2020高考模拟—高三数学模拟试题—综合一

山东省2020年高三高考模拟数学试题一、单项选择题：1.已知集合{1,2}A =-，{|1}B x ax ==，若B A ⊆，则由实数a 的所有可能的取值组成的集合为（ ）A. 11,2⎧⎫⎨⎬⎩⎭B. 11,2⎧⎫-⎨⎬⎩⎭ C. 10,1,2⎧⎫⎨⎬⎩⎭D.11,0,2⎧⎫-⎨⎬⎩⎭【答案】D 【解析】 【分析】分B 为空集和B 不为空集两种情况讨论，分别求出a 的范围，即可得出结果. 【详解】因为集合{1,2}A =-，{|1}B x ax ==，B A ⊆， 若B 为空集，则方程1ax =无解，解得0a =； 若B 不为空集，则0a ≠；由1ax =解得1x a=，所以11a =-或12a =，解得1a =-或12a =，综上，由实数a 的所有可能的取值组成的集合为11,0,2⎧⎫-⎨⎬⎩⎭. 故选D【点睛】本题主要考查由集合间的关系求参数的问题，熟记集合间的关系即可，属于基础题型.2.若1iz i =-+（其中i 是虚数单位），则复数z 的共轭复数在复平面内对应的点位于( ) A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D 【解析】分析：变形1iz i =-+，利用复数代数形式的乘除运算化简，求出z 的坐标即可得结论. 详解：由i 1i z =-+， 得()()21i i 1i 1i i iz -+--+===+-，1z i =-∴复数z 的共轭复数在复平面内对应的点的坐标为()1,1-，位于第四象限，故选D.点睛：本题主要考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，意在考查学生对基础知识掌握的熟练程度，属于简单题. 3.函数()()22ln x xf x x -=+的图象大致为（ ）A. B.C. D.【答案】B 【解析】 【分析】根据函数奇偶性的判断可知函数为偶函数，图象关于y 轴对称，排除D ；根据()0,1x ∈时，()0f x <，排除,A C ，从而得到正确选项.【详解】()f x 定义域为{}0x x ≠，且()()()()22ln 22ln xx x x f x x x f x ---=+-=+=()f x ∴为偶函数，关于y 轴对称，排除D ；当()0,1x ∈时，220x x -+>，ln 0x <，可知()0f x <，排除,A C . 本题正确选项：B【点睛】本题考查函数图象的辨析，关键是能够通过函数的奇偶性、特殊值的符号来进行排除.4.《九章算术⋅衰分》中有如下问题:“今有甲持钱五百六十,乙持钱三百五十，丙持钱一百八十，凡三人俱出关，关税百钱.欲以钱数多少衰出之,问各几何?”翻译为“今有甲持钱560,乙持钱350,丙持钱180,甲、乙、丙三个人一起出关，关税共计100钱,要按个人带钱多少的比例交税,问三人各应付多少税?”则下列说法中错误的是（ ） A. 甲付的税钱最多 B. 乙、丙两人付的税钱超过甲 C. 乙应出的税钱约为32 D. 丙付的税钱最少【答案】B 【解析】 【分析】通过阅读可以知道,A D 说法的正确性,通过计算可以知道,B C 说法的正确性.【详解】甲付的税钱最多、丙付的税钱最少，可知,A D 正确:乙、丙两人付的税钱占总税钱的3511002<不超过甲。

2020年高考数学一模试卷一、选择题1．若集合A＝{x∈Z|﹣1＜x＜2}，B＝{x|x2﹣2x＝0}，则A∪B＝（）A．{0}B．{0，1}C．{0，1，2}D．{﹣1，0，1，2} 2．已知向量a→=(x，2)，b→=(−2，1)，满足a→∥b→，则x＝（）A．1B．﹣1C．4D．﹣43．若复数z满足z1+i=i，则z对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限4．圆（x﹣1）2+y2＝2的圆心到直线x+y+1＝0的距离为（）A．2B．√2C．1D．√22 5．已知a=213，b=312，c=log312，则（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．b＞c＞a6．“a＞1”是“1a＜1”成立的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件7．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的四个面中，面积等于√3的有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个8．过抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）的焦点F 作倾斜角为60°的直线与抛物线C 交于两个不同的点A ，B （点A 在x 轴上方），则|AF||BF|的值为（ ）A ．13B ．43C ．√3D ．39．将函数f （x ）＝sin ωx （ω＞0）的图象向左平移π2个单位长度后得到函数g （x ）的图象，且g （0）＝1，下列说法错误的是（ ） A ．g （x ）为偶函数B ．g(−π2)=0C ．当ω＝5时，g （x ）在[0，π2]上有3个零点 D ．若g （x ）在[0，π5]上单调递减，则ω的最大值为910．已知函数f(x)={e x −1，x ≥0，kx ，x ＜0.若存在非零实数x 0，使得f （﹣x 0）＝f （x 0）成立，则实数k 的取值范围是（ ） A ．（﹣∞，﹣1）B ．（﹣∞，﹣1]C ．（﹣1，0）D ．[﹣1，0）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．11．设数列{a n }的前n 项和为S n ，a n ＝2n ﹣1，则S 5＝ ．12．若x＞1，则函数f(x)=x+1x−1的最小值为，此时x＝．13．已知平面α和三条不同的直线m，n，l．给出下列六个论断：①m⊥α；②m∥α；③m ∥l；④n⊥α；⑤n∥α；⑥n∥l．以其中两个论断作为条件，使得m∥n成立．这两个论断可以是．（填上你认为正确的一组序号）14．如果对某对象连续实施两次变换后的结果就是变换前的对象，那么我们称这种变换为“回归”变换．如：对任意一个实数，变换：取其相反数．因为相反数的相反数是它本身，所以变换“取实数的相反数”是一种“回归”变换．有下列3种变换：①对A⊆R，变换：求集合A的补集；②对任意z∈C，变换：求z的共轭复数；③对任意x∈R，变换：x→kx+b（k，b均为非零实数）．其中是“回归”变换的是．15．已知双曲线M：x2−y23=1的渐近线是边长为1的菱形OABC的边OA，OC所在直线．若椭圆N：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)经过A，C两点，且点B是椭圆N的一个焦点，则a＝．三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知c＝4，A=π3．（Ⅰ）当b＝2时，求a；（Ⅱ）求sinB−√3cosC的取值范围．17．如图，在四棱锥M﹣ABCD中，AB∥CD，∠ADC＝∠BMC＝90°，MB＝MC，AD＝DC=12AB=√2，平面BCM⊥平面ABCD．（Ⅰ）求证：CD∥平面ABM；（Ⅱ）求证：AC⊥平面BCM；（Ⅲ）在棱AM 上是否存在一点E ，使得二面角E ﹣BC ﹣M 的大小为π4？若存在，求出AE AM的值；若不存在，请说明理由．18．在抗击新冠肺炎疫情期间，很多人积极参与了疫情防控的志愿者活动．各社区志愿者服务类型有：现场值班值守，社区消毒，远程教育宣传，心理咨询（每个志愿者仅参与一类服务）．参与A ，B ，C 三个社区的志愿者服务情况如表：社区社区服务总人数服务类型现场值班值守社区消毒 远程教育宣传心理咨询A 100 30 30 20 20B 120 40 35 20 25 C1505040 30 30（Ⅰ）从如表三个社区的志愿者中任取1人，求此人来自于A 社区，并且参与社区消毒工作的概率；（Ⅱ）从如表三个社区的志愿者中各任取1人调查情况，以X 表示负责现场值班值守的人数，求X 的分布列；（Ⅲ）已知A 社区心理咨询满意率为0.85，B 社区心理咨询满意率为0.95，C社区心理咨询满意率为0.9，“ξA＝1，ξB＝1，ξC＝1”分别表示A，B，C社区的人们对心理咨询满意，“ξA＝0，ξB＝0，ξC＝0”分别表示A，B，C社区的人们对心理咨询不满意，写出方差D（ξA），D（ξB），D（ξC）的大小关系．（只需写出结论）19．已知函数f（x）＝（x+a）lnx﹣x+1．（Ⅰ）若曲线y＝f（x）在点（e，f（e））处的切线斜率为1，求实数a的值；（Ⅱ）当a＝0时，求证：f（x）≥0；（Ⅲ）若函数f（x）在区间（1，+∞）上存在极值点，求实数a的取值范围．20．已知椭圆C：y2a2+x2b2=1(a＞b＞0)的离心率为√22，点P（1，0）在椭圆C上，直线y＝y0与椭圆C交于不同的两点A，B．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）直线PA，PB分别交y轴于M，N两点，问：x轴上是否存在点Q，使得∠OQN+∠OQM=π2？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．21．已知有穷数列A：a1，a2，⋯，a k，⋯，a n(n∈N∗且n≥3）．定义数列A的“伴生数列”B：b1，b2，…，b k，…，b n，其中b k={1，a k−1≠a k+1，0，a k−1=a k+1（k＝1，2，…，n），规定a0＝a n，a n+1＝a1．（Ⅰ）写出下列数列的“伴生数列”：①1，2，3，4，5；②1，﹣1，1，﹣1，1．（Ⅱ）已知数列B的“伴生数列”C：c1，c2，…，c k，…，c n，且满足b k+c k＝1（k＝1，2，…，n）．（i）若数列B中存在相邻两项为1，求证：数列B中的每一项均为1；（ⅱ）求数列C所有项的和．参考答案一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．若集合A＝{x∈Z|﹣1＜x＜2}，B＝{x|x2﹣2x＝0}，则A∪B＝（）A．{0}B．{0，1}C．{0，1，2}D．{﹣1，0，1，2}【分析】求出集合A，B，利用并集定义能求出A∪B．解：∵集合A＝{x∈Z|﹣1＜x＜2}＝{0，1}，B＝{x|x2﹣2x＝0}＝{0，2}，∴A∪B＝{0，1，2}．故选：C．【点评】本题考查并集的求法，考查并集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2．已知向量a→=(x，2)，b→=(−2，1)，满足a→∥b→，则x＝（）A．1B．﹣1C．4D．﹣4【分析】根据向量平行坐标的关系，可得等式，解出参数．解：因为a→∥b→，则x＝﹣2×2，解之得x＝﹣4，故选：D．【点评】本题考查向量平行，属于基础题．3．若复数z满足z1+i=i，则z对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】利用虚数单位i的幂运算性质，复数Z＝i（1+i）＝﹣1+i，在复平面内对应点为（﹣1，1）．解：复数Z＝i（1+i）＝i+i2＝﹣1+i，在复平面内对应点为（﹣1，1），在第二象限，故选：B．【点评】本题考查虚数单位i的幂运算性质，复数与复平面内对应点之间的关系．4．圆（x﹣1）2+y2＝2的圆心到直线x+y+1＝0的距离为（）A．2B．√2C．1D．√22【分析】由圆的方程求出圆心坐标，再由点到直线的距离公式求解．解：圆（x﹣1）2+y2＝2的圆心坐标为（1，0），则圆心到直线x+y+1＝0的距离为d=√2=√2=√2．故选：B．【点评】本题考查直线与圆位置关系的应用，考查点到直线的距离公式，是基础题．5．已知a=213，b=312，c=log312，则（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．b＞c＞a【分析】利用对数函数和指数函数的性质求解．解：∵a6=(213)6=22=4，b6=(312)6=33=27，∴b＞a＞1，又∵c=log312=−log32＜0，∴b＞a＞c，故选：C．【点评】本题考查三个数的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数和指数函数的性质的合理运用．6．“a＞1”是“1a＜1”成立的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】先求出不等式1a＜a的解集，结合集合的包含关系判断其充分性和必要性即可．解：∵1a＜a，∴a−1a＞0，a＞0时：a2﹣1＞0，解得：a＞1，a＜0时：a2﹣1＜0，解得：﹣1＜a＜0，∴“a＞1”是“1a＜t”成立的充分不必要条件，故选：A．【点评】本题考查了充分必要条件，考查集合的包含关系，是一道基础题．7．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的四个面中，面积等于√3的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】首先把三视图转换为几何体，进一步求出几何体中各个面的面积．解：根据几何体的三视图转换为几何体为：该几何体为三棱锥体． 如图所示：所以S △ABC =12×2×√3=√3，S △ACD =12×2×√6=√6， S △BCD =12×2×√3=√3，S △ADB =12×2×√3=√3． 故选：C ．【点评】本题考查的知识要点：三视图和几何体之间的转换，几何体的表面积的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．8．过抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）的焦点F 作倾斜角为60°的直线与抛物线C 交于两个不同的点A ，B （点A 在x 轴上方），则|AF||BF|的值为（ ）A ．13B ．43C ．√3D ．3【分析】求出直线的方程，联立方程求出交点A ，B 的坐标，结合抛物线的定义进行求解即可．解：设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）， 由直线l 倾斜角为60°，则直线l 的方程为：y ﹣0=√3（x −p2），即y =√3x −√32p ，联立抛物线方程y 2＝2px ，消去y 并整理，得 12x 2﹣20px +3p 2＝0， 则（2x ﹣3p ）（6x ﹣p ）＝， 得x 1=32p ，x 2=16p ，则|AF |＝x 1+p2=32p +p2=2p ，|BF |＝x 2+p2=p6+p2=2p3，则|AF||BF|=2p2p 3=3，故选：D ．【点评】本题主要考查直线和抛物线的位置关系的应用，利用抛物线的定义是解决本题的关键．9．将函数f （x ）＝sin ωx （ω＞0）的图象向左平移π2个单位长度后得到函数g （x ）的图象，且g （0）＝1，下列说法错误的是（ ） A ．g （x ）为偶函数B ．g(−π2)=0C ．当ω＝5时，g （x ）在[0，π2]上有3个零点 D ．若g （x ）在[0，π5]上单调递减，则ω的最大值为9【分析】求出函数的解析式，判断函数的奇偶性，函数值，函数的零点以及函数的单调性判断选项的正误即可．解：将函数f （x ）＝sin ωx （ω＞0）的图象向左平移π2个单位长度后得到函数g （x ）＝sin （ωx +π2ω）的图象，且g （0）＝1，可得ω＝1，5，… 所以g （x ）＝sin （x +π2）＝cos x ，g（x）为偶函数，正确；g(−π2)=0．正确．当ω＝5时，g（x）＝sin（5x+5π2）＝cos5x，函数的周期为2π5，cos5x＝0，解得5x＝kπ+π2，k∈Z，可得x=π10，x=3π10，x=2π5+π10=π2在[0，π2]上有3个零点，正确．如果ω的最大值为9，则：g（x）＝sin（9x+π2）＝cos9x，在[0，π5]上单调递减，不正确；故选：D．【点评】本题考查命题的真假的判断与应用，涉及三角函数的图象变换，函数的零点以及函数的单调性，是基本知识的考查．10．已知函数f(x)={e x−1，x≥0，kx，x＜0.若存在非零实数x0，使得f（﹣x0）＝f（x0）成立，则实数k的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）B．（﹣∞，﹣1]C．（﹣1，0）D．[﹣1，0）【分析】由题意，存在非零实数x0，使得f（﹣x0）＝f（x0）成立，可知y＝e x﹣1与函数y＝﹣kx（k＜0）有交点．即可求解实数k的取值范围．解：由题意，存在非零实数x0，使得f（﹣x0）＝f（x0）成立，可得k＜0．转化为函数y＝e x﹣1与函数y＝﹣kx有交点．设函数y＝e x﹣1与函数y＝﹣kx有交点（x′，e x′﹣1）．由函数y′＝e x，即切线的斜率k＝e x′可得e x′﹣1＝x′•e x′，可得x′＝0，∵e x′＞﹣k∴1＞﹣k即k＜﹣1．故选：A．【点评】本题考查了分段函数的应用，同时考查了导函数的几何意义的应用，转化思想的能力，属于中档题，二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．11．设数列{a n}的前n项和为S n，a n＝2n﹣1，则S5＝25．【分析】利用等差数列的求和公式即可得出．解：∵a n＝2n﹣1，则S5=5×(1+2×5−1)2=25．故答案为：25．【点评】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．12．若x＞1，则函数f(x)=x+1x−1的最小值为3，此时x＝2．【分析】可令t＝x﹣1＞0，将问题转化为研究函数y＝t+1t+1（t＞0）时的最小值问题，利用导数研究其单调性即可．解：令t＝x﹣1＞0，∵f(x)=x−1+1x−1+1，则原函数化为：y=t+1t+1，（t＞0），∵y′=1−1t2=t2−1t2=(t+1)(t−1)t2，易知t∈（0，1）时，y′＜0，函数递减；t∈（1，+∞）时，y′＞0，函数递增．所以t＝1时，y min＝3，此时x﹣1＝1，故x＝2．故答案为：3，2．【点评】本题考查函数最值的求法以及换元思想在解题中的应用．同时考查学生的数学运算能力，属于基础题．13．已知平面α和三条不同的直线m，n，l．给出下列六个论断：①m⊥α；②m∥α；③m ∥l；④n⊥α；⑤n∥α；⑥n∥l．以其中两个论断作为条件，使得m∥n成立．这两个论断可以是①④（或③⑥）．（填上你认为正确的一组序号）【分析】若①m⊥α，④n⊥α，则由线面垂直的性质得m∥n，若③m∥l，⑥n∥l，则由平行公理得m∥n．解：由平面α和三条不同的直线m，n，l．①m⊥α；②m∥α；③m∥l；④n⊥α；⑤n∥α；⑥n∥l．得：若①m⊥α，④n⊥α，则由线面垂直的性质得m∥n，若③m∥l，⑥n∥l，则由平行公理得m∥n．∴以其中两个论断作为条件，使得m∥n成立．这两个论断可以是①④（或③⑥）．故答案为：①④（或③⑥）．【点评】本题考查线线平行的判断与证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．14．如果对某对象连续实施两次变换后的结果就是变换前的对象，那么我们称这种变换为“回归”变换．如：对任意一个实数，变换：取其相反数．因为相反数的相反数是它本身，所以变换“取实数的相反数”是一种“回归”变换．有下列3种变换：①对A⊆R，变换：求集合A的补集；②对任意z∈C，变换：求z的共轭复数；③对任意x∈R，变换：x→kx+b（k，b均为非零实数）．其中是“回归”变换的是①②．【分析】直接利用信息的应用对关系式进行应用，进一步求出各个具体的结果．解：根据信息的要求：对某对象连续实施两次变换后的结果就是变换前的对象，那么我们称这种变换为“回归”变换．所以①对A⊆R，变换：求集合A的补集为∁R A，所以∁R（∁R A）＝A所以该变换为“回归”变换．②设z＝a+bi（a，b∈R），所以z=a−bi，则z=a+bi，所以该变换为“回归”变换．③对任意x∈R，变换：x→kx+b（k，b均为非零实数），不能变换到原来的数，所以不属于“回归”变换．故答案为：①②．【点评】本题考查的知识要点：信息题型的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．15．已知双曲线M：x2−y23=1的渐近线是边长为1的菱形OABC的边OA，OC所在直线．若椭圆N：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)经过A，C两点，且点B是椭圆N的一个焦点，则a＝√3+12．【分析】先根据题意作出合适的几何图形，设椭圆的另一个焦点为D，根据双曲线的渐近线方程和边长为1的菱形OABC，可求得点A和点D的坐标，从而算出线段|AD|的长，再结合椭圆的定义，即可得解．解：根据题意，可作出如下所示的图形，设点D为椭圆的另一个焦点，连接AD，双曲线M ：x 2−y 23=1的渐近线方程为y =±√3x ，∴∠AOB ＝60°，∵菱形OABC 的边长为1，∴点A 的坐标为(12，√32)，B （1，0），D （﹣1，0），∴|AD |=(12+1)2+(√32)2=√3，而|AB |＝1，由椭圆的定义可知，|AB |+|AD |＝2a ，∴a =√3+12．故答案为：√3+12．【点评】本题考查双曲线和椭圆的几何性质，主要涉及双曲线的渐近线方程、椭圆的定义和焦点，考查学生灵活运用知识的能力和运算能力，属于基础题． 三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知c ＝4，A =π3． （Ⅰ）当b ＝2时，求a ；（Ⅱ）求sinB −√3cosC 的取值范围．【分析】（Ⅰ） 由余弦定理a 2＝b 2+c 2﹣2bc cos A ，代入解出即可得出． （Ⅱ） 由A =π3可知，B +C =2π3，即B =2π3−C ，利用和差公式化简即可得出． 解：（Ⅰ） 由余弦定理a 2＝b 2+c 2﹣2bc cos A ， 得a 2=22+42−2×2×4⋅cos π3=12．所以a =2√3．………… （Ⅱ） 由A =π3可知，B +C =2π3，即B =2π3−C ． sinB −√3cosC =sin(2π3−C)−√3cosC =√32cosC +12sinC −√3cosC =12sinC −√32cosC =sin(C −π3)． 因为B +C =2π3，所以C ∈(0，2π3)，故C −π3∈(−π3，π3)．因此sin(C −π3)∈(−√32，√32)．于是sinB −√3cosC ∈(−√32，√32)．…………【点评】本题考查了解三角形、和差公式、三角函数的单调性、余弦定理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．17．如图，在四棱锥M ﹣ABCD 中，AB ∥CD ，∠ADC ＝∠BMC ＝90°，MB ＝MC ，AD ＝DC =12AB =√2，平面BCM ⊥平面ABCD ． （Ⅰ）求证：CD ∥平面ABM ； （Ⅱ）求证：AC ⊥平面BCM ；（Ⅲ）在棱AM 上是否存在一点E ，使得二面角E ﹣BC ﹣M 的大小为π4？若存在，求出AE AM的值；若不存在，请说明理由．【分析】（I ）由AB ∥CD ，根据线面平行的判定定理证明即可；（II ）取AB 的中点N ，连接CN ，由勾股定理求出BC ＝2，再求出AC ，先证明出AC⊥BC ，再由平面BCM ⊥平面ABCD ，根据面面垂直的性质证明出结论即可；（III ）取BC 的中点O ，连接OM ，ON ，以直线ON ，OB ，OM 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系O ﹣xyz ，假设在棱AM 上存在一点E ，使得二面角E ﹣BC ﹣M 的大小为π4，不妨设AE →=λAM →(0≤λ≤1)，求出平面BCM 和平面EBC 的法向量，利用夹角公式求出λ的值，再求出结论即可．【解答】（I ）证明：因为AB ∥CD ，AB ⊂平面ABM ，CD ⊄平面ABM ， 所以CD ∥平面ABM ；（Ⅱ）证明：取AB 的中点N ，连接CN ，在直角梯形ABCD 中，AN =BN =CD =√2，且CN ⊥AB ， 在Rt △CNB 中，由勾股定理得BC =√CN 2+NB 2=2，由AC 2＝AD 2+DC 2＝4，在△ACB 中，AC 2+BC 2＝AB 2，故AC ⊥BC ， 又因为平面BCM ⊥平面ABCD ， 且平面BCM ∩平面ABCD ＝BC ， 所以AC ⊥平面BCM ；（Ⅲ）解：取BC 的中点O ，连接OM ，ON ， 由ON ∥AC ，所以ON ⊥平面BCM ． 因为BM ＝MC ，所以OM ⊥BC ．如图以直线ON ，OB ，OM 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系O ﹣xyz ， 则M （0，0，1），B （0，1，0），C （0，﹣1，0），A （2，﹣1，0）， AM →=(−2，1，1)，BC →=(0，−2，0)，BA →=(2，−2，0)， 平面BCM 的一个法向量为m →=（1，0，0），假设在棱AM 上存在一点E ，使得二面角E ﹣BC ﹣M 的大小为π4，不妨设AE →=λAM →(0≤λ≤1)，所以BE →=BA →+AE →=(2−2λ，λ−2，λ)， 设平面BCE 的一个法向量为n →=（x ，y ，z ）， 则{n ⋅BC →=0，n ⋅BE →=0， 即 {−2y =0，(2−2λ)x +λz =0， 令x ＝λ，z ＝2λ﹣2，所以n →=（λ，0，2λ﹣2），故|cos ＜m ，n ＞|=|m →⋅n→|m →|⋅|n →||=√22，得λ=23或λ＝2，因为0≤λ≤1，所以λ=23，所以在棱AM 上存在一点E ，使得二面角E ﹣BC ﹣M 的大小为π4，此时AE AM=23．【点评】本题考查了线面平行，线面垂直，面面垂直的判定定理与性质定理等，考查了向量法求二面角的余弦值，考查空间想象能力和数学运算能力，中档题．18．在抗击新冠肺炎疫情期间，很多人积极参与了疫情防控的志愿者活动．各社区志愿者服务类型有：现场值班值守，社区消毒，远程教育宣传，心理咨询（每个志愿者仅参与一类服务）．参与A，B，C三个社区的志愿者服务情况如表：社区社区服务总人数服务类型现场值班值守社区消毒远程教育宣传心理咨询A10030302020 B12040352025 C150********（Ⅰ）从如表三个社区的志愿者中任取1人，求此人来自于A社区，并且参与社区消毒工作的概率；（Ⅱ）从如表三个社区的志愿者中各任取1人调查情况，以X表示负责现场值班值守的人数，求X的分布列；（Ⅲ）已知A社区心理咨询满意率为0.85，B社区心理咨询满意率为0.95，C社区心理咨询满意率为0.9，“ξA＝1，ξB＝1，ξC＝1”分别表示A，B，C社区的人们对心理咨询满意，“ξA＝0，ξB＝0，ξC＝0”分别表示A，B，C社区的人们对心理咨询不满意，写出方差D（ξA），D（ξB），D（ξC）的大小关系．（只需写出结论）【分析】（Ⅰ）记“从上表三个社区的志愿者中任取1人，此人来自于A社区，并且参与社区消毒工作”为事件D，求解概率即可．（Ⅱ）从上表三个社区的志愿者中各任取1人，由表可知：A，B，C三个社区负责现场值班值守的概率分别为310，13，13．X的所有可能取值为0，1，2，3．求出概率得到X的分布，然后求解期望．（Ⅲ）结合条件，判断结果即可．解：（Ⅰ）记“从上表三个社区的志愿者中任取1人，此人来自于A社区，并且参与社区消毒工作”为事件D，P(D)=30100+120+150=337．所以从上表三个社区的志愿者中任取1人，此人来自于A社区，并且参与社区消毒工作的概率为337．（Ⅱ）从上表三个社区的志愿者中各任取1人，由表可知：A，B，C三个社区负责现场值班值守的概率分别为310，13，13．X的所有可能取值为0，1，2，3.P(X=0)=710×23×23=2890=1445，P(X=1)=310×23×23+710×13×23+710×23×13=4090=49，P(X=2)=310×13×23+310×23×13+710×13×13=1990，P(X=3)=310×13×13=390=130．X的分布列为：X0123P1445491990130（Ⅲ）D（ξA）＞D（ξC）＞D（ξB）．【点评】本题考查离散型随机变量的分布列以及期望的求法，考查转化思想以及计算能力，是中档题．19．已知函数f（x）＝（x+a）lnx﹣x+1．（Ⅰ）若曲线y＝f（x）在点（e，f（e））处的切线斜率为1，求实数a的值；（Ⅱ）当a＝0时，求证：f（x）≥0；（Ⅲ）若函数f（x）在区间（1，+∞）上存在极值点，求实数a的取值范围．【分析】（Ⅰ）求出导函数，利用曲线的斜率，求解a的值．（Ⅱ）当a＝0时，f（x）＝xlnx﹣x+1，求出导函数，当x∈（0，1）时，当x∈（1，+∞）时，判断导函数的符号，求解函数的最值，即可．（Ⅲ）由（Ⅰ）知，f′(x)=lnx+ax=xlnx+ax．若a≥0，若a＜0，求解导函数的符号．判断函数的单调性求解函数的最值，推出结果．解：（Ⅰ）因为f（x）＝（x+a）lnx﹣x+1，所以f′(x)=lnx+a x．由题知f′(e)=lne+ae=1，解得a＝0．（Ⅱ）当a＝0时，f（x）＝xlnx﹣x+1，所以f'（x）＝lnx．当x∈（0，1）时，f'（x）＜0，f（x）在区间（0，1）上单调递减；当x∈（1，+∞）时，f'（x）＞0，f（x）在区间（1，+∞）上单调递增；所以f（1）＝0是f（x）在区间（0，+∞）上的最小值．所以f（x）≥0．（Ⅲ）由（Ⅰ）知，f′(x)=lnx+ax=xlnx+ax．若a≥0，则当x∈（1，+∞）时，f'（x）＞0，f（x）在区间（1，+∞）上单调递增，此时无极值．若a＜0，令g（x）＝f'（x），则g′(x)=1x−ax2．因为当x∈（1，+∞）时，g'（x）＞0，所以g（x）在（1，+∞）上单调递增．因为g（1）＝a＜0，而g（e﹣a）＝﹣a+ae a＝a（e a﹣1）＞0，所以存在x0∈(1，e−a)，使得g（x0）＝0．f'（x）和f（x）的情况如下：x（1，x0）x0（x0，1﹣a）f′（x）﹣0+f（x）减函数极小值增函数因此，当x＝x0时，f（x）有极小值f（x0）．综上，a的取值范围是（﹣∞，0）．【点评】本题考查函数的导数的应用，函数的单调性以及函数的最值，考查转化思想以及计算能力，是难题．20．已知椭圆C：y2a2+x2b2=1(a＞b＞0)的离心率为√22，点P（1，0）在椭圆C上，直线y＝y0与椭圆C交于不同的两点A，B．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）直线PA，PB分别交y轴于M，N两点，问：x轴上是否存在点Q，使得∠OQN+∠OQM=π2？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（Ⅰ）由离心率及点P在椭圆上，及a，b，c之间的关系求出a，b的值，进而求出椭圆的方程；（Ⅱ）假设存在x轴上的点Q的坐标，将直线y＝y0代入椭圆方程可得A，B的坐标，求出直线PA，PB的方程，令x＝0求出M，N的坐标，再由∠OQN+∠OQM=π2可得tan∠OQM•tan∠OQN＝1，求出直线NQ，MQ的斜率之积为1，求出Q的坐标．解：（Ⅰ）由题意离心率e =c a =√22，P （1，0）在椭圆C 上，所以b ＝1，b 2＝a 2﹣c 2，可得a 2＝2，所以椭圆的方程为：y 22+x 2＝1； （Ⅱ）由题意设A （x 0，y 0），B （﹣x 0，y 0），则y 022+x 02＝1， 所以直线PA 的方程为：y =y 0x 0−1（x ﹣1），令x ＝0，可得y =−y 0x 0−1，即M （0，−y 0x 0−1）， 直线PB 的方程为：y =y 0−x 0−1（x ﹣1），令x ＝0，可得y =y 0x 0+1，即N （0，y 0x 0+1）， 因为∠OQN +∠OQM =π2，∠OQM =π2−∠OQN ，所以tan ∠OQM ＝tan （π2−∠OQN ）＝cot ∠OQN ， 所以tan ∠OQM •tan ∠OQN ＝1，假设存在Q （m ，0），则k QN •k QM =−y 0x 0−1−m ⋅y 0x 0+1−m =1，所以m 2=−y 02x 02−1=−2(1−x 02)x 02−1=2， 所以m =±√2，所以x 轴上存在Q （√2，0）或（−√2，0）使得∠OQN +∠OQM =π2．【点评】本题考查求椭圆的方程及直线与椭圆的综合，及两角和为π2时与直线斜率的关系，属于中档题．21．已知有穷数列A ：a 1，a 2，⋯，a k ，⋯，a n (n ∈N ∗且n ≥3）．定义数列A 的“伴生数列”B ：b 1，b 2，…，b k ，…，b n ，其中b k ={1，a k−1≠a k+1，0，a k−1=a k+1（k ＝1，2，…，n ），规定a 0＝a n ，a n +1＝a 1．（Ⅰ）写出下列数列的“伴生数列”：①1，2，3，4，5；②1，﹣1，1，﹣1，1．（Ⅱ）已知数列B的“伴生数列”C：c1，c2，…，c k，…，c n，且满足b k+c k＝1（k＝1，2，…，n）．（i）若数列B中存在相邻两项为1，求证：数列B中的每一项均为1；（ⅱ）求数列C所有项的和．【分析】（Ⅰ）直接根据定义求解即可；（Ⅱ）（i）由题意，存在k∈{1，2，…，n﹣1}，使得b k＝b k+1＝1，再令k＝1结合数列B的“伴生数列”一步步推得b k＝b k+1＝1，再根据2≤k≤n﹣1，结合b k＝b k+1＝1即可逆推出b1＝b2＝1，即可得到结论；（ⅱ）首先证明不可能存在k∈{2，…，n﹣1}使得b k﹣1＝b k＝b k+1＝0．分情况分别求解数列C所有项的和即可．解：（Ⅰ）①1，1，1，1，1；②1，0，0，0，1．（Ⅱ）（i）由题意，存在k∈{1，2，…，n﹣1}，使得b k＝b k+1＝1．若k＝1，即b1＝b2＝1时，c1＝c2＝0．于是b n＝b2＝1，b1＝b3＝1．所以c n＝c3＝0，所以b4＝b2＝1．即b2＝b3＝b4＝1．依此类推可得b k＝b k+1＝1（k＝2，3，…，n﹣1）．所以b k＝1（k＝1，2，…，n）．若2≤k≤n﹣1，由b k＝b k+1＝1得c k＝c k+1＝0．于是b k﹣1＝b k+1＝b k＝1．所以c k﹣1＝c k＝0．依此类推可得b1＝b2＝1．所以b k＝1（k＝1，2，…，n）．综上可知，数列B中的每一项均为1（ⅱ）首先证明不可能存在k∈{2，…，n﹣1}使得b k﹣1＝b k＝b k+1＝0．若存在k∈{2，…，n﹣1}使得b k﹣1＝b k＝b k+1＝0，则c k﹣1＝c k＝c k+1＝1．又b k﹣1＝b k+1得c k＝0与已知矛盾．所以不可能存在b k﹣1＝b k＝b k+1＝0，k∈{2，…，n﹣1}．由此及（ⅰ）得数列{b n}的前三项b1，b2，b3的可能情况如下：（1）b1＝b2＝b3＝1时，由（i）可得b k＝1（k＝1，2，…，n）．于是c k＝0（k＝1，2，…，n）．所以所有项的和S＝0．（2）b1＝1，b2＝0，b3＝1时，c2＝0，此时b2+c2＝0与已知矛盾．（3）b1＝1，b2＝0，b3＝0时，c1＝0，c2＝1，c3＝1．于是b n＝b2＝0，b2≠b4＝1．故c n＝1，c4＝0，b5＝b3＝0于是b1≠b n﹣1＝0，c5＝1，b6＝0，于是b1＝b4，b2＝b5，b3＝b6，且b n﹣2＝1，b n﹣1＝0，b n＝0．依此类推b k＝b k+3且n恰是3的倍数满足题意．所以所有项的和S=n−n3=2n3．同理可得b1＝0，b2＝1，b3＝0及b1＝0，b2＝0，b3＝1时，当且仅当n恰是3的倍数时，满足题意．此时所有项的和S=2n 3．综上，所有项的和S＝0或S=2n3（n是3的倍数）．【点评】本题主要考查在新定义下根据数列的递推关系式，研究数列的项以及和，本题的关键点在于对定义的理解，属于难题．。

2020届高三数学第一次模拟考试试题（含解析）第Ⅰ卷(选择题共40分)一、选择题:本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.设集合则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】直接求交集得到答案.【详解】集合，则.故选：.【点睛】本题考查了交集运算，属于简单题.2.若复数，则（）A. B. C. D. 20【答案】B【解析】化简得到，再计算模长得到答案.【详解】，故.故选：.【点睛】本题考查了复数的运算，复数的模，意在考查学生的计算能力.3.下列函数中，值域为R且为奇函数的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】依次判断函数的值域和奇偶性得到答案.【详解】A. ，值域为，非奇非偶函数，排除；B. ，值域为，奇函数，排除；C. ，值域为，奇函数，满足；D. ，值域为，非奇非偶函数，排除；故选：.【点睛】本题考查了函数的值域和奇偶性，意在考查学生对于函数知识的综合应用.4.设等差数列的前项和为，若，则（）A. 10B. 9C. 8D. 7【解析】【分析】根据题意，解得，，得到答案.【详解】，解得，，故.故选：.【点睛】本题考查了等差数列的求和，意在考查学生的计算能力.5.设则以线段为直径的圆的方程是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】计算的中点坐标为，圆半径为，得到圆方程.【详解】的中点坐标为：，圆半径为，圆方程为.故选：.【点睛】本题考查了圆的标准方程，意在考查学生的计算能力.6.设为非零实数，且，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】取，计算知错误，根据不等式性质知正确，得到答案.【详解】，故，，故正确；取，计算知错误；故选：.【点睛】本题考查了不等式性质，意在考查学生对于不等式性质的灵活运用.7.某四棱锥的三视图如图所示，记S为此棱锥所有棱的长度的集合，则（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】如图所示：在边长为的正方体中，四棱锥满足条件，故，得到答案.【详解】如图所示：在边长为的正方体中，四棱锥满足条件.故，，.故，故，.故选：.【点睛】本题考查了三视图，元素和集合的关系，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.8.设为非零向量，则“”是“与共线”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据向量共线的性质依次判断充分性和必要性得到答案.【详解】若，则与共线，且方向相同，充分性；当与共线，方向相反时，，故不必要.故选：.【点睛】本题考查了向量共线，充分不必要条件，意在考查学生的推断能力.9.已知函数的部分图象如图所示，将此图象分别作以下变换，那么变换后的图象可以与原图象重合的变换方式有（）①绕着轴上一点旋转;③以轴为轴作轴对称;④以轴的某一条垂线为轴作轴对称.A. ①③B. ③④C. ②③D. ②④【答案】D【解析】【分析】计算得到，，故函数是周期函数，轴对称图形，故②④正确，根据图像知①③错误，得到答案.【详解】，，，当沿轴正方向平移个单位时，重合，故②正确；，，故，函数关于对称，故④正确；根据图像知：①③不正确；故选：.【点睛】本题考查了根据函数图像判断函数性质，意在考查学生对于三角函数知识和图像的综合应用.实数解，其中，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析】画出函数图像，根据图像知：，，，计算得到答案.【详解】，画出函数图像，如图所示：根据图像知：，，故，且.故.故选：.【点睛】本题考查了函数零点问题，意在考查学生的计算能力和应用能力，画出图像是解题的关键.第Ⅱ卷(非选择题共110分)二、填空题:本大题共5小题，每小题5分，共25分.11.在的展开式中，常数项为________.(用数字作答)【答案】【解析】【分析】【详解】的展开式的通项为：，取得到常数项.故答案为：.【点睛】本题考查了二项式定理，意在考查学生的计算能力.12.若向量满足，则实数的取值范围是____________.【答案】【解析】【分析】根据题意计算，解得答案.【详解】，故，解得.故答案为：.【点睛】本题考查了向量的数量积，意在考查学生的计算能力.13.设双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率为____________.【答案】【解析】【分析】根据渐近线得到，，计算得到离心率.【详解】，一条渐近线方程为：，故，，.故答案为：.【点睛】本题考查了双曲线的渐近线和离心率，意在考查学生的计算能力.14.函数的最小正周期为________;若函数在区间上单调递增，则的最大值为________.【答案】 (1). (2).【解析】【分析】直接计算得到答案，根据题意得到，，解得答案.【详解】，故，当时，，故，解得.故答案为：；.【点睛】本题考查了三角函数的周期和单调性，意在考查学生对于三角函数知识的综合应用.15.在一次体育水平测试中，甲、乙两校均有100名学生参加，其中:甲校男生成绩的优秀率为70%，女生成绩的优秀率为50%;乙校男生成绩的优秀率为60%，女生成绩的优秀率为40%.对于此次测试，给出下列三个结论:①甲校学生成绩的优秀率大于乙校学生成绩的优秀率;②甲、乙两校所有男生成绩的优秀率大于甲、乙两校所有女生成绩的优秀率;③甲校学生成绩的优秀率与甲、乙两校所有学生成绩的优秀率的大小关系不确定.其中，所有正确结论的序号是____________.【答案】②③【解析】【分析】根据局部频率和整体频率的关系，依次判断每个选项得到答案.【详解】不能确定甲乙两校的男女比例，故①不正确；因为甲乙两校的男生的优秀率均大于女生成绩的优秀率，故甲、乙两校所有男生成绩的优秀率大于甲、乙两校所有女生成绩的优秀率，故②正确；因为不能确定甲乙两校的男女比例，故不能确定甲校学生成绩的优秀率与甲、乙两校所有学生成绩的优秀率的大小关系，故③正确.故答案为：②③.【点睛】本题考查局部频率和整体频率的关系，意在考查学生的理解能力和应用能力.三、解答题:本大题共6小题，共85分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.16.如图，在四棱柱中，平面，底面ABCD满足∥BC，且(Ⅰ)求证:平面;(Ⅱ)求直线与平面所成角的正弦值.【答案】(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ)【解析】分析】(Ⅰ)证明，根据得到，得到证明.(Ⅱ)如图所示，分别以为轴建立空间直角坐标系，平面的法向量，，计算向量夹角得到答案.【详解】(Ⅰ)平面，平面，故.，，故，故.，故平面.(Ⅱ)如图所示：分别以为轴建立空间直角坐标系，则，，，，.设平面的法向量，则，即，取得到，，设直线与平面所成角为故.【点睛】本题考查了线面垂直，线面夹角，意在考查学生空间想象能力和计算能力.17.已知满足，且，求的值及的面积.（从①，②，③这三个条件中选一个，补充到上面问题中，并完成解答.）【答案】见解析【解析】【分析】选择①时：,，计算，根据正弦定理得到，计算面积得到答案；选择②时，，，故，为钝角，故无解；选择③时，，根据正弦定理解得，，根据正弦定理得到，计算面积得到答案.详解】选择①时：,，故.根据正弦定理：，故，故.选择②时，，，故，为钝角，故无解.选择③时，，根据正弦定理：，故，解得，.根据正弦定理：，故，故.【点睛】本题考查了三角恒等变换，正弦定理，面积公式，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.18.2019年底，北京2022年冬奥组委会启动志愿者全球招募，仅一个月内报名人数便突破60万，其中青年学生约有50万人.现从这50万青年学生志愿者中，按男女分层抽样随机选取20人进行英语水平测试，所得成绩(单位:分)统计结果用茎叶图记录如下:(Ⅰ)试估计在这50万青年学生志愿者中，英语测试成绩在80分以上的女生人数;(Ⅱ)从选出的8名男生中随机抽取2人，记其中测试成绩在70分以上的人数为X，求的分布列和数学期望;(Ⅲ)为便于联络，现将所有的青年学生志愿者随机分成若干组(每组人数不少于5000)，并在每组中随机选取个人作为联络员，要求每组的联络员中至少有1人的英语测试成绩在70分以上的概率大于90%.根据图表中数据，以频率作为概率，给出的最小值.(结论不要求证明)【答案】(Ⅰ)万；(Ⅱ)分布列见解析，；(Ⅲ)【解析】【分析】(Ⅰ)根据比例关系直接计算得到答案.(Ⅱ)的可能取值为，计算概率得到分布列，再计算数学期望得到答案.(Ⅲ)英语测试成绩在70分以上的概率为，故，解得答案.【详解】(Ⅰ)样本中女生英语成绩在分以上的有人，故人数为：万人.(Ⅱ) 8名男生中，测试成绩在70分以上的有人，的可能取值为：.，，.故分布列为：.(Ⅲ)英语测试成绩在70分以上的概率为，故，故.故的最小值为.【点睛】本题考查了样本估计总体，分布列，数学期望，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.19.设函数其中(Ⅰ)若曲线在点处切线的倾斜角为，求的值; (Ⅱ)已知导函数在区间上存在零点，证明:当时，.【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)证明见解析【解析】【分析】(Ⅰ)求导得到，，解得答案.(Ⅱ)，故，在上单调递减，在上单调递增，，设，证明函数单调递减，故，得到证明.【详解】(Ⅰ)，故，，故.(Ⅱ)，即，存在唯一零点，设零点为，故，即，在上单调递减，在上单调递增，故，设，则，设，则，单调递减，，故恒成立，故单调递减.，故当时，.【点睛】本题考查了函数切线问题，利用导数证明不等式，转化为函数的最值是解题的关键.20.设椭圆，直线经过点，直线经过点，直线直线，且直线分别与椭圆相交于两点和两点.(Ⅰ)若分别为椭圆的左、右焦点，且直线轴，求四边形的面积;(Ⅱ)若直线的斜率存在且不为0，四边形为平行四边形，求证:;(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下，判断四边形能否为矩形，说明理由.【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)证明见解析；(Ⅲ)不能，证明见解析【解析】【分析】(Ⅰ)计算得到故，，，，计算得到面积.(Ⅱ)设为，联立方程得到，计算，同理，根据得到，得到证明.(Ⅲ)设中点为，根据点差法得到，同理，故，得到结论.【详解】(Ⅰ)，，故，，，.故四边形的面积为.(Ⅱ)设为，则，故，设，，故，，同理可得，，故，即，，故.(Ⅲ)设中点为，则，，相减得到，即，同理可得：的中点，满足，故，故四边形不能为矩形.【点睛】本题考查了椭圆内四边形的面积，形状，根据四边形形状求参数，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.21.对于正整数，如果个整数满足，且，则称数组为的一个“正整数分拆”.记均为偶数的“正整数分拆”的个数为均为奇数的“正整数分拆”的个数为.(Ⅰ)写出整数4的所有“正整数分拆”;(Ⅱ)对于给定的整数，设是的一个“正整数分拆”，且，求的最大值;(Ⅲ)对所有的正整数，证明:;并求出使得等号成立的的值.(注:对于的两个“正整数分拆”与，当且仅当且时，称这两个“正整数分拆”是相同的.)【答案】(Ⅰ)，，，，；(Ⅱ)为偶数时，，为奇数时，；(Ⅲ)证明见解析，，【解析】【分析】(Ⅰ)根据题意直接写出答案.(Ⅱ)讨论当为偶数时，最大为，当为奇数时，最大为，得到答案.(Ⅲ)讨论当为奇数时，，至少存在一个全为1的拆分，故，当为偶数时，根据对应关系得到，再计算，，得到答案.【详解】(Ⅰ)整数4的所有“正整数分拆”为：，，，，.(Ⅱ)当为偶数时，时，最大为；当为奇数时，时，最大为；综上所述：为偶数，最大为，为奇数时，最大为.(Ⅲ)当为奇数时，，至少存在一个全为1的拆分，故；当为偶数时，设是每个数均为偶数的“正整数分拆”，则它至少对应了和的均为奇数的“正整数分拆”，故.综上所述：.当时，偶数“正整数分拆”为，奇数“正整数分拆”为，；当时，偶数“正整数分拆”为，，奇数“正整数分拆”为，故；当时，对于偶数“正整数分拆”，除了各项不全为的奇数拆分外，至少多出一项各项均为的“正整数分拆”，故.综上所述：使成立的为：或.【点睛】本土考查了数列的新定义问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.2020届高三数学第一次模拟考试试题（含解析）第Ⅰ卷(选择题共40分)一、选择题:本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.设集合则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】直接求交集得到答案.【详解】集合，则.故选：.【点睛】本题考查了交集运算，属于简单题.2.若复数，则（）A. B. C. D. 20【答案】B【解析】【分析】化简得到，再计算模长得到答案.【详解】，故.故选：.【点睛】本题考查了复数的运算，复数的模，意在考查学生的计算能力.3.下列函数中，值域为R且为奇函数的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】依次判断函数的值域和奇偶性得到答案.【详解】A. ，值域为，非奇非偶函数，排除；B. ，值域为，奇函数，排除；C. ，值域为，奇函数，满足；D. ，值域为，非奇非偶函数，排除；故选：.【点睛】本题考查了函数的值域和奇偶性，意在考查学生对于函数知识的综合应用.4.设等差数列的前项和为，若，则（）A. 10B. 9C. 8D. 7【答案】B【解析】【分析】根据题意，解得，，得到答案.【详解】，解得，，故.故选：.【点睛】本题考查了等差数列的求和，意在考查学生的计算能力.5.设则以线段为直径的圆的方程是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】计算的中点坐标为，圆半径为，得到圆方程.【详解】的中点坐标为：，圆半径为，圆方程为.故选：.【点睛】本题考查了圆的标准方程，意在考查学生的计算能力.6.设为非零实数，且，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】取，计算知错误，根据不等式性质知正确，得到答案.【详解】，故，，故正确；取，计算知错误；故选：.【点睛】本题考查了不等式性质，意在考查学生对于不等式性质的灵活运用.7.某四棱锥的三视图如图所示，记S为此棱锥所有棱的长度的集合，则（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】如图所示：在边长为的正方体中，四棱锥满足条件，故，得到答案.【详解】如图所示：在边长为的正方体中，四棱锥满足条件.故，，.故，故，.故选：.【点睛】本题考查了三视图，元素和集合的关系，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.8.设为非零向量，则“”是“与共线”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据向量共线的性质依次判断充分性和必要性得到答案.【详解】若，则与共线，且方向相同，充分性；当与共线，方向相反时，，故不必要.故选：.【点睛】本题考查了向量共线，充分不必要条件，意在考查学生的推断能力.9.已知函数的部分图象如图所示，将此图象分别作以下变换，那么变换后的图象可以与原图象重合的变换方式有（）①绕着轴上一点旋转;②沿轴正方向平移;③以轴为轴作轴对称;④以轴的某一条垂线为轴作轴对称.A. ①③B. ③④C. ②③D. ②④【答案】D【解析】【分析】计算得到，，故函数是周期函数，轴对称图形，故②④正确，根据图像知①③错误，得到答案.【详解】，，，当沿轴正方向平移个单位时，重合，故②正确；，，故，函数关于对称，故④正确；根据图像知：①③不正确；故选：.【点睛】本题考查了根据函数图像判断函数性质，意在考查学生对于三角函数知识和图像的综合应用.10.设函数若关于的方程有四个实数解，其中，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析】画出函数图像，根据图像知：，，，计算得到答案.【详解】，画出函数图像，如图所示：根据图像知：，，故，且.故.故选：.【点睛】本题考查了函数零点问题，意在考查学生的计算能力和应用能力，画出图像是解题的关键.第Ⅱ卷(非选择题共110分)二、填空题:本大题共5小题，每小题5分，共25分.11.在的展开式中，常数项为________.(用数字作答)【答案】【解析】【分析】的展开式的通项为，取计算得到答案.【详解】的展开式的通项为：，取得到常数项.故答案为：.【点睛】本题考查了二项式定理，意在考查学生的计算能力.12.若向量满足，则实数的取值范围是____________.【答案】【解析】【分析】根据题意计算，解得答案.【详解】，故，解得.故答案为：.【点睛】本题考查了向量的数量积，意在考查学生的计算能力.13.设双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率为____________.【答案】【解析】【分析】根据渐近线得到，，计算得到离心率.【详解】，一条渐近线方程为：，故，，.故答案为：.【点睛】本题考查了双曲线的渐近线和离心率，意在考查学生的计算能力.14.函数的最小正周期为________;若函数在区间上单调递增，则的最大值为________.【答案】 (1). (2).【解析】【分析】直接计算得到答案，根据题意得到，，解得答案.【详解】，故，当时，，故，解得.故答案为：；.【点睛】本题考查了三角函数的周期和单调性，意在考查学生对于三角函数知识的综合应用.15.在一次体育水平测试中，甲、乙两校均有100名学生参加，其中:甲校男生成绩的优秀率为70%，女生成绩的优秀率为50%;乙校男生成绩的优秀率为60%，女生成绩的优秀率为40%.对于此次测试，给出下列三个结论:①甲校学生成绩的优秀率大于乙校学生成绩的优秀率;②甲、乙两校所有男生成绩的优秀率大于甲、乙两校所有女生成绩的优秀率;③甲校学生成绩的优秀率与甲、乙两校所有学生成绩的优秀率的大小关系不确定.其中，所有正确结论的序号是____________.【答案】②③【解析】【分析】根据局部频率和整体频率的关系，依次判断每个选项得到答案.【详解】不能确定甲乙两校的男女比例，故①不正确；因为甲乙两校的男生的优秀率均大于女生成绩的优秀率，故甲、乙两校所有男生成绩的优秀率大于甲、乙两校所有女生成绩的优秀率，故②正确；因为不能确定甲乙两校的男女比例，故不能确定甲校学生成绩的优秀率与甲、乙两校所有学生成绩的优秀率的大小关系，故③正确.故答案为：②③.【点睛】本题考查局部频率和整体频率的关系，意在考查学生的理解能力和应用能力.三、解答题:本大题共6小题，共85分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.16.如图，在四棱柱中，平面，底面ABCD满足∥BC，且(Ⅰ)求证:平面;(Ⅱ)求直线与平面所成角的正弦值.【答案】(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ)【解析】分析】(Ⅰ)证明，根据得到，得到证明.(Ⅱ)如图所示，分别以为轴建立空间直角坐标系，平面的法向量，，计算向量夹角得到答案.【详解】(Ⅰ)平面，平面，故.，，故，故.，故平面.(Ⅱ)如图所示：分别以为轴建立空间直角坐标系，则，，，，.设平面的法向量，则，即，取得到，，设直线与平面所成角为故.【点睛】本题考查了线面垂直，线面夹角，意在考查学生空间想象能力和计算能力.17.已知满足，且，求的值及的面积.（从①，②，③这三个条件中选一个，补充到上面问题中，并完成解答.）【答案】见解析【解析】【分析】选择①时：,，计算，根据正弦定理得到，计算面积得到答案；选择②时，，，故，为钝角，故无解；选择③时，，根据正弦定理解得，，根据正弦定理得到，计算面积得到答案.详解】选择①时：,，故.根据正弦定理：，故，故.选择②时，，，故，为钝角，故无解.选择③时，，根据正弦定理：，故，解得，.根据正弦定理：，故，故.【点睛】本题考查了三角恒等变换，正弦定理，面积公式，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.18.2019年底，北京2022年冬奥组委会启动志愿者全球招募，仅一个月内报名人数便突破60万，其中青年学生约有50万人.现从这50万青年学生志愿者中，按男女分层抽样随机选取20人进行英语水平测试，所得成绩(单位:分)统计结果用茎叶图记录如下:(Ⅰ)试估计在这50万青年学生志愿者中，英语测试成绩在80分以上的女生人数;(Ⅱ)从选出的8名男生中随机抽取2人，记其中测试成绩在70分以上的人数为X，求的分布列和数学期望;(Ⅲ)为便于联络，现将所有的青年学生志愿者随机分成若干组(每组人数不少于5000)，并在每组中随机选取个人作为联络员，要求每组的联络员中至少有1人的英语测试成绩在70分以上的概率大于90%.根据图表中数据，以频率作为概率，给出的最小值.(结论不要求证明)【答案】(Ⅰ)万；(Ⅱ)分布列见解析，；(Ⅲ)【解析】【分析】(Ⅰ)根据比例关系直接计算得到答案.(Ⅱ)的可能取值为，计算概率得到分布列，再计算数学期望得到答案.(Ⅲ)英语测试成绩在70分以上的概率为，故，解得答案.【详解】(Ⅰ)样本中女生英语成绩在分以上的有人，故人数为：万人.(Ⅱ) 8名男生中，测试成绩在70分以上的有人，的可能取值为：.，，.故分布列为：.(Ⅲ)英语测试成绩在70分以上的概率为，故，故.故的最小值为.【点睛】本题考查了样本估计总体，分布列，数学期望，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.19.设函数其中(Ⅰ)若曲线在点处切线的倾斜角为，求的值;(Ⅱ)已知导函数在区间上存在零点，证明:当时，.【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)证明见解析【解析】【分析】(Ⅰ)求导得到，，解得答案.(Ⅱ)，故，在上单调递减，在上单调递增，，设，证明函数单调递减，故，得到证明.【详解】(Ⅰ)，故，，故.(Ⅱ)，即，存在唯一零点，设零点为，故，即，在上单调递减，在上单调递增，故，设，则，设，则，单调递减，，故恒成立，故单调递减.，故当时，.【点睛】本题考查了函数切线问题，利用导数证明不等式，转化为函数的最值是解题的关键.20.设椭圆，直线经过点，直线经过点，直线直线，且直线分别与椭圆相交于两点和两点.(Ⅰ)若分别为椭圆的左、右焦点，且直线轴，求四边形的面积;(Ⅱ)若直线的斜率存在且不为0，四边形为平行四边形，求证:;(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下，判断四边形能否为矩形，说明理由.【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)证明见解析；(Ⅲ)不能，证明见解析【解析】【分析】(Ⅰ)计算得到故，，，，计算得到面积.(Ⅱ)设为，联立方程得到，计算，同理，根据得到，得到证明.(Ⅲ)设中点为，根据点差法得到，同理，故，得到结论.【详解】(Ⅰ)，，故，，，.故四边形的面积为.(Ⅱ)设为，则，故，设，，故，，同理可得，，故，即，，故.(Ⅲ)设中点为，则，，相减得到，即，同理可得：的中点，满足，故，故四边形不能为矩形.【点睛】本题考查了椭圆内四边形的面积，形状，根据四边形形状求参数，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.21.对于正整数，如果个整数满足，且，则称数组为的一个“正整数分拆”.记均为偶数的“正整数分拆”的个数为均为奇数的“正整数分拆”的个数为.(Ⅰ)写出整数4的所有“正整数分拆”;(Ⅱ)对于给定的整数，设是的一个“正整数分拆”，且，求的最大值;(Ⅲ)对所有的正整数，证明:;并求出使得等号成立的的值.(注:对于的两个“正整数分拆”与，当且仅当且时，称这两个“正整数分拆”是相同的.)【答案】(Ⅰ)，，，，；(Ⅱ)为偶数时，，为奇数时，；(Ⅲ)证明见解析，，【解析】【分析】(Ⅰ)根据题意直接写出答案.(Ⅱ)讨论当为偶数时，最大为，当为奇数时，最大为，得到答案.(Ⅲ)讨论当为奇数时，，至少存在一个全为1的拆分，故，当为偶数时，根据对应关系得到，再计算，，得到答案.【详解】(Ⅰ)整数4的所有“正整数分拆”为：，，，，.(Ⅱ)当为偶数时，时，最大为；当为奇数时，时，最大为；综上所述：为偶数，最大为，为奇数时，最大为.(Ⅲ)当为奇数时，，至少存在一个全为1的拆分，故；当为偶数时，设是每个数均为偶数的“正整数分拆”，则它至少对应了和的均为奇数的“正整数分拆”，故.综上所述：.当时，偶数“正整数分拆”为，奇数“正整数分拆”为，；当时，偶数“正整数分拆”为，，奇数“正整数分拆”为，故；当时，对于偶数“正整数分拆”，除了各项不全为的奇数拆分外，至少多出一项各项均为的“正整数分拆”，故.综上所述：使成立的为：或.【点睛】本土考查了数列的新定义问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.。

精品文档2020 年 4 月开学摸底考（新课标卷）高三数学（理）（考试时间：120 分钟试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．4．测试范围：高中全部内容．一、选择题（本大题共12 小题，每小题 5 分，共60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1．已知集合A2, 1,0,1,2 ，B x | y x ，则A I B（）A．1,2B．0,1,2C．2,1D．2, 1,02．已知复数z a i a R 是纯虚数，则a的值为（）2i11C．2D．2A ．B．223．已知 a 3ln2， b2ln3 ， c3ln 2 ，则下列选项正确的是（）A ．B．C．D．4．已知函数f (x)1），则 y= f (x) 的图象大致为（x ln x 1A ．B ．C ．D ．uuuvuuuv1uuuvuuuvuuuv ，ABAC ，则（）5．在 ABC中， D 为 BC 上一点， E 是 AD 的中点，若 BDDC CE31B ．17D ．7A ．3C ．6366．已知数列 { a n } 满足 a 1 1， a 21 ，若 a n a n 1 2a n 1 3a n 1an 1n 2, nN * ，则数列 { a n } 的通3项 a n（）1B ．1C ．1D ．1 A ． n12n 12n 1 123n 17．已知函数f ( x) 2sin(x)(06,) 的图象经过点 ( , 2) 和 ( 2, 2) .若函数263g( x)f ( x) m 在区间 [,0] 上有唯一零点，则实数 m 的取值范围是（ ）2A ． ( 1,1]B ． { 1}U(1,1]2 2 C ． (1,1]D ． { 2} U(1,1]28．已知 A3,2 ，若点 P 是抛物线 y 28x 上任意一点，点 Q 是圆 (x2) 2 y 2 1上任意一点，则PAPQ 的最小值为 ()A ． 3B ． 4C ． 5D ． 69．如图为我国数学家赵爽约3世纪初在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在提供 5 种颜色给其中 5 个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不同，则区域涂色不相同的概率为A ．B．C．D．10．已知两个半径不等的圆盘叠放在一起（有一轴穿过它们的圆心），两圆盘上分别有互相垂直的两条直径将其分为四个区域，小圆盘上所写的实数分别记为x1, x2 , x3, x4，大圆盘上所写的实数分别记为y1, y2 , y3 , y4,如图所示 .将小圆盘逆时针旋转i i1,2,3,4次，每次转动90，记T i i 1,2,3,4 为转动 i次后各区域内两数乘积之和，例如 T1x1 y2x2 y3x3 y4x4 y1.若 x1 +x2+x3x40 ， y1 +y2 +y3 +y40 ，则以下结论正确的是A ．T1, T2,T3,T4中至少有一个为正数B．T1,T2, T3,T4中至少有一个为负数C．T1, T2,T3,T4中至多有一个为正数D．T1,T2, T3,T4中至多有一个为负数11．已知集合A={1 ， 2， 3， 4， 5， 6， 7， 8， 9），在集合 A 中任取三个元素，分别作为一个三位数的个位数，十位数和百位数，记这个三位数为，现将组成的三个数字按从小到大排成的三位数记为（），按从大到小排成的三位数记为D（）（例如＝219，则（）＝129，D（）＝921），阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，任意输入一个，则输出 b 的值为（）A ． 792B． 693C． 594D． 49512．如下图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，点E、F分别为棱BB1， CC1的中点，点 O 为上底面的中心，过 E、 F、 O 三点的平面把正方体分为两部分，其中含 A1的部分为 V1，不含 A1的部分为 V2，连接 A1和 V2的任一点 M ，设A1M与平面A1B1C1D1所成角为，则 sin 的最大值为（）．A ．2B．2 5C．2 6D．2 62556二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）13．已知函数 f x ln 1 x2x 1 ， f a 4 ，则 f a________．14．已知随机变量X 服从正态分布N 2,1 ，若P X a 2 P X 2a 3 ，则a__________ ．精品文档15．已知双曲线x2y2中， A1 , A2是左、右顶点， F 是右焦点，B是虚轴的上端点．若在2b2 1(a 0,b 0)a线段 BF 上（不含端点）存在不同的两点P i (i 1,2)uuuuv uuuuv，使得 PA i 1PA i 2 0 ，则双曲线离心率的取值范围是____________.16．四面体 A BCD 中，AB底面 BCD ，AB BD 2 ，CB CD 1 ，则四面体A BCD 的外接球的表面积为______三、解答题（本大题共 6 小题，共70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）1n 1满足 b n 2n a n.17（．本小题满分12 分）已知数列a n的前n项和S n a n 2 n N *，数列b n2（Ⅰ）求证：数列b n是等差数列，并求数列a n的通项公式；（Ⅱ）设 c nn n1c n的前n项和为T n，求满足T n124n N *的 n 的最大nn a n，数列2n 1 a n 163值 .18．（本小题满分12 分）某种大型医疗检查机器生产商，对一次性购买 2 台机器的客户，推出两种超过质保期后两年内的延保维修优惠方案：方案一：交纳延保金7000 元，在延保的两年内可免费维修 2 次，超过2 次每次收取维修费2000 元；方案二：交纳延保金10000 元，在延保的两年内可免费维修 4 次，超过 4 次每次收取维修费1000 元.某医院准备一次性购买 2 台这种机器．现需决策在购买机器时应购买哪种延保方案，为此搜集并整理了50 台这种机器超过质保期后延保两年内维修的次数，得下表：维修次数0123台数5102015以这 50 台机器维修次数的频率代替 1 台机器维修次数发生的概率，记X表示这2台机器超过质保期后延保的两年内共需维修的次数．（1）求 X 的分布列；（2）以所需延保金及维修费用的期望值为决策依据，医院选择哪种延保方案更合算？19．（本小题满分 12分）如图，在四棱柱ABCD A1 B1C1 D1中，侧棱A1 A 底面ABCD，AB AC ，AB 1，AC AA12，AD CD5，且点 M 和N分别为B1C和D1D 的中点.（1）求证：MN / /平面ABCD；（ 2）求二面角D1AC B1的正弦值；（ 3）设E为棱A1B1上的点，若直线NE 和平面 ABCD 所成角的正弦值为1，求线段A1E的长. 320．（本小题满分12 分）已知 A x1 , y1 , B x2 , y2是抛物线 C : x2 2 py p 0 上不同两点.（ 1）设直线l : y py x 1，且直线 l : yp与 y 轴交于点M，若A, B两点所在的直线方程为恰好平44分AFB，求抛物线 C 的标准方程.（ 2）若直线AB与x轴交于点P，与y轴的正半轴交于点Q，且y1 y2p2，是否存在直线AB ，使得4113PA PB PQ？若存在，求出直线AB 的方程；若不存在，请说明理由.21．（本小题满分12 分）已知函数 f x ln x 1 x2ax a R ， g x e x3 x2x .22（1）讨论f x的单调性；（ 2）定义：对于函数 f x ，若存在x0，使f x0x0成立，则称x0为函数f x 的不动点.如果函数F x f x g x 存在不动点，求实数 a 的取值范围.请考生在第22、 23 两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分．22．（本小题满分10 分）选修4-4：坐标系与参数方程x 3t x 2 2cos 在直角坐标系 xOy 中，直线l的参数方程为（ t 为参数），曲线 C1的参数方程为2siny3t y（为参数），以该直角坐标系的原点O 为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2 的极坐标方程为 2 3cos2sin．（1）分别求曲线C1的极坐标方程和曲线C2的直角坐标方程；（2）设直线l交曲线C1于O，A两点，交曲线C2于O，B两点，求| AB |的长．23．（本小题满分10 分）选修4-5：不等式选讲已知 a 0， b0， c 0 设函数 f (x)x b x c a ， x R（ I ）若a b c1，求不等式 f ( x)5的解集；（ II ）若函数 f(x) 的最小值为1，证明：149（ a b c ）a b b c18c a一、选择题（本大题共12 小题，每小题 5 分，共60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1．已知集合A2,1,0,1,2 ，B x | y x ，则A I B（）A．1,2B．0,1,2C．2,1D．2,1,0【答案】 D【解析】因为A2, 1,0,1,2, B x x0，所以 AI B2,1,0.故选 D.2．已知复数z a i a R是纯虚数，则 a 的值为（）2i1B．1C．2D．2A ．2 2【答案】 A【解析】 Q z a i a i2i2a 1 2ai 是纯虚数2i2i2i552a151，解得： a2a 本题正确选项： A0253．已知 a 3ln2 ， b 2ln3， c3ln 2 ，则下列选项正确的是（）A．B．C．D．【答案】 D【解析】，，，∵ 6π＞0，∴ a， b， c 的大小比较可以转化为的大小比较．设 f（ x），则f′（x），当 x＝ e 时， f′（ x）＝ 0，当 x＞ e 时， f′（x）＞ 0，当 0＜ x＜ e 时， f′（ x）＜ 0∴ f （x）在（ e， +∞）上， f（ x）单调递减，∵ e＜ 3＜π＜ 4∴，∴ b＞c＞a，故选：D．14．已知函数 f (x)，则y= f (x)的图象大致为（）x ln x1A．B．C．D．【答案】 A【解析】由于f11220，排除 B 选项.2112ln 1 ln 222由于 f e2, f e22， f e f e2，函数单调递减，排除C选项.e2e23由于 f e10021010 ，排除D选项.故选A.e100uuuv uuuv uuuv uuuv uuuv 5．在ABC中，D为BC上一点，E是AD的中点，若BDDC，CE1 AB AC ，则31B．17D．7A ．3C．636【答案】 B 精品文档（）精品文档uuur 1 uuur uuuruuur1 uuur1 uuur 1 uuur1 uuur【解析】 CE 3 CB CAAC3 CB3 CA3 CD 3CA ，因为 E 是 AD 的中点， 所以1 1 ， 1 1 ，解得1 , 5 ， 1 .故选 B.3 2 3 22636．已知数列 { a n } 满足 a 1 1， a 21 ，若 a nan 12a n 13a n 1an 1n 2, n N * ，则数列 { a n } 的通3项 a n（ ）1111A．2n 1B ．2n 1C ．3n 1D ．2n 1 1【答案】 B【解析】 a n a n 12a n a n 1 3a n 1 a n 1 , 1 2 3 , 1 1 2(11 ) ,an 1an 1a nan 1a na nan 111则an 1a n 2 ,数列 11 是首项为 2，公比为2 的等比数列，11a na n 1a n an 11122n 12n ，利用叠加法，a n 1 a n1 ( 1 1 ) ( 1 1 ) ...... ( 1 1 ) 1 222 .......2n 1 ，a 1a 2a 1a 3a 2a n an 11 2n 1 2n 1 ，则 a n 1 1 .选 B.a n 2 12n7．已知函数f ( x)2sin( x)(06,) 的图象经过点 ( ,2)和(2, 2) .若函数2 63g( x)f ( x) m 在区间 [2 ,0] 上有唯一零点，则实数m 的取值范围是（）A ． ( 1,1]B ． { 1}U(1,1]2 2C ． (1,1]D ． { 2} U( 1,1]【答案】 D【解析】由题意得21N，得T，故24k2，因为0 6 ，36k T ，kT22k 1k N ，所以2.由f62sin32 ，得2k，因为2，故，所以326f x2sin2x，从而当 x,052x，令 t2x，则由题意得6时，626662sint m 0在 t 5,上有唯一解，故由正弦函数图象可得m1或1m16222，解得62m21,1故选D.8．已知A 3,2，若点P是抛物线y28x 上任意一点，点Q 是圆(x2) 2y21上任意一点，则PA PQ 的最小值为()A ． 3B． 4C． 5D． 6【答案】 B【解析】抛物线 y28x 的焦点F 2,0，准线l：x 2 ，圆 (x 2) 2y21的圆心为F 2,0，半径r 1 ，过点 P 作PB垂直准线l，垂足为 B ，由抛物线的定义可知PB PF |，则 PA PQ PA PF r PA PB1，当 A,P,B三点共线时PA PB 取最小值 3 2 5，PA PQ PA PB 1 5 1 4．即有 PA PQ 取得最小值4，故选 B．9．如图为我国数学家赵爽约3世纪初在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在提供 5 种颜色给其中 5 个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不同，则区域涂色不相同的概率为A．B．C．D．【答案】 D【解析】提供 5 种颜色给其中 5 个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不同，根据题意，如图，设 5 个区域依次为,分 4 步进行分析：，对于区域，有 5 种颜色可选；，对于区域与区域相邻，有 4 种颜色可选；，对于区域，与区域相邻，有 3 种颜色可选；，对于区域，若与颜色相同，区域有3种颜色可选，若与颜色不相同，区域有2种颜色可选，区域有2种颜色可选，则区域有种选择，则不同的涂色方案有种，其中，区域涂色不相同的情况有：，对于区域，有 5 种颜色可选；，对于区域与区域相邻，有 4 种颜色可选；，对于区域与区域相邻，有 2 种颜色可选；，对于区域，若与颜色相同，区域有2种颜色可选，若与颜色不相同，区域有2种颜色可选，区域有1种颜色可选，则区域有种选择，不同的涂色方案有种，区域涂色不相同的概率为,故选 D．10．已知两个半径不等的圆盘叠放在一起（有一轴穿过它们的圆心），两圆盘上分别有互相垂直的两条直径将其分为四个区域，小圆盘上所写的实数分别记为x1, x2 , x3 , x4，大圆盘上所写的实数分别记为y1, y2 , y3 , y4,如图所示 .将小圆盘逆时针旋转i i 1,2,3,4 次，每次转动90，记 T i i 1,2,3,4为转动i次后各区域内两数乘积之和，例如T1x1 y2x2 y3x3 y4x4 y1.若 x1 +x2 +x3x40 ，y1 +y2 +y3 +y40 ，则以下结论正确的是A ．T1, T2,T3,T4中至少有一个为正数B．T1,T2, T3,T4中至少有一个为负数C．T1, T2,T3,T4中至多有一个为正数D．T1,T2, T3,T4中至多有一个为负数【答案】 A【解析】根据题意可知：（x1+ x2+x3x4）（ y1 +y2 +y3 +y4）>0,又（ x1 +x2 + x3x4）（ y1+y2 +y3 +y4）去掉括号即得：（ x1 +x2 +x3x4）（ y1 +y2 +y3 +y4）= T1T2T3T4>0,所以可知 T1 ,T2 ,T3, T4中至少有一个为正数，故选A11．已知集合A={1 ， 2， 3， 4， 5， 6， 7， 8， 9），在集合 A 中任取三个元素，分别作为一个三位数的个位数，十位数和百位数，记这个三位数为，现将组成的三个数字按从小到大排成的三位数记为（），按从大到小排成的三位数记为D（）（例如＝219，则（）＝129，D（）＝921），阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，任意输入一个，则输出 b 的值为（）A ． 792B． 693C． 594D． 495【答案】 D【解析】试题分析： A，如果输出的值为792，则，不满足题意．B，如果输出的值为693，则，，不满足题意．C，如果输出的值为594，则，不满足题意．D ，如果输出的值为495，则，，满足题意．故选D．12．如下图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，点E、F分别为棱BB1， CC1的中点，点 O 为上底面的中心，过 E、 F、 O 三点的平面把正方体分为两部分，其中含 A1的部分为 V1，不含A1的部分为 V2，连接 A1和 V2的任一点 M ，设A1M与平面 A1 B1C1D1所成角为，则 sin 的最大值为（）．A ．2B．2 5C．2 6D．2 62556【答案】 B【解析】连接EF，因为 EF//面 ABCD, 所以过 EFO 的平面与平面ABCD 的交线一定是过点O且与EF平行的直线，过点O 作 GH //BC 交 CD 于点 G,交 AB 于 H 点，则 GH //EF,连接 EH，FG,则平行四边形 EFGH 为截面，则五棱柱 A1B1 EHA D1C1 FGD 为 V1，三棱柱EBH -FCG为 V2，设M点为 V2的任一点，过M 点作底面 A1 B1C1D1的垂线，垂足为N，连接A1N ,则MA1N即为A1M与平面A1B1C1D1所成的角，所以MN,要使α的正弦最大，必须 MN 最大，A1M最小，当点 M 与点 H 重合时符合MA1 N =α，因为sinα=A1M题意，故 sin α的最大值为MN=HN=25,故选B A1M A1H5二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）13．已知函数 f x ln 1 x2x 1 ， f a 4 ，则 f a________．【答案】2【解析】因为 f x f x ln 1 x2x 1 ln 1 x2x 1 ln 1 x2x22 2 ，f a f a 2 ，且 f a 4 ，则 f a 2 .故答案为-214．已知随机变量X 服从正态分布N 2,1 ，若P X a 2 P X 2a 3 ，则a__________ ．【答案】 1【解析】由正态分布的性质可得正态分布的图像对称轴为X 2 ，a22a3a 1.故答案为1．结合题意有：22,15．已知双曲线x2y20,b 0)中， A1 , A2是左、右顶点， F 是右焦点，B是虚轴的上端点．若在22 1(aa b线段 BF 上（不含端点）存在不同的两点P (i 1,2)uuuuv uuuuv ，使得PA i 1 PA i 2 0 ，则双曲线离心率的取值范围是i____________.【答案】2，512【解析】设 c 为半焦距，则F c,0 ，又 B 0,b ，所以 BF : bxcy bc 0，uuuur uuuur以 A 1 A 2 为直径的圆的方程为e O ： x2y 2 a 2 ，因为 PA i 1 PA i 2 0 ，i1,2 ，所以 e O 与线段 BF 有两个交点（不含端点） ，bcac 4 3a 2c 2a4e 4 3e 21 0 所以b 2c 2即2a 2，故，c 2e 2 2b a解得 2 e5 1.故填2，5 1.2216．四面体A BCD 中， AB 底面 BCD ， AB BD2 ， CB CD 1 ，则四面体A BCD 的外接球的表面积为 ______【答案】 4【解析】如图，在四面体A BCD 中， AB 底面 BCD ， ABBD 2， CB CD 1，可得BCD 90 ，补形为长方体，则过一个顶点的三条棱长分别为1， 1，2 ，则长方体的对角线长为1212 ( 2) 2 2，则三棱锥 A BCD 的外接球的半径为 1．其表面积为 412 4 ．故答案为： 4 ．三、解答题（本大题共6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（本小题满分 12 分）1 n 1b n 满足 b n 2n a n .已知数列a n 的前 n 项和 S na n2 n N * ，数列2（Ⅰ）求证：数列b n 是等差数列，并求数列a n 的通项公式；（Ⅱ）设 c nn n1c n 的前 n 项和为 T n ，求满足 T n124 n N * 的 n 的最大nn a n，数列 2 n 1 a n 163值 .n 1【解析】 (Ⅰ ) Q S n a n12 n N ，2n 21n 1当 n2时，S n 1 12 ，a nS nS n 1anan 1an 12，2化为 2n a n 2n 1 a n 11，Q b n2n a n , b nb n 1 1 ，即当 n 2时 , b n b n 1 1 ，令 n 1 ,可得 Sa 1 2 a ,即 1.a 11112又 b 1 2a 1 1 , 数列 b n 是首项和公差均为 1 的等差数列 .于是 b n1 n 1 1 nna nn2 a n ，n .2( Ⅱ)由( Ⅰ )可得c nn n 12 nn n nn 12n 12n 12n 1112n 1 2n 1 1 2,2n 1 2n 1 1T n1111 111242 11 23 1...1 2n 1 12 1,221222n2n 1 163可得 2n 164 26 ， n 5 ，因为 n 是自然数，所以 n 的最大值为 4.18．（本小题满分 12 分）某种大型医疗检查机器生产商，对一次性购买2 台机器的客户，推出两种超过质保期后两年内的延保维修优惠方案：方案一：交纳延保金 7000 元，在延保的两年内可免费维修2 次，超过 2 次每次收取维修费2000 元；方案二：交纳延保金 10000 元，在延保的两年内可免费维修4 次，超过 4 次每次收取维修费 1000元 . 某医院准备一次性购买2 台这种机器．现需决策在购买机器时应购买哪种延保方案，为此搜集并整理了50台这种机器超过质保期后延保两年内维修的次数，得下表：维修次数0 1 2 3台数5 10 20 15以这 50 台机器维修次数的频率代替1 台机器维修次数发生的概率， 记 X 表示这2 台机器超过质保期后延保的两年内共需维修的次数．（ 1）求 X 的分布列；（ 2）以所需延保金及维修费用的期望值为决策依据，医院选择哪种延保方案更合算？【解析】（Ⅰ） X 所有可能的取值为0，1， 2，3， 4，5， 6，P X 0 1 11， P X11 1 21，PX211212 3 ，1010100105255551025P X 3 1 3212211，P X 42 2 3127 ，101055505510525P X 52326， P X339，5106101002510∴ X 的分布列为X012345611311769 P2525502525100 100（Ⅱ）选择延保一，所需费用Y1元的分布列为：Y170009000110001300015000P 1711769 100502525100EY117700011900071100061300091500010720（元）.100502525100选择延保二，所需费用Y2元的分布列为：Y2100001100012000P 6769 10025100EY26710000611000910420 （元）. 1002512000100∵ EY EY，∴该医院选择延保方案二较合算.19．（本小题满分12 分）如图，在四棱柱ABCD A1 B1C1 D1中，侧棱 A1 A底面ABCD，AB AC ，AB 1，AC AA12， AD CD5，且点M和N分别为B1C和D1D的中点 .（1）求证：MN / /平面ABCD；（ 2）求二面角 D1AC B1的正弦值；（ 3）设 E 为棱 A1B1上的点，若直线NE和平面ABCD所成角的正弦值为1，求线段 A1E 的长. 3【解析】如图，以A为原点建立空间直角坐标系，依题意可得A(0,0,0),B(0,1,0), C (2,0,0), D (1, 2,0) ，又因为 M , N 分别为B1C和 D1D 的中点，得M 1,1,1 , N (1, 2,1). 2r uuuur5,0 ，（Ⅰ）证明：依题意，可得n (0,0,1) 为平面ABCD的一个法向量，MN0,2 uuuur r由此可得，MN n 0，又因为直线 MN 平面 ABCD ，所以 MN / / 平面 ABCD精品文档urur uuuurn 1 AD 1 0（Ⅱ），设n 1( x, y, z) 为平面 ACD 1 的法向量，则 { uruuur ，即n 1 ACx 2 y 2z 0ur(0,1,1)，{，不妨设 z1，可得 n 12xuuruur uuuruuur( x, y, z) 为平面 ACB 1n 2 AB 1 0 (0,1,2)y 2z 0设n 2的一个法向量，则 { uur uuur 0，又 AB 1，得 { ，不妨设n 2 AC2x 0uurz 1，可得 n 2(0, 2,1)，ur uurur uurn 1 n 210ur uur310 ，因此有 cos n 1 , n 2uruur，于是sin n 1, n 2n 1 n 21010所以二面角 D 1AC B 1 的正弦值为310 .uuur uuuur10uuur（Ⅲ）依题意，可设A 1EA 1B 1，其中[0,1] ，则 E(0, ,2) ，从而 NE( 1,2,1) ，r (0,0,1) 为平面 ABCD 的一个法向量，由已知得又 nuuur r uuur r 1 1NE n2cos NE ,n uuur r，整理得43 0 ，( 1)2 ( 2)2 12NE n 3又因为[0,1] ，解得7 2 ，所以线段 A 1E 的长为7 2 .20．（本小题满分 12 分）已知 Ax 1 , y 1 , B x 2 , y 2 是抛物线 C : x 2 2 py p 0 上不同两点 .（ 1）设直线 l : ypy x 1，且直线 l : yp 与 y 轴交于点 M ，若 A, B 两点所在的直线方程为恰好平44分 AFB ，求抛物线 C 的标准方程 .（ 2）若直线 AB 与 x 轴交于点 P ，与 y 轴的正半轴交于点 Q ，且 y 1 y 2p 2 ，是否存在直线 AB ，使得411 3 AB 的方程；若不存在，请说明理由.PAPB？若存在，求出直线PQ【解析】（1）设 A x 1 , y 1 , B x 2 , y 2, M 0, px 22 py2px 2p0 ，，由 {，消去 y 整理得 x24y x 14p 2 8 p 0p则 { x 1 x 2 2 p ， ∵直线 y AFB ， ∴ k AF k BF0 ，平分x 1x 2 2 p 4∴y1p y 2 p，即：x 11px 2 1 pp x 1 x 24 44421 0 ，x 1x 2x 1x 24 x 1 x 2∴ p4 ，满足0 ，∴抛物线 C 标准方程为 x 2 8y ．（ 2）由题意知，直线AB 的斜率存在，且不为零，设直线 AB 的方程为： ykxb(k0， b0) ，y kx b4p 2 k 2 8 pb 02pkx2pb0， ∴{x 1x 2 2 pk由 { 2 ，得 x 2 ，x 2 pyx 1x 22 pb2 22pb 2∴y 1 y 2x 1 ?x 2b 2 ，4p 22p 2p∵y 1 y 2p 2 ， ∴ b 2 p 2 ， ∵ b 0 ， ∴ b p ．442∴直线 AB 的方程为： ykxp．2AB ，使得11 3PQPQ 假设存在直线PBPQ ，即PA3 ，PAPB作 AA x 轴， BB x 轴，垂足为A 、B ，∴ PQPQOQ OQ pp p y 1 y 2 2 2 ，PAPB AABB·y 1y 22 y 1y 2∵ y 1 y 2 k x 1 x 2 p 2pk 2p ， y 1y 2p 2，PQ PQ p 2pk 2 p21 ∴PAPB2·p 24k2，由4k22 3 ，得 k，4211 3 1 x p ． 故存在直线 AB ，使得PB，直线 AB 方程为 yPAPQ2 221 ．（本小题满分12 分）已知函数 f xln x1 x2 ax a R ， g xe x 3 x 2x .22（ 1）讨论 f x的单调性；（ 2）定义：对于函数f x ，若存在 x 0 ，使 f x 0x 0 成立，则称 x 0 为函数f x 的不动点 .如果函数F x f x g x 存在不动点，求实数a 的取值范围 .【解析】 (1) fx 的定义域为 0,x 2 ax 1， f xx 0 ，x对于函数 yx 2 ax 1 0 ，①当a 2 4 0 时，即 2 a 2 时， x 2 ax 1 0 在 x 0 恒成立 .fx 2 ax10,恒成立 .f x 在 0,为增函数；xx0 在②当0 ，即 a 2 或 a 2 时，当 a2 时，由 f x0 ，得 xaa 24或xa a 24，0aa 2 4 aa 2 4 ，222 2f x 在 0,aa 2 4 为增函数， aa 2 4 , a a 2 4 减函数 .222aa 2 4 , 为增函数，2当 a2x2ax 10,恒成立，时，由 f x0 在xf x 在 0,为增函数。

2021届中学高三数学高考模拟考试卷一创 作人：历恰面 日 期： 2020年1月1日一、选择题：〔本大题一一共10小题，每一小题5分，一共计50分〕1、集合},159|),{(},4)},{(2222=+==+=y x y x N y x y x M 那么有 〔 〕 A ．N M ⊆ B ．N M ⊇ C ．Φ=⋂N M D ．M N M =⋂ 2、圆C 与圆22(1)1x y +-=关于直线1x y +=对称，那么圆C 的方程为〔 〕A ． 22(1)1x y ++= B ． 22(1)1x y ++= C ． 22(1)1x y -+= D. ．22(1)1x y +-= 3、给出下面四个命题：①“直线a 、b 为异面直线〞的充分非必要条件是：直线a 、b 不相交； ②“直线l 垂直于平面α内所有直线〞的充要条件是：l ⊥平面α； ③“直线a ⊥b 〞的充分非必要条件是“a 垂直于b 在平面α内的射影〞；④“直线a ∥平面β〞的必要非充分条件是“直线a 至少平行于平面β内的一条直线〞． 其中正确命题的个数是〔 〕A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4、设)(x f 、)(x g 在[a ，b]上存在导数，且)()(x g x f '>'，那么当b x a <<时，有〔 〕 A ．)()(x g x f >B ．)()(x g x f <C ．)()()()(a f x g a g x f +>+D ．)()()()(b f x g b g x f +>+5、两位同学去某大学参加自主招生考试，根据右图负责人与他们两人的对话，可推断出参加考试的人数为 〔 〕A ．19B ．20C ．21D ．226、定义在Ｒ上的周期函数()f x ，其周期Ｔ＝２，直线2x =是它的图象的一条对称轴，且()[]3,2f x --在上是减函数．假如Ａ、Ｂ是锐角三角形的两个内角，那么〔 〕Ａ．()()sin cos f A f B > Ｂ．()()cos sin f B f A > Ｃ．()()sin sin f A f B > Ｄ．()()cos cos f B f A >7、数列{}n a 是各项为正数的等比数列，{}n b 是等差数列，且67a b =，那么〔 〕 A ．39410a a b b +≤+ B ．39410a a b b +≥+C ．39410a a b b +≠+D ．39a a +与410b b +的大小不确定。

理科数学答案全解全析一、选择题1. 【答案】D【解析】集合 A 满足： x2  3x  4  0 ，( x  4)( x  1)  0 ， x  4 或x  1 ， A  {x | x  4 或 x  1} ， CU A={x | 1„ x „ 4} ， y  2x  2  2 ， B  {y | y  2} ，可知 (CU A)  B  {x | 2  x „ 4} .故选 D. 2. 【答案】A【解析】 z  1  i  (1  i)(1  2i)  1  3i ，复数 z 的虚部为  3 ，1 2i555故错误；② | z | ( 1)2  ( 3)2  10 ，故错误；③复数 z 对应的555点为 ( 1 ， 3) 为第三象限内的点，故正确；④复数不能比较大小， 55故错误.故选 A.3. 【答案】C【解析】 Sn  2an  4 ，可得当 n  1 时， a1  2a1  4 ， a1  4 ，当n…2时，S n 12 an 14与已知相减可得an an 12，可知数列{ an } 是首项为 4，公比为 2 的等比数列， a5  4  24  64 .故选 C.4. 【答案】D【解析】可知降落的概率为pA22 A55 A661 3.故选D.5. 【答案】C【解析】函数 f (x)  2 020x  sin 2x 满足 f (x)  2 020x  sin 2x  f (x) ，且 f (x)  2 020  2cos 2x  0 ，可知函数 f (x) 为单调递增的奇函数， f (x2  x)  f (1  t) 0 可以变为 f (x2  x)  f (1  t) f (t  1) ，可知 x2  x t  1 ，t „ x2  x  1 ，x2  x  1  (x  1)2 2 3 3 ，可知实数 t „ 3 ，故实数 t 的取值范围为 (∞，3] .故选 C.44446. 【答案】A【解析】双曲线的渐近线方程为 y   3x ，可得双曲线的方程为x2  y2   ，把点 P(2，3) 代入可得 4  3= ，   1 ，双曲线的 3方程为 x2  y2  1，c2  1  3  4，c  2，F(2，0) ，可得 A(2，2 3) ， 3B(2， 23)，可得SAOB1 224343 .故选 A.7. 【答案】B【解析】 f (x)  sin(x  π )sin x  cos2 x3 (sin x cos π  cos x sin π )sin x  1  cos 2x332 3 sin 2x  1 cos 2x  3  1 ( 3 sin 2x  1 cos 2x)  3444 2224 1 sin(2x  π )  3264把函数 f (x) 的图象向右平移 π 单位，再把横坐标缩小到原来的一 6半，得到函数 g(x) ，可得 g (x)  1 sin(4x  π )  3 ，最小正周期为2642π  π ，故选项 A 错误； x  π ， 4x  π  4  π  π  π ，故选426666 2项 B 正确；最大值为 1  3  5 ，故选项 C 错误；对称中心的方程 244为 (kπ  π ，3)(k  Z) ，故选项 D 错误.故选 B. 4 24 48. 【答案】D【解析】可知 BDC  120°，且 AD  3 ，BD  DC  1 ，在 BDC中，根据余弦定理可得 BC 2  1  1  2 11 cos120° 3， BC  3 ，据正弦定理可得 BC  2r ， sin120°3 32r，r 1 ， O1 为 BDC2的外心，过点 O1 作 O1O  平面 BDC ， O 为三棱锥 A  BCD 的外 接球的球心，过点 O 作 OK  AD ， K 为 AD 的中点，连接 OD 即为外接球的半径 R  12  ( 3 )2  7 ，可得外接球的表面积为22S  4πR2  4π  ( 7 )2  7π .故选 D. 29. 【答案】C【解析】二项式 (x  y)n 的展开式的二项式项的系数和为 64 ，可得 2n  64 ，n  6 ，(2x  3)n  (2x  3)6 ，设 x  1  t ，2x  3  2t  1 ，(2x  3)n  (2x  3)6  (2t  1)6  a 0  a1t  a 2t 2   a 6t 6 ，可得 Tr1  C64 (2t)6414  C64 22t 2  60t 2 ，可知 a2  60 .故选 C. 10.【答案】A【解析】设点 P(x0 ，y0) ，则 x0  y0  6  0 ，则过点 P 向圆 C 作切 线，切点为 A，B ，连接 AB ，则直线 AB 的方程为 xx0  yy0  4 ，可得y0x06，代入可得(xy) x06y40，满足 x y 0 6y  4  0 x 2 3，故过定点为M(2，2).故选A. y2 33311.【答案】B【解析】f (x)  log2 (x2  e|x|) ，定义域为 R ，且满足 f ( x)  f (| x |) ，当 x  0 时，单调递增，而 (5)0.2  1 ， 0  (1)0.3  1 ， b  a ，42cf(log 125)  4f( log25) 4f(log25 4)，而0log25 4 log221， 2( 1 )0.3 21 2，  log 25 4 (1)0.3 ， 2f(log25)  4f(( 1 )0.3 ) 2，故 c a，故 c  a  b .故选 B.12.【答案】D【解析】f (x1)  f (x2 ) x1  x21 x1x2，不妨设 x1x2 ，则f( x1) f (x2 ) 1 x21 x1，整理可得f (x1) 1 x1f (x2 ) 1 x2，设函数 h(x) f (x) 1 xa ln xx1 x在[e2 ，e4 ]上单调递减，可知 h'(x)a(1  ln x2x)1 x2„0，可知 a…1 1  lnx，而函数F ( x)1 1 lnx在[e2，e4 ]单调递增，F (x)maxF (4)11 41 3，可知实数a…1 3.故选D.二、填空题13.【答案】 9 5 5【解析】向量 a b在 a上的投影为| a b|cos (a b)  a|a| (1，5)  (1，2)  9 5 .5514.【答案】 5  2 6【解析】首先作出可行域，把 z  ax  by(a  0，b  0) 变形为 y  a x  z ，根据图象可知当目标函数过点 A 时，取最大值为 1， bb理科数学答案第 1 页（共 4 页） x 2x y 1 0 y40A(3，2)，代入可得3a2b1，则1 a1 b3a a2b 3a  2b  3  2b  3a  2 5  2 2b  3a  5  2 6 ，当且仅当bababb  6 a 取等号，可知最小值为 5  2 6 .故选 C. 215.【答案】 4 3【解析】 cos A  cos B  2 3 sin C ，根据正弦定理 sin B cos A ab3asin Acos B  2 3 sin B sin C ，可知 sin( A  B)  2 3 sin B sin C ，33sin C  2 3 sin B sin C ，sin B  3 ，在 ABC 内，可知 B  π 或3232π ，因为锐角 ABC ，可知 B  π ，利用余弦定理可得 b2  a2  c2 332ac cos B  a2  c2  ac 2ac  ac  ac ，可知 ac „ 16 ，则 ABC 的面积的最大值 1 ac sin B „ 1 16  3  4 3 ，当且仅当 a  c 时，取222等号，故面积的最大值为 4 3 .16.【答案】 4 5【解析】抛物线 C ：y2  2 px( p  0) 的准线方程为 x  2 ，可知抛物线 C 的方程为：y2  8x ，设点 A(x1 ，y1) ，B(x2 ，y2 ) ，AB 的中点为 M (x0 ，y0 ) ，则 y12  8x1 ，y22  8x2 两式相减可得 ( y1  y2 )( y1  y2 ) 8(x1 x2 )，y1  y2  x1  x2 8 y1  y2 ，可知    8  (1)  1 2 y0 x0  y0  6  0，解得  x0 y02 4，可得 M(2，4)，则 OA  OB  2OM  2(2，4)  (4，8) ，可得 | OA  OB |  | (4，8) |  42  82  4 5 .三、解答题17.【解析】（1） a1  1，an1  2an  1 ，可得 an1  1  2(an  1) ，{an  1} 是首项为 2，公比为 2 的等比数列.--------------- 2 分  an  1  2  2n1  2n ， an  2n  1 .即数列 { an } 的通项公式 an  2n  1 .--------------- 4 分数列 { bn } 的前 n 项的和为 Sn  n2 ，可得 b1  S1  1 ，当 n 2 时， bn  Sn  Sn1  n2  (n  1)2  2n  1 ，故数列 { bn } 的通项公式为 bn  2n  1 .--------------- 6 分（2）可知 cn  bn  an  (2n  1)  (2n  1) (2n  1)  2n  (2n  1) --------------- 7 分设 An  1 2  3 22  5  23   (2n  1)  2 n ， 2 An  1 22  3  23    (2n  3)  2 n  (2n 1)  2 n 1 ， 两式相减可得  An  2  2(22  23   2 n)  (2n  1)  2 n 1 ，可得 An  6  (2n  1)  2n1  2n2 ，--------------- 10 分而数列 {2n 1}的前n项的和为Bn(1 2n 1)  2nn2，所以 Tn  6  (2n  1)  2n1  2n2  n2 .--------------- 12 分 18.【解析】（1）证明： PD  面 ABCD ， PD  BC ，在梯形 ABCD 中，过 B 作 BH  DC 交 DC 于 H ， BH  1 ，BD  DH 2  BH 2  1  1  2 ，BC  2 ，( 2)2  ( 2)2  22 ，即 DB2  BC 2  DC 2 ，即 BC  DB .--------------- 2 分  BC  DB ， PD  BD  D ， BC  平面 PDB ，  BC  平面 EBC 平面 PBC  平面 PDB .--------------- 4 分 （2）连接 PH ， BH  面 PDC ，BPH 为 PB 与面 PDC 所成的角， tan BPH  BH  1 ， BH  1 ， PH  2 ， PH 2 PD2  DH 2  PH 2 ， PD2  1  2 ， PD  1 ，--------------- 6 分以 D 为原点，分别以 DA ， DC 与 PD 为 x ，y ，z 轴，建立如图所示的E(空0间，2直，角12)坐，标可系知，则PBP(0(1，，01，，1) ，1)A，(A1，B0，(00)，，1B，(01)，1，，0) ，C (0，2，0) ，设平面PAB 可知 PB  a AB  a 设平面 PEB的法向量为 a  (x，y，z) ， 0 0  xy y z 00，可取 a(1，0，1)，-----------的法向量为 b(x，y ，z ) ，BE(1，1，1)，8分2可知 PB BE  b b 0 0 x x y y z 1 2 z0 0 ，可取 b(3，1，4)，-----10分可知两向量的夹角的余弦值为 cos  a  b  1 3  0 11 4| a || b | 1 1 32 1  42 7 13 ，可知两平面所成的角为钝角，可知两平面所成角的余弦 26值为  7 13 .--------------- 12 分 2619.【解析】（1）完成 2  2 列联表， 满意 不满意总计男生302555女生50合计80156540120 ----------- 4 分根据列联表中的数据，得到 K 2  120  (30 15  25  50)2 55 65 80  40 960  6.713  6.635 ，所以有 99% 的把握认为对“线上教育是否 143满意与性别有关”.--------------- 6 分（2）由（1）可知男生抽 3 人，女生抽 5 人，   0，1，2，3 .P(0)C53 C835 ，P( 28 1)C52C31 C8315 28，P(2)C51C32 C8315 ，P( 563)C33 C831 56.---------------8分可得分布列为0123P515152828561------------ 10 分56可得 E( )  0  5  1 15  2  15  3 1  9 .--------------- 12 分 28 28 56 56 820.【解析】（1）x2  4 y ，焦点 F (0 ， 1) ，代入得 b 1，e  c  2 ， a2a2  b2  c2 ，解得 a2  2，b2  1 ， x2  y2  1 ，-------------- 2 分 2 直线的斜率为 1，且经过 (1，0) ，则直线方程为 y  x 1 ，联立   x2 2y2 1，解得y  x 1，x y 0 1或 x y 4 3 1 3， ，C(0，1) ，D( 4 ，1) ，--------------- 4 分 33理科数学答案第 2 页（共 4 页）| CD |  4 2 ，又原点 O 到直线 y  x 1 的距离 d 为 2 ，32 SCOD1 2| CD|d1 242 32  2 .--------------- 6 分 23（2）根据题意可知直线 m 的斜率存在，可设直线 m 的方程为： y  kx  t，ykxt，联立  x2  2y2 1，(2k 2 1)x24ktx2t 220，可得   (4kt)2  4(2k 2  1)(2t 2  2)  0 ，整理可得 t 2  2k 2  1 ，可知 F2 (1，0) ， A(1，k  t)，B(2，2k  t) ，--------------- 8 分则 | AF2 |  (1 1)2  (k  t  0)2 k 2  2kt  t2| BF2 | (2 1)2  (2k  t  0)2 1  (4k 2  4kt  t2) k 2  2kt  t2  2 为定值.--------------- 12 分 2k 2  4kt  2t 2 221.【解析】（1）函数 f (x) 的定义域为 (0， ∞) ，f (x)  x  a  1  x2  ax  1 ，设 h(x)  x2  ax  1 ，xx函数 h(x) 在 (1，3) 内有且只有一个零点，满足 h(1)  h(3)  0 ，可得 (1  a  1)(9  3a  1)  0 ，解得 2  a  10 ， 3故实数 a 的取值范围为 (2，10) .--------------- 4 分3（2） 2 f (x)  2x  2 „ (a 1)x2 ，可以变形为 2ln x  2x  2 „a(x22x)，因为x0，可得a…2ln x x2 2x   2x2，--------------6分设g(x)2ln x  2x  x2  2x2，g' ( x)2(x  1)(2ln x (x2  2x)2x).设 h(x)  2 ln x  x ，h(x) 在 (0， ∞) 单调递增，h(1 )  2ln 2  1  0 ， h(1)  1  0 .22故存在一点 x0  (0.5，1) ，使得 h(x0 )  0 ，--------------- 8 分当 0  x  x0 时， h(x)  0，g'(x)  0 ，函数 g(x) 单调递增；当 x  x0 时， h(x)  0，g'(x)  0 ，函数 g(x) 的最大值为 g(x0) ，且 2 ln x0  x0  0 ，--------------- 10 分g (x)max g(x0) 2ln x0  2x0  2  x02  2x01 x0，可知 a 1 x0，又1 x0 (1，2) ，可得整数 a 的最小值为 2.--------------- 12 分22.【解析】（1）由题可知：2 2   2 cos2   6 ， 2(x2  y2 )  x2  6 ，曲线 C 的直角坐标方程为 y2  x2  1 ， 32直线 l 的普通方程为 3x  4 y  4  3a  0 ，--------------- 3 分两方程联立可得 33x2  6  (4  3a)x  (4  3a)2  48  0 ，可知   [6  (4  3a)]2  4  33  [(4  3a)2  48]  0 ，解得 a  66  4 或 a   66  4 .--------------- 6 分33（2）曲线 C 的方程y2x21，可设x 2 cos ，32 y  3 sin则 2x  3y  2 2 cos  3 3 sin  (2 2)2  (3 3)2 sin(  ) ，其中 tan  2 6 ，可知最大值为 9(2 2)2  (3 3)2  35 .--------------- 10 分 23.【解析】（1）当 a  1 时， f (x)  | 3x  6 |  | x  1 |  x 10 ，当 x  1时， (3x  6)  (x  1)  x 10 ，解得 x „ 1 ， 可得 x  1；--------------- 2 分 当 1„ x „ 2 时， (3x  6)  (x  1)  x 10 ，解得 x „ 1 ， 可得 x  1； 当 x  2 时， (3x  6)  (x 1)  x 10 ，解得 x 5 ， 综上可得 {x | x 5或x „ 1} .--------------- 4 分 （2）由 f (x)  0 可知， f (x)  | 3x  6 |  | x 1| ax  0 ， | 3x  6 |  | x 1|  ax ，设 g(x)  | 3x  6 |  | x 1| ， h(x)  ax ， 同一坐标系中作出两函数的图象如图所示，--------------- 6 分 4x  5，x  1， g(x)  2x  7，1„ x „ 2，可得 A(2，3) ， 4x  5，x  2， 当函数 h(x) 与函数 g (x) 的图象有两个交点时，方程 f (x)  0 有两 个不同的实数根，--------------- 8 分由函数图象可知，当 3  a  4 时，有两个不同的解，故实数 a 的 2取值范围为 ( 3 ，4) .--------------- 10 分 2理科数学答案第 3 页（共 4 页）理科数学答案第 4 页（共 4 页）。

高考使用2020年7—8月—、选择题s区域面积为s 我= 1X1 = 1,所以 —= S 11. B 提示：由2 + 3i = z ,得乞=+ 3'3 — 2i,所以z 的虚部为一2。

2. C 提示：集合 B = {x |x 2—x — 6>0} ={ x x > 3 或 x < 一 2 },所以 C R B = { x 一 2W x W3}。

由(C r B )U A =A ,知(C r B)匚 A ,可得1 -a < — 2,解得a >3,故a 的取值范围为 a >3。

n 14T 2=4—2,所以78253. D 提示:sin+cos 2X—1784. C 提示：由于数列{a ”}是等差数 歹U ，由 a 2+ a 8 = 1 5 一 a 5 —可 得 a 2+ a 8+ a 5 a 1+ a 9215 ,艮卩 3a1+ 12 015,而 S 9X 9 = 2a 1 丁8" X 9 = 3X(3a1+ 120) = 3X15 = 455. A 提示：由题意,00对都小于1正实数对(x<y )对应区域的面积为 1两个数能与1构成钝角三角形三边的数对(xy )满x 2+y 2 < 1 ,的足』面积为于一1。

因图10<y <1 ,、x + y > 1 ,为统计两数能与1构成钝角三角形的数对(xy )的个数m = 56,设图1中阴影部分的面积为S 1=4 — 1,构成样本的总6. C 提示：因为f (x )=x n|x |，所以当0<x <1时f (x )<0,故排除A 、D 选项。

而 f ( — x ) = — x ln — x = — x n|x |，所以一f (x )=f ( —x )即f (x )是奇函数，其图像关于原点对称，故排除B 选项。

所以C 选项正确。

7. A 提示：由已知中的三视图可得该几何体是由一个底面半径为1、高为3的半2X2X 3 = ( + 小 36 °8. A 提示：由题可得MA = CA — CM =c A —( CA + 2 c A ) = — CA — C N , MA =----A -----A ----A ----A ----A ----ACB — CM = CB — ( CB +2 C N) = —2 C N,所以 M N • MA = ( — CA — CN ) ( —2CN )= 2CA • c N +2c N 2。

○…………装…………学校:___________姓名：号：____○…………装…………绝密★启用前高中数学2020年高考模拟（一）试卷副标题考试范围：xxx ；考试时间：100分钟；命题人：xxx注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题)请点击修改第I 卷的文字说明一、单选题1．（2分）已知M,N 都是U 的子集,则图中的阴影部分表示( )A ．M∪NB ．∪U (M∪N)C ．(∪U M)∩ND ．∪U (M∩N)2．（2分）已知f(x)=2x2x +1+ax ，若f(ln3)=2，则f(ln 13)等于（ ） A ．-2 B ．-1 C ．0 D ．13．（2分）如图所示某公司的组织结构图，信息部被（ ）直接领导A ．专家办公室B ．开发部C ．总工程师D ．总经理 4．（2分）已知z 为复数，若()1i i z ⋅+=(i 是虚数单位)，则z = A ．1BC ．12D 5．（2分）要得到3sin(2)4y x π=+的图象，只需将32y sin x =的图象 ( )A ．向左平移4π个单位 B ．向右平移4π个单位 ππ○………※※请※※不○………6．（2分）数列{}n a 是以a 为首项，q 为公比的等比数列，数列{}n b 满足121(1,2,)n n b a a a n =++++=，数列{}n c 满足122(1,2,)n n c b b b n =++++=，若{}n c 为等比数列，则a q +=（ ）A B ．3C D ．6二、填空题7．（3分）若关于x 的方程|x －1|－kx ＝0有且只有一个正实数根，则实数k 的取值范围是________．8．（3分）平面直角坐标系中，e 为单位向量，a 向量满足3a e λ⋅=，其中λ为正常数，若2||||a a te λ≤+对任意实数t 成立，则||a 的取值范围是________ 9．（3分）已知椭圆x 2+y 24=1，A 、B 是椭圆的左右顶点，P 是椭圆上不与A 、B 重合的一点，PA 、PB 的倾斜角分别为α、β，则cos(α−β)cos(α+β)=______． 10．（3分）有以下说法:①一年按365天计算,两名学生的生日相同的概率是1365;①买彩票中奖的概率为0.001,那么买1 000张彩票就一定能中奖;①乒乓球赛前,决定谁先发球,抽签方法是从1~10共10个数字中各抽取1个,再比较大小,这种抽签方法是公平的;①昨天没有下雨,则说明“昨天气象局的天气预报降水概率是90%”是错误的. 根据我们所学的概率知识,其中说法正确的序号是___.11．（3分）已知f (x )＝2tan x －，则f 的值为________.12．（3分）等比数列{a n }中，S 3＝3，S 6＝9，则a 13＋a 14＋a 15＝________.第II 卷（非选择题)请点击修改第II 卷的文字说明三、解答题13．（12分）已知ΔABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且∠C =120°. （1）若c =1，求ΔABC 面积的最大值； （2）若a =2b ，求tanA .…………○…………………○学校:________…………○…………………○OP OA OB λμ=+（,λμ∈R ）.（1）若P 是BC 的中点，求λμ+的值； （2）若A 、B 、P 三点共线，求证：1λμ+=.15．（12分）已知向量a =(1,-3,2),b =(-2,1,1),点A(-3,-1,4),B(-2,-2,2). (1)求|2a +b |;(2)在直线AB 上,是否存在一点E,使得OE ∪ b ?(O 为原点)16．（12分）已知圆M 的方程为：222260x y x y +---=，以坐标原点为圆心的圆N与圆M 相切.（1）求圆N 的方程；（2）圆N 与x 轴交于E 、F 两点，圆内的动点D 使得DE 、DO 、DF 成等比数列，求DE DF ⋅的取值范围；（3）过点M 作两条直线分别与圆N 相交于A 、B 两点，且直线MA 和直线MB 的倾斜角互补，试判断直线MN 和AB 是否平行？请说明理由. 17．（12分）已知椭圆C 1:x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)过点A(1,√22)，其焦距为2． （1）求椭圆C 1的方程；（2）已知椭圆具有如下性质：若椭圆的方程为x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)，则椭圆在其上一点A(x 0,y 0)处的切线方程为，试运用该性质解决以下问题：（i ）如图（1），点B 为C 1在第一象限中的任意一点，过B 作的切线，分别与x 轴和y 轴的正半轴交于C,D 两点，求ΔOCD 面积的最小值； （ii ）如图（2），过椭圆C 2:x 28+y 22=1上任意一点P 作C 1的两条切线PM 和PN ，切点分别为M,N ．当点P 在椭圆C 2上运动时，是否存在定圆恒与直线MN 相切？若存在，求出圆的方程；若不存在，请说明理由．线…………○……线…………○……图（1） 图（2） 18．（12分）判断函数f(x)＝4x ＋x 2－23x 3在区间[－1，1]上零点的个数，并说明理由． 19．（12分）已知函数()(,)xxf x ax b a b R e =++∈. （1）若()f x 在R 上是单调递增函数，求a 的取值范围；（2）若当(1,0)a ∈-时，函数()f x 的最大值为2b ，求证：0b >. 20．（12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，点,n S n n⎛⎫⎪⎝⎭在直线11122y x =+上. （1）求数列{}n a 的通项公式；[来 （2）设()()13211211n n n b a a +=--，求数列{}n b 的前n 项和为n T ，并求使不等式20n kT >对一切*n N ∈都成立的最大正整数k 的值． 21．（12分）设2112121...,...n nn n n n n n a q q q A C a C a C a -=++++=+++.(1)用q 和n 表示n A ；(2)又设12...2nn n A b b b +++=，求证：数列{}n b 是等比数列． 22．（12分）当1205m ≤<时，关于x 的不等式2330mx mx m +++>对一切实数x 恒成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，请举出反例．。