关于函数连续与一致连续的讨论

浅谈函数的一致连续性（渤海大学数理学院辽宁锦州121000中国）摘要:在数学分析中一致连续函数具有很重要的地位，其定义在数学分析中也算是一个难点。

本文主要从一致连续函数的直观理解深入到纯分析的论证，只从一致连续函数本身的性质入手。

首先，本文用大量篇幅给出了函数一致连续性的证明并做作比较系统的归纳，把函数一致连续性的证明方法归纳为四个部分：运用区间套定理，致密性定理，覆盖定理以及归结原则四种方法证明了一致连续性定理。

其次，本文比较完整的给出了一致连续性函数的判定方法及性质，为我们对一致连续性函数的应用打卜'了坚实的基础。

再次，本文系统、详尽地叙述了一致连续性函数与连续函数的关系，解决了连续函数与一致连续相互转化的问题。

最后，介绍了一致连续性函数的描述及其延拓问题。

使人们能够对它们有个全面的了解。

关键词：一致连续，一致连续性定理，一致连续性性质，连续函数，一致连续性判定。

Abstract: In the mathematical analysis of uniformly continuous function is a very important position, its definition in the mathematical analysis is also a difficulty. This article mainly from the consistent continuous function intuitive understanding of deep into the pure analysis argument, only from the start with the nature of uniformly continuous function itself. First of all, this paper devotes a lot of space gives the proof of uniform continuity of a function and artificial system are summarized, the proof of uniform continuity of a function methods into four parts: the use of nested interval theorem, compact theorem, covering theorem as well as this principle four methods proved uniform continuity theorem. Secondly, this paper gives a uniformly continuous function determination methods and properties, for us to the uniformly continuity of function application to lay a solid foundation. Again, in this paper, a detailed description of the system of uniform continuity of a function and relation of continuous function, solve the continuous function and the uniform continuity of mutual transformation problem. Finally, introduced the uniform continuity of a function is described and its extension. To enable people to have a comprehensive understanding of their.Key words: Uniform continuity, uniform continuity theorem, uniform continuity properties, continuous function, uniform continuity judgment.引言数学分析立足于研究有限维空间的函数分析，它研究了各式各样的函数，其中最重要的一类函数叫做一致连续性函数，它是数学分析乃至整个数学领域的重要部分。

无穷区间上连续函数一致连续的判定众所周知，函数的连续性是建立在点上的。

即使几是函数在区间切连续性，也是建立在点上的。

因此函数的连续性是一个局部性的概念，而函数的一致连续性才反映了函数在 整个区间上的整休性质。

一般来说，只有闭区间〔a,b 〕上的连续函数才具有一致连续的性 质，(Cantol 定理)而对于其他类型的区间，函数在其上连续一般不能导致函数在其上一 致连续。

譬如函数()sinf x xπ=在区(0,1)内连续，但在(0,1)内却非一致连续，这样的例子可以举出很多。

因此，讨论连续函数的一致连续性也就成了“数学分析”中 一个很重要的问题。

显然在某个区间上连续的函数自然就可尽分为两大类:一类是非一 致连续的，另一类是一致连续的。

在多数“数学分析”教材中对有限区间上连续函数的 一致连续性讨论得较多，对无穷区间上连续函数的一致连续性的判定虽然也进行过一些 讨论，但大多是关于它的充分判别法，而对它的充分必要条件谈及甚少。

本文给出判定连续函数在无穷区间上一致连续的一个新的充分必要条件。

用它可以 判定一系列连续函数在无穷区问上一致连续的问题，有时比使用定义或其他充分条件要 方便得多，定理1:设函数f(x)在区间〔a ，∞)(a 为任意实数)上连续，则函数f(x)在区间〔a ，+ ∞)上一致连续的充分必要条件是在〔a ，+ ∞)上存在一个一致连续的函数g(x)，使得: lim (()())0x f x g x →+∞-=证 必要性:因为函数f(x)于〔a ，+ ∞)上一致连续，所以，就选g(x)=f(x), 即找到了一个于〔a ，+ ∞)上一致连续的函数g(x)，并且满足:lim (()())lim (()())0x x f x g x f x f x →+∞→+∞-=-=，充分性:由于在〔a ，+ ∞),)内存在一个一致连续的函数g(x)使得:lim (()())0x f x g x →+∞-=则对任意给定的正数ε，总存在一个常数M>0，使得对于适合不等式x>M 的一切x ， 总有()()6f xg x ε-<因为函数f(x)在〔a ，+∞)上连续，从而在有限区间〔a ，M 〕上连续，由康托 (Cantor)定理，函数f(x)必在〔a ，M 〕上一致连续，从而对上述ε>0，总存在1()0δε>，使得对于区间〔a ，M 〕内的任意两点: 12,x x 当121()x x δε-<时，总有21()()2f x f x ε-<()0,()0z g x d s εε∞>>∞又因函数在区间（a,+）上一致连续，从而对于给定的总存在一个时，使得对于(a,+)1212212,,(),x x x x x M x M δε-<>>内任意两点当且21()()6g x g x ε-<21222111222111()()()()()()()()()()()()()()6662f x f x f xg x g x g x g x f x f x g x g x g x g x f x εεεε-=-+-+-≤-+-+-<++=从而有21()()2f x f x ε-<即1212121122(,),(,),,,x a M x M x x M x x M δδεδεδδδεδδε∈∈+∞-<-<<-<<如果任意的取=min((),()),只要必有()()从而有212121()()()()()()()()()()22f x f x f x f M f M f x f x f M f M f x εεε-=-+-≤-+-<+=211221min((),()),()()x x f x f x δδεδεε-<=-<即只要就有不等式：综合上述:对于任意给定的ε>0，总存在一个δ>0，使得对于区间〔a,+ ∞)上 的任意两点1x ，2x .只要 21x x -<δ就有不等式:21()()f x f x ε-<根据函数一致连续的定义，f(x)在〔a ，+∞)_上一致连续。

浅谈函数的一致连续性问题摘要：本文指出数学分析中判别函数的一致连续性，可直接应用的理论是定义、康托定理、归结原则等。

在具体解题时，通常利用某些命题的结论作为解题的指导思想，帮助判知结论，迅速找到正确的解题方法，再利用可直接应用的理论对其加以佐证。

关键词：数学分析；一致连续；可直接应用的理论；解题的指导思想函数在区间上的一致连续性问题是数学分析中的典型问题之一。

函数在区间上一致连续是函数在区间上逐点连续的加强，二者之间有着密切的联系，同时又有着本质上的区别。

函数类型纷繁复杂，如何准确的判别函数在所给区间上的一致连续性，很多人都觉得无从下手，尤其是初学者，更是觉得解决问题的思路不清晰。

现将解这一类型题的理论进行简单归纳。

一、函数在区间上逐点连续与一致连续的本质及其关系(一)数学语言的刻画(二)几何直观体现与通俗理解函数在区间上逐点连续，指的是函数在所定义区间上处处连续，其函数图像连绵无间断；函数在区间上一致连续，指的是其函数图像在定义的区间上连绵不断且函数值变化缓慢，与区间上连续的非一致连续函数的图像形成鲜明的对比，非一致连续函数的图像在所定义的区间上，特别是在一致连续性“破坏点”附近是“陡峭”的。

(三)二者的关系由函数在区间上连续和一致连续的定义可推知，逐点连(二)康托定理及其推广由康托定理知，函数在闭区间上连续。

在闭区间上一致连续。

这个定理简单好用，但仅限于在有限闭区间上可直接用，而对于有限开区间或无限区间上不能直接应用。

因此，不妨将如下命题看作康托定理的推广。

命题2.1f(x)在有限开区间(a，b)上连续f(x)在(a，b)上一致连续当且仅当f(a+0)与f(b-0)都存在(有限值)。

命题2.2f(x)在有限开区间(a，b)上连续，若f(a+0)与f(b-0)至少有一者不存在，则f(x)在(a,b)上非一致连续。

函数一致连续和连续的区别
函数的连续性和一致连续性都是描述函数在某一点或某一区间内的表现，但它们的定义和意义有所不同。

1. 连续：函数在某一点(x_0\)连续意味着，对于任意正数\(\varepsilon > 0\)，都存在一个正数\(\delta > 0\)，当|x - \(x_0\)| < \(\delta\)时，有|f(x) - f((x_0\))| < \(\varepsilon\)。

简单地说，这意味着函数在某一点的值与该点附近的值非常接近。

2. 一致连续：函数在某个区间I上一致连续，意味着对于任意正数(\varepsilon > 0\)，存在一个正数\(\delta > 0\)，使得当|x - y| < \(\delta\)时，有|f(x) - f(y)| < \(\varepsilon\)对于区间I上的所有x和y都成立。

这与连续性的区别在于，一致连续是相对于非相邻的两个点来说的。

简而言之，连续是相对于点x0的相邻点而言的，而一致连续则是相对于非相邻的两个点来说的。

在实际应用中，一致连续性展现出了更强的连续性，即函数的值在整个区间上都非常接近。

浅谈函数的一致连续性（渤海大学数理学院辽宁锦州 121000 中国）摘要：在数学分析中一致连续函数具有很重要的地位，其定义在数学分析中也算是一个难点。

本文主要从一致连续函数的直观理解深入到纯分析的论证，只从一致连续函数本身的性质入手。

首先，本文用大量篇幅给出了函数一致连续性的证明并做作比较系统的归纳，把函数一致连续性的证明方法归纳为四个部分：运用区间套定理，致密性定理，覆盖定理以及归结原则四种方法证明了一致连续性定理。

其次，本文比较完整的给出了一致连续性函数的判定方法及性质，为我们对一致连续性函数的应用打下了坚实的基础。

再次，本文系统、详尽地叙述了一致连续性函数与连续函数的关系，解决了连续函数与一致连续相互转化的问题。

最后，介绍了一致连续性函数的描述及其延拓问题。

使人们能够对它们有个全面的了解。

关键词：一致连续，一致连续性定理，一致连续性性质，连续函数，一致连续性判定。

Abstract: In the mathematical analysis of uniformly continuous function is a very important position, its definition in the mathematical analysis is also a difficulty. This article mainly from the consistent continuous function intuitive understanding of deep into the pure analysis argument, only from the start with the nature of uniformly continuous function itself. First of all, this paper devotes a lot of space gives the proof of uniform continuity of a function and artificial system are summarized, the proof of uniform continuity of a function methods into four parts: the use of nested interval theorem, compact theorem, covering theorem as well as this principle four methods proved uniform continuity theorem. Secondly, this paper gives a uniformly continuous function determination methods and properties, for us to the uniformly continuity of function application to lay a solid foundation. Again, in this paper, a detailed description of the system of uniform continuity of a function and relation of continuous function, solve the continuous function and the uniform continuity of mutual transformation problem. Finally, introduced the uniform continuity of a function is described and its extension. To enable peopleto have a comprehensive understanding of their.Key words: Uniform continuity, uniform continuity theorem, uniform continuity properties, continuous function, uniform continuity judgment.引言数学分析立足于研究有限维空间的函数分析，它研究了各式各样的函数，其中最重要的一类函数叫做一致连续性函数，它是数学分析乃至整个数学领域的重要部分。

函数一致连续的判别方法及其应用
一、连续函数的判别方法
1、求导法
连续函数仅当它的导函数在函数的整个定义域上定义时，它才会是连
续的。

因此，当讨论一个函数时，我们可以求导函数，并确保它在整个定
义域上定义时，函数就是连续的。

2、间断点法
另一种判断函数是否连续的方法是检查函数是否有间断点。

如果函数
没有任何间断点，那么它就是连续的。

间断点是指在函数的定义域中，函
数在其中一点出现无限的变化，因此函数在该点处是不连续的。

3、图像法
还有一种判断函数是否连续的方法叫做图像法。

当绘制函数的图像时，当它的图像是不间断的，全连接的，没有任何断点的，那么它就是连续的。

二、连续函数的应用
连续函数有着广泛的应用，下面介绍几个常见的应用：
1、概率论和统计学
在概率论和统计学中，连续函数常常用于描述概率分布，比如正态分布、卡方分布等。

此外，连续函数也被用于描述观测量和误差的统计特性。

2、图像处理
在图像处理中，连续函数经常用于描述图像灰度变换，它可以改变图
像中特定范围像素的灰度值。

此外，连续函数也可以用于描述图像滤波器，滤波器可以抑制或强调图像中低频成分的噪声。

3、几何学。

函数的一致连续性一致连续性是数学分析中的一个重要概念，它不仅在微积分中有着广泛的应用，而且在函数论和拓扑学等领域也扮演着关键的角色。

本文将对一致连续性的定义、性质及其与普通连续性的关系进行深入探讨，并通过例子说明其在实际中的应用。

一致连续性的定义传统的连续性涉及到函数在某一点的邻域内的行为，而一致连续性则进一步扩展了这一概念。

设 ( f: A ) 是定义在集合 ( A ) 上的一个函数。

如果对任意的 ( > 0 )，存在一个 ( > 0 )，使得对于所有的 ( x, y A )，只要满足 ( |x - y| < )，就有 ( |f(x) -f(y)| < )，那么我们称函数 ( f ) 是在 ( A ) 上一致连续的。

这种定义与普通的连续性不同，普通的连续性要求在特定点附近都能找到适合的 ( ) 值，而一致连续性则要求这个 ( ) 值能够适用于整个区间或集合。

这种“整体”性质使得一致连续性在分析中极具吸引力。

一致连续性的性质性质一：一致连续性的充要条件一致连续性最重要的一个性质是其与有界闭集上连续性的关系。

即如果函数 ( f: [a, b] ) 在区间上是连续的，并且该区间是有界闭集，那么函数 ( f ) 是一致连续的。

这一性质也可以称为“海涅-博尔查诺定理”的一种表现。

性质二：复合函数的一致连续性如果 ( f: A B ) 和 ( g: B C ) 都是显式一致连续的函数，那么复合函数 ( g(f(x)) ) 也是一致连续的。

这为我们提供了在处理复杂问题时的一种手段，可以将多个容易处理的一致连续函数组合起来。

性质三：一致连续函数的有限性如果一组函数 ( f_n: A_n B_n ) 是一致连续的，并且它们都定义在相同的集合上，则它们的一致收敛也将保持一致性，即如果( f_n(x) f(x) )（对所有 ( x A_n )），那么 ( f(x) ) 同样是一致连续的。

一致连续性与普通连续性的关系虽然所有的一致连续函数都是普通连续函数，但并非所有普通连续函数都是一致连续函数。

关于函数一致连续性证明的几个方法
一、函数的一致性证明
函数的一致性证明是指，在给定的区间中，确定函数在每一点的导数相同，使得函数自变量到因变量之间的变化是平滑的，函数设定值恒定，函数在其给定的区间上连续。

1.齐次可导定理：
齐次可导定理指出，若一函数是多元的，它在给定区间上的所有阶导数相等，则它在该区间上连续。

该定理的证明方法有三种：
（1）函数单调性：如果在区间上的所有阶导数相等，那么函数的一阶导数不会在区间上发生变化，也就是函数在该区间上单调递增或者单调递减。

即函数的单调性完全由函数的一阶导数决定，从而证明了函数的一致性。

（2） Taylor 展开：将给定函数准确的利用 Taylor 展开式近似表示，然后对展开式取极限，若极限值等于原函数，则证明函数在给定区间上连续。

（3）原函数定义域：若一函数在给定区间的导数都相等，则这个函数可以由它在定义域的一系列点来构成，从而得出定义域的任意两点之间的条件都一样，再由此可知函数的一致性。

2.高斯-约旦多项式
高斯-约旦多项式是一种常用的求解多项式拟合函数的算法。

该算法可以用来可以得到函数的函数曲线，从而能够完成一致性检验。

关于连续与一致连续连续与一致连续是数学分析中非常基础也是非常重要的概念。

这两个概念来自于实际问题、现实世界。

我们经常观察到的一些自然现象有一些共同特性：例如气温的变化，生产的连续进行，生物的连续生长等等，反映出来的是事物连续不断地进行的过程。

如果用函数来刻画，即研究函数的连续性。

数学分析研究种种不同性质的函数，其中有一类重要的函数就是连续函数。

一﹑连续与一致连续的定义，二者的区别定义1 若函数在0x 点附近0()U x 有定义，并且00lim ()()x xf x f x →=时，我们称()f x 在0x 点连续,或者称0x 点是()f x 的连续点.定义1' 若函数在0x 点附近0()U x 有定义，若,0>∀ε0(,)0x δδε∃=>只要0()x U x ∈：0||x x δ-<，都有0|()()|f x f x ε-<，则称)(x f 在区间0x 处连续。

定义2 函数)(x f 在区间I 的每一点都连续，则称)(x f 在区间I 内连续。

定义3设函数)(x f 在区间I 上有定义，若,0>∀ε0)(>=∃εδδ只要',''x x I ∈：|'''|x x δ-<，都有|(')('')|f x f x ε-<，则称)(x f 在区间I 上一致连续.注：函数)(x f 在某区间内的连续性只反映函数在区间内每一点附近的局部性质；函数)(x f 在某区间内一致连续性，则是函数在区间上的整体性质，是反映函数在区间上更强的连续性。

直观地说，)(x f 在区间I 一致连续意味着：不论两点',''x x 在I 中处于什么位置只要它们的距离小于δ，就可使|(')('')|f x f x ε-<. 显然)(x f 必然在I 上每一点连续。

两个一致连续函数的和一定一致连续假设有两个一致连续函数$f(x)$和$g(x)$，我们要证明它们的和$h(x)=f(x)+g(x)$也是一致连续的。

首先，回顾一致连续的定义：一个函数$f(x)$在定义域上是一致连续的，意味着对于任意给定的正数$\varepsilon$，存在一个正数$\delta$，使得当任意两个在定义域上相距不超过$\delta$的点$x_1$和$x_2$满足$，x_1 - x_2， < \delta$时，对应的函数值之差$，f(x_1) - f(x_2)， <\varepsilon$。

现在我们来证明$h(x)=f(x)+g(x)$在定义域上也是一致连续的。

假设对于任意给定的正数$\varepsilon$，存在正数$\delta_f$满足当$，x_1 - x_2， < \delta_f$时，$，f(x_1) - f(x_2)， <\frac{\varepsilon}{2}$。

同样地，由于$g(x)$是一致连续的，我们可以找到正数$\delta_g$满足当$，x_1 - x_2， < \delta_g$时，$，g(x_1) - g(x_2)， <\frac{\varepsilon}{2}$。

接下来，我们选择一个$\delta$，满足$\delta = \min\{\delta_f,\delta_g\}$。

我们现在要证明当$，x_1 - x_2， < \delta$时，$，h(x_1) - h(x_2)， < \varepsilon$。

考虑$，h(x_1)-h(x_2)，=，(f(x_1)+g(x_1))-(f(x_2)+g(x_2))，$。

通过重新排列和应用三角不等式，我们有：$，h(x_1) - h(x_2)， = ，(f(x_1) - f(x_2)) + (g(x_1) -g(x_2))， \leq ，f(x_1) - f(x_2)， + ，g(x_1) - g(x_2)，$根据我们之前的选择，当$，x_1 - x_2， < \delta$时，$，f(x_1)- f(x_2)， < \frac{\varepsilon}{2}$和$，g(x_1) - g(x_2)， <\frac{\varepsilon}{2}$都成立。

对函数一致连续性的讨论Discussion of the uniform continuityof the function函数的一致连续性概念是数学分析中的一个重要概念，但是由于它没有像连续函数、可导函数那样直观的几何意义，所以对一致连续概念只是从字面上掌握了其抽象定义，对其实质则很难透彻理解．本文从一致连续的定义、几何意义两个方面进行了详细阐述，希望能加深对一致连续性概念的理解．1、对定义的理解首先给出连续与一致连续的概念【1】：定义1 函数()f x 在区间I 上连续是指：0x I " ，0e ">，0d $>，当x I " ： 0x x d -<时，有0()()f x f x e -<．定义2 函数()f x 在区间I 上一致连续是指：0e ">，0d $>，当12x x I " 、： 12x x d -<时，有12()()f x f x e -<．（1）由定义可知，在区间I 上一致连续的函数一定是连续的．事实上，由一致连续性定义将1x 固定，令2x 变化，即知函数()f x 在1x 连续，又1x 是区间I 的任意一点，从而函数()f x 在I 连续．但反之则不成立，即在区间I 上连续的函数不一定一致连续．（2）比较两个定义可知：函数连续定义中的d 不仅与e 有关，还与0x 有关，即对于不同的0x ，d 一般是不同的，这表明只要函数在区间内每一点都连续，函数就在该区间连续；而一致连续定义中的d 只与e 有关，与0x 的选取无关，即对于不同的0x ，d 是相同的，这表明函数在区间上的一致连续性，不仅要求函数在这个区间的每一点都连续，而且要求在每点的连续要具有“一致性”，即对不同的0x ，能找到共同的d ，使得当0x x d -<时，有0()()f x f x e -<．而所谓共同的d ，就是所有d 的最小值，当最小值不存在时，函数就非一致连续．（3）函数一致连续的实质就是，当这个区间的任意两个彼此充分靠近的点上函数值的差的绝对值可以任意小，即12x x I " 、，当12x x d -<时，有12()()f x f x e-<【5】．（4）要注意函数一致连续的否定叙述一致连续的否定叙述就是非一致连续，即设函数()f x 在区间I 有定义，若00e $>，0d ">，12,x x I $ ：12x x d -<，有()120()f x f x e - ，则称函数()f x 区间I 上非一致连续．总的来说，函数的连续性反映了函数的局部性质，而函数的一致连续性反映了函数在整个区间上的整体性质，两者之间既有区别又有联系。

对函数一致连续性的讨论Discussion of the uniform continuityof the function函数的一致连续性概念是数学分析中的一个重要概念，但是由于它没有像连续函数、可导函数那样直观的几何意义，所以对一致连续概念只是从字面上掌握了其抽象定义，对其实质则很难透彻理解．本文从一致连续的定义、几何意义两个方面进行了详细阐述，希望能加深对一致连续性概念的理解．1、对定义的理解首先给出连续与一致连续的概念【1】：定义1 函数()f x 在区间I 上连续是指：0x I "?，0e ">，0d $>，当x I "?： 0x x d -<时，有0()()f x f x e -<．定义2 函数()f x 在区间I 上一致连续是指：0e ">，0d $>，当12x x I "?、： 12x x d -<时，有12()()f x f x e -<．（1）由定义可知，在区间I 上一致连续的函数一定是连续的．事实上，由一致连续性定义将1x 固定，令2x 变化，即知函数()f x 在1x 连续，又1x 是区间I 的任意一点，从而函数()f x 在I 连续．但反之则不成立，即在区间I 上连续的函数不一定一致连续．（2）比较两个定义可知：函数连续定义中的d 不仅与e 有关，还与0x 有关，即对于不同的0x ，d 一般是不同的，这表明只要函数在区间内每一点都连续，函数就在该区间连续；而一致连续定义中的d 只与e 有关，与0x 的选取无关，即对于不同的0x ，d 是相同的，这表明函数在区间上的一致连续性，不仅要求函数在这个区间的每一点都连续，而且要求在每点的连续要具有“一致性”，即对不同的0x ，能找到共同的d ，使得当0x x d -<时，有0()()f x f x e -<．而所谓共同的d ，就是所有d 的最小值，当最小值不存在时，函数就非一致连续．（3）函数一致连续的实质就是，当这个区间的任意两个彼此充分靠近的点上函数值的差的绝对值可以任意小，即12x x I "?、，当12x x d -<时，有12()()f x f x e-<【5】．（4）要注意函数一致连续的否定叙述一致连续的否定叙述就是非一致连续，即设函数()f x 在区间I 有定义，若00e $>，0d ">，12,x x I $?：12x x d -<，有()120()f x f x e -?，则称函数()f x 区间I 上非一致连续．总的来说，函数的连续性反映了函数的局部性质，而函数的一致连续性反映了函数在整个区间上的整体性质，两者之间既有区别又有联系。

摘要从函数连续与一致连续的概念和关系出发,函数的一致连续性在数学分析中是一个比较精细的概念，占的地位比较重要。

对函数连续性的研究一直受到人们的重视，经过多年不懈地研究，很多学者都取得了不少的研究成果,以对函数连续性和一致连续的内涵有更全面的理解和认识。

本论文综述了连续函数的定义和一致连续函数的定义，以及一致连续函数所具有的性质，最后本文介绍了三种判别函数一致连续性的方法，第一种利用连续函数的性质判别不同类型区间上函数的一致连续性，第二种利用瑕积分判断函数的一致连续性，第三种利用比值判别法判断函数一致连续性。

关键词：连续函数性质，一致连续性，判别法About a discussion of function continuousand uniformly continuousAbstract:Uniform continuity of functions in mathematical analysis is a more sophisticated concept,representing more important role.definition this paper summarizes the continuous function continuous function and consistent,and consistent with the nature of the continuous function,finally, this paper describes three methods discriminant function consistent continuity,the first use of continuous functions on the nature of the different types of discrimination uniform continuity interval function,the second use of uniform continuity flaw integral function of judge,the third function is to determine the continuity of the use of a consistent ratio of discrimination law.Keyword:Properties of continuous functions,Uniform Continuity,Criterion目录一、引言 (1)（一）相关的背景和意义 (1)（二）选题依据及研究内容 (1)二、函数连续及函数一致性连续的定义 (2)（一）函数连续性定义 (2)(二)函数一致连续性定义 (2)三、函数连续的性质 (4)（一）连续函数的局部性质 (4)（二）闭区间上连续函数的基本性质 (4)（三）反函数的连续性 (5)（四）初等函数的连续性 (5)四、一致连续函数的性质 (5)（一）一致连续函数自变量与函数值的关系 (5)（二）区间内一致连续函数的有界性 (6)（三）函数一致连续的四则运算性质 (7)五、判别函数一致连续性的方法 (9)（一）利用连续函数的性质判别不同类型区间上函数的一致连续性 10 （二）利用瑕积分的敛散性判断函数的一致连续性 (13)（三）利用比值判别法判断函数一致连续性 (14)六、结论 (15)致谢...................................... 错误！未定义书签。