4y x ≥2x y ·4yx－3＝1，当且仅当x y ＝4yx，即x ＝2y 时等号成立．此时z ＝x 2－3xy ＋4y 2＝(2y )2－3·2y ·y ＋4y 2＝2y 2. ∴x ＋2y －z ＝2y ＋2y －2y 2＝－2(y －1)2＋2，∴当y ＝1，x ＝2，z ＝2时，x ＋2y －z 取最大值，最大值为2，应选C.]11．(2021·武汉二模)设m ＞1，x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x ，y ≤mx ，x ＋y ≤1，且目标函数z ＝x ＋my 最大值为2，那么m 取值为( )A ．2B ．1＋2C ．3D ．2＋2B因为m ＞1，由约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x ，y ≤mx ，x ＋y ≤1作出可行域如图，直线y ＝mx与直线x ＋y ＝1交于B ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1m ＋1，m m ＋1，目标函数z ＝x ＋my 对应直线与直线y ＝mx 垂直，且在B ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1m ＋1，m m ＋1处取得最大值，由题意可知1＋m 2m ＋1＝2，又因为m ＞1，解得m ＝1＋ 2.]12．(2021·宿州一模)x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2，y ≥2，x ＋y ≤8时，z ＝x a ＋yb(a ≥b＞0)最大值为2，那么a ＋b 最小值为( )A ．4＋2 3B ．4－23C ．9D ．8A由约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2，y ≥2，x ＋y ≤8作出可行域如图，联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，x ＋y ＝8，解得A (2,6)，化目标函数z ＝x a ＋y b 为y ＝－ba x ＋bz ，由图可知，当直线y ＝－bax ＋bz 过点A 时，直线在y 轴上截距最大，z 有最大值为2a ＋6b＝2，即1a ＋3b＝1.所以a ＋b ＝(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1a ＋3b ＝4＋b a ＋3a b ≥4＋2b a ·3ab＝4＋2 3.当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧1a ＋3b ＝1，b ＝3a ，即a ＝3＋1，b ＝3＋3时取等号．]二、填空题13．(2021·全国甲卷)假设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋y －3≥0，x －3≤0，那么z ＝x －2y 最小值为________．－5不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋y －3≥0，x －3≤0表示可行域如图阴影局部所示．由z ＝x －2y 得y ＝12x －12z .平移直线y ＝12x ，易知经过点A (3,4)时，z 有最小值，最小值为z ＝3－2×4＝－5.]14．(2021·青岛模拟)定义运算“⊗〞：x ⊗y ＝x 2－y 2xy(x ，y ∈R ，xy ≠0)，当x ＞0，y ＞0时，x ⊗y ＋(2y )⊗x 最小值为________.【导学号：85952080】2 当x ＞0，y ＞0时，x ⊗y ＋(2y )⊗x ＝x 2－y 2xy ＋4y 2－x 22yx ＝x 2＋2y 22xy ≥22xy2xy＝ 2.所以所求最小值为 2.]15．(2021·张掖一模)设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≤0，x ＋y ≤4，x ≥1表示平面区域为M ，假设直线l ：y ＝k (x ＋2)上存在区域M 内点，那么k 取值范围是________．⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤13，1 作出不等式组对应平面区域，如下图． 直线y ＝k (x ＋2)过定点D (－2,0)，由图象可知当直线l 经过点A 时，直线斜率最大， 当经过点B 时，直线斜率最小，由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，x ＋y ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝3，即A (1,3)，此时k ＝31＋2＝33＝1，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，x －y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，即B (1,1)，此时k ＝11＋2＝13，故k 取值范围是⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤13，1.] 16．(2021·廊坊一模)正数a ，b ，c 满足b ＋c ≥a ，那么b c ＋c a ＋b最小值为________．2－12因为正数a ，b ，c 满足b ＋c ≥a ，所以b c ＋c a ＋b ≥b c ＋c 2b ＋c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫b c ＋12＋c 2b ＋c －12＝2b ＋c 2c ＋c 2b ＋c －12≥2－12.当且仅当2b ＋c 2c ＝c2b ＋c时取等号．]。

专题限时集训(四)A[第4讲不等式与简单的线性规划](时间：30分钟)1．如果a ，b ，c ，d 是任意实数，那么( )A ．a >b ，c ＝d ⇒ac >bdB ．a 3>b 3，ab >0⇒1a <1bC.a c >b c ⇒a >bD ．a 2>b 2，ab >0⇒1a <1b2．不等式1x <12的解集是( )A ．(－∞，2)B ．(2，＋∞)C ．(0,2)D ．(－∞，0)∪(2，＋∞)3．已知向量a ＝(x －1,2)，b ＝(4，y )，若a ⊥b ，那么9x ＋3y 的最小值为( )A ．23B ．6C ．12D ．3 24．已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＋4≥0，x ＋y ≥0，x ≤3，那么z ＝2x ＋y 的最小值是() A ．－4B ．－2C ．0D ．25．已知a 、b 、c 、d 都是正实数，且a ＋d ＝b ＋c ，|a －d |<|b －c |，那么( )A ．ad >bcB ．ad <bcC ．ad ＝bcD ．ad ≤bc6．若对任意正数x ，均有a 2<1＋x ，那么实数a 的取值范围是( )A ．[－1,1]B ．(－1,1)C ．[－1＋x ，1＋x ]D ．(－1＋x ，1＋x )7．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ln x (x >0)，e x (x ≤0)(e ＝2.718…)，那么不等式f (x )－1≤0的解集为( ) A ．(－∞，0]∪[e ，＋∞) B ．(－∞，1]C ．(－∞，e]D ．∅8．已知点M (x ，y )的坐标满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x －2≤0，y －1≤0，x ＋2y －2≥0，那么此不等式组确定的平面区域的面积S 的大小是( )A ．1B ．2C ．3D ．49．x 、y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ≥1，x －y ≥－1，2x －y ≤2，若目标函数z ＝ax ＋by (a >0，b >0)的最大值为7，那么3a ＋4b的最小值为( ) A ．14B ．7C ．18D ．1310．若关于x 的不等式ax 2＋2x ＋a >0的解集为R ，那么实数a 的取值范围是________．11．一批货物随17列货车从A 市以v km/h 匀速直达B 市，已知两地铁路路线长400km ，为了安全，两列货车间距离不得小于v 202km ，那么这批货物全部运到B 市，最快需要________h(不计货车的车身长)．12．已知函数y ＝a 2x －4＋1(a >0且a ≠1)的图象过定点A ，且点A 在直线x m ＋y n＝1(m ，n >0)上，那么m ＋n 的最小值为________．13．如果直线2ax －by ＋14＝0(a >0，b >0)和函数f (x )＝m x ＋1＋1(m >0，m ≠1)的图象恒过同一个定点，且该定点始终落在圆(x －a ＋1)2＋(y ＋b －2)2＝25的内部或圆上，那么b a的取值范围是________．.。