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2.2.3圆与圆的位置关系学习目标1.理解圆与圆的位置关系的种类.2.掌握圆与圆的位置关系的代数判定方法与几何判定方法，能够利用上述方法判定两圆的位置关系.3.体会根据圆的对称性灵活处理问题的方法和它的优越性．知识点两圆位置关系的判定思考1圆与圆的位置关系有几种？如何利用几何方法判断圆与圆的位置关系？★★答案★★圆与圆的位置关系有五种，分别为：外离、外切、相交、内切、内含．几何方法判断圆与圆的位置关系设两圆的圆心距为d，两圆的半径分别为r1，r2(r1≠r2)，则(1)当d＞r1＋r2时，圆C1与圆C2外离；(2)当d＝r1＋r2时，圆C1与圆C2外切；(3)当|r1－r2|＜d＜r1＋r2时，圆C1与圆C2相交；(4)当d＝|r1－r2|时，圆C1与圆C2内切；(5)当d＜|r1－r2|时，圆C1与圆C2内含．思考2已知两圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0和C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0，如何通过代数方法判断两圆的位置关系？★★答案★★联立两圆的方程，消去y后得到一个关于x的一元二次方程，当判别式Δ>0时，两圆相交，当Δ＝0时，两圆外切或内切，当Δ<0时，两圆外离或内含．梳理(1)几何法：若两圆的半径分别为r1，r2，两圆连心线的长为d，则两圆的位置关系的判断方法如下：(2)代数法：通过两圆方程组成方程组的公共解的个数进行判断．⎭⎪⎬⎪⎫圆C 1方程圆C 2方程――→消元一元二次方程 ⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0⇒C 1与C 2相交，Δ＝0⇒C 1与C 2外切或内切，Δ<0⇒C 1与C 2外离或内含.1．如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切．( × ) 2．如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交．( × )3．从两圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程．( × )4．过圆O ：x 2＋y 2＝r 2外一点P (x 0，y 0)作圆的两条切线，切点为A ，B ，则O ，P ，A ，B 四点共圆且直线AB 的方程是x 0x ＋y 0y ＝r 2.( √ )类型一 两圆的位置关系命题角度1 两圆位置关系的判断例1 已知圆M ：x 2＋y 2－2ay ＝0(a ＞0)截直线x ＋y ＝0所得线段的长度是22，则圆M 与圆N ：(x －1)2＋(y －1)2＝1的位置关系是________． ★★答案★★ 相交解析 由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－2ay ＝0，x ＋y ＝0，得两交点分别为(0,0)，(－a ，a )． ∵圆M 截直线所得线段的长度为22， ∴a 2＋(－a )2＝22， 又a ＞0，∴a ＝2.∴圆M 的方程为x 2＋y 2－4y ＝0，即x 2＋(y －2)2＝4，圆心为M (0,2)，半径为r 1＝2.又圆N ：(x －1)2＋(y －1)2＝1，圆心为N (1,1)，半径为r 2＝1， ∴MN ＝(0－1)2＋(2－1)2＝ 2. ∵r 1－r 2＝1，r 1＋r 2＝3,1＜MN ＜3， ∴两圆相交．反思与感悟 判断圆与圆的位置关系的一般步骤(1)将两圆的方程化为标准方程(若圆的方程已是标准形式，此步骤不需要)． (2)分别求出两圆的圆心坐标和半径长r 1，r 2. (3)求两圆的圆心距d .(4)比较d 与|r 1－r 2|，r 1＋r 2的大小关系．(5)根据大小关系确定位置关系．跟踪训练1 已知圆C 1：x 2＋y 2－2x ＋4y ＋4＝0和圆C 2：4x 2＋4y 2－16x ＋8y ＋19＝0，则这两个圆的公切线有________条． ★★答案★★ 2解析 由圆C 1：(x －1)2＋(y ＋2)2＝1， 圆C 2：(x －2)2＋(y ＋1)2＝14，得C 1(1，－2)，C 2(2，－1)， ∴C 1C 2＝(2－1)2＋(－1＋2)2＝ 2. 又r 1＝1，r 2＝12，则r 1－r 2＜C 1C 2＜r 1＋r 2， ∴圆C 1与圆C 2相交． 故这两个圆的公切线共2条．命题角度2 已知两圆的位置关系求参数例2 当a 为何值时，两圆C 1：x 2＋y 2－2ax ＋4y ＋a 2－5＝0和C 2：x 2＋y 2＋2x －2ay ＋a 2－3＝0：(1)外切；(2)相交；(3)外离． 解 将两圆方程写成标准方程，则C 1：(x －a )2＋(y ＋2)2＝9，C 2：(x ＋1)2＋(y －a )2＝4. ∴两圆的圆心和半径分别为C 1(a ，－2)，r 1＝3， C 2(－1，a )，r 2＝2. 设两圆的圆心距为d ，则d 2＝(a ＋1)2＋(－2－a )2＝2a 2＋6a ＋5. (1)当d ＝5，即2a 2＋6a ＋5＝25时，两圆外切， 此时a ＝－5或a ＝2.(2)当1＜d ＜5，即1＜2a 2＋6a ＋5＜25时，两圆相交， 此时－5＜a ＜－2或－1＜a ＜2.(3)当d ＞5，即2a 2＋6a ＋5＞25时，两圆外离， 此时a ＞2或a ＜－5.反思与感悟 (1)判断两圆的位置关系或利用两圆的位置关系求参数的取值范围有以下几个步骤①将圆的方程化成标准形式，写出圆心和半径． ②计算两圆圆心的距离d .③通过d ，r 1＋r 2，|r 1－r 2|的关系来判断两圆的位置关系或求参数的范围，必要时可借助于图形，数形结合．(2)应用几何法判定两圆的位置关系或求参数的范围是非常简单清晰的，要理清圆心距与两圆半径的关系．跟踪训练2 若圆C 1：x 2＋y 2＝16与圆C 2：(x －a )2＋y 2＝1相切，则a 的值为________． ★★答案★★ ±3或±5解析 圆C 1与圆C 2的圆心距为d ＝a 2＋(0－0)2＝|a |.当两圆外切时，有|a |＝4＋1＝5，∴a ＝±5；当两圆内切时，有|a |＝4－1＝3，∴a ＝±3. 类型二 两圆相切的问题例3 求与圆C ：x 2＋y 2－2x ＝0外切且与直线l ：x ＋3y ＝0相切于点M (3，－3)的圆的方程．解 圆C 的方程可化为(x －1)2＋y 2＝1， 圆心为C (1,0)，半径为1.设所求圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2 (r >0)，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧(a －1)2＋b 2＝r ＋1，b ＋3a －3×⎝⎛⎭⎫－33＝－1，|a ＋3b |2＝r ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝0，r ＝2.或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝－43，r ＝6.所以所求圆的方程为(x －4)2＋y 2＝4或x 2＋(y ＋43)2＝36. 反思与感悟 两圆相切有如下性质：(1)设两圆的圆心分别为O 1，O 2，半径分别为r 1，r 2，则两圆⎩⎪⎨⎪⎧内切⇔O 1O 2＝|r 1－r 2|，外切⇔O 1O 2＝r 1＋r 2.(2)当两圆相切时，两圆圆心的连线过切点(当两圆相交时，两圆圆心的连线垂直平分公共弦)． 在解题过程中应用这些性质，有时能大大简化运算．跟踪训练3 求和圆(x －2)2＋(y ＋1)2＝4相切于点(4，－1)且半径为1的圆的方程． 解 设所求圆的圆心为P (a ，b )， ∴(a －4)2＋(b ＋1)2＝1.①(1)若两圆外切，则有(a －2)2＋(b ＋1)2＝1＋2＝3，② 由①②解得a ＝5，b ＝－1，∴所求圆的方程为(x －5)2＋(y ＋1)2＝1.(2)若两圆内切，则有(a －2)2＋(b ＋1)2＝2－1＝1，③ 由①③解得a ＝3，b ＝－1，∴所求圆的方程为(x －3)2＋(y ＋1)2＝1.综上所述，所求圆的方程为(x －5)2＋(y ＋1)2＝1或(x －3)2＋(y ＋1)2＝1. 类型三 两圆相交的问题例4 求圆心在直线x －y －4＝0上，且过两圆x 2＋y 2－4x －6＝0和x 2＋y 2－4y －6＝0的交点的圆的方程．解 方法一 设经过两圆交点的圆系方程为 x 2＋y 2－4x －6＋λ(x 2＋y 2－4y －6)＝0(λ≠－1)， 即x 2＋y 2－41＋λx －4λ1＋λy －6＝0，所以圆心坐标为⎝⎛⎭⎫21＋λ，2λ1＋λ.又圆心在直线x －y －4＝0上，所以21＋λ－2λ1＋λ－4＝0，即λ＝－13.所以所求圆的方程为x 2＋y 2－6x ＋2y －6＝0.方法二 由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－4x －6＝0，x 2＋y 2－4y －6＝0，得两圆公共弦所在直线的方程为y ＝x .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，x 2＋y 2－4y －6＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－1，y 1＝－1，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝3，y 2＝3. 所以两圆x 2＋y 2－4x －6＝0和x 2＋y 2－4y －6＝0的交点坐标分别为A (－1，－1)，B (3,3)， 线段AB 的垂直平分线所在的直线方程为y －1＝－(x －1)．由⎩⎪⎨⎪⎧ y －1＝－(x －1)，x －y －4＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－1，即所求圆的圆心为(3，－1)， 半径为(3－3)2＋[3－(－1)]2＝4. 所以所求圆的方程为(x －3)2＋(y ＋1)2＝16.反思与感悟 当所求圆经过两圆的交点时，圆的方程可设为(x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y ＋F 1)＋λ(x 2＋y 2＋D 2x ＋E 2y ＋F 2)＝0(λ≠－1)，然后用待定系数法求出λ即可．跟踪训练4 已知两圆C 1：x 2＋y 2－2x ＋10y －24＝0，C 2：x 2＋y 2＋2x ＋2y －8＝0. (1)求两圆公共弦的长；(2)求以两圆公共弦为直径的圆的方程． 解 (1)由两圆方程相减，得x －2y ＋4＝0， 此即公共弦所在的直线方程．又圆C 2的圆心C 2(－1，－1)到公共弦的距离 d ＝|－1＋2＋4|5＝5，且d 2＋⎝⎛⎭⎫l 22＝r 22(l 为公共弦长)，又r 2＝10，∴l ＝2r 22－d 2＝25，即公共弦长为2 5.(2)方法一 ∵圆心C 1(1，－5)，圆心C 2(－1，－1)， ∴连心线C 1C 2的方程为2x ＋y ＋3＝0， 它与公共弦的交点(－2,1)即为所求圆的圆心． 又所求圆的半径为l2＝5，∴所求圆的方程为(x ＋2)2＋(y －1)2＝5.方法二 ∵所求圆经过两圆交点，设圆的方程为(x 2＋y 2－2x ＋10y －24)＋λ(x 2＋y 2＋2x ＋2y －8)＝0(λ≠－1)， 即(1＋λ)x 2＋(1＋λ)y 2＋(2λ－2)x ＋(2λ＋10)y －8λ－24＝0，① 其圆心坐标为⎝⎛⎭⎪⎫1－λ1＋λ，－5－λ1＋λ.∵圆心在公共弦x －2y ＋4＝0上， ∴1－λ1＋λ＋10＋2λ1＋λ＋4＝0， 解得λ＝－3.代入①并整理，得所求圆的方程为x 2＋y 2＋4x －2y ＝0.1．两圆x2＋y2－1＝0和x2＋y2－4x＋2y－4＝0的位置关系是________．★★答案★★相交解析圆x2＋y2－1＝0的圆心C1(0,0)，半径r1＝1，圆x2＋y2－4x＋2y－4＝0的圆心C2(2，－1)，半径r2＝3，则圆心距d＝C1C2＝(2－0)2＋(－1－0)2＝ 5.又r2－r1＝2，r1＋r2＝4，所以r2－r1<d<r1＋r2，故两圆相交．2．圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋(y－3)2＝1的公切线有且仅有________条．★★答案★★4解析圆心距为3，半径之和为2，故两圆外离，公切线的条数为4.3．圆(x－3)2＋(y＋2)2＝1与圆x2＋y2－14x－2y＋14＝0的位置关系是________．考点圆与圆的位置关系题点判断两圆的位置关系★★答案★★内切解析圆x2＋y2－14x－2y＋14＝0变形为(x－7)2＋(y－1)2＝36，圆心坐标为(7,1)，半径为r1＝6；圆(x－3)2＋(y＋2)2＝1的圆心坐标为(3，－2)，半径为r2＝1，所以圆心距d＝(7－3)2＋[1－(－2)]2＝5＝6－1＝r1－r2，所以两圆内切．4．已知以C(4，－3)为圆心的圆与圆O：x2＋y2＝1相切，则圆C的方程是___________．★★答案★★(x－4)2＋(y＋3)2＝16或(x－4)2＋(y＋3)2＝36解析设圆C的半径为r，圆心距为d＝(4－0)2＋(－3－0)2＝5，当圆C与圆O外切时，r＋1＝5，r＝4，当圆C与圆O内切时，r－1＝5，r＝6，∴圆C的方程为(x－4)2＋(y＋3)2＝16或(x －4)2＋(y ＋3)3＝36.5．若圆x 2＋y 2＝4与圆x 2＋y 2＋2ay －6＝0(a ＞0)的公共弦长为23，则a ＝________. ★★答案★★ 1解析 将两圆的方程相减，得公共弦所在的直线方程为y ＝1a ，圆心(0,0)到直线的距离为d ＝1a ＝22－(3)2＝1，所以a ＝1.1．判断两圆的位置关系的方法(1)由两圆的方程组成的方程组有几个实数解确定，这种方法计算量比较大，一般不用． (2)依据圆心距与两圆半径的和或两圆半径的差的绝对值的大小关系确定．2．当两圆相交时，把两圆的方程作差消去x 2和y 2就得到两圆的公共弦所在的直线方程． 3．求弦长时，常利用圆心到弦所在的直线的距离求弦心距，再结合勾股定理求弦长．一、填空题1．半径为6的圆与x 轴相切，且与圆x 2＋(y －3)2＝1内切，则此圆的方程为__________． ★★答案★★ (x ＋4)2＋(y －6)2＝36或(x －4)2＋(y －6)2＝36解析 设圆心坐标为(a ，b )，由题意知b ＝6， 由a 2＋32＝5，解得a ＝±4，故所求圆的方程为(x ±4)2＋(y －6)2＝36.2．若圆x 2＋y 2－2ax ＋a 2＝2和x 2＋y 2－2by ＋b 2＝1外离，则a ，b 满足的条件是________． ★★答案★★ a 2＋b 2＞3＋22解析 由题意可得两圆的圆心坐标和半径长分别为(a,0)，2和(0，b )，1.因为两圆外离，所以a 2＋b 2＞2＋1，即a 2＋b 2＞3＋2 2.3．若圆x 2＋y 2－2x ＋F ＝0和圆x 2＋y 2＋2x ＋Ey －4＝0的公共弦所在的直线方程是x －y ＋1＝0，则E ＋F ＝________.考点 求过直线与圆或圆与圆交点的圆的方程题点 两圆公共弦所在直线的方程★★答案★★ －12解析 ⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－2x ＋F ＝0， ①x 2＋y 2＋2x ＋Ey －4＝0， ② ①－②可得4x ＋Ey －F －4＝0，即x ＋E 4y －F ＋44＝0， 由两圆的公共弦所在的直线方程为x －y ＋1＝0，得⎩⎨⎧E 4＝－1，－F ＋44＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧E ＝－4，F ＝－8. 4．圆C 1：x 2＋y 2－2x －8＝0与圆C 2：x 2＋y 2＋2x －4y －4＝0的公共弦长为________． ★★答案★★ 27解析 由圆C 1与圆C 2的公共弦所在的直线l 的方程为x －y ＋1＝0，得点C 1(1,0)到直线l 的距离为d ＝|1－0＋1|12＋12＝2，圆C 1的半径为r 1＝3，所以圆C 1与圆C 2的公共弦长为2r 21－d 2＝232－(2)2＝27.5．圆C 1：x 2＋y 2＋4x －4y ＋7＝0与圆C 2：x 2＋y 2－4x －10y ＋13＝0的公切线有________条． ★★答案★★ 3解析 C 1：(x ＋2)2＋(y －2)2＝1，C 2：(x －2)2＋(y －5)2＝16，C 1C 2＝5＝r 1＋r 2，故两圆外切，公切线共3条．6．两圆相交于点A (1,3)，B (m ，－1)，两圆的圆心均在直线l ：x －y ＋c ＝0上，则m ＋c ＝________. ★★答案★★ 3解析 ∵相交两圆的连心线垂直平分公共弦，∴⎩⎨⎧41－m ＝－1，1＋m 2－3－12＋c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝5，c ＝－2， ∴m ＋c ＝3. 7．过点A (4，－1)，且与圆x 2＋y 2＋2x －6y ＋5＝0相切于点B (1,2)的圆的方程是______________．★★答案★★ (x －3)2＋(y －1)2＝5解析 圆x 2＋y 2＋2x －6y ＋5＝0的圆心为(－1,3)，半径为5，所以两圆的圆心连线的方程为y －2＝－12(x －1)，即x ＋2y －5＝0. 设所求圆的圆心坐标为(x ，y )， 则(x －4)2＋(y ＋1)2＝(x －1)2＋(y －2)2，化简得x －y －2＝0，即为圆心所在直线方程．联立两条直线方程，得圆心坐标为(3,1)，半径为 5.所以所求圆的方程是(x －3)2＋(y －1)2＝5.8．过两圆x 2＋y 2－x －y －2＝0与x 2＋y 2＋4x －4y －8＝0的交点和点(3,1)的圆的方程是____________________．★★答案★★ x 2＋y 2－133x ＋y ＋2＝0 解析 设所求圆的方程为(x 2＋y 2－x －y －2)＋λ(x 2＋y 2＋4x －4y －8)＝0(λ≠－1)，将点(3,1)代入，得λ＝－25，故所求圆的方程为x 2＋y 2－133x ＋y ＋2＝0. 9．若圆C 1：x 2＋y 2－2ax ＋a 2－9＝0(a ∈R )与圆C 2：x 2＋y 2＋2by ＋b 2－1＝0(b ∈R )内切，则M (a ，b )到原点的距离为________．★★答案★★ 2解析 圆C 1：x 2＋y 2－2ax ＋a 2－9＝0(a ∈R )，化为(x －a )2＋y 2＝9，则圆心坐标为(a,0)，半径为3.圆C 2：x 2＋y 2＋2by ＋b 2－1＝0(b ∈R )，化为x 2＋(y ＋b )2＝1，则圆心坐标为(0，－b )，半径为1.∵圆C 1：x 2＋y 2－2ax ＋a 2－9＝0(a ∈R )与圆C 2：x 2＋y 2＋2by ＋b 2－1＝0(b ∈R )内切，∴a 2＋b 2＝3－1＝2，∴点M (a ，b )到原点的距离为2.10．集合A＝{(x，y)|x2＋y2＝4}，B＝{(x，y)|(x－3)2＋(y－4)2＝r2}，其中r>0 ，若A∩B中有且仅有一个元素，则r的值是__________．★★答案★★3或7解析∵A∩B中有且仅有一个元素，∴圆x2＋y2＝4与圆(x－3)2＋(y－4)2＝r2相切．当两圆内切时，由32＋42＝|2－r|，解得r＝7；当两圆外切时，由32＋42＝2＋r，解得r＝3.∴r＝3或7.11．若圆O：x2＋y2＝5与圆O1：(x－m)2＋y2＝20(m∈R)相交于A，B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长度为________．★★答案★★4解析如图所示，在Rt△OO1A中，OA＝5，O1A＝25，∴OO1＝5，∴AC＝5×255＝2，∴AB＝4.二、解答题12．已知圆O1：x2＋(y＋1)2＝4，圆O2的圆心O2(2,1)．(1)若圆O2与圆O1外切，求圆O2的方程；(2)若圆O2与圆O1交于A，B两点，且AB＝22，求圆O2的方程．解(1)设圆O2的半径为r2，因为两圆外切，所以O1O2＝r2＋2.又O1O2＝22＋[1－(－1)2]＝22，所以r2＝O1O2－2＝2(2－1)，故圆O2的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝12－8 2.(2)设圆O 2的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝r 22，因为圆O 1的方程为x 2＋(y ＋1)2＝4，将两圆的方程相减，即得两圆公共弦AB 所在的直线方程为4x ＋4y ＋r 22－8＝0，作O 1H ⊥AB ，H 为垂足，则AH ＝12AB ＝2， 所以O 1H ＝r 21－AH 2＝4－2＝ 2.由圆心O 1(0，－1)到直线4x ＋4y ＋r 22－8＝0的距离为 |r 22－12|42＝2，得r 22＝4或r 22＝20， 故圆O 2的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4或(x －2)2＋(y －1)2＝20.13．已知圆C 的圆心为(2,1)，若圆C 与圆x 2＋y 2－3x ＝0的公共弦所在直线过点(5，－2)，求圆C 的方程．解 设圆C 的半径长为r ，则圆C 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝r 2，即x 2＋y 2－4x －2y ＋5＝r 2，将两圆的方程相减，得公共弦所在的直线方程为x ＋2y －5＋r 2＝0.因为该直线过点(5，－2)，所以r 2＝4，则圆C 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4.三、探究与拓展14．已知圆C 1：x 2＋y 2＋4x ＋1＝0和圆C 2：x 2＋y 2＋2x ＋2y ＋1＝0，则以圆C 1与圆C 2的公共弦为直径的圆的方程为________．★★答案★★ (x ＋1)2＋(y ＋1)2＝1解析 由两圆的方程相减，得公共弦所在直线的方程为x －y ＝0. ∵圆C 1：(x ＋2)2＋y 2＝3，圆C 2：(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝1，圆心C 1(－2,0)，C 2(－1，－1)，∴两圆连心线所在直线的方程为y －0－1－0＝x ＋2－1＋2， 即x ＋y ＋2＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝0，x ＋y ＋2＝0，得所求圆的圆心为(－1，－1)． 又圆心C 1(－2,0)到公共弦所在直线x －y ＝0的距离 d ＝|－2－0|2＝2，∴所求圆的半径r ＝(3)2－(2)2＝1，∴所求圆的方程为(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝1.15．已知两圆x 2＋y 2－2x ＋10y －24＝0和x 2＋y 2＋2x ＋2y －8＝0.(1)判断两圆的位置关系；(2)求公共弦所在的直线方程；(3)求公共弦的长度．考点 求过直线与圆或圆与圆交点的圆的方程题点 两圆公共弦弦长问题解 (1)将两圆方程配方化为标准方程，则C 1：(x －1)2＋(y ＋5)2＝50，C 2：(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝10，∴圆C 1的圆心坐标为(1，－5)，半径为r 1＝52， 圆C 2的圆心坐标为(－1，－1)，半径为r 2＝10. 又∵C 1C 2＝25，r 1＋r 2＝52＋10， |r 1－r 2|＝|52－10|，∴|r 1－r 2|<C 1C 2<r 1＋r 2，∴两圆相交．(2)将两圆方程相减，得公共弦所在的直线方程为x －2y ＋4＝0.(3)方法一 由(2)知圆C 1的圆心(1，－5)到直线x －2y ＋4＝0的距离为d ＝|1－2×(－5)＋4|1＋(－2)2＝35，∴公共弦长为l ＝2r 21－d 2＝250－45＝2 5.方法二 设两圆相交于点A ，B ，则A ，B 两点满足方程组 ⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y ＋4＝0，x 2＋y 2＋2x ＋2y －8＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－4，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2， ∴AB ＝(－4－0)2＋(0－2)2＝2 5.即公共弦长为2 5.。
