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第四章李雅普诺夫稳定性理论

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李雅普诺夫稳定理论的定义及应用

李雅普诺夫稳定理论的定义及应用
W ( s ) c ( sI A) 1 b
1 1
2 1
故系统不是渐近稳定。
s 1 1 ( s 1)( s 1) s 1
闭环极点s = -1，位于s 平面左半部分，
所以系统为输入输出稳定。 结论： BIBO稳定
2013-5-20
渐近稳定。
26
现代控制理论 洛阳理工学院


23
2013-5-20
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
现代控制理论 洛阳理工学院
4.2 李雅普诺夫第一法 1 线性系统的稳定判据
定理1： 对于线性定常系统
x Ax bu y Cx
系统的平衡状态 xe 0 在李雅普诺夫意义下渐近 稳定的充要条件是:
A的所有特征值均具有负实部。
状态稳定性—内部稳定性
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2013-5-20
百余年来,李雅普诺夫理 论得到极大发展,在数学、力 学、控制理论、机械工程等领 域得到广泛应用。 李雅普诺夫把分析一阶常 微分方程组稳定性的所有方法 归纳为两类。
2013-5-20 现代控制理论 洛阳理工学院
3
第四章 稳定性与李 雅普诺夫方法

1892年俄国学者李雅普诺夫（Lyapunov）提出的 稳定性理论，给出了两种判别方法： Lyapunov第一法和Lyapunov第二法 不仅适用于单变量线性系统，还适用于多变量、非线 性、时变系统,它是确定系统稳定性的更一般理论; Lyapunov第一法：通过求解系统微分方程，根据解的 性质来判断系统的稳定性; Lyapunov第二法：不用求解方程，通过Lyapunov函数 来判断系统的稳定性。 4
2013-5-20 现代控制理论 洛阳理工学院
4.1李雅普诺夫关于稳定性的定义

第四章(稳定性与李雅普诺夫方法)

第四章(稳定性与李雅普诺夫方法)

1、构造Liaponov 函数没有确定的方法，要求一定的技巧，一般 用于非线性系统或时变系统； 2、必须是稳定性判据的标量函数，且有一阶连续偏导； 3、非唯一但不影响结论的正确性； 4、最简单的形式为二次型。
§4.4 Liaponov 方法在系统中的应用
一、线性定常连续系统渐近稳定判据 1、判据 的平衡状态xe =0 大范围渐进稳定充要条件是： 对于任意给定的正定实对称矩阵Q,存在正定的实对称矩阵P，满足 Liaponov方程： T
1、 Liyaponov意义下的稳定
0, ( , t 0 ) 0, s.t. if || x 0 x e || ( , t 0 ) || (t , x 0 , t 0 ) x e || then其解 (t 0 t )
称平衡状态xe为 Liyaponov意义下的稳定，简称稳定。
V (x) x T Px [ x1
x2
如果 pij =
p ji ，则称P
为实对称阵。例如
1 1 0 P 1 1 0 0 0 1
P为实对称阵，存在正交阵T，使当
V ( x) x Px x T PTx x T
T T T T 1
X T X
___
2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 2 1 2
2
1
2
［例４-３］
判别下列各函数的符号性质．
（１）设 x x1
x2
x3
T
标量函数为
2 V ( x) ( x1 x2 )2 x3
因为有Ｖ（0）＝０，而且对非零x，例如 x 所以Ｖ（x）为半正定（或非负定）的． （２）设
a a 0
设Ｖ（x）为由n维矢量x所定义的标量函数，x∈Ω，且x＝０处，恒有 Ｖ（x）＝０。对所有在域Ω中的任何非零矢量x，如果成立 ①Ｖ（x）＞０，则称Ｖ（x）为正定的．例如，V (x) x 2x V ( x) ( x x ) ②Ｖ（x）≥０，则称Ｖ（x）为半正定（或非负定）的．例如， ③Ｖ（x）＜０，则称Ｖ（x）为负定的．例如，V (x) (x 2x ) ④Ｖ（x）≤０，则称Ｖ（x）为半负定的．例如，V ( x) ( x x ) ⑤Ｖ（x）＞０或Ｖ（x）＜０，则称Ｖ（x）为不定的．例如， V ( x) x x

稳定性与李雅普诺夫

稳定性与李雅普诺夫

1
V (x) xT
2
0
0
x
n
上式，为二次型函数的标准型。它只包含变量的平方项，其中 i
为对称阵P的互异特征值，且均为实数。 •二次型函数的标准形正定的充要条件式对称阵P的所有特征值
i 均大于零。
矩阵P的符号性质
设P为n×n的实对称阵，V(x)=xTPx为由P所决定的二次型函 数。 1）若V(x)正定，则P正定，记做P ＞ 0； 2）若V(x)负定，则P负定，记做P ＜ 0； 3）若V(x)半正定（非负定），则P半正定（非负定）， 记做P ≥ 0； 4）若V(x)半负定（非正定），则P半负定（非正定）， 记做P ≤ 0；
p2n
x2
pnn
xn
如果pij=pji，则称P为实对称阵。
二次型函数的标准型
对于二次型函数，V (x) xTPx 若P为实对称阵，则必 存在正交矩阵T，通过变换 x Tx ，使之化成
V (x) xTPx (Tx)T PTx xTT TPTx xT (T TPT)x
P T T PT
不稳定
分析下列系统的稳定性
小范围（局部） 稳定性 渐进稳定性
大范围（全局）
不稳定性
表面有摩擦
李雅普诺夫稳定性判别方法
第一法（间接法）：先求解系统的微分方程，然后 根据解的性质来判断系统的稳定性。
第二法（直接法）：构造李雅普诺夫函数，根据这 个函数的性质判断系统的稳定性。－－适用与任何 复杂系统
1）V(x) ＞ 0，则称V(x)为正定。例如V(x)=x12 +x22； 2）V(x) ≥ 0，则称V(x)为半正定（或非负定）。例如
V(x)=(x1 +x2)2； 3）V(x) ＜ 0，则称V(x)为负定。例如V(x)=－(x12 +2x22)； 4）V(x) ≤ 0，则称V(x)为半负定（或非正定）。例如

04第四章-李雅普诺夫稳定性理论

04第四章-李雅普诺夫稳定性理论
平衡状态— —又称一致李氏稳定。
几何意义：
当t t0时,系统受扰动,平衡状态受破坏,产生对应初始状态 x0,当t t0后, 运动状态x(t)会发生变化。
若无论多么小球域S( ),总存在一个球域S( ),当
x0 S( )时, x(t)轨线不会超出S( ),则平衡点xe为
Lyapunov意义下稳定。 实际上，工程中的李氏 稳定是临界不稳定
说明：
J P1AP A~J 考察eJt即可看出 e At的有界性
例：
0 0 J1 0 -1
李氏稳定
0 1 J2 0 0
不稳定
0 0 J3 0 0
李氏稳定
0 0 A J1 0 -1
e At
1
0
0
e-t
x(t)
e At x0
1 0
0 e-t
x10
x20
x10
e-t x20
f1
xn
令
x x xe ,
A
f xT
f 2
xe
x1
f2 x2
f2
xn
xe
f
n
fn
fn
x1 x2 xn
则
.
x
x
( xe常数)
判定法：
.
x Ax
(1) A的所有特征值均有负实部,则xe是渐近稳定的, 与R(x)无关. (2) A的特征值至少有一个有正实部,则xe是不稳定的, 与R(x)无关. (3) A的特征值至少有一个实部为0,则xe的稳定性 与R( x)有关, 不能由A来决定.
P为实对称矩阵 , pij p ji
第二节 李雅普诺夫间接法
李氏间接法利用系统矩阵A的特征值 1, 2,, n 或者说系统极点来判断系统稳定性。

04第四章李雅普诺夫稳定性理论汇总

04第四章李雅普诺夫稳定性理论汇总

04第四章李雅普诺夫稳定性理论汇总李雅普诺夫稳定性理论是数学中一项重要的稳定性理论，对于研究动力系统的稳定性具有重要的指导意义。

该理论由俄罗斯数学家李雅普诺夫于19世纪末和20世纪初提出，后经实践证明，被广泛应用于不同领域的研究中。

李雅普诺夫稳定性理论的核心思想是通过构造李雅普诺夫函数来分析系统的稳定性。

李雅普诺夫函数是一个满足一定条件的实数函数，它能够度量系统中各个状态的变化情况，并通过数学分析得出系统状态的稳定性。

在李雅普诺夫稳定性理论中，一般使用正定函数来构造李雅普诺夫函数。

对于一个动力系统，假设其状态空间为n维实数向量，系统的演化过程可以表示为一个关于状态变量的微分方程。

为了判断系统在其中一状态的稳定性，需要构造一个函数V(x)，其中x表示状态变量。

如果函数V(x)满足以下两个条件：1.V(x)是正定函数，即对于所有的x，都有V(x)>0，且只有在x=0时，V(x)=0成立。

2.对于系统中任意两个状态x1和x2，如果V(x2)>V(x1)，则在系统演化的过程中，x2的状态比x1更不稳定。

那么，可以推导出系统在状态x=0附近的稳定性。

如果对于所有的状态x，有V(x)>V(x=0)，那么系统就是在x=0处的稳定点。

如果只有在x=0附近，存在一个圆盘区域，使得对于所有的状态x，有V(x)>V(x=0)，那么系统就是局部稳定的。

通过构造李雅普诺夫函数，可以得出系统的稳定性信息。

对于局部稳定性，可以通过计算雅普诺夫函数的导数来得到更详细的信息。

如果导数小于零，则系统是渐进稳定的；如果导数等于零，则系统是边界稳定的；如果导数大于零，则系统是不稳定的。

李雅普诺夫稳定性理论不仅适用于连续系统，也适用于离散系统。

对于离散系统，李雅普诺夫函数的构造和分析方式与连续系统类似，只是微分方程变为差分方程。

总结起来，李雅普诺夫稳定性理论是一种基于构造李雅普诺夫函数来分析系统稳定性的方法。

通过构造正定函数，可以得出系统的稳定性信息，并通过李雅普诺夫函数的导数来得到更详细的稳定性判断。

现代控制第四章

现代控制第四章

试确定系统平衡状态，以及在平衡状态附近的稳定性。
x1 x2 0 x1 0 解： 1)找xe点 2 x2 a(1 x1 )x2 x1 0 x2 0 则xe 0 0
T
第四章 稳定性与李雅普诺夫方法
x1 x2 2) 线性化 x2 x1 ax2 0 1 则 A 1 a
第四章 稳定性与李雅普诺夫方法
4. 不稳定
如果对于某个实数ε 0和任一实数δ 0, 不管δ这个实数多么小，由S(δ)内出发的状态 轨线，至少有一个轨线超过S(ε)，则称这种平 衡状态xe不稳定． 几何意义：（P160,fig.4 3)
练习：
第四章 稳定性与李雅普诺夫方法
图（a）、(b)、(c)分别表示平衡状态为稳定、 渐近稳定和不稳定时初始扰动所引起的典型轨迹。
第四章 稳定性与李雅普诺夫方法
2. 渐近稳定
如果平衡状态xe 是稳定的，而且当t无限增长时， 轨迹不仅不超出S(ε)，而且最终收敛于xe，则称这 种平衡状态xe渐近稳定． 几何意义：（P160,fig.4 2)
第四章 稳定性与李雅普诺夫方法
3. 大范围渐近稳定
如果平衡状态xe 是稳定的，而且从状态空间中 所有初始状态出发的轨迹都具有渐近稳定性，则称 这种平衡状态xe大范围渐近稳定．
第四章 稳定性与李雅普诺夫方法
第四章
稳定性与李氏方法
§4-1 李雅普诺夫关于稳定性的定义
一. 平衡状态(xe )
设所研究系统的齐次状态方程为 X(t) f(x, t) 若对所有t,状态x满足X(t) 0，则称该状态x 为平衡状态，记为xe．故有下式成立： f(xe , 0 t)
第四章 稳定性与李雅普诺夫方法

第4章李雅普诺夫稳定性分析

第4章李雅普诺夫稳定性分析

第4章李雅普诺夫稳定性分析李雅普诺夫稳定性分析是数学分析中的一个重要概念，它用于判断非线性系统在其中一点附近的稳定性。

李雅普诺夫稳定性分析方法最初由俄国数学家李雅普诺夫提出，广泛应用于控制论、微分方程和动力系统等领域。

在进行李雅普诺夫稳定性分析时，首先需要确定非线性系统的平衡点。

平衡点是指系统在其中一时刻的状态不再发生变化，即各个状态变量的导数为零。

在平衡点附近，可以通过线性化的方法来近似非线性系统，即将非线性系统转化为线性系统进行分析。

接下来，利用李雅普诺夫稳定性定理可以判断线性化系统的稳定性。

根据定理的不同形式，可以分为不动点稳定性定理和周期解稳定性定理。

不动点稳定性定理是指当线性化系统的特征根都具有负的实部时，非线性系统在平衡点附近是稳定的；而当至少存在一个特征根具有正的实部时，非线性系统在平衡点附近是不稳定的。

这个定理对于线性化系统为一阶系统或者线性化系统的特征根为复数的情况适用。

周期解稳定性定理是指当线性化系统的所有特征根满足一定条件时，非线性系统在周期解附近是稳定的。

这个定理对于封闭曲线解以及周期解的情况适用。

当线性化系统无法满足上述定理时，可以使用李雅普诺夫直接法来判断非线性系统的稳定性。

李雅普诺夫直接法是基于李雅普诺夫函数的概念，通过构造合适的李雅普诺夫函数来判断非线性系统的稳定性。

李雅普诺夫函数是满足以下条件的函数：1）李雅普诺夫函数的导数在其中一区域内是负定的，即导数的每个分量都小于或等于零；2）在平衡点附近，李雅普诺夫函数取得最小值。

通过构造合适的李雅普诺夫函数，并验证满足上述条件，就可以判断非线性系统的稳定性。

如果李雅普诺夫函数的导数在整个状态空间都是负定的，则非线性系统是全局稳定的；如果李雅普诺夫函数的导数在一些有限的状态空间内是负定的，则非线性系统是局部稳定的。

总之，李雅普诺夫稳定性分析是一种有力的工具，可以用于判断非线性系统的稳定性。

不过需要注意的是，李雅普诺夫稳定性分析方法仅适用于平衡点附近的稳定性分析，对于非线性系统的全局稳定性分析还需要其他的方法。

第四章 稳定性与李雅普诺夫方法

第四章 稳定性与李雅普诺夫方法

3、现代控制理论判稳方法： [俄]李雅普诺夫稳定性理论是稳定性判定的通用 方法，适用于各种系统。 李氏第一法：先求解系统微分方程，根据解 的性质判稳－－间接法 李氏第二法：直接判稳。思路：构造一个李 氏函数V(x)，根据V(x)的性质判稳。－－对 任何复杂系统都适用。 4、本章内容：李氏第二法及其应用。
几何意义：在n维状态空间中，表示以x e为球心， 以ε为半径的一个球，记作S(ε）
四、稳定性的定义
在f作用下
有界 x → xe
x偏离x e 有三种 无界（无穷大）
& 1、李氏稳定性：设x = f ( x, t ), 若任意给定一个实数ε > 0, 总存在另一个实数δ，使当 x0 − xe ≤ δ时，从任意初态 x0出发的解x(t ) = φ (t , x0 , t0 )满足 x − xe ≤ ε， ≥ t0 ), (t 则称系统的平衡状态xe是稳定的，或称xe在李氏意义下稳定
引言：
第四章 李雅普诺夫稳定性 分析和应用
1、稳定性是控制系统的首要问题。 2、经典理论判稳方法及局限性。 A、直接判定：单入单出中，基于特征方程的 根是否都分布在复平面虚轴的左半部分，采用 劳斯－古尔维茨代数判据和奈魁斯特频率判据。 局限性是仅适用于线性定常，不适用于非线性 和时变系统。 B、间接判定：方程求解－对非线性和时变 通常很难。
，忽略高阶项，可得系统的线性化方程：
& δ x = Aδ x
∂f 其中：A = ∂x
可以采用线性系统判断稳定性的方法来判断系统的状态稳定性与输出稳定 性。
x = xe
某系统的状态方程为
& x1 = x1 − x1 x2 & x2 = − x2 + x1 x2

04第四章 李雅普诺夫稳定性理论汇总

04第四章 李雅普诺夫稳定性理论汇总

系统不一定都存在平衡点； 但系统也可能有多个平衡点； 平衡点多数在状态空间的原点，可通过适当 的坐标变换移到原点（针对孤立平衡点）；
(4)
稳定性问题都是相对于某个状态而言的，对 多平衡点问题需针对各状态讨论。
二、李雅普诺夫意义下的稳定性 f ( x, t )平衡状态xe的H邻域为 定义4-2：系统x x xe H , H 0, 为2范数(欧几里德范数 )





1982年，俄国学者李雅普诺夫提出的稳定性 定理采用了状态向量来描述，适用于单变量， 线性，非线性，定常，时变，多变量等系统。
应用：自适应，最优控制，非线性控制等。

主要内容：

李氏第一法（间接法）：根据线性系统特征值 或极点来判别稳定性。若是非线性系统，需先 线性化。 李氏第二法（直接法）：利用经验和技巧来构 造Lyapunov标量函数。
A非奇异： Axe 0 xe 0
解唯一,平衡 点只有一个
xe A奇异： Axe 0 有无穷多个
b. 非线性系统
f ( xe , t ) 0 可能有一个或多个 xe x
例：
1 x1 x 2 x1 x2 x x
3 2
令

1 0 x
Xe
说明：
(1) 若系统渐近稳定，则对于x’=Ax而言，A特征值 应均有负实部。
x(t ) e x0 e A B( )u( )d
At 0 t
(2) 若系统大范围渐近稳定，则其必要条件是在整个 状态空间中只有一个平衡点。
(3) 除非S ( )对应于整个状态平面 , 否则这些定义只能应用 于平衡状态的邻域。
即 x xe

现代控制理论第四章-李雅普诺夫稳定性

现代控制理论第四章-李雅普诺夫稳定性

0s
0
1
s
0 1 1 1 1
(s
s 1 1)(s 1)
s
1 1
可见传递函数的极点 s 1位于s的左半平面，故系统
输出稳定。这是因为具有正实部的特征值2 1 被系统的零
点 s 1 对消了，所以在系统的输入输出特性中没被表现出
来。由此可见，只有当系统的传递函数W(s)不出现零、极
点对消现象，并且矩阵A的特征值与系统传递函数W(s)的
2020/3/22
6
现代控制理论
第4章 李亚普诺夫稳定性分析
4.2 李亚普诺夫第二法的概述
1892年俄国学者李亚普诺夫发表了《运动稳定性一般 问题》，最早建立了运动稳定性的一般理论，并把分析常 微分方程组稳定性的全部方法归纳为两类。第一类方法先 求出常微分方程组的解，而后分析其解运动的稳定性，称 为间接方法；第二类方法不必求解常微分方程组，而是提 供出解运动稳定性的信息，称为直接方法，它是从能量观 点提供了判别所有系统稳定性的方法。
即Xe f ( X e ,t) ，0 则把 叫X e做系统的平衡状态。
对于线性定常系统 X AX而言，其平衡状态满足
Xe AX e ，0 若A是非奇异矩阵，则只有 X e ，0 即对线性系 统而言平衡状态只有一个，在坐标原点；反之，则有无限
多个平衡状态。
对于非线性系统而言，平衡状态不只一个。
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9
现代控制理论
第4章 李亚普诺夫稳定性分析
3、李亚普诺夫第二法
李亚普诺夫第二法建立在这样一个直观的物理事实上：
如果一个系统的某个平衡状态是渐近稳定的，即
im
t
X
X，e 那么随着系统的运动，其储存的能量将随时间

第四章 稳定性与李雅普诺夫方法

第四章 稳定性与李雅普诺夫方法

李雅普诺夫第二法稳定性判据
① 若 V( x ) 为半负定，那么平衡状态xe为李雅普诺夫 意义下稳定。稳定判据
② 若 V( x )为负定，或者虽然V( x ) 为半负定，但对任
意初始状态 x(t0)0 来说，除去x=0外，对 x0 ，V( x )
不恒为零。原点平衡状态为渐近稳定。如果有 x 时，V(x) 则系统是大范围渐近稳定。
2）对一个给定的系统，V(x)是可以找到的，通常是 非唯一的，但不影响结论的一致性。
3）V(x)的最简单形式是二次型函数，但不一定都是 简单的二次型。
对李雅普诺夫函数的讨论
4）如果V(x)的二次型可以表示成标准二次型，V(x) 就表示从原点到到x点的距离。V(x)的导数表征了系 统相对原点的速度。
渐近稳定
如果平衡状态xe是稳定的，而且当t无限增长时，轨
线不仅不超出 s( ) ，而且最终收敛于xe，则称平衡
状态xe是渐近稳定的。
大范围渐近稳定
如果平衡状态xe是稳定的，并且从状态空间中所有初 始状态出发的轨线都是具有渐近稳定性，则称平衡状 态xe是大范围渐近稳定的。
不稳定
如果对于某个实数 0和任一实数 0，不管 这个实数多么小，由 s( ) 内出发的状态轨线， 至少有一个轨线越过 ，s(则)称平衡状态xe不 稳定。
2）若
0
i
0
i为偶数 i为奇数
则P（或V(x)）为负定的。
3）若 i00,,ii1n,2,n1则P（或V(x)）为半正定的。
0 i为偶数
4）若
i
0
i为奇数
则P（或V(x)）为半负定的。
0 i=n
李雅普诺夫第二法稳定性判据
设系统的状态方程为
x f (x)

第四章李雅普诺夫稳定性理论

第四章李雅普诺夫稳定性理论

对概念的几点说明：
(5)线性系统渐近稳定等价于大范围渐近稳定。对非线 性系统,一般只考虑吸引区为有限定范围的渐近稳定。
第二节 李雅普诺夫间接法
思想：李氏间接法利用系统矩阵A的特征值 或者说系统极点来判断系统稳定性。
一、线性定常系统的稳定性
线性定常系统的稳定性判别定理：
(1)李氏稳定 A的约当标准形J中，实部为0的特征 值所对应的约当块的维数是一维的，其余特征值均 有负实部。 (2)渐近稳定 A的特征值均具有负实部。
，其中P为实对
称方阵，它的元素可以是定常的，可以是时变的，但
V(x)并不一定都是简单的二次型。
(4) V(x)函数只表示系统在平衡状态附近某邻域内局部运动的 稳定情况，但丝毫不能提供邻域外运动的任何信息。
(5) 由于V(x)构造需要技巧，因此Lyapunov第二法主要用 于那些使用别的方法无效或难以判断其稳定性的问题，如 高阶非线性系统或时变系统。
A奇异：
b. 非线性系统 例：
令
2. 孤立的平衡状态：在某一平衡状态的充分小的 邻域内不存在别的平衡状态。
说明： (1) 系统不一定都存在平衡点； (2) 但系统也可能有多个平衡点； (3) 平衡点多数在状态空间的原点，可通过适当
的坐标变换移到原点（针对孤立平衡点）； (4) 稳定性问题都是相对于某个状态而言的，对
(3)不稳定 A的特征值中至少有一个有正实部。
说明：
(1)劳斯判据依然适用。 (2)状态稳定(内部的稳定)与BIBO稳定(输出稳定性)。
解释： 例1：
李氏稳定 不稳定 李氏稳定
李氏稳定 不稳定
例2：
求A的特征值： 得A特征值：
不稳定
二、非线性系统的稳定性 非线性系统的稳定性一般是局部的。用间接法判

第4章稳定性与李雅普诺夫方法

第4章稳定性与李雅普诺夫方法

第4章稳定性与李雅普诺夫方法稳定性是评估一个系统的重要性能指标，它描述了系统在一定初始条件下是否能够保持其平衡状态。

稳定性分为两种类型，即渐近稳定性和有界稳定性。

渐近稳定性指的是系统随着时间的推移趋向于其中一平衡状态，而有界稳定性指的是系统在任意时刻的状态都保持在其中一有界范围内。

为了评估系统的稳定性，我们可以利用李雅普诺夫方法。

李雅普诺夫方法是一种通过构造李雅普诺夫函数来判断系统稳定性的方法。

李雅普诺夫函数是一个满足特定条件的函数，它的导数反映了系统状态变化的趋势。

通过对李雅普诺夫函数的导数进行分析，我们可以判断系统在任意时刻的状态是否会向着平衡状态演进。

在利用李雅普诺夫方法进行稳定性分析时，通常需要满足以下条件：1.李雅普诺夫函数必须是正定函数，并且在系统的平衡点上取得最小值。

2.李雅普诺夫函数的导数必须是负定函数，即在系统的平衡点附近的任意一点，李雅普诺夫函数的导数都小于等于零。

如果满足以上条件，那么系统就是渐近稳定的。

反之，如果李雅普诺夫函数的导数是正定函数，那么系统就是不稳定的。

除了判断系统的稳定性外，李雅普诺夫方法还可以用于定量的稳定性分析。

通过分析李雅普诺夫函数的导数的大小，我们可以得到系统状态变化的速度。

如果李雅普诺夫函数的导数越小，那么系统的稳定性就越好。

反之，如果李雅普诺夫函数的导数越大，那么系统的稳定性就越差。

在实际应用中，李雅普诺夫方法广泛应用于控制系统、电路系统和机械系统等领域。

通过利用李雅普诺夫方法进行稳定性分析，我们可以评估系统的稳定性，并对系统进行控制，以保持系统的稳定状态。

总之，稳定性是一个评估系统性能的重要指标，通过利用李雅普诺夫方法可以判断系统的稳定性，并定量地分析系统的稳定性。

李雅普诺夫方法在控制系统、电路系统和机械系统等领域有广泛的应用前景。

第四章 李雅普诺夫稳定性PPT课件

第四章 李雅普诺夫稳定性PPT课件
第五章 李雅普诺夫稳定性分析
5.1 几个稳定性概念 5.2李雅普诺夫稳定性定理 5.3线性系统中李雅普诺夫稳定性分析 5.4非线性系统中李雅普诺夫稳定性分析
1
稳定性定义
稳定性与能控性，能测性一样，均是系统的结构性 质。一个动态系统的稳定性，通常指系统的平衡状 态是否稳定。简单的说，稳定性是指系统在扰动消 失后，由初始偏差状态恢复到原平衡状态的性能， 其是系统的一个自身动态属性。
系统的平衡状态是一致渐近稳定的。
10
李雅普诺夫稳定性定理
定理5-1（李雅普诺夫稳定性的基本定理） 并称 V ( x , t ) 是系统的一个李雅普诺夫函数。 进一步，若 V ( x , t ) 还满足： (3) limV(x,t) ,则系统的平衡状态是大
x
范围一致渐近稳定的。
11
李雅普诺夫稳定性定理
2
平衡状态
对于系统自由运动，令输入 u 0 ，系统的齐次状态方程
•
为 xf(x,t) (5-1)式(5-1)的解为 x(t) (t;x0,t0) (5-2)
式(5-2)描述了系统（5-1）在n维状态空间的运动轨线。
在式（5-1）所描述的系统中，存在状态点 x e ，当系统运动
到该点时，系统状态各分量维持平衡，不在随时间变化，即
发的状态轨迹都收敛于x e 。
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李雅普诺夫稳定性定理
李雅普稳定性理论提出了判断系统稳定性的两 种方法。
1.第一方法：利用状态方程解的性质来判断系 统的稳定性。
2.第二方法：无须求解状态方程而是借助于象 征广义能量的李雅普诺夫函数 V ( x , t ) 及其对 时间的偏导数V• ( x , t ) 的符号特征直接判定平 衡状态的稳定性。
存在(,t0) 0，使得当 x0xe (,t0)时，系统(5-1) 从任意初始状态 x(t0) x0出发的解满足

现代控制理论课件第四章-李雅普诺夫稳定性

现代控制理论课件第四章-李雅普诺夫稳定性
对于任意 X Xe时，V(X)0，而V(X) 0，且仅当 X Xe时， 才有V(X)V(X)0，则系统 X f(X,t)是稳定的。
2020/12/13
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现代控制理论
第4章 李亚普诺夫稳定性分析
由此，李亚普诺夫第二法可归结为：在不直接求解的 前提下，通过李亚普诺夫函数 V(X,t) 及其对时间的一次导 数 V(X,t) 的定号性，就可以给出系统平衡状态稳定性的信 息。
李亚普诺夫第二法建立在这样一个直观的物理事实上：
如果一个系统的某个平衡状态是渐近稳定的，即
imX
t
Xe
，
那么
随
着
系
统
的运动
，
其
储
存
的能量
将
随
时
间的增长而衰减，直至趋于平衡状态而能量趋于极小值。
对于系统 X f(X,t) 建立一个能量函数 V (X ) ，即
V (X ) V (x 1 ,x2, ,xn)
X
e，
对于线性定常系统 X AX而言，其平衡状态满足 Xe AXe 0，若A是非奇异矩阵，则只有 Xe 0 ，即对线性 系统而言平衡状态只有一个，在坐标原点；反之，则有无
限多个平衡状态。
对于非线性系统而言，平衡状态不只一个。
2020/12/13
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现代控制理论
第4章 李亚普诺夫稳定性分析
3、李亚普诺夫第二法
是指系统在零输入条件下通过其内部状态变化所定义 的内部稳定性，即状态稳定。内部稳定性不但适用于线性 系统，而且也适用于非线性系统。
对于同一个线性系统，只有在满足一定的条件下两种定 义才具有等价性。稳定性是系统本身的一种特性，只和系统 本身的结构和参数有关，与输入-输出无关。

第四章李氏稳定性

第四章李氏稳定性

0 1 x x 1 1
A=[0 1;-1 -1]; Q=[1 0;0 1]; P=lyap(A’,Q) end 运行结果为： P=
1.5000 0.5000
3/ 2 1/ 2 P 1/ 2 1
0.5000
1.0000
二.线性定常离散系统李雅普诺夫稳定性分析
由 T P P Q 得：
p12 1 0 0 1 p22
p12 0 0.5 p11 0.5 1 p p22 12
52 40 由此解出 p11 p12 27 27 P 40 100 p11 0, p22 0 p12 p22 27 27 从而系统在原点的平衡状态是渐近稳定的.
第四章 李雅普诺夫稳定性分析
4.1 李氏稳定性理论的简介
4.2 预备知识
4.3 李雅普诺夫稳定性定义
4.4 李雅普诺夫第一方法
4.5 李雅普诺夫第二方法
4.6 线性定常系统的李雅普诺夫分析
小节：
李雅普诺夫第二法主要定理
设系统状态方程为
X f ( X , t ) Xe = 0为平衡状态 若存在 V ( X , t ) 当 X X e 时满足
现代控制理论
[扩展题]
（上海交大 2003 25分）
单级倒立摆系统如图所示，控制目标为通过外力u(t)使摆直立向上（即 θ(t)=0）。假设小车质量 M ＝0.5 Kg,匀质摆杆质量m = 0.2 Kg, 摆杆转动轴 心到杆质心的长度2l= 0.6m, x(t)为小车水平位移，θ为摆杆的角位移，忽略摆 及小车的 摩擦系数，g=9.8m/s2.该系统非线性模型为
设
V ( x ) X T PX 0

现代控制工程四-精品文档

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3
4）渐近稳定性： 系统的平衡状态不仅具有李雅普若夫意义下的稳定性，且 有：
lim x ( t ; x 0 , t 0 ) x e 0
t
称此平衡状态是渐近稳定的。 5）大范围稳定性： 当初始条件扩展至整个状态空间，且具有稳定性时，称此 平衡状态是大范围稳定的，或全局稳定的。
此时
, S () , x
4
6）不稳定性 ：
不论δ 取得得多么小，只要在 S ( ) 内有一条 从x0 出发的轨迹跨出 S ( ) ，则称此平衡状态是不 稳定的。
注意：按李雅普诺夫意义下的稳定性定义，当系统作 不衰减的振荡运动时则认为是稳定的，同经典控制理 论中的稳定性定义是有差异的。经典控制理论的稳定 是李雅普诺夫意义下的一致渐近稳定。
e
的状态
（1）只有状态稳定，输出必然稳定； （2）稳定性与输入无关。 平衡状态的各分量不再随时间变化；若已知状态方程， 令 所求得的解 x ,便是平衡状态。 2) 李雅普诺夫稳定性定义：
x0
,t0) 0 ， 如果对于任意小的 > 0，均存在一个 ( 当初始状态满足 x 时，系统运动轨迹满足 0 x e lim x ( t ;x ,t ) x ，则称该平衡状态xe 是李雅普诺 0 0 e 夫意义下稳定的，简称是稳定的。
且 V(0 ) 0 ，则称
V (x)
在域S内负定。
2 2 是负定的。 如 V ( x ) ( x x ) 1 2
如果
V ( x ) 是负定的，则
V ( x ) 一定是正定的。
) 0，且 V ( x ) 在域S内某些状态处 负（正）半定性： V(0 有 V(x) 0，而其它状态处均有 V(x) 0 （ V(x) 0）， 则称 V ( x ) 在域S内负（正）半定。
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p12
p12 p22
2 1
2
1
2
p11
3 2
0
3
p11 p12
p12 p22
2 1
2
1 2 0 1
P正定
V xT
Px
xe是12 大(3x范12 围 2一x1致x2渐进2x稳22 )定
0
.
V (x12 x22 )
2. 线性定常离散系统渐进稳定性判别
设系统状态方程：x(k 1) x(k)
第4章
李雅普诺夫稳定性理论
4.1 稳定性基本概念
4.2 李雅普诺夫意义下的稳定性
4.3 李雅普诺夫第一法
4.4 李雅普诺夫第二法 4.5 线性定常系统渐进稳定性判别法 4.6 非线性系统李氏函数的求法
教学要求：
1.正确理解稳定性基本概念和李雅普洛夫意义稳定 性概念
2.熟练掌握李氏第一法,李氏第二法 3.掌握线性系统渐近稳定性分析和离散系统渐近稳
x0 xe (,t0)
的任意初始态 x0 出发的运动轨迹
x(t; x0,t0 )，在t 都满足：
x(t; x0,t0) xe , t t0
则称xe是李雅普诺夫意义下稳定的。
时变： 与t0 有关 定常系统： 与t0无关，xe是一致稳定的。
注意： －向量范数(表示空间距离)
欧几里得范数。
即系统矩阵A的全部特征值位于复平面左半 部。
2. 非线性系统的稳定性分析：
假定非线性系统在平衡状态附近可展 开成台劳级数，可用线性化系统的特征值 判据判断非线性系统的平衡状态处的稳定 性。
设非线性系统状态方程：
x f (x) f (x) --非线性函数
在平衡状态 xe 0附近存在各阶偏导
数，于是：
❖非线性系统：只能在小范围一致稳定，由状 态空间出发的轨迹都收敛 xe 或其附近。
❖ 当 与t0 无关 大范围一致渐进稳定。
❖ 必要条件：在整个状态空间中只有一个平 衡状态xe
4. 不稳定性：不管 ， 有多小，只要s( )
内由 x0 出发的轨迹超出 s( )以外，则称此
平衡状态是不稳定的。
线性系统的平衡状态不稳定 表征系统不稳定。
❖ 稳定性：系统在受到小的外界扰动后，系 统状态方程解的收敛性，而与输入作用无 关。
❖ 经典控制理论稳定性判别方法：代数判据， 奈魁斯特判据，对数判据，根轨迹判据
❖ 非线性系统：相平面法(适用于一，二阶非 线性系统)
❖ 俄国学者李雅普诺夫提出的稳定性定理采 用了状态向量来描述，适用于单变量，线 性，非线性，定常，时变，多变量等系统。
❖ 应用：自适应，最优控制，非线性控制等。
主要内容： 李氏第一法（间接法）：求解特征方程
的特征值
李氏第二法（直接法）：利用经验和技巧 来构造李氏函数
4.1 稳定性基本概念
1.自治系统：输入为0的系统 x=Ax+Bu(u=0)
2.初态 x=f(x,t)的解为 x(t; x0,t0 )
x(t0 , x0 , t0 ) x0 初态
一致渐进稳定。 定理2
例3：试判断下列线性系统平衡状态的稳定性。
.
x. 1 kx2 (k 0)
x2
.
.
x1
解：由于 x1 x2 0
x1 x2 0
则原点是平衡状态
设 V (x) x12 kx22
V&(x) 正（负）半定
则
.
V (x) 2kx1x2 2kx1x2
0
故系统是李雅普诺夫意义下的稳定。
试用李雅普诺夫第二法判断其稳定性。
解：
.
令
x1 0
.
x2 0
x1 0 x2 0
原点是唯一平衡点
则设VV. ((xx))2xx121
.
x22
x1 2x2
.
x2
.
V (x) 2(.x12 x22 )2
定理1
x0
V .
(
x)
0
.
V
(
x)
负定
x 0 V (x) 0
1)原点是渐进稳定的；
2)只有一个平衡状态，该系统是大范围渐 进稳定；
g(x) 0 则是李雅普诺夫意义下的稳定性。
4.4 李雅普诺夫第二法(直接法)
❖ 稳定性定理：
设系统状态方程：x f (x,t)
其平衡状态满足 f (0,t) 0 ，假定 状态空间原点作为平衡状态( xe 0)，并设 在原点领域存在V (x,t)对 x 的连续的一阶
偏导数。
定理1：若(1) V (x,t) 正定；
.
故 V. (x) 正半定。 令 V (x) 0 .x2 0, x1 0 即非零状态时，V (x)不恒为零，则原点不稳
定即系统不稳定。
推论1
4.5 线性定常系统渐进稳定性判别法
1. 设系统状态方程为：
.
x Ax
A--非奇异矩阵
xe 0为唯一平衡状态。
设选取如下的正定二次型. 函数V (x)为李氏函数
定性分析方法 重点内容： •李雅普诺夫第一、第二法的主要定义与定理，李 雅普诺夫函数的构造 •线性定常系统与非线性系统稳定性定理与判别 •李雅普诺夫方程，渐近稳定性的分析与判别
❖ 研究的目的和意义:稳定性是自动控制系统 正常工作的必要条件，是一个重要特征。
❖ 要求：在受到外界扰动后，虽然其原平衡 状态被打破，但在扰动消失后，仍然能恢 复到原来的平衡状态，或者趋于另一平衡 状态继续工作。
令 x1 0 x2 0
0
x e1 0
0 xe3 1
0 xe2 1
4. 孤立的平衡状态：在某一平衡状态的充分 小的领域内不存在别的平衡状态。
对于孤立的平衡状态，总可以经过适当的 坐标变换，把它变换到状态空间的原点。
4.2 李雅普诺夫意义下的稳定
1.李氏意义下的稳定
如果对每个实数 0 都对应存在另 一个实数 ( ,t0 ) 0 满足
.
4) 判断非零情况下，V[x(t; x0,t),t] 是否为零。
渐进稳定 李氏稳定 不稳定
.
令 V (x,t). 0 若x 0, V (x,t) 0 成立 李氏意义 下稳定
.
若仅x 0, V (x,t) 0 成立 渐进稳定
例1：已知非线性系统的状态方程为：
.
x. 1 x2 x1(x12 x22 ) x2 x1 x2 (x12 x22 )
3.平衡状态：
xe f (xe , t) 0 xe 系统的平衡状态 a.线性系统 x Ax x Rn
A非奇异： Axe 0 xe 0
A奇异：
Axe 0 有无穷多个 xe
b.非线性系统
x f (xe ,t) 0 可能有多个 xe
eg. x1 x1
x2 x1 x2 x23
3)由于V(x)与t无关，又是大范围一致渐进稳 定。
几何意义：
c1
V (x) x12 x22
c12 (c22 )
等能量轨迹(整个平面)
x2
c(2x10, x20)
x1
例2：试判断下列线性系统平衡状态的稳定性。
.
.x1 x2
x2 x1 x2
解：1) 令
.
x. 1 0
x1 0
x2 0
➢ 原点不稳定 线性系统不稳定 非线性系统不一定
.
❖推论. 1：当 V (x,t) 正定，V (x,t) 正半定， 且 原点V [不x(稳t;定x0。, t), t] 在非零状态不恒为零时,则
.
❖推论2：V (x,t) 正定，V (x,t) 正半定，若 . x 0 ，V (x,t) 0 ，则原点是李雅普诺夫 意义下稳定(同定理3)。
非线性系统的平衡状态不稳定 只说明存在局部发散的轨迹。
若存在极限环，则系统仍是李雅普诺夫意义下 的稳定性。
4.3 李雅普诺夫第一法（间接法） 利用状态方程解的特性来判断系统稳定性。
1. 线性定常系统稳定性的特征值判据：
x Ax x(0) x0 t 0
1）李氏稳定的充要条件：
Re(i ) 0 i 1,2, n
几点说明：
1) V (x,t)选取不唯一，. 但没有通用办法，V (x,t) 选取不当，会导致 V (x,t) 不定的结果。
2)
这仅仅是充分条件。
.
V (x,t)--单调衰减(实际上是衰减振荡)
李氏第二法的步骤：
1) 构造一个 V (x,t) 二次型； .
2) 求 V (.x,t) ，并代入状态方程； 3) 判断V (x,t) 的定号性；
件为:
给定一正交实对称矩阵Q，存在唯一 的正定实对称矩阵P使 AT P PA Q 成立，
则xT Px V (x)为系统的一个李氏函数。
方法1：给定P Q V(x)选取不定 Q不定。
给定正定Q P xT Px V (x)
Q单位阵 p的定号性
方法2：Q取正半定(定理2)允许单位矩阵主对
.
角线上部分元素为零 V (x)负半定。
.
(2) V (x,t)
负定；
则原点是渐进稳定的。
.
说明：V (x,t) 负定 能量随时间连续单调
衰减。
▪ 定理2：若(1) V. (x,t) 正定；
(2) V. (x,t) 负半定；
(3)V[x(t; x0 ,t),t] 在非零状态不
恒为零，则原点是渐进稳定的。
❖ 定理3：若(1) V (x,t)正定； . (2)V. (x,t) 负半定； (3)V[x(t; x0 ,t),t] 在非零状态存
.
例1：x
0 1
1 1 x
xe 0
解：选取 V (x) xT Px AT P PA Q
0 1
1 0
1 p11