简单曲线的极坐标方程练习题有答案

数学选修4-4简单曲线的极坐标方程练习题含答案学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________1. 点M 的直角坐标(−√3, 1)化为极坐标是（ ） A.(2, π6) B.(2, 5π6)C.(2, 7π6)D.(2, −π6)2. 在极坐标系下，极坐标方程(ρ−3)(θ−π2)=0(ρ≥0)表示的图形是（ ）A.两个圆B.一个圆和一条射线C.两条直线D.一条直线和一条射线3. 圆ρ=√2(cos θ+sin θ)的圆心坐标是（ ） A.(1,π4) B.(12,π4)C.(√2,π4)D.(2,π4)4. 在极坐标系中，过点(1, 0)并且与极轴垂直的直线方程是（ ） A.ρ=cos θ B.ρ=sin θ C.ρcos θ=1 D.ρsin θ=15. 曲线ρ2+2ρ(3cos θ−2sin θ)=0的对称中心的直角坐标是( ) A.(3,2) B.(2,3) C.(−3,2) D.(−3,−2)6. 极坐标方程分别为ρ=2cos θ和ρ=sin θ的两个圆的圆心距为（ ） A.√32 B.√52C.√33D.√537. 平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{x =5cos θy =5sin θ，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρsin (θ+π4)=5，则C 1与C 2的位置关系是（ ） A.相交 B.相切C.相离D.视α的大小而定8. 过点P (4,π3)且与极轴夹角为π6的直线l 的方程为（ ）A.ρsin(θ−π3)=2 B.ρcos(θ−π3)=2 C.ρcos(θ−π6)=2 D.ρsin(θ−π6)=29. 在极坐标系中，若A(3, π3)，B(4, −π6)，则|AB|=()A.3B.4C.5D.710. 已知抛物线的参数方程为则抛物线的直角坐标方程{x=2t，y=2t2，（t为参数）为( )A.x2=−2yB.y2=−2xC.x2=2yD.y2=2x11. 在极坐标系中，圆ρ=2上的点到直线√3ρsinθ+ρcosθ=6的距离的最小值是________．12. 曲线的极坐标方程ρ=4sinθ化为直角坐标方程为________．13. 已知曲线C的极坐标方程为：ρ=2√3cosθ，直线的极坐标方程为：2ρcosθ=√3．则它们相交所得弦长等于________．14. 已知点P(x,y)在椭圆x23+y24=1上，则2x+y的最大值为________．15. 自极点O向直线l作垂线，垂足是H(2,π2)，则直线l的极坐标方程为________．16. 在极坐标系中，过点(4,π2)作圆ρ=4sinθ的切线，则切线的极坐标方程是________．17. 直线ρcosθ=2截圆{x=1+2cosθy=−2+2sinθ（θ为参数）所得的弦长为________．18. 极坐标系中，圆ρ=2sinθ的圆心坐标为________．19. 若两条曲线的极坐标方程分别为ρ=1与ρ=2cos(θ+π3)，它们相交于A，B两点，则线段AB的长为________．20. 在极坐标系中，圆C 的极坐标方程是ρ=4cos (θ+π6)．现以极点为原点，以极轴为x 轴的正半轴建立直角坐标系，则圆C 的半径是________，圆心的直角坐标是________．21. 在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C ：ρcos 2θ=2a sin θ(a ≠0)，直线l 的参数方程为 {x =−2+√22t,y =−1+√22t （t 为参数）．直线l 与曲线C 交于M ，N 两点．(1)写出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程（不要求具体过程）；(2)设P (−2,−1)，若|PM|，|MN|，|PN|成等差数列，求a 的值．22. 平面直角坐标系xOy 中，射线l:y =√3x(x ≥0)，曲线C 1的参数方程为{x =3cos α,y =2sin α（α为参数），曲线C 2的方程为x 2+(y −2)2=4；以原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 3的极坐标方程为ρ=8sin θ． (1)写出射线l 的极坐标方程以及曲线C 1的普通方程；(2)已知射线l 与C 2交于O ，M ，与C 3交于O ，N ，求|MN|的值．23. 在平面直角坐标系xOy 中，射线l:y =√3x(x ≥0)，曲线C 1的参数方程为{x =3cos α,y =2sin α（α为参数），曲线C 2的方程为x 2+(y −2)2=4；以原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 3的极坐标方程为ρ=8sin θ． (1)写出射线l 的极坐标方程以及曲线C 1的普通方程；(2)已知射线l 与C 2交于O ，M ，与C 3交于O ，N ，求|MN|的值．24. 在直角坐标系 xOy 中，曲线C 1的普通方程为x 2+y 2−2x =0，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ2=31+2sin 2θ.(1)求曲线C 1的参数方程与曲线C 2的直角坐标方程；(2)射线θ=π3(ρ≥0)与曲线C 1交于异于极点的点A ，与曲线C 2的交点为点B ，求|AB|.25. （2018·全国一卷）在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的方程为y =k|x|+2．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ2+2ρcos θ−3=0．求C 2的直角坐标方程；若C 1与C 2有且仅有三个公共点，求C 1的方程．26. 在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为{x =−1+t cos α，y =3+t sin α（t 为参数，α为直线l 的倾斜角），点P 和F 的坐标分别为(−1,3)和 (1,0)；以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ=4cos θsin 2θ.(1)将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)设直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，且PA →⋅PB →=2PF 2→，求α的值．27. 在极坐标系中，O 为极点，点M(ρ0, θ0)(ρ0>0)在曲线C:ρ＝4sin θ上，直线l 过点A(4, 0)且与OM 垂直，垂足为P ． （1）当θ0=π3时，求ρ0及l 的极坐标方程；（2）当M 在C 上运动且P 在线段OM 上时，求P 点轨迹的极坐标方程．28. 选修4−4：坐标系与参数方程据说，年过半百的笛卡尔担任瑞典一小公国的公主克里斯蒂娜的数学老师，日久生情，彼此爱慕，其父国王知情后大怒，将笛卡尔流放回法国，并软禁公主.笛卡尔回法国后染上黑死病，连连给公主写信，死前最后一封信只有一个公式：ρ=a(1−sin θ)(a >0)，国王不懂，将这封信交给了公主，公主用笛卡尔教她的坐标知识，画出了这个图形“心形线”，明白了笛卡尔的心意，登上国王宝座后，派人去寻笛卡尔，其逝久矣（仅是一个传说）.心形线是由一个圆上的一个定点，当该圆在绕着与其相切且半径相同的另外一个圆周上滚动时，这个定点的轨迹，因其形状像心形而得名.在极坐标系Ox 中，方程ρ=a(1−sin θ)(a >0)表示的曲线C 1就是一条心形线，如图．以极轴Ox 所在直线为x 轴，极点O 为坐标原点的直角坐标系xOy 中，已知曲线C 2 的参数方程为{x =1+√3t,y =√33+t (t 为参数).(1)求曲线C 2的极坐标方程；(2)若曲线C 1与C 2相交于A ，O ，B 三点，求线段AB 的长.29. 已知曲线C 1的极坐标方程为ρ2cos 2θ=8，曲线C 2的极坐标方程为θ=π6，曲线C 1、C 2相交于A 、B 两点．(p ∈R)(1)求A 、B 两点的极坐标；(2)曲线C 1与直线{x =1+√32t,y =12t（t 为参数）分别相交于M ，N 两点，求线段MN 的长度．30. 已知直线l 的参数方程为{x =2+t,y =√3t (t 为参数)， P (2,0)，曲线C 的极坐标方程为ρ2cos 2θ=1.(1)求直线l 的普通方程及曲线C 的直角坐标方程；(2)若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，设A ，B 中点为Q ，求弦长|AB|以及|PQ|.31. 已知曲线C 1的极坐标方程为ρ2−4ρcos θ−4=0，曲线C 2和曲线C 1关于直线θ=π4对称，求曲线C 2的极坐标方程．32. 在直角坐标系 xOy 中，曲线C 1的参数方程为{x =√7cos αy =2+√7sin α（α为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ=2cos θ． (1)求曲线C 1的极坐标方程和C 2的直角坐标方程；(2)直线θ=π3(ρ∈R )与曲线C 1，C 2分别交于第一象限内A ，B 两点，求|AB|．33. 已知直线l 的参数方程为{x =1+t cos α，y =t sin α（t 为参数， 0≤α<π），以原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为 ρ2+1=2ρcos θ+4ρsin θ. (1)求圆C 的直角坐标方程；(2)若直线l 与圆C 相交于A ，B 两点，且 |AB|=2√3 ，求α的值.34. 在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为{x =2cos α,y =2+2sin α （α为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线 M 的极坐标方程为ρ2sin 2θ=32(0<θ<π2).(1)求曲线C 的极坐标方程；(2)已知β为锐角，直线l:θ=β(ρ∈R )与曲线C 的交点为A (异于极点)，l 与曲线M 的交点为B ，若|OA|⋅|OB|=16√2，求l 的直角坐标方程.35. 在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为{x =3+12ty =√32t （t 为参数），以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，⊙C 的极坐标方程为ρ＝2√3sin θ． (Ⅰ)写出⊙C 的直角坐标方程；(Ⅱ)P 为直线l 上一动点，当P 到圆心C 的距离最小时，求P 的直角坐标．36. 在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{x =4t ，y =4t 2（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ(√3cos θ−2sin θ)=2. (1)写出曲线C 1的极坐标方程和曲线C 2的直角坐标方程；(2)若射线OA:θ=α(0<α<π2,ρ≥0)与曲线C 2相交于点A ，将OA 逆时针旋转90∘后，与曲线C 1相交于点B ，且|OB|=2√3|OA|，求α的值.37. 若以直角坐标系xOy 的O 为极点，Ox 为极轴，选择相同的长度单位建立极坐标系，得曲线的极坐标方程是ρsin 2θ=6cos θ．(1)将曲线C 的极坐标方程ρsin 2θ=6cos θ化为直角坐标方程，并指出曲线是什么曲线；(2)若直线l 的参数方程为{x =32+12t ，y =√32t（t 为参数），当直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求线段AB 的长．38. 在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程是{x =1+√3t,y =−2t （t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程是ρ2=81+sin 2θ.(1)求曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程；(2)若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，点P 的坐标为(1,0)，求|PA|⋅|PB|的值．39. 在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 1与C 2的极坐标方程分别为C 1:ρ2=85+3cos 2θ，C 2:ρ+3ρ=4cos θ，点P 在C 1上，点Q 在C 2上． (1)分别求曲线C 1、C 2的直角坐标方程；(2)求|PQ|的最大值．40. 在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为{x =2t +2,y =3t −1（t 为参数）,以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ2=41+3cos 2θ.(1)写出直线l 和曲线C 的普通方程；(2)过曲线C 上任一点P 作与l 的夹角为30∘的直线，交l 于点Q ，求|PQ|的最大值与最小值．参考答案与试题解析数学选修4-4简单曲线的极坐标方程练习题含答案一、选择题（本题共计 10 小题，每题 3 分，共计30分）1.【答案】B【考点】圆的极坐标方程【解析】利用ρ=√x2+y2，tanθ=yx即可得出．【解答】解：点M的直角坐标(−√3, 1)化为ρ=√(−√3)2+12=2，tanθ=−√3=−√33，∵点(−√3, 1)在第二象限，∴θ=5π6．∴(−√3, 1)化为极坐标是(2,5π6)．故选：B．2.【答案】B【考点】直线的极坐标方程圆的极坐标方程【解析】将极坐标方程进行转换，结合转化之后的方程即可求得最终结果．【解答】解：由题意可得，极坐标方程为ρ=3或θ=π2，据此可得极坐标方程表示的图形是一个圆和一条射线.故选B.3.【答案】A【考点】圆的极坐标方程【解析】此题暂无解析【解答】略4.【答案】C【考点】圆的极坐标方程 【解析】在直角坐标系中，求出直线的方程，利用极坐标与直角坐标的互化公式求得直线极坐标方程． 【解答】解：在直角坐标系中，过点(1, 0)并且与极轴垂直的直线方程是 x =1， 其极坐标方程为 ρcos θ=1， 故选 C ． 5. 【答案】 C【考点】圆的极坐标方程与直角坐标方程的互化 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：曲线ρ2+2ρ(3cos θ−2sin θ)=0的直角坐标方程为： x 2+y 2+6x −4y =0，∴ 该曲线为圆，且圆心为(−3,2)，∴ 曲线ρ2+2ρ(3cos θ−2sin θ)=0的对称中心的直角坐标是(−3,2). 故选C . 6.【答案】 B【考点】直线的极坐标方程与直角坐标方程的互化 【解析】先将原极坐标方程两边同乘以ρ后化成直角坐标方程，再利用直角坐标方程求出圆心距即可． 【解答】解：将极坐标方程C 1:ρ=2cos θ和C 2:ρ=sin θ，分别化为普通方程C 1:ρ=2cos θ⇒ρ2=2ρcos θ⇒x 2+y 2=2x ⇒(x −1)2+y 2=1， C 2:ρ=sin θ⇒ρ2=ρsin θ⇒x 2+y 2=y ⇒x 2+(y −12)2=(12)2，然后就可解得两个圆的圆心距为：d =√52． 故选B ． 7.【答案】 B【考点】圆的极坐标方程 【解析】利用{x =ρcos θy =ρsin θ可把曲线C 2的极坐标方程化为直角坐标方程；利用cos 2θ+sin 2θ=1，可把曲线C 1的参数方程化为直角坐标方程，求出圆心到直线的距离d ，与半径比较即可得出． 【解答】解：曲线C 1的参数方程为{x =5cos θy =5sin θ，化为x 2+y 2=25．曲线C 2的极坐标方程为ρsin (θ+π4)=5，展开化为√22(ρsin θ+ρcos θ)=5，∴ 直角坐标方程为：x +y =5√2． ∴ 圆心(0, 0)到直线的距离d =√2√2=5=R ，∴ C 1与C 2的位置关系是相切． 故选：B ． 8.【答案】 D【考点】直线的极坐标方程 【解析】 此题暂无解析 【解答】 略 9. 【答案】 C【考点】圆的极坐标方程 【解析】本题可以先建立直角坐标系，将极坐标化成直角坐标，再求出两点距离，得到本题答案．也可以在极坐标系下，利用正、余弦定理解三角形，求出边长，即得本题结论． 【解答】解：以极点为坐标原点，以极轴所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系． ∵ A(3, π3)，B(4, −π6)， ∴ 根据公式{x =ρcos θy =ρsin θ，得到点A 、B 在平面直角系下的坐标分别为： A(32, 32√3)，B(2√3,−2) ∴ |AB|=√(2√3−32)2+(−2−32√3)2=√25=5． 故答案为：C ． 10. 【答案】 C抛物线的极坐标方程抛物线的极坐标方程与直角坐标方程的互化 【解析】【解答】 解：{x =2t ，y =2t 2，t 为参数，则{t =x2,t 2=y 2,∴ (x 2)2=y 2,∴ x 2=2y ． 故选C ．二、 填空题 （本题共计 10 小题 ，每题 3 分 ，共计30分 ） 11.【答案】 1【考点】圆的极坐标方程直线的极坐标方程与直角坐标方程的互化【解析】把极坐标方程化为直角坐标方程，求出圆心到直线的距离，把此距离减去半径即得所求． 【解答】解：圆ρ=2即x 2+y 2=4，圆心为(0, 0)，半径等于2． 直线√3ρsin θ+ρcos θ=6即√3y +x −6=0， 圆心到直线的距离等于√3+1=3，故圆上的点到直线的距离的最小值为3−2=1，故答案为1． 12.【答案】x 2+(y −2)2=4 【考点】双曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化 【解析】 此题暂无解析 【解答】解以极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点O ，以极轴为x 轴的正半轴，建立直角坐标系xOy ．把sin θ=yρ，ρ2=x 2+y 2代入极坐标方程， 有x 2+y 2−4y =0．故所求的直角坐标方程为x 2+(y −2)2=4． 13. 【答案】 3圆的极坐标方程 【解析】把极坐标方程化为直角坐标方程，求得圆心和半径，再求得弦心距，利用弦长公式求得弦长． 【解答】解：曲线C 的极坐标方程为：ρ=2√3cos θ，即 ρ2=2√3cos θ，化为直角坐标方程为(x −√3)2+y 2=3，表示以C(√3, 0)为圆心，半径等于√3的圆． 直线的极坐标方程为：2ρcos θ=√3，即 x =√32， 故弦心距为d =√32，故弦长为 2√r 2−d 2=2√3−34=3，故答案为：3． 14.【答案】 4【考点】椭圆的极坐标方程与直角坐标方程的互化 两角和与差的正弦公式 三角函数的最值 【解析】 此题暂无解析 【解答】 解：∵ 点P 在x 23+y 24=1上，则可设P(√3cos θ,2sin θ)， 即x =√3cos θ，y =2sin θ， ∴ 2x +y =2√3cos θ+2sin θ=4(√32cos θ+12sin θ)=4sin (θ+π3)， 显然2x +y 的最大值为4. 故答案为：4． 15.【答案】 ρsin θ=2 【考点】圆的极坐标方程 【解析】先将原极坐标是H(2,π2)化成直角坐标方程，再利用直角坐标方程进行判断求解即可． 【解答】解：∵ 自极点O 向直线l 作垂线，垂足是H(2,π2)，即H(0, 2)∴直线l的直角坐标方程为y=2，其极坐标方程为ρsinθ=2．故填：ρsinθ=2．16.【答案】ρsinθ=4【考点】圆的极坐标方程与直角坐标方程的互化直线的极坐标方程与直角坐标方程的互化圆的切线方程【解析】求出极坐标的直角坐标，极坐标方程的直角坐标方程，然后求出切线方程，转化为极坐标方程即可．【解答】解：(4,π2)的直角坐标为：(0, 4)，圆ρ=4sinθ的直角坐标方程为：x2+y2−4y=0，显然，圆心坐标(0, 2)，半径为：2；所以过(0, 4)与圆相切的直线方程为：y=4，所以切线的极坐标方程是：ρsinθ=4.故答案为：ρsinθ=4．17.【答案】2√3【考点】圆的极坐标方程与直角坐标方程的互化参数方程与普通方程的互化直线与圆相交的性质点到直线的距离公式【解析】把参数方程化为普通方程，极坐标方程化为直角坐标方程，求出圆心到直线的距离，由弦长公式求得弦长．【解答】解：直线ρcosθ=2即x=2．圆{x=1+2cosθy=−2+2sinθ（θ为参数）即(x−1)2+(y+2)2=4，表示以(1, −2)为圆心，以2为半径的圆．圆心到直线x=2的距离d=1，由弦长公式可得弦长为2√r2−d2=2√4−1=2√3，故答案为2√3．18.【答案】(1,π2 )【考点】圆的极坐标方程【解析】由已知中圆的极坐标方程为ρ=2sin θ，我们分别取θ=0，θ=π2，并由此可以确定出圆的一条直径两端点的坐标，进而代入中点坐标公式，即可得到答案． 【解答】解：∵ 圆的极坐标方程为ρ=2sin θ则它表示过极坐标原点，(2, π2)点的，以2为直径的圆 故圆心落在 (1,π2)点故答案为：(1,π2)． 19. 【答案】√3【考点】圆的极坐标方程 【解析】先将原极坐标方程化成直角坐标方程，再利用直角坐标方程进行判断． 【解答】解：由ρ=1得x 2+y 2=1，又∵ ρ=2cos (θ+π3)=cos θ−√3sin θ， ∴ ρ2=ρcos θ−√3ρsin θ， ∴ x 2+y 2−x +√3y =0，由{x 2+y 2=1x 2+y 2−x +√3y =0 得A(1, 0)，B(−12,−√32)， ∴ AB =12)√32=√3．20. 【答案】2,(√3, −1)【考点】圆的极坐标方程直线的极坐标方程与直角坐标方程的互化 【解析】将极坐标方程为ρ=4cos (θ+π6)，先利用三角函数的和角公式展开，再化为一般方程，然后再判断圆C 的半径和圆心坐标． 【解答】解：∵ 圆的极坐标方程为ρ=4cos (θ+π6)，即ρ=2√3cos θ−2sin θ， ∴ x =p cos θ，y =p sin θ，消去p 和θ得， ∴ (x −√3)2+(y +1)2=4，∴ 圆心的直角坐标是(√3, −1)，半径长为2． 故答案为：2；(√3, −1)．三、 解答题 （本题共计 20 小题 ，每题 10 分 ，共计200分 ） 21.【答案】解：(1)曲线C :ρcos 2θ=4a sin θ(a ≠0) ，两边同时乘以ρ， 可得ρ2cos 2θ=4aρsin θ(a ≠0)，化简得：x 2=4ay (a ≠0)直线l 的参数方程为 {x =−2+√22t,y =−1+√22t （t 为参数），可得x −y =−1，得x −y +1=0.(2)将 {x =−2+√22t,y =−1+√22t (t 为参数)，代入x 2=4ay (a ≠0)并整理得：t 2−4√2(a +1)t +8(a +1)=0，由韦达定理：t 1+t 2=4√2(a +1)，t 1⋅t 2=8(a +1)， 由题意得|PM|+|PN|=2|MN|，因为|MN |为弦长， 所以a >0，所以t 1⋅t 2>0.|MN |2=(t 1+t 2)2−4t 1t 2，(|PM|+|PN|)2=t 12+2t 1t 2+t 22，即4(t 1+t 2)2−4t 1t 2=t 12+2t 1t 2+t 22， 整理得：3a 2+4a −4=0，(a >0)， 解得：a =23.【考点】抛物线的极坐标方程与直角坐标方程的互化 参数方程与普通方程的互化 与抛物线有关的中点弦及弦长问题 等差中项【解析】(1)利用所给的极坐标方程和参数方程，直接整理化简得到直角坐标方程和普通方程； (2)联立直线的参数方程和C 的直角坐标方程，结合韦达定理以及等比数列的性质即可求得答案．【解答】解：(1)曲线C :ρcos 2θ=4a sin θ(a ≠0) ，两边同时乘以ρ， 可得ρ2cos 2θ=4aρsin θ(a ≠0)，化简得：x 2=4ay (a ≠0)直线l 的参数方程为 {x =−2+√22t,y =−1+√22t （t 为参数），可得x −y =−1，得x −y +1=0.(2)将 {x =−2+√22t,y =−1+√22t (t 为参数)，代入x 2=4ay (a ≠0)并整理得：t 2−4√2(a +1)t +8(a +1)=0，由韦达定理：t 1+t 2=4√2(a +1)，t 1⋅t 2=8(a +1)， 由题意得|PM|+|PN|=2|MN|，因为|MN |为弦长，所以a >0，所以t 1⋅t 2>0.|MN |2=(t 1+t 2)2−4t 1t 2，(|PM|+|PN|)2=t 12+2t 1t 2+t 22，即4(t 1+t 2)2−4t 1t 2=t 12+2t 1t 2+t 22， 整理得：3a 2+4a −4=0，(a >0)， 解得：a =23.22. 【答案】解：(1)射线l:y =√3x(x ≥0)， 转换为极坐标方程为：θ=π3(ρ≥0)． 曲线C 1的参数方程为{x =3cos α,y =2sin α （α为参数），转换为直角坐标方程为：x 29+y 24=1．(2)曲线C 2的方程为x 2+(y −2)2=4； 转换为极坐标方程为：ρ=4sin θ，设M ，N 对应的极坐标分别为(ρ1,θ)，(ρ2,θ)， {θ=π3,ρ=4sin θ,解得M(2√3,π3)；{θ=π3,ρ=8sin θ,解得N(4√3,π3)； 所以：|MN|=|ρ1−ρ2|=|4√3−2√3|=2√3．【考点】椭圆的极坐标方程与直角坐标方程的互化 圆的极坐标方程与直角坐标方程的互化 直线的极坐标方程与直角坐标方程的互化【解析】（1）直接利用转换关系，把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换． （2）利用一元二次方程根和系数的关系求出结果． 【解答】解：(1)射线l:y =√3x(x ≥0)， 转换为极坐标方程为：θ=π3(ρ≥0)．曲线C 1的参数方程为{x =3cos α,y =2sin α （α为参数），转换为直角坐标方程为：x 29+y 24=1．(2)曲线C 2的方程为x 2+(y −2)2=4； 转换为极坐标方程为：ρ=4sin θ，设M ，N 对应的极坐标分别为(ρ1,θ)，(ρ2,θ)， {θ=π3,ρ=4sin θ,解得M(2√3,π3)； {θ=π3,ρ=8sin θ,解得N(4√3,π3)；所以：|MN|=|ρ1−ρ2|=|4√3−2√3|=2√3． 23. 【答案】解：(1)射线l:y =√3x(x ≥0)， 转换为极坐标方程为：θ=π3(ρ≥0)． 曲线C 1的参数方程为{x =3cos α,y =2sin α （α为参数），转换为直角坐标方程为：x 29+y 24=1．(2)曲线C 2的方程为x 2+(y −2)2=4； 转换为极坐标方程为：ρ=4sin θ，设M ，N 对应的极坐标分别为(ρ1,θ)，(ρ2,θ)， {θ=π3,ρ=4sin θ,解得M(2√3,π3)； {θ=π3,ρ=8sin θ,解得N(4√3,π3)；所以：|MN|=|ρ1−ρ2|=|4√3−2√3|=2√3． 【考点】椭圆的极坐标方程与直角坐标方程的互化 圆的极坐标方程与直角坐标方程的互化 直线的极坐标方程与直角坐标方程的互化【解析】（1）直接利用转换关系，把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换． （2）利用一元二次方程根和系数的关系求出结果． 【解答】解：(1)射线l:y =√3x(x ≥0)， 转换为极坐标方程为：θ=π3(ρ≥0)．曲线C 1的参数方程为{x =3cos α,y =2sin α （α为参数），转换为直角坐标方程为：x 29+y 24=1．(2)曲线C 2的方程为x 2+(y −2)2=4； 转换为极坐标方程为：ρ=4sin θ，设M ，N 对应的极坐标分别为(ρ1,θ)，(ρ2,θ)， {θ=π3,ρ=4sin θ,解得M(2√3,π3)； {θ=π3,ρ=8sin θ,解得N(4√3,π3)； 所以：|MN|=|ρ1−ρ2|=|4√3−2√3|=2√3． 24.【答案】解：(1)由x 2+y 2−2x =0可得(x −1)2+y 2=1，所以曲线C 1是以(1,0)为圆心，1为半径的圆， 所以曲线C 1的参数方程为： {x =1+cos α,y =sin α,（α为参数）． 由ρ2=31+2sin 2θ得ρ2+2ρ2sin 2θ=3， 所以x 2+y 2+2y 2=3，则曲线C 2的直角坐标方程为x 23+y 2=1 (2)由(1)易得曲线C 1的极坐标方程为ρ=2cos θ, (2)由(1)易得曲线C 1的极坐标方程为ρ=2cos θ,则射线θ=π3(ρ≥0)与曲线C 1的交点的极径ρ1=2cos π3=1, 射线θ=π3(ρ≥0)与曲线C 2的交点的极径ρ2满足ρ22(1+2sin 2π3)=3,解得ρ2=√305, 所以|AB|=|ρ1−ρ2|=√305−1.【考点】椭圆的极坐标方程与直角坐标方程的互化 圆的参数方程直线的极坐标方程与直角坐标方程的互化【解析】 此题暂无解析 【解答】解：(1)由x 2+y 2−2x =0可得(x −1)2+y 2=1，所以曲线C 1是以(1,0)为圆心，1为半径的圆， 所以曲线C 1的参数方程为： {x =1+cos α,y =sin α,（α为参数）． 由ρ2=31+2sin 2θ 得ρ2+2ρ2sin 2θ=3， 所以x 2+y 2+2y 2=3，则曲线C 2的直角坐标方程为x 23+y 2=1.(2)由(1)易得曲线C1的极坐标方程为ρ=2cosθ,则射线θ=π3(ρ≥0)与曲线C1的交点的极径ρ1=2cosπ3=1, 射线θ=π3(ρ≥0)与曲线C2的交点的极径ρ2满足ρ22(1+2sin2π3)=3,解得ρ2=√305,所以|AB|=|ρ1−ρ2|=√305−1.25.【答案】解由x=ρcosθ，y=ρsinθ得C2的直角坐标方程为(x+1)2+y2=4．由（1）知C2是圆心为A(−1,0)，半径为2的圆．由题设知，C1是过点B(0,2)且关于y轴对称的两条射线．记y轴右边的射线为l1，y轴左边的射线为l2．由于B在圆C2的外面，故C1与C2有且仅有三个公共点等价于l1与C2只有一个公共点且l2与C2有两个公共点，或l2与C2只有一个公共点且l1与C2有两个公共点．当l1与C2只有一个公共点时，A到l1所在直线的距离为2，所以√k2+1=2，故k=−43或k=0．经检验，当k=0时，l1与C2没有公共点；当k=−43时，l1与C2只有一个公共点，l2与C2有两个公共点．当l2与C2只有一个公共点时，A到l2所在直线的距离为2，所以√k2+1=2，故k=0或k=43．经检验，当k=0时，l1与C2没有公共点；当k=43时，l2与C2没有公共点．综上，所求C1的方程为y=−43|x|+2．【考点】圆的极坐标方程【解析】此题暂无解析【解答】略略26.【答案】解：(1)∵ ρ=4cosθsin2θ，∴ρ2sin2θ=4ρcosθ，即y 2=4x ，∴ 曲线C 的直角坐标方程为y 2=4x . (2)将{x =−1+t cos α,y =3+t sin α,代入y 2=4x ，得t 2sin 2α+(6sin α−4cos α)t +13=0(sin 2α≠0)， 由题意得Δ=(6sin α−4cos α)2−4×13sin 2α>0①， 设A ，B 对应的参数分别为t 1，t 2，则t 1t 2=13sin 2α， ∵ 点P 在直线l 上，∴ PA →⋅PB →=|PA →||PB →|=|t 1t 2|=13sin 2α.∵ 2PF →2=2|PF →|2=2(√22+32)2=26， ∴13sin 2α=26，即sin α=±√22. 又∵ 0≤α<π， ∴ α=π4或a =3π4，代入①知α=π4不符合， ∴ α=3π4.【考点】抛物线的极坐标方程与直角坐标方程的互化 抛物线的极坐标方程利用圆锥曲线的参数方程求最值【解析】两边同乘ρ，利用极坐标与直角坐标互化公式可得； 利用参数的几何意义可得． 【解答】 解：(1)∵ ρ=4cos θsin 2θ，∴ ρ2sin 2θ=4ρcos θ， 即y 2=4x ，∴ 曲线C 的直角坐标方程为y 2=4x . (2)将{x =−1+t cos α,y =3+t sin α,代入y 2=4x ，得t 2sin 2α+(6sin α−4cos α)t +13=0(sin 2α≠0)， 由题意得Δ=(6sin α−4cos α)2−4×13sin 2α>0①， 设A ，B 对应的参数分别为t 1，t 2，则t 1t 2=13sin 2α， ∵ 点P 在直线l 上，∴ PA →⋅PB →=|PA →||PB →|=|t 1t 2|=13sin 2α.∵ 2PF →2=2|PF →|2=2(√22+32)2=26， ∴ 13sin 2α=26， 即sin α=±√22. 又∵ 0≤α<π， ∴ α=π4或a =3π4，代入①知α=π4不符合， ∴ α=3π4.27. 【答案】当θ0=π3时，ρ0=4sin π3=2√3，在直线l 上任取一点(ρ, θ)，则有ρcos (θ−π3)=2， 故l 的极坐标方程为有ρcos (θ−π3)=2； 设P(ρ, θ)，则在Rt △OAP 中，有ρ＝4cos θ， ∵ P 在线段OM 上，∴ θ∈[π4, π2]，故P 点轨迹的极坐标方程为ρ＝4cos θ，θ∈[π4, π2]．【考点】圆的极坐标方程 【解析】（1）把θ0=π3直接代入ρ＝4sin θ即可求得ρ0，在直线l 上任取一点(ρ, θ)，利用三角形中点边角关系即可求得l 的极坐标方程；（2）设P(ρ, θ)，在Rt △OAP 中，根据边与角的关系得答案． 【解答】当θ0=π3时，ρ0=4sin π3=2√3，在直线l 上任取一点(ρ, θ)，则有ρcos (θ−π3)=2， 故l 的极坐标方程为有ρcos (θ−π3)=2；设P(ρ, θ)，则在Rt △OAP 中，有ρ＝4cos θ， ∵ P 在线段OM 上，∴ θ∈[π4, π2]，故P 点轨迹的极坐标方程为ρ＝4cos θ，θ∈[π4, π2]．28. 【答案】解：(1)由{x =1+√3t ，y =√33+t ， 消参数t 化简， 得y−√33x−1=√3，∴ y =√33x ，即C 2是过原点且倾斜角为π6的直线， ∴ C 2 的极坐标方程为θ=π6(ρ∈R ).(2)由{θ=π6，ρ=a(1−sin θ)， 得{ρ=a2，θ=π6， ∴ A(a 2，π6).由{θ=7π6，ρ=a(1−sin θ)，得{ρ=32a ，θ=7π6，， ∴ B(32a,7π6)，∴ |AB|=a2+3a 2=2a .【考点】直线的极坐标方程 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：(1)由{x =1+√3t,y =√33+t, 消参数t 化简， 得y−√33x−1=√3，∴ y =√33x ，即C 2是过原点且倾斜角为π6的直线，∴ C 2 的极坐标方程为θ=π6(ρ∈R ).(2)由{θ=π6，ρ=a(1−sin θ)， 得{ρ=a2，θ=π6， ∴ A(a 2，π6).由{θ=7π6，ρ=a(1−sin θ)， 得{ρ=32a ，θ=7π6， ∴ B(32a,7π6).∴ |AB|=a2+3a 2=2a .29.【答案】(1)由{ρ2cos 2θ=8,θ=π6 得：ρ2cos π3=8， ∴ ρ2=16， 即ρ=±4．∴ A 、B 两点的极坐标为：A(4,π6)，B(−4,π6)或B(4,7π6)．(2)由曲线C 1的极坐标方程ρ2cos 2θ=8化为ρ2(cos 2θ−sin 2θ)=8， 得到普通方程为x 2−y 2=8． 将直线{x =1+√32t,y =12t 代入x 2−y 2=8，整理得t 2+2√3t −14=0．∴ |MN|=√(2√3)2−4×(−14)=2√17． 【考点】双曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化 直线的极坐标方程与直角坐标方程的互化【解析】（I ）由{ρ2cos 2θ=8θ=π6得：ρ2cos π3=8，即可得到ρ．进而得到点A ，B 的极坐标． (II)由曲线C 1的极坐标方程ρ2cos 2θ=8化为ρ2(cos 2θ−sin 2θ)=8，即可得到普通方程为x 2−y 2=8．将直线{x =1+√32t y =12t 代入x 2−y 2=8，整理得t 2+2√3t −14=0．进而得到|MN|． 【解答】(1)由{ρ2cos 2θ=8,θ=π6得：ρ2cos π3=8，∴ ρ2=16， 即ρ=±4．∴ A 、B 两点的极坐标为：A(4,π6)，B(−4,π6)或B(4,7π6)．(2)由曲线C 1的极坐标方程ρ2cos 2θ=8化为ρ2(cos 2θ−sin 2θ)=8， 得到普通方程为x 2−y 2=8． 将直线{x =1+√32t,y =12t代入x 2−y 2=8，整理得t 2+2√3t −14=0．∴ |MN|=√(2√3)2−4×(−14)=2√17． 30. 【答案】解∶(1)由{x =2+t ，y =√3t消去参数t 得y =√3(x −2)，所以l 的普通方程是√3x −y −2√3=0，ρ2cos 2θ=ρ2(cos 2θ−sin 2θ)=(ρcos θ)2−(ρsin θ)2=1， 所以曲线C 的直角坐标方程为x 2−y 2=1 . (2)直线l 的标准参数方程为 {x =2+12t,y =√32t, 代入x 2−y 2=1得t 2−4t −6=0， Δ=(−4)2−4×(−6)=40>0， t 1+t 2=4，t 1t 2=−6，t 1,t 2异号，所以|AB|=|t 1−t 2|=√(t 1+t 2)2−4t 1t 2=√42−4×(−6)=2√10， 设Q 对应的参数是t 0，则t 0=t 1+t 22=2，所以|PQ|=|t 0|=2 .【考点】双曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化 参数方程的优越性 参数方程与普通方程的互化 【解析】【解答】解∶(1)由{x =2+t ，y =√3t消去参数t 得y =√3(x −2)，所以l 的普通方程是√3x −y −2√3=0，ρ2cos 2θ=ρ2(cos 2θ−sin 2θ)=(ρcos θ)2−(ρsin θ)2=1， 所以曲线C 的直角坐标方程为x 2−y 2=1 . (2)直线l 的标准参数方程为 {x =2+12t,y =√32t,代入x2−y2=1得t2−4t−6=0，Δ=(−4)2−4×(−6)=40>0，t1+t2=4，t1t2=−6，t1,t2异号，所以|AB|=|t1−t2|=√(t1+t2)2−4t1t2=√42−4×(−6)=2√10，设Q对应的参数是t0，则t0=t1+t22=2，所以|PQ|=|t0|=2 .31.【答案】解：由题意：极坐标方程ρ2−4ρcosθ−4=0转化为直角坐标方程为：x2+y2−4y−4=0，直线θ=π4转化为直角坐标方程为x=y，∵曲线C2和曲线C1关于直线y=x对称，∴曲线C2的直角坐标方程为：x2+y2−4x−4=0，由ρ2=x2+y2，ρsinθ=y，ρcosθ=x，∴曲线C2极坐标方程为：ρ2−4ρsinθ−4=0．【考点】圆的极坐标方程与直角坐标方程的互化直线的极坐标方程与直角坐标方程的互化【解析】根据ρ2＝x2+y2，ρsinθ＝y，ρcosθ＝x，将极坐标方程ρ2−4ρcosθ−4＝0和直线θ=π4化为直角坐标方程，利用对称关系求解曲线C2的直角坐标方程，在转化为极坐标方程．【解答】解：由题意：极坐标方程ρ2−4ρcosθ−4=0转化为直角坐标方程为：x2+y2−4y−4=0，直线θ=π4转化为直角坐标方程为x=y，∵曲线C2和曲线C1关于直线y=x对称，∴曲线C2的直角坐标方程为：x2+y2−4x−4=0，由ρ2=x2+y2，ρsinθ=y，ρcosθ=x，∴曲线C2极坐标方程为：ρ2−4ρsinθ−4=0．32.【答案】解：(1)曲线C1：x2+(y−2)2=7，把x1=ρcosθ，y1=ρsinθ，代入上式，化简得，曲线C1的极坐标方程为ρ2−4ρsinθ=3，曲线C2的极坐标方程为ρ=2cosθ，即ρ2=2ρcosθ，所以曲线C2的普通方程为C1：(x−1)2+y2=1．(2)依题意可设A(ρ1,π3)，B(ρ2,π3)．所以ρ2=2cosπ3=1，ρ12−4ρ1sinπ3−3=0，即ρ12−2√3ρ1−3=0，所以ρ1=√3±√6，因为点A在第一象限，所以ρ1>0，即ρ1=√3+√6，所以|AB|=|ρ2−ρ1|=√3+√6−1．【考点】圆的极坐标方程与直角坐标方程的互化圆的极坐标方程【解析】曲线C1：x2+(y−2)2=7，把x1=ρcosθ，y1=ρsinθ，代入上式，化简得，曲线C1的极坐标方程为ρ2−4ρsinθ=3，曲线C2的极坐标方程为ρ=2cosθ，即ρ2=2ρcosθ，所以曲线C2的普通方程为C1：(x−1)2+y2=1．依题意可设A(ρ1,π3)，A(ρ2,π3)．所以ρ2=2cosπ3=1，ρ12−4ρ1sinπ3−3=0，即ρ12−2√3ρ1−3=0，所以ρ1=√3±√6，因为点A在第一象限，所以ρ1>0，即ρ1=√3±√6，所以|AB|=|ρ2−ρ1|=√3+√6−1．【解答】解：(1)曲线C1：x2+(y−2)2=7，把x1=ρcosθ，y1=ρsinθ，代入上式，化简得，曲线C1的极坐标方程为ρ2−4ρsinθ=3，曲线C2的极坐标方程为ρ=2cosθ，即ρ2=2ρcosθ，所以曲线C2的普通方程为C1：(x−1)2+y2=1．(2)依题意可设A(ρ1,π3)，B(ρ2,π3)．所以ρ2=2cosπ3=1，ρ12−4ρ1sinπ3−3=0，即ρ12−2√3ρ1−3=0，所以ρ1=√3±√6，因为点A在第一象限，所以ρ1>0，即ρ1=√3+√6，所以|AB|=|ρ2−ρ1|=√3+√6−1．33.【答案】解：(1)因为ρ2=x2+y2，x=ρcosθ，y=ρsinθ，将上面三个式子代入圆的极坐标方程，得圆C的直角坐标方程为：x2+y2−2x−4y+1=0.(2)将直线l的参数方程代入到圆C的直角坐标方程中，有t2−4t sinα=0，∴t2+t1=4sinα，t2⋅t1=0.∵|AB|=√(y2−y1)2+(x2−x1)2=√(t2sinα−t1sinα)2+(t2cosα−t1cosα)2=√(t1+t2)2−4t1t2=2√3，∴解得sinα=√32，∴α=π3或α=2π3.【考点】圆的极坐标方程与直角坐标方程的互化直线的参数方程一元二次方程的根的分布与系数的关系两点间的距离公式【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)因为ρ2=x2+y2，x=ρcosθ，y=ρsinθ，将上面三个式子代入圆的极坐标方程，得圆C的直角坐标方程为：x2+y2−2x−4y+1=0.(2)将直线l的参数方程代入到圆C的直角坐标方程中，有t2−4t sinα=0，∴t2+t1=4sinα，t2⋅t1=0.∵|AB|=√(y2−y1)2+(x2−x1)2=√(t2sinα−t1sinα)2+(t2cosα−t1cosα)2=√(t1+t2)2−4t1t2=2√3，∴解得sinα=√32，∴α=π3或α=2π3.34.【答案】解：(1)由题意知，曲线C的直角坐标方程为x2+(y−2)2=4，即x2+y2=4y，∴ρ2=4ρsinθ，即ρ=4sinθ，∴曲线C的极坐标方程为ρ=4sinθ.(2)∵曲线M的极坐标方程为ρ2sin2θ=32(0<θ<π2)，∴ρ=√32sin2θ，将θ=β代入，得|OB|=√2sin2β.∵曲线C的极坐标方程为ρ=4sinθ，∴|OA|=4sinβ，∴|OA|⋅|OB|=16√2√sin2βsin2β=16√tanβ=16√2，则tanβ=2，故l的直角坐标方程为y=2x.【考点】圆的极坐标方程与直角坐标方程的互化直线的极坐标方程与直角坐标方程的互化【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)由题意知，曲线C的直角坐标方程为x2+(y−2)2=4，即x2+y2=4y，∴ρ2=4ρsinθ，即ρ=4sinθ，∴曲线C的极坐标方程为ρ=4sinθ.(2)∵曲线M的极坐标方程为ρ2sin2θ=32(0<θ<π2)，∴ρ=√32sin2θ，将θ=β代入，得|OB|=√2.∵曲线C的极坐标方程为ρ=4sinθ，∴|OA|=4sinβ，∴|OA|⋅|OB|=16√2√sin2βsin2β=16√tanβ=16√2，则tanβ=2，故l的直角坐标方程为y=2x.35.【答案】（I）由⊙C的极坐标方程为ρ＝2√3sinθ．∴ρ2＝2√3ρsinθ，化为x2+y2=2√3y，配方为x2+(y−√3)2=3．(II)设P(3+12t,√32t)，又C(0,√3)．∴|PC|=2(√2=√t2+12≥2√3，因此当t＝0时，|PC|取得最小值2√3．此时P(3, 0)．【考点】点的极坐标和直角坐标的互化 【解析】（I ）由⊙C 的极坐标方程为ρ＝2√3sin θ．化为ρ2＝2√3ρsin θ，把{ρ2=x 2+y 2y =ρsin θ 代入即可得出；． (II)设P(3+12t,√32t)，又C(0,√3)．利用两点之间的距离公式可得|PC|=√t 2+12，再利用二次函数的性质即可得出．【解答】（I ）由⊙C 的极坐标方程为ρ＝2√3sin θ． ∴ ρ2＝2√3ρsin θ，化为x 2+y 2=2√3y ， 配方为x 2+(y −√3)2=3． (II)设P(3+12t,√32t)，又C(0,√3)． ∴ |PC|=(3+12t)+(√32t −√3)=√t 2+12≥2√3，因此当t ＝0时，|PC|取得最小值2√3．此时P(3, 0)． 36. 【答案】解：(1)由曲线C 1的参数方程为{x =4t,y =4t 2（t 为参数），可得其直角坐标方程为x 2=4y ，由{x =ρcos θ，y =ρsin θ，得曲线C 1的极坐标方程为ρcos 2θ=4sin θ． C 2：√3ρcos θ−2ρsin θ=2，由{x =ρcos θ,y =ρsin θ,得曲线C 2的直角坐标方程为√3x −2y −2=0． (2)将θ=α(ρ>0)代入ρ(√3cos θ−2sin θ)=2， 得ρA =|OA|=√3cos α−2sin α．将OA 逆时针旋转90∘，得OB 的极坐标方程为θ=α+π2(ρ≥0)， 所以ρB =|OB|=4sin (α+π2)cos 2(α+π2)=4cos αsin 2α．由|OB|=2√3|OA|，得4cos αsin 2α=√33cos α−2sin α，√3cos 2α−√3sin 2α−2sin αcos α=0， 即sin 2α=√3cos 2α，解得tan 2α=√3． 因为α∈(0,π2)， 所以α=π6.【考点】抛物线的极坐标方程与直角坐标方程的互化 二倍角的正弦公式。

三 简单曲线的极坐标方程一、基础达标1.圆心在(1，0)且过极点的圆的极坐标方程为( ) A. ρ＝1 B.ρ＝cos θ C.ρ＝2cos θD.ρ＝2sin θ解析 圆的直角坐标方程是(x －1)2＋y 2＝1，将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入上式，整理得，ρ＝2cos θ，即为此圆的极坐标方程. 答案 C2.在极坐标系中，圆ρ＝2cos θ的垂直于极轴的两条切线方程分别为( ) A.θ＝0(ρ∈R )和ρcos θ＝2 B.θ＝π2(ρ∈R )和ρcos θ＝2 C.θ＝π2(ρ∈R )和ρcos θ＝1D.θ＝0(ρ∈R )和ρcos θ＝1解析 由ρ＝2cos θ，得ρ2＝2ρcos θ，化为直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＝0，即(x －1)2＋y 2＝1，其垂直于极轴的两条切线方程为x ＝0和x ＝2，相应的极坐标方程为θ＝π2(ρ∈R )和ρcos θ＝2. 答案 B3.在极坐标系中，如果一个圆的方程是(x －2)2＋(y －3)2＝1，那么过圆心且与极轴平行的直线方程是( ) A.ρsin θ＝3 B.ρsin θ＝－3 C.ρcos θ＝2D.ρcos θ＝－2解析 圆(x －2)2＋(y －3)2＝1的圆心为(2，3)，∴过圆心且与极轴平行的直线方程是y ＝3，即ρsin θ＝3. 答案 A4.在极坐标系中，设圆C ：ρ＝4cos θ与直线l ：θ＝π4(ρ∈R )交于A ，B 两点，则以AB 为直径的圆的极坐标方程为( )A.ρ＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4B.ρ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4C.ρ＝22cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4D.ρ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4解析 根据题意可得圆C 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝4x ，直线l 的直角坐标方程为y ＝x ，联立两方程，解方程组可得交点的直角坐标为(0，0)，(2，2)，所以在直角坐标系中，以AB 为直径的圆的圆心为(1，1)、半径为2，则方程为x 2＋y 2＝2x ＋2y ，所以所求极坐标方程为ρ＝2(cos θ＋sin θ)＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4.答案 A5.在极坐标系(ρ，θ)(0≤θ<2π)中，直线θ＝π4被圆ρ＝2sin θ截得的弦长是________.解析 直线为y ＝x (x ≥0)，圆的方程为x 2＋(y －1)2＝1，交于原点和点A (1，1)，弦长为 2. 答案26.在极坐标系中，曲线C 1与C 2的方程分别为2ρcos 2θ＝sin θ与ρcos θ＝1.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线C 1与C 2交点的直角坐标为________.解析 由2ρcos 2θ＝sin θ⇒2ρ2cos 2θ＝ρsin θ⇒2x 2＝y .又由ρcos θ＝1⇒x ＝1，由⎩⎨⎧2x 2＝y ，x ＝1⇒⎩⎨⎧x ＝1，y ＝2，故曲线C 1与C 2交点的直角坐标为(1，2).答案 (1，2)7.已知圆C 的极坐标方程为ρ2＋22ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4－4＝0，求圆C 的半径.解 以极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点O ，以极轴为x 轴的正半轴，建立直角坐标系xOy .圆C 的极坐标方程为ρ2＋22ρ⎝ ⎛⎭⎪⎫22sin θ－22cos θ－4＝0，化简，得ρ2＋2ρsin θ－2ρcos θ－4＝0.则圆C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＋2y －4＝0，即(x －1)2＋(y ＋1)2＝6，所以圆C 的半径为 6. 二、能力提升8.下列点不在曲线ρ＝cos θ上的是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，π3B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，2π3C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－π3D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－2π3解析 点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－23π的极坐标满足ρ＝12，θ＝－23π，且ρ≠cos θ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23π＝－12. 答案 D9.在极坐标系中与圆ρ＝4sin θ相切的一条直线的方程为( ) A.ρcos θ＝12 B.ρcos θ＝2 C.ρ＝4sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π3D.ρ＝4sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π3解析 极坐标方程ρ＝4sin θ化为ρ2＝4ρsin θ，即x 2＋y 2＝4y ，即x 2＋(y －2)2＝4.由所给的选项中ρcos θ＝2知，x ＝2为其对应的直角坐标方程，该直线与圆相切. 答案 B10.在极坐标系中，曲线ρcos 2θ＝4sin θ的焦点的坐标为________ (规定：ρ≥0，0≤θ<2π).解析 易知曲线ρcos 2θ＝4sin θ的直角坐标方程为x 2＝4y ，故该曲线焦点的直角坐标为(0，1)，极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π2.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π2 11.在极坐标系中，已知圆C 经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，圆心为直线ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝－32与极轴的交点，求圆C 的极坐标方程.解 在ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝－32中，令θ＝0，得ρ＝1，所以圆C 的圆心坐标为(1，0)，因为圆C 的经过点P ⎝⎛⎭⎪⎫2，π4，所以圆C 的半径PC ＝（2）2＋12－2×1×2cos π4＝1，于是圆C 过极点，所以圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ.12.(2019·全国卷Ⅲ理，22)如图，在极坐标系Ox 中，A (2，0)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，3π4，D (2，π)，弧AB ︵，BC ︵，CD ︵所在圆的圆心分别是(1，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π2，(1，π)，曲线M 1是弧AB ︵，曲线M 2是弧BC ︵，曲线M 3是弧CD ︵.(1)分别写出M 1，M 2，M 3的极坐标方程；(2)曲线M 由M 1，M 2，M 3构成，若点P 在M 上，且|OP |＝3，求P 的极坐标. 解 (1)由题设可得，弧AB ︵，BC ︵，CD ︵所在圆的极坐标方程分别为ρ＝2cos θ，ρ＝2sin θ，ρ＝－2cos θ，所以M 1的极坐标方程为ρ＝2cos θ⎝ ⎛⎭⎪⎫0≤θ≤π4，M 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4≤θ≤3π4，M 3的极坐标方程为ρ＝－2cos θ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4≤θ≤π.(2)设P (ρ，θ)，由题设及(1)知若0≤θ≤π4，则2cos θ＝3，解得θ＝π6； 若π4≤θ≤3π4，则2sin θ＝3，解得θ＝π3或θ＝2π3； 若3π4≤θ≤π，则－2cos θ＝3，解得θ＝5π6.综上，P 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π6或⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π3或⎝ ⎛⎭⎪⎫3，2π3或⎝ ⎛⎭⎪⎫3，5π6.三、探究与创新13.在极坐标系中，O 为极点，已知圆C 的圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3，半径r ＝1，P 在圆C上运动.(1)求圆C 的极坐标方程；(2)在直角坐标系(与极坐标系取相同的长度单位，且以极点O 为原点，以极轴为x 轴正半轴)中，若Q 为线段OP 的中点，求点Q 轨迹的直角坐标方程.解 (1)设圆C 上任一点坐标为(ρ，θ)，由余弦定理得12＝ρ2＋22－2·2ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3，所以圆的极坐标方程为ρ2－4ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π3＋3＝0.(2)设Q (x ，y )，则P (2x ，2y )，由于圆C 的直角坐标方程为(x －1)2＋(y －3)2＝1，P 在圆C 上，所以(2x －1)2＋(2y －3)2＝1，则Q 轨迹的直角坐标方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋⎝⎛⎭⎪⎫y －322＝14.。

个性化教学辅导教案——进门测 评分_____（老师根据学生情况进行添加）下列点不在曲线ρ＝cos θ上的是( ) A.⎝⎛⎭⎫12，π3 B.⎝⎛⎭⎫－12，2π3 C.⎝⎛⎭⎫12，－π3 D.⎝⎛⎭⎫12，－2π3 【解析】 点⎝⎛⎭⎫12，－2π3的极坐标满足ρ＝12，θ＝－2π3，且ρ≠cos θ＝cos ⎝⎛⎭⎫－2π3＝－12. 【答案】 D极坐标方程ρ＝cos ⎝⎛⎭⎫π4－θ所表示的曲线是( ) A ．双曲线 B ．椭圆 C ．抛物线D ．圆【解析】 ∵ρ＝cos ⎝⎛⎭⎫π4－θ＝22cos θ＋22sin θ， ρ2＝22ρcos θ＋22ρsin θ， ∴x 2＋y 2＝22x ＋22y ，这个方程表示一个圆． 【答案】 D曲线与方程在平面直角坐标系中，平面曲线C 可以用方程f (x ，y )＝0表示．曲线与方程满足如下关系：(1)曲线C 上点的坐标都是方程f (x ，y )＝0的解； (2)以方程f (x ，y )＝0的解为坐标的点都在曲线C 上． 极坐标方程一般地，在极坐标系中，如果平面曲线C 上任意一点的极坐标中至少有一个满足方程f (ρ，θ)＝0，并且坐标适合方程f (ρ，θ)＝0的点都在曲线C 上，那么方程f (ρ，θ)＝0叫做曲线C 的极坐标方程． 常见的极坐标方程曲 线图 形极坐标方程 圆心在极点，半径为r 的圆 ρ＝r (0≤θ<2π) 圆心为(r,0)，半径为r 的圆ρ＝2r cos_θ⎝⎛⎭⎫－π2≤θ≤π2 圆心为⎝⎛⎭⎫r ，π2，半径为r 的圆ρ＝2r sin_θ(0≤θ<π)过极点，倾斜角为α的直线θ＝α或θ＝α＋π过点(a,0)，与极轴垂直的直线ρcos_θ＝a ⎝⎛⎭⎫－π2<θ<π2 过点⎝⎛⎭⎫a ，π2，与极轴平行的直线ρsin_θ＝a (0<θ<π)直线或射线的极坐标方程求过点A (1,0)，且倾斜角为π4的直线的极坐标方程．【思路探究】 画出草图―→设点M (ρ，θ)是直线上的任意一点―→建立关于ρ，θ的方程――→化简检验．【自主解答】法一 设M (ρ，θ)为直线上除点A 以外的任意一点． 则∠xAM ＝π4，∠OAM ＝3π4，∠OMA ＝π4－θ.在△OAM 中，由正弦定理得 |OM |sin ∠OAM ＝|OA |sin ∠OMA ，即ρsin 3π4＝1sin ⎝⎛⎭⎫π4－θ，故ρsin ⎝⎛⎭⎫π4－θ＝22， 即ρ⎝⎛⎭⎫sin π4cos θ－cos π4sin θ＝22， 化简得ρ(cos θ－sin θ)＝1，经检验点A (1,0)的坐标适合上述方程，所以满足条件的直线的极坐标方程为ρ(cos θ－sin θ)＝1，其中，0≤θ<π4，ρ≥0和5π4<θ<2π，ρ≥0.法二 以极点O 为直角坐标原点，极轴为x 轴，建立平面直角坐标系xOy . ∵直线的斜率k ＝tan π4＝1，∴过点A (1,0)的直线方程为y ＝x －1.将y ＝ρsin θ，x ＝ρcos θ代入上式，得ρsin θ＝ρcos θ－1， ∴ρ(cos θ－sin θ)＝1，其中，0≤θ<π4，ρ≥0和5π4<θ<2π，ρ≥0.[变式训练]1．若本例中条件不变，如何求以A 为端点且在极轴上方的射线的极坐标方程？ 【解】 由题意，设M (ρ，θ)为射线上任意一点， 根据例题可知，ρsin ⎝⎛⎭⎫π4－θ＝22， 化简得ρ(cos θ－sin θ)＝1.经检验点A (1,0)的坐标适合上述方程．因此，以A 为端点且在极轴上方的射线的极坐标方程为ρ(cos θ－sin θ)＝1⎝⎛⎭⎫其中ρ≥0，0≤θ<π4. 极坐标方程与直角坐标方程的互化若曲线C 的极坐标方程为ρ＝2sin θ＋4cos θ，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立直角坐标系．(1)求曲线C 的直角坐标方程；(2)若直线ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝0与曲线C 相交于A 、B ，求|AB |. 【思路探究】 利用极坐标化为直角坐标的公式将直线和圆的极坐标方程化为直角坐标方程求解．【自主解答】 (1)因为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，所以ρ2＝x 2＋y 2，由ρ＝2sin θ＋4cos θ，得ρ2＝2ρsin θ＋4ρcos θ ∴x 2＋y 2－4x －2y ＝0，即(x －2)2＋(y －1)2＝5. (2)由ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝0， 得ρ⎝⎛⎭⎫22sin θ－22cos θ＝0，即ρsin θ－ρcos θ＝0，∴x －y ＝0.由于圆(x －2)2＋(y －1)2＝5的半径为r ＝5，圆心(2,1)到直线x －y ＝0的距离为d ＝|2－1|2＝12，∴|AB |＝2r 2－d 2＝3 2.1．直角坐标方程化为极坐标方程，只需把公式x ＝ρcos θ及y ＝ρsin θ直接代入并化简即可；而极坐标方程化为直角坐标方程要通过变形，构造形如ρcos θ，ρsin θ，ρ2的形式，进行整体代换．其中方程的两边同乘以(或同除以)ρ及方程两边平方是常用的变形方法．但对方程进行变形时，方程必须保持同解，因此应注意对变形过程的检验．2．对方程进行合理变形，并注重公式的正向、逆向与变形使用．[变式训练]2．在极坐标系中，点⎝⎛⎭⎫2，π6到直线ρsin θ＝2的距离等于________． 【解析】 极坐标系中点⎝⎛⎭⎫2，π6对应的直角坐标为(3，1)．极坐标系中直线ρsin θ＝2对应直角坐标系中直线y ＝2，故所求距离为1.【答案】 1极坐标方程的应用从极点O 作直线与另一直线l ：ρcos θ＝4相交于点M ，在OM 上取一点P ，使|OM |·|OP |＝12.(1)求点P 的轨迹方程；(2)设R 为l 上的任意一点，试求|RP |的最小值．【思路探究】 (1)建立点P 的极坐标方程，完成直角坐标与极坐标方程的互化．(2)根据直线与圆的位置关系，数形结合求|RP |的最小值．【自主解答】 (1)设动点P 的极坐标为(ρ，θ)，M 的极坐标为(ρ0，θ)，则ρρ0＝12. ∵ρ0cos θ＝4，∴ρ＝3cos θ即为所求的轨迹方程． (2)将ρ＝3cos θ化为直角坐标方程，得x 2＋y 2＝3x ， 即⎝⎛⎭⎫x －322＋y 2＝⎝⎛⎭⎫322， 知P 的轨迹是以⎝⎛⎭⎫32，0为圆心，半径为32的圆． 直线l 的直角坐标方程是x ＝4. 结合图形(图略)易得|RP |的最小值为1. [变式训练]3．(2016·唐山期末)已知圆C ：x 2＋y 2＝4，直线l ：x ＋y ＝2，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系．(1)将圆C 和直线l 方程化为极坐标方程；(2)P 是l 上的点，射线OP 交圆C 于点R ，又点Q 在OP 上且满足|OQ |·|OP |＝|OR |2，当点P 在l 上移动时，求点Q 轨迹的极坐标方程．【解】 (1)将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ分别代入圆C 和直线l 的直角坐标方程得其极坐标方程为C ：ρ＝2，l ：ρ(cos θ＋sin θ)＝2.(2)设P ，Q ，R 的极坐标分别为(ρ1，θ)，(ρ，θ)，(ρ2，θ)，则由|OQ |·|OP |＝|OR |2得ρρ1＝ρ22. 又ρ2＝2，ρ1＝2cos θ＋sin θ，所以2ρcos θ＋sin θ＝4，故点Q 轨迹的极坐标方程为ρ＝2(cos θ＋sin θ)(ρ≠0)．[探究共研型]圆的极坐标方程探究 如何求圆心为C (ρ1，θ1)，半径为r 的圆的极坐标方程？【提示】 如图所示，设圆C 上的任意一点为M (ρ，θ)，且O 、C 、M 三点不共线，不妨以如图所示情况加以说明，在△OCM 中，由余弦定理得|OM |2＋|OC |2－2|OM |·|OC |·cos ∠COM ＝|CM |2，∴ρ2＋ρ21－2ρρ1cos(θ－θ1)＝r 2，可以检验，当O 、C 、M 三点共线时的点M的坐标也适合上式，当θ<θ1时也满足该式，所以半径为r ，圆心在C (ρ1，θ1)的圆的极坐标方程为ρ2＋ρ21－2ρρ1cos(θ－θ1)－r 2＝0.求圆心在C ⎝⎛⎭⎫2，3π2处并且过极点的圆的极坐标方程，并判断点⎝⎛⎭⎫－2，sin 5π6是否在这个圆上．【思路探究】 解答本题先设圆上任意一点M (ρ，θ)，建立等式转化为ρ，θ的方程，化简可得，并检验特殊点．【自主解答】 如图，由题意知，圆经过极点O ，OA 为其一条直径，设M (ρ，θ)为圆上除点O ，A 以外的任意一点，则|OA |＝2r ，连接AM ，则OM ⊥MA .在Rt △OAM 中，|OM |＝|OA |cos ∠AOM ， 即ρ＝2r cos ⎝⎛⎭⎫3π2－θ， ∴ρ＝－4sin θ，经验证，点O (0,0)，A ⎝⎛⎭⎫4，3π2的坐标满足上式， ∴满足条件的圆的极坐标方程为ρ＝－4sin θ. ∵sin5π6＝12， ∴ρ＝－4sin θ＝－4sin 5π6＝－2，∴点⎝⎛⎭⎫－2，sin 5π6在此圆上． [变式训练]4．曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＝0，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C 的极坐标方程为________．【解析】 直角坐标方程x 2＋y 2－2x ＝0可化为x 2＋y 2＝2x ，将ρ2＝x 2＋y 2，x ＝ρcos θ代入整理得ρ＝2cos θ.【答案】 ρ＝2cos θ1．极坐标方程ρ＝1表示( ) A ．直线 B ．射线 C ．圆D ．椭圆【解析】 由ρ＝1，得ρ2＝1，即x 2＋y 2＝1，故选C. 【答案】 C2．过极点且倾斜角为π3的直线的极坐标方程可以为( )A ．θ＝π3B ．θ＝π3，ρ≥0C ．θ＝4π3，ρ≥0D ．θ＝π3和θ＝4π3，ρ≥0【解析】 以极点O 为端点，所求直线上的点的极坐标分成两条射线． ∵两条射线的极坐标方程为θ＝π3和θ＝43π，又⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝x 2＋y 2，ρcos θ＝x ，ρsin θ＝y ，代入得⊙O ：x 2＋y 2－x －y ＝0，由l ：ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝22，得：22ρsin θ－22ρcos θ＝22，ρsin θ－ρcos θ＝1， 又⎩⎪⎨⎪⎧ρcos θ＝x ，ρsin θ＝y ，代入得：x －y ＋1＝0. (2)由⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＋1＝0，x 2＋y 2－x －y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1，又⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝yx ，得⎩⎪⎨⎪⎧ρ＝1，tan θ不存在， 又因为θ∈(0，π)，则θ＝π2，故为⎝⎛⎭⎫1，π2.直角坐标与极坐标间的转换：直角坐标方程化为极坐标方程，只需把公式x ＝ρcos θ及y ＝ρsin θ直接代入并化简即可；而极坐标方程化为直角坐标方程要通过变形，构造形如ρcos θ，ρsin θ，ρ2的形式，进行整体代换．其中方程的两边同乘以(或同除以)ρ及方程两边平方是常用的变形方法．但对方程进行变形时，方程必须保持同解，因此应注意对变形过程的检验——出门测 评分_____1．圆心在(1,0)且过极点的圆的极坐标方程为( ) A ．ρ＝1 B ．ρ＝cos θ C ．ρ＝2cos θD ．ρ＝2sin θ【解析】 圆的直角坐标方程是(x －1)2＋y 2＝1，将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入上式，整理得，ρ＝2cos θ，即为此圆的极坐标方程．【答案】 C2．极坐标方程(ρ－1)(θ－π)＝0(ρ≥0)表示的图形是( ) A ．两个圆 B ．两条直线C ．一个圆和一条射线D ．一条直线和一条射线 【解析】 由题设，得ρ＝1，或θ＝π， ρ＝1表示圆，θ＝π(ρ≥0)表示一条射线． 【答案】 C3．极坐标方程分别为ρ＝2cos θ和ρ＝sin θ的两个圆的圆心距为________.【解析】 两圆方程分别为x 2＋y 2＝2x ，x 2＋y 2＝y ，知两圆圆心C 1(1,0)，C 2⎝⎛⎭⎫0，12，∴|C 1C 2|＝12＋⎝⎛⎭⎫122＝52. 【答案】524．(2016·佛山质检)在极坐标系(ρ，θ)(0≤θ<2π)中，直线θ＝π4被圆ρ＝2sin θ截得的弦长是________．【解析】 直线为y ＝x (x ≥0)，圆的方程为x 2＋(y －1)2＝1，交于原点和点A (1,1)，弦长为 2.【答案】25．求过(－2,3)点且斜率为2的直线的极坐标方程． 【解】 由题意知，直线的直角坐标方程为y －3＝2(x ＋2)， 即：2x －y ＋7＝0.设M (ρ，θ)为直线上任意一点，将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入直角坐标方程 2x －y ＋7＝0得：2ρcos θ－ρsin θ＋7＝0， 这就是所求的极坐标方程．1．在极坐标系中，曲线ρ＝4sin ⎝⎛⎭⎫θ－π3关于( ) A ．直线θ＝π3对称 B ．直线θ＝5π6对称 C ．点⎝⎛⎭⎫2，π3对称 D ．极点对称 【解析】 由方程ρ＝4sin ⎝⎛⎭⎫θ－π3， 得ρ2＝2ρsin θ－23ρcos θ， 即x 2＋y 2＝2y －23x ， 配方，得(x ＋3)2＋(y －1)2＝4.它表示圆心在(－3，1)、半径为2且过原点的圆， 所以在极坐标系中，它关于直线θ＝5π6成轴对称．【答案】 B2．(2016·湛江模拟)在极坐标方程中，曲线C 的方程是ρ＝4sin θ，过点⎝⎛⎭⎫4，π6作曲线C 的切线，则切线长为( )A ．4 B.7 C ．2 2D ．2 3【解析】 ρ＝4sin θ化为直角坐标方程为x 2＋(y －2)2＝4，点⎝⎛⎭⎫4，π6化为直角坐标为(23，2)，百度文库花文定制教案11。

简单曲线的极坐标方程1.在极坐标系中，求出知足以下条件的圆的极坐标方程直线地点极坐标方程图 形圆心地点 极坐标方程图 形过极点， (1) θ＝ α(ρ∈ R) 或 θ＝ α＋ π(ρ∈ R ) 圆心在极点 (0， 0)ρ＝ r 倾斜角为 α(2) θ＝ α(ρ≥ 0) 和 θ＝π＋ α(ρ≥ 0)半径为 r (0 ≤θ<2π)圆心在点 (r ， 0)ρ＝ 2r cos_θ过点 (a ， 0)，且π ππ π与极轴垂直ρcos_θ＝ a －<θ<2半径为 r(－2≤ θ< )2 2 圆心在点 (r ，πρ＝2r sin_θπ2)ρsin_θ＝ a(0< θ<π)半径为 r(0≤ θ<π)过点 a ， 2 ，且与极轴平行圆心在点 (r ， π)ρ＝－ 2rcos_θ半径为 rπ3π 过点 (a ， 0)倾斜角为 αρsin(α－θ)＝ asin α(0< θ<π)( ≤θ< 2 )2 圆心在点 (r ，3πρ＝－ 2rsin_θ2)半径为 r(－π<θ≤ 0)ρsin( α－ θ)＝ ρ0过点 P(ρsin(α－ θ)．0， θ0)，倾斜角为 α圆心 C(ρ0， θ0) ，2－ 2ρ 22＝ 0.ρ0ρcos(θ－ θ0)＋ ρ0－ r半径为 r3.将以下曲线的直角坐标方程化为极坐标方程2.在极坐标系中，求出知足以下条件的直线的极坐标方程① x ＋ y ＝ 0；② x 2＋ y 2＋ 2ax ＝ 0(a ≠ 0)．(2) 将以下曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；并判断曲线形状：21① ρcos θ＝ 2；② ρ＝ 2cos θ；③ ρcos 2θ＝2；④ ρ＝.1－ cos θ[ 思路点拨 ](1) 先把公式 x ＝ ρcos θ， y ＝ ρsin θ代入曲线 (含直线 )的直角坐标方程，再化简．(2) 先利用公式 222代入曲线的极坐标方程，再化 ρcos θ＝ x ， ρsin θ＝ y ， ρ＝ x ＋ y 简．[解 ] (1) ①将 x ＝ ρcos θ， y ＝ ρsin θ代入 x ＋y ＝ 0 得 ρcos θ＋ ρsin θ＝ 0，即 ρ(sin θ＋ cos θ)＝ 0，3π 7π∴ tan θ＝－ 1， θ＝ 4 (ρ≥ 0)和 θ＝ 4 (ρ≥ 0)，∴直线 x ＋ y ＝ 0 的极坐标方程为 θ＝3π7π．4 (ρ≥ 0)和 θ＝ 4 (ρ≥0) ②将 x ＝ρcos θ， y ＝ ρsin θ代入 x 2＋ y 2＋ 2ax ＝ 0 得2ρ＋ 2a ρcos θ＝0，∴ ρ＝ 0 或 ρ＝－ 2acos θ.又 ρ＝ 0 表示极点，而极点在圆 ρ＝－ 2acos θ上 ∴所求极坐标方程为 ρ＝－ 2acos θ(2)①∵ ρcos θ＝ 2，∴ x ＝ 2，即直线 ρcos θ＝ 2 的直角坐标方程为 x ＝ 2， 它表示过点 (2， 0)且垂直于 x 轴的直线，222②∵ ρ＝ 2cos θ，∴ ρ＝ 2ρcos θ，即 x ＋ y ＝ 2x.∴ (x － 1)2＋ y 2＝ 1，即 ρ＝ 2cos θ的直角坐标方程．它表示圆心为 (1， 0)，半径为 1 的圆．2③∵ ρcos 2θ＝ 2，222∴ ρ(cos θ－ sin θ)＝ 2， 2222即 ρcos θ－ ρsin θ＝2，∴ x 2－ y 2＝ 2，故曲线是中心在原点，焦点在x 轴上的等轴双曲线．1④∵ ρ＝，∴ ρ＝ 1＋ ρcos θ，1－ cos θ∴ x 2＋ y 2＝ 1＋x ，两边平方并整理得 y 2＝ 2 x ＋12 ，1故曲线是极点为 －2， 0 ，焦点为 F(0， 0)，准线方程为 x ＝－ 1 的抛物线． 4.曲线 x 2＋ y 2＝ 2 x 2＋ y 2的极坐标方程是 ____________．22222，分析： ∵x ＋y ＝ ρ， ρ≥ 0，∴ ρ＝ x ＋y∴ x 2＋ y 2＝ 2 x 2＋ y 2可化为 ρ2＝ 2ρ，即 ρ(ρ－ 2)＝ 0.答案： ρ(ρ－ 2)＝0 5.曲线 ρsin θ－ π＝ 0 的直角坐标方程是 ______________．4π 2 2分析： ∵ρsin θ－ 4 ＝ 0，∴ 2 ρsin θ－ 2 ρcos θ＝ 0，∴ ρsin θ－ρcos θ＝0，即 x － y ＝ 0. 答案： x －y ＝ 0 6.圆 ρ＝ 5cos θ－ 53sin θ的圆心坐标是 ()A. 5，－ 2πB. 5， 2π33C. 5， πD. 5，5π33分析： 选 D.∵ ρ＝ 5cos θ－ 5 3 sin θ，2∴ ρ＝ 5ρcos θ－ 5 3ρsin θ，∴ x 2＋ y 2＝ 5x － 5 3y ，522∴ x － 2 ＋ y ＋ 5 2 3＝25，∴圆心 C 5，－5 3， ρ＝ 25＋ 75 ＝5，2 2 44tan θ＝ y＝－ 3，θ＝5πx3∴圆心 C 的极坐标为 C5π5， 3 .π) 7.极坐标方程 ρ＝ cos( － θ)表示的曲线是 (4A ．双曲线B ．椭圆C ．抛物线D ．圆分析： 选 D. ∵ ρ＝ cos π2－θ，即 ρ＝ 2 (cos θ＋ sin θ)，422∴ ρ＝ 2 (ρcos θ＋ ρsin θ)，2 222 21 222∴ x ＋ y ＝ 2 x ＋ 2 y ，即 x － 4 ＋ y － 4 ＝4.8.曲线的极坐标方程为1 ，则曲线的直角坐标方程为 __________ ．ρ＝ tan θ·cos θ1分析： ∵ ρ＝ tan θ· ，222θ＝ ρsin θ， ∴ ρcos θ＝ sin θ，∴ ρcos ∴ x 2＝ y.答案： x 2＝y9.直线 2ρcos θ＝ 1 与圆 ρ＝ 2cos θ订交的弦长为 ________．[分析 ] (1)由公式 x ＝ ρcos θ， y ＝ρsin θ，得直线 2ρcos θ＝ 1 的直角坐标方程为 2x＝1，22 22 2＝1， 圆 ρ＝ 2cos θ? ρ＝ 2ρcos θ的直角坐标方程为x ＋ y － 2x ＝ 0? ( x －1) ＋ y1 1 12因为圆心 (1， 0)到直线的距离为 1－2＝2，因此弦长为 2 1－ 2 ＝ 3.10.已知圆的极坐标方程为ρ＝ 4cos θ，圆心为 C ，点 P 的极坐标为 4， π，则 |CP|＝3________．2＝ 4ρcos θ，(2) 由圆的极坐标方程 ρ＝ 4cos θ得 ρ化为直角坐标方程为x 2＋ y 2－ 4x ＝ 0，因此 (x － 2)2＋ y 2＝ 4，因此圆心 C(2， 0)，半径 r ＝ |OC|＝ 2，如图，在 △ OCP 中，π ∠ POC ＝ ， |OP|＝ 4.3由余弦定理，得|PC|2＝ |OP|2＋ |OC|2－ 2|OP ||OC| ·cos ∠ POC ＝ 42＋ 22－ 2×4 × 2cosπ＝12，3因此 |PC|＝ 2 3.[ 答案 ] (1) 3 (2)2 311.(2015 高·考全国卷 Ⅰ )在直角坐标系 xOy 中，直线 1： x ＝－ 2，圆 22 ＋ (yC C ： ( x － 1)－ 2)2＝ 1，以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴成立极坐标系．(1) 求 C 1， C 2 的极坐标方程；π(2) 若直线 C 3 的极坐标方程为 θ＝ 4(ρ∈ R) ，设 C 2 与 C 3 的交点为 M ， N ，求△ C 2MN 的面积．[ 解 ] (1) 因为 x ＝ ρcos θ，y ＝ ρsin θ，因此 C 的极坐标方程为 ρcos θ＝－ 2， C 的12极坐标方程为 2ρ－ 2ρcos θ－ 4ρsin θ＋ 4＝ 0.π(2) 将 θ＝ 4代入 ρ2－ 2ρcos θ－ 4ρsin θ＋ 4＝ 0，得2ρ－ 3 2ρ＋ 4＝ 0，解得 ρ2，ρ2＝ 2.1＝ 2 故 ρ2，即 |MN |＝ 2.1－ ρ＝2因为 C 2 的半径为 1，因此 △ C 2MN 的面积为 1 .2。

极坐标方程基础习题附答案Coca-cola standardization office【ZZ5AB-ZZSYT-ZZ2C-ZZ682T-ZZT18】1.已知点P 的极坐标为，则点P 的直角坐标为（ ） A ．（1，） B ． （1，﹣） C ． （，1） D ． （，﹣1） 2.极坐标系中,B A ,分别是直线05sin 4cos 3=+-θρθρ和圆θρcos 2=上的动点,则B A ,两点之间距离的最小值是 .3.已知曲线C 的极坐标方程为2ρ=（0,02ρθπ>≤< ），曲线C 在点（2，4π）处的切线为l ，以极点为坐标原点，以极轴为x 轴的正半轴建立直角坐标系，则l 的直角坐标方程为 ▲ .4.在极坐标系中，已知直线把曲线所围成的区域分成面积相等的两部分，则常数a 的值是 ．5.在极坐标系中，圆2cos ρθ=的圆心到直线cos 2ρθ=的距离是____________．6.在极坐标系中，圆4sin ρθ=的圆心到直线()6R πθρ=∈的距离是______________．7.在极坐标系(),ρθ（0,02πρθ>≤<）中，曲线2sin ρθ=与2cos ρθ=的交点的极坐标为_____8.（坐标系与参数方程选做题）曲线2cos 4πρθθ==关于直线对称的曲线的极坐标方程为 。

试卷答案考点：点的极坐标和直角坐标的互化．专题：计算题． 分析： 利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，可求出点的直角坐标．解答： 解：x=ρcosθ=2×cos =1， y=ρsinθ=2×sin = ∴将极坐标（2，）化为直角坐标是（1，）． 故选A ．点评： 本题主要考查了点的极坐标和直角坐标的互化，同时考查了三角函数求值，属于基础题． 2.略3. 4.1a =-略5.曲线θρcos 2=即()2211x y -+=，表示圆心在（1，0），半径等于1的圆，直线cos 2ρθ=即直线2=x ，故圆心到直线的距离为1。

高三数学简单曲线的极坐标方程试题答案及解析1.直线(t为参数)与曲线=1的位置关系是( )A．相离B．相交C．相切D．不确定【答案】D【解析】在平面直角坐标系下，表示直线，=1表示半圆，由于的取值不确定，所以直线与半圆的位置关系不确定，选D.【考点】极坐标与参数方程.2.已知圆，直线，以O为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系.（1）将圆C和直线方程化为极坐标方程；（2）P是上的点，射线OP交圆C于点R，又点Q在OP上且满足，当点P在上移动时，求点Q轨迹的极坐标方程.【答案】（1），；（2）．【解析】本题主要考查直角坐标系与极坐标之间的互化，考查学生的转化能力和计算能力.第一问，利用直角坐标方程与极坐标方程的互化公式，进行转化；第二问，先设出的极坐标，代入到中，化简表达式，又可以由已知得和的值，代入上式中，可得到的关系式即点轨迹的极坐标方程.试题解析：（Ⅰ）将，分别代入圆和直线的直角坐标方程得其极坐标方程为，． 4分（Ⅱ）设的极坐标分别为，，，则由得． 6分又，，所以，故点轨迹的极坐标方程为． 10分【考点】1.直角坐标方程与极坐标方程的互化；2.点的轨迹问题.3.在极坐标系中，已知两点A、B的极坐标分别为（3，），（4，），则△AOB（其中O为极点）的面积为．【答案】【解析】如下图所示，，所以.【考点】1、极坐标方程；2、三角形的面积.4.在直角坐标系中，以原点为极点,轴的正半轴为极轴建坐标系,已知曲线，已知过点的直线的参数方程为（为参数），直线与曲线分别交于两点.（Ⅰ）写出曲线和直线的普通方程；（Ⅱ）若成等比数列,求的值．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）C两边同时乘以，得，则；的参数方程消去得；（Ⅱ）将直线的参数表达式代入抛物线得，根据韦达定理，而，则，所以.试题解析：（Ⅰ）C:（Ⅱ）将直线的参数表达式代入抛物线得因为由题意知，代入得.【考点】1.极坐标方程，参数方程与直角坐标方程的转化；（2）直线与圆锥曲线的应用.5.在直角坐标系中，以原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线，过点的直线的参数方程为：，(t为参数)，直线与曲线分别交于两点.(1)写出曲线和直线的普通方程；(2)若成等比数列,求的值．【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.【解析】（1）本小题首先根据圆的极坐标方程可得，再根据直线的参数方程为：，(t为参数)可得；（2）本小题主要根据直线与圆相交，通过根与系数的关系可得然后根据成等比数列，可建立参数的目标等式，解之即可。

高二数学简单曲线的极坐标方程试题答案及解析1.（1）把下列的极坐标方程化为直角坐标方程(并说明对应的曲线)：①②（2）把下列的参数方程化为普通方程（并说明对应的曲线）：③④【答案】（1）①,表示的曲线为圆。

②x+y=2,表示的曲线为直线（2）③表示的曲线为双曲线④ (表示的曲线为抛物线的一部分。

【解析】（1）先将原极坐标方程两边同乘以ρ后化成直角坐标方程，进而可得曲线的形状．（2）根据平方关系消去参数θ可得普通方程，进而可得曲线的形状．试题解析：（1）① 2分表示的曲线为圆。

3分②x+y=2 5分表示的曲线为直线 6分（2）③ 8分表示的曲线为双曲线 9分④ ( 11分表示的曲线为抛物线的一部分。

12分【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．2.曲线的极坐标方程化为直角坐标为（）A．B．C．D．【答案】B.【解析】∵，∴，又∵，，∴，即.【考点】圆的参数方程与普通方程的互化.3.已知曲线M与曲线N：ρ＝5cosθ－5sinθ关于极轴对称，则曲线M的方程为()A．ρ＝－10cos B．ρ＝10cosC．ρ＝－10cos D．ρ＝10cos【答案】B【解析】设点是曲线M上的任意一点,点关于极轴的对称点必在曲线N上,所以故选B.【考点】极坐标方程.4.已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x轴的正半轴重合，直线l的倾斜角为，参数方程为（t为参数，），圆C的极坐标方程为，直线l与圆C交于A，B两点，则|OA|+|OB|= .【答案】【解析】由参数方程可得直线方程为，圆的方程为，即，将两方程联立可解得得，又，由两点距离公式可得|OA|+|OB|=.【考点】参数方程，极坐标方程,直线与圆的方程.5.以直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴，已知点的直角坐标为，点的极坐标为，若直线过点，且倾斜角为，圆以为圆心、为半径.（1）求直线的参数方程和圆的极坐标方程；（2）试判定直线和圆的位置关系.【答案】（1）,；（2）相离.【解析】（1）由若直线过点，且倾斜角为，的直角坐标为，可得直线的参数方程，由圆以为圆心、为半径，的极坐标为可得圆的极坐标方程；（2）先将直线的参数方程，与圆的极坐标方程转化为平面直角坐标系下的方程，利用圆心到直线的距离与半径的关系判断直线与圆的关系.试题解析：解（1） -3分-6分（2），-10分-12分【考点】参数方程，极坐标方程与平面直角坐标系下的方程的转化,点到直线的距离公式.6.极坐标方程(ρ 1)(θ π)＝0(ρ≥0)表示的图形是( )A．两个圆B．两条直线C．一个圆和一条射线D．一条直线和一条射线【答案】C【解析】方程（ρ 1）（θ π）=0，则ρ=1或θ=π，ρ=1是半径为1的圆，θ=π是一条射线．故选C.【考点】简单曲线的极坐标方程.7.在极坐标中，已知圆经过点，圆心为直线与极轴的交点，求圆的极坐标方程．【答案】【解析】解：∵圆圆心为直线与极轴的交点，∴在中令，得。

1．极坐标系与直角坐标系xoy 有相同的长度单位，以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴.已知直线l的参数方程为122x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），曲线C 的极坐标方程为2sin 8cos ρθθ=.（Ⅰ）求C 的直角坐标方程；（Ⅱ）设直线l 与曲线C 交于,A B 两点，求弦长||AB .2．已知直线l 经过点1(,1)2P ，倾斜角α＝6π，圆C的极坐标方程为)4πρθ=-.(1)写出直线l 的参数方程，并把圆C 的方程化为直角坐标方程；(2)设l 与圆C 相交于两点A 、B ，求点P 到A 、B 两点的距离之积． 3．（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程已知直线l 的参数方程是)(242222是参数t t y t x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+==，圆C 的极坐标方程为)4cos(2πθρ+=．（I ）求圆心C 的直角坐标；(Ⅱ)由直线l 上的点向圆C 引切线，求切线长的最小值． 4．已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与直角坐标系中x 轴的正半轴重合，且两坐标系有相同的长度单位，圆C 的参数方程为12cos 12sin x y αα=+⎧⎨=-+⎩（α为参数），点Q的极坐标为7)4π。

（1）化圆C 的参数方程为极坐标方程；（2）直线l 过点Q 且与圆C 交于M ，N 两点，求当弦MN 的长度为最小时，直线l 的直角坐标方程。

5．在极坐标系中，点M 坐标是)2,3(π，曲线C 的方程为)4sin(22πθρ+=；以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，斜率是1-的直线l 经过点M ． （1）写出直线l 的参数方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）求证直线l 和曲线C 相交于两点A 、B ，并求||||MB MA ⋅的值．6．（本小题满分10分） 选修4-4坐标系与参数方程 在直角坐标系中，曲线1C 的参数方程为⎩⎨⎧+==ααsin 22cos 2y x ，(α为参数) M 是曲线1C 上的动点，点P 满足2=，（1）求点P 的轨迹方程2C ；（2）在以D 为极点，X 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线3πθ=与曲线1C ，2C 交于不同于原点的点A,B 求AB7．在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐V 标方程为πcos =13ρθ⎛⎫-⎪⎝⎭，M ，N 分别为曲线C 与x 轴、y 轴的交点． （1）写出曲线C 的直角坐标方程，并求M ，N 的极坐标；（2）求直线OM 的极坐标方程． 8．在直角坐标系中，曲线C 1的参数方程为：2cos x y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩（α为参数），以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，并取与直角坐标系相同的长度单位，建立极坐标系，曲线C 2是极坐标方程为：cos ρθ=， (1)求曲线C 2的直角坐标方程；(2)若P ，Q 分别是曲线C 1和C 2上的任意一点，求PQ 的最小值.9．已知圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=，直线l的参数方程为1221122x x t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩ （t 为参数），点A的极坐标为4π⎫⎪⎪⎝⎭，设直线l 与圆C 交于点P 、Q .（1）写出圆C 的直角坐标方程；（2）求AP AQ ⋅的值.10．已知动点P ，Q 都在曲线C ：2cos 2sin x ty t =⎧⎨=⎩（β为参数）上，对应参数分别为t α=与2t α=（0＜α＜2π），M 为PQ 的中点。

日测极坐标1．曲线cos 10ρθ+=的直角坐标方程为（ ）A ．1x = B. 1x =- C. 1y = D. 1y =- 2．若M 点的极坐标为(2,)6π--，则M 点的直角坐标是（ ）A ．(B ．(1)-C ．1)-D ． 3．曲线的极坐标方程θρsin 4=化成直角坐标方程为( ) A.4)2(22=++y xB.4)2(22=-+y xC.4)2(22=+-yx D.4)2(22=++yx4．在极坐标系中，圆心为(1,)2π，且过极点的圆的方程是 （ ）（A ）2sin =ρθ （B ）2sin =-ρθ （C ）2cos =ρθ （ D ）2cos =-ρθ5．极坐标方程cos ρθ=和参数方程123x ty t =--⎧⎨=+⎩（t 为参数）所表示的图形分别是A 、圆、直线B 、直线、圆C 、圆、圆D 、直线、直线 6．在极坐标方程中，曲线C 的方程是ρ＝4sinθ，过点(4，6π)作曲线C 的切线，则切线长为( ) A ． C ． D ．7．在极坐标系中，圆θρcos 2=的垂直于极轴的两条切线方程分别为（ ）（A ）2cos R 0=∈=θρρθ）和（（B ）2cos R 2=∈=θρρπθ）和（ （C ）1cos R 2=∈=θρρπθ）和（ （D ）1cos R 0=∈=θρρθ）和（8．极坐标方程0))(1(=--πθρ)0(≥ρ表示的图形是（ ）A.两个圆B.两条直线C.一个圆和一条射线D.一条直线和一条射线 9．（极坐标）以直角坐标系的原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，点M 的极坐标是)32,4(π，则点M 直角坐标是 A ．)3,2( B ．)3,2(- C ．)2,3( D ．)2,3(- 10．极坐标方程cos 2sin 2ρθθ=表示的曲线为A ．一条射线和一个圆B ．两条直线C ．一条直线和一个圆D ．一个圆 11．下列结论中不正确的是（ ） A ．(2,)6π与(2,)6π-是关于极轴对称 B ．(2,)6π与7(2,)6π是关于极点对称C ．(2,)6π与5(2,)6π-是关于极轴对称 D ．(2,)6π与5(2,)6π--是关于极点对称 12．极坐标系中，以（9，3π）为圆心，9为半径的圆的极坐标方程为( ) A. ）（θπρ-3cos 18= B. ）（θπρ-3cos 18-= C. ）（θπρ-3sin 18= D. ）（θπρ-3cos 9=13．圆5cos ρθθ=-的圆心坐标是（ ） A.4(5,)3π--B.(5,)3π-C.(5,)3πD.5(5,)3π- 14．在极坐标系中，与圆相切的一条直线方程为（ ） A ． B ． C ． D ． 15．极坐标方程cos 2ρθ=0 表示的曲线为（ ）A 、极点B 、极轴C 、一条直线D 、两条相交直线 16．在极坐标系中，曲线cos sin 2ρθρθ+=（0θ≤﹤2π）与4πθ=的交点的极坐标为（ ）(A)（1,1） (B)(1,)4π(C))4π (D)()4π17．直线45395x t y t⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数）与圆2cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数)的位置关系是A ．相离B ．相切 Ｃ．过圆心 D ．相交不过圆心 18．已知圆22:4C x y +=，直线:2l x y +=，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系.（1）将圆C 和直线l 方程化为极坐标方程；（2）P 是l 上的点，射线OP 交圆C 于点R ，又点Q 在OP 上且满足2|OQ ||OP ||OR |⋅=，当点P 在l 上移动时，求点Q 轨迹的极坐标方程.19．在平面直角坐标系xoy 中，曲线1C 的参数方程为⎩⎨⎧==ϕϕsin cos b y a x （0>>b a ，ϕ为参数），在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2C 是圆心在极轴上，且经过极点的圆，已知曲线1C 上的点)23,1(M 对应的参数3πϕ=，射线3πθ=与曲线2C 交于点)3,1(πD（1）求曲线1C ，2C 的方程； （2）若点),(1θρA ，)2,(2πθρ+B 在曲线1C 上，求222111ρρ+的值20．已知曲线C 的极坐标方程为θθρ2sin cos 4=，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧+==ααsin 1cos t y t x ( t为参数，0≤α＜π).(Ⅰ)把曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程，并说明曲线C 的形状； (Ⅱ)若直线l 经过点(1,0)，求直线l 被曲线C 截得的线段AB 的长.参考答案1．B【解析】考点：极坐标方程【解析】A 。

1．在同一平面直角坐标系中,经过伸缩变换错误!后，曲线C变为曲线x′2＋y′2＝1，则曲线C的方程为( ）A．25x2＋9y2＝1 B．9x2＋25y2＝1 C．25x＋9y＝1 D。

错误!＋错误!＝12．极坐标方程ρ＝cosθ化为直角坐标方程为( )A．（x＋错误!)2＋y2＝错误!B．x2＋（y＋错误!）2＝错误!C．x2＋(y－错误!)2＝错误!D．（x－错误!)2＋y2＝错误!答案 D解析由ρ＝cosθ，得ρ2＝ρcosθ，∴x2＋y2＝x.选D。

3．极坐标方程ρcosθ＝2sin2θ表示的曲线为( ）A．一条射线和一个圆B．两条直线C．一条直线和一个圆D．一个圆答案 C4．在极坐标系中,圆ρ＝－2sinθ的圆心的极坐标是（）A．（1，错误!）B．(1，－错误!）C．(1,0) D．（1，π）答案 B解析由ρ＝－2sinθ，得ρ2＝－2ρsinθ，化为普通方程x2＋（y＋1）2＝1,其圆心坐标为(0，－1）,所以其极坐标为(1，－错误!），故应选B。

5．设点M的直角坐标为(－1，－错误!，3)，则它的柱坐标为( ）A．（2，错误!,3）B．（2,错误!，3）C．(2，错误!,3) D．（2，错误!，3)答案 C6．(2013·安徽）在极坐标系中，圆ρ＝2cosθ的垂直于极轴的两条切线方程分别为（)A．θ＝0(ρ∈R）和ρcosθ＝2B．θ＝错误!(ρ∈R)和ρcosθ＝2C．θ＝π2(ρ∈R）和ρcosθ＝1D．θ＝0（ρ∈R）和ρcosθ＝1答案 B解析由题意可知，圆ρ＝2cosθ可化为普通方程为(x－1）2＋y2＝1。

所以圆的垂直于x轴的两条切线方程分别为x＝0和x＝2,再将两条切线方程化为极坐标方程分别为θ＝错误!（ρ∈R）和ρcosθ＝2,故选B.7．在极坐标系中，过点(1,0）并且与极轴垂直的直线方程是（)A．ρ＝cosθB．ρ＝sinθC．ρcosθ＝1 D．ρsinθ＝1答案 C解析过点（1，0)且与极轴垂直的直线，在直角坐标系中的方程为x＝1,所以其极坐标方程为ρcosθ＝1，故选C。

1.已知点P 的极坐标为，则点P 的直角坐标为（ ） A ．（1，） B ． （1，﹣） C ． （，1） D ． （，﹣1） 2.极坐标系中,B A ,分别是直线05sin 4cos 3=+-θρθρ和圆θρcos 2=上的动点,则B A ,两点之间距离的最小值是.3.已知曲线C 的极坐标方程为2ρ=（0,02ρθπ>≤<），曲线C 在点（2，4π）处的切线为l ，以极点为坐标原点，以极轴为x 轴的正半轴建立直角坐标系，则l 的直角坐标方程为▲.4.在极坐标系中，已知直线把曲线所围成的区域分成面积相等的两部分，则常数a 的值是．5.在极坐标系中，圆2cos ρθ=的圆心到直线cos 2ρθ=的距离是____________．6.在极坐标系中，圆4s i n ρθ=的圆心到直线()6R πθρ=∈的距离是______________．7.在极坐标系(),ρθ（0,02πρθ>≤<）中，曲线2sin ρθ=与2cos ρθ=的交点的极坐标为_____8.（坐标系与参数方程选做题）曲线2cos 4πρθθ==关于直线对称的曲线的极坐标方程为。

试卷答案1.A 考点：点的极坐标和直角坐标的互化．专题：计算题． 分析： 利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcos θ=x ，ρsin θ=y ，可求出点的直角坐标．解答：解：x=ρcos θ=2×cos =1， y=ρsin θ=2×sin =∴将极坐标（2，）化为直角坐标是（1，）． 故选A ．点评： 本题主要考查了点的极坐标和直角坐标的互化，同时考查了三角函数求值，属于基础题．2.略3. 4.1a =-略5.曲线θρcos 2=即()2211x y -+=，表示圆心在（1，0），半径等于1的圆，直线cos 2ρθ=即直线2=x ，故圆心到直线的距离为1。

6.3略7.2,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭两式相除得tan 12sin 244ππθθρ=⇒=⇒==，交点的极坐标为2,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭ 8.2sin ρθ=略。

(时间40分钟，满分60分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．下列各点中与(2，π6)不表示极坐标系中同一个点的是( ) A ．(2，－116π) B ．(2，136π) C ．(2，116π)D ．(2，－236π)【解析】 与极坐标(2，π6)相同的点可以表示为(2，π6＋2k π)(k ∈Z )，只有(2，116π)不适合．【答案】 C2．将点的极坐标(π，－2π)化为直角坐标为( ) A ．(π，0) B ．(π，2π) C ．(－π，0)D ．(－2π，0)【解析】 x ＝πcos(－2π)＝π，y ＝πsin(－2π)＝0， 所以点的极坐标(π，－2π)化为直角坐标为(π，0)． 【答案】 A3．在极坐标系中，已知A (2，π6)、B (6，－π6)，则OA 、OB 的夹角为( ) A.π6 B ．0 C.π3D.5π6【解析】 如图所示，夹角为π3.【答案】 C4．在平面直角坐标系xOy 中，点P 的直角坐标为(1，－3)．若以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，则点P 的极坐标可以是( )A ．(2，－π3) B ．(2，4π3) C ．(1，－π3)D ．(2，－4π3)【解析】 极径ρ＝12＋(－3)2＝2，极角θ满足tan θ＝－31＝－3， ∵点(1，－3)在第四象限，所以θ＝－π3. 【答案】 A二、填空题(每小题5分，共10分)5．平面直角坐标系中，若点P (3，7π2)经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x y ′＝13y 后的点为Q ，则极坐标系中，极坐标为Q 的点到极轴所在直线的距离等于________．【解析】 ∵点P (3，7π2)经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x y ′＝13y 后的点为Q (6，7π6)，则极坐标系中，极坐标为Q 的点到极轴所在直线的距离等于6|sin 7π6|＝3.【答案】 36．极坐标系中，点A 的极坐标是(3，π6)，则 (1)点A 关于极轴的对称点的极坐标是________； (2)点A 关于极点的对称点的极坐标是________；(3)点A 关于过极点且垂直于极轴的直线的对称点的极坐标是________．(本题中规定ρ>0，θ∈[0,2π))【解析】 点A (3，π6)关于极轴的对称点的极坐标为(3，11π6)；点A 关于极点的对称点的极坐标为(3，7π6)；点A 关于过极点且垂直于极轴的直线的对称点的极坐标为(3，5π6)．【答案】 (1)(3，11π6) (2)(3，7π6) (3)(3，5π6) 三、解答题(每小题10分，共30分)7．已知点P 的直角坐标按伸缩变换⎩⎨⎧x ′＝2xy ′＝3y 变换为点P ′(6，－3)，限定ρ>0,0≤θ<2π时，求点P 的极坐标．【解】 设点P 的直角坐标为(x ，y )，由题意得⎩⎨⎧6＝2x ，－3＝3y ，解得⎩⎨⎧x ＝3，y ＝－3，∴点P 的直角坐标为(3，－3)， ρ＝32＋(－3)2＝23，tan θ＝－33， ∵0≤θ<2π，点P 在第四象限， ∴θ＝11π6，∴点P 的极坐标为(23，11π6)． 8．(1)已知点的极坐标分别为A (3，－π4)，B (2，2π3)，C (32，π)，D (－4，π2)，求它们的直角坐标．(2)已知点的直角坐标分别为A (3，3)，B (0，－53)，C (－2，－23)，求它们的极坐标(ρ≥0,0≤θ<2π)．【解】 (1)根据x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，得A (322，－322)，B (－1，3)，C (－32，0)，D (0，－4)(2)根据ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝y x 得A (23，π6)，B (53，3π2)，C (4，4π3)． 9．在极坐标系中，已知△ABC 的三个顶点的极坐标分别为A (2，π3)，B (2，π)，C (2，5π3)．(1)判断△ABC 的形状； (2)求△ABC 的面积．【解】 (1)如图所示，由A (2，π3)，B (2，π)，C (2，5π3)得|OA |＝|OB |＝|OC |＝2，∠AOB ＝∠BOC ＝∠AOC ＝2π3. ∴△AOB ≌△BOC ≌△AOC ， ∴AB ＝BC ＝CA ， 故△ABC 为等边三角形． (2)由上述可知，AC ＝2OA sin π3＝2×2×32＝2 3. ∴S △ABC ＝34×(23)2＝33(面积单位)．教师备选10．某大学校园的部分平面示意图如图：用点O ，A ，B ，C ，D ，E ，F ，G 分别表示校门，器材室，操场，公寓，教学楼，图书馆，车库，花园，其中|AB |＝|BC |，|OC |＝600 m ．建立适当的极坐标系，写出除点B 外各点的极坐标(限定ρ≥0,0≤θ<2π且极点为(0,0))．【解】 以点O 为极点，OA 所在的射线为极轴Ox (单位长度为1 m)，建立极坐标系，由|OC|＝600 m，∠AOC＝π6，∠OAC＝π2，得|AC|＝300 m，|OA|＝300 3 m，又|AB|＝|BC|，所以|AB|＝150 m.同理，得|OE|＝2|OG|＝300 2 m，所以各点的极坐标分别为O(0,0)，A(3003，0)，C(600，π6)，D(300，π2)，E(3002，3π4)，F(300，π)，G(1502，34π)．。