期末复习(一) 直角三角形
- 格式：doc
- 大小：230.50 KB
- 文档页数：8
期末复习(一) 直角三角形
各个击破
命题点1 直角三角形的性质与判定
【例1】 在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D.
(1)如图1，若∠C＝30°，求证：BD＝14BC；
(2)如图2，若∠C＝45°，写出点D到△ABC的三个顶点A，B，C的距离的关系；
(3)在(2)的基础上，如果点M，N分别在线段AB，AC上移动，在移动过程中保持AN＝BM，请判断△DMN的形状，请证明你的结论．
【思路点拨】 (1)先由同角的余角相等可以得到∠BAD＝∠C＝30°，再根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，可以在Rt△ABD和Rt△ABC中分别找出BD与AB，AB与BC的关系，从而得出BD与BC的数量关系；(2)根据∠C＝45°，∠BAC＝90°，可得△ABC是等腰直角三角形．又AD⊥BC，由等腰三角形三线合一的性质可知，D为直角三角形斜边的中点．再由直角三角形斜边中线的性质，即可求出AD，BD，DC之间的关系；(3)先由题目所给的条件证明△BDM≌△ADN，从而得到MD＝DN及∠BDM＝∠ADN，进而可得∠MDN＝∠ADB＝90°.
【解答】(1)证明：∵∠BAC＝90°，AD⊥BC，
∴∠B＋∠C＝90°，∠B＋∠BAD＝90°.
∴∠BAD＝∠C＝30°.
∴在Rt△ABD中，BD＝12AB，
在Rt△ABC中，AB＝12BC.
∴BD＝14BC.
(2)∵∠C＝45°，∠BAC＝90°，
∴△ABC是等腰直角三角形．
∵AD⊥BC，
∴D为BC的中点．
∴AD＝BD＝CD.
(3)△DMN是等腰直角三角形．
证明：∵BM＝AN，∠B＝∠DAN＝45°，BD＝AD，
∴△BDM≌△ADN(SAS)．
∴MD＝ND，∠BDM＝∠ADN.
∴∠MDN＝∠ADB＝90°.
∴△MDN是等腰直角三角形．
【方法归纳】 (1)由直角三角形斜边中线的性质可得到两条线段之间的数量关系；(2)由角来判断一个三角形是直角三角形，只要说明这个三角形中有一个直角或有两个角互余即可．
1．如图，△ABC中，CD⊥AB于D，且E是AC的中点．若AD＝6，DE＝5，则CD的长等于(D)
A．5
B．6
C．7
D．8
2．一个三角形的三个角的度数之比是3∶3∶6，则这个三角形是等腰直角三角形．
3．在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，AB的垂直平分线交BC于点D，交AB于点E.如果DE＝1，求BC的长．
解：连接AD.
∵DE垂直平分AB，
∴AD＝BD，∠DEB＝90°.
∵AB＝AC，∠BAC＝120°，
∴∠B＝∠C＝30°.
在Rt△BDE中，∠B＝30°，
∴DE＝12BD.∴BD＝2.
∵AD＝BD，∴∠BAD＝∠B.
∴∠DAC＝∠BAC－∠BAD＝120°－30°＝90°.
又∵∠C＝30°，
∴AD＝12CD.∴CD＝2AD＝2BD＝4.
∴BC＝CD＋BD＝4＋2＝6.
命题点2 勾股定理及其逆定理
【例2】 如图，四边形ABCD，AB＝AD＝2，BC＝3，CD＝1，∠A＝90°，求∠ADC的度数．
【思路点拨】 首先在Rt△BAD中，利用勾股定理求出BD的长，而由题意可知，△ABD为等腰直角三角形，则∠ADB＝45°，再根据勾股定理逆定理，证明△BCD是直角三角形，即可求出答案．
【解答】 连接BD.
在Rt△BAD中，∵AB＝AD＝2，
∴∠ADB＝45°，BD＝AD2＋AB2＝22.
在△BCD中，DB2＋CD2＝(22)2＋12＝9＝CB2，
∴△BCD是直角三角形．
∴∠BDC＝90°.
∴∠ADC＝∠ADB＋∠BDC＝45°＋90°＝135°.
【方法归纳】 当不能直接求一个角的度数时，可通过作辅助线，求几个角的和或差．
4．已知三组数据：①2，3，4；②3，4，5；③1，3，2.分别以每组数据中的三个数为三角形的三边长，构成直角三角形的有(D)
A．② B．①② C．①③ D．②③
5．如果三角形有一条边上的中线长恰好等于这条边的长，那么称这个三角形是“有趣三角形”，这条中线为“有趣
