2018高中数学人教B版必修四1.2.3《同角三角函数的基本关系式》精选习题

1.2.3 同角三角函数的基本关系式5分钟训练(预习类训练，可用于课前)1.已知sinα=53,α∈（0,π），则tanα的值等于（ ） A.34 B.43 C.±43 D.±34 解析：由sin 2α+cos 2α=1，α∈（0,π）， ∴cosα=±α2sin 1-=±54. ∴tanα=ααcos sin =±43. 答案：C2.已知cosθ=54，且23π＜θ＜2π，那么θtan 1的值为（ ） A.43 B.43- C.35 D.34- 解析：由sin 2θ+cos 2θ=1，得sinθ=±θ2cos 1-. 因为23π＜θ＜2π，故sinθ＜0,所以sinθ=2)54(1--=53-,tanθ=θθcos sin =34-.答案：D3.若tanα=t （t≠0），且sinα=21tt +-，则α是（ ）A.第一、二象限角B.第二、三象限角C.第三、四象限角D.第一、四象限角 解析：由tanα=ααcos sin 得cosα=ααtan sin ，所以cosα=211t+-＜0，故α是第二、三象限角.答案：B4.若tanα=2，则（1）cos 2α=________________；（2）sin 2α-cos 2α=________________. 解析：（1）由题意和基本三角恒等式，列出方程组⎪⎩⎪⎨⎧==+,2cos sin ,1cos sin 22αααα 由②得sinα=2cosα,代入①，整理得5cos 2α=1，cos 2α=51. （2）由（1）得sin 2α=1-51=54, 所以sin 2α-cos 2α=54-51=53.答案：（1）51 (2) 5310分钟训练(强化类训练，可用于课中)1.已知sinα=53，并且α是第二象限角，那么tanα的值等于（ ） A.34- B.43- C.43 D.34解析：由sin 2α+cos 2α=1，α是第二象限角，得cosα=54)53(12-=--. ∴tanα=ααcos sin =43-. 答案：B2.如果角x 的终边位于第二象限，则函数y=xx xx 22sin 1cos cos 1sin -+-的值可化简为（ ）A.1B.2C.0D.-1解析：利用同角基本关系式sin 2x+cos 2x=1以及x 属于第二象限，有y=xxx x x x x cos cos sin sin |cos |cos |sin |sin -+=+=1-1=0.答案：C3.如果角α满足关系式αααα22tan 1cos cot 1sin +-+=1，则角α的终边位于（ ）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析：由已知条件有sinα|sinα|-cosα|cosα|=1，故sinα＞0且cosα＜0.所以α属于第二象限. 答案：B 4.化简53sin12π-得到的结果是___________________. 解析：因为2π＜53π＜π，所以53π是第二象限角,cos 53π＜0, 所以53cos 53sin122ππ=-=｜cos 53π｜=-cos 53π. 答案：-cos53π 5.已知2sinα-cosα=3sinα，那么cosα=_________________.解析：由2sin α-cosα=3sinα，得（2-3）sinα=cosα，sinα=（2+3）cosα，由sin 2α+cos 2α=1，得（2+3）2cos 2α+cos 2α=1，解之,得cosα=±426-. 答案：±426- 6.化简:)cos 1cos 1cos 1cos 1()sin 1sin 1sin 1sin 1(αααααααα+---+•+---+.解：原式=［αααα2222cos )sin 1(cos )sin 1(--+］·［αααα2222sin )cos 1(sin )cos 1(--+］ =（|cos |sin 1|cos |sin 1αααα--+）·（|sin |cos 1|sin |cos 1αααα--+）=|sin |cos 2|cos |sin 2αααα•=⎩⎨⎧-.,,4,,,4四象限时在第二三象限时在第一αα30分钟训练(巩固类训练，可用于课后)1.设sin 2α=54，且α是第二象限角，则tan 2α等于（ ） A.34 B.43 C.±34 D.±43 解析：∵α是第二象限角，∴2kπ+2π＜α＜2kπ+π（k ∈Z ），kπ+4π＜2α＜kπ+2π（k ∈Z ）.∴2α是第一、三象限角.而sin 2α=54＞0，∴2α是第一象限角，由sin 22α+cos 22α=1，得cos 2α=532sin12=-α，∴tan 342cos 2sin 2==ααα. 答案：A 2.已知tanx=122-a a，其中0＜a ＜1，x 是三角形的一个内角，则cosx 的值为（ ） A.122+a aB.1122+-a aC.1122+-a aD.±1122+-a a解析：∵0＜a ＜1,∴122-a a＜0.∴x 是第二、四象限角.又x 是三角形的一个内角, ∴x 是第二象限角.由题意和基本三角恒等式，得到方程组⎪⎩⎪⎨⎧-==+,12cos sin ,1cos sin 222a ax x x x解得cos 2x=（1122+-a a ）2，∴cosx=1122+-a a .答案：C3.如果tanθ=2，那么sin 2θ+sinθ·cosθ+cos 2θ的值是（ ） A.37 B.57 C.45 D.35 解析：由题意和基本三角恒等式，得到方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=,1cos sin ,2cos sin 22θθθθ∴cos 2θ=51. ∴sin 2θ+sinθ·cosθ+cos 2θ=1+2cos 2θ=57. 答案：B4.如果sinα+cosα=1，则sin n x+cos n x （n ∈Z ）的值为（ ）A.-1B.1C.1或-1D.2解析：由sinα+cosα=1，则（sinα+cosα）2=1，故sinαcosα=0.若sinα=0，则cosα=1.这时sin n α+cos n α=1；若cosα=0，则sinα=1，这时也有sin n α+cos n α=1. 答案：B 5.若｜sinθ｜=51，29π＜θ＜5π，则tanθ的值为（ ） A.126B.62-C.126-D.62解析：因为29π＜θ＜5π，即4π+2π＜θ＜4π+π,所以θ是第二象限角，sinθ=51.所以cosθ=562sin 12-=--θ,tanθ=126cos sin -=θθ,应选C 项.答案：C 6.化简︒--︒︒•︒-10sin 110sin 10cos 10sin 212的值为（ ）A.1B.-1C.2D.-2 解析：原式=︒-︒︒-︒=︒-︒︒+︒︒-︒10cos 10sin )10cos 10(sin 10cos 10sin 10cos 10cos 10sin 210sin 2222︒-︒︒-︒-=10cos 10sin )10cos 10(sin =-1.答案：B7.已知1cos 4sin 2++θθ=2，则（cosθ+3）·（sinθ+1）的值为（ ）A.4B.0C.2D.0或4解析：由1cos 4sin 2++θθ=2得1-cos 2θ+4=2cosθ+2,整理得cos 2θ+2cosθ-3=0，解得cosθ=1或cosθ=-3（舍去），所以sinθ=±θ2cos 1-=0.所以（cosθ+3）·（sinθ+1）=4. 答案：A8.(2006高考重庆卷,文13)已知sinα=2,552π＜α＜π，则tanα=_______________. 解析：由sinα=552，2π＜α＜π可得cosα=55-，tanα=-2. 答案：-29.已知sinθ+cosθ=51,θ∈（0，π），则cotθ的值是_____________. 解析：因为sinθ+cosθ=51，两边平方，得1+2sinθ·cosθ=251，所以2sinθ·cosθ=2524-. ①因为θ∈（0，π），所以cosθ＜0＜sinθ.由于（sinθ-cosθ）2=1-2sinθ·cosθ=2549，所以sinθ-cosθ=57.② 联立①②，解得sinθ=54，cosθ=53-，所以cotθ=435453sin cos -=-=θθ. 答案：43-10.（1）已知sinθ=415-，求θθθθθθθθcos sin cos sin cos sin cos sin -+++-的值. （2）已知5sinθ+12cosθ=0，求θθθsin 32cos 9sin -+的值.解：（1）原式=1)415(221sin 2)cos (sin 2cos sin )cos (sin )cos (sin 22222222--⨯=-+=-++-θθθθθθθθθ=522-.（2）由5sinθ+12cosθ=0，得tanθ=512-＜0，故θ角在第二或第四象限，当θ在第二象限时，cosθ=135tan 112-=+-θ，当θ在第四象限时，cosθ=135tan 112=+θ， ∴原式=62331033cos tan 32cos )9(tan 或=•-•+θθθθ.11.若tanα、tanβ是方程x 2-2（log 872+log 972）x-log 872·log 972=0的两个根， 求sinα·cosβ+cosα·sinβ+2sinα·sinβ的值. 解：由定理得⎩⎨⎧•-=•+=+,72log 72log tan tan ),72log 72(log 2tan tan 9898βαβα而log 872+log 972=9log 8log 72log 9log 8log 9log 8log 9log 18log 1727272727272727272•=•+=+ =log 872·log 972.所以tanα+tanβ=2log 872·log 972.所以sinα·cosβ+cosα·sinβ+2sinα·sinβ =cosα·sinβ（tanα+tanβ+2tanα·tanβ） =cosα·sinβ（2log 872·log 972-2log 872·log 972）=0.。

第一章 1.2 1.2.3一、选择题1．已知α是第四象限角，cos α＝1213，则sin α＝( )A ．513B ．－513C ．512D ．－512B∵α是第四象限角，cos α＝1213，∴sin α＝－1－cos 2α＝－1－(1213)2＝－513.2．下列说法中，可能成立的一个为( ) A ．sin α＝12且cos α＝12B ．sin α＝0且cos α＝－1C ．tan α＝1且cos α＝－1D ．α为第四象限角，tan α＝－sin αcos αB∵sin 2α＋cos 2α＝1，∴选项A 一定不成立，选项B 可能成立．选项C 中，tan α＝1，∴sin α＝cos α，∴cos α≠－1.选项D 中，应有tan α＝sin αcos α，故tan α＝－sin αcos α不成立． 3．(2015·福建文，6)若sin α＝－513，且α为第四象限角，则tan α的值等于( )A ．125B ．－125C ．512D ．－512D由sin α＝－513，且α为第四象限角，则cos α＝1－sin 2 α＝1213，则tan α＝sin αcos α＝－512，故选D ． 4．若2sin α＝3cos α，则4sin α＋cos α5sin α－2cos α的值等于( )A ．1411B ．2C ．－109D ．1411或1019A∵2sin α＝3cos α， ∴tan α＝32.∴4sin α＋cos α5sin α－2cos α＝4tan α＋15tan α－2＝4×32＋15×32－2＝1411. 5．(2015·河北行唐启明中学高一月考)若π2<α<π，化简1＋sin α1－sin α－1－sin α1＋sin α的结果是( )A ．－2tan αB ．2tan αC ．－2cot αD ．2cot αA∵π2<α<π，∴cos α<0.∴1＋sin α1－sin α－1－sin α1＋sin α＝(1＋sin α)2(1－sin α)(1＋sin α)－(1－sin α)2(1＋sin α)(1－sin α)＝(1＋sin α)2cos 2α－(1－sin α)2cos 2α＝1＋sin α－cos α－1－sin α－cos α＝－2tan α. 6．设sin α＋cos α＝－2，则tan α＋cot α的值为( ) A ．1 B ．2 C ．－1 D ．－2B(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝2，∴sin αcos α＝12，tan α＋cot α＝sin αcos α＋cos αsin α＝sin 2α＋cos 2αsin αcos α＝112＝2.二、填空题7．化简：1－cos 24＝________. －sin4∵4＝4×(180π)°≈229°12′，∴sin4<0， ∴1－cos 24＝sin 24＝－sin4.8．已知cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝13，0<α<π2，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝________. 223∵0<α<π2，∴π4<α＋π4<3π4，∴sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝1－⎝⎛⎭⎫132＝223.三、解答题9．已知3sin α－2cos α＝0，求下列各式的值． (1)cos α－sin αcos α＋sin α＋cos α＋sin αcos α－sin α； (2)sin 2α－2sinαcos α＋4cos 2α. (1)显然cos α≠0，∴tan α＝23，cos α－sin αcos α＋sin α＋cos α＋sin αcos α－sin α＝1－tan α1＋tan α＋1＋tan α1－tan α＝1－231＋23＋1＋231－23＝265.(2)sin 2α－2sin αcos α＋4cos 2α＝sin 2α－2sin αcos α＋4cos 2αsin 2α＋cos 2α＝tan 2α－2tan α＋4tan 2α＋1＝49－43＋449＋1＝2813.10.(2015·潍坊一中高一检测)已知sin x ＋cos x ＝15，且0<x <π，求sin x 、cos x 、tan x 的值．将sin x ＋cos x ＝15两边平方得，1＋2sin x cos x ＝125，∴2sin x cos x ＝－2425<0，又∵0<x <π，∴sinx >0，cos x <0， ∴sin x －cos x >0. ∴sin x －cos x ＝(sin x －cos x )2＝1－2sin x cos x ＝1＋2425＝75. 由⎩⎨⎧sin x ＋cos x ＝15sin x －cos x ＝75，得⎩⎨⎧sin x ＝45cos x ＝－35.∴tan x ＝sin x cos x ＝－43.故sin x ＝45，cos x ＝－35，tan x ＝－43.一、选择题1．已知sin α－cos α＝2，α∈(0，π)，则tan α＝( ) A ．－1 B ．－22C ．22D ．1A由sin α－cos α＝2两边平方，得1－2sin αcos α＝2， ∴sin αcos α＝－12.∴sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan αtan 2α＋1＝－12，∴tan 2α＋2tan α＋1＝0， ∴(tan α＋1)2＝0，∴tan α＝－1.2．已知α为第四象限角，则cos α·csc α·sec 2α－1的值为( ) A ． 3 B ．－ 3 C ．1 D ．－1D原式＝cos α·1sin α·|tan α|＝cot α·(－tan α)＝－1.3．若α∈0，π2)B ．π2，ππ，3π2答案解析0,2π)，∴α∈π2，π答案解析答案解析答案解析解析解析 ∵sin x ＋sin y ＝13，∴sin y ＝13－sin x .∴u ＝sin y －cos 2x ＝13－sin x －cos 2x＝13－sin x －1＋sin 2x ＝sin 2x －sin x －23＝(sin x －12)2－1112，∵－1≤sin x ≤1，∴当sin x ＝12时，u min ＝－1112，当sin x ＝－1时，u max ＝43.。

答案：D
5．已知θ∈(0,2π)，且sinθ，cosθ是方程x2－kx＋k＋1＝0的两个实根，求k，θ的值．
解析：依题意有sinθ＋cosθ＝k，①
sinθcosθ＝k＋1，②
又(sinθ＋cosθ)2＝1＋2sinθcosθ，
所以k2－2k－3＝0，解得k＝3或k＝－1，
显然|sinθcosθ|＝|k＋1|≤1，
因此k＝－1，代入①②得
从而 或
又θ∈(0,2π)，所以θ＝π或 .
(限时：30分钟)
1．已知α是第四象限角，cosα＝ ，则sinα等于()
A. B．－
C. D．－
解析：∵α是第四象限角，
∴sinα＝－ ＝－ ＝－ .
答案：B
2．已知tanα＝－ ，则 的值是()
A. B．3
C．－ D．－3
解析： ＝ ，将tanα＝－ 代入得：
解析：因为α∈ ，所以sinα＜0，则sinα＝－ ＝－ ，所以tanα＝ ＝ .
答案：
9．已知 ＝2，那么(cosθ＋3)(sinθ＋1)的值为__________．
解析：∵ ＝2，∴sin2θ＋4＝2cosθ＋2，
∴cos2θ＋2cosθ－3＝0，解得cosθ＝1或cosθ＝－3(舍去)．
由cosθ＝1，得sinθ＝0，∴(cosθ＋3)(sinθ＋1)＝4.
＝ ＝ ，故选A.
答案：A
3．化简 (1－cosα)的结果是()
A．sinαB．cosα
C．1＋sinαD．1＋cosα
解析：原式＝ (1－cosα)＝ ＝ ＝sinα.
答案：A
4．已知sinαcosα＝ ，且π＜α＜ ，则cosα－sinα的值为()
A. B．－
C. D．－

1.2.3同角三角函数的基本关系式学习目标 1.能通过三角函数的定义推导出同角三角函数的基本关系式.2.理解同角三角函数的基本关系式.3.能运用同角三角函数的基本关系式进行三角函数式的化简、求值和证明.知识点同角三角函数的基本关系式思考1计算下列式子的值：(1)sin230°＋cos230°；(2)sin245°＋cos245°；(3)sin290°＋cos290°.由此你能得出什么结论？尝试证明它.思考2由三角函数的定义知，tan α与sin α和cos α间具有怎样的等量关系？梳理(1)同角三角函数的基本关系式①平方关系：________________________________.②商数关系：________________________________.(2)同角三角函数基本关系式的变形①sin2α＋cos2α＝1的变形公式sin2α＝________；cos2α＝________.②tan α＝sin αcos α的变形公式sin α＝____________；cos α＝____________.类型一利用同角三角函数的关系式求值命题角度1 已知角α的某一三角函数值及α所在象限，求角α的其余三角函数值 例1 若sin α＝－513，且α为第四象限角，则tan α的值为( )A.125B.－125C.512D.－512反思与感悟 同角三角函数的关系揭示了同角三角函数之间的基本关系，其常用的用途是“知一求二”，即在sin α，cos α，tan α三个值之间，知道其中一个可以求其余两个.解题时要注意角α的象限，从而判断三角函数值的正负.跟踪训练1 已知tan α＝43，且α是第三象限角，求sin α，cos α的值.命题角度2 已知角α的某一三角函数值，未给出α所在象限，求角α的其余三角函数值 例2 已知cos α＝－817，求sin α，tan α的值.反思与感悟 利用同角三角函数关系式求值时，若没有给出角α是第几象限角，则应分类讨论，先由已知三角函数的值推出α的终边可能在的象限，再分类求解. 跟踪训练2 已知cos α＝－513，求13sin α＋5tan α的值.类型二 利用同角三角函数关系化简 例3 已知α是第三象限角，化简：1＋sin α1－sin α－1－sin α1＋sin α.反思与感悟 解答这类题目的关键在于公式的灵活运用，切实分析好同角三角函数间的关系，化简过程中常用的方法有：(1)化切为弦，即把非正弦、余弦的函数都化为正弦、余弦函数，从而减少函数名称，达到化简的目的.(2)对于含有根号的，常把根号下化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的.(3)对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造sin 2α＋cos 2α＝1，以降低函数次数，达到化简的目的.跟踪训练3 化简：(1)cos 36°－1－cos 236°1－2sin 36°cos 36°；(2)1cos 2α1＋tan 2α－1＋sin α1－sin α(α为第二象限角).类型三 利用同角三角函数关系证明 例4 求证：tan αsin αtan α－sin α＝tan α＋sin αtan αsin α.反思与感悟 证明三角恒等式的过程，实质上是化异为同的过程，证明恒等式常用以下方法： (1)证明一边等于另一边，一般是由繁到简. (2)证明左、右两边等于同一个式子(左、右归一). (3)比较法：即证左边－右边＝0或左边右边＝1(右边≠0).(4)证明与已知等式等价的另一个式子成立，从而推出原式成立. 跟踪训练4 求证：cos x1－sin x ＝1＋sin x cos x .类型四 齐次式求值问题例5 已知tan α＝2，求下列代数式的值. (1)4sin α－2cos α5cos α＋3sin α；(2)14sin 2α＋13sin αcos α＋12cos 2α.反思与感悟 (1)关于sin α、cos α的齐次式，可以通过分子、分母同除以cos α或cos 2α转化为关于tan α的式子后再求值.(2)注意例5第(2)问的式子中不含分母，可以视分母为1，灵活地进行“1”的代换，由1＝sin 2α＋cos 2α代换后，再同除以cos 2α，构造出关于tan α的代数式. 跟踪训练5 已知sin α＋cos αsin α－cos α＝2，计算下列各式的值.(1)3sin α－cos α2sin α＋3cos α； (2)sin 2α－2sin αcos α＋1.1.若sin α＝45，且α是第二象限角，则tan α的值等于( )A.－43B.34C.±34D.±432.已知sin α－cos α＝－54，则sin αcos α等于( )A.74 B.－916 C.－932 D.9323.化简1－sin 23π5的结果是( )A.cos 3π5B.sin 3π5C.－cos 3π5D.－sin 3π54.若tan θ＝－2，则sin θcos θ＝________.5.已知sin α＝15，求cos α，tan α.1.利用同角三角函数的基本关系式，可以由一个角的一个三角函数值，求出这个角的其他三角函数值.2.利用同角三角函数的关系式可以进行三角函数式的化简，结果要求：(1)项数尽量少.(2)次数尽量低.(3)分母、根式中尽量不含三角函数.(4)能求值的尽可能求值. 3.在三角函数的变换求值中，已知sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α中的一个，可以利用方程思想，求出另外两个的值.4.在进行三角函数式的化简或求值时，细心观察题目的特征，灵活、恰当地选用公式，统一角、统一函数、降低次数是三角函数关系式变形的出发点.利用同角三角函数的基本关系主要是统一函数，要掌握“切化弦”和“弦化切”的方法.5.在化简或恒等式证明时，注意方法的灵活运用，常用技巧：(1)“1”的代换.(2)减少三角函数的个数(化切为弦、化弦为切等).(3)多项式运算技巧的应用(如因式分解、整体思想等).(4)对条件或结论的重新整理、变形，以便于应用同角三角函数关系求解.答案精析问题导学 知识点思考1 3个式子的值均为1.由此可猜想：对于任意角α，有sin 2α＋cos 2α＝1，下面用三角函数的定义证明： 设角α的终边与单位圆的交点为P (x ，y )，则由三角函数的定义， 得sin α＝y ，cos α＝x . 由勾股定理得sin 2α＋cos 2α＝x 2＋y 2＝|OP |2＝1. 思考2 ∵tan α＝y x ，∴tan α＝sin αcos α.梳理 (1)①sin 2α＋cos 2α＝1 ②tan α＝sin αcos α (α≠k π＋π2，k ∈Z )(2)①1－cos 2α 1－sin 2α ②cos αtan α sin αtan α题型探究 例1 D跟踪训练1 cos α＝－35，sin α＝43cos α＝－45.例2 解 ∵cos α＝－817<0，且cos α≠－1，∴α是第二或第三象限角．(1)当α是第二象限角时，则 sin α＝1－cos 2α＝1－⎝⎛⎭⎫－8172＝1517， tan α＝sin αcos α＝1517－817＝－158.(2)当α是第三象限角时，则sin α＝－1－cos 2α＝－1517，tan α＝158.跟踪训练2 解 ∵cos α＝－513<0，∴α是第二或第三象限角． (1)若α是第二象限角， 则sin α＝1－cos 2α ＝1－(－513)2＝1213，tan α＝sin αcos α＝1213－513＝－125，故13sin α＋5tan α＝13×1213＋5×(－125)＝0.(2)若α是第三象限角，则sin α＝－1－cos 2α＝－1－(－513)2＝－1213，tan α＝sin αcos α＝－1213－513＝125，故13sin α＋5tan α＝13×(－1213)＋5×125＝0. 综上可知，13sin α＋5tan α＝0. 例3 解 原式＝(1＋sin α)(1＋sin α)(1＋sin α)(1－sin α)－(1－sin α)(1－sin α)(1＋sin α)(1－sin α)＝(1＋sin α)21－sin 2α－(1－sin α)21－sin 2α＝1＋sin α|cos α|－1－sin α|cos α|. ∵α是第三象限角，∴cos α＜0.∴原式＝1＋sin α－cos α－1－sin α－cos α＝－2tan α(注意象限、符号)．跟踪训练3 (1)1 (2)tan α 例4 证明∵右边＝tan 2α－sin 2α(tan α－sin α)tan αsin α＝tan 2α－tan 2αcos 2α(tan α－sin α)tan αsin α ＝tan 2α(1－cos 2α)(tan α－sin α)tan αsin α ＝tan 2αsin 2α(tan α－sin α)tan αsin α ＝tan αsin αtan α－sin α＝左边，∴原等式成立．跟踪训练4 证明 (比较法——作差) ∵cos x 1－sin x－1＋sin x cos x＝cos 2x －(1－sin 2x )(1－sin x )cos x＝cos 2x －cos 2x (1－sin x )cos x ＝0， ∴cos x 1－sin x＝1＋sin x cos x .例5 解 (1)原式＝4tan α－25＋3tan α＝611.(2)原式＝14sin 2α＋13sin αcos α＋12cos 2αsin 2α＋cos 2α＝14tan 2α＋13tan α＋12tan 2α＋1 ＝14×4＋13×2＋125＝1330.跟踪训练5 (1)89 (2)1310当堂训练1．A 2.C 3.C 4.－255．解 ∵sin α＝15>0，∴α是第一或第二象限角．当α为第一象限角时，cos α＝1－sin 2α ＝1－125＝265，tan α＝sin αcos α＝612；当α为第二象限角时，cos α＝－265，tan α＝－612.。

双基达标 (限时20分钟)1．化简 1－sin 2π5的结果是( )．A ．sin π5 B ．－sin π5 C ．cos π5D ．－cos π5解析 ∵0<π5<π2，∴cos π5>0. ∴1－sin 2π5＝cos 2π5＝cos π5.答案 C 2．已知sin θ＋cos θsin θ－cos θ＝2，则sin θcos θ的值是( )．A.34 B ．±310 C.310 D ．－310解析 由题意得sin θ＋cos θ＝2(sin θ－cos θ)， ∴(sin θ＋cos θ)2＝4(sin θ－cos θ)2， 解得sin θcos θ＝310. 答案 C3．如果tan θ＝2，那么1＋sin θcos θ的值是 ( )．A.73B.75C.54D.53解析 1＋sin θcos θ＝sin 2θ＋cos 2θ＋sin θcos θsin 2 θ＋cos 2θ ＝1＋tan 2θ＋tan θ1＋tan 2θ＝1＋22＋21＋22＝75. 答案 B4．化简⎝ ⎛⎭⎪⎫1sin α＋1tan α(1－cos α)＝________.解析 ⎝ ⎛⎭⎪⎫1sin α＋1tan α(1－cos α)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1sin α＋cos αsin α(1－cos α)＝1－cos 2αsin α＝sin α. 答案 sin α5．已知sin α＋2cos αcos α＝1，则α在第________象限．解析 由sin α＋2cos αcos α＝1⇒tan α＝－1<0.∴α在第二或第四象限． 答案 二或四6．已知tan α＝2，计算： (1)2sin α－cos αsin α＋2cos α； (2)sin 2α＋sin αcos α－2cos 2α. 解 (1)2sin α－cos αsin α＋2cos α＝2tan α－1tan α＋2＝34.(2)sin 2α＋sin αcos α－2cos 2α ＝sin 2α＋sin αcos α－2cos 2αsin 2α＋cos 2α＝tan 2α＋tan α－2tan 2α＋1＝45.综合提高 (限时25分钟)7．如果α是第二象限的角，下列各式中成立的是 ( )．A ．tan α＝－sin αcos α B ．cos α＝－1－sin 2α C ．sin α＝－1－cos 2αD ．tan α＝cos αsin α解析 由同角三角函数的基本关系式，知tan α＝sin αcos α，故A 、D 错误；又α是第二象限角，所以sin α>0，故C 错误．答案 B8．若sin θ＝m－3m＋5，cos θ＝4－2mm＋5，则m的值为()．A．0 B．8 C．0或8 D．3<m<9解析由sin2θ＋cos2θ＝1，得(m－3)2(m＋5)2＋(4－2m)2(m＋5)2＝1，解得m＝0或8.答案 C9．在△ABC中，2sin A＝3cos A，则角A＝________. 解析由题意知cos A>0，即A为锐角．将2sin A＝3cos A两边平方得2sin2A＝3cos A.∴2cos2A＋3cos A－2＝0，解得cos A＝12或cos A＝－2(舍去)，∴A＝π3.答案π310．化简sin α1＋sin α－sin α1－sin α的结果为________．解析sin α1＋sin α－sin α1－sin α＝sin α(1－sin α)－sin α(1＋sin α) (1＋sin α)(1－sin α)＝－2sin2α1－sin2α＝－2sin2αcos2α＝－2tan2α.答案－2tan2α11．已知关于x的方程2x2－(3＋1)x＋2m＝0的两根为sin θ和cos θ(θ∈(0，π))，求：(1)m的值；(2)sin θ1－cot θ＋cos θ1－tan θ的值(其中cot θ＝1tan θ )；(3)方程的两根及此时θ的值．解 (1)由根与系数的关系可知，sin θ＋cos θ＝3＋12① sin θ·cos θ＝m ②将①式平方得1＋2sin θ·cos θ＝2＋32，所以sin θ·cos θ＝34，代入②得m＝34.(2)sin θ1－cot θ＋cos θ1－tan θ＝sin 2 θsin θ－cos θ＋cos 2 θcos θ－sin θ＝sin 2 θ－cos 2 θsin θ－cos θ＝sin θ＋cos θ＝3＋12.(3)因为已求得m ＝34，所以原方程化为2x 2－(3＋1)x ＋32＝0，解得x 1＝32，x 2＝12.所以⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＝32cos θ＝12或⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＝12cos θ＝32.又因为θ∈(0，π)，所以θ＝π3或π6.12．(创新拓展)是否存在一个实数k ，使方程8x 2＋6kx ＋2k ＋1＝0的两个根是一个直角三角形两个锐角的正弦．解 设这两个锐角为A ，B ， ∵A ＋B ＝90°，∴sin B ＝cos A ，所以sin A ，cos A 为8x 2＋6kx ＋2k ＋1＝0的两个根． 所以⎩⎪⎨⎪⎧sin A ＋cos A ＝－3k4 ①sin A cos A ＝2k ＋18 ②②代入①2，得9k 2－8k －20＝0，解得k 1＝2，k 2＝－109，当k ＝2时，原方程变为8x2＋12x＋5＝0，∵Δ<0∴方程无解；将k＝－109代入②，得sin A cos A＝－1172<0，所以A是钝角，与已知直角三角形矛盾．所以不存在满足已知条件的k.。

同角三角函数的基本关系式练习1．已知4cos 5θ＝，且3π2＜θ＜2π，那么1tan θ的值为( ) A ．34 B ．34- C ．53 D ．43-2( )A ．．－23．(2012·黑龙江哈尔滨期末)已知cos α＝3sin α，则3223sin sin cos cos sin cos αααααα-+=( ) A ．13 B ．727 C ．19 D ．13274．设4sin 25α=，且α是第二象限的角，则tan 2α等于( ) A ．43 B ．34 C ．43± D ．34± 5．已知α∈3π,π4⎛⎫ ⎪⎝⎭，且12sin cos 25αα-＝，则sin α＋cos α的值是( ) A ．15 B ．15- C ．15± D ．75±6__________． 7．已知sin θ＋cos θ＝15，θ∈(0，π)，则cot θ的值是__________． 8．若3cos 5α-＝，且tan α＞0，则3tan cos 1sin ααα=-__________.9．化简：⋅. 10．已知sin θ，cos θ是关于x 的方程x 2－ax ＋a ＝0的两个根(a ∈R )，求tan θ＋1tan θ的值．参考答案1．解析：由sin 2θ＋cos 2θ＝1，得sin θ=因为3π2＜θ＜2π，故sin θ＜0，所以3sin 5θ==-， 所以sin 3tan cos 4θθθ==-. 答案：B2．解析：原式＝＝＝(sin10cos10)sin10cos10-︒-︒︒-︒＝－1. 答案：B3．答案：B4．解析：∵α是第二象限的角，∴2k π＋π2＜α＜2k π＋π(k ∈Z )，∴k π＋π4＜2α＜k π＋π2(k ∈Z )，∴2α是第一或第三象限的角．而4sin 025α=>，∴2α是第一象限的角． 由22sin cos 122αα+=，得3cos 25α==， ∴sin 42tan 23cos 2ααα==. 答案：A 5．解析：因为(sin α＋cos α)2＝24112525-=，且sin α＋cos α＜0， 所以sin α＋cos α＝15-，故选B ． 答案：B6．解析：因为π3ππ25<<，所以3π5是第二象限的角， 所以3πcos 05<，3π3πcos cos 55===-. 答案：3πcos 5- 7．解析：因为sin θ＋cos θ＝15，①两边平方，得1＋2sin θcos θ＝125， 所以2sin θcos θ＝2425-. 因为θ∈(0，π)，所以cos θ＜0＜sin θ. 由于(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝4925， 所以sin θ－cos θ＝75.② 联立①②，解得4sin 5θ＝，3cos 5θ-＝， 所以31cos 35cot 4tan sin 45θθθθ-====-. 答案：34- 8．解析：33sin cos tan cos cos 1sin 1sin ααααααα⋅=-- ＝22sin cos sin (1sin )1sin 1sin αααααα-=-- ＝sin (1sin )(1sin )1sin αααα-+- ＝sin α(1＋sin α)． 又由3cos 5α-＝，tan α＞0，可知α为第三象限的角， 故4sin 5α-＝， 因此sin α(1＋sin α)＝44415525⎛⎫-⨯-=- ⎪⎝⎭. 答案：425- 9．解：原式＝·＝1sin 1sin |cos ||cos |αααα⎛⎫+-- ⎪⎝⎭·1cos 1cos 2sin 2cos |sin ||sin ||cos ||sin |αααααααα⎛⎫+--=⋅ ⎪⎝⎭. 故当α为第一、三象限的角时，原式＝4；当α为第二、四象限的角时，原式＝－4.10．解：依题意，知Δ≥0，即(－a )2－4a ≥0，解得a ≤0或a ≥4，且sin cos ,sin cos .a a θθθθ+=⎧⎨=⎩①② 由①2－②×2，得a 2－2a －1＝0，解得a ＝1a ＝1舍)．故sin θ＋cos θ＝sin θcos θ＝1tan θ＋1tan θ＝sin cos 11cos sin sin cos θθθθθθ+===，因此tan θ＋1tan θ＝1.。

一、选择题1．如果α是第二象限的角，下列各式中成立的是( )A ．tan α＝－sin αcos αB ．cos α＝－1－sin 2 αC ．sin α＝－1－cos 2 αD ．tan α＝cos αsin α【解析】 由商数关系可知A 、D 均不正确，当α为第二象限角时，cos α＜0，sin α＞0，故B 正确．【答案】 B2．已知α∈(π2，π)，sin α＝35，则cos α等于( ) A.45B ．－45C ．－17D.35 【解析】 ∵α∈(π2，π)，∴cos α<0，∵sin 2α＋cos 2α＝1.∴cos α＝－1－sin 2α＝－45. 【答案】 B3．已知α是第四象限角，tan α＝－512，则sin α＝( )A.15 B ．－15C.513 D ．－513【解析】 ∵α是第四象限角，∴sin α<0.由tan α＝－512得sin αcos α＝－512，∴cos α＝－125sin α，由sin 2α＋cos 2α＝1得sin 2α＋(－125sin α)2＝1，∴16925sin 2α＝1，sin α＝±513.∵sin α<0，∴sin α＝－513.【答案】 D4．已知sin α－cos α＝－52，则tan α＋1tan α的值为() A ．－4 B ．4C ．－8D ．8【解析】 tan α＋1tan α＝sin αcos α＋cos αsin α＝sin 2α＋cos 2αsin αcos α＝1sin αcos α.∵sin α－cos α＝－52，∴1－2sin αcos α＝54， ∴sin αcos α＝－18，∴1sin αcos α＝－8. 【答案】 C5．若sin θ＝m －3m ＋5，cos θ＝4－2m m ＋5，则m 的值为( ) A ．0B ．8C ．0或8D ．3＜m ＜9【解析】 由sin 2 θ＋cos 2 θ＝1得(m －3m ＋5)2＋(4－2m m ＋5)2＝1 解得m ＝0或8，故选C.【答案】 C二、填空题6．(2013·长沙高一检测)若α为第三象限角，则cos α1－sin 2 α＋2sin α1－cos 2 α的值为________．【解析】 ∵α为第三象限角，∴sin α<0，cos α<0，∴原式＝cos α|cos α|＋2sin α|sin α|＝cos α－cos α＋2sin α－sin α＝－1－2＝－3. 【答案】 －3。

1.2.3同角三角函数的基本关系式明目标、知重点 1.能通过三角函数的定义推导出同角三角函数的基本关系式.2.理解同角三角函数的基本关系式.3.能运用同角三角函数的基本关系式进行三角函数式的化简、求值和证明.1.同角三角函数的基本关系式(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1.(2)商数关系：tan α＝sin αcos α(α≠kπ＋π2，k∈Z).2.同角三角函数基本关系式的变形(1)sin2α＋cos2α＝1的变形公式：sin2α＝1－cos2α；cos2α＝1－sin2α；(2)tan α＝sin αcos α的变形公式：sin α＝cos αtan α；cos α＝sin αtan α.[情境导学]大家都听过一句话：南美洲亚马逊河雨林中的一只蝴蝶，偶尔扇动几下翅膀，可能在两周后引起美国德克萨斯州的一场龙卷风.这就是著名的“蝴蝶效应”，他本意是说事物初始条件的微弱变化可能会引起结果的巨大变化.两个似乎毫不相干的事物，却有着这样的联系.那么“同一个角”的三角函数一定会有非常密切的关系！到底是什么关系呢？这就是本节课所研究的问题.探究点一同角三角函数的基本关系式思考1写出下列角的三角函数值，观察他们之间的关系，猜想之间的联系？你能发现什么一般规律？你能否用代数式表示这两个规律？sin 30°cos 30°＝tan 30°，sin 45°cos 45°＝tan 45°，sin 60°cos 60°＝tan 60°，sin 150°cos 150°＝tan 150°. 同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1，商等于角α的正切；sin 2α＋cos 2α＝1，tan α＝sin αcos α.这就是同角三角函数的基本关系式.思考2 如何利用任意角的三角函数的定义推导同角三角函数的基本关系式？同角三角函数的基本关系式对任意角α都成立吗？答 设点P (x ，y )为α终边上任意一点，P 与O 不重合.P 到原点的距离为r ＝x 2＋y 2>0，则sin α＝y r ，cos α＝x r ，tan α＝y x.于是sin 2α＋cos 2α＝(y r )2＋(x r )2＝y 2＋x2r2＝1，sin αcos α＝yr x r ＝yx＝tan α. 即sin 2α＋cos 2α＝1，tan α＝sin αcos α. 同角三角函数的基本关系式成立的条件是使式子两边都有意义.所以sin 2α＋cos 2α＝1对于任意角α∈R 都成立，而sin αcos α＝tan α并不是对任意角α∈R 都成立，这时α≠k π＋π2，k ∈Z . 思考3 对于平方关系sin 2α＋cos 2α＝1可作哪些变形？对于商数关系sin αcos α＝tan α可作哪些变形？答 sin 2α＝1－cos 2α，cos 2α＝1－sin 2α (sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α， (sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α， sin α＝cos α·tan α，cos α＝sin αtan α.例1 已知sin α＝－35，求cos α，tan α的值.解 因为sin α<0，sin α≠－1， 所以α是第三或第四象限角.由sin 2α＋cos 2α＝1得cos 2α＝1－sin 2α＝1－⎝⎛⎭⎫－352＝1625. 如果α是第三象限角，那么cos α<0. 于是cos α＝－1625＝－45， 从而tan α＝sin αcos α＝⎝⎛⎭⎫－35×⎝⎛⎭⎫－54＝34.如果α是第四象限角，那么cos α＝45，tan α＝－34.反思与感悟 同角三角函数的基本关系揭示了同角之间的三角函数关系，其最基本的应用是“知一求二”，要注意这个角所在的象限，由此来决定所求的是一解还是两解，同时应体会方程思想的应用.跟踪训练1 已知tan α＝43，且α是第三象限角，求sin α，cos α的值.解 由tan α＝sin αcos α＝43，得sin α＝43cos α.① 又sin 2α＋cos 2α＝1，②由①②得169cos 2α＋cos 2α＝1，即cos 2α＝925.又α是第三象限角，∴cos α＝－35，sin α＝43cos α＝－45.探究点二 三角函数式的化简 例2 已知α是第三象限角，化简：1＋sin α1－sin α－1－sin α1＋sin α.解 原式＝(1＋sin α)2(1－sin α)(1＋sin α)－(1－sin α)2(1＋sin α)(1－sin α)＝(1＋sin α)2cos 2α－(1－sin α)2cos 2α＝1＋sin α|cos α|－1－sin α|cos α|＝2sin α|cos α|. ∵α是第三象限角，∴cos α<0.∴原式＝2sin α－cos α＝－2tan α.即1＋sin α1－sin α－1－sin α1＋sin α＝－2tan α.反思与感悟 解答此类题目的关键在于公式的灵活运用，切实分析好同角三角函数间的关系.化简过程中常用的方法有：(1)化切为弦，即把非正弦、非余弦的函数都化成正弦、余弦函数，从而减少函数名称，达到化简的目的.(2)对于含有根号的，常把根号下化成完全平方式，然后去根号，达到化简的目的.(3)对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解.(4)关于sin α，cos α的齐次式的求值方法：①sin α，cos α的齐次式就是式子中的每一项都是关于sin α，cos α的式子且它们的次数之和相同，设为n 次，将分子，分母同除以cos α的n 次幂，其式子可化为关于tan α的式子，再代入求值.②若无分母时，把分母看作1，并将1用sin 2α＋cos 2α来代换，将分子、分母同除以cos 2α，可化为关于tan α的式子，再代入求值. 跟踪训练2 已知tan α＝3，则 (1)2sin α－3cos α4sin α－9cos α＝ ； (2)sin 2α－3sin αcos α＋1＝ . 答案 (1)1 (2)1解析 (1)2sin α－3cos α4sin α－9cos α＝2tan α－34tan α－9＝2×3－34×3－9＝1；(2)sin 2α－3sin αcos α＋1＝sin 2α－3sin αcos α＋sin 2α＋cos 2αsin 2α＋cos 2α＝2sin 2α－3sin αcos α＋cos 2αsin 2α＋cos 2α＝2tan 2α－3tan α＋1tan 2α＋1 ＝2×32－3×3＋132＋1＝1.探究点三 三角恒等式的证明 例3 求证：cos α1－sin α＝1＋sin αcos α.证明 方法一 左边＝cos 2αcos α(1－sin α)＝1－sin 2αcos α(1－sin α)＝(1－sin α)(1＋sin α)cos α(1－sin α)＝1＋sin αcos α＝右边，∴原等式成立.方法二 ∵sin 2α＋cos 2α＝1，∴cos 2α＝1－sin 2α. ∴cos 2α＝(1－sin α)·(1＋sin α). ∴cos α1－sin α＝1＋sin αcos α.方法三 右边＝(1＋sin α)(1－sin α)cos α(1－sin α)＝1－sin 2αcos α(1－sin α)＝cos 2αcos α(1－sin α)＝cos α1－sin α＝左边， ∴原等式成立.方法四 左边＝cos 2αcos α(1－sin α)，右边＝(1＋sin α)(1－sin α)cos α(1－sin α)＝1－sin 2αcos α(1－sin α)＝cos 2αcos α(1－sin α)， ∵左边＝右边，∴原等式成立. 方法五 ∵cos α1－sin α－1＋sin αcos α＝cos 2α－(1＋sin α)(1－sin α)cos α(1－sin α)＝cos 2α－(1－sin 2α)cos α(1－sin α)＝cos 2α－cos 2αcos α(1－sin α)＝0，∴cos α1－sin α＝1＋sin αcos α.反思与感悟 证明三角恒等式的实质是清除等式两端的差异，有目的地进行化简.证明三角恒等式的基本原则：由繁到简.常用方法：从左向右证；从右向左证；左、右同时证.常用技巧：切化弦、整体代换.跟踪训练3 求证：2sin x cos x －1cos 2x －sin 2x ＝tan x －1tan x ＋1.证明 方法一 ∵左边＝2sin x cos x －(sin 2x ＋cos 2x )cos 2x －sin 2x ＝－(sin 2x －2sin x cos x ＋cos 2x )cos 2x －sin 2x ＝(sin x －cos x )2sin 2x －cos 2x＝(sin x －cos x )2(sin x －cos x )(sin x ＋cos x )＝sin x －cos x sin x ＋cos x ＝tan x －1tan x ＋1＝右边. ∴原式成立.方法二 ∵右边＝sin xcos x－1sin x cos x ＋1＝sin x －cos x sin x ＋cos x ；左边＝1－2sin x cos x sin 2x －cos 2x ＝(sin x －cos x )2sin 2x －cos 2x ＝(sin x －cos x )2(sin x －cos x )·(sin x ＋cos x )＝sin x －cos xsin x ＋cos x . ∴左边＝右边，原等式成立.1.化简：1－2sin 40°cos 40°＝ . 答案 cos 40°－sin 40° 解析 原式＝sin 240°＋cos 240°－2sin 40°cos 40°＝(sin 40°－cos 40°)2＝|cos 40°－sin 40°|＝cos 40°－sin 40°.2.已知α是第三象限角，sin α＝－13，则tan α＝ .答案24解析 由α是第三象限的角，得到cos α<0， 又sin α＝－13，所以cos α＝－1－⎝⎛⎭⎫－132＝－223， 则tan α＝sin αcos α＝24. 3.若α是第三象限角，化简：1＋cos α1－cos α＋1－cos α1＋cos α.解 ∵α是第三象限角，∴sin α<0， 由三角函数线可知－1<cos α<0.∴1＋cos α1－cos α＋1－cos α1＋cos α＝(1＋cos α)21－cos 2α＋(1－cos α)21－cos 2α＝ (1＋cos α)2sin 2α＋(1－cos α)2sin 2α＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1＋cos αsin α＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－cos αsin α＝－1＋cos αsin α－1－cos αsin α＝－2sin α.4.求证：tan θ·sin θtan θ－sin θ＝1＋cos θsin θ.证明 左边＝sin θcos θ·sin θsin θcos θ－sin θ＝sin 2θsin θ－sin θcos θ＝1－cos 2θsin θ(1－cos θ) ＝(1－cos θ)·(1＋cos θ)sin θ·(1－cos θ)＝1＋cos θsin θ＝右边.∴原等式成立. [呈重点、现规律]1.同角三角函数的基本关系揭示了“同角不同名”的三角函数的运算规律，它的精髓在“同角”二字上，如sin 22α＋cos 22α＝1，sin 8αcos 8α＝tan 8α等都成立，理由是式子中的角为“同角”.2.已知角α的某一种三角函数值，求角α的其余三角函数值时，要注意公式的合理选择.一般是先选用平方关系，再用商数关系.在应用平方关系求sin α或cos α时，其正负号是由角α所在象限来决定，切不可不加分析，凭想象乱写公式.3.在三角函数的变换求值中，已知sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α中的一个，可以利用方程思想，求出另外两个的值.4.在进行三角函数式的化简或求值时，细心观察题目的特征，灵活、恰当地选用公式，统一角、统一函数、降低次数是三角函数关系式变形的出发点.利用同角三角函数的基本关系式主要是统一函数，要掌握“切化弦”和“弦化切”的方法.5.在化简或恒等式证明时，注意方法的灵活运用，常用的技巧有：①“1”的代换；②减少三角函数的个数(化切为弦、化弦为切等)；③多项式运算技巧的应用(如因式分解、整体思想等)；④对条件或结论的重新整理、变形，以便于应用同角三角函数关系来求解.一、基础过关1.已知α是第二象限角，sin α＝513，则cos α等于 ( )A.－1213B.－513C.513D.1213答案 A解析 因为α为第二象限角， 所以cos α＝－1－sin 2α＝－1213.2.已知sin α＝55，则sin 4α－cos 4α的值为( ) A.－15 B.－35 C.15 D.35答案 B解析 sin 4α－cos 4α＝sin 2α－cos 2α＝2sin 2α－1 ＝2×15－1＝－35.3.已知α是第二象限的角，tan α＝－12，则cos α等于( )A.－55 B.－15 C.－255 D.－45答案 C解析 ∵α是第二象限角，∴cos α<0. 又sin 2α＋cos 2α＝1，tan α＝sin αcos α＝－12， ∴cos α＝－255.4.若sin α＋sin 2α＝1，则cos 2α＋cos 4α等于( ) A.0 B.1 C.2 D.3 答案 B解析 sin α＋sin 2α＝1得sin α＝cos 2α， ∴cos 2α＋cos 4α＝sin α＋sin 2α＝1.5.化简：sin 2α＋sin 2β－sin 2αsin 2β＋cos 2αcos 2β＝ . 答案 1解析 原式＝sin 2α＋sin 2β(1－sin 2α)＋cos 2αcos 2β ＝sin 2α＋sin 2βcos 2α＋cos 2αcos 2β ＝sin 2α＋cos 2α(sin 2β＋cos 2β) ＝sin 2α＋cos 2α＝1.6.已知直线l 的倾斜角是θ，且sin θ＝513，则直线l 的斜率k ＝ .答案 ±512解析 因为直线l 的倾斜角是θ，所以θ∈[0，π). 又因为sin θ＝513，sin 2θ＋cos 2θ＝1，所以cos θ＝±1－(513)2＝±1213，于是直线l 的斜率k ＝sin θcos θ＝±512.7.(1)化简1－sin 2100°；(2)用tan α表示sin α＋cos α2sin α－cos α，sin 2α＋sin αcos α＋3cos 2α.解 (1)1－sin 2100°＝cos 2100°＝|cos 100°|＝－cos 100°.(2)sin α＋cos α2sin α－cos α＝sin α＋cos αcos α2sin α－cos αcos α＝tan α＋12tan α－1， sin 2α＋sin αcos α＋3cos 2α＝sin 2α＋sin αcos α＋3cos 2αsin 2α＋cos 2α＝sin 2α＋sin αcos α＋3cos 2 αcos 2αsin 2α＋cos 2αcos 2α＝tan 2α＋tan α＋3tan 2α＋1. 二、能力提升8.已知tan θ＝2，则sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θ等于( ) A.－43 B.54 C.－34 D.45答案 D解析 sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θ＝sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θsin 2θ＋cos 2θ＝tan 2θ＋tan θ－2tan 2θ＋1， 又tan θ＝2，故原式＝4＋2－24＋1＝45.9.已知sin α－cos α＝－52，则tan α＋1tan α的值为( ) A.－4 B.4 C.－8 D.8 答案 C解析 tan α＋1tan α＝sin αcos α＋cos αsin α＝1sin αcos α.∵sin αcos α＝1－(sin α－cos α)22＝－18，∴tan α＋1tan α＝－8. 10.已知tan α＝－12，则1＋2sin αcos αsin 2α－cos 2α的值是 . 答案 －13解析 原式＝(sin α＋cos α)2sin 2α－cos 2α＝sin α＋cos αsin α－cos α＝tan α＋1tan α－1＝－12＋1－12－1＝－13. 11.已知4sin θ－2cos θ3sin θ＋5cos θ＝611，求下列各式的值. (1)5cos 2θsin 2θ＋2sin θcos θ－3cos 2θ； (2)1－4sin θcos θ＋2cos 2θ.解 由已知4sin θ－2cos θ3sin θ＋5cos θ＝611， ∴4tan θ－23tan θ＋5＝611.解得：tan θ＝2. (1)原式＝5tan 2θ＋2tan θ－3＝55＝1. (2)原式＝sin 2θ－4sin θcos θ＋3cos 2θ＝sin 2θ－4sin θcos θ＋3cos 2θsin 2θ＋cos 2θ＝tan 2θ－4tan θ＋31＋tan 2θ＝－15. 12.求证：cos α1＋sin α－sin α1＋cos α＝2(cos α－sin α)1＋sin α＋cos α. 证明 方法一 左边＝cos α(1＋cos α)－sin α(1＋sin α)(1＋sin α)(1＋cos α)＝cos 2α－sin 2α＋cos α－sin α1＋sin α＋cos α＋sin αcos α＝(cos α－sin α)(cos α＋sin α＋1)12(cos α＋sin α)2＋sin α＋cos α＋12 ＝2(cos α－sin α)(cos α＋sin α＋1)(sin α＋cos α＋1)2＝2(cos α－sin α)1＋sin α＋cos α＝右边.∴原式成立. 方法二 ∵cos α1＋sin α＝1－sin αcos α＝cos α＋1－sin α1＋sin α＋cos α， sin α1＋cos α＝1－cos αsin α＝sin α＋1－cos α1＋cos α＋sin α， ∴cos α1＋sin α－sin α1＋cos α＝2(cos α－sin α)1＋cos α＋sin α. ∴原式成立.三、探究与拓展13.已知sin α＋cos α＝－13，其中0<α<π，求sin α－cos α的值. 解 因为sin α＋cos α＝－13，所以(sin α＋cos α)2＝19， 所以1＋2sin αcos α＝19，所以sin αcos α＝－49. 因为0<α<π且sin αcos α<0，所以sin α>0，cos α<0，所以sin α－cos α>0.又因为(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝179， 所以sin α－cos α＝173.。

1．2.3同角三角函数的基本关系式(1)同角三角函数的基本关系式有哪两种？(2)已知sin α，cos α和tan α其中的一个值，如何求其余两个值？[新知初探]同角三角函数的基本关系式 (1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1. (2)商数关系：tan_α＝sin αcos α⎝⎛⎭⎫α≠k π＋π2，k ∈Z .这就是说，同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1，商等于角α的正切⎝⎛⎭⎫α≠k π＋π2，k ∈Z .[点睛] (1)注意“同角”，这里“同角”有两层含义，一是“角相同”，二是对“任意”一个角(在使函数有意义的前提下)关系式都成立，即与角的表达形式无关，如sin 23α＋cos 23α＝1成立，但是sin 2α＋cos 2β＝1就不一定成立．(2)sin 2α是(sin α)2的简写，读作“sin α的平方”，不能将sin 2α写成sin α2，前者是α的正弦的平方，后者是α2的正弦，两者是不同的，要弄清它们的区别，并能正确书写．(3)注意同角三角函数的基本关系式都是对于使它们有意义的角而言的，sin 2α＋cos 2α＝1对一切α∈R 恒成立，而tan α＝sin αcos α仅对α≠π2＋k π(k ∈Z)成立． [小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)对任意角α，sin 2α3＋cos 2α3＝1都成立．( )(2)对任意角α，sin 2αcos 2α＝tan 2α都成立．( ) (3)若cos α＝0，则sin α＝1.( ) 答案：(1)√ (2)× (3)×2．已知α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，sin α＝35，则cos α＝( ) A.45 B ．－45C ．－17D.35答案：A3．已知α是第二象限角，且cos α＝－817，则tan α的值是( )A.817 B ．－817 C.158 D ．－158 答案：D4．已知sin α＝513，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则tan α＝________. 答案：－512[典例] (1)已知tan α＝2，则 ①sin α＋cos αsin α－cos α＝________；②2sin 2α－3cos 2α4sin 2α－9cos 2α＝________； ③4sin 2α－3sin αcos α－5cos 2α＝________. (2)已知sin α＝15，求cos α，tan α的值．[解析] (1)①注意到分式的分子和分母均是关于sin α，cos α的一次齐次式，可将分子分母同除以cos α(∵cos α≠0)，然后整体代入tan α＝2的值．则sin α＋cos αsin α－cos α＝tan α＋1tan α－1＝2＋12－1＝3. ②注意到分式的分子和分母均是关于sin α，cos α的二次齐次式，分子分母同除以cos 2α(∵cos 2α≠0)，则2sin 2α－3cos 2α4sin 2α－9cos 2α＝2tan 2α－34tan 2α－9＝2×4－34×4－9＝57. ③似乎跟前两题没什么联系，但若能注意到sin 2α＋cos 2α＝1，则有4sin 2α－3sin αcos α－5cos 2α＝4sin 2α－3sin αcos α－5cos 2α1＝4sin 2α－3sin αcos α－5cos 2αsin 2α＋cos 2α， 这样便使得分子分母均为二次齐次式．同②有4sin 2α－3sin αcos α－5cos 2αsin 2α＋cos 2α＝4tan 2α－3tan α－5tan 2α＋1＝4×4－3×2－54＋1＝1.答案：①3 ②57③1(2)∵sin α＝15>0，∴α是第一或第二象限角．当α为第一象限角时，cos α＝1－sin 2α＝1－125＝265，tan α＝sin αcos α＝612； 当α为第二象限角时，cos α＝－265，tan α＝－612.1．求三角函数值的方法(1)已知sin θ(或cos θ)求tan θ常用以下方式求解(2)已知tan θ求sin θ(或cos θ)常用以下方式求解当角θ的范围不确定且涉及开方时，常因三角函数值的符号问题而对角θ分区间(象限)讨论．2．已知角α的正切求关于sin α，cos α的齐次式的方法(1)关于sin α，cos α的齐次式就是式子中的每一项都是关于sin α，cos α的式子且它们的次数之和相同，设为n 次，将分子、分母同除以cos α的n 次幂，其式子可化为关于tan α的式子，再代入求值．(2)若无分母时，把分母看作1，并将1用sin 2α＋cos 2α来代换，将分子、分母同除以cos 2α，可化为关于tan α的式子，再代入求值．[活学活用](1)已知cos α＝－45，求sin α和tan α.(2)已知tan α＝2，试求2sin α－3cos αcos α＋sin α的值．解：(1)sin 2α＝1－cos 2α＝1－⎝⎛⎭⎫－452＝⎝⎛⎭⎫352， 因为cos α＝－45<0，所以α是第二或第三象限角，当α是第二象限角时，sin α＝35，tan α＝sin αcos α＝－34；当α是第三象限角时，sin α＝－35，tan α＝sin αcos α＝34.(2)由tan α＝2可得sin α＝2cos α，故2sin α－3cos αcos α＋sin α＝4cos α－3cos αcos α＋2cos α＝cos α3cos α＝13.三角函数式的化简[典例](1)化简：1－2sin 130°cos 130°sin 130°＋1－sin2130°.(2)若角α是第二象限角，化简：tan α1sin2α－1.[解](1)原式＝sin2130°－2sin 130°cos 130°＋cos2130°sin 130°＋cos2130°＝|sin 130°－cos 130°| sin 130°＋|cos 130°|＝sin 130°－cos 130°sin 130°－cos 130°＝1.(2)原式＝tan α1－sin2αsin2α＝tan αcos2αsin2α＝sin αcos α×|cos α||sin α|，因为α是第二象限角，所以sin α>0，cos α<0，所以原式＝sin αcos α×|cos α||sin α|＝sin αcos α×－cos αsin α＝－1.三角函数式的化简技巧(1)化切为弦，即把正切函数都化为正、余弦函数，从而减少函数名称，达到化繁为简的目的．(2)对于含有根号的，常把根号里面的部分化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的．(3)对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造sin 2α＋cos 2α＝1，以降低函数次数，达到化简的目的．[活学活用]化简：(1)sin α1－cos α·tan α－sin αtan α＋sin α；(2)(1－tan θ)·cos 2θ＋⎝⎛⎭⎫1＋1tan θ·sin 2θ. 解：(1)原式＝sin α1－cos α·1－cos α1＋cos α＝sin α1－cos α·(1－cos α)21－cos 2α＝sin α1－cos α·1－cos α|sin α|＝±1. (2)原式＝cos θ－sin θcos θ·cos 2θ＋sin θ＋cos θsin θ·sin 2θ＝cos 2θ－sin θcos θ＋sin 2θ＋sin θcos θ ＝cos 2θ＋sin 2θ＝1.证明简单的三角恒等式[典例] 求证：tan αsin αtan α－sin α＝tan α＋sin αtan αsin α.[证明] [法一 直接法] 左边＝tan αsin α(tan α＋sin α)tan 2α－sin 2α＝tan αsin α(tan α＋sin α)tan 2α－tan 2αcos 2α＝tan αsin α(tan α＋sin α)tan 2α(1－cos 2α)＝tan αsin α(tan α＋sin α)tan 2αsin 2α＝tan α＋sin αtan αsin α＝右边， ∴原等式成立． [法二 左右归一法]左边＝tan αsin αtan α－tan αcos α＝sin α1－cos α，右边＝tan α＋tan αcos αtan αsin α＝1＋cos αsin α＝1－cos 2αsin α(1－cos α)＝sin 2αsin α(1－cos α)＝sin α1－cos α，∴左边＝右边，原等式成立． [法三 比较法]∵tan αsin αtan α－sin α－tan α＋sin αtan αsin α ＝tan 2αsin 2α－(tan 2α－sin 2α)tan αsin α(tan α－sin α)＝tan 2αsin 2α－tan 2α＋sin 2αtan αsin α(tan α－sin α) ＝tan 2α(sin 2α－1)＋sin 2αtan αsin α(tan α－sin α)＝－tan 2αcos 2α＋sin 2αtan αsin α(tan α－sin α)＝－sin 2α＋sin 2αtan αsin α(tan α－sin α)＝0，∴tan αsin αtan α－sin α＝tan α＋sin αtan αsin α. [法四 综合法]∵(tan α－sin α)(tan α＋sin α) ＝tan 2α－sin 2α＝tan 2α－tan 2α·cos 2α ＝tan 2α(1－cos 2α) ＝tan 2α·sin 2α，∴tan αsin αtan α－sin α＝tan α＋sin αtan αsin α.证明三角恒等式常用的方法(1)从一边开始，证得它等于另一边，一般是由比较复杂的一边开始化简到另一边，其依据是相等关系的传递性．(2)左右归一法：即证明左右两边都等于同一个式子，其依据是等于同一个量的两个量相等．(3)综合法：即由一个已知成立的等式(如公式等)恒等变形得到所要证明的等式，其依据是等价转化的思想．(4)比较法：即证左边－右边＝0或证左边右边＝1.[活学活用]求证：2(1－sin α)(1＋cos α)＝(1－sin α＋cos α)2. 证明：法一：左边＝2－2sin α＋2cos α－2sin αcos α ＝1＋sin 2α＋cos 2α－2sin αcos α＋2(cos α－sin α) ＝1＋2(cos α－sin α)＋(cos α－sin α)2 ＝(1－sin α＋cos α)2＝右边．法二：∵左边＝2－2sin α＋2cos α－2sin αcos α，右边＝1＋sin 2α＋cos 2α－2sin α＋2cos α－2sin αcos α＝2－2sin α＋2cos α－2sin αcos α， ∴左边＝右边.sin α±cos α与sin αcos α关系的应用[典例] 已知sin θ＋cos θ＝12(0<θ<π)，求sin θcos θ和sin θ－cos θ的值．[解] 因为sin θ＋cos θ＝12(0<θ<π)，所以(sin θ＋cos θ)2＝14，即sin 2θ＋2sin θcos θ＋cos 2θ＝14，所以sin θcos θ＝－38.由上知，θ为第二象限的角， 所以sin θ－cos θ>0， 所以sin θ－cos θ ＝ (sin θ＋cos θ)2－4sin θcos θ＝⎝⎛⎭⎫122－4×⎝⎛⎭⎫－38＝72.已知sin α±cos α，sin αcos α求值问题，一般利用三角恒等式，采用整体代入的方法求解．涉及的三角恒等式有：①(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α； ②(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α； ③(sin α＋cos α)2＋(sin α－cos α)2＝2； ④(sin α－cos α)2＝(sin α＋cos α)2－4sin αcos α.上述三角恒等式告诉我们，已知sin α＋cos α，sin α－cos α，sin αcos α中的任何一个，则另两个式子的值均可求出．[活学活用]1．已知0<θ<π，且sin θ－cos θ＝15，求sin θ＋cos θ，tan θ的值．解：∵sin θ－cos θ＝15，∴(sin θ－cos θ)2＝125.解得sin θcos θ＝1225. ∵0<θ<π，且sin θ·cos θ＝1225>0，∴sin θ>0，cos θ>0. ∴sin θ＋cos θ＝(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ＝1＋2425＝75. 由⎩⎨⎧sin θ－cos θ＝15，sin θ＋cos θ＝75，得⎩⎨⎧sin θ＝45，cos θ＝35，∴tan θ＝sin θcos θ＝43.2．若0<θ<π，sin θcos θ＝－60169，求sin θ－cos θ. 解：∵0<θ<π，sin θcos θ＝－60169<0，∴sin θ>0，cos θ<0.∴sin θ－cos θ>0. ∴sin θ－cos θ＝(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝1－2×⎝⎛⎭⎫－60169＝ 289169＝1713.层级一 学业水平达标1．若sin α＝－513，且α为第四象限角，则tan α的值等于( )A.125 B ．－125 C.512D ．－512解析：选D 因为sin α＝－513，且α为第四象限角， 所以cos α＝1213，所以tan α＝－512，故选D.2．若α为第三象限角，则cos α1－sin 2α＋2sin α1－cos 2α的值为( )A ．3B ．－3C ．1D ．－1解析：选B ∵α为第三象限角， ∴原式＝cos α－cos α＋2sin α－sin α＝－3.3．下列四个结论中可能成立的是( )A ．sin α＝12且cos α＝12B ．sin α＝0且cos α＝－1C ．tan α＝1且cos α＝－1D ．α是第二象限角时，tan α＝－sin αcos α解析：选B 根据同角三角函数的基本关系进行验证，因为当α＝π时，sin α＝0且cos α＝－1，故B 成立，而A 、C 、D 都不成立．4．已知sin α＝55，则sin 4α－cos 4α的值为( ) A ．－35B ．－15 C.15 D.35解析：选A sin 4α－cos 4α＝(sin 2α＋cos 2α)(sin 2α－cos 2α)＝sin 2α－(1－sin 2α)＝2sin 2α－1＝2×⎝⎛⎭⎫552－1＝－35. 5．若α是三角形的最大内角，且sin α－cos α＝35，则三角形是( ) A ．钝角三角形B ．锐角三角形C ．直角三角形D ．等腰三角形解析：选B 将sin α－cos α＝35两边平方，得1－2sin αcos α＝925，即2sin αcos α＝1625.又α是三角形的内角，∴sin α>0，cos α>0，∴α为锐角．6．若sin θ＝－22，tan θ>0，则cos θ＝________. 解析：由已知得θ是第三象限角，所以cos θ＝－1－sin 2θ＝－ 1－⎝⎛⎭⎫－222＝－22. 答案：－22 7．化简：1－2sin 40°cos 40°＝________.解析：原式＝sin 240°＋cos 240°－2sin 40°cos 40° ＝ (sin 40°－cos 40°)2＝|cos 40°－sin 40°|＝cos 40°－sin 40°.答案：cos 40°－sin 40°8．已知tan α＝－12，则1＋2sin αcos αsin 2α－cos 2α＝________. 解析：1＋2sin αcos αsin 2α－cos 2α＝(sin α＋cos α)2sin 2α－cos 2α＝sin α＋cos αsin α－cos α＝tan α＋1tan α－1＝－12＋1－12－1＝12－32＝－13. 答案：－139．化简：(1)cos 36°－1－cos 236°1－2sin 36°cos 36°； (2)sin θ－cos θtan θ－1. 解：(1)原式＝cos 36°－sin 236°sin 236°＋cos 236°－2sin 36°cos 36° ＝cos 36°－sin 36°(cos 36°－sin 36°)2＝cos 36°－sin 36°|cos 36°－sin 36°|＝cos 36°－sin 36°cos 36°－sin 36°＝1. (2)原式＝sin θ－cos θsin θcos θ－1＝cos θ(sin θ－cos θ)sin θ－cos θ＝cos θ. 10．已知sin α＋cos α＝33，求tan α＋1tan α及sin α－cos α的值． 解：将sin α＋cos α＝33两边平方，得sin αcos α＝－13. ∴tan α＋1tan α＝1sin αcos α＝－3， (sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1＋23＝53， ∴sin α－cos α＝±153. 层级二 应试能力达标1．已知tan α＝12，且α∈⎝⎛⎭⎫π，3π2，则sin α的值是( ) A ．－55 B.55C.255 D ．－255 解析：选A ∵α∈⎝⎛⎭⎫π，3π2，∴sin α<0. 由tan α＝sin αcos α＝12，sin 2α＋cos 2α＝1， 得sin α＝－55. 2．化简⎝⎛⎭⎫1sin α＋1tan α(1－cos α)的结果是( )A ．sin αB ．cos αC ．1＋sin αD ．1＋cos α解析：选A ⎝⎛⎭⎫1sin α＋1tan α(1－cos α)＝⎝⎛⎭⎫1sin α＋cos αsin α·(1－cos α)＝(1＋cos α)sin α·(1－cos α)＝1－cos 2αsin α＝sin 2αsin α＝sin α. 3．已知θ是第三象限角，且sin 4θ＋cos 4θ＝59，则sin θcos θ的值为( ) A.23 B ．－23C.13 D ．－13解析：选A 由sin 4θ＋cos 4θ＝59，得 (sin 2θ＋cos 2θ)2－2sin 2θcos 2θ＝59. ∴sin 2θcos 2θ＝29.∵θ是第三象限角， ∴sin θ＜0，cos θ＜0，∴sin θcos θ＝23. 4．已知sin θ＋cos θsin θ－cos θ＝2，则sin θcos θ的值是( ) A.34B ．±310 C.310 D ．－310解析：选C 由条件得sin θ＋cos θ＝2sin θ－2cos θ，即3cos θ＝sin θ，tan θ＝3，∴sin θcos θ＝sin θcos θsin 2θ＋cos 2θ＝tan θ1＋tan 2θ＝31＋32＝310. 5．已知sin αcos α＝18，且π<α<5π4，则cos α－sin α＝________. 解析：因为π<α<5π4，所以cos α<0，sin α<0.利用三角函数线，知cos α<sin α，所以cos α－sin α<0，所以cos α－sin α＝－(cos α－sin α)2＝－1－2×18＝－32. 答案：－32 6．若sin α＋cos α＝1，则sin n α＋cos n α(n ∈Z)的值为________．解析：∵sin α＋cos α＝1，∴(sin α＋cos α)2＝1，又sin 2α＋cos 2α＝1，∴sin αcos α＝0，∴sin α＝0或cos α＝0，当sin α＝0时，cos α＝1，此时有sin n α＋cos n α＝1；当cos α＝0时，sin α＝1，也有sin n α＋cos n α＝1，∴sin n α＋cos n α＝1.答案：17．已知tan 2α1＋2tan α＝13，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π. (1)求tan α的值；(2)求sin α＋2cos α5cos α－sin α的值． 解：(1)由tan 2α1＋2tan α＝13， 得3tan 2α－2tan α－1＝0，即(3tan α＋1)(tan α－1)＝0，解得tan α＝－13或tan α＝1. 因为α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，所以tan α<0，所以tan α＝－13. (2)由(1)，得tan α＝－13，所以sin α＋2cos α5cos α－sin α＝tan α＋25－tan α＝－13＋25－⎝⎛⎭⎫－13＝516.8．证明：(1)1－cos 2αsin α－cos α－sin α＋cos αtan 2α－1＝sin α＋cos α； (2)(2－cos 2α)(2＋tan 2α)＝(1＋2tan 2α)(2－sin 2α)．证明：(1)左边＝sin 2αsin α－cos α－sin α＋cos αsin 2αcos 2α－1 ＝sin 2αsin α－cos α－sin α＋cos αsin 2α－cos 2αcos 2α＝sin 2αsin α－cos α－cos 2α(sin α＋cos α)sin 2α－cos 2α＝sin 2αsin α－cos α－cos 2αsin α－cos α＝sin 2α－cos 2αsin α－cos α ＝sin α＋cos α＝右边，∴原式成立．(2)∵左边＝4＋2tan 2α－2cos 2α－sin 2α＝2＋2tan 2α＋sin 2α， 右边＝(1＋2tan 2α)(1＋cos 2α)＝1＋2tan 2α＋cos 2α＋2sin 2α＝2＋2tan 2α＋sin 2α， ∴左边＝右边，∴原式成立．。

1.2.3 同角三角函数的基本关系式[学习目标] 1.能通过三角函数的定义推导出同角三角函数的基本关系式.2.理解同角三角函数的基本关系式.3.能运用同角三角函数的基本关系式进行三角函数式的化简、求值和证明．[知识链接]如何利用任意角的三角函数的定义推导同角三角函数的基本关系式？答 设点P (x ，y )为α终边上任意一点，P 与O 不重合．P 到原点的距离为r ＝x 2＋y 2>0，则sin α＝y r ，cos α＝x r ，tan α＝y x. 于是sin 2α＋cos 2α＝⎝⎛⎭⎫y r 2＋⎝⎛⎭⎫x r 2＝y 2＋x 2r 2＝1， sin αcos α＝y r x r＝y x＝tan α. 即sin 2α＋cos 2α＝1，tan α＝sin αcos α. [预习导引]1．任意角三角函数的定义如图所示，以任意角α的顶点O 为坐标原点，以角α的始边的方向作为x 轴的正方向，建立直角坐标系．设P (x ，y )是任意角α终边上不同于坐标原点的任意一点． 其中，r ＝OP ＝x 2＋y 2>0.则sin α＝y r ，cos α＝x r ，tan α＝y x. 2．同角三角函数的基本关系式(1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1.(2)商数关系：tan α＝sin αcos α (α≠k π＋π2，k ∈Z )． 3．同角三角函数基本关系式的变形(1)sin 2α＋cos 2α＝1的变形公式：sin 2α＝1－cos 2α；cos 2α＝1－sin 2α；(2)tan α＝sin αcos α的变形公式： sin α＝cos_αtan_α；cos α＝sin αtan α.要点一 利用同角基本关系式求值例1 已知cos α＝－817，求sin α，tan α的值． 解 ∵cos α＝－817<0，∴α是第二或第三象限的角，如果α是第二象限角，那么 sin α＝1－cos 2α＝ 1－⎝⎛⎭⎫－8172＝1517， tan α＝sin αcos α＝1517－817＝－158. 如果α是第三象限角，同理可得sin α＝－1－cos 2α＝－1517，tan α＝158. 规律方法 已知角α的某一种三角函数值，求角α的其余三角函数值时，要注意公式的合理选择，一般是先选用平方关系，再用商数关系．另外也要注意“1”的代换，如“1＝sin 2α＋cos 2α”．本题没有指出α是第几象限的角，则必须由cos α的值推断出α所在的象限，再分类求解．跟踪演练1 已知tan α＝43，且α是第三象限角，求sin α，cos α的值． 解 由tan α＝sin αcos α＝43，得sin α＝43cos α① 又sin 2α＋cos 2α＝1②由①②得169cos 2α＋cos 2α＝1，即cos 2α＝925. 又α是第三象限角，∴cos α＝－35，sin α＝43cos α＝－45. 要点二 三角函数代数式的化简。

一、选择题1．如果α是第二象限的角，下列各式中成立的是( )A ．tan α＝－sin αcos αB ．cos α＝－1－sin 2 αC ．sin α＝－1－cos 2 αD ．tan α＝cos αsin α【解析】 由商数关系可知A 、D 均不正确，当α为第二象限角时，cos α＜0，sin α＞0，故B 正确．【答案】 B2．已知α∈(π2，π)，sin α＝35，则cos α等于( )A.45B ．－45C ．－17 D.35【解析】 ∵α∈(π2，π)，∴cos α<0，∵sin 2α＋cos 2α＝1.∴cos α＝－1－sin 2α＝－45.【答案】 B3．已知α是第四象限角，tan α＝－512，则sin α＝( )A.15B ．－15 C.513 D ．－513【解析】 ∵α是第四象限角，∴sin α<0.由tan α＝－512得sin αcos α＝－512，∴cos α＝－125sin α，由sin 2α＋cos 2α＝1得sin 2α＋(－125sin α)2＝1，∴16925sin 2α＝1，sin α＝±513.∵sin α<0，∴sin α＝－513.【答案】 D4．已知sin α－cos α＝－52，则tan α＋1tan α的值为( )A ．－4B ．4C ．－8D ．8【解析】 tan α＋1tan α＝sin αcos α＋cos αsin α＝sin 2α＋cos 2αsin αcos α＝1sin αcos α.∵sin α－cos α＝－52，∴1－2sin αcos α＝54，∴sin αcos α＝－18，∴1sin αcos α＝－8.【答案】 C5．若sin θ＝m －3m ＋5，cos θ＝4－2m m ＋5，则m 的值为( ) A ．0B ．8C ．0或8D ．3＜m ＜9【解析】 由sin 2 θ＋cos 2 θ＝1得(m －3m ＋5)2＋(4－2m m ＋5)2＝1 解得m ＝0或8，故选C.【答案】 C二、填空题6．(2019·长沙高一检测)若α为第三象限角，则cos α1－sin 2 α＋2sin α1－cos 2 α的值为________．【解析】 ∵α为第三象限角，∴sin α<0，cos α<0，∴原式＝cos α|cos α|＋2sin α|sin α|＝cos α－cos α＋2sin α－sin α＝－1－2＝－3. 【答案】 －37．(2019·唐山高一检测)若4sin α－2cos α5cos α＋3sin α＝10，则tan α的值为________． 【解析】 ∵4sin α－2cos α5cos α＋3sin α＝10， ∴4sin α－2cos α＝50cos α＋30sin α，∴26sin α＝－52cos α，即sin α＝－2cos α.∴tan α＝－2.【答案】 －28．(2019·德州高一检测)在△ABC 中，2sin A ＝3cos A ，则角A ＝________.【解析】 由题意知cos A ＞0，即A 为锐角． 将2sin A ＝3cos A 两边平方得2sin 2 A ＝3cos A .∴2cos 2 A ＋3cos A －2＝0，解得cos A ＝12或cos A ＝－2(舍去)， ∴A ＝π3.【答案】 π3三、解答题9．求证：sin θ(1＋tan θ)＋cos θ·(1＋1tan θ)＝1sin θ＋1cos θ.【证明】 左边＝sin θ(1＋sin θcos θ)＋cos θ·(1＋cos θsin θ)＝sin θ＋sin 2θcos θ＋cos θ＋cos 2θsin θ＝(sin θ＋cos 2θsin θ)＋(cos θ＋sin 2θcos θ)＝(sin 2θ＋cos 2θsin θ)＋(sin 2θ＋cos 2θcos θ)＝1sin θ＋1cos θ＝右边．∴原等式成立．10．若3π2<α<2π，化简1－cos α1＋cos α＋1＋cos α1－cos α.【解】∵3π2<α<2π，∴sin α<0.∴原式＝(1－cos α)2(1＋cos α)(1－cos α)＋(1＋cos α)2(1－cos α)(1＋cos α)＝(1－cos α)2sin2α＋(1＋cos α)2sin2α＝|1－cos α||sin α|＋|1＋cos α||sin α|.∵sin α<0，∴原式＝－1－cos αsin α－1＋cos αsin α＝－2 sin α.11．已知tan α＝3，求下列各式的值：(1)3cos α－sin α3cos α＋sin α；(2)2sin2α－3sin αcos α；(3)5sin3α＋cos α2 cos3α＋sin2αcos α.【解】因为已知tan α＝3，所以逆用公式把弦函数化成切函数．∵tan α＝3，∴cos α≠0.(1)原式＝3cos α－sin αcos α3cos α＋sin αcos α＝3－tan α3＋tan α＝3－33＋3＝1－31＋3＝－2＋ 3.(2)原式＝2sin2α－3sin αcos αsin2α＋cos2α＝2sin2α－3sinαcosαcos2αsin2α＋cos2αcos2α＝2tan2α－3tan αtan2α＋1＝2×32－3×332＋1＝910.(3)法一：原式＝5sin3α＋cos α(sin2α＋cos2α) 2cos3α＋sin2αcos α＝5tan3α＋tan2α＋12＋tan2α＝14511.法二：原式＝5tan3α＋1cos2α2＋tan2α＝5tan3α＋1＋tan2α2＋tan2α＝14511.。

第一章 三角函数 1.2.2 同角三角函数的基本关系一、选择题1．已知sin α=35，且α为第二象限角，则tan α的值为 A ．–34 B ．34 C ．43 D ．–43【答案】A【解析】∵sin α=35，且α为第二象限角，∴cos α=–45，则tan α=sin cos αα=–34，故选A ．2．若sin α–2cos α=0，则21cos 2sin cos ααα+的值为 A ．–2B ．–1C ．1D ．2【答案】C 【解析】∵sin α–2cos α=0，∴tan α=2，则222221sin cos tan 1cos 2sin cos cos 2sin cos 12tan αααααααααα++==+++=1，故选C ．3．已知α为三角形的一个内角，且cos α=45，则tan α的值为 A ．–34 B ．43 C ．34 D ．±43【答案】C【解析】∵α为三角形的一个内角，且cos α=45，∴sin α35，则tan α=sin 3cos 4αα=，故选C ．4．如果sin 2cos 52sin 5cos αααα-=-+，则tan α的值为 A ．–2B ．2C ．2316D ．2311- 【答案】D 【解析】由题意，得sin 2cos tan 252sin 5cos 2tan 5αααααα--=-=++，解得tan α=–2311，故选D ． 5．若sin α=–1213，且α为第四象限角，则tan α的值等于 A ．125 B ．–125 C ．512 D ．–512【答案】B【解析】∵sin α=–1213，且α为第四象限角，∴cos α513，则tan α=sin cos αα=–125，故选B ．6．已知sin cos 3cos 3sin αααα-=+，则2sin 2α+sin αcos α= A ．0 B ．–15 C ．25- D ．25【答案】A 【解析】∵已知sin cos tan 13cos 3sin 13tan αααααα--==++，∴tan=–12，则2sin 2α+sin αcos α=2222sin sin cos sin cos ααααα+=+222tan tan tan 1ααα++=0，故选A ．7A ．sin4+cos4B ．sin4–cos4C ．cos4–sin4D ．–sin4–cos4【答案】C8．已知2sin α–cos α=0，则sin 2α–2sin αcos α的值为A ．35-B ．125-C ．35D ．125【答案】A【解析】∵2sin α–cos α=0，∴tan α=12，则sin 2α–2sin αcos α=22222sin 2sin cos tan 2tan sin cos tan 1αααααααα--=++=–35，故选A ． 9．已知4sin cos 3αα-=，则sin αcos α= A ．718- B ．79- C ．218 D ．79【答案】A 【解析】∵已知4sin cos 3αα-=，平方可得1–2sin αcos α=169，∴sin αcos α=–718，故选A ． 10．已知cos θ=13，且θ是第四象限角，则sin θ的值是A ．–13BCD ． 【答案】B【解析】∵知cos θ=13，且θ是第四象限角，则sin θ==，故选B ．二、填空题11．已知tan θ=cos sin cos sin θθθθ+-=___________． 【答案】–3–【解析】∵tan θcos sin 1tan cos sin 1tan θθθθθθ++==--=–3–3–12．α是第二象限角，且tan α=t ，则sin α=___________（用t 表示）13．已知θ是第一象限角，若2sin 2cos 5θθ-=-，则sin θ+cos θ=___________． 【答案】75【解析】∵sin θ–2cos θ=–25，则（2cos θ–25）2+cos 2θ=1，∴5cos 2θ–85cos θ–2125=0，即（cos θ–35）（5cos θ+75）=0，又∵θ为第一象限的角，∴cos θ=35，sin θ=45，从而sin θ+cos θ=75．故答案为：75． 14．已知tan 1tan 1αα=--，则sin 3cos sin cos αααα-+=___________． 【答案】53- 【解析】∵已知tan 1tan 1αα=--，∴tan α=12，则sin 3cos tan 3sin cos tan 1αααααα--=++=–53，故答案为：53-． 15．α是第一象限角，tan α=34，则sin α=___________． 【答案】35【解析】由22sin 3tan cos 4sin cos 1ααααα⎧==⎪⎨⎪+=⎩，解得sin α=±35．∵α是第一象限角，∴sin α=35．故答案为：35． 16．已知sin 2cos 22sin cos θθθθ+=-，则tan θ=___________．【答案】43【解析】由sin 2cos tan 222sin cos 2tan 1θθθθθθ++==--，解得tan θ=43，故答案为：43． 三、解答题17．已知tan θ=2，求下列各式的值．（1）4sin 2cos 3sin 5cos θθθθ-+； （2）1–4sin θcos θ+2cos 2θ．【解析】（1）原式=4sin 2cos 4tan 263sin 5cos 3tan 511θθθθθθ--==++； （2）原式=sin 2θ–4sin θcos θ+3cos 2θ=222222sin 4sin cos 3cos tan 4tan 3sin cos 1tan θθθθθθθθθ-+-+=++=–15． 18．已知sin α=2cos α，计算：（1）2sin cos sin 2cos αααα-+； （2）sin 2α+sin αcos α–2cos 2α【解析】（1）由已知得，tan α=2， ∴2sin cos 2tan 12213sin 2cos tan 2224αααααα--⨯-===+++． （2）sin 2α+sin αcos α–2cos 2α=22sin sin cos 2cos 1αααα+- =222222sin sin cos 2cos tan tan 24224sin cos tan 1415ααααααααα+-+-+-===+++． 19．已知（tan α–3）（sin α+cos α+3）=0，求值：（1）4sin 2cos 5cos 3sin αααα++ （2）22212sin cos 34αα++．20．已知角α终边上一点P （2m ，1），且1sin 3α=． （1）求实数m 的值；（2）求tan α的值．【解析】（1）由角α终边上一点P （2m ，1），且1sin 3α=，13=，解得m =．（2）当m =tan α=12m ==；当m =tan α=12m ．21．已知P （–2，y ）是角θ终边上的一点，且sin θ=，求cos θ，tan θ的值．【解析】P （–2，y ）是角θ终边上的一点，且sin θ=>0， ∴θ为第二象限角，∴cos θ==，tan θ=sin 1cos 2θθ=．。

答案：D
5．已知θ∈(0,2π)，且sinθ，cosθ是方程x2－kx＋k＋1＝0的两个实根，求k，θ的值．
解析：依题意有sinθ＋cosθ＝k，①
sinθcosθ＝k＋1，②
又(sinθ＋cosθ)2＝1＋2sinθcosθ，
所以k2－2k－3＝0，解得k＝3或k＝－1，
显然|sinθcosθ|＝|k＋1|≤1，
＝ ＝ ，故选A.
答案：A
3．化简 (1－cosα)的结果是()
A．sinαB．cosα
C．1＋sinαD．1＋cosα
解析：原式＝ (1－cosα)＝ ＝ ＝sinα.
答案：A
4．已知sinαcosα＝ ，且π＜α＜ ，则cosα－sinα的值为()
A. B．－
C. D．－
解析：∵(cosα－sinα)2＝1－2sinαcosα＝1－2× ＝ ，且π＜α＜ ，
答案：C
3．已知 ＝－5，那么tanα的值为()
A．－2B．2
C. D．－
解析：原式左边分子和分母同除以cosα，得 ＝－5，解得tanα＝－ .
答案：D
4．已知cosA＋sinA＝ ，角A为第四象限角，则tanA等于()
A. B.
C．－ D．－
解析：由已知条件及sin2A＋cos2A＝1，可解得cosA＝ ，sinA＝－ ，故tanA＝ ＝－ ，选D.
答案：4
10．已知sinθ＝ ，cosθ＝ ， ＜θ＜π，求tanθ的值．
解析：∵sin2θ＋cos2θ＝1，∴ 2＋ 2＝1，
整理得m2－8m＝0，∴m＝0或m＝8.
当m＝0时，sinθ＝－ ，不符合 ＜θ＜π，舍去，
当m＝8时，sinθ＝ ，cosθ＝－ ，满足题意．

1.2.3 同角三角函数的基本关系式知识点一：平方关系1．若α是第四象限角，cosα＝1213，则sinα等于A.513 B ．－513 C.512 D ．－512 2．化简1－2sin4cos4的结果为A ．sin4＋cos4B ．sin4－cos4C ．cos4－sin4D ．－sin4－cos4 3．已知cosα＝15，且tanα<0，则sinα的值为A ．±265 B.612 C ．－ 265 D ．±6124．化简sin 2α＋cos 2αsin 2α＋cos 4α＝__________. 5．化简1－2sin10°·cos10°sin10°－1－sin 210°的值为__________．知识点二：商数关系6．已知sinα＝35，α∈(0，π)，则tanα的值为A.43B.34 C ．±34 D ．±43 7．已知cosθ＝35且3π2<θ<2π，那么tanθ的值为A.43 B ．－43 C.35 D ．－34 8．若tanα＝32，则4sinα＋cosα5sinα－2cosα的值等于A.1411 B ．2 C ．－109 D.1411或1019 9．下列四个命题可能成立的是 A ．sinα＝12且cosα＝12B ．sinα＝0且cosα＝－1C ．tanα＝1且cosα＝－1D ．tanα＝－1且sinα＝3210．已知α是第四象限角，tanα＝－512，求sinα.能力点一：利用基本关系式求值11．若角α的终边落在直线y ＝－x 上，则sinα1－sin 2α＋1－cos 2αcosα的值等于 A ．0 B ．2 C ．－2 D ．2tanα 12．已知tanα＝－12，则2sinαcosαsin 2α－cos 2α的值是A.43 B ．3 C ．－43 D ．－3 13．若sinx ＋sin 2x ＝1，则cos 2x ＋cos 4x ＝__________.14．(2010全国高考Ⅱ，文13)已知α是第二象限的角，tanα＝12，则cosα＝__________.15．已知sinα＋cosαsinα－cosα＝2，求下列各式的值：(1)3sinα－cosα2sinα＋3cosα； (2)sin 2α－2sinαcosα＋1.16．已知sinα＝45，求tanα的值．能力点二：利用基本关系式化简 17．使1－cosα1＋cosα＝cosα－1sinα成立的α的范围是A ．{α|2kπ－π<α<2kπ，k ∈Z }B ．{α|2kπ－π≤α≤2kπ，k ∈Z }C ．{α|2kπ＋π<α<2kπ＋3π2，k ∈Z }D ．只能是第三或第四象限的角18．已知sinθ＋cosθ＝－1，则sin 2 009θ＋cos 2 009θ的值为__________． 19．化简下列各式． (1)1－2sin20°cos20°sin20°－1－sin 220°； (2)(1＋sinα1－sinα－1－sinα1＋sinα)·(1－cosα1＋cosα－1＋cosα1－cosα)．能力点三：利用基本关系式证明 20．求证：(1)tanα－1tanα＝1－2cos 2αsinαcosα；(2)(1＋tanα)2＋(1－tanα)2＝2cos 2α.21．求证：3－sin 4α－cos 4α2cos 2α＝1＋tan 2α＋sin 2α. 22．已知tan 2α＝2tan 2β＋1，求证：sin 2β＝2sin 2α－1.23．已知在△ABC 中，sinA ＋cosA ＝15.(1)求sinAcosA ；(2)判断△ABC 是锐角三角形还是钝角三角形； (3)求tanA 的值．答案与解析基础巩固1．B2．C 原式＝|sin4－cos4|，而4>5π4，由单位圆中的三角函数线得：sin4<cos4<0，∴原式＝cos4－sin4.3．C ∵cosα＝15>0且tanα<0，∴角α为第四象限角． ∴sinα＝－1－cos 2α＝－265. 4．1 原式＝sin 2α＋cos 2α(sin 2α＋cos 2α)＝sin 2α＋cos 2α＝1. 5．－1 原式＝ (sin10°－cos10°)2sin10°－cos 210°＝|sin10°－cos10°|sin10°－cos10°＝cos10°－sin10°sin10°－cos10°＝－1.6．C 由sin 2α＋cos 2α＝1，α∈(0，π)， ∴cosα＝±45.∴tanα＝sinαcosα＝±34.7．B8．A ∵tanα＝32，∴cosα≠0.∴原式＝4sinαcosα＋15sinαcosα－2＝4tanα＋15tanα－2＝4×32＋15×32－2＝1411.9．B10.解法一：由⎩⎪⎨⎪⎧sin 2α＋cos 2α＝1，sinαcosα＝－512， 解得sinα＝±513.又∵α为第四象限角，∴sinα＜0. ∴sinα＝－513.解法二：∵α是第四象限角， ∴sinα<0. 又∵tanα＝－512，∴可设α终边上一点坐标为(12，－5)， ∴sinα＝－513.能力提升11．A 原式＝sinα＋|sinα|，当角α终边在y ＝－x(x ≥0)上时，cosα>0，sinα<0；当角α终边在y ＝－x(x<0)上时，cosα<0，sinα>0. 综上知，原式＝0. 12．C 原式＝2tan αtan 2α－1＝2×(－12)(－12)2－1＝－43.13．1 由sinx ＋sin 2x ＝1得sinx ＝1－sin 2x ＝cos 2x ， ∴cos 2x ＋cos 4x ＝sinx ＋sin 2x ＝1. 14．－255 由1cos 2α＝1＋tan 2α得1cos 2α＝1＋14＝54. ∴cos 2α＝45.∵α是第二象限的角， ∴cosα<0. ∴cosα＝－255.15．解：由sinα＋cosαsinα－cosα＝2，得sinα＝3cosα.∴tanα＝3.(1)解法一：原式＝3×3cosα－cosα2×3cosα＋3cosα＝8cosα9cosα＝89. 解法二：原式＝3·sinαcosα－cosαcosα2·sinαcosα＋3·cosαcosα＝3tanα－12tanα＋3＝3×3－12×3＋3＝89.(2)原式＝sin 2α－2sinαcosαsin 2α＋cos 2α＋1＝tan 2α－2tanαtan 2α＋1＋1＝32－2×332＋1＋1＝1310.16．解：∵sinα＝45>0，∴α是第一象限或第二象限的角． 若α是第一象限角， 则cosα>0，tanα>0. ∴cosα＝1－sin 2α ＝1－(45)2＝35，tanα＝sinαcosα＝4535＝43.若α是第二象限角， 则cosα<0，tanα<0， ∴cosα＝－1－sin 2α＝－35，tanα＝sinαcosα＝45－35＝－43.17．A ∵1－cosα1＋cosα＝(1－cosα)21－cos 2α＝1－cosα|sinα|，∴sinα<0.故{α|2kπ－π<α<2kπ，k ∈Z }．18．－1 由sinθ＋cosθ＝－1，平方得：sin 2θ＋cos 2θ＋2sinθcosθ＝1， 又∵sin 2θ＋cos 2θ＝1，∴sinθcosθ＝0，sinθ＝0或cosθ＝0. 又∵sinθ＋cosθ＝－1，∴θ的终边在x 轴非正半轴或y 轴非正半轴上．当θ的终边在x 轴非正半轴上时，sin 2 009θ＋cos 2 009θ＝－1； 当θ的终边在y 轴非正半轴上时，sin 2 009θ＋cos 2 009θ＝－1. 综上所述：sin 2 009θ＋cos 2 009θ＝－1. 19．解：(1)∵1－2sin20°cos20°＝sin 220°＋cos 220°－2sin20°·cos20° ＝(sin20°－cos20°)2， ∴原式＝|sin20°－cos20°|sin20°－|cos20°|＝cos20°－sin20°sin20°－cos20°＝－1.(2)原式＝[(1＋sinα)2cos 2α－(1－sinα)2cos 2α]·[(1－cosα)2sin 2α－(1＋cosα)2sin 2α]＝|1＋sinα|－|1－sinα||cosα|·|1－cosα|－|1＋cosα||sinα|＝2sinα·(－2cosα)|cosα|·|sinα|＝－4sinαcosα|sinαcosα|＝⎩⎨⎧－4，α∈(kπ，kπ＋π2)，k ∈Z ，4，α∈(π2＋kπ，kπ＋π)，k ∈Z .20．证明：(1)左边＝sinαcosα－cosαsinα＝sin 2α－cos 2αsinαcosα＝1－cos 2α－cos 2αsinαcosα＝1－2cos 2αsinαcosα＝右边，∴原题得证．(2)左边＝(1＋sinαcosα)2＋(1－sinαcosα)2＝(sinα＋cosα)2cos 2α＋(cosα－sinα)2cos 2α＝1＋2sinαcosα＋1－2sinαcosαcos 2α＝2cos 2α＝右边， ∴原题得证．21．证法一：作差：因为3－sin 4α－cos 4α2cos 2α－(1＋tan 2α＋sin 2α) ＝3－sin 4α－cos 4α2cos 2α－(1＋sin 2αcos 2α＋sin 2α)＝3－sin 4α－cos 4α－2cos 2α－2sin 2α－2sin 2αcos 2α2cos 2α＝3－(sin 2α＋cos 2α)2－2(sin 2α＋cos 2α)2cos 2α＝2－22cos 2α＝0. 所以3－sin 4α－cos 4α2cos 2α＝1＋tan 2α＋sin 2α.证法二：左边＝3－[(sin 2α＋cos 2α)2－2sin 2αcos 2α]2cos 2α＝2＋2sin 2αcos 2α2cos 2α＝1cos 2α＋sin 2α ＝sin 2α＋cos 2αcos 2α＋sin 2α ＝1＋tan 2α＋sin 2α＝右边， 所以原等式成立．22．证明：∵tan 2α＝2tan 2β＋1， ∴sin 2αcos 2α＝2sin 2βcos 2β＋1＝2sin 2β＋cos 2βcos 2β ＝1＋sin 2βcos 2β，∴sin 2α1－sin 2α＝1＋sin 2β1－sin 2β， ∴sin 2α(1－sin 2β)＝(1－sin 2α)(1＋sin 2β) ∴sin 2β＝2sin 2α－1.拓展探究23．解：(1)由sinA ＋cosA ＝15，可得(sinA ＋cosA)2＝125，∴sinAcosA ＝－1225.(2)∵A ∈(0，π)且sinAcosA<0， ∴A ∈(π2，π)．∴△ABC 是钝角三角形． (3)∵A ∈(π2，π)，∴sinA －cosA>0.∴sinA －cosA ＝(sinA －cosA )2 ＝1－2sinAcosA ＝1－2×(－1225)＝75.由⎩⎨⎧sinA －cosA ＝75，sinA ＋cosA ＝15，解得sinA ＝45，cosA ＝－35.∴tanA ＝sinA cosA ＝－43.。

强调本节内容难点。对例题适当归纳，从直观认识提升到理论的水平。
课
堂
小
结
1、主要的知识点
2、数学思想和方法
3、你的困惑和收获
让学生自己总结本节课的重点、难点和学习内容，教师再补充．
通过小结使本节课的知识系统化，使学生深刻理解数学思想方法在解题中的地位和应用，培养学生认真总结的学习习惯。
当
堂
检
测
见课件
学生快速地完成这三道题目，并展示正确结果
思考：本题与例题1的主要区别在哪儿？如何解决这个问题？
学生可能因忽视条件“α是第二象限角”等，而不理解符号的确定。
借助学生对于刚学习的知识所拥有的探求心理，让他们学习使用两个公式来求三角函数值。
通过例题与变式使学生掌握基本关系式的应用：已知一个角的一个三角函数值能求这个角的其他三角函数值，并在求三角函数值的过程中注意由函数值正、负号的选取而导致的角的范围的讨论，培养学生分类讨论思想。突破重难点。
20分
按时保质保量独立完成。
15分
基本能按时完成。
10分
有不交作业或抄袭等的现象。
5分或以下
小组
活动
40分
积极参加小组活动，有独立见解，动手、动口、动脑能力强，与同学合作愉快。40分
积极参加小组活动，爱动手、动口、动脑能力强，与同学合作愉快。
35分
能参加小组活动，与同学合作愉快。30分
达不到以上要求。
20分或以下
总评
80分以上评优，70-80评良，50-60评合格，50分以下评不合格。
总分：等级：
在探究过程后会出现许多预设或生成的问题，教师及时引导。
学生踊跃发言
培养学生自主、合作、探究的精神和自学能力。

1.2.3 同角三角函数的基本关系式【选题明细表】1.(2017·扬州一中12月月考)已知α是第二象限角,tan α=-,则cos α的值为( B )(A) (B)-(C) (D)-解析:因为α是第二象限角,所以cos α<0,由得解得cos α=-,故选B.2.化简的结果是( C )(A)sin 4+cos 4 (B)sin 4-cos 4(C)cos 4-sin 4 (D)-(sin 4+cos 4)解析:原式==.由于<4<,由三角函数线知cos 4>sin 4,所以原式=cos 4-sin 4,应选C.3.(2017·山西应县一中月考)若=2,则sin θcos θ的值是( B )(A)- (B)(C)±(D)解析:由=2得,tan θ=3,所以sin θcos θ===.4.(2017·湖北仙桃汉江中学期中)已知A为△ABC的一个内角,且sin A+cos A=,则△ABC的形状是( B )(A)锐角三角形 (B)钝角三角形(C)直角三角形 (D)不确定解析:因为△ABC中sin A+cos A=,所以平方可得(sin A+cos A)2=,所以2sin Acos A=-<0,由三角形内角范围可得sin A>0,所以cos A<0,A为钝角,故选B.5.已知tan α=,π<α<,那么cos α-sin α的值是. 解析:因为tan α=,π<α<,所以cos α<0,sin α<0,由解得sin α=-,cos α=-,所以cos α-sin α=-+=.答案:6.(2017·四川南充高中月考)已知tan θ=2,则sin2θ+sin θcos θ-2cos2θ= .解析:因为tan θ=2,所以sin θ=2cos θ,又sin2θ+cos2θ=1,所以sin2θ=4cos2θ=,所以sin2θ+sin θcos θ-2cos2θ=4cos2θ=.答案:7.已知tan α=m,且α为第四象限的角,则sin α等于( C )(A)m(B)-m(C) (D)-解析:因为tan α=m,所以=m2,所以cos2α=sin2α.又sin2α+cos2α=1,所以sin2α+sin2α=1,所以sin2α=.又α为第四象限的角,所以sin α<0,所以sin α=-=-.又tan α=m<0,所以sin α=.8.若=2,则(cos θ+3)(sin θ+1)的值为( D )(A)0 (B)2(C)3 (D)4解析:因为=2,所以sin2θ+4=2cos θ+2,所以cos2θ+2cos θ-3=0,解之得cos θ=1或cos θ=-3(舍去).由cos θ=1,所以sin θ=0,所以原式=4,应选D.9.(2017·临沂罗庄区期末统考)在平面直角坐标系xOy中,角α的终边与单位圆交于点A,点A的纵坐标为,则cos α= .解析:设A(cos α,sin α),则cos2α+()2=1,解得cos α=±.答案:±10.求证:2(1-sin α)(1+cos α)=(1-sin α+cos α)2.证明:法一左边=1+1-2sin α+2cos α-2sin αcos α=1+sin2α+cos2α-2sin α+2cos α-2sin αcos α=(1-sin α+cos α)2=右边.法二右边=1+sin2α+cos2α-2sin α+2cos α-2sin αcos α=2(1-sin α+cos α-sin αcos α)=2(1-sin α)(1+cos α)=左边.法三右边-左边=(1-sin α)2+cos2α+2cos α(1-sin α)- 2(1-sin α)(1+cos α)=(1-sin α)2+(1-sin2α)-2(1-sin α)=(1-sin α)(1-sin α+1+sin α-2)=0.法四令1-sin α=x,cos α=y,消去α得:(x-1)2+y2=1, 即x2+y2=2x,左边=2x(1+y)=2x+2xy=x2+y2+2xy=(x+y)2=右边.11.是否存在一个实数k,使方程8x2+6kx+2k+1=0的两个根是一个直角三角形的两个锐角的正弦.解:假设存在,设两个锐角为α,β,则sin α>0,sin β>0,且sin α,sin β是方程8x2+6kx+2k+1=0的两个根,因为α+β=90°,所以sin β=cos α.所以sin α+sin β=sin α+cos α=-,sin α·sin β=sin α·cos α=.又因为sin2α+cos2α=1,所以(sin α+cos α)2-2sin α·cos α=1.整理得9k2-8k-20=0,解得k=2,或k=-.又因为sin α>0,sin β>0,所以sin α+sin β>0,sin α·sin β>0.当k=2时,sin α+sin β=-=-<0,所以k=2不符合题意.当k=-时,sin α·sin β==-<0,所以k=-也不符合题意.所以不存在实数k,使方程8x2+6kx+2k+1=0的两个根是一个直角三角形的两个锐角的正弦.。

1.2.3 同角三角函数的基本关系式(二)一、基础过关1．若sin α＋sin 2α＝1，则cos 2α＋cos 4α等于( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．32．若sin 4θ＋cos 4θ＝1，则sin θ＋cos θ的值为 ( )A ．0B ．1C ．－1D ．±1 3．已知1＋sin x cos x ＝－12，那么cos x sin x －1的值是 ( )A.12 B ．－12C ．2D ．－2 4．已知sin 2θ＋4cos θ＋1＝2，那么(cos θ＋3)(sin θ＋1)的值为 ( )A ．6B ．4C ．2D ．0 5．已知tan α＋sin α＝a (a ≠0)，tan α－sin α＝b ，则cos α等于 ( )A.a ＋b 2B.a －b 2C.a ＋b a －bD.a －b a ＋b 6． 若sin θ＝k ＋1k －3，cos θ＝k －1k －3，且θ的终边不落在坐标轴上，则tan θ的值为________．7． 化简sin 2α＋sin 2β－sin 2αsin 2β＋cos 2αcos 2β＝________.8．化简：1－(sin 4x －sin 2xcos 2x ＋cos 4x )sin 2x ＋3sin 2x. 二、能力提升9． 已知sin α－cos α＝－52，则tan α＋1tan α的值为 ( )A ．－4B ．4C ．－8D ．8 10．若0<α<π2，则1－2sin α2cos α2＋1＋2sin α2cos α2的化简结果是________． 11．已知sin αcos α＝18，且α是第三象限角，求1－cos 2αsin α－cos α－sin α＋cos αtan 2α－1的值．12．求证：cos α1＋sin α－sin α1＋cos α＝2(cos α－sin α)1＋sin α＋cos α. 三、探究与拓展13．已知tan θ＝1－a a (0<a<1)，化简：sin 2θa ＋cos θ＋sin 2θa －cos θ.答案1．B 2.D 3.A 4.B 5.D 6.34 7.1 8．3 9.C 10.2cos α2 11.－5212．证明 方法一左边＝cos α(1＋cos α)－sin α(1＋sin α)(1＋sin α)(1＋cos α)＝cos 2α－sin 2α＋cos α－sin α1＋sin α＋cos α＋sin αcos α＝ (cos α－sin α)(cos α＋sin α＋1)12(cos α＋sin α)2＋sin α＋cos α＋12＝2(cos α－sin α)(cos α＋sin α＋1)(sin α＋cos α＋1)2 ＝2(cos α－sin α)1＋sin α＋cos α＝右边． ∴原式成立．方法二 ∵cos α1＋sin α＝1－sin αcos α＝cos α＋1－sin α1＋sin α＋cos α， sin α1＋cos α＝1－cos αsin α＝sin α＋1－cos α1＋cos α＋sin α， ∴cos α1＋sin α－sin α1＋cos α＝2(cos α－sin α)1＋cos α＋sin α. ∴原式成立．13．解 ∵tan θ＝1－a a ，。