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校名指标参赛队员组别奖项等级得分年北京大学数学建模吕卓然甲组一等奖22009北京大学数学建模王飞甲组一等奖22009北京大学数学建模郭一鸣甲组一等奖22009北京大学数学建模何珂俊甲组一等奖22009北京大学数学建模赵宇甲组二等奖12009北京大学数学建模戴紫薇甲组二等奖12009北京大学数学建模朱琳甲组一等奖22008北京大学数学建模孔亮甲组一等奖22008北京大学数学建模田昊枢甲组二等奖12008北京大学数学建模黄舒聪甲组二等奖12008北京大学数学建模樊昊霏甲组二等奖12008北京大学数学建模李健甲组二等奖12008北京大学数学建模田昊枢甲组一等奖22007北京大学数学建模杨鲲甲组一等奖22007北京大学数学建模傅列甲组一等奖22007北京大学数学建模刘琦甲组二等奖12007北京大学数学建模杨凝甲组二等奖12006北京大学数学建模邓剑甲组一等奖22005北京大学数学建模王亮甲组二等奖12005北京大学数学建模田成喆甲组一等奖22010北京大学数学建模程诚甲组一等奖22010北京大学数学建模匡宇明甲组一等奖22010北京大学数学建模杨颖甲组一等奖22010北京大学数学建模赵靖康甲组二等奖12010北京大学数学建模陈浩甲组二等奖12010北京大学数学建模张瑞祥甲组二等奖12010北京大学数学建模苏炜杰甲组二等奖12010北京大学数学建模马郓甲组二等奖12010清华大学数学建模余波甲组一等奖22009清华大学数学建模马传捷甲组一等奖22009清华大学数学建模陈颖甲组一等奖22009清华大学数学建模汪利甲组二等奖12009清华大学数学建模罗威甲组二等奖12009清华大学数学建模崔恒纲甲组二等奖12009清华大学数学建模黄华卿甲组二等奖12009清华大学数学建模夏铸亮甲组一等奖22008清华大学数学建模耿泉甲组二等奖12008清华大学数学建模郝涵甲组二等奖12008清华大学数学建模吕正甲组二等奖12008清华大学数学建模陈拉明甲组二等奖12008清华大学数学建模邝达甲组二等奖12008清华大学数学建模高彦如甲组二等奖12007清华大学数学建模林嵩甲组一等奖22006清华大学数学建模陈向前甲组一等奖22006清华大学数学建模申孟宜甲组一等奖22005清华大学数学建模王子卓甲组一等奖22005清华大学数学建模李昊甲组一等奖22005清华大学数学建模朱见刚甲组二等奖12005清华大学数学建模张邃甲组二等奖12005清华大学数学建模黄潇甲组二等奖12005清华大学数学建模许晨敏甲组二等奖12005清华大学数学建模詹东远甲组二等奖12005清华大学数学建模皮俊波甲组二等奖12005清华大学数学建模刘晔甲组二等奖12005清华大学数学建模吕阳甲组二等奖12005清华大学数学建模谭黎甲组二等奖12005清华大学数学建模韩科航甲组一等奖22010清华大学数学建模孙立君甲组一等奖22010清华大学数学建模俞华程甲组二等奖12010清华大学数学建模邵天兰甲组二等奖12010清华大学数学建模王譞甲组二等奖12010清华大学数学建模陈润泽甲组二等奖12010上海交通大学数学建模王海光甲组一等奖22009上海交通大学数学建模秦旺甲组二等奖12009上海交通大学数学建模张诗翔甲组二等奖12009上海交通大学数学建模唐杰甲组二等奖12009上海交通大学数学建模赵宇哲甲组二等奖12009上海交通大学数学建模汪茹明甲组二等奖12009上海交通大学数学建模梁建怡甲组一等奖22008上海交通大学数学建模王翔宇甲组一等奖22008上海交通大学数学建模王一雄甲组二等奖12008上海交通大学数学建模刘杰梅甲组二等奖12008上海交通大学数学建模刘谷砚甲组二等奖12008上海交通大学数学建模王雄甲组一等奖22007上海交通大学数学建模王资凯甲组二等奖12007上海交通大学数学建模宋大成甲组二等奖12007上海交通大学数学建模金碧辉甲组二等奖12007上海交通大学数学建模王雄甲组二等奖12006上海交通大学数学建模计元佳甲组二等奖12006上海交通大学数学建模刘洋甲组二等奖12006上海交通大学数学建模刘芳菲甲组一等奖22005上海交通大学数学建模姚奕扬甲组一等奖22005上海交通大学数学建模吴益跃甲组一等奖22005上海交通大学数学建模黄嘉维甲组一等奖22005上海交通大学数学建模王成甲组一等奖22005上海交通大学数学建模崔书田甲组二等奖12005上海交通大学数学建模胡嘉列甲组二等奖12005上海交通大学数学建模冯子乔甲组二等奖12005上海交通大学数学建模孙晓锐甲组二等奖12005上海交通大学数学建模黄宜真甲组二等奖12005上海交通大学数学建模车宇航甲组一等奖22010上海交通大学数学建模杨奕晨甲组二等奖12010上海交通大学数学建模李岩甲组二等奖12010上海交通大学数学建模许凌云甲组二等奖12010上海交通大学数学建模惠博闻甲组二等奖12010上海交通大学数学建模刘宇杰甲组二等奖12010上海交通大学数学建模董骁扬甲组二等奖12010上海交通大学数学建模阎立甲组二等奖12010上海交通大学数学建模张讼甲组二等奖12010上海交通大学数学建模干志远甲组二等奖12010浙江大学数学建模张欢甲组一等奖22009浙江大学数学建模贾皓博甲组一等奖22009浙江大学数学建模李娜甲组一等奖22009浙江大学数学建模王昕甲组一等奖22009浙江大学数学建模董南忆甲组二等奖12009浙江大学数学建模龚科甲组二等奖12009浙江大学数学建模唐小程甲组一等奖22008浙江大学数学建模刘基伟甲组一等奖22008浙江大学数学建模邢思远甲组一等奖22008浙江大学数学建模王昕甲组一等奖22008浙江大学数学建模李元实甲组二等奖12008浙江大学数学建模欧阳力文甲组二等奖12008浙江大学数学建模徐文超甲组二等奖12008浙江大学数学建模刘茁甲组二等奖12008浙江大学数学建模杜原甲组一等奖22007浙江大学数学建模赵胜林甲组一等奖22007浙江大学数学建模刘鑫琦甲组二等奖12007浙江大学数学建模李昂甲组二等奖12007浙江大学数学建模陈杰甲组二等奖12007浙江大学数学建模陈理中甲组二等奖12007浙江大学数学建模罗慧甲组二等奖12007浙江大学数学建模姚伟锋甲组二等奖12007浙江大学数学建模赵心怡甲组二等奖12007浙江大学数学建模潘姚华甲组二等奖12007浙江大学数学建模蒋贇甲组一等奖22006浙江大学数学建模方东博甲组一等奖22006浙江大学数学建模何烨甲组二等奖12006浙江大学数学建模吕钰甲组二等奖12006浙江大学数学建模虞华康甲组二等奖12006浙江大学数学建模潘洋洋甲组一等奖22005浙江大学数学建模宋威甲组一等奖22005浙江大学数学建模李植甲组一等奖22005浙江大学数学建模沈英韵甲组一等奖22005浙江大学数学建模丁鼐甲组二等奖12005浙江大学数学建模范翔甲组二等奖12005浙江大学数学建模周孜聪甲组二等奖12005浙江大学数学建模陈旭甲组二等奖12005浙江大学数学建模丁显廷甲组二等奖12005浙江大学数学建模钟犁甲组二等奖12005浙江大学数学建模毕树超甲组二等奖12005浙江大学数学建模马宇斌甲组一等奖22010浙江大学数学建模陈鑫磊甲组一等奖22010浙江大学数学建模曹臻甲组一等奖22010浙江大学数学建模刘胡世阳甲组一等奖22010浙江大学数学建模谢小玲甲组二等奖12010浙江大学数学建模韦晓亚甲组二等奖12010浙江大学数学建模丁志豪甲组二等奖12010浙江大学数学建模宋昭甲组二等奖12010。
全国研究生数学建模竞赛获奖名单全国研究生数学建模竞赛是我国高校数学建模领域的顶级竞赛之一，旨在培养和选拔具有创新能力和团队合作精神的优秀研究生。
每年都有众多参赛队伍脱颖而出，获得各个奖项的肯定和荣誉。
下面是近年来全国研究生数学建模竞赛的获奖名单。
一等奖获奖队伍：1. 清华大学“数模之光”团队：该团队由清华大学数学系的研究生组成，他们在竞赛中展现出了扎实的数学基础和创新思维，凭借出色的表现获得了一等奖。
2. 北京大学“数学奇才”团队：北京大学的研究生们在竞赛中展现出了卓越的团队合作和解决实际问题的能力，在激烈的角逐中脱颖而出，成功获得了一等奖。
3. 上海交通大学“数学先锋”团队：上海交通大学的研究生们凭借出色的数学建模能力和创新思维，成功解决了竞赛中的难题，荣获一等奖。
二等奖获奖队伍：1. 浙江大学“数学探索”团队：浙江大学的研究生们在竞赛中展现了扎实的数学基础和创新思维，凭借出色的表现获得了二等奖。
2. 南京大学“数学天才”团队：南京大学的研究生们在竞赛中展现出了卓越的团队合作和解决实际问题的能力，在激烈的角逐中脱颖而出，成功获得了二等奖。
3. 武汉大学“数学之星”团队：武汉大学的研究生们凭借出色的数学建模能力和创新思维，成功解决了竞赛中的难题，荣获二等奖。
三等奖获奖队伍：1. 复旦大学“数学狂热”团队：复旦大学的研究生们在竞赛中展现了扎实的数学基础和创新思维，凭借出色的表现获得了三等奖。
2. 同济大学“数学探索者”团队：同济大学的研究生们在竞赛中展现出了卓越的团队合作和解决实际问题的能力，在激烈的角逐中脱颖而出，成功获得了三等奖。
3. 华中科技大学“数学之光”团队：华中科技大学的研究生们凭借出色的数学建模能力和创新思维，成功解决了竞赛中的难题，荣获三等奖。
除了以上获奖队伍外，还有许多其他高校的研究生队伍也在竞赛中取得了优异的成绩。
他们在数学建模领域展现出了才华和潜力，为我国数学建模事业做出了重要贡献。
各高校数学建模网站及数学专业网站各高校数学建模网站及数学专业网站[分享](排名不按先后顺序)各高校数学建模网站及数学专业网站北京市北京大学:/中国人民大学:/清华大学/info.asp北方交通大学:/depart/xyl/jigou/math/北京航空航天大学:/北京理工大学:/introduce/dept/xy11.htm#sx 北京科技大学:/北京化工大学:http://202.4.136.54/introduce/xinji.htm北京邮电大学:/yuanxi/introduce/lixueyuan/Science.HTM 北京师范大学:/首都师范大学:中央民族大学:/天津市南开大学:http://202.113.29.3/天津大学:天津工业大学:/#天津师范大学:/河北省河北大学:/cmc/河北工业大学:/河北科技大学:/河北师范大学:http://202.206.100.3/xi/math/index.htm唐山师范学院:/xssz.html廊坊师范学院:/zghb/%E5%BB%8A%E5%9D%8A%E5%B8%82/nfsfxy .htm河北经贸大学:/山西省山西大学:太原理工大学:/山西师范大学:http://202.207.174.174/太原师范学院:/#雁北师范学院:/index.asp忻州师范学院:/山西财经大学:/内蒙古自治区内蒙古民族大学:/sxxy.htm辽宁省辽宁大学:/lnudept/sx.html大连理工大学:/辽宁师范大学:/dandu/shuxue/index.htm沈阳师范学院:http://210.30.208.81/沈阳大学:/大连大学:http://202.199.158.8/chn/yxyl/index.htm渤海大学数学系:/depart/sxx吉林省吉林大学::/xx.htm延边大学:/department/teach/shuxue.htm东北师范大学:http://210.47.28.254吉林农业大学信息技术学院:/college/xx.htm 北华大学:/通化师范学院:/四平师范学院:/sxxy长春师范学院:/shuli/index.asp黑龙江省:/hmcm/黑龙江大学:/哈尔滨工业大学:/hmcm/哈尔滨工程大学:/齐齐哈尔大学:http://218.7.49.122佳木斯大学:/xy/index.html东北林业大学:/index.asp哈尔滨师范大学:哈尔滨学院:/homepage/index.html上海市复旦大学:/同济大学:/上海交通大学:华东理工大学:/yxdh/lxy/Math/Math.htm东华大学:/science/firstnew.aspx上海大学:/mathematics/math.htm华东师范大学:上海师范大学:http://202.121.48.88/mathsc/上海财经大学:/jcjx/index.htm江苏省:/practice/mcm.htm南京大学:/njuc/dep/shuxue/main/main.htm苏州大学:/东南大学:中国矿业大学:/frameset/jcxi/hemei/math/shushouye.ht m河海大学:/江南大学:/南京理工大学:/Index.htm南京气象学院:/SXX/南京师范大学:/徐州师范大学:/index.asp淮阴师范学院:盐城师范学院:/maths南通师范学院:淮阴工学院:/shuli/index.htm南京晓庄学院:/school淮海工学院:/shuli/index.htm浙江省浙江大学:/mmb/index.php浙江师范大学:/mcm/杭州师范学院:/lxy/index.asp杭州电子工业学院:/湖州师范学院:/new/shetuan/jianmo/index.htm温州大学:/wzu/html/compus_summ/college/cmis/maths /shxjm.htm绍兴文理学院:/lxcol/index.htm温州师范学院:/宁波大学:/allwebs/wwwlxy/安徽省安徽大学:http://210.45.211.128/皖西学院:/depart/math/中国科学技术大学:/安徽师范大学:/~math/阜阳师范学院:/ch2/page.php?para_str=NCwzLDIsMSwwLDAs MCwwLDAsMCwwLDA=安庆师范学院:http://210.45.168.5/sxjsjx/index.asp淮南师范学院:http://211.70.176.138/sxx/安徽工程科技学院:/index.html福建省厦门大学/chinese/student/shetuan/sxyyxh/maths/xxyan di/xxyuandi.htm华侨大学:/福州大学:/dimacs/default.htm福建师范大学:/math/泉州师范学院:http://210.34.120.1/xxgk/erxy.htm漳州师范学院:/maths/MATHS/MATHS.HTM集美大学:/jcb/江西省南昌航空工业学院:/南方冶金学院:/first/yxsz/lxy/index.htm江西师范大学:/jgsz/jx/sxyxxkxxy.htm上饶师范学院:/宜春学院:/fenyuanfc/lixueyuan/INDEX.HTM井冈山师范学院:/南昌大学:/ksljml/yxsz/slxy.htm山东省山东大学:/index.htm青岛海洋大学:/山东科技大学:/chinese/cindex.htm济南大学:/index1.php山东师范大学:/曲阜师范大学:/maths/index1.htm聊城师范学院:/德州学院:/烟台师范学院:/yuanxi/shuxue/index.htm临沂师范学院:烟台大学:/yuanxi/math/index/潍坊学院:/jxjg/xbsz1.htm青岛大学:/河南省郑州大学:/math/许昌学院:/xbsz/shuxue/南阳师范学院:/yuanxi/shuxue/Index.htm河南大学:http://202.196.101.23/河南师范大学:/math信阳师范学院:/shuxue/shuxue.htm安阳师范学院:/shezhi/yxsz.htm洛阳师范学院:/bmzy/sxxweb/商丘师范学院:/shuxuexi/sxindex.htm湖北省武汉大学/华中科技大学:/chinese/departments/dept_maths/index.h tm中国地质大学:/2003/yxsz/12shuli.htm武汉科技学院:/华中师范大学:/math/index.htm湖北大学:http://202.114.153.222/湖北师范学院:/黄冈师范学院:/shuxuexi/webs/index.htm荆州师范学院:湖北民族学院:/襄樊学院:/zyjx/zyjx.htm中南民族学院:/jsj/index.htm孝感学院:/sxx/三峡大学:/lxy/index.htm湖南省湘潭大学:/html/shuxuexi吉首大学:/shuji/湖南大学:/index.asp中南大学:/湖南城市学院:/shuxue.htm湖南师范大学:http://202.197.120.20/web/sj/index.htm岳阳师范学院:/xibu/sxxi/index.html衡阳师范学院:/wyds/math/mathi.htm长沙电力学院:/link/jxyx.htm湘潭师范学院:/home.asp长沙理工大学::81/xb/sxx/长沙大学:/广东省中山大学:/暨南大学:/yxjs/lgxy/csxx1.html汕头大学:/chi/colleges_focus.html华南师范大学:/~math/2002/广州大学:http://202.192.18.15:8080/webdata/lxy/cn/ mathematics/introdu ction.htm韶关学院:/yxzy/shuxue/Index.asp惠州学院:/gb/yxsz/sxx.html韩山师范学院:/xibu/sxx/math_intro.asp湛江师范学院:/jigou/shuxue.htm肇庆学院:/嘉应学院:/shuxue/index.htm深圳大学:/五邑大学:/茂名学院:/华南理工大学:/am佛山科学技术学院:/li/广东水院数模网:/shumo/广西壮族自治区广西大学:/广西师范大学:/广西民族学院:/海南省海南师范学院:/yuanxisz/SHUXUE/SHUXUE.HTM 重庆市重庆大学:http://202.202.9.135/math.asp西南师范大学:/重庆师范学院:/重庆三峡学院:/intro/jk.htm四川省西南交通大学:/电子科技大学:/成都理工学院:/四川师范大学:/内江师范学院:/乐山师范学院:/四川大学:/home/index.html西南财经大学:/index.htm成都信息工程学院:/sm/main.htm贵州省贵州大学:/otherdep/cse/cse/index1.html贵州师范大学:/math/index.html黔南民族师范学院:/贵州民族学院:/云南省云南大学:/indexnew.html云南师范大学:/web/colloges/like.php曲靖师范学院:/西藏自治区西藏大学:/yuanxi_main.asp?id=28陕西省:/fsci/wj.asp西北大学:/page/jigoushezhi/ department/maths/math s/西安交通大学:/fsci/wj.asp西北工业大学:http://202.117.80.8/start0/index1024.asp西安电子科技大学:/西安工业学院:/index.jsp陕西师范大学:/延安大学:/zfbmsf/yadx/index.htm汉中师范学院:/shuji/zhuye.htm宝鸡文理学院:/department/shuxue/default.asp 甘肃省兰州大学:/西北师范大学:/sxxy/index.htm天水师范学院:/xxgk/math/西北民族学院:/青海省青海师范大学:/xiaoneijigou/xiaoneijigou/gexibu_zhong xing/shuxuexi.htm青海民族学院:/gaokao_new/schooldetail/63/10748/1074 8_yxsz/10748_yxsz_6_1.htm宁夏回族自治区宁夏大学:/西北第二民族学院:/新疆维吾尔自治区新疆大学:/石河子大学:/新疆师范大学:/伊犁师范学院:/专业建模协会：数学建模2000:/~sxjm/闯王乡人 - 数学建模:/math.htm数学建模(ja):/CenterWeb/mathematics/newpage312.ht m21世纪数学网:/中国数学在线:/showclass2.asp?ClassID=9傻子石电脑棚:/thunder10/xueshu/MCM.htm武汉理工大学数学建模协会:/bbs/list.asp?bd=1武汉大学数学建模协会:/重庆工商大学数学建模协会:/maths/mathematics%20association/people/p eople.htm成都信息工程学院学生数学建模协会:/sm/jg/jg.htm浙江师范大学数学建模协会:/西南交通大学数学建模协会:/student/邕江大学数学建模协会:/cgi-bin/index.dll?column8?webid=tongtu& userid=1345185&columnno=3&pageno=0山东理工大学建模协会:/sxjm/fzhy.htm茂名学院数学建模协会:http://210.38.240.36/sttd/shumo/8.index.htm 华中理工大学数学建模爱好者协会:/su-old/college/mathshust1/org/mmfan/_mmfa n.htm长虹雪苑之数学建模:http://210.41.224.40/yg/chxue/sxjm/sxjmylc.htm长安大学数学建模协会:/sub/成信数学建模协会:/sm/浙江建筑工程学院数学建模协会:http://210.32.200.48/assnb.htm#ban3 台州学院数学建模协会:/zndt/031016a.htm 四川理工学院大学生数学建模协会:/model/introduce/introduce.htm。
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物品分组排序问题摘要文主要研究物体的排序问题，从两方面进行考虑，一是考虑重量，二是考虑体积。
在物品满足这两个条件时，不需要更换物品，否则需要更换。
通过不同的算法，我们确定如何安装和排序的问题。
问题1运用了0-1整数规划模型，通过求解得到各个象限的物品。
问题2同时考虑了重量和体积的问题，使模型更复杂化了。
问题3利用了灵敏度分析，能够很快地解答出重量和体积的取值范围。
问题一中，明确16个物品均匀分布的含义，即物品在每个象限域的个数要相等，只能有4个物品在每个象限，并且各个象限域内物品的质量和要在某一的范围内，不能出现过重或过轻的情况。
由以上的均匀分布可得：每个物品必须在规划的指派问题模且只能在其中的一个象限域内，这样，我们就很容易想到01型。
从而利用lingo软件优化模型，得到结果。
问题二中，要满足的条件不仅是重量上的，而且还要满足体积上的，所以要同时考虑重量和体积。
体积的要求是相邻两个组，即相邻两个象限之间比较，而重量的要求是相邻象限之间的比较，所以将体积的要求优先考虑，进而再去考虑体积的要求,利用lingo优化模型，得到结果。
问题三中，综合考虑重量和体积时，分为以下3种：①当体积满足条件时，重量不满足条件；②当重量满足条件时，体积不满足条件；③体积和重量都不满足条件；最后，本文给出了模型的评价与推广。
关键词：0-1规划的指派问题模型网络搜索物品更换一、问题提出现有物品16件，每件物品的重量G和体积V互不相同，下面的附件数据提供了相关数据。
试解决下列问题。
（1）按照要求需要将16件物品分成四组，每组4件。
如果要求分组后每组之间的总重量差尽可能小，试建立数学模型，给出求解算法和最优分配方案。
（2）如果要求分组后每组之间的总重量差尽可能小的同时，每组之间的总体积差也要尽可能小，并且重量差优先，试建立数学模型，并给出最优分配方案。
（3）如果要求分组后每组之间的总重量差不能大于2，每组之间的总体积差不能大于3，请验证附件数据不能满足以上要求。
为了保持自然资料的合理开发与利用，人类必须保持并控制生态平衡，甚至必须控制人类自身的增长。
本节将建立几个简单的单种群增长模型，以简略分析一下这方面的问题。
一般生态系统的分析可以通过一些简单模型的复合来研究，大家若有兴趣可以根据生态系统的特征自行建立相应的模型。
美丽的大自然种群的数量本应取离散值，但由于种群数量一般较大，为建立微分方程模型，可将种群数量看作连续变量，甚至允许它为可微变量，由此引起的误差将是十分微小的。
离散化为连续，方便研究§3.2Malthus 模型与Logistic 模型模型1马尔萨斯（Malthus ）模型马尔萨斯在分析人口出生与死亡情况的资料后发现，人口净增长率r 基本上是一常数，（r =b -d ,b 为出生率，d 为死亡率），既：1dN r N dt =dN rN dt =或（3.5）0()0()r t t N t N e -=（3.6）（3.1）的解为：其中N 0=N (t 0)为初始时刻t 0时的种群数。
马尔萨斯模型的一个显著特点：种群数量翻一番所需的时间是固定的。
令种群数量翻一番所需的时间为T ，则有：002rTN N e =ln 2T r =故模型检验比较历年的人口统计资料，可发现人口增长的实际情况与马尔萨斯模型的预报结果基本相符，例如，1961年世界人口数为30.6 （即3.06×109），人口增长率约为2%，人口数大约每35年增加一倍。
检查1700年至1961的260年人口实际数量，发现两者几乎完全一致，且按马氏模型计算，人口数量每34.6年增加一倍，两者也几乎相同。
19502000205021002150220000.511.522.533.5x 1011t/年N /人马尔萨斯模型人口预测模型预测假如人口数真能保持每34.6年增加一倍，那么人口数将以几何级数的方式增长。
例如，到2510年，人口达2×1014个，即使海洋全部变成陆地，每人也只有9.3平方英尺的活动范围，而到2670年，人口达36×1015个，只好一个人站在另一人的肩上排成二层了。
故马尔萨斯模型是不完善的。
几何级数的增长Malthus 模型实际上只有在群体总数不太大时才合理，到总数增大时，生物群体的各成员之间由于有限的生存空间，有限的自然资源及食物等原因，就可能发生生存竞争等现象。
所以Malthus 模型假设的人口净增长率不可能始终保持常数，它应当与人口数量有关。
模型2 Logistic 模型人口净增长率应当与人口数量有关，即：r =r (N )从而有：()dN r N N dt=（3.7）r (N )是未知函数，但根据实际背景，它无法用拟合方法来求。
为了得出一个有实际意义的模型，我们不妨采用一下工程师原则。
工程师们在建立实际问题的数学模型时，总是采用尽可能简单的方法。
r (N )最简单的形式是常数，此时得到的就是马尔萨斯模型。
对马尔萨斯模型的最简单的改进就是引进一次项（竞争项）对马尔萨斯模型引入一次项（竞争项），令r (N )=r -aN 此时得到微分方程：()dN r aN N dt =-(1)dN N r N dt K =-或（3.8）（3.8）被称为Logistic 模型或生物总数增长的统计筹算律，是由荷兰数学生物学家弗赫斯特（Verhulst ）首先提出的。
一次项系数是负的，因为当种群数量很大时，会对自身增大产生抑制性，故一次项又被称为竞争项。
（3.8）可改写成：()dN k K N N dt =-（3.9）(3.9)式还有另一解释，由于空间和资源都是有限的，不可能供养无限增长的种群个体，当种群数量过多时，由于人均资源占有率的下降及环境恶化、疾病增多等原因，出生率将降低而死亡率却会提高。
设环境能供养的种群数量的上界为K （近似地将K 看成常数），N 表示当前的种群数量，K -N 恰为环境还能供养的种群数量，（3.9）指出，种群增长率与两者的乘积成正比，正好符合统计规律，得到了实验结果的支持，这就是（3.9）也被称为统计筹算律的原因。
图3-5对（3.9）分离变量：11dN kKdt N K N ⎛⎫+= ⎪-⎝⎭两边积分并整理得：1kKt K N Ce -=+令N (0)=N 0，求得：00K N C N -=故（3.9）的满足初始条件N (0)=N 0的解为：000()()kKt N K N t N K N e -=+-（3.10）易见：N (0)=N 0，lim ()t N t K →+∞=N (t )的图形请看图3.5模型检验用Logistic 模型来描述种群增长的规律效果如何呢？1945年克朗皮克（Crombic ）做了一个人工饲养小谷虫的实验，数学生物学家高斯（E ·F ·Gauss ）也做了一个原生物草履虫实验，实验结果都和Logistic 曲线十分吻合。
大量实验资料表明用Logistic 模型来描述种群的增长，效果还是相当不错的。
例如，高斯把5只草履虫放进一个盛有0.5cm 3营养液的小试管，他发现，开始时草履虫以每天230.9%的速率增长，此后增长速度不断减慢，到第五天达到最大量375个，实验数据与r =2.309，a =0.006157，N (0)=5的Logistic 曲线：几乎完全吻合，见图 3.6。
2.309375()174t N t e-=+图3-6Malthus模型和Logistic模型的总结Malthus模型和Logistic模型均为对微分方程（3.7）所作的模拟近似方程。
前一模型假设了种群增长率r为一常数，（r被称为该种群的内禀增长率）。
后一模型则假设环境只能供养一定数量的种群，从而引入了一个竞争项。
用模拟近似法建立微分方程来研究实际问题时必须对求得的解进行检验，看其是否与实际情况相符或基本相符。
相符性越好则模拟得越好，否则就得找出不相符的主要原因，对模型进行修改。
Malthus模型与Logistic模型虽然都是为了研究种群数量的增长情况而建立的，但它们也可用来研究其他实际问题，只要这些实际问题的数学模型有相同的微分方程即可，下面我们来看两个较为有趣的实例。
历史背景:例5赝品的鉴定在第二次世界大战比利时解放以后，荷兰野战军保安机关开始搜捕纳粹同谋犯。
他们从一家曾向纳粹德国出卖过艺术品的公司中发现线索，于1945年5月29日以通敌罪逮捕了三流画家范·梅格伦（H ·A ·Vanmeegren ），此人曾将17世纪荷兰名画家扬·弗米尔（Jan Veermeer ）的油画“捉奸”等卖给纳粹德国戈林的中间人。
可是，范·梅格伦在同年7月12日在牢里宣称：他从未把“捉奸”卖给戈林，而且他还说，这一幅画和众所周知的油画“在埃牟斯的门徒”以及其他四幅冒充弗米尔的油画和两幅德胡斯（17世纪荷兰画家）的油画，都是他自己的作品，这件事在当时震惊了全世界，为了证明自己是一个伪造者，他在监狱里开始伪造弗米尔的油画“耶稣在门徒们中间”，当这项工作接近完成时，范·梅格伦获悉自己的通敌罪已被改为伪造罪，因此他拒绝将这幅画变陈，以免留下罪证。
为了审理这一案件，法庭组织了一个由著名化学家、物理学家和艺术史学家组成的国际专门小组查究这一事件。
他们用X 射线检验画布上是否曾经有过别的画。
此外，他们分析了油彩中的拌料（色粉），检验油画中有没有历经岁月的迹象。
科学家们终于在其中的几幅画中发现了现代颜料钴兰的痕迹，还在几幅画中检验出了20世纪初才发明的酚醛类人工树脂。
根据这些证据，范·梅格伦于1947年10月12日被宣告犯有伪造罪，被判刑一年。
可是他在监狱中只待了两个多月就因心脏病发作，于1947年12月30日死去。
然而，事情到此并未结束，许多人还是不肯相信著名的“在埃牟斯的门徒”是范·梅格伦伪造的。
事实上，在此之前这幅画已经被文物鉴定家认定为真迹，并以17万美元的高价被伦布兰特学会买下。
专家小组对于怀疑者的回答是：由于范·梅格伦曾因他在艺术界中没有地位而十分懊恼，他下决心绘制“在埃牟斯的门徒”，来证明他高于三流画家。
当创造出这样的杰作后，他的志气消退了。
而且，当他看到这幅“在埃牟斯的门徒”多么容易卖掉以后，他在炮制后来的伪制品时就不太用心了。
这种解释不能使怀疑者感到满意，他们要求完全科学地、确定地证明“在埃牟斯的门徒”的确是一个伪造品。
这一问题一直拖了20年，直到1967年，才被卡内基·梅伦（Carnegie-Mellon ）大学的科学家们基本上解决。
原理与模型测定油画和其他岩石类材料的年龄的关键是本世纪初发现的放射性现象。
放射性现象：著名物理学家卢瑟夫在本世纪初发现，某些“放射性”元素的原子是不稳定的，并且在已知的一段时间内，有一定比例的原子自然蜕变而形成新元素的原子，且物质的放射性与所存在的物质的原子数成正比。
用N (t )表示时间t 时存在的原子数,则：dN N dt λ=-常数λ是正的，称为该物质的衰变常数用λ来计算半衰期T :00()dN N dt N t N λ⎧=-=⎪⎨⎪⎩与负增长的Malthus 模型完全一样其解为: 0()0()t t N t N e λ--=012N N =令0ln 2T t t λ=-=则有:许多物质的半衰期已被测定，如碳14，其T =5568；轴238，其T =45亿年。
与本问题相关的其他知识:(1)艺术家们应用白铅作为颜料之一，已达两千年以上。
白铅中含有微量的放射铅210，白铅是从铅矿中提炼出来的，而铅又属于铀系，其演变简图如下（删去了许多中间环节）(2)地壳里几乎所有的岩石中均含有微量的铀。
一方面，铀系中的各种放射性物质均在不断衰减，而另一方面，铀又不断地衰减，补充着其后继元素。
从而，各种放射性物质（除铀以外）在岩石中处于放射性平衡中。
根据世界各地抽样测量的资料，地壳中的铀在铀系中所占平均重量比约为百万分之2.7（一般含量极微）。
各地采集的岩石中铀的含量差异很大，但从未发现含量高于2—3%的。
(3)从铅矿中提炼铅时，铅210与铅206一起被作为铅留下，而其余物质则有90—95%被留在矿渣里，因而打破了原有的放射性平衡。
（注：这些有关物理、地质方面的知识在建模时可向相应的专家请教。
）简化假定：本问题建模是为了鉴定几幅不超过300年的古画，为了使模型尽可能简单，可作如下假设：(1)由于镭的半衰期为1600年，经过300年左右，应用微分方程方法不难计算出白铅中的镭至少还有原量的90%，故可以假定，每克白铅中的镭在每分钟里的分解数是一个常数。
(2)铅210的衰变为：铅210T=22年钋210铅206T=138天若画为真品，颜料应有300年左右或300年以上的历史，容易证明：每克白铅中钋210的分解数等于铅210的分解数（相差极微，已无法区别）。
