浙江大学第五届大学生数学建模竞赛题目

浙江大学数学建模试卷数学建模试卷11．一个展开角为α的圆锥形漏斗内盛着高度为H的水，设漏斗底部的孔足够大（表面张力不计），试求漏斗中的水流光需要多少时间？2．设t时刻大鱼、小鱼、虾米的数量分别为x(t)、y(t)和z(t)，大鱼只吃小鱼，小鱼只吃虾米，试给出你认为这三个种群可能遵循的微分方程组。

3．设初始时容器里盛放着含食盐10千克的盐水100千克，现对其以每分钟3升的速率注入清水，容器内装有搅拌器能将溶液瞬时搅拌均匀，并同时以每分钟2升的速率放出盐水，求1小时后容器里的盐水中还含有多少克食盐？4．试用以下两种方法求解右面矩阵给出的指派问题 2 10 9 7（1）匈牙利算法15 4 14 8（2）增广路算法15 14 16 114 15 13 95．甲乙两人约定中午12：00至1：00之间在市中心某地见面，但两人讲好到达后只等待对方10分钟，求这两人能相遇的概率。

6．设有7台机器已损坏需检修，各机器检修所需时间分别为3、6、6、5、4、8、10小时，各机器停工1小时给工厂造成的损失分别为6、18、12、8、8、17、10（百元），修理工只有一名。

（1）试求一个使工厂总损失最少的检修顺序（2）将此实例推广到一般情况（即有n台机器要检修，各机器检修所需时间及停工1小时所造成的损失均已知）为排序问题1// ΣW C ，试给出求最优顺序的算法（3）证明你的算法必能求得最优顺序。

（以下的7、8题中任选一题解答）7．（1）已知最小费用最大流问题是P问题（因为它可以写成线性规划），据此证明最短路径问题也是P问题。

（2）证明0-1（线性）规划是NP难的8．某旅馆有一间会议厅，顾客可以预先预定使用该会议厅的天数。

证明：若至少有一人要求使用该会议厅的时间是确定的，并且分配给预定者使用该会议厅的时间期限是有上界的（即只制定规定天数如一周的使用计划），则管理员要确定是否可以不拒绝顾客的问题是NP难的。

（请先阅读“对论文格式的统一要求”）A题: 长江水质的评价和预测水是人类赖以生存的资源，保护水资源就是保护我们自己，对于我国大江大河水资源的保护和治理应是重中之重。

专家们呼吁：“以人为本，建设文明和谐社会，改善人与自然的环境，减少污染。

”长江是我国第一、世界第三大河流，长江水质的污染程度日趋严重，已引起了相关政府部门和专家们的高度重视。

2004年10月，由全国政协与中国发展研究院联合组成“保护长江万里行”考察团，从长江上游宜宾到下游上海，对沿线21个重点城市做了实地考察，揭示了一幅长江污染的真实画面，其污染程度让人触目惊心。

为此，专家们提出“若不及时拯救，长江生态10年内将濒临崩溃”（附件１），并发出了“拿什么拯救癌变长江”的呼唤（附件2）。

附件3给出了长江沿线17个观测站（地区）近两年多主要水质指标的检测数据，以及干流上７个观测站近一年多的基本数据（站点距离、水流量和水流速）。

通常认为一个观测站（地区）的水质污染主要来自于本地区的排污和上游的污水。

一般说来，江河自身对污染物都有一定的自然净化能力，即污染物在水环境中通过物理降解、化学降解和生物降解等使水中污染物的浓度降低。

反映江河自然净化能力的指标称为降解系数。

事实上，长江干流的自然净化能力可以认为是近似均匀的，根据检测可知，主要污染物高锰酸盐指数和氨氮的降解系数通常介于0.1~0.5之间，比如可以考虑取0.2(单位：1/天)。

附件4是“1995~2004年长江流域水质报告”给出的主要统计数据。

下面的附表是国标(GB3838-2002)给出的《地表水环境质量标准》中4个主要项目标准限值，其中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ类为可饮用水。

请你们研究下列问题：（1）对长江近两年多的水质情况做出定量的综合评价，并分析各地区水质的污染状况。

（2）研究、分析长江干流近一年多主要污染物高锰酸盐指数和氨氮的污染源主要在哪些地区?（3）假如不采取更有效的治理措施，依照过去10年的主要统计数据，对长江未来水质污染的发展趋势做出预测分析，比如研究未来10年的情况。

三、浙江大学数学竞赛试题一、设变量x 与y 的关系按如下方程确定：⎰+=ytx2411dt，证明：433=-dxdy dxy d 。

二、证明可导的周期函数的导函数仍为周期函数，并证明它们具有相同的周期。

三、设函数)(x f 在区间],[b a 上连续，且满足方程：⎰+=-21)]()([21)(12112x x x f x f dx x f x x ，21x x ≠，且],[,21b a x x∈，求函数)(x f（)()()()()(a f a x ab a f b f x f +---=）四、设)(x f 为),(+∞-∞上的连续函数，证明⎰+=batdtt x f x R cos )()( 在),(+∞-∞上有连续的导数，并求)('x g 。

（⎰+-+++=b aax a f b x b f tdt x t f x g cos )(cos )(sin )()(' ）五、设函数)(x f 在区间],[b a 上连续，且)(≥x f ，证明：)(max )("limx f dx x f bx a nban ≤≤∞→=⎰。

六、设nm q p ,,,为整数，且.1,>n m 证明⎰⎰⋅-++----=2222.)()2)(()3)(1()3)(1(cos sinqnpn qnpn nmd f n m n m n n m m d θθθθθ其中，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=n m n m n m n m f ,,1,,cos ,,sin ,,cos sin (若为奇数为偶数若为偶数为奇数若均为奇数若）θθθθθ七、求椭球面1222=-++xy zyx在坐标面Oyz 上的投影（即通过椭球面上每一点向平面Oyz 作垂线所得到的垂足的全体）的边界曲线的方程。

（1222=+zy）八、计算曲线积分dzey x dy y y x dx y x xzL)3()2()(222-+--+++-⎰，式中L为曲线P ：⎪⎩⎪⎨⎧+==+)arctan(41y x z y x π上由点A （0，1，1）经M （-1，0，-1），N （0，-1，-1）到B （1，0，1）的部分。

2003-2009全国大学生数学建模竞赛试题及参考答案2010-7-192005A题: 长江水质的评价和预测 (2)2005 A题评阅要点 (4)2005B题： DVD在线租赁 (6)2005 B题评阅要点 (8)2006A题:出版社的资源配置 (10)2006A题评阅要点 (10)2006B题: 艾滋病疗法的评价及疗效的预测 (13)2006 B题评阅要点 (14)2007A题：中国人口增长预测 (17)2007 A题评阅要点 (18)2007 B题：乘公交，看奥运 (21)2007 B题评阅要点 (22)2008A题数码相机定位 (24)2008 A题评阅要点 (27)2008B题高等教育学费标准探讨 (27)2008B题评阅要点 (29)2009 A题制动器试验台的控制方法分析 (30)2009 A题评阅要点 (32)2009B题眼科病床的合理安排 (35)2009 B题评阅要点 (36)2005A题: 长江水质的评价和预测水是人类赖以生存的资源，保护水资源就是保护我们自己，对于我国大江大河水资源的保护和治理应是重中之重。

专家们呼吁：“以人为本，建设文明和谐社会，改善人与自然的环境，减少污染。

”长江是我国第一、世界第三大河流，长江水质的污染程度日趋严重，已引起了相关政府部门和专家们的高度重视。

2004年10月，由全国政协与中国发展研究院联合组成“保护长江万里行”考察团，从长江上游宜宾到下游上海，对沿线21个重点城市做了实地考察，揭示了一幅长江污染的真实画面，其污染程度让人触目惊心。

为此，专家们提出“若不及时拯救，长江生态10年内将濒临崩溃”（附件１），并发出了“拿什么拯救癌变长江”的呼唤（附件2）。

附件3给出了长江沿线17个观测站（地区）近两年多主要水质指标的检测数据，以及干流上７个观测站近一年多的基本数据（站点距离、水流量和水流速）。

通常认为一个观测站（地区）的水质污染主要来自于本地区的排污和上游的污水。

浙江师范大学第五届数学建模竞赛(同梦杯)数学建模竞赛试题工件加工的排序问题（A）计划排序问题中的车间作业问题，研究n个工件在m台机器上有序的加工问题，每个工件都有完工的日期（DD，Due date）,加工的时间（PT，Processing time）和工件的价值（V AL，V alue if job is selected）.车间作业计划研究一个工厂生产工序的计划和安排，需要计划与合理安排各个工件在这些机器上加工的先后次序，即拟订加工工序，通过各个工件在各种机器上加工次序的合理安排，使得完成这批工件加工任务所需的总时间最省（注：总时间即为各个零件的加工时间和加工其他零件时它们等待时间之和）或要求整个选择加工的工件价值最大。

有一个工厂现在有12种工件（编号为工件1，工件2，…，工件12）需要在车床，钻床，铣床几种不同的设备上加工。

考虑下面的工件加工的排序问题：(一)这12种工件都要求在车床上加工，车床一次只能加工一种工件，这12种工件加工所需时间，每个工件的完工时间和每个工件的价值如表（1）所示：表（1）1)不考虑工件的完工时间和工件的价值，为该工厂安排工件加工的次序，使得完成这批工件加工任务所需的总时间最省。

建立数学模型并给出相应的算法。

2)由于工件必须在它们要求的时间内完工，按照表（1）的数据，为该工厂安排选择加工工件的种类及加工的次序，使得整个选择加工的工件价值最大。

建立数学模型并给出相应的算法。

(二)如果这12种工件都要求先在车床上加工，然后再在钻床上加工（即工件在钻床加工之前必须先在车床上加工过），每种机器一次只能加工一种工件，这12种工件加工所需时间如表（2）所示：表（2）为该工厂安排工件加工的次序，使得完成这批工件加工任务所需的总时间最省。

建立数学模型并给出相应的算法。

(三)如果这12种工件都要求先在车床上加工，然后再在钻床上加工，最后再在铣床上加工，每种机器一次只能加工一种工件，这12种工件加工所需时间如表（三）所示：表（3）为该工厂安排工件加工的次序，使得完成这批工件加工任务所需的总时间最省。

长江水质的评价和预测摘要本文用模糊数学的方法，通过计算各评价因子的隶属度和权重，得到了长江近两年多的水质情况的综合评价结论：Ⅰ类水比例为25%、Ⅱ类水比例为23%、Ⅲ类水比例为20%、Ⅳ类水比例小于1%、Ⅴ类水比例为30%、劣Ⅴ类水比例小于2%，如下面饼图，其中可饮用水比例为68%，不可饮用水比例为32%。

结果显示不可饮用水的比例很大，可以说明长江污染情况已经相当严重。

对于问题(2)，我们通过建立反映长江水质的一维稳态微分方程模型，并求解得到各观测站浓度的计算公式，用Matlab编程计算，计算结果显示,高锰酸盐污染源主要在：湖北宜昌南津关和湖南岳阳城陵矶。

氨氮污染源主要在：重庆朱沱和湖南岳阳城陵矶。

对于问题(3)，根据近10年的水文年数据建立灰色系统预测模型,得到了未来10年长江全流域、干流、支流河长百分比的值，据此画出相应的走势图，由此确定水质污染的发展趋势，我们的结论是：长江未来10年的污染会越来越严重。

对于问题(4)，我们首先建立排污量的灰色系统预测模型，得出未来10年的排污总量，根据长江干流的Ⅳ类和Ⅴ类水的比例控制在20%以内，且没有劣Ⅴ类水的要求，建立了每年需要处理污水量的计算公式，得到了未来10年每年需要处理的污水量，见下表(单位：亿吨)：年份需处理的污水量年份需处理的污水量2005 19.5390 2006 132.67772007 143.4669 2008 193.97292009 225.4419 2010 276.02932011 316.5134 2012 367.89582013 413.7736 2014 463.8682关键词：模糊数学隶属度权重微分方程灰色系统一、问题重述自2004年10月“保护长江万里行”行动发起后，考察团对沿线21个重点城市做了实地考察，认识到了母亲河长江受到了严重的污染，为此，专家提出了拯救长江的呼唤，给出了下面这些有待解决的问题。

(1)对长江近两年多的水质情况做出定量的综合评价，并分析各地区水质的污染状况。

A题：中国用工荒及应届大学生就业难问题研究据中国产经新闻报报道：“中国，一个素以劳动力极度过剩闻名的国家，不料“用工荒”却连年成为春节后的热点话题。

2010年春节过后，各地都开始出现用工荒，以前仿佛取之不尽用之不竭的廉价劳动力，开始供不应求了，而到了2011年，用工荒越演越烈。

不仅珠三角、长三角缺工，连四川、重庆、安徽等传统的劳务输出地也出现了“招工难”。

接受《中国产经新闻》记者采访的代表委员们指出，“用工荒”从局部短缺变成全国性现象，预示着30年来依靠人口红利的发展在未来将不可长期持续，劳动力作为一种价值资源同样需要“可持续性开发”，中国的发展模式亟待转向扩大内需，才能保证就业稳定。

”[1]另一方面，据国际在线报道：“2011年春季，面临就业压力的大学毕业生，今年有660万之多，创历史新高，再加上往届未就业的，需就业的毕业生总人数已超过700万，就业形势不容乐观。

近年来，由于大学扩招和金融危机影响等因素的原因，中国大学生就业形势严峻”。

[2]一方面是企业的用工荒，一方面是大学生的就业难题，关于这两个问题，社会上众说纷纭，但普遍缺乏数据支撑。

请基于实际的统计数据，选择一个或多个研究途径建立有关模型，探讨中国用工荒及应届大学生就业难问题。

（1）从中国人口的年龄结构进行研究。

（2）每个产业需要的人员的素质要求不同，结合中国的产业结构现状进行研究。

（3）预测中国传统劳动输出省份第一、第二、第三产业的发展趋势，研究中国传统劳动输出省份的“劳动”人口需求量。

（4）预测中国传统劳动输入省份第一、第二、第三产业的发展趋势，研究中国传统劳动输入省份的“劳动”人口需求量。

（5）……部分数据可在历年中国人口（与就业）统计年鉴、中国统计年鉴、国家统计局网站、各省市统计局网站、人大经济论坛网站、ftp://10.66.28.22:22/pub/ 数学建模/等查询。

基于上述全部或部分分析结果，再给相关主管部门撰写一份有关缓解“中国用工荒及应届大学生就业难问题”的建议书。

浙江大学acm答案完整版求余运算给出S和M，求0*S%M，1*S%M，2*S%M......(M-1)*S%M能否组成一个集合包含0.1.。

M-1；（这个是原题意改造而来）；算法：判断两个数是否互质；or 暴力解决其实暴力完全可以解决这个问题（⊙﹏⊙b），只是其中用数学方法更加高效，巧妙；证明如果S和M互质则满足题意：另G=gcd(S,M);则S=A*G，M=B*G；另X=K*S%M=K*S-T*M（T为整数，满足X属于0到M-1）；X=K*A*G-T*B*G;因此取余后的整数一定是G的倍数，G只能取1才能满足条件；充分性的证明：（即当S与M互质，则0到M-1的S倍对M取余一定能遍历0到M-1）只需证明的是，该余数中两两之间互不相等；假设k*S和b*S对M取余相等（k和b∈[0,M)，并且k和b不等);则k*S=q1*M+r=q2*M+r=b*S <==> （k-b)*S=M*(q1-q2);S与M互质，由上式子可得M|（k-b），与k和b∈[0,M)，并且k和b不等矛盾；因此得证；另外，偶然看到一个很牛叉的辗转相除法；int gcd(int a,int b){while(b) b^=a^=b^=a%=b;return a;}此代码，很好很强大；把涉及位运算的交换的程序加入，便到得这段简洁高效的代码；注：A和B；经过A^=B^=A^=B，结果就得到A和B的交换//////////////////////////// 1000#includeint main(){int a,b,i,;scanf("%d",&a);for(i=1;i<=a;i++){ int sum=0;sum=sum+i;printf("%d\n",sum);}return 0;};1001;#include"stdio.h"int main(){unsigned _int64 n;unsigned _int64 temp;while(scanf("%I64u",&n)!=EOF) //是i 非L{temp=(1+n)*n/2;printf("%I64u\n\n",temp);}return 0;}//////////////////HDU ACM 1014 Uniform Generator 三月22nd, /doc/904868734.html,/showproblem.php?pid=1014这个题目是判断给定的步长和mod，判断所产生的随机数已经覆盖0~mod-1中所有的数，如果是，则说明所选的步长和mod是一个Good choice，否则为bad choice.需要懂得的基本内容为线性同余产生随机数，链接：/doc/904868734.html,/zh-cn/%E7%B7%9A%E6%80%A7%E5%90%8C%E9%A4%98%E6%96 %B9%E6%B3%95Problem DescriptionComputer simulations often require random numbers. One way to generate pseudo-random numbers is via a function of the formseed(x+1) = [seed(x) + STEP] % MODwhere '%' is the modulus operator.Such a function will generate pseudo-random numbers (seed) between 0 and MOD-1. One problem with functions of this form is that they will always generate the same pattern over and over. In order to minimize this effect, selecting the STEP and MOD values carefully can result in a uniform distribution of all values between (and including) 0 and MOD-1.For example, if STEP = 3 and MOD = 5, the function will generate the series of pseudo-random numbers 0, 3, 1, 4, 2 in a repeating cycle. In this example, all of the numbers between and including 0 and MOD-1 will be generated every MOD iterations of the function. Note that by the nature of the function to generate the same seed(x+1) every time seed(x) occurs means that if a function will generate all the numbers between 0 and MOD-1, it will generate pseudo-random numbers uniformly with every MOD iterations.If STEP = 15 and MOD = 20, the function generates the series0, 15, 10, 5 (or any other repeating series if the initial seed is other than 0). This is a poor selection of STEP and MOD because no initial seed will generate all of the numbers from 0 and MOD-1.Your program will determine if choices of STEP and MOD will generate a uniform distribution of pseudo-random numbers.InputEach line of input will contain a pair of integers for STEP and MOD in that order (1 <= STEP, MOD <= 100000).OutputFor each line of input, your program should print the STEP value right- justified in columns 1 through 10, the MOD value right-justified in columns 11 through 20 and either "Good Choice" or "Bad Choice" left-justified starting in column 25. The "Good Choice" message should be printed when the selection of STEP and MOD will generate all the numbers between and including 0 and MOD-1 when MOD numbers are generated. Otherwise, your program should print the message "Bad Choice". After each output test set, your program should print exactly one blank line.Sample Input3 515 2063923 99999Sample Output3 5 Good Choice15 20 Bad Choice63923 99999 Good Choice线性同余方法（LCG）是个产生伪随机数的方法。

m ⨯ m D V m ⨯1 MathorCup 全球大学生数学建模挑战赛
暨 CAA 世界大学生数学建模竞赛
D 题 图像去噪中几类稀疏变换的矩阵表示
假设一幅二维灰度图像 X 受到加性噪声的干扰：Y = X + N ， Y 为观察到的噪声图像， N 为噪声。

通过对于图像Y 进行稀疏表示可以达到去除噪声的目的。

任务：
1. 将图像Y 分割为相互重叠的小块{Y ij }
，对于讨论Y ij ( m ⨯ m) 四类稀疏变换的矩阵表 示：离散余弦变换（DCT ），离散小波变换（DWT ，用 DB4 小波），主成分分析（PCA ）和奇异值分解（SVD ）。

分为以下两种形式： （a ） (Y ij )
= U ；
m ⨯ m m ⨯ m m ⨯ m （b ） (Y ij ) = D m ⨯k αk ⨯1
（将Y ij 堆垒为列向量的形式）； 其中，下标为矩阵或者列向量的行列数。

2. 利用Cameraman 图像中的一个小图像块（见图 1）进行验证。

3. 分析稀疏系数矩阵，比较四种方法的硬阈值稀疏去噪性能，并提出可能的新的稀疏去噪方法。

图1 实验图像，第一行表示Cameraman 图像及其噪声干扰图像（高斯噪声，标准偏差为10）；第二行表示上述两幅图像相同位置的一个图像小块（行数：144-151，列数：167-174），数字为对应位置像素的灰度值。

浙江大学2015–2016学年秋冬学期《 数学建模 》课程期末考试试卷课程号：06186290，开课学院：数学系考试试卷：√A 卷、B 卷（请在选定项上打√）考试形式：闭、√开卷（请在选定项上打√），允许带书籍、笔记入场考试日期： 2016 年 1 月 10 日,考试时间： 120 分钟诚信考试，沉着应考，杜绝违纪。

考生姓名： 学号： 所属院系： _一、（20分）天花是一种严重传染病，数学家Daniel Bernoulli 对此作过以下研究。

假设感染天花后死亡率为p ，且会在感染后极短时间内死亡，但治愈后终身不会再受到感染。

记某区域年龄为(16)x x ﾳ的总人数为()P x ，其中未感染天花的人数和曾感染天花但已治愈的人数分别为()S x 和()R x 。

设每人在年龄x 到x dx +之间感染天花的概率为qdx ，因天花以外的其它原因死亡的概率为()m x dx 。

（1）试建立()S x 和()R x 所满足的微分方程模型；（2）试推导出()()()S x f x P x =所满足的微分方程，该方程为Bernoulli 方程，以Daniel Bernoulli 之叔Jokob Bernoulli 命名。

二、（20分）一单行道上有n 个车位，按车行方向分别记为1,2,,n L 。

每个车位有空闲和占用两种状态，车位i 空闲的概率为0i a >，且各车位是否空闲相互独立。

车辆行进时至多只能看到车行前方最近的一个车位的状态。

若在车位i 上停车的效用为0i U >，未在n 个车位上停车的效用为0。

一车从该道路起点出发沿道路单向行驶，试寻找一停车策略，使期望效用达到最大。

（1）记,1,,1i V i n =+L 为驶过车位1i -后（车位0为道路起点）开始计划停车所可能获得的最大期望效用，试写出i V 所满足的递推关系；（2）令1i i i x V V +=-，1,,i n =L ，试写出求解该问题的以i x 为决策变量的数学规划。

即首先给出一个初始流，这样的流是存在的，例如零流。

如果存在关于它的可增广轨，那么调整该轨上每条弧上的流量，就可以得到新的流。

对于新的流，如果仍存在可增广轨，则用同样的方法使流的值增大，继续这个过程，直到网络中不存在关于新得到流的可增广轨为止，则该流就是所求的最大流。

这种方法分为以下两个过程：A.标号过程：通过标号过程寻找一条可增广轨。

B.增流过程：沿着可增广轨增加网络的流量。

这两个过程的步骤分述如下。

（A ）标号过程：（i ）给发点标号为。

),(∞+s （ii ）若顶点已经标号，则对的所有未标号的邻接顶点按以下规则标号： x x y ① 若，且时，令，A y x ∈),(xy xy u f <},min{x xy xy y f u δδ-=则给顶点标号为，若，则不给顶点标号。

y ),(y x δ+xy xy u f =y ② ，且，令，则给标号为，若A x y ∈),(0>yx f },min{x yx y f δδ=y ),(y x δ-，则不给标号。

0=yx f y （iii ）不断地重复步骤（ii ）直到收点被标号，或不再有顶点可以标号为止。

当t 被标号时，表明存在一条从到的可增广轨，则转向增流过程（B ）。

如若点不能t s t t 被标号，且不存在其它可以标号的顶点时，表明不存在从到的可增广轨，算法结s t 束，此时所获得的流就是最大流。

（B ）增流过程（i ）令。

t u =（ii ）若的标号为），则；若的标号为，则u t v δ,(+t vu vu f f δ+=u ),(t v δ-。

t uv uv f f δ-=（iii ）若，把全部标号去掉，并回到标号过程（A ）。

否则，令，并回s u =v u =到增流过程（ii ）。

求网络中的最大流的算法的程序设计具体步骤如下：),,,,(U A V t s N =x 对每个节点，其标号包括两部分信息jf(j))max ),(pred (j 该节点在可能的增广路中的前一个节点，以及沿该可能的增广路到该节点为)(pred j 止可以增广的最大流量。