2021学年八年级数学下册第十六章二次根式16.2二次根式的乘除精讲精练含解析人教版.docx

题型二：二次根式有意义的条件4．（2023春·八年级单元测试）代数式56x x --有意义，则x 的取值范围是（ ）A ．5x ≤B ．5x ≥C ．5x >且6x ≠D ．5x ≥且6x ≠5．（2022春·河南三门峡·八年级统考阶段练习）若式子1a b-+有意义，则点(,)P a b 在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限6．（2022·全国·八年级专题练习）已知()2117932x x x y ---+-=-，则2218x y -的值为（ ）．A ．22B ．20C ．18D ．16题型三：二次根式的参数问题7．（2022春·四川凉山·八年级校考期中）如果174a +是一个正整数，则整数a 的最小值是（ ）A ．-4B ．-2C ．2D ．88．（2021秋·八年级单元测试）若最简二次根式343a b a b -+和26a b -+能合并，则a 、b 的值分别是（ ）A ．2和1B ．1和2C ．2和2D ．1和19．（2019春·山东聊城·八年级校考期末）若(2)(3)23x x x x --=-⋅-()()2323x x x x --=-⋅-成立，则x的取值范围为（ ）A ．x ≤3B ．x ≥2C ．2＜x ＜3D ．2≤x ≤3题型四：复合二次根式的性质化简10．（2022春·辽宁葫芦岛·八年级统考期中）若3222a a a a +=-+，则a 的取值范围是（ ）A ．20a -≤≤B ．0a ≤C ．a<0D ．2a ≥-11．（2022春·湖北武汉·八年级校考阶段练习）化简二次根式31-x x的正确结果是（ ）A ．x-B ．xC ．x-D ．x--12．（2022·全国·八年级专题练习）当4x =时，22232343124312x x x x x x -+--+++的值为（ ）A ．1B ．3C ．2D ．3题型五：利用二次根式的性质化简13．（2023秋·上海·八年级专题练习）化简：A ．2b c -B ．2b a -A ．2a b +B ．2a b --C ．b①526-③4102541025+②7210-++++．43．（2023春·全国·八年级专题练习）观察下列各式及其化简过程：2223222221222112121（）（）（），+=++=+⨯+=+=+222（）（）（）．5263262323223232-=-+=-⨯+=-=-(1)按照上述两个根式的化简过程的基本思路，将31106-化简；(2)化简358743-+；(3)针对上述各式反映的规律，请你写出()±=±>中，m，n与a，b之间的关系．2m n a b a b故D 正确．故选：D ．【点睛】本题主要考查了二次根式和分式有意义的条件，解题的关键是根据二次根式和分式有意义的条件列出不等式组5060x x -≥⎧⎨-≠⎩．5．B【分析】先根据二次根式有意义的条件求出a 、b 的值，然后根据平面直角坐标系内各象限点的坐标特征直接判断即可．【详解】解：由题意得，0a -≥，0b >，∴a<0，∴点(,)P a b 在第二象限．故选：B ．【点睛】本题考查平面直角坐标系内各象限点的坐标特征以及二次根式有意义的条件，解题关键是根据二次根式有意义的条件求出a 、b 的值．6．A【分析】直接利用二次根式的性质将已知化简，再将原式变形求出答案．【详解】解：解：∵11x -一定有意义，∴11x ≥，∴()2117932x x x y ---+-=-，117932x x x y -+-+-=-，整理得：113x y -=，∴2119x y -=，则()2222182112x x x y =--=-．故答案为：22．【点睛】本题考查二次根式有意义的应用，以及二次根式的性质应用，解题的关键是正确化简二次根式．7．A【分析】根据174a +是一个正整数，得出174a -＞，根据a 为整数，得出a 的最小值为4-，最后代入4a =-验证174a +是一个正整数符合题意，得出答案即可．【详解】解：∵174a +是一个正整数，∴1740a +＞，∴174a -＞，∵a 为整数，∴a 的最小值为4-，且4a =-时，17417161a +=-=符合题意，故A 正确．故选：A ．【点睛】本题主要考查了二次根式的性质，根据题意求出174a -＞，是解题的关键．8．D【分析】由二次根式的定义可知32a b -=，由最简二次根式343a b a b -+和26a b -+能合并，可得4326a b a b +=-+，由此即可求解．【详解】解：∵最简二次根式343a b a b -+和26a b -+能合并，∴324326a b a b a b -=⎧⎨+=-+⎩，∴3223a b a b -=⎧⎨+=⎩，解得11a b =⎧⎨=⎩，故选D ．【点睛】本题主要考查了二次根式的定义和最简二次根式的定义，熟知定义是解题的关键．9．D【分析】利用二次根式的定义和二次根式的乘除，即可解答.【详解】根据二次根式根号下被开方的数是非负数，得2030x x --⎧⎨⎩…… ，所以2⩽x ⩽3．故选D.【点睛】此题考查二次根式的乘除法，二次根式的定义，解题关键在于利用其定义.10．A【分析】根据二次根式的性质列出不等式，解不等式即可解答．【详解】∵32222 ()2a a a a a a +=+=-+，∴020a a ≤+≥，，∴-20a ≤≤．故选A ．【点睛】本题考查二次根式的性质，根据二次根式的性质列出不等式是解题的关键．【分析】根据二次根式成立的条件确定x 的取值，从而利用二次根式的性质进行化简．【详解】解：由题意可得：x ＜0∴()11x x x x x x x⋅-=⋅--=--故选：D ．【点睛】本题考查二次根式的化简，理解二次根式成立的条件及二次根式的性质正确化简计算是解题关键．12．A【分析】根据分式的运算法则以及二次根式的性质即可求出答案．【详解】解：原式=()()2223232323x x x x -+--+112323x x =--+将4x =代入得，原式11423423=--+()()22111313=--+113113=--+()()13313113+-+=-+1=.故选：A.【点睛】本题考查分式的运算以及二次根式的性质，解题的关键是熟练运用分式的运算法则以及观察出分母可以开根号，本题属于较难题型．13．(1)52-(2)222(++1++1)2a a a a -【分析】（1）根据完全平方差公式，将二次根式恒等变形后，利用二次根式性质化简，再结合去绝对值运算即可得到结论；（2）根据完全平方和公式，将二次根式恒等变形后，利用二次根式性质化简，再结合去绝对值运算即可得到结论．解：945-=9220-22=(5)254+(4)⋅⋅-()2=54-=52-=52-；（2）解：2241++1++a a a 2242+2+21++=2a a a 2222(++1)+2(++1)(+1)+(+1)2a a a a a a a a --=222(++1++1)2a a a a -=222++1++12a a a a =-222(++1++1)2a a a a =-．【点睛】本题主要考查复合二次根式的化简，注意观察，被开方式可转化为一个完全平方式，即()2+2==a b ab a b a b ±±±，同时根据二次根式性质及去绝对值运算进行相关化简是解决问题的关键．14．1【分析】先由数轴上a ，b 两点的位置，判断出a ，b 的符号，再化简二次根式，立方根，进行运算解答．【详解】根据数轴可知，20a <<－，12b <<，则20a +>，10-<b ，∴()()2232321a a b b ++-+-()2(1)a ab b =++--+-21a ab b =+--+-1=．【点睛】本题考查了二次根式、立方根的性质与化简以及实数与数轴，解题的关键是熟练掌握运算法则．15．(1)3±2，7±5(2)6±3(3)106222+-【分析】（1）仿照阅读材料，把被开方数变形成完全平方式，即可得答案；（2）把62变形成218，仿照阅读材料的方法可得答案；（3）将5变形成524，3变形成324，再把被开方数变形成完全平方式，即可算得答案．【详解】（1）解：2526(32)32±=±=±，212235(75)75±=±=±，故答案为：32±，75±；（2）29629218(63)63±=±=±=±；（3）3523-++53322244=-++225131()()2222=-++51312222=-++1062+=，同理可得1062235232+--+-=．【点睛】本题考查二次根式的运算，解题的关键是读懂题意，能仿照阅读材料将被开方数变形乘完全平方．16．B【分析】根据题意，利用二次根式性质可判断30x -≥，由此即可求出x 的范围．【详解】解：2(3)3x x -=-，可得30x -≥，解得：3x ≥，故选：B ．【点睛】此题考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握2a a =是解本题的关键．17．A【分析】根据二次根式有意义的条件及二次根式的性质与化简进行计算即可得．【详解】解：由题意得，0x <，1x x x x x x---=-=--g ，故选：A ．【点睛】本题考查了二次根式的性质和化简，解题的关键是掌握二次根式的性质和化简．18．B【分析】根据二次根式的定义，逐项判断即可求解．【详解】解：A 、x ，x 有可能小于0，故不一定是二次根式，不合题意；B 、21x +，210x +>，故21x +一定是二次根式，符合题意；C 、21x -，若11x -<<时，21x -无意义，不合题意；D 、35是三次根式，故此选项不合题意；故选：B ．【点睛】本题考查了二次根式的定义，形如()0a a ≥的式子叫二次根式，熟练掌握二次根式成立的条件是解答本题的关键．19．B【分析】直接利用二次根式的定义，进行分析得出答案．【详解】解：∵||0a ≥，20a ≥，210a +>，2(1)0a -≥，∴||a 、2a 、21a +、2(1)a -四个是二次根式，因为a 是实数时，10a +、21a -不能保证是非负数，因此10a +与21a -不一定是二次根式，故选：B.【点睛】此题主要考查了二次根式的定义，形如(0)a a >的代数式是二次根式，正确把握定义是解题关键．20．C【分析】根据a 、b 、c 在数轴上的位置得出0c a b <<<，c b >，从而得出0a c b ++<，0c a -<，再根据绝对值的意义和二次根式性质，进行化简即可．【详解】解：根据a 、b 、c 在数轴上的位置可知，0c a b <<<，c b >，∴0a c b ++<，0c a -<，∴2||()a c b c a ++--()()a c b c a =-++---⎡⎤⎣⎦()a cbc a =---+-a cbc a=---+-2a b =--．故选：C ．【点睛】本题主要考查了绝对值的意义，二次根式的性质，数轴上点的特点，解题的关键是根据点a 、b 、c 在数轴上的位置确定0a c b ++<，0c a -<．21．23x ≤且12x ≠-【分析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解．【详解】解：由题意得，210x +≠，且230x -≥，解得23x ≤且12x ≠-，故答案为：23x ≤且12x ≠-．【点睛】本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．22．0【分析】根据三角形三边关系得到0,0a b c b a c --<-+>，再化简二次根式及绝对值即可．【详解】解：∵a ，b ，c 是三角形的三边长，∴0,0a b c b a c --<-+>，∴2()a b c b a c----+a b c b a c=----+b c a b a c=+--+-0=，故答案为：0．【点睛】此题考查了三角形的三边关系，二次根式的化简，化简绝对值，正确理解三角形的三边关系：两边和大于第三边是解题的关键．23．(1)53(2)0.7(3)9(4)45【分析】(1)首先把带分数化为假分数，再根据二次根式的性质化简，即可求得结果；(2)首先根据二次根式的性质化简，再进行有理数的减法运算，即可求得结果；(3)首先根据平方差公式进行运算，再根据二次根式的性质化简，即可求得结果；(4)首先进行有理数的减法运算，再根据二次根式的性质化简，即可求得结果．【详解】（1）解：729259=53=；（2）解：0.810.04-0.90.2=-0.7=；（3）解：224140-()()41404140=+⨯-81=9=；（4）解：9125-1625=45=．【点睛】本题考查了利用利用二次根式的性质化简运算，熟练掌握和运用各运算法则是解决本题的关键．24．2x +【分析】先根据第四象限的点横坐标为正，纵坐标为负，得到210390x x ->⎧⎨-<⎩，进而推出30210x x -<->，，据此利用二次根式的性质化简即可．【详解】解：∵点()2139P x x --，在第四象限，∴210390x x ->⎧⎨-<⎩，解得132x <<，∴30210x x -<->，，∴2269441x x x x -++-+()()22321x x =-+-321x x =-+-2x =+．【点睛】本题主要考查了化简二次根式，解一元一次不等式组，已知点所在的象限求参数，正确得到30210x x -<->，是解题的关键．25．C【分析】变形26=24，525=，比较24，25，27的大小即可．【详解】因为26=24，525=，且24＜25＜27，所以262527<<即26527<<，故选：C ．【点睛】本题考查了二次根式的大小比较，化成二次根式比较被开方数的大小是解题的关键．26．D【分析】先判断a 和b 的符号，然后根据二次根式的符号化简即可．【详解】解：20b a -≥ 0b ∴≤0ab > 所以a 和b 同号，0,0a b ∴<<，22b b b a a a b a a a---===---故选：D ．【点睛】本题考查了二次根式的性质；熟练掌握性质是解答本题的关键．27．A【分析】先根据三角形的三边关系求出n 的取值范围，然后对二次根式进行化简求值即可．【详解】解：由三角形三边关系可知：37n <<，∴30n -<，81n ->，38n n=-+-原式()()38n n =--+-38n n=-++-5=故选：A ．【点睛】本题考查了二次根式的化简和求值，解题的关键是熟练运用二次根式的性质．28．A【分析】由题意可得：0ab <，再根据二次根式的性质进行化简即可．【详解】解：由题意可得：0ab <，22222211333933ab a b a b a b ab ab ab ab--=⨯=⨯--⨯-ab ab=--故选：A ．【点睛】本题考查二次根式的化简，注意二次根式的结果为非负数．29．C【分析】根据点的坐标，可得a 、b 的关系，根据二次根式的性质，可化简二次根式，根据整式的加减，可得答案．【详解】解：由数轴上点的位置关系，得0,||||a b a b <<>．22()()a a b a a b a a b b -+=----=-++=．故选：C ．【点睛】本题考查了实数与数轴，以及二次根式的性质，利用点的坐标得出a 、b 的关系是解题关键．30．A【分析】根据二次根式有意义的条件得出130x -≥，进而可得320x -<，然后根据二次根式的性质化简即可求解．【详解】解：∵130x -≥∴31x ≤∴320x -<229124(13)x x x -+--()()23213x x =---2313x x=--+21=-1=，故选：A.【点睛】本题考查了二次根式的性质，二次根式有意义的条件，掌握二次根式的性质是解题的关键．31．A【分析】利用因式分解和平方差公式和完全平方公式进行简便运算即可．【详解】解：()59120212020591x =⨯-=，()()220202*********y =-+-22202020201=-+1=，22588225882z =+⨯⨯+()25882=+2600=600=，∵1591600<<，∴y x z <<，故选：A ．【点睛】本题考查因式分解、二次根式的性质、有理数的混合运算，会利用平方差公式和完全平方公式简便运算是解答的关键．32．2532-【分析】根据2a a =化简即可．【详解】∵2532=2018>0--，∴原式＝|2532|=2532--．故答案为：2532-．【点睛】本题考查二次根式的性质，熟记2a a =是解题的关键．33．2a b -##-2b+a【分析】根据题意可得：0b a <<，从而可得0b a -<，然后利用二次根式的性质，绝对值的意义进行化简计算即可解答．【详解】解：由图可知0b a <<，0b a ∴-<，()2b a b ∴-+()()b a b =--+-a b b =--2a b =-．故答案为：2a b -．【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简，实数与数轴，整式的加减，准确熟练地进行计算是解题的关键．34． 5x x 3 3.14π-## 3.14π-+【分析】根据二次根式性质进行的化简即可得解．【详解】解：3225255x x x x x =⋅=，()()22333-==，2(3.14π)π 3.14-=-，故答案为：5x x ，3，π 3.14-．【点睛】考查二次根式的性质和化简，掌握被开方数化为因式积的形式，正确开方化简是解题关键．35．1【分析】根据三角形的三边关系得到24k <<，再判断得到23>0k -，290k -<，再化简代数式即可．【详解】解：∵ABC V 的三边长分别为1、k 、3，∴24k <<，∴23>0k -，290k -<，∴274368123k k k --+--()()272923k k =----()79223k k =---+10292k k =--+1=．故答案为：1．【点睛】本题考查的是三角形的三边关系的应用，绝对值的化简，二次根式的化简，掌握“二次根式的化简方法”是解本题的关键．36．8或2##2或8【分析】根据二次根式有意义的条件可求出x 与y 的值，然后代入原式即可求出答案．【详解】解：由题意可知：50y -≥且50y -≥，5y ∴=，3x ∴=±，当3x =时，358x y +=+=；当3x =-时，352x y +=-+=．故答案为：8或2．【点睛】本题考查二次根式有意义的条件，解题的关键是熟练运用二次根式有意义的条件，本题属于基础题型．37．m【分析】根据二次根式性质化简，再利用绝对值意义去绝对值即可得到答案．【详解】解：由数轴可知：0,,m m n m n ＜＜＞，∴0,0m n m n -+＜＜，∴22()||m m n m n ---+||m m n m n---+=m m n m n =-+-++（）（）m m n m n=-+-++m =，故答案为：m ．【点睛】本题考查代数式化简，涉及二次根式性质、去绝对值运算等知识，熟练掌握相关性质是解决问题的关键．38．26【分析】图形可知，第n 行最后一个数为123n +++⋯+=()12n n +，据此可得答案．【详解】解：由图形可知，第n 行最后一个数为123n +++⋯+=()12n n +，∴第6行最后一个数为67212⨯=，则第7行从左至右第3个数是2132426+==，故答案为：26．【点睛】本题主要考查数字的变化类，二次根式的性质化简，解题的关键是根据题意得出第n 行最后一个数为()12n n +．39．c 【分析】根据数轴、绝对值、二次根式的性质，分别进行绝对值、二次根式化简即可得解．【详解】解：由数轴可知：+=0a b ，0c a ->，0c <，0a <原式02a c a c=-+---2a c a c=--++=c【点睛】本题考查数轴、相反数、绝对值、二次根式的综合运用，熟练掌握相应的定义性质是关键．40．1．【分析】先根据二次根式被开方数为非负数得出3x ≥，即可得到24>0x -，原式可变为()2+2+3=0y x y -，再根据非负数的性质得到二元一次方程组，求解得到x 和y 的值，代入即可求出+x y 的值．【详解】∵()230x y ≥-，∴30x -≥，即3x ≥，∴24>0x -，∴()224++2+3=24x y x y x ---，即()2+2+3=0y x y -，∴2+2=0(3)=0y x y ⎧⎨-⎩，解得：=3=2x y ⎧⎨-⎩．∴()+321x y =+-=．【点睛】本题考查二次根式有意义的条件，绝对值的非负性，解二元一次方程组，另一方面考查了非负数和为零的基本模型．41．(1)1±；(2)94．【分析】（1）根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式求出x ，进而求出y ，根据平方根的概念解答；（2）根据平方根的概念列出方程，解方程求出a ，根据有理数的平方法则计算即可．【详解】（1）解∶由题意得，20200x -≥，20200x -≥，解得，2020x =，∴2019y =-，∴202020191x y +=-=，∵1的平方根是1±，∴x y +的平方根1±；（2）解：∵正数x 的两个平方根分别是2a +和5a +，∴250a a +++=，解得，72a =-，∴732222a +=-+=-，∴23924x ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭．【点睛】本题考查的是二次根式有意义的条件、平方根的概念，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．42．(1)227m n +，2mn(2)12或28(3)①32+，②52-，③51+【分析】（1）利用完全平方公式展开可得到用m 、n 表示出a 、b ；（2）利用（1）中结论得到62mn =，利用a 、m 、n 均为正整数得到1m =，3n =或3m =，1n =，然后利用223a m n =+计算对应a 的值；（3）设41025+41025t -+++=，两边平方得到2410254t =-++1025++216(1025)+-+，然后利用（1）中的结论化简得到2625t =+，最后把625+写成完全平方形式可得到t 的值．【详解】（1）设()22277727a b m n m n mn +=+=++（其中a 、b 、m 、n 均为整数），则有227a m n =+，2b mn =；故答案为：227m n +，2mn ；（2）∵62mn =，∴3mn =，∵a 、m 、n 均为正整数，∴1m =，3n =或3m =，1n =，当1m =，3n =时，2222313328a m n =+=+⨯=；当3m =，1n =时，2222333112a m n =+=+⨯=；即a 的值为12或28；（3）①526+32232=++⨯()232=+32=+②7210-52252=+-⨯()252=-52=-③设41025+41025t -+++=，则2410254t =-++1025++216(1025)+-+282(51)=+-()8251=+-625=+()251=+，∴51t =+．【点睛】本题考查根据二次根式的性质进行化简，解题的关键是在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．43．(1)56-；(2)43-；(3)m a b =+，n ab =．【分析】（1）将31分解成256+，再利用完全平方公式即可求出答案；（2）先将7分解成43+，计算第二层根式，再将35分解成163+，利用完全平方公式即可求出答案；（3）将等式两边同时平方即可求出答案．【详解】（1）31106-251066=-+2(56)=-56=-（2）358743-+3584433=-++2(23583)-+=358(23)=-⨯+351663=--1963=-16633=-+43=-（3）()2m n a b a b ±=±>两边平方可得：22m n a b ab±=+±∴m a b =+，n ab=【点睛】本题考查了二次根式的化简与性质及配方法的应用，读懂题中的配方法并明确二次根式的化简方法是解题关键．。

第十六章 二次根式16.1 二次根式第1课时 二次根式的概念1．使二次根式2a -有意义的a 的取值范围是（ ） A ．a ≥﹣2 B ．a ≥2 C ．a ≤2 D ．a ≤﹣2 2．若代数式12x x --有意义，则x 的取值范围是（ ） A ．21≠>x x 且 B ．1≥x C ．2≠x D ．21≠≥x x 且 3．下列各式中，一定是二次根式的是（ ） A ．4- B ．32a C ．22x + D ．1x -4．已知实数x ，y 满足|4|80x y -+-=，则以x ，y 的值为两边长的等腰三角形的周长是（ ）A ． 20或16B ． 20C ． 16D ． 以上答案均不对 5．如果a 为任意实数, 下列各式中一定有意义的是（ ） A ．a B ．2a - C ．21a + D ．21a - 6．如果二次根式x 23- 有意义，那么x 的取值范围是 ．7．若使式子xx21-有意义，则x 的取值范围是 . 8．大于6的最小整数是 .9x在实数范围内有意义，则x 的取值范围是 ．10.当x 是怎样的实数时，下列式子在实数范围内有意义？ （1）12x -；（2）23x x --11.若3a b --与1a b ++互为相反数，求()5a b +的值是多少？12.已知△ABC 的三边长a ，b ，c 均为整数，且a 和b 满足.09622=+-+-b b a 试求△ABC 的c 边的长．第十六章 二次根式16.1 二次根式第2课时 二次根式的性质一、选择题1．下列计算正确的有( )．①2)2(2=- ②22=- ③2)2(2=- ④2)2(2-=-A ．①②B ．③④C ．①③D ．②④2.()232-的值等于（ ）A.32-B.23-C.1D. -13.已知二次根式2x 的值为3，那么x 的值是（ ）A.3B.9C.-3D.3或-34．已知,21)12(2a a -=-那么a 的取值范围是( )． A ．21>a B ．21<a C ．21≥a D ．21≤a 二、填空题5．直接写出下列各式的结果：(1)49＝_______； (2)2)7(_______； (3)2)7(-_______；(4)2)7(--_______； (5)2)7.0(_______；(6)22])7([- _______． 6.已知2<x<5，化简：()()2225x x -+-= .7.如果()22x --是二次根式，那么点(),1A x 的坐标为 .8.已知实数a 在数轴上的位置如图所示，则化简21a a -+的结果是 .9.李东和赵梅在解答题目:“先化简，再求值:212a a a +-+，其中a=10”时得出不同的答案.李东的解答过程如下：()21211a a a a a -+=+-=.赵梅的解答过程如下：()212121210119a a a a a a -+=+-=-=⨯-=(1) ___的解答是错误的；(2) 错误的原因是 .三、解答题 10.利用()20a aa =≥，把下列非负数分别写成一个非负数的平方的形式；（1）16；（2）7；（3）1.5；（4）3411．计算下列各式：（1）235⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭； （2）()243； （3）()26-；（4）218⎛⎫-- ⎪⎝⎭；（5）()225-； （6）()22216913x x x x x -++-+≤≤16.2 二次根式的乘除第1课时 二次根式的乘法一、选择题1.下列计算正确的是（）A.253565⨯=B.253555⨯=C.2535625150⨯=⨯=D.25356530⨯=⨯= 2.(易错题)等式2422a a a -=+-成立的条件是（ ）A.a≤-2或a≥2B. a≥2C. a≥-2D. -2≤a≤23.(易错題）对于任意实数a ，下列各式中一定成立的是（ ） A.2111a a a -=-+ B.()266a a +=+C.()()164a a --=--D.42255a a =4．下列计算正确的是( )． A ．532=⋅ B ．632=⋅ C ．48=D ．3)3(2-=-5．如果)3(3-=-⋅x x x x ，那么( )．A ．x ≥0B ．x ≥3C ．0≤x ≤3D ．x 为任意实数6．当x =－3时，2x 的值是( )． A ．±3 B ．3 C ．－3 D ．9二、填空题7.化简:①328a = ; (2)2325x y = （x≥0，y≥0）8.—个长方形的长和宽分别是15cm 和1253cm ，则这个长方形的面积是 .三、解答题9．计算：(1);26⨯ (2));33(35-⨯- (3);8223⨯(4);1252735⨯ (5);131aab ⋅(6);5252ac c b b a ⋅⋅(7);49)7(2⨯-(8);51322-(9).7272y x10．已知三角形一边长为cm 2，这条边上的高为cm 12，求该三角形的面积．11.化简： （1300； （2()()14112-⨯-； （3545200a b c（4221312- （5)4216320x x x +>12.比较3526.参考答案1.D 解析因为(0,0)a b c b ac bd b d ⨯=≥≥,所以2535235530⨯=⨯⨯⨯=.故D 正确.2.B 解析由积的算术平方根成立的条件知20,20,a a +≥⎧⎨-≥⎩故a≥2,故选B.3.D 解析A 中不能保证a-1≥O,a ＋1≥O,所以A 不正确；B 中()266a a +=+,故B 不正确；C 中()()164a a -⋅-=,故C 不正确；因为4242 =5a 255a a =⋅,所以D 正确.4．B ． 5．B ． 6．B ．7.①27a a ②5xy y解析①32228474727a a a a a a a =⨯=⨯=.②∵x ＞0,2223222225555x y x y y x y y xy y ∴=⋅=⋅=. 8.25cm 2解析21251562525()3cm ⨯==. 9．(1);32 (2)45； (3)24； (4);53 (5);3b(6);52(7)49； (8)12； (9)⋅y xy 263 10．.cm 6211.解:(1)22300310310103=⨯=⨯=； (2)()()221411214112274-⨯-=⨯=⨯⨯2274742282=⨯⨯=⨯⨯=；(3)()()()222545222220010a b c a a a b c c =⋅⋅⋅⋅⋅⋅()()()2222222222210102a b c aca b cac =⋅⋅⋅⋅⋅=；()()22131213121312251255;-=+-=⨯(5)()4222221632162162x x x x x x +=+=⋅⋅+ 242(0).x x x =+＞12.分析:可将根号外的因式移到根号里面,然后比较被开方数的大小. 解:22353545,262624=⨯==⨯=,又∵45＞24,4524∴＞,即3526＞.16.2 二次根式的乘除第2课时 二次根式的除法一、选择题1．下列计算不正确的是( )． A ．471613= B ．xy x x y 63132= C ．201)51()41(22=-D ．x xx3294= 2．下列各式中，最简二次根式是( )． A ．yx -1B ．ba C ．42+x D ．b a 253.(易错题)下列各式错误的是（ ） A.164255=B.2733648=C.222493=D.165755-=-4.11x xx x =--成立的条件是（ ）A. x≥0B. x<1C. 0≤x<1D.x≥0且x ≠15.下列二次根式是最简二次根式的是（ ）A.8B.2;C.12D.0.26.化简20的结果是（ )A. 52B.25C.210D.457.计算()8223÷-⨯的结果是（ ） A.26-B.33-C.32-D.62-二、填空题8．在横线上填出一个最简单的因式，使得它与所给二次根式相乘的结果为有理式，如：23 与.2(1)32与______； (2)32与______；(3)a 3与______； (4)23a 与______； (5)33a 与______． 9．化简二次根式：(1)=⨯62________(2)=81_________(3)=-314_________ 10．已知,732.13≈则≈31______；≈27_________．(结果精确到0．001) 11.如果2,5a b ==，则1000用含a,b 的代数式表示为__________ .三、解答题 12.计算：（1）1115 3.524⨯÷；（2）241512532⎛⎫⨯⨯- ⎪ ⎪⎝⎭. 13.已知a,b 满足1414303a b b a -++--=,求12b a a b ⎛⎫÷ ⎪ ⎪-⎝⎭的值. 14.观察下列各式及其验证过程： 322233+验证：()()323222222212322223332121-+-+====+--. 333388=+.验证:()()323223333313333338883131-+-+====+--.（1）按照上述两个等式及其验证过程的基本思路，猜想4415的变形结果并进行验证； (2)针对上述各式反映的规律，写出用n(n 为自然数，且n ≥2)表示的等式，并给出证明.15.已知9966x xx x --=--，且x 为偶数，求()225411x x x x -++-的值.16.在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如522,,3331+这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：553533333⨯==⨯.（一）22363333⨯==⨯ （二）()()()()()2223123123131313131⨯--===-++--（三）以上这种化简的方法叫做分母有理化。

2．（2022秋·吉林长春·九年级长春市第四十五中学校考期末）计算()()154154-+，结果为（ ）A ．1-B ．1C ．11-D ．113．（2022春·八年级课时练习）计算：(1)818⨯(2)0.10.4⨯(3)322411⨯(4)243题型二：二次根式的除法4．（2022秋·重庆大渡口·九年级校考期末）估计()4233+÷的值应在（ ）A ．2到3之间B ．3到4之间C ．4到5之间D ．5到6之间5．（2023春·八年级课时练习）下列各式计算正确的是（ ）A ．2739÷=B ．48163÷=C ．2044÷=D ．413239÷=6．（2023春·全国·八年级专题练习）某直角三角形的面积为55，其中一条直角边长为10，则其中另一直角边长为（ ）A ．25B ．52C ．55D ．210题型三：二次根式的乘除混算7．（2022秋·河南驻马店·八年级校联考期中）计算：(1)()622-÷(2)()16215362-⨯-(3)2421656++(4)()()()2233232-++⨯-8．（2023春·八年级）计算：(1)21437⨯(2)25136÷(3)954312612÷⨯(4)333123b ab a b a ⎛⎫⎛⎫⋅-÷ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．9．（2023春·八年级）计算：(1)()12712453-+⨯；(2)()()6565-⨯+；(3)148312242÷-⨯+；(4)()()20222723321π---⨯-+-．题型四：最简二次根式的判断10．（2023秋·辽宁葫芦岛·八年级校考期末）下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ）A ．9aB ．23a C ．12a +D ．22a b -11．（2022秋·上海闵行·八年级校考阶段练习）下列根式中，是最简二次根式的是（ ）A ．3ab B ．3a b +C ．222a b ab+-D ．8a12．（2022秋·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨市虹桥初级中学校校考阶段练习）在二次根式45、32x 、11、52、4x中，最简二次根式的个数是（ ）个A ．2B ．3C ．4D ．5题型五：化为最简二次根式问题13．（2023春·全国·八年级专题练习）将632化为最简二次根式，其结果是（ ）A ．632B ．1262C ．9142D ．314214．（2022春·山东泰安·八年级统考期末）下列二次根式：①50；②12；③32；④40．将它们都化为最简二次根式后，同类二次根式是（ ）A ．①和②B ．②和③C ．③和④D ．①和④15．（2022春·贵州黔南·八年级校考期末）二次根式2221,12,2,5,3x x x y ++中，最简二次根式有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个题型六：已知最简二次根式求参数三、解答题+ 40．（2022·全国·八年级专题练习）若实数m、n满足2m n 41．（2023春·八年级课时练习）计算：V的面积；(1)如图1，利用秦九韶公式求ABCV的两条角平分线AD，BE交于点O，求点O (2)如图2，ABC（2）解：0.10.4⨯0.10.4=⨯0.04=0.2=；（3）解：322411⨯111241=⨯12=22=；（4）解：243243=8=22=．【点睛】本题考查二次根式的乘法和除法．掌握二次根式的乘法和除法的运算法则是解题关键．4．C【分析】先根据二次根式的除法进行计算()4233+÷，然后估算14的大小即可求解．【详解】解：∵()4233+÷141=+，∵3144<<∴41415<+<故选C【点睛】本题考查了二次根式的除法，无理数的估算，掌握以上知识是解题的关键．5．B【分析】根据二次根式的除法法则进行计算即可．【详解】解：A ．27393÷==，选项不正确，不符合题意；B ．48163÷=，选项正确，符合题意；C ．2045¸=，选项不正确，不符合题意；D ．41491223393¸=´==，选项不正确，不符合题意．故选：B ．【点睛】本题考查了二次根式的乘除法，二次根式的性质与化简，准确熟练地进行计算是解题的关键．6．B【分析】利用三角形的面积公式列式计算即可．【详解】解：由题意得，其中另一直角边长为：105102551052102⨯÷===，故选：B ．【点睛】此题考查二次根式的除法，掌握三角形的面积公式是解决问题的关键．7．(1)31-(2)65-(3)13(4)426-【分析】（1）根据二次根式的除法运算法则，分母有理化计算即可；（2）利用乘法分配律计算()62153-⨯，利用分数的性质和二次根式的性质化简162；（3）根据二次根式除法和运算法则和分母有理化化简242166+，再计算与5的和即可；（4）先利用完全平方公式、平方差公式分别进行计算，再求和即可．【详解】（1）()622-÷6222=÷-÷31=-（2）()16215362-⨯-263215362=⨯-⨯-⨯1842325=--326532=--65=-（3）2421656++(2462166)5=÷+÷+4365=++265=++13=（4）()()()2233232-++⨯-2222(2)223(3)(3)2=-⨯⨯++-226334=-++-426=-【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的运算法则是解题的关键．8．(1)422(2)2(3)36(4)292a b ab -【分析】（1）根据二次根式的乘法运算进行计算即可求解；（2）根据二次根式的除法运算进行计算即可求解；（3）根据二次根式的乘除混合运算进行计算即可求解；（4）根据二次根式的乘除混合运算进行计算即可求解．【详解】（1）2143⨯7=2672⨯42=2；（2）25136÷5536=÷5635=⨯2=（3）954312612÷⨯954312126=÷⨯112=36=；（4）333123b ab a b a ⎛⎫⎛⎫⋅-÷ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3392a ab a b b=-⋅⋅=292a b ab -．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的运算法则是解题的关键．9．(1)115+(2)1(3)46+(4)1【分析】（1）先用乘法分配律，再利用二次根式的乘法法则，最后合并同类二次根式即可；（2）利用平方差公式计算即可；（3）先算二次根式的乘除法，再算加减法即可；（4）先算乘方和绝对值，再化简各个二次根式最后算加减法即可．【详解】（1）解：()12712453-+⨯111271245333=⨯-⨯+⨯9415=-+3215=-+115=+；（2）解：()()6565-⨯+65=-1=；（3）解：148312242÷-⨯+16626=-+4626=-+46=+；（4）解：()()020222723321π---⨯-+-3323311=--⨯+332331=--+1=．【点睛】本题主要考查二次根式的混合运算以及二次根式的性质，掌握二次根式混合运算法则是关键．10．D【分析】直接根据最简二次根式的定义进行判断即可．【详解】A 、93a a =，故不符合题意；B 、233a a =，故不符合题意；C 、12222a a ++=，故不符合题意；D 、22ab -是最简二次根式；故选：D ．【点睛】本题考查了最简二次根式的定义，同时满足下列条件的二次根式，叫做最简二次根式（1）被开方数的因数是整数，因式是整式；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．熟记最简二次根式的定义是解题的关键．11．B【分析】根据最简二次根式的定义逐个判断即可．【详解】解：A 、3ab b ab =，被开方数中含有能开得尽方的因式，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；B 、3a b +是最简二次根式，故本选项符合题意；C 、()2222a b ab a b a b +-=-=-，被开方数中含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；D 、822a a =，被开方数中含能开得尽方的因式，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；故选：B ．【点睛】本题考查了最简二次根式的定义，能熟记最简二次根式的定义是解此题的关键．12．A【分析】根据最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，解答即可．【详解】解： 4535=，32x 2x x =，4x 2x =，∴最简二次根式有：11、52共两个．故选：A ．【点睛】本题考查二次根，熟练掌握最简二次根的性质是解题关键．13．D【分析】根据二次根式的化简方法即可得．【详解】解：原式6327922242312⨯⨯⨯===⨯，故选：D ．【点睛】本题考查了二次根式的化简，熟练掌握化简方法是解题关键．14．A【分析】先将各式化为最简二次根式，再结合同类二次根式的定义解答．【详解】解：①50=52；②12=22；③36=22；④40=21052 与22是同类二次根式，故选：A ．【点睛】本题考查最简二次根式、同类二次根式等知识，最简二次根式满足两个条件：（1）被开方数的因数是整数，因式是整式；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式．15．B【分析】根据最简二次根式的定义（被开方数不含有能开得尽方的因式或因数，被开方数不含有分母），判断即可．【详解】解：∵1233=，1223=､255||x x =，∴在2221,12,2,5,3x x x y ++中，最简二次根式有2x +，22x y +，共2个，故选：B ．【点睛】本题考查了对最简二次根式的理解，能熟练地运用定义进行判断是解此题的关键．16．D【分析】根据最简二次根式的被开方数相同知开方次数相同，被开方数相同，即可列出二元一次方程组，再解出即可．【详解】根据题意可知3102a b a b +=⎧⎨-=⎩，解得：31a b =⎧⎨=⎩，∴314a b +=+=．故选D ．【点睛】此题考查最简二次根式的定义，解二元一次方程组，正确理解题意列出方程组是解题的关键．17．B【分析】把a 的值依次代入即可判断求解．【详解】当a=6时，42a -=22，不能与2可以合并，当a=5时，42a -=1832=，能与2可以合并，当a=4时，42a -=14，不能与2可以合并，当a=2时，42a -=6，不能与2可以合并，故选B ．【点睛】此题主要考查二次根式的性质，解题的关键是熟知二次根式的化简方法．18．D【分析】先将8化简为最简二次根式，再根据最简二次根式的定义即可得．【详解】解：822=，22 与最简二次根式1m +能合并，12m ∴+=，解得1m =，故选：D ．【点睛】本题考查了最简二次根式、二次根式的化简，熟练掌握最简二次根式的概念是解题关键．19．D【分析】根据二次根式性质化简关判定A 、B ；根据二次根式乘法法则计算并判定C ；根据二次根式除法法则计算并判定D ．【详解】解：A 、()222-=，原计算错误，故此选项不符合题意；B 、1374=93，原计算错误，故此选项不符合题意；C 、322366⨯=，原计算错误，故此选项不符合题意；D 、4312=2÷，原计算正确，故此选项符合题意；故选：D ．【点睛】本题考查二次根式化简及乘除运算，熟练掌握二次根的性质与乘除运算法则是解题的关键．20．A【分析】已知226a b ab +=，变形可得28a b ab +=（），24a b ab -=（），可以得出a b +（）和a b -（）的值，即可得出答案．【详解】解：∵226a b ab +=，∴28a b ab +=（），24a b ab -=（），∵0a b >>，∴8a b ab +=，4a b ab -=，∴824a b ab a b ab+==-，故选：A ．【点睛】本题考查了分式的化简求值问题，完全平方公式的变形求值，二次根式的除法，观察式子可以得出应该运用完全平方式来求解，要注意a 、b 的大小关系以及本身的正负关系．21．C【分析】根据算术平方根、立方根、二次根式的运算可进行排除选项．【详解】解：①497648=，原计算错误，②()3322-=-，原计算正确；③1823÷=，原计算错误；④52535+-=，原计算正确；⑤()()5352510156+-=-+-，原计算错误；∴正确的有2个；故选C ．【点睛】本题主要考查算术平方根、立方根、二次根式的运算，熟练掌握算术平方根、立方根、二次根式的运算是解题的关键．22．A【分析】利用二次根式有意义的条件列出不等式即可求解．【详解】解：由题意得：()60060x x x x ⎧-≥⎪≥⎨⎪-≥⎩，解得：6x ≥，故选A ．【点睛】本题主要考查二次根式有意义的条件，能够熟练运用二次根式被开方数的非负性列不等式是解题关键．23．A【分析】根据立方根的性质化简、平方根的完全平方公式和性质，即可解答．【详解】解：A 、335050>-<，，故3355≠-，故选项错误．B 、3273=644--，故选项正确．C 、(32)(32)1+-=，故选项正确．D 、(4)(3)43-⨯-=⨯，故选项正确．故选：A ．【点睛】本题考查了平方根和立方根的性质，注意：负数开立方还是负数．24．A【分析】根据二次根式的乘法法则ab a b =⋅成立的条件为0a ≥且0b ≥，即可确定答案．【详解】解：根据题意，可得1010x x +≥⎧⎨-≥⎩，解不等式组，得 1x ≥，所以，等式2111x x x -=+⋅-成立的条件是1x ≥．故选：A ．【点睛】本题主要考查了二次根式的乘法法则和解一元一次不等式组，理解二次根式有意义的条件是解题关键．25．(1)46(2)32-(3)3a【分析】（1）根据二次根式的除法计算法则求解即可；（2）根据二次根式的除法计算法则求解即可；（3）根据二次根式的除法计算法则求解即可．【详解】（1）解：原式2723=÷224=46=；（2）解：原式55354=-÷55435=-⨯18=-32=-；（3）解：原式33b ab a=÷ 33a ab b=⨯29a =3=a ．【点睛】本题主要考查了二次根式的除法，熟知相关计算法则是解题的关键．26．623-【分析】直接将31a =+，31b =-代入2ab b +进行计算即可．【详解】解： 31a =+，31b =-，2ab b ∴+()()()2313131=+-+-()313231=-+-+2423=+-623=-，故答案为：623-．【点睛】本题考查了求代数的值、二次根式的乘法，掌握平方差公式和完全平方公式是解题的关键．27．B【分析】利用二次根式的混合运算将原式化简，再进行无理数的估算即可．【详解】解：2243⨯-2263=⨯-433=-，33=∵252736<<，∴5276<<，即5336<<，∴2243⨯-的值应在5和6之间，故选：B【点睛】本题考查了二次根式的混合运算以及估算无理数的大小，能估算出27的范围是解此题的关键．28．A【分析】先确定出m ，n 的值，再通过计算求解此题．【详解】解：∵2的整数部分是1，∴2的小数部分是21-，即21m -＝，∵8的整数部分是2，即2n ＝，∴()2222211==-+（），故选：A ．【点睛】此题考查了实数的估算与计算能力以及乘方，关键是能准确理解并运用相关知识．29．D【分析】通过观察，得出第n 项为：41n -，再根据31199=，得出方程4199n -=，解出即可得出答案．【详解】解：∵数列371115，，，，…，∴通过观察，可得：第n 项为：41n -，∵31191191199=⨯=⨯=，∴4199n -=，解得：25n =，∴311是它的第25项．故选：D【点睛】本题考查了数字规律问题、二次根式的乘法，解本题的关键在正确找出已知数列的规律．30．D【分析】根据二次根式的乘法计算法则求解即可．【详解】解：∵711a b ==，，∴111170.1171001010ab a ⨯=⨯=⨯=，故选D ．【点睛】本题主要考查了二次根式的乘法，熟知二次根式的乘法计算法则是解题的关键．31．D【分析】根据最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，进行判断即可．【详解】解：A 、原式22=，不符合题意．B 、原式14x x =，不符合题意．C 、原式32y =，不符合题意．D 、22x xy y ++是最简二次根式，符合题意．故选：D ．【点睛】本题考查最简二次根式，解题的关键是正确理解最简二次根式的概念，本题属于基础题型．32．C【分析】根据最简二次根式的定义逐项分析判断即可求解．【详解】A. 1223x x =不是最简二次根式，故该选项不正确，不符合题意；B.()2222x xy y x y x y ++=+=+，不是最简二次根式，故该选项不正确，不符合题意；C.22x y +，是最简二次根式，故该选项正确，符合题意； D. 1=x x x，含有分母，故不是最简二次根式．故选：C ．【点睛】本题考查最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式．33．5x >##5x<【分析】利用二次根式商的性质，商的算术平方根等于算术平方根的商，其中要满足的条件是分子的被开方数必须大于等于0，分母的被开方数大于0，列出关于x 的一元一次不等式组求解即可．【详解】要使4455x x x x --=--有意义，则4050x x -≥⎧⎨->⎩，解得：5x >，故答案为：5x >．【点睛】本题考查了二次根式商的性质，掌握二次根式商的性质是解题的关键．34．2ab b【分析】根据二次根式的性质进行化简即可．【详解】解：∵0a >，0b >，∴2342a b ab b =．故答案为：2ab b ．【点睛】本题考查的是最简二次根式的概念与化简，掌握二次根式的性质是解题关键．35． 2 625- 4 5【分析】（1）根据平方差公式和二次根式的运算法则求解即可；（2）根据完全平方公式和二次根式的运算法则求解即可；（3）根据二次根式的性质和除法运算法则求解即可；（4）根据二次根式的性质和乘法运算法则求解即可．【详解】解：（1）()()3131312-+=-=故答案为：2；（2）()2515251625-=-+=-，故答案为：625-；（3）483164÷==，故答案为：4；（4）1502552⨯==故答案为：5．【点睛】此题考查了二次根式的性质，二次根式的乘法和除法运算法则，平方差公式和完全平方公式等知识，解题的关键是熟练掌握以上运算法则．36．2y-【分析】根据二次根式的乘法运算法则进行计算即可．【详解】解：22212124233y y x x y y x x⋅=⋅==，∵0y <，∴212223y x y y x⋅==-，故答案为：2y -．【点睛】本题考查了二次根式的乘法以及二次根式的性质，熟练掌握相关运算法则是解本题的关键．37．63【分析】设ABC V 底边上的高为h ，根据三角形的面积公式12S ah =列方程求解即可．【详解】解：设ABC V 底边上的高为h ，根据题意，得123182h ⨯=，解得：63h =，故答案为：63．【点睛】本题考查解一元一次方程、二次根式的除法运算、三角形的面积公式，正确计算是解答的关键．38．15【分析】根据二次根式的运算法则即可进行解答．【详解】解：2y y x x xy x x=⋅=，∵35x y ==，，∴原式3515=⨯=．【点睛】本题主要考查了二次根式的运算法则，解题的关键是熟练掌握二次根式的定义，性质和运算法则．39．3【分析】根据题意和图形中的数据，可以发现数字的变化规律，从而可以得到()82，与()100100，表示的两个数，进而()82，与()100100，表示的两个数的积，本题得以解决．【详解】解：由题意可得：每三个数一循环，1,2,3，()82，在数列中是第()1772230+⨯÷+=个，30310÷=，()82，表示的数正好是第10轮的最后一个，即()82，表示的数是3，由题意可得：每三个数一循环，1,2,3，()100100，在数列中是第()1999921005050+⨯÷+=个，5050316831÷=⋯，()100100，表示的数正好是第1684轮的第一个，即()100100，表示的数是1，故（()82，与()100100，表示的两个数的积是：313⨯=．故答案为3．【点睛】本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现题目中数字的变化规律，求出相应的两个数的乘积．40．1113±【分析】先根据2710m n m n +-+--=求出8353m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，然后求出4m n +的值，即可得出答案．【详解】解：∵2710m n m n +-+--=，∴27010m n m n +-=⎧⎨--=⎩，解得：8353m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴853744333m n +=⨯+=，373的平方根为3711133±=±，即4m n +的平方根是1113±．【点睛】本题主要考查了算术平方根的非负性和绝对值的非负性，求代数式的值，求平方根，解题的关键是根据算术平方根的非负性和绝对值的非负性求出m 、n 的值．41．(1)46+(2)2【分析】（1）直接利用二次根式的乘除运算法则、二次根式的性质化简，进而得出答案；（2）将原式用平方差公式化简，再求值即可【详解】（1）解：148318243÷-⨯+148318263=÷-⨯+16626=-+46=+（2）03(51)(51)(2)27+-+--()25113=-+-53=-2=【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质和混合运算法则．42．(1)22(2)63(3)62(4)269(5)3(6)0.092(7)32(8)255【详解】（1）()211|11|-+-1111=+，22=；（2）108363=⨯，63=；（3）2382+648=+，72=，362=⨯，62=；（4）82783273⨯=⨯，4681⨯=，269=；（5）333333⨯=⨯，3=；（6）0.060.27⨯0.010.812=⨯⨯，0.10.92=⨯，0.092=；（7）114-34=，32=；（8）41154点O 为ABC V 的角平分线交点，∴点O 到AB ，AC ，BC 的距离相等，长度为设,OF h =，则ABC ACO S S =+V V 111。

第十六章 二次根式16.2 二次根式的乘除1．下列二次根式中，最简二次根式是 A 23aB 13C 153D 1432．如果mn >0，n <0，下列等式中成立的有｡ mn m n =1n m m n =m m n n=1m m n mn =-．A ．均不成立B ．1个C ．2个D ．3个3．下列各组二次根式化成最简二次根式后，被开方数完全相同的是 A ab 2abB mn 11m n+ C 22m n +22m n - D 3289a b 3489a b 4．下列等式不成立的是 A ．2×36B 8÷2=4C 1333D 8×2=453x x-3x x -，则x 的取值范围是A ．x <3B ．x ≤3C ．0≤x <3D ．x ≥06结果为A ．B ．C ．D ．7=x 的取值范围是__________．8．计算：=__________．9=__________．10．下列二次根式：． 其中是最简二次根式的是__________．（只填序号）11．计算：-=__________．12．200020012)2)+⋅-=__________． 13．计算：（1；（2）- 14．计算：（123）4）．15．计算（1）1223452533÷⨯；（2）21123(15)3825⨯-÷； （3）282(0)aa b ab a b÷⨯>；（4）27506⨯÷．16．当x <03x y -等于A ．xyB ．xC ．-xy -D ．-xy 179520的结果是 A ．32B 32C 532D ．5218．计算8(223)÷-⨯的结果是A ．26B ．33C ．32D ．6219．下列运算正确的是A 222253535315⨯==⨯=B 22224343431-=-=-=C．2510 5=D．(4)(16)416(2)(4)8-⨯-=-+-=-⨯-=20．若22m n+-和3223m n-+都是最简二次根式，则m=__________，n=__________．21．一个圆锥的底面积是26cm2，高是43cm，那么这个圆锥的体积是__________．22．计算：263⨯+（3-2）2-2（2-6）．23．方老师想设计一个长方形纸片，已知长方形的长是140πcm，宽是35πcm，他又想设计一个面积与其相等的圆，请你帮助方老师求出圆的半径．24．（2018·甘肃兰州）下列二次根式中，是最简二次根式的是A．18B．13C．27D．1225．（2018·湖南益阳）123=⨯__________．26．（2018·江苏镇江）计算：182⨯=__________．1．【答案】D【解析】A a |，可化简；B ==C ==，可化简；因此只有D ： =，不能开方，符合最简二次根式的条件．故选D ．2．【答案】C【解析】根据题意，可知mn >0，n <0，所以可得m <0，根据二次根式的乘法的性质，可知m ≥0，n ≥0，=1，故②正确；根据二次根式除法的性质，可知m ≥0，n >0=-m ，故④正确．故选C ． 3．【答案】D【解析】选项A 的被开方数不相同；选项B 的被开方数不相同；选项C ，不能够化简，被开方数不相同；选项D ，=23，23ab D ．4．【答案】B【解析】选项A 、C 、D 正确；选项B 2=，选项B 错误，故选B ． 5．【答案】C【解析】根据题意得：030x x ≥⎧⎨->⎩，解得：03x ≤<．故选C ．6．【答案】B【解析】原式==，故选B ．9．【答案】7120.091960.091960.31470.361440.361440.61212⨯==⨯=⨯．故答案为：712．10．【答案】①⑥【解析】最简二次根式是满足下列条件的二次根式：（1）被开方数的因数是整数，因式是整式；（2）被开方数中不含有能开的尽方的因式或因数.由此可得①⑥是二次根式，故答案为：①⑥． 11．【答案】-5【解析】原式48332731639495=÷-÷==-=-．故答案为：5-．123+2【解析】原式200020002000(32)(32)(32)[(332)]=-++⋅=⋅2000(1)32)=-⋅+⋅32)+32=32+．13．【解析】（1）25144⨯25144=512=⨯ 60=．（2）13xyz xy⋅－ 13xyz xy=-⋅=-14．【解析】（1==（2==（3）====-．（4）====15．【解析】（1）原式233=⨯23=45==（2）(13()8=⨯-⨯354=-⨯ 154=-．（3）原式===（4）原式15==． 16．【答案】C【解析】∵x <0=|x -C ． 17．【答案】A【解析】原式32，故选A ． 18．【答案】BB ． 19．【答案】A5315==⨯=，故正确；，故不正确；248==⨯=，故不正确．故选A ． 20．【答案】1、2【解析】由题意，知213221m n m n +-=⎧⎨-+=⎩，解得12m n =⎧⎨=⎩，因此m 的值为1，n 的值为2．故答案为：1，2．21【解析】根据圆锥的体积公式可得，这个圆锥的体积是13⨯==故答案为24．【答案】B【解析】A1832=B13是最简二次根式，正确；C2733=不是最简二次根式，错误；D1223=B．25．【答案】6【解析】原式3×3=6．故答案为：6．26．【答案】218 2182⨯，故答案为：2．。

人教版数学八年级下册16.2第1课时《二次根式的乘法》说课稿一. 教材分析《二次根式的乘法》是人教版数学八年级下册第16.2节的内容，这部分内容是在学生已经掌握了二次根式的性质和二次根式的加减法运算的基础上进行教授的。

二次根式的乘法是数学中基本的运算之一，它在数学问题的解决中有着广泛的应用。

通过学习这部分内容，可以使学生进一步理解和掌握二次根式的性质，提高他们的数学运算能力。

二. 学情分析在八年级的学生已经具备了一定的数学基础，对于二次根式的性质和加减法运算已经有了一定的了解。

但是，学生在进行二次根式的乘法运算时，可能会对如何正确处理根号下的乘法运算感到困惑。

因此，在教学过程中，需要引导学生正确理解二次根式的乘法运算规则，并通过大量的练习来巩固他们的理解。

三. 说教学目标1.知识与技能目标：使学生理解和掌握二次根式的乘法运算规则，能够正确进行二次根式的乘法运算。

2.过程与方法目标：通过教师的引导和学生的自主探究，培养学生的数学思维能力和解决问题的能力。

3.情感态度与价值观目标：激发学生对数学的兴趣，培养他们积极的学习态度和良好的学习习惯。

四. 说教学重难点1.教学重点：使学生理解和掌握二次根式的乘法运算规则。

2.教学难点：如何引导学生正确理解二次根式的乘法运算规则，并能够灵活运用。

五. 说教学方法与手段在教学过程中，我将采用讲授法和探究法相结合的教学方法。

在讲解二次根式的乘法运算规则时，我将通过生动的例子和清晰的解释，帮助学生理解和掌握。

同时，我将引导学生进行自主探究，通过解决实际问题，来加深他们对二次根式乘法运算的理解。

此外，我还将运用多媒体教学手段，如PPT等，来辅助教学，使教学内容更加生动和直观。

六. 说教学过程1.导入：通过一个实际问题，引发学生对二次根式乘法运算的思考，激发他们的学习兴趣。

2.讲解：讲解二次根式的乘法运算规则，并通过大量的例子来解释和巩固。

3.练习：让学生进行二次根式乘法运算的练习，及时发现和纠正他们的错误。

第十六章二次根式教材简析本章的内容主要包括：二次根式的概念和性质、二次根式的乘除、二次根式的加减．在中考中，本章重在考查二次根式的概念和性质以及运用二次根式的运算法则进行化简、求值．教学指导【本章重点】二次根式的性质和运算．【本章难点】灵活运用二次根式的性质及运算法则进行相关的化简与实数的简单运算．【本章思想方法】1．掌握类比思想．如：类比算术平方根的概念理解二次根式的性质，类比整式的运算法则理解二次根式的运算法则．2．掌握分类讨论思想．如：在进行二次根式的化简时，当被开方数中有字母且没有给出字母的取值范围时，应考虑对字母的取值进行分类讨论．3．体会整体思想．如：在求含有二次根式的代数式的值时，有时从整体角度考虑，将已知条件和待求值的式子进行变形后整体代入求值．课时计划16.1二次根式2课时16.2二次根式的乘除2课时16.3二次根式的加减2课时16.1二次根式第1课时二次根式的概念教学目标一、基本目标【知识与技能】理解并掌握二次根式的概念，掌握二次根式中被开方数的取值范围和二次根式的取值范围．【过程与方法】经历观察、比较、总结二次根式概念和被开方数取值范围的过程，发展学生的归纳概括能力．【情感态度与价值观】经历观察、比较和应用等数学活动，感受数学活动充满了探索性和创造性，体验发现的快乐，并提高应用意识．二、重难点目标【教学重点】二次根式的概念，二次根式有意义的条件．【教学难点】求二次根式中字母的取值范围．教学过程环节1自学提纲，生成问题【5 min阅读】阅读教材P2～P3的内容，完成下面练习．【3 min反馈】1．一个正数有两个平方根；0的平方根为0；在实数范围内，负数没有平方根．因此，在实数范围内开平方时，被开方数只能是正数或0.2．一般地，我们把形如a(a≥0)的式子叫做二次根式，“”称为二次根号．3．下列式子中，不是二次根式的是(B)A．45B．－3C．a2＋3D．2 3环节2合作探究，解决问题活动1小组讨论(师生互学)【例1】下列各式中，哪些是二次根式，哪些不是二次根式？11，－5，(－7)2，313，15－16，3－x(x≤3)，－x(x≥0)，(a－1)2，－x2－5，(a－b)2(ab≥0)．【互动探索】(引发学生思考)要判断一个根式是不是二次根式，一是看根指数是不是2，二是看被开方数是不是非负数．【解答】因为11，(－7)2，15－16＝130，3－x(x≤3)，(a－1)2，(a－b)2(ab≥0)中的根指数都是2，且被开方数均为非负数，所以都是二次根式.313的根指数不是2，－5，－x(x≥0)，－x2－5的被开方数都小于0，所以不是二次根式．【互动总结】(学生总结，老师点评)判断一个式子是不是二次根式，要看所给的式子是否具备以下条件：(1)带二次根号；(2)被开方数是非负数．【例2】当x________，x＋3＋1x＋1在实数范围内有意义．【互动探索】(引发学生思考)二次根式有意义要满足什么条件？本题是否还要考虑其他条件？【分析】要使x＋3＋1x＋1在实数范围内有意义，必须同时满足被开方数x＋3≥0和分母x＋1≠0，解得x≥－3且x≠－1.【答案】≥－3且x≠－1【互动总结】(学生总结，老师点评)使一个代数式有意义的未知数的取值范围通常要考虑三种情况：一是分母不为零，二是偶次方根的被开方数为非负数，三是零次幂的底数不为零．活动2巩固练习(学生独学)1．下列式子中，是二次根式的是(A)A．－7B．3 7C．x D．x 2．使式子－(x－5)2有意义的未知数x有(B) A．0 个B．1 个C．2 个D．无数个3．当x是多少时，2x＋3x＋x2在实数范围内有意义？解：依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3≥0，x ≠0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ≥－32，x ≠0.∴当x ≥－32且x ≠0时，2x ＋33＋x 2在实数范围内没有意义．活动3 拓展延伸(学生对学)【例3】若实数x 、y 满足y ＞x －2＋6－3x ＋3，求|y －3|－(x －y )2的值．【互动探索】要求|y －3|－(x －y )2的值，需确定出x 、y 的取值范围．根据式子y ＞x －2＋6－3x ＋3，可以确定出x 、y 的取值范围．【解答】由题意，得x －2≥0且6－3x ≥0， 解得x ＝2，则y ＞3.故|y －3|－(x －y )2＝y －3－y ＋2＝2－3＝－1.【互动总结】(学生总结，老师点评)利用二次根式有意义的条件求出x 的值，从而确定y 的取值范围，然后利用二次根式的性质化简代数式．环节3 课堂小结，当堂达标 (学生总结，老师点评)二次根式⎩⎪⎨⎪⎧概念有意义的条件——被开方数是非负数练习设计请完成本课时对应训练！第2课时 二次根式的性质教学目标一、基本目标 【知识与技能】理解a (a ≥0)是一个非负数、(a )2＝a (a ≥0)和a 2＝a (a ≥0)，并利用它们进行计算和化简；了解代数式的概念．【过程与方法】在明确(a )2＝a (a ≥0)和a 2＝a (a ≥0)的算理的过程中，感受数学的实用性；通过小组合作交流，培养学生的合作意识．【情感态度与价值观】通过二次根式的相关计算，进而解决一些实际问题，培养学生解决问题的能力． 二、重难点目标 【教学重点】 二次根式的性质． 【教学难点】运用二次根式的性质进行有关计算．教学过程环节1 自学提纲，生成问题 【5 min 阅读】阅读教材P3～P4的内容，完成下面练习． 【3 min 反馈】1．(1)当a >0时，a 表示a ；(2)当a ＝0时，a 表示0概括：一般地，a (a ≥0)是一个非负数．2．教材P3“探究”，根据算术平方根的意义填空： (1)(4)2＝4； (2)2＝2；⎝⎛⎭⎫132＝13； (0)2＝0. (2)一般地，(a )2＝a (a ≥0)． 3．教材P4“探究”，填空： (1)22＝2；0.012＝0.01； ⎝⎛⎭⎫232＝23； 02＝0.(2)一般地，a 2＝a (a ≥0)．教师点拨：二次根式的三个性质：(1)a (a ≥0)是一个非负数；(2)(a )2＝a (a ≥0)；(3)a 2＝a (a ≥0)．4．用基本运算符号把数或表示数的字母连结起来的式子，我们称这样的式子为代数式． 5．计算：0.019 6×22 500＝21；549＝73. 环节2 合作探究，解决问题 活动1 小组讨论(师生互学) 【例1】计算：(1)( 1.5)2； (2)(25)2； (3)16； (4)(－5)2.【互动探索】(引发学生思考)一个非负数的算术平方根的平方等于什么？当二次根式的被开方数是一个完全平方数，开方时有什么规则？【解答】(1)()1.52 ＝1.5. (2)(25)2＝22×(5)2＝4×5＝20. (3)16＝(42)＝4. (4)()－52＝52＝5.【互动总结】(学生总结，老师点评)一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数．当二次根式的被开方数是一个完全平方数时，a 2＝||a ＝⎩⎨⎧a ()a ≥0；－a()a <0.【例2】化简下列二次根式． (1)8a 3b (a ≥0，b ≥0)； (2)(－36)×169×(－9).【互动探索】(引发学生思考)根据开方的定义化简．注意：二次根式的结果是最简二次根式．【解答】(1)8a 3b ＝22·a 2·2ab ＝(2a )2·2ab ＝2a 2ab . (2)(－36)×169×(－9)＝36×169×9＝6×13×3＝234.【互动总结】(学生总结，老师点评)(1)若被开方数中含有负因数，则应先化成正因数；(2)将二次根式尽量化简，使被开方数(式)中不含能开得尽方的因数(式)，即化为最简二次根式．活动2 巩固练习(学生独学) 1．下列各式正确的是( D ) A ．(－4)×(－9)＝－4×－9 B ．16＋94＝16×94C ．449＝4×49D ．4×9＝4×92．计算：(1)(9)2； (2)－(3)2； (3)64； (4)a 2＋2a ＋1. 解：(1)9. (2)－3. (3)8. (4)a 2＋2a ＋1＝()a ＋12＝||a ＋1.当a ≥－1时，原式＝a ＋1；当a <－1时，原式＝－a－1.3．已知实数a 、b 在数轴上的位置如图所示，化简：(a ＋1)2＋2(b －1)2－|a －b |.解：从数轴上a 、b 的位置关系，可知－2＜a ＜－1,1＜b ＜2，且b ＞a ，故a ＋1＜0，b －1＞0，a －b ＜0，原式＝|a ＋1|＋2|b －1|－|a －b |＝－(a ＋1)＋2(b －1)＋(a －b )＝b －3.活动3 拓展延伸(学生对学)【例3】 已知a 、b 、c 是△ABC 的三边长，化简(a ＋b ＋c )2－(b ＋c －a )2＋(c －b －a )2. 【互动探索】根据三角形的三边关系，得出b ＋c ＞a ，b ＋a ＞c .根据二次根式的性质得出含有绝对值的式子，然后去绝对值符号合并即可．【解答】∵a 、b 、c 是△ABC 的三边长，∴b ＋c ＞a ，b ＋a ＞c ，∴原式＝|a ＋b ＋c |－|b ＋c －a |＋|c －b －a |＝a ＋b ＋c －(b ＋c －a )＋(b ＋a －c )＝a ＋b ＋c －b －c ＋a ＋b ＋a －c ＝3a ＋b －c .【互动总结】(学生总结，老师点评)解答本题的关键是根据三角形的三边关系得出不等关系，进行变换后，结合二次根式的性质进行化简．环节3 课堂小结，当堂达标 (学生总结，老师点评)二次根式的性质⎩⎪⎨⎪⎧a ≥0(a ≥0)(a )2＝a (a ≥0)a 2＝|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧a (a ≥0)a (a <0)练习设计请完成本课时对应训练！16.2二次根式的乘除第1课时二次根式的乘法教学目标一、基本目标【知识与技能】理解a·b＝ab(a≥0，b≥0)，ab＝a·b(a≥0，b≥0)，并利用它们进行计算和化简．【过程与方法】经历“探索——发现——猜想——验证”的过程，引导学生体会合情推理与演绎推理的相互依赖、相互补充的关系；培养学生用规范的数学语言进行表达的习惯和能力．【情感态度与价值观】鼓励学生积极参与数学活动，激发学生的好奇心和求知欲，体验数学活动中的探索和创新，感受数学的严谨性．二、重难点目标【教学重点】二次根式的乘法运算法则．【教学难点】运用二次根式的乘法运算法则进行简单的运算．教学过程环节1自学提纲，生成问题【5 min阅读】阅读教材P6～P7的内容，完成下面练习．【3 min反馈】1．教材P6“探究”，计算下列各式，观察计算结果，你能发现什么规律？(1)4×9＝6，4×9＝6；(2)16×25＝20，16×25＝20；(3)25×36＝30，25×36＝30.a≥0，b≥0.规律：一般地，二次根式的乘法法则是a·b＝ab()2．把a·b＝ab反过来，就得到ab＝a·b，利用它可以进行二次根式的化简．环节2合作探究，解决问题活动1小组讨论(师生互学)【例1】计算：(1)3×5； (2)13×27； (3)9×27； (4)12× 6. 【互动探索】(引发学生思考)利用二次根式的乘法运算法则进行计算． 【解答】(1)3×5＝15. (2)13×27＝13×27＝9＝3. (3)9×27＝9×27＝92×3＝9 3. (4)12×6＝12×6＝ 3. 【互动总结】(学生总结，老师点评)利用二次根式的乘法运算法则进行计算时，注意被开方数必须是非负数．【例2】化简：(1)9×16； (2)16×81； (3)81×100； (4)4a 2b 3； (5)54.【互动探索】(引发学生思考)利用二次根式积的算术平方根的性质进行化简时，需要注意什么？【解答】(1)9×16＝9×16＝3×4＝12. (2)16×81＝16×81＝4×9＝36. (3)81×100＝81×100＝9×10＝90. (4)4a 2b 3＝4·a 2·b 3＝2·a ·b 2·b ＝2ab b . (5)54＝9×6＝32×6＝3 6.【互动总结】(学生总结，老师点评)积的算术平方根是二次根式乘法法则的逆用，注意被开方数必须是非负数．活动2 巩固练习(学生独学)1．等式x ＋1·x －1＝x 2－1成立的条件是( A ) A ．x ≥1 B ．x ≥－1 C ．－1≤x ≤1 D ．x ≥1或x ≤－12．计算： (1)12×3； (2)23×315； (3)23×3512×5936. 解：(1)6. (2)310. (3)18.3．判断下列各式是否正确，不正确的请予以改正： (1)(－4)×(－9)＝－4×－9； (2)41225×25＝4×1225×25＝4×1225×25＝412＝8 3. 解：(1)不正确．改正：(－4)×(－9)＝4×9＝36＝6. (2)不正确． 改正：41225×25＝11225×25＝11225×25＝112＝47. 活动3 拓展延伸(学生对学) 【例3】比较大小：(1)35与53； (2)－413与－511.【互动探索】由于根号外的因数不为1，可以将根号外的因数移到根号内，再比较被开方数的大小．【解答】(1)35＝9×5＝45， 53＝25×3＝75. 因为45<75，所以35<5 3. (2)－413＝－16×13＝－208， －511＝－25×11＝－275.因为208<275，所以－208>－275，所以－413>－511.【互动总结】(学生总结，老师点评)要比较两个二次根式的大小，可以先运用二次根式的乘法运算法则，将根号外的数移到根号内，再比较被开方数的大小．环节3 课堂小结，当堂达标 (学生总结，老师点评)练习设计请完成本课时对应训练！第2课时二次根式的除法教学目标一、基本目标【知识与技能】1．理解ab＝ab(a≥0，b>0)和ab＝ab(a≥0，b>0)及利用它们进行运算；2．理解最简二次根式的概念，并运用它把不是最简二次根式的化成最简二次根式．【过程与方法】通过计算或化简的结果来提炼出最简二次根式的概念，并根据它的特点来检验最后结果是否满足最简二次根式的要求．【情感态度与价值观】在经历二次根式除法运算法则的过程中，获得成就感，建立学习数学的信心和兴趣．二、重难点目标【教学重点】最简二次根式的概念，二次根式的除法运算法则．【教学难点】二次根式商的算术平方根的运用．教学过程环节1自学提纲，生成问题【5 min阅读】阅读教材P8～P10的内容，完成下面练习．【3 min反馈】(一)二次根式的除法1．教材P8“探究”，计算下列各式，观察计算结果，你能发现什么规律？(1)49＝23，49＝23；(2)1625＝45，1625＝45；(3)3649＝67，3649＝67.规律：一般地，二次根式的除法法则是ab＝ab()a≥0，b>0.2．把ab＝ab反过来，就得到ab＝ab()a≥0，b>0，利用它可以进行二次根式的化简．(二)最简二次根式1．观察教材P8～P9例4、例5、例6中各小题的最后结果，比如22，310，2aa等，可以发现这些式子有如下两个特点：(1)被开方数不含分母；(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．2．在二次根式的运算中，一般要把最后结果化为最简二次根式，并且分母中不含二次根式．环节2合作探究，解决问题活动1小组讨论(师生互学)【例1】计算：(1)123；(2)32÷18；(3)14÷116；(4)648.【互动探索】(引发学生思考)利用二次根式的除法运算法则进行计算．【解答】(1)原式＝123＝4＝2 .(2)原式＝32÷18＝32×8＝3×4＝2 3.(3)原式＝14÷116＝14×16＝4＝2.(4)原式＝648＝8＝2 2.【互动总结】(学生总结，老师点评)利用二次根式的除法运算法则进行计算时，注意被开方数必须是非负数，结果必须是最简二次根式．【例2】化简：(1)364；(2)64b29a2；(3)35；(4)22－1.【互动探索】(引发学生思考)利用二次根式的除法运算法则和商的算术平方根的性质将二次根式进行化简．【解答】(1)原式＝364＝38.(2)原式＝64b29a2＝8b3a.(3)原式＝35＝3×55×5＝155.(4)原式＝2×()2＋1()2－1()2＋1＝2＋22－1＝2＋ 2. 【互动总结】(学生总结，老师点评)利用二次根式的除法运算法则和商的算术平方根的性质将二次根式进行化简时，注意将结果化为最简二次根式．活动2 巩固练习(学生独学) 1．计算113÷213÷125的结果是( A ) A ．27 5B ．27C ． 2D ．272．如果xy(y >0)是二次根式，那么化为最简二次根式是( C ) A ．xy(y >0) B ．xy (y >0) C ．xyy(y >0) D ．以上都不对3．化简： (1)483； (2)0.7； (3)23－1； (4)6－56＋5. 解：(1)4. (2)7010. (3)3＋1. (4)11－230. 活动3 拓展延伸(学生对学) 【例3】已知9－x x －6＝9－xx －6，且x 为偶数，求(1＋x )x 2－5x ＋4x 2－1的值．【互动探索】等式形式符合商的算术平方根公式→确定x 的取值范围→化简所求式子【解答】由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ 9－x ≥0，x －6>0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≤9，x >6，∴6<x ≤9.∵x 为偶数，∴x ＝8， ∴原式＝(1＋x )(x －4)(x －1)(x ＋1)(x －1)＝(1＋x )x －4x ＋1＝(1＋x )x －4(x ＋1)＝(1＋x )(x －4). ∴当x ＝8时，原式＝4×9＝6.【互动总结】(学生总结，老师点评)根据商的算术平方根的性质化简时，分子中被开方数是非负数，分母中被开方数是正数．环节3课堂小结，当堂达标(学生总结，老师点评)练习设计请完成本课时对应训练！16.3二次根式的加减第1课时二次根式的加减教学目标一、基本目标【知识与技能】通过合并被开方数相同的二次根式，会进行二次根式的加法与减法运算．【过程与方法】在分析问题的过程中，渗透对二次根式加减法的理解，再总结经验，用它来指导二次根式的计算和化简．【情感态度与价值观】鼓励学生积极参与数学活动，体会合作学习的先进性．二、重难点目标【教学重点】会将二次根式化为最简二次根式，掌握二次根式加减法的运算．【教学难点】运用二次根式的加减运算解决问题．教学过程环节1自学提纲，生成问题【5 min阅读】阅读教材P12～P13的内容，完成下面练习．【3 min反馈】1．一般地，二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并．2．计算下列各式．(1)22＋32；(2)28－38＋58；(3)7＋27＋9×7；(4)33－23＋ 2.解：(1)原式＝(2＋3)2＝5 2.(2)原式＝(2－3＋5)8＝48＝8 2.(3)原式＝7＋27＋37＝(1＋2＋3)7＝67.(4) 原式＝(3－2)3＋2＝3＋ 2.环节2合作探究，解决问题活动1小组讨论(师生互学)【例1】计算： (1)27＋13＋12； (2)32＋48－8＋3； (3)3⎝⎛⎭⎫22－63＋ 1.5－223；(4)()6－222＋()23－1()23＋1.【互动探索】(引发学生思考)运用二次根式的加减法法则及乘法公式进行计算，在计算时要注意哪些问题？【解答】(1)27＋13＋12＝33＋33＋23＝1633. (2)32＋48－8＋3＝32＋43－22＋3＝2＋5 3. (3)3⎝⎛⎭⎫22－63＋ 1.5－223＝26－2＋62－223＝326－53 2.(4)()6－222＋()23－1()23＋1＝6－412＋8＋()12－1＝25－8 3.【互动总结】(学生总结，老师点评)计算二次根式的加减法时，先把二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式．计算二次根式的混合运算时，注意运算顺序．【例2】已知a －5－2＋b －5＋2＝0，求a 2＋b 2＋7的值．【互动探索】(引发学生思考)根据算术平方根的非负性，可得a ＝5＋2，b ＝ 5－2，然后再代入求值即可．【解答】由题意，得a －5－2＝0，b －5＋2＝0，解得a ＝5＋2，b ＝5－2，a 2＋b 2＋7＝5＋4＋45＋5＋4－45＋7＝5.【互动总结】(学生总结，老师点评)此题主要考查了二次根式的加减，关键是掌握算术平方根具有非负性．活动2 巩固练习(学生独学) 1．计算32－2的值是( D ) A ．2 B ．3 C ． 2D ．2 22．若最简二次根式3a －8与17－2a 可以合并，则a ＝5. 3．计算： (1)348－913＋312； (2)(48＋20)＋(12－5)． 解：(1)＝15 3. (2)63＋ 5. 活动3 拓展延伸(学生对学)【例3】已知4x 2＋y 2－4x －6y ＋10＝0，求23x 9x ＋y 2x y 3－x 21x －5x yx的值． 【互动探索】先将已知等式进行变形，把它配成完全平方式，得(2x －1)2＋(y －3)2＝0，即可求出x 、y 的值．再根据二次根式的加减运算，先把各项化成最简二次根式，再合并同类二次根式，最后代入求值．【解答】∵4x 2＋y 2－4x －6y ＋10＝4x 2－4x ＋1＋y 2－6y ＋9＝(2x －1)2＋(y －3)2＝0，∴x ＝12，y ＝3. 原式＝23x 9x ＋y 2x y3－x 21x＋5x y x＝2x x ＋xy －x x ＋5xy ＝x x ＋6xy . 当x ＝12，y ＝3时，原式＝12×12＋632＝24＋3 6. 【互动总结】(学生总结，老师点评)化简求值时一般是先化简为最简二次根式，再代入求值．化简时不能跨度太大，缺少必要的步骤易造成错解．环节3 课堂小结，当堂达标 (学生总结，老师点评)二次根式的加减法则：二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并．练习设计请完成本课时对应训练！第2课时 二次根式的混合运算教学目标一、基本目标 【知识与技能】掌握含有二次根式的混合运算和含有二次根式的乘法公式的应用． 【过程与方法】复习整式运算知识并将该知识应用于含有二次根式的混合运算． 【情感态度与价值观】理解知识间的类比，进一步体会数学学习方法的重要性． 二、重难点目标 【教学重点】熟练地进行二次根式的混合运算，进一步提高运算能力． 【教学难点】正确地运用二次根式混合运算法则及运算律进行运算，并把结果化简．教学过程环节1 自学提纲，生成问题 【5 min 阅读】阅读教材P14的内容，完成下面练习． 【3 min 反馈】1．二次根式的混合运算顺序与整式的混合运算顺序一样，即先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的．2．在二次根式的运算中，多项式乘法法则和乘法公式仍然适用． 3．计算： (1)13×27； (2)35； (3)80－45； (4)(25－2)2. 解：(1)3. (2)155. (3) 5. (4)22－410. 环节2 合作探究，解决问题 活动1 小组讨论(师生互学) 【例1】计算： (1)12223×9145÷35； (2)⎝⎛⎭⎫312－213＋48÷23＋⎝⎛⎭⎫132；(3)2－(3＋2)÷3.【互动探索】(引发学生思考)如何进行二次根式的混合运算？ 【解答】(1)原式＝12×9×83×145×53＝12×9×229＝ 2. (2)原式＝⎝⎛⎭⎫63－233＋43÷23＋13＝2833×123＋13＝143＋13＝5. (3)原式＝2－3＋23＝2－1－233.【互动总结】(学生总结，老师点评)二次根式的混合运算顺序与整式的混合运算顺序一样，即先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的．【例2】计算：(1)(2＋3－6)(2－3＋6)； (2)(2－1)2＋22(3－2)(3＋2)； (3)⎝⎛⎭⎫6－1332－3424×(－26)．【互动探索】(引发学生思考)(1)利用平方差公式进行计算即可；(2)先利用完全平方公式和平方差公式进行计算即可；(3)利用乘法分配律进行计算即可．【解答】(1)原式＝[2＋(3－6)][2－(3－6)]＝(2)2－(3－6)2＝2－(9－218)＝2－9＋62＝－7＋6 2.(2)原式＝2－22＋1＋22×(3－2)＝2－22＋1＋22＝3. (3)原式＝⎝⎛⎭⎫6－66－326×(－26)＝－236×(－26)＝8. 【互动总结】(学生总结，老师点评)利用乘法公式进行二次根式混合运算的关键是熟记常见的乘法公式；在二次根式的混合运算中，整式乘法的运算律同样适用．活动2 巩固练习(学生独学) 1．下列计算：①(2)2＝2；② (－2)2＝2；③(－23)2＝12；④(2＋3)( 2－3)＝－1.其中正确的有( D )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．如果(2＋2)2＝a ＋b 2(a ，b 为有理数)，则a ＝ 6，b ＝ 4. 3．计算： (1)(6＋8)×3； (2)(46－32)÷22； (3)(5＋6)(3－5)； (4)(10＋7)(10－7)．解：(1)32＋2 6.(2)23－32.(3)13－3 5.(4)3.活动3拓展延伸(学生对学)【例3】先化简，再求值：1x＋y＋1y＋yx x＋y，其中x＝5＋12，y＝5－12.【互动探索】化简式子→代入x、y的值进行计算【解答】1x＋y＋1y＋yx(x＋y)＝xyxy(x＋y)＋x(x＋y)xy(x＋y)＋y2xy(x＋y)＝xy＋x(x＋y)＋y2xy(x＋y)＝(x＋y)2xy(x＋y)＝x＋y xy.当x＝5＋12，y＝5－12时，x＋y＝5，xy＝1，所以原式＝ 5.【互动总结】(学生总结，老师点评)求代数式的值，如果直接代入计算比较繁琐，可以根据式子特点，整体代入进行计算．环节3课堂小结，当堂达标(学生总结，老师点评)二次根式的混合运算同整式的混合运算顺序相同，乘法公式和乘法法则同样适用．练习设计请完成本课时对应训练！。

绝密★启用前 试卷 试卷副标题 考试范围：xxx ；考试时间：100分钟；命题人：xxx 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I 卷（选择题) 请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题 1=中，关于a 、b 的取值正确的说法是（ ） A ．a≥0,b≥0 B ．a≥0,b ＞0 C ．a≤0,b≤0 D ．a≤0,b ＜0 2．下列式子中，为最简二次根式的是（ ） A B C D 3．估计的值应在（ ） A ．3和4之间 B ．4和5之间 C ．5和6之间 D ．6和7之间 4(0,0)a b >>的结果是（ ） A B C D ．5．下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A B C D 6．下列各式计算正确的是（ ） A =B =C ．23= D 2=-7．下列二次根式中属于最简二次根式的是( ) A ． B C D 8．下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）.○……○……A．√8x B．√x2−3C．√x−yxD．√3a2b9，2，）A B．2C D．10．下列各式属于最简二次根式的有（）A B C D11=( ).A B C D．12．下列计算中，正确的是（）A．B．C D﹣313．如果0ab>，0a b+<，那么下列各式：=1=，③b=-，其中正确的是( ).A．①②B．②③C．①③D．①②③14．计算√8×√2的结果是（）A．√10B．4C．√6D．215．下列根式中属于最简二次根式的是（）A BC D16．下列二次根式中属于最简二次根式的是（）A．√24B．√0.3C．√13D．√317．下列根式中属最简二次根式的是（）A B C D 18 ） A ．6到7之间 B ．7到8之间 C ．8到9之间 D ．9到10之间 19．下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ） A B C D 20的积为无理数的是( ) A B C D 第II 卷（非选择题) 请点击修改第II 卷的文字说明 二、填空题 21．计算 ________． 22＝a +b ，其中a 是整数，0＜b ＜1，则（）（a ﹣b ）＝_____． 23=____________． 24．若 x ﹣1，则x 3+x 2-3x+2020 的值为____________． 25=______. 26则a 的取值范围是______. 27________． 28．计算：√10÷√2 =_____． 29． 30．已知a ＞0，计算：(＝_____．32． 33．一个直角三角形的两条直角边分别为a =b =，那么这个直角三角形的面积是________． 34．若0, 0ab a b >+<，那么下面各式:=;1=；③b =-；a =，其中正确的是______ (填序号) 35．若规定一种运算为a ★b (b －a)，如3★5×(5－3)＝，★＝________．36．计算：√8÷√2＝_____．37．观察下列各式：===3；=，…请用含n （n≥1）的式子写出你猜想的规律：__ 38=，那么m 的取值范围是_____________39．计算：323c ab ⎛⎫= ⎪-⎝⎭_________.40n 的最小值为___三、解答题41．计算：2(71)+--42．已知a =√3−1√3+1，b =√3+1√3−1，求a 3+b 3−4的值.43．(1)20182019⨯- (2)41|2|2⎛⎫-- ⎪⎝⎭44．计算：（1）（﹣1）2（﹣2）0 （245．计算：|247．计算： 3 + (4) 4849． 50．先化简，再求值： （1）2212111x x x x ⎛⎫-+-÷ ⎪-⎝⎭，其中 （2）32322222b b ab b a b a a b ab b a ++÷--+-，其中1,25a b ==参考答案1．B2．B3．C4．A5．B6．C7．A8．B9．B10．B11．A12．C13．B14．B15．D16．D17．A18．C19．C20．B21．22．923．3π-24．201925．426．12 a≥27 28．√529．3031．32．33．34．②③35－2 36．2.37．(n+ 38．m＞4.39．336c 27a b -40．541．42．4843．；(2)10-+.44．（1）﹣2；（2）-．45．﹣46．247．（1）4；（2）6（3）（4）6.4849．350．（1）1 （2）10。

教材练习答案95枷一答案全解全析一一教材练习答案第十六章二次根式16.1 二次根式当V'-20过.,=J 尽.fi .I 案长方形的长为3打a m,宽为2.ff CIII. 3 16.2 二次根式的乘除；线习I ， 案(l )a ,;,:l.(2)a 云－一.(3).,=e:0.(4)吓至52 : I . 答案(I) ./io.(2)6.(3)2/3.(4)2. 2 !2答案(1)77.(2)15.(3)2尔(4)41,c尽案(1)3.(2)18.I I !3答案长方形的面积为./iox2.fi =2 ,/20 =4./5. 案(I )0.3.(2)一.(3)-1r.(4)一．7 10 ；讼习2r 16.1 .fJ ; L答案(1)3.(2)打.(3)—.(4)2a . 巩囚3 t : 岛2./3累(1)(1;.,-2,(2)咚3.(3)心0.(4)u,"-一·,: 2, 答案(I)4./i , (2) 2 ./i飞(3)一.(4)一一．2 :2 3 2 案(1)5.(2)0.2.(3)一.(4)125.(5) 10, . : 3答案8项7 a =一·2 2 ) 14. (7)一.(8)一一；习题16.23 5 ：妇邓民(I)设圆的半径为r,r=乒'TT 1 1. 答案(I) 18./f. (2)-3项(3)30顶.(4)24./5.3 2 ）长方形的两条邻边长分别为2Jf 和3ff .: : 2-答案(I )一.(2)2打(3).fi .(4)一石．2 3 ； 3. 答案(1)./4可可=14.(2)./3丙=10扛足(1)9=(./9)2.(2)5=(苏忱i 刊行），(6)0•(而）! 4答案：'.,�(2)二'.;,)五""石(6).../i 心＝（平）'.(4)0.25=(./o.2汀．白m 乒2..(4)工王运川 2 30·3 4+, 斥良r =邓.J 5. 答案(I)2 /i 百(2)一一．2 尽AB=./6.良(I ).t'取任恁实数(2)人，取任戏实数．！综合运）”I心0.(4)"">一I.! 6. 答案(l )S丑尽(2)S=240.! 7. 答案(l )a =S 丘(2)ri =l l ./i 尽l "J了，当I 户10和h =25时，小球格地所用的时间； 6 3 I ; ＆答案(I)一.(2)一.(3)一.(4)IS. 5 2 3 111为汇，汇深索l?. 答案乒=-E... 旦旦=0.707售良(l )自然数I I 的位为2或9或14或17或J S.: 2 2 2 正整数n的记小伉应处6.: ./8 = 2.fi•2x 1.414立2.828.厂．＂丐10石案,=-; 10答案当S=4.ff ,": ./IT时心=-.5尸/1'＝玩时户一＝一·JO'!T 2' 哼: 11答案当V=4打.I,=3.fi 时S =-.2./6 , 3 i 拓广探索=I 阮时，r ='I 尼心l ;; 12.答案彷下部分的面积为12.Ji万c ni '.-.. ＿．一,,.I --C 令迈颈拐嘈吝JJ i./事2二S J 1J【人教版】八年级数学下册课后习题参考答案式加S0%+75x 30%+45x 20%寸6.5,=SOxS0%+60心0%+85X20%:60,；问5甲云乙,:.应该录取乙．案(I )这个月中午]2时的平均气温约是2尸C .）频数分布表如下·气温x划记驳数12云王<16正T ？ !6�s <20if 4 叨!!f,x<:24正下s 凶云.1:<28订： 4 28-. 工<32正T 7 合汁30 30 据柲数分布x7+!8x4+22X8立6x4+30X730=22('C). 个结果与(1)中的结果相差不大．平均数反映的是一组数据平均水平，是一个统计估计扯案(1)出售时这些鸡的平均质址约是1.5挫g.,）质让在1.5k g 的鸡朵牛）中间的应址是1.5kg.案平均速度为52千米I时多数车以笠千米I时的速度行驶：速的中位数:IJ:52于米I吐探索案平均数为4.6;众数为4.9;中位数为4.位从20.2 数据的波动程度I d 案条形图略．）平均数为6,方差为O;4 ）平均数为6,方差为-;7 44 ）平均数为6,方差为一飞7 54 ）平均数为6,方必为一．7 疫越大，数据的波动起大．方差越小．数据的波动越小案方必心大．'·2 案甲运动员的成绩更栳定，应该选择甲运动员参赛．i 20.2 巩冈案(l )甲lO 天中平均每天出的次品数为I.S,10天中平均每天出的次品数为1立10天内次品数的方这为斗..1.65, 10天内次品数的方边为立..0. 76. ）在10天中．乙机床出次品的早均数较小｀且出次品的波 较小谝案 (1)甲包装机包装的佣果平均每袋的顶从为沁t 8 g , 包装机包装的糖果平均每袋的职址为5凶8 g. 教材练习答案105 甲包装机包装的捎果屈111:的方差斗=15.76,乙包装机包装的糖果屈址的方差斗=S .56.(2)由斗>&1.可知乙台包装机包装的IO袋耕果的质批比较稳定．！综合运川!3. 答案(L )甲种小安的平均苗环为"ll t n l ,｝ 乙种小友的平均苗科为13cm. r <2)甲种小麦苗高的方必：心=3.6.｝ 乙种小麦苗商的方差：心=15.8.: ,It : 2 5平<.1乙可知甲种小麦的长势比较整齐．1 l 4答案(l):i =一cM+S .9+s.s+s .9+S.6+s . 7) ... s .s s,, 6 i =一[{9.4-8.88,)'-t (8.9-8.88),><21-(8.8-8.88)1 + (8.6-6 8.88:)'+(8. 7-8心8)')... 0.06圈I (2)云.,,_一(8暮9+8.8+8.9+8妯7)-S.83.4 i =一((8.9-8.83)'+(&.8一8.83)1 + (8, 9一8,83)'书·(:B.7一4 8.83)'] .... 0.01. (3)去掉一个朵祁分和一个见低分统计平均分的方法更合理拓广探索5路．复习题20红习巩固L 答案样本平均数约为1.17k g , 估计水库中这种鱼的平均攸址为1.17k g . 2答案这四个小组平均正确回答约12道题目．3答案在该时段中，平均约有195辆汽车通过这个路口．4, 答案(,))平均数为6003.S;中位数为4300; 众数为2550.(2)14名员工的月平均工资足6003.5元；有一半员工的月饼在4300元以下．月薪为2550元的员工攸多s . 答案(l )A城市的年平均气温为4'C ;B城市的年平均气温为20'C .('2) ,\城市四季平均气沮的方差为s;= 127.5;B城市四季平均气温的方差为$�.,53,25.由$!>.斗可知B 城市四季的平均气温较为接近良坎合运用6答案A股菜某周收盘价格的平均数为11.53;B 股栗某周收盘价柲的平均数为13.95;A股踝某周收盘价格的方必为0.07.l B 股栗某周收盘价格的方差为0.23.！ 由＄：心；可知在这段时间内B 种股票的涨跌幅度较大i 1答案(I)甲炮所发射的炮弹落点与目标的距离的平均数为3.2 Iii ； 乙炮所发射的炮评路点与目标的距离的平均数为4皿: (2)斗=45. 76,51 = 92. 因为斗＜主，所以甲炮射击的准确！ 性好；拓广探索; 8略．�9. 略．。

第十六章二次根式考点整合及2022中考真题精炼（解析版）第一部分考点整合提升考点一二次根式有意义的条件1x的取值范围是 ．思路引领：根据二次根式有意义的条件：被开方数为非负数求解即可．解：由题意知6﹣4x≥0，解得x≤3 2．故答案为：x≤3 2．总结提升：本题主要考查二次根式有意义的条件，二次根式中的被开方数是非负数．2．无论x m的取值范围为（ ）A．m≥9B．m＞36C．m≤9D．m≤6思路引领：将被开方数配方，再根据二次根式有意义，被开方数大于等于0进行判断即可．∵无论x∴m﹣9≥0，∴m≥9．故选：A．总结提升：本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．考点二二次根式的化简3．若a＜0，化简其结果是（ ）A．0B．2a C．﹣2a D．2a或﹣2a思路引领：根据二次根式的性质得出|a﹣（﹣a）|，绝对值的意义去绝对值符号即可求出答案．解：∵a＜0，∴原式＝|a﹣（﹣a）|＝|2a|＝﹣2a，故选：C．总结提升：本题主要考查对绝对值，二次根式的性质等知识点的理解和掌握，能正确去绝对值符号是解此题的关键．4解=+=0．位同学的解答正确吗？若不正确，请指出错误原因，并加以改正．思路引领：根据题目中的步骤即可发现问题所在，分类讨论x 与y 的大小，然后根据分母有理化即可解答本题．解：该同学解答不正确，错误原因是不知道x 与y 哪个大，从而x ﹣y 是正值还是负值不清楚，故解答错误，并且第一步的式子就抄错了，改正：当x ＝y 时，x−y−当x ＞y 时，x−y−==当x ＜y 时，x−y−=+=总结提升：本题考查二次根式的混合运算，解答本题的关键是明确二次根式混合运算的计算方法．5．我们已经学过完全平方公式a 2±2ab +b 2＝（a ±b ）2，知道所有的非负数都可以看作是一个数的平方，如22，32，72，0＝02，那么，我们可以利用这种思想方法和完全平方公式来计算下面的题：例：求3﹣解：3﹣=212=)2，∴3﹣1．你看明白了吗？请根据上面的方法化简：（1（2（3+++思路引领：（1）将3分成2+1，利用完全平方公式即可求出结论；（2）结合（118分成16+2，利用完全平方公式即可求出结论；（3）将3分成2+1、5分成2+3、7分成3+4、9分成4+5、11分成5+6，利用完全平方公式结合二次根式的加、减法，即可求出结论．解：（1+1；（2）=4（3）原式=++=+==1+22+=1．总结提升：本题考查了二次根式的混合运算以及完全平方公式，读懂题意，将整数分成两个合适的整数相加是解题的关键．6．观察下列等式：①1==；③1…请你利用规律化简：（1（2）1．思路引领：仿照给出二次根式的化简方法，化简即可：（1）分子分母同乘（2解：（1）1＝（2总结提升：此题考查了分母有理化，二次根式有理化主要利用了平方差公式，所以一般二次根式的有理化因式是符合平方差公式的特点的式子．即一项符号和绝对值相同，另一项符号相反绝对值相同．考点三二次根式的运算7．下列计算中，正确的是（ ）A．=21B．3+C÷3D×思路引领：根据二次根式的加减法对A、B进行判断；根据二次根式的性质对C、D进行判断．解：A．原式＝A选项不符合题意；B．3B选项不符合题意；C．原式C选项不符合题意；D．原式=D选项符合题意．故选：D．总结提升：本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法和除法法则是解决问题的关键．8．计算（1）（2）（3）（4−2−)0．思路引领：（1）直接化简二次根式进而求出答案；（2）直接化简二次根式进而利用除法运算法则求出答案；（3）直接利用平方差公式计算，进而化简二次根式求出答案；（4）直接化简二次根式进而求出答案．解：（1）＝+4×＝（2）＝（+÷=43（3）＝5﹣12+2+＝﹣5+（4)0＝1=+1．总结提升：此题主要考查了二次根式的化简以及二次根式的混合运算，正确化简二次根式是解题关键．9．计算：（1）（2)0（3）−2)2−312；（4（5）++．思路引领：（1）先把二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；（2）利用二次根式的乘除法，平方差公式和零指数幂运算即可；（3）利用完全平方公式和有理数减法法则运算即可；（4）把二次根式化为最简二次根式运算即可；（5）先去绝对值符号，然后再合并即可．解：（1）原式＝（2）原式=5−4+1+1＝1（3）原式＝（5﹣4+45）﹣312＝145−312＝﹣1710；（4）原式＝（5）原式=1+＝1．总结提升：本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握平方差公式，完全平方公式和零指数幂是解题关键．考点四 二次根式的条件求值101的整数部分为a ，小数部分为b a ）（b +1）的值．思路引领：由于34，则可得到a＝2，b=1﹣2=32）1﹣3），然后利用平方差公式进行计算即可．解：根据题意得a＝2，b=1﹣2=3，+2）+1﹣32﹣22＝11﹣4＝7．总结提升：本题考查了二次根式的化简求值：先根据已知条件把所求的代数式变形，然后利用整体的思想求值．也考查了无理数的估算．11．已知a2+b2﹣6a﹣8b＝﹣25，求a、b的值．分析：“若几个非负数的和为零，则这几个非负数皆为零”，当一个等式里含有几个未知数时，若能将该等式化为几个非负数的和的形式，便能利用上述性质来求解．例如，讲方程a2+b2﹣6a﹣8b＝﹣25，化为（a﹣3）2+（b﹣4）2＝0，从而求得a＝3，b＝4．再如，将方程a+b+1＝0化为a﹣+1+（b﹣1）1＝0，1）2+1）2＝0，从而求得a＝1，b＝2．使用类似的方法解决下面的问题：（1）已知a+b＝a＞0，b＞0）（2）已知a+b+c＝+14．求a、b、c的值．思路引领：（1）首先把a+b＝a﹣b）2＝0，得出a＝b，进一步代换求得数值即可；（2）先移项，再利用配方法得到a+1﹣+1+b+1﹣+4+c﹣2﹣9＝0即有1）2+2）2+3）2＝0，1＝02＝03＝0解得a＝0，b＝3，c＝11．解：（1）∵a+b＝∴a2+2ab+b2＝4ab，∴（a﹣b）2＝0，∴a＝b，==1 2；（2）∵a+b+c＝++14，∴a+1﹣+1+b+1﹣+4+c﹣2﹣9＝0，1）2+2）2+3）2＝0，1＝02＝03＝0，∴a +1＝1，b +1＝4，c ﹣2＝9，∴a ＝0，b ＝3，c ＝11．总结提升：本题考查了配方法的应用：用配方法解一元二次方程，配方法的理论依据是公式a 2±2ab +b 2＝（a ±b ）2；利用配方法求二次三项式是一个完全平方式时所含字母系数的值．也考查了非负数的性质．12．已知：m思路引领：先估算得到m =2，则1m ==2，即1m ＞m ，利用完全平方公式得到原式=|m −1m |，去绝对值得原式＝﹣m +1m ，然后把m 和1m 的值代入计算即可．解：∵m∴m =2，原式=|m −1m |∵m =2，∴1m 1+2，即1m ＞m ，∴原式＝﹣（m −1m）＝﹣m +1m2）+2＝4．总结提升：=|a |．也考查了无理数的估算以及完全平方公式．13．已知a ＝2+b ＝2，求b a−a b 的值．思路引领：先计算出a +b ，b ﹣a 以及ab 的值，再把所求代数式变形为(b a)(b−a)ab，然后代值计算即可．解：∵a ＝2b ＝2∴a +b ＝4，b ﹣a ＝﹣ab ＝4﹣3＝1，∴原式=b 2−a 2ab =(b a)(b−a)ab =−总结提升：本题二次根式的化简求值，通过先计算a +b ，b ﹣a 以及ab 的值，变形所求代数式，从而使计算变得简便．考点五 二次根式的规律探索14．观察下列各式1+11−12=32；1+12−13=76；1+13−14=1312．（1 ；（2）请你按照上面每个等式反映的规律，写出用n （n 为正整数）表示的等式，并验证；（3思路引领：（1）根据题意给出的规律即可求出答案；（2）由题意的规律即可用n 表示该等式；（3）根据（2）中的结论即可求出答案．解：（11+14−15=2120；故答案为：2120；（2=n(n 1)1n(n 1)．验证：等式左边==n(n 1)1n(n 1)=等式右边．（3=5756．总结提升：本题主要考查了二次根式的性质，解题的关键是正确理解题中给出的规律．2022中考真题精炼一．选择题（共6小题）1．（2022•x 应满足的条件为（ ）A ．x ≠﹣1B ．x ＞﹣1C ．x ＜﹣1D ．x ≤﹣1思路引领：直接利用二次根式有意义的条件、分式有意义的条件分析得出答案．解：代数式1有意义时，x +1＞0，解得：x ＞﹣1．故选：B ．总结提升：此题主要考查了二次根式有意义的条件以及分式有意义的条件，正确掌握相关定义是解题关键．2．（2022•广州）下列运算正确的是（ ）A =2B ．a 1a −1a=a （a ≠0）C D ．a 2•a 3＝a 5思路引领：直接利用立方根的性质以及分式的加减运算法则、二次根式的加减运算法则、同底数幂的乘法运算法则分别判断得出答案．解：A −2，故此选项不合题意；B ．a 1a −1a=1，故此选项不合题意；C D ．a 2•a 3＝a 5，故此选项符合题意；故选：D ．总结提升：此题主要考查了立方根的性质以及分式的加减运算、二次根式的加减运算、同底数幂的乘法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．3．（2022•湖北）下列各式计算正确的是（ ）A B ．=1C ÷2=D ×思路引领：利用二次根式的加减法的法则，二次根式的乘除法的法则对各项进行运算即可．解：A A 不符合题意；B 、B 不符合题意；C 2=C 不符合题意；D =D 符合题意；故选：D ．总结提升：本题主要考查二次根式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．4．（2022•内蒙古）实数a +1+|a ﹣1|的化简结果是（ ）A．1B．2C．2a D．1﹣2a思路引领：根据数轴得：0＜a＜1，得到a＞0，a﹣1＜0|a|和绝对值的性质化简即可．解：根据数轴得：0＜a＜1，∴a＞0，a﹣1＜0，∴原式＝|a|+1+1﹣a＝a+1+1﹣a＝2．故选：B．总结提升：|a|是解题的关键．5．（2022•聊城）射击时，子弹射出枪口时的速度可用公式v=a为子弹的加速度，s 为枪筒的长．如果a＝5×105m/s2，s＝0.64m，那么子弹射出枪口时的速度（用科学记数法表示）为（ ）A．0.4×103m/s B．0.8×103m/s C．4×102m/s D．8×102m/s思路引领：把a＝5×105m/s2，s＝0.64m代入公式v=解：v==8×102（m/s），故选：D．总结提升：此题主要考查了二次根式的性质与化简以及科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．6．（2022•x﹣2在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）A．x＞﹣1B．x≥﹣1C．x≥﹣1且x≠0D．x≤﹣1且x≠0思路引领：根据二次根式的被开方数是非负数，a﹣p=1a p（a≠0）即可得出答案．解：∵x+1≥0，x≠0，∴x≥﹣1且x≠0，故选：C．总结提升：本题考查了二次根式有意义的条件，负整数指数幂，掌握二次根式的被开方数是非负数，a﹣p=1a p（a≠0）是解题的关键．二．填空题（共6小题）7．（2022•荆州）若3a，小数部分为b，则代数式（2+）•b的值是 ．思路引领：3a、b的值，代入所求式子计算即可．解：∵12，∴1＜32，∵若3a，小数部分为b，∴a＝1，b＝31＝2∴（2+）•b＝（2+（22，故答案为：2．总结提升：本题考查了估算无理数的大小的应用，解题的关键是求出a、b的值．8．（2022•随州）已知m为正整数，=m有最小值3×7＝21．设n1的整数，则n的最小值为 ，最大值为 ．思路引领：n最小为31越小，300 n越小，则n=2时，即可求解．∴n最小为3，1的整数，越小，300n越小，则n越大，2时，300n=4，∴n＝75，故答案为：3；75．总结提升：本题考查二次根式的乘除法，二次根式的性质与化简，解题的关键是读懂题意，根据关键词“大于”，“整数”进行求解．9．（2022•+1）1）的结果等于 ．思路引领：根据平方差公式即可求出答案．2﹣12＝19﹣1＝18，故答案为：18．总结提升：本题考查平方差公式与二次根式的混合运算，解题的关键是熟练运用平方差公式，本题属于基础题型．10．（2022•遂宁）实数a 、b 在数轴上的位置如图所示，化简|a +1|　2　．思路引领：根据数轴可得：﹣1＜a ＜0，1＜b ＜2，然后即可得到a +1＞0，b ﹣1＞0，a ﹣b ＜0，从而可以将所求式子化简．解：由数轴可得，﹣1＜a ＜0，1＜b ＜2，∴a +1＞0，b ﹣1＞0，a ﹣b ＜0，∴|a +1|+＝a +1﹣（b ﹣1）+（b ﹣a ）＝a +1﹣b +1+b ﹣a＝2，故答案为：2．总结提升：本题考查二次根式的性质与化简、实数与数轴，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．11．（2022•内蒙古）已知x ，y 是实数，且满足y+18，则的值是 ．思路引领：根据负数没有平方根求出x 的值，进而求出y 的值，代入计算即可求出值．解：∵y =18，∴x ﹣2≥0，2﹣x ≥0，∴x ＝2，y =18，则原式==12，故答案为：12总结提升：此题考查了二次根式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．12．（2022• ．思路引领：先化简各个二次根式，再合并同类二次根式．0．故答案为0．总结提升：本题考查二次根式的加减，解题的关键是首先化简各个二次根式，再合并同类二次根式．三．解答题（共4小题）13．（2022•河池）计算：|﹣3﹣1（π﹣5）0．思路引领：先去绝对值，计算负整数指数幂，零指数幂和二次根式乘法，再合并即可．解：原式＝−13−1=23．总结提升：本题考查实数的混合运算，解题的关键是掌握实数相关运算的法则．14．（2022•思路引领：根据二次根式的乘法法则和二次根式的化简计算，再合并同类二次根式即可．解：原式==总结提升：=a ≥0，b ≥0）是解题的关键．15．（2022•思路引领：原式利用二次根式乘法法则计算，合并即可得到结果；解：原式＝＝＝=1x−2，总结提升：此题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．16．（2022•济宁）已知a ＝2+b ＝2a 2b +ab 2的值．思路引领：利用因式分解，进行计算即可解答．解：∵a＝2b＝2∴a2b+ab2＝ab（a+b）＝（2+（2（2++2＝（4﹣5）×4＝﹣1×4＝﹣4．总结提升：本题考查了二次根式的混合运算，代数式求值，熟练掌握因式分解是解题的关键．。

第3课时二次根式的大小比较知识要点基础练知识点二次根式的大小比较1.下列式子中,值最小的是(D)A.√10B.πC.3D.√72.比2√3小的正整数有(B)A.4个B.3个C.2个D.1个3.比较大小:(1)3√2>2√3;(2)-2√6>-6√2.综合能力提升练4.比较2,√5,√6的大小,正确的是(A)A.2<√5<√6B.2<√6<√5C.√6<2<√5D.√5<√6<25.比较大小:√32×√2与√128÷√2的结果是(B)A.前者大B.一样大C.后者大D.无法确定6.下列判断正确的是(A)<√3<2 B.2<√2+√3<3A.32C.1<√5−√3<2D.4<√3×√5<57.若两个连续整数x,y满足x<√13+1<y,则x+y的值为9.8.把5的平方根和立方根按从小到大的顺序排列为-√5<√53<√5.9.比较大小:√5+√6与√6+√7(求差法).解:∵(√5+√6)-(√6+√7)=√5+√6−√6−√7=√5−√7<0,∴√5+√6<√6+√7.10.比较下列各式的大小:(1)-2√13与-3√6;(2)5-√3与2+√3.解:(1)∵(-2√13)2=52,(-3√6)2=54,52<54,∴(-2√13)2<(-3√6)2,∴-2√13>-3√6.(2)(5-√3)-(2+√3)=3-2√3,∵3=√9,2√3=√12,9<12,∴3<2√3,即3-2√3<0,∴5-√3<2+√3.拓展探究突破练11.阅读下列材料,解答后面的问题.材料:√2+√3=√2+√3)(√2-√3)√2-√3=√2-√3=√3-√2,我们把这种化简的方法叫做分子有理化.问题:采用分子有理化,比较√2019−√2018与√2018−√2017的大小.解:∵√2019−√2018=√2019-√2018)(√2019+√2018)√2019+√2018=√2019+√2018,√2018−√2017=√2018-√2017)(√2018+√2017)√2018+√2017=√2018+√2017,又∵√2019+√2018>√2018+√2017,∴√2019+√2018<√2018+√2017,∴√2019−√2018<√2018−√2017.。