第2章特殊三角形单元复习1.掌握图形的对称及轴对称图形的定义，会作一个图形关于直线的对称图形，理解轴对称的性质.2.了解等腰三角形的定义，掌握等腰三角形的性质与判定；了解直角三角形的定义，掌握直角三角形的性质与判定；理解中垂线、角平分线的性质与判定.3.理解等腰三角形和直角三角形这两个基本图形在几何中的地位和作用，能将复杂的几何问题转化为基本图形解决.考点一：轴对称与轴对称图形例1 （湖州市吴兴区）下列图形中,属于轴对称图形的是()A. B. C. D.例2 （宁波市北仑区）“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题：如图所示，将军在观望烽火之后从山脚上的点A出发，奔向小河旁边的点P饮马，饮马后再到点B宿营，若点A,B到水平直线l（l表示小河）的距离分别是3，1，A，B两点之间水平距离是3，则AP+PB的最小值为.如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一组对应点所连线段的垂直平分线.由轴对称的性质可以得到以下结论：①如果两个图形的对应点的连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称；②如果两个图形是轴对称图形，我们只要找到一组对应点，作出连结它们的线段的垂直平分线，就可以得到这两个图形的对称轴；③轴对称图形的对称轴是任何一组对应点所连线段的垂直平分线.1.（台州市椒江区）如图所示，P是直线l外一个定点，A为直线l上一个定点，点P关于直线l的对称点记为P1，将直线l绕点A顺时针旋转30°得到直线l′，此时点P2与点P关于直线l′对称，则∠P1AP2等于()A.30°B.45°C.60°D.75°2.（宁波市北仑区）如图所示为由5个边长为单位1的小正方形拼成的图形，请你在图上添加一个小正方形，使添加后的图形是一个轴对称图形，要求画出三种.考点二：等腰三角形的性质与判定例3 （杭州市江干区）一个等腰三角形的一个内角是另一个内角的2倍，则这个三角形底角为(A)A.72°或45°B.45°或36C.36°或90°D.72°或90°例4 （宁波市镇海区）如图所示，AB∠CD，CE平分∠ACD交AB于点E.（1）求证：∠ACE是等腰三角形.（2）若AC＝13cm，CE＝24cm，求∠ACE的面积.1.等腰三角形的性质：①等腰三角形的两腰相等；②等腰三角形的两个底角相等(等边对等角)；③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合(三线合一).2.等腰三角形的判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(等角对等边).3.在①等腰、②底边上的高、③底边上的中线、④顶角平分线四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论.3.（绍兴市柯桥区）在∠ABC中，与∠A相邻的外角是140°，要使∠ABC是等腰三角形，则∠B的度数是.4.（嘉兴市）如图所示，∠ABC内有一点D，且DA＝DB＝DC，若∠DAB＝20°，∠DAC＝30°，则∠BDC＝.(第4题）5.（杭州市江干区）证明命题“等腰三角形底边上的中点到两腰的距离相等”是真命题.考点三：直角三角形的性质与判定例5 （杭州市余杭区）如图所示，在∠ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝26°，BC＝BD，则∠ACD的度数是(C)A.64B.42°C.32°D.26°例6 （天台县）如图所示，在Rt∠ABC中，CM平分∠ACB交AB于点M，过点M作MN∠BC交AC于点N，且MN平分∠AMC，若AN＝1.（1）求∠B的度数.（2）求CN的长.直角三角形是一种特殊的三角形，它除了具有一般三角形的性质外，还具有一些特殊的性质：①直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）；②在直角三角形中，两个锐角互余；③在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半；④直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积；⑤在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°.6.（杭州市拱墅区）在Rt∠ABC中，∠C＝90°，∠A-∠B＝70°，则∠A的度数为()A.80°B.70°C.60°D.50°7.（绍兴市越城区）如图所示，在∠ABC中，∠ACB＝90°，点D在BC上，E是AB的中点，AD,CE相交于点F，且AD＝DB.若∠B＝20°，则∠DFE等于()A.30°B.40°C.50°D.60°8.（嘉善县）如图所示，在∠ABC中，D是BC中点，E是AB上一点，F是AC上一点.若∠EDF＝90°，且BE2+FC2＝EF2，求证：∠BAC＝90°.考点四：线段的中垂线与角平分线例7 （德清县）如图所示，已知∠AOE＝∠BOE＝15°，EF∠OB，EC∠OB于点C，EG∠OA于点G，若EC=√3，则OF的长度是()A.2√3B.√3C.3D.2例8 （杭州市西湖区）在∠ABC中，∠BAC＝α，边AB的垂直平分线交边BC于点D，边AC的垂直平分线交边BC于点E，连结AD，AE，则∠DAE的度数为.（用含α的代数式表示）1.角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.注意：①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，不必证明全等.2.线段垂直平分线的性质：①垂直平分线垂直且平分其所在线段；②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等；③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，这一点到三个顶点的距离相等.9.（宁波市江北区）如图所示，在∠ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB的垂直平分线交AC于点D，交AB于点E，CD＝2，则AC＝.(第9题）(第10题）10.（杭州市临安区）如图所示，AB∠CD，∠ABC和∠DCB的平分线BP，CP交于点P，过点P作PA∠AB于点A，交CD于点D.若AD＝10，则点P到BC的距离是，∠BPC＝.考点五：勾股定理例9 （嘉兴市）如图所示的图案由赵爽弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3，若S1+S2+S3＝27，S3＝1，则S1的值是.例10 （慈溪市）如图所示，在Rt∠ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC 于点E，若CD＝5，则AE＝.1.勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方.如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2.2.勾股定理公式a2+b2＝c2的变形有a=√c2−b2，b=√c2−a2及c=√a2+b2.3.勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形.运用勾股定理的逆定理解决问题的实质就是判断一个角是不是直角.然后进一步结合其他已知条件来解决问题.11.（湖州市南浔区）如图1所示，以直角三角形ABC的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按如图2所示的方式放置在最大的正方形内，三个阴影部分面积分别记为S1，S2，S3，若S1＝1，S2＝2，S3＝3，则两个较小正方形纸片的重叠部分（四边形DEFG）的面积为()图1 图2A.5B.5.5C.5.8D.612.（临海市）如图所示，在∠ABC中，AB＝4，BC＝2，AC＝2√3.(第12题）（1）求证：∠ABC是直角三角形.（2）D是AC上的中点，求BD的长.考点六：等边三角形与直角三角形例11 （杭州市临安区）在直线上顺次取A，B，C三点，分别以AB，BC为边长在直线的同侧作等边三角形，作得两个等边三角形的另一顶点分别为D，E.（1）如图1所示，连结CD，AE，求证：CD＝AE.（2）如图2所示，若AB＝1，BC＝2，求DE的长.（3）如图3所示，将图2中的等边三角形BEC绕点B作适当的旋转，连结AE，若有DE2+BE2＝AE2，试求∠DEB的度数.图1 图2 图31.等边三角形是特殊的等腰三角形；等边三角形的三条边都相等，三个内角都相等，且都等于60°；等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；等边三角形的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线都是对称轴.2.等腰直角三角形是另一种特殊的三角形，具备等腰三角形和直角三角形的所有性质.即两个锐角相等且都是45°；斜边上的中线、斜边所对角的角平分线、斜边上的高三线合一.13.（余姚市）如图所示，∠BAC＝90°，B是射线AM上的一个动点，C是射线AN上一个动点，且线段BC 的长度不变，点D是点A关于直线BC的对称点，连结AD.若2AD＝BC，则∠ABD的度数是.(第13题）14.（杭州市余杭区）如图所示，∠ABC和∠DCE都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°.(第14题）（1）求证：BD＝AE.（2）若∠ABD＝∠DAE，AB＝8，AD＝6，求四边形ABED的面积.本章主要易错点1.注意轴对称与轴对称图形的区别，轴对称是指两个图形的关系，而轴对称图形是指一个图形本身的特征.2.“等边对等角”“等角对等边”指的是同一个三角形中边角之间的转化关系，不能与全等混淆.3.等腰三角形“三线合一”的“三线”是指底边的中线、高线和顶角平分线.4.勾股定理描述直角三角形边之间的关系，主要应用于线段长度的计算，注意其前提条件是在直角三角形中，因此构造直角三角形是应用勾股定理最重要的一个步骤.5.等腰三角形中按边分类、直角三角形中按直角分类是特殊三角形问题中常见的分类讨论，要注意合理分类. 练习1.（杭州市江干区）用反证法证明“三角形中必有一个内角不小于60°”时，应当假设这个三角形中( )A.有一个内角小于60°B.每一个内角都小于60°C.有一个内角大于60°D.每一个内角都大于60°2.（湖州市吴兴区）如图所示，在∠ABC 中，AB ＝AC ＝5，BC ＝8，CD 是AB 边上的高，则线段AD 的长度为( )A. 125B. 245C. 135D. 75(第2题）(第3题）(第4题）(第5题）(第6题）3.（杭州市江干区）如图所示，在Rt∠ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝6，DE 是斜边AB 的中垂线，交AC 于点E ，∠EBC 的周长为14，则AB ＝ .4.（嘉兴市）如图所示，已知正方形ABCD 的边长是2cm ，E 是CD 边的中点，点F 在BC 边上移动，当AE 恰好平分∠FAD 时，CF ＝ cm.5.（杭州市萧山区）如图所示，在∠ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝120°，S ∠ABC ＝8√3，M ，P ，N 分别是边AB ，BC ，AC 上任意一点. （1）AB 的长为 .（2）PM+PN 的最小值为 .6.（嵊州市）如图所示，∠ABC 是边长为12的等边三角形，点D ，E 分别在AB ，BC 上，且BE ＝BD ＝10，P 是线段DE 上的一个动点，分别作点P 关于AB ，AC ，BC 的对称点P 1，P 2，P 3，若连结P 1，P 2，P 3所得的三角形是等腰三角形，则DP ＝ .。
浙教版初中数学试卷2019-2020年八年级数学上册《特殊三角形》测试卷学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________一、选择题1．(2分)三角形内到三角形各边的距离都相等的点必在三角形的（ ） A ． 中线上B ．平分线上C ．高上D ． 中垂线上2．(2分)在△ABC 中，∠BAC=90°，AD ⊥BC 于D ，若AB=3，BC=5，则DC 的长度是（ ）A ．85 B ．45C ．165 D ．2253．(2分)如图，在ABC △中，AC BC AB =>，点P 为ABC △所在平面内一点，且点P 与ABC △的任意两个顶点构成PAB PBC PAC △，△，△均是．．等腰三角形，则满足上述条件的所有点P 的个数为（ ） A ．3B ．4C ．6D ．74．(2分)下列判断中，正确的是（ ） A ．顶角相等的两个等腰三角形全等 B ．腰相等的两个等腰三角形全等C ．有一边及锐角相等的两个直角三角形全等D ．顶角和底边分别相等的两个等腰三角形全等5．(2分)设M 表示直角三角形，N 表示等腰三角形，P 表示等边三角形，Q 表示等腰直角三角形，下图中能表示它们之间关系的是 （ ）A ．B ．C ．D ．6．(2分)下列各组条件中，能判定△ABC 为等腰三角形的是 （ ） A ．∠A=60°，∠B=40°B ．∠A=70°，∠B=50°CB AC．∠A=90°，∠B=45°D．∠A=120°，∠B=15°7．(2分)三角形的三边长a、b、c满足等式（22()2a b c ab+-=，则此三角形是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等边三角形8．(2分)如图，为了测出湖两岸A、B间的距离．一个观测者在在C处设桩，使三角形ABC恰为直角三角形，通过测量得到AC的长为160 m，BC长为l28 m，那么从点A穿过湖到点B的距离为（）A．86 m B．90 m C．96 m D．l00 m9．(2分)在一个直角三角形中，有两边长为6和8，下列说法正确的是（）A．第三边一定为10 B．三角形周长为25C．三角形面积为48 D．第三边可能为1010．(2分)如图所示，在△ABC中，AB=AC，∠B=14∠BAC，AD⊥AB垂足为A，AD=1，则BD=（）A．1 B C．2 D．311．(2分)将两个完全一样的有一个角为30°的直角三角形拼成如图所示的图形，其中两条长直角边在同一直线上，则图中等腰三角形的个数有（）A．4个B．3个C．2个D．1个二、填空题12．(2分)等腰直角三角形的斜边上的中线长为 1，则它的面积是 .13．(2分)△ABC中，∠A=40°，当∠C= 时，△ABC是等腰三角形．14．(2分)如图，在△ABC中，点D是BC上一点，∠BAD=80°，AB=AD=DC，则∠C= ．15．(2分)如图，剪四个与图①完全相同的直角三角形，然后将它们拼成如图②所示的图形．(1)大正方形的面积可以表示为．(2)大正方形的面积也可表示为．(3)对比两种方法，你能得出什么结论?16．(2分)如图，小红和弟弟同时从家中出发，小红以4 km／h的速度向正南方向的学校走去，弟弟以3 km／h的速度向正西方向的公园走去，lh后，小红和弟弟相距 km．17．(2分)如图，△ABC是等边三角形，中线BD、CE相交于点0，则∠BOC= ．18．(2分)如图，∠A=36°，∠DBC=36°，∠C=72°，则图中的等腰三角形分别是．19．(2分)如图，已知0C是∠A0B的平分线，直线DE∥OB，交0A于点D，交0C于点EDBAE ，若OD=5 cm ，则DE= cm ．20．(2分) 等腰三角形△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=70°，D 是BC 的中点，则∠ADC= ，∠BAD= ．21．(2分) 如图，在△ABC 中，AB=AC ，D 是AC 上的一点，使 BD=BC=AD ，则∠A = ．22．(2分)如图，在△ABC 中，若 ，∠BAD=∠CAD ，则BD=CD.三、解答题23．(7分)已知：如图，△ABC 和△ECD 都是等腰直角三角形，︒=∠=∠90DCE ACB ，D 为AB 边上一点.求证：（1）△ACE ≌△BCD ； （2）222DE AE AD =+.24．(7分)如图是斜拉桥的剖面图．BC 是桥面，AD 是桥墩，设计大桥时工程师要求斜拉的钢绳AB= AC ．大桥建成以后，工程技术人员要对大桥质量进行验收，由于桥墩AD 很高，无法直接测量钢绳AB 、AC 的长度．请你用两种方法检验AB 、AC 的长度是否相等，并说明理由．25．(7分)．有一块菜地，地形如图，试求它的面积s(单位：m)．26．(7分)如图，在四边形ABCD中，AC⊥DC，∠ADC的面积为30cm2，DC=12 cm ，AB=3 cm ,BC=4 cm,求△ABC的面积．27．(7分)如果将直角三角形的三条边长同时扩大一倍，得到三角形还是直角三角形吗?扩大n倍呢(n为正整数)?28．(7分)如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AD是斜边BC上的中线，AD=5 cm，求△ABC的面积．29．(7分)在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=5∠B．求∠A和∠B的度数．30．(7分)如图，在等边△ABC中，点D、E分别是边AB，AC的中点，说明BC=2DE的理由．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B2．C3．C4．D5．A6．C7．B 8．C 9．D 10．C 11．B二、填空题12．113．40°或70° 14．25°15．(1)c 2 ；(2)214()2ab b a ⨯+-；（3）222a b c += 16．5 17．120°18．△ABD ，△CBD,△ABC 19．5 20．90°，35° 21．36°22．AB=AC 或∠B=∠C三、解答题23．证明：（1） ∵ DCE ACB ∠=∠ ∴ ACE ACD BCD ACD ∠+∠=∠+∠ 即 ACE BCD ∠=∠ ∵ EC DC AC BC ==, ∴ △BCD ≌△ACE (2）∵ BC AC ACB =︒=∠,90， ∴ ︒=∠=∠45BAC B ∵ △BCD ≌△ACE∴ ︒=∠=∠45CAE B∴ ︒=︒+︒=∠+∠=∠904545BAC CAE DAE ∴ 222DE AE AD =+24．方法一：测量BD 、ED 的长度，看是否相等；方法二：测量∠B 、∠C 的度数，看是否相等 25．24m 226．6cm 227．均是直角三角形28．25 cm 229．∠A=75°,∠B=15° 30．说明△ADE 是等边三角形。
直角三角形专题复习直角三角形是一种特殊的三角形，其中一个角度为90度。
在直角三角形中，我们常常用三条边的长度来计算各种属性，如角度、边长和面积等。
1. 直角三角形的属性直角三角形的属性包括三个角度和三条边的长度。
根据勾股定理，直角三角形的两个较短边的长度的平方之和等于最长边的长度的平方。
2. 常见的直角三角形公式在解决直角三角形相关问题时，我们可以利用以下常见的公式：- Sine定理：用于计算角度或边长之间的关系，公式为：sin(A) = a / c，sin(B) = b / c，sin(C) = a / b。
- Cosine定理：用于计算边长之间的关系，公式为：c^2 = a^2 + b^2 - 2ab * cos(C)，b^2 = a^2 + c^2 - 2ac * cos(B)，a^2 = b^2 + c^2 - 2bc * cos(A)。
- 边长比例：在两个相似的直角三角形中，对应边长的比例相等，例如：a / a' = b / b' = c / c'。
3. 直角三角形的应用直角三角形的应用广泛，例如在建筑、测量和导航中都有很多应用。
以下是一些常见的应用场景：- 测量：使用直角三角形的边长关系，可以测量无法直接测量的物体的高度或距离。
- 导航：利用航海三角法，通过观测海上和船上的角度，可以确定船舶位置和方向。
- 锚定：在船上使用锚定技术时，直角三角形可以帮助确定适当的锚链长度和角度。
4. 总结直角三角形是一个重要的几何形状，具有特殊的属性和应用。
掌握直角三角形的基本概念和公式，有助于我们解决各种与角度、边长和面积等相关的问题。
