第八节函数的连续性与间断点 (2)

函数的连续性与间断点一、函数的连续性1． 增量：变量x 从初值1x 变到终值2x ，终值与初值的差叫变量x 的增量，记作x ∆，即x ∆＝1x －2x 。

（增量可正可负）。

例1 分析函数2x y =当x 由20=x 变到05.20=∆+x x 时，函数值的改变量。

2．函数在点连续的定义定义１：设函数y ＝)(x f 在点0x 的某个邻域内有定义，如果自变量x 的增量x ∆=0x x -趋向于零时，对应的函数增y ∆＝)()(0x f x f -也趋向于零，则称函数y ＝)(x f 在点0x 处连续。

定义２：设函数y ＝)(x f 在点0x 的某个邻域内有定义，如果函数)(x f 当0x x →时的极限存在，即)()(lim 00x f x f x x =→，则称函数y ＝)(x f 在点0x 处连续。

定义3：设函数y ＝)(x f 在点0x 的某个邻域内有定义，如果对任意给定的正数ε，总存在正数δ，使得对于适合不等式δ<-0x x 的一切x ，所对应的函数值)(x f 都满足不等式：ε<-)()(0x f x f ，则称函数y ＝)(x f 在点0x 连续。

注：1、上述的三个定义在本质上是一致的，即函数)(x f 在点0x 连续，必须同时满足下列三个条件：（1） 函数y ＝)(x f 在点0x 的某个邻域内有定义（函数y ＝)(x f 在点0x 有定义），（2） )(lim 0x f x x →存在；（3）)()(lim 00x f x f x x =→。

3．函数y ＝)(x f 在点0x 处左连续、右连续的定义：（1）函数y ＝)(x f 在点0x 处左连续⇔)(x f 在(]00,x x δ-内有定义，且)()(lim 000x f x f x x =-→（即)()0(00x f x f =-）。

（2）函数y ＝)(x f 在点0x 处右连续⇔)(x f 在[)δ+00,x x 内有定义，且)()(lim 000x f x f x x =+→（即)()0(00x f x f =+）。

00x x x x =-称为自变量在处的增量；000()()()()y f x f x f x x f x =-=+-为函数的增量。

x+xy∆定义1：00()()y f x U x x x =∆设在内有定义，是处的任意增量，00()()y f x x f x ∆=+∆-是对应函数的增量，若[]000lim 0li )) m ((0x x y f x x f x ∆→∆→∆=+∆-=或则称函数在点0x 连续。

称为的连续点。

0x 定义2:在的某邻域内有定义, 设函数且则称函数.)(0连续在x x f(3)可见, 函数在点0x 连续必须具备下列条件:(2) 极限存在;(1) 在点即有定义,存在;εδ--语言00()0,0f x x x x εδδ⇔∀>∃>-<在连续当时，0()()f x f x ε-<连续的三要素2.单侧连续定义3.若00()(),f x f x -=则称函数在点左连续。

0x 若00()(),f x f x +=则称函数在点右连续。

0x 定理1函数在点连续的充要条件是0x 函数在点既左连续又右连续。

0x 注意：单侧连续的概念多用来研究分段函数在分段点处的连续性。

3.函数在区间上的连续性若在某区间上每一点都连续, 则称它在该区间上连续, 或称它为该区间上的连续函数..],[b a C 在闭区间上的连续函数的集合记作例如,在上连续.( 有理整函数)又如, 有理分式函数在其定义域内连续.()(,)P x C ∈-∞+∞二、函数的间断点)()(lim 00x f x f x x ≠→不连续:设在点的某去心邻域内有定义,则下列情形之一函数f (x ) 在点()f x 0x 0x (1) 函数在无定义;()f x 0x 在(2) 函数不存在;虽有定义, 但()f x 0x 0lim ()x x f x →在(3) 函数存在,但虽有定义, 且()f x 0x 0lim ()x xf x →这样的点称为间断点.0x间断点分类:第一类间断点:第二类间断点:称0x 为可去间断点.称0x 为跳跃间断点.称0x 若其中有一个为,∞为无穷间断点.若其中有一个为振荡,称0x 为振荡间断点.及均存在,0()f x +0()f x -若00()()f x f x +-=若00()()f x f x +-≠及中至少一个不存在,0()f x +0()f x -(2) 第二类间断点定义凡不属于第一类的间断点,称为函数的第二类间断点.即左右极限至少有一个不存在的点.这算定义吗？()f x x在x π∴=是函数的间断点。

⾼等数学（8）函数的连续性与间断点⼀、函数的连续性增量变量u:初值u1 -> 终值u2增量Δu: Δu = u2-u1正的增量Δu:u1变到u2时是增⼤的负的增量Δu:u1变到u2时是减⼩的函数的增量即:当因变量增量随⾃变量增量趋于0，称为连续。

单侧连续·左连续:如果limx->x0- f(x)存在且等于f(x0) 即f(x0-) = f(x0)·右连续:如果limx->x0+f(x)存在且等于f(x0) 即f(x0+) = f(x0)·定理函数f(x)在x0处连续=函数f(x)在x0处既左连续⼜右连续连续函数定义:在区间上每⼀点都连续的函数,叫做在该区间上的连续函数或者说函数在该区间上连续注1 如果区间包括端点,那么函数在右端点处左连续，在左端点处右连续注2 连续函数的图形是⼀条连续⽽不间断的曲线例题例证明函数y = sinx 在区间(-∞,+∞)内连续⼆、函数的间断点第⼀类间断点(左右极限都存在)跳跃间断点·如果f(x)在x0处左右极限都存在·但f(x0-0)≠f(x0+0)则称点x0为函数f(x)的跳跃间断点讨论f(x) = { -x,x<=0 1+x,x>0} 在x=0处的连续性可去间断点·如果f(x)在x0处极限存在·但limx->x0 f(x) = A ≠f(x0) 或在点x0处⽆定义则称点x0为函数f(x)的可去间断点注意·注1:可去间断点只要改变或者补充间断处函数的定义,则可使其变为连续点·注2:跳跃间断点与可去间断点统称为第⼀类间断点第⼆类间断点·如果f(x)在x0处左右极限⾄少有⼀个不存在·则称x0为函数f(x)的第⼆类间断点例题1讨论f(x) = { 1/x (x>0 x(x<=0 ) 在x=0处的连续性四、章⼩结·函数在⼀点连续必须满⾜的三个条件；1.在这⼀点有定义2.在这⼀点极限是存在的3.极限存在的情况下还要等于在这⼀点的函数值·区间上的连续函数;函数在区间上的任意⼀点都连续,我们就说函数在区间上是连续的·间断点的分类与判别;间断点{第⼀类间断点:可去型，跳跃型 (左右极限都存在第⼆类间断点:⽆穷型, 振荡型 (⾄少有⼀个极限不存在}。

函数的连续性与间断点函数是研究数学的重要工具之一，而函数的连续性与间断点则是研究函数性质的基础。

在数学领域中，连续性是一种非常重要的性质，因为它决定了函数在一定区间内的取值方式。

在这篇文章中，我们将探讨函数的连续性与间断点的概念、特征以及应用。

函数的连续性连续性是函数最基本的性质之一，它表明函数在其定义域内的取值是连续的。

简单来说，就是当函数的自变量趋近于某个值时，函数的值也趋近于某个值，而且这个趋近过程是连续的。

如果函数不满足连续性，那么就会出现间断点。

函数连续性的定义：设函数$f(x)$在点$x_0$的某个邻域内有定义，如果当$x$在$x_0$附近移动时$f(x)$的值趋近于$f(x_0)$，则称函数$f(x)$在点$x_0$处连续，否则称函数$f(x)$在点$x_0$处不连续。

连续性是指函数的值可以不间断地取遍定义域内的任意值。

在图像上，连续的函数是没有断点的函数，它的所有连续的点构成一个连续的曲线。

连续性是函数值变化的一种平滑的方式，也是数学中最基本、最重要的性质之一。

函数的间断点函数的间断点与连续性是相对的。

当一个函数在某一点处不连续时，我们就称它在那一点有间断点。

间断点通常分为三种：可去间断点、跳跃间断点和无穷间断点。

1. 可去间断点：当函数在某一点处的左、右极限存在且相等，但与函数在该点处的函数值不相等时，在该点就称为函数的可去间断点。

可去间断点是因为函数在那个点处可以被定义为一个更平滑的函数。

2. 跳跃间断点：当函数在某一点处的左、右极限都存在，但这两个极限不相等时，在该点就称为函数的跳跃间断点。

跳跃间断点通常是因为函数在那个点处实现了一个突变。

3. 无穷间断点：当函数在某一点处的左、右极限至少有一个不存在时，在该点就称为函数的无穷间断点。

函数的连续性与间断点的应用函数的连续性与间断点在计算机科学、物理学、经济学和生物学等领域中都有重要的应用。

例如，在控制系统中，通过控制系统与外界相关变量之间的函数间的连续性，我们可以预测和控制物理系统的运动。

函数的连续性与间断点函数的连续性和间断点是函数学中常见的概念，它们与函数的性质紧密相关。

本文将介绍函数的连续性和间断点的定义、分类以及与函数图像的关系。

一、函数的连续性函数的连续性是指函数在一定区间内的普遍性质，即函数在该区间内的每个点都具有连续性。

具体而言，对于给定的函数f(x)，若函数在x=a的某个邻域内，当x趋近于a时，f(x)也趋近于f(a)，则称函数在x=a处连续。

函数的连续性可以通过极限的定义来进一步说明。

对于函数f(x)，若对于任意给定的ε>0，存在δ>0，使得当0<|x-a|<δ时，有|f(x)-f(a)|<ε，则称函数在x=a处连续。

函数的连续性有三种基本类型：第一类间断点、第二类间断点和可去间断点。

1. 第一类间断点第一类间断点是指函数在该点的左右极限不相等的点。

换句话说，对于函数f(x)，若x=a是函数的一个间断点，且存在两个不相等的实数L1和L2，使得lim(x→a-)f(x)=L1，lim(x→a+)f(x)=L2，则称x=a为函数的第一类间断点。

2. 第二类间断点第二类间断点是指函数在该点的左右极限至少有一个不存在或者为无穷大的点。

即，对于函数f(x)，若x=a是函数的一个间断点，且至少存在一个左极限lim(x→a-)f(x)或右极限lim(x→a+)f(x)不存在或为无穷大，则称x=a为函数的第二类间断点。

3. 可去间断点可去间断点是指函数在该点的左右极限都存在，但与该点的函数值不相等。

也就是说，对于函数f(x)，若x=a是函数的一个间断点，且lim(x→a-)f(x)=lim(x→a+)f(x)=L，但f(a)≠L，则称x=a为函数的可去间断点。

二、函数的连续性与图像函数的连续性与函数图像的连续性密切相关。

对于连续函数而言，其图像是一条连续的曲线，没有突变或跳跃的情况。

而间断点则对应着函数图像上的断点或间断处。

对于第一类间断点而言，其在函数图像上呈现为两个不连续的部分，可以用一个空心圆标记该点。