江苏省苏州市2014届高三数学暑假自主学习测试试题 理 新人教A 版参考公式： 样本数据12,,,n x x x 的方差2211()n i i s x x n ==-∑，其中11n i i x x n ==∑．一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，计70分） 1.已知集合{|1}A x x =≤，{|0}B x x =>，则AB = .2.设x R ∈，向量(,1),(3,2)x ==-a b 且⊥a b ，则x = ．3.设复数z 满足12zi i =+(i 为虚数单位），则z = .． 5【解析】试题分析：由12zi i =+，得122iz i i+==-，所以222(1)5z =+-=考点：复数的四则运算，复数模的概念.4.若2x >，则12x x +-的最小值为 ．5.样本数据18，16，15，16，20的方差2s ＝ .6.已知双曲线221(0)yx mm-=>的离心率为2，则m的值为 ___ ___．7.根据如图所示的伪代码，最后输出的i的值为___ ___.【答案】 9 T←1i←3 While T <10 T←T +ii←i+2 End While Print i8.已知函数nm y x =,其中,m n 是取自集合{1,2,3}的两个不同值，则该函数为偶函数的概率为_____．9.已知实数,x y 满足不等式组0,0,26,312x y x y x y ≥⎧⎪≥⎪⎨+≤⎪⎪+≤⎩，则2z x y =+的最大值是 ．【答案】425【解析】试题分析：不等式表示的平面区域如图所示为四边形AOBP 及其内部，z 的几何意义为直线2z x y =+在y 轴上的截距，由图可知，当直线2z x y =+经过点P 时，截距最大，解方程26,312x y x y +≤⎧⎨+≤⎩得186(,)55P ，所以max 186422555z =⨯+=.考点：简单的线性规划.10.已知函数2, 0,()2, 0x x f x x x x -≤⎧⎪=⎨->⎪⎩，则满足()1f x <的x 的取值范围是______．11.如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，点,E F 分别在11,AA CC 上，且134AE AA =，113CF CC =，点,A C 到BD 的距离之比为3:2，则三棱锥E BCD -和F ABD -的体积比E BCD F ABDVV --= .【答案】3212.已知P 是直线:40(0)l kx y k ++=>上一动点，,PA PB 是圆22:20C x y y +-=的两条切线，切点分别为,A B ．若四边形PACB 的最小面积为2，则k = ．13.已知函数()3sin()(0)6f x x πωω=->和()2cos(2)(0)g x x ϕϕπ=+<<的图象的对称轴完全相同，则()3g π的值是 ．【答案】－2 【解析】试题分析：由两函数的图象的对称轴完全相同知2ω=，()3sin(2)6f x x π=-图象的一条对称轴为3x π=，所以cos(2)1(0)3πϕϕπ⋅+=±<<，得3πϕ=，所以()2cos(2)2333g πππ=⨯+=-.考点：三角函数的图象与性质.14.已知各项均为正数的等比数列{}n a ，若4321228a a a a +--=，则872a a +的最小值为______.二、解答题 （本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.（本小题满分14分）已知向量(cos ,sin )A A =-m ，(cos ,sin )B B =n ，cos2C ⋅=m n ，其中,,A B C 为ABC ∆的内角．（Ⅰ）求角C 的大小；（Ⅱ）若6AB =，且18CA CB ⋅=，求,AC BC 的长． 【答案】（Ⅰ）3C π=；（Ⅱ）6,6AC BC ==.【解析】试题分析：（Ⅰ）对cos2C ⋅=m n 进行化简，可求cosC 的值，进而求出角C ；（Ⅱ）先求16.（本小题满分14分）如图，四棱锥P ABCD -的底面为矩形，2AB =，1BC =，,E F 分别是,AB PC的中点，DE PA ⊥．（Ⅰ）求证：EF平面PAD ；（Ⅱ）求证：平面PAC ⊥平面PDE ．【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）详见解析.【解析】试题分析：（Ⅰ）要证线面平行，先找线线平行；（Ⅱ）要证线面垂直，先证线面垂直，于是需找出图形中的线线垂直关系，以方便于证明面面垂直.AG FG，试题解析：（Ⅰ）取PD中点G，连,又=，⊥，PA AC ADE PA所以DE⊥平面PAC．……………… 12分又DE⊂平面PDE，所以平面PAC⊥平面PDE．……………… 14分考点：直线与平面平行的判定定理、直线与平面垂直的判定定理、平面与平面垂直的判定定理. 17.（本小题满分14分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，对任意n N *∈满足2(1)n n n S a a =+，且0n a ≠． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设11, 32 1 n n n a a n c n -+⎧⎪=⎨⨯+⎪⎩为奇数，为偶数，求数列{}n c 的前2n 项和2n T ．考点：等差数列、等比数列.18.（本小题满分16分）如图，某自来水公司要在公路两侧排水管，公路为东西方向，在路北侧沿直线1l 排，在路南侧沿直线2l 排，现要在矩形区域ABCD 内沿直线将1l 与2l 接通．已知60AB m =，80BC m =，公路两侧排管费用为每米1万元，穿过公路的EF 部分的排管费用为每米2万元，设EF 与AB 所成的小于90︒的角为α．（Ⅰ）求矩形区域ABCD 内的排管费用W 关于α的函数关系式；（Ⅱ）求排管的最小费用及相应的角α．故有60tan MF α=，60cos EF α=，8060tan AE FC α+=-．………………… 4分 所以60(8060tan )12cos W αα=-⨯+⨯ … 5分60sin 12080cos cos ααα=-+60(sin 2)80cos αα-=-． ………… 8分（Ⅱ）设sin 2()cos f ααα-=(其中0040,tan 23πααα≤≤<=)，19.（本小题满分16分） 已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的长轴两端点分别为,A B ，000(,)(0)P x y y >是椭圆上的动点，以AB 为一边在x 轴下方作矩形ABCD ，使(0)AD kb k =>，PD 交AB 于点E ，PC 交AB 于点F ．（Ⅰ）如图（1），若1k =，且P 为椭圆上顶点时，PCD ∆的面积为12，点O 到直线PD 的距离为65，求椭圆的方程；（Ⅱ）如图（2），若2k =，试证明：,,AE EF FB 成等比数列．得100()(2)2()x a y b b x a ++=+，0102()2b x a x a y b +∴+=+，即002()2b x a AE y b+=+．…… 9分由,,C F P 三点共线，及200(,2),(,2)CF x a b CP x a y b =-=-+， 得200()(2)2()x a y b b x a -+=-，0202()2b a x a x y b -∴-=+，即002()2b a x FB y b-=+．…… 11分20.（本小题满分16分）对于函数()f x ，若在定义域内存在实数x ，满足()()f x f x -=-，则称()f x 为“局部奇函数”． （Ⅰ）已知二次函数2()24()f x ax x a a R =+-∈，试判断()f x 是否为“局部奇函数”？并说明理由；（Ⅱ）若()2x f x m =+是定义在区间[1,1]-上的“局部奇函数”，求实数m 的取值范围； （Ⅲ）若12()423x x f x m m +=-+-为定义域R 上的“局部奇函数”，求实数m 的取值范围． 【答案】（Ⅰ）是，理由详见解析；（Ⅱ）5[,1]4m ∈--；（Ⅲ）1322m ≤≤ 【解析】试题分析：（Ⅰ）判断方程()()0f x f x +-=是否有解；（Ⅱ）在方程()()0f x f x +-=有解时，通过分离参数求取值范围；（Ⅲ）在不便于分离参数时，通二次函数的图象判断一元二次方程根的分布. 试题解析：()f x 为“局部奇函数”等价于关于x 的方程()()0f x f x +-=有解．5分从而222280t mt m -+-=在[2,)+∞有解即可保证()f x 为“局部奇函数”．……… 11分令22()228F t t mt m =-+-，1° 当(2)0F ≤，222280t mt m -+-=在[2,)+∞有解，附加题 注意事项：1．本试卷共2页，满分40分，考试时间30分钟．2．请将解题过程写在答题卡的规定区域，在本试卷上答题无效． 3．答题前，务必将自己的姓名、学校、考试号写在答题卡的指定位置．21.【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题．．．．．．，并在．．相应的答题区域．．．．．．．内作答．．．．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4—1：几何证明选讲（本小题满分10分）已知：如图，点,,A P B 在O 上，90APB ︒∠=，PC 平分APB ∠，交O 于点C ．求证：ABC ∆为等腰直角三角形．APBOB ．选修4—2：矩阵与变换（本小题满分10分）已知矩阵20 01⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ，1125-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦B ，求矩阵1-A B 【答案】11 2225⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎣⎦【解析】试题分析：先用待定系数法求出1A-，再求出1-A B .试题解析：设矩阵A 的逆矩阵为 a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则2010 0101a b c d ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦， ………………… 1分即C ．选修4—4：坐标系与参数方程 (本小题满分10分）已知曲线C 的极坐标方程为225ρ=，曲线C '的极坐标方程为4cos ρθ=．试求曲线C 和C '的直角坐标方程，并判断两曲线的位置关系．D ．选修4—5：不等式选讲（本小题满分10分）设实数,a b 满足a b ≠，求证：4422()a b ab a b +>+．22.（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C 上任意一点到点1(0,)2M 的距离与到直线12y =-的距离相等． （Ⅰ）求曲线C 的方程；（Ⅱ）设11(,0)A x ，22(,0)A x 是x 轴上的两点12120,0x x x x +≠≠，过点12,A A 分别作x 轴的垂线，与曲线C 分别交于点12,A A ''，直线12A A ''与x 轴交于点33(,0)A x ，这样就称12,x x 确定了3x ．同样，可由23,x x 确定了4x ．现已知126,2x x ==，求4x 的值． 【答案】（Ⅰ）22x y =；（Ⅱ）67. 【解析】试题分析：（Ⅰ）根据抛物线的定义及标准方程求解；（Ⅱ）先由12,x x 求3x ，再由23,x x 求4x .23.（本小题满分10分）设,a b 为实数，我们称(,)a b 为有序实数对．类似地，设,,A B C 为集合，我们称(,,)A B C 为有序三元组．如果集合,,A B C 满足||||||1AB BC C A ===，且A B C =∅，则我们称有序三元组(,,)A B C 为最小相交（||S 表示集合S 中的元素的个数）． （Ⅰ）请写出一个最小相交的有序三元组，并说明理由；（Ⅱ）由集合{1,2,3,4,5,6}的子集构成的所有有序三元组中，令N 为最小相交的有序三元组的个数，求N 的值．【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）7680. 【解析】。
